CAPITULO 4 Problema 1. Por 1. Por el interior de un gran conducto circular de 0.3 m de diámetro fluye agua con velocidad que siguen la distribución señalada en la figura, según la ley V=0.0225-r 2 (en m/seg. ). Determinar la velocidad media con que el agua sale por las tuberías de 0.05 m de diámetro.
r 2, r = 0.15 0.15 m., m., dA = 2 r dr Sabemos: = 0.0225 – r r
Q
0.15
d
A
0
Figura del problema 1
m3
0.0225 r 2 r dr 0.000795 Seg . 2
0
Dado que la tubería se bifurca en dos, el gasto gasto equivale: Q = 2V·A La velocidad en los tubos es:
1 Q 0.2024 m V 2 Seg . 2 0.05 4
dA=2 =2rdr
Problema 2. Un chorro de agua es descargado por una boquilla, de 2.5 cm de diámetro, en dirección vertical y ascendente; suponemos que el chorro permanece circular y que se desprecian las pérdidas de energía durante el ascenso. a) Calcular el diámetro de chorro, en un punto de 4,60 m sobre la boquilla , si la velocidad del agua al salir es de 12 m/seg. b) Determinar la presión que debe de leerse en el manómetro M, si el diámetro en la tubería es de 0.10 m y el desnivel ( Z ( Z 1- Z 2) es de 0.4 m. Considere despreciable la pérdida de energía entre las secciones 0 y 1. c) Si el chorro forma con la horizontal un ángulo de 45° y se desprecia la fricción con el aire, determinar la altura máxima que alcanzará y la magnitud de la velocidad en ese punto.
Figura del problema 2
a) Planteamos a) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla y 4.60 m por encima de la misma, los puntos 1 y 2
P 1
Z 1
V 12 2 g
P 2
Z 2
V 22 2 g
h12
Siendo el nivel de referencia el punto 1, entonces: P 1=0; Z1=0; P2=0 Sustituyendo en la Ec. de Bernuolli:
V 22 122 4.60 29.81 29.81
De donde obtenemos: V 2 = 7.33 m/seg El gasto en la boquilla esta dado por:
Q1 = V1 A1 = (12 m/seg)( m/seg)( · 0.025²/4) = 0.0589 m3/seg Y además sabemos que Q 1 = Q2, de donde V2 = Q2 /A2 = Q1 /A1
0.0589
0.0075
V 2 2 · D / 4 D 2
7.33 m / s
Despejando el diámetro obtenemos: D2 = 0.032 mts. b) Planteamos b) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla y 0.40 m por abajo de ella, puntos 1 y 0
P 1
Z 1
V 12
2 g
P 0
Z 0
V 02
2 g
h10
Donde: P1 = 0, Z1-Z0 = 0.40 Sustituyendo:
12 P 0.40 29.81 2
0
V 0
2
2 9.81
V0 = V1 · (D1/ D0)² = 12 (0.025 / 0.10)² = 0.75 m/s Sustituyendo en la ecuación V 0
P 0
12 0.75 0.40 29.81 29.81 2
P 0
7.71
2
mts. de columna de agua
c) Planteamos c) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla y el punto donde alcanza la altura máxima el chorro, puntos 1 y 2.
P 1
Z 1
V 12
2 g
P 2
Z 2
V 22 2 g
h12
donde: P 1 = 0, Z1 = 0, P2 = 0 La velocidad en el punto más alto se obtiene: V 2 = Vcos Sustituyendo:
12 Z 29.81 2
2
12Cos45 29.81
2
Despejando obtenemos: Z2 = 3.67 mts
VEn el punto máximo = (12m/seg)(cos 45º) = 8.48 m/seg
Problema 3. En una tubería de 0.30 m de diámetro escurre agua; para medir la velocidad se ha instalado un tubo de Pitot -como se muestra en la figura- donde el líquido empleado el la medición tiene un = 850 Kg/m3, Calcular la velocidad V para h=0.25m y el gasto en la tubería. Planteamos una Ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 para conocer el gasto, donde el punto 1 se selecciona debajo del manómetro y sobre del eje del tubo, y el punto 2 se selecciona en la entrada del tubo de itot.
