UNIVERSIDAD NACIONAL “HERMILIO V ALDIZAN”
ESCUELA PROFESIONAL DE CIENCIAS ECONÓMICAS
TEMA: EJERCICIOS DEL CAPITULO (7,8); FICHA DE LECTURA DEL CAPILO (7,8)
ASIGNATURA
: ECONOMETRIA II
DOCENTE
: JULIO CASTRO
INTEGRANTES
: Aquino Duran, Judith Celina
AÑO
: 2016
SIGLO
: IX
HUÁNUCO-PERÚ 2016
UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILO VALDIZAN Facultad de Ciencias Económicas CURSO “ECONOMETRIA II”
Profesor: Julio C. Castro FICHA DE LECTURA
Alumna: Aquino Duran, Judith Celina Fecha: 19 de setiembre del 2016 Autor: DAMODAR N. GUJARATI – DAWN C. PORTER Título de la lectura: ANALISIS DE REGRECION MULTIPLE: EL PROBLEMA DE
ESTIMACION CAPITULO 07 Ideas centrales del autor: (Afirmaciones que dan lógica al conjunto de la lectura por parte del autor, redactadas en forma concisa y exacta). 1. El autor al autor le interesa conocer el modelo de regresión lineal ensu modelo más simple de la regresión respecto a las tres variables.
2. Si r2 son ajustadas y medidas globales que indican que el modelo escogido se deben ajustar a un conjunto de datos, por lo tanto esto no debe exagerar su importancia.
3. El análisis de regresión múltiple proporciona interpretaciones ceteris paribus
incluso si los datos no se han recogido de forma ceteris paribus Palabras claves de la lectura: (Términos que sirven para clasificar los t emas centrales tratados; las publicaciones no suelen aceptar más de 5 palabras claves; cada "palabra clave” puede sin embargo ser integrada por un máximo de tres palabras): 1. COEFICIENTE DE CORRELACION MULTIPLE 2. COEFICIENTES DE REGRECION PARCIAL 3. REGRECION LINIAL MULTIPLE 4. MODELO DE REGRECION MULTIPLE 5. MODELO DE REGRECION POLINOMIAL Resumen breve de la lectura: (No exceder el límite de renglones)
En este capítulo el modelo más sencillo posible de regresión lineal múltiple, a saber, el modelo de regresión con tres variables. Se entiende que el término lineal se refiere a linealidad en los parámetros y no necesariamente en las variables. Aunque un modelo de regresión con tres variables es, en muchas formas, una extensión del modelo con dos variables, hay algunos conceptos nuevos, como coeficientes de regresión parcial, coefi cientes de correlación parcial, coefi ciente de correlación múltiple, R2 ajustada y no ajustada (por grados de libertad),
multicolinealidad y sesgo de especificación. Si bien R2 y R2 ajustada son medidas globales que indican la forma en que el modelo escogido se ajusta a un conjunto dado de datos, no debe exagerarse su importancia. Los aspectos críticos son las expectativas teóricas en que se basa el modelo en términos de los signos a priori de los coefi cientes de las variables incluidas en él y, como se muestra en e l siguiente capítulo, su signifi cancia estadística. Los resultados presentados en este capítulo se generalizan fácilmente a un modelo de regresión lineal múltiple que implique cualquier número de regresoras. Pero el álgebra se vuelve tediosa. Este tedio se evita al recurrir al álgebra matricial. Para el lector interesado, la extensión al modelo de regresión de k variables mediante álgebra matricial se presenta en el apéndice C, opcional. Pero el lector general puede leer el resto del texto sin conocer mucho de álgebra matricial. En este capítulo se consideró también la forma funcional del modelo de regresión múltiple, como la función de producción Cobb-Douglas y el modelo de regresión polinomial.
Comentario crítico de la lectura: (No exceder el límite de renglones)
Viendo el texto leído, el autor realiza buenos temas para aprender la econometría, porque nos da las formular de cada modelo, me parece muy bien que menciona esos temas que más adelante a nosotros nos sirva como economistas y podamos aplicar en la práctica, lo que si puedo agregar que el autos debe profundizar más temas que a un economista le sirva, en este capítulo nos enseña cada paso para hallar la varianza, t- Student, media, R2.
UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILO VALDIZAN Facultad de Ciencias Económicas CURSO “ECONOMETRIA II”
Profesor: Julio C. Castro FICHA DE LECTURA
Alumna: Aquino Duran, Judith Celina Fecha: 19 de setiembre del 2016 Autor: DAMODAR N. GUJARATI – DAWN C. PORTER Título de la lectura: ANALISIS DE REGRECION MULTIPLE: EL PROBLEMA DE
INFERENCIA CAPITULO 08 Ideas centrales del autor: (Afirmaciones que dan lógica al conjunto de la lectura por parte del autor, redactadas en forma concisa y exacta).
1. El modelo de regresión requiere que todas las variables, dependiente e independientes, estén medidas con escala métricas 2. Estimar el valor esperado de la respuesta y predecir un valor futuro de ´esta para unos valores prefijados de las variables explicativas. Determinar la precisión de la estimación y la predicción. 3. Construir un modelo que represente la dependencia lineal de una variable respuesta cuantitativa Y simultáneamente respecto de varias variables explicativas cuantitativas. Palabras claves de la lectura: (Términos que sirven para clasificar los t emas centrales tratados; las publicaciones no suelen aceptar más de 5 palabras claves; cada "palabra clave” puede sin embargo ser integrada por un máximo de tres palabras):
1. MODELO DE REGRECION MULTIPLE 2. IDENTIFICACION DE LA VARIABLE EXPLICATIVA 3. COEFICIENTE DE DETERMINACION 4. DEMODELO VARIABLES CONFUSAS 5. IDENTIFICACION SIGNIFICACION DE DE REGRECION Resumen breve de la lectura: (No exceder el límite de renglones)
El análisis de regresión múltiple es una técnica de análisis multivariable en el que se establece una relación funcional entre una variable dependiente o a explicar y una serie de variables independientes o explicativas, en la que se estiman los coeficientes de regresión que determinan el efecto que las variaciones de las
variables independientes tienen sobre el comportamiento de la variable dependiente. En este capítulo se extendieron y refinaron las ideas sobre estimación por intervalos y pruebas de hipótesis presentadas en el capítulo 5 en el contexto del modelo de regresión lineal con dos variables. En la regresión múltiple, la prueba de significancia individual de un coefi ciente de regresión parcial (con la prueba t) y la prueba de la significancia general de la (esmisma decir,cosa. H0: todos los coeficientes de pendiente parcial son cero o R2 = regresió 0) no sonn la
En particular, encontrar que uno o más coefi cientes de regresión parcial no son estadísticamente significativos con base en la prueba t individual no significa que todos los coeficientes de regresión parcial (colectivamente) tampoco sean significativos. Esta última hipótesis sólo se prueba mediante la prueba F. La prueba F tiene gran versatilidad, pues con ella se pueden probar diversas hipótesis, como 1) si un coefi ciente de regresión individual es estadísticamente significativo, 2) si todos los coeficientes de pendiente parciales son cero, 3) si dos o más coeficientes son estadísticamente iguales, 4) si los coefi cientes satisfacen algunas restricciones lineales y 5) si el modelo de regresión posee estabilidad estructural. Como en el caso de dos variables, el modelo de regresión múltiple sirve para fines de predicción de media y/o individual
Comentario crítico de la lectura: (No exceder el límite de renglones)
En este capítulo el autor está profundizando sus temas para la aplicación de la econometría , bueno eso me parece bien porque a nosotros nos sirva en vida diario del trabajo además podemos analizar las hipótesis y poder usas los modelos de dos o más variables que se hallan en la inferencia estadística, en este caso usa la prueba F, para poder hallar muchas hipótesis
EJERCICIOS RESUELTOS DEL CAPITULO 7 Y 8 EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO N°7 PREGUNTA 7.1. Considere los datos de la 7.5.
Y
X2
X3
1
1
2
3 8
2
1
3
-3
Con base a estos datos, estime las siguientes regresiones: Yt = α1 + α2 X 2t + u1t Yt = λ1 + λ3 X 3t + u2t
(1) (2)
Yt = β1 + β2 X2t + β3 X3t + ut
(3)
Nota: Estime sólo los coeficientes y no los errores estándar. a) ¿Es α2= β2? ¿Por qué? b) ¿Es λ3 = β3? ¿Por qué?
¿Qué conclusión importante obtiene de este ejercicio?
SOLUCIÓN:
Los resultados de la regresión son:
a) No es α2= β2, porque el modelo (3) es el modelo verdadero, es un estimador sesgado de β2. b) No es λ3 = β3, porque es un estimador sesgado de β3, por la misma razón como en (a). La lección aquí es que una ecuación puede conducir a la estimación sesgada de los parámetros del modelo.
Pregunta 7.2. De los siguientes datos estime los coeficientes de regresión parcial, sus errores estándar y los valores R2 ajustada y sin ajustar:
Ȳ367.693
ẋ 402.760 ẋ 8.0
∑ Ȳ6 6042.269 ∑¡ ẋ 84 855.096 ∑¡ ẋ 280.00 ∑ Ȳ ¡ ẋ 74 778,346 ∑ Ȳ ¡ ẋ4250.900 ∑¡ ẋ(¡ ẋ)4796.000 15 SOLUCION Utilizando las fórmulas indicadas en el texto, los resultados de la regresión son los siguientes: Yt = 53,1612 + 0.727X2i + 2.736X3, se (0,049) (0,849)
R2= 0,9988;
R2= 0,9986
Pregunta 7.3. Demuestre que la ecuación (7.4.7) se expresa también como:
∑ ∑
Donde es el coeficiente de la pendiente en la regresión de X 2 sobre X3. (Sugerencia: Recuerde que .)
∑ /∑
SOLUCION: La omisión de la observación y subíndice para mayor comodidad es:
∑ ∑ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑ /∑ ∑∑∑ ∑ /∑
∑ ∑(∑) (∑)−−∑ ∑ ∑∑ , Se usa:
Pregunta 7.4. En un modelo de regresión múltiple se le indica que el término de error Ui tiene la siguiente distribución de probabilidades: Ui
N (0, 4).
∼
¿Cómo llevaría a cabo un experimento Monte Carlo para verificar que la verdadera varianza es de hecho 4?
SOLUCION Ya que se nos dice que es Ui
∼
N (0, 4) generar por ejemplo 25
observaciones de una distribución normal con estos parámetros. La mayoría de los paquetes de computadoras hacen de manera rutinaria. A partir de estas 25 observaciones, calcular la varianza de la muestra cómo
∑−
, donde
=
el valor observado de la muestra de 25
observaciones. Repetir este ejercicio, decir, 99 veces más, para un total de 100 experimentos. En total habrá 100 valores de . Tomar la media de estos 100 valores. Este valor medio debe estar cerca a ..A
4
veces es posible que necesite más de100 muestras para la aproximación a ser bueno.
Pregunta 7.5. Demuestre que ecuación.
/1
he interprete la
SOLUCION: Del texto lo que tenemos
. −−
1 .
; por lo tanto
:
Este es el coeficiente de determinación parcial y se puede interpretar
como la descripción de la proporción de la variación en la variable
dependiente no explicado por explicado por la adición de la
Pregunta 7.6. Si la relación
1
variable explicativa, pero ha sido
variable explicativa al modelo.
X 1 + α 2 X 2 + α3 X 3 = 0 se cumple para todos los
valores de X1, X2 y X3, encuentre los valores de los tres coefi cientes de correlación parcial.
SOLUCION α1 X1 + α2 X2 + α3 X3 = 0
La ecuación dada se puede describir como:
X1 α1α22 α3α13 ;0 X2 α1α21 α3α13 ;0 X3 α1α31 α2α32 ;0 12,3 α2α1 ; 13,2 α3α1 21,3 α1α2 ; 23.1 α2α3 31,2 α1α3 ; 32.1 α2α3 α1 12.3 12.321.3α2 α1α1
Por lo tanto el parcial coeficiente de regresión lineal seria como sigue:
Recordando la pregunta 3.6 es la siguiente:
12.3 √1±1 Pregunta 7.7. ¿Es posible obtener los siguientes resultados de un conjunto de datos?
a) b) c)
0.9, 0.2, 0.8 0.9, 0.9, 0.5 0.01, 0.66, 0.7
SOLUCION a) FALSO
Un valor r no puede ser superior a 1 en valor absoluto. Ajustar los datos dados en la ecuación (7.11.2), el lector puede debe verificar que: r = 2.295, que es lógicamente imposible.
b) VERDADERO Siguiendo el mismo procedimiento que en (a), el lector encontrará que r = 0,397, que es posible.
c) VEDADERO Otra vez se puede demostrar que r = 0,880, que es posible.
Pregunta 7.8. Considere e siguiente modelo:
ó ñ Suponga que hace caso omiso de la variable correspondiente a los años de experiencia. ¿Qué tipos de problemas o de sesgos esperaría que surgieran? Explique de manera verbal.
SOLUCION Si dejar de lado los años de experiencia de la educación
del modelo, el coeficiente
se hará con preferencia, la naturaleza del sesgo
en función de la correlación entre suma residual de cuadrados, y
y
. El error estándar, la
todos serán afectados como
consecuencia de esta omisión. Este es un ejemplo del sesgo de la variable omitida
Pregunta 7.9. Demuestre que
7.9.2
dan en realidad las
elasticidades producción del trabajo y del capital. (esta pregunta puede resolverse sin utilizar calculo; solo recuerde la definición del coeficiente de elasticidad y que un cambio en el logaritmo de una variable es relativo, suponiendo que los cambios sean pequeños).
SOLUCION Los coeficientes de las pendientes en los modelos de doble registro dan estimaciones directas de la elasticidad (constante) de la variable lado izquierdo con respecto a la variable lado derecho. Aquí:
llnn // llnn // Pregunta 7.10. Considere el modelo de regresión lineal de tres variables analizando en este capítulo. a) Suponga que se multiplican todos los valores
por 2. ¿cuál será el
efecto de este escalamiento, si es que produce algún, sobre las estimaciones de los parámetros y sus errores estándar? b) Ahora, en lugar de a) suponga que se multiplican todos los valores y por 2¿Cuál sería el efecto de este, si es que hay alguno, sobre los parámetros estimados y sus errores estándar? SOLUCION
(A) y (6) si se multiplica por 2, se puede comprobar en las ecuaciones (7.4.7) y (7.8.8), que las pistas no se verán afectados. Por otra parte, si se
multiplica por 2, la pendiente, así como la intersección coeficiente y sus errores estándar son multiplicados por 2. Tener siempre en cuenta las unidades en la que el regresor y los regresores son medidos.
Pregunta 7.11. En general,
≠
+
, pero esto sólo se cumple si
r
=
0. Comente y resalte la importancia de este hallazgo. [ Sugerencia: Consulte la ecuación (7.11.5)].
SOLUCIÓN: Según (7.11.5.) nosotros sabemos para qué;
2 1
Por lo tanto, cuando variables
= 0, es decir, hay una correlación entre las
y
donde
, es decir, el coeficiente múltiple
de determinación es la suma de los coeficientes de determinación de la regresión de Y en
y es ese Y en ese
Pregunta 7.12. Considere los siguientes modelos. Modelo A: Modelo B:
a) ¿Serán iguales las estimaciones de MCO de b) ¿Serán iguales las estimaciones de MCO de c) ¿Cuál es la relación entre
?
d) ¿Es posible comparar los términos qué?
?¿Porqué? ?¿Porqué?
de los dos modelos? ¿Por
SOLUCION:
0 3 1
A y B son iguales
Donde l=
Por lo tanto, los dos modelos son similares. Si, las intercepciones en los modelos son los mismos. Las estimaciones de la pendiente del coeficiente será el mismo.
en los dos modelos
C)
12
D) no porque el regresando en los dos modelos son diferentes.
Pregunta 7.13. Suponga que estima la función de consumo Yi _
1+
2Xi + u1i
Y la función de ahorro Zi _ β1 + β2Xi + u2i
Donde Y = consumo, Z = ahorro, X = ingreso y X = Y + Z, es decir, el ingreso es igual al consumo más el ahorro. a)
¿Cuál es la relación, si existe, entre
2 y
2? Muestre sus
cálculos. Utilizando
LA OPERACIÓN, obtenemos:
SOLUCION
∝2∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ 12
Es decir, la pendiente en la regresión de las economías de los ingresos (es decir, la propensión marginal al ahorro) es uno menos la pendiente en la regresión de consumo sobre la renta, (es decir, la propensión marginal a consumir).
Dicho de otro modo, la suma de las dos
propensiones marginales es de 1, como debe ser en vista de la identidad que los ingresos totales son igual Total, de los gastos de consumo y ahorro total. Por cierto, Tenga en cuenta que a = b)
∝1 2
¿Será la suma de los residuos al cuadrado, SCR, la misma para
los dos modelos? Explique.
