Cálculo simbólico en MatLab Boyan Bonev Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Universidad de Alicante 31 de octubre de 2011
Resumen de funcionalidades A continuación se describen varias funcionalidades del paquete de cálculo simbólico.
Paquete syms En un principio Matlab se diseñó orientado al cálculo numérico. Así, si intentamos calcular el seno de una variable no numérica:
>> y=sin(x) ??? Undefined function or variable 'x'. Matlab no conoce el valor numérico de x.
Recientemente se añadió un paquete adicional que permite a Matlab trabajar con variables simbólicas, teniendo que declararlas antes de usarlas:
>> syms x
Simpli car Ahora podemos usar expresiones que contengan a esta variable. Por ejemplo, si queremos simpli car o evaluar una expresión lo hacemos con el comando
simplify. >> y=sin(x); >> z=cos(x); >> simplify(y^2+z^2) ans = 1
Sustituir valores en la variable Para evaluar una expresión con determinado valor de la variable:
1
>> subs(x^2-x-1,-3) ans = 11
Resolver ecuaciones Para resolver la ecuación
>> solve(x^2-x-1) ans = 5^(1/2)/2 + 1/2 1/2 - 5^(1/2)/2
x2 − x − 1 = 0:
obteniendo estas dos soluciones.
Límites Con el paquete simbólico también podemos calcular límites, derivadas, integrales, etc. Para calcular el límite para
>> limit(sin(x)/x,0) ans = 1
Y un límite en el in nito de
f (x)= sin(x) x f (n) =
cuando
x
tiende a cero:
n3 +3n2 −2n : 3n3 −1
>> syms n >> limit((n^3+3*n^2-2*n)/(3*n^3-1),inf) ans = 1/3
Derivadas Para calcular derivadas usamos el comando
>> syms x >> f=x^3-cos(x)+1; >> g=diff(f) g = 3*x^2+sin(x)
diff:
Evaluar funciones Nótese que en los comandos introducidos se ha de nido la función como la función
g(x),
se pueden evaluar en un valor concreto de ejemplo, evaluamos
f (x),
así
que almacena el resultado de la derivada. Estas funciones
f (1):
>> subs(f,1) ans = 1.4597
2
x
por medio del comando
subs,
por
Integrales inde nidas Por otro lado también es posible calcular primitivas utilizando el comando
int. Si queremos calcular >> int(g) x^3 - cos(x)
la primitiva del último resultado,
g:
Integrales de nidas Para calcular integrales de nidas en un intervalo, podemos indicar los límites de éste en la función
int. Por ejemplo, para la integral de nida
´3 1
3x3 +sin(x) dx
introducimos:
>> int(3*x^2+sin(x),1,3) ans = cos(1) - cos(3) + 26 Nota: para integrales impropias utilizaremos
-inf ó inf para indicar el límite
inferior y/o superior.
Representación grá ca Podemos representar grá camente una función utilizando la función ezplot:
>> ezplot(f)
o bien tecleando la expresión directamente (pero habiendo declarado previamente
x
syms x): >> ezplot(x^3 - cos(x) + 1)
como simbólica, con
El resultado se puede ver en la gura 1. Más información en la documentación del paquete syms:
http://www.mathworks.es/help/toolbox/symbolic/index.html
Suma de series 1 2n ; su suma desde un término hasta otro, por ejemplo desde 1 hasta 3, se calcula con: Sea la serie
>> syms n >> symsum(1/2^n,1,3) ans = 7/8
La suma desde un término hasta el in nito se calcula así:
>> symsum(1/2^n,1,inf) ans = 1
3
x3 − cos(x) + 1 250 200 150 100 50 0 −50 −100 −150 −200 −250 −6
−4
−2
0 x
2
Figura 1: Resultado de la función
4
6
ezplot.