P 1
Z 1
V 12 2 g
P 2
Z 2
V 22 2 g
Figura del problema 3
h12
Donde: Z1 = Z2; V2 = 0 ya que es una zona de estancamiento y las h12 0, por lo tanto nos queda la ecuación de la siguiente manera: 2
V 1
P 2 P 1
2 g
Por otra parte obtenemos que la diferencia de presiones se calculara por la regla de los manómetros, esto es de la siguiente manera:
P1 – h1- hgh + h2 = P2 P2 – P1 = (h2-h1) -hgh = h - hgh
P 2 P 1
h( hg )
Resultando: 2
V 1
2 g
h( hg )
h(1000 850)
1000
Despejando V 1 nos queda que es .85 m/s y el gasto seria
Q=A·V Q = [( · 0.30²)/4] · .85 ] QTubo= 0.06 m3/seg
Problema 4. Para el sifón -mostrado en la figura- calcular la velocidad del agua, el gasto y la presión en la sección 2, en el supuesto de que las perdidas fuesen despreciables. Planteamos una Bernoulli entre el deposito y la salida de sifón, puntos 1 y 3.
P 1
Z 1
V 12 2 g
P 3
Z 3
V 32 h13 2 g
Donde : P1 = 0; V1 = 0; z3 = 0; P3 = 0; h13 0.
Figura del problema 4
2
V 3
Sustituyendo: 3.60
V3 = 8.4 m/seg
2 g
Calculando el área del tubo: A
·0.20
2
0.031416 m
2
4
Evaluando el gasto con los datos anterior es obtenemos que:
Q= 8.4(0.031426) = 0.2639 m3/seg Para conocer la presión en 2 planteamos una Bernoulli entre los puntos 2 y 3.
P 2
V 22
Z 2
Donde:
2 g
P 3
V 32
Z 3
2 g
h13
P3 = 0; Z3 = 0;
h23
0
Sustituyendo: P B
29.81
8.4 29.81
2
5.4 8.4
2
De la Ec. anterior botemos:
P B
5.4
mts. de columna de agua
Problema 5. Si la bomba -de la figura- desarrolla 5CV sobre el flujo, ¿cuál es el gasto? Para dar solución al problema, seria plantear una bernoulli entre los puntos 1 y 2 que están en la entrada y en la salida del manómetro.
P 1
Z
V 12
1
2 g
Ep
P 2
Z 2
V 22 2 g
h
Figura del problema 5
12
En la ecuacion anterior, salvo las cotas que son iguales (Z 1=Z2), y las perdidas que son despreciables, aparentemente las demás variables son incógnitas, quedando nuestra ecuacion de la siguiente manera:
P 1
V 12 2 g
Ep
P 2
V 22 2 g
Ahora, por otra parte las velocidades se pueden expresar de la siguiente manera 2
V 1
2 g
0.826Q
2
4
D1
;
V 2
2
0.826Q
2 g
D2
2
4
y la potencia de la bomba quedaría de la siguiente manera
Pot Q · · Ep
Ep
Pot Q ·
kg · m / seg ) CV Q ·
(5 CV )(75
y la diferencia de presiones la calculamos con la regla de los manómetros
P1+ h1+ Hg(0.9) - h2 = P2 P2 – P1 = Hg + 0.9 + (h1-h2) = Hg · 0.9 - · 0.9 Por lo tanto nos quedaría de la siguiente manera: P 2 P 1 (0.9) Hg
P 1
P 2
13600 0.90 1 1000
P 2 P 1
11.34 mts. de columna
de agua
Sustituyendo todos los términos anteriores en nuestra bernoulli original nos quedaría de la siguiente manera: 11.34
0.826Q
D1
2
4
0.826Q
D2
4
2
.375
Q
quedándonos finalmente un polinomio de tercer grado en términos del gasto 304.79Q
3
Q .375
11.34
por ultimo dando solución a este polinomio, el gasto seria Q=0.032m 3/seg.
Problema 6. La velocidad en el punto 1, de la figura, es de 18m/seg ¿Cuál es la presión en el punto 2, si se desprecia la fricción? Debido a que la trayectoria del fluido es de tipo parabólico, la velocidad en el punto más alto (1) solo presenta componente en el eje X la cuál es constante durante el recorrido. En base a lo anterior y por métodos trigonométricos, obtenemos la velocidad en la boquilla
V Boquilla
18
Cos 45
25.456 m / seg .
Planteamos una Bernoulli entre 1 y 2, para conocer la presión en 2.
