Capítulo 5: Método de distribución de momentos
Capítulo 5 Método de distribución de momentos
5.1 Introducción
El método de distribución de momentos fue desarrollado por Hardy Cross en 1932 en respuesta a las estructuras con alto grado de indeterminación estática que se construyen
en
el
momento.
En
este
método,
primero
se
impide
los
desplazamientos de los nudos. Después se introduce el efecto de los desplazamientos de los nudos a través de aproximaciones sucesivas hasta obtener los resultados con la precisión que se desee, por lo tanto, es un método que tiene sus fundamentos en el método general de desplazamiento, con la diferencia de que en el método de distribución momentos, generalmente, no se resuelven ecuaciones simultáneas para hallar los desplazamientos de los nudos, en
vez
de
eso,
se
permite
que
estos
desplazamientos
tengan
lugar
sucesivamente, y su efecto sobre los momentos de extremo se introduce como una serie de correcciones convergentes sucesivas. Con el procedimiento de distribución de momentos encontramos directamente los valores de los momentos en los extremos, sin tener que encontrar antes los desplazamientos de los nudos. La ausencia de la necesidad de resolver ecuaciones simultáneas y el obtener directamente los momentos flectores, son los atractivos del método, además de que es muy fácil de recordar y extremadamente útil para comprobar las respuestas de estructuras que son analizadas con programas de cómputo. En la primera parte de éste capítulo se estudian los pórticos planos en donde los únicos desplazamientos posibles de los nudos son rotaciones sin traslación, para luego abarcar el estudio de estructuras cuyos grados de libertad puedan ser rotaciones y traslaciones. El método de distribución de momentos usualmente no considera las deformaciones por corte y las deformaciones axiales, pero pueden ser tomadas en cuenta. cuenta . 290
5.2 Notación y convención de signos
En el método de distribución de momentos se necesita definir con claridad un sistema de signos
(a)
(b)
(c)
, ,
Figura 5.1. Convención de signos para distribución de momentos. (a) Direcciones positivas para los momentos , , y rotación de la cuerda . (b) Momento de extremo producidos por una rotación unitaria en . (c) Momento de extremo producidos por una rotación unitaria en
El momento o la rotación en el sentido horario
de cualquier extremo de un
miembro se consideran positivos. Las fuerzas cortantes y las fuerzas axiales, una vez calculados los momentos de extremo, se determinan considerando el equilibrio de los miembros y de los nudos, respectivamente. La traslación relativa de los extremos perpendiculares a la dirección original de la barra,
−
produce flexión.
La traslación relativa a lo largo del eje de la barra se considera nula, es decir, se supone que no ocurre ningún cabio de longitud ( La rotación de la cuerda el sentido horario
. Momento en el extremo
: Momento en el extremo
(y − y) ⁄
∞
se considera positiva cuando es en
: Rotación del extremo (extremo cercano)
: rotación del extremo (extremo lejano)
291
: rigidez a la rotación del extremo , es decir, el momento de extremo en
correspondiente a una rotación unitaria en mientras se impide el desplazamiento
en (figura 6.1b)
: rigidez a la rotación
del extremo
, es decir, el momento de extremo en
correspondiente a una rotación unitaria en mientras se impide el desplazamiento
en (figura (figura 6.1c)
: momento de traspaso, es decir, el momento en un extremo empotrado
producido por una rotación unitaria en el extremo (véase la figura
5.1b), también igual al momento de traspaso en un extremo empotrado producido
por una rotación unitaria del extremo extremo (véase la figura 5.1c)
: Factor de traspaso de a , es decir
(5.1)
: Factor de traspaso de a , es decir
(5.2)
Aplicando Aplicando el teorema de Betti, a los sistemas sistemas de de fuerzas y desplazamientos desplazamientos de las figuras 5.1b y c se tiene
×0+ ×1 ×1+ × 0 Cada miembro de la expresión anterior representa el momento de traspaso en los
extremos y respectivamente; por lo tanto, queda demostrado que los momentos de traspaso son iguales. Si el miembro presenta simetría geométrica, se deduce
292
Es decir las rigideces a la rotación y los factores de traspaso son iguales. Para
un
miembro
prismático
(
constante)
y
si
solo
se
consideran
deformaciones por flexión (véase el ejemplo 2.15)
4 2 De donde se deduce que que los factores de traspaso son
1⁄2 5.3 Procedimiento de distribución de momentos
Consideremos la viga
empotrada en
y
y continua sobre el apoyo
,
sometida a la carga tal como se muestra en la figura 5.2a Para analizar esta estructura utilizamos el método general de desplazamiento.
Figura 5.2. Superposición. (a) Viga estáticamente indeterminada. (b) Problema primario. (c) problema complementario
293
El grado de indeterminación cinemática de la viga es uno: la rotación en el apoyo
(
. La viga dada es igual a la superposición del problema primario más el
problema complementario (figuras 5.2b y c)
Solución del problema primario
20
kN.m
15 kN/m
20 kN.m
80 kN 60 kN.m
60
kN.m
Figura 5.3. Solución del problema primario
Considerando la ecuación de equilibrio de sumatoria de momentos en diagrama
0: +60−200⟶ −40 kN.kN.m de cuerpo libre del nudo
Obsérvese que nudo
es igual a la suma de los momentos de empotramiento en el
. Los momentos de extremo que en adelante se denominaran como
momentos de empotramiento se denotan columna de la tabla 5.1
con
, y se registran en la tercera
Solución del problema complementario
Reconociendo que en la estructura estructura original el nudo conseguir el giro
aplicando en el nudo
no está restringido, para
, eliminamos el momento restringente
−40 −40 kN.kN.m
un momento externo de +50 kN.m, es decir, un momento
igual y opuesto la suma suma de los momentos de empotramiento en el nudo
(véase
la figura 5.2c). Este momento se denomina momento equilibrador y lo denotamos
+40 +40 kNm kNm
con
, entonces
294
Al aplicar este momento, los extremos de los miembros
, giran el mismo ángulo
; generando los momentos
el equilibrio de momentos del nudo
y
que se juntan en
y
. Considerando
(figura 5.4) escribimos
+40 kNm kNm +40
Figura 5.4
0: − − 0 +
Los momentos
y
(5.3)
se pueden expresar en función de las rigideces a la
rotación del extremo B de los miembros AB y BC:
y
, así se tiene
(5.4)
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación 5.3 se tiene
+ + + ∑ ∑
(5.5) (5.5a)
Donde
es la suma de las rigideces a la rotación del extremo
, de los
miembros
que se juntan en el nudo B. Reemplazando la ecuación 5.5 en las
ecuaciones 5.4 se tiene
295
+ + + + O
Las ecuaciones 5.6 muestran que el momento equilibrador
(5.6)
se distribuye hacia
los extremos de los miembros que se juntan en el nudo, siendo este momento distribuido en cada miembro proporcional a la rigidez a la rotación relativa.
