RE
rela relaci ci ne cambio
tu ia
ma
iv
de tabla tabla
lo ue se efin efin
eriv eriv ci
graf grafic icam amen ente te
perm permit iten en caJc caJcul ular ar co rela relati tiva va faci facili lida da
raci racion onale ales, s, func funcio ione ne in
algeb algebra raic icas as func funcio ione ne
172
eriv erivad adas as de poli polino nomi mios os func funcio io es
expo expone nenc ncia iale le
in
qu inte interv rvie ie en rela relaci cion ones es de carn carnbi bio, o, tang tangen ente te de func funcio ione nes. s.
la re
logaritmicas ra
lv
curv curvas as aram aramet etri rica ca
func funcio ione ne
tritri-
le
la aproximacion
:::~~~~~3~·1~~------------------~.--------------------~----------~~~--DERIVADAS
DE
cias, cias, polino polinomio mio
FUNC FUNCIO IONE NE
DE
EXPO EXPONE NENC NCIA IALE LE
funcio funciones nes expone exponenci nciale ales, s, La
f(x) y=c
f' (x
debe debe tene tene cion
pendiente
de
figura J.)
f'(x)
-~----------------:~
La grMi grMi recta
c,
fm i(x
la defini-
f(x)
fm /,->1)
f(x)
C, pOI'
tanto i'(x)
:=
FU
C IO IO N
CONSTANTE
ex
FUNC FUNCIO IONE NE
En egui eguida da y=x
POTE POTENC NCIA IA
co side side an la f(x)
unci uncion ones es f(x) x,
",
donde
es un nter nter positivo, Si
pcndiente
.v
II
FIGURA
in18),
if recta
.r po tant tant
i'(x)
enco encont nt
qu 2x
/(x)
Para
f'(x)
fm
3x-
dx
x\ qued qued I(x
om
gue: gue: ,(x h m - --- --- --- -
f(x)
1,-,0
/J-.{1
4x
6x
11
lim ------------------------------------
X4
II
4xh
;,-·0
/,-,0
(4x
6x
4xl1
x'
173
74
1111
CAPiTULO
GLA
!V
cuando
RE
Il
es un ente entero ro osit ositiv ive, e, ( d d x la se
LA
Si
L A P OT EN C I
x"
x""
re lt in
1.
li
tr
es un ente entero ro posi positi ti e, en co secu secuen en ia x""
PR ERA
Pued Pued
D E t1t1 0S 0S T R A C O N
veri verific ficar ar
formula
la
rnul rnulti ti lica lica do solo solo ella ellado do dere dere ho (0 f{x) ie ri ante anteri rior or para para escr escrib ibir ir .f'{a)
la ec acio acio
- f
lfrn ..
f'(a)
..1
x , . . _ ... .
_(-"il
im (X"~
X,,-2
xa"~2
a"-I)
X-)oO
S E G U ND A
D t 1 0 S T R A C IO IO t
.f'{x)
!!l
me
p i q in in a d e e te te rs rs nc nc i
.
I,~·n
im -'---'------
-
"~·o
tuvo qu desa desarr rrol olla la x\ tuvo iq
mi
(x
II
f(
Iz)"
IIX"-
f'(x)
1)
II
x"
II
II En este este caso caso nece necesi sita ta in io
esar esarro roll ll
nxh'"
x"~-h-
im u-:«
x"-"h-
IIX"-
nxh'"'
h"
im-------------------------------------
/,,0
primer ero, o, tien tienen en el prim
como como fact factor or
por
tanto,
EjEt'lPLO
(a) Silex) (c
Si
x(', c1espues!,Cx)
r.
dy
6x
4t',
(b) Si ( r ) (d) dr
](lOO,
por 10 tanto y'
1000x 99
SECCION
3.
DERIVADA
DE POLlNOMIOS
DE FUNCIONE
EXPONENCIALE
IIII
i.
derivada qu
dx
Por
y,po co si uiente la regi siguiente [ejercici 8e
la otenci se umpl cuando ra
De
la ti
ro
-JX=-
dx
la potencia es verd dera in luso cuando 11
R EG L
D E LA O lE N C
V E RS I6 ~
G E NE RA L
Si
x,,-I
dx
En
F ig u
e je m p
Z (b )
S8
m u es t
s u d e ri va d a (y
O b se rv e q u n e ga t v a c u an d o
u nc io n
de
y' A dv ie r
no es
EJEMPlO
qu
d e n id a
e s p os i v e c ua nd o
es cu lquier mimero real entonces
al
crece,
(a
f(x)
decrece.
(b)
=-:;-
x-
x.
SOlUflON
I(x)
x-
(b) FIGURA
y=$2
iv en P. li ea orma allente.
it
linea normales
La line
normal
175
176
11I1
REGLAS DE DERIVACIO
Hall la cu ci6n lu ib
[!1j E jE MP L
j(x)
SOLU(ION
xl
la rect tangente estas lineas xJX
/2
XX!/2
es
~~--------'7~
1'0)
reciproc
Por consiguiente
negativo de 1)
' -
ci6n
bien
~x
io
la
in
la fa GEOHETRICA
ItHERPRETACIOH
DE
GL
U lT I
Si
C O N T AN T
es un funci6
derivable,
D E L M U L T P L D C O N ST A tH E
yA
dx [cf(x)] ~Y=2f(XI cor1PROBACIOtl
/-Y=f(X)
Sea g(x)
Despues
f(x). g(
hm -,-.;___-,-_-,--,--,-
"m u p l c ac lo n ve
me evaciones
p e m an ec e
pa
es
en un acor de
ha g ua le s
d up l c ad o
im
g ra f c a T od a pe
a s p en d e n e s
as
f(
II
h-
o s a va nc e a mb ie n
f(x)
lim s-.»
s e d u p li ca n .
(pOl' la
II
jl(X) MP
(3X4)
(b
(x")
dx
x]
3(4x
fa derivada
derivadas.
-1(1)
(-1)
de
na
-I
la
la
RI
Sis€ ut za p ue d e sc r b i
Si tant
n o a c o n d e a po s o fo . eg
g)
de
IIII
XP
omo
so derivables
177
entonces
s um a c om o (i'
g(x)]
PRUEBA
F(x)
(x)
g(x),
f(x)
g(x)
Entonces
F(x lin ---'--___;'---.:......:....
11-0
_ ~ [ " j ~ · (_ x+ _ l _ : _ l ) + . .. .. .. :g ~ ( x _ + _ h . .' -:.-.:--)- - - - - = . : : [ J ~_C+ ._. _. ."::' _. xg C : _ ; x ) : . c ; . ] h-O
g(x) -"-'------''----'''-:_:
II
/,-0
im
lfr -"--'--_:'--~:_:_ /r-.o
/,-0
1'(x)
(f
Icy I)
g'(X)
11)'
Ii]'
(f
Al escribir como (tante, btie la formul siguiente.
FE
g(x)
NC
Si tant
(f
Yap ic
)'
re la
como
lt
so derivables entonces gCx)
(X
12
d
d dx
10
d
d
(x)
(5)
178
1111
CAPiTULO
REGLAS DE DERIVACION
!&!.lI
ue
E J E - 1P l
gent
6x
la cu
4, lo puntos donde
es horizontal
SOLUCION
Se en
an en
on es
on
derivada
.v
x)
6-{r)
h/3.-5)
hJ\-5)
12x
x(x
FIGURA
La curv su tangente
X4
6,,2
horizontales
Asi, dy/dx si 0, tangente horizontales cuando 0, ..j3 ). as la (..j3, (-..j3,
±..j3.
ci
-..j3.
os
nd
es
EjEMPl
3t
donde
mide en centimetro o.
SOLUCION
.C uJ
eg do
ce erac
La velocidad
ce
es ue
ds
na un
gu os
dv
14 cm/s"
O N EN C IA l
ad
un
j(
I'(x)
ex ne ci
II (x) . -
f(x)
',
a"
Hrn----
/1-·0
1<-.0
h,
Ii
I'(x)
lfrn
11-·0
consecuencia ha demost ad
que,
11-,0
--
'(0)
II
la unci6n exponencia
I'(x)
fa propia funcion.
(x
'(O)a'
fa relacion de ambi proporcional
om
dr
es a(2)
EI factor a'
ci
4,
6r
dt
a(t)
nt al la derivada
el
4)
ac vU
UNC ONE
al
on
nd
de
es prop
ualqui rfuncion
on
tu
xponen ia
es
DERlVADA
DE POLI
MI
DE FUNCJONE
EXPONENCIALE
1111
179
1'(0) cimale Ii
Pa ec
qu
os lf nite ex te
Ir 0.7177
!.161:?
(l.OI
0.6956
l.1047
0.001
0.6934
1.0991
.1
Para
1'(0)
Para
1'(0)
0.0001
" II~O
frn
" -
1.10
11-·0
valore so
dx
0.693147
(2.1)
dx
x~{)
d. dx
(0.69)2"
(3')
dx
1.098612 x~()
(1.10)3-'
encill de de vacion cuando (0 1. En vi de as es imac ones def'(O) para ya 3, /,(0) trad ci na deno ar es va or ca la etra e. De hecho, as se presento
Jill
d e m os tr a
ej
ve que
co
ue c in c
l.Es
s e e n c ue n tr a
c i a s d ec im a e s
es
mirnero
2.71828
Ge me icamen e, es e' a" la funcio f(x) qu es exactament I.
gn fica
ue de odas as unciones exponenc ales po bles
1'(0)
(x e'
fo
ul
par 10 tanto, ['(0 de ivac on qu proporcion
cont nuac on
pendient "" e'
180
1111
CAPiTULO
REGLA
DE DE lV
IO
DERIVADA
F UN C O N
O N EN C I
N AT U
iiI]3 pendient
para exarnina
esca formul
-(e')=e'
dx
De do de la fu cion exponencia f(x) es igual
la coordenada
f(x)
v ea s
de punt
figura 7)
x, encuentre
SOLUCION
tiene
l a d if er e n ci a
f'(x)
e'
dx
se
asf
5!._(l)
f"(x)
La funcio su derivada f' genr horizontal cuando observ qu tiva es
ar x>
e"
ta O.Asimisrno,
f'(0)
f'(x) es positiva
0, 1'(x) es nega-
es creciente. Cuando
2x? S O L U C I O N Como
e' tenemos y'
Sea
c oo rd en ad a
del punto
en cuestion
e"
x'
e"
tes, tien n2
e"
(a e")
EJERCICIOS l.C6mo se define el ruim ro e?
hast do
rapide
iJ-,O
II-dl
cuando
es grande
ifra decimales, i. ue pu de co clui e?
3. f(xl i6
': poniendo particula y. (,Que
it
g(x) g.
2.8 l[m---
f m -
or ecto
f(x)
lfrnites
lo
186.5
4. f(x)
5. f(t)
6. F(x)=f
7. f(:r)
8, f(t)
.j36
3t
DERIVADAS DE POLINOMIO
2)(2r
10 h(
(I'
U)
(b Utiliz nd
3)
IIII
DE FUNCIONES EXPONENCIALE
Ingnific de inciso (a para stimar pendientes
f'
5e (c Calcul
5t A(s)
16 E(
=- ....
s·
Ill. :r
y~('
Utilic un dispositiv
grafic do
x)
dibuja la funcio
=.J;
visualizacio
i -
20 1(
)'
1 9 F (x )
dor. para dibuja f'. (a
1 7 G (x )
f'(x)
[-
(a
(b Apli ando la gnific de in is
para estimar pendientes g'.
(x
.,fill
26 gI t)
(c Calcul g'(x)
jX
=_
45 46 Hall
.j3U
45 f(x)
ae
x~I)3
!i(x)
prirne
segund
derivada
[ill
3x'
X4
segund
de la funcio
j;
G(r)
Verifiqu
pa
derivada
vel' qu su respuestas se
47.f(x)
de la funcion.
48
5X 31
34.
(1.1)
(a la velocida
(1.2)
-l
(b
acel ra io
35-36
l a t an ge nt e
la
6.
2x)".
para Ia tang nt
(a
alla la velocida
acel ra io
Encuentr
9. f(;1:) f(x)
5x l5
40. f(x)
dond
(I
f'
Ia tang nt
5x
dibuja la funcion f(x) rectangulo de visualizacio
ie
ta 3'?
ie tr
li
SOil
paralela
un
IX
te
20x'
2.
alculadora graficador
12x
2x}
5x
uselns
gent pa alel 43 (a Us un
omputadora parn
6x 30 [-3,5] por [-10,50]'
en
ho izonta
x~
razonable.
x'
s.
lo puntos sobr Incurva
grafica def(x) Encuentre i fi c nseguida para xpli ar po qu su espuesta
de t.
an al
52".(,Par qu valore de
39-42
como funcione
io
mi ma
!TI"J
IX
.r
ten
aceleracio
pantalla.
8.
metros
en
misrna
(1,2)
esta
segundos,
(I, 9)
c ur v
ra ique la cu va
de t.
s,
I. dond
4t
la un ecua io
uncion
lu
7t~
37.
do de
la
curva (0,2)
om
de
a ce le ra c o n d es pu e
la
F or rn u
31,
.I'
esta en metros
indica.
punt dado
al comparar
x'
particula es
) if j3 7- 3
+.;r;
ra onable
f"
la graficas de}: f' "'
p u n t o que
gra-
su boceto de incise (b).
v'
4#
II
apliqu esta expresion, co un dispositiv
ficador, par dibuja g'. Compare co
tang nt
la urva
dibujand
la curv
la line
la rect
5. Ihistrel
amba lfneas le
la 5x
34
1111
182
REGLAS DE DERIYACIO
al
(1,0)
mism
pa abola?
derivabl (b Grafique
Elabore un esquema,
(0 ~4), ta ge te
inte se
70
71
la parabola
Xl x. ninguna line qu pase po pu to 2,7) la parabola Cu nd dibuje di gram er
qu es tang nt
la funcio f(x) ncuentre un form la pa f'.
i,D6nd es derivabl la funci6n h e x ) ro or io un or ul ar h' grafique Determine la parabola co ecuaci6n tangente tien po ecuacion
ic /x, despues f'(x)
1/x
(Est
demu st
l, parabola
la regi
-1.)
62
ncuent la eriv da n- sima de cada fu ci calcul nd primeras derivadas observ el patron qu se desarrolla (a
f(x)
f(x)
("
la
(2)
3,
65 66
ll un parabola endiente
an
ax
bx
76
Se dibuja un
(b
l,E derivable
SI
siguiente
g(x)
x"
mu stre qu el triangul
un formul para gt
APUCACION
sobr
pa la
ct tang nt
la hiperbola,
1000 ,~l
l,D6 de se inte seca
stas ectas?
es derivable or al e;;;
e;;;
80
si x> Proporcion
orrnad
e l
rabola
si si
P,
y,
f'.
2x
la hipe bola xy
ecta tangente
e;;;
ib funcion
ea siempr
si x>
2x
x",;
si x>
im orta d6 de se ubiq
!llJ
2x-, - X
si
X2
enadas es P.
2, 15).
f(x)
2?
lo
qu tien
7. Sean
una 3x. Halle
derivable.
x' ex cuya grafic b. lo puntos (-2,6) (2,0).
ua io
qu tien
d.
IIlX
alla un funcio cubica ti ne un ta ge te ho izonta
2.
Sea
P"(2)
4. La ecuaci6n y" denomina ecuaci6n diferencial porque involucr un funcio desconocid su derivada yt y" Hallar las constantes A, By manera qu la fund6n x" Bx satisfac esta ecuaci6n (Las ecuaciones dife nciale se studiara on detall apftul 9.
bx cuya
2x
x)
5,
.,
Q.\:J
ax cuando
la P(2)
h',
l a c ur v 75
Ilx
b,
21
bx' ex can ecuacion co ecuacion
X4
una linea tangente dond line tangente cuando
a, f(x)
f'.
la pa bola
Dibuje la parabola
e;;;
Xl?
\2
21
+?
2. l,Consider
qu asf,
tr ce la graflcas
gt
,l,
uponga qu se le solicita qu dise ie prim scenso desc ns de un ontana rusa nu va Despues de studia otograff de su rnontafias rusa predilectas, decide hace la pendient de ascens Lb:) me0. la de desc ns -1.6. pt po on ct stos os tr mo re to I(x) diante part de un parabola (x ax c, donde f(x) tr ye to se niform no pu de xistir mbio br ptos de dire ion, po 10 tant dese qu lo
.2
SECCION
EG
EL
RO
OY
segmentos lineales L2 sean tang nt la pa abol en lo puntos de transicion igura. am simplifica la ecua ione de id situar el origen P.
L,,,
In distan ia hori onta
I.
G,
ye verifi ar qu la transi ione so uniformes. le io Q.
ma
In pi za definida (x
quiza parezca
om
para
el diseii
funci6
f(x).
se sient
aplicand
un
de L,(x) para
[consist nt
ti
iv
unci6n cu dr ti
0, f(x)
q(x)
x"
unic ment
bx
jo
el inte valo ii
10
lx
x"
hex)
debido 100
id io
kx
suav
para
ti
10 g(x)
183
(V as la
ntre G,
pa
1111
OCIE
qx?
