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Manuel G_ch Salvador Isabel Gaac:hMollna
EDITORIAL UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA
ÍNDICE
TEMAS. ,
BASES DE CALCULO ...
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4 •••••••••••••••
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Estados Límite ,
••••
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•••••••••••••••••••••••
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9
••••••••••••••••
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........ ..... .............. ... .
Estados Limite Ultimos .... .. .... ...... - .... .. .. .. Estados Límite de Servicio
Acciones
_
, ............•..................................
__
_
Clasificación de las acciones. _
o o.
_ 0
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11
.
12
__
"......... 00
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•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
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0
13 •••••••••
•••••••••••••••
o..
14
o..
14
Valor de la acción ...........................••..............................................••..... Capacidad portante
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• •
• • •
• •
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • ••••••
o ••••••••••••••••••••
16 , • • • • • • • • • • • • • • • • •
Verificaciones.,
,
• , •••••••
o ••••••
o ••
o ••
0
Valor de cálculo del efecto de las acciones ,
0
••••••••••••••••••••••••••••••
o o ••
.
Valor de cálculo de la resistencia .............................•.............................................
Aptitud de serv-icio
•••••
17
,
•••
0
••••••••••••••••••••••••
17 18 22
,
•••••••••••••••••
23
Material protegido por derechos de autor
CALCu~O eSTRUCT\JAA~
Efecto de las acciones para la verificación de las deformaciones Deformaciones:
............ _-
,.
23
.
24
.
25
.
27
....
29
.
37 37
.
41
Flechas máximas
Deformaciones: Desplazamientos
horizontales
.... ............. .... , . .... .......... .... . ....... ...... . ..... .... ..........................................................................................
ACCIONES EN LA EDIFICACIÓN ..... Acciones permanentes.
__
Acciones variables ........................•...........................•.................................................
- ........ .
Sobrecarga de uso, .. ..... ..... .. ...... ..... ......... ........... .... ..... Viento Nieve
0
••••••••••••••••••••••••••••••••
0
•••••••••••••
0
Asignación de acciones sobre un pórtico de un edificio PREDIMENSIONADO
Introducción Predimensionado
4
DE (!NA ESTRIJCTIJRA
" de ilares
,
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••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
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0.0
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45
48 51
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0
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•••••••••••••
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••••••••
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53 56
INOICE
ÁLCULO M.ATRlCIAL
EPT Diseño estructural
o
•
•
o
o
Introducción
o
•
o
o
o
o
o
o
0.0.0.
o
o
.
o
o
o
o
•
o
o
o
o
o
•
63
o
•
61
o
•
o
•
o
o
o
64
•
Com ortamiento elástico de una barra
. 65
Coeficientes de ri idez
. 66 ...., . ..
Análisis de los esfuerzos en \loa barra ' .,
..
t
•
...
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•
t
...
tI'
•
•
s •
t
..
70
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Matriz de ri idez de una barra MÉTOPO PE LA RIGIDEZ, Fundamentos,
.
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.,
83
85
11'111"
Matriz de transformación
.
89
Matriz de ri ídea de la barra en eies lobales
.
93
.. .............. ..... ............. ...... ..... ....... . ...... ................ .....
98
Matriz de rigidez de la estructura",
,
Análisis de las condiciones de contorno .. ' Obtención de mOvimientos,
. ,.
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1
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..
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•
o
101 102
5
CALCULO ESTRUCTURAl
. S oIici icitacrones
,
103
o"
104
Reacciones
SIMPLIFICACIONES
" 105
POR SIMETRÍA
Sistemas simétrico y antimétrico
. 107
Análísis del estado simétrico
"
108
Análisis del estado antimétrico
"
111
, ,.
114
Estructuras simétricas de forma ..
"",
•••
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••
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••••••
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,""""",.
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FJERCICIOS. ,
CAI,CULO DE ACCIONES.", ,
DISTRlBUCION
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,
""'"
,.,
DE ACCIONES SOBRE LOS PORTICOS..........
PREDIMENSIONADO
133
DE UNA ESTRUCTURA...............
145
MATRICES DE RIGIDEZ DE UNA BARRA •
CONSIRUCCION
DE {.cAMATRIZ DE RIGIDEZ.
161 0"'"
,,,
n"
t
t.,
o,.
0"'"
1,'.".
t,
o
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o
t,
t
o
o,."
0"'"
RESOLUCIÓN DE UNA ESTRUCTURA POR EL MÉTODO DE LA RIGIDEZ..................................
6
119
,
o
0"'"
17 J
179
IN DICE
CALCULAR LAS SOLICITACIONES
EN LAS BARRAS DE UNA ESTRUCTURA HIPERESTÁTICA
195
DETERMINAR LA TENSIÓN EN UN TIRANTE DE UNA ESTRUCTURA HTPER.ESTÁTICA
211
RESOLVER UNA ESTRUCTURA TRIANGULADA CON NUDOS RÍGIDOS O ARTICULADOS............
223
RESOL VER UNA ESTRUCTURA APLICANDO LAS CONDICIONES
247
DE SIMETRÍA........................
7
I'vlatenal protegido por derechos de autor
Material protoqido por derechos de autor
BASES DE CÁLCULO
ESTADOS LIMITE •
Un Estado Limite es aquella situación tal que, en caso de ser superada, puede considerarse que la estructura no cumple alguna de las funciones para las que ha sido proyectada.
o
Estados Límite Últimos. • La estructura o parte de ella queda fuera de servicio por colapso o rotura. • Los dal'\os que se ocasionan son graves. Q
Equilibrio. Agotamiento o Rotura. Inestabilidad. Fatiga.
o Estados Límite de Servicio. •
La estructura o parte de ella queda fuera de servicio por razones de durabilidad, funcionales o estéticas. • Los daños que se producen son, en general, reparables.
o Deformación. Vibraciones. Deterioro.
1I Material protegido por derechos de autor
CÁlCULO
___
ESTRUCTURAL
.,.....---:t...........•',., •
ESTADOS LíMITE •
•
Estados Límite Ultimos; O de Equilibrio. • Pérdida de estabilidad estática. • Se estudia a nivel de estructura o elemento estructural. O de Agotamiento o rotura. • Agotamiento resistente o deformación plástica excesiva en una sección por: o Flexión, Cortadura, Torsión, Punzonamiento.
• Se estudia a nivel de sección.
O de Inestabilidad. • Pandeo de una parte o del conjunto de la estructura • Se estudia a nivel de estructura o elemento estructural. O de Fatiga. • Rotura bajo el efecto de cargas repetidas. • Se estudia a nivel de sección.
12
Material protegido por derechos de autor
BASES DE CALCULO
ESTADOS LIMITE •
Estados Límite de Servicio: o de Deformación. • En un elemento de la estructura se produce un movimiento (desplazamiento o giro) excesivo que puede: o Afectar a la apariencia o al uso de la estructura. o Causar danos en elementos no estructurales.
o de Vibraciones. • Se producen vibraciones de una determinada amplitud o frecuencia que pueden: o Provocar danos en la estructura. o Ser desagradables o causar Inquietud a los usuarios.
13 Material protogido por derechos de autor
ACCIONES •
Acción: Cualquier causa que perturbe el equilibrio de una estructura.
•
Clasificación
de las acciones.
o Por su naturaleza se clasifican en: • Directas. o Cuando están aplicadas sobre la estructura y son Independientes de las características mecánicas de esta. • Peso de los elementos constructivos, Sobrecarga de Uso, Nieve, Viento, Empujes del terreno.
• Indirectas. Cuando son provocadas por fenómenos capaces de generar fuerzas como consecvencia de las deformaciones Que se producen. o Su valor depende de la rigidez e hiperestaticidad de la estructura. • Acciones ReoJóglcas, Térmicas, Sismicas, Asientos. [J
O Según la respuesta estructural las acciones se clasifican en: • Estátícas. • Dinámícas.
14
Material protegido por derechos de autor
-
BASES DE cALCULO
., ... ~
•
ACCIONES •
Clasificación de las acciones.
o
Por su variación en el tiempo se clasifican en: • Permanentes (G). e Carga gravitatoria de posiciOo y magnitud constante. • Peso de los elementos constructivos. Empujes del terreno. o Acción cuya posición peon
Pretensado.
• Varíables (Q). u Acciones cuya posición y/o magnitud varía con el tiempo. D Pueden actuar o no sobre el edifICio. • Sobrecarga de uso. Níeve. Viento.
• Accidenta/es (A). o
Son aquellas que tienen una pequeña probabilidad de actuar sobre la estructura. •
Sismo.
15 Material protegido por derechos de autor
ACCIONES •
Valor de la acción. O Valor característico, • • •
Fk'
se define por:
Su valOl' medio. (Acciones pennanentes). Una cota superior o inferiOl'. (Acciones variables). Su valor nOl'ninal. (Acciones accidentales).
O Valor de combinación de una acción variable. • •
Peso de esta acción con respecto a otras en las verificaciones de los estados limite mediante coeficientes parciales. Se obtiene multiplicando el valor caraclerfstico por un coefiCiente '1'.
O Valor frecuente de una acción variable. • •
Valor de la acción que solo es superado durante el 1% del tiempo de referencia. Se obtiene multiplicando el vaíor característico pOI'un coeficiente '1',
O Valor casi permanente de una acción variable. • •
vator de la acción que solo es superado durante el 500/. del tiempo de referencia. Se obtiene multiplicando el valor caractet1stlco por un coeficiente '1',
16 Material protegido por derechos de autor
BASES DE CALCULO
CAPACIDAD PORTANTE •
Verificaciones.
o
"Se considera que hay suficiente estabilídad del conjunto del edificio o de una parte independiente del mismo, si para todas las situaciones de dimensionado pertinentes, se cumple la siguiente condición".
I
Ed, dstSEd, stb
I
• Ed•dll valor de cálculo del efecto de las acciones desestabilizadoras • Ed•otb valor de célculo del efecto de las acciones estabilizadoras
o "Se considera que hay suficiente resistencia de la estructura portante, de un elemento estructural, sección, punto o de una unión entre elementos, si para todas las situaciones de dimensionado pertinentes, se cumple la siguiente condición". • Ed. valor de cálculo del efecto de las acciones • Rd valor de cálculo de la resistencia correspondiente
17 Material protoqido por derechos de autor
cAlCULO ESTRUCTURAL
-_......""""4' . CAPACIDAD PORTANTE •
Valor de cálculo del efecto de las acciones. O Situación persistente o transitoria.
_¿
'Yo.J . Gk.j
+ 'Yp . P + YQ.I . QK.I + _¿ YQ.; . '1'0.1 . QK.i i>1
j~1
O Situación extraordinaria.
¿y
(j.j .
G
k.j
+
'Y p
•
P +A
d . 'Y Q.I . '1' 1.1 .
jal
Q
K.I
+
L
'Y Q.i . '1' O.i . Q K .í
;>1
O Combinación con la acción sismica.
L
ja 1
'Y o ,j . G k ,j
+P+A
d
+
L
'1' 2,; .
Q
K.i
i> 1
18
Material protegido por derechos de autor
BASES DE cALCULO
CAPACIDAD PORTANTE •
Valor de cálculo del efecto de las acciones. O Situación persistente
¿'Y
o transitoria
G.j .
G k.j + "111 . P + yQJ • Q K,t +
~I
• Todas las acciones permanentes.
(Yo·Gk.)'p·r) ·Una acción variable cualquiera.
(YIl·Qk) 'Una combinación por cada tipo de acción variable.
¿'Y
Q.I •
'1'OJ • Q K.I
;>1
• En las comprobaciones de resistencia, para cada tipo de acción considerada globalmente, el valor del coeficiente de seguridad.)', dependerá de que su efecto sea favorable o desfavorable. • En las comprobaciones de estabilidad, en una misma acción se distinguirá que parte es estabilizadora (favorable) y cual desestabilizadora (desfavorable) .
• El resto de las acciones variables.
(Yo . \ji ... Q,) 19 Matenal proteqido por derechos de autor
CAPACIDAD PORTANTE •
Coeficientes parciales de seguridad para las acciones SItuacl6n persistente o transitoria TIpo de verlficac·16n
Tipo de acción De~favorable
Favorable
Permanente
Resistencia
Peso propio, peso del terreno Empuje del terreno Presión del agua Variable
0'80 070 0'90
1'35 1"35 1'20 1'50
Desestabilizadora
O
Estabilizadora
Permanente
Estabilidad
Peso propio, peso del terreno Empuje dellerreno Presión del agua Variable
0'90 0'80 0'95
1'10 1'35 1'05 1'50
O
20 Material protegido por derechos de autor
BASES DE CÁLCULO
CAPACIDAD PORTANTE •
Coeficientes de simultaneidad \¡lo
\¡II
'1'2
Sobteearga superficial de usa A
Zonas residenciales
07
0'5
0'3
B
Zonas adrrínlSlraUvllS
07
0'5
0'3
e
Zonas destinadas al públco
0'7
07
0'6
D
Zonas comeros"'"
07
07
0'6
E
Zonas de tráfICO y de apan;amiemo de vehlcuto$
07
0'7
0'6
F
Cubiertas lra""table$
G
ClJbiertas accesibles unicamente para mantenimientD
Según el uso de la zona par la que se acoede
O
O
O
1000 m
0'7
0'5
0'2
AIIiludos ~ 1000 m
0'5
0'2
O
Vi.rto
0'6
0'5
O
Tempemtura
0'6
0'5
O
Acciones variables dellerrero
07
07
07
Nieve AIIiludes>
21 Matenal protegido por derechos de autor
CAlCULO ESTRUCnJRAL
• CAPACIDAD PORTANTE •
Valor de cálculo de la resistencia.
e "El valor de cálculo de la resistencia de una estructura, elemento, sección punto o unión entre elementos se obtiene de cálculos basados en sus caracteristicas geométricas a partir de modelos de comportamiento del efecto analizado, y de la resistencia de cálculo, fd de los materiales implicados". '
o La resistencia de cálculo de un material, en general, puede expresarse como:
=f
f
k
d
'Y
22 Matenal proteqido por derechos de autor
, ,
BASES DE CALCULO
,
1m.