SOLUCION
∝1∝2 ,∝ ∝212
c)
¿Se pueden comparar los términos R2 de los dos modelos? ¿Por
qué? No, ya que los dos regresiones no son lo mismo.
Pregunta 7.14. En un modelo de regresión múltiple se le indica que el termino de error ui tiene la siguiente distribución de probabilidades: u i = ~ N (0.4). ¿Cómo llevaría a cabo un experimento monte Carlos para verificar que la verdadera varianza es de hecho 4?
SOLUCIÓN a. Como se discutió en segundos. 6.9, Para utilizar el clásico lineal normal Modelo de regresión (CNLRM), debemos asumir que En U\ ~ N(0, cr2) Después de estimar el modelo Cobb-Douglas, obtener Los residuos y los someten a prueba de normalidad, como el Jarque-Bera. b. No. Como se discutió en segundos. 6.9, U, □ de lognormal[ea "2,eal {e°2 -1 )]
Pregunta 7.15. Regresión a través del srcen. Considere la siguiente regresión a través del srcen: Yi _ ˆ β2X2i + ˆ β3X3i + ˆui a) ¿Qué pasos seguiría al estimar las incógnitas? b) ¿Será ˆu i cero para este modelo? ¿Por qué? c) ¿Será ˆu i X2i_ ˆui X3i _ 0 para este modelo? d) ¿Cuándo utilizaría un modelo de este tipo? e) ¿Puede generalizar los resultados para el modelo de k variables?
SOLUCIÓN:
Considere la siguiente regresión a través del srcen:
̂ a).
Expresando en forma de desviaciones
Elevando al cuadrado
Sumatoria o matrices
̂ ∑ 2( ) 2( )0 ∑0 ↔∑≠0 2 2 2 0 2 2 2
Diferenciando respecto a
e igualando a cero.
,
∑∑−∑∑ ↔ 0 ∑ ;
Análogamente
Si a) b) c) d)
∑0 ↔ 0 → ∑∑ ∑≠0 ∑ ∑ 0 ,
Falso
, para que se regresión respecto al srcen.
(v)
Cuando regresiones o especificas modelos sin intercepto Si
∑ ∑
; =
1,2,3,4,5….
Pregunta 7.16. La demanda de rosas.* En la tabla 7.6 se presentan datos trimestrales sobre estas variables:
Y = cantidad de rosas vendidas, docenas X2= precio promedio al mayoreo de las rosas, $/docena X3= precio promedio al mayoreo de los claveles, $/docena X4= ingreso familiar disponible promedio semanal, $/semana X5= variable de tendencia que toma valores de 1, 2, y así
sucesivamente, durante el periodo 1971-III a 1975-II en el área metropolitana de Detroit. Se le pide considerar las siguientes funciones de demanda: Yt =α1 + α2X2t + α3X3t + α4X4t + α5X5t + ut
lnYt =β1 + β2 lnX2t + β3 lnX3t + β4 lnX4t + β5X5t + ut
TABLA 7.6 DEMANDA TRIMESTRAL DE
ROSAS EN EL ÁREA METROPOLITANA DE DETROIT, DE 1971-III A 1975-II
a)
Estime los parámetros del modelo lineal e interprete los resultados:
704 1251.29.1419199 6.29.2839199 197. 319956 5988.384042227. 1157021 10816. 101. 0.835
En este modelo los coeficientes de pendiente miden la velocidad de cambio de y con respecto a la variable relevante.
b)
Estime los parámetros del modelo log-lineal e interprete los resultados:
0.6271.274 0.937 1.713 0.182 6.148 0,527 0,659 1.201 0,128 0.778
En este modelo todos los coeficientes de pendiente parciales son elasticidades parciales de Y con respecto a la variable relevante. c) β2, β3
y β4 dan respectivamente las elasticidades de la demanda
respecto del precio propio, precio cruzado e ingreso. ¿Cuáles son, a priori, los signos de estas elasticidades?
¿Concuerdan estos resultados con las expectativas a priori?: La elasticidad precio propia se pensábamos que ser negativo, se espera que la elasticidad precio cruzada a ser positivo para los bienes sustitutivos y negativa para los bienes gratuitos, y se espera que la elasticidad ingreso de ser positivo, ya que las rosas son un bien normal.
d)
¿Cómo calcularía las elasticidades precio propio, precio cruzado e ingreso en el modelo lineal? La fórmula general de la elasticidad de la ecuación lineal es: Elasticidad =
̅̅, donde Xi es el regresor relevante.
Es decir, para un modelo lineal, la elasticidad se puede calcular el valor medio. e)
Con base en el análisis, ¿cuál modelo, si existe, escogería y por
qué? Ambos modelos dan resultados similares. Una de las ventajas del modelo lineal de registro es que los coeficientes de pendiente dan estimaciones directas de la elasticidad de la variable relevante con respecto a la regresor en consideración. Pero hay que tener en cuenta que el cuadrado r de los dos modelos no es directamente comparable.
Pregunta 7.17. A ctivi dad de exploración. Reciben el nombre de “pozos de exploración” los que se perforan para encontrar y producir petróleo o gas
natural en una zona mejorada, o para encontrar una nueva reserva en un
yacimiento donde antes se encontró petróleo o gas natural, o para extender el límite de una reserva de petróleo o gas conocida. La tabla 7.7 contiene datos sobre estas variables:* Y = número de pozos de exploración perforados X 2 = precio en la cabeza del pozo en el periodo anterior (en dólares
constantes, 1972 = 100) X 3 = producción interna X 4 = PNB en dólares constantes (1972 = 100) X 5 = variable de tendencia, 1948 = 1, 1949 = 2,…, 1978 = 31
Vea si el siguiente modelo se ajusta a los datos: Yt _ β1 + β2X2t + β3 ln X3t + β4X4t + β5X5t + ut
a) ¿Puede ofrecer una justificación a priori para este modelo? A priori, todas las variables son relevantes para explicar la actividad salvaje. Con la excepción de la variable de tendencia, se espera que todos los coeficientes de la pendiente de ser positivo, tendencia puede ser positivo o negativo. b) Si el modelo es aceptable, estime los parámetros del modelo y sus
̅ 37.1862.775 24.152 0.011 0.213 12.877 0.57 5.587 0.008 ̅ 0.259 0.656 ; 0.603
errores estándar, y obtenga
y
.
El modelo estimado es: Se
c) Comente sus resultados desde el punto de vista de sus expectativas a priori.
Precio por barril y variables de salida domésticos son estadísticamente significativas al nivel del 5 % y tienen los signos esperados. Las otras variables no son estadísticamente diferentes de cero. d) ¿Qué otra especificación sugeriría para explicar la actividad de exploración? ¿Por qué? El modelo log- lineal puede ser otra especificación. Además de dar estimaciones directas de las elasticidades, puede capturar linealidades (en las variables), si los hubiese.
Pregunta 7.18. Desembolsos del presupuesto de defensa de Estados Unidos, 1962-1981. Para explicar el presupuesto de defensa de Estados Unidos, considere el siguiente modelo:
Dónde:
= desembolsos del presupuesto de defensa durante el año t, $ miles de millones. = PNB durante el año t, $ miles de millones.
= ventas militares de Estados Unidos /ayuda en el año t, $ miles de millones. = ventas de la industria aeroespacial, $ miles de millones.
= conflictos militares que implican a más de 100000 soldados. Esta variable adquiere el valor de 1 cuando participan 100000 soldados o más, y es igual a cero cuando el número de soldados no llega a 100000. Para probar este modelo, se proporcionan datos en la siguiente tabla: Año
Yt
X2
X3
X4
X5
1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973
51,1 52,3 53,6 49,6 56,8 70,1 80,5 81,2 80,3 77,7 78,3 74,5
560,3 590,5 632,4 684,9 749,9 793,9 865 931,4 992,7 1077,6 1185,9 1326,4
0,6 0,9 1,1 1,4 1,6 1 0,8 1,5 1 1,5 2,95 4,8
16 16,4 16,7 17 20,2 23,4 25,6 24,6 24,8 21,7 21,5 24,3
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0
1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981
77,8 85,6 89,4 97,5 105,2 117,7 135,9 162,1
1434,2 1549,2 1718 1918,3 2163,9 2417,8 2633,1 2937,7
10,3 16 14,7 8,3 11 13 15,3 18
26,8 29,5 30,4 33,3 38 46,2 57,6 68,9
0 0 0 0 0 0 0 0
A continuación, nos piden: a)
Estime los parámetros de este modelo y sus errores estándar, y obtenga
,
modificada y
Ṝ
.
b)
Comente los resultados, considerando cualquier expectativa a priori
c)
que tenga sobre la relación entre Y y las diversas variables X. ¿Qué otra(s) variable(s) incluiría en el modelo y por qué?
SOLUCIÓN: a) Estime los parámetros de este modelo y sus errores estándar, y obtenga
Ṝ ,
modific ada y
.
Modelo:
Tabla de datos: T
Año
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976
51,1 52,3 53,6 49,6 56,8 70,1 80,5 81,2 80,3 77,7 78,3 74,5 77,8 85,6 89,4
560,3 590,5 632,4 684,9 749,9 793,9 865 931,4 992,7 1077,6 1185,9 1326,4 1434,2 1549,2 1718
0,6 0,9 1,1 1,4 1,6 1 0,8 1,5 1 1,5 2,95 4,8 10,3 16 14,7
16 16,4 16,7 17 20,2 23,4 25,6 24,6 24,8 21,7 21,5 24,3 26,8 29,5 30,4
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
16 17 18 19 20 Suma Media
1977 1978 1979 1980 1981
97,5 105,2 117,7 135,9 162,1 1677,2 83,86
1918,3 2163,9 2417,8 2633,1 2937,7 27163,1 1358,155
8,3 11 13 15,3 18 125,75 6,2875
33,3 38 46,2 57,6 68,9 582,9 29,145
0 0 0 0 0 8 0,4
Entonces:
x2
Yt
x3
x4
x5
51,1 52,3 53,6 49,6 56,8 70,1 80,5 81,2
Y=
X
=
80,3 77,7 78,3 74,5 77,8 85,6 89,4 97,5 105,2 117,7 135,9 162,1
1
560,3
0,6
16
0
1 1
590,5 632,4
0,9 1,1
16,4 16,7
0 0
1
684,9
1,4
17
1
1
749,9
1,6
20,2
1
1
793,9
1
23,4
1
1
865
0,8
25,6
1
1
931,4
1,5
24,6
1
1
992,7
1
24,8
1
1
1077,6
1,5
21,7
1
1
1185,9
2,95
21,5
1
1
1326,4
4,8
24,3
0
1
1434,2
10,3
26,8
0
1
1549,2
16
29,5
0
1
1718
14,7
30,4
0
1 1
1918,3 2163,9
8,3 11
33,3 38
0 0
1
2417,8
13
46,2
0
1
2633,1
15,3
57,6
0
1
2937,7
18
68,9
0
20 X'Y
=
X'X
27163,1000
125,7500
582,9000
8
1677,2
=
27163,1000 46832239,2300 248214,4750 973615,5100 7281,3000 125,7500 248214,4750 1540,9425 5028,4350 11,7500 582,9000 973615,5100 5028,4350 20712,5900 178,8000 8 7281,3000 11,7500 178,8000 8
(X'X)-1
=
0,487114 -0,000253
-0,000253 0,000002
0,013302 -0,000068
-0,003283 -0,202777 -0,000058 0,000082
0,013302 -0,003283 -0,202777
-0,000068 -0,000058 0,000082
0,008780 0,000482 0,025073
0,000482 0,025073 0,002822 -0,007580 -0,007580 0,385372
Hallamos: 1677,2 2657079,68 X'Y =
13317,485 56437,61 574,5
Hallamos Y'Y: Y'Y =
156604,44
Estimador de mínimos cuadrados ordinarios del vector β: β^ = (X'X)
-1
X'Y
-1
(X'X)
=
0,487114 -0,000253 0,013302 -0,003283 -0,202777
-0,000253 0,000002 -0,000068 -0,000058 0,000082
0,01 3302 -0,000068 0,008780 0,000482 0,025073
-0,003283 -0,000058 0,000482 0,002822 -0,007580
-0,202777 0,000082 0,025073 -0,007580 0,385372
Operando
2657079,7 13317,485 56437,61 574,5 β^
=
0,487114
-0,000253
0,013302
-0,003283 -0,202777
1677,2
-0,000253
0,000002
-0,000068
-0,000058 0,000082
2657079,68
0,013302
-0,000068
0,008780
0,000482 0,025073
13317,485
-0,003283 -0,202777
-0,000058 0,000082
0,000482 0,025073
0,002822 -0,007580 -0,007580 0,385372
56437,61 574,5
Resultado: β^
= 19,443464 0,018056 -0,284209 1,343196 6,331823
Modelo:
Obtenemos:
^
=19.4434635044165+0.0180563400404556X2t-0.2842088498X3t+1.3431964994181X4t+6.33182288971807X5t+ut
Calculamos los residuos: u^t =Yt-19.4434635044165-0.0180563400404556X 2t+0.284208849867881X 3t-1.3431964994181X 4t-6.33182288971807X 5t
u^t
yt
-
19,4434635 -
0,01805634 .
x 2t +
u^1
=
=
51,1
-
19,4434635 -
0,01805634 .
560,3 +
0,28420885 .
0,28420885 .
x
0,6 -
1,343196499 .
16 -
6,33182289 .
0
=
0,21895049
u^2
=
52,3
-
19,4434635 -
0,01805634 .
590,5 +
0,28420885 .
0,9 -
1,343196499 .
16,4 -
6,33182289 .
0
=
0,421633076
3t
-
1,343196499 .
x 4t -
6,33182289 . x 5t
u^3
=
53,6
-
19,4434635 -
0,01805634 .
632,4 +
0,28420885 .
1,1 -
1,343196499 .
16,7 -
6,33182289 .
0
=
0,618955249
u^4
=
49,6
-
19,4434635 -
0,01805634 .
684,9 +
0,28420885 .
1,4 -
1,343196499 .
17 -
6,33182289 .
1
=
-10,97852179
u^5
=
56,8
-
19,4434635 -
0,01805634 .
749,9 +
0,28420885 .
1,6 -
1,343196499 .
20,2 -
6,33182289 .
1
=
-9,193570919
u^6
=
70,1
-
19,4434635 -
0,01805634 .
793,9 +
0,28420885 .
1 -
1,343196499 .
23,4 -
6,33182289 .
1
=
-1,156803989
u^7
=
80,5
-
19,4434635 -
0,01805634 .
865 +
0,28420885 .
0,8 -
1,343196499 .
25,6 -
6,33182289 .
1
=
4,947516166
u^8
=
81,2
-
19,4434635 -
0,01805634 .
931,4 +
0,28420885 .
1,5 -
1,343196499 .
24,6 -
6,33182289 .
1
=
5,990717881
u^9
=
80,3
-
19,4434635 -
0,01805634 .
992,7 +
0,28420885 .
1 -
1,343196499 .
24,8 -
6,33182289 .
1
=
3,573120512
u^10
=
77,7
-
19,4434635 -
0,01805634 .
1077,6 +
0,28420885 .
1,5 -
1,343196499 .
21,7 -
6,33182289 .
1
=
3,746150816
u^11
=
78,3
-
19,4434635 -
0,01805634 .
1185,9 +
0,28420885 .
2,95 -
1,343196499 .
21,5 -
6,33182289 .
1
=
3,071391322
u^12
=
74,5
-
19,4434635 -
0,01805634 .
1326,4 +
0,28420885 .
4,8 -
1,343196499 .
24,3 -
6,33182289 .
0
=
-0,168865391 -0,610181421
u^13
=
77,8
-
19,4434635 -
0,01805634 .
1434,2 +
0,28420885 .
10,3 -
1,343196499 .
26,8 -
6,33182289 .
0
=
u^14
=
85,6
-
19,4434635 -
0,01805634 .
1549,2 +
0,28420885 .
16 -
1,343196499 .
29,5 -
6,33182289 .
0
=
3,10669937
u^15
=
89,4
-
19,4434635 -
0,01805634 .
1718 +
0,28420885 .
14,7 -
1,343196499 .
30,4 -
6,33182289 .
0
=
2,280440817
u^16
=
97,5
-
19,4434635 -
0,01805634 .
1918,3 +
0,28420885 .
8,3 -
1,343196499 .
33,3 -
6,33182289 .
0
=
1,049549419
u^17
=
105,2
-
19,4434635 -
0,01805634 .
2163,9 +
0,28420885 .
11 -
1,343196499 .
38 -
6,33182289 .
0
=
-1,230747347
6,33182289 .
0
u^18
117,7
-
0,28420885 .