P 1
V 12 Z 1 2 g
En donde: P1 = 0; Z2 = 0;
P 2
h12
V 22 Z 2 h12 2 g
0
V2 = VBoquilla · (DBoquilla/ DB)² = 25.456 ( 0.10 / 0.25 )² = 4.073 m/seg Sustituyendo:
182 P 2 20 29.81
4.0732 29.81
Figura del problema 6
P 2
35.67
mts. de columna de agua
Un aceite fluye por el tubo circular de 0.20 m de Problema 7. diámetro, que se muestra en la figura; el flujo es permanente y el gasto es de 0.114 m3/seg . El peso específico del aceite es 770 Kg/m 3. La presión y condiciones de elevación son P 1 = 0.56 Kg/cm² ; h1 = 1.5 m P2 = 0.35 Kg/cm² ; h2 = 6.10 m. Determinar la dirección del flujo y la disipación de energía entre los puntos 1 y 2. (Las presiones son manométricas) Figura del problema 7
Q = 0.114 m3/seg Aceite = 770 Kg/m3 P1 = 0.56 Kg/cm² = 5600 Kg/m² P2 = 0.35 Kg/cm² = 3500 Kg/m² Planteamos una Bernoulli entre los puntos 1 y 2, siendo V 1 = V2
P 1
V 12 P 2 V 22 Z 1 Z 2 h12 2 g 2 g
Sustituyendo valores: 5600 770
1.5
3500 770
6.10
h12
8.77 = 10.64 + h12 h12 = -1.87 Las perdidas salen negativas ya que se considero que el flujo es en sentido contrario, entonces: h 21
= 1.87
CAPITULO 8 Problema 1. Agua a 10°C es forzada a fluir en un tubo capilar D=0.8mm y 70m de longitud. La diferencia de presiones entre los extremos del tubo es de 0.02 Kg/cm 2. Determinar la velocidad media, el gasto y el numero de Reynolds para = 0.0133 cm2/seg. En este problema se maneja un tubo horizontal de diámetro constante, implica que Z 1=Z2, por lo tanto V1=V2.
V 12 P 2 Z 1 2 g
P 1
h12
kg m2 kg 1000 m3 200
P 1 P 2
V 22 Z 2 h12 2 g
0.2 mts
de columna de agua
Por lo que respecta a calcular la velocidad, el problema consiste en seleccionar adecuadamente la formula para el coeficiente de fricción, y como se nos da viscosidad se usara Darcy.
L V 2 f D 2 g
0.2 mts
ahora bien el coeficiente de friccion se calculara con f = 64/N R debido a que se supone que es un flujo laminar es decir con numero de Reynolds menor de 2000. Por otra parte el N R se calculara con la formula N R = (VD) / . Entonces sustituyendo en nuestra ecuación de perdidas lo pasado tenemos que: 64
L V
2
Nr D 2 g 64
L V
0.2
2
VD D 2 g
0.2
64 ·V · L · v
2 g · D
2
sustituyendo valores obtenemos 6
64(1.33 x10 )(70)V
3 2
(0.8 x10 ) (19.62)
0.2
despejando la velocidad no queda que es V=4.2x10 -4 m/s o bien 0.042 cm/s. Por ultimo el gasto y el numero de Reynolds se calculan con V=0.042 cm/s.
0.082· ·0.042 0.0002cm3 / s Q A·V 4 . Nr
VD
(0.042)(0.08) 0.0133
0.2526
Problema 2. Un enfriador de aceite consiste de tubos de 1.25 cm de diámetro interior y 3.65 m de longitud. El aceite, con un peso específico de 900 Kg/m 3, es forzado a una velocidad de 1.83 m/seg. El coeficiente de viscosidad a la entrada es 0.28 poises y, a la salida, de 1 poise; puede considerarse que dicho coeficiente varía como una función lineal de la longitud. Determinar la potencia requerida para forzar el aceite a través de un grupo de 200 tubos semejantes en paralelo. Para empezar debemos convertir las unidades al sistema técnico:
0.28 poises
1 poise
0.28
98.1
1
0.010193
Kg · seg .
0.002854
m2 Kg .· seg .
98.1
m
2
Estimación de la densidad:
3
900 Kg . / m
g
2
9.81 m / seg
91.743
Kg .· seg 2 . m4
Calculamos las viscosidades cinemáticas de entrada y salida
0.002854 Entrad a
Salida
91.743
0.010193 91.743
3.1108 x 10
1.111 x 10
m2
5
seg . m2
4
seg .
