CÁLCULO CÁLCUL O
CÁLCULO
Cálculo Esenciales de... Cálculo D.R.© 2008 Lápiz Ti nta Editores, S.A. de C.V. Cda. de Semina rio No. 53 México 01780, D.F.
Teoría y problemas de: Alma Nora Arana Hernández.
D.R.© de esta edición, Editorial Santillana, S.A. de C.V. Av. Universidad #767, 03100, México, D.F. ISBN: 978-970-29-2160-8 Primera edición: abril 2008
Dirección Editorial: Clemente Merodio López. Editora en Jefe de Bachillerato: Laura Milena Valencia Escobar. Coordinación de Arte y Diseño: Francisco Ibarra Meza. Fotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón, Manuel Zea Atenco y Benito Sayago Luna.
La presentación y disposición en conjunto y de cada página del libro Esenciales de... Cálculo, son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm.802
Impreso en México.
ii
C a Cp áí tl uc ul ol os
Capítulo
1
Progresiones aritméticas y geométricas
Capítulo
2
Relaciones y funciones
19
Capítulo
3
Continuidad y límites
41
Capítulo
4
Integración
83
Capítulo
5
Matrices y determinantes
1
105
iii
Cálculo 1. Progresiones aritméticas y geométricas
1
1.1. Origen de las progresiones
1
1.2. Sucesiones
1
• Término general de una sucesión 1.3. Progresiones aritméticas • Fórmula general de una progresión aritmética
1 2 3
1.4. Interpolación de medios aritméticos
4
1.5. Progresiones geométricas
8
• Término general
9
1.6. Interpolación de términos
10
1.7. Suma de términos de una progresión geométrica
10
1.8. Suma de varios términos consecutivos de una progresión geométrica 1.9. Suma de una progresión geométrica ilimitada decreciente
13
1.10. Interés simple e interés compuesto
15
• Interés simple
15
• Interés compuesto
16
2. Relaciones y funciones 2.1. Relaciones •
19 19
Producto cartesiano
2.2. Función • Criterio para determinar si un conjunto es función 2.3. Imagen
iv
13
22 22 23
• Suprayectiva
23
• Inyectiva
24
• Biyectiva
24
• Función inversa
24
2.4. Notación
24
2.5. Operaciones con funciones
26
• Operaciones básicas
26
2.6. Composición de funciones
31
2.7. Tipos de funciones
33
• Algebraica
33
• No algebraica
33
Cálculo • Otras funciones especiales 2.8. Funciones crecientes y decrecientes
33 34
• Función lineal
35
• Función cuadrática
35
• Función cúbica
36
• Función recíproca
37
• Funciones trascendentes
38
• Funciones monótonas
39
3. Continuidad y límites 3.1. Funciones continuas y discontinuas
41 41
• Función continua
41
• Límite de una función
42
• Límite de una función continua
43
• Límite de una función discontinua
43
• Límites laterales
44
3.2. Cálculo de límites
44
• Propiedades sobre límites
44
• Otros aspectos sobre límites
48
• Límites que involucran factorización
48
• Límites que involucran racionalizaciones
49
• Límites que involucran un cambio de variable
50
• Cálculo de límites al infinito
52
• Cálculo de límites trigonométricos
54
3.3. Tangente a una curva y razón de cambio
57
• Velocidad instantánea
57
• Razón instantánea de cambio
59
• Tangente a una curva
59
• Derivada de una función en un punto
59
• Cálculo de derivadas
61
• Tangente a una curva en un punto
65
• Propiedad
65
• Derivada de una función constante
66
• Derivada de las funciones trigonométricas
66
• Regla de la cadena para las funciones trigonométricas
67
3.4. Aplicaciones de la dericada • Funciones crecientes y decrecientes
71 71 v
Cálculo • Máximos y mínimos
75
• Puntos de inflexión
75
4. Integración
83
4.1. Función primitiva de una función
83
4.2. Propiedades de las primitivas de una función
83
• Primera propiedad
83
• Segunda propiedad
83
• Tercera propiedad
84
• Integral indefinida de una función
84
4.3. Integrales inmediatas
85
4.4. Algunas estrategias de integración
86
• Propiedades integrales
89
• Segunda propiedad de las integrales
90
4.5. Integración por cambio de variable (o sustitución) 4.6. Integrales de la forma