Factor de distribución
Las ecuaciones 5.6 se pueden expresar como:
Donde
+ + Estos factores son la razón entre el momento distribuido y el momento equilibrador y se denominan factores de distribución , ya que determinan como el momento equilibrador
se distribuye en los extremos de cada miembro. Las expresiones
anteriores también muestran que el factor de distribución para un extremo es igual a la rigidez a la rotación del extremo dividida entre la suma de las rigideces a la rotación de los extremos que llegan al nudo. En general, el factor de distribución puede definirse como
296
∑= donde
(5.7)
se refiere al extremo cercano del miembro considerado. En la expresión
anterior
= representa la suma de las rigideces a la rotación en el nudo que llegan al nudo
y hay
miembros
. Observando la ecuación 5.7 se puede deducir lo siguiente:
a) Es evidente que para calcular los factores de distribución
, se pueden utilizar
valores relativos de las rigideces a la rotación de los extremos, en vez de los valores reales, por lo tanto la ecuación 6.5 es válida si la rotación relativa en el extremo
b) La suma de todos los
representa la rigidez a
de los extremos de los miembros que llegan a un nudo
∑ ∑∑ 1 es igual a la unidad
c) El factor de distribución para un extremo empotrado de una estructura es cero. Esto se puede interpretar como si el miembro empotrado estuviese unido a un cuerpo de rigidez a la flexión infinita, así tenemos
+ ∞ 0 Hallemos ahora los factores de distribución para el ejemplo propuesto 297
⁄ ⁄ 0.6 + 44⁄44+46 ⁄ ⁄ 0.4 + 44⁄46+46 +40 0.6 × 40 24 kN. m 0.4 × 40 16 kN. m Siendo el extremo y
y empotrados los factores de distribución para los extremos
son cero. Estos valores se registran en la segunda fila de la tabla 5.1
Entonces el momento equilibrador
se distribuye de la siguiente manera
Estos valores están registrados en la tabla 5.1
Tabla 5.1 proceso de distribución de momentos
Extremo
AB
BA
BC
CB
ρ
0
0.6
0.4
0
μ
-20
+20
-60
+60
+12
+24
+16
+8
-8
+44
-44
+68
Un
ciclo
de
distribución
y
traspaso Momentos finales
Además de que el momento equilibrador equilibrador se distribuye distribuye en los extremos de los miembros que se juntan en el nudo
, la rotación
inducirá momentos en los extremos lejanos
y
producida en el paso anterior,
. Estos momentos de extremo se
conocen como momentos de traspaso, y sus valores se determinan multiplicando el momento distribuido que corresponda por el factor de traspaso
. En la
terminología de la distribución de momentos, se dice que una parte del momento distribuido es traspasado hacia el extremo lejano. El factor de traspaso como se
298
definió en la sección 5.2, es la razón del momento traspasado al extremo lejano ,
entre el momento distribuido en el extremo .
El factor de traspaso
depende de la variación de la sección transversal del
miembro y para el caso de miembros prismáticos,
0.5
Para el ejemplo considerado, los momentos de traspaso son
0.5 × 24 12 kN. m 0.5 × 16 8 kN. m Estos valores se registran en la tabla 5.1. Las dos flechas en la tabla que apuntan
en sentido de alejamiento del nudo distribución de momentos en
, indican que la rotación en
(o la
) induce el momento de traspaso cuyo valor se
consigna en la punta de la flecha. El proceso de distribución de momentos seguido con el traspaso se conoce como un ciclo. En el ejemplo considerado no son necesarios más ciclos, ya que no hay
nudos fuera de equilibrio. Los momentos finales de
extremo en los miembros se obtienen sumando los
momentos de empotramiento del problema primario producidos por la rotación del nudo
con los momentos
en el ciclo de la tabla 5.1. En el caso
general, si las rotaciones ocurriesen en más de un nudo, se efectúan ciclos adicionales de distribución y traspaso como se muestra en el ejemplo siguiente
Ejemplo 5.1
Para la viga mostrada en la figura 5.5, explicar paso a paso el proceso de distribución de momentos. La rigidez a la flexión EI para todos los miembros es constante
299
Figura 5.5.Viga continua analizada en el ejemplo 5.1
El grado de indeterminación de la viga continua es dos dos ( rotación de cualquier miembro es
4/
, donde
y
). La rigidez a la
es la rigidez a la flexión y l
la longitud del miembro. Las rigideces a la rotación relativa se pueden tomar como
/
Factores de distribución. Se calculan usando la ecuación 5.7, así se tiene
0 8 ∑ 0.2⁄258 0.556 10 ∑ 0.225 0.444 8 + 10 0.225 ⁄⁄10 0.375 10 ∑ 415 ⁄⁄6 0.625 6 ∑ 415 10 + 6 154 0 Nudo :
(extremo empotrado)
Nudo
Nudo
Nudo
:
(extremo empotrado)
300
Momentos de empotramiento
con ayuda del apéndice B
. Los momentos de empotramiento se calculan
− − 8 − 150×8 −150 kNm 8 − − − 50×3×7 −105 kNm 10 20×6 − − 12 − 12 −60 −60 kNm kNm Proceso de distribución de momentos paso a paso
1. Impedimos las rotaciones de los nudos
y
y aplicamos la carga (figura 5.6a),
así resultan los momentos de empotramiento que se han calculado previamente. El diagrama de momentos para este caso se muestra en la figura 5.6 b
Figura 5.6. Problema primario. (a) Cargas. (b) Diagrama de momentos
2. El primer ciclo de distribución de momentos y traspaso se realiza permitiendo la rotación del nudo
, mientras el nudo
permanece restringido y aplicando el
momento equilibrador (véase la figura 5.7a). El momento equilibrador es igual a menos la suma algebraica de los momentos de empotramiento en
−+150−105 +150−105 −45 kN.kN.m
y
,
301
Este momento se distribuye y se traspasa a los extremos lejanos de los dos
0.556×−45 −25 kN.kN.m 0.444× −45 −20 −20 kN.kN.m miembros que se juntan en
como sigue:
Distribución
Traspaso
0. 5 × −25 −12. −12.5 kN.kN. m 0. 5 ×× −20 −20 −10 −10 kNkN. m El diagrama de momentos para este ciclo se muestra en la figura 5.7b
Figuras 5.7. Ciclo 1. (a) Geometría y carga. (b) Diagrama de momentos
3. En el segundo ciclo se permite la rotación del nudo el nudo
, y se mantiene restringido
. El momento equilibrador para este ciclo es igual a menos la suma
algebraica de los momentos de empotramiento en los extremos momento de traspaso del ciclo anterior, es decir
,
, más el
302
−105−60−10 105−60−10 −35 −35 kNm kNm Este momento al actuar sobre el nudo
(véase la figura5.8a) lo desequilibra y
nuevamente se distribuye y se traspasa a los extremos lejanos de los miembros que se juntan en el nudo
, acorde con los factores de distribución; así se tiene,
Distribución
0.375× 75× −35 −35 −13. −13.1 kNm kNm 0.625× −35 −21.9 kNm 0. 5 × −13.1 −6.6 kNm 0. 5 ×× −21.9 −10. −10.9 kNm kNm
Traspaso
El diagrama de momentos para este caso se muestra en la figura 5.8b
Figura 5.8. Ciclo 2. (a) Geometría y cargas. (b) diagrama de momentos
4.