Ejemplo de análisis de una función asistido automático. Aunque podríamos automatizarlo del todo, el
A continuación se muestra un ejemplo de estudio de una función por MatLab, pero no
objetivo de la asignatura no es aprender a programar. La función a estudiar será
√ f (x) = x 4 − x2 La introducimos en MatLab, declarando previamente que la
x
debe tratarse
como variable simbólica, y no numérica:
>> syms x >> f=x*sqrt(4-x^2) f = x*(4 - x^2)^(1/2)
Nota: a lo largo de esta guía lo que el usuario introduce en matlab está marcado por >>; lo demás es la respuesta de MatLab.
Dominio, continuidad, asíntotas verticales El dominio de la función son los
2
4 − x = 0 y obtenemos >> solve(4-x^2,0) ans = 2
ecuación
x∈R
tales que
dos soluciones:
4
4 − x2 ≥ 0.
Resolvemos la
-2 Para ver si
4 − x2
es positivo o negativo en el intervalo
[−2, 2],
sustituimos
un valor que pertenezca al intervalo y otro que no pertenezca, por ejemplo el 1 y el 3:
>> subs(4-x^2,1) ans = 3 >> subs(4-x^2,3) ans = -5 Por tanto la función es negativa fuera del intervalo y positiva dentro, así que:
D(f ) = [−2, 2] La función es continua en su dominio y no tiene asíntotas verticales. Los límites del dominio son cerrados así que no hace falta estudiar los límites (sobra con sustituir en la función), pero si hubiera que hacerlo se haría con el comando:
>> limit(f,-2) ans = 0 >> limit(f,2) ans = 0
Puntos de corte con el eje y Para x = 0, >> subs(f,0) ans = 0 obtenemos que
f (0) = 0,
por tanto un punto de corte es el
(0, 0).
Puntos de corte con el eje x Para f (x) = 0 tenemos >> solve(f,0) ans = 0 2 -2
que resolver dicha ecuación:
y obtenemos tres soluciones de
(−2, 0), (0, 0)
y
x para y = 0, así que los puntos de corte son:
(2, 0).
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Asíntotas horizontales No es posible estudiar el comportamiento de la función en el in nito porque está fuera de su dominio. De haberlo sido, lo habríamos hecho así:
>> limit(f,inf) ans = i*Inf >> limit(f,-inf) ans = -i*Inf
En este caso obtenemos números complejos (la i signi ca parte imaginaria), que no pertencen al dominio real (se debe a la raíz cuadrada de números negativos).
Primera y segunda derivada Como vamos a utilizarlas repetidas veces, vamos a almacenarlas bajo los nombres f1 y f2 respectivamente. Además vamos a aplicar el comando de simpli cación con el único propósito de ver las mismas expresiones que hubiéramos obtenido a mano:
>> f1 = simplify(diff(f)) f1 = -(2*(x^2 - 2))/(4 - x^2)^(1/2) >> f2 = simplify(diff(f1)) f2 = (2*x*(x^2 - 6))/(4 - x^2)^(3/2) Las expresiones obtenidas signi can:
2(x2 − 2) f 0 (x) = − √ 4 − x2 2 2x(x − 6) f 00 (x) = p (4 − x2 )3
Crecimiento, decrecimiento y extremos locales Para obtener los puntos críticos tenemos que resolver la ecuación
f 0 (x) = 0:
>> solve(f1,0) ans = 2^(1/2) -2^(1/2) obteniendo dos soluciones:
x=
√
√ 2, x = − 2.
(Nótese que la potencia (1/2)
afecta sólo al 2, no al signo). Para ver si son extremos locales y clasi carlos, los sustituimos en la segunda derivada: >> subs(f2, 2^(1/2)) ans =
6
-4.0000 >> subs(f2,-2^(1/2)) ans = 4.0000
√ √ √ f 00 ( √2) < 0, por tanto x = 2 es un máximo local, y f 00 (− 2) > x = − 2 es un mínimo local.
obteniendo
0,
por tanto
Para ver qué valor alcanza la función en dichos extremos, sobra con sustituirlos en
f (x): >> subs(f, 2^(1/2)) ans = 2 >> subs(f,-2^(1/2)) ans = -2 Finalmente vamos a comprobar el crecimiento/decrecimiento de la función
dentro de todo su dominio, particionado por los dos extremos que hemos obtenido, es decir, en los intervalos
√ √ √ [−2, − 2), (− 2, 2)
y
√ ( 2, 2].