#
a
2
– x
2
dx
4.7. Integración
92 93
• Integración directa
93
• Integración por partes
94
4.8. Cálculo integral
96
4.9. Integral definida
100
4.10. Aplicaciones de la integral definida
101
4.11. Volúmenes de sólidos
102
4.12. Volúmenes de cuerpos de revolución
103
5. Matrices y determinantes
vi
91
105
5.1. Matrices
105
5.2. Tipos de matrices
105
• Matrices cuadradas
105
• Matriz identidad
106
• Matriz nula
106
• Matriz inversa
106
• Matrices triangulares
107
• Matrices diagonales
107
Cálculo • Traspuesta de una matriz 5.3. Operaciones con matrices
107 108
• Suma y resta de matrices
108
• Propiedades de la suma de las matrices
108
• Producto de interés
109
• Producto por un escalar
110
• Propiedades del producto de matrices
110
• División de matrices
110
• Obtención de la matriz inversa
111
5.4. Determinantes
114
• Concepto de determinante
114
• Orden de los determinantes
114
• Cálculo de determinantes
115
5.5. Menor complementario y adjunto
116
• Menor complementario de un elemento de un determinante
116
• Adjunto de un elemento de un determinante
117
Respuestas
119
vii
Capítulo 1
1 1.1.
Progresiones aritméticas y geométricas
Origen de las progresiones
El origen de las progresiones, al igual que el de otras ramas de las matemáticas, es incierto. No obstante, se conservan algunos documentos que atestiguan la presencia de progresiones varios siglos antes de nuestra era. Es conocido el problema de calcular en cuánto tiempo se duplicaría una cantidad de dinero a un determinado interés compuesto, propuesto por los babilonios (2000 a.C.), lo cual hace pensar que conocían de alguna manera la fórmula del interés compuesto y, por tanto, las progresiones geométricas. En el libro IX de Los Elementos, de Euclides, aparece escrita una fórmula, semejante a la actual, de la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica. Bhaskara, matemático hindú del siglo XII, plantea en Lilavati, diversos problemas sobre progresiones aritméticas y geométricas.
1.2.
Sucesiones
Una sucesión es un conjunto ordenado de números u objetos formado de acuerdo con una ley, donde cada elemento se denomina término. Se dice que una sucesión es finita si hay un primer y un último término, y se dice que es infinita si no tiene un primer o último término. Finita: 1, 8, 15, 22, 29, 36. Infinita: 3, 7, 11, 15, 19. Cuando se habla de una sucesión cualquiera, la forma más usual de referirse a ella es escribir a1, a2, a3, a4, ..., an, a2n, an–1, an, donde los subíndices determinan el lugar que cada término ocupa dentro de la sucesión y los puntos suspensivos evitan la necesidad de escribir todos los números. Es también frecuente encontrar una sucesión simbolizada por {an}.
Término general de una sucesión
El término general de una sucesión es una fórmula que permite determinar el valor de un término dado si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma.
1. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
1
Cálculo 1.
1 3 3 4 n , , , , ...a = 2 2 4 5 n + 1
]
n
g
]
n + 1 4 16 25 2. 4, , , , ...b = n 2 3 4 n
g
2
2
3.
n 1 9 25 , 1, , 1, , ...c = 2 8 32 2 n
n
De hecho, una sucesión es una función f cuyo dominio son los Naturales. Los términos que arriba se exhiben, por decir, en el primer inciso, son las imágenes n de 1, 2, 3, 4... etc. y el término enésimo a = es la regla de correspondencia de n + 1 n la función f x = , por lo que una sucesión se considera como el estudio del n + 1 comportamiento de las imágenes de ciertas funciones. n
]g ]
g
]
g
Dependiendo de este comportamiento, se estudian las sucesiones convergentes o divergentes, es decir, el número al que se acerca la sucesión, a medida que n crece. Resuelve:
1.2.1.
¿Cuál es el término sexagésimo de la sucesión 1 , 2 , 3 , 4 ,? 2 3 4 5
1.2.2.