13 -
=
-3,761045679
u^19
=
135,9
-
19,4434635 -
0,01805634 .
2633,1 +
0,28420885 .
15,3 -
1,343196499 .
57,6 -
6,33182289 .
0
=
-4,107335428
u^20
=
=
162,1
-
19,4434635 -
19,4434635 -
0,01805634 .
0,01805634 .
2937,7 +
2417,8 +
0,28420885 .
18 -
1,343196499 .
1,343196499 .
68,9 -
46,2 -
6,33182289 .
0
=
2,181946846
Por lo tanto: u^1 =
0,219
u^2
=
0,422
u^3 =
0,619
u^4 =
-11
u^5 =
-9,19
u^6 = u^7 =
-1,16 4,948
u^8 =
5,991
u^9 =
3,573
u^10 =
3,746
u^11 = u^12 =
3,071 -0,17
u^13 =
-0,61
u^14 =
3,107
u^15 =
2,28
u^16 =
1,05
u^17 =
-1,23
u^18 = u^19 =
-3,76 -4,11
u^20 =
2,182
Hallando la varianza estimada del error: σ^2 = S^2=
Y'Y- β^'(X'Y) n-k
Sabemos que: Y'Y β=^
=
156604,44 19,44 0,02 -0,28 1,34 6,33
Entonces: β^' =
19,44
0,02
-0,28
1,34
6,33
X'Y =
1677,2 2657079,68 13317,485 56437,61 574,5
De:
X'X =
20
27163,1000
125,7500
582,9000
8
27163,1000 46832239,2300 248214,4750 973615,5100
7281,3000
125,7500
248214,4750
1540,9425
5028,4350
11,7500
582,9000
973615,5100
5028,4350
20712,5900
178,8000
7281,3000
11,7500
178,8000
8
Entonces:
n
De:
Yt=β1+β2X2t+β3X3t+β4X4t+β5X5t+ut
Entonces:
k
8
= 20
= 5
Operando: 1677,2 2657080 19,44
0,02
-0,28
1,34
6,33
13317,49 56437,61
^2
σ = 156604,4400
20 σ^2
-
574,5 -
= 156604,44 20
5 156247,1965 5
σ^2=
23,8162
Entonces: Var(β^)
=
23,8162
0,487114 -0,000253 0,013302 -0,003283 -0,000253 0,000002 -0,000068 -0,000058 0,013302 -0,000068 0,008780 0,000482 -0,003283 -0,000058 0,000482 0,002822 -0,202777 0,000082 0,025073 -0,007580
-0,202777 0,000082 0,025073 -0,007580 0,385372
Var(β^)
=
11,601202 -0,006032 0,316795 -0,078180 -0,006032 0,000041 -0,001624 -0,001385 0,316795 -0,001624 0,209104 0,011489 -0,078180 -0,001385 0,011489 0,067215 -4,829378 0,001962 0,597138 -0,180517
-4,829378 0,001962 0,597138 -0,180517 9,178105
Por lo tanto: Var(β^1)
Var(β^4)
= 11,601202 = = 0,000041 0,209104 = 0,067215
Var(β^5)
=
Var(β^2) Var(β^3)
9,178105
Modelo: Yt = β1+β2X2t+β3X3t+β4X4t+β5X5t+ut β^ = 19,443464
0,018056 -0,284209 1,343196 6,331823
σ^2 =
23,8162
Obtenemos: S^2=
Yt = 19.4434635044165+0.0180563400404556X2t0.284208849867881X3t+1.3431964994181X4t+6.33182288971807X5t+ut
23,8162
S^ = 4,880184423 Además: S^(β^)
=
S^2(X'X)-1
Operando: S^(β^)
=
23,8162
0,487114 -0,000253
0,013302 -0,003283
-0,202777
-0,000253 0,000002
-0,000068 -0,000058
0,000082
0,013302 -0,000068
0,008780 0,000482
0,025073
-0,003283 -0,000058
0,000482 0,002822
-0,007580
-0,202777 0,000082
0,025073 -0,007580
0,385372
S^(β^)
=
11,6012 -0,0060 -0,0060 0,0000 0,3168 -0,0016 -0,0782 -0,0014 -4,8294 0,0020
0,3168 -0,0782 -0,0016 -0,0014 0,2091 0,0115 0,0115 0,0672 0,5971 -0,1805
-4,8294 0,0020 0,5971 -0,1805 9,1781
Además: R2
=
β^'X'Y-nȲ2
Y'Y-nȲ2 Tenemos: β^'
=
X'y
=
1677,2 2657080 13317,49 56437,61 574,5
n
=
20
Yp= Yp2
19,44 0,02 -0,28 1,34 6,33
83,86 =
7032,5
Y'Y = 156604,4 Operando: 19,44 0,02
R2
-0,28 1,34 6,33
1677,2 2657079,68 13317,485 56437,61
=
574,5 156604
R2 =
R2
=
156247 156604
0,97761
-
20 -
. 20
.
7032,5 7032,5
-
20 . 7032,4996 20 . 7032,4996
Análisis: Este resultado nos indica que es una buena explicación de los parámetros y de las variables del modelo con un 97%. Los residuos están desapareciendo. ADEMÁS: R2 ajustado
R2a
R2a
=
=
1
1
-
(n-1)
-
19
2)
(1-R (n-k)
0,022391 15
R2a
=
0,97164
ADEMÁS: R2 modificado R2m
=
1
-
k
R
2
n R2m
=
1
-
5
0,977609 20
R2m =
0,7556
b) Comente los resultados, considerando cualquier expectativa a priori que teng a s obre la relaci ón entre Y y las div ers as variables X.
1) TEMA: Desembolsos del presupuesto de defensa de EE.UU
Yt =
1+
2X2 +
3X3 +
Sabemos: Y = F(X2, X3, X4. X5)
4X4 +
5X5 + µ
Modelo Dado
DESEMBOLSOS DEL PRESUPUESTO DE DEFENSA = F (PNB, VENTAS/ASISTENCIAS MILITARES DE EE.UU, VENTAS DE LA INDUSTRIA AEROESPACIAL, CONFLICTOS) Para responder a la pregunta dada, primeramente, definimos algunos conceptos sobre lo que hemos estado trabajando con anterioridad, para que de allí pasemos a responder a la pregunta que nos es dado.
2) DESARROLLO: El papel de los modelos econométricos en la investigación económica aplicada Por ejemplo, sea el modelo estimado:
Yt
b0
b
1
Xt
b
2
Zt
El conocimiento de los coeficientes b0, b1 y b2 nos permite realizar Un análisis estructural: Se usa el modelo estimado para medir la
relación entre variables económicas. Nos permite evaluar el impacto en Yt de las variaciones ocurridas en Xt y Zt.
La predicción: Se usa para predecir el valor futuro de una variable de interés, por ejemplo, predecimos Yt dados unos hipotéticos valores futuros para Xt y Zt.
R R ,
modificada y
Ṝ
: Es un indicador del poder explicativo del modelo, indica en qué
proporción la variación de Y es explicado por el modelo de regresión. Modificado: Como sabemos, al considerar
como un indicador del
poder explicativo del modelo, debemos tomar en cuenta que al comparar 2 modelos con diferentes números de variables explicativas, el modelo con más variables siempre tendrá un
Ṝ
mayor.
: Para determinar que tanto mejora el poder explicativo del modelo al
adicionar nuevas variables se propone una modificación en el cálculo del al que se denomina
Ṝ
. Este coeficiente es sensible al número de
variables adicionales, de manera que si las variables adicionales no
incrementan de manera significativa el poder explicativo el reducirá.
Ṝ
se
3) RESPUESTA: Como podemos a ver visto las diferentes definiciones de los puntos tocados con anterioridad, pasamos a responder que los resultados que se llegará a obtener dado cualquier expectativa a priori que tenga sobre la relación entre Y y las diversas variables de X, es que se modificaran y ocurrirán un impacto en Y, dado que unos hipotéticos valores en X varíen.
Pregunta 7.19. Demanda de carne de pollo en Estados Unidos, 1960-1982 . Para estudiar el consumo per cápita de carne de pollo en Estados Unidos se presentan los datos de la tabla 7.9. Donde Y = consumo per cápita de carne de pollo, lbs X2 = ingreso per cápita real disponible, $ X3 = precio real al menudeo del pollo por lb, ¢ X4 = precio real al menudeo del cerdo por lb, ¢ X5 = precio real al menudeo de la carne de res por lb, ¢ X6 = Precio real compuesto de los sustitutos de pollo por lb, ¢, el cual es
un promedio ponderado de los precios reales al menudeo por libra de carne de cerdo y de res; las ponderaciones son los consumos relativos de la carne de res y de cerdo en el consumo total de estos productos.
Año
Ventas/ asistencias militares de Estados Unidos (X3)
Ventas de Confl ictos la industria 100 000+ aeroespacial (X4)
(X5)
560.3 590.5
0.6 0.9
16.0 16.4
0 0
53.6 49.6 56.8 70.1 80.5 81.2 80.3 77.7 78.3 74.5 77.8 85.6 89.4 97.5 105.2
632.4 684.9 749.9 793.9 865.0 931.4 992.7 1077.6 1185.9 1326.4 1434.2 1549.2 1718.0 1918.3 2163.9
1.1 1.4 1.6 1.0 0.8 1.5 1.0 1.5 2.95 4.8 10.3 16.0 14.7 8.3 11.0
16.7 17.0 20.2 23.4 25.6 24.6 24.8 21.7 21.5 24.3 26.8 29.5 30.4 33.3 38.0
0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
117.7 135.9 162.1
2417.8 2633.1 2937.7
13.0 15.3 18.0
46.2 57.6 68.9
0 0 0
Desembolsos del presupuesto de defensa (Y )
PNB (X2)
1962 1963
51.1 52.3
1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981
Año
Y
X2
X3
X4
X5
X6
1960 1961 1962 1963 1964 1965
27.8 29.9 29.8 30.8 31.2 33.3
397.5 413.3 439.2 459.7 492.9 528.6
42.2 38.1 40.3 39.5 37.3 38.1
50.7 52.0 54.0 55.3 54.7 63.7
78.3 79.2 79.2 79.2 77.4 80.2
65.8 66.9 67.8 69.6 68.7 73.6
1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973
35.6 36.4 36.7 38.4 40.4 40.3 41.8 40.4
560.3 624.6 666.4 717.8 768.2 843.3 911.6 931.1
39.3 37.8 38.4 40.1 38.6 39.8 39.7 52.1
69.8 65.9 64.5 70.0 73.2 67.8 79.1 95.4
80.4 83.9 85.5 93.7 106.1 104.8 114.0 124.1
76.3 77.2 78.1 84.7 93.3 89.7 100.7 113.5
1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982
40.7 40.1 42.7 44.1 46.7 50.6 50.1 51.7 52.9
1 021.5 1 165.9 1 349.6 1 449.4 1 575.5 1759.1 1994.2 2258.1
48.9 58.3 57.9 56.5 63.7 61.6 58.9 66.4 70.4
94.2 123.5 129.9 117.6 130.9 129.8 128.0 141.0 168.2
127.6 142.9 143.6 139.2 165.5 203.3 219.6 221.6 232.6
115.3 136.7 139.2 132.0 132.1 154.4 174.9 180.8 189.4
2 obtuvieron al dividir los precios nominales entre el Nota: Los precios reales se 478.7
Índice de Precios al Consumidor correspondiente a alimentos. Ahora considere las siguientes funciones de demanda: ln Yt = α1 + α2 ln X 2t + α3 ln X 3t + u t
(1)
ln Yt = γ1 + γ2 ln X 2t + γ3 ln X 3t + γ4 ln X 4t + u t
(2)
ln Yt = λ1 + λ2 ln X 2t + λ3 ln X 3t + λ4 ln X 5t + u t
(3)
ln Yt = θ1 + θ2 ln X 2t + θ3 ln X 3t + θ4 ln X 4t + θ5 ln X 5t + u t (4) ln Yt = β1 + β2 ln X 2t + β3 ln X 3t + β4 ln X 6t + u t
(5)
De la teoría microeconómica, se sabe que la demanda de un bien suele depender del ingreso real del consumidor, del precio real del bien y de los precios reales de los bienes complementarios o que compiten con él. Ante estas consideraciones, responda las siguientes preguntas.
SOLUCIÓN: (1)
Variable
C LNX2 LNX3
Coeffi
Std.
t-
Prob
cient
Error
Statistic
.
2.032
0.1162
16.834
0.00
8
13
43
00
0.451
0.0247
16.998
0.00
582
95
48
00
-
0.0635
-
0.00
0.377
30
5.4043
00
273
77
0.978 R-squared Adjusted
214 R-
squared
Mean
dependent
var
3.66 4043
0.980
0.18
135
S.D. dependent var
7366 -
0.029 S.E. of regression
005
Sum
0.016
squared
resid
4.12 Akaike info criterion
1556 3.97
826
Schwarz criterion
50.39
Hannan-Quinn
3448 -
Log likelihood
790
criter.
4308
449.0 F-statistic
012
4.08 1.62
Durbin-Watson stat
6911
0.000 Prob(F-statistic)
000
Ln Yt = α1 + α2 ln X 2t + α3 ln X 3t + u t
∝2,0328 ∝0,4515 ∝0,3772
0,9782 ̅ 0,9801 23 3
a) Entre las funciones de demanda que aquí se dan, ¿cuál escogería y por qué? a. 1) Tomando logaritmos a los parámetros pasamos los indicadores precio de pollo, X 3; ingreso real X 1, X y precio del cerdo y X 5 precio de carne de res en términos relativos que se presta para la interpretación en términos de elasticidad de los coeficientes.
> 0 → > 0 → Si
bien normal
Bien inferior
Elasticidad ingreso
> 0 → ∅ Yt = β1 + β2X 2t + β3X 3t + β4X 4t + β5X 5t + β6X 6t+ u t
Ln Yt = β1 + β2 ln X 2t + β3 ln X 3t + β4 ln X 4t + β5 ln X 5t + β6 ln X 6t + ut
>0 <0 0
<0 >0 0
Compitan
(2)
Variable
C LNX2
Coeffi
Std.
t-
Prob
cient
Error
Statistic
.
2.075
0.1422
14.590
0.00
943
81
40
00
0.411
0.0471
8.7139
0.00
085
75
62
00
LNX3
LNX4
0.420
0.0892
4.7142
0.00
743
48
98
02
0.093
0.0932
1.0066
0.32
889
72
22
68
0.979 R-squared Adjusted
317 R-
squared
-
Mean
dependent
var
0.976 051 996
4043 0.18
S.D. dependent var
0.028 S.E. of regression
3.66
7366 -
Akaike info criterion
4.08
6557 Sum
squared
0.015
resid
3.88
974
Schwarz criterion
50.99
Hannan-Quinn
9080 -
Log likelihood
541
criter.
299.8 F-statistic
707
Prob(F-statistic)
0.000 000
4.03 6892 1.55
Durbin-Watson stat
6665
Ln Yt = γ1 + γ2 ln X 2t + γ3 ln X 3t + γ4 ln X 4t + u t
2,0759 0,4110 0,4207 0,0938
0,9782 ̅ 0,9801 23 4
a. 2) Elegiría el modelo restringido (1) ln Yt = α1 + α2 ln X 2t + α3 ln X 3t + u t por qué tienen en alto
0, 9782 97.82% ̅ 98.01
y
, que menciona que casi un 98% la de manda de pollos es
explicativa solo por los precios relativos de pollo y cerdo, con elasticidades significativas
∝∝0, 0,43515772 Son variables significativas
(3)
Variable
C
Coeffi
Std.
t-
Prob
cient
Error
Statistic
.
1.996
0.1240
16.092
0.00
699
78
24
00
LNX2
0.450545
0.054646
8.244857
0.0000
LNX3
-0.361037
0.079167
-4.560458
0.0002
LNX5
-0.000324
0.094601
-0.003427
0.9973
R-squared
0.978214
Mean dependent var
3.664043
Adjusted R-squared
0.974774
S.D. dependent var
0.187366
S.E. of regression
0.029759
Akaike info criterion
-4.034600
Sum squared resid
0.016826
Schwarz criterion
-3.837123
Log likelihood
50.39790
Hannan-Quinn criter.
-3.984935
F-statistic
284.3676
Durbin-Watson stat
1.627085
Prob(F-statistic)
0.000000
ln Yt = λ1 + λ2 ln X 2t + λ3 ln X 3t + λ4 ln X 5t + u t
1,0,94966505 0,3610 0,0003
̅ 0,9801782 23 4
b) ¿Cómo interpretaría los coeficientes de ln X2t y ln X3t en estos modelos?
