Capítulo 9. 1. La derivada.
Recuerde que la derivada
dx dt
se define como la velocidad del cambio de x con respecto al
tiempo. tiempo. Si x deja de cambiar, dx = 0 y la derivada es cero. cero.
Para la forma la forma de onda senoidal dx 0 solo en los picos positivo y negativo wt wt
3 2
2
dt
.
Cuando wt 0
y
wt 2
dx ,
dt
max
dx
0
dt
dx dt
max
dx dt
La forma de onda seno.
Recuerde que la derivada del seno del seno es el coseno. coseno.
Derivada de la onda seno.
1
0
y
2. Relación con la frecuencia. Al aumentar la frecuencia, la pendiente es más inclinada en la forma de onda seno. También, al aumentar la frecuencia, la pendiente es más inclinada en la forma de onda coseno.
La derivada de la onda seno (coseno) tiene el mismo período y frecuencia que la onda original. Al aumentar la frecuencia, la derivada de la onda seno produce un pico más grande pero tiene el mismo período y frecuencia que la original. Para el voltaje senoidal: e t Em sen t , su derivada es: d dx
e t Em cos t 2 f Em cos t
Observe que el valor pico de la derivada 2 f E mes una función de la frecuencia y que la derivada de una onda seno es una onda coseno. En la configuración serie de la figura, el voltaje velemento del elemento dentro del rectángulo sombreado se opone a la fuente e y así se reduce la magnitud de la corriente i. La oposición del elemento al flujo de carga o corriente i determina la magnitud del voltaje que pasa a través del elemento. 2
Onda seno.
-
e
Derivada de la onda seno
+
+
i
elemento
-
oposición
Resistor:
A frecuencias de línea de potencia y a frecuencias hasta de algunos cientos de kiloHertz , la resistencia, para todos los propósitos prácticos, no se ve afectada por la frecuencia del voltaje o de la corriente senoidal que se haya aplicado. Para v = V m sen wt : i
v R
Vm sen t R
Vm R
Hz V m
Donde: I m
V m R
, o bien Vm
Im R 3
sen t I m sen t
i R
En un elemento resistivo, el voltaje y la corriente que pasan a través del elemento están en fase con sus valores pico relacionados por la Ley de Ohm. Inductor:
Para el inductor de la figura: v L L di L
Aplicando diferenciación: Por consiguiente:
dt di L
L
Vm
L Im
Si X L L,
XL
dt
d I m sen t dt
,
iL
I m sen t
L
I m cos t
v L
L I m cos t Vm cos t Vm sen t 90 0
v L
dt
di L
V m I m
L
V m I m
ohm
Una curva de v L e i L revela que en un inductor , v L va 90º delante de i L, o bien, i L va 90º detrás de v L ( ELI ).
V m I m
Capacitor:
Para el capacitor de la figura: iC C
Aplicando diferenciales:
dvC dt
d Vm sen t dt
dvC dt
, vC
Vm sen t
ic
Vm cos t
dv
C Por consiguiente: iC C dt C Vm cos t
I m sen t 90º Donde: I m C V m Una curva de vC e iC revela que en un capacitor , iC va 90º delante de vC , o vC va 90º detrás de iC ( ICE ). 4
V m I m
Si X c
Vm I m
V m C Vm
v C i C
, entonces
X c
1 C
Ejemplo 1. Determine la expresión senoidal para la corriente si el resistor es de 10 y el voltaje es de: a) v = 100 sen 377 t b) v = 25 sen (377 t + 60º ) Solución: a) I m
V m R
100V 10
10 A , v e i están en fase y el resultado es: i = 10 sen 377 t
b) I m
V m R
25V 10
2.5 A , v e i están en fase y el resultado es: i = 2.5 sen (377 t + 60º)
Ejemplo 2. Determine la expresión senoidal para el voltaje si el resistor es de 5 y la corriente es de: i = 40 sen (377 t + 30º ) Solución: Vm I m R 40 A 5 200V, v e i están en fase y el resultado es: v = 200 sen (377 t +30º ) Ejemplo 3. Determine la expresión senoidal para el voltaje a través de una bobina de 0.1 H si la corriente es de: a) i = 10 sen 377 t b) i = 7 sen (377 t - 70º ) Solución: X L L 377 rad / s 0.1 H 37.7
5
a) Vm
I m X L 10 A 37.7 377.7V
y sabemos que en una bobina v va 90º delante de i ;
el resultado es: v = 377 sen (377 t + 90º ) b) Vm
I m X L 7 A 37.7 263.9V , v = 263.9 sen (377 t – 70º + 90º ) v = 263.9 sen (377 t + 20º )
Ejemplo 4. Determine la expresión senoidal para la corriente si la bobina es de 0.5 H y el voltaje es de: v= 100 sen (20 t ). Solución: X L
L 20 rad / s 0.5 H 10 y I m
V m X L
100V 10
10 A, sabemos que en una bobina la
corriente i va 90º detrás de v; el resultado es: i = 10 sen (20 t - 90º ). Ejemplo 5. Determine la expresión senoidal para la corriente si el capacitor es de 1 F y el voltaje es de: v = 30 sen 400 t Solución: X C
1 C
1
400rad / s 1 10
6
F
106 400
2500
y I m
V m X C
30V 2500
, 0.012 A 12 mA
Sabemos que en un capacitor i va 90º delante de v; el resultado es: i = 12 ×10
-3
sen (400 t + 90º ).