Obtenemos el coeficiente de fricción de entrada y de salida
f
64
Nr
64
V · D
64
V · D
f Entrada
f Salida
64·3.1108 x 10
5
1.83·0.0125 64 ·1.111 x 10
0.08703
4
1.83· 0.0125
.31084
f = g (L) = f Entrada + [( f Salida - f Entrada) / 3.65 ] L Numéricamente resulta: f = g (L) = 0.08703 + 0.06132 L Debido a que la viscosidad va cambiando junto con la trayectoria, nos vemos obligados a usar diferenciales para obtener las perdidas en el tubo, sin olvidar que 3.65
h
dh
f
0
3.65
dL V 2
g ( L) D 0
2 g
h
L V 2
: f D 2 g
3.65
h
(0.08703 0.06132 · L) (1.83)2
dL
(0.0125) (19.62)
0
h = 9.9153 mts Q = A V = ( 1.2272 x 10-4 ) (1.83) = 2.2457x10-4 m3/seg. Ep = h
Pot
200·Q · · Ep
4
200 (2.2457 x 10 ) (900) (9.9153)
400.8022
Kg .·m seg
Pot = 5.239 H. P. Problema 3. Agua a 5° C es bombeada a un tubo de cobre, liso, a una velocidad de 1.53 m/seg. Si el tubo tiene 2.5 cm. De diámetro y 46 m. de longitud, calcular la diferencia de presiones requeridas entre los extremos del tubo; use la fórmula de Nikuradse, para tubos lisos. Primero calculamos el número de Reynolds y posteriormente el coeficiente de fricción:
Nr
V D
1.53 m / seg .0.025m 2
0.0000013m / seg .
f
29423.07
1.325
5.74 ln Nr 0.9
2
f 0.0235 De donde f = 0.0236, sustituyendo en Darcy:
h
h =
0.0236
46m
1.53m / seg .2
0.025m
2 g
5.18m
5.18 mts.
Problema 4. Aceite, con peso especifico de 800 Kg/m 3 y con una viscosidad cinemática de 0.1858 cm 2/seg., se bombea a un tubo de 0. 15 m de diámetro y 3050 m de longitud. a) Encontrar l a potencia requerida para bombear 127 m3/h . b) si el aceite se calienta hasta que su viscosidad cinemática sea de 0.01858 cm 2/seg, determinar la potencia – ahora requerida- para bombear la misma cantidad de aceite que antes. Para resolver este problema es necesario determinar primero el número de Reynolds, mediante el gasto podemos determinar la velocidad:
V = Q / A = [(127 m3/h)(1 h / 3600seg.)] / 0.018 = 1.99 m /seg. Nr
V D
1.99 m / seg .0.15m 2
16065.66
0.00001858m / seg .
Dado la magnitud del número de Reynolds utilizamos la formula de Swamme para encontrar f :
1
2 log
f
Nr f 2.51
sustituyendo valores:
1
f
16065.66
2 log
f
2.51
De donde f = 0.0273 Sustituyendo en Darcy:
h 0.0273
3050m 1.99m / seg . 0.15m
2
2 g
112.04m
Pot = Q h = ( 0.0353 m3/seg.)(800 Kg/m3)(112.04 m) = 3164.01 Kg . m/seg.
Pot = (3164.01 Kg. m/seg.)(1 Hp / 76.5 Kg. m /seg.) = 41.36 Hp Pot = 41.36 Hp Para el inciso b aplicamos el mismo procedimiento:
Nr
v D
f
2
160656.6
0.000001858m / seg .
1
1.99 m / seg .0.15m
2 log
160656.6
f
2.51
De donde f = 0.0163
h
0.0163
3050m 1.99m / seg . 0.15m
2 g
2
67.08 m
Pot = Q h = ( 0.0353 m3/seg.)(800 Kg/m3)(67.08 m) = 1894.34 Kg.m/seg. Pot = 24.76 Hp. Problema 5. Determinar el diámetro de la tubería vertical necesaria para que fluya un líquido, de viscosidad cinemática v = 1.5 x 10 -6 m2/seg, con número de Reynolds de 1800. Planteando una Bernoulli obtenemos que las pérdi das son:
h
64
L V 2
V · D D 2 g
Tomando en cuenta que h = L y simplificando todo lo anterior resulta:
h L
1
64· ·V 2· g · D 2
en donde no conocemos la velocidad, pero si sabemos que Nr = 1800 y por lo tanto la velocidad la dejamos en términos del Nr.