Tercer ciclo El momento de traspaso
genera un desequilibrio del nudo
−6.−6.6 kNm kNm
en el ciclo anterior,
, entonces el momento equilibrador en el ciclo 3
e igual a menos el momento de traspaso
303
−−6.6 6.6 kNm kNm
La figura 5.9a muestra la viga con este momento actuando sobre el nudo
. Como
en los ciclos anteriores el momento equilibrador se distribuye y se traspasa a los extremos de los miembros que se juntan en
, así tenemos
Distribución
0.556× 56× 6.6 3.6 kN. m 0.444× 44× 6.6 2.9 kN.kN.m Traspaso
0.5 × 3.6 1.8 kN. m
0.5 × 2.9 1.5 .
El diagrama de momentos para el ciclo 3 se muestra en la figura 5.9b
Figura 5.9. Ciclo 3. (a) Geometría y cargas. (b) diagrama de momentos
1.5 −1.5 −1.−1.5 kNm kNm
5. Ciclo 4. Nuevamente el momento de traspaso
desequilibra al nudo
.
Entonces el momento equilibrador en este ciclo es el negativo del momento de traspaso, es decir,
304
El momento equilibrador en este ciclo es insignificante (1% del mayor de los momentos de empotramiento), por lo tanto, se puede dar por terminado el proceso
0.375× −1.5 −0.−0.5 kNm kNm 0.625× −1.5 −0.−0.9 kNm kNm
distribuyendo el
Nota: El procedimiento de distribución de momentos siempre se debe culminar con una distribución, nunca con un traspaso, porque en este caso ocurriría el desequilibrio del nudo. En el presente ejemplo, como el extremo siendo su factor de distribución
0. 5 × −0.9 −0.−0.5 kNm kNm
extremo lejano
0
, se puede transportar el
sin cometer error, así tenemos
es empotrado,
−0.−0.9 kNm kNm
al
La carga y el diagrama de momentos para este ciclo se presentan en las figuras 5.10a y b
Figura 5.10. (a) Geometría y cargas. (b) diagrama de momentos
Todos los cálculos anteriores se presentan en forma resumida en la tabla de distribución de momentos que se presenta a continuación
305
Tabla de distribución de momentos Nudo
A
B
Extremo
AB
BA
BC
CB
CD
DC
FD
0
0.556
0.444
0.375
0.625
0
μ
-150.0
150.0
-105.0
105.0
-60.0
60.0
D-T(ciclo 1)
-12.5
-25.0
-20.0
-10.0
-6.6
-13.1
-21.9
-10.9
2.9
1.5 -0.5
-0.9
-0.5
82.8
-82.8
48.6
D-T(ciclo 2) D-T(ciclo 3)
1.8
3.6
C
D (ciclo 4) Momentos finales
-160.7
128.6
-128.6
D
Los momentos finales en los extremos de los miembros se obtienen sumando los momentos de empotramiento con los momentos distribuidos y traspasados en cada uno de los ciclos. El diagrama de momento flector definitivo se muestra en la figura 5.11.
Figura 5.11. Diagrama de momento flector
Ejemplo 5.2
Obtener el diagrama de momento flector para el pórtico de la figura 5.12a. La rigidez a la flexión
es constante para cada miembro y se indican en la figura.
El grado de indeterminación cinemática del pórtico es dos: las rotaciones de los nudos
y .
306
Factores de distribución. En los nudos
0 3 36 2 3 + 2 56 36 2 4 123 4 2 + 4 + 4 (
,, y
, el factor de distribución es cero
puesto que estos extremos son empotrados. Para los nudos restantes los
factores de distribución se calculan por la educación 5.7; así se tiene
Nudo
∑ 5⁄⁄36 0.4 ∑ 5⁄⁄26 0.6
Nudo
∑ ⁄2 0.5 ∑ ⁄4 0.25 ∑ ⁄4 0.25
307
Figura 5.12. Pórtico plano analizado en el ejemplo 5.2. (a) Dimensiones y propiedades del pórtico. (b) Diagrama de momento flector
Momentos de empotramiento Los momentos de empotramiento se calculan con
ayuda del apéndice B
− − 8 − 48×38 −18 kN.kN.m 76. 5 ×2×4 − − 6 −68 kNkN. m 76. 5 ×2 − 6 × 4 34 kNkN. m 0 12. 2 5×12 − − 12 − 12 −14 −147 kN.kN.m
El primer ciclo de distribución de momentos y traspaso se realiza permitiendo la rotación del nudo
, mientras el nudo
permanece restringido. El momento
equilibrador para este ciclo es igual a menos la suma algebraica de los momentos 308
de empotramiento
y
, es decir
−18−68 18−68 +50 +50 kN.kN.m
. Este momento se
distribuye se traspasa a los extremos lejanos de los dos miembros que se juntan
− 34+0−147+15 +18 en
como se muestra con las flechas en la tabla de distribución de momentos.
En el segundo ciclo se permite que rote el nudo
, y se mantiene sujeto el nudo
.
El momento equilibrador para este ciclo es igual a menos la suma algebraica de
los
,
y
, más el momento de traspaso del ciclo anterior, es decir . Nuevamente este momento se distribuye y se
traspasa a los extremos lejanos de los tres miembros que se juntan en el nudo
como se muestra con las flechas en la tabla de distribución de momentos. El traspaso del ciclo dos resulta en un momento desequilibrado en el nudo
. En el
tercer ciclo se libera el nudo B, y ocurrirá una rotación adicional debido a la aplicación del momento equilibrador igual a menos el momento traspasado. Luego se procede con la distribución y traspaso correspondiente. En el cuarto ciclo se libera nuevamente el nudo
aplicando un momento equilibrador igual a menos el
momento traspasado en el ciclo tres.
El proceso se repite hasta que los
momentos desequilibrados en todos los nudos sean insignificantes. Los momentos finales de extremo se obtienen sumando los momentos de empotramiento con los momentos distribuidos y traspasados en cada ciclo.
Tabla de distribución de momentos
Extremo
D-T(ciclo 1)
AB
BA
BC
CB
CD
CE
EC
DC
0
0.4
0.6
0.5
0.25
0.25
0
0
-18.0
18.0
-68.0
34.0
0.0
-147.0
147.0
0.0
10.0
20.0
30.0
15.0
24.5
49.0
24.5
24.5
12.3
12.3
-14.7
-7.4
1.8
3.7
1.8
1.8
0.9
0.9
94.3
26.3
-120.7
160.2
13.2
D-T(ciclo2) D-T(ciclo 3)
-4.9
-9.8
D-T(ciclo 4) D (ciclo 5) Momentos finales en kN.m
-0.4
-0.7
-1.1
-13.3
27.5
-27.5
El diagrama de momento flector se muestra en la figura 5.12b
309
5.4 Procedimiento general de distribución de momentos para pórticos planos sin traslación de nudos
A continuación continuación se presenta un resumen de los pasos que involucre involucre el procedimiento de distribución de momentos aplicado a estructurasen en que el único desplazamiento posible de los nudos es una rotación
1. Determinar el grado de indeterminación cinemática, es decir las rotaciones de los nudos 2. Calcular la rigidez a la rotación relativa de los extremos de miembros que se juntan en los nudos que giran, así como los factores de traspaso a los extremos lejanos de estos miembros.