Coeficiente Ln X 2t Modelo (1) Modelo (1) Modelo (2) Modelo (3)
∝0,4515
∝0,4110 0,4505 0,3462
Coeficiente Ln
∝0,3772 ∝0,4207 0,3610 0,5046
X 3t
Modelo (4)
0,4928
0,3308
Los coeficientes se interpretarían como elasticidades precio de pollo – demanda (ed pollo) y elasticidad precio de carne de cerdo demanda (ed cerdo), en este caso se ve que el pollo es (+) y cerdo (-). c) ¿Cuál es la diferencia entre las especificaciones (2) y (4)? Coeficiente (2) = Ln Yt = γ1 + γ2 ln X 2t + γ3 ln X 3t + γ4 ln X 4t + u t
0,9793 97.93% Coeficiente (4) Ln Yt = θ1 + θ2 ln X 2t + θ3 ln X 3t + θ4 ln X 4t + θ5 ln X 5t + ut
98.2% En la especificación omite la variable X 5 (precio real de la carne de res) y sustituto X 6 haciendo que el modelo (demanda de pollos) n este en función 2X 2, X 3 y X 4. La especialización (4) adapta la demanda de X 4xy X 5 haciendo
98.23%
u=
Respectivamente. (4) Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
2.1898
0.155750
13.20874
0.0000
LNX2
0.3462539
0.083368
4.351917
0.0004
LNX3
-0.504643
0.110944
-3.897116
0.0011
LNX4
0.148586
0.099767
1.095489
0.2877
LNX5
0.091103
0.100722
0.477486
0.6388
R-squared
0.982375
Mean dependent var
3.664043
Adjusted R-squared
0.975037
S.D. dependent var
0.187366
S.E. of regression
0.029604
Akaike info criterion
-4.012187
Sum squared resid
0.015775
Schwarz criterion
-3.765341
Log likelihood
51.14015
Hannan-Quinn criter.
-3.950106
F-statistic
215.8218
Durbin-Watson stat
1.562520
Prob(F-statistic)
0.000000
Ln Yt = θ1 + θ2 ln X 2t + θ3 ln X 3t + θ4 ln X 4t + θ5 ln X 5t + u t
2,1898 0,3462 0,5046 0,1485 0,0911
0,9823 ̅ 0,9750 23 4
d) ¿Qué problemas prevé si adopta la especificación (4)? (Sugerencia: Los precios de la carne de cerdo y de res se incluyen con el del pollo.)
Con la eficiencia (4), los precios reales de la carne de cerdo y res puedan ser sustitutos o complementarios efecto al precio real del pollo, el promedio ( seria la variable que mejor explique a (
,
).
6
)
e) Como la especificación (5) incluye el precio compuesto de la carne de res y de cerdo, ¿preferiría la función de demanda (5) a la función (4)? ¿Por qué? Si la especificación (5) permite calcular claramente la elasticidad precio cesada del precio real del pollo con respecto a las otras carnes. f) ¿La carne de cerdo y la de res son productos que compiten con el pollo o que lo sustituyen? ¿Cómo sabe?
g) Suponga que la función (5) es la de demanda “correcta”. Estime los parámetros de este modelo obtenga sus errores estándar así como R2, R¯ 2 y R2 modificada. Interprete sus resultados.
h) Ahora suponga que corre el modelo “incorrecto” (2). Evalúe las consecuencias de esta mala especificación considerando los valores de
2 y 3 en relación con 2 y 3, respectivamente. (Sugerencia: Preste atención al análisis de la sección 7.7.) (5)
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
1.995201
0.120369
16.57567
0.0000
LNX2
0.492846
0.070223
7.018271
0.0000
LNX3
-0.330805
0.082159
-4.026425
0.0007
LNX6
-0.087278
0.133339
-0.654557
0.5206
R-squared
0.978694
Mean dependent var
3.664043
Adjusted R-squared
0.975330
S.D. dependent var
0.187366
S.E. of regression
0.029429
Akaike info criterion
-4.056899
Sum squared resid
0.016455
Schwarz criterion
-3.859422
Log likelihood
50.65434
Hannan-Quinn criter.
-4.007234
F-statistic
290.9226
Durbin-Watson stat
1.673438
Prob(F-statistic)
0.000000
Ln Yt = β1 + β2 ln X 2t + β3 ln X 3t + β4 ln X 6t + u t
1,9952 0,4928
0,3308 0,0873
0,9786 ̅ 0,9753 23 4
Pregunta 7.20. En un estudio de rotación de empleados en el mercado laboral, James F. Ragan, Jr., obtuvo los siguientes resultados para la economía de Estados Unidos de 1950-I a 1979-IV.* (Las cifras entre paréntesis son los estadísticos t estimados.)
4.470.34 1.22 1.22 0.80 0.0055 (4.28) (-5.31)
(3.64)
(3.10)
(1.10)
(-3.09)
0.5370 Nota: Estudiaremos los estadísticos t en el próximo capítulo. Donde: Y = tasa de renuncias laborales en el sector manufacturero, definida como el número de personas que deja su trabajo voluntariamente por cada 100 empleados X2 = variable instrumental o “representante” de la tasa de desempleo de hombres adultos X3 = porcentaje de empleados menores de 25 años X4 = Nt−1/Nt−4 = tasa de empleo en el sector manufacturero, en el trimestre (t − 1), respecto de la del trimestre (t − 4) X5 = porcentaje de mujeres empleadas X6 = tendencia de tiempo (1950-I = 1) a) Interprete los resultados anteriores. b) ¿Puede justificarse a priori la relación negativa observada entre los logaritmos de Y y X2? c) ¿Por qué es positivo el coeficiente de lnX3? d) ¿Cómo el coeficiente de tendencia es negativo?, ¿de qué porcentaje es el descenso temporal en la tasa de retiro laboral, y por qué se presenta dicho descenso? e) ¿Es la? ¿R² “muy” baja? f) ¿Puede estimar los errores estándar de los coeficientes de regresión a partir de los datos dados? ¿Por qué?
SOLUCIÓN. a) Interprete los resultados anteriores Ceteris paribus, en promedio ,
un aumento de 1% la tasa de
desempleo conduce a un aumento del 0,34 % en la tasa total, un aumento del 1 % en el porcentaje de empleados menores de 25 conduce a un aumento de 1.22 % en la tasa total, y el aumento del 1 % en el empleo industrial en relación conduce a un aumento de 1.22 % en la tasa total, un aumento del 1 % en el porcentaje de mujeres empleadas conduce a un aumento de 0.80 % en la tasa total, y que durante el período de tiempo de estudio , la tasa total declinó a razón de 0,54 % por año. b) ¿Puede justificarse a priori la relación negativa observada entre los logaritmos de Y y X2? Si, se espera que se relacionen negativamente la tasa total de renuncias y la tasa de desempleo. c) ¿Por qué es positivo el coeficiente de lnX3? A medida que se contratan personas de menos de 25 años de edad, la expectativa que incrementarse la tasa total es alta debido a la rotación entre los trabajadores más jóvenes. d) ¿Cómo el coeficiente de tendencia es negativo?, ¿de qué porcentaje es el descenso temporal en la tasa de retiro laboral, y por qué se presenta dicho descenso? La disminución de la tasa es de 0,54 %. Dado que las condiciones de trabajo y las pensiones de beneficios han aumentado con el tiempo, la tasa total probablemente va a disminuir. e) ¿Es la? ¿R² “muy” baja? No es bajo, solo es relativamente bajo.
f) ¿Puede estimar los errores estándar de los coeficientes de regresión a
partir
de
los
datos
dados?
¿Por
qué?
Puesto que se dan los valores de T, podemos calcular fácilmente los
errores estándar. Bajo la Hipótesis nula de que el verdadero B es cero, tenemos la relación:
→() Pregunta 7.21. En un estudio de rotación de empleados en el mercado laboral, James F. Ragan, Jr., obtuvo los siguientes resultados para la economía de Estados Unidos de 1950-I a 1979-IV.* (Las cifras entre paréntesis son los estadísticos t estimados.)
ln
= 4.47 − 0.34 ln X2t + 1.22 ln X3t + 1.22 ln X4t
(4.28) (−5.31) (3.64) (3.10) + 0.80 ln X5t −
0.0055 X6t
R¯ 2 = 0.5370
(1.10) (−3.09) Nota: Estudiaremos los estadísticos t en el próximo capítulo.
Donde
Y = tasa de renuncias laborales en el sector manufacturero,
definida como el número de personas que deja su trabajo voluntariamente por cada 100 empleados X2 = variable instrumental o “representante” de la tasa de desempleo
de hombres adultos X3 = porcentaje de empleados menores de 25 años X4 = Nt−1/Nt−4 = tasa de empleo en el sector manufacturero, en el
trimestre (t − 1), respecto de la del trimestre (t − 4) X5 = porcentaje de mujeres empleadas X6 = tendencia de tiempo (1950-I = 1)
a) Interprete los resultados anteriores.
SOLUCION A priori, teniendo en cuenta una muestra con datos de series de:
5% 24
Tiempo con
,
1979 1950 1 30 6 ,
# 30 30 426 K = X2t + X3t + X 4t = 3+3=6
Se estudia los signos a prevenir de los coeficientes de las regresiones Xit
∀1,2,3….6 = f(LnX1t ; LnX2t ; LnX3t ; LnX4t), se toma logaritmos para ajustar
cumplir la condición de una MCO, linealidad en los parámetros.
= 4,47– 0,34 LnX2t + 1,22 LnX3t + 1,22 LnX4t + 8 LnX5t +- 0,005
{, ,, ,,}
LnX6t
Miden los cambios marginales de Xit con respecto a
Yt manteniendo las demás regresiones, tenemos: A priori:
= f (LnX2t ; LnX3t; LnX4t; LnX5t, LnX6t),
Rotación = f (tasa de desempleo; tasa de empleados; tasa de empleo; ect)
→ 25 ñ → → . → .
→ b) ¿Puede justificarse a priori la relación negativa observada entre los logaritmos de Y y X2?
SOLUCION Tomando logaritmos a los parámetros pasamos los indicadores precio de pollo, X 3; ingreso real X 1, X y precio del cerdo y X 5 precio de carne de res en términos relativos que se presta para la interpretación en términos de elasticidad de las coeficientes.
> 0 → > 0 → > 0 → ∅ Si
bien normal
Bien inferior
c)
Elasticidad ingreso
¿Por qué es positivo el coeficiente de ln X3?
,1,22 ln 3 1,22 Porque es posible que a posterior, la variable positivamente en
3
este influye
contradiciendo la teoría Económica hay que
validarlo usando pruebas de significancias de los coeficientes. d) Como el coeficiente de tendencia es negativo, ¿de qué porcentaje es el descenso temporal
en la tasa de retiro laboral, y por qué se
presenta dicho descenso?
SOLUCION
0,0055 0,5% ñ . , . ¿Es la R¯ 2 “muy” baja?
e)
= 0, 5370, significa solo el 53.70% de la regresión es explicativa las
variables.
- El resultado baja se debe a que el signo de las coeficientes no son las esperadas, (no son significativas). -n
→
30 demasiados años.
f) ¿Puede estimar los errores estándar de los coeficientes de regresión a partir de los datos dados? ¿Por qué?
SOLUCION Si recuerda que t calculado o estimado se da por
− ,
=0
= (-5,37)
= -0,37
Ejm:
2 0,5,3317 2 0,0696
Pregunta 7.22. La tabla 7.11 suministra datos sobre el sector manufacturero de la economía griega de 1961 a 1987. a) Vea si la función producción de Cobb-Douglas se ajusta a los datos
de la tabla e interprete los resultados. ¿A qué conclusión general llega? b) Ahora considere el siguiente modelo:
Producción/trabajo _ A(K)L)βeu Donde la variable regresada representa la productividad del trabajo, y la regresora, la razón capital-trabajo. ¿Cuál es la importancia económica de dicha relación, si existe alguna? Estime los parámetros de este modelo e interprete los resultados.
SOLUCIÓN: Los resultados de colocación de la función de producción CobbDouglas, obtenida de decisivo3 son los siguientes: Variable dependiente: LOG(SALIDA) Muestra: 1961 1987 observaciones incluidas: 27 Variable
Coeficiente
Ets. Error
T-Statistic
Prob.
C
-11.93660
3,211064
-3.717335
0,0011
LOG(TRABAJO)
2,328402
0,599490
3,883972
R-cuadrado ajustado rsquared S. E. de suma de regresión squared resid Log probabilidad Durbin-Watson stat
0,971395 0,969011 0,081229
0,0007 4,493912
Significa S. D. dependentvar dependiente 0,461432 var Akaike info criterion Schwarz criterion F-2.078645 statistic Prob(F-statistic) -
Variable dependiente: LOG(PRODUCTIVIDAD)
Fecha: 07/29/00 Hora: 18:11 Muestra: 1961 1987 observaciones incluidas: 27 Variable
Coeficiente
C LOG(CLRATIO) R-cuadrado ajustado r-squared S. E. de suma de regresión squared resid Log probabilidad DurbinWatson stat
-1.155956 0,680756 0,903345 0,899479 0,096490 0,232758 25,86218 0,263803
Ets. Error t-statistic 0,074217 0,044535 15,28571 -15.57533 Significa S. D. dependentvar dependiente var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
Prob. 0,0000 0,0000 -2.254332 0,304336 -1.767569 -1.671581 233,6528 0,000000
a) La
producción
estimada/trabajo y
producción/capital las
elasticidades son positivas, lo que uno puede esperar. Pero, como veremos en el capítulo siguiente, los resultados no tienen sentido desde un punto de vista económico en el sentido de que el capital no tiene entrada en la salida, lo que, de ser cierto, sería muy sorprendente. Como veremos, quizás puede ser el problema con los datos. b) Los resultados de la regresión son los siguientes: La elasticidad de la producción/relación laboral (es decir, productividad de la mano de obra) con respecto a relación capitaltrabajo es de 0,68, lo que significa que, si el segundo aumenta en un 1 %, la productividad de la mano de obra, en promedio, alrededor de 0,68 %. Una de las principales características de los países desarrollados.
Pregunta 7.23. Experimento Montecarlo considere el siguiente modelo:
Los resultados de la regresión son los siguientes: en cuenta que hemos utilizado todas las 528 observaciones en la estimación de la regresión variable dependiente: log (salario) muestra: 1528 observaciones incluidas: 528. VARIABLE
COEFICIENTE
STD. ERROR
T-ESTADISTICO
PROB.
C
4.661661
1.954190
2.385470
0.0174
Log(educación)
-3.165721
1.566685
-2.020650
0.0438
[log(educación)]2
0.836412
0.313436
2.668524
0.0079
R-cuadrado
0.157696
Signicado de var dependientes
2.063647
S.D variables dependientes
R-cuadrado ajustado
0.154488
0.521224 Criterio de información akaike
0.479275 S.E de regresión
Criterio de schwarz
120.5946
1.372579
Suma al cuadrado
F-estadística
-359.3609 Logaritmo de verosimilitud
1.396835 Prob(f- estadísticos)
49.14535 1.909008
Durbin- Watson stat
0.000000
Ya que este es un modelo de registro doble de los coeficientes de las pendientes miden la elasticidad. los resultados sugieren que el cambio de porcentaje considerable de los salarios por hora disminuye a medida que aumenta el nivel de educación, pero disminuye a un ritmo más rápido, es decir, se hace menos negativo.
aquí esto no será capaz de estimar el modelo debido a la linealidad perfecta. esto es fácil de ver log(educacion2) = 2 log(educación). Debido a las propiedades de los logaritmos.
Pregunta 7.24. La tabla 7.12 presenta datos del gasto de consumo real, ingreso real, riqueza real y tasas de interés real de estados unidos de 1947 a 2000. Estos datos de volverán a usar en el ejercicio 8.35. a) Con los datos de la tabla, estime la función del consumo usando los datos de ingreso, riqueza y tasa de interés. ¿Cuál es la ecuación ajustada?
