Resistencia de Materiales. Capítulo VIII. Esfuerzos y deformaciones.
CAPÍTULO VIII ESFUERZO Y DEFORMACIÓN 8.1.
Esfuerzo
Al aplicar un par de fuerzas F a un sólido de área A 0, es posible definir el esfuerzo ingenieril i como: F
i
A0
que se expresa en: MPa,
kg/mm2,
kg/cm2, F
N/m2,
lbf/in2
A
A0
L0
Lf
Figura 8.1. Esfuerzo y deformación.
8.2.
Deformación
Producto de la aplicación de un esfuerzo a un sólido de longitud L 0, se produce un alargamiento hasta una longitud L f. La deformación deformación ingenieril i se define como: i
L f L0
L0
L0
La deformación es una cantidad adimensional .
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8.3
Diagrama Esfuerzo – Deformación ESFUERZO
UTS
ZONA PLASTICA
LIMITE ELASTICO
E
ZONA ELASTICA DEFORMACION ALARGAMIENTO A
ROTURA
Figura 8.2. Diagrama esfuerzo-deformación.
Zona elástica: En esta zona, existe una relación lineal entre esfuerzo y deformación. La relación que vincula ambas variables es la ley de Hooke, que se puede escribir como: =E E se denomina Módulo elástico o módulo de Young. Zona plástica: Corresponde la zona de la curva esfuerzo-deformación asociada con deformaciones permanentes. Esto significa que al retirar el esfuerzo, la deformación remanente del sólido es distinta de cero. Como primera aproximación, puede considerarse que la parte no lineal de la curva esfuerzodeformación es la que representa a la zona plástica.
El límite entre la zona elástica y la zona plástica se denomina límite elástico. En aquellos casos en que la transición elasto-plástica no es lo suficientemente clara, se define el límite elástico convencional como el valor del esfuerzo que produce una deformación plástica de 0,2%. Para encontrar este valor se traza una línea paralela a la zona elástica que pase por 0,2% de deformación el punto en donde dicha línea corte a la curva -E corresponde al límite elástico convencional Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ing. Dpto de Ing. Metalúrgica . Alberto Monsalve G.
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Zona de deformación homogénea: corresponde a la deformación producida antes del máximo de la curva esfuerzo ingenieril-deformación ingenieril (denominado UTS: ultimate tensile strength).
La zona de deformación heterogénea corresponde a la deformación producida después del UTS. En la tabla adjunta se muestran valores típicos de módulo de elasticidad y de límite elástico para algunos materiales comunes en ingeniería. E (GPa)
Límite elástico (MPa)
Aluminio
70
120 - 500
Acero
200
200 – 2000
Cobre
130
170 – 1000
Titanio
120
300 – 1000
¿cuál es el límite elástico del material cuyo diagrama esfuerzo-deformación se muestra en la figura?
x
Figura 8.3. Diagrama esfuerzodeformación con transición elastoplástica continua.
Límite elástico convencional
Figura 8.4 Definición del límite elástico convencional
0,2% 0.002
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La deformación homogénea ocurre sobre todo el largo de la probeta. La deformación heterogénea ocurre en un sitio determinado del material llamado cuello. Dicho cuello comienza a formarse en el UTS. La importancia del diagrama esfuerzo-deformación radica en que permite conocer el comportamiento mecánico de un determinado material con el fin de utilizar dicho material en aplicaciones ingenieriles de una forma segura. 8.4 Módulo de Poisson
Al traccionar un sólido, éste se alarga en la dirección longitudinal y se contrae en la dirección transversal.
transversal longitudinal
0.25
0.33
8.5. Esfuerzos cortantes
Aparecen cuando las fuerzas que actúan sobre un cuerpo tienden a hacer deslizar una cara contra la otra de la sección donde actúa la fuerza.
viga en voladizo
F
A
A: área sobre la que actúa la fuerza Área paralela a la fuerza
pasador
Figura 8.5. Ejemplos de esfuerzo cortante. Fuerza paralela al área.