Ejemplo 6. Determine la expresión senoidal para el voltaje si el capacitor es de 100 F y la corriente es de: i = 40 sen (500 t + 60º ) Solución: X C
1
C
1
500rad / s 100 10 6 F
106 5 10 4
20
y Vm I m X C 40 A 20 800V
Sabemos que en un capacitor v va 90º detrás de i; el resultado es: v 800 sen 500t + 60º - 90º 800 sen 500t 30º
3. Respuesta a la frecuencia de los elementos básicos. Hasta ahora cada respuesta ha sido para una frecuencia establecida lo que resulta un nivel fijo de impedancia en cada uno de los elementos básicos. ¿Cómo afecta un cambio de frecuencia el nivel de impedancia? La última sección dejó claro que la reactancia de un inductor o de un capacitor es sensible a la frecuencia aplicada. ¿Cómo cambiarán esos niveles de reactancia si continuamos incrementando la frecuencia?
Para un resistor ideal podemos suponer que la frecuencia no tendrá ningún efecto en el nivel de impedancia. En la figura anterior se puede observar que a 5 kHz o 20 kHz la resistencia permanece en 22 .
6
R
f
(kHz )
Para el inductor ideal , para aislar el término de frecuencia, la ecuación se escribe así: X L = L = 2 f L = k f con k = 2 L ( pendiente) La inductancia determina la pendiente de la curva (recta) y en particular observe que en f = 0 Hz , la reactancia es 0 . Podemos concluir que: a una frecuencia de 0 Hz , un inductor adopta la característica de un corto circuito. Por el contrario, a muy altas frecuencias las características de un inductor son las de un circuito abierto. ( )
X
5000
4000
3000
L = 100 mH
2000
1000
L = 20 mH f 5
10
15
20
25
30
(kHz )
X L = 0 a f = 0
Para el capacitor ideal , la ecuación de la reactancia X c X c f
1 2 C
1 2 f C
se puede escribir así: k
k , la cual concuerda con la forma de una hipérbola: y x= k o y . x
En ella se puede observar que a 0 = Hz o cerca de 0 Hz , las características de un capacitor se aproximan a las de un circuito abierto. Por el contrario, a muy altas frecuencias el capacitor adoptas las características de un corto circuito.
7
X 5000
( ) 4000
3000
C = 0.01 F
2000
1000
C = 0.03 F
f 5
10
15
20
25
30
(kHz )
Respuesta práctica: En el proceso de fabricación, todo elemento resistivo hereda algunos niveles de capacitancia parásita e inductancia de adelanto. Por lo general, este tipo de resistores tienen las características ideales hasta los 15 MHz . En realidad, la inductancia puede verse afectada por la frecuencia, la temperatura y la corriente. La siguiente figura es un equivalente verdadero de un inductor .
Cp
Rs
L
La resistencia en serie Rs representa las pérdidas del cobre (muchas vueltas), las pérdidas por corrientes parásitas (cuando se aplica c.a.) y pérdidas por histéresis (rápida inversión del campo en el núcleo). Cp es la capacitancia parásita que existe entre los devanados. El capacitor no es ideal dentro del intervalo completo de frecuencias. Existe un punto (arriba de los 3.5 MHz ) donde adopta las características de un inductor .
Ls
Se agregó un inductor Ls para reflejar la inductancia entre las terminales del capacitor (0.05 H por cm) que puede ser importante a frecuencias muy altas. Rd y Rp son pérdidas por fricción molecular y por la resistividad del dieléctrico.
