INTRODUCCIÓN AL CONTROL MULTIVARIABLE
El control multivariable es un sistema de control con más de una variable controlada y manipulada.
Representación de matrices Para el diseño de sistemas de control multivariable se requiere el conocimiento de algunos conceptos de manejo de matrices:
Inversa, determinante, transpuesta, suma, resta y multiplicación de matrices. En el diseño de los sistemas de control multivariable se usan los valores propios y los valores singulares de una matriz. Los valores propios (Eigenvalues) son las raíces de la ecuación característica del sistema y los valores singulares dan una medida del tamaño de la matriz y una indicación de que tan cerca está la matriz de ser singular o su determinante de ser cero. La inversa de una matriz no existe si la matriz es singular.
Cofactor A A Det A
T
1
La inversa de una matriz es:
(1)
Los valores propios de una matriz cuadrada N*N son las raíces de la ecuación escalar:
Det I A 0 (2) El vector de valores propios es:
1 2 3
. . . N
(3)
A Ejemplo 1. Calcule los valores propios de la siguiente matriz
2 0 2 4
A
Det I A 0
1 0 2 0 2 2 0 1 2 4
0 4
I A
.
2 2
Det I A Det
0
4
Las raíces de esta ecuación son:
2 4 0 2 2 4 0
2
y
4
y los valores propio de la matriz son:
2 4
1 2 y
.
Consideremos un modelo de un proceso químico que consiste en un sistema lineal de N ecuaciones diferenciales.
dx A x Bu dt (4)
x Donde
vector de N variables de estados del sistema.
A NN Matriz de constante
B N M Matriz de constante diferente
u Vector de M variables manipuladas del sistema
A El vector de valores propios de la matriz son las raíces de la ecuación característica del sistema, los cuales definen si el sistema es estable o inestable, rápido o lento, sobreamortiguado u oscilatorio. Ellos son esenciales para el análisis de los sistemas dinámicos. VALORES SINGULARES Los valores singulares son una medida de que tan cerca está la matriz de ser singular, o
i que su determinante sea cero. Una matriz N*N tiene N valores singulares. El símbolo
i es un valor singular. La mayor magnitud de
se conoce como el valor singular máximo
max
min
, y la mínima magnitud se conoce como el valor singular mínimo . La relación del valor singular máximo y el valor singular mínimo se conoce como el Número
CN
max min
de condición
.
Los valores singulares se definen:
i A i AT A
i 1,2,3......., N (5)
A Ejemplo 2. Determine los valores singulares de la matriz
2 0 2 4
2 2 AT 0 4
A
2 2 2 0 8 8 0 4 2 4 8 16
AT A
Det I AT A 0
dada en el ejemplo 1.
8 8
8 0 8 16 64 16
Det
2 24 128 64 0 2 24 64
1 20.94
2 3.06 2 3.06 1.75
1 20.94 4.58
Estos valores singulares no son pequeños, así la matriz no es singular, el determinante de
A es 8.
1 1 1 1
A Ejemplo 3. Calcule los valores singulares de la matriz
El determinante de esta matriz es cero, luego esta es singular.
1 1 AT 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2
AT A
2 2
2 0 2 2 4 2
Det I AT A 0
Det
2 4 4 4 4 0
1 0
2 4
1 0
El valor singular de cero indica que la matriz es singular.
2 2
Representación en funciones de transferencia
A. Sistema en lazo abierto Consideremos un proceso en lazo abierto con N variables controladas, N variables manipulables y una perturbación de carga. El sistema se puede describir en el dominio de la transformada de Laplace por N ecuaciones que dan las funciones de transferencia que muestran como todas las variables manipuladas y la perturbación de cargas afecta a cada variable controlada a través de su apropiada función de transferencia. En la figura 1 se presenta un diagrama de bloque de un sistema multivariable en lazo abierto.
Y1 G M11 m1 G M1 2 m2 .............. G M1 N m N G L1 L Y2 G M 21 m1 G M 22 m2 .............. G M 2 N m N G L 2 L Y3 G M 31 m1 G M 32 m2 .............. G M 3 N m N G L 3 L
YN G M N 1 m1 G M N 2 m2 .............. GM NN m N G LN L En forma matricial nos queda como:
Y G M s m s G L s L s (6)
Y Donde
vector de N variables controladas
GM Matriz N*N de las funciones de transferencias que relacionan las variables Controladas con las variables manipuladas en lazo abierto.
m Vector de N variables manipuladas.
GL Vector de funciones de transferencia que relacionan las variables controladas y las perturbaciones de carga.
L s Perturbación de carga. B. Sistemas en lazo cerrado En la figura 2 se presenta un diagrama de bloque para un sistema multivariable
I con controladores de retroalimentación. La matriz
es la matriz identidad. La
GC s matriz que contiene los controladores por retroalimentación. La mayorías de los procesos usan controladores convencionales con una entrada y una salida (SISO). Un controlador es usado en cada lazo para regular una variable controlada
GC s cambiando una variable manipulada. En este caso tiene solamente elementos en la diagonal y los elementos fuera de la diagonal son ceros y se conoce como controlador multilazo diagonal.
