Cap. 9 Fricción
Pág. 9-1
Ejemplo 9.1: Hallar el intervalo de valores de la masa de A para los cuales el sistema está en equilibrio. El coeficiente de fricción estático es s 0,6 y el ángulo del plano inclinado es 60 60 la masa de B es m B .
B A
Solución:
Análisis del movimiento inminente de B hacia abajo: T
El equilibrio estático del bloque A nos muestra claramente que:
T
T m A g
y
(1)
Para el bloque B:
N m B g
m A g
F 0 : F 0 :
F f
x
x
y
m B g sen T F f 0
(2)
N m B g cos cos 0
(3)
Las ecuaciones (1), (2) y (3) se cumplen si el sistema está en equilibrio estático. Si el movimiento del bloque B es inminente, entonces adicionalmente se cumple que: F f F f max max s N
en (2):
m B g sen T s N 0
con (1) y (3):
m B g sen m A g s m B g cos cos 0
de donde:
m A m B (sen s cos cos )
(4)
m A 0,566 m B
reemplazando valores:
(5)
Si m A fuera más pequeña que el valor hallado el bloque B descendería. Para que no lo m A 0,566 m (6) haga:
Análisis del movimiento inminente de B hacia arriba: T
Para el bloque A:
T F f
y
N
m A g
m B g
x
(7)
Para el bloque B:
F 0 : F 0 : x
T m A g
y
m B g sen T F f 0
(8)
N m B g cos cos 0
(9)
Las ecuaciones (7), (8) y (9) se cumplen si el sistema está en equilibrio estático. Si el movimiento del bloque B es inminente hacia arriba, entonces adicionalmente se cumple que: F f F f max max s N
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Cap. 9 Fricción
Pág. 9-2
en (8):
m B g sen T s N 0
con (7) y (9):
m B g sen m A g s m B g cos cos 0
de donde:
m A m B (sen s cos cos )
reemplazando valores:
m A 1,166 m B
(10) (11)
Si m A fuera mayor que el valor hallado el bloque B ascendería. Para que ello no (12) suceda: m A 1,166 m B Resumiendo (5) y (6):
0,566 m B m A 1,166 m B
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Cap. 9 Fricción
Pág. 9-3
Ejemplo 9.2:
A
La barra AB y los bloques C y D tienen una masa de 5 kg cada uno. El coeficiente de fricción entre C y AB y entre C y el plano es 0,2. El bloque D desliza dentro de una guía recta sin fricción. Determinar la magnitud de P para impedir que D se mueva hacia arriba del plano. Solución:
D
3
B
4
C C
F 0 :
N B cos A y 5 g 0,2 N B sen 0
y
A y
P
N B (4 / 5) A y 5 g 0,2 N B (3 / 5) 0
A
A x
0,92 N B A y 5g 0
F 0 :
A x N B sen F f B cos T
x
A x N B (3 / 5) 0,2 N B (4 / 5) T
T 5g
A x T 0,44 N B
M
B
A
0 : N B sen (2 ) 0,2 N B cos (2 ) T () 2 N B (3 / 5) 0,2 N B (4 / 5) (2) T
N B
F f B
T 1,52 N B
F 0 :
P
x
D
T
N D
T (1 cos ) P 5 g sen
3 4 T 1 P 5 g 5 5
T
m D g
F 0 : y
T
F f B
N B
T T cos P 5 g sen
N D T sen 5 g cos
F 0 :
N C
9
( P 3 g )
N D 0,6 T 4 g
0,2 N B 0,2 N C 5 g (0,6) T
F 0 :
N B N C 15 g 5T
y
(*)
N C N B 5 g cos
mC g
5
F f B F f C 5 g sen T
x
F f C
C C
T
N C N B 5 g (0,8) N C N B 4 g (**) (*) y (**):
como T 1,52 N B
2 N B 15 g 5T 4 g 5T 19 g N B 2
T 1,52
5T 19 g 2
2T 7,6T 28,8 g 5,6T 28,8 g
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Cap. 9 Fricción
Pág. 9-4
T 5,14 g 50,4 N 5 T ( P 3 g ) 9 P 61,32 N N B
T
1.52 N D 4 g 0,6T
9 P T 3 g 5
N B 33,16 N
N D 8,96 N
A x T 0,44 N B
50,4 0,44 (33,16) A x 35,81 N A y 5 g 0,92 N B
A y 5 (9,81) 0,92 (33,16)
A y 18,54 N
N C 4 g N B