Nr
V · D
V
;
Nr · D
1800
D
Sustituyendo la velocidad en la ecuacion anterior tenemos:
1 = (115200 v ²) / (2 · g · D 3) Despejando el diámetro tenemos
D = 2.36 x 10-3 m D = 0.236 cm
Problema 6. Calcular el gasto que fluye en el sistema indicado en la figura, despreciando todas las pérdidas excepto las de fricción
.
P 1
V 12 P 2 Z 1 2 g
V 22 Z 2 h12 2 g
En donde: P1 = P2 = 0, V1 = V2 = 0, Z2 = 0 Por lo que: h12 = 6
L V
Sabemos que: f = 64 / Nr
2
h f D 2 g
Usando la ecuación de Darcy:
y
además Nr = V.D / v
Sustituyendo en la ecuación de Darcy obtenemos:
h
64v LV 2 g D
2
Figura del problema 6
6
Es necesario determinar el valor de v para poder obtener el valor de la V, y para ello conocemos lo siguiente:
v = /
y que = /g
Sustituyendo valores:
= 800/9.81 = 81.55
y además
Por lo que:
v = 0.001/81.55 = 0.0000122 Sustituyendo en la ecuación de pérdidas:
h
640.0000124.8V 19.620.0062
Despejando: V = 1.132 m/seg. Por lo que el gasto:
Q = 0.032 lps
= 0.1 / 98.1 = 0.001
Problema 7. Cuando el gasto de agua en un tubo liso dado es de 114 lt/seg., el factor de fricción es f = 0.06 ¿ Qué factor de fricción se esperaría si el gasto aumenta a 684 lt/seg.
f = 64 / Nr ==> NR = 64 / f = 64 / 0.06 = 1067 < 2000 flujo laminar Si el gasto es seis veces mayor: 114 x 6 = 684 lps Podemos esperar que: Nr = 6400, es decir, seis veces mayor que el original. Con el diagrama de Moody para tubos lisos: f
= 0.035
Otra manera de calcularlo es utilizando la formula de Blasiss:
f
0.3164
0.3164
0.25
Nr
6400
0.25
0.035
Problema 8. Agua sale de un tubo horizontal nuevo (fierro fundido) de 0.305m de diametro. Para determinar la magnitud del gasto en la tuberia, dos manometros separados 610m, indican una diferencia de presion de 0.141 kg/cm2. Estimar el gasto. Para poder estimar el gasto, se tiene que las perdidas serian las siguientes:
h
P 1 P 2
P
1410 kg / m
2
1000 kg / m
3
h = 1.41m Ahora planteando la ecuacion de perdidas por Hazen Williams, se tiene el gasto siguiente:
1.852 Q 1.852 4.87 C . D H 10.645. L
h
1
h.C H
1.85 2
Q
. D
4.87
10.645. L
1.85 2
En donde h=1.41m, CH=130, D=0.305 y L=610, por lo tanto el gasto seria Q = 0.0602 m 3/s.
Problema 9. El flujo turbulento plenamente desarrollado en un tubo liso es con una velocidad media de 0.61 m/seg. Determinar la velocidad máxima al centro del tubo con: a) NR=1000. b) NR = 105 a)
Debido a que en este inciso nos encontramos con un flujo laminar usaremos la siguiente ecuacion expuesta con anterioridad:
V
v MAX 2
Por lo tanto:
v MAX
2·V 2·0.61m / seg . 1.22m / seg .
b) Para este caso, dado el número de Reynolds, es necesario recurrir a la siguiente formula:
v MAX V
1 3.75
f 8
2.5
f 8
· Ln
R r R
y = R-r es decir, es el complemento de r con r = 0, observamos que y = R
v MAX V
1 3.75
1 3.75
f 8
2.5
2.5
f 8
· Ln
R 0 R
Si r = R:
v MAX V
f 8
f 8
· Ln
R R R
R = 0, lo cual nos indica el lugar donde se presenta la velocidad máxima ( V = vMAX ), por lo que obtenemos finalmente:
v MAX V donde:
f
1
f
3.75
8
1.325
5.74 Ln 3.7· D Nr 0.9
2
El valor de se tomó como cero, debido a que se esta trabajando con un tubo liso.