SOLUCIÓN. La ecuación ajustada es Función Consumo Privado: Ct = α0 + α1Yt + α2Ct-1 + u1t
1>0 ; 0<
2
b) ¿que indican los coeficientes estimados sobre las relaciones entre las variables y el gasto de consumo? GASTO DE CONSUMO REAL, INGRESO REAL, RIQUEZA REAL Y TASAS DE INTERÉS REALES DE ESTADOS UNIDOS, 1947-2000 año c Yd riqueza tasa de interés 1947 976.4 1035.2 5166.8 -10.351 1948 998.1 1090.0 5280.9 -4.720 1949 1025.3 1095.6 5607.4 1.044 1950 1090.9 1192.7 5759.5 0.407
1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975
1107.1 1142.4 1197.2 1221.9 1310.4 1348.8 1381.8 1393.0 1470.7 1510.8 1541.2 1617.3 1684.0 1784.8 1897.6 2006.1 2066.2 2184.2 2264.8 2314.5 2405.2 2550.5 2675.9 2653.7 2710.9
1227.0 1266.8 1327.5 1344.0 1433.8 1502.3 1539.5 1553.7 1623.8 1664.8 1720.0 1803.5 1871.5 2006.9 2131.0 2244.6 2340.5 2448.2 2524.3 2630.0 2745.3 2874.3 3072.3 3051.9 3108.5
6086.1 6243.9 6355.6 6797.0 7172.2 7375.2 7315.3 7870.0 8188.1 8351.8 8971.9 9091.5 9436.1 10003.4 10562.8 10522.0 11312.1 12145.4 11672.3 11650.0 12312.9 13499.9 13081.0 11868.8 12634.4
-5.283 -0.277 0.561 -0.138 0.262 -0.736 -0.261 -0.575 2.296 1.511 1.296 1.396 2.058 2.027 2.112 2.020 1.213 1.055 1.732 1.166 -0.712 -0.156 1.414 -1.043 -3.534
1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
2868.9 2992.1 3124.7 3203.2 3193.0 3236.0 3275.5 3454.3 3640.6 3820.9 3981.2 4113.4 4279.5 4393.7 4474.5
3243.5 3360.7 3527.5 3628.6 3658.0 3741.1 3791.7 3906.9 4207.6 4347.8 4486.6 4582.5 4784.1 4906.5 5014.2
13456.8 13786.3 14450.5 15340.0 15965.0 15965.0 16312.5 16944.8 17526.7 19068.3 20530.0 21235.7 22332.0 23659.8 23105.1
-0.657 -1.190 0.113 1.704 2.298 4.704 4.449 4.691 5.848 4.331 3.768 2.819 3.287 4.318 3.595
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
4466.6 4594.5 4748.9 4928.1 5075.6 5237.5 5423.9 5683.7
5033.0 5189.3 5261.3 5397.2 5539.1 5677.7 5854.5 6168.6
24050.2 2441.82 24092.3 25218.6 27439.7 29448.2 32664.1 35587.0
1.803 1.007 0.625 2.206 3.333 3.083 3.120 3.584
1999 2000
5968.4 6257.8
6320.0 6539.2
39591.3 38167.7
3.245 3.576
nota: año= año calendario
C= gasto de consumo real en miles de millones de dólares de 1996 ajustados por la inflación.
Yd= ingreso disponible personal real en miles de millones de dólares de 1996 ajustada por la inflación.
Riqueza= riqueza real en miles de millones de dólares de 1996 ajustada por la inflación.
Interés= rendimiento nominal anual de bonos de tesoro a 3 meses, ajustado por la tasa de inflación (medido por el cambio porcentual anual en el índice anual de precios, ajustado por la inflación).
SOLUCIÓN: Según la recta de mínimos cuadrados, al incrementarse en un millón de euros los gastos en publicidad, la cantidad de facturación obtenida se incrementará en 28,3 millones de euros. Y cuando no se haga ningún esfuerzo publicitario, las ventas según la recta serán negativas. Esto se puede entender como que no se vende nada o que si no se hace ningún esfuerzo publicitario se obtienen unas ventas negativas, en el sentido de que hay otros gastos a la hora de vender que provocan que al final haya ventas negativas. La correlación entre ambas variables es muy alta, ya que el coeficiente de correlación r = 0.87 está muy próximo a 1.
Pregunta 7.25. Estimación de los precios de las acciones de Qualcomm. Como ejemplo de la regresión polinomio considere los datos sobre los precios semanales de las acciones de Qualcomm, diseñador y fabricante de aparatos inalámbricos digitales para telecomunicaciones, de 1995 a 2000. Los datos completos se encuentran en el sitio Web del libro, en la tabla 7.13.A finales de la década de 1990, las acciones de las empresas tecnológicas fueron especialmente redituables, pero, ¿qué tipo de modelo de regresión se ajusta
mejor a estos datos? La fi gura 7.4 muestra una gráfica elemental de los datos correspondiente a esos años. Esta gráfica no se parece a la curva en forma de S alargada; parece haber un ligero aumento en el precio promedio de las acciones, pero luego la tasa se incrementa de manera drástica hacia el extremo derecho. A medida que la demanda de teléfonos más especializados aumentaba a pasos agigantados y el auge tecnológico seguía su curso, el precio de las acciones siguió la tendencia y aumentó a un ritmo mucho más rápido.
a) Estime un modelo lineal para pronosticar el precio de cierre de las acciones con base en el tiempo. ¿Le parece que este modelo se ajusta bien a los datos?
SOLUCION: Si el índice de precios de combustible es negativa y estadísticamente significativo en el nivel de 1%.
b) Ahora estime un modelo cuadrático y use tanto el tiempo como el tiempo elevado al cuadrado. ¿Obtuvo un mejor ajuste que en a)?
SOLUCION: La pérdida de producción seria 6.48% ( -0.1081) (60%).
c) Por último, ajuste el siguiente polinomio de tercer grado o cúbico: Yi 0 + 1Xi + 2X2 i + 3X3 i +donde ui Y = precio de las acciones y X = tiempo. ¿Qué modelo parece el mejor estimador de los precios de las acciones?
SOLUCION: El índice de tendencia de crecimiento fue 0.45%
EJERCICIOS RESUELTOS DEL CAPITULO N° 8 Pregunta 8.1. Suponga que desea estudiar el comportamiento de las ventas de un producto, por ejemplo, automóviles, sobre un número de años, y suponga que alguien sugiere ensayar los siguientes modelos:
Donde Yt = ventas en el tiempo t y t = tiempo, medido en años. El primer modelo postula que la variable ventas es una función lineal del tiempo, mientras que el segundo plantea que es función cuadrática del tiempo. a) Analice las propiedades de estos modelos. b) ¿Cómo decidiría entre los dos modelos? c) ¿En qué situaciones sería útil el modelo cuadrático? d) Obtenga información sobre ventas de automóviles en Estados
Unidos durante los pasados 20 años y vea qué modelo se ajusta mejor a los datos.
SOLUCIÓN: a) Analizando las propiedades de estos modelos Para la ecuación 1
→ → 2 Para la ecuación 2
En el primer modelo, donde las ventas es una función lineal del tiempo, la velocidad de cambio de las ventas, (dY / dT) se postula a ser una constante, igual a
1
, independientemente del tiempo t. en el segundo
modelo de la velocidad de cambio no es constante debido a que (dY / dT) =
2
que depende del tiempo t.
b) se decidiría de la cosa más sencilla de las derivadas parciales de Y con respecto al tiempo. si el gráfico resultante es parabólico, tal vez el modelo cuadrático es apropiado. c) este modelo podría ser útil para representar el perfil de ingresos de una persona. Por lo general, cuando entra en el mercado de trabajo, las ganancias de nivel de entrada son bajos. con el tiempo, debido a la experiencia acumulada, los ingresos aumentan, pero después de cierto tiempo también empieza a disminuir. d) Al consultar las páginas web de varios fabricantes de automóviles, o la revista del motor, o la asociación americana del automóvil para los datos. Durante mucho tiempo, Estados Unidos ha sido el mercado más
importante del mundo, hasta verse superado por el dragón chino. Otro hecho destacable es que desde 1991 el modelo más vendido ha sido el pick-up Ford F-150, pero esa realidad ya ha cambiado poco a poco, al menos en la mayoría de los estados con salida al mar la cual se asemeja mucho al modelo.
Pregunta 8.2. Demuestre que la razón F DE (8.4.16) es igual a la razón F de (8.4.18). (Sugerencia: SCE/SCT = R2 .)
SOLUCIÓN:
/ /
(8.5.16)
Donde NR = número de nuevos regresores. Divide el numerador y el denominador entre TSS y recuerdan que R3 y R2 sustituyendo estas expresiones en (85.86), se obtendrá (65)
Pregunta 8.3. Demuestre que las pruebas F de (8.4.18) y (8.6.10) son equivalentes.
SOLUCION:
Se da por medio de definición. Como se aprecia en el capítulo, la regresión sin restricciones se conoce como la regresión de largo (contribución incremental o marginal), o una nueva, y la regresión restringida se conoce como el corto de regresión (mínimos cuadrados restringidos). Estos dos difieren en el número de represores incluidos en los modelos.
Pregunta 8.4. Justifique los supuestos en (8.6.11) y (8.6.12). SOLUCION Supuesto (8.6.11):
≥ Supuesto (8.6.12):
≤ Por lo tanto: En la estimación de MCO minimizamos los RSS sin poner ninguna restricción a los estimadores. Por lo tanto, el RSS en este caso, representa el mínimo verdadero RSS o RSS UR mínimo verdadero. Cuando las restricciones se ponen en uno o más parámetros. Uno
no puede obtener el flujo mínimo RSS absoluto debido a las restricciones impuestas. (Recordemos los procedimientos de optimización con restricciones y sin restricciones). Así, RSS R
>
RSSUR, a menos que las restricciones sean válidas, en cuyo caso los dos términos RSS serán lo mismo. Recordando que:
1
, resulta que:
1 ≥ 1
Teniendo en cuenta que si se utiliza la regresión restringida o no restringida, el TSS sigue siendo el mismo, ya que es simplemente igual a:
Pregunta 8.5. Considere la función de producción Cobb-Douglas:
Donde Y = producción, L = insumo trabajo y K = insumo capital. Al dividir (1) entre K, obtenemos:
Al tomar el logaritmo natural de (2) tenemos:
Dónde:
a) Suponga que tenía información para hacer la regresión (3). ¿Cómo probaría la hipótesis de que hay rendimientos constantes a escala, es decir, (
2+
3) =
1? b) De existir rendimientos constantes a escala, ¿cómo interpretaría la regresión (3)? c) ¿Hay alguna diferencia si divide (1) entre L en lugar de hacerlo entre K?
SOLUCIÓN:
a) Dejar que el coeficiente de log K sea. Probar la hipótesis nula de 0, mediante la prueba t de
costumbre. si hay rendimientos constantes a
escala, el valor de t será pequeño.
b) Si definimos la relación (Y / K) como la relación producto / capital, una medida de la productividad del capital, y la relación (L / K) como el índice de capital de trabajo, entonces el coeficiente de la pendiente de esta regresión da el cambio medio por ciento en la productividad del capital para un porcentaje de cambio en la relación capital / trabajo.
c) Aunque el análisis es simétrica, suponiendo rendimientos constantes a escala, en este caso el coeficiente de la pendiente da el cambio porcentual medio en la productividad del trabajo (Y / L) para un porcentaje de cambio en la relación capital-trabajo (K / L). Lo que distingue a los países desarrollados de los países en desarrollo es la relación capital / trabajo en general más altos en estas economías.
Pregunta 8.6. Valores críticos de R2 cuando la verdadera R2 = 0. La ecuación (8.4.11) da la relación entre F y R 2 según la hipótesis de que todos los coeficientes de pendiente parciales son simultáneamente iguales a cero (es decir, R2 = 0). De la misma manera en que podemos encontrar el valor F crítico en el nivel de significancia
R2
de la tabla F, es posible encontrar el valor
crítico a partir de la siguiente relación:
1 1
Donde k es el número de parámetros en el modelo de regresión, inclusive el intercepto, y donde F es el valor F crítico en el nivel de Si el2 Robservado excede el R2 crítico obtenido de la
significancia
fórmula anterior rechazamos la hipótesis de que el verdadero R2 es cero. Establezca la fórmula anterior y encuentre el valor R 2 crítico (para
=
5%) para la regresión (8.1.4).
SOLUCIÓN Iniciamos con la ecuación 8.4.11 como:
− −− − − − − −+−
, que se puede reescribir como: , obteniendo de la siguiente manera
, siendo este el resultado.
Por la regresión (8.1.4), n = 64, k=3 por lo tanto
.,=.
,
Por lo tanto, poniendo estos valores en la formula anterior R 2, obtenemos:
15 6.67.303 0.0936 23.23.1561 Esta es la crítica R 2 valor en el 5% nivel de significancia. Desde lo observado de R 2 de 0.7077 en (8.1.4) ahora excedes el valor crítico, rechazando la hipótesis nula que el verdadero R2 valor es cero.
Pregunta 8.7. Con base en información anual de los años 1968-1987 se obtuvieron los siguientes resultados de regresión:
XT XT
Yˆt _ −859.92 + 0.6470
XT
− 23.195
Yˆt _ −261.09 + 0.2452
R2 _ 0.9776 R2 _ 0.9388
(1) (2)
Donde Y = gasto de Estados Unidos en bienes importados, miles de millones de dólares de 1982, X2 = ingreso personal disponible, miles de millones de dólares de 1982 y X3 =Variable de tendencia. Cierto o falso: El error estándar de X3 en (1) es 4.2750. Muestre sus Cálculos. (Sugerencia: Utilice la relación entre R2, F y t.)
SOLUCION:
Desde la regresión 2 es una forma restringida de 1, podemos calcular el primer f proporción mencionada anteriormente
0.97760.9388 1 10.9776/17 27.033 . √27.033
Ahora recordar que
5.1993
es 27.033=
lo que da
bajo la hipótesis nula de que el coeficiente verdadero de variable de tendencia es cero, obtenemos:
.. 4.461
Desde el cual obtenemos: Se (
=
que es aproximadamente igual a
4,461 debido a errores de redondeo
Pregunta 8.8. Suponga que la regresión;
ln Se conocen los valores de los coeficientes de regresión y sus errores estándar.*así ¿Cómo estimaría los parámetros y los errores estándar del siguiente modelo de regresión?
SOLUCION:
ln
El primer modelo se puede escribir como: En
ln.
que después de la recolección, se
puede escribir como:
ahora, el
modelo anterior y el segundo modelo con p coeficientes son observacional mente la misma, con las siguientes relaciones entre a y coeficientes.
* fijar =aX
;errores .Por 3 estándar de los coeficientes estimados pueden ser lo tanto los fácilmente obtenidos a partir de los errores estándar de la estimación de los coeficientes reductores que ya se conocen.
Pregunta 8.9. Suponga lo siguiente:
Donde Y es el gasto de consumo personal, X 2 es el ingreso personal y X3 es la riqueza personal. El término ( X2i X3i) se conoce como termino
de interacción. ¿Qué significa esta expresión? ¿Cómo probaría la hipótesis de que la propensión marginal a consumir (PMC) (es decir, β2) es independiente de la riqueza del consumidor?
SOLUCIÓN:
Uno de las mejores maneras de entender este término es averiguar la razón de cambio de Y (gasto de consumo) con respecto a X2 y X3, que es:
Como se puede ver el cambio medio es el gasto de consumo personal con respecto al ingreso personal no sólo depende de los ingresos, sino también en el nivel de riqueza. Del mismo modo, el cambio medio en el gasto de consumo con respecto a la riqueza depende no sólo de la riqueza en interactúan. Esto es capturado por la introducción de ingreso y la riqueza en interactivo, o multiplicativa, desde en la regresión, además de las dos variables en la forma aditivo. Es sólo cuando
es cero que el propensión marginal a consumir (PMC) será
independiente de la riqueza.
Pregunta 8.10. Se le dan los siguientes resultados de regresión
ŷ 16 899 8.5152 Ŷ 9 734.2 3.3705
2 978.5 4.7280 3 782.2 2 815 6.6070 2.9712
0.6149 0.7706
¿Puede encontrar el tamaño de la muestra en la cual se basan estos resultados? (sugerencia: recuerde la relación entre los valores de R 2, F y t)
SOLUCION Recordando la relación entre la t y distribuciones F, sabemos que a partir de la primera ecuación: F1, (n-k) = t2n-k, Por lo tanto, F = (-4.728)2 = 22.3540
Ahora usando (8.5.11): tenemos:
− −. 22.3540 −− . Resolviendo esta ecuación para n, obtenemos n ≈ 16. Nota: En la primera ecuación, k = 2 y R2 = 0.6149.
Pregunta 8.11. Con base en el análisis de pruebas de hipótesis individuales y conjuntas a partir de las pruebas t y F, respectivamente, ¿cuáles de las
siguientes situaciones son probables? a.
Rechazar la nula conjunta con base en el estadístico F, pero no rechazar cada nula por separado con base en las pruebas t individual.
b.
Rechazar la nula conjunta con base en el estadístico F, rechazar una hipótesis individual con base en la prueba t y no rechazar otras hipótesis individuales con base en la prueba t. Rechazar la nula conjunta con base en el estadístico F, y rechazar cada hipótesis nula por separado con base en pruebas t individual.
c.
No rechazar la nula conjunta con base en el estadístico F, y no rechazar cada nula por separado con base en las pruebas t individual.
d. No rechazar la nula conjunta con base en el estadístico F, rechazar
una hipótesis individual con base en una prueba t y no rechazar otras hipótesis individuales con base en la prueba t. No rechazar la nula conjunta con base en el estadístico F, pero rechazar cada nula por separado con base en pruebas t individuales.*
SOLUCIÓN: e.
