CALCULO PROBLEMAS RESUELTOS TERCERA
DE JERROLD E. MARSDEN Y ANTHONY J. TROMBA
PREPARAD O POR
PAO Y
Versió Versión n en español e spañol de de Hernández García
Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad
Mé xi c o
*TODO *TO DO LO QUE QUIERES QUI ERES SABER PARA PARA HACER LA TAREA TAREA ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA Argentina Brasil Chile Estados Unidos Unidos México Perú
Ecuador Puerto Rico Venezuela
Edi tion, by Jerrold Jerrold Versión en español de la obra Study Guide for Vector Calculus, Third Edition, E. Marsden and Anthony Anth ony J. Tromba, Tromba, prepared prepared by Karen Karen Pao and Frederick Frederick Soon, publipublicada originalmente en inglés por W. H. Freeman and Company, E.U.A. O 1988 por W. H. Freeman and Company.
Esta edición en español es la l a única autorizada.
generada por fue creada cre ada por James instalaciones del por James
de la mínima de imagen en la of Massachusetts, Amherst, con las Analysis Numerics and Graphics Group. Copyright 1986
ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA Sáo
Casilla
7, 74
3 bajo, 7 Jacob Way,
dc 78014.
01867, E.U.A. México, D.F. 14000, 14000, Mfx ico 79853, Rico 00939 Apartado Postal Caracas 1050 -A,
Iberoamericana, S. A. O 1993 por Addison Wesley Iberoamericana, Wilmington, Delaware, E.U.A. -
Impreso en Estados Unidos. Printed in U.S.A. ISBN 0-201-62564 62564--4
Cómo usar este libro vii Agradecimientos vii
Capítulo 1
La geometría del espacio euclidiano 1
Capítulo
2
Diferenciación 27
Capítulo
3
Funciones con valores vectoriales 63
Capítulo 4
Derivadas de orden superior; máximos
Capítulo
Integrales dobles 105
Capítulo 6
Integral
Capítulo 7
Integrales sobre trayectorias y superficies 157
Capítulo 8
Teoremas integrales del análisis vectorial 187
Capítulo 9
Ejemplos de exámenes 211 211
Apéndice
Respuestas a los ejemplos de exámenes 219
y
mínimos 81
fórmula de cambio de variable y aplicaciones 125
USAR ESTE LIBRO El propósito de esta guía de estudio es ayudar a entender el cálculo vectorial. Hemos organizado los capítulos y secciones de manera que correspondan al libro vectorial de Marsden y Tromba, tercera edición. Cada sección contiene objetivos, recomendaciones para el estudio y (lo más importante) soluciones de los ejercicios seleccionados. Además, hemos escrito cuatro ejemplos de exámenes. Los objetivos son son un resumen corto de de lo que debes aprender en cada sección se cción y de lo que debes entender antes de pasar a la siguiente. Los objetivos también deberían ayudarte a repasar para los exámenes. Las recomendaciones el estudio son definiciones y hechos que debes tener presentes cuando hagas las tareas. También También contienen advertencias sobre los errores erro res más comunes. En las soluciones hemos elegido algunos ejercicios y se han han trabajado. Algunas veces te pedimos que verifiques algo o que completes completes algún detalle, pero la mayoría de nuestras soluciones soluciones son tan tan completas como es posible. Sin embargo, no trabajamos los problemas de modo que los puedas copiar y presentarlos como tu tu trabajo. Eso es trampa. Nosotros (así como tus profesores) pensamos que las matemáticas no son un deporte para expectadores. Para entender qué pasa pasa debes hacer ejercicios. Si te has perdido (o te has dormido en clase, como alguno de nosotros siempre hizo), trabajar sobre las soluciones detalladas puede ayudarte a encontrar encontrar el camino de regreso. Si te sientes inseguro antes de los exámenes, la mejor manera de estudiar es hacer ejercicios y problemas adicionales y comparar tus respuestas con las nuestras. Si eres estudioso y quieres hacer ejercicios adicionales, no tienes por qué hacerlos a ciegas ya que hemos proporcionado muchas soluciones. Aun si sólo hojeas nuestro pequeño libro diez minutos antes del examen, sentirte más seguro respecto al cálculo vectorial! Te deseamos mucho éxito.