90
rx
100
II me
ins!
id
Re
io
in so
la fo mula
para
riores po
Yco
II
1,
te
hex).
g(
ul ip cacion
is
divi on
til f(x) j'(x)
eso, (fg)'
ll'
x. Pero (fg)(x)
g'(x)
(fg)'(x)
como
(x
Ull
g(x)
so
unciones po it va
Ull
pued in erpretar el produc ca bi un ca tida 6.x, en
son
Utili
1111
till FIGURA
(x
6.
(1
tr
flu)(v
l1(uv)
l1u)(v
(x
fly),
6.
IT
Par
q',
II
como
Por 10
g(x)
lIV
I1
6.
sea
positives).
6.11
6.11
I1
184
1111
EGLA
CAPiTULO
DE DERI ACIO
6.x, obtiene
id
v~
Ll(llV)
.x
R ec ue rd e q u e e n n c a c o n d e L e b n d e f in i ci o n d e d e r v a d a s e p u e d e s cr ib i r c o m o
!Ill
(N
' =
!!..u~
iv
ii\'
-(uv) dx
iix
a,~O
ux
ax-'O
udx
!!..u-
fm a,-O
6.
v-
/lx-'O
lm!..
ux
/1,-0
Ifm6.v)
/lx~O
6.
O·
-(Ltv)
.x ---70, puesto qu
---70 cuando
es derivabl
y, por 10 tanto, co
tinua.)
1I,
cono id
como regi
G L
n o t a c Io
!!l
D E
ti !!..vson positivas el pr ducto, para toda la fu ciones Si tant
O DU C
if renciables
como
1/
ta
prima (fg)'
9'
!J1'
(x
[g(x)]
!Ill
se undo funcion.
ltiplicada pa fa deriva
de
ri
to
ra funcion.
MP g ur a s e m u es t a n a s g ra f c a d e l a f u n ci 6 n d e e je m p s u d e r iv a d a f' A d v ie r t q u e f' (x) e s p o s it iv a c u a n d o crece n e g a ti v a c u a n d o disroinuve.
f(x) ll
I!I
xe', encuentre f'(x),
SOLUCIOtl
f'(x) e"
f"(x) G U
(e")
(xe")
[(x
e'
(x
l)e-'
(e")
)e"]
l)e'
e'
2)e'
e'
dx
(x
1)
1111
SECCJON
io
la regi
1'1/(x)
de producto proporcion
3)e'
ig
g;
a l e je mp l
m a te rn a c a d e n ic i
d e a l a be t
constantes a lf ab e t
so
c on s a n e s
e s h ab i u a l a p c a pa
as etas
r ep re s en ta n
En
MP
4)e'
4)(X)
io
Derive la funci6n J(t)
e'
bt).
(a
tetras cerca
e p e se n a r
e r a na s d e
na
de
S O lU C lO N
de producto
eg
tiene
v a ri ab le s
(a
f'(t)
(a
t)
(a -li
(-Ii)
t)
bt)· 4(-1 bt
3bt
I(t),
SOlU(lON
in
li
la re la l/2
J(t) f'(t)
to bt''?
~bt1/2
arl/2
1.
rnetod
posible. Si J(x)
SOlU[ION
donde g ( 4 )
g( la
re ia de
f'(x)
f'(4).
roducto, obtien
[.jXg(x)] Xg'(x)
1'(4)
3, encuentr
g'(4)
[g(x)J g(
1/
g(x)
jXg'(x)
~~
g'(4)
[.jX] g(J_ .5
I(x)
(x cambia en cantidades LlX, Su te Llu LlV
la
LlV,
ie te
cambio
LlV)
(II
v(
LlV)
v(
!:.v)
85
1111
REGLAS DE DERIVACIO
po v--
_!!_(!:!_)
lim b.(u/v) ~,-·o b.x
dx
b. -- 0, b. --;. ap ar as ey
a.
mb os
ue bt
b.1I
m ~,-·ob.x
_!! (! !_)
lim
11
REGLA
E n n u a c o n p um a
ir
Si tant
DEL COC ENT
pl
do
ar
f 'u e a
usa
COiIlPIUlldf
II
a ~a ra l
p l ~ U , , 1 U I & ,til lilllQUIa C O" n e
uver
g la ii ca d o S8 mues ra
u nu n
qu
mp
e ua nc o
ec
entonees
el demultiplica el cuadrado de denominadot:
ad
om
el numerado
mp
nt
Entonces
x·
a s g n if i
s u u B f lv a da .
rapidez
6)
(X
y' es g r n d ua do C IB e e c u n r en n tu o . y' s t er ar ceeB
=,
Sea
p ar a
4U
on
[g(x)]
da de nu
gI el oe nt ua er ci ac na
fill
son diferenciables,
g(x)
do
en
b.v)
como
!J
eo
V -
~,-·o b.x
Ifm (v
b.v)
es derivable
b.v
~\'-)O
III
v(v
~,-,o
-2),
(x'
2)
(X
(x
2)
6)
(x (x
L5
6)(2x
1)
)2
(X
(2x
2)(3x
(X
12x
(3x
3x
6x
(x -x
2x
6x
12x
(x
-1.5 UR
la
i.'!j E JE M
la curva
e/2). SOLUCIOtl
dy dx
(1
(1
(1
(l
)e
(1
)2
(2x) )2
(1 (1
)2
e'/(1
en
1111
2.5
e) es
dy dx -2
3.5
ig
ta
.>:~I
e) es horizonta
st signific qu la rect tangente en (1
GU
la
su ec acio
e. [Vease
es
+e).]
ie
[Jillrj[J
cada
ri
iv
3x
F(x)
la
2/X
ividir
F(x)
1/
ante de derivar. crib
continuaci6n
MU
(tg)'
l)(x
la
f'
g'
Ia multi-
g)
g'
g1'
7. g(x)
8. f(t) 3)(x
[1J F(y)
.j
qu su respuestas so equivalentes
12
2t -,
x)
y'
~)(y
5i)
,fi)
(t
x+l --: ----
3.
Derive la funcio
2xk'
(f
g'
i6
F(x)=--=~
simplificando. Demuestr l,Cm11metoda prefiere?
g)
1)de do maneras:
aplicand la regI de producto efectuando primer plicacion. l,SUS respuestas so equivalentes
xl
-(e-')
x"?'
(ef)'
f(x)
187
r+ 4. g(x)
')I
e:
e:
7.
21')e'
ke'
1111
188
19.
REGLAS DE DERIYACIO
39. (a 5if(x)
=-
az r:
f(t)
g(t)=~
4.
e'
.f (x)
[ill f(x)
f(x)
fix)
ax ex
x+-
t. rex).
1), hallar [,(x)
ra
SOil
/"(x).
fi
/(.\.1
ri son
.r
26.
_'-'
al
f(x)
xe"
hallar j'ex)
lie'
ro
justas
01
/(
.r),
en
j'
corn arar lo graficas hallar /,,(1).
le", hullar d'll(x).
g(x)
f(5)
6, g(5)
F(5)
Et
g'(5)
cuentre lo valores siguientes
HallaI' [,(x)
7. f(x}
j"(x)
8. f(x)
,,4e'
(e) (gm'(5)
5!~e'
f(2)
.r
9.
(b) (J/g)'(5)
(a (fg)'(5)
30·1( .r)
e'
(a) h ( . . )
49(X)
2x
= 31. v
e\'
=~
(11)
1"
al
es
g(O)
'9(x),
h(2)
(I e)
35. (a) La curva
.jX
34.
I/(l
= .
(4,0.4)
(a
x") se
tangente en la /(l
re
37.
(a)
Si I(x) comparan
af
rr'( ).
(b
isrn
serpentina
e'[x': encuentre I'(x).
38. (a) Si f(x) cornparand
i'
1), halle rex). la
rafica
de
y [
v'(5).
Encuentr
.......
/(J
/""
r<--
/"" .\
Encuentr
en
de
ea
pa talla,
x~) se llam
rafica
----
Ilf 1-
a)
Iu
1'(0).
x) 1( I:
.~
(3,0.3).
'E
nc entr
v(x)
la rect
g'(O)
es
(.I:)(1(,')
11(.<)
(-
ff
+jx
c ta s
(0,0)
xe'.
(1(X)
3, encuentre
h'(2)
as
[ill
(x)(1(X)
(d) lI(x)
g(x)
fix)
hex)
(b
f(x)
(c)h(.I:)
se pr porciona en el pu ta especifico
4, 1'(2)
,g(2)
7, encuentre h'(2).
g'(2)
Pix)
F(x)G(x)
la funcione
cu as
(a Encuentr
P'(2).
Q(x)
rafica
(x)/G(x),
(b
'\ -,
donde
se muestran
FI--'
Encuentr
Q'(7).
c.---'r"'
r-,
1"-... .\
DERIVADAS DE LA
Si
io
de ivad de ad un de la funcione
[s];]
(b)
g(x)
(a
Si
R(p)
lQ
g(x)
(c)
g(x)
189
f(p).
siguientes
.r
IIII
FUNCIONES TRIGONOMETRICA
f(p).
afirrnar qu
significa
10000
f(20)
350?
f'(20)
is tr
R'(20)
interprete su respuesta.
la
f,
11so derivabl s, (a)
(c)
(.~) r-
(b)
x"f(x)
.x
(d)
Ugh)'
ta
gh
as
fqth
(b Tome
xf(x)
demu st
ectu tang ntes
la urva
,.
F(x)
la
f(x)g(x),
donde
ordenes dernostrar qu (b HallaI ormula similare
la
'e pa
F"
21'g'
fg".
p41,
F('!',
y = x+
x"e". (,Obse va
f(x)
lgun patron en stas
roU.:) i nd uc c o n
Iq Richmond Petersburg
-f (x
f(x)
/(x
tangentes?
so
qu
= , : .' -
dx i,Cll(inta
fgllt.
so
comprueb
xpresion s? aplicand
m a te m at ic a
ta
Virginia En 1999 la pobl cion de st
!!_
g'(x)
dx
per capita ig
me
reciproco
io st
im Explique
la
cifras para ejercicio 18 il la la potencia es valida para mimero entero negatives, es decir,
so
signific do de cada te mino en la regi de producto
54.
fijo La cantidad pa
iI
ntes de inic ar es
todo lo mime os entero
ecci n, qu za po rf nece itar repasa
f u n c io n e s t r iq o n n r n e tr i ca s
lo nurneros reales
positive
n.
as funcio es rigonome icas definida para todo
por f(x)
en radianes es x. Se cu
co
ecue de po f(x)
en
1'(x)
como
190
1111
REGLA DE DERIVACION
iT
(vease figura 1).
=Iix:
Iij]3
al 3.
es
se
n a anirnacion
figura y=
Intent confirma la conjetur de qu si f(x) la ef nicion derivada f'ex)
h)
f(
por 10 tanto f'(x)
Se us o rm u l d e V e a s e l e p en c c e D .
a d ic i6 n p a
el sene
II~O
sen cos im --------------
=Ifm
x.
sen
f(x)
II~O l1(
f'(x)
sen
cos
cos II
sen
sen
sen cos
sen
II~O
(cos
11-·0
I)
cos
cos lfr ---
sen
11-0
Ii-.O
(_se_n_h)]
11-0
Ii-.Q
como cons tant al calcular un frnite cuan
0, iene
h--"O
h-O
h)jh
sen
~~n-ese angulo centra
Be
OA.
SECCION 3.
arco
DERIVADA
DE LA FUNCIONE
lO
8. Asimismo
TRIGONOMETR1CA
IIII
101
sen arco
En eonseeueneia
sen
de ig al
2(b) qu Ia ci cunferenei
~--------~~--
sen
aner
f)
E. longitud de u n p ol fg on o c ir cu ns cr i
de un cfrculo es rnenor Asf,
(a)
rcoAB
IE
AE
EDI tall
an
nicion de l a l o ng it u Par 10 tanto,
(b)
arco, si recurr
al
intuicion
(I ",,: tan fJ geometric como
sen cos sen --0-
cos nn
O~()
0-.0
cos
la c o m -
presi6n lfrn
sen
0-·0'
0)/0
la
sen
f m -
(1-·0
Pued iii
M u t ip li qu e
por cos
e l n u me ra d o u ed a
ar
mi
ue
If
0-·0
esta te en (I), como sigue:
mi
e l d e n om i na d o r
I)
o rm a e n u e
deduci el valor d e
cos
fr
o-·[)
conoce.
Ifm 0-·0
-sen (cos sen
f m
0-·0
=-I·C~I)=O
-11m (sen
1)
o~
__:!.~_~)
sen
f m -
0-'0
cos
2)
192
IIII
CAPiTULO
REGLAS DE DE IVACIO
cos
f'(x)
Ifm
cos
{,->O
iI-,O
(sen
sen Hm--
,,-0
11-0
(cos
cos
os
mu
1l
qu
y'
s ie mp r
Derive
i.!j
mp
sen x.
s u d e r v ad a . A dv ie r qu
horizontal.
e ng a u n
a ng en t
S O L U C I O l l Con
eg
del p r o d u c t o dy
la formul
tiene
(sen x)
x-
cos
sen x -
2x sen
-5
ie
+sen
x)
dx
iv
te 5:
dx
(tan
dx
(sen cos
cos
(sen x)
cos
cos
sen
co co
sen
co
sen
dx
(cos
sen x)
3.
SECCION
DERIVADA
LA
.r)
IO
TR GO
ME RI
93
ec
Tarnbien es faci hallar la derivada de la funcione trigonornetricas restantes, esc. se
va da
derivacion mide en ad anes
ol euando
R IV A A S
!ll
C ua n ue
d e v ad a
m em o c e e s s ig n
b la ,
R I
cos
x)
ut
G ON OM E
dx
me
d e a s c o u ne io ne s
coseno, cosecant
su
N C O N
e s d ec i
cotangente.
x)
sen
.!:!_ (tan x)
ecir
dx dx
dx
sec
Derive f
MP
dx
Pa
tan
tangente horizontal?
x)
esc
.r)
ec
x)
esc-x
cot tan
cuales va ores de
tien un
SOLU[IOtl
(1 f'(x)
tan x}
= : : -
(l
(1
tan x) sec
tan
tan _ \ ) 2 sec
sec"x
(1
sec
(tan tan
(l
sec
(tan
(I
tan x) ec x.
FIGURA
Las tangentes horizontales
1)
1,
'(x) 17
71/4, donde Il
otras
simple. MP
libe ad en el nsta te
.(V ns
es (t
194
IIII
CAPITULO
RE LA
DE DERIVA IO
cu ntre la elocidad
la celera io
el instante
us la para naliza el movimiento
delobjeto. ~OlUCI6N
son
aceleracion
t
d
cos t)
cos t)
-4sen t)
-4- (sen t)
cos
(s
(s
t.
27T,
sen sen
es decir, cuan
os
la mayor
(s
La aceleracion o y
E JE M PL O
Ha
cuando n l
la v i
ma
ma
lliI
a 6
va
f(x)
~OLUCI6N
.Al
Busque la or
x.
cos
rex)
sen
f"(x)
cos
"'(x) j<4}(x) fIS}(x)
en os +sen
y, en particular,
P"\x)
os
ti le
11
ti
La principa aplicacion ha si vacion de l a f un ci o se o. Pero este lf it tambien om lo do ejemplos siguientes trigonometricos, E JE M P L
Det rm ne
sen 7x x->Il
4x
SOLUCION
ip ic
Tx ¥-
r.
ir
4x
7x
la formula de deri tros limite busqueda
comprobar
SECCION
DERIVADA
.J
DE LA FUNClONE
0, cuando
--:>
TRIGONOMETRICAS
IIII
-'
i6 sen x-,o
x-a
X~
Calcul
If
cot x. denominado
SOLUCION
lim
entr
cos
cot
sen
..r=
. ! ~ : 6cos x-
; : . .. .: :. .. .
sen
sen
l i m x-a
EJERCICIOS
1-16
ncuent
la de ivadas de
f(x)
en
5. get) 7. h e e l
cos
y = 11
.y-~
8.
"(cos
tan
cos
1T3, 2)
cos x,
24.
(0, 1)
sen.>;
II
tanx
cosx sec
12
f}
5.
senx
esc
f}
2x sen
ffi
tan
la (b
1ustre
curva (nl2, 1 T ) .
in is
ibuj nd
la urva
f(x)
x' esc
en
6.
la re ta tangente
la mism pantalla
cot
(0
sec 15
cos
sen
y = -
sec f} sec
O)
sec
get) e" cot
especificado ec x,
4.
cot
esc
en el punt
sen
f(x)
(1T/3,
I).
tan la misrna pantalla 27. (a) Si f{x)
17
x)
csc
en
x, encuentre 1'(x).
cot x. azonable tr ando la
x)
ec
tan x.
x)
csc·x.
I(x)
[!2J Si
Ifx)
os x, por 10 tanto
-sen
x.
30
H(e)
Si f(x)
para
e: cos x, calcule 1'(x)
graficando
in
rafi
r.
I.
sen
haIlar H'(e)
ec x, hallar
"( 7T!4).
H"(O)
f"(x).
rTf2.
95
IIII
196
RE LA
CAPiTULO
DE DERIVAC10N
31
vertical Se j(x)
(b) S im p
la pared,
sec expresandola
rex).
cos
(b)
son
equivalentes
de
la part superi
de la sc lc
xt mo in erio de
xtreme in erio de la sc le
pared, i,co qu
en terminos
nt
In distancia
ar d.
xpresi6n de f(x}
el angulo
se esli
lejand se
rapidez cambia
cuando
7f/3? 38 10
2. Considere f(rr/3)
2,
r(rr/3)
g(x)
con
sea
sen
j(x)
,--f.L _W h(.t)
alla (a g'(rr/3)
cos
f.
f(x)
donde f.
