*
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Se denomina así a todo triángulo en en el cual uno de su suss áng ngu ulos es re rect cto; o; los lad ado os que que dete de termi rmina nan n el án ángu gulo lo re recto cto son son los los cate cateto toss del triángulo, el lado mayor es la hipotenusa y se opone al ángulo recto. A α c
b C
a
Catetos :
CA = b
Hipotenusa :
B
CB = a
AB = c
Ángulos agudos agudos :
θ
y
TEOREMA DE PITÁGORAS
AB2 = CA2 + CB2
c2 = a2 + b2
ÁNGULOS AGUDOS COMPLEMENTARIOS
OBSERVACIÓN
cumplirá:
: Para todo todo ángul ángulo o agudo agudo “θ” “θ” se
0 < Senθ < 1
Tgθ > 0
Secθ > 1
0 < Cosθ < 1
Ctgθ > 0
Cscθ > 1
α + θ = 90° 90° RAZON RA ZONES ES TRI TRIGON GONOMÉ OMÉTRI TRICA CAS S REC RECÍP ÍPROC ROCA AS :
CÁLCULO DE TRIGONOMÉTRICAS
LAS
RAZONES
El valor de las razones trigonométricas de áng ngu ulos ag agud udo os, se de dete term rmiinan en un tri rián ángu gullo rectán rec tángul gulo, o, est establ ableci eciend endo o la divis división ión ent entre re las las long ngiitud udes es de su suss lado doss tom omad ados os de do doss en do doss y con respecto a uno de sus ángulos agudos.
Se denomina así a las siguientes ra razones trigonométricas:
PROPIEDAD DE LAS RECÍPROCAS :
El producto de dos razones recíprocas referidas al mismo ángulo, es igual a la unidad
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES :
30° NOTA :
Si :
Sen
60°
1/2
Cos
1/2
Tg RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS :
Llamadas también Co - Razones Trigonométricas, son las siguientes :
Ctg Sec Csc
2 2 45°
Sen PROPIEDAD DE LAS CO-RAZONES :
Las razones trigonométricas de todo ángulo agudo, son respectivamente iguales a las co-razones trigonométricas de su complemento.
Cos Tg
1
Ctg
1
Sec Csc
37°
53°
Sen
3/5
4/5
Cos
4/5
3/5
Tg
3/4
4/3
Ctg
4/3
3/4
Sec
5/4
5/3
Csc
5/3
5/4
NOTA :
Si :
* TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES :
01. Sean a, b y c los lados de un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), simplificar : 2
2
2
2
E = a Ctg A + c Ctg C 2
2
A) 2a 2 2 D) b - a
B) 2b 2 2 E) a + b
C) 2c
2
A) /3 D) 3/2
02. Del gráfico obtener Cosα
B) 2/3 E)
C)
/2
08. Calcular el perímetro de un triángulo ABC, sabiendo que : 35TgB = 5TgA = 12 y AB = 80 m A) 180 m B) 160 m C) 140 m D) 200 m E) 240 m A) 2/3 D) 3/8
B) 3/4 E) 1/2
C) 1/4
03. Sabiendo que Φ es un ángulo agudo y que CtgΦ = 20/21, calcular : E = 4CosΦ + A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
04.Si Tgβ =
y CosΦ = N=2
SenΦ
09. En un triángulo rectángulo ABC, recto en A, se cumple 4TgB = 3TgC. Calcular : E = 7SenBSenC - 2TgB A) 2 B) 0 C) D) 3 E) 2 10. En la figura ABCD y DEFG son cuadrados. Calcular: Ctgα
C) 3
G
(β y Φ agudos), calcular:
Cosβ + 7
B
F
C
SenΦ α
A) 14 D) 24
B) 18 E) 26
A 4
C) 20
05. En un triángulo ABC(AB=BC) se sabe que SenB=0,6. Calcular TgA A) 1/3 D) 3