Escribe los seis primeros términos de la sucesión an = 3(2n–1).
1.2.3.
Continúa las siguientes sucesiones: a. -3, 0, 1 , 2 , 7, r, 13. 5 b. –1, 3, 7, 11, 15. c. 3, 6, 12, 24, 48.
1.3.
Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada elemento se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado diferencia, que se representa con la letra d . Así, si (an) es una progresión aritmética, se verifica que: an = an–1 + d
o lo que es lo mismo, la diferencia d resulta de restar el segundo término de la sucesión menos el primero y así sucesivamente, por lo que d = an–1 + an 2
Capítulo 1 a. b. c. d.
2, 4, 6, 8, 10, 12 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 10, 20, 30, 40, 50 50, 57, 64, 71
la diferencia común es 2 la diferencia común es 5 la diferencia común es 10 la diferencia común es 7
Resuelve:
1.3.1.
¿Es la sucesión 7, 5, 3, 1, –1, –3, –5... una progresión aritmética? Si lo es, ¿cuál es la diferencia?
1.3.2.
¿Es 1, 2 , 2, 2 , 3, 2 , ... una progresión aritmética?
3
5
9
Fórmula general de una progresión aritmética
La fórmula del término general de una progresión aritmética (an) se encuentra sin más que observar que: a 2 = a 1 + d a 3 = a 2 + d = ] a1 + d g + d = a 1 + 2d a 4 = a3 + d = ] a 1 + 2d g + d = a1 + 3d a 5 = a4 + d = ] a 1 + 3d g + d = a1 + 4d
Observa que en todos los casos el término correspondiente es la suma de dos cantidades: – La primera es siempre a1. – La segunda, el producto (n – 1) d .
]
g
a = a1 + n - 1 d n
Si la diferencia de una progresión aritmética es positiva, la progresión es creciente; es decir, cada término es mayor que el anterior. Si la diferencia de una progresión aritmética es 0, la progresión es constante; es decir, tiene todos sus términos iguales. Si la diferencia de una progresión aritmética es negativa, la progresión es decreciente; es decir, cada término es menor que el anterior. Los ejercicios de progresiones aritméticas consisten básicamente en hallar: 1. 2. 3. 4. 5.
Un término conocido y la distancia. Dos términos conocidos cualquiera. Los primeros términos de la progresión. Varios términos conocidos: el primero y el último (interpolación). La suma de un número determinado de términos en las condiciones de los puntos anteriores. 1. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
3
Cálculo Resuelve:
1.3.3.
Sea la sucesión 1, 3, 5, 7, 9, ¿cuál es su término general?
1.3.4.
Calcula a qué altura sobre el suelo se encuentra una persona que vive en un sexto piso, sabiendo que los bajos del edificio tienen una altura de 4 m y que entre cada dos pisos consecutivos hay un desnivel de 2.8 m.
1.4.
Interpolación de medios aritméticos
Interpolar (de inter ‘entre’ y polos ‘ejes’) n números entre otros dos conocidos a y b; consiste en construir una progresión aritmética a, a1 , a2 ,... , an , b. Para resolver este problema basta con conocer la diferencia que tiene la progresión, la cual se deduce si se considera que: 1. La sucesión tiene n + 2 términos. 2. El primer término es a y el último término an + 2 es b. Aplicando la fórmula del término general de una progresión aritmética, se tiene el siguiente desarrollo:
]
g
b = a + 6 n + 2 - 1@ d d =
b - a n + 1
Una vez conocido el valor de la diferencia, a1 se obtiene como la suma de a y d ; a2 es la suma de a1 y d , y así sucesivamente. Los números a1 , a2 ,... , an reciben el nombre de medios aritméticos. Resuelve:
1.4.1.
Interpolar cinco medios aritméticos entre –18 y 25. Encontrar la suma de la progresión 50, 57, 64, 71, S = 50 + 57 + 64 + 71 S = 71 + 64 + 57 + 50
2S = 121 + 121 + 121 + 121 S = 4
] g
4 121 = 242 2
Capítulo 1 Generalizando este método tenemos: Denotar por S n a la suma a1 + a 2 + ... + a n. Se tiene entonces: S n = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n – 2 + a n – 1 + a n.