APTITUD DE SERVICIO •
Efecto de las acciones para la verificación de las defonnaciones.
o Acciones de corta duración cuyos efectos pueden resultar irreversibles.
¿G
k .j
+ P +Q
K ,1
I~I
o
+
¿ \ji
(l.; .
Q K .í
1>1
Acciones de corta duración cuyos efectos pueden ser reversibles.
¿ G k.J + P + 'l'1.I·Q
K.l
jO! 1
+
¿ '1' 2.I·Q
K.;
;>1
o Acciones de larga duración.
L jO!I
G ~.J + P
+
¿ '1'
2.;'
Q
K.I
¡~I
23 Matenal proteqido por derechos de autor
CALCULO ESTRUCTURAL
••
•
APTITUD DE SERVICIO •
Deformaciones:
Flechas máximas.
O Integridad de los elementos constructivos. • Sólo se consideran las deformaciones que se producen después de la puesta en obra del elemento, para cualquier combinación de las acciones caracterlsticas. o 1/500 en pisos con tabiques frágiles o pavimentos rrgidos sín juntas, o 11400 en pisos con tabiques ordinarios o pavrmentos rlgldos con Juntas. o 11300 en et resto de 105 casos.
O Confort de los usuarios. • Para cualquier combinación de acciones caracterfsticas y considerando únicamente las acciones de corta duración. ü
11350
O Apariencia de la obra • Para cualquier combinación de acciones casi permanente. el
11300
24 Matenal protegido por derechos de autor
BASES DE CÁLCULO
APTITUD DE SERVICIO •
Deformaciones:
Desplazamientos horizontales
o Integridad de los elementos constructivos. • Para cualquier combinación de acciones características: o desplome total in(afio( a 1/500 de la altura lotal del edificio. o desplome local Inferior a 11250de la altura de la planta, en cualquiera de ellas.
o Apariencia de la obra. • Para cualquier combinación de acciones casi permanente: (J
•
desplome relativo inferior a 1/250
En una estructura, las condiciones anteriores se comprobarán según dos direcciones ortogonales.
25 Material protogido por derechos de autor
Matenal proteqido por derechos de autor
ACCIONES EN LA EOIFICACION
ACCIONES PERMANENTES •
Peso Propio. O En un edificio se considerará el peso propio de:
• • • • • •
Los elementos estructurales. CUBIERTA .. '. Los cerramientos y elementos separadores. La tabiquerf a. Los revestimientos (pavimentos. guarnecidos. enlucidos. falsos techos). Los rellenos. Los equipos fijos (máquinas. instalaciones).
. . . . . ..... .' .
('.
.
REVESTI.MIENTO I FALSO TECHO
29 Matenal proteqido por derechos de autor
EJEMPLO DE CERRAMIENTO DE FACHADA 0'12 m
Cámara de aire Ó
material de aislamiento
Enlucido de yeso Enfoscado de cemento
0'09 m
1I
CAR.A INTERIOR
1I
1I
CARA EXTERIOR
1I
30
Matenal proteqido por derechos de autor
ACCIONES EN LA EDIFICACiÓN
t.ACCIONES PERMANENTES •
Peso Propio de los tabiques ordinarios. o Un tabique se define como ordinario cuando su: • Peso por metro cuadrado no es superior a 1,2 kN/m2. • Grueso no es mayor de 0,08 m. • Distribución es sensiblemente homogénea en la planta. D Su peso propio se considera como una carga equiva-
lente uniformemente distribuida. o El valor de dicha carga equivalente se obtiene multiplicado la razón media entre la superficie de tabiquerla y la de la planta considerada por 0,8 kN/m2. • En viviendas se puede tomar como peso propio de la tabíqueria una carga de 1,0 kNfm2•
31 Material protoqido por derechos de autor
•
ACCIONES PERMANENTES •
Peso Propio de las fachadas.
o
Se considera como una acción local.
o Se asigna, como carga uniformemente repartida, en aquellos elementos sobre los que se apoya (vigas, zunchos).
o
En algunos casos (elementos biapoyados) la carga puede redistribuirse a los elementos adyacentes.
32 Matenal proteqido por derechos de autor
ACCiONES EN lA EOIFICAClóN
ACCIONES PERMANENTES Tabicón perPendicular a un pórtico
I Partición I
I Fachada I
33 Material protoqido por derechos de autor
ACCIONES PERMANENTES
r
Eje del Pórtico
Eje de Pórtico
Zuncho sobre el que se apoya el tabicón
Un tabicón orientado perpendicularmente a un pórtico genera, en dicho pórtico, una acción puntual en el punto donde se apoya el zuncho que soporta el peso del tabicón.
34 Matenal protegido por derechos de autor
ACCIONES EN LA EDIFICACION
ACCIONES PERMANENTES Tabicón paralelo a un PÓrtico
~-IPartición I
I Fachada I
3S Matenal protegido por derechos de autor
ACCIONES PERMANENTES 1m
ancho
a'q/L
b-q/l,
b' ¡ YL +++++++ +++
Un tabicón orientado paralelamente a un pórtico genera una acción distribuida cuya íntensidad está en fun-
a b
ción de la distancia que los separa.
L
36 Matenal protegido por derechos de autor
ACCIONES EN LA EOIFICACION •
Va lo,... caracterlstk:OI
ACCIONES VARIABLES
•
Sobrecarga de uso . D Es el peso de todo lo
que puede gravitar so-
Cotagoriu
A
de uso
bre un edificio por razón desu uso. • Personas. • Instalaciones. • Materias almacenadas. • Vehlculos.
C
Zo nas do acceso al pUbico (no Inchldas en A. 8 Y O)
O E F
G
ele uso
de uao
kH
V'ovIendas y zonas de habitaciones on hospi1ales y tolBlus
2
2
A2
Trasteros
3
2
Zonas admll'Ó$trativas
2
2
CI
ZoMS con masas yslllas
3
4
C2
Zonas con aolOnlOSIijos
4
4
C3
Zonas .In obstáculos que impidan el [bre movimiento de las personas ("""Ibulo s, salas de e~slc:lón. etc.)
5
4
C4
ZaRaS
5
7
5
4
5
4
5
7
2
20
1
2
destinadas 8 gímnaslo
Zonas de aglometaci()n (estadios. salas de concierto. etc..)
DI
LocaIos comerciales
02
Supermen:ado5. Hlpa""""cados grandes supetrtdes
Zonas CXlmerciales
Zonas de trMlco y de aparcamiento para vehiculos ~ro.
o
(peso < 30 kN)
Cu!Jlenss 113nsl~!JIes·. acc:,esibles ,()lo ptlv300mente Cubiertas accesibles ~ricamento para conservaci6n
kHIm'
Al
CS
D En general, se conside-
ra como una carga uniformemente repartida.
Subcategorlaa
Zonas residenciales
B
ele la. sobtaeargas
GI
Cublortas con Inclinación Irletior a 20"
1
2
G2
Cubiertas con inc:inaci6n superior 8 40"
O
2
37 Material protoqido por derechos de autor
ACCIONES VARIABLES •
Sobrecarga de uso.
o
En los edificios de las categorfas A y B, las zonas de acceso y evacuación . • portales, mesetas y escaleras
O se calcularán con una sobrecarga igual a la zona
que comunican, incrementada en 1 kN/m2•
o Los balcones volados se calcularán con la sobrecarga de uso correspondiente a la de las zonas que comunican, más una sobrecarga lineal actuando en sus bordes de 2 kN/m.
38 Matenal proteqrdo por derechos de autor
ACCIONES EN LA EOIFICACION
-----..", -__ --,,;..__..,.,.
"
ACCIONES VARIABLES •
Sobrecarga de uso. D
"Los valores indicados en las tablas ya incluyen el efecto de la alternancia de carga, salvo en el caso de elementos críticos, como vuelos, o en el de zonas de aglomeración",
D
"A los efectos de combinación de acciones, las sobrecargas de cada tipo de uso tendrán la consideración de acciones diferentes, Los items dentro de cada subcategoría de la tabla 3,1 son tipos distintos", Coeficientes d. reducción de sobrecarga
I
Reducción de la sobrecarga
I
Elementos verticales
Elementos horizontales
Número de plantas del mismo uso
Superficie tributaria (m2)
102 1,0
304 0.9
s o mas
0,8
16
25
50
100
1.0
0.9
0,8
0.7
39 Material protogido por derechos de autor
ACCIONES VARIABLES •
Acciones sobre barandillas y elementos divisorios.
Acciones sobre fas barandillas y otros elementos divisorios Categoria de uso
Fuerza horizontal (kN/m)
es
3,0
C3,C4,E,F Resto de casos
1,6
0,8
40 Matenal protcqido por derechos de autor
ACCIONES EN LA EDIFICACION
ACCIONES VARIABLES •
Viento. O La acción de viento produce sobre cada elemento superficial una fuerza perpendicular
de presión o succión. o La distribución y el valor de las presiones que ejerce el viento sobre un edificio y las fuerzas resultantes dependen: • de la forma y de las dimensiones de la construcción. • de las características y de la permeabilidad de su superficíe. • de la dirección, de la intensidad y del racheo del viento. O La acción de viento. qo puede expresarse como:
Iqc =qb L L
L
·c" .epl
/a presión dinámica del viento (0,5 kN/m2). c. e/ coeficiente de exposición, tiene en cuenta los efectos de las turbulencias originadas por el relieve y la topografla del terreno. cp el coeffclente e61ico o de presión, depende de la forma y orientación de la superficie res pecio al viento.
qb
41
Matenal proteqido por derechos de autor
•
ACCIONES VARIABLES •
Viento. o Las estructuras se estudiarán al menos bajo la actuación del viento en dos direcciones ortogonales y en ambos sentidos. o En las superficies a barlovento y sotavento será necesario tener en cuenta la acción de fuerzas tangenciales si su valor supera el 10% de la fuerza perpendicular debida a la acción del viento. o
Las fuerzas tangenciales se calculan como el producto de la presión exterior por el coeficiente de rozamiento. o Valores del coeficiente de • 0,01 para superficie • 0,02 para superficie • 0,04 para supelficie
rozamiento: muy lisa (acero, aluminio). rugosa (hormigón) muy rugosa ( existencia de ondas, nervadura o pliegues).
42 Matenal protegido por derechos de autor
ACCIONES EN LA EDIFICACION
ACCIONES VARIABLES •
Viento.
o Valores del coeficiente de exposición, • En edificios urbanos de hasta B plantas puede tomarse un valor constante de 2,0 con independencia de la altura, Altur~ do:t punto con,Ic:I.,ado (m) Grado d••• poru. d.' ent4tno
Borde del mar O de
3
6
9
12
15
18
2_
30
1.
la¡¡o) con una ¡;~1f'1do de agua cm 1:. diroc;c.iOn dO'IVIoola da ~I mono; 5Km de k)ngitud.
2'2
2'5
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11.
Tem!fl() ,ura' 'aMO ain ooet&eUloe. ni 3fbol8do de ~l1andL
2·'1
2'5
2'1
2'9
YO
3',
3'3
3'5
111.
Zona rutaJ occide.nt:adao nana con alg....,~ObstActJo~ aislados. como 4r· bOles o construoclooes pequenas.
''6
2'0
2'3
2'5
2'0
27
2'9
3'1
IV,
Zona taro.na en general. Nuatrlst o
,'3
1'4
''1
''9
2',
2'2
:ro
2'6
V.
Centro 00 negoQo de gran:f81 cludad" •. con profU$i6n do odnlCios
''2
,'2
,'2
1'4
1'5
''6
''9
2'0
luril.
1,1'1
tOf8:S1a1. CIfl
ill.
43 Material protegido por derechos de autor
ACCIONES VARIABLES •
Viento.
o Coeficiente eólico de edificios de pisos. • Se considerarán coeficientes eólicos globales a barlovento y sotavento. • La acción del viento se aplica sobre la superficie proyección del volumen edificado en un plano perpendicular a la acción del viento.
Altura di' punto con.kM,ado (m) <0'25
0'50
075
1'00
1'25
55'00
Coeftclenla .óllco d. pt'.t.I6n., 1:0.
0'1
07
0'8
0'8
0'8
0'8
COlftdence IOlico d. IUcd6n. ~
~'J
..
~'5
-cs
~
~'.
~
44 Material protegido por derechos de autor
ACCIONES EN LA EDIFICACiÓN
ACCIONES VARIABLES •
Nieve.
o
La intensidad y la distribución de la carga de nieve sobre la cubierta de un edificio, depende de: • El clima del lugar. • El tipo de precipitación. • El relieve del entorno • La forma del edificio o de la cubierta. • Los efectos del viento • Los intercambios térmicos en Jos paramentos exteriores.