(b) h'(rr/3).
un
onst nt
ll mada coeficiente
friccion.
(b l,Cuundo es (c)
j(x)
f.
ua dF/de (cos x)/(2
34
lo
uale
la tang te
horlzouralmente
nivclada
respuest
sen x) en
un
ovimie to
so re rmonic
na si pl
xU t, (a Encu ntre la velo id
despla
in is
en centfrnetros lara io el inst te
r.1Tl
L!l!J
li
!'Ai:l
t11J
equilibrio
9.
6.
r-·O
42
simple La ecuacion
cos
"" 0, dond
Tome la ir ci
del movirniento
positiva
orresp ndient
ibuj primer
la velo id
la funcione
la celera io velo id
aceleracion.
-
sen
0-,0
sen" 3t
6.
1 1 1 1 - -- - ,i J
eriv
t:
r-·[)
I'
.t-·O
8. II
cos
da identida
<-·1
trigon metric
--::-,---'
I)
x-
pa
obtene
un id uti-
(0 conocida)
sen
--
es
cos
se mide en centfrnetros
abajo.
cos
44.lfm--,
sec
da nuev
(b
Sll
.,-·0 sen 6x
I- tanr
(a En ue tr
on
sen 4x
lim "-,,,-;. sen
segund s,
al
40.1[111---
tan 6t -sen
3. lim----
posicion de
haci
oher nt
como funcion para
ul im
(b)?
sen 3x 39.lfm---
lj-[)
a rm o
es
i,Result
t-··O
se inst nt
m ov im ie n
r r c a de
d ib u
ho izontal.
5.
superficie lisa
0.
usela para localizar
una tangente horizontal?
(b) secx=--
cosx
instante (c sen .r
cos
cot
vez? ic
0. Un semicfrcul
is6sceles PQR
co diametro PQ desc ns
sabr
un triang lo
llll ar
A(e) B(8)
in
de semicf culo
Ii
una cuerda de longitud d,
ll
tr
8. Encuentre
lim A(8) 0-0+
97
lim
B(8)
0-,0'
~~~~~~~~§~ F(x)
capacita ea u n c o ne s
s sc c u n 1 . p ar a o om o u as ta s
\/x~
para calcular F'{x). (u
r ep a s d e
(x
1I
ab c6
(x
deriva tant
como g,
(g(x)),
es decir,
g.
Uti!
fo
g.
fa
de g. ma cambia Consider
co-
II
It
dy/du 1(
es
ca
esulta azonab
qu
po consiguiente du
compuesta
Si se define
en g(x), mediante F(x)
(g(x)),
F'(x)
esta
g'(x) (u)
ciable
de ivable en
como
po 10tant du
(x) so
funcione
diferen-
en es
198
IIII
REGLAS DE DERIVACI6N
Sea fl en
Au
fly
deci
(x
ie te
POI'
Result
en x;
fl
el cambio
es
(u
tentador escribir dy dx
~x-'O
flx fly
fl
""x-,ij
flu ""x~O
Au
""X~O
Ax
Au ""ll-'O
flu
""x-.O
flx
(Advicrt porque
qu : : "1 1 - .
cuundo L l
es coruinua.)
du dx fl
cuando 0) y, po supuesto no uede dividi por meno sugier ue In la
(f (u)
drfa cancelar
g)'(X)
ntre O.N obstante
st razo amient
•g iz
(x),
Si embargo, recuer
duldx fu ra cocientes, espues oinid no debe concebir dufdx
ue du
ie te EjEMPLO
ncuentre F'(x) si F(x) como
F(x)
(fo g)(x)
(g(x» j'(u)
tiene
(incIuso
donde j(u) li-!/2
g(x) c. 2yu
g'(X)
2x
F'(x) --
2.JX2
2x
y'XT+l
1111
SO UCON
(can la cuacio
Si
hace
F(x)
t, despues
II
--(2x)
du dx
2Frt
2';X1
.JX2+]
(2x)
dy dx (Hamada derivada de tant ue dy/du deri ad io
dx
Yco
Frt). Advierta
=.J.X2+1 la fa funcio
deriva
ue
!'(1I)
du
nOTA·· ua
en (la
COil
u). Por 10
';X" F'(x)
99
tr
2Frt
io ia [en fa funcion
exterior
inferior
mu (g(x»
dx
.-
funcion exterior
vn ud
g'(x)
(g(x» d er iv ud n
cn
de
la funciiin
I n r u nc i6 n
interior
exterior
en(x
(b)
' . '
derivada de
c va l d a
li funcion interior
I n f u a c io n
interior
en''x.
SOLUCION
en(x ),
dy dx
dx
por 10
sen Iuncion
(x")
.-
' . '
hi funcion
!n Iuncion
la funcio
dcrivada de Iafuncion
interior
exterior
Interior
interior
c vn lu ad a e n
crvn
c va lu ud a e n
exterior
se
cos
(x
.-
(sen x)2. tanto, (s
z}
(sen x) ' . '
funcion exterior
derivada de
cvauad
lu funcio
l a f u nc i u
exterior
interim
en
cos ' . '
dc va
do
l u f u nc io n
mtenur
cos x, ea a p sn d ic e D .
p aq ln a d e referenda
el
En el en
11
donde
es un funcio diferencia Ie de x, en consecuencia po
la re os
200
IIII
CAPiTULO
REGLAS DE DE IYACIO
du
cos
ax
dx
De ma er semeja te toda la formulas para eriv de cornbina COn
[g(x)]", por de
II
(x).
fu ciones trigon metricas se pue-
eu
tant pued escribir
u", don-
y,
obtiene -1
!] R E
n[g(x)],,-I
dx
(x
Si
M B
cualquie
rnirnero real
es derivable, entonees
(x
1I
l 11 , - 1
De modo alternative,
du
g'
dx
la
11
Derive
EJEMPLO
1)11)0.
100, tiene
(x)
SOlU[ION
=-
dx
Encuentre
i!"d E JE t~ PL O
'(x) si I(x} ri
SOLU[ION
f'(x)
--::-r'=:=====
\IX"
I(x)
1/3.
_!(x
_:{_
dx
I)
(x
EJEMPLO
get)
SOLU(IOtl
2t
cornbina
g'(t)
2t+I (2t 2t
1-
(2t
)8
2)
1)
(2
1)10
es
1111
SECCION
as qraficas
m ue s a n
A dv ie rt a q u e y' e s g ra nd e c ua nd o
y'
rapidel,
Imrilonta
c ua nd o
t i e n e un
la r es p ue s t
modo
c re e
ca
tangente p a re c e s e r
(2
Derive
E jE J l. 1P l
d e a s f un c io n e
te e j e r n p l o
SOLUCION
201
1)4,
1)5(X
debe
la cadena
rawnable.
IP
10
(x
(x
1)4
(2
1)5
y'
-2~-,~~~~q-----~il
(x
(2x
(2x
1)
-1
2(2x podrfa factorizarlo
Derive SOLUCION
ponencial f(x) eg
de
-feU)
so u nc io n ". Par
interior
(e'CnX)
g(x)
en
(sen x)
scn .,·_
Recuerde po
1.6, que
is
O n, ,) .
o rm u
xe
eg
,en"cos
(donde al nc
In
In
es nd
IlX'<~t
ic
obtien
2' In
ln".De este modo
a)
el
b a se )
dx
funcion
du __
(e(hlfl).,)
No on nd
1)3,
SC"'.
f o m a m a s g en e a l
base
exponente)
1)4(X
scri
ex-
202
II1I
CAPiTULO
RE
A S D E D ER 1V AC 1
En la
estirnacion
(0.69)2"
dx
0.693147.
g(x)
se agrega al otro eslabon. aplica
ene cos(ta
x)), por
10
os(cos(tan
f'(x)
-cos(cos(tan
-sen(tan
dx
(tan x)
x) sen(tan x) sec'x
aplica
Advierta
tanto
cos(tan x)
os(cos(tan x»
SOLUUOII
donde f,
la cadena
Si f(x)
E JE t 1 PL O
(t),
do
eces
-= 30.
Derive La funcion
funcion exponencial.
cante
es la
i6
funcion
u nc io n
se-
tr
e,"dU_ (sec
sec
'cc3Q
tan 3 8 " :! _ _ _ ( 3 8 ) d8
3e ,o030 sec
Recuer
qu
ia
(x
-I
f(
lY
tan
Llx, f(a)
-I
Segtin In definicion de derivada Ll
Hl!;u Ll
la derivada obtien 11
lX
1'(a)
'ea}
in
in
to
como
IIII
ADE
Lly
pero
Llx
Si define
rea)
Lly
Llx
Llx
0, despue
Llx
nci
l]
Lly
ti
derivable, pued
Llx. De
escribir
Llx
que
Ax.
Su onga qu
donde
donde
ri
(x
g(a). Si Llx diente en
ll)
le
Lly so lo incremento
correspon-
y, Llu
g'(a) Llx
EI
Lly
reb) Au
E2
g'(a)
Llx
Ax
81
EI
[reb)
E2
Lly
J'(b)
E2][g'(a)
reb) Cuando Llx
EI]
E2][g'(a)
tx
EI]
0, 1a
.D Llx
82
EI
.De
dy
dx
(b)g'(a)
Lu go
1.
rn)'
se
(x
interior
la exterior
derivada dy dx.
n cu e 4x )1
eve;
la
(g(a»g'(a)
\11
f(g(x». [ldentifique la funcio
2x
0. f(x)
x,
)4
3x
4.
an
e n x)
6.
en(e')
f/3
{u)]. g(t) = (
2.
20
f(t)
e-kx
18 h(
cos(1l6)
1)
5)-3
0.
1)\1.,:2
IIII
204
REGLAS DE DERIVACIO
X2
x-
r;=!"
7. y=
,0+1
9.
enltan 2x)
e"
)'
is
e~')
f(t)
e'
,/
(2m"
donde f( 1)
In primer
6.
segund
[x
(x
sen2x)3J~
(a) Si hex)
un punt
4. Sean
48.
f3
50
')
g(.f(x)), halle H'( 1) la funcione
F(x)
.,
f(f(x),
el je ci io 63 encuentre F'(2).
(g(x»), encuenrre G'(3).
G(x)
Si
f(g(x), i st e
g(f(x»,
vex)
v'(l)
w(x) (c)
(g(x)). Encuentre,
w'O)
ado. (I
52
2X)IO,
en (sen x),
2/(1
sen
54
('T1',
e-
serr'x,
(0,0)
I- --l-
(I,I/e)
.\
I)
e-')
la rect
tangente
sobre l a m is rn a pantalla,
l1(x) y(x)
se llama curva Ilafiz d e b a a .
56
(x2).
tili
la grafic de
cad derivada.
Wll~
b)
br la mism 57
(a dibujando pant lla,
f(x)
X2,
la
ic
la curva
encuentre r(x).
f'.
la recta tangente
g~
50-
(1(x; de
punto
tt
ti
y'Lli
yl.\)
encuentre 1 1 ' I )
f(y(x),
) u
tt
.f'(l)
:
u(x)
53
fix)
.\
deri adas de la funcion.
;x:r:tl en sen
49.
3.
j'(S)
f, g, f'
3. Se da
H(x)
47 he
orizontal.
donde -2) 8,1'( -2) Hallar F'(S). g'(S)
-(~
)r'
r,x)
Hall
on
{J
45.
51
uale la tang nt
f(g(x»
-2,
sen(sen(sen x»
40.
e'''n1
ra
'.
sen
s en "( e" n
g(x)
47-5
sen
)4 Si h(,>:) hallar '( ).
8. tank')
F(x)
g(5) 36
M)
graficador
a)
60 Determin la coordenada en 2x .c en lo
[ill Si
e"
de re ueucia
po un aparat
!ill
il
tarr'
5.
odul io
'T1',
(b Calcul rex) ti dispositiv graficador para graficar .f', Comp
an"(31:1)
sec"x
f(t)
de la sf tesi de
f(x)
"" '"
39. fIt)
)4 2)5
=(',
8.
sen 2x),
producid (v
\j--;--+j
31.
aplica ione
10 -.
,(cm\
25
sen(x
cos 3x
e-
(.>:)
f-l .\
!III
rg
Supong G(x)
qu
I F ! : . Sea F(x) xpresion pa
iv
A'). Encu nt
ApJiqu
(e'} a) F'(x)
(b) G'(x).
ffi
8. Supong qu F(x) f(xc<) expresione
es derivabl
en j(xW.
G(x)
(a F'(x)
pa
69 Se rex) f(g(h(x»), 4, g'(2) h' I)
Si F(x) F'(O).
de g, e'.
(3f(4f(x»),
g(x
),
donde velocida
g'~
donde f(O)
1'(0)
,1'(1)
satisfac
4,
Ha ar
ag
ma
la derivada
va
de
1000 de [(x)
donde p e t )
la ecuacion
xe-'.
por cos(wt ovimient armonic lo 79
senf lOrrr)
se mide en centfmetro le
83
azonable pa
.]
im
Una particula se rnueve desplazamiento s(t), velocidad v(t). Demu st qu aCt)
li du/dt ta tien brillantez qu aumenta
(t)-
0,5, on
lfnea re ta on aceleracion art).
dv ds
0di du/ds.
if
Se b o n be a a ir e dent de un glob e sf er ic o p ar a el clima. En cualquie tiempo t, el volumen de globos rU), V(t) (a l.qu repres nt la derivada dVldr dv/dt. dr/dt. (b Expres dVldt id
io
il ep ntin
rnodelado
onst ntes positivas. En la se cion 9.
rumor.
85. Elf/ash me
que
10,
en segundos En uentre la la segundos.
simple
Un estrella variable Cefeida
so
de l a p ob la c io n
im
tf
10
es l a p r op o rc i o
(c Dibuje
cuerda vibrante, s(t)
(I
ve qu st es un ecua io (a Encu nt Ifml~~ p(r), la sp
la ecuacion
cos 2\.'.
sp
dibuje
un rumo se esparce s eg ri n I a e cu ac io n
pet)
O?
En ella lo
En c i er ta s c i rc u ns ta n c ia s ,
tiempo t, yay satisfac
segundos
2,
O.
2y'
la funcio
ncuent
qu transcurre
hallar
,f(2)
i,
76
despue
hallar F'(I). qu la funcio
e-1.51 sen 2m
set)
82
diferencial y"
(como u n a m o
arnortiguamiento
dond h(l) 2, g(2) 3, 6. Encuentre r'( 1). 1'(3)
Si F(x) ['(2) 73 Demu st
sornete
un
G'(x).
f(x) en terrninos
aurnentan
Encuentre
Si hallar
om
marzo
rnovimiento friccion
ruimero real Se
Ct
st modelo para comparar
u z d iu rn a en Filadelfia
20
t i m p t, mediante l a f un ci o B{t)
,0
co rect
mb hast do
ll la b) Encu ntre
dfas,
el instant
5.4
(e
100.00
la la dfas. ifra decimales, la elacio
(b
12
se an
destello Lo dato siguicntes
(t
80)]
alle us nd
81.87
0.0'+
0.06
67JJ3
54,gg
un calculador
grafic dora
o.os
la ta
mp
o.io
una
ta derivada le tric '( t) representa Ia orri nt microamperes. u . A ) qu fluy de capacito hacia st
descri-
segundos
2'T1't)
(a
L(t)
cu nd
(e
III!
20
REGLAS DE DERIVACION
86 bast
obtene ot
1860
demostraci6n de la regl de
[Sugerel1cia: escriba f(x)!g(x) Ano
Poblacion
3929000
IS30
1286
(100
1800
530S000
1840
1706
(JOO
a) Us un
al ulad ra gr ficado
un
ornp tado
pa
f(x)
te
el modele
donde de
l,Qu ta bien oincid n?
ir 1850 pr medi nd
la pendientes de la rect
d)
tili l,Pued
:1~]
te omando
xpon ncia
pa
y~
x?
l2II grados despue
is
el rnod lo
ta
se ntes
1850 Compar io
l)x
eos"x cos nx
te expo en ial.
cos(
31443000
11)60
9639000
senu-I
11.1:)
dx 1820
f(x)[g(X)]-l.]
si
91
1790
ocient
pr de ir la poblaci6
cos
0)
explicar la discrepancia lg qu d er iv a n f un ci on es ,
(Esto da una razon para la
ta pero Ia
adia cuando se maneje
la
sencillas
trigonornetric
el al
usar el grado.
ib demostra qu
la je el comand de simplificaci6n vuelva cornparar, (b Utilic un CA para deriva la funci6 de ejempl (.Que usa el comand de simplificaci6n l,Qu ocurre si ce mp omando de factorizacion? l,Cu fo ma de la resue mejo para localizar las t a ng e n te s h o r iz o n ta l e s
d er iv a
funcione
de ue
10
necesarios otro comandos para simplificarla,
lJIiSl88.
onvenci6
'»
=N
dx
(b)
l a f un c o n
1.,E
f(x)
sen dond
g(x)
en
encuentre j'(x) no es derivable?