Invirtiendo el orden, S n = a n + a n – 1 + a n – 2 + ... + a 3 + a 2 + a 1
y sumando, 2 S n = (a 1 + a 2) + (a 2 + a n – 1) + ... + (a n – 1 + a 2) + (a n + a 1). Ahora bien, por la propiedad de los términos equidistantes se sabe que: a1 + an = a2 + an – 1 = a3 + an – 2 = ... = an + a1
Por tanto, 2. S n = n (a1 + an), y despejando: S = ] a 1 + a g · n
n
n
2
Esta fórmula no sólo sirve para sumar los primeros términos de una progresión aritmética, sino para sumar términos consecutivos; por ejemplo, a5 + a6 ... + at , es necesario constatar que hay (83 – 4 = 79) 79 términos (faltan los cuatro primeros). La suma es:
]a
5
+ a 63 g ·
79 2
Es muy conocida la anécdota según la cual Carl Frederich Gauss (1777–1855), cuando contaba con diez años de edad, le propusieron en la escuela primaria de su aldea natal que sumara los 100 primeros números naturales. Ante el asombro del profesor, pues apenas éste había acabado de dictar el problema, Gauss dio la solución: 5 050. Lo que este insigne matemático observó fue que la suma 1 + 100 era igual a 2 + 99, igual a 3 + 98,... etc., es decir, sólo tuvo que darse cuenta de que contaba con 50 parejas de números, cada una de las cuales sumaba 101. Así, se limitó a multiplicar: 50·101 = 5 050
1. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
5
Cálculo Un estudiante ahorra para comprar una motocicleta. La primera semana guarda $50.00, la segunda $ 60.00, la tercera $ 70.00, y así sucesivamente por 40 semanas. ¿Cuánto dinero tendrá al final de ese tiempo? a1 = 50; d = 10; n = 40; an = ?; S 40 = ?
Solución:
Se procede a calcular el valor del último término que corresponde al valor del dinero que ahorró en la semana número 40: an = a1 + ( n – 1 ) d an = 50 + ( 40 – 1 ) 10 = 440
para calcular el total de lo que ahorró se tiene: S = ] a 1 + a n
n
]
S 40 = 50 + 440
g n 2
g 402 = 9800
La respuesta de lo que ahorró en 40 semanas es $ 9 800.00. Sumar los veinte primeros términos de la progresión: –5, 4, 13, 22, 31, 40 Solución: S20 = ] a 1 + a 20 g
d
2
La diferencia es d = 9
]
g
a 20 = -5 + 20 - 1 ·9 a 20 = -5 + 19·9 = 166
]
g
S 20 = -5 + 116 ·
20 = 1610 2
Dada la progresión aritmética 8, 3, –2, –7, –12, sumar los términos comprendidos entre a24 y a36 . Solución:
La diferencia es d = –5 a24 = 8 + 23.(–5) = –107 a36 = 8 + 35.(–5) = –167 6
Capítulo 1 Entre ambos hay 36 – 23 = 13 términos, n = 13. La suma pedida es: 13
S 13 = [(–120) + (–116)] · 2 = -1781
¿Cuántos términos de la progresión –11, –4, 3, 10, ... hay que tomar para que su suma sea 570? Solución:
Se tiene que: a1 = –11, d = 7, an = –11 + (n – 1) 7 = 7 n – 18 y S n = 570.
Se ha de calcular n:
]
g
570 = -11 + 7n - 18 ·
1 140 = 7n² – 29n 7n ² – 29n – 1 140 = 0
n
2
Se resuelve la ecuación de segundo grado: n =
^ 29 !
]
^ 29 ! 32 761 h 841 + 31 920 h 29 ! 181 = = 14 14 14
Como n ha de ser entero y positivo,
g
76 no puede ser la solución, luego n = 15. 7
-
Resuelve:
1.4.2.