O El valor de la carga de nieve por unidad de superficie en proyección horizontal, se ob-
tiene mediante la expresión: ).l
coeficiente de forma de la cubierta.
Sk
el valor característico de la carga de nieve sobre un terreno horizontal.
45 Material protegido por derechos de autor
CALCULO ESTRUCTURAl
ACCIONES VARIABLES •
Altitud (m)
kN'''''
O
O'Z
200
0'3
400
O''
500
O''
o La Comunidad Valenciana pertenece a la Zona Climática
600
0'5
5 (Anejo E del Documento Base SE-AE), En cada localidad, podrá tomarse, como valor de la sobrecarga de nieve en un terreno horizontal, el que figura en la tabla,
100
0'6
60D
07
900
0'8
100
0'9
1200
1.
1'00
1'8
1600
2'5
Nieve. [.J
La carga de nieve sobre una superficie horizontal se supone uniformemente repartida, y su valor en cada localidad puede fijarse con los datos estadísticos locales,
46 Material protegido por derechos de autor
ACCIONES EN LA EDIFICACION
ACCIONES VARIABLES •
Nieve.
o Coeficiente de fonna de la cubierta: • Faldón limitado inferiormente por comisas. o No hay Impedimento al deslizamiento de la nieve. • Jl e 1 para cubiertas con inclinación menor o igual que 30° • Jl O para cubiertas con inclinación mayor o igual que 600 D Hay impedimento. • Jl 1 para cualquier inclinación.
= =
• Faldón que limita inferiormente con una Iimahoya. o Faldón sucesivo indinado en el mismo sentido. • Se tomará el factor de forma del faldón inferior (el de debajo) para ambos. o Faldón sucesivo inclinado en sentido contrario.
• Jl.=1+~/30·$2
47 Material protegido por derechos de autor
ASIGNACiÓN DE ACCIONES SOBRE UN PÓRTICO DE UN EDIFICIO •
Para asignar las acciones superficiales de un forjado sobre las vigas de un pórtico:
o o
Se considera una franja de un metro de ancho sometida a una carga de 1kN/m2. Se analiza una "barra" que sigue la dirección de las viguetas y se apoya sobre los pórticos. El esquema de cálculo es: • En los forjados metálicos, el de una viga continua o biapoyada (ver figura). • En los forjados unidireccionales de hormigón, según la normativa vigente.
O La reacción en cada uno de sus apoyos, constituye el ámbito del pórtico correspon-
diente. • En los apoyos extremos se toma, siempre, como valor del ámbito la mitad de la luz del vano. O El valor de la acción (kN/m) sobre un pórtico se obtiene multiplicando la acción (Carga
permanente, Sobrecarga de uso, Sobrecarga de nieve) por el ámbito.
48 Material protegido por derechos de autor
ACCIONES EN LA EDIFICACiÓN
ASIGNACiÓN DE ACCIONES SOBRE UN PÓRTICO DE UN EDIFICIO •
Forjado metálico. Viguetas biapoyadas
Ambito
= { Semisuma de las luces de los vanos adyacentes
Continuidad de la vigueta
Ambito
= Reacción de la viga continua 49 Material protoqido por derechos de autor
Matenal proteqido por derechos de autor
.
PREDIMENSIONAOO DE UNA ESTRUCTURA
•
. .'
INTRODUCCiÓN •
Objetivo
o
Hacer una primera propuesta que se aproxime a la solución.
o En estructuras hiperestáticas es "necesario" partir de una propuesta aproximada para obtener una solución óptima.
IPN
IPN-200
=:5Tm •
..
•
53 Material protoqido por derechos de autor
INTRODUCCiÓN •
Datos:
o Memoria descriptiva.
o
Distribución en planta.
D Alzado.
3m 4m
6m
15 7
3 Sm
<
'1
1
"
R
1
4m
6 2
, Sm ]
mI
,
sX <
1
,
-4
10 <
,
9
3m
1
,
<
4m
12
.8 4m
13
3m
3m
"lm
~+-
~a_
-?( lm~
54 Matenal protegido por derechos de autor
PREOIMENSIONAOO
DE UNA ESTRUCTURA
INTRODUCCiÓN •
A partir de la memoria descriptiva obtenemos las acciones:
o Peso propio.
o o
Sobrecarga de uso. Nieve.
o Viento.
o •
Etc.
Conocidas las acciones, calculamos para cada forjado los valores de:
o o
Acciones permanentes. Acciones variables.
55 Material protegido por derechos de autor
PREDIMENSIONADO DE PILARES b
t
3
Z5m
!
f
•
I I I L ___
-- ---, , I
, I
2
5m
I
---:- I
I I .....
I I!
I
,
.1m 2'5m
l
I
.J
I 1- -I I
, I I
I I I
---,...-,
,
•
Identificación, en cada pilar, del área de influencia (A), mediante un reparto isostático.
,
•
La carga aproximada sobre un pilar se obtiene como suma de:
, - -,,
I I
13
,, --, 9
o 1'5 . A . (Acc. Variables).
,
8
I
14
o 1 '35, A· (Acc. Permanentes).
L __
I I
15
---------~, 10
I ___
11
12
o 1 '35 . b . (Peso Cerramientos, si exlsten).
T5m
56 Matenal protegido por derechos de autor
PREDIMENSIONADO
DE UNA ESTRUCTURA
PREDIMENSIONADO DE PILARES 6m
4m 15
1
3
11
1
, ,
o
1
6
,
10
2
, 5m
mi
1
1
,
525: , , , <
d
+
M7
w~
+
M
)'<1
W.yd
1 L-
9
,
4
13
-N n
8
lo - ON+OMI
12 3m
4)1tJ.
La tensión debida al momento tiene mayor influencia: En los pUares extremos. Cuando los vanos contiguos llenen luces desiguales. En la última planta,
O
Nd
- o
+
M7,d
Wz 57
Matenal proteqido por derechos de autor
PREDIMENSIONADO DE VIGAS
J
3'S
m'
I I I I t~
1
---{-------l-----
.
•
,
'\
3m 1
l
I I
I~
"
1
2'5 m
/'
»:
2
"
Identificación del ámbito (Ab) para cada pórtico, mediante un reparto isostático.
15
11
2'5 m
"""'::''::'=;0+-::''::'":'::'''
•
2m
I
I
10
"
9
"
8
I I I I I I I I I
13 '\
l4
La carga aproximada sobre una viga se obtiene como suma de:
o o o
~
12
1'35' Ab . (Acc. Permanentes). 1'5' Ab . (Acc. Variables). 1'35 . (Peso Cerramientos, exlsten).
SI
•
58
Matenal proteqido por derechos de autor
PREDIMENSIONADO
DE UNA ESTRUCTURA
PREDIMENSIONADO DE VIGAS •
Para obtener el momento flector en una viga consideramos a ésta como una barra blapoyada de longitud el 800/0 de su valor real.
00
Carga uniforme
:: o'so· L
•
0'80, L
Para el cálculo de la flecha, el valor de la carga es la suma de:
o Ab· (Acc. Permanentes).
o
0'7· Ab . (Acc. Variables).
o (Peso Cerramientos, si existen)
0'80' L
rr=-
0'0054 . Pd • L~I El S9
Material protoqido por derechos de autor
Matenal protcqido por derechos de autor
CONCEPTOS PREVIOS Al. CALcul.o
DISEÑ
o ESTRUCTURAL
MATRICIAl.
NECESIDADES ~
," ALTERNATIVAS
I
CARGAS
I
)
MODELO ESTRUCTURAL
(
I
PROPIEDADES
I
~
ANALISIS ESTRUCTURAL. Solicitaciones y Movimientos
/.
"
~
ANALISIS DE ESFUERZOS. Tensiones y Deformaciones
DESECHADO
ACEPTACiÓN DISEÑO?
I
~
SOLUCiÓN
MODIFICAR
I 63 Material protoqido por derechos de autor
CAlCULO ESTRUCTURAl
INTRODUCCIÓN •
Principios básicos:
o
Principio de pequeñez de las deformaciones.
o Principio de superposición de estados. o Principio de proporcionalídad. •
COMPORTAMIENTO ELÁSTICO DEL MATERIAL
Coeficiente de rigidez:
o Acción necesaria para producir una deformación unitaria en la dirección de dicha acción
P
I
L
t
O¡--....::====:::::::::j_¡
D
= (L3/3EI)·P
I K=3EIILJI
64 Matenal proteqido por derechos de autor
CONCEPTOS PREVIOS AL CÁlCULO MAmlCIAL
COMPORTAMIENTO ELÁSTICO DE UNA BARRA -----:::~.
"~e'-:::::-'--':::_----=_'-_'=---"-""_'--'-
OA
A
~'-.-._
.- -
~e
-'-" ..._ ...._-.....--.- ...--._.
AA • A.A
Desplazamiento
longitudinal
• OA
Desplazamiento
transversal
• eA
Giro del extremo A.
• Aa
Desplazamiento
longitudinal
• 08
Desplazamiento
transversal
• e8
Giro del extremo B.
del extremo A respecto de B. del extremo A respecto de B.
del extremo B respecto de A. del extremo B respecto de A.
65 Material protegido por derechos de autor
COEFICIENTES DE RIGIDEZ •
•
Desplazamiento longitudinal del extremo A
E·n
N" A
I
A'
KII=-L
... ·A--__.:::======::::::_---AA L
F1, = O ~ N A = N
8
~
OOl--y/
NA
=
N8
=
E·n
-L-'
AA
66 Matenal protcqido por derechos de autor
CONCEPTOS PREVIOS AL cALCULO
MATRICIAL
COEFICIENTES DE RIGIDEZ •
Desplazamiento transversal del extremo A
T
Equilibrio estático
= T J1
A
{ ¡'.f •
MB~
'¡'TB
r-------------------------~
8
= T •. L
=0=-·I (T . L El 2
2
ti.
L
+M
Teoremas de Mohr
AH
A
-M.L
)
A
-
+ K,
--
]2 . E ·1
LJ
K 2 -- 6· E2 . J L
T A ·L
Resolviendo el sistema:
TA = TB M,r=MB=
12 . E ·1 ·8 JI [,J
6· E ·1
L
2
·8 JI 67
Material protoqido por derechos de autor
COEFICIENTES •
T.=TII
Equilibrio estático
DE RIGIDE.Z
{
M
A
+M
8
= T•. L
Giro del extremo A
TA
O-O
t~A
Teoremas de Mohr
L
A
K,•
-
K4
6.E .I ¿1 4· E ·1 ¿
K)=
-
'El
(TA.L2 l
-/14
),' = O = _!__.(Td• L' " El 3
-
MA
I =_.
2 . E ·1
L
+
TA ·L
.,
·L
)
Ll) 2
_ "'1 l'
Resolviendo el sistema:
TA
= Ts =
M"
-
M8
-
6.E .I
L
4· E . I
2
·tJ
L 2 . E ·1 ·tJ L
·13 A
A
A
68 au O
CONCEPTOS PREVIOS AL cALCULO MATRICIAL
COEFICIENTES DE RIGIDEZ •
Los mismos coeficientes hubiéramos obtenido si analizamos cada uno de los movimientos del nudo B.
•
Resumen de los coeficientes de rigidez de una barra: Al argam iento Esfuerzo AXIL
Esfuerzo CORTANTE Momento FLECTOR
Desplazamiento Transversal
Giro
O
O
E·o. K = " L
O O
K1= K ,- -
E .I
12 .
3
L
6· E . I L
2
6 . E ·1
K,= 1;,
,,2
4 1. I
L
".
l
r
I
L
69 Material protoqido por derechos de autor
ANÁLISIS DE LOS ESFUERZOS EN UNA BARRA
+
2 ~
I
Sistema ík refc~ia local
I S = SO + S
).
1110 V
I
Smov
70 Matenal proteqido por derechos de autor
CONCEPTOS PREVIOS AL CALCULO MATRICIAL
ANALISIS DE LOS ESFUERZOS EN UNA BARRA
NA = DA+ CII' AA + CI2' OA + CI3' eA + CI4' Aa +CIS' TA MA NB
= tA
+ C21' AA + C22' OA + e23, eA + C24' As +C2S'
= mA = DB
+ C31' AA + C32' OA +
Os+
CI6' es
Os + C26'
e33, eA + C34' As +C3S'
es
Os+ C36' eB
+ C41' AA + C42' OA + C43' eA + C44' As +e4S' os+ C46' eB
T B = tB + CSI' AA + CS2' OA + CS3' eA + CS4'
Ata +CSS' Os + CS6' ea
MB = mB + c61' AA + C62' 0A + C63' eA + C64' A.s +C6S'
Os + C66'
es
I S = SO + s",ovl 71 Material protoqido por derechos de autor
CALCULO ESTRUCTURAL
ANÁLISIS DE LOS ESFUERZOS EN UNA BARRA
•
Sistema de ecuaciones expresado en forma matricial.