B) 1/2 E) 4
C) 2
06. Calcular el área de un trapecio rectángulo, sabiendo que su altura mide 6 m, su perímetro es 34 m y el coseno de su ángulo agudo es 0,8. 2
A) 24 m 2 D) 54 m
2
B) 36 m 2 E) 60 m
07. De la figura calcular Tg2α
C) 40 m
2
A) 5 D) 2
B) 3 E) 6
D
6
E
C) 4
11. Si se tiene que: Sen(2a+b)°=Cos(3a - b)° calcule el valor de: Tg(2a+9)°+Sec(3a+6)° A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 12. Dadas las relaciones : Sen(a+b)° = Cos(a-b)° Tg(2a-b) Ctg(a+2b)°=1 2 calcule el valor de : Tg (a+b)°+Csc(a-b)° A) 5 D) 2
B) 4 E) 1
C) 3
13. De la igualdad : Sen(2a+b)°=Cos(a+2b)°
A) 5 D) 2
+Csc (a+b)°
del mayor de los ángulos agudos
C) 3
A) 8/15 D) 21/20
2
calcule el valor de : B) 4 E) 1
14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “C”, se cumple que: (2+CtgA)(SecB -TgB) = 1 2 Calcular el valor de : E =2SenA + Tg B A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
B) 12/5 E) 4/3
C) 7/24
20. Sabiendo que x, y, z son ángulos agudos y se cumple: Sen
= Cosx, Csc
= Secy, Ctg
= Tgz
calcular : (13x - 14y + 5z) en el sistema sexagesimal
15. Si : Tg(144°Tg(90° - x)) = Ctg(72°Ctgx) calcular : E = Tg(72°Ctgx)Tg(25°Tgx) A) D) 1
B) 2 E) 2
A) 360° D) 720°
B) 540° E) 630°
C) 3
C) 450°
TAREA
16. En la figura Tg(x + y) = 2 y M es punto medio de . Calcular Tgy
21. En la figura ABCD es un cuadrado. Calcular Tgθ, sabiendo que Secα = 2,6.
A
B x
y
θ
B
M
A) 1/2 D) /3
C
C
B) 1/3 E) 1/4
C)
α
/2
A
17. En la figura P y Q son puntos medios de y respectivamente. Si BD = 2 y AC = 8, calcular Ctgθ
A) 4/3 D) 3/4
D B) 6 E) 5/13
C) 8
222. De la figura calcular : M = 10Cscα + 13Cosα
D α
B
5
Q
4
P θ A A) 2 D) 5
B) 3 E) 6
C) 4
18. Siendo “θ” un ángulo agudo, para el cual se tiene que Senθ=5/13, calcule el valor de: Ctgθ+3Tg(θ/2) A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
3
C
C) 3
19. En un triángulo rectángulo se tiene que uno de los catetos es el doble de la diferencia entre la hipotenusa y el otro cateto. Calcular la tangente
A) 29 D) 36
B) 31 E) 38
C) 26
23. Si α y β son ángulos agudos y complementarios, calcular : P = Sen2α + Sen2β + TgαTgβ A) 0 D) 1,5
B) 1 E) 2,5
C) 2
24. ABCD es uncuadrado y 2DE = 3AD. Calcular Tgα
B
:
C
P=
α A
D
A) 1/4 D) 3/4
E
B) 1/2 E) 3/2
C) 2/3
25. Simplificar :
A) 1 D) 2,5
B) 2 E) 3
C) 1,5
28. Calcular : x + y, sabiendo que : Cos(3x + 10°)Csc(y - 40°) = 1 Ctg(2y - 65°) = Tg(55° - x) A) 60° D) 80°
B) 66° E) 86°
C) 74°
P= A) 0 D) 1/2
B) -1 E) -1/2
29. Sea α un ángulo agudo, tal que: (3Secα)Secα=327 calcular : K=SenαTgα
C) 1
26. Si AB = BC, calcular : P = Ctgα - CscΦ
A) 41/40 D) 80/9
B) 45/47 E) 32/33
A 30. Marcar lo incorrecto: 5
A) Tg36°Tg54° = 1
B
B) Sen
Φ α O A) D)
/2
C
3 B) E) 2
C)
/2
27. Si se cumple Sen(2a + b) = Cos(a + 2b), calcular
Sec
C) Cos
- Sen
D) Sec
= Csc
=1 =0
E) Cos42°Csc48° = 1
C) 51/40