Determinar los factores de distribución con la
ecuación 5.7. La rigidez a la rotación en un miembro prismático es de traspaso tomar como
1⁄2 ⁄
4⁄
y el factor f actor
. La rigidez a la rotación relativa de los extremos se puede
.
3. Determinar los momentos de empotramiento los miembros.
debido a la carga sobre todos
4. Seleccionar los nudos que se van a liberar en el primer ciclo. Como se verá en los ejemplos de aplicación hay distintas alternativas: liberación Nudo por nudo, liberación de nudos alternos o liberación simultánea de todos los nudos. Calcular el momento equilibrador en los nudos seleccionados; esto es igual a menos la suma algebraica de momentos en los extremos empotrados: Si un par externo en el sentido horario actúa en cualquier nudo, su valor simplemente se suma al calcular el momento equilibrador. Distribuir los momentos equilibradores a los extremos de los miembros que se juntan en los nudos liberados efectuar el traspaso a los extremos lejanos. lejanos. Así se completa un ciclo. Liberar los nudos restantes, impidiendo una rotación adicional en los nudos liberados en el primer ciclo. El momento equilibrador en cualquier nudo es igual a menos la suma algebraica de los momentos de empotramiento y de los momentos de extremo traspasados en el primer ciclo. Los momentos equilibradores se distribuyen y se traspasan a los extremos lejanos. Esto completa el segundo ciclo. 310
Los nudos liberados en el primer ciclo se liberan nuevamente, al mismo tiempo que se impide la rotación de los otros nudos. El momento equilibrador en un nudo e iguala menos la suma algebraica de los momentos de extremo traspasados a los extremos que se juntan en el nudo en el ciclo anterior Repetir varias veces el proceso de distribución y traspaso hasta que los momentos equilibradores sean insignificantes. Todos los cálculos se registran en una tabla de distribución.
Para obtener los momentos de extremo finales, se suman los los
momentos de empotramiento con los momentos registrados en todos los ciclos. 5. Los giros en los nudos se determinan superponiendo los incrementos de las rotaciones en cada ciclo. De acuerdo con la ecuación 5.5a, se tiene
∑4 ∑ ∆ ∑ ∑∑ 4∑
(5.8)
6. Las fuerzas normales, las fuerzas cortantes y las componentes de reacciones se pueden determinar por simple estática.
5.5 Rigidez rotacional de extremo ajustada para miembros prismáticos
El procedimiento de análisis usando distribución de momentos se puede simplificar si se usan rigideces a la rotación en los extremos modificadas, en lugar de las rigideces usuales. Se deducirán expresiones para estas rigideces solamente para miembros prismáticos. Se denominará miembro continuo cuando la rotación se aplica en un extremo de un miembro cuyo extremo lejano está empotrado (véase la figura 5.13a). Este es el tipo miembro que se ha considerado en los ejemplos anteriores y se presentan en la mayoría de los pórticos, pudiendo ser su sección transversal de forma rectangular, sección T, sección circular, sección tipo cajón, etc. Como este miembro presenta simetría geométrica se tiene (véase la sección 5.2 y la solución del ejemplo 2.14 caso a)
311
Figura 5.13. Rigideces de extremo ajustadas. (a) Momentos de extremo causados por una rotación unitaria en un extremo mientras el otro permanece empotrado. (b) Momentos de extremo causados por una rotación unitaria en el extremo mientras el extremo está articulado. (c) Momentos de extremo causados por una rotación unitaria en el extremo con el extremo con conexión mono deslizante. (d) Momentos de extremo causadas por rotaciones unitarias simétricas en los extremos. (e) Momentos de extremo causadas por rotaciones unitarias antisimétricas en los extremos.
4 y 12 Y el momento de traspaso
2 312
Los casos especiales que se consideran son:
(a) Miembro con extremo articulado . Cuando la rotación se aplica en un extremo
de un miembro cuyo extremo lejano está articulado (véase la figura 5.13b). En este caso no se puede aplicar en forma directa la definición de rigidez a la rotación, porque
es diferente de cero; sin embargo, aprovechando la condición
de que el momento de extremo equivalente a uno continuo, donde
3 ⁄ 3⁄4
rigidez
0
, se puede transformar a un miembro
no es grado de libertad, siempre y cuando su
se calcule sobre el miembro original (véase la solución del ejemplo 2.15)
miembro continuo)
Es decir, la rigidez a la rotación del miembro con extremo articulado es rigidez correspondiente a un miembro continuo. También se deduce que
0 Puesto que
0
y el momento de traspaso
tiene rigidez a la rotación
3⁄4
de la
0
, porque la articulación no
(b) Miembro con extremo mono deslizante . Cuando el extremo lejano tiene una
conexión mono deslizante (Véase la figura 5.13c). Este caso se presenta como un resultado de la idealización estructural, en miembros que tengan simetría geométrica y de carga; es decir, a diferencia del apoyo articulado, la conexión mono deslizante no es una conexión real. Aquí tampoco puede aplicarse
directamente la definición de rigidez al giro, porque la traslación
es diferente de
cero, pero, aprovechando la condición de que la fuerza cortante del extremo
0
, el miembro puede reducirse a uno equivalente, donde
libertad, siempre y cuando su rigidez (véase la solución del ejemplo 2.16)
:
no sea grado de
se calcule sobre el miembro original
313
⁄ 1⁄4
miembro continuo)
Es decir, la rigidez a la rotación del miembro con extremo mono deslizante es la cuarta parte de un miembro continuo; además
−1
(puesto que
− ⁄
(c) Miembro sometido a fuerzas o rotaciones simétricas (véase la figura
5.13d). En este caso la barra se deforma simétricamente y los momentos necesarios para inducir una rotación unitaria en los extremos (véase la solución del ejemplo 2.14 parte C) son
22 ⁄ 1⁄2
miembro continuo)
(d) Miembro sometido a fuerzas o rotaciones anti simétricas (véase la figura
5.13e). En este caso el miembro se deforma anti simétricamente y los momentos necesarios para inducir una rotación unitaria en los extremos (véase la solución del ejemplo 2.14 parte d) son
66 ⁄ 1.5
miembro continuo)
Conjuntamente con la rigideces a la rotación de los extremos ajustados se pueden usar los momentos de empotramiento ajustados. Para un miembro prismático con extremo articulado en
− 2
, la rotación en
puede ocurrir libremente, y solo es
necesario calcular el momento en el extremo
Donde
, con la siguiente expresión
es el momento de empotramiento en
articulado y
,
(5.9)
, en el miembro con extremo
son los momentos de empotramiento cuando ambos extremos
están empotrados
314
Ejemplo 5.3
Obtener los diagramas de fuerza cortante, momento flector y las rotaciones de los nudos en
y
, para la viga continua mostrada en la figura 5.14a, que tiene una
rigidez a la flexión
constante.