(x
halle
dibuje
la
ic
'. ;,En dond
no es derivable' f(x)
(u
X4
(x),
so funcione
derivables do
veces, dernuestre qu
simplificar el resultado. angentes horizontales mi te
v ! _ _I ! ! _
ta
d. .?
is tr
10 siguiente,
dx
du
l!
),
donde
liar un form la po d\';dx' el ejercici 95
tienen tercer derivada ha io
fbf'l.f....
APUt:ACIQn
tr la condicione
to
ma i6
sa
siguientes h,
(i)
(ii) EI piloto de
manten
na rapi ez hori onta constant
todo 10 larg de descenso
SECCIO
ii
la
poni nd la pista
y=P(x)
2.
DERIVACION IMPLiclT
io
11II
20
st
Pix) de ua as sabr
ondicion
se la condicione
le
3.
ex
bx'
(/X~
Pix)
qu satisfag
la condicio
(I), im-
P'(x)
ii
(ii)
6hv~ (2
3.
uponga qu un aerolfne come cial decide no ermiti ue la ac lera io mayo qu 86 mi/lr' ltitud de crucero mi/h, i. qu distanci de aeropuerto debe el piloto inicia el descenso
~~~~~~~~f3~.5~
R IVACI
vertic
de un avio se
IMPLiclT
te
fu
tame
ta ra
resa je
fci-
lo
jX3
en general,
ia le
sen
funciones se d e fi ne n i m p l ic it am e n t e
(x).
par
como
bien
explfcita ne
io
(0
SOn
mi frculo
f(x)
su erio
(a
x"
io para y, obtie-
x.
inferior de circul
y'
La graficas
g(x) y2
25
explfcitamente como funcio
x. (Con
20
IH
EGLA
ER VA IO
(2) io es de x. que ecuaci6n [j(X)]3
xf(x) f.
yl
6x)'
.r
GURA
Folio d e D e s c ar te s
GURA
Graficas
r e funcione definidas pOl' el folio d e D e s c ar te s
con y.
y'. im lfcitarn nt
x, implfcita.
1x
y-
5, encuentr
dv
(3,4).
25:
y2
d(,
x-
y.)
d(
25)
r)
Recuer
x,
ue
dx
POl'
la
dy dy
tanto
dx dy] dx:
dy
dx
tendra
SECCION
(3,4), tiene
ta to un ecuacion
de la tangente al cfrcul
en 3x
e je m
us
e xp l i ci t mas ac
par
e so lv e
qu un
yen e rm in o
ap ca
d e v ac id n
de
tan-
4y
punt por consiguiente
f(x)
25
En
en terminos
es
5, obtien
c ua nd o e s p os ib l
20
_2
3)
onsidere la fu ci deriva f, tiene
1111
DERIVACION IMPLICIT
4, dy dx
Por
3,
x-
-(
/"
---r::========
x)
c lo s e cu ac i6 n p u e d e S8 m p lc i
3x
J,
l ~ O T A 1·
L a e xp re s o n
dx
ra
xly en la solucion
4y
5. derivada
f(x)
(x dy dx MP
["
(a
Encuentr
y'
si
x),.
(3, ),
y,
,E
le
to
ta
SOLU(ION
xy
x,
y3 6xy, obtiene 3x
3y2y'
6xy'
6y
vertical?
1111
210
REGLASD
CAPiTULO
DERIVACION
Ah ra resuelva para y':
v'
'; ;-
3, y'
(3,3)
' -
x+y=6
ti iz
y'
(a), y' io
cuando
(siempre
0) Al sustituir
ue
2X-'
im
10
ic
bien
x('
16 /3 en (2
413 4/3
y' de inciso
en la
:2x-
16x por 10 tanto (3),
X2
cu
5(3.Por esto la tangen
(28n)
es proxirnadament
(2.519
3.17 8)
l!i9I1LLJ
sse (O
6xy, para ti
ma ma
l1
no ue
N ie l
b e o ro b
tr
ia
en terrnin
i6
en
mu ar
as ai es de un
e cu a
de ui
g ra do . T ie mp o d es pu es , e l n a e rn a c o va st
Gaoi
p ro b
qu
e s m po s b l
a nc e
(Est
ha ar
mu c ua c 6 n d e n -e s m o g ra d o p er ac io n e si
a lq e br ai ca s
es uaquer en
e n e rm in o
de
mo
s a br e l o c o ef ic ie n te s l ma
qu
resolver para
iniposibles
x.
y) SOlU(ION
im
cos x. to
recuerda
ue
obtiene cos(x
y)
(I
')
sen x)
(cos x)(2yy')
x,
ECCI
ot qu en e11ado zquierdo ap ic na el produc o. Si ag up os te cos{x
y'
Por 10 que
DERIVAC!
IMPLICIT
cos
y2 sen
cos(x
y)
cos (x
y)
= '" -
cos
cos(x
•y
y) G U
ap
sa
lo
definida implfcita. Hallar y" sf
MP
16.
X4
rnanera
SOLU(ION
4yV
4.\.3
Resolviend
ur
1ii
y'
Xl
m ue s
4.
or es
g r u e s o , i ni c
l la m a c ir cu l
la i zq u ie rd a p e r p la no .
p ue d
a zo n
r ap id a me n t
ve de
para y'
ur
bs
s e extiende
v e rs io n d e l c ir cu l S8
gr ca
16 d e l e je m p l
qu s e a c ha t
g un a
ec
m u y e se a rp a do r
s e h ac e
Para hallar y" er ve es x: nci
expres on pa
y'
uy
(dldx)(l)
e xp rs s o n
y3
3x
x'(3./v')
x4+.l
2 + -
-,r----~----r_~
3(x
,4 ..
debe at face
G UR A
analiz
su continuida
IIII
egla de cade y, no qu cont enen y', obtiene
y2 sen
y)
3.
ecuacion or gina
cos x.
21
1111
212
REGLAS DE DERIVACION
CAPiTULO
esta funcione on bucles tampoc
so de ivable
[E efecto si am af ca
al
er
bl ex ep en nc va ne ve es x, la grafica de s u f un c io n invers
tien vertices ni bucles.]
--';;;y,;;;-
ar
pl
x, obtiene
me dy cosy-
dy dx
cos
ho
mi mo me
!Il
un u nc io n
ue
ut
e as e e l e je rc ic i
cos)'
dx
cualquier
mu n ve rs a
dy
ar
.JJ=7
67
---;===
dx gu
!'ll
mu
de f(x)
derivada
I'(x)
x~).
creciente
I'(x)
dver
qu
s ie m pr e e s p os i v a
ue
:l::.-rr/2
hecho
±x se
como
I'(x)
refleja
teoSi
es
-->
tan".' x, x, tiene
cu ci
sec")'
cuando
dy
dx dv
.5
;'1(
E!il EJEMPLO
sen
sec
IX
tan"),
j(x)
arctan.,h.
SOLUCION (a
R ec ue rd e q u
arctan
a s u n a n o ta c io n
(b
(.,h/ 0[1/2)
f'(x)
IX
2(1
x)
arctan.jX
arctan.JX
implfcitamer
DERIVACIO
la
asfo muas esc'
IX
se
de
d e a da s
N C O N
A S
N V
----,===
dx
de
G ON OM E
213
IIII
re icio
oLa
V A
IMPLfclT
x~
-I
d e f n ic io n e
q u e S8 a p c a
pa
u n c io n e s , V e s s e e je rc ic i
eses
.dx
8.
IX
dx
vx)
dx
x= : : -
x~ = : -
dx
JERCICIOS
1-
li
(e Encuentr
ta
y' pa derivacion irnplfcita
li ta obtener y'
derive para
x. se
(a)
i6
(b sustituy nd
s ol u la expresio
x"
xy
x"
(elipse)
(I l) y2
pa
ciso (a). xy
2x
3x
(0
3.
(cardioide)
cos
(astroide) ,v
dy/dx pa derivacion implicita.
5-20 Encuentr
x"
y"
7.
,2
9•
" . (x
6.
8. 2r
y2
cos
!ill e' '-
3"
y)
xy
y)
ye'
xseny
9. 2(x
en(x/)
12
sen
sen(x")
,1:
4)
5)
(0,-2)
I)
(lemniscata)
sent y"
(X
(curva de diablo
.j
.r x"y
e' cos
--~~--~~~~~
2";;
y)
sen(xy)
21
Si I(x)
[j(x)Jl
22
Si g(x)
sen g(x)
20
10
sen
1(1)
-'
cos
xen cos
2, encuentre 1'(1).
determine g'(O).
como la variable independient 23-24 Invariable dependiente, iq m pl i t a calcular dx/dy. sec
an
como
(a)
curv ca
5x
ecuacion
Eudoxo, is la la grafic
mu de urva
ja
x" se ll ma kampil te
la
de inidas irnpll it ment
espu
de
1111
214
REGLAS DE DERIVACIO
tr
nd
su mitade
su ri
infe io po sepa do.)
de iv i6 ir pl it ar el so dond racional, II /q, xl'(\ entonces funcio derivable Si derivacion implfcit demuestr qu
3x
Ts ir hausen
nc entr
un
ua i6
horizontal? Il st lo inci os (a b) di uj nd ta gent en na antall cormin 3-36 3.
ll
or de iv io
la
ct tang nt
la urva
5.
an~l~
)'2
K37
l)
2)
n ci s ( a) . (d Cree curvas inclus el inci (a
rv tien ta gent de esto puntos
exacta
hori ontales?
49 G(x)
J1=-7 arcos
50
51
ot-I(t)
52
h(t)
cor- (1/t)
la
modificand
sec"!»
Jsen
arctan
55-5 Encuentr I'(x). Co pruebe mpar nd la gr fi f'
J1=-7 arcsen
rcsi
F(O)
54
f(x)
de lo puntos mencionado
as caprichosa
ediant
XI'.
Jx
construi graficas en form implfcit de lo sistemas algebraico ar comput dora sist ma de comput lg raic
la coordenada
)''1
tan~lx
46.
sen~I(2x
35.x'
(c Hall
(x)
las rectas
im licita
i. cu nt unto st Estime las coordenadas
II
sp st
zona le
arctan (x
56./(x)
7. Co npru be la ormula (d/dx)(cOS~'X) me io de ismo meto o,
x)
por
(d/dx)(sen-lx)
la ecuacion ec-
liM]
'I
I.\:
¢:::::>
3'IT/2.
sec mu st
oS
qu co
--===
-(sec-Ix) ili cornputo algebraico para dibujarl descubra pOl' que. b) En cu nt unto esta urva tien ta gent hori ontales? Encuentr la coordenada de esto puntos
bien, 'IT/2, st de inicio
IX
que
sec-Ix
sec)'
¢:::::>
7T,
'i'
Dernuestre qu co esta definicion -(sec-
IX
dx
tangente se horizontal
rp ndic lare
da
unto
J\T=-I inte seccion.
rnuest
qu la
es xox
misrno ejes de ccordcnadas.
-,-+~=
X"
y"
1'",
(IX
60
by by
-=
b?
2)'2
(X~h Yo).
de cualquie c. 43
di nt la de iv io impl it tang nt un pu to perpendicula al radi OP.
de uest
qu
al ui
La ecuaci6n
xy
representa un "elips
girada";
DERIVADA
eje paralelas,
f(4}
4. (a ~D6nde In rect normal
ff
la elipse
68. ~-
(a
(b
DE FUNCIONE
f'(4)
Demuestr
LOGARiTMICAS
encuentre
qu i(x)
1111
215
)'(5).
cos
I( I)?
Cua
ll
la rect
I)
1).
normal. x"
xy
elfptica ,r la sombra ( , q u e
esta colocada la lamp ra
41 que io im
le
Sll
il
it (FI)'(X)
'(J~I(X))
garftmicas
og,»
x. [Suponga
x) =
In
dx
DEMOSTRACIOU
ii
mu
e xp re s -(a')
dx
og" x. Por
Sea
tanto
x.
qu
lna
obtiene dy
dy
por consiguient
(1)
log.x
In
dx
pone
e,
In x:
dx
ediant
la or ul
3.45
216
1111
CAPiTULO
REGLAS DE DERIVAC!ON
(2),
se us
lo logaritm
naturale
Derive
MP
(l garitm e,
n(x
co
as
e)
I.
1).
SOLUCION
I. OI
II
dy
= -
dx
+]
,.
dx
tanto
(3x
obtiene du
-(Inu)=--
Encuentr SOLUCiON
g(x)
II
-In(se
x)
Al aplica (3), tiene dId
-In(sen
dx
x)
dx
sen
(sen x)
cos
sen
cot
Derive f(x) SOLUCION cadena da
1'(x)
E jE t P L
~(ln xtl/2
Derive f(x)
SOLU(ION
d er iv ad a
gu
ue
P ro po rc io n
de cacuo, g at iv a c ua nd o
dver es
gr
c om p ro ba c 6 n
qu
I'(x)
d ec re c e nd o
2x)li1X
sen x)
sen x)
(2
sen
-d
In
(2
sen x)
cos
d e a tu n
un
2JiDX
can
IOglO(2
1'(x) !!I
oglO(2
mu
la
_!j_ (In x) dx
(2
v is ua l
sen x) In
gr de ca
r ap id ez .
MP
dx
SOLUC!Ofl
-In
dx
;x
I- (x
2)-1/2
x-2
x+
-1(x (x
1 ) 0) (> . :
1) 2)
x-5
2(x
2)
In u, de
DERIV DERIVADA ADA
DE FUNCIO FUNCIONES NES LOGAR LOGARITM ITMICA ICA
SOLUCI(Hl
-In
In(x
r::---7'i
x+l
x-2
l.) iii
En
gu
S8
m u es es t
Encuentre f'(x)
q ra ra f c a d e
d e l e jjee m p l o x. N o t e d e r i v a d a I'(x) wando pequefio, la gr
SOlU(ION
Pues Pues
si.j'(x)
In
qu In
f(x)
si si
In(-x)
si x> f'(x)
( -x Par esto,f'(x)
pa
od
si
;6
-3 G UR A
-In dx
DERI DERIVA VA I6
LOGA LOGARI RI MI
duct ductos os coci cocien ente te
JX2+T
3/4
EjH1PLO
3x
)5
SOLUCION
loga logari ritr trno no
para para simp simpli lifi fica car: r: In(x
In
) -
In(3x
x, resulta
..
dy
dx
=.2. ..
2x 3x
!H
217
1111
218
REGL REGLAS AS DE DERI DERIVA VACI CION ON
CAPiTULO
re olve olve
pa
dx obtiene
dy
dy
n o h ub ub ie ie r
u t z ad ad o
ga mi ap ca
an
h ab ab r
e g l d e c oc oc ie ie n
d e p ra ra du du c o .
c a Ic Ic u
y, pued pued
d e v ac ac io io n
ej mp
e su su l a n
ni c om om o h ab ab r
IS)
--:; --:;::-
3x
sust sustit itui ui
escribir
ue eg s id id a
horrendo.
AS
dy
../X
dx
(3x
1(3
G AR AR i
x"
4x
)5
D ER ER IV IV AC A C IO IO N
IS) 3x
CA
(x
x.
2.
esue esuelv lv Si I(x) cribir
ecua ecuaci ci6n 6n re ul ante ante pa
y'.
x,
DE
Si
NC
es eualqu eualquier ier rnimero real
D E I 1 0 S T R A C I O N Sea p ue ue d
d em em a s r a
.r", .r", en segu seguid id
aplique la derivaei6n l o g a r f t m i c a :
[x]"
q ue ue j ( O )
para d e n ic ic io io n d e d er er iviv ad ad a
I(x)
nx":'
f'(x)
Si
es
f(x)
(4).
f(x)
R EG EG L
fi1
util utilie ie
y'
Por 10 tanto, y'
dond donde, e,
x~
nln II
1-
x"
1X"-1
[(x")'
nx"-I],
exponencialc
a' In (I],
[(a')'
(a
3.
dx
[aY(.lJ)
ejem ejempl pl
yl.lJ(In
son const constant antes) es)
a)g'(x)
(dl dx)[J(x)]Y('l, qu igue igue
DERI DERIVA VADA DA
O lU lU t O N
Derive
/x
la
lo
iv
us
e l e j em em p
f(x)
'"
LOGAR LOGARiT iTMI MICA CA
ill!
219
tm
In l a s g n ifif ic ic a s
DE FUNC FUNCIO IONE NE
x..f:
m os o s t a nd nd o
(I
derivada.
lin
y'
Otro m e t o d o
SO U( ON
es escr escrib ibir ir x..f:
In
t;
x'
e1nx)..f:;
--~~----+------------~
=X.;;(2
Inx)
EL NUME NUMERO RO
In x, despues f'(x)
f(x)
to
rn in
te mi
mo
f'0)
f(l
11
f(1)
In
x)
,1
fm In(1
im
x)
(1;-
f(l)
x)
1/.<
rema rema
i6 im
lim,~.olll(J+x)'"
.v
x)
X)I/l
.I.:~",G
pOl'
1. Aplique Aplique
1, tiene
-
Luego,
In
x-o
X-1oO
PO)
esto, f'O)
x-Q
fr
Ya ue
POI'
ti f(1
h-O
X~,O
/x
e1n(l+x)lh
ti im (1
X)I/.,
1 )1 )1 '
.1
2.59374246
0.01
2.70481383
O .O .O (
2.71692393
0.0001
2.71814593
o.oooo
2.71826824
O.OO OO UO
2.71828169
O.OOOUOOOI
2.71828181
im (1
x....--;to x....--;toOO
la fi ur
X)I/.<
se ilus ilustr tr la form formul ul (5 me ia te la rafi rafica ca lo
x.
to asta asta si te ifra ifra deci decima male le 2.7182818
la func funcio io
(l
X)I/Xy
una
Ill!
