Esfuerzo y Deformación – Carga Axial
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Esfuerzo & Deformación: Carga Axial Deformación Normal Ensayos de Esfuerzo-Deformación Diagrama Esfuerzo-Deformación: Material Dúctil Diagrama Esfuerzo-Deformación: Material Frágil Ley de Hooke: Modulo de Elasticidad Comportamiento Elástico vs. Plástico Fatiga Deformación bajo Carga Axial Ejemplo 2.01 Problema modelo 2.1 Indeterminación estática Ejemplo 2.04 Esfuerzo Térmicos Relación de Poisson
• Ley generalizada de Hooke • Dilatación: Módulo de compresibilidad • Deformación Cortante • Ejemplo 2.10 • Relación entre E, n, y G • Problema modelo 2.5
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Introducción. Esfuerzo y Deformación: Carga Axial • En el capitulo 1 se estudiaron los esfuerzos que las cargas aplicadas a una estructura o máquina crean en varios elementos y conexiones, y si estos esfuerzos producían o no fallas en ellos. • Lo adecuado de una estructura o maquina puede depender tanto de las deformaciones en la estructura así como en los esfuerzos inducidos al someterla a carga. No siempre es posible determinar las fuerzas en los elementos de una estructura aplicando únicamente un análisis estático • Considerar las estructuras como deformables permite la determinación de fuerzas y reacciones en los miembros las cuales son estáticamente indeterminadas. • La determinación de la distribución de esfuerzos dentro de un elemento también requiere la consideración de deformaciones en el elemento. • En el capitulo 2 se estudian las deformaciones en un elemento estructural sometido a carga axial. En capítulos subsiguientes se tratara con cargas de torsión (momentos de torsión) y de flexión pura. 2-3
Deformación normal bajo carga axial
P esfuerzo A
L
deformación normal
2P P 2A A
L
P A 2 2L L
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Ensayos de Esfuerzo-Deformación
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Diagrama Esfuerzo-Deformación: Materiales Dúctiles
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Diagrama Esfuerzo-Deformación: Materiales Frágiles
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Ley de Hooke: Modulo de Elasticidad
• Por debajo del esfuerzo de fluencia E E Modulo de Young o Modulo de Elasticidad
• La resistencia es afectada por las aleaciones, tratamientos térmicos y procesos de manufactura mas no así la rigidez (Modulo of Elasticidad).
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Comportamiento Elástico vs. Plástico • Si la deformación desaparece al quitar la carga, se dice que el material se comporta elásticamente. • El máximo valor de esfuerzo para el cual esto ocurre es llamado limite elástico. • Cuando la deformación no vuelve a cero al quitar la carga, el material se dice que se comportan plásticamente.
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Fatiga • Propiedades de fatiga se muestran en los diagramas de σ-n. • Un miembro puede fallar debido a fatiga en niveles de esfuerzo significativamente por debajo del límite de resistencia si es sometido a muchos ciclos de carga.
• A medida que se reduce el esfuerzo máximo, el numero de ciclos aumenta hasta alcanzar el límite de fatiga. • Cuando el esfuerzo se reduce por debajo del límite de fatiga, no ocurren fallas de fatiga para cualquier número de ciclos. 2 - 10
Deformación bajo Carga Axial • De la Ley de Hooke:
E
E
P AE
• De la definición de deformación:
L
• Igualando y resolviendo para la deformación, PL AE • Si la barra consta de varias secciones con diferentes cargas y propiedades de material, PL i i i Ai Ei 2 - 11
Ejemplo 2.01 SOLUCIÓN: • Dividir la barra en componentes en los puntos de aplicación de la carga. 6
E 29 10
psi
D 1.07 in. d 0.618 in.
Determinar la deformación de la barra de acero mostrada bajo las cargas dadas.
• Aplicar un análisis de cuerpo libre de cada componente para determinar la fuerza interna
• Evaluar el total de los alargamientos del componente.
2 - 12
SOLUCIÓN: • Dividir la barra en tres componentes:
• Aplicar análisis de cuerpo libre a cada componente y determinar las fuerzas internas, P1 60 103 lb P2 15 103 lb P3 30 103 lb
• Evaluar el alargamiento total, Pi Li 1 P1L1 P2 L2 P3 L3 A E E A A A i i i 1 2 3
60 103 12 15 103 12 30 103 16 6 0.9 0.9 0.3 29 10 1
75.9 103 in. L1 L2 12 in.
L3 16 in.
A1 A2 0.9 in 2
A3 0.3 in 2
75.9 103 in. 2 - 13
Problema modelo 2.1 SOLUCIÓN : • Aplicar un análisis de cuerpo libre a la barra BDE para encontrar las fuerzas ejercidas por los eslabones AB y DC.