1. Número mínimo de grados de libertad:
2 (
y
)
2. Factores de distribución de momentos
Nudo B
34 4.50.167 0.0.136733 0.5 6 0.167 0.0.136733 0.5 0.333 Nudo C
0.167 0.0.146717 0.4 4 0.25 0.0.42175 0.6 0.417 3. Momentos de empotramiento
23. 7 4. 5 8 8 59.9999 kNm kNm − − 8 − 8086 −60 −60 kNm kNm 0 315
(a)
(b)
(c)
Figura 5.14. Viga continua analizada en el ejemplo 5.3. (a) Geometría y carga de la viga. (b) Diagrama de fuerza cortante. (c) Diagrama de momento flector
4. Tabla de distribución de momentos Nudo
B
C
D
Momento equilibrador
Extremo
BA
BC
CB
CD
DC
Nudo B
Nudo C
ρ
0.5
0.5
0.4
0.6
0
0
-60
μ
60
-60
60
0
0
12
0
D
0
0
-24
-36
0
-3
-12
0
0.6
0
6
0
0
3
0
-1.2
-0.6
0
0.3
0
T D
6
T D
0
T D
0.3
-18 0 0 -1.8 -0.9 0
T Mij
0 66.3
-66.3
37.8
-37.8
-18.9
316
Las fuerzas cortantes de extremo en los miembros se calculan por estática, considerando los diagramas de cuerpo libre de cada miembro, como se muestra en la figura 5.15.
Figura 5.15. Diagramas de cuerpo libre para determinar las fuerzas cortantes de extremo
+⟲ 0: −4.5 + 23.7×4.5 4.25 −66. 3 0 38.59 kN +↑ 0: −23.74.5 + 0 68.06 kN +⟲ 0: −6 + 803 +66.3−37.80 44.75kN +↑ 0: −80+ 0 35.25 kN +⟲ 0: −4 +37.8−18.90; 1414..18 kNkN +↑ 0: − 0; 14.18 kN Del diagrama de cuerpo libre del miembro
Del diagrama de cuerpo libre del miembro
Del diagrama de cuerpo libre del miembro
Los diagramas de fuerza cortante y momento flector se muestran en las figuras 5.14b y c
317
Las rotaciones en los nudos B y C se calculan por la ecuación 5.8
∑4 ∑ 4∑ Así, se tiene tiene
6 9. 4 5 412+0. ⁄6 + ⁄6 −60−3 −37. 8 4−60−3 ⁄6 + ⁄4 Ejemplo 5.4
Para el pórtico mostrado en la figura 5.16a, construir los diagramas el diagrama de momento flector. La rigidez a la flexión
12×4 12×444⁄2 96
El voladizo
de todos los miembros es constante.
se sustituye por la fuerza
12×448
kN.m, actuando en el nudo
(véase la figura 5.16b).
kN y el par
con el resto de la estructura
1. El grado de indeterminación cinemática de la estructura es uno: la rotación
2. Factores de distribución de momentos
Nudo C
⁄0⁄32 0.3 34 8 323 1332 ⁄0⁄32 0.3 34 8 323 1332 318
8 1032
10⁄⁄832 0.4
Figura 5.16. Pórtico del ejemplo 5.4. (a) Dimensiones y carga del pórtico. (b) Sustitución de la carga real sobre el voladizo por carga equivalente en . (c) Diagrama de momento flector
319
3. Momentos de empotramiento
316 − 2 348168 − 962 24 kNm kNm 12 12 8 − 8 − 8 −96 −96 kNm kNm 4. Proceso de distribución de momentos
Extremo
CB
CD
CE
EC
ρ
0.3
0.3
0.4
0
μ
24
-96
0
D-T
21.6
21.6
28.8
14.4
Mij
45.6
-74.4
28.8
14.4
Momento equilibrador nudo C -(24-96)=72
El diagrama de momento flector se muestra en la figura 5.16c
Ejemplo 5.5
Analizar Analizar el pórtico que se muestra en la figura 5.17a, usando el método de distribución de momentos, construir el diagrama de momento flector. La rigidez a la flexión
para todos los miembros es constante.
2
1. Número mínimo de grados de libertad: (
y
)
2. Factores de distribución de momentos Nudo B
34 60.125 0.0.1255 0.25 4 0.25 0.0.255 0.5 8 0.125 0.0.1525 0.25 0.5 320
Nudo C
0.125 0.0.1255 0.25 34 20.375 0.0.3575 0.75 0.5
Figura 5.17. Pórtico analizado en el ejemplo 5.5. (a) Dimensiones y carga. (b) Diagrama de momento flector
3. Momentos de empotramiento
24 8 − − 12 − 12 −128 −128 kNm kNm 321
32 2 − 2 − 2 −64 kNm El momento del voladizo (tramo
) se halla por simple estática
4. Proceso de distribución de momentos Extremo
BA
BE
BC
CB
CF
CD
EB
ρ
0.25
0.5
0.25
0.25
0.75
0
0
μ
0
-128
128
0
-64
0
D
32
32
-16
-48
-8
16
2
-4
-2
1
0.5
-0.25
-0.13
0.25
0.03
-0.06
64
T D
2
4
T D
0.5
1
T D
0.03
0.06
T Mij
32 -12
nudo B
nudo C
-(-128)= -(128-64)= 128
-64
8
-16
2
-1
0.125
-0.25
2 -0.75 0.50 -0.19 0.03
34.53 69.06 -103.59 124.94 -60.94 -64.00 34.53
El diagrama de momento flector se presenta en la figura 5.17b
Ejemplo 5.6
Para el pórtico plano que se muestra en la figura 5.18a, construir el diagrama de momento flector. Simultáneamente a la carga indicada, el apoyo
sufre un
asentamiento de 8 mm. La rigidez a la flexión para todos los miembros es constante:
=1.08x10 5 kNm2.
1. El grado de indeterminación cinemática de la estructura es dos: Las rotaciones
y
). El asentamiento del apoyo B de magnitud conocida no constituye un
grado de libertad y su efecto se considera al calcular los momentos de
empotramiento
322
Figura 5.18. Pórtico analizado en el ejemplo 5.6. (a) Dimensiones y carga. (b) Diagrama de momento flector
2. Factores de distribución de momentos
Nudo B
⁄516⁄ 0.6 34 4 163 316 ⁄⁄8 0.40 8 516 165 ⁄⁄8 0.4 8 516
Nudo
323
⁄516⁄ 0.6 316
163 165
3. Momentos de empotramiento. Para calcular los momentos de empotramiento se
3 6 4 8 − 8 − 310800040.008 −150 −150 kNm kNm 6 6 8 − 8 + − 8 + 610800080.008 49 kNm kNm 6 6 8 10800080.0.00808 111133 kNm 8 + 8 + 6108000 kNm suma el efecto de las cagas y del asentamiento del apoyo
, así:
4. Proceso de distribución de momentos Extremo
BA
BC
CB
CD
DC
ρ
0.6
0.4
0.4
0.6
0
μ
-150
49
113
0
0
D
60.6
40.4
-25.2
-37.8
-12.6
20.2
5.04
-8.08
-4.04
2.52
1.616
-1.008
-0.504
0.808
T D
7.56
T D T D T Mij
2.424
0.3024 0.2016 -0.323
-18.9 -12.12 -6.06 -1.512
Momentos equilibradores Nudo B
Nudo C
-(-150+49)=
-(113-50)=
101
-63
12.6
-20.2
4.04
-2.52
0.504
-0.808
-0.756 -0.485 -0.242
-79.11
79.11
101.92 -51.92
-25.96
El diagrama de momento flector se muestra en la figura 5.18b
Ejemplo 5.7
Para el pórtico simétrico con carga simétrica que se muestra en la figura 5.19a, encontrar el diagrama de momento flector. Simultáneamente a la acción de las
324
cargas, los apoyos
8×8×110
la figura, Considerar
y
se desplazan horizontalmente 4 mm, según se indica en kN.m2
Figura 5.19. Pórtico analizado en el ejemplo 5.7. (a) Dimensiones y carga del pórtico. (b) Diagrama de momento flector.