A y 4 g 33,16
N C 6,08 N
Comprobación:
A y A
A x
P D
F 0 : x
P cos N D sen N C sen F f C cos Ax 0 0,8 P 0,6 N D 0,6 N C 0,8 F f C Ax 0
donde:
N D 3
Para todo el sistema
F f C 0,2 N C
F 0 : y
4
B
F f C C C
N C
P sen N D cos N C cos F f C sen Ay 0 0,6 P 0,8 N D 0,8 N C 0,2 N C (0,6) Ay 0
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Cap. 9 Fricción
Pág. 9-5
Ejemplo 9.3:
P
El bloque A de 5 kg descansa sobre el bloque B de 20 kg. Los coeficientes de fricción son 0,40 entre los bloques A y B, y 0,25 entre B y el piso. Calcular la magnitud de la fuerza P que se requiere para producir en el sistema el estado de movimiento inminente. sen 0,8
Solución:
m 5 1 , 0
A
cos 0,6
C
m 5 1 , 0
DCL de la palanca
M
C
T
T 3
0
(T T cos ) (0,10) P (0,25)
1,6 T (0,10) 0,25 P
m
C
16
(1)
P
C x
DCL del bloque A
F 0
T
x
T T fA 0
F 0 y
F fA
m A g
(2) en (1):
N A
N A m A g 0
N A 49 N
25
F fA
16
N A m A g (3) (4)
P
DCL del bloque B
T
F 0
F fB
m B g
x
de (1): N B
25 16 15 16
F 0
(2)
N A
T cos F fA F fB 0
P (0,6) F fA F fB 0
P F fA F fB 0
(5)
N B N A m B g T sen 0 N B 49 (20) g
Nota:
25
, 0
y
T
C y 0 1
F fA
3
B
P
4
m 0 1 , 0
4
N B 245 1,25 P
25 16
P (0,8) 0 (6)
estas ecuaciones son válidas para cualquier posibilidad de equilibrio. Sin embargo hay que tener siempre en cuenta que los sentidos de las fuerzas de fricción límite (correspondientes al movimiento inminente) deben ser los correctos (opuestos al movimiento relativo posible).
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Cap. 9 Fricción
Pág. 9-6
Suponiendo que sólo se movería A: F fA A N A 0,40 (49)
F fA 19,6 N (7)
F f B B N B
y deberá cumplirse que: (7) en (4):
P 12,544 N
en (5):
15
(12,544) 19,6 F fB 0 16 N B 245 1,25 (12,544)
en (6):
( B no se movería)
(8)
F fB 31,36 N
N B 229,32 N
F fB 31,36 N
reemplazando valores en (8): ¿Se cumple la condición (8)?
F f B 31,36 F f B max B N B 0,25 (229,32) 57,33 [ N ] ok!
Normalmente aquí termina el problema pues ya encontramos una posibilidad en la que se cumplirá la hipótesis que la sustenta. Sin embargo, por motivos didácticos examinaremos la otra posibilidad, en la cual, seguramente, no se cumplirá la hipótesis respectiva.
Suponiendo que A y B se mueven juntos:
(sin movimiento relativo entre ellos)
F f B B N B 0,25 N B
(9)
y deberá cumplirse que F f A A N A (0,25) (49) 12,25 N
(10)
25
tenemos (4):
F f A
en (5):
15
recordando (9):
15
de (11) y (6):
P 21,77 N
en (4):
F fA 34,02 N
16 16
16
P
P F f A F f B 0 P
15 16
P
25 16
25 P 0,25 N B 0 16
¿Se cumple la expresión (10)? Nota:
y
F f B 0 (11)
N B 217,79 N
F fA 34,02 N 12,25 N no!
este resultado es lógico pues al cumplirse la primera suposición estaba claro que la segunda no se cumpliría.
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Cap. 9 Fricción
Pág. 9-7
Ejemplo 9.5:
y
La masa del bloque colocado sobre el plano inclinado es de 10 kg. Las líneas ab y cd pertenecientes al plano son paralelas al eje z . La magnitud de la fuerza P 2, paralela al eje x, es de 40 N. El coeficiente de fricción entre el bloque y el plano es 0,4. Se pide calcular la fuerza P 1, paralela al eje z , que iniciaría el desplazamiento del bloque.