AGRADECIMIENTOS
Deseamos agradecer a los profesores Marsden y Tromba que nos dieran la oportunidad de escribir este libro. Damos las gracias de manera muy especial al profesor Marsden, quien nos permitió usar su Macintosh Plus y todos los programas y accesorios necesarios, leyó meticulosamente el manuscrito e hizo muchas correcciones y sugerencias valiosas. También También queremos agradecer a Andrew Andrew Hwang, quien proporcionó muchas de las soluciones y a Sean Bates por sus contribuciones. contribuciones. Karen Pao Frederick Soon
EUCLIDIANO 1.1
Vectores Vectores en el espacio tridimensional tridimensional
OBJETIVOS operaciones con vectores: suma, resta y multiplicación 1. Poder realizar las siguientes operaciones por un escalar. 2.
Dados un vector y un punto, punto , saber encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto y que tiene la misma misma dirección del vector.
3.
Dados dos dos puntos, encontrar la ecuación de la recta r ecta que pasa a través de éstos.
RECOMENDACIONES PARA PARA EL ESTUDIO ESTUDI O Notación sobre espacios. El símbolo símbolo R o representa al conjunto de todos los puntos de la recta real o a un espacio de dimensión es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) que están en el plano, un espacio de dimensión 2. representa al conjunto de todas las ternas ordenadas (x, y,z) que están en un espacio de dimensión 3. En general, el exponente en R " indica cuántas componentes tiene cada vector. "
"
2.
Vectoresy escalnres. Un vector tiene longitud (magnitud) y dirección. Los escalares son sólo números. números. Los escalares no tienen dirección. dirección . Dos vectores son iguales si si y sólo si tienen la misma longitud y direc ción. Sus gráficas no no necesitan necesitan partir del mismo punto. Los vectores de la figura son iguales.
3.
Notación vectorial. Un vector se denota a menudo con letra negrilla, letra subra. . . x,,). El elemento de la yada, una flecha sobre la letra, o con n-ada se llama componente. la n-ada puede representar un punto o ,
VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
1.1
3
8. Rectas. (a) La recta que pasa por a en la dirección de v es a + tv. Ésta se llama forma punto -dirección de la ecuación ecuación de la recta porque la única información necesaria es el punto a y dirección v. (b) La recta que pasa por a y b es a + t(b - a). Ésta se llama forma punto de la ecuación ecuación de la recta. Para ver si la dirección es e s correcta, debes hacer h acer t O y obtener el primer punto. Haz t 1 y obtén el segundo punto. =
=
=
9.
=
de generadores generadores de espac io. Si todos los puntos de un un espacio espaci o se pueden pueden escribir de forma + donde son escalares, entonces los +...+ vectores . . v,, generan el espacio dado. Por ejemplo, los vectores y j generan al plano xy. ,
10.
geométricas. Una demostración se puede simplificar simplificar con el el uso us o de vectores. Trata de comparar compa rar los métodos vectoriales vectoriales con los no vectoriales haciendo haci endo el ejemplo 7 sin vectores.
11. Resolirción Como los vectores tienen magnitud y dirección, se pueden representar Por lo tanto, con frecuencia es útil hacer un diagrama con objeto de visualizar un problema vectorial. SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS
1. Debemos resolver
Obtenemos x
=
4yy
ecuaciones siguientes: siguientes:
=
17, de manera que
-
=
(-25, 17).
4. Convertimos -4i + 3j en (-4, 3, O), O), de manera que
.
X
. ...
En el eje y los puntos tienen coordenadas de la for f orma ma (O, y, O), por lo tanto, debemos restringir los lo s valores de x y z a O. En el eje los puntos tienen coordenadas de forma (O, 0, z), por lo tanto, debemos restringir los valores de x y a O. En el plano los puntos tienen coorde nadas de la forma (x, O, z), Por lo tanto, debemos restringir el valor de y a O.