1. Debido a la simetría y a la disposición de los miembros, el nudo totalmente restringido, y las rotaciones de los nudos
−
(
y
está
son iguales y opuestas
). Por lo tanto, solo hay un grado de libertad y solo es necesario
analizar la mitad de la estructura realizando la distribución de momentos solo en el nudo
325
2. Factores de distribución de momentos
Nudo 2
34 24 0.375 0.375 12 28 0.125 0.0.923755 0.125 2.55 0.5 0.0.93755 0.5 3. Momentos de empotramiento
3 2 3 2×8x10 − − 4 0.004 −120 −120 kNm kNm 48 48 4 − 12 − 12 −64kNm 4. Proceso de distribución de momentos
Extremo
BA
BD
BC
CB
momento equilibrador
ρ
0.375
0.125
0.5
0
-(-120-64)=184
μ
-120
0
-64
64
D
69
23
92
T Mij
46 -51
23
28
110
Los momentos de extremo en la mitad derecha de pórtico son iguales y opuestos al de la mitad izquierda. El diagrama de momento flector se muestra en la figura 5.19b.
326
Ejemplo 5.7
Obtener el diagrama de momento flector en el pórtico simétrico con carga simétrica que se muestra en la figura 5.20a. Las rigideces a la flexión miembro son constantes y se muestran en la figura
para cada
Figura 5.20. Pórtico simétrico analizado en el ejemplo 5.7. (a) Dimensiones y carga de pórtico. (b) Diagrama de momento flector
1. Por la simetría, el grado de libertad del pórtico se reduce a
− −
dos:
, y la distribución de momentos solo es necesario hacerla para la
mitad del pórtico, si se multiplica las rigideces rotacionales de los miembros por 0.5, pues éstos se deformaran simétricamente.
y
2. Factores de distribución de momentos
Nudo B
5 0.2 5 0.2
0.0.5243 0.368 0.0.5432 0.368 327
2 27 0.143 0.0.154343 0.263 0.543 Nudo C
5 0.2 0.0.3432 0.583 12 27 0.143 0.0.134343 0.417 0.343 3. Momentos de empotramiento
20×7 − 12 12 −81. −81.667667 kNm 10 7 − 12 12 −40. −40.833833 kNm 4. Tabla de distribución de momentos Nudo
A
Extremo
AB
ρ
B BA
BE
BC
CB
CD
0.368
0.263
0.368
0.583
0.417
nudo B
nudo C
-40.83
-(-81.67)=
-(-40.83)=
17.01
81.67
40.83
-11.91
-15.04
4.39
2.19
-0.64
-0.81
-81.67
μ
D T
30.09 -4.39
-3.13
-2.19
D T
21.49
15.04
D T
C
1.62
1.15
0.81
D T
-0.12
Mij
13.54
30.09
23.82
11.91
15.04
-4.39
-8.78
-4.39
-2.19
1.62
1.28
0.64
0.81
-6.27
Momento equilibrador
0.91
-0.24
-0.17
-0.24
-0.47
-0.34
27.08
-62.32
35.24
29.51
-29.51
328
Los momentos de extremo en la mitad derecha del pórtico son iguales y opuestos al valor correspondiente de la mitad izquierda. El diagrama de momento flector se muestra en la figura 5.20b
Ejemplo 5.8
Para el pórtico plano mostrado en la figura 5.21a, construir los diagramas de momento flector. La rigidez a la flexión
de todos los miembros es constante.
Figura 5.21. Pórtico analizado en el ejemplo 5.8. (a) Geometría y cargas del pórtico. (b) Diagramas de cuerpo libre para calcular . (c) Estructura equivalente. (d)Diagrama de momento flector
329
1. Puesto que la estructura tiene simetría geométrica y de cargas, no ocurrirá desplazamiento horizontal, por lo tanto, el número mínimo de grados de libertad es uno (
−
). Además los momento de extremo
por estática; así se tiene
y
se pueden obtener
´ ´ ⟲ ´ 0: −´ 3.5 + 10×3.5 3.250 ´ ´ 1717..5 kN ´ +⟲ 0: − − 10×2 22 − ´ 2 0 −55 −55 kN.kN.m Del diagrama de cuerpo libre del tramo
.
Del diagrama de cuerpo libre del tramo
Con estas consideraciones se analiza la estructura simplificada mostrada en la figura 5.21c.
2. Factores de distribución de momentos
Nudo 3
34 6 8 5⁄⁄88 0.2 2 0.5 50.5⁄8 0.8 58 3. Momentos de empotramiento
10 10 6 8 8 45 kNm kNm −55 −55 kNm kNm 330
4. Proceso de distribución de momentos Nudo
B
E
momento equilibrador
Extremo
BA
BC
EB
nudo B
ρ
0.2
0.8
0
-(45-55)=10
μ
45
0
0
Nota: al calcular el momento
D-T
2
8
4
equilibrador se debe tomar en cuenta el momento
Mij
47
8
4
−55
El diagrama de momento flector se muestra en la figura 5.21d
5.6 Distribución de momentos para pórticos con traslación desconocida de nudos
En las secciones anteriores, se ha considerado solo el análisis de vigas y pórticos en donde las traslaciones de los nudos estaban totalmente restringidas o tenían una magnitud conocida. El método de distribución de momentos puede usar para analizar estructuras con traslación desconocida de los nudos. El procedimiento que se considera en esta sección no es otra cosa que el método general de desplazamiento en el cual se usa el procedimiento de distribución de momentos para disminuir el número de ecuaciones simultáneas involucradas. En general el grado de indeterminación cinemática de una estructura se puede expresar como
+
Donde es el número de rotaciones desconocidas de los nudos y
el número de
traslaciones desconocidas de los nudos. El número de traslaciones de nudos representa el número de ecuaciones a resolver y si
es mucho menor que el
grado de indeterminación cinemática los cálculos numéricos se reducen considerablemente. En la figura 5.22 se muestran varios ejemplos de pórticos planos con coordenadas que representan las traslaciones desconocidas de los nudos.