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Problema 8.1: El elemento AC del sistema mostrado en la figura, está montado con pasadores en sus dos extremos como se muestra en el detalle adjunto. La barra AC tiene dimensiones 30 X 6 mm y los pasadores son de 20 mm de diámetro. Determinar la carga admisible P limitada por la barra AC y sus conexiones. Los esfuerzos permisibles son de 1500 kg/cm 2 para tracción, 2300 kg/cm 2 para esfuerzo de compresión, y 700 kg/cm 2 para esfuerzo cortante . Detalle X e Y A X
1m
C
Y
B
2m
1m
P
Figura 8.6(a). Problema 8.1.
Solución:
Área de la barra = 3 X 0.6 = 1.8 cm 2 Área del pasador = R2 = 3.14 cm2 F
5 1 a
2
c
1500 2300 700
kg / cm 2 kg / cm 2
F
kg / cm 2
Figura 8.6(b). Problema 8.1.
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a
arctg 1 2 a 26.6º 2 P 3 0
M B 0 F sen 26.6º 2
i)
- P 3 = 0
P = 2/3 F sen26.6º
Tracción en la barra AC
F
F máx
Abarra
2700
F máx
kg P máx
Abarra 1500 1.8 2700 kg 806
kg
ii) Tracción en la zona de pasador 6
Figura 8.6(c). Problema 8.1. 30
F
A1 A2
A2
15006 5 6 5 10
F 900 kg P máx
2
268,7 kg
20
30
Figura 8.6(d). Problema 8.1.
A1
iii)
Corte en los pasadores
F A
F A ad m
A pa sa do r 2
F 700 1 2 4398 kg Pmáx 1313 kg
iv) Por aplastamiento en los agujeros de apoyo de los pasadores en la barra AC, tomando la mitad de éste ya que se supone que el apoyo solamente actúa sobre la mitad. (En realidad la carga no se distribuye uniformemente sobre esta mitad del Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ing. Dpto de Ing. Metalúrgica . Alberto Monsalve G.
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orificio, sino que va aumentando desde cero en el centro, marcado con A en la figura, hasta un máximo en el extremo de apoyo, letra B).
20
B A
A0 6
F
P máx
2 0.6
c
A
1.2
cm 2
2300 1.2
2760
kg
824 kg
Figura 8.6(e). Problema 8.1.
La carga máxima que se puede aplicar está condicionada por la tracción en la zona del pasador.
Problema 8.2: Una tubería continua es soportada sujetando una cuerda de 2m de longitud entre dos postes separados 1.5m, como se muestra en la figura. La tubería pesa 6 kg/cm 2. ¿A que separación deberán colocarse los postes a lo largo de la longitud de la tubería?
Figura 8.7(a). Problema 8.2.
Solución :
6 kg / m
2 A d
4
d 1,2 cm 83,7 kg / cm2 1.2
2
4
1.13cm
2
F máx
94.6 kg
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0.75
a
arc
90
cos 0.75
41,4
41,4º
a
48.6º 1
P
Figura 8.7(b). Problema 8.2.
T 2
4 8 . 6 º
T 1
F y
0
T 1 cos 48.6º T 2 cos 48.6º W W
W
Pero Tmáx = 94,6
W
L
8.6.
0
T T cos 48.6º 1
2
W 94.6 94,6 cos 48,6
W
125,12
125.12 kg
L
125.12 6
L
20,8 m
Elasticidad
Es la propiedad que hace que un cuerpo que ha sido deformado recupere su forma original al serle retiradas las cargas. 8.7.
Relación entre esfuerzos y deformación
La ley que relaciona el esfuerzo con a deformación es la ley de Hooke, que se puede escribir como: = E
en que : esfuerzo : deformación
E: módulo de elasticidad o módulo de Young A partir de la ley de Hooke es posible hallar el cambio de largo a través de:
E
P A
E
L
PL AE
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8.8.
Tensiones de origen térmico
Los cambios de temperatura provocan dilataciones y contracciones a los materiales. La deformación de origen térmico viene dada por: T a L T
en que: a
:
coeficiente de dilatación lineal ºC
L
:
longitud
:
cambio de temperatura (ºC)
T
(cm, mm...)