NA
TA
r
nA
-
e e e e e e Ir. e e e e e e e e e e e : e ------------r----------e e e e e e C,S2 e e 53 e 54 e e C(,6 e e e 62 e ; e 1
I1
t 11
21
12
22
ll
1
23
1
A.;I
14
15
'!A
25
26
34
35
J(,
44
45
46
,,1.0
55
56
08
1 1
0;1
1
Mil
---
N
tI
To M8
m ,1
---
+
118
lo
JI
32
33
41
42
43
I I
51
'- In 8 _
61
Sil
:
1
63
64
(,5
•
tJ"
tJo
+
72 Material protegido por derechos de autor
CONcePTOS PRfVlOS AL CÁLCULO MATRICIAL
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA •
La matriz de rigidez relaciona movimientos
y solícitaciones en extremo de barra.
NA TA M .~ ---
NB TB
m JI
+
•
Mo
_. l.
+
A..
73 Matenal protegido por derechos de autor
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA •
Obtención de los coeficientes de la matriz de rigidez
NA
KII
O
O
TA
O
K,
K2
Mil
O
K2
K3
--NB Te MB
1 1 1 1 1 1 1 1
O
- K" O
-K
O
- K2
I
C 36 ---------------r------------- K" O O: «, O C% 1 1 O K O KI -K I C 56 2 I O
K2
K4
I
. I
O
- K2
O O O
C 16 C26
C(,6
•
O
ÓB O
1
78 Matenal protcqido por derechos de autor
CONCEPTOS PREVIOS AL CÁLCULO MATRICIAL
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA •
Obtención de los coeficientes de la matriz de rigidez
N
,1
TA
M
A ---
NB
TB MB
K"
O
O O
Kl K~-
O
K2 KJ
I I I I I I I I
-K
n
O
O
O
O
K, - KI O - K? K4 ---------------r--------------K n O O I Kn O O I
O O
-K K2
1
-K 2 K4
I I
I I
I •
-
O
O
- K
Kl
-K
1.
K
3
• 2
O O O O tJB
~·eB
79 Matenal protcqido por derechos de autor
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA
•
Expresión de la matriz de rigidez de una barra referida a ejes locales . I I I I I I I I
-K 11 O O K" O K2 O -K I K2 K. K, O O -K 2 KJ K4 ---------------r--------------K O O: K" O O O -K • - K.• III O KI - K 1. I -K 2 O K2 K) K4 I. O O
NA
TA MA --NB T8
II
Mo
O
AA
8A •
tJA
-AO
80 tJo
)1
80 Matenal proteqido por derechos de autor
CONCEPTOS PREVIOS AL CALCULO MATRICIAl.
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA •
Propiedades:
o o o
Es una matriz cuadrada de orden 6. Es una matriz simétrica. Los elementos de la diagonal principal son positivos y no pueden ser nulos.
O El elemento Gij representa la solicitación
D
de orden j originada por el desplazamiento unitario de orden j. N
I\f
r-
lO'
NA
-;::::::::::-
A.A A·.-::..--.---___
...-.......~--.. 9A ----"-1 • I 0A'
r.t._
t T.
!J6.L,..oo B
"..,--...
---
.
OH
I
t .
8.I T. _o
~
1..
SD S F.
[k
DO}
...[kFDJ
[kDF}
[k
FF ]
O D_ó r;
81 Matenal protegido por derechos de autor
Matenal proteqido por derechos de autor
..•
M¡;TODO DE LA RIGIDEZ
.
-
FUNDAMENTOS -
111
•••
:11.1111
(O) 1
Estado final
2
«Nudos sin movimientos. «Cargas en $IIS posiciones iniciales.
Calcular 1:1$solicitaciones en extremo de barra considerándola colno biclllpolrada.
+ «Nudos con libertad de movimiento
«Cargas en los nudos:
Aplicación de los principios de:
«Reacciones. cambiadas de sigilo, de las barras biempotradas
• Pequeñez de las deformaciones.
• Proporcionalidad. • Superposición de estados.
(1)
85 Matenal proteqido por derechos de autor
FUNDAMENTOS 1I
COMPATmILIDAD DE MOVIMIENTOS ~
t~-===~~.~I==~)I 1
UJ4
3 •••••••••••••••• ,..
3
S.""",d.,.fn ... l.
,
•
G' J
••
~ üíJi)®WÍiüíJi)O@üüQ@@
@üil @@cq]@ ÜÜ{!!]cq]@
86 Matenal proteqido por derechos de autor
METODO DE LA RIGIDEZ
FUNDAMENTOS 11
EQUILIBRIO DE NUDOS
11
.l4
I Fx
NJI
I
= - TJI + N3~
o
~ @@(!!]@@O@OU®§ ®OU @@~@
OU(!!]~@
1 Fy=NJI+T3~1
..
~
87 Material protoqido por derechos de autor
FUNDAMENTOS 1I
¿Movimientos en los nudos?
I
[PO@IJU~@@üUí)O@IJU~@
'{j D'@@@O(ll]@O@üU
@J® (ill1JU @O@~®üUí)@ @J® ~üU @@(ill@@O@üU@@
(1)
88 Material protegido por derechos de autor
METOOO DE LA RIGIDEZ
MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN
Al resolver la estructura obtenemos los:
MOVIMIENTOS DE LOS NUDOS Referidos al sistema de ejes generales
.... 4
3 ....
Y
[ /). I l'
J, [ /). 2 J, [ /).) J , [ /). 4 J
Sistema de referencia
GLOBAL
Necesitamos relacionar
_l
L
J
Conocemos: Las solicitaciones en extremo de barra en función de los desplazamientos de sus extremos referidos a ejes locales
Por ejermlo:
r S),:_S4_J4
-
rrkDoJ [ k
FIJ
[k DF J"
J
[kFF]
r- g 3-
34
g4
34
89
cAlCULO ESTRUCT\JRAL
MATRIZ DE TRANSFORMACiÓN
cos a
x
-
y Z
sen
(J.
j
- sen ex
.aJ O
c:o~
_J'
G
O
O
1
1I
u
CAl\I1BIO DE EJES
1I
v \V
ley]
L
G
= [R][v]
L
I
y
[Rj',[V)G 2
..
_
...- ..
'
,_ oo'
0'-
........ ;:;:.... : '. ··· ... ·· . ··· · ;"
••
•
=
[R]-'.[R).[v],.
I
•
x
90 Matenal proteqido por derechos de autor
MErODO DE LA RIGIDEZ
MATRIZ DE TRANSFORMACiÓN MOVIMIENTO
En una barra cualquiera
DEL NUDO DORSAL
Ejes Locales
UD
Ejes Globales
Xo
[00]
VD
[tlDJ=
Yo
=
¡J D
go \
F D
MOV1MIENTO DEL NUDO FRONTAL
Sis"t()OU de: reCerenc:i:a
Ejes Locales
[OF]=
U F
vF
IrOFJ
=
[R JT [6.FJ
I
Ejes Globales
[AF]=:
gF 91 Matenal proteqido por derechos de autor
CALCULO ESTRUCTURAl
MATRIZ DE TRANSFORMACiÓN •
La matriz de transformación relaciona las solicitaciones movimientos de los nudos (ejes globales).
I{ Oo }
{R }
r-
•
So
=
S F.
T {
6
D}
I ""
T
I{OFJ=[R
\
v
=
(ejes locales) en función de los
J [6FJI
[ kooJ
{kOF
.._{kFOJ
{ k
-
r-
J_
t,
.
J FF
.?
00
o
F.
¡ r-
SD
'-S F.
-
{kooJ·{RJT
{kv,.-J·[RJT
{kFOJ-[RJT
[kFFJ·{
r-
RJT
D.o D.F
92 Material proteqrdo por derechos de autor
1.18'000 DE LA RIGIDEZ
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA EN EJES GLOBALES
)(,11 31
I Equilibrio de nudos I
\
r
F .. I
Ó
V
I
- L:
Fy M:
I
F
F .. +L
Fs ,_M :
Á
/) I
Fy M
e , F,
93 Matenal proteqido por derechos de autor
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA EN EJES GLOBALES El equilibrio de los nudos se plantea en ejes globales.
Fit -
Fy Sistema de refcrencl
GWBAL I I
I
M:
P.r
Fx
;
L
+
pr
M:
D,
L
Fy
M:
F,
c;::;::¡2_ I X
Conocemos: Las solicitaciones en extremo de barra en función de los movimientos de los nudos. 94 Matenal proteqido por derechos de autor
.-
MBOCO DE LA RIGIDEZ
.-
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA EN EJES GLOBALES .<\CCIONES EN EL EXTREMO DORSAL
Ejes Globales [A o] =
En una barra cualquiera
..,"'\~ .
óI:
{(.
[R][ So]
ND
Eícs Locales
- [S o]
I
=
TD Mo
F
ACCIONES EN EL EXTREMO FRONTAL
o
=
\
~\
1
I[ AD]
y
E es Globales [A F J =
I[ A F]
=
[R][ S F]
I
NF TF MF
95 Material protoqido por derechos de autor
CALCULO ESTR.UCT\JAAL
•
~
-
0--
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA EN EJES GLOBALES •
La matriz de rigidez en ejes globales relaciona las acciones (ejes globales) en función de los movimientos de los nudos (ejes globales).
~-------------'.~ I[ A o] = [Rl[ Sol I
I[ A,.. 1 = [Rl[
F
S F]
I
\
r
[kDD]·[R]T
So
/lD
=
S ~.
-
[kFO]·[R]T
v SíSLCJN de rcCe:rt.:I1C:l1l L_-l(;J..!.!,U~)III\~I.~
-
X
Av
[RJ[
kDDJ[R
]T
[R][ kVF][R]r
/lo
[RJ[ kFD][R
Jr
[R.7f k FJo" JfR J T
/l F
96 Material proteqrdo por derechos de autor
MIOTOOO DE LA RIGIDEZ
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA EN EJES GLOBALES En , [2EI , -co.v·a+-SCO·Cl l
1.'
En 12EI) SCllQC04Vo. ( ---LL'
(ro ---
L
[2EI)
1.'
En'~n'~+' IlEI ~.'~ ......... ~.....".....
1.' 6EI -cosa
L
6E1
--sena
(ro
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6E] senaco.ra--sena
12EI 1 12EI~ 6EI --co.r'a---sen a --+-nacosa --sena l' L L' L L' L' 6EI ( --+En 12EI} nal."Oj·(l --sen·a--co..f E!l, 12EI, -cosa. ex -,61::1 ('(),ra L'
-sena
L' 6EI --cosa-
-cos' Cl+-sen'a
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LL'
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l
6EI
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En 12EI) en, (l--cos'a 12EI , nacosa --sen ( --+l.l.' l. 1.' 6EI L'
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6EI L'
-COSCl
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J
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-
2EI
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[K lo = - -00---- --- i2M - --,-- --( -Eñ--i2El}U------ -- '6i'-¡- _L... -r- Éñ- ----- - ¡2M --- -- -'--cos' Cl---5<:II"Cl --+L L' L
L
-SCII
LI!
L
6EI l'
-sena
L'
6El --caraL'
-~enlX
L'
4El l
a G
97 Matenal protcqido por derechos de autor
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA Matriz de rigidez de la barra coordenadas globales
t
A
[ AF
y
GLOBAl L..-....:.<~~~
X
Ecuaciones de equilibrio
J,
=
[A
IfA ] IfA ])
[A J)"'[Ar],)+[A[,)). [A
J. = [A F J.» + [A
r ]24
= [Km]o
[K
I)f
[Kff
1[,1
2
IrA JI= ¿r AO]I+
_----1
I[A J,=[K'do
D ],)
[[ K DO Jo
Jo] Jo
[d 0] di'
Ecuaciones de equilibrio en un nudo
Sistema de R:{ae:ncia
[A
0]
Ja[d,]+[K'¿,_.
Ja[ó,]1
= [
K ~ i a f.á. 2J + f K:;
0%
K
[
1.•= [K~
~D ]
Gf t.,i
1a{t.JJ+
+ [ K
[K::
'f.r AF]¡I
]
~F ]
G
f .á..J
I
G[ t.)J + [ K ~~ ] Gf t. Ji + f K::" ] ei f d.J
1G[t.4]+IK~
1a{t.2]+[Ki~-1G[t..J
98 Material protegido por derechos de autor
MÉTOOODE LA RIGIDEZ
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
[A ]1 [A ]2 [A ]3
J4
[A
K
IJ
O
I I
DO
I I
K
13 OF
I I
O
---------~---------~---------~--------K O K O 1 I
24 DO
I I
I I
24 OF
---------+---------+---------~--------I O I K 13 + K 34 I K 34 K 13 FO I I FF DO I OF 24 34 34 24 I K I K I K +K O 1 ro I ro I FF FF
[~I]
[~ 2] [~ 3]
---------~---------~---------~--------- [~ I[A ]
v 1
Sisttml de rcfc:rcnei:l
'-_-"Q""O""""I,,--~ X
1 ..
[
K ~ ]
I[A 12=
rKi:o
IrA J,
=
[K
IfA ].
= (
G [
6 i J + [ K;;,.
]¡;r611+
'lD ] G
rKf:"
1G [
6 ,J
I
J,,[6.]1
f 611 + f K 'iF J G f 6,1'" f K ~ J GrA,]
K ~~ ] e (
AJ J +
4J
f K ~ ] e fA. 1+ [ K ~~ ] e [
... r K ~~ J G [6.J
Al] +
f K ;.~ J G f
6.]
99 Material protegido por derechos de autor
CAlCULO ESTRUCTURAL
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA •
Propiedades: o Cuadrada de orden 3n x 3n.
n Simétrica en banda.
o
Los elementos de la diagonal principal son positivos y no nulos.