d c P 1 P 2 b
z
30°
x a
y d y c
F f sen
F f cos
F f cos
30°
N
F f
z
b
30°
30°
O
x
x a
P 1 (0, 0, P 1 )
P 2 (40, 0, 0)
W (0,98, 0)
3
F f ( F f cos cos 30º , F f cos sen 30º , F f sen ) F f
2
cos ;
1 2
cos ; sen
N N ( sen 30º , cos 30º , 0)
F i 0 :
40
3 2
F f cos
1
98 F f cos 2
N 2 3
2
0
(1)
N 0
(2)
P 1 F f sen 0
Además:
F f N
de (1):
F f cos
en (2):
N 104,87
en (4):
F f 41,95 N
en (5):
110,02º
finalmente en (3):
(3) F f 0,4 N
(4)
N 80 3
N
N P 1 39,42
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Cap. 9 Fricción
Pág. 9-8
Ejemplo 9.6:
Se desea mover la caja de W = 2400 N. Para ello se dispone un sistema de cuñas como muestra la figura. Se sabe que el coeficiente de fricción entre las cuñas es 0,30 mientras que entre las demás superficies es 0,10. Se pide determinar: a) La fuerza P necesaria para introducir la cuña sabiendo que 20 . b) La fuerza P necesaria para evitar que la cuña se deslice hacia fuera o para extraerla, según sea el caso, sabiendo que 20 . c) El máximo ángulo para el cual el sistema estaría en equilibrio al suprimir la fuerza P .
A
W = 2400 N
P
B B
C
Solución:
A
a) Movimiento inminente: F fAB 0,1 N AB F fA 0,1 N A ; F fBC 0,3 N BC
F f A W = 2400 N N A
F 0,1 N N 0 F N 2400 0,1 N x
F f AB N AB
AB
y
A
AB
A
N A 242.4 N 0 N AB 2424 N
N AB F f AB B B
P
cuña:
F 0 : N y
BC
cos 20º F fBC sen 20º N AB 0
20°
F f BC
20° 20°
N BC cos 20º 0,3 N BC sen 20º 2424 0
N BC 2895,75 N
N BC
F 0 : P 0,1(2424) 0,3 N x
BC
A W = 2400 N N A F f A
cos 20º N B C sen 20º 0
P 2049,14 N
b) F x 0 : N A F fAB 0 y como N A y F fAB tienen necesariamente sentido hacia la izquierda ( ), N A 0 y también F fAB 0 . Además, como N A 0
F 0 : y
F fA 0,1 N A 0
N AB 2400 N
F f AB
cuña:
N AB
F 0 :
N AB
y
F f AB P
B B
N BC cos 20º0,3 N BC sen 20º 2400 0 N BC 2302,6 N
20°
F 0 : P 0,3 N x
20° F f BC 20°
N BC
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BC
cos 20º N BC sen 20º 0
P 138,4 N
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Cap. 9 Fricción
Pág. 9-9
c) Como el conjunto está en equilibrio y P 0 , entonces
A W = 2400 N N A F f A
N A 0
y en consecuencia F fA 0,1 N A 0 F fAB 0
y entonces
F 0 : N
F f AB
y
AB
2400 N
N AB
cuña:
N AB F f AB P
B B
F 0 x
tan max 0,3
0,3 N BC cos N BC sen 0
max 16,7º
F f BC
N BC
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Cap. 9 Fricción
Pág. 9-10
Ejemplo 9.7: 18000 kgf
La posición vertical de la viga de acero en I se ajusta mediante las cuñas de acero E y F . La placa de acero CD se ha soldado a la placa de base de la viga y se sabe que la reacción vertical en este extremo es de 18000 kgf. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático es 0,30 entre las dos superficies de acero y 0,60 entre el acero y el hormigón. Si se desea elevar la viga, determinar la fuerza P necesaria y la fuerza Q correspondiente que impide el movimiento horizontal de la placa de base de la viga.
A
Viga I
B
soldadura
D
C
placa (acero)
P
Q
E F
12° hormigón
Solución: Los DCL de los cuerpos involucrados son:
F 0 :
18000 kgf
N DE 18000 kgf
y
F 0 :
F f DE Q
y
Q
Pero en el movimiento inminente: F fEF 0,3 N DE
F f DE
N DE
F 0 : 18000 N y
EF
Q 0,3 (18000) Q 5400 kgf
cos 12º F f EF sen12º 0
Movimiento inminente: F fEF F f max (0,3) N EF
18000 N EF cos 12º 0,3 N EF sen12º 0
F 0 : P 0,3 N
N DE
y
DE
F f DE P
N EF 19655 kgf
E F f EF
19655 sen12º 0,3 19655 cos 12º 0
P 15254 kgf
12°
F 0 : 18000 N y
N EF
EF
cos 12º 0,3 N EF sen12º
Con lo que se verifica que N EF 19655 kgf N EF
Finalmente,
F 0 : F
F f EF
x
fF
N EF sen12º 0,3 N EF cos 12º
12°
F F f F 18000 kgf
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F fF 9854 kgf .