220
REGLA DE DERIVACION
haee u n e xp re s o n a l e rn a v a p ar a
cuando
---?
0+ y, por consiguienn
---?
es
1m(1
Il
"---:'';I";
EJERCICIOS
la funcio
logarftmic
Iogaritmicas,
x, qu la otra funcione
natural,
punt
dado
log" x. 33.
f(x)
n(x"
10)
f(x)
en(ln x) log1(
9. f(x)
x)
en
11. F(r)
(2t
)3
3t
1)
4. f(x)
In(sen x)
6. f(x)
logs(xe')
8. f(x)
In
0.
In(5.<)
(r
InV'
e")
y =
10.\'
In
H(
xe~')
Encuentre y'
0.
.Jhl
24.
.)1
n(x
l1IJ
42.
x"nx
44.
5.
(cos x)'
46.
7.
(tan
6.
.\.2
encuentr I-In'~:<
f(x)
n(x
29. f(x)
])
2x)
f(x) f(x)
,
x-
InO
sen x)
in.'
In xyo,x
xl'"'
n:
49
x-
nisec
tan x)
Encuentre y' si
[ill Halle
y' si
Xl
n(x"
su dominio. 28. f(x)
pnl(x) si f(x)
la Encuentre
Inx
y2).
y'.
).
In .r).
dx
30. f(x) lfm
In
'",
e')]2
51
[ill
CD
y"
In(2x)
5.
10 anterior
la funcion.
xloglOJX
23-26
i'
In
In(I
5x
In
Compruebe si su es
n{x
In In(2u)
f(u)
In x, encuentre I'(x).
en
,0
In(x
34.
(I
In x)lx, en lo puntos (I 0) (e, l/e).lIustre dibujando Ia curva su rectas tangentes.
if):
I -
1)
n(x
g(x)
7.
5. Si f(x)
=~
7. f(x)
n(xe''),
InCI
x)
x-a
determine 1'(1). e~'), determine 1'(0).
ridX
11
pa
cualquie
x>
RAZONE
(x),
DE CAMBIO EN LA
en seguid
CIENCIAS NATURALE
SOCIALES
dx
la deriva
x.
x,
2,
por 10
es
es
ocient
de diferencia
en el interval
[x
l]
PQ
Llx
ta
j'(x,),
--;>
razon de
retars
x, P(x,,J(x,)). ,Lly
dy
hm-
dx !IIfQ 11 ""
relaci6n promedio j'(xtl
rela i6
ca bi
Siem re qu Ia fu cion
de ca bi
(x
instanranea
dy
ividid rales sociales.
x.)
LlX
dx
lg
reta io
la
ie
s/dt
re resent
FfslCA
Si et tanto LlS/Llt
aCt)
'(t)
ta
Llt,
"(t).
faciIidad. EJEMPLO
6t
f(t)
9t
donde t.
s? l, (f)
segundos.
te
iv
la
222
CAPiTULO
REGLAS DE DERIYACION
,;;;; (i)
l,Cwindo incrementa se rapide
la artfcula
l,cmin
la disminuy
SI}lUW)N
6t
f(t)
9t
ds dt
v(2)
ds dt
-3
1~2
v(4)
m/s
/s vet)
3t
12l
3(t
4t
3)
3)
la
10
ot
(t
fc la
1s v(t)
3t
ta ig do so negativo (t
12t
3)
(t
le
fa tore fc la
iv ir
3) si
cuan lo 3.
lo
hacia la te (f)
(e), necesita ca1cular la distancias recorridas durant [3 5J po separa o.
t=
> - _ _ _ '_ _
----==~==~::__~~ t=
1=
s=o
s=4
0)
f(O)
4 -
f(1)
0 -
4m
De
De 0 -
f(3)
20
(z)
a(4)
20
m.
dt
6(
dt 12m!s2
lo
1111
SECCION
223
a. (i)
creciente
so positivas iv tr
(v
t>
rt
la
ta
decreciente id
in
ie
to
-!
ilI3 ~5 hacia adelante
Sll
tant
EJEMPI.O
da lineal
niform
'unid es
f . . -
it
(p
11
f(x),
su densise
o
Es
v ar i
tien un masa
f{x).
6.111
densidad promedio
X2
interval cada ve ma pequeiio promedio cuando to la it
-
en
ic
lfrn :,,~O
X
XI),
d en s id a d l in e a
p=
longitud.
f(xl)
6.111
= ; ; ; -
6.111
dm
.x
dx
XI
es llfmit
de stas de si ades
224
ll
CAPiTULO
RE LA DE DERIVACION
jX en dond
(x)
en kilogramos,
0.2 es
dm
dx
.e=!
0.50kg/m
2.jX
x=1
I:;!j E j E M P L O : 3
At, en G U
cornente prom
10 qu
llam co ient
AQ ~t
10
12
Ll.
tl
II
/= 11
AQ
dQ dt
amperes).
la
ffsica nuclear.
H :
ma sustan
r L V
cias (llamada "ecuacion"
Consider
mas materiale
productos)
Ia reacci6n
.022
(reactivos).
IIII
MB
de tiernpo (t). tiempo t,
es
ave
velocida Co
225
la concentr ci6n
id
io d[C]
de reaCClOn
el pr duct
t!.t
At->o
au enta
medi
t!.t
--
dt
qu la reaccion va za
aderi ad
d[C]/dt
lo delant
se de la
eriv da
d[AJ/dt
velocida
imer
positi os
onga igno
eg ti es
d[BJ/dt.
de reaCClOn
aA
dt
bB ___,
dt
dt
dD
tiene d[C]
dt
dt
dt
d[D] dt
.l ejercicio
la
EJEMPlO
de ende
su presio
to dV/dP.
dV/dP deriva
Cuando
crece,
entr el volu en compresibilida
isotermica
dV dP
En esto terrninos, ta lu (e kilopa cale
ediant
la cu ci6n
(e metros
226
IIII
CAPITULO
REGLAS DE DERIVACION
Vc
P, cuando
P~50
2500
0.00212 dP
5.3
1'=50
0.00212
nr !cPa
.02 (m'/kPa)/
50
BIOLOGIA
E jE M P
Sea ernp t.
f( t)
ima
individuos
tl
IUd,
6.11 t:
es
rapide
de crecimient
promedio
6.11
6.t
fUI)
" '= -
t:
La rapidez instantanea de crecimiento ce er 6.t
rapide
de crecimient
11m. 1 h )
xac poblacion lin nacimiento la 6n
t) un muerte y, por an al
10
11
~-+----~~--------~--------~----------~> funcio
de crecimiento
plantas es
IIII
es
11
el tiempo
ra
227
ia
f(1)
f(0)
f(2)
2f(1)
f(3)
f(2)
2"110
y, en general, f(t) Jl
'110
102'.
a' In
'e
t, es dn
11
lo2'
00 acterias En
no
24
1600 In
1109
EjEMPLO
na radio
tr
la que descubiert
!Ii
P a r a i n o r m a c io n
Nichols
datalladas,
M. O ' R o ur k
veese
e d s ) . M c D o na ld '
U n iv er s
P r es s
1 9 9B ) .
la decrec eonforme aument
Ia distanci
or el ffsico france Jean-Louis-Marie Poiseuille en 1840
41)[
B lo o
Flo A r te r ie s : T h e o re t ic , E x p e r m e n t a a n d Yo O x fo r l in i c a l P r i n c i p l e s , 4 t e d N u e
la io
eje, hast
esta se afirma ue
l"
)e r, co domini
[0 R].
228
1111
CAPiTULO
REGLAS DE DERIVACION
haci afuera hasta
I'
'2
es
I' 0, obtien
")
el gradient
gradient
de velocidad, es decir, la
dv
de velocida
~r~O
2r)
dr
0.027, em
0. 08 m,
0cu
-) 1.85
10 (6.4
10-
10 (64
10-
En v(0.002)
10-°)
1.11 cm/s
2(0.027)2
ic
' 10 t a f.Lml
um/ 74
dvldr
(f.Lm/s)/f.Lm
signific
qu
cuando tr
ECONOMiA
x)
compafifa incurr
ro
cir XI
LlC
hasta
C(x;
X2,
C(XI
C(XI)
Ll
Cl
ES
SOCIALES
1111
Lo econornistas llaman cost marginal aI lfmite de esta cantidad cuando . 6 . x ---? la raz6 ambi instanta ea el cost co respecto al mimero artfculo roducidos: de
costo marsina [Como 0, pero si mpre podr
L!..x
reem la ar
x)
se toma . 6 . x
L ! . . x sea pequefio
i6
tiene
C(I! As
ta
e(n)
ir id 1)-esima unidad]. ta
ta C(x)
bx
cx
ro ta tota
in
dx'
donde gastos generales ( re n a , c a e fa cc io n m a n e n m ie n o ) lo dema terminos representan eI ta ia im s e r p r o po r c io n a l x, te te id x, ra la ta ic ia producir
articulo
es
C(x)
000
5x
C'(x)
C'(500)
0.01x2
0.02x
0.02(500)
$15/artfculo
1a
cion cuando
C(500)
10000
5(501)
0.01(501)2] 5(500)
0.01(50WJ
15.01
lor mo de funciones. OTRA
CIENCIAS
229
llll
230
RE LA
CAPiTULO
DE DER1VACION
el agua fluy haci aden ro
on at
geografo urbane se interesa
la altura. (V ea
co
aprendizaje, bi
el
ec
cual presenta en fo ma de grafic el rendimient ad cion ac
ci el (0 de innovaciones novedade
ap
an
p(t) t, por 10 tant
3'il
t) de alguie
el
arci
qu aprenpa cu /d
en
la derivada dp di la seccio 3.4.
E TA C O NE S
La velocidad, la densidad la corriente, la potencia el gradient de temperatura, en ffsica la velocida de reacci6n la comp esibilidad en qutmica: la rapide de crecimient el gradi el ca en eo psicologia, es os pe ce em er ad tene
111[lS
cial
ad
un
as an
1-
se
Un
"" O. donde
(a
del movimiento
se mide en segundos
Encuentr
eficient
aplica esto resultados qu de arrollar propiedade de concepto
ar do ec
f(l),
en pies.
a)
(b)
!'A
la velo idad en el instante t.
Cu
(e) i,Cuundo (d) C u
est
In purticula en reposo? mu hacia la direccio
total recorrida
Bn primeros
de I I f ig ur a 2 . con ni
de
posicion
aumenta su rapide disminuye. f(t)
1212
f(t)
os(1I1/4),
velocidad, yaceleracion
--+--r~r-'_-+~>
.0
3bl
f(t)
e-I'"
7. La
mide en segundos ( ,C u : in d o i nc r em e n t Cu
mi
SA
ye
--+--+--~-r-4.--->
0.041"
velocidad d e d o
se
(b)
a)
la partfcula? (,cuando
hi
las donde
6. Se exhiben las funcioncs de posicion de dos p~h.(culas dond mi Cu me
partfcula? i,cmlndoI n d is m in u y en ? E x p li qu e .
S.
(i) i.Cuando
5. S e
de ilustrar
p ur t c u a .
Gr
para 0,;,;
[I
durant lo
s,
Di
el m o
positiva
Ex
Sl1
p ar t c u
(a
rapidez
(b
posicion de un
particul
m/s?
Cu i,Cuando
valo de t?
esta dada par
O ? i,Cual
AZ
m/s
in ia .I'
10 larg de cierto plan
inclinado, segundos es
AM IO EN
[It]
5t
IE
IA
in aurnento de area superficia radio r, i. qu conclusion ll ga
AT
ES
(S
7T1.:')
SOCIALES
1111
231
la
(b ,:Cmlnto tiempo tard para qu la velocida alcanc 35 m/s? 10- m )
rn/s, segundos es la ie
lo
SlI
io
altura
1'
5 a 6 u
(ii)
0.83/
5 a 5
fL!11 1',
s?
cuando
urn.
Explique gcornctricarnent po qu esto es cierto Argument pOI' nalogf on ejerci io [3 c) !es
ma ma
la supe fici de la tierra hacia abajo?
lo su tray ctoria haci arriba
mp ii
mp
chips
si A(x)
la longitu significad
de li
ib lu go
cuando
01,
ir
000
tu y, asimismo, cu nd ambi
Y(
11
40
Torricelli da el volume minute como
dellado. Encuentr en esta situacion.
40 tr
me te
10
in L'l.x. l,C6mo
puede
ip
ia
le it
su
s u s h a l la z go s ,
L'l.A, si L'l.x es pequeiio?
tI
le tu cubes, co Iongitud de lado calcul mm explique su significado.
Q, en coulombs
sa co riente cu nd
dV/dx cuando
Q(t)
2t
6t
2. En uentre el ejempJo
ie
In ma baja
a)
Cis).]
(J
(C
me
la
III
masa
establecer un analogfa
es GIIIM
r:
r,
los cuerpos. (a Encuentr dFldl' sign menos?
la r) explicar geometricament
circunferencia 'qu
de cfrculo, Intent
in rement proximacio pequeno?
un antida L'l.r. LComo de cambio result nt en
ta
m. 10 000 km?
I'
ar a, L'l. si ill' es
cm/s, En uent i6
la
volume
li
in
id
ia
se mantiene constant
tr
l a p r es io n .
('
1111
232
REGLAS DE DERIVACIO
(b ra rapide
,E al principi
ejemplo
1920
fi
se expres
[A
inciso (c para estirnar las rapidez de crecimiento en
ay
moles/L,
AU
despue 1950
[C]
Ali)
1980
23.0
25.2
I)
kt/(akt
1960
donde
el inciso (a).
/P
me iant
[B]
1980 Compar su estirnados co lo
es un constante,
1965
25.9 24.5
t.
1995
26.3
201)0
27.0
[C], en eguida (a Us
dx dt
la concentraci6
(c) l,
cuando ac
(e) l,Que
--'>
oo? --'>
co?
re
ad
re
na calculador
er (d) Dibuje lo puntos correspondientes modeLo par
ra
para el ruimer
de re io
00 inas/crn",
er ap
dato as como lo
ac iferenci
expresio
graficador na cornputadora ar co rn ar ra en ra r a A'(t).
ci
0.005 e r n ,
despues
viscosidad 0la ap
1)
0.027.
.01 ern. En
cr
er rm
ar
fu
velocidad en
re
om
mayo
medida
be-OJ
donde
1=_1 2L Hallar lo valore de ed
b.
Poblacion
[910
(e
[V
Poblaci6n
Aiio
millones
(en millones)
4450
1930 1940
2300
1950
2560
98 promedia do
el ca
al
Musical
Acoustics. 3a ed (Pacific Grove, CA Brooks/Cole,
2002).
re
0) La longitud (cuand al
son constantes). bajo suena) esta determi-
nado pa la frecuencia ).
es ad fe
la pe diente
de do rectas secantes
(ii)
clavijas, enco trar
son constantes), son constantes).
(i
1750
[920
\jr;
donde
ad xx
Ano
.005,
: c
11
celula /h ra ,f
0,
na funci6
cu ic
(u polinomi
de tercer ra o) acia otra cuerda
(a rd
SECCI6N
1200
C(x)
(a (b
llur la funci6 llar C' 200)
O.lx"
CRECIMIENTO
litros es PV
IIII
DECAIMIENTO EXPONENCIAl
(e kelvin), la presi6
0.0005x
osto ma ginal. xpli ue su signific do
3.
en tmos ras)
lRT, donde
volume
233
(en
II
instante,
l, ue pr di
in de tela mol. 39
C(x)
(a Hallar
0.0004X3
interpreta
la
C' lO ).
la
!OJ. 1'0
[[J Si p( productividad
donde
promedio A(x)
(a) Encuentre A'(x). l , trabajadores si A'(x) productivida
(1I)
l,Cual valo de e l P / c l t correspond
a?
ncuent 5i p'(x)
el nive establ le
un poblaci6
estable?
la pobl i6n.
promedio
depredador-presa para estudiar la interaccio
to
ri ii s, ad po C(t), en el orte de Ca ada. La intera cion se ha modelado medi nt la uaci ne
x. Un ejempl es ec fi
es uand
formula
experimental
aument
brillo
dC
dW
dt
dt
dC/dt dW/dr corresponden poblaciones estables? (b i,C6mo se representana muternriticamente la fi ma io "los caribtie va haci la extinciou"
co respecto cuando
entr la especies
W(t),
intensidad x, la sensibilidad
tr
unidades de brillo adecuadas. (a Encuentr
es In rapide de nacirnientos P, es la pobl io maxima capacida de conten
1'
cioll)
p(x)
A'(x)
I--
Supong qu
la sensibilidad
.05,
0.001,
0.0001.
to
qu co
to de x. Coment
er
de lo valo es de
brillo ma bajos. l,Es st
elias,
0que es er ba
le
la
ambas, se extinguinin?
ti
id
(t)
t, por 10 tanto, parece razo able es erar ue la rapide de animales ba terias en el tiem de crecimiento f'(t) pr porciona al poblacio f(t); es decir, f'(t) po algu f(t) na constante k. it jo icio le ic
(t)
f(t)
si du
pr dice
10
isio
234
1111
iT LO
LASDE DE IV
I6
io
lo yet)
de
yet)
dy
-=ky dt
le de crecimient
donde
tural (si if rencia
la le de decaimient natura (si in olucra na funci6 escono id
0) porq
su eriv da dyldt. ll
1.
st capitulo Cualquie tante, qu satisfac
funcio
expo encial de la form y(t)
C(ke
y'(t)
k(Ce")
ce,
ky{t)
e:
funcio qu satisface ic
ta
as unicas soluci ne exponenciale
la ec acio
TEOREMA
la funcione
yet)
(,Cual es el significad la io
de la constant
diferencia
dt
dyldt
ky son
(O)i'
de proporcionalidad k?
pet)
dP
naio
el panorama de cr cimien t, escriba
dP
k P
dt
La eantidad dP dt
rapide
ra idez cial
de crecimient
lati ta cr cimiento relativo
relativo
re
te
dP
dt
.02P
en la funcio
expone
SECCION
3.B CRECIMIENTO
DECAIMIENTO EXPONENCIA
0.02 pet)
lI
el crecimien
oeO.021
la poblaci6n mundial fue 2 5 6 0 Use el illo es en 1 9 6 0 para modela la
1950
MP
1993
la SOLutiON
Mi
po ie do
tiempo dPldt
235
el afio 2020.
en el afio 1950. Mida la poblacio 040. 10) P(O) P, de teor ma propor io en alio
P(t)
POO)
se
ue
560ek'
( O ) e kl
5 6 0 e 0k
04 0.017185
In--~
560eo.0171851
pet)
P(43)
560eo.017185(43)5360 millones poblaci6
P(70)
P(t)
sera
560eo.Ol7l85(70) 8524 millones
plerarnente confiable. Pero la predicci6n para 2020 es aventurado.