Rs
C
Rd
Rp
Ejemplo 7. ¿A qué frecuencia la reactancia de un inductor de 200 mH será igual al nivel de resistencia de un resistor de 5 k ? 8
Solución: La resistencia permanece constante a 5 k dentro del intervalo de frecuencia del inductor . Por consiguiente: R = X L = 5000 = 2 R = X L = L = 2 f L L f = 5000
2 (200 0.001 H ) f = 5000 1.257 f = 5000 f
5000 1.257
3980 Hz 3.98kHz
Ejemplo 8. ¿A qué frecuencia el inductor de 5 mH tendrá la misma reactancia que un capacitor de 0.1 F ? Solución: X L = X C 2 f L
1 2 f C
,
f2
1
, f 4 2 LC
1 2 LC
1
2
5 10 10 3
6
1 2 2.236 10 5
7.12 kHz
4. Potencia promedio y factor de potencia. Una pregunta común es: ¿cómo puede un voltaje o corriente senoidal suministrar potencia a una carga si parece que lo hace durante una parte de su ciclo y la retoma durante la parte negativa del ciclo senoidal?
Sin embargo hay una transferencia neta de potencia durante su ciclo completo porque se suministra potencia en cada instante del voltaje o corriente aplicados, independientemente de la dirección de la corriente o la polaridad del voltaje excepto cuando está cruzando el eje. 4A
v
v
R
2A
2
w t
0A
v
9
- 4A
R
Considere un voltaje senoidal pico de 8 V que se aplica a un resistor de 2 . I
v R
Aun cuando la corriente y el voltaje cambian de dirección y polaridad respectivamente, se suministra potencia a la carga resistiva en cada instante. El hecho de que la curva de potencia aparezca siempre por encima del eje horizontal, revela que se está suministrando potencia a la carga en cada instante del voltaje senoidal aplicado. La potencia es: P VI I 2 R . El valor promedio o real de potencia de la curva ocurre a un nivel igual a: P prom
Vm I m 2
2Vrms 2I rms 2
Vrms I rms
P 32
28
24
20
Promedio
16
12
Potencia suministrada
8
4
t π/2
Potencia devuelta a la fuente
π
3π/2
2π
-4
-8
Si el voltaje senoidal se aplica a una red con una combinación de componentes R, L y C , la ecuación instantánea de los niveles de potencia es más compleja. La potencia suministrada en cada instante es: p vi Vm sen t v I m sen t i Vm Im sen t v sen t i
Empleando identidades: p
Vm I m cos v
i
2
Vm I m cos 2t v
Valor fijo
i
2 variable con el tiempo
10
El segundo término es una onda coseno y su valor promedio es cero durante un ciclo y no produce ninguna transferencia neta de potencia en cualquier dirección. El primer término tiene una magnitud constante sin depender del tiempo y sí produce transferencia neta de potencia y es independiente de si v va a delante o detrás de i. Al definir | | tenemos: p
Vm I m cos
Vrms I rms cos
2
En un resistor : | |= 0; cos 0º = 1 En un inductor : | | = 90º; cos 90º = 0 En un capacitor : | | = 90º; cos 90º = 0
Ejemplo 9. Determine la potencia promedio disipada en una red cuya corriente y voltaje son los siguientes: i = 5 sen ( t +40º ), v = 10 sen ( t + 40º ) Solución: Como v e i están en fase, el circuito parece ser puramente resistivo en las terminales de entrada. Por consiguiente: P
Vm I m
R
v
2 i
cos
10V 5A
10V 5 A 2
2 , P
cos0º 25W
2 V rms
R
2 P I rms R 0.7071 5 A
2
2
0.7071 10V 25W 2
2 25W
Ejemplo 10. Determine la potencia promedio suministrada a redes que cuentan con los siguientes voltajes y corrientes de entrada: v = 100 sen ( t +40º ), i = 20 sen ( t +70º ) Solución: V m = 100 V, v = 40º ; I m = 20 A, i = 70º | | = 40º - 70º = -30º = 30º P
Vm I m 2
cos
100V 20A 2
cos 30º 866W
Ejemplo 11. Determine la potencia promedio suministrada a redes que cuentan con los siguientes voltajes y corrientes de entrada: v = 150 sen ( t - 70º ), i = 3 sen ( t - 50º ) Solución: V m = 150 V, v = -70º ; I m = 3A, i = -50º | | = - 70º - (-50º )= -20º = 20º P
Vm I m 2
cos
150V 3A 2 11
cos 20º 211.43W
Factor de potencia.