GC s
GC 1 0 .... 0
0 ... ..... .... .... ...... 0 GCN
0 GC 2
... 0
(7) La dinámica y estabilidad de un proceso multivariable en lazo cerrado depende de la sintonía de todos los controladores. La estructura del controlador que tiene elementos en todas las posiciones en la
GC s matriz
se conocen como controladores multivariables.
GC s
GC11 GC12 ... GC1N GC 21 GC 22 .... .GC 2 N .. .... ..... .... .... GCN 1 ..GCN 2 . ..... GCNN (8)
La matriz de controladores feedback da las funciones de transferencia entre las variables manipuladas y el error.
m GC s E GC s Y
set
Y
Sustituyendo en la ecuación (6) tenemos:
Y G M s GC s Y
set
Y G L s L s
Y , llevando todos los términos de
al lado
izquierdo nos queda:
I Y G M s GC s Y G M s GC ( s ) Y
Y I G M s GC s
1
set
GL s
set G M s GC s Y I G M s GC s
1
G L s L s
(9) La ecuación (9) da los efectos de los cambios en el setpoint y carga variables controladas en un ambiente multivariable en lazo cerrado.
a las
ESTABILIDAD Ecuación característica en lazo cerrado Recordando que la inversa de una matriz tiene el determinante de la matriz en el denominador de cada elemento. Por tanto, el denominador de todas las funciones
Det I G M s GC s
de transferencia en la ecuación (9) contiene . Si se conoce que la ecuación característica de cualquier sistema es el denominador igualado a cero. Por tanto, la ecuación característica en lazo cerrado de un sistema multivariable con controladores feedback es la ecuación sencilla escalar:
Det I G M s GC s 0
(10)
Índice de Niederlinski Un método aproximado para el análisis de estabilidad es el índice de Niederlinski. Este puede eliminar las parejas de variables que no funcionan bien en las etapas tempranas del diseño. No requieren conocer los parámetros de los controladores, pero se aplica solamente cuando se usa la acción integral en todos los lazos. Este usa solamente las ganancias del proceso en estado estacionario de la matriz de función de transferencia. El método es una condición necesaria pero no suficiente para la estabilidad de un sistema en lazo cerrado con acción integral. Si este índice es negativo, el sistema puede ser inestable para cualquier parámetro de los controladores. Si el índice es positivo, el sistema puede o no puede ser estable. Se requiere un análisis adicional.
NI Índice de Niederlinski
Det K P
N j 1
K Pjj (11)
K P GM 0 Donde
matriz de ganancias en estado estacionario de la función de
GM transferencia en lazo abierto
K Pjj
.
Elementos diagonales en la matriz de ganancias en estado estacionario. Ejemplo 4. Calcule el índice de Niederlinski para la columna de destilación de Wood and Berry.
12.8 18.9 K P GM 0 6.6 19.4
NI
12.8 19.4 18.9 6.6 0.498
Det K P
N
j 1
K Pjj
12.8 19.4
Debido a que el NI es positivo, el sistema en lazo cerrado con esta pareja de
xD variable puede ser estable. En este caso la composición del destilado
es
xB controlada por el reflujo R y la composición del fondo vapor generado en el fondo V.
es controlada con el
xD 12.8 18.9 R x 6.6 19.4 V B Si el apareamiento de variables se invierte, la matriz de ganancias es:
x D 18.9 12.8 V x 19.4 6.6 R B El NI para este apareamiento es
NI
18.9 6.6 19.412.8 0.991
Det K P
N
j 1
K Pjj
18.9 6.6 xD
xB
Por tanto, este apareamiento de con V y con R da un sistema en lazo cerrado que es inestable para cualquier sintonía de los controladores. INTERACCIÓN
La interacción entre lazo de control se presenta en todos los sistemas multivariables, un lazo de control afecta a otros lazos de control. La interacción es indeseable para cambios en el setpoint, pero puede ayudar a eliminar las perturbaciones de carga. El método más usado para cuantificar la interacción entre lazo es el arreglo de ganancias relativas (RGA) y para eliminar la interacción se usan Desacopladores o Controladores multivariables basados en modelo predictivo (MPC). Arreglo de ganancias relativas (RGA) Este es el método más usado para estudiar la interacción entre lazos de control. Este fue propuesto por Bristol (1966). El RGA tiene la ventaja de ser fácil de calcular y requiere solamente información de las ganancias en estado estacionario. A. Definición
ij
ij El RGA es una matriz de números. Los
elementos en el arreglo se llaman
.
i Este es la relación de ganancias en estado estacionario entre la
variable
j controlada y la variable manipulada cuando todas las otras variables manipuladas son constantes, dividida por la ganancia en estado estacionario entre las mismas dos variables cuando todas las otras variables controladas son constantes.
ij
Y / m Y / m i
j m k
i
j Y k
(12) Por ejemplo, supongamos que tenemos un sistema
2 2
con ganancias en estado
K pij estacionario
.