En cierta escuela se efectúa una rifa con el fin de obtener fondos para un paseo; primero se hacen 100 boletos numerados del 00 al 99 y cada uno de ellos se mete en un sobre y se cierra. La persona que desee comprar un boleto escoge un sobre; el número impreso en el boleto corresponde a la cantidad de dinero que tendrá que pagar, en pesos. Por ejemplo, si al abrir el sobre el boleto marca el número 18, se tendrán que pagar $ 18.00 por él. ¿Cuánto dinero se obtendrá al vender todos los boletos? a1 = 00; d = 1; an = 99; n = 100 S 99 = ?
1.4.3.
En una fábrica hay un montón de tubos de acero acomodados en forma triangular, tal como se muestra en la siguiente figura. Si en la hilera inferior hay 57 tubos, ¿cuántos hay en total? O OO OOO OOOO OOOOO OOOOOO OOOOOOO
a1 = 1; d = 1; n = 57; an = 57; S n = ? 1. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
7
Cálculo 1.4.4.
Al final de su primer mes de trabajo, Carlos ahorra $ 500.00. A partir de entonces guarda $ 150.00 más que el mes anterior. ¿Cuánto habrá ahorrado al término de un año? a1 = $ 500.00; d = $150.00; n = 12; an = ?; S n = ?
1.4.5.
Si un alumno incrementa su lectura diaria en una página y el día de hoy lee 15 páginas, ¿cuántas páginas leerá en el día 30? a1 = 15; d = 1; n = 30; an = ?
1.4.6.
Halla el término 25 de la progresión cuyos primeros términos son: 6,5,4,3,...
1.4.7.
Halla el término 15 de la progresión a5 = –12 y a7 = –16.
1.4.8.
Halla el término 21 de la progresión a4 = –11 y d = –4.
1.4.9.
Halla la suma de los 24 primeros términos de la progresión a 4 = 15 y a7 = 24.
1.5.
Progresiones geométricas
Observemos las potencias de 10 que resultan de la sucesión an = 10n–1. 1, 10, 102, 103, 104, 105 Cada término de esta sucesión es igual al anterior multiplicado por 10. A esta sucesión se le conoce como una progresión geométrica. Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón, que se representa por r . 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. La razón común es 2 3, 9, 27, 81, 243. La razón común es 3 ¿Cuál es la razón de la progresión geométrica 3, 6, 12? La razón se obtiene dividiendo un término por el anterior: r =
8
6 =2 3
Capítulo 1 Término general
Según la definición anterior, en la progresión geométrica a1 , a2 , a3 , a4 , a5,..., an, se verifica lo siguiente: a 2 = a 1 $ r 2
a3 = a2 $ r = a 1 $ r $ r = a 1 $ r 2
3
a 4 = a 3 $ r = a1 $ r $ r = a 1 $ r
Generalizando este proceso se obtiene el término general: n- 1
a = a 1 $ r n
Donde : an:último término de la progresión a1: primer término de la progresión n: número de términos de la progresión r : razón Resuelve:
1.5.1.
Calcula el último término de una progresión geométrica que inicia con 3 y avanza con una razón de 5 si se sabe que son 8 términos:
1.5.2.
Calcula el término general de la progresión 1 , 1, 3, 9.
1.5.3.
¿Cuál es el término general de la progresión –1, 2, –4, 8, –16?
1.5.4.
¿Cuál es el quinto término de una progresión en la que a1 = 2 y r = 3?
1.5.5.
La población de cierta ciudad era de 3 000 000 habitantes en el año 1999. Si ésta aumenta cada año a un ritmo del 3.2%, determina:
3
a. El número de habitantes para el año 2005. b. El número de habitantes para el año 2009. 1.5.6. La audiencia de un exitoso programa de televisión se ha incrementado 8% mensual. ¿Qué audiencia tendrá ahora si hace 7 meses tenía 10 000 000 ? 1.5.7. Una persona consigue un préstamo de $ 20 000.00 en un banco, y la tasa de interés que se le va a aplicar es del 3.8 % mensual. Calcula la cantidad total de dinero que va a pagar en 6 meses. 1. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
9
Cálculo 1.6.