Poco probable, salvo en el caso de muy alta Multicolinealidad.
f.
Probable. Estos casos ocurren con frecuencia en trabajos aplicados.
g.
Probablemente, en realidad, esta sería la situación ideal.
h.
Probable. En esta situación, el modelo de regresión es inútil.
i.
Puede ocurrir si el significado de uno de los coeficientes es
insuficiente para compensar la insignificancia de los demás.1 j.
Poco probable.
Pregunta 8.12. Consulte el ejercicio 7.21. SOLUCION a) ¿Cuáles son las elasticidades del ingreso real y de la tasa de interés de los balances reales de efectivo? Utilizar las tasas de las letras del dinero, como el tipo de interés y la tasa de interés, las elasticidades son respectivamente:
0,5243 y 0,0255 Utilizando la tasa de interés de largo plazo las elasticidades son:
0,4946 y 0,0516 b) ¿Son las elasticidades anteriores, consideradas en forma individual, estadísticamente significativas?
Individualmente, la elasticidad ingreso es importante en ambos casos, pero no el tipo de interés. c) Pruebe la significancia general de la regresión estimada.
Con la versión R² de las aditivas, la F valores 21,5429 (de corto plazo a tasa de interés) y 21,3078 (utilizando la tasa de interés de largo plazo). El valor de “P” de dichos valores son casi cero en ambos casos, lo que lleva al rechazo que los ingresos y la tasa de interés colectivo no tienen impacto en la demanda de dinero.
d) ¿Es la elasticidad del ingreso de la demanda por balances reales de efectivo significativamente diferente de la unidad?
Aquí la hipótesis nula es que la elasticidad del ingreso coeficiente es la unidad. Para probar la hipótesis nula que se utiliza la prueba “t” de la
siguiente: 1
Para una discusión más amplia de este punto, véase Adrian C. Darnell, un diccionario de Econometría, Edward Elgar, REINO UNIDO., 1994, págs. 394-395.
Con tasa de interés a corto plazo t=
,, 3,2920 ,,− 1,8816
Con largo termino de interés, la tasa de interés variable t=
Finalmente, con 19 observaciones y 2 regresiones tenemos:
La elasticidad ingreso coeficiente se espera que sea positivo, con un nivel de 5% de significación. Podemos rechazar la hipótesis nula de que la elasticidad con respecto al ingreso es de 1 (en realidad menor que uno)
Pregunta 8.13. De los datos de 46 estados de Estados Unidos para 1992, Baltagi obtuvo los siguientes resultados de regresión: †
logC 4.30 − 1.34 log P + 0.17 log Y
e
(0.91) (0.32) (0.20) ˉR 2
0.27
Dónde: C = consumo de cigarrillos, paquetes al año P = precio real por paquete Y = ingreso disponible real per cápita a) ¿Cuál es la elasticidad de la demanda para los cigarrillos respecto del precio? ¿Es estadísticamente significativa? Si ése es el caso, ¿es estadísticamente diferente de 1? b) ¿Cuál es la elasticidad del ingreso de la demanda de cigarrillos? ¿Es estadísticamente significativa? Si no es así, ¿cuáles serían las razones? c) ¿Cómo obtendría R2 de la R2 ajustada dada antes?
SOLUCION: {A) La elasticidad es de -1,34. Es significativamente diferente de
cero, para El valor de t en la hipótesis nula de que la verdadera elasticidad coeficiente es cero es: -143 T = - ᶺ =0.32 -4.468
El valor de p de obtener el valor de t es extremadamente bajo. Sin embargo, la elasticidad coeficiente no es diferente de uno porque en la hipótesis nula de que la verdadera elasticidad es 1, el valor de t es 0,32 Este valor de t no es estadísticamente significativo. (b)
La elasticidad de ingresos, aunque positivo, no es estadísticamente
diferente de cero, como el valor cero en virtud de la hipótesis nula es inferior a 1. (c)
Utilizando la fórmula (7.8.4), obtenemos: / ? 2 =l- (l-tf2) -n-k
Ya que en este ejemplo R2 = 0,27," = 46, y k = 3, por la sustitución el lector puede comprobar queR2 = 0,3026, aproximadamente.
Pregunta 8.14. Mediante la ecuación (3.5.8), el lector puede comprobar que: rn = 0,9989; rn = 0,9885, y r23 = 0,9839 utilizando las fórmulas indicadas en la Sección 7.11, el lector debe verificar Ri2.3 = 0,9705; r, 3 2
= 0,678; r231 =-0.4930
Mediante la prueba exacta de Fisher en el ejercicio, el lector debe verificar que:
Siguiendo exactamente el mismo procedimiento, compruebe que: tj3 2 =3,20
y
fo.i
= 1,963
cada
uno
de
estos valores es
estadísticamente significativo al nivel del 5 por ciento.
Pregunta 8.15. Si se supone que Y y
,,…,
siguen una distribución
normal conjunta y que la hipótesis nula plantea que las correlaciones parciales poblacionales son individualmente iguales a cero, R,A. Fisher demostró que:
.√….1√,nk2 … Sigue la distribución t con n – k – 2 gl, donde k es el coeficiente de correlación parcial de grado k y n es el número total de observaciones. (Nota: es un coeficiente de correlación parcial de primer orden,
.
.
es un coeficiente de correlación parcial de segundo orden y así sucesivamente.) Consulte el ejercicio 7.2. Si se supone que
siguen una distribución normal conjunta, calcule las tres correlaciones
.,.,.
parciales que
las
, y pruebe su significancia según la hipótesis de
correlaciones
poblacionales
correspondientes
son
individualmente iguales a cero.
SOLUCIÓN: Usando la ecuación (3.5.8), el lector puede comprobar que:
r 0.9989 ; 0.9885, 0.9839 0.678; . 0.4930
Utilizando las formulas
recogen en el apartado 7.11, el lector debe verificar
. 0.9705; .
mediante la prueba de fissher dada en el
ejercicio, el lector debe mera esto
. .√11512 . 13.590 Siguiendo exactamente el mismo procedimiento, prueba eso:
. 3.20 . 1.963 Cada uno de esta t los valores estadísticos significativos en el 5% nivel.
Pregunta 8.16. Al estudiar la demanda de tractores agrícolas en Estados Unidos durante los periodos 1921-1941 y 1948-1957, Griliches obtuvo los siguientes resultados: logYt = constante − 0.519 log X2t − 4.933 log X3t (0.231)
R2 = 0.793
(0.477)
Donde Yt = valor de las existencias de tractores en las granjas el 1 de enero, en dólares de 1935-1939, X2 = índice de precios pagado por los tractores dividido entre un índice de precios recibidos por todas las cosechas en el tiempo t − 1, X3 = tasa de interés prevalente en el año t − 1, y los errores estándar están dados entre paréntesis. a) Interprete la regresión anterior. b) ¿Son los coeficientes de pendiente estimados estadísticamente significativos de manera individual? ¿Son significativamente diferentes de la unidad? c) Utilice la técnica de análisis de varianza para probar la significancia de la regresión en general. Sugerencia: Utilice la variante R2 de la técnica ANOVA. d) ¿Cómo calcularía la elasticidad tasa de interés de la demanda de tractores agrícolas? e) ¿Cómo probaría la significancia del R2 estimado?
SOLUCIÓN:
a) Los registros de índice de precios reales y la tasa de interés en el año anterior explica aproximadamente el 79% de la variación en el registro de las existencias de tractores, una forma de capital. Ya que se trata de una doble modelo de registro, la pendiente los coeficientes (parcial) elasticidad cruzada de la demanda. Estas dos elasticidades precio tienen signos esperados a priori. b) Cada coeficiente parcial pendiente es individualmente significativo al nivel del 5 por ciento y cada uno es también significativamente diferentes de la unidad. c) Mediante la ecuación (8.5.12), obtenemos: R2/ (k-1)
_ 0,793 /2
(1 -R2) / (n-k)
63
0,207 /28
Con n = 31, k = 3, el lector puede comprobar que este F valor es altamente significativa.
Pregunta 8.17. Considere la siguiente ecuación de determinación de salarios para la economía británica* durante el periodo 1950-1969: ˆW =t _ 8.582 + 0.364(PF)t + 0.004(PF)t−1 − 2.560Ut
(1.129) (0.080) (0.072) (0.658) R2 _ 0.873 gl _ 15 Donde W = sueldos y salarios por empleado PF = precios del producto final al factor de costo U = desempleo en Gran Bretaña como porcentaje del número total de empleados de Gran Bretaña t = tiempo (Las cifras en paréntesis son los errores estándar estimados.) a) Interprete la ecuación anterior. b) ¿Son los coeficientes estimados individualmente significativos? c) ¿Cuál es el razonamiento para introducir (PF)t−1? d) ¿Debe eliminarse del modelo la variable (PF)t−1? ¿Por qué? e) ¿Cómo calcularía la elasticidad de sueldos y salarios por empleado respecto de la tasa de desempleo U?
SOLUCION a. Ceteris paribus, un 1 (Gran Bretaña) libra aumento de los precios de
final Salida en el año en curso en un promedio de 0,34 libras (o 34 peniques) aumento de sueldos y salarios por empleado. De manera similar, un aumento de 1 libras los precios del producto final en el año anterior, en promedio un aumento de sueldos y salarios por empleado de 0.004 libras. Con todo lo demás constante, el aumento de la tasa de desempleo de 1 puntos porcentuales, en promedio, alrededor de 2,56 libras disminución de sueldos y salarios por empleado. Los tres regresores explican aproximadamente el 87 por ciento de la variación en los sueldos y salarios por empleado. b. Si usted divide los coeficientes estimados por sus errores estándar,
se obtiene los valores t bajo la hipótesis nula que el correspondiente coeficiente de población real los valores son cero. El estimado de t los valores de los coeficientes son tres pendiente 4,55 , 0,055 , y 3,89 , respectivamente. De estos, la primera y la tercera son estadísticamente significativos pero el segundo no. c. Como estudiaremos en el capítulo sobre modelos de los rezagos
distribuidos, esta variable se incluye para medir el efecto de rezago, si los hubiere, de los precios del producto final un año antes. d. Dado que el valor de este coeficiente no es significativo, esta variable
puede ser lanzada desde el modelo, siempre y cuando no cometan el error de especificación de omitir una variable importante del modelo. Pero más sobre esto en el capítulo sobre especificaciones del modelo. e. Utilice la siguiente (estándar) elasticidad fórmula:
Du
W
W
En el bar sobre las variables denota sus valores promedio de los datos de la muestra.
Pregunta 8.18. Una variación de la ecuación de determinación de salarios del ejercicio es la siguiente: Wˆ = 1.073 + 5.288 Vt - 0.116Xt + 0.054Mt + 0.046Mt-1
(0.797) (0.812) (0.111) (0.022) R2 = 0.934
(0.019)
gl = 14
Donde W = sueldos y salarios por empleado V = empleos vacantes como porcentaje del número total de
empleados en Gran Bretaña X = producto interno bruto por persona empleada M = precios de importaciones Mt-1 = precios de importaciones en el año anterior (o rezagado)
(Los errores estándar estimados están dados entre paréntesis.) a) Interprete la ecuación anterior.
SOLUCION En el mercado de Ceteris Paribus, un aumento de 1 punto porcentual en la tasa de un puesto de trabajo vacante en promedio al aumento de aproximadamente 5,29 libras en los sueldos y salarios por empleado; un aumento del PIB aproximadamente 1 Libra de plomo por persona en promedio a alrededor de 12 peniques disminución de los sueldos y salarios por empleado; un aumento en los precios de importación en el año actual y el plomo año anterior, en promedio, a un aumento de los sueldos y salarios por empleado de aproximadamente 5 peniques. b) ¿Cuáles de los coeficientes estimados son estadísticamente signifi cativos individualmente?
SOLUCION
Al igual que en el ejercicio anterior, bajo la hipótesis nula de cero los valores de t estimadas para las cuatro variables explicativas son, respectivamente, 6.51, -1.04, 2.45 y 2.42. Todos menos el segundo de estos valores t son estadísticamente significativas. c) ¿Cuál es el razonamiento para la introducción de la variable X? A priori, ¿se espera que el signo de X sea negativo?
SOLUCION A priori, se podría esperar una mayor productividad per cápita para
conducir a los salarios más altos y salarios. Este no es el caso en el presente ejemplo, debido a que el coeficiente estimado no es estadísticamente significativamente diferente de cero, ya que el valor t es de sólo – 1. d) ¿Cuál es el propósito de incluir Mt y Mt−1 en el modelo?
SOLUCION Estos están diseñados para capturar el efecto de retardo distribuido de los precios actuales y anteriores del año de importación sobre los sueldos y salarios. Si los precios de importación suben, se espera que el coste de la vida para subir, y por lo tanto los sueldos y salarios. e) ¿Cuáles variables pueden sacarse del modelo? ¿Por qué?
SOLUCION La variable X puede ser dado de baja del modelo, ya que tiene el signo equivocado y porque su valor t es baja, asumiendo por supuesto que no hay error de especificación. f) Pruebe la significancia general de la regresión observada.
SOLUCION Utilizando la prueba F de la siguiente manera:
/1 0.934/4 49.53 1 / 0.66/14
Este valor de F es altamente significativo; para 4 y 14 grados numerador y denominador de la libertad, el nivel de significación del 1% valor F es 5,04.
Pregunta 8.19. De la elasticidad-ingreso, la estadística de prueba es:
0.40.5151 0247 22.2065
Este valor t es altamente significativo, refutar la hipótesis de que la verdadera elasticidad es 1. Para la elasticidad de los precios, el resultado es:
0.30.7721 0635 9.808
Este valor de t es también significativo, lo que lleva a la conclusión de que la verdadera elasticidad de precios es diferente de -1.
Pregunta 8.20. La hipótesis nula es que β2 = - β3, es decir, β2 + β3 = 0. Utilizando la estadística t dada en (8.6.5), obtenemos:
5150. 3 772 0.02470.40. 0635 20.0014 0.859
Este valor de t no es significativo, por ejemplo, al nivel del 5 %. Por lo tanto, no hay ninguna razón para rechazar la hipótesis nula.
Pregunta 8.21. Consulte la función de demanda de rosas del ejercicio 7.16. Centre su atención en la especificación logarítmica. a) ¿Cuál es la elasticidad precio-propio de la demanda estimada (es decir, la elasticidad respecto del precio de las rosas)? b) ¿Es estadísticamente significativa? c) De ser así, ¿es significativamente diferente de la unidad? d) A priori , ¿cuáles son los signos esperados de X3 (precio de los claveles) y X4 (ingreso)? ¿Corresponden los resultados empíricos a estas expectativas? e) Si los coeficientes de X3 y X4 no son estadísticamente significativos, ¿cuáles pueden ser las razones? SOLUCIÓN. a) ¿Cuál es la elasticidad precio-propio de la demanda estimada (es decir, la elasticidad respecto del precio de las rosas)? La elasticidad del precio es -1.274. b) ¿Es estadísticamente significativa?
Por la prueba t, obtenemos lo siguiente:
1.20.740 527 2.4174 El valor p de obtener una estadística t tales bajo la hipótesis nula es de aproximadamente 0.034. Que es pequeño, por lo tanto, se rechaza la hipótesis de que la elasticidad precio real es cero. c) De ser así, ¿es significativamente diferente de la unidad? Otra vez utilizamos la formula estándar y obtenemos:
1.20.741 527 0.5199 Ya que el valor de t es no significativo, no rechazamos la hipótesis nula de que el precio de la elasticidad es 1. d) A priori , ¿cuáles son los signos esperados de X3 (precio de los claveles) y X4 (ingreso)? ¿Corresponden los resultados empíricos a estas expectativas? Tanto los signos son buscados para ser positivo, aunque incluya ninguna de estas variables es estadísticamente significativa. e) Si los coeficientes de X3 y X4 no son estadísticamente significativos, ¿cuáles pueden ser las razones?
Quizá nuestro tamaño de la muestra es demasiado pequeño para detectar la significación estadística de los precios de clavel en la demanda de rosas o la de ingreso en la demanda de rosas, por otra parte, los gastos de rosas puede ser una parte tan pequeña del total de ingresos que no se puede notar el impacto del ingreso en la demanda de rosas.