Y1 K p11m1 K p12 m2 Y2 K p 21m1 K p 22 m2 Y1 Para este sistema, la ganancia entre
m1 y
m2 cuando
es constante es
Y1 / m1 m
K p11
2
Y1
m1
Y2
La ganancia entre y solucionando las ecuaciones
cuando
Y2 es constante (
=0) se encuentra
Y1 K p11m1 K p12 m2 0 K p 21m1 K p 22 m2
Y1 K p11m1 K p12 K p 21m1 / K p 22
K p11 K p 22 K p12 K p 21
Y1
K p 22
Y1 / m1 Y
2
m1
K p11 K p 22 K p12 K p 21
K p 22
11 Por tanto, el término
en el arreglo RGA es
11
K p11 K p 22 K p11 K p 22 K p12 K p 21
1
11 1
K p12 K p 21 K p11 K p 22 (13)
11 Ejemplo 5. Calcule el elemento
del arreglo RGA para la columna de Wood y Berry.
12.8 18.9 K P GM 0 6.6 19.4
1
11 1
K p12 K p 21 K p11 K p 22
1 2.01 18.9 6.6 1 12.8 19.4 2 2
La ecuación (13) se aplica solamente para un sistema . Los elementos del arreglo RGA se pueden calcular para cualquier tamaño de la matriz usando la siguiente ecuación.
ij
KP
ij (Elemento
de
ij ) * (Elemento
de
K 1 P
T
)
(14)
Ejemplo 6. Calcule todos los elementos de RGA para la columna de Wood y Berry usando la ecuación (14).
12.8 18.9 K P GM 0 6.6 19.4
KP
1
19.4 18.9 6.6 12.8 123.58
K
1 T
P
19.4 6.6 18.9 12.8 123.58
19.4 2.01 123.58
11 12.8
6. 6 1.01 123.58
12 18.9
18.9 1.01 123.58
21 6.6
12.8 2.01 123.58
22 19.4
11 21
RGA
12 2.01 1.01 22 1.01 2.01
La suma
de los elementos en cada columna y fila es igual a 1. Esta propiedad se
mantiene para cualquier RGA, así para un sistema un elemento.
2 2
solamente necesitamos calcular
3 3 Ejemplo 7. Calcule el RGA para un sistema (AICHEJ 25: 1043, 1979).
6.5 s
0.66e 2.6 s 6.7 s 1
1.11e 3.25s 19.2 s 34.68e 8.15s 1
GM s
.61e 3.5 s 8.64 s 1 3 s
2.36e 5s 1 46.2e 9.4 s 10.9 s 1
estudiado por Ogunnaike y Ray
0.0049e s 9.06s 1
0.012e 7.09s 1 0.8711.61s 1 e s 3.89s 118.8s 1 1.2 s
0.66 0.61 0.0049 K P 1.11 2.36 0.012 34.68 46.2 0.87
Realizando los cálculos en MATLAB
1.96 0.66 0.30 RGA 0.67 1.89 0.22 0.29 0.23 1.52 La suma de los elementos en todas las columnas y filas son igual a 1. Si RGA es cercano a 1, podría tener poco efecto sobre el lazo de control si se colocan en automático los otros lazos en un sistema multivariable o sea que habría poca interacción. Números alrededor de 0.5 indica interacción. Números muy grandes indican interacción y que el sistema puede ser sensible a los cambios en los parámetros. RGA negativos indican inestabilidad integral.
DISEÑO DE CONTROLADORES PARA PROCESOS MULTIVARIABLES
La mayorías de los sistemas de control de procesos industriales usan multilazos SISO con estructura de control diagonal. Estructura de control sencilla y fácil de entender, no requiere de un experto en matemática para diseñar y mantener. En el desarrollo de un sistema de control para una planta, debemos responder, ¿Que variables debemos controlar?, ¿Qué variables debemos manipular?, ¿Cómo se podrían aparear las variables controladas con las variables manipuladas en una planta multivariable?. Selección de variables controladas El juicio de Ingeniería es la principal herramienta para decidir que variables controlar, un buen entendimiento del procesos en muchos casos nos lleva a la selección lógica. Debemos controlar inventarios ( nivel de líquidos y presión de gas), calidad de productos y flujos de producción. En columnas de destilación usualmente estamos interesados en controlar la pureza del producto de cima y del fondo. En reactores químicos, intercambiadores de calor y hornos usualmente controlamos la temperatura. La selección del mejor plato de control de temperatura en una columna se puede realizar usando la descomposición de los valores singulares (SVD). Descomposición de valores singulares (SVD)
KP SVD consiste en expresar la matriz de ganancia en estado estacionario de la planta como producto de tres matrices.
K P U V T U El mayor elemento en cada columna de la matriz sensible.
indica cual salida del proceso es más
KP
La matriz diagonal
contiene los valores singulares de la matriz
Selección de variables manipulables
Selecciones las variables manipulables que den los mayores valores singulares mínimos
min Eliminando malos apareamientos Evite parejas de variables controladas con variables manipuladas que presenten índices de Niederlinki (NI) negativos.