Se debe cumplir que:
F fF 9854 0,6 (18000) 10800 kgf
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Cap. 9 Fricción
Pág. 9-11
Ejemplo 9.8: La palanca soldada a un collarín ha sido diseñada para que, en su posición de trabajo, soporte una carga vertical P . Para ello el diámetro interno d del collarín es ligeramente más grande que el diámetro d del tubo circular vertical. Sabiendo que el coeficiente de fricción estática en los puntos de contacto A y B entre el collarín y el tubo es 0,2 , determinar la dimensión más pequeña de d necesaria para que la varilla no cuando se aplique la carga vertical P . Solución: F f A N A
Movimiento inminente:
d
F f B N B
Ff B NB
B N A
M
A
A
0 :
N B (d ) P L
P Ff A
M
B
0 :
F 0 :
L
N B
N A (d ) 0,2 N A (d ) P L N A
d
0,2 N B (d ) 0
2
P ( L d / 2 0,8 d
d
0
2
P ( L d / 2) 1,2 d
0,2 N A 0,2 N B P 0
y
0,2
P ( L d / 2) 1,2 d
0,2
P ( L d / 2) 0,8d
P
d 0,4 L
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Cap. 9 Fricción
Pág. 9-12 F
Ejemplo 9.9:
30°
Calcular la fuerza F con la que se produce el movimiento inminente de la caja cuya masa es de 200 kg. Considere como coeficiente de fricción entre la caja y el piso s 0,25 . Solución:
m m 0 5 9
El diagrama de cuerpo libre de la caja para un cierto valor de F , para el cual ella está en equilibrio es: F
500 mm
30°
m m 0 5 9
Como no sabemos a priori si la caja deslizará o volcará, tendremos que analizar ambos casos y luego sacaremos conclusiones.
G
a)
Análisis de deslizamiento:
F 0 :
W=mg
F cos 30 F f 0
x
F f
F f F cos 30
(1)
P
F 0 :
N x
F sen 30 mg N 0
y
250
250
N m g F sen 30
(2)
Estas expresiones (1) y (2) se cumplirán siempre en condiciones de equilibrio estático. Ahora, analizando la situación de deslizamiento inminente, éste se producirá si es que la fuerza de fricción ha tomado su valor máximo, es decir si F f F f max s N . Evidentemente, para que no se produzca deslizamiento deberá cumplirse que: F f F f max s N
Reemplazando (1) y (2) en (3) obtenemos:
es decir:
(3)
F cos 30 s (m g F sen 30)
F 494,44 [N]
(4)
b) Análisis de volcadura: Para que no se produzca volcadura se deberá cumplir:
x 0
(5)
A las ecuaciones (1) y (2) se puede añadir una tercera condición de equilibrio:
M
P
0:
F cos30 (950) F sen 30 (500) m g (250) N x 0
de donde:
x
de (2):
x
F cos 30 (950) F sen 30 (500) m g (250) N F cos 30 (950) F sen 30 (500) m g (250) m g F sen 30
recordando (5) y despejando adecuadamente:
F 456,78 [N]
de (4) y (6) concluimos que primero se produciría volteo. Entonces:
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(6) F max 456,78 [N].
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Cap. 9 Fricción
Pág. 9-13
Ejemplo 9.11: F
Sobre el mueble mostrado (masa m) se aplica la fuerza F . Sabiendo que el coeficiente estático de fricción es s , calcular la máxima altura h a la que se puede aplicar F para que el mueble deslice y no se vuelque.
h mg
Solución: b/2
b/2
F
El DCL siguiente muestra el estado límite para que no haya vuelco. h
A partir del análisis de equilibrio de dicha posición el cuerpo deslizará si:
mg F f
P N
F f F f max s N
(1)
b/2
Del equilibrio: E 0 F 0 : F 0 : M mg 0 b M 0 : F h mg 2 0 f
F f F
(2)
N m g
(3)
(2) en (1):
deslizamiento si
F s N
(3) y (4) en (5):
m g b
x
y
p
2h h
F
m g b 2h
(4) (5)
s m g b 2 s
que es la condición para que el mueble deslice sin que vuelque.
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Cap. 9 Fricción
Pág. 9-14
Ejemplo 9.14: (Pregunta 7, 2008-2)
0,6 m
El bloque de 75 kg y centro de gravedad en G descansa en posición horizontal sobre el apoyo C y sobre el puntal vertical ligero AB. Si los coeficientes de rozamiento de los distintos pares de superficies en contacto son A 0,20 , B 0,35 y C 0,30 , se pide calcular el menor valor de P que iniciaría el deslizamiento en alguna parte del sistema. ¿Dónde tendría lugar ese deslizamiento? Solución:
0,6 m
1,2 m
G F fA
F f C A
C
75 g
N A
N C
N A
F fA m 6 , 0
P
m 3 , 0
G A
C
m 6 , 0
P m 3 , 0
B
Equilibrio del bloque:
F 0 : F 0 : M 0 : x
F f A F f C 0
(1)
y
N A 75 g N C 0
(2)
75 g (0,6) N C (1,8) 0
(3)
A
de (3): N C 25 g
N A 50 g
Equilibrio del puntal:
F 0 : F 0 : x
P F fA F fB 0
(4)
y
N B N A 0
(5)
N B 50 g
F f B
M
B
N B
1,2 m
0:
P (0,3) F fA (0,9) 0
P 3 F fA
(6)
Todas las ecuaciones anteriores son válidas para cualquier condición de equilibrio. Ahora analizaremos diversas posibilidades de movimiento inminente.