La barra rígida BDE se apoya por dos eslabones AB y CD. El eslabón AB es de • Evaluar la deformación de los eslabones AB y DC o los aluminio (E = 70 GPa) y tiene una sección desplazamientos de B y D. transversal de 500 mm2. El eslabón CD es de acero (E = 200 GPa) y tiene una • Trabajar con la geometría para sección transversal de 600 mm2. Para la encontrar la deflexión de E dadas fuerza de 30 kN mostrada, halle la las desviaciones en B y D. deflexión a) de B, b) de D y c) de E.
2 - 14
Problema modelo 2.1 SOLUCIÓN: Diagrama de cuerpo libre: Barra BDE
Desplazamiento de B: B
PL AE
60 103 N 0.3 m 50010-6 m2 70 109 Pa 514 10 6 m
MB 0 0 30 kN 0.6 m FCD 0.2 m FCD 90 kN tension
B 0.514 mm
Desplazamiento de D: D
PL AE
0 30 kN 0.4 m FAB 0.2 m
90 103 N 0.4 m 60010-6 m2 200109 Pa
FAB 60 kN compression
300 10 6 m
MD 0
D 0.300 mm 2 - 15
Problema modelo 2.1 Desplazamiento de E: BB BH DD HD 0.514 mm 200 mm x 0.300 mm x x 73.7 mm
EE HE DD HD
E 0.300 mm
400 73.7 mm 73.7 mm
E 1.928 mm
E 1.928 mm 2 - 16
Indeterminación estática • Las estructuras en las cuales las reacciones y fuerzas internas no pueden determinarse solo de la estática se dice que son estáticamente indeterminadas. • Una estructura será estáticamente indeterminada siempre que tenga más apoyos de los que son necesarios para mantener su equilibrio.
• Las reacciones redundantes se reemplazan con cargas desconocidas que, junto con las otras cargas, deben producir deformaciones compatibles. • Las deformaciones debido a cargas reales y reacciones redundantes se determinan por separado y luego son añadidas o superpuestas.
L R 0 2 - 17
Ejemplo 2.04
Determinar las reacciones en A y B para la barra de acero y la carga mostradas, asumiendo que ambos soportes estaban fijos antes de que se aplicarán las cargas. SOLUCIÓN: • Considere la reacción en B como redundante, libere la barra de ese apoyo y resuelva para el desplazamiento en B debido a las cargas aplicadas. • Resuelva para el desplazamiento en B debido a la reacción redundante en B.
• Imponga que los desplazamientos debido a las cargas y a la reacción redundante deben ser compatibles, es decir, se requiere que su suma sea cero. • Resuelva para la reacción en A debido a las cargas aplicadas y a la reacción encontrada en B. 2 - 18
Ejemplo 2.04 SOLUCIÓN : • Resuelva para el desplazamiento en B debido a las cargas aplicadas con la restricción redundante liberada, P1 0 P2 P3 600 103 N A1 A2 400 10 6 m 2
P4 900 103 N
A3 A4 250 10 6 m 2
L1 L2 L3 L4 0.150 m Pi Li 1.125109 L A E E i i i
• Resuelva para el desplazamiento en B debido a la restricción redundante, P1 P2 RB A1 400 10 6 m 2 L1 L2 0.300 m
A2 250 10 6 m 2
Pi Li 1.95 103 RB δR A E E i i i
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Ejemplo 2.04 • Imponga que los desplazamientos debido a las cargas y a la reacción redundante sean compatibles, L R 0
1.125109 1.95 103 RB 0 E E RB 577 103 N 577 kN
• Encuentre la reacción en A debido a las cargas y a la reacción en B Fy 0 RA 300 kN 600 kN 577 kN RA 323kN
R A 323kN RB 577 kN 2 - 20
Esfuerzos Térmicos • Un cambio en temperatura resulta en un cambio en la longitud o en una deformación térmica. No hay ningún esfuerzo asociado con la deformación térmica a menos que la elongación sea restringida por los apoyos. • Trate el apoyo adicional como redundante y aplique el principio de superposición. T T L
P
coeficiente de expansión térmica.
PL AE
• La deformación térmica y la deformación del apoyo redundante deben ser compatibles.