Pregunta 8.22. Consulte el ejercicio 7.17, relacionado con la actividad de exploración de pozos. En el ejercicio 7.17: Perforan para encontrar y producir petróleo o gas natural en una zona mejorada, o para encontrar una nueva reserva en un yacimiento donde antes se encontró petróleo o gas natural, o para extender el límite de una reserva de petróleo o gas conocida. Y = número de pozos de exploración perforados X2 = precio en la cabeza del pozo en el periodo anterior (en
dólares constantes, 1972 = 100) X3 = producción interna X4 = PNB en dólares constantes (1972 = 100) X5 = variable de tendencia, 1948 = 1, 1949 = 2,…, 1978 = 31
Vea si el siguiente modelo se ajusta a los datos:
Yt = β1 + β2X2t + β3 ln X3t + β4X4t + β5X5t + ut
a) Es cada uno de los coeficientes de pendiente estimados estadísticamente significativo individualmente en el nivel de 5%? Los coeficientes X2 y X3 son estadísticamente significativos, pero los de X4 y X5 no lo son
b) ¿Rechazaría la hipótesis R2 = 0? Si usando la prueba de F, obtenemos:
10.0.6465656 12.392 26
El 5% de valor de 4 y 26 df, es 2.74 para rechazar la H0.
c) ¿Cuál es la tasa de crecimiento instantánea de la actividad de exploración durante el periodo 1948 – 1978? ¿Cuál es a tasa de crecimiento compuesto correspondiente?
Utilizando el modelo semi. Log, obtenemos:
0.2792
log2.532030.0127 38.37663.3514:
Por lo tanto la tasa de crecimiento instantáneo es -1.27 por ciento. La correspondiente tasa compuesta de crecimiento también es de – 1.27%. (Tome el antilogaritmo de – 0,0127 ( = 0.9873), restar 1 de ella y múltiplo por 100). Para pequeños r. (I + r) * r.
Pregunta 8.23. Consulte los resultados de la regresión de los gastos de presupuesto de defensa de Estados Unidos estimada en el ejercicio 7.18. a) Comente, en términos generales, los resultados de regresión estimados. b) Prepare la tabla ANOVA y pruebe la hipótesis de que todos los coeficientes de pendiente parciales son iguales a cero. Solución: a) se refieren a los resultados de la regresión en ejercicio 7.18. A priori, todos los coeficientes se espera que sean positivos, lo que es el caso, a excepción de la variable militar de EE.UU. las ventas. El R2 es muy alto. En general, el modelo parece satisfactoria. b) Podemos utilizar la versión R de la tabla ANOVA en la tabla del texto:
Fuente
de
MSS
variación
SS
Debido a la regresión Debido a los
Zyf 0,978 4 ©
residuos
V
0
0,022
(0,022 )1^
(Z^)
15
Bajo la hipótesis nula habitual, la relación F es: F= - =166,33 0,022 /15
Este F valor es evidente que es muy importante, lo que conduce al rechazo de la hipótesis nula de que todos los coeficientes son simultáneamente iguales a cero. En otras palabras, las cuatro variables en conjunto tienen un impacto significativo en la defensa.
Pregunta 8.24. La siguiente función se conoce como la función de producción trascendental (FPT) generalización de la conocida función de producción cobb –Douglas. Yi = B1LB2KB3eB4L+B5k
Donde Y= producción, L= insumo trabajo y K= insumo capital después de tomar logaritmos y de sumar el termino de perturbación estocástico, obtenemos la FPT estocástica como
lnYi Donde
0
= B0 +B2lnLi +B3lnKi +B4Li +B5Ki + ui
= ln β1.
a) ¿Cuáles son las propiedades de esta función? b)
Para reducir la FPT a la función de producción Cobb-Douglas,
¿cuáles deben ser los Valores de
4
y β5?
c) Si tuviera la información, ¿cómo haría para encontrar la forma en la que la FPT se reduce a la función de producción Cobb-Douglas? ¿Qué procedimiento de prueba utilizaría? d) Verifique si la FPT se ajusta a los datos de la tabla 8.8. Muestre sus cálculos.
SOLUCION: a) Esta función permite que el producto marginal de la mano de obra y el capital. A subir antes de que caiga. estándar de la función de producción de cobb Douglas los productos marginales caen desde el principio, esta función permite además de la variable elasticidad de sustitución. A diferencia del modelo de cobb Douglas. b)
Si 4 =5 = 0, entonces
= 1, este el modelo estándar
c) Uno podría utilizar la prueba F d la restricción de los mínimos cuadrados. d) Los resultados son los siguientes: Muestra, observaciones incluidas: 20
C LOG(trabajo) LOG( capital) Trabajo capital
coeficiente
Ets error
t- stati
prob
-11.70601
2,876300
-
0,0010
1,410377
0,590731
4,069814
0,0306
0,942699
0,194542
2,387512
0,0002
4,35 E-05
4,845735 2,082179
0,0549 0,4071
-9,06 E-05 -3.54E-07
4,15 E-07
0.8530320 R-squa red R-cuadro S; E de la
0,999042 0,998787
regresión suma
0,013289
de squa red
0,002649
probabilidad de registro
60,91475
Durbin-wuatson
1,065992
Significancia de ponderación D.E.dependentvar Información akaike Criterio f – estadística Prob(estadística)
12,22605 0,381497 3011,007 0,000000
Estos cálculos demuestran los resultados son mixtos. Mientras que el coeficiente de la mano de obra es estadísticamente significativa a la del capital no lo es comparar.
Pregunta 8.25. Precios de energía y formación de capital: Estados Unidos, 1948-1978. Para probar la hipótesis de que un aumento en el precio de la energía relativo a la producción provoca un descenso en la productividad del capital existente y de los recursos laborales, John A. Tatom estimó la siguiente función de producción para Estados Unidos, durante el periodo trimestral 1948-I a 1978-II:* ln(y/k) = 1.5492 + 0.7135 ln (h/k) − 0.1081 ln ( Pe/P) (21.69) (−6.42) + 0.0045t R 2 0.98 (15.86)
(16.33)
Donde y = producción real en el sector de negocios privado k = una medida del flujo de servicios de capital h = horas por persona en el sector de negocios privado Pe = índice de precios al productor para combustible y productos relacionados P = de factor de precios del sector de negocios privado t = tiempo Los números en paréntesis son los estadísticos t. a) ¿Apoyan los resultados la hipótesis del autor? b) Entre 1972 y 1977, el precio relativo de la energía (Pe/P) aumentó 60%. A partir de la regresión estimada, ¿cuál es la pérdida en productividad? c) Después de permitir los cambios en (h/k) y (Pe/P), ¿cuál fue la tendencia de la tasa de crecimiento de la productividad durante el periodo muestral? d) ¿Cómo interpreta el valor del coeficiente de 0?7135? e) ¿El hecho de que cada coeficiente de pendiente parcial estimado sea estadísticamente significativo en el nivel individual (¿por qué?) significa que podemos rechazar la hipótesis de que R2 = 0? ¿Por qué?
SOLUCION: a) Si el índice de precios de combustible es negativa y estadísticamente significativo en el nivel de 1%. b) La pérdida de producción seria 6.48% ( -0.1081) (60%). c) El índice de tendencia de crecimiento fue 0.45% d) El promedio para a la muestra, un aumento de 1% en la mano de obra/ ratio de capital de 0,71% de incremento de la producción. e) ¿Es poco probable de cada coeficiente dependiente parcial estimado estadísticamente significativos de R2 = 0? ¿Por qué? Veamos el presente caso. F= (1-0,98) / 118= 1928,37. Este F valor es altamente significativa. Por lo que se puede rechazar la hipótesis de que R2 es igual a cero.
Pregunta 8.26. La demanda de cable. La tabla 8.10 presenta los datos de un fabricante de cable telefónico para pronosticar las ventas a uno de sus principales clientes durante el periodo 1968- 1983 Las variables en la tabla se definen de la siguiente forma: Y = ventas anuales en millones de pies de cables pareados (MPC) X2 = Producto Interno Bruto (PIB), $, miles de millones X3 = construcción de nuevas viviendas, miles de unidades X4 = tasa de desempleo, % VARIABLE
COEFICIENTE
STD. ERROR
T-ESTADISTICO
PROB.
C
5962.656
2507.724
2.377716
0.0388
X2
4.883663
2.512542
1.943714
0.0806
X3
2.363956
0.843559
2.802361
0.0187
X4
-819.1287
187.7072
-4.363863
0.0014
X5
12.01048
147.0496
0.081676
0.9365
X6
-851.3927
292.1447
-2.914284
0.0155
0.822750
Signicado de var dependientes
7543.125
R-cuadrado R-cuadrado ajustado
0.734125
S.D variables dependientes
1217.152
Criterio de información
S.E de regresión
627.6005
Suma al cuadrado
3938824
Logaritmo de verosimilitud
-122.0134
DurbinWatson stat
2.484497
akaike
16.00168
Criterio de schwarz
16.29140
F-estadistica
9.283507
Prob(f- esttadisticos)
0.001615
X5 = tasa preferencial rezagada 6 meses X6 = ganancias de línea para el cliente, % Considere el siguiente modelo:
a) Estime la regresión anterior = la salida es el siguiente eviews Variable dependiente: Y Muestra: 19681983 Observaciones incluidas: 16
b) ¿Cuáles son los signos esperados para los coeficientes de este modelo? Los signos esperados para los coeficientes de este modelo, uno esperaría que
2, β3
y β6 ser positivo β4 y β5 ser negativo.
c) ¿Corresponden los resultados empíricos a las expectativas a priori? Los que corresponden a los resultados empíricos son
2,
β 3 y β4 que
responden a las expectativas, los otros no lo hacen d) ¿Son los coeficientes de regresión parcial estimados estadísticamente significativos considerados en forma individual en el nivel de 5% de significancia? Como los resultados de la regresión muestran X 3 X4 y X6 son significativas al nivel de 5%, X 2 es significativo al nivel del 10% X 5, pero no es estadísticamente significativa e) Suponga que efectúa la regresión de Y sobre X 2, X 3 y X4 solamente y luego decide agregar las variables X 5 y X6. ¿Cómo averiguará si se justifica agregar las variables X5 y X6? ¿Qué prueba utiliza? Utilizamos la metodología de mínimos cuadrados restringidos discutidos en el capítulo. Retrocedían Y sobre x3 x2 y x4 Solamente obtenemos
=0.6012 Incluyendo todos los regresores como puede verse a partir de los resultados de la regresión dadas en (a), tenemos 0.8227 Por lo tanto, el uso, Eq (8, 7,10) obtenemos
82870.8287/10 6012/2 6,25 0.10. Para 2 y 10 en el numerador y el denominador, respectivamente, el valor crítico F 5% es de 4,10, por lo tanto, se rechaza la hipótesis de que las variables de X5 y X6 no tienen cabida en el modelo
Pregunta 8.27. Marc Nerlove estimó la siguiente función de costo para la generación de electricidad:* Y AX
P 1 P 2 P 3 u (1) donde Y = costo total de producción X = producción en horas kilowatt P1 = precio del insumo
trabajo P2 = precio del insumo capital P3 = precio del combustible u = término de perturbación En teoría, se espera que la suma de las elasticidades del precio sea igual a la unidad, es decir, (α1 + α2 + α3) = 1. Pero al imponer esta
restricción, la función de costos anterior se escribe como (Y/P3) AXβ ( P1/P3)
1 (P2/P3)
2 u (2) En otras palabras, (1) es una función de costo no
restringida y (2) es una función de costo restringida. Con base en una muestra de 29 empresas de tamaño mediano y después de realizar la transformación logarítmica, Nerlove obtuvo los siguientes resultados de la regresión: En teoría, se espera que la suma de las elasticidades del precio sea igual a la unidad, es decir, ( 1 +
2 +
3) = 1. Pero al imponer esta
restricción, la función de costos anterior se escribe como (Y/P3) AXβ (P1/P3) 1 (P2/P3) 2 u (2) En otras palabras, (1) es una función de costo no restringida y (2) es una función de costo restringida. Con base en una muestra de 29 empresas de tamaño mediano y después de realizar la transformación logarítmica, Nerlove obtuvo los siguientes resultados de la regresión: ln Yi −4.93 + 0.94 ln Xi + 0.31 ln P1 ee (1.96) (0.11) (0.23) −0.26 ln P2 + 0.44 ln P3 (0.29) (0.07) SCR 0.336 (3) ln (Y/P3) −6.55 + 0.91 ln X + 0.51 ln (P1/P3)+ 0.09
ln (P2/P3) ee (0.16) (0.11) (0.19) (0.16) SCR 0.364 (4) a) Interprete las ecuaciones (3) y (4).
SOLUCION: Dados que ambos modelos son log-lineal la pendiente estimada eficientes representan la parcial (elasticidad) de la variable dependiente con respecto al regresor bajo consideración. Por ejemplo el coeficiente 0.94 en Eq (3) significa que si la salida en kw-h aumenta en un 1% en promedio. El costo total de producción se incrementa en 0.94%. De manera similar, en Eq (4) si el precio de la mano de obra en relación con el precio del combustible aumenta en un 1% en promedio, el costo relativo de la producción se incrementa en 0.51%. c) ¿Cómo averiguaría si la restricción ( 1 +
2+
3) = 1 es válida? Muestre
sus cálculos. 8.28. SOLUCION: Utilice la F de la sgte manera: F(RSSR-RSSUR)NR(0.364-0.336)71 (/-RSSUR)/n-k(1-0.336)/24 donde: NR=número de restricciones.
Este F no es, importante: el 5% valor critico de F 1 Y 24 numerador y denominador df, respectivamente, es 4,26.por lo tanto, no rechazamos la hipótesis nula de que la suma de las elasticidades de precios es 1.
Pregunta 8.28. Estimación del modelo de asignación de precios de activos de capital (CAPM). En la sección 6.1 consideramos brevemente el conocido modelo de asignación de precios de activos de capital de la teoría moderna de portafolios. En el análisis empírico, el CAPM se estima en dos etapas. Etapa I (Regresión de serie de tiempo). Para cada uno de los N títulos incluidos en la muestra efectuamos la siguiente regresión a través del tiempo:
Rit = άi + βi Rmt + eit
(1)
Donde Rit y Rmt son las tasas de rendimiento del i-ésimo título y el portafolios del mercado (por ejemplo, el S&P 500) en el año t;
i, como
ya vimos, es el coeficiente beta o coeficiente de volatilidad del mercado del i-ésimo título y e it son los residuos. En total hay N regresiones, una para cada título, y se producen, por consiguiente, N valores estimados para βi.
Etapa II (Regresión transversal). En esta etapa efectuamos la siguiente regresión para los N títulos:
| Ri | = γ 1 + γ 2 β i + ui
(2)
Donde Ri es el promedio o tasa media de rendimiento para el título i, calculado sobre el periodo muestra cubierto por la etapa I,
i es el
coeficiente beta estimado de la regresión de la primera etapa y ui es el término residual. Al comparar la regresión (2) de la segunda etapa con el CAPM, ecuación (6.1.2), escrita como
ERi = rf + βi ( ERm - rf )
(3)
Donde rf es la tasa de rendimiento libre de riesgo, vemos que
ˆ1 es una
estimación de rf y es γˆ2 una estimación de (ERm − rf), la prima del riesgo del mercado. Así, en la prueba empírica de CAPM, Ri y βi se utilizan como estimadores de ERi y
i respectivamente. Ahora, si se mantiene CAPM,
estadísticamente,
γ 1 = rf γ2 = Rm - rf , el estimador de ( ERm - rf ) Considere ahora otro modelo:
Ri = γ1 + γ2 βi + γ3 s2e1 + ui
(4)
Donde s2e1 es la varianza residual del i-ésimo título de la regresión de la primera etapa. Entonces, si CAPM es válido,
ˆ3 no debe ser
significativamente diferente de cero. Para probar el CAPM, Levy efectuó las regresiones (2) y (4) sobre una muestra de 101 acciones durante el periodo 1948-1968 y obtuvo los siguientes resultados: * Ri = 0.109 + 0.037 βi (0.009) (0.008) t = (12.0)
(5.1)
R2 = 0.21
Ri = 0.106 + 0.0021 βi + 0.201 s2e1 (0.008) (0.007)
(0.038) 2
t = (13.2) (3.3) (5.3) a) ¿Apoyan estos resultados el CAPM?
R = 0.39
b) ¿Se justifica agregar la variable s2e1 al modelo? ¿Cómo sabe? c) Si el CAPM se mantiene,
ˆ1 en (2) debe aproximar el valor promedio
de la tasa libre de riesgo rf. El valor estimado es 10.9%. ¿Parece una estimación razonable de la tasa de rendimiento libre de riesgo durante
el periodo de observación, 1948-1968? (Se puede considerar la tasa de rendimiento de los bonos del Tesoro o de un activo libre de riesgo relativamente parecido.) d) Si el CAPM se mantiene, la prima de riesgo d el mercado (Rm − rf ) de (2) es cerca de 3.7%. Si se supone que rf es 10.9%, esto implica que R¯ m para el periodo de la muestra fue aproximadamente 14.6%. ¿Parece una estimación razonable? e) ¿Qué puede decir sobre el CAPM en general?
