Campos vectoriales
Laboratorio de Electricidad y Magnetismo 1 LF–321 Marlon Recarte
Depart Dep artame amento nto de F´ısica ısi ca UNAH-VS
Campos vectoriales
C´ alculo vectorial con matlab Pr´actica # 2.
Campos vectoriales
Campos vectoriales
− →
Expresamos un campo vectorial V ∈ R2 de la forma → −
V = u (x, y )ˆı + v (x, y )ˆ .
Las funciones escalares u, v son llamadas componentes del campo. Los campos vectoriales se representan con la instrucci´on >>quiver[x,y,u,v].
El comando [x,y]= meshgrid(a,b) toma dos vectores de entrada a, b y crea dos matrices bidimensionales y las asigna a las variables x e y .
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Ejemplo Graficar el campo
→ −
V = xˆı − y ˆ
en el cuadrado [−1, 1] × [−1, 1]
>>[x,y]=meshgrid(-1:0.5:1) >>u=x, v=-y >>quiver(u,v), axis square
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Campos vectoriales
− →
Expresamos un campo vectorial V ∈ R3 de la forma → −
V = u (x, y )ˆı + v (x, y )ˆ + w (x, y )ˆ κ.
Las funciones escalares u, v , w son llamadas componentes del campo. Los campos vectoriales se representan con la instrucci´on >>quiver3[x,y,z,u,v,w] .
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Ejemplo Graficar el campo
→ −
ˆ V = −xˆı + y ˆ − z κ
en el cubo [−1, 1]3
>>[x,y,z]=meshgrid(-1:0.1:1) >>u=-x, v=y,w=z >>quiver(x,y,z,u,v,w), axis square
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Gradiente de un campo escalar
El gradiente de un campo escalar f (x , y , z) se define como ∇f =
∂f ∂f ∂f , , ∂x ∂y ∂z
Podemos graficar al gradiente de f puesto que es un campo vectorial.
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Ejemplo Graficar el gradiente de [x,y]=meshgrid(-5:1:5) vx=-2x vy=-2y quiver(x,y,vx,vy);
f (x, y ) = 9 − x2 − y 2
en [−5, 5]
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contour Curvas de Nivel con el comando contour [x,y]=meshgrid(-5:1:5) vx=-2x vy=-2y quiver(x,y,vx,vy); [x,y]=meshgrid(linspace(-5,5,50)) z=9-x.^2-y.^2 hold on contour(x,y,z)
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C´ alculo del gradiente
Sea f una funci´on vectorial f (x , y , z ) = f 1 (x , y , z )ˆı + f 2 (x , y , z )ˆ + f 3 (x , y , z )ˆ κ
Se define la matriz jacabiana
J( ) = f
∂f 1 ∂x ∂f 2 ∂x ∂f 3 ∂x
∂f 1 ∂y ∂f 2 ∂y ∂f 3 ∂y
∂f 1 ∂x ∂f 2 ∂z ∂f 3 ∂z
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La matriz jacobiana se obtiene con el comando jacobian([f1,f2,f3],[x,y,z])
Las variables x, y, z deben estar definidas como variables simb´olicas. N´otese que si f es una funci´on escalar entonces J(f ) = ∇f Ejemplo Ejemplo : Calcular el gradiente de la funci´on f (x , y , z) = x2 y + ex+y · z jacobian(x^2*y+exp(x+y)*z,[x,y,z]) ans = [ 2*x*y + z*exp(x + y), z*exp(x + y) + x^2, exp(x + y)]
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Divergencia
Sea A una matriz de dimensi´on 3 × 3. A
=
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
.
Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal. Traza(A) = a11 + a22 + a33 . Entonces para una funci´on vectorial f Traza(J(F )) = Div(f )
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La traza de una matriz A se calcula con el comando trace(A)
Ejemplo Calcular la divergencia del campo V = xyˆı + zy ˆ − zx2 κ ˆ trace(jacobian([x*y,z*y,-z*x^2],[x,y,z])) ans = - x^2 + y + z
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Rotacional
Sea f una funci´on vectorial f (x , y , z ) = f 1 (x , y , z )ˆı + f 2 (x , y , z )ˆ + f 3 (x , y , z )ˆ κ
Se define el rotacional de f como ∇×
f =
∂f 3 ∂y
−
∂f 2 ∂z
ˆı +
∂f 1 ∂z
−
∂f 3 ˆ + ∂x
∂f 2 ∂x
−
∂f 1 ∂y
El rotacional puede calcularse a partir de la matriz jacobiana.
ˆ. κ
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Ejemplo Obtener el rotacional del campo V = xcos(y )ˆı + xy 2 ˆ j=jacobian([x*cos(y),x*y^2,0],[x,y,z]); rot=[j(3,2)-j(2,3),j(1,3)-j(3,1),j(2,1)-j(1,2)] rot = [ 0, 0, x*sin(y) + y^2]