Interpolación de términos
Supongamos que queremos intercalar entre 3 y 96 cuatro números a, b, c y d de manera que estén en progresión geométrica. Tenemos que a1 = 3, a 6 = 96 y n = 6. Aplicando la expresión del término general de una progresión geométrica, se tiene que: 5
5
5
a 6 = a 1 $ r ; 96 = 3 $ r ; 32 = r ; r = 2
Por tanto, la progresión geométrica es: 3, 6, 12, 24, 48, 96. Este problema, que consiste en intercalar varios términos entre dos dados, se denomina interpolación. Los términos que hemos hallado se llaman medios geométricos o proporcionales. En forma genérica, para resolver este tipo de problemas, basta con conocer la razón que ha de tener la progresión, la cual se deduce si se considera que: 1. La sucesión tiene n + 2 términos. 2. El primer término es a y el n + 2 es b. Aplicando la fórmula del término general de una progresión geométrica tenemos: , de donde b = a $ r n+2-1
r
n+1
b
= a , r =
n+ 1
b a
Una vez conocido el valor de la razón, a1 se obtiene como el producto de r por a ; a2 es el producto de a1 por r , y así sucesivamente. Resuelve:
1.6.1.
Interpolar cuatro medios geométricos entre 128 y 4.
1.6.2.
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
1.7. Suma de los términos de una progresión geométrica
Para determinar la suma de esta progresión se genera la siguiente forma: 3 + 15 + 75 + 375 + 1 875 + 9 375 + 46 875 + 234 375 = 292 968
10
Capítulo 1 O aplicando el siguiente modelo matemático:
S = n
n
]
n
g
g
3]5 - 1g 3 390 624 1171872 = = = 292 968 5-1 4 4 8
S =
]
a 1 r - 1 r - 1
En algunos casos es conveniente utilizar la siguiente fórmula alternativa. S = n
a $ r - a 1 r - 1 n
Resuelve:
1.7.1.
Si colocas $ 1.00 en el primer cuadro de un tablero de ajedrez, $ 2.00 en el segundo, $ 4.00 en el tercero, $ 8.00 en el cuarto y así sucesivamente, duplicando cada vez la cantidad; a partir de este hecho, determina lo siguiente: a. El número de pesos del cuadro 10 y la cantidad de pesos acumulada. b. Calcula lo mismo, pero ahora en el cuadro número 17. 3 9 27
1.7.2.
Suma los quince primeros términos de la progresión geométrica 2 , 2 , 2 .
1.7.3.
Sabiendo que 3 es el primer término de una progresión geométrica y 1 875 el quinto, calcula la suma de esos cinco términos.
1.7.4.
Suma los términos comprendidos entre el tercero y el vigésimo lugar de la progresión geométrica 8, 4, 2, 1, 1 . 2
1.7.5.
Consideremos la siguiente situación: 2 ciclistas se preparan para una competencia Pablo comienza con 1 000 metros y todos los días agrega 1 000 metros más, en tanto que Emilio empieza con 200 metros y cada día lo duplica. ¿Cuántos metros recorrerá cada uno el décimo día?
1.7.6.
Dos personas acuerdan que uno dará al otro dos millones de pesos el primerdía del mes; cuatro millones al día siguiente; seis el tercero, y así, sumando diarios hasta completar el mes. Simultáneamente, el segundo dará al primero un peso el primer día; dos pesos, el segundo; cuatro el tercero, y así sucesivamente, duplicando la cantidad del día anterior, hasta cumplir el plazo asignado de treinta días. ¿Quién obtendrá mayores beneficios? 1. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
11
Cálculo 1.7.7.
1
Piénsese en una hoja de 20 mm de espesor; por lo tanto, veinte hojas bien prensadas tendrán un grosor de 1 mm. Si se dobla el papel por la mitad y luego se vuelve a doblar otra vez por la mitad, y se continúa este proceso hasta repetirlo 50 veces, ¿qué grosor tendría el trozo de papel resultante?
1.7.8.
En una progresión geométrica, el octavo término es 1 y el noveno 0.125. Si 4
esta progresión tiene 20 términos, calcula: a. el primero, b. el último y c. la suma de los veinte. 1.7.9.
El valor de un auto se deprecia 18 % cada año. Su precio original fue $ 19 000. ¿Cuánto valdrá al cabo de 9 años?
1.7.10.