En la ecuación P
Vm I m 2
cos el factor que tiene un control significativo sobre el nivel de
potencia suministrada es el cos . Si cos = 0, la potencia es nula; si cos = 1, la potencia suministrada es máxima sin importar qué tan grande sea el voltaje o la corriente. A esta expresión se le da el nombre de factor de potencia. F p
cos
En función de la potencia promedio y el voltaje y la corriente terminales: P F p cos Vrms I rms Para una carga puramente resistiva, el ángulo de fase entre v e i es de 0º y F p = cos = cos 0º = 1. La potencia suministrada es un máximo de: P
Vm I m 2
cos
100 V 5 A 2
cos0º 250W
5A R
100 V
20
Para una carga puramente reactiva (inductiva o capacitiva), el ángulo de fase entre v e i es de 90º y Fp = cos = cos 90º = 0. De este modo, la potencia suministrada es el valor mínimo de 0 W aun cuando la corriente tenga el mismo valor pico de la figura anterior. I m = 5 A E m =100 V
XL
20
Si la corriente se adelanta respecto al voltaje a través de una carga, se dice que la carga tiene un factor de potencia de adelanto. Si la corriente se retrasa respecto al voltaje a través de una carga, entonces la carga tiene un factor de potencia de retraso. Las redes capacitivas tienen factores de potencia de adelanto y las inductivas de retraso. i = 2 sen ( t + 40º)
+ Carga
v = 50 sen ( t - 20º)
-
12
Ejemplo 12. a) Determinar los factores de potencia de los siguientes cargas e indique si son de adelanto o atraso. Ver figura anterior. Observe que la corriente va adelante del voltaje. F p
cos cos 40º 20º cos60º 0.5 adelanto
b)
v = 120 sen ( t + 80º ) i = 5sen ( t + 30º )
i
v
Observe que la corriente va retrasada respecto del voltaje. F p
cos cos 80º 30º cos50º 0.64 retraso
c) I ef = 5 A
+ Carga P=100 W
V ef = 20 V
-
F p
cos
P Vef I ef
100W
20V 5 A
1 . La carga es resistiva.
5. Números complejos.
X Z Y
Forma rectangular
Forma polar 13
Un número complejo representa un punto en el plano bidimensional. El eje horizontal se denomina eje real y el vertical se llama eje imaginario.
Forma rectangular: C = X + jY
Forma polar: C = Z
Conversión de rectangular a polar: Z
Conversión de polar a rectangular: X = Z cos ,
Y X 2 Y 2 , tan 1 X
Y = Z sen
Ejemplo 13: Convierta de forma rectangular a la forma polar: 3 + j4 Solución:
Y 2 32 4 2 25 5 Y 4 tan 1 tan 1 53.13º X 3 C 553.13º
Z
X2
Ejemplo 14: Convierta de la forma polar a la rectangular: 10 45º Solución: X = Z cos = 10 cos 45º = 10 (0.7071) = 7.071 Y = Z sen = 10 sen 45º = 10 (0.7071) = 7.071 C = 7.07 +j7.07 Ejemplo 15: Convierta a la forma polar: -6 + j3 Solución: Z
2
X 2 Y 2 6 3 2 45 6.71
Y tan 1 3 26.57 º 180º 153.43º 6 X C 6.71153.43º
tan 1
Ejemplo 16: Convierta a la forma rectangular: 10 230º Solución: X = Z cos = 10 cos 230º = 10 (0.6428) = -6.428 Y = Z sen = 10 sen 230º = 10 (0.7660) = -7.660 C = -6.43 - j7.66 Para tener en cuenta:
1,
j2
1,
j3
j 2 j j,
j4
j 2 j2
1
La unidad imaginaria: j
Conjugado complejo: C = X + jY es C = X - jY o C = Z es C = Z - El conjugado de 2 + j3 es 2 – j3. El conjugado de 2 30º es 2 -30º. 14
Recíproco:
1 X
jY
o
1 Z
El recíproco de 2 + j3 es
1 2 j3
. El recíproco de 2 30º es
1 230º
.