en (6):
P 3 (10 g )
F fA 17,5 g
P 3 (7,5 g )
P
P 3
17,5 g
(6)
P 26,25 g
F fC C N c 0,3 N C 0,3 (25 g ) 7,5 g
Movimiento inminente en C :
en (6) y (1):
P 30 g F fB B N B 0,35 N B 0,35 (50 g ) 17,5 g
Movimiento inminente en B:
en (4):
F fA A N A 0,2 N A 0,2 (50 g ) 10 g
Movimiento inminente en A:
P 22,5 g
De los tres resultados concluimos que P 22,5 g iniciaría el movimiento en C . Chequeamos: F fA 7,5 g A N A 0,2 (50 g ) 10 g ok! F f B P F f A 22,5 g 7,5 g 15 g B N B 0,35 (50 g ) 17,5 g ok!
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Cap. 9 Fricción
Pág. 9-15
Ejemplo 9.15:
B
Dos tablas idénticas, de masa 20 kg cada una, están provisionalmente apoyadas una en la otra como se muestra. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es 0,40, determinar:
P
m 4 , 2
D
m 8 , 0
C
A
a) El mayor módulo de la fuerza P para el que se conserva el equilibrio.
1,8 m
1,8 m
b) La superficie en la que se iniciará el movimiento. Solución:
DCL del sistema:
M
B
0:
C
N A (3,6) 20 g (2,7) 20 g (0,9) P 3 0 P G2
G1
D m 8 , 0
mg
m 4 , 2
0,9 m
T F fA F f C
y
N A P 2 m g N C 0
N A
con (1):
N C 196
F fC
0,9 m
1,8 m
N C
1,8 m
F fB B
P D m 8 , 0
G1
M
N B
B
m 4 , 2
mg
0,9 m
N A
P
(3)
6
0 : N A (1,8) F fA (2,4) P (1,2) mg (0,9) 0
con (1):
F f A 73,5 0,125 P
(4)
F 0 : F 0 : x
F f A N B
(5)
y
N A P mg F f B 0
con (1):
F f B
A
F fA
(2)
x
C
F fA
(1)
F 0 : F 0 :
mg
A
5 N A 196 P 6
1,8 m
de (2) y (4):
F f C 73,5 0,125 P
de (5) y (4):
N B 73,5 0,125 P
P
(6)
6
Dado que el sistema está en equilibrio, entonces se debe cumplir para cada fuerza de fricción que F f F f max s N . Para A:
F f A s N A
Para B:
F f B s N B
Para C :
F f C s N C
5 P 6 P / 6 (0,4) (73,5 0,125 P )
73,5 0,125 (0,4) 196
73,5 0,125 P (0,4) 196
P 23,54 N
P 252,1 N
P
6
P 84,08 N
Conclusión: P max 84,08 N y el movimiento ocurriría primero en C .