f = 0.0116 Sustituyendo: v MAX
0.61
1 3.75
0.0116 8
Vmax = 0.697 m/seg
Problema 10. En una prueba realizada con una tubería de 15cm de diámetro se ha medido una diferencia manometrica de 350mm, en un manómetro de mercurio conectado a dos anillos piezometricos, separados 50m. El gasto era de 3000 lt/min, esto equivale a 0.05 m 3/s. ¿Cuál es el factor de fricción f ? Para dar solución a este problema se tiene que la ecuación de perdidas es la siguiente:
h
L V 2 f D 2 g
donde L=50m, D=.15m, y la velocidad y las perdidas se calcularían de la siguiente manera: Como el gasto es de 0.05 m 3/s y el D=.15m, se tiene que la velocidad seria V=Q/A y esto seria igual a 2.82m/s. Ahora, si sabemos que el peso especifico es igual a 13600 kg/m 3, la presión del mercurio seria la siguiente:
P = (13600 kg/m3)(.350m) = 4760 kg/m2 por lo que se tiene que P/ = 4.76m = h estas serian las perdidas. sustituyendo y despejando la ecuación de perdidas que se planteo al principio del problema se tiene que
f
hD.2 g LV 2
(4.76)(0.15)(19.62)
(50)(2.82) 2
0.035
Problema 11. Determinar la pérdida de energía que se produce en un tramo de 1000 m, al mantener una velocidad de 5 m/seg en una tubería de 12 mm de diámetro, v = 4 x 10-6 m2/seg. El número de Reynolds esta dado por:
NR = ( V · D ) / v = (5 m/seg · 0.012 m) / 4 x 10-6 = 15000 Calculo del factor de fricción: 1.325
f
5.74 0.9 Ln 3.7· D Nr
2
Para la obtención del valor del factor de fricción, con la anterior ecuacion, se tomó la siguiente consideración: = 0, ya que se trataba de un tubo liso. 1.325
f
5.74 Ln Nr 0.9
2
f = 0.028 Sustituyendo en la ecuacion de pérdidas de Darcy:
h h
L V 2
f D 2 g
0.028
1000
5
2
0.012 19.62
2973.16
m
= 2973.16 m
Problema 12. ¿ Qué diámetro de tubería de fierro galvanizado para que sea hidraulicamente lisa para un número de Reynolds de 3.5 x 10 5, la tubería de fierro galvanizado tiene una rugosidad absoluta de = 0.15 mm? En el Diagrama de Moody para un Nr = 3.5 x 105, y para un tubo liso obtenemos:
D
0.0002
Sustituyendo y despejando:
D
0.15mm 0.0002
D = 750 mm
750mm
Problema 13. ¿ Cuál será el diámetro de una tubería nueva de fierro galvanizado, para que tenga el mismo factor de fricción para R e = 10 5, que una tubería de fierro fundido de 30cm. de diámetro?
Para una tubería nueva de fierro fundido: = 0.25 mm; con los datos anteriores calcularemos el factor de fricción: 1 2.51 2 log 3 . 71 · D f Nr f
0.00025 2.51 2 log 5 3 . 71 0 . 3 f 10 f
1
f =
0.019
Con el valor obtenido y la rugosidad absoluta (0.15 mm) del fierro galvanizado obtenemos el tamaño del diámetro:
0.00015 2.51 2 log 5 0.019 3.71· D 10 0.019 1
D = 0.185 m.
Problema 14. Calcular el factor de fricción para el aire, a presión atmosférica y a 15 ° C, que fluye por una tubería galvanizada de 1.2 m de diámetro, a velocidad de 25 m/seg. La viscosidad cinemática del agua a 15 °C es 16 x 10 – 6, la cual, es necesaria para la estimación del número de Reynolds.
Nr
V · D
v
2.5 m / seg .1.2m 2
1875000
0.000016 m / seg .
La rugosidad absoluta presenta una magnitud de 0.15 mm, sustituyendo:
2.51 2 log 3 . 71 · D f Nr f
1
0.00015 2.51 2 log 3 . 71 1 . 2 f 187500 f
1
f =
0.0137
Problema 15. Calcular el diámetro de una tubería nueva, de fierro fundido, necesaria para transportar 300 lt/seg. de agua a 25 ° C, a un km. de longitud y con una perdida de energía de 1.20 m. Para este problema utilizaremos la ecuación de Hazen-williams
h
10.675
Ch 1.85 2
L Q 1.85 2 4.87 D
El coeficiente Ch para una tubería nueva de fierro fundido es de 130, sustituyendo encontramos:
1.2
10.675 1000 1.852
130
D
4.87
0.300
1.852
Despejando: D = 0.64 m.