- C = - Z = Z ± 180º representa:
C
-C
Suma:
C 1 = ± X 1 ± jY 1 ,
C 2 = ±X 2 ± jY 2 C 1 + C 2 = (± X 1 ± X 2) + j(±Y 1 ± Y 2)
Ejemplo 17: Sumar: C 1 = 3 + j6 y C 2 = 2 + j4 Solución: C 1 + C 2 = (3 + 2) + j(6 + 4) = 5 + j10 Resta:
C 1 = ± X 1 ± jY 1 ,
C 2 = ±X 2 ± jY 2 C 1 - C 2 = [± X 1 - (± X 2)] + j[±Y 1 - (± Y 2)]
Ejemplo 18: Restar: C 1 = 3 + j6 y C 2 = 2 + j4 Solución: C 1 - C 2 = (3 - 2) + j(6 - 4) = 1 + j2 La adición o sustracción no puede realizarse en forma polar a no ser que los números complejos tengan el mismo ángulo . Multiplicación:
C 1 = X 1 + jY 1 ,
C 2 = X 2 + jY 2
C 1 × C 2 = [ X 1 X 2 – Y 1 Y 2] + j[ X 2 Y 1 + X 1 Y 2] C 1 =Z 1 1 y C 2 = Z 2 2 C 1 C 2 = Z 1 Z 2 1 + 2 Ejemplo 19: Multiplicar: C 1 = 3 + j6 y C 2 = 2 + j4 15
Solución: C 1 C 2 = (3 2 – 6 4) + j(2 6 + 3 4) = -18 + j24 Ejemplo 20: Multiplicar: C 1 = 5 20º y C 2 = 3 30º Solución: C 1 C 2 = 5 3 20º + 30º = 15 50º División: C 1 = X 1 + jY 1 ,
C 2 = X 2 + jY 2 C1 C2
X 1 jY1 X2
jY2
X2 X2
jY2 jY2
X 1 X 2 Y1Y2 j Y1 X 2 X 1Y 2 X 22 Y22
C 1 =Z 1 1 y C 2 = Z 2 2 C1 C2
Z 1 Z 2
1 2
Ejemplo 21: Dividir: C 1 = 3 + j6 y C 2 = 2 + j5 Solución: C 1 C2
3 j6 2 j5
2 j5 2 j5
3 2 6 5 j 2 6 3 5 36 j3 36 3 j 1.24 2 2 2 5 4 29 29 29
j0.103
Ejemplo 22: Dividir: C 1 = 5 20º y C 2 = 3 30º Solución: C 1 C2
5
20º 30º 1.66 10º 1.66 350º 3
6. Fasores. La adición de voltajes y corrientes senoidales se requiere con frecuencia en el análisis de circuitos de c.a. Realizar esta operación es colocar ambas formas de onda en el mismo sistema de ejes y sumar algebraicamente las magnitudes de cada una en cada punto. Sin embargo es un proceso largo, tedioso y con precisión limitada.
Suponga que desea sumar punto a punto dos voltajes: v1 = 2 sen ( t + 90º ) y v2 = 1 sen t Si convertimos v1 y v2 a la forma fasorial : v Vm sen
t V
m
v1 v2 2V 90º 1V 0º ?
Y los sumamos por medio del álgebra de números complejos y se convierte al dominio del tiempo y trazarlo en el mismo sistema de ejes.
16
v
w t
2 cos 90º j 2sen 90º 1cos 0º j1sen 0º j 2 1 1 2 Z 12 2 2 5 2.236, tan 1 63.43º 1 v1 v2 2V 90º 1V 0º 2.236 63.43º
j2
Se construye entonces el diagrama fasorial.
v1 = 2 V 90
vt = 2.236 63.43
v2 = 1 V 0º Por consiguiente, para la suma de dos senoides deberá convertirse primero al dominio fasorial y determinar la suma con álgebra de números complejos y luego convertirla al dominio del tiempo. En general, en todos los siguientes análisis, la forma fasorial de un voltaje o corriente senoidal será: V
V y I I
Donde V e I son los valores rms y es el ángulo de fase. En álgebra fasorial , para convertir cantidades senoidales es aplicable sólo para formas de onda que tienen la misma frecuencia. En caso de dos funciones senoidales con ángulos de fase diferentes de 0º y 90º se actúa de manera similar. 17
i
w t
it = 10.63 A 46.40
i2 = 6 A 60
i1 = 5 A 30
5 A30º 6 A60º 10.6346.40º
Ejemplo 23: Convierta los siguientes fasores del dominio del tiempo al dominio fasorial : a)
2 5 0 sen t
b) 69.6sen t 72º c)
45 cos t
Solución: (dominio fasorial ) a) 50 0º b) (0.7071)(69.6 ) 72º = 49.21 72º c) (0.7071)(45) 90º = 31.82 90º Ejemplo 24: Escriba la expresión senoidal para los siguientes fasores si la frecuencia es de 60 Hz . a) I = 10 30º 18
b) V = 115 -70º Solución: (dominio del tiempo) a) i 2 10 sen 2 60t 30º 14.14 sen 377 t 30º b) v 2 115 sen 377t 70º 162.6sen 377t 70º
19