La deformación total que experimenta un material es la suma de la deformación mecánica y la de origen térmico: TOTAL
PL AE
a L T
Problema 8.3:
A una temperatura de 20º C se coloca una plancha rígida que pesa 60.000 kg sobre dos varillas de bronce y una de acero como se indica en la figura. ¿A qué temperatura quedará descargada la varilla de acero? W = 60 ton
Datos bronce 25 cm
Acero: A = 25 cm2 E = 2,1 106 kg/cm2 = 1,17 10-5 ºC-1
a
Bronce: A = 25 cm2 5 cm
E = 8,4 105 kg/cm2 acero
= 1,89 10-5 ºC-1
a
Figura 8.8. Problema 8.3.
Solución: El bronce se estira más que el acero. Por tanto, a alguna temperatura ocurrirá que
acero térmico = bronce total
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P
W 2
a L T
acero
5
1.17 10
PL a L T AE bronce 5
30 T 1,89 10
T 294º C
25 T
30.000 25 5
25 8,4 10
T 20 294 T 314º C
Problema 8.4: empotrada
T = + 20ºC
= 0
T = -20ºC P
Figura 8.9. Problema 8.4.
A 20ºC la varilla de 2.5m toca la pared de la derecha con = 0. Baja la temperatura a – 20ºC, la barra se contrae. ¿Qué fuerza P hay que hacer para volver a juntar la barra de acero con la pared derecha? = 11.7 10-6 ºC-1
E = 200 GPa
a
A = 1200 mm2
Solución: a T L0 T E
P L0
P
L0
P A L0
E
T P a T L0
E
PL0 AE
PL0 AE
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P a T A E 11.7 10
6
40 1200 10
6
200 10
9
3
112,3 10 N
8.9.
Torsión
Es la respuesta a los esfuerzos producidos por los pares o momentos que actúan sobre un elemento. Este tipo de esfuerzos se encuentran por lo general en elementos de sección circular, aunque se pueden producir en elementos con cualquier tipo de sección. La torsión genera un esfuerzo de corte definido por Mr
J
:
esfuerzo cortante máximo
M :
momento aplicado
r :
radio de la sección circular
J :
momento polar de inercia de la sección
Problema 8.5: El eje de la figura es macizo desde A hasta B, con un diámetro de 75 mm y hueco desde B hasta C con un diámetro interior de 50 mm. Si el esfuerzo permisible es de 700 kg/cm 2, determinar el valor máximo de T.
1,5 T
0,5 T A
B
T
Figura 8.10. Problema 8.5. C
Sección maciza
J
R
4
2
310.6 cm
4
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Mr J
700 1,5 T 3,75 / 310,6 T 38652,4 kg
J R 4
J = 249,3 cm4
r 4 / 2 3,754
4
2,5 / 2
700 = T3,75/249,3 T = 46.536 kg
La sección maciza es la que limita el valor de T. 8.10. Ángulo de torsión
Cuando un eje se somete a torsión, el elemento se deforma produciéndose una rotación en torno a su eje longitudinal.
Figura 8.11. Ángulo de Torsión.
En el eje de la figura, que está sometido a torsión, se aprecia la deformación producida por los pares aplicados. El ángulo que gira el elemento se puede calcular a través de:
ML
JG
en que M :
par o momento que actúa sobre el elemento (kg m)
L :
longitud del elemento (m)
J :
momento polar de inercia de la sección (m4)
G :
módulo de corte (kg/m2)
:
ángulo de torsión (rad)
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Problema 8.5: Determinar el diámetro necesario de un eje macizo de aluminio. El par aplicado es de 1000 kg cm, la longitud es de 1m y el ángulo de torsión permisible es de 1/12 rad. Solución
Datos
M = 1000 kg cm L=1m = 1/12 rad
Gal = 2790 kg/cm2 J
R
4
2
ML
J
4
2 ML G
2 1000 100
4
ML
G
2 1 12
D
4
G
JG R
R
ML
4,06 m
2790
8.12m
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