331
Figura 5.22. Grados de indeterminación cinemática en pórticos planos
Para resolver este tipo de estructuras por medio del método de distribución de momentos puede emplear el principio de la superposición. Considérese, por ejemplo, el pórtico mostrado en la figura 5.23a el cual puede desplazarse lateralmente. Las traslaciones independientes de los nudos
son dos cuya
ubicación y dirección está dada por el sistema de coordenadas (véase la figura 5.23b): El pórtico original es igual a superposición de los siguientes estados:
Estado
: Consiste en analizar la estructura con las traslaciones impedidas,
sometida a las solicitaciones externas (cargas, movimiento de apoyos, cambio de temperatura, etc.). En la ubicación y dirección de las coordenadas se inducirán las fuerzas restringentes 5.23b)
necesarias para impedir las traslaciones (véase la figura
332
Estado : Que consiste en analizar la estructura con fuerzas iguales y opuestas a
las fuerzas restringentes del estado
(véase la figura 5.23c). Además, el estado
es igual a la superposición de los estados
y
(véase las figuras 5.23d y e)
Figura 5.23. Pórtico con traslación de nudos. (a) Pórtico plano. (b) Sistema coordenado. (c) Pórtico con traslaciones impedidas bajo las solicitaciones. (d) Pórtico solicitado por fuerzas restringentes iguales y opuestas. (e) Pórtico bajo la acción del de . (f) Pórtico bajo la acción de
1
1
333
Sumando fuerzas en la dirección de cada coordenada, se tiene
+ + 0 + + 0 O en forma matricial
+ [] 0 Donde: Los elementos
[ ] [ ]
(5.10)
representas las fuerzas restringentes para impedir las
traslaciones de los nudos, Los elementos de
representan las fuerzas que se generan en la ubicación y
dirección de las coordenadas debido a desplazamientos unitarios de las traslaciones. Por lo tanto Los elementos de
es la matriz de rigidez lateral de la estructura
son las traslaciones de los nudos en la estructura original,
que se obtienen resolviendo la ecuación 5.9. Una vea que se han determinado las traslaciones, las fuerzas cualquier acción (reacciones, fuerzas internas, desplazamientos, etc.) se pueden obtener con la ecuación de superposición
+ [ ]
(5.11)
A continuación continuación se resume el procedimiento procedimiento para el análisis de pórticos con traslación en los nudos
Paso 1. Determinar el grado de indeterminación cinemática y establecer un
sistema de coordenadas para todas las traslaciones independientes posibles de los nudos.
334
Paso 2. El pórtico se analiza por distribución de momentos sin traslación de los
nudos (estado R ) y se determinan los correspondientes momentos de extremo
: Esto momentos son los momentos de extremo permitiendo que los nudos
giren pero impidiendo la traslación. A continuación, se calculan las fuerzas
restringentes
considerando el equilibrio de los miembros
Paso 3. Se introduce un desplazamiento unitario
1
en la ubicación y
dirección de la coordenada 1, mientras se impide la traslación a lo largo de las coordenadas restantes. Suponiendo que no ocurren rotaciones de los nudos, se calculan los momentos de empotramiento en los miembros deformados. En seguida se lleva a cabo la distribución de momentos, sin permitir ninguna traslación adicional de nudos. Los momentos que se obtiene, corresponden a un desplazamiento unitario a lo largo de la coordenada 1, impidiéndose las traslaciones en los otros nudos, pero permitiendo rotaciones de los mismos. Después se calculan las fuerzas necesarias en la ubicación y dirección de
coordenadas necesarias para conseguir la configuración deformada de esta etapa.
Se repite el paso anterior, introduciendo un desplazamiento unitario por separado en la ubicación y dirección de cada una de las
coordenadas. Las fuerzas que
resultan a lo largo de las coordenadas son los elementos de la matriz de rigidez lateral
[]
,
[ ]
de la estructura. Los momentos de extremo se disponen en una matriz
que
representan
los
momentos
de
extremo
producidos
por
los
desplazamientos unitarios.
Paso 4. Los desplazamientos a lo largo de las coordenadas se obtienen
resolviendo la ecuación
[] −
(5.12)
Paso 5. Los momentos finales de extremo en la estructura original se determinan
con la ecuación de superposición
335
+ []
(5.13)
Ejemplo 5.10
Obtener el diagrama de momento flector para el pórtico mostrado en la figura 5.24a. Las rigideces a la flexión
para cada miembro se indican en la figura
1. El pórtico tiene una traslación independiente: El desplazamiento horizontal lo largo de la coordenada 1 (figura 5.24b). La traslación del nudo expresar en función de
, por lo tanto, no es independiente.
se puede
a
2. Solución del E s tado R . Pórtico sin desplazamiento lateral
Factores de distribución
Nudo B
0.⁄2 0.375 5 0.2 815 3⁄33 0.625 26 0.333 0.815 158 Nudo C
0.333 10.7333⁄24 0.470 ⁄7⁄24 0.265 34 4 163 1316 316⁄⁄ 0.265 34 4 163 1724 1724 336
Figura 5.24. Pórtico analizado en el ejemplo 5.10. (a) Dimensiones y carga. (b) Sistema coordenado. (c) Pórtico con traslaciones restringidas sometido a cargas. (d) Pórtico solicitado por
1
337
Momentos se empotramiento
6 12×6 8 × 6 0 03 − 8 − 12 − − 8 − 12 − 62×10000×0. 6 −43 −43 kNkN.m 6 12×6 8 × 6 0. 0 03 8 + 12 − 8 + 12 − 62×10000 6 23 kNkN. m 22+ 2+ 3 12×1×3 12×1×3 2×3+1 2×3+1 3 10000×0. 0 03 03 − + − + 2 × 4 4 −2.−2.25 kN.kN. m 316 3×6×4 16 4.5 kN.m
Miembro
Miembro
Miembro
Tabla de distribución de momentos Extremo
AB
ρ
BA
BC
CB
CE
CD
0.375
0.625
0.471
0.265
0.265
-43
23
4.5
-2.25
26.88
13.44
-9.10
-18.21
5.69
2.84
-0.67
-1.34
0.42
0.21
μ
8.06 1.71 0.13
9.89
16.13 3.41 0.25 19.79
-19.79
Momentos equilibradores Nudo B Nudo C 43 -38.69
-10.24
-10.24
9.10 -2.84
-0.75
-0.75
0.67 -0.21
-0.10
-0.06
-0.06
19.85
-6.55
-13.30
338
Para calcular e
. Escribimos la ecuación de equilibrio