6000
Poblaci6n (en millones)
FIGURA
Un modelo de crecimient egunda mita
Afio
el iglo xx
ECAI IE TO
sd
95
ADIA TIVO m(t)
ia id
f1l0
dill II
dt
pOl' ]0
236
1111
REGLAS DE DERIVACION
relativa
co st nte. (Y qu dm/dt
Iara dm
Tt=km donde ra
ial:
i!A E JE M P l
1 5 9 0 afios. rna-
10
00
afios. 10 mg?
io
(c) SOLUCION
afios. En
m(t)
ta caso dm/di
00
il y),(O)
(2) proporciona
m(t)
m ( O ) e kl
li
100e k' y(1590)
k,
(100).
esto terminos, IOOel590k
1590k
In
k=-~
m(t)
En consecuencia Padrfa aplica el
OOe- lln
00
00
TI
afio es
m(1000) ta
2)1/1590
escribir l a e x p re s io n para m(t) de form alterna
!n
m(t)
rnasa
1590
00e- On )lOOOIl590
m(t)
100e-(ln2)J!1590
30
e-(ln2)11!590
bien
.3
Resuelva esta ecuaci6n para tornando el Iogaritrno natura de ambo lados: In
In 0.
1590 1 59 0
In 0. In
2 7 6 2 alios
ssccrou
ca III
3.8 CRECIMIENTO
1111
237
la line horizontal tn 30 Esta c ur v a c ru za n cuando es c)
m(t)
2800,
IOOe -lin 21111590
DECAIMIENTO EXPONENCIAL
it qu T(t) diferencial: dT dt
Donde
un
ns an
cu ci
mp am nt mi ec ac qu T, es constante, y'(t)
y(t)
T'(t)
dy dt
Por
T.
]0
oF
50LUCION
os
T(t)
de
es
T,
dT
en
ui
dv
ma do
ga
44
yeO)
ky
yet)
Entonees T(30)
44)
(T
dt
yeO)
(O)e kl
28
kl
1, igualmente y(30)
17
ne
In 30
-0.01663
mp
ur
al e-
238
II
CAPiTULO
REGLAS DE DERIYACI6N
8e~O.OI663r
y(t)
28e~O,OI663'
T(t) 44
T(60)
T(t)
28e-O.OI663(60)54.3
cuando 44
28e-o.OI663r 50 -O.0l663r
28
In(_Q_)
92.6
28
-0.01663
lim T(t)
li
t_"".x
l-::,.x,
(4
28e- ,Ol663r) 44
.0
30
INTERE E j . E M P ! .. O
COMPUEST
CONTINUAMENT
<}
1123.6 d61are
10 spue
ol res,
espu
1000(1.0 6) tr
oO
0ge in
Ia
rln
existe nt periodo
om in do
;:
'"
$1000(1.06)3
$1 91.0
co combinaci6
$1000(1.03)6
1194.0
co combinaei6
$1000(1.015)12 $1000(l.005j36 0.06 365
)365.3
$1195.62 co eombinaci6 96.6
co combinacio
$1 97.2
co combinaei6
nua1 semestra trimestral ensual
iari
3.8 CRECIMIENT
SECCION
das (n) in re enta de manera continua
A(t)
nt rmit
ue
en co se uencia
---+
/l
If
!.
lim
EXPONENCIA
estara ombi ando
lim
11
II~)~
DECAIMIENT
1111
intere
rr
!.
n----:;,.:c
+!_
"IrJrr
11
n~)ox
"'Jrr
11/-":-:
(donde
lk
II
fios A(t)
eriv
st fu ci6n
pr or io al
A(t)
rAoe,r
dt
inversi6
oe
btie dA
i6 su tamafio.
te
ain A(3)
er
ma faci
aI ul
1197.22
lOOOe{o'o6)3
i6 ntin
la cantidad si aplica combin ci
JERCICIOS ulti crecimient
relative constant
de 0 . 7 9 4 4
de
un ca tida
ct ia
poblaei6n
de
imient
lc nz
lativo (a la pobl i6
lc nz ra
10
lati o. onst nt
spue
horas.
(e i. uand
20
coli
alla la az de
re
horas.
Cd)i,Cu do la pobl io (a
lula
Sll
in re entado
despues de Escherichi
1inicio onti ne 10
ropo io
00
lulas.
alla la obla i6 horas.
inicial.
hora
xi te
239
00 ba teri
1111
240
VA
CAPiTULO
er
La
es
(b (,CUllnt tiempo ha de transcurri ar reduci su valo original?
rn
ro rc es Poblacion
Aiio
E I b is m u to - Z l
tien un
Es ce de dfas,
f or m
[650
1160
1950
2560
:!OOO
6080
(a Apliqu el modelo cxpone cial ar 75 ed 1900 (b Utilic el modelo expone cial 1850 ar re (c Er plee el modele exponencia Compar co crepancia.
la cifras
gnifica em una masa (a Establecer (b )l,C anto De es
oblacion
ra c if r
ci
dis-
rb traves de In atmosfera traves de Ia cade alimenticia,
Poblacion
[960
1920
106
19S0
1930
23
1990
1940
3[
2000
14Cinicia su disminucion 22
ra
ffi
rg
cu
re
la coordenad
la discrepa cia.
de P.
[J]J °F
2020.
as
ra ra
af esto modelo es razona le
2N0
rr
ro
es
ab
em
12°C.
T02
su concentracion
despues? (b )i
como sigue: 15
ua do se to ra ra
despues de
desintegracion radiactiva,
Yti
za
nitrogeno es proporcional
traves de
fa
14
·f
la vida animal asimila 14Ca ua do un lant un animal
12
ac en
.5
manera exponencial. rt fr
1950
(a Apliqu el odel ex onencial 1900 ed co la cifras actuales intent ex lica (b Us el modelo expone cial
mg?
Lo cientifico ue en esta lece la edad de bjet antiguos me iant el metodo el carbon E I b o m b ar d e de la atmosfer superior POl' isotop rndioactiv de carbono, 14C.co un tiempo de vida medi
[910
predecir ra (a) ( b (,AIguno
ro
afios. de J O O a fi os ?
ae
inte te e xp l c a
Ano
1900
rn errnanec despues er
ri
10
6.
Poblacion
la masa an
c if r
In poblacion actual
AIIO
dfas,
Poblacion
1750
1850
la co centra
ci
ec ra un
ebid re
er
°C
frfa el refrigerad r, su temperat rr °C
1111
16 Un taza de cafe recien hech tiene 95°C de temperatur en una habitacion 200C temperatur es de 70°C se enfrla un proporcion de 1° pa cada minuto ",Cuando sucede esto?
el iuteres es com(h) Consider qu se presta 1000 dolares puesto de manera continua.Si AU) es la cantidad que se debe afio despues, dond .:;; ;;3, grafique A(t) para cada una de la tasas de inte %, 10% en un pantalla comun.
[tJ
17. La razon de cambia de la presion atmosferica Peon respecto la altitud es proporcional P, considere que la temperatura es constante.En ISoC la presio es 101.3kPa al nive de ma
87.1 kP en 100 (a) ",Cmlles la presio en un altitu de 3000 m? (b )",Cuales la presio en la cima de mont McKinly, en un altitud de 187 m?
18. (a)
241
d61aresa l de interes, calcule el valo de la inversional finalde afio siel intere es compuesto(i) anual, (ii) sernestral, (iii) mensual, (iv semanal, (v) por dfa, (vi) de manera contfnua (b lSI A(t) es la cantidad invesion al tiernpo para el caso de cornbinacion continua, escriba una ecuacion diferencial un condici6 initia qu satisfaga A(t). invierta
00
0. (a) ",Cuantotranscurrira para qu un inversi6 se duplique en valor de intere es de 6% cornpuest de manera
al8% de interes, calcular la cantiafios siel interes es compuesto. (i anual, (ii) trimestral (iii mensual, (iv) semanal, (v diario (vi) pa hora, (vii de manera continua. prestan 1000 dolare
da qu se debe al finalde
continua? (b) l,Cual
tasa de interes anna equivalente
esta infiando lobo ta to volume om radi in rementan sus proporciones f ac i m e di r de increment estrin io modo direct to lu c a lc ul a l a r el ac io n io la tida en terminos de l a r e la c io n otra cantidad, l a c ua l a de rn as , se podrfa medir co ma facilidad. El procedirniento es determin na ecuacion que relaciona la do canti-
00 II
D e a cu e d o c a p ro b m a me
es
p as o
n c u id a d en t c ac i6 n qu
notaclon
o s p r n c p io s
e s d ia d e n e nd e ec ur
de
en
e so lu c 6 n na 76
conveniente,
Empiec
po identifi ar
la informacio
b le ma .
os sp ctos
qu se proporciona:
c u id ad os a d e p ro b e m a
de os da os co qu
s e d es co no c
50LUCION
n t o du cc i6 n
s e c ue n de
una
10 qu se desconoce:
je cion sugerente:
nota-
Sea Vel
su radio.
t.
lu
dV/dt, rf
Por 10 tanto, replante
10
10
la manera siguiente: Conocido:
dV dt
dr Descollocido:-:it
cuando
I'
1111
242
Gl
CAPiTULO
Co
L a s eg un d a e ta p d e e so lu c 6 n d e p ro b e m a e s p en sa r e n u n p la n p a r r e a c io n a r n fo r m a c io n c o n o c id a c o n d e sc o n o c k
objeto de relacionar dV/dt
dr dt primero relacione Vy
i6
mediante Ia f6rmul
ic ell'
til'
dt
Ah ra resuelva para la cantidad desconocid O b se r
q u a un q
constante,
dVjdt
dr
Si sustituye
dV
100en esta ecua i6n, obtien
dV/dt
dr dt 1/(251T) 0.0127cm/s. EJEMPlO
10
pie/s, SOLUClOti Sea
ie
ta
son fu
ti
Sabe qu pie/ En este problema la rela io
se pide determinar dy dt cuando ntre la define el teorem de Pitagoras:
100
y2
li 2y-=
piso
lv
dy
de
=?
in
dx
dt
dt
al sustitui
dy dt de
G UR A
dy
Cuando
la
= -
ro
dx dt
pies/s
ie
dy dt
decrece
(1)
esto valores
la is ~pi
ia la
te
1,
EC
.9 R E A C O N
AF NE
!!II
de profundidad. SOlUCION 3. ea V, tiempo t, donde dV/dt tidades
/min
to se pide determinar dh/dt io
cuando
II
ti
...L
li
h.
tr
fi
se vuelve
cada miembro: dV dh 7T = dt dt tlh
= Al sustituir
my dV/tit
av dt
/min obtien dh = · 2 = 8/(97T)
'1
0.28 m/rnin
ESTRATEGIA
LQue
Ref!exione.
97T
mp p ro b le m a
f u u re s
de tiempo la
4. s us t u c 6 n
de ad
p ro n o . de
n fo rm ac io n ue
d e v ac io n d ec i
en
e je mp l
g en e
e s d e II h as t
II
en
sustituido
dv d:
ul ma
em o) mu
s e e fe c u a
Ipas
so
v a d es pu s se
despues d e p as o 6 .
a ta n v a o re s
q u e f in a m e n e ta pa .
terr in
n um e c a c on oc id a
an
s us t u c 6 n
re
s us t u y
ecuaci6n.
Si uber
d es d e a n te s h ab r 1 0 c ua l e s e v d en te me n
o b e n id o e r o ne o
determin desconocida. Lo ejernplo
siguientes so
tr
ilustracione
la estrategia
la pr porcio
243
244
III!
CAPiTULO
REGLAS DE DERIVACION
viaja
[!.iI
S O l U C I O I IDibuje
es la
sea
x,
is porque pr porcio
mill s/h, as eriv da so ne ativas dy so de recientes. Se id calcular dz dt ec aci6 ue relacion x, Ia te rema de Pita oras
obtiene
dz dt
Cuando
dz d~
0.
[0.3(-50
-7
i!
0.4 -60)]
il as/h
10
sea la
SOLUClO»
ic
is
punto
ia d8/dt cuando
relaciona
se pu de es ri ir
2o=tan8 ambo
miembros obti ne
dx
20sec"8-
df
por
que
~
C O
2
dx ~
dt
cos-e(4) 2
cos-8
!!!I
245
Cuando de =.!_ dt
(i)2
_!_§_
0.128
E)ERC1CIOS y, ademas estaci6n. dV/dt en terminos
plia terrninos
[jI]
de dx/dt.
rn dida ue pa de d r d t
er rn
(lA/df en
ti npo, determin
eite se incr me ta
un
roporcio
13 Una a m pa r
es
n s a la d
ctil ea (. ue ta
consta te
ipid
en 10
15 pi
0la la pu ta de su sornbr se
de
spla
[liJ
cmJs
ue prop ci incr me ta la istancia do horas despues?
rectangulo?
nt
lo vehf ul
altura de agua'? mm/s
ue 7.
ar na
punto P. 2x
5, determine dy
Z2
cuando
ha
as ta de
na muje
12.
JJ+X3.
0la
10
apid
de 24 pi s/so
se incrementa .t
el pu to va ia le
se inst nt
in em nt
11-14 l, ue antida es se proporci na (b ~Que se desconoce?
robl ma t.
d) lant un ua io qu laci ne la ~(e)Termin de resolver el problema
esta io
de
da Calc le la
pide
pies/ npie
de P. i.Co ue ra id se st sepa ando Iu pe so sp es de ue la uj mpez amin
encuentre
dy
y2,
inut
desd el in
cuando
determin dxldt cuando
dt
in
ntid des,
la cu ll
istancia desd
ismo me ento
15 min
1111
246
IJIl
REGLAS DE DERIVACION
CAPiTULO
altura so siem re ig ales i,Qu ta rapi
1em ra
ri
se incrementa
ro
cm
crrr'?
Lrn
m/s,
28 ri
EI
21 km/h, l,Qu ta ra id
se mo fica la di tancia en re rg
ri
rd .0
Cuando re
la artfcula al origen en es in tante? >/ co
ri cu
le
temperatur co stante la ecuaci PV
la presio
el
lu en
crrr', la lu en en este instante an ierd calor, presio mediante la ecuacion PV ,4
crrr'
ro
en este instante estri llenando co
agua
fu
ma
rofunda. En Ia Ii ur se il stra un seccio tran versal 0,8 pie ciibicos/rnin,
Si co ecta do re iste cias 1ustra en la figura po 10 ta to la re iste ci
Si RI respectiva en e,
i,qu ta rapi
rc ca ia
otal R,
0. fils cuando
16
!lZJ
de
ie ciibicos
inut
la dime si ne
su fragme
fu 0.007W
/3,
donde
APROXIMACIONE
LINEALE
DIFERENCIALES
1111
247
en ro longit desde ru
O.l2L253.
pr
edio
cier as es ecie
de eces ev lucionaron
camara
38
em? 5. Los Iados
r ia ng u
ne
memento?
Un faro se localiza pequefia krn del punto mas cercano ue encuentr en un laya rect I a I am p ar a del faro cuatro revoluci ne in to iQue ta ra id se muev h a de lu 10 larg de la playa c ua nd o kill de avion
directamente sobr un telescopio de seguimient estan rr pies de longitud que pasa po punto los carros, ra insrante en qu
olea
EI
instante co qu rapide
entr partir de
rapidez
en la superficie Til3, este angula 7T/6 r a esta viajando el avi6n?
