Cálculo Vectorial Problemas Resueltos 3ra Edicion Anthony Tromba, Jerrold Marsden.pdf

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CALCULO PROBLEMAS RESUELTOS TERCERA

DE JERROLD E. MARSDEN Y ANTHONY J. TROMBA

PREPARAD O POR

PAO Y

Versió Versión n en español e spañol de de Hernández García

Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad

Mé xi c o

*TODO *TO DO LO QUE QUIERES QUI ERES SABER PARA PARA HACER LA TAREA TAREA ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA Argentina Brasil Chile Estados Unidos Unidos México Perú

Ecuador Puerto Rico Venezuela


Versión en español de la obra Study Guide for Vector Calculus, Third Edition, by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba, prepared by Karen Pao and Frederick Soon, publicada originalmente en inglés por W. H. Freeman and Company, E.U.A. O 1988 por W. H. Freeman and Company. Esta edición en español es la única autorizada.

generada por fue creada por James instalaciones del por James

de la mínima de imagen en la of Massachusetts, Amherst, con las Analysis Numerics and Graphics Group. Copyright 1986

ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA Sáo

Casilla

7, 74

3 bajo, 7 Jacob Way,

dc 78014.

01867, E.U.A. México, D.F. 14000, Mfx ico 79853, Rico 00939 Apartado Postal Caracas 1050-A,

O 1993 por Addison Wesley Iberoamericana, S. A. Wilmington, Delaware, E.U.A. -

Impreso en Estados Unidos. Printed in U.S.A. ISBN 0-201-62564-4


Cómo usar este libro vii Agradecimientos vii

Capítulo 1

La geometría del espacio euclidiano 1

Capítulo

2

Diferenciación 27

Capítulo

3

Funciones con valores vectoriales 63

Capítulo 4

Derivadas de orden superior; máximos

Capítulo

Integrales dobles 105

Capítulo 6

Integral

Capítulo 7

Integrales sobre trayectorias y superficies 157

Capítulo 8

Teoremas integrales del análisis vectorial 187

Capítulo 9

Ejemplos de exámenes 211

Apéndice

Respuestas a los ejemplos de exámenes 219

y

mínimos 81

fórmula de cambio de variable y aplicaciones 125


USAR ESTE LIBRO El propósito de esta guía de estudio es ayudar a entender el cálculo vectorial. Hemos organizado los capítulos y secciones de manera que correspondan al libro vectorial de Marsden y Tromba, tercera edición. Cada sección contiene objetivos, recomendaciones para el estudio y (lo más importante) soluciones de los ejercicios seleccionados. Además, hemos escrito cuatro ejemplos de exámenes. Los objetivos son un resumen corto de lo que debes aprender en cada sección y de lo que debes entender antes de pasar a la siguiente. Los objetivos también deberían ayudarte a repasar para los exámenes. Las recomendaciones el estudio son definiciones y hechos que debes tener presentes cuando hagas las tareas. También contienen advertencias sobre los errores más comunes. En las soluciones hemos elegido algunos ejercicios y se han trabajado. Algunas veces te pedimos que verifiques algo o que completes algún detalle, pero la mayoría de nuestras soluciones son tan completas como es posible. Sin embargo, no trabajamos los problemas de modo que los puedas copiar y presentarlos como tu trabajo. Eso es trampa. Nosotros (así como tus profesores) pensamos que las matemáticas no son un deporte para expectadores. Para entender qué pasa debes hacer ejercicios. Si te has perdido (o te has dormido en clase, como alguno de nosotros siempre hizo), trabajar sobre las soluciones detalladas puede ayudarte a encontrar el camino de regreso. Si te sientes inseguro antes de los exámenes, la mejor manera de estudiar es hacer ejercicios y problemas adicionales y comparar tus respuestas con las nuestras. Si eres estudioso y quieres hacer ejercicios adicionales, no tienes por qué hacerlos a ciegas ya que hemos proporcionado muchas soluciones. Aun si sólo hojeas nuestro pequeño libro diez minutos antes del examen, sentirte más seguro respecto al cálculo vectorial! Te deseamos mucho éxito.

AGRADECIMIENTOS

Deseamos agradecer a los profesores Marsden y Tromba que nos dieran la oportunidad de escribir este libro. Damos las gracias de manera muy especial al profesor Marsden, quien nos permitió usar su Macintosh Plus y todos los programas y accesorios necesarios, leyó meticulosamente el manuscrito e hizo muchas correcciones y sugerencias valiosas. También queremos agradecer a Andrew Hwang, quien proporcionó muchas de las soluciones y a Sean Bates por sus contribuciones. Karen Pao Frederick Soon


EUCLIDIANO 1.1

Vectores en el espacio tridimensional

OBJETIVOS 1. Poder realizar las siguientes operaciones con vectores: suma, resta y multiplicación por un escalar. 2.

Dados un vector y un punto, saber encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto y que tiene la misma dirección del vector.

3.

Dados dos puntos, encontrar la ecuación de la recta que pasa a través de éstos.

RECOMENDACIONES PARA EL ESTUDIO Notación sobre espacios. El símbolo R o representa al conjunto de todos los puntos de la recta real o a un espacio de dimensión es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) que están en el plano, un espacio de dimensión 2. representa al conjunto de todas las ternas ordenadas (x, y,z) que están en un espacio de dimensión 3. En general, el exponente en R " indica cuántas componentes tiene cada vector. "

"

2.

Vectoresy escalnres. Un vector tiene longitud (magnitud) y dirección. Los escalares son sólo números. Los escalares no tienen dirección. Dos vectores son iguales si y sólo si tienen la misma longitud y direc ción. Sus gráficas no necesitan partir del mismo punto. Los vectores de la figura son iguales.

3.

Notación vectorial. Un vector se denota a menudo con letra negrilla, letra subra. . . x,,). El elemento de la yada, una flecha sobre la letra, o con n-ada se llama componente. la n-ada puede representar un punto o ,



VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

1.1

3

8. Rectas. (a) La recta que pasa por a en la dirección de v es a + tv. Ésta se llama forma punto-dirección de la ecuación de la recta porque la única información necesaria es el punto a y dirección v. (b) La recta que pasa por a y b es a + t(b - a). Ésta se llama forma punto de la ecuación de la recta. Para ver si la dirección es correcta, debes hacer t O y obtener el primer punto. Haz t 1 y obtén el segundo punto. =

=

=

9.

=

de generadores de espac io. Si todos los puntos de un espacio se pueden escribir de forma + donde son escalares, entonces los +...+ vectores . . v,, generan el espacio dado. Por ejemplo, los vectores y j generan al plano xy. ,

10.

geométricas. Una demostración se puede simplificar con el uso de vectores. Trata de comparar los métodos vectoriales con los no vectoriales haciendo el ejemplo 7 sin vectores.

11. Resolirción Como los vectores tienen magnitud y dirección, se pueden representar Por lo tanto, con frecuencia es útil hacer un diagrama con objeto de visualizar un problema vectorial. SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

1. Debemos resolver

Obtenemos x

=

ecuaciones siguientes:

4yy

=

17, de manera que

-

=

(-25, 17).

4. Convertimos -4i + 3j en (-4, 3, O), de manera que

.

X

. ...

En el eje y los puntos tienen coordenadas de la forma (O, y, O), por lo tanto, debemos restringir los valores de x y z a O. En el eje los puntos tienen coordenadas de forma (O, 0, z), por lo tanto, debemos restringir los valores de x y a O. En el plano los puntos tienen coorde nadas de la forma (x, O, z), Por lo tanto, debemos restringir el valor de y a O.




























































































































































































































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