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15 Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Cap. 9 Fricción
Pág. 9-16
Ejemplo 9.16:
100 mm
En el sistema mostrado, el cilindro tiene una masa de 50 kg y las barras son de masa despreciable. Si los coeficientes de fricción estática en C y E son 0,6 y 0,3 respectivamente, determinar la fuerza máxima P que puede aplicarse sin generar movimiento. Solución:
A
F AB
F BC
B
60°
60°
D F f C
P 0,866 F BC
de donde:
C
B
F BC
F BC sen 60 P
F y 0 :
B 60°
P
Las barras AB y BC son bielas. Entonces el equilibrio del nudo B muestra que:
m m 0 0 2
C
60°
(1)
P
E N C
F BC
50 mm 50 mm
Además, el equilibrio de la barra (biela) BC exige que las fuerzas aplicadas en sus extremos sean colineales y de sentidos contrarios. Ahora, como las fuerzas que reproducen entre la barra C y el cilindro D son la fuerza de fricción F f C y la normal N C , entonces, necesariamente ellas deben ser componentes de la fuerza F BC (ver figura). Entonces:
tan 60
N C
F f C
F f C 0,577 N C
Ello significa que es imposible que F fC pueda crecer hasta tomar su valor máximo F fC max 0,6 N C , sin importar el valor que pueda tomar P . En consecuencia es imposible que se llegue a estado de movimiento inminente entre C y D. Entonces, la única posibilidad de movimiento inminente se producirá entre el cilindro y el piso. Lo que no sabemos es si se producirá primero deslizamiento o volcadura. Tendremos que averiguarlo. F BC C
Aplicando las ecuaciones de equilibrio para cualquier valor de P obtenemos:
60°
m D g
m m 0 0 2
D F f E
x
F fE F BC cos 60
(2)
y
N E F BC sen 60 50 g 0
(3)
E
N E ( x) 50 g (50) F BC sen 60 (50)
E x
F 0 : F 0 : M 0 :
N E
F BC cos 60 (200) 0
(4)
50 mm
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16 Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Cap. 9 Fricción
Pág. 9-17
Análisis de deslizamiento:
En el movimiento inminente de deslizamiento la fuerza de fricción F fE toma su valor máximo: F fE F fE max E N E
F fE 0,3 N E
(5) en (2):
0,3 N E F BC cos 60
en (3):
1,667 F BC F BC sen 60 50 g 0
de donde:
F BC 611,75 N
(5)
N E 1,667 F BC
y entonces, en (1): P max 529,8 N
Análisis de volcadura
El cilindro estará a punto de voltear si x 0 . Entonces, de (3): 50 g (50) F BC sen 60 (50) F BC cos 60 (200) 0
de donde:
F BC 432,11 N
recordando (1):
P max 374,22 N
Finalmente podemos concluir que primero se produciría volcadura y ello ocurrirá al sobrepasar el valor de P max 374,22 N.
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17 Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Cap. 9 Fricción
Pág. 9-18
Ejemplo 9.17:
L/ 2
La barra delgada uniforme de masa m y longitud L se encuentra inicialmente en reposo en posición horizontal, como lo muestra la figura, sobre la superficie circular fija de radio R 0,6 L . Si en el extremo de la barra se aplica poco a poco una fuerza P siempre normal a la barra y el deslizamiento se inicia para 20 , se pide determinar el coeficiente de rozamiento estático y el valor de P necesario. Solución:
F 0 : F 0 : M 0 : x
y
C
L
6 , 0
= R
DCL de la barra en el instante de movimiento de resbalamiento inminente. Notar que la distancia entre G y C es igual a la longitud de arco CoC .
mg sen F f 0
(1)
mg cos N P 0
(2)
L mg cos ( R ) P R 0 2
(4) en (1):
mg sen N
en (2):
mg cos
despejando:
de (3):
P
(3)
mg sen
N
(4) mg sen
P 0
mg sen
(5)
P mg cos mg cos (0,6 L) 0,5 L (0,6 L)
donde 20º
9
rad
P 0,677 mg
en (5):
P
G
Movimiento de deslizamiento inminente: F f N
L/ 2
mg sen 20º 0,677 mg mg cos 20º
0,212
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18 Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Cap. 9 Fricción
Pág. 9-19
Ejemplo 9.18:
z
La varilla AB (longitud 10 m, peso W 50 kgf) está articulada mediante una rótula en B y simplemente apoyada sobre la superficie esférica rugosa en A (coeficiente estático de fricción 0,25 ). Se pide encontrar las reacciones en A y B para la posición de la barra en que se encuentra en estado de movimiento inminente.
A
1
0 m
B m O 4
y
= R
12 m
x
Fig. 3-84
z N C
Solución:
A
El extremo A de la varilla estará en algún punto sobre el cuarto de circunferencia CAD (radio r ), el cual está contenido en un plano vertical paralelo al plano cartesiano xz . El DCL de la varilla es el siguiente:
F f
0 m
G
E O
m 4
= R
r
D
B z
1
W
B B y
B x
12 m
x
Fig. 3-85
Para el triángulo OCB (contenido en el plano yz ) se cumple: C m 4
O
r
(4)2 (10)2 (12)2 2 (10) (12) cos cos 0,95 cos 18,19º
1 0 m
OE 12 10 cos 2,5 m
B
E 12 m
CE 10 sen 3,12 m
Fig. 3-86
r 3,12 m
Entonces:
r A ( x A , y A , z A ) ( x A ; 2,5 ; z A )
(1)
y además:
x A2 z A2 (3,12) 2
(2)
x A2 z A2 9,73
Las fuerzas que actúan sobre la varilla son:
Reacción en la rótula B:
Peso de la varilla:
Normal en A:
su dirección está dada por el radio OA de la esfera
B ( B x , B y , B z )
W 0 , 0 , 50 kgf
N N
( x A , y A , z A ) x A2 y A2 z A2
N
( x A , 2,5 , z A )
N N (0,32 x A ; 0,80 ; 0,32 z A )
Fuerza de fricción:
3,12 (3)
Dado que el punto A solamente puede resbalar a lo largo del cuarto de circunferencia CAD, entonces la fuerza de fricción estará contenida en el plano que contiene a dicho cuarto de circunferencia CAD y será tangente a ella en el punto A.