Una ciudad tiene 600 000 habitantes. La tasa de crecimiento de esa población es 8 % anual. ¿Cuántos habitantes tendrá dentro de tres a ños?
1.7.11.
El valor de una mercancía se deprecia 4 % cada año. Su precio original fue de $ 19 000. ¿Cuánto valdrá al cabo de 4 años?
1.7.12.
La población de una ciudad aumenta en 35% cada 10 años. Si su población en 1940 era de 40 000 habitantes, ¿cuál será su población en el año 2000?
1.7.13.
En una progreción aritmética el quinto término es 11 , el séptimo es 7. Si tiene 3
13 términos, calcula: a. el primero, b. el último y c. la suma de los trece. 1.7.14.
Un joven ahorra cada mes $ 5 más que el mes anterior. En 5 años sus ahorros sumarán $ 9 330. Determina: a. Lo que ahorró el primer mes. b. Lo que ahorró el último mes.
1.7.15.
Un padre piensa colocar en un baúl $ 1 el día que su hijo cumpla un año e ir duplicando la cantidad todos los cumpleaños. ¿Cuánto tendrá que colocar el día que su hijo cumpla 18 años? ¿Cuánto habrá en el baúl luego?
1.7.16.
Una máquina costó $ 9 000. Se calcula que al final de cada año sufre una depreciación igual al 15 % del valor que tiene al principio de ese año. ¿Cuál será su valor al cabo de 5 años?
1.7.17. 12
El número de bacterias de un cultivo está aumentando un 25 % cada hora. Si al principio había 300 000, ¿cuántas bacterias habrá al cabo de 5 horas?
Capítulo 1 1.8.
Suma de varios términos consecutivos de una progresión geométrica
Se denotará por S n a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica, como aquí se observa: S n = a1 + a2 + ... + an – 1 + an
Para obtener una fórmula que permita hacer este cálculo de un modo rápido, se multiplican ambos miembros de la igualdad por la razón: S ·r = ] a 1 + a 2 + ... + a n
+ a g · r
n-1
S ·r = a 1 ·r + a2 ·r + ... + a n
n
n-1
·r + a ·r n
y teniendo en cuenta que al multiplicar un término por la razón se obtiene el siguiente término: S ·r = a 2 + a3 + ... + a + a ·r n
n
n
Restando a esta igualdad la primera: S ·r = a 2 + a3 + ... + a + a ·r n
n
S = a 1 + a 2 + ... + a n
n-1
n
+a
n
S ·r - S = - a 1 + a ·r n
n
]
n
g
S r - 1 = a ·r - a 1 n
n
Despejando S n. S = n
a ·r - a 1 r - 1 n
Esta fórmula que da la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica tiene otra versión igualmente útil si se expresa el término general an como a1 r n – 1: S =
a1 r
n
1.9.
n- 1
]
$ r - a 1 a1 r - 1 = r - 1 r - 1 n
g
Suma de una progresión geométrica ilimitada decreciente
Una progresión geométrica es decreciente (cada término es menor que el anterior) cuando su razón está comprendida entre 0 y 1. La progresión 8, 4, 2, 1, 1 es una 2 progresión decreciente de razón 1 . 2
1. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
13
Cálculo La relevancia de este apartado es que se trata de sumar todos los términos de la progresión y no una parte de ellos. Obsérvese que en el caso de una progresión creciente (cada término mayor que el anterior), la suma de todos los términos de la misma será infinito, independientemente del valor de los términos. No ocurre así para el caso de progresiones decrecientes. Partiendo de la fórmula
] r - 1 g ] r - 1 g n
S = a 1
donde r es un número comprendido entre 0 y 1 y n el número de términos de la progresión (infinito), la potencia r n es una cantidad tan pequeña (tiende a 0) que se puede despreciar. Recuérdese que el resultado de una potencia cuya base está comprendida entre 0 y 1 va disminuyendo a medida que aumenta el exponente. Se tiene entonces:
]0 - 1g ] r - 1 g - a S = ] r - 1 g S = a 1
1
o bien
S =
]
a 1 r - 1
g
¿Cómo se suman los términos de una progresión geométrica de razón –1 < r < 1? Si r es un número mayor que –1 y menor que 1, r n se aproxima tanto más a cero cuanto más grande sea n; matemáticamente, se expresa diciendo que r n tiende a 0. 2
b 2 l = 14 = 0.25 b 12 l = 18 = 0.125 b 12 l = 161 = 0.0625 b 12 l = 1 0481 576 = 0.0000009
Obsérvese cómo, por ejemplo, 1
3
4
20
2
Y de igual modo
b - 12 l = 14 = 0.25 b - 12 l = - 18 = - 0.125 b - 12 l = 161 = 0.0625 b 12 l = 1 0481 576 = 0.0000009 3
4
20
14
Capítulo 1 Resuelve:
1.9.1.