40
de
12 pie
Una rueda de la
rt
de radi
esta
tarde? re
'ero' de 15 minutes? lataform
Su ng
de la zami nt
ue el co et
de co etes El angulo rc
se elev verticalme te
l1bJ
elevacio
qu
rr
rc m/s.
ra idez
~~~~~~~~§33.IO~A~P~R=O~X=I~M~A=C~IO~N=E=S~l~IN~EA~lE=S~Y~D~IF~E~R=E~N~C~I~A=l=ES~
lo aproximado qu do ac (Vea
de funciones. ca en
ar ci
es ce al
no de f.
la figura 1.) (a,j(a»
va
(x) cuando
a. f(a)
la aproximaci6n
f(a) 0ta
ec
os
ca uen (a,j(a).
248
1111
CAPiTULO
REGLAS DE DERIVAC10 ,<
de
en a. L(x )
(a
en a. Encuentr
inealizacion
son sobrestimacione
subestimaciones?
~OlU(16N
f(x)
unci
Jf.98
rx+3 en
f(x)
iisela
.j41)5. l,Estas aproximaciones
3)1/2 es
(x
f'(x)
3fl/2
(x
/'0)
J(l)
2-';=x=+=3
j.
es
+f'(l){x-1)=2+;j(x-I)="4+"4
L(x )=fO)
';x
=-
+-
(cuando
En particular tien
.J3.98
-3
FI UR
aproxirnacio
~8
.J4.05
1.995
lineal da es aproximacion sabre
En la ta la iguien
[Ill
compar la esti acione
.0125
=~
ci interval
)3.98 completo
de la aproximaci
de la ecta tangente da buenas estimaciones cuando 1. aproximacion disminuy cuando partir de L(x)
v'I9
0.9
1.975
V a lo r r ea l 1.97484176 .. 1.99499373 ...
J4 )4.05
1.05
J4.T
.1
/5
J6
2.025
.)4]5,
2.02484567 ..
lineal de ejempl
IO
IIII
3.10
,Q
i6
249
lo ig
ic aproximacion lineal proporciona una precisi6n especificada
intervalo le
EjEMPlO
lo
la apro imaci6
li ea
SOLUCIOU H na e x a c t i t u d
funciones
0.5 De
od
equivalent
po rf escribir t"
0.5
ti
0.5
la te
x)/4
superior estima qu la coor en da
de
de la
ic
i6
=8.6. (S ha redondeado
que 0.
cuando -1.1
on frec enci en la ffsica, AI analizar la consecuencia im if it la 'eje la -g sen li para l a a c e le r a ci o n tangencial ffsica obtienen l a e x p re s io n lueg sustituyen se pOl' aciend la observ ci6n de qu se esta si no es dernasiado grande [Vease po ejemplo, Physics: Calculus 2a dicion or ugen He ht (Pacific Grove, CA Brooks/Cole 2000), p. 431.J uede om ro ar ue la linealizaci6 de la l a a p r ox i m a c io n lineal en es funci6n f(x) en en es L(x} La
pr xima ione
li eale se sa
sen
Otro
teorfa rayos paraxiales. iz
(0
bras la apro imacio es
line le cos
la ptic
araxia
250
REGLAS
CAPiTULO
DERIVA IO
se usan porque st cerea O.L resultados de lo alculo ue se fecnia io te ic li [Vease Optics, 4a edicio or ge He ht (San ra cisc Addiso esle
an esta prois 00 ), p. 15
le
DI FERENC1ALES
diferenciales. Si in 0ta
gfa Si dx
iii
0, p u e d e dividir
e cu ac i6 n
dx p a r
en
la diferencial diferencial dy
mb
o b te n e
d\' n te s
v is t
e cu ac io ne s
zq
el ad
diferencia
s im i a re s
e rd o p ue d
ma
es un fu ci6n ie dx dx mediante Ia ecuaei6n
pero
terpretarse
te
dyes
mo
les,
dy ic
ic 6.x, f( es
ta
6.x))
if
la
6.y
sea dx
ly Por consiguiente
:3
Co
la
6.)'
ely si
f(x)
Xl
2x
SOlUCIOli
(a Tien f(2)
(2.05r
f(2.05)
.0
figura
se ilustra
n a c om pa ra c o n e c a nq u
d e dy
En general,
f un c 6 n d e e je m p £l.y cuanda
d e vision es 1 .8 ,
5] pa
.717625 .717625
Li
(3x
ely
2x
2) dx
2. EI
6 . 18].
Cuando
dx
6.x dy
(b)
3(2)2
2.01)3
f(2.01) 6.)'
Cuando dx
ix
0.7 .0
.140701 .140701
0.01, ely
3(2)2
ta
ti 6.y representa la cantidad dx. ti
el
ca cuando
lo
P{x,f(x)) ia 6.x. EI cambio correspon-
f'(x).
),=j(x)
se levant
dx se
(x
PR es la deri ad
(x)
dx. Si
lor
f, Q(x ie
En
ntonce
dy
dx ah
f(x), donde te
la erivable
.14
cambia
SE CION
Advi rt
en
ejempl
3.10 APROXI ACIO ES
LINEALESY DIFERE CIALES
3, qu Ia pr ximaci6n 6.y
dx)
je
lo
la
f(x)
dy que 6.y. 6.y. stos casos, la pr
dx
-Ix
dx
2vx+3
0.05, despues
Llx
0.05
2.jf+"3
dy
J4.05
do
dy
f(a)
dy
Si
251
6.x se ha
dy
funcione ma complicada serf imposibl calcular exaetament imacio mediante if re ciales es espe ialmente util
f(
IlIl
(l.05)
fO)
.0125
2.0125
dy
la me ieio es apro imad s.
!i"'j
por
SOlUOOfl
dr
I"
valo calcuJad
Cuando
Tr3.
de Ves 6.V, el eual pued apro imar
lu mediante
diferencia
dr
I'
dV
entr el volume
47T(21)"0.05
277
total: dr
4 7 T 1 · ell'
j7Tr
je erro relati
alre ed
el volume es pr ximada ente tres veee el erro relativo .05/21 0.0024 produc un de .0 en eI olumen os rror ue en ex resars asimismo .7
en
volu en
!H
252
REGLAS DE DERIVACl6N
J3.lOl
ERCICIOS
_ _
1-
Encuentr
L(x)
la linealizacio
f(x)
a.
3.~,
cos x,
f(x)
2. f(x)
x,
f(x)
,,114,
\:f,
71'/2
25 (8.06)"" 44°
en
dibujand
la aproximacion ci
eter in
es
lo valore
pa
7. ,yt=X
alcu
0. e'
la iferencial
la fu ci es
[ill
2s)
11
(a CalcuL Ladiferencial ados de dx.
I),
x",:
-0.1
18.
cos x,
r/3,
dx
0.05
19.i.~,'= 2.~ ~·.\i:)' ,[X,
20
=2/.>:.
=e',
22
x=
para Losvalore lineales co
2, I,
=4,
x= 0,
li eal. LPar c ua l f un c o n Explique
f er e erro relative
el porcient
de cubo
ra el isco error relative l,CuUle el erro en porcentaje midio
m,
(b
dx
ad
longitudes dx, el
su erficial calc lada LCua es el erro relati e? ma r ro r Use diferenciales para calc la l, al es el erro rela ive?
volumen
Sx. 37
~y
volu en apro ir ad un cascaron cilf dric r. radio interne espeso
altura 11
inciso (a)7
!!..X
6..x
8.
0.5
~ \ "
(2.001
axim
LQU~
fe area ca cula
6.x
2~;-2~ Apliqu In aproximaci6n,liVen estimar.e :!.' . < ) ', . - _- ; iF
23
sibl
en ce io
rY"
0.4
Sx
r:
-i
de f, 0qu
Dibuje su aproxi acio es mejo Ia aproximacion lineal
superficia
-0.Ql
dx
1,
dx
lo 'segInento
xplica
0.1
r/4.
n e s ' tr e r i
2x)
n ea l z ac io n
circunferencia
an x.
el
1.06
evahie dy para lo valores
7.
~y
(1.01)6
(x
esti ar el erro
ln
de dy
dx
19-2. Calcul
(1
(b
15-18
1/("
+"
cos
(b)
li'"~ro
16.
(b
(b)
-_ (a
f(x)
ad ierte? Le6m
lnJl+t2
(b
s/(l
(a
Sean
hex)
tan
.~
4.
32 continua-
a ) E nc ue n
8x
li eale
la aproximacion
30
Loscuale la aproximacion lineal
I-~x 2X)4
-1
ad en
valor m e n o r qu 0.1.
ha
J§9.8
0.05
en
la rect tangente inea
28
apro ir acio es
se 0.08
la rect ta ente
lineal de l a f un c io n g(x)
1IJ. Ilustr
Ex li e, en termin
diferenciales, po qu es razonabl
f(x)
\IQ.95
1/1002
16 -3
,;0:99. Ilustr dibujand
26
Ii
i:, 2 a
longitud ible de ±I
.)!
bien.las diferenciale .c~;
V!
_,_J
para
0.
superficia
ro calculada, l,Cm es el erro relative
ca cula
LC al es el erro re ativ
volumei
;' 'j
1111
TAYLOR
39
un corrient
as at ve
la
de
resist
sist ncia
de duracion el acio
RI.
I a c ai d
Si Ves constante diferenciale par mostrar que e l c al cu l
40
on
de
ut obtien ua i6 sen para IT ta gencia de br ve mo imie to de pendulo. lo en radianes
es aproximadamente R.
".
Cuando la sangre fluye (e
253
sen
tiernpo
.r
b) Us un dispositivo graficador para determinar los valores de le Enseguid cornpruebe la afirmaci6n de Hech convirtiendo de ra ia es grados
I11l se
uestra po qu
rd de .)
na arteri
parcialm nt
restitui el fl jo sangufneo normal. io ve es el c am b i r e a t v e en R. l.C6mo a fe c a r
ensancharlo
Dernqesrre tr
Suponga
que .f( I)
n ic a
f or ma c o n
derivada Yl ilustra, t(l.I). a) Us un proxim ci line para stim .f(0.9) (b l. Sestim ione pa inciso a) so demasi do gr nd demasiad pequeiias? Explique
cuaa ur ne n
)'
J. ~Deduzca la reglas siguientes para trabajar co diferenciales, donde x). l/ (a)
de
(b) d(1I (c)
du
dv
du
II
do
(b) d(cu)
du
(b) d(uu)
du
(b) d(x")
funcidn
1'(:.:)
'''''t--.,
I-
du
1X,,-1
dx
g(2)
g(;o;) para toda x.
jX
g'(x)
.95)
P h ys ic s : C C C I lI I S , ic deriva la formul
g(2.05).
(b l. 27TJT7"(;
LI
IO
io el io de ca nbio (deriv da
la mism te te
I.
P(x).
la (i)
randes
LO
de la re ta tang te L(x) a, pOl'que [(x) L(x) tien
proximacio rc [(x), (cuadratica)
Sestimacio es pa in is (a so demasi do demasiad pequeiias? Explique
Pta)
(ii) P'(a) (iii) P"(a)
I. Encuentr
[(a) '(a)
im
siguiente:
(P
0.)
rnisma
(P
(Las pendientes de la aproximacion
is
relaci6n de cambio
deben tener
cuadratica P(x)
Bx.
mi ma C\"2
pa
Dibuje P,
(ii)
lineal L(x)
en
a.
e la c o n de cambio
la un i6
lex)
en a.) os r,
la aproximacion se
P(x) del [(x) ti 0.1 ISlIgerellcia: Dibuje P(x),
os
os
0.
un pant ll
om n.
254
Ii!!
REGLAS DE DERIVACION
funcion
mediante un funci6
cuadratica
un mimero a, Lomejor es escribir P(;.;:)
ii =f
~ j" (a )( ;
ic
f(x)
Jx
gnifila
3.10
un pant ll
ormin. i,Qu podr
onclui io
de
un cu dr tica pa
f(x),
cerca
ll zr-esirno
grado
Tn(x)
ta qu T"
~-
im
11
me
como
a,
iv
ciones
'(a), ('
Co
c,=~ donde k!
j(a)
tr en general,
j"l(a)
k. ELpolinomi Tn(x)
se llam
j/l(a)
resultante
rea)
a)
II
/";(a)
polinnmi de Taylor de lH~simo
a.
O.p ra la unci6n os x. Dibuje j(x) visualizacion por
~~~~~~~~§l3.[
Ii
FUNCIONE
s, Ti
f.
HIPERBOLICAS
Cierta combinacione la fu ei ne exponenciale eX e> matematica su aplieaciones qu mereee recibi un ombr especiaL so similare la funcione trigonometrica ti la io eoleetiv funcione hiperbdlicas hlperbollco, coseno hiperbollco as! sucesivamente.
seno
form
D E N IC IO N
DE
AS
U N C iO N
HI
BO
senhx=----
cosh
tanh
= -
s en h
coshx
e-·
muehos specto la la
CA
esehx
= -
sechx
= -
eothx
= -
senh
cosh cosh
senh
SECCION
1I
ic suma grafica
li
ur
y=coshx )'=1
y= senhr
-
y=-l
FIGURA
FIGURA
tanhx
minio I F . ! ( asfntota horizontales
00).
:!.:l. (Vease ejercici
3. Ii
rnaternaticos
luz, velocidad, electricidad ie
radiactivida
se bsorbe ta
FIGURA
Catenaria
'"
cosh
(.l/a}
i-
sad ar
la lineas telef6nica
denomina catenaria qu signific "cadena".)
agua co
la
catena
profundida
ma id alizad
ti
D EN T D A D E
im
id
id
im
H I E RB O U CA S
senh
-senh
x)
cosh( -x)
senh(x
y)
enh
cosh
cosh
senh
cosh(x
y)
osh
cosh)'
senh
senh
COS!1
256
till
CAPiTULO
REGLAS DE DERIYACION
eclr'r.
l:',i
SOLUCION (a) .\
e~2.\·
--= =
la z-
;;;
'" l<
E I a r G a te w a y e n S t L o d is e a p c a nd n u n u nc io n c o se n h ip e r b6 1 i c o ( e je r c ic i o 4 8 1 .
senh'x
bien
funciones "hiperbolicas": Si tario x" or ue co LPOQ
sen
P(cos t, sen t) En efecto circulares. t, senh t)
cosh
ma 1. Pero ahar
l a h ip er bo l representa el
en el caso trigonometrico gu 6.
e~.')
Plcosh t, scnh I)
x)
osh
je
.r
R IV A D A
dx
dx
D E
A S
U N C IO N
x)
osh
x)
senh
eclr'x
H I
R SO L C A
dx
dx
dx
x)
+csch
coth
x)
+sech
tanh
+csclr'x
FUNCIONES HIPERSOLICAS
E J EM P L O
esta reglas de derivacion
C u al qu i r a
1111
regla
cadena Po ejemplo, senh
1y
0q
io
ta
la ig co
rb ic
in
io
senh"!»
io
rb ic
¢:::}
senh
COSh-IX
¢:::}
coshy
tanh ?»
¢:::}
tanhy
y;;;:o
in
im
ci 28). Iy
2Y
la figura
------------~----------~~
------+--7~-+------:~
)1
.v
dorninio
IJ;!.
rango
y=tanh-Ix
j=cosh'".»
h'
FIGURA
dorninio
IJ;!.
to ia
[1 co
an
dominio
[0 co
fu rp it
afo mul s e d e m ue s r a e n e l e je mp l 3 . los ejercicios 26 2 7 s e p id e n l a d e m os tr ac io n e d e l a s f o rm u la s 5.
ie enh"!»
n{x
1)
xE
cosh"!»
n{x
1)
x;;;:)
anh"!»
E JE M PL O SOlUCIOIl
ue se
D em u
Seay
enh"!»,
11
I-
IX
n(
1)
caso
senh
------
(-1,1)
rango
!R
257
258
1111
REGLAS DE DERIVACION
CAPiTULO
por
que e'', 2y
e'
re olve
ecuaci6n cuadra ca 2x :!::
bserve qu e" meno es inadmisibl
Por
O b se r
q ue , a l a re ce r
d e r v a da s d e
IX
a s o rm u a s IX
ar
.JX2
(porqu
n(eY)
tanto,
UN
1) Po esto, el signo
n(..
HI
as
son denl cas,
r::::;--,
dx
o s d o rn i o s d e e s e s u n c io n e n o e n s n u m e rc s c o rn u n e s tanh de ne po para
I , m ie n r a q u c o
:!::
er
II
III
.J4X2
'x S8 define
x:
dx
l.
ciones inversas
irnp ci
co
(senh
x-
Por 10 tant senh x, obtiene
Si deriva e s
dy dx
dy dx
coshy
Jl
5.
JT+X'2'
vr
cosh
x-
---:-,
de as or ulas 3,4
enh"!»,
espect
Xy
dx
mediante la de ivaci6
dx S O l U C I O N Sea
dx
senh-y
e cu ac io n
en or
EC
FUNCIONES HIPERB6L1CAS
.1
(demostrad
O lU ( O N
(senh-Ix)
3) ob en
In
dx
dx
v'7"+l x~
dx
(sen x)].
term SOlU{ION
el ejempl
la
tabla
de la regia
dId
Ia
x)
dx
ti (sen x)
(sen
cosx
--
_f3.IIl
1111
secx
EJERCICIOS
_ _ _ _ j
Ca
me
1. a ) 2.