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19 Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
y
Cap. 9 Fricción
Pág. 9-20
F f F f ( sen ; 0 ; cos ) z C
A
F f
r
z A
cos
z A
F f 0, 25 N
3,12
E
y
3,12
x A
D
z A
z A
x
sen
donde: F f N 0,25 N
, 0,
x A r
xA 3,12
x A
3,12
F f N ( 0,08 z A ; 0 ; 0,08 x A )
(4)
Equilibrio del cuerpo rígido:
r A B
j
ˆ
1 1 ( r A r B ) r B ( r A r B ) 2 2
ˆ
4,75 0,5 z A 237,5 ; 25 x A ; 0 50 0
0 i
j
k
x A
9,5
z A
ˆ
k
ˆ
r G B W 0,5 x A
r A B N
( 3,84 N z A ; 0 ; 3,84 N x A )
0,8 N 0,32 N z A
i
j
k
x A
9,5
z A
0,08 N z A
0
0,08 N x A
ˆ
r A B F f
ˆ
ˆ
0,32 N x A
(5)
( x A ; 2,5 ; z A ) (0 , 12 , 0) 0,5 x A ; 4,75 ; 0,5 z A 2 r A r B ( x A ; 2,5 ; z A ) (0 , 12 , 0) ( x A ; 9,5 ; z A )
i
1
r G / B r G r B
donde:
r G B W r A B N r A B F f 0
M B 0 :
ˆ
ˆ
( 0,76 N x A ;
en (3) y ordenando:
2 0,08 N ( z A
( 0,76 N x A ; 0,08 N z A2 0,08 N x A2 ; 0,76 N z A )
2 x A );
( 2)
0,76 N z A ) ( 0,76 N x A ; 0,778 N ; 0,76 N z A )
237,5 3,84 N z A 0,76 N x A 0
(6)
25 x A 0,778 N 0
(7)
3,84 N x A 0,76 N z A 0
(8)
x A 0,605 m
resolviendo el sistema:
, z A 3,057 m
, N 19,44 kgf
N (3,76 ; 15,55; 19,02) kgf
en (3):
F f (4,75 ; 0 ; 0,94) kgf
en (4):
Ahora podemos determinar las reacciones en la rótula esférica:
F 0 : i
N F f W B 0
(3,76 ; 15,55; 19,02) ( 4,75 ; 0 ; 0,94) (0 ; 0 ; 50) ( B x ; B y ; Bz ) (0, 0, 0)
de donde:
B ( B x ; B y ; Bz ) (0,99 ; 15,55 ; 30,04) kgf
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20 Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Cap. 9 Fricción
Pág. 9-21
Ejemplo 9.22: Calcular la fuerza P que se debe ejercer sobre la cuña liviana (peso despreciable) para iniciar el movimiento del cilindro de masa 40 kg. Considere como coeficiente de fricción estático entre todas las superficies s 0,25 .
A
B
P 10°
Solución:
A continuación se muestran los diagramas de cuerpo libre del cilindro y de la cuña. Hay que tener en cuenta que si la cuña se mueve hacia la derecha, entonces el cilindro subirá. 10°
F f A
N B N A
O
R 10°
F f B
F f B
P 10°
W
N 1
10°
N 2
N 3
N B
Para el cilindro:
M 0 : F 0 : F 0 :
F f B R F f A R 0
O
F f A F f B
(1)
x
N A F f B cos 10º N B sen10º 0
(2)
y
F f A F f B sen10º N B cos 10º W 0
(3)
Para la cuña:
F 0 : x
P F f B cos 10º N B sen10º 0
(4)
Hay que notar que estas cuatro ecuaciones son válidas para cualquier condición de equilibrio. Caso 1: Supondremos rodadura pura en A:
F f A F f max A s N A
y al mismo tiempo deslizamiento inminente en B:
F f B s N B
(1) en (3):
F f B F f B sen10º N B cos 10º W 0
de (6):
s N B s N B sen10º N B cos 10º W 0
en (6) y (1):
F f A F fB 14,46 kgf
de (2):
N A F f B cos 10º N B sen10º
(5)
(6)
N B 57,85 kgf
N A 24,29 kgf
Ahora debemos verificar que se cumple la expresión (5): es decir,
¿ 14,46 0,25 (24,29) 6,072 ?
no!
Entonces debemos descartar la posibilidad de movimiento inminente analizada.