O En la diagonal principal se suman todas las sub matrices correspondientes a las barras
que concurren en el nudo asociado a cada término de dicha diagonal. J
Cada una de las cuatro submatrices de rigidez de la barra (referidas a ejes generales) se colocan en la casilla correspondiente a su nudo dorsal y frontal.
o
Las casillas correspondientes a nudos que no están unidos por barras se rellenan con una submatriz nula de orden 3x3.
100 Matenal protegido por derechos de autor
MÉTODODE LA RlGIDEZ
ANÁLISIS DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO Los movimientos de los nudos uno y dos son nulos
4
3
D Las columnas "uno" y "dos" multiplican a términos de valor cero
____ L____
[A ]1 [A]2
[A ]3 [A ]4
K o =
I
I
I I
K
_
~
24 DO
I I
ro
I
I
I
K13o.
O
~
I
I I
_
O
I
K
24 01'
---- 3----+-------+---------~--------I I K 13 K 34 I K 34 K o I I FF + DO I OF ---- ----~---- ----~---------,--------I 24 I K ).1 I K 24 + K 34 I
ro
I
FF
.
~
101
Matenal proteqido por derechos de autor
-
•.
cALCULO ESTRUCTURAl
." ------"
OBTENCiÓN DE MOVIMIENTOS
... 4
Sistema de ecuaciones ro [A
13-
[A J~ L..'
r-
-
K
13 FF
.H
+ K DO
1 1 1 1
;¡.¡ UF
K 24 34 K 1'1' +K rF
--------~--------K 3·) FO
Acciones sobre los nudos libres
[A ]1 [A 12 [A ]3 [A ]4
l
-[6,1" [64J
I
Matriz de rigidez reducida
K o
1 I
I 1
K
13 DF
1
Movimientos de los nudos libres
O
1 1
----~---1 K 24----~---------~--------1 O 1 K 24 1
DO
I
1
FO
I
---K 3 ----+---1
OF
I
----~---------~--------I K 13 + K 34 I K 34 1 I FF 00 I OF ----T-------~---------~--------1 24 I K :H 1 K 24 + K 34 I-D
1
FF
Ff'
102
Matenal proteqrdo por derechos de autor
M~TOOO DE LA RIGIDEZ
SOLICITACIONES Conocidos los movimientos de los nudos -----------, 13
K FF
+K
34
00
K 34OF I IK24+K34 I 1'1'
J
I
---------1--------K J4
FO
1
1'1'
Para cada barra:
-s o -
- oSo
o
-
SF
-
..
1)
...,.---r-
...,.'-'--r-
...,. r
Solicitaciones estado (O)
Matriz de transfonnaci6n
Movimiento de los nudos
,--,---'
L-----,
L-----,
103 Material protoqido por derechos de autor
CALCULO ESTRUCTURAL
• ..
:-
REACCIONES Producto de matrices ~
-
I
Reacciones
I
O.
1
j
O
----1---I l·
O
K
~4
/
DF
I
Matriz de coeficientes
[A ]1
[A ]2 [A ]J [A ]4
K
13
K ----
1
I
K
13
I
,"
/
!
"
Movimientos de los nudos libres
O
----~-------~---------~--------1 24 I O K 24
D
1
I
----
I K3 o I ---- ----T---I
I
.
D'
I
I DI----~---------~--~-----I Kl.l K34 I K34
I FF + DO I DF ----~---------4--------J4 24 34 24 I K I K +K m I ro I FF ff
104 Material protegido por derechos de autor
Material protoqido por derechos de autor
SIMPLIFICACIONES POR SIMETRIA
SISTEMAS SIMÉTRICO y ANTIMÉTRICO
p
p
p
p ~
M
PERMITE:
M
Desplazamiento según el eje S.
I
M
M
PERMITE: Desplazamiento perpendicular el eje A.
IMPIDE:
Giro en el eje A.
Desplazamiento perpendicular el eje S. Giro en el eje S.
IMPIDE:
Desplazamiento según el eje A.
107 Material protogido por derechos de autor
ANALISIS DEL ESTADO SIM~TRICO •
Nudo situado sobre el eje de simetría o No puede girar O No puede desplazarse perpendicularmente al eje.
o Puede desplazarse en la dirección del eje de simetria
108 Matenal protegido por derechos de autor
ANÁLISIS DEL ESTADO ANTIMÉTRICO •
Barra cortada por el eje de antimetria
o Se añade un nuevo nudo en el punto medio o Se procede igual que en el caso anterior
~
de la barra
,
~
, I
,, ,\
, I I
,
•
~
I
e:
r~
,
B
,\
I
I I I
&
&
112
Material proteqrdo por derechos de autor
SIMPLIFICACIONES
POR SIMETRIA
,.
1ii1i1
ANÁLISIS DEL ESTADO ANTIMÉTRICO •
Barra coincidiendo
con el eje de antimetria
o El nudo B: • No tiene desplazamiento en la dirección del eje de antímetria
O La barra AS no tiene esfuerzo axil.
r
~
,, ,
A
~,
~
o'
"'-/ o
('
A
'Sección de la barra AS: nAS 'Inercia de la barra AS: 1"8
&
Sección de la barra CO: neo Inercia de la barra CO:
= nlllll
leo'" IAB /2
2
& I 13
Matenal proteqido por derechos de autor
.
CALCULO ESTRUCTURAL
.
.~.::.
ESTRUCTURAS SIMÉTRICAS DE FORMA
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
q2
I
p
ql
Una estructura simétrica de forma, sobre la que actúa un estado cualquiera de cargas, siempre puede analizarse como superposición de dos estados, uno simétrico de carga y otro antimétrico.
114 Matenal protegido por derechos de autor
SIMPl..IFICACIONES POR SIMETRlA
ESTRUCTURAS SIMÉTRICAS DE FORMA q2
11111111111111111111111111111I111111111111111111111111111II11
•
Estado simétrico
o
simétricas.
PI:!
P/2
o
• P/2
- O'S'q I
I
O'S'ql
111111111111111111111111111111111111111111111
P/2
Se colocan las cargas que inicialmente son Las cargas no simétricas se reducen a su mitad. colocando la otra mitad en los puntos simétricos.
Estado antimétrico D Se construye el estado antimétrico de modo
que compense las diferencias existentes entre el estado original y el simétrico.
115
u
ESTRUCTURAS SIMÉTRICAS DE FORMA 111111111111111111111111111111111111111111111111111
ESTADO SIMÉTRICO
P/2
r
I ...",... ~
" \.
I
.:
F ~I
at: 1/2
Esquema de
I
cálculo 116
Material proteqrdo por derechos de autor
SIMPUFICACIONES POR SIMETRlA
1 ESTRUCTURAS SIMÉTRICAS DE FORMA I I
ESTADO ANTIMÉTRICO
~--~I-
P/2
12 2
I
Esquema de cálculo
I
1 17
Matenal proteqido por derechos de autor
Ejercicio 1
Matenal protegido por derechos de autor
CÁLCULO DE ACCIONES
E1: A partir de la memoria descriptiva, que a continuación se expone, obtener:
•
e
Valor de las acciones permanentes y variables, sobre cada planta.
o Identificación de las diferentes acciones para la correspondiente verificación de la estructura. D Combinación de acciones para la verificación de: • La resistencia. • Las deformaciones.
¡1'2 m
. .
I~ In
3m
I
IX
10m
•
:; m •
.
4m
planta
~----------~~------_.~=,'2rn
12m
1m
1~1~.
~1~2~lll~
___
121
Material protegido por derechos de autor
CÁLCULO ESmUCTURAL
r·
.
.
..~. .
MEMORIA DESCRIPTIVA •
El edificio tiene cuatro plantas y está situado en el pollgono industrial de Palporta.
•
En la planta baja (h = 4 m), está el Salón de Actos y el resto de superficie se corresponde con las zonas de acceso a las distintas partes del edificio.
•
La primera planta (h = 3 m) está destinada a oficinas de atención al público sin que los puestos de trabajo estén fijos.
o
Se considera una superficie de tabiquerla de 0'7 m2/m2 de superficie de planta.
•
La planta segunda y tercera (h = 3 m) están destinadas a despachos de oficinas sin atención al público. o La superficie de tabiquería es de 1 m2/m2•
•
La estructura es de hormigón armado y el forjado es unidireccional de 0'27 m de canto.
•
En todas las plantas el pavimento es de terrazo sobre mortero de 50 mm de espesor y los techos están enlucidos con yeso.
122
Material protegido por derechos de autor
cAlCUlO DE ACCIONES
MEMORIA DESCRIPTIVA •
La cubierta es plana, a la catalana, con acabado de grava. D Solo se permite el acceso para su conservación.
•
Los cerramientos de fachada y medianeras están formados por una hoja de albañilería exterior y tabique interior. D
•
Su espesor total es de 0'24 m
Los cerramientos
interiores (hueco de escalera, patio de luces, etc.) están formados por
un tabicón de 0'12 m de espesor. •
El antepecho de la terraza tiene una altura de 1'20 m y está formado por ladrillo hueco de 90 mm de espesor, enfoscado de cemento por sus dos caras.
123 Matenal protegido por derechos de autor
'.
~.
CALCULO ESTRUCTURAL
VALOR DE LAS ACCIONES PERMANENTES •
Se obtienen a partir de los datos que figuran en el Anejo PESO PROPIO
e del OB-SE-AE. Tabla
Forjado:
3'00 kN/m2
C.5
Pavimento:
0'80 kN/m2
C.3
Revestimiento techo:
0'15 kN/m2
C.4
Tabiquerla P1:
0'56 kN/m2
Tabiquería P2-P3:
0'80 kN/m2
Como valor de dicha carga equivalente se podrá adoptar el valor 0.8 kNlm2 multiplicado por la razón media entre la superficie de tabiquerla y la de la planta considerada.
Cubierta:
2'50 kN/m2
C.5
124
Material protegido por derechos de autor
CALCULO DE ACCIONES
IitiJ VALOR DE LAS ACCIONES PERMANENTES •
Se obtienen a partir de los datos que figuran en el Anejo FACHADAS y CERRAMIENTOS
e del OB-SE-AE. Tabla
Fachada:
7 kN/m
e.s
Cerramientos interiores:
5 kN/m
e.s
Antepecho:
1'68 kN/m
C.4
El peso de las fachadas y elementos de compertJmentec!ónpesados, tratados como acción local, se asignará como carga a aquellos elementos que inequivocamente vayan a soportar1os, teniendo en cuenta. en su caso. la posibilidad de reparto a elementos adyacentes y los efectos de arcos de descarga. En caso de continuidad con plantas inferiores, debe considerarse. del lado de la seguridad det elemento. Que la totalidad de su peso gravita sobre st mismo.
125 Material protegido por derechos de autor
cALCULO eSTRUCTURAL
VALOR DE LAS ACCIONES VARIABLES •
Según el capitulo 3 del OB-SE-AE.
SOBRECARGA DE USO Planta 18:
Cubierta:
Tabla 3 kN/m2
3.1
2 kN/m2
3.1
1 kN/m2
3.1
Zona de escalera Plantas 28 - 38:
3 kN/m2
Cubierta:
1 kN/m2
En las zonas de acceso y evacuación de los edificios de categorlas A y B, tales como portales, mesetas y escaleras, el valor correspondiente a la zona servida se Incrementará en 1 kNfm2,
NIEVE En cubiertas planas de edíficlos de pisos situados en localidades de altitud inferior a 1.000 m, es suficiente considerar una carga de nieve de 1,0 IINJm2,
126
Material proteqrdo por derechos de autor
cAJ..CULO DE ACCIONES
I VALOR DE LAS ACCIONES VARIABLES VIENTO
Ci ............
,
_ ...
De forma simplificada, como valor en cualquier punto del tenitorio espai'lot, puede adoptarse 0,5 kNfm2•
...."
_
.~.
o Ot lA h)o.. '!t8'to lIlt .,..,.
11
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"
>.
Lo.
In 2
....J.
--'-
...o..
77
"
1/
En edificios urbanos de hasta 8 plantas puede tomarse un valor constante, independiente de la altura, de 2,0.
",., ,., ,. ,.. n ,.. ,.. ,. ,., n
uw ... ..".._...,- ..
e
lO
•,.. • ,.,• ,." ...
b.IIo. .~.
........ _-- ...,'" ,.
=========] q Iq O '5 kN j I r.!:!
"1
•• ,.
Presión
I q ~ = 0'5 . 2 . 0'8
0'8 kN j m
1
I
$'00
~
Succión
IC/c
O'5.2.0'6-0'6kNjll,·1 127 Matenal proteqido por derechos de autor
CÁLCULO ESTRUCTURAL
ACCIONES SUPERFICIALES SOBRE LOS FORJADOS \1"'"
:S
PEI Forjado, Cubierta, S. uso cubierta, Nieve Revestimiento techo
P3' Fo'
do, Pavimento, Tebiquería, S. uso Revestimiento techo
3+2'50+0'15
Revestimiento techo
Revestimiento techo
......