SOLUCIÓN: a) NO, La estimación
3
es significativamente diferente de cero, como t
tiene un valor de 5.3.
b) SI, desde que arroja luz sobre la validez de la teoría. También, estadísticamente es significativo, como se indica en (a).
c) NO, esto parece demasiado alta para volver a las letras del Tesoro de U.S.
d) NO, nuevamente esto parece relativamente alto. e) Un estudio de la literatura reciente sobre CAMP sugiere que el modelo puede no ser apropiado en todas las estaciones.
Pregunta 8.29. Consulte el ejercicio 7.21c. Ahora que ya cuenta con las herramientas necesarias, ¿cuál(es) prueba(s) utilizaría(n) para elegir entre los dos modelos? Muestre los cálculos necesarios. Observe que las variables dependientes en los dos modelos son distintas.
SOLUCIÓN:
Vamos a discutir sólo los resultados en función de la tasa de las letras del Tesoro; el resultado basado en la tasa a largo plazo son paralelas EL modelo del ejercicio 7.21 (a) es un modelo no restringido, y que en (b) es un modelo restringido. Ya que la variable dependiente en los modelos diferentes, nosotros usamos la prueba F dada en (8.7.9). El RSS restringido y no restringido son respectivamente, 0.0772 y 0.0463.
Note que nosotros tenemos que poner solo una restricción, es decir, que el coeficiente de Y en el primer modelo es único. F=
..− −. = 10.69
Para 1 y 16 nominador y df denominador, respectivamente, el 5% del valor crítico de F es de 4.49. Por lo tanto rechazamos el modelo restringido y concluimos que la elasticidad ingreso real es menor que la unidad. Para utilizar la prueba de la t dada en (8.7.4), necesitamos saber la covarianza entre los dos estimadores de pendiente. A partir de los datos dados, puede que se muestra que cov (
,0.33319.
La aplicación de (8.7.4) para los datos de México, se obtiene:
0.33970. 8 4601 0.03450. 008720.0173 1.94 Pregunta 8.30. Consulte el ejemplo 8.3. Utilice la prueba t, como se muestra en (8.6.4), para averiguar si hubo rendimientos constantes a escala en la economía mexicana para el periodo de estudio
SOLUCIÓN: Vamos a discutir sólo los resultados en función de la tasa de las letras del Tesoro; los resultados en función de la tasa a largo plazo son paralelos. El modelo en el ejercicio 7.21 (a) es el modelo no restringido y que en (b) es el modelo restringido. Ya que la variable dependiente en los dos modelos es diferente, utilizamos la prueba dada en (8.7.9). El flujo restringido y no restringido son, respectivamente, 0,0772 y 0,0463. Tenga en cuenta que hemos puesto sólo una restricción, es decir, que el coeficiente de Y en el primer modelo es la unidad.
0463/1 10.69 0.0.007720. 463/193
Para 1 y 16 numerador y denominador df, respectivamente, el valor de F crítica 5% es 4,49. Por lo tanto rechazamos el modelo restringido y concluimos que la elasticidad ingreso real es menor que la unidad
Pregunta 8. 32. Consulte el ejercicio 1.7, en el que se dieron datos sobre los impactos publicitarios que se recuerdan y los gastos publicitarios para una muestra de 21 empresas. En el ejercicio 5.11 se pidió graficar esos datos y elaborar un modelo apropiado sobre la relación entre dichas variables. Con Y como los impactos publicitarios recordados y X el gasto publicitario, se obtuvieron las siguientes regresiones: Modelo I:
Modelo II:
22.1630.3631 7.0890.0971 0.424 7.0591.0847 0.0040 9.9860.36990.0019 0.53
a) Interprete ambos modelos
b) ¿Cuál es el mejor modelo y por qué? c) ¿Qué prueba(s) estadística(s) utilizaría para elegir entre los dos modelos? d) ¿Hay “rendimientos decrecientes” del gasto publicitario?, es decir, ¿después de un determinado nivel de gasto publicitario (el nivel de saturación) ya no conviene gastar en publicidad? ¿Puede descubrir cuál sería ese nivel de gasto? Muestre los cálculos necesarios.
SOLUCIÓN: En el modelo de coeficiente de la pendiente nos dice que el aumento por unidad en el gasto en publicidad, en promedio, conservaron impresiones suben por 0.363 unidades. En el modelo II de la tasa (promedio) de aumento de las impresiones retenidas depende del nivel
de los gastos de publicidad. Tomando la derivada de Y con respecto a X, se obtiene:
1.08470.008
Esto sugeriría que retienen las impresiones aumentan a una tasa decreciente a medida que aumenta el gasto de publicidad. & C) podemos tratar el Modelo I como la abreviada, o restringido, versión del modelo II y, por tanto, puede utilizar la técnica restringida por mínimos cuadrados para decidir entre los dos modelos. Dado que la variable dependiente en los dos modelos es el mismo, podemos usar la versión R2 de la prueba F. los resultados son los siguientes:
530.53/18 424/1 0.0.0126106 4.0613 0.10.
Bajo los supuestos habituales de la prueba F, el valor F anterior sigue la distribución F con 1 df y 18 f en el numerador y el denominador respectivamente. Por estas dfs el valor critico F es (5%) y 4.41 (nivel de 10%) 3.01; el valor P es 0.0591 o alrededor del 6% que es cercano al 5%. Parece que hay q retener la variable X al cuadrado en el modelo. Como se ha indicado en (b), se reducen las utilidades a los gastos de publicidad; el coeficiente del término al cuadrado fueron positivos, no habría habido rendimiento creciente de la publicidad al igual la derivada de (b) a cero, obtenemos:
1.08470.008
, lo que da
135.58
En este valor de X la tasa de aumento de Y con respecto a X es cero. Dado que X se mide en millones de dólares o, podemos decir que en el nivel de gasto de cerca de 136 millones de dólares no hay más ganancias en las impresiones retenidas que midieron en millones de dólares.
Pregunta 8.33. En la regresión (7.9.4) presentamos los resultados de la función de producción Cobb-Douglas ajustados al sector manufacturero de los 50 estados de Estados Unidos y Washington, D.C., para 2005. Con base en esa regresión determine si hay rendimientos constantes a escala en ese sector, mediante:
a)
La prueba t dada en (8.6.4). La covarianza entre los dos
estimadores de pendiente es −0.03843.
b)
La prueba F dada en (8.6.9).
c)
¿Existe alguna diferencia en los resultados de estas dos
pruebas? ¿Cuál es su conclusión respecto de los rendimientos a escala en el sector manufacturero de los 50 estados y Washington, D.C., en el periodo de muestra?
SOLUCIÓN: a)
Usando los datos de regresión (7.9.4) en (8.7.4), obtenemos:
20.03843 0.0.497422. 0.53981.49880. 0.102048991 887 0849 Dado que el tamaño de la muestra es de 15, tenemos 12 df. El valor anterior de t es significativa al nivel de 5%, lo que sugiere que los rendimientos quizá no fueron crecientes a escala en el sector agrícola de Taiwan.
b) La imposición de los rendimientos constantes a escala de restricción, los resultados de la regresión son los siguientes:
ln 1.70860.6129ln 0.41590.0933 0.7685 0.0915
El flujo sin restricciones, RSS, de la regresión (7.9.4) es 0.0672 y el flujo restringido RSS, RSSUR, de la regresión dada en (b) es 0.0915. Utilizando la F dada en (8.7.9), obtenemos:
0672/1 0.0.0126106 4.3393 0.09150. 0.0672/12 Bajo los supuestos habituales de la prueba F, el valor de F anterior tiene la distribución F con 1 gl en el numerador y df 12 en el denominador. El valor p de obtener un valor F de hasta 4,34 o mayor es de aproximadamente 0,0593 o aproximadamente 6 por ciento, que cerca del nivel de 5 % de significancia. De nuevo, parece que hubo cada vez más los rendimientos de escala en el sector agrícola de Taiwan. Tenga en cuenta que la ligera diferencia en el nivel F de importancia se debe a errores de redondeo. También tenga en cuenta que, dado que las variables dependientes en los modelos con y sin restricciones son diferentes, no podemos usar el valor de R2 de la prueba F.
Pregunta 8.34. Reconsidere la regresión ahorro-ingreso de la sección 8.7. Suponga que dividimos la muestra en dos periodos: 1970-1982 y 1983-1995. Mediante la prueba de Chow determine si existe un cambio estructural en la regresión ahorro-ingreso para los dos periodos. Al comparar los resultados con los obtenidos en la sección 8.7, ¿qué conclusiones generales deduce respecto de la sensibilidad de la prueba de Chow a la elección del punto crítico que divide la muestra en dos (o más) periodos?
SOLUCIÓN: Siguiendo exactamente los pasos que se indican en la Sec. 8.8, aquí están las diversas sumas de cuadrados residuales:
1953.639 19701982 9616.213 19831995 23248.3 19701995 1953.6399616.213 11569.852
Que es el restringido RSS
Ahora
Utilizando la prueba F, obtenemos:
/ / 2 11678/2 11569. 852/22 11.1032 El valor p para obtener un valor F de hasta un 11 o mayor es aproximadamente 0,0005, una probabilidad muy pequeña de hecho. Aunque la conclusión general de este ejercicio y el ejemplo discutido en la sec. 8.8 sigue siendo el mismo, es decir, que hubo un cambio estadísticamente significativo en la regresión ahorro de recursos. Sin embargo, como se puede ver a partir de los valores de F, la respuesta depende del punto de equilibrio elegido para dividir la muestra.
Pregunta 8. 35. Consulte el ejercicio 7.24 y los datos de la tabla 7.12 relativos a cuatro variables económicas en Estados Unidos durante el periodo 19472000. a) Con base en la regresión del gasto de consumo sobre el ingreso real, la riqueza real y la tasa de interés real, averigüe qué coeficientes de regresión son estadísticamente significativos, en lo individual, en el nivel de significancia de 5%. ¿Los signos de los coeficientes estimados concuerdan con la teoría económica? b) Con base en los resultados de a), ¿cómo estimaría las elasticidades del ingreso, riqueza y tasa de interés? ¿Qué información adicional, si acaso, necesita para calcular las elasticidades? c) ¿Cómo probaría la hipótesis de que las elasticidades del ingreso y la riqueza son iguales? Muestre los cálculos necesarios. d) Suponga que en lugar de la función lineal de consumo que estimó en a), hace la regresión del logaritmo del gasto de consumo sobre los logaritmos del ingreso y de la riqueza y la tasa de interés. Obtenga los resultados de la regresión. ¿Cómo interpretaría estos resultados?
e) ¿Cuáles son las elasticidades del ingreso y la riqueza estimadas en d)? ¿Cómo interpreta el coeficiente de la tasa de interés estimado en d)? f) En la regresión realizada en d), ¿pudo haber usado el logaritmo de la tasa de interés en lugar de la tasa de interés? ¿Por qué? g) ¿Cómo compara las elasticidades estimadas en b) y en d)? h) Entre los modelos de regresión estimados en a) y d), ¿cuál preferiría? ¿Por qué? i) Suponga que en lugar de estimar el modelo dado en d), sólo hace la regresión del logaritmo del gasto de consumo sobre el logaritmo del ingreso. ¿Cómo decidiría si vale la pena agregar el logaritmo de la riqueza al modelo? ¿Y cómo decidiría si vale la pena agregar tanto el logaritmo de la riqueza como la tasa de interés al modelo? Muestre los cálculos necesarios.
SOLUCIÓN: a) Consumo real = ingreso disponible riqueza real interés nominal
̂20.630.7320.630.730.035.52é : 0 : ≠0 Prueba de confianza
Parámetros no son significativos
Son significativos
Prueba F
27838.41 F tabla
GLN = 4 – 1 = 3 GLD = 54 – 4 = 50 5% = 4.13
Se rechaza Ho
Los signos concuerdan con la teoría económica:
A mayor ingreso disponible aumenta el consumo.
Una parte de la riqueza se puede utilizar para consumir.
La tasa de interés afecta negativamente al consumo real por ejemplo cuando una familia pide un préstamo las tasas de interés son activas.
b) Falta especificar las restricciones. Pero asumamos que el ingreso, la riqueza y los intereses son datos no relacionados en el sentido que el consumo real no se vea afecta por el interés. Elasticidades:
: 0
Por consiguiente, la restricción restringida se transforma en:
Se estimaría aplicando logaritmos las elasticidades.
c) Probaría la hipótesis comparando la regresión no restringida con la regresión restringida. Dónde:
d) sol.
/ −−/−
e)
̂0.390.800.19
Las elasticidades del ingreso y riqueza son positiva (0.997) en la función del consumo lo que implica que es inelástica y el coeficiente de la tasa de interés no afecta la función.
99520. 99945/1 6.36 0.910. 99945/50 Que tiene una distribución F con 1 y 50 gl. En el nivel de 5% se aprecia con claridad que este valor F no es estadísticamente significativo (F5%(1,50) =4.00. La Función del consumo no depende de la tasa de interés nominal.
f) No se pudo utilizar ambos casos porque en la regresión estimada la tasa de interés afecta inversamente el consumo real.
g) No se pueden comprobar ya que faltan datos para estimar las elasticidades en b.
h) Se preferiría la regresión estimado en d ya que reflejan las elasticidades de los variables analizados y tiene un nivel de explicación mayor.
La teoría económica nos dice que el gasto de consumo está en función del ingreso real, pero una parte del ingreso se ahorra, En un determinado tiempo ese ahorro pasa ser un stock de riqueza, el individuo va a decidir si guarda su parte de riqueza en un banco a una tasa de interés y todo dependerá de la atractiva tasa de interés.
Pregunta 8.36. Consulte la sección 8.8 y los datos de la tabla 8.9 relativos al ingreso personal disponible y el ahorro personal durante el periodo 19701995. En esa sección se introdujo la prueba de Chow para ver si ocurría un cambio estructural dentro de los datos entre dos periodos. La tabla 8.11 incluye datos actualizados con los valores de 1970-2005. Según el National Bureau of Economic Research, el ciclo de contracción del sector empresarial estadounidense más reciente terminó a finales de 2001. Divida los datos en tres secciones: 1) 1970-1981, 2) 1982-2001 Y 3) 2002-2005. A O
AHORRO
INGRESO
A O
AHORRO
INGRESO
A O
AHORRO
INGRESO
1970
735.7
735.7
1982
270.8
2 421.2
2002
184.7
7 830.1
1971
80.6
801.8
1983
233.6
2 608.4
2003
174.9
8 162.5
1972
77.2
869.1
1984
314.8
2 912.0
2004
174.3
8 681.6
1973
102.7
978.3
1985
280.0
3 109.3
2005
34.8
9036.1
1974
113.6
1 071.6
1986
268.4
3 285.1
1975
125.6
1 187.4
1987
241.4
3 458.3
1976
122.3
1 302.5
1988
272.9
3 748.7
1977
125.3
1 435.7
1989
287.1
4 021.7
1978
142.5
1 608.3
1990
299.4
4 285.8
1979
159.1
1 793.5
1991
324.2
4 464.3
1980
201.4
2 009.0
1992
366.0
4 751.4
1981
244.3
2 246.1
1993
284.0
4 911.9
1994
249.5
5 151.8
1995
250.9
5 408.2
1996
5 688.5
5 688.5
1997
218.3
5 988.8
1998
276.8
6 395.9
1999
158.6
6 695.0
2000
168.5
7 194.0
2001
132.3
7 486.8
Periodo 1970-1981: Yt = λ1 + λ2Xt + u1t n1=12 Periodo 1982-2001: Yt = λ1 + λ2Xt + u1t n2=20 Periodo 1982-2001: Yt = λ1 + λ2Xt + u1t n3=4 Periodo 1970-2005: Yt = α1 + α2Xt + ut n = (n1 + n2+n3) = 36 a) Estime tanto el modelo correspondiente al conjunto completo de datos
(años 1970- 2005) como el correspondiente a la tercera sección (a partir de 2002). Use la prueba de Chow para determinar si existe una ruptura significativa entre el tercer periodo y el conjunto completo de datos.
3006.503 4.8410 68980026840.9520 2.16 36 0.025964 2. ̅ 0. 9267.898 5.910482 1.828488 18.47895
0.625704
̅ 0.438557 322670.0 4
Para ello debemos hallamos la SCR para poder ver la prueba de Chow, con ello comparamos las SCR total con la SCR3.
123 123 1232∗ 126.8835 0.280799 13.06807 1.282069 0.944682 ̅ 0.939151 147111.9 12
b) Con los nuevos datos de la tabla 8.11 determine si todavía existe
diferencia significativa entre el primer grupo de años (1970-1981) y el conjunto completo de datos ahora que dispone de más observaciones.
c) Ejecute la prueba de Chow con el periodo intermedio (1982-2001) en
relación con el conjunto completo de datos para ver si los datos de este periodo muestran diferencias significativas respecto del resto de los datos.
8643.45015.06703 2.931039 6.413542 0.323079 ̅ 0.285472 28976276 20