Calcula la suma de todos los términos de la progresión: 0.3; 0.15; 0.075.
1.9.2.
Suma todos los términos de la progresión geométrica
1.9.3.
En un triángulo equilátero de 6 metros de lado se unen los puntos medios de sus lados, lo que da como resultado otro tr iángulo inscrito en el primero. Este proceso se repite indefinidamente. A partir de este dato, calcula la suma de las áreas de todos los triángulos formados.
1.9.4.
Dado un círculo de radio r , se construye un segundo círculo cuyo diámetro es igual al radio del anterior, un tercero cuyo diámetro es igual al radio del segundo y así sucesivamente, ¿cuál será la suma de las áreas de todos los círculos así formados?
-7,
7 7 7 , , , ... 3 -9 27
Entre las progresiones aritméticas y las geométricas se pueden apreciar notables diferencias. Estas últimas crecen más deprisa (si la razón es mayor que la unidad) que las progresiones aritméticas; o decrecen tan rápido que incluso es posible sumar una cantidad infinita de números y obtener un resultado sorprendentemente pequeño, cuando la razón en valor absoluto es menor que la unidad.
1.10. Interés simple e interés compuesto
Una aplicación de las progresiones geométricas es el interés compuesto. Un ejemplo es cuando una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo y el banco le paga intereses. Dependiendo de que se retiren o no los intereses periódicamente, el interés se llama simple o compuesto. ¿En cuánto se convierte un capital de 1 600 000 al 10 % en dos años en interés simple y en interés compuesto? Veamos cada caso por separado:
Interés simple
Como el interés que produce 1 pesos en 1 año es de 10/100 = 0.1, el interés total es: 1 600 000 ( 0.1 ) = 160 000.
1. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
15
Cálculo Al final del primer año retiramos los intereses y el capital sigue siendo el mismo: 1 600 000. En el segundo año, el capital vuelve a producir otros 160 000. a.
En los dos años el interés producido es: 160 000 + 160 000 = 320 000.
Por tanto, el capital se convierte en los dos años en: 160 000 + 320 000 = 1 920 000. b.
Se puede obtener directamente el interés en los dos años: i = 160 000 $ 0.1 $ 2 = 320 000.
En general, si C es el capital, r es el tanto por ciento anual y t es el tiempo en años, entonces el interés simple es: i =
C $ r $ t
100
Si el tiempo viene dado en meses, la fórmula es: i =
C $r $t
12 $ 100
=
C $r $t
1 200
Si el tiempo viene expresado en días, la fórmula es: C $r $t
360 $ 100
=
C $r $t
36 000
Interés compuesto
En el primer año, la ganancia del capital es la misma estando depositado a interés simple o a interés compuesto: 160 000. Al final del primer año, los 160 000 ganados no se retiran, por lo que el capital, al empezar el segundo año, es de 1 760 000. En el segundo año, el interés que 1 760 000 producen es: 1 760 000 $ 0.1 = 176 000. a.
En los dos años el interés producido es: 160 000 + 176 000 = 336 000.
16
Capítulo 1 Por tanto, el capital de 1 600 000 se convierte en los dos años en: 1 600 000 + 336 000 = 1 936 000. b.
Se puede obtener directamente el capital final al cabo de los dos años: C
= 1 600 000 (1 + 0.1) 2 = 1 936 000.
En general, el capital final ( C t ) que se obtiene a partir de un capital C en t años, al tanto por ciento anual r es:
b
C t = C 1 +
r 100
l. t
1. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
17