5'65kN/m2
F3°
3+0'80+0'80+0'15
475kN/m2
F2I'
F1°
2kN/m2
3+0'80+0'80+0'15
475 k,I\llr¡¡2
P1' Forjado, Pavimento, Tabiquería, S, uso
S, lI.!:.n
¡::: S
1 kN/m2 1 kNlm2
F4°
P2' Fortado, Pavimento, Tabiquería, S. uso
I A RI_
2kN/m2
3+0'80+0'56+0'15
3kN/m2 4'51 kN/m2
PB w////"'~////////#///#///#/////////////#//////#//#/////#//////////////////////#/////#//#A
128
Material protegido por derechos de autor
~.
cAl.CULO OE ACCIONES
.
~
•
I
ACCIONES DIFERENTES (hipótesis básicas de cálculo) •
G
- Todas las acciones permanentes,
•
01
-
Sobrecarga de Uso en el forjado 1°.
•
O2
-
Sobrecarga de Uso en los forjados 2° y 3°.
•
03
-
Sobrecarga de Uso en el forjado 4°.
•
04
-
Nieve en el forjado 4°.
•
051
-
Viento dirección X sentido positivo.
•
052
-
Viento dirección X sentido negativo,
•
053
-
Viento dirección Y sentido positivo.
•
054
-
Viento dirección Y sentido negativo.
129
Matenal protegido por derechos de autor
VERIFICACiÓN DE RESISTENCIA ¿'Yo.j ·Ok.j+'YP ·P+'YQ.l ·QK.I+ ¿'YQ.i ·'VO.I·QK.i ~I
•
i>1
Se comprobarán las siguientes combinaciones de acciones: 1)
1'35· O + 1'5· QI + 1'5·0'7 ·Q2 +~l
+ }'S· O'S·Q4 + 1'S·0'6·Qsl
2)
1'3S·0+1'5·Q
4
2
+1'5·0'7·Q
I
+1'5·0'S·Q
+1'5·0'6·Q SI
3)
1'35·0+1'S·Q.l
+1'5·0'7·(QI +Q2)+1'S·0'5·Q4
4)
1'3S· O + 1'5· Q4 + l'S· 0'7· (QI + Q2)+ 1'5·0'6· QSI
5)
1'35·0
+ }'5 ·QSI + 1'5 ·0'7 ·(QI + Q2)+
+1'5·0'6·Qsl
Repetir las mismas combinadones con todas las hipótesis de viento
1'5 ·0'5 ·Q4
130 Matenal protegido por derechos de autor
CAlCULO DE ACCIONES
a
f VERIFICACiÓN DE LAS DEFORMACIONES Efectos debidos a las acciones de larga duración:
Efectos debidos a las acciones de corta duración que pueden resultar reversibles:
~ G ¡~I
2)
G+0'7·Q, +0'3·Q2
3)
G + O' 5 . Q 2 + O' 6 . Q
4)
G + 0'2 ·Q4 + 0'6 .Q, + 0'3 ·Q2
5)
G + 0'5 ·Qs,
lo)
+ P + 'V 1.1 • Q K.I + ~ 'V 2.1 . Q
Ir .1
1>1
I
+ 0'6 .Q, + 0'3 ·Q2
Repetir la misma combinación con las otras hipótesis de viento.
131
Matenal proteqido por derechos de autor
Ejercicio 2
Material protoqido por derechos de autor
DISTRIBUCiÓN
•
DE ACCIONES SOBRE LOS PORTlCOS
E2: Considerando que la planta tipo correspondiente al edificio descrito en el ejercicio ante.rlor la que se muestra en la figura. Obtener
es
O El ámbito sobre cada uno de los pórticos, supuesto que el forjado esta blapoyado en todos
sus tramos. O Las acciones sobre el pórtico 7·11·15
o Los esquemas de cálculo, para dicho pórtico, correspondientes a las hipótesis básicas. é
4m
rn
15 7
3 5m
"
, 6
11
1 1 IX " 10
2
,
"
5
Jm
\
1
,
9
\
4
8
l"l t'1,-----"S",m!........,
_--,4,,-,m.!!._~ __
,
13
4m
1
, 12 3",m"'--..-".3 -"""--+
135 Matenal protcqido por derechos de autor
ACCIONES SOBRE EL PÓRTICO 7-11-15 nm
PLANTA
11
7
1 ALZADO
I rn
L,
15
1
1m
Forjado-4
Forjado..J
}m 3m 3m v I
Forjado-2
\
I
Forjado-1
V
~
\
I
~
~m \
I!
138 Matenal protegido por derechos de autor
DISTRIBUCION DE ACCIONES SOBRE LOS PORTICOS
ACCIONES SOBRE EL PÓRTICO 7-11-15 •
Acciones debidas a las cargas supeñiciales 1..11
C = 2 - Carga Permanente
7
Ámbito. 2
S = 2 -Sobrecarga ..... I:---~.
N=2
-----··-·--···-······-··--1····
1111
Datos del ejercido anlariO( Carga Pennanenta
Sobrecarga
1
4'51 kNlm2
3 kNfm2
2·3
4'75 kNlm2
2 kNfm2
-4
5'65 kNlm2
1 kNfm2
Forjado
Nieve
1 kNfm2
Forjado
e
s
1
9'02 kN/m
6 kN/m
2·3
9'50 kNfm
4 kNfm
4
11'30 kNfm
2 kNfm
N
2 kNfm
139 h s d au
CÁLCULO ESTRUCTURAl.
r
ACCIONES SOBRE EL PÓRTICO 7-11-15 •
Acciones debidas al cerramiento de fachada O
Carga distribuida: [ p =P
1111.1
j,Ul
«".m/n""
II
I
o Cargas puntuales: F7 -- -7'5 * P
F'5
1:
2 * l'
('f"rr"",¡cnlfJ
crrrll",len'u
Datos del ejercicio anterior .-----------,
17'5
4 kN
17'5
4 kN
17'5
4 kN
7
1I
15
140
Matenal protcqido por derechos de autor
DISTRIBUCiÓN DE ACCIONES SOBRE LOS PÓRTICOS
..." .. ~
ACCIONES SOBRE EL PÓRTICO 7-11-15 •
Acciones debida.s al antepecho .,
h.lIL
o Carga distribuida:
~ 01
•
11
,.¡ 111
o Cargas puntuales:
1'68 kNlm 4'2 kN~
Fu = 2 * P
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
~
,
3'36 kN
onupt'
Datos del ejercicio anterior
I'-P-.n-,,-,..-'-h~-=-J-·6-8-k-N.-í'¡-n-',
I 7
11
IS 141
cALCVLO eSTRUCTURAL
ESQUEMAS DE CALCULO •
Acciones totales debidas a la carga permanente
4'2 kN
¡ ¡ ¡
3'36 kN
12'98 kN1m
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
17'5 kN
¡
¡14'0 kN
16'SO kNlm
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
17'5 kN
14'0 kN
16'SO kN1m
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
17'5 kN
16'02 kNlm
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
7 ______ ~6~n~1
11._.
1S ~4~mL__~,
142
Matenal protegido por derechos de autor
DISTRIBUCION DE ACCIONES S08RE lOS pORncos
ESQUEMAS DE CÁLCULO •
Acciones debidas a la sobrecarga 6kN1m 1111111111111111111111111111
'11111111111111111111
4 kN!m 6...
• 2 kNlm
111'1111111111"'1111111'1'11111"111111'11111111
7
....
11
• n.
I!
'1____ ~.~ ..
ti
~imm_ __ I~
143
Mal nal pro
Ido PO derechos de aiaor
ESQUEMAS DE CALCULO •
Acciones debidas a la nieve 2 kNfm
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
7 __--__6~ln~
1 1.
~4¿ln~ 15 •
144
Matenal protegido por derechos de autor
PREOIMENSIONADO
•
E3: Considerando que la planta tipo correspondiente mostrada en la figura, se pide:
DE UNA ESTRUCTURA
al edificio descrito en el ejercicio uno es la
O Predimensionado, mediante perfil HES, de los pilares 1 y 11. O Predímensionado de la viga 7-11 con perflllPE
401
~m
,
5
7
3
, ,
5m
6
11
1 1 IX , 10
2 '
S
5m )
mI
1
4
,
,
9
\
18
,
13
4m
1
, 12
147
Material protoqido por derechos de autor
PREDIMENS'ONAOO
I•
.
~,
PREDIMENSIONADO
______
--.ló.•
DEL PILAR 1
•
Cálculo del área de influencia
•
Cálculo de la longitud del cerramiento de fachada 6m
3
•
2
,,
,, ...-.'-..:. , ,, ,, ,
S n. 1m 1
,, ,, ,
4m
-----'---~"5 7
6
I
__'=''--,
DE UNA ESTRUCTURA
5
4
1 X " "
11
1
10
13
•
Atea de influencia
2'5 x 2'5 ;; 6'25 mZ 1
" " 9 8
"
"
3 In
Longitud cerramiento fachada 2'5 + 2'5'" 5 m
12
--------~------1"2 ni
SOl
4m
3ID
3m
149
Material protoqido por derechos de autor
PREDIMENSIONADO
DEL PILAR 1
•
Cálculo del peso que se transmite en cada planta al pilar.
•
Obtención del esfuerzo axil en cada planta. n4
= 6'25'(1'35·5'65
+ 1'5·1) + S·(1'35·1'68)
= 68'4 kN
I N4d = 68'4 kN I n3 = 6·25·(1'35·4'75 + 1'5·2) + 5·(1'35·7)
I I I
N3d = 174'5 kN N2d = 280'6 kN
N'd = 394'0 kN
= 106·1 kN
I n2
= 6'25·(1 '35·4'75 + 1'5·2) + 5·(1'35·7) = 106·1 kN
01
= 6'25·(1'35·4'51 + 1'5·3) + 5·(1'35·7) = 113'4 kN
I I
150
Matenal proteqido por derechos de autor
PREDIMENSIONADO
PREDIMENSIONADO
DEL PILAR 1 Acero S275JR
\
I HEB -100 I
fy
= 275 N/mm2
fyd
VMO
= 1'05
= 261'90 N/mm2
•
Para el predimensionado del pilar no tenemos en cuenta el pandeo, por ello tomamos como resistencia de cálculo del acero un valor sensiblemente inferior al anterior, por ejemplo el 800/0:
\
,
I HEB - 100 I
fyd ""
\
209 N/mm2
Al ser un pilar extremo, suponemos que la tensión debida al esfuerzo axil es un 600/0 de total:
I HEB -100 I I- __.~~
I HEB"_ 120 I_
DE UNA ESTRUCTURA
fyd '" _¡r--
125 N/mm2
Buscamos el perfil HEB mediante la expresión:
IN
id
S
ni'
125 151
Material protoqido por derechos de autor
cAlCULO ESTRUCTURAl
•
PREDIMENSIONADO DE LA VIGA 7-11 •
Cálculo del momento máximo, [ Md
•
= 0'08 '
Pd ' L 2
I
Obtención del perfil.
Forjado
Pd
Md
IPE
4
20'S kNlm
59'040 kN'm
220
28'3 kNlm
81'504 kN'm
240
28'3 kNlm
81'504 kN'm
240
30'6 kNlm
88'128 kN'm
270
Condición de resistencia Acero S275JR
ry = 275 YMO
N/mm
= 1'05
2
I
I ryd =
261'90
N/mm2
I
3 2 1
156
PREOIMENSIONADO
OE UNA ESTRUCTURA
PREDIMENSIONADO DE LA VIGA 7-11 •
Carga sobre el forjado.
o
Verificación de flecha.
P4 = 2'0·(5'65 + 0'7'1) + 1'68 = 14'4 kN/m
r------~
Forjado-4
p;¡ = 2'0'(4'75 + 0'7'2) + 7
--------f --------4 --------4
P2 = 2'0'(4'75 + 0'7'2) + 7
7
11
Forjado-3
Forjado·2
Forjado·1
15
157
Material protegido por derechos de autor
PREDIMENSIONADO DE LA VIGA 7-11 •
Cálculo de la Inercia mlnima necesaria
I •
0'0054' Pd . L 4 I El
Obtención del perfil. E
= 210000 Nlmm2
Flecha < L/400
I Forjado
p
Iml",,,,,,
IPE
4
14'4 kNlm
3199'3'104 mm'
240
3
19'3 kNlm
4287'9·104 mm'
270
19'3 kNlm
4287'9'104 mm'
270
20'2 kN/m
4487'9·104 mrrr'
270
2 1
158
Material protegido por derechos de autor
PREDIMENSIONADO
DE UNA ESTRUCTURA
PREDIMENSIONADO DE LA VIGA 7-11 •
La solución adoptada para la viga 7-11 es la que se indica en la figura.
IPE - 240
Forjad0-4
IPE - 270
Forjado-J
IPE - 270
Forjsdo-2
'PE - 270
Forjado-1
7
tt •
tím
••
15 4m
•
.159
Ejercicio 4
Matenal proteqido por derechos de autor
MATRICES DE RIGIDEZ DE UNA BARRA
•
E4: Para cada una de las barras de /a estructura obtener: O La matriz de rigidez en ejes loca/es.
O La matriz de transformación.