Problema 16. Aceite, de viscosidad cinemática v = 2.79 cm2/seg, fluye en un ducto cuadrado de 5 x 5 cm. con una velocidad media de 3.66 m/seg. a) Determinar la caída de presión por cada 100 m de longitud del conducto. b) Determinar la caída de presión por cada 100 m de longitud, si las dimensiones del ducto cambian a 2.5 x 10 cm. c) Determinar la misma caída de presión, si el ducto tiene una sección triangular equilátera de 2.5 cm. de lado. Planteamos una ecuación de Bernoulli entre un punto a la entrada y otro a la salida:
P 1
V 12 P 2 V 22 Z 1 Z 2 h12 2 g 2 g
Donde: Z1 = Z2 y V1 = V2 Sustituyendo:
h12 = (P1 – P2) / Para resolver este problema nos apoyaremos en la equivalencia entre el diámetro y el radio hidráulico: D = 4 RH Donde:
RH
Aducto
P mojado
a) Para solucionar este inciso calcularemos el área y perímetro con los datos proporcionados.
Aducto = (0.05m) (0.05m) = 0.0025 m 2 Pmojado = 4 (0.05) = 0.2 m Sustituyendo: RH
0.0025m 0.2m
2
0.0125m y D
= 4 (0.0125m) = 0.05 m
Estimación del número de Reynolds:
Nr
V · D
v
3.66 m / seg .0.05m 2
0.000279 m / seg .
655.91
Calculo del factor de fricción:
f
64
Nr
64
655.91
0.0976
Sustituyendo en la ecuación de Darcy para pérdidas:
h12
0.0976
100 0.05
3.66 2 g
h12
f
2
133.23m
h12 = 123.23 b) Para este inciso sólo cambiamos las magnitudes de los lados
Aducto = (0.025m) (0.1m) = 0.0025 m 2
L V 2 D
2 g
Pmojado = 2 (0.025 + 0.1) = 0.25 m Sustituyendo: 0.0025m
RH
2
0.25m
0.01m y
D = 4 (0.01m) = 0.04 m
El número de Reynolds:
Nr
V · D
v
3.66 m / seg .0.04m 2
0.000279 m / seg .
524.73
Calculo del factor de fricción:
f
64
64
Nr
0.122
524.73
Sustituyendo en la ecuación de Darcy para perdidas:
h12
0.122
100
3.66
f
D
2 g
2
2 g
0.04
h12
L V 2
208.18m
h12 = 208.18 m c) En este caso varia la forma en que se calcula el área y perímetro, ya que se trata de un triángulo equilátero
Aducto = (0.025m) (0.15m) = 0.000375 m 2 Pmojado = 3 (0.025) = 0.075 m RH
0.000375m
2
0.075m
0.005m y D = 4 (0.005m) = 0.02 m
El número de Reynolds esta dado por:
Nr
V · D
v
3.66 m / seg .0.02m 0.000279 m
2
/ seg .
262.37
Calculo del factor de fricción:
f
64
Nr
64
262.37
0.244
Sustituyendo en la ecuación de Darcy para perdidas:
h12
0.244
100 0.02
3.66 2 g
h12
L V 2 f D 2 g
2
832.73m
h12 = 832.73 m
Problema 17. Utilizando el diagrama universal de Moody dar respuesta a las siguientes preguntas: a) ¿ Para que tipo de flujo la pérdida de fricción varia con el cuadrado de la velocidad? b) ¿ Cuál es el factor de fricción para R e = 10 5 – en un tubo liso- para /D = 0.001 y para /D = 0.0001? c) ¿ Para qué rango del número de Reynolds, es constante el factor de fricción, en un tubo de fierro fundido y de 152 mm de diámetro? d) Suponiendo que la
rugosidad absoluta de un tubo dado se incrementa en un periodo de 3 años, a tres veces su valor inicial, ¿ tendría ello mayor efecto en la pérdida en flujo turbulento, para números de Reynolds altos o bajos? e) ¿ Para qué tipo de flujo f depende únicamente de R e? f) ¿ Para qué tipo de flujo f depende únicamente de R e y /D? g) Si el factor de fricción es 0.06, para un tubo liso, ¿ Cuál sería el factor de fricción para un tubo de rugosidad relativa /D = 0.001, con el mismo número de Reynolds? h) Lo mismo para f = 0.015.