T P 0 T L
PL 0 AE
T P 0 P AE T
P E T A 2 - 21
Relación de Poisson • Para una barra delgada sometidos a carga axial:
x
x E
y z 0
• La elongación en la dirección x es acompañada por una contracción en las otras direcciones. Suponiendo que el material es isotrópico (propiedades independientes de la dirección),
y z 0 • La relación de Poisson se define como
y deformación lateral n z deformación axial x x • Combinando estas ecuaciones, las relaciones que describen la deformación bajo carga axial en el eje x son: x
x E
y z
n x E
2 - 22
Ley de Hooke generalizada • Para un elemento sometido a carga multi-axial, las componentes de la deformación normal resultante de los componentes de esfuerzo pueden determinarse de el principio de superposición. Para esto se requiere cumplir las condiciones: 1) la deformación esta linealmente relacionado al esfuerzo aplicado 2) las deformaciones resultantes son pequeñas
• Con estas restricciones se encuentra que:
x n y n z
x
E
y z
n x E
E
y n z E
n x n y E
E
E
E
z E
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Dilatación: Módulo de compresibilidad • Respecto a un estado sin esfuerzo, el cambio de volumen es e 1 1 x 1 y 1 z 1 1 x y z x y z 1 2n x y z E dilatación (cambio en volumen por unidad de volumen)
• Para un elemento sometido a presión hidrostática uniforme, e p k
3 1 2n E
p k
E módulo de compresibilidad 3 1 2n
• En elementos sujetos a presión uniforme, la dilatación debe ser negativa, por lo tanto 0 n 12
Deformación Cortante • Un elemento cúbico sometido a una tensión de corte se deforma en un romboide. La tensión cortante correspondiente se cuantifica en términos del cambio del ángulo entre los lados,
xy f xy • Un gráfico de tensión de corte vs deformación cortante es similar a los gráficos anteriores de tensión normal vs deformación normal salvo que los valores de resistencia son aproximadamente la mitad. Para pequeñas deformaciones,
xy G xy yz G yz zx G zx donde G es el módulo de rigidez o módulo de distorsión. 2 - 25
Ejemplo 2.10 SOLUCIÓN: • Determine la deformación angular o deformación cortante promedio del bloque.
Un bloque rectangular de un material con módulo de rigidez G = 90 ksi es pegado a dos placas horizontales rígidas. La placa inferior está fija, mientras que la placa superior está sometida a una fuerza horizontal P. Sabiendo que la placa superior se mueve 0.04 pulg bajo la acción de la fuerza, determinar a) la deformación cortante promedio en el material y b) la fuerza P ejercida sobre la placa.
• Aplique la ley de Hooke para esfuerzos y deformaciones cortantes para encontrar los esfuerzos cortantes correspondientes. • Utilice la definición de esfuerzo cortante para encontrar la fuerza P.
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• Determine la deformación angular o deformación cortante promedio del bloque. xy tan xy
0.04 in. 2 in.
xy 0.020 rad
• Aplique la ley de Hooke para esfuerzos y deformaciones cortantes para encontrar los esfuerzos cortantes correspondientes.
xy G xy 90 103 psi 0.020 rad 1800psi
• Utilice la definición de esfuerzo cortante para encontrar la fuerza P. P xy A 1800psi 8 in.2.5 in. 36 103 lb
P 36.0 kips
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Relación entre E, n, y G • Una barra delgada cargada axialmente se alargará en la dirección axial y contraerá en las direcciones transversales. • Un elemento cúbico inicialmente orientado como en la figura superior se deforma en un paralelepípedo rectangular. La carga axial produce deformaciones normales. • Si el elemento cúbico está orientado como en la figura inferior, se deforma en un rombo. La carga axial también produce una deformación cortante.
• Las componentes de deformación normal y cortante (de cizalladura) están relacionados, E 1 n 2G 2 - 28
Problema modelo 2.5 Un círculo de diámetro d = 9 pulg esta inscrito en una placa de aluminio sin esfuerzo de espesor t = 3/4 pulg. Posteriormente, fuerzas que actúan en el plano de la placa causan tensiones normales x = 12 ksi y z = 20 ksi.
Para E = 10x106 psi y n = 1/3, determine el cambio en: a) la longitud del diámetro AB,
b) la longitud del diámetro CD, c) el espesor de la placa, y d) el volumen de la placa.
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SOLUCIÓN: • Aplique la ley de Hooke generalizada • Evalúe las componentes de la deformación. para encontrar los tres componentes de deformación normal. B A x d 0.533103 in./in. 9 in. x
x n y n z E
E
E
1 12 ksi 0 20 ksi 3 10 106 psi 1
n x y n z E
E
E
1.067 103 in./in.
z
n x n y E
z E E
1.600 103 in./in.
B A 4.8 103 in.
C D z d 1.600103 in./in. 9 in. C D 14.4 103 in.
0.533 103 in./in.
y
t yt 1.067103 in./in. 0.75in.
t 0.800103 in. • Encuentre el cambio en el volumen e x y z 1.067 103 in 3/in3 V eV 1.067 103 15 15 0.75in 3 V 0.187in3
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