Cambios de Base Bases Coordenadas Aplicaciones en MatLab R. Pardo M. Salas Departa Depa rtamento mento de Ingen I ngenier´ ier´ıa ıa Universidad Privada Boliviana 27 de junio de 2013
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´ Indice 1. Introducci´ on
1.1. 1.2. 1.3. 1.4.
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transfotmaciones de coordenadas . Traslacion de ejes de coordenadas . Rotacionde ejes de coordenadas . . Cambio de base . . . . . . . . . . .
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2. Aplicaciones en MatLab
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2.1. Cambios de Base y Rotaci´ on de ejes . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Bases Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Conclusiones
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´ Indice de figuras 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Punto Inicial . . . . . . . . . . . . . . Punto Final . . . . . . . . . . . . . . . Gr´afico en distintas coordenadas . . . Giro Inicial . . . . . . . . . . . . . . . En los 360 grados . . . . . . . . . . . . Giro en sentido contrario . . . . . . . . La figura con sus nuevas coordenadas .
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. 6 . 6 . 8 . 8 . 9 . 9 . 10
Resumen
En el art´ıculo que veremos a continuaci´ on, podremos apreciar diferentes funciones del software MatLab. Nos enfocaremos primordialmente a los cambios de base y a las bases coordenadas; donde mostraremos diferentes ejemplos de como podemos calcular y demostrar esta funciones vectoriales en MatLab.
1. 1.1.
Introducci´ on transfotmaciones de coordenadas
Una transformaci´on es una operaci´on por la cual una relaci´on, expresi´on o figura se cambia por otra siguiendo una ley dada. Anal´ıticamente la ley se expresa mediante una o m´as ecuaciones llamadas ecuaciones de transformaci´on.
1.2.
Traslacion de ejes de coordenadas
Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen,es el punto (h , k), y si las coordenadas de cualquier punto antes y despu´es de la traslaci´on son (x , y) y ( x’ , y’) respectivamente, las ecuaciones de transformaci´on del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son:
1.3.
x = x ′ + h
(1)
x′ = −h
(2)
y = y ′ + h
(3)
y ′ = y
(4)
−
h
Rotacionde ejes de coordenadas
Si los ejes coordenados giran un ´angulo ? en torno de su origen como centro de rotaci´on y las coordenadas de un punto cualquiera P antes y despu´es de la rotaci´ on son (x, y) y (x’, y’) respectivamente, las ecuaciones de transformaci´on del sistema original al nuevo sistema est´an dadas por:
1.4.
x = x ′ cos(α) + y ′ sen(α)
(5)
y = x ′ sen(α) + y ′ cos(α)
(6)
Cambio de base
Sea W un espacio vectorial de V , B 1 = w 1....wn, B 2 = w 1...wn dos bases de W. Dado un vector w que pertenece al espacio vectorial V ,sab´emos que existen unos u ´ nicos escalares x 1.....xn, B 1......Bn pertenecen a V tal que : v= v1 . . . vn
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v1 . . . . . . vn
por otro lado cada vector be B1 e puede expresar con una combinaci´on lineal de B2 esto es: v1 . . . vn
=
u1 . .. x1 . . .
... ... . ..
xn
un
xm ... xn ∗ m
Entonces v=
v1 . . . vn v1 . . . . . . vn
y esto es igual a:
x1 . . .
... ... . ..
xn
xm ... xn ∗ m
Se llama matriz de cambio de coordenadas (de base) de B1 a B2 y tiene coordenadas de los vetores de la base B1 en la base B2 escritas por columnas. Es decir,en la primera columna apareen en las coordenadas de v1 en la base B2, en la segunda columna viene las coordenadas de v2 en la base B2, y asi sucesivamente.Lo denotaremos or M de base B1 y B2. Ejemplo.- Si tomamos el R-espacio vectorial R4 y las bases, B1 = (1,1,1,1),(0,1,1,1),(0,0,1,1),(0,0,0,1)
y B2 = (-1,1,1,1),(0,1,1,1),(0,0,1,1),(0,0,0,1) la matriz de cambio de coordenadas B1 a B2 cuando empleamos la notaci´on por columnas viene dada por:
1 2 0 −
0
2.
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Aplicaciones en MatLab
A continuaci´on presentaremos algunos ejemplos de como podemos demostrar los cambios de base, bases coordenadas y rotaci´on de ejes.
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Figura 1: Punto Inicial
Figura 2: Punto Final
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2.1.