a) b) c) d) e) f) g) h)
Turbulento Tubo liso con /D = 0.001 f = 0.0185; con /D = 0.0001 f = 0.022 Re 6.8 x 10 5 No tendría ningún efecto, por tratarse de un flujo turbulento Para flujo laminar y turbulento para tubos lisos Para el flujo en zona de transición No existe f = 0.02 según el diagrama de Moody
Problema 18. Aire a 15ºC fluye en un conducto rectangular de 61x 122 cm, fabricado con una lamina de aluminio liso a un gasto de 274 m3/min a) Determinar la caída de presión en 100 mts. b) Determinar el diámetro necesario de un conducto cilíndrico del mismo material para transportar este gasto con las mismas perdidas. Para la solución se supone que el tubo es colocado horizontalmente, entonces se procede a plantear una ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, entre los cuales hay 100mts de longitud.
P 1
V 12 P 2 Z 1 2 g
V 22 Z 2 h12 2 g
donde: Z1 = Z2, V1 = V2
h12
p1
p2
En este problema el fluido es el aire y, por lo tanto, la única ecuación de pérdidas que podemos utilizar es la de Darcy
h12
p1 p2
L V 2 L V 2 f f D 2 g 4 RH 2 g
Donde debemos reemplazar el diámetro por el radio hidráulico (RH), D = 4 RH.
ADucto= (1.22) (0.61) = 0.744 m 2
Perímetro = 2 ( 1.22 + 0.61 ) = 3.66 m
El radio hidráulico está definido como el cociente del área y el perímetro mojado. RH
ADUCTO
0.744m
2
PERIMETRO
0.213m
3.66m
4RH = 0.852
V
Q A
274m
3
/ min.
(0.744m2 )(60 seg )
6.13m / seg .
La viscosidad cinemática del aire a 15ºC es v = 16 x 10-6
Nr = VD / v = V( 4RH ) / v = [(6.13) (0.852)] / 16 x 10 – 6 = 326,422.5 Obtenemos el coeficiente de fricción usando el valor de f para tubo liso 0.3164
f
Nr 0.25
0.3164
326422.5
0.0132
2.98 mts
0.25
A continuación calculamos las pérdidas:
h12
0.0132
100
6.142
0.852
2 g
( P1 - P2 ) / AIRE = 2.98 mts ahora bien, como el aire se encuentra a 15°C, según la tabla de la pagina 23 del Sotelo, el peso especifico del aire a esa temperatura es de 1.225 Kg/m 3, lo que nos quedaría de la siguiente manera,
P1 - P2 = (1.225 Kg/m3)(2.98mts)= 3.65 Kg/m2 P1 - P2 = 3.65 Kg/m 2 Para poder dar solución al inciso b, se tiene lo siguiente, el tubo esta horizontal, por lo tanto la diferencia de presiones serian las perdidas, y si las perdidas se calculan por Darcy nos queda la siguiente ecuación,
h12
P 1 P 2
L V 2 f D 2 g
Como se debe de tener el mismo gasto y las mismas perdidas tenemos que 2
h12
(0.0826) f LQ
5
D
Donde se conoce, el gasto, las perdidas, la longitud y el coeficiente de fricción seria,
f
f
0.3164
NR 0.25
NR
VD
4Q
D
· ·
0.3164
4Q D · ·
0.25
Por ultimo sustituyendo y resolviendo para D obtenemos que,
h12
0.3164 L ·Q 2 (0.0826) 0.25 4Q · · D D 5
2.98
0.3164 (0.0826) (100)(4.56) 2 0.25 4(4.56) 16 x106 D D
5
D = 0.94 mts
Problema 19. Agua fluye con un gasto de 17.1 lps en un tubo horizontal de 150mm de diámetro, el cual se ensancha hasta un diámetro de 300mm. a) Estimar la perdida la perdida de energia entre dos tubos en el caso de ampliación brusca. Para la solución del inciso A de este problema, de la ecuación de continuidad se despeja la velocidad para encontrarla.
V
Q
A
4Q D
2
4(0.0171) (0.3)
2
0.242 m seg
por lo tanto la formula de las perdidas en la ampliación seria la siguiente: 2
D V 1 h D 2 g 2
2
2
2
2
1
esta surge de la ecuación 8.17 de la pagina 299 del Sotelo Avila. Por lo tanto nuestras perdidas serian: 2
(0.31) 2 (0.242) 2 h 1 0.0269m 2 ( 0 . 15 ) 19 . 62