O La matriz de rigidez en ejes globales. •
Datos: O Las dos barras tienen la misma sección: • bxh
=300
x 400 mm
am
O El módulo de elasticidad del material es:
5m
• E = 20000 Nlmm2
•
4m
•
163
Material protoqido por derechos de autor
BARRA 2-3 MATRIZ DE ROTACiÓN Area (Al:: Inercia (1) :: Long. (L):: Material (E) :; Angulo X::
120000,00 1,6oo0E+09 5,00 20.000 36,67
mm~ mm" m
N/mm"
-0,60
O
0,60
0,60
O
O
O
1
0,60
0,60
O
-0,60
0,60
O
O
O
1
o
COEFICIENTES DE RIGIDEZ K n = EAIL
4,6oo0E+05
K, = 12ElfL·
3,0720E+03
kN/m kNlm
K2" 6EI/L'
7,6600E+03
kN
K3:: 4EI/L
2,5600E+04
kNm
K.::
1,2600E+04
kNm
2EIIL
0,60
8m
_.;...----'---~
X
4m
168 Matenal proteqido por derechos de autor
MATRJCES DE RIGIDEZ DE UNA BARRA
(kN, m)
BARRA 2-3
480,0000 0,0000 0,0000 -480,0000 0,0000 0,0000 (kN. m)
[T]=
383,9995 -1.8432 -4.6080 -383.9995 1.8432 -4.6080 (kN. m)
308.3051 228,9257 -4.6080 -308,3051 -228,9257 -4.6080
x 103 0,0000 3,0720 7,6800 0.0000 -3,0720 7,6800
0,0000 7.6800 25.6000 0.0000 -7.6800 12.8000
-480,0000 0.0000 0.0000480.0000 0,0000 0.0000
0.0000 -3,0720 -7,6800 0.0000 3.0720 -7,6800
)( 10J 288.0007 2.4576 6.1440 -288.0007 -2.4576 6.1440
0,0000 7,6800 25,6000 0,0000 -7,6800 12,8000
·383,9995 1,8432 4,6080 383,9995 -1.8432 4.6080
-288,0007 -2.4576 -6.1440 2.88,0007 2.4576 -6,1440
0.0000 7,6800 12.8000 0,0000 ·7.6800 25,6000
x10 3 228.9257 174.7669 6,1440 -228.9257 -174,7669 6,1440
-4,6080 6,1440 25,6000 4,6080 -6,1440 12,8000
·308,3051 ·228,9257 4,6080 308,3051 228,9257 4,6080
-228.9257 -174,7669 ·6.1440 228.9257 174.7669 -6.1440
·4,6080 6,1440 12,8000 4.6080 -S.1440 25.6000
-
---
_
0.0000 7-,6~.Q_ 12,8000 0.0000 -7.6800 25,6000
169
Material protegido por derechos de autor
Ejercicio 5
Material protegido por derechos de autor
CONSTRUCCiÓN DE LA MATRIZ DE RIGlDEZ
•
E5-1: Representar de forma esquemática la matriz de rigidez completa correspondiente al pórtico de la figura.
1
•
1
[
A
"J
Al
e
[[Kili) lo lKrulo
LK 10J [1.\ ,,] Ilf
(Krrlr.
2
6,
3
2
1
NUDO
K 12
OD
K O
4
O
5
O
P 1;0
3
K 12
OF
K 12fF K2J DD K
l. LlII
K
K
24
23 FO
FD
O
4
O
5
O
~.
K :J'F K 'J i.~
K ~)
K~D
O
O '4
K 0"
O
K
34
O
OF
K
K.14FF
14
f~
K
45
K
45
K~
K
45
FO
OF
FF
173
Material protegido por derechos de autor
CONSTRUCCiÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
•
E5-3: Representar de forma esquemática la matriz de rigidez reducida correspondiente al pórtico de la figura.
1
4
NUDO
1 2
3
1 p
K ¡jo
KllDF
K 12
K 11rp KlJ00
ro
K
O
4
O
5
()
:0
K~ K
O K23DF KllfF K
FO
t'tl
O
K~o
O
O
O
K 211
(1
K
(1
OF
K}4 24
5
4
3
2
r.1
34
DI-
K
~J
n
K "-' 1>0
K 45
FI)
K
4S DF
K. ~s I'~ 175
Material protegido por derechos de autor
CONSTRUCCiÓN
•
DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
E5-5: Representar de forma esquemática la matriz de rigidez reducida correspondiente al pórtico de la figura. NUDO 1
r=:::=:::=::'::-=:::::== ...
2
1
O
,
u
3
4
\)
12
. I ro 1
5
4
O
K Df
~12DO
K 2
3
O
O
••
,.
12 Ff
K
K-:i,
K ~~
K
O
K
K ~.
K
DF
24 DI'
Kg 23 FO
DO
K ro 2-1
.
13
K;' n
K~o O
~F
.,
K2<
KUIXI
K
f
-1 1)
1
~5 I:P
11' ~f¡ 177
Material protoqido por derechos de autor
Ejercicio 6
Matenal proteqido por derechos de autor
RESOLUCiÓN DE UNA ESTRUCTURA POR EL M~TODO DE LA RIGIDEZ
•
E6: En la estructura croquizada, se pide: O Movimientos del nudo 2.
3
3000 kN
O Solicitaciones en extremo de barra. D Reacciones.
•
Datos:
600 kN 4+-
O L.asdos barras tienen la misma sección: •
bxh
= 300 x 400 mm
8m
D El módulo de elasticidad del material es: •
E
5m
= 20000 Nlmm2
,
4m
,
181 Matenal proteqido por derechos de autor
cAlCULO ESTRUCTURAl
PROCEDIMIENTO •
Identificación de los ejes locales para cada una de las barras. l
•
Como criterio tomaremos como nudo dorsal de la barra el de menor orden.
Identificación de las incógnitas. J
Nudos con posibilídad de algún movimiento.
•
Cálculo de los coeficientes de rigidez de las barras.
•
Cálculo de la matriz de riglde.z en ejes globales para cada una de las barras. J
Mediante una hoja de cálculo.
•
Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura.
•
Cálculo del vector de acciones en los nudos.
•
Imposición de las condiciones de contorno. o
•
Planteamiento y resolución del sistema. J
•
Obtención de los movimientos de los nudos.
Construcción de la matriz de transformación para cada una de las barras y cálculo de las solicitaciones. ,
•
Matriz reducida.
Mediante una hoja de calculo.
Cálculo de las reacciones a partir de la matriz de rigidez de la estructura.
182
Matenal proteqido por derechos de autor
RESOlUCiÓN
DE UNA ESTRUCTURA POR El MIOTOOO DE LA RIGIDEZ
EJES - INCÓGNITAS •
Identificación de los ejes locales para cada una de las barras.
•
Identificación de las incógnitas.
INCÓGNITAS. Los movimientos del nudo 2
8m
X2• Y2• 92
5m
c;;¡1=~__
__::_----7
X
4m 183
Material protoqido por derechos de autor
CAlCULO ESTRUCTURAL
COEFICIENTES DE RIGIDEZ •
Los coeficientes de rigidez son iguales para las dos barras, porque:
o o
Tienen la misma sección. Tienen la misma longitud.
O Son del mismo material.
Área (A)
=
Inercia (1) long. (l)
120000,00
= =
Malerlal (E)
1,6000E+09 5,00
=
20.000
Kn = EAll K, = 12EI/l3
4,8000E+05
kN/m
3,0720E+03
kN/m
= 6EIIl2 K3 = 4EI/L K4 = 2EI/l
7,6800E+03
kN
2,5600E+04
kNm
1,2800E+04
kNm
K2
184
Mat nal pro egldo por der chos de autor
RESOLUCiÓN DE UNA ESTRUCTURA POR EL METOOO DE LA RIGIDEZ
MATRICES KG DE LAS BARRAS (kN, m)
[K]~=
3,0720 0.0000 -7,6800 -3,0720 ·0,0000 -7.6800
(kN. m)
[K]~=
308.3051 228;9257 -4.6080 -308.3051 -228,9257 -4,6080
x1G 3 0,0000 480.0000 0.0000 -0,0000 -480,0000 . 0.0000
-
x10 3 1-228.9257 174.7669 6,1440 -228,9257 -174,7669 6,1440
(Ver ejercicio 4)
,
-7.6800 0.0000 25.6000 7.6800 -0.0000 12.8000
-3.0720 -0.0000 7.6800 3,0720 0.0000 7.6800
-4.6080 6.1440 25.6000 4.6080 -6.1440 12,8000
-308.3051 -228.9257 4.6080 308.3051 228.9257 4.6080
-
-0.0000 -480.0000 -0,0000 0,0000 ~O,OOOO_ -0.0000
-7.6800 0.0000 12.8000 7,6800 -0.0000 _. 25.6000
-228.9257 -'74,7669 -6.1440 228.9257 174.7669 -6.1440
-4.6080 6.1440 12.8000 4.6080 -6.1440 25.6000
185
Material protoqido por derechos de autor
CAlCULO ESTRUCTURAL
•
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA •
Términos correspondientes a la barra 1-2 (kN, m)
[K]~=
3,0720 0,0000 -7,6800 -3,0720 -0,0000 -7,6800
x10 3 0,0000 480,0000 0,0000 -0,0000 -480,0000 0,0000
1
1
1
2
3
3,072,00 0,00 -7.680,00 -3,072.00 .0,00 -7.680,00
0.00 480.000,00 0.00 .0.00 -480.000.00 0,00
-7,6800 0,0000 25.6000 7,6800 -0,0000 12,8000
-3,0720 -0,0000 7,6800 3,0720 0,0000 7,6800
3
2 -7600,00 0.00 25.800,00
z.eee.oo .Q.O()
12.8OO,O()
03,072.00 -0.00 7.680,00 3.072,00 0.00 7.680,00
-0.00 -480,000.00 -0,00 0,00 480.000,00 -0,00
-7,6800 0,0000 12,8000 7,6800 -0,0000 25,6000
-0,0000 -480,0000 -0,0000 0,0000 480,0000 -0,0000
·7,660.00 0.00 12.800.00 7,680.00 -0.00 25.800,00
1, I
I
1
I
I
186
Matenal protcqido por derechos de autor
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA •
Matriz completa
1
1
1 2 3
3.072,00 0,00 -7.680,00 -3.072.00 0.00 -7.680,00
0,00 460.000,00 0,00 0,00 -460.000.00 0,00
3
2 -7.600,00 0.00 25.600,00 7.680,00 0.00 12,800.00
-.3.072,00 0.00 7.680.00 311.377,10 228.925,10 3.072.00 -308.305,10 ·228.925.68 -4.608,01
0,00 -480,000,00 0.00 228.925.70 654,166.90 6,144.00 -228.925,68 -174.766.90 6,143,99
-7.680,00 0,00 12.800,00 3,072,00 6.144,00 51.200,00 4.608.01 -6.143,99 12.800,00
-308.305,10 -228,925.68 4,608.01 308.305,10 228.925.68 4,608,01
-228.925,68 -174.166.90 -6.143.99 228.925.68 174.166.90 ·6,143,99
-4.608,01 6.143.99 12.800.00 4.608,01 -6.143.99 25.600,00
188
Material protegido por derechos de autor
RESOLUCiÓN De UNA eSTRUCTURA POR EL MéTODO De LA RIGIDeZ
MOVIMIENTOS DEL NUDO 2 •
Matriz reducida.
•
Acciones en el nudo 2.
-600
•
3000 kN
} Sistema de ecuaciones
311377,10
3000
= 228925,7
400
3072,00
Resolución del sistema. O Movimientos del nudo 2
400 kN·m
228925,7
3072,00
654766,90
6144,00
6144,00
51200,00
I X =-7'157·10-3 I Y2 = 7'01S·!O·3 2
I9= 2
1
82
I m I m
7'400·10-3 rad 1
189 Material protegido por derechos de autor
..
CÁLCULO ESTRUCTURAL
•
.-",
SOLICITACIONES EN LA BARRA 1-2 (kN, m)
0,0000 -3,0720 -7,6800 -0,0000 3,0720 -7,6800
x10 3
480,0000 0,0000 0,0000 -480,0000 ·0,0000 0,0000
0,0000 7,6800 25,6000 0,0000 -7,6800 12,8000
·0,0000 3,0720 7,6800 0,0000 ·3,0720 7.6800
3367'2 kN
134'47 kN'm~
t
0,0000 7,6800 12,8000 0,0000 -7,6800 25,6000
Matriz de transfonnación
X {m) Y (m) Z (rad) X~m! y (mI Z (rad) X
O,OOE+OO O,OOE+OO O,ooE+OO -7,16E-03 7,02E·03 7AOE-03
Movimientos de los nudos
34'85 kN Solicitaciones
1 1
-480,0000 -0,0000 -0,0000 4800000 0,0000 -0,0000
3975 kN'm
34'85 kN 4l.~
2
Axll (kN) Cortante (kN) M. Fleclor (kNm) Axll (kN) Cortante (kN) M, Fleclor (kNm)
-3367,20 34,85 39,75 3367,20 -34,85 134,47
3367'2 kN
190 Material protoqido por derechos de autor
CÁLCULO ESTRUCTURAL
•
3000 kN
REACCIONES EN 1 600 kN
Fx
Fy Mz.