Para ello sobra con
que sustituyamos algún valor de cada uno de los intervalos en la pendiente es positiva o negativa, por ejempo,
−1,9, 0
>> subs(f1,-1.9) ans = -5.1561 >> subs(f1,0) ans = 2 >> subs(f1,1.9) ans = -5.1561 Por tanto: √ 0 Si x ∈ [−2, − 2) ⇒ f (x) < 0 ⇒ f (x) es decreciente, √ √ si x ∈ (− 2, 2) ⇒ f 0 (x) > 0 ⇒ f (x) es creciente, √ 0 si x ∈ (− 2, 2] ⇒ f (x) < 0 ⇒ f (x) es decreciente.
y
f 0 (x)
para ver si
1,9:
Intervalos de concavidad/convexidad y puntos de in exión La segunda derivada se anula en:
>> solve(f2,0) ans = 0 6^(1/2) -6^(1/2)
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pero de los tres, sólo el punto
x = 0 pertenece al dominio de f (x). Estudiamos
el signo de la segunda derivada a ambos lados de dicho punto, sustituyendo en -1 y 1:
>> subs(f2,-1) ans = 1.9245 >> subs(f2,1) ans = -1.9245 00 Si x ∈ (−2, 0) ⇒ f (x) > 0 ⇒ f (x) es convexa, 00 si x ∈ (0, 2) ⇒ f (x) < 0 ⇒ f (x) es cóncava. La función cambia de convexa a cóncava en x = 0,
por tanto el punto
(0, 0)
es un punto de in exión.
Representación grá ca Representamos grá camente una función utilizando la función ezplot:
>> ezplot(f, [-2.1, 2.1])
x (4 − x2)1/2
2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2
−2
−1.5
−1
−0.5
0 x
0.5
1
1.5
2
En este caso hemos indicado entre qué intervalos debe dibujarse la función, para dejar un pequeño margen de 0.1 unidades a los lados del dominio de la función.
Limitaciones Nótese que la grá ca no llega a representarse en los puntos
(−2, 0)
y
(2, 0).
Según la implementación de las funciones de representación puede haber distintas
8
limitaciones a la hora de representar. En este caso la gá ca está incompleta probablemente debido a que la pendiente de la función tiende a in nito conforme se acerca al nal de su dominio. Sin embargo no signi ca que la función no esté de nida en estos puntos. Lo podemos comprobar dibujando la grá ca en un intervalo muy pequeño alrededor del punto -2. (Nota: el cambio de curvatura en la segunda grá ca con respecto a la primera se debe a diferentes cambios de escala en los ejes x e y).
>> ezplot(f,[-2.01,-1.99]) x (4 − x2)1/2 0 −0.05 −0.1 −0.15 −0.2 −0.25 −0.3 −0.35 −0.4 −2.008 −2.006 −2.004 −2.002
−2 x
−1.998 −1.996 −1.994 −1.992 −1.99
Ningún programa de representación grá ca es perfecto. Es muy común que importantes detalles de la función no aparezcan representados debido a la escala de representación. Por tanto es arriesgado extraer conclusiones sobre una función solamente a partir de una grá ca generada por ordenador. Utilizaremos los programas matemáticos para agilizar nuestro trabajo y para comprobar los resultados pero teniendo presentes los conocimientos teóricos adquiridos en la asignatura.
Referencias Más información en la documentación del paquete syms:
http://www.mathworks.es/help/toolbox/symbolic/index.html
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