6n
(b) cosh
nh
.:.:.ta::.:n.:.:.h.:.:.x_+~ta::.:u.:.:.h~):_' tanh),
(b) tanh
a) an
!II] senh 2x
(b) 4.
a)
os
cosh(ln
a)
ch
b) co h-
a)
nh
(b senh""
7-],i D em u
17
x)
-,-X"
e" s en h x )
(cosh
+senh
cosh
IIX
IlX
numero real)
funcion impar.)
8. cosh( -x)
cosh
otra
tanh
mu cosh
a nh il n
(1
(Esto
cosh
3)
identidad
7. senh( -x)
senh
6l
senh
cosh
10 co
senh
1 1 s en ht .
y)
senh
cosh
cosh
senh
12. cosh(x
y)
cosh
cosh)'
senh
senh
funciones
22
funcione
x. 0, calcular hiperbolicas en .r,
OWlS
Ut para dibujar la
graficas de csch sech
coth.
259
1111
260
r:EI
REGLAS DE DERIYACION
CAPiTULO
(b Compru be la graficas qu tr z6 en el inciso (a mediante un calculador graficador de un cornputadora la ad un de lo limite
determin
(b)
(a) lfrn tanh 1;
io siguient s.
~~;
(c) li
.\'-~-;';
(d)
senh
(f)
(h)
,\'--O~
(i)
a) rafiqu la ur (b) i. C u a l es la
li
entral su centro?
lfm tanh
.t-··~~
,~
11
~ c. -
lo it se mueven co velocida de gu co profundida ta
senh cu rp
11mcoth ,-.;-·0-
,0,:-.-:.:
Donde la tabla
Explique
la
l a a p ro x im a c io n
(e) coth.
v= tr
25
lu el ejempl
donde
reemplaz
lea) en
es apropiad
ax
26 Dernuestre la ecua io
Un cabl
4.
)'=
27 x.
definicion como la
(iii encuentr
-I
m ul a siguientes
9.
de la funcione
lexibl siempr form onde (I coshlx/» je
un
cuando
separado
at na ia
iq
(I> miernbros
osh(x/ ).
funciones
i,C6mo
entr
sf
CSCh'1
mbia la
catenaria id
past
derecho, lo ntre el able
te on
de
var a?
la (c)
COSh-I
30-4
/'30>
la
ITIJ
fgL
\j);;
en agua profundus.
la grafica
ig ie 2) (ii) trace l a g ra f ic a
28
(a)
II
.\'-~
,l,;-.Y
(g)
::::91.20.
tr el poste.
En uentre la erivad
f(x)
e~')
g(x)
osh(ln x)
31
.f(x)
senh
cosh
33
hex)
In(cosh x)
.f(t)
ech2(e')
coth(1 36
csch
.f(t)
rctan (tanh x)
enhlcosh x)
8. 40
In csch t)
tanh
x= 1.'2
tr .1
G(x)
os
.f(x) qu
umpl
an Inecua io
anh-1v'X
senh-!(2x)
1+
tanh"!
[ill X2,
donde gravedad sist ma coorde ad qu la funcio
x>
coth-
48 ue onstruid
di eren ia
mple nd
in se elig
(x
la ecua ion. 765x
es un solu io
dx
st
fo ma ad cuad
pg cu io
(pgx) di eren ial.
Compru be
I!
[ill
l, que diente I?
cosh mx
senh IIlX
cumple co la ecuacion diferencia y" (b) Determine y(x) ta qu y" y, y e O ) y'(0) 54 Evalue I i
r-~:':
57
4,
senh -~ -.
ae
hiperbolic
te
st
Demuestr qu si tale qu ae' be (3). Q' cosh(x f(x)
~~~~0
),
tan
y.
/11
osh
26
cosh x.
0, entonees e x is te n r n im e r o f3) senh(x na funei6 sene hipe bolico estirada,
be
desplazada
Q'
coseno
REPASO
CONCEPTOS
la sfmbolos
om
iv io
ta
en al br s,
3. (a) (b Expres
numero e?
como
limite d e m a s funciones
(e Regl
(f) Regi
de producto
de cociente
natural,
iv
x"
(a
a'
(b)
(d)
log,«
(g)
cos
(j)
ec
tan
osh cosh!x
(5
R EG U
(I
(q)
anh
(r)
(t)
anh-Ix
e s v e rd a de r
a r u e S i e s a l a , ex p q u
ar
un io es lo arltmi as
Ia derivacion implfcita.
xpliqu
c6mo uncion
b)
xpliqu
c6mo funciona la de ivacio
ogaritmi a.
en a. ar la di eren ia dy. (x), es riba un expr si significad dx fl.x, dibuje un squema para mostra geom tric de f l . } ' dy.
senh
entonces y'
f a ls a. S i e s v e rd a de ra , e x pl iq u
.!!_ [f(x)
or 10 tanto g(x)]
.f'(x)
g'('\')
8.
dx
dx
(to')
lO,-1
(In 10)
-.
son derivables, entonces
derivables
dx
entonees
dx [f(g(x))
10 .!!_
dx
, (sec'x)
2x
'(g(x»g'(x)
es derivable, entonces .!!_
to
10
d
1'(x)g'(x) so
2e.
me
7. so derivables
5. SI
qu la dema
a)
en!» enh
(0)
la propasici6n.
4. Si
4.
In
log..»?
RO
D e t er m in e s i l a p ro po sl ci o
Si
)'
sc
otx an-Ix
(k
(m)y
(p)
senx
(f)
a'?
exponenciales,
dx
SI g(x)
fW j(JX)
r.-
2vx
nton es lf
la rect (-2,4) es
x(x
X -
tang nt 2).
0. la parabola
en
262
1111
REGLAS DE DERIYACION
CAPiTULO
EJERCICIOS Si gee) cosltan x)
3x
5.
2x)X2
6.
e",,20
8.
9.
si f(x)
x)
Apliqu la indu ci6n matematica pagina 77 para demost ar que si f(x) e' entonces f(I1)(x) (x 11k'.
1+.:.:2t
e-'(t
cos
e"
jX cos
y6
XO
Determine f")(X)
.J2x+l
I-
11
Encuentre y" si
3x
4.
sen e, halle g" 7r/6).
6. Evahie lf
,-·0 tan
2)
I1
punt
(arcsen 2 . " y
12
= . . . , . : -
(2l
dado
57
-I
I)
l '
.JI
59
x)
nlcsc 5x 17
,=
to
sec tan
x" cos
e
cos x}
(I
-I
sene.y) ogs(l
xtan- (4x)
33
sec 5x
39
24
)'
26
y=~
.>.:V',
(0,2)
f(x)
Dibuje
la
I'
sm
x, hall I'(x).
1)4
(2x
1 )3 (3 x
e"O'"
cos(e')
la rectas tangen I);
tan x, -7r/2
4x
tang nt (x
,\.)4
X4
,\4
to un
la sen ecta hori ontal?
te 67
•,
li
66
II1X
7r/2 encuentr
I'
".
la
jX 65
sen
senh(x
I(x)
(b Verifiqu
.•e" y=
1'.
la 64
a r ct an l a r cs e
.\-J5
(2, 1)
)'2
Si f(x) e""" halle I'(x). lIa hag comentarios.
63
)t In(t
6.
sen{tan.Ji+X3)
(x
62
I/{jx
10'·""°
tarr'(sen e)
4x)'
(2
In(x
(x
tan 5x 5)
cot(3x
60.
(cos x)·'
serrx
31
xy
'=sec(I
28
2x}
9.
7.
)'
22
e"
35
20
sen 2y
>. "'
27r, la
2)'2
te
Si I(x)
demu stre qu I'(x)
= + + -
f(x)
n(cosh 3x)
5.
7.
coshltsenh x)
9.
cos(e~)
6.
68
2x
cos 2x
tanh serr'(cosc/sen
7TX)
obteng la ormula co respondi nt sen(x
51
Si f(l)
.J4t+l,
encuentr
1"(2).
- b
a)
sen
cos
obteng la 6rmula de la di i6
pa cos
la funcio
seno
sen
para la funci6
oseno.
IIII 9. Supong qu hex) (g)g(x) g(2) 5, g'(2) 4,f'(2) /1'(2)
F(x)
dondef(2)
(g(x»,
(b Encuentr C'(t), la rapide en la circulaci6n
3,
f'(5)
on qu el medicarn nt
263
se disipa
(b) F'(2).
sify
st f(x)/g(x)
P'(2), (b) Q'(2)
C(x)
f(g(x).
s e PCx) ntre (a
e-
(e) C'(2).
cos(wt
0) r ep r es en t
objeto. E nc u n tr e
de objeto
10
es
II
,I
son constante
by
;. 0, dond
c+t",
positivas,
1"'.11
II
mo tigu da de un
la aceleracion
ve oc da
II
(b) Demuestre
I"'.
o sc il ac io n
partfcula
s i e m p r e se despla
direccion
positiva,
I"'. .1
es 71-7
Encuentr
g'.
f'
71 fix)
xZg(x)
2. f(x)
73 f(x)
[g(x)]Z
74. f(x)
g(g(x»
gee')
76. f(x)
eg(d
f(x)
77 f(x)
(x)g(x)
1 (x )
se
tf
cuando haci
ie
(d Gr fiqu fa funcione para 0,,;;: t";;: 3.
3.
posi ion, velocida
celeraci6n
(e l,Cuando aumenta su rapidez fa partfcula l.Cuando disrninuye su rapide ,,;; ,,;;: 3?
90
80. hex)
es Ia altura. del volumen constante.
4x
io
.r [-
kilogramos, donde
promedio: [1, 2]
id ma
instantanea:
la ra 6n de ambi
=4m.
5?
tf
calculando f'ex)
C(x)
f'(5).
In (x
83
4y ecuacion
que p a Hall un parabola
(1, 4) pendient
para la
(a
ernu st
c ur v
0.OZ.\"2
de cost iq
3.
ic
0.00007 X3
marginal producir
iv
ia
ti
el
celulas
r av e de origen x?
bx
horas. tengan
(b) Calcular
-2 rcspcctivamente
86 La uncion Crt) si instante saugufneo.
te
2.
(c Compar C'( rticul 10 I.
la curva
84
920
(a Encuentr
4)]
horizontal?
tr
dond
mJ.h!3, cambio
82. (a) Dibuje la funci6nf(x
de f'(2)
;. O.
abajo?
«.
79. 11 0;
81
(b l.Cuando se mu ve haci ar ib la pa tfcula
y(-t
f(x)
g(x)
79-81 Halle h'
3, le
,,),
donde
a,
0,
el rnimero la
(d l,Clland la pobl ci6n al an
son constante
despues
10 OOO?
4. (a) Hallar la rnasa
qu Ifm,_. CIt)
de baeteria im
O.
muestra
ru
IIII
264
E GL A
5. Sea C(t) la
sangufneo. Cuando el cu rp disrninuye
D E I VA CI O
ic elirnina
rapidez
to medi am nto,
proporcional
te
rn102.
C(t)
l a c a n i da d
(b) Ilustre el inciso ( a ) g r a fi ca n d o i,
t. En stos
terminos C'(t) -kC(I), donde denominado constant de eliminacio del medicamento, es lu oncent aci6 el ti mp
para elirninar
40°C
7.
razon de
cm /min.
ia
la
i,Qu ta rapido
10 en el
lineal. in
2X2
I,
.2.
dx
105.
media hora, (b i,Cu nd se nf iara el chocol te
papel tiene la
la aproximacion i6
x~
linealizacion
Enunci
104. Evalue dy si
8.
25
de f(x) 3x en la aproximaci6n lineal carrespondient usela \11.03. lo lo im
103.
t.
i,cuanto tiempo transcurre medicamento,
lineal de f(x)
aproximacion
un ancho de
m , con un
lc
Ia
i6
la li
106-108
un
le
te
mo
evaluelo.
ern,
del
106. Hm----,.-,1
lo
te
i,
nino va
ta
108.
cos
05 TT/3
0-.,,/.1
tr
ma tarde?
tan
109. Evalue lim -'-------,;-'-----
sen Xl
deja I n r am p a f(g(x))
que g'(x)
f'(x) x~). 1/(1
[j(x)y
Dernuestre
111 Encuentre f'(x)
101. EI angulo
de eievacion
razon
rad/h,
112. Demuestr angulo
es T T / 6 ?
io
tangente
qu In la astroide
de coordenada
tu X2/3
es constante.
y2/J
limitada pOI'los ejes
x"
E JE JE M PL PL O
x"? tocan
la
arab arab las. las. ra
SOLUtiON
ro
parabolas
las ia
elaborar
x"
to ue s6
prirnera
eje x). Si trata
ta
te
parabo bola las, s, pron pronto to descubrira a m b a s para
Sea coordenada
x. E s m u
habe habe esco escogi gido do rq Despues, como la
la
mp
escoger la nota notaci ci6n 6n para para
an
Mu
il
a.
XI
la
i6
esta en la parabola
feri feri
ta PQ con l a p e nd nd ie ie n t
Si f(x)
en
la.) la.) a' Debido
su coordenada
a,
su bien bien podi podi
a::')).
de Ia tang tangen ente te en P.
sf ti
es f'(a)
caso
la
2a. Por
ta
---=2a
reso resolv lver er
st ec aci6 aci6
to (-1,2)y(l,-2). E JE JE M P L
ti ne
2(1::',por 10 que tr -2).
(I
~Para c ua ua l
va or
ya
(/2
de
ie n x::' t ie
:.!:
1. Po
una
e xa xa c a m en en t
soluci6n? 50LU(l(iN
dibujar
in tu
ic
ia rm la
te
cos, cos, como como sigue: ~Para c ua ua l
va or
de
la curva
mpie mpiece ce po traz trazar ar la graf grafic icas as de cx Sa que, que, para para ¥- 0, ab jo si .En posi positi ti os de c.
io In
rm te rnin rnin
interseca la curva
para dive divers rs x::' para
valo valore re
ex c.
y, haci haci la
la In
x"
ar vari varies es valo valore re tr
en arti articu cula lar, r, io G U
enot enot 2,
ig co {/l coor coorde de ad
eI
to
~A
AD C:
NAl
'
comu comu cuan cuan dien diente te cuan cuando do
a. a. Por 10 tanto, ea
ca?
obtiene ne 2ea, se obtie
1/a
In De dond donde, e,
2e
1/2
y=lnx
In
In
1/2
2e
(/2
ex" parabolas)' lvid lvid 10 ex ct ment ment un vez,
O.La curv curv
r, lo
1. Dete Determ rmin in
son
lo punt puntos os
cual CLUz CLUz x, el cual
.1."2
1!(2e)
vas
punt el punt
dond dond
ie la tang tangen ente te corm cormin in
la cu va in
ro
lu tr
cot
(x x) ta i6
la
ax
qu sen"x
equi equila late tero ro
3.l:
parabola
dx
LJ
ABC for-
con coorde coordenad nadasasDemues estr tr 4. Demu
O.
sobr sobr la para parabo bola la se un tria triang ngul ul
2. Dete Determ rmin in
"s;
___ 0_0_ S_S _ 2X2X _ tan
_)
bx
en do punt puntos os cual cuales esqu quie iera ra q.
ADIC ADIC Demu Demues estr tr
qu sensen-I( I(ta tanh nh x)
an-\senh
.r},
l.
te
to
00
origen,
vehfculo i l
----------~+-~--------~~
estatua?
d"
7.
cosix)
dx"
,,-1cos(4x
eter etermi mine ne la »-es »-esir irna na deri deriva vada da de la func funci6 i6 9.
wr1"/2).
f(x)
ncue ncuent ntre re el
cfrculo
cent centro ro de cfrc cfrcul ulo. o.
10 Si
a, donde
ie irn
X-~(J
/,(a):
un leva leva x,
de long longit itud ud
>:
r:
J(l
vX
m. EI pasa pasado do
10 l a
io
te
.2 rueda
il
minuto. da
0=71"/3. b) xpre xprese se la dist distan an ia
lO
P,
id Se traz traz
Iu re ta T2 en
dt,
tang tang ntes ntes TI T2 otra rect rect tang tangen ents ts P. Se tr za otra Demu Demues estr tr
PI
in sobr sobr
la para parabo bola la PI
se
qu
emue emuest stre re qu d"
dx"
en dond dond
ah i 4. E v ah
I ir ir n - --- );-'IT
so mime mimero ro
sen bx
posi positi tive ves, s, re
r'le'" sen(bx ae
an-\b/a).
7T
26
lE 15
Sean
la rectas tangente
YII' la inters ccione
x"/9
ip
x-
//4
cu lqui
Yr
punt y,
de X,
de N. Conforme
so
y,v? En prim
ir
lugar, intent
ir
sen(3
16
:r~~O
17
io
y)
(x
mo tr
l o a, despues 111,
tan a:
"-
//llm2
donde
Ill,
ie
i1l2
ntre la
ecta tang ntes C, ta de interseccion
punt (I) (ii)
Sen Pix, parabola
L,
en
1,
respectivarnente.
si esta
ecta tangente existen)
2?
x"
)'2
el segmento rectilineo
on fo F(p, 0). Sea ngul ntre la ecta hori onta
se f3 a:
lu
x. faro delanteros de autornoviles
268
se el in is
paraboloides, espejo
para telescopios.
y,
a)