de cuerpo libre de toda la estructura (véase figura 5.25)
∑ 0
en el diagrama
+→ 0: + + +10+60 + + −16
Figura 2.25. Diagramas de cuerpo libre para determinar
(1)
Del diagrama de cuerpo libre del miembro AB
+⟲ 0: 4 − 3 −9.89−19.790 4 − 3 29.68 +⟲ 0: 4 − 9 −9.89−19.85+ 8 × 6 62+1230 4 − 9 −150.26
(2)
Del diagrama de cuerpo libre del segmento ABC
(3)
339
Resolviendo las ecuaciones (2) y (3) se obtiene
29.914914 kN 2929..990 kN +⟲ 0: 4 +6.55+6×20 −4.637 −16−29.914+4.637−41.276
Del diagrama de cuerpo libre del miembro
Sustituyendo estos valores de
y
en la ecuación (1) se obtiene
3. Solución del E s tado tado
Los factores de distribución son los mismos que para el estado R
Nudo B:
Nudo C:
0.375 0.625 0.470 0.265 0.265
Momentos se empotramiento. Del diagrama de desplazamientos
de la figura
5.26, se observa que los desplazamientos relativos de los miembros son
54 34 1 6 655⁄4 −0.3−120400 − − 6
Miembro
340
Figura 5.26. Diagrama de desplazamientos
6 − 663⁄4 0.25100400 − − 3 − 34 −0.1875−75400
Miembro
Miembro
Tabla de distribución de momentos Extremo
AB
BC
CB
CE
CD
0.375
0.625
0.471
0.265
0.265
Nudo B
-120
-120
100
100
-75
0
20
3.75
7.50
12.50
6.25
-7.35
-14.71
4.60
2.30
-0.54
-1.08
0.34
0.17
ρ μ
1.38
0.10
Momentos
BA
-114.77
2.76
0.20
-109.54
109.54
equilibradores Nudo C
-31.25 -8.27
-8.27
7.35 -2.30
-0.61
-0.61
0.54 -0.17
-0.08
-0.04
-0.04
92.85
-83.93
-8.93
Multiplicador:
/400 341
Para calcular e
. Escribimos la ecuación de equilibrio
de cuerpo libre de toda la estructura (véase figura 5.27)
∑ 0
en el diagrama
+→ 0: + + 0
Figura 5.27. Diagramas de cuerpo libre para determinar
(4)
+⟲ 0: 4 − 3 +114.76400 +109.54400 0 4 − 3 −224.31400 Del diagrama de cuerpo libre del miembro
(5)
Del diagrama de cuerpo libre del segmento ABC
+⟲ 0: 4 − 9 +114.76400 −92.85400 0 4 − 9 −21.92400
(6)
342
Resolviendo las ecuaciones (5) y (6), se obtiene
−81.376400 −33.732400 +⟲ 0: 4 +83.93400 0 −20.981400 102.357400 + 41.276 0400 102.357 0.4033400 Del diagrama de cuerpo libre del miembro
Sustituyendo estos valores de
4. El desplazamiento
y
en la ecuación (4 ) se obtiene
se obtiene por la ecuación 5.12; así se obtiene
5. Los momentos finales de extremo en el mismo orden que el asignado en las tablas se determina con la ecuación de superposición 5.13; así se tiene
9.8+9 −114.77 −36. 3 9 19. 7 9 −109. 5 4 −24. 3 8 3 8 −19.19.8759 + 400 109.92.5845 0.4033400 24. kN.m 57. 2 9 −6. 5 5 − 83. 9 3 −40. 3 9 −13.30 −8.93 −16.90 El diagrama de momento flector se muestra en la figura 5.28.
343
Figura 5.28. Diagramas de Momento Flector.
Ejemplo 5.11
La figura 5.29a muestra un pórtico de puente sometido a una fuerza horizontal P en el nivel de la cubierta. Suponiendo que la cubierta tiene una rigidez infinita. (a) Encontrar el diagrama de momento flector en las columnas. (b) Si se introducen articulaciones bajo la cubierta en la parte superior de las columnas
y
, como
se muestra en la figura 529.b, encontrar la fuerza cortante en la parte inferior de las tres columnas.
Figura 5.29. Pórtico de puente analizado en el ejemplo 5.11.
344
1. Teniendo en cuenta que la cubierta es indeformable, los desplazamientos horizontales en cualquier extremo de los miembros horizontales son iguales, por lo tanto, en este problema hay un grado de libertad: el desplazamiento horizontal En la figura 5.29c, se ilustra el sistema coordenado.
2. Solución del es tado tado
. Se impide el desplazamiento horizontal
estructura le aplicamos una fuerza igual y opuesta a la carga para ambas partes del problema, se tiene
0 1 3. Solución del estado
.
, si a la
; por consiguiente,
. Un desplazamiento unitario en la dirección de la
coordenada genera los siguientes momentos de empotramiento
Caso (a)
− 6 − 24 − 6 − 24 − 6 − 24 Caso (b) Cuando se introducen articulaciones en la parte superior de las columnas
3 12 − − − 6 − 24 0 y
0
345
− 3 − 12
Como el tablero tiene una rigidez a la flexión infinita, el factor de distribución en todos los caso es cero y no hay distribución de momentos. Para obtener el coeficiente de rigidez
de equilibro
∑ 0
, para cada caso, se escribe la ecuación
en el diagrama de cuerpo libre de toda el pórtico, así se tiene
(a)
1
1 C
B
A
F
D
MBF
VFB
B
VCG
C
F
VGC
G
1
RHX
MCG
MDH D
VDH
VHD
H MHD
1
1 C
B
A
RGX
MGC
MFB
(b)
E H
G
RFX
VBF
1
F
E
D G
RFX
H RHX
RGX MCG
VBF
VFB MFB
VCG
C
VGC
G
VDH
VHD MGC
D
H MHD
Figura 5.30. Diagramas de cuerpo libre para obtener los coeficientes de rigidez
346
Para el caso (a). Del diagrama de cuerpo libre de la figura 5.30a, se escribe
+→ 0 + + + 0 +⟲ 0: + 24 + 24 + 2 0 − 96 − 96 , 288 De los diagramas de cuerpo libre de la columna
(1)
, planteando la ecuación de
equilibrio
Similarmente de los diagramas de cuerpo libre de
Sustituyendo los valores de
y
y
se obtiene
en la ecuación (1) se obtiene
Para el caso (b). Del diagrama de cuerpo libre de la figura 5.30b, se escribe
+→ 0 + + + 0 +⟲ 0: + 12 + 2 0 − 24 Del diagrama de cuerpo libre de la columna
(2)
, planteando la ecuación de
equilibrio
Similarmente del diagrama de cuerpo libre del miembro
se obtiene
347
− 24
+⟲ 0: + 24 + 24 + 2 0 − 96 , 24 + 96 + 24 144 Del diagrama de cuerpo libre del miembro
Sustituyendo los valores de
4. El desplazamiento despejando
y
en la ecuación (1) se obtiene
para ambos casos se encuentra por la ecuación 5.12 y
, se obtiene
Para el caso (a)
288 + 0 − 288 Para el caso (b)
144 + 0 − 144 5. Las acciones finales requeridas en cada parte del problema se determinan por superposición usando la ecuación 5.13
Para la parte (a):
+ 348
− 24 24 − 24 1 1 − 12 11 0 + 24 − 288 − 24 1 1 − 24 − El diagrama de momento flector se muestra en la figura 5.31
Figura 5.31 Diagrama de momento flector en las columnas
Para la parte (b):
+ 24 16 − 0 + − 96 − 2 − 24 144 31 6
349