Cambios de Base y Rotaci´ on de ejes
En el editor: A=[cos(45) sin(45);-sin(45) cos(45)] B=[6;2] C=A*B En el command window: A= 0.5253 0.8509 -0.8509 0.5253 B= 6 4 C= 6.5555 -3.0041 P1=[0 0;6 4]; a=45; an1=a*pi/180; axis square set (gca,’nextplot’,’replacechildren’); grid on axis([-5 5 -5 5]) for q=0:0.01:an1 A1=[cos(q) sin(q);-sin(q) cos(q)]; X1=A1*P1; fill(X1(1,:),X1(2,:),’r+’) pause(0.1) end Graficamente:
Punto inical: [V´ease la Figura 1] Punto luego de la rotaci´on: [V´ease la Figura 2]
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Figura 3: Gr´afico en distintas coordenadas
Figura 4: Giro Inicial
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Figura 5: En los 360 grados
Figura 6: Giro en sentido contrario
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Figura 7: La figura con sus nuevas coordenadas
2.2.
Bases Coordenadas
En el editor: clear load rai.txt x = rai(:,1); y = rai(:,2); z = x; z(:)=1; Q=20; q=(Q/180)*pi; tx=10; ty=1; sx=3; sy=2; At=[1 0 tx ; 0 1 ty ; 0 0 1]; Ar=[cos(q) -sin(q) 0 ; sin(q) cos(q) 0 ; 0 0 1]; As=[sx 0 0 ; 0 sy 0 ; 0 0 1]; X=[x y z]; X1=Ar*As*At*X’; hold on axis equal grid on fill(x,y,’r’) fill(X1(1,:),X1(2,:),’b’)
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Graficamente: [V´ease la Figura 3]
C´ odigo para una figura en movimiento: A continuaci´ on observaremos un c´odigo para un texto que gira 360 grados, y una vez realizada la vuelta, este gira en sentido contrario nuevamente 360 grados. Y finalmente este cambia sus coordenadas ,trasladandose a un nuevo punto. En el editor: clear load rai.txt x=rai(:,1); y=rai(:,2); z=x; z(:)=1; Q=20; q=(Q/180)*pi; tx=1; ty=1; sx=3; sy=2; At=[1 0 tx ; 0 1 ty ; 0 0 1]; Ar=[cos(q) -sin(q) 0 ; sin(q) cos(q) 0 ; 0 0 1]; As=[sx 0 0 ; 0 sy 0 ; 0 0 1]; X=[x y z]; X1=Ar*As*At*X’; hold on axis equal grid on fill(x,y, ’r’) axis square set (gca, ’nextplot’,’replacechildren’); load rai.txt grid on axis([-10 10 -10 10]) for q=0:.01:2*pi a=[cos(q) -sin(q);sin(q) cos(q)]; X1=a*rai’; fill(X1(1,:),X1(2,:), ’r’) pause(.005) end axis square set (gca, ’nextplot’,’replacechildren’); load rai.txt grid on 11
axis([-10 10 -10 10]) for q=0:.01:2*pi a=[cos(q) sin(q);-sin(q) cos(q)]; X1=a*rai’; fill(X1(1,:),X1(2,:), ’r’) pause(.005) end axis square set (gca, ’nextplot’,’replacechildren’); load rai.txt grid on axis([-10 10 -10 10]) q=pi/4; a=[cos(q) -sin(q);sin(q) cos(q)]; X1=a*rai’; fill(X1(1,:)+3,X1(2,:)+3, ’r’) pause(.005) Graficamente:
Giro Inicial: [V´ease la Figura 4] En los 360 grados: [V´ease la Figura 5] Giro en sentido contrario: [V´ease la Figura 6] La figura con sus nuevas coordenadas: [V´ease la Figura 7]
3.
Conclusiones
Una vez m´as tenemos que destacar el trabajo del software MatLab, podemos ver su capacidad a la hora de desarrolar distintas funciones que nos ayudan a resolver y demostrar los diferentes problemas de algebra lineal en su totalidad. Pudimos observar como funcionas las bases coordenadas, tener un mejor estudio de los ejes en 2D y 3D, ademmas calcular de forma te´orica algunos ejercicios. Sin duda es un art´ıculo indispensable para futuros conocimientos.
Referencias [1] http://www.ma.uva.es/ ~antonio/Industriales/Apuntes_09-10/ MatI/05_Tema-04_09-10.pdf
[2] http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-27a.pdf [3] http://www.slideshare/transformcionesdecoordenadas.net [4] http://www.wikipedia/cambiodebases.com
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