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21 Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Cap. 9 Fricción
Pág. 9-22
Caso 2: Supondremos rodadura pura en B:
F f B F f max B s N B
(7)
F f A s N A
(8)
y al mismo tiempo deslizamiento inminente en A: N A s N A cos 10º N B sen10º 0
(8) y (1) en (2):
s N A s N A sen10º N B cos 10ºW 0
(8) y (1) en (3):
N A 10,043 kgf
de donde:
y
N B 43,61 kgf
Ahora debemos verificar que se cumple la expresión (7): ¿ F f B F f A 0,25 (10,046) 0,25 (43,61) ?
es decir,
Finalmente en (4):
ok !
P 0,25 (10,046) cos 10º 43,61sen10º 0 P 10,04 kgf
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Cap. 9 Fricción
Pág. 9-23
Ejemplo 9.20: Calcular la fuerza P con la que se produce el movimiento inminente del cilindro de masa m 100 kg y radio r 0,4 m . Considere como coeficientes de rozamiento estático A 0,15 entre el cilindro y el piso y B 0,4 entre el cilindro y el elemento en L.
A B
O
A
P
20°
Solución: Los diagramas de cuerpo libre del elemento en L y del cilindro para cualquier posición de equilibrio estático son: y P B
x
F fB
N
x
F fB
A B
P
O mg
20°
20°
P
F fA A
20°
N
El análisis del cuerpo en L nos muestra que en el punto B se originan una fuerza normal y una fuerza de fricción. El equilibrio en la dirección x exige además que la fuerza normal sea P. Del DCL del cilindro:
F 0 : F 0 : M 0 : x
P F f A mg sen 20º 0
(1)
y
N A mg cos 20º F fB 0
(2)
O
F fB F fA
1ra. posibilidad:
F f B r F f A r 0 (3)
movimiento inminente de deslizamiento en B:
F f B 0,4 P (4)
y se debe cumplir que:
F f A F fA max 0,15 N A
(4) en (3):
F f A F f B 0,4 P (6)
(6) en (1):
P 0,4 P 980 sen 20º 0
en (2): en (6):
N A 980 cos 20º 0,4 P 0 F f B 0,4 P
(5)
P 559 N N A 1146 N
F f B 224 N
Se debe cumplir (5): F f A 225 0,15 N A 00,15 (1146) 172
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F f A 224 N
no!
23 Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Cap. 9 Fricción
Pág. 9-24
2da. posibilidad: movimiento inminente de deslizamiento en A: F f A F fA max A N A 0,15 N A
y se debe cumplir en B que:
(7)
F f B F f max B 0,4 P
(8)
(7) en (3):
F f A F f B 0,15 N A
en (1):
P 0,15 N A 980 sen 20º 0
(10)
en (2):
N A 980 cos 20º 0,15 N A 0
(11)
de (11):
N A 1085 N
en (10):
P 498 N
(9 )
(9)
F f A F f B 163 N
Se debe verificar (8): F f B 163 F f max B 0,4 (498) 199
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ok!
24 Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Cap. 9 Fricción
Pág. 9-25
Ejemplo 9.23:
15 cm
Calcular la fuerza P con la que se produce el movimiento inminente del sistema compuesto por una rueda cilíndrica de masa m 10 kg y radio r 15 cm y una caja de masa M 15 kg . Considere como coeficientes de rozamiento estático A 0,2 entre el cilindro y el piso y B 0,3 entre la caja y el piso.
P
A
C
c m 1 5
m c 0 3
A B
Solución: Los diagramas de cuerpo libre del cilindro y de la caja son: 15 cm
T
P
T
A
C
m c 0 3
G
1 5 c m
mg F f A
F f B
P
N A e
Rueda en equilibrio:
N B
F 0 : T F 0 (1) F 0 : N p mg 0 (2) M 0 T r F r P r 0 x
fA
y
A
C
fA
T F fA P 0
(3)
Suponiendo que la rueda está en estado de deslizamiento inminente: F fA F fA max A N A 0,2 N A
de (1) y (3):
2 T P y
en (2):
N A 0,4 N A 10 (9,8) 0
también 2 F fA P
F fA 32,67 N
en (4):
(4)
(1)
2 (0,2 N A ) P
N A 163,3 N
T 32,67 N
P 65,33 N
Ahora examinaremos si con T 32,67 N la caja desliza o vuelca:
F 0 : x
F 0 : y
F fB T 0 N B Mg 0
M
p
F fB 32,67 F fb max B N B N B 147 N
( 5)
… (5)
32,67 0,3 (147) 44,1
la caja no desliza!
0 : N B e Mg (0,075) T (0,30) 0
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25 Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Cap. 9 Fricción
Pág. 9-26
147 e 15 (9,8) (0,075) 32,67 (0,30) 0
Como e 0
caja no vuelca!
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e 0,0083 m
Respuesta: P 65,33 N
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