-3072,00
I
0,00
-7680,00
0,00
-480000,00
0,00
7680,00
0,00
12800,00
-7,157.10-1
°
7, 15· 10l 7400·10,
400 kN'm 3
I
~ 3419k~ Fx
r:y Mr,
I
3.072,00 0,00 0.00 480.000,00 0,00 ·7680.00 ·3072,00 0.00 0,00 -480000,00 0,00 ·7680.00
-
-7.680,00 0,00 25.600,00 7.680,00 0,00 12.800,00
-3072,00 0,00 -7.680,00 0,00 ·480,000,00 0.00 7680,00 0,00 12.800,00 311377,10 228.925,70 3.012.00 ·308.305.10 -228925,68 228925,70 654,766,90 6.144,00 -228925.68 -174766,90 3.072,00 4.608,01 -6 143,99 6.144.00 51.200.00 4.608,01 308,305.10 228,925,68 ·308305.10 ·228925.68 6,143.99 228,925,68 174.766.90 ·228925,68 ·174.766,90 -1608,01 6.143,99 12.800,00 4.608,01 -6 143,99
--
39'7k N'm 3367'2 kN
-1808.01 6143,99 -",,¡ 12.800.00 4,608.01 ,6.143,99 25.600.00
x,• Y..
192
Matenal proteqido por derechos de autor
RESOlUCION DE UNA ESTRUCTURA POR El METODO DE LA RIGIDEZ
367'0 kN
REACCIONES EN 3 3000 kN
r~
634'7 kN
-308305,10 1\ - - 228925,68 -4608,00 M z .1
-228925,68 -174766,90 6143,99
4608,00 -6143,99 12800,00
-7,157 ·lO-l 7,0 15.10-1 7,400,10-1
600 kN 400 kN'm
1
3.072,00 0.00 ·7660,00 0,00 460.000,00 0,00 ·7,680,00 0.00 2.5.600,00 .3.072,00 0.00 7.680,00 0,00 ~80.0oo.00 0.00 -7680,00 0.00 12.800.00
·3.072.00 0.00 0,00 4160.000,00 7.680,00 0.00 311.377,10 (228.925,70 228.925.70 ,654.766,90 6,144,00 3.072,00 -308.305.10 .228.925,68 ·228.925,68 -174.766,90 6.143.99 -4608.01
-7,680,00 0.00 12.600,00 3.072,00 -308.305,10 -228.925,68 6.144.00 ·228.925,68 ·114.766,90 51.200,00 4.608,01 -6143.99 4.608,01 308.305,10 228.925,68 ·6.143,99 228.925,68 114.766.90 12.600,00 4.608,01 ·6,143,99
-4.608,01 6.143,99 12.800,00 4.608,01 -6.143.99 25.600,00
193 Material protegido por derechos de autor
CALCULO ESTRUCTURAL
RESUMEN
727'97 kN 170'80kN'm~
/V
361'0 kN
T26kN (
4m
3000 kN
634'1 kN
600
3367'2 kN
8m
Solicitaciones
5m
34'9
Reacciones
397 kN'm
34'85 3367'2 kN
194
Material protegido por derechos de autor
Ejercicio 7
Material protegido por derechos de autor
CÁLCULO ESTRUCllJRAl
EJES - INCÓGNITAS •
Identificación de los ejes locales para cada una de las barras.
•
Identificación de las incógnitas. 2
y
INCÓGNITAS;
1
3
4
1
2~
Movimientos
del nudo 2:
Oz
Movimientos
del nudo 3:
X3 , y 3
,°
Movimientos
del nudo 4:
X•• y•.
04
3
1
.------~x 198 Matenal proteqido por derechos de autor
BARRA 2-4: COEFICIENTES DE RIGIDEZ Y [K]G Área (A) '" Inerda (1)= long, (l) = Material (E) = Ángulo X '"
K" = EAll
14910.00 2.5170E+08 5.00 210,000 126.87
(kN. m)
228.6867 -298.1499 -10.1485 -228.6867 298.1499 -10.1485
K,=12ElIl' K2 = 6EIIL"
m N/mm'
K3= 4EIIL K. 2EIIL
=
o
x10 3 -298,1499 402,6075 -7,6114 298,1499 -402,6075 -7.6114
-10,1485 -7.6114 42,2856 10.1485 7.6114 21.1428
-228.6867 298.1499 10.1485 228.6867 -298.1499 10.1485
--
298,1499 -402,6075 7,6114 -298,1499 402,6075 7,6114
6.2622E+05 5.0743E+03 1.2686E+04 4.2286E+04 2.1143E+04
kN/m kN/m kN kNm kNm
-10.1485 -7.6114 21.1428 10.1485 7.6114 42.2856
200
Matenal proteqido por derechos de autor
CALCULAR LAS SOLICITACIONES
EN LAS BARRAS DE UNA ESTRUCTURA
HIPERESTÁnCA
BARRA 3-4: COEFICIENTES DE RIGIDEZ Y [KJG Área (A)
=
7270.00
Inercla (1) =
1.6270E+08
long. (l) =
6.00
Material (E) = Ángulo X
=
210.000 0.00
(kN, m) 254,4500 0,0000 0,0000 -254.4500 0.0000 0,0000
2
mm mm'
m N/mm
K.= EAIL
2,5445E+05
kN/m
K,-12Elfl'
1.8982E+03
kN/m
K2 - 6El/l'
5,6945E+03
kN
Kl = 4EI/l
2,2778E+04
kNm
K. = 2EIIL
l,1389E+Q4
kNm
i
o
3
xl0 0,0000 1,8982 5.6945 0,0000 -1,8982 5.6945
0,0000 5,6945 22,7780 0,0000 -5,6945 11,3890
-_
-254,4500 0,0000 0,0000 254.4500 - 0,0000 0,0000
- --
0,0000 ., ,8982 -5.6945 0.0000 1,8982 -5,6945
0,0000 5,6945 11.3890
O,OO~_ -5,6945 22,7780
20L
Material protegido por derechos de autor
.•_
CALCULO ESTRUCTURAL
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
1 1
1 2
3
4
2
3
4
l3 l3 I O I K I O _ K ____ DD ~ I ~ I DF L I 24 O I K O II K24DD II I DF ----~----+---------~----_._-3 l3 34 34 l I O I K +K I K K FD I I FF DO I OF ----r----T---------r-------24 34 24 34 I K I K I K K O I FO I FO I FF + FF
202
Material protegido por derechos de autor
CAlCUlAR
MATRIZ REDUCIDA
LAS SOLICITACIONES EN LAS BARRAS DE UNA ESTRUCTURA HIPERESTATICA
2
L, 1
MI F)(3
FY3
M) Fx. ---
Fy~
--M.
-
42.285.6 O O O
10148.5 7611,4 21142,8
O 259524,3 O 12685,7 -254450 O O
O O 628118.2 5694.5 O
-1898,2 5694.5
O 12685.7 5694.5 65063.6 O ·5694,5 11389
10148.5 -254450 O O 483137,8 -298150.3 10148.5
7611.4 O -1898,2 -5694 • 5 -298150,3 404504.7 1916.9
21142.8 O 5694,5 11389 10148,5 1916.9 65063.6
--
203 Material protoqido por derechos de autor
CALCUlAR LAS SOLICITACIONES EN LAS BARRAS DE UNA ESTRUCTURA HIPERESTATICA
BARRA 2-4. SOLICITACIONES 51'29 kN'm
4m 10'26 kN 3
3m
85'44 kN 1
(kN • m)
85.44 10,26 0,00 -85,44 -10,.26
- -
-51,29
0,00 ~OO 0,00 0,00 0,00 0,00
-
-
+
-375,7320 -4,0594 -10,1485 375,7320 4,0594 -10,1485
500,9760 -3,0446 -7,6114 -500,9760 3,0446 -7,6114
0,0000 12,6857 42,2856 0,0000 -12.6857 21.1428
375,7320 4,0594 10,1485 -375,7320 -4,0594 10,1485
-500,9760 3,0446 7,6114 500,9760 -3,0446 7,6114
0,0000 12.6857 21,1428 0.0000 -12.6857 42.2856
O.OOOOE~O O,OOOOE+OO -1.1238E-03 1,3422E-03 8,3611 E.O~_ 1.3023E-03
207 Material protoqido por derechos de autor
.•
CALCULO eSTRUCTURAl -, ,
-
BARRA 3-4. SOLICITACIONES 20 kNlm
L
38'20 kN'm
~
6m
~
57'82 kN
3
so] .. [S~l+[[TDO) [
1
SF
(kN, m)
-
59,46 57,82 38,20 -59.46 62,t8 -51.30
...IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII~ 59'46 kN
59'46 kN
2
--
0,00 60,00 60,00
h?'OO
60.00
~O.OO
+
254,4500 0.0000 0,0000 -254,4500 010000 0.0000
x10 0.0000 1.6982 5.6945 0,0000 -1.8982 5,6945
s~
[Tro)
0,0000 5,6945 22,7760 0,0000 -5,6945 11,3890
51'30 kN'm 62'18 kN
[ToF 1] [.1'. o] [TFFlt.r
-254,4500 0.0000 0.0000 254,4500 0.0000 0,0000
0,0000 -1,6962 -5,6945 0.0000 1.8982 ·5,6945
0,0000 5,6945 11,3690 0,0000 -5,6945 22,7780
1,5759E-03 -9,2330E-05 -1,3761 E-03 1.34221:-03 8.3611E-04 1,3023E-03-
208 Matenal protcqido por derechos de autor
CALCULAR LAS SOLICITACIONES EN LAS BARRAS DE UNA ESTRUCTURA HIPERESrAnCA
57'82
DIAGRAMAS
CORTANTES kN
59'46
AXILES kN
FLECTORES KN'm 9'10
209 Matenal protegido por derechos de autor
Ejercicio 8
Material protegido por derechos de autor
DETERMINAR LA TENSION EN UN TIRANTE DE UNA ESTRUCTURA HIPERESTÁTICA
I
•
E8: En la estructura croquizada, se pide; O Tensión
en la barra 1-2.
O Reacciones.
60 kN •
Datos: O Barras 1-3, 2-4, 3-4: • •
= 12000 mm Inercia = 18000'1()A mm' l
Area
O Barra blartlculada •
Área
1-4:
= 500 mm
l
O El módulo de e.lastlcldad del material es: •
E
5m
= 210000
N/mm2
6m
213
Material protoqido por derechos de autor
EJES - INCÓGNITAS •
Identificación de los ejes locales para cada una de las barras.
•
Identificación de las incógnitas. 2
y 4
3
INCÓGNITAS:
1
2 +--_JI
Movimientos del nudo 3:
X3' Y3 ,e3
Movimientos del nudo 4:
~,Y
4 '
a
2 <--' ---40
X
214 Material protegido por derechos de autor
DETERMINAR LA TENSION EN UN TIRANTE DE UNA ESTRUCTURA HIPERESTATICA
, BARRAS 1-3 Y 2-4: COEFICIENTES DE RIGIDEZ Y [K]G Área (A) = Inercia (1)= Long. (L) = Material (E) = Ángulo x=
12000,00 l,8000E+08 5,00 210.000 90,00
(kN, m)
3,6288 0,0000 -9,0720 -3,6286 -0,0000 -9,0720
K." "
ENL
K1 = 12EIIL' m N/mm'
K2 = 6EIIl <
o
K. = 2EIIl
x10 3 0,0000 504,0000 0,0000 -0,0000 -504,0000 0,0000
K3 = 4EIIL
-9,0720 0,0000 30,2400 9,0720 -0,0000 15,1200
-3.6288 -0.0000 9,0720 3,6288 0,0000 9,0720
I I
-0.0000 -504,0000 -0,0000 0,0000 504,0000 -0,0000
5.0400E+05 3,6286E+03 9.0720E+03 3,0240E+04 l,5120E+04
kNlm kNfm kN kNm kNm
-9.0720 0,0000 15,1200 9,0720 -0.0000 30.2400
215 Material protoqido por derechos de autor
CÁLCULO ESTRUCTURAL
BARRA 3-4: COEFICIENTES DE RIGIDEZ Y [K]G Ároa (A)
=
Inercia (1)
12000,00 1,8oooE+08 6,00
=
Long. (l) =
Material (E) AnguloX
=
=
210.000 0,00
(kN, m)
420,0000 0,0000 0.0000 -420,0000 0.0000 0.0000
mm2 mm"
K" = EAIl
m
O
Nlnvn<
K, = 12EIIl' ~ = 6EIA! K3 = 4ElIl K. = 2ElIl
:>
o
x 103 0.0000 2.1000 6.3000 0.0000 ·2.1000 6.3000
0,0000 6,3000 25,2000 0,0000 -6,3000 12.6000
-420.0000 0,0000 0,0000 420,0000 0.0000 0.0000
0,0000 ·2,1000 ·6,3000 0,0000 2,1000 -6,3000
216
M
4,2oooE+05 2,1oooE+03 6,3OOOE+03 2,52ooE+04 1,2600E+04
0,0000 6,3000 12,6000 0,0000 -6,3000 25,2000
-
kN/m kN/m kN kNm kNm
~.
DETERMINAR LA TENSiÓN EN UN TIRANTE DE UNA ESTRUCTURA HIPERESTÁTICA
BARRA 1-4: COEFICIENTES
= =
Área (Al Long, (Ll Material (E) = Angulo X =
500,00 7,81 210.000 39,81
(kN, m) 7,9333 6,6121 0,0000 -7.9333 -6,6121 0.0000
DE RIGIDEZ Y [K]G
K" = EAIL
11,3444E+04
kNfm
o
x 103 6,6121 5,5110 0.0000 -6,6121 -5.5110 0,0000
._ -
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0.0000 0,0000
-7,9333 -6,6121 0.0000 7,9333 6.61210,0000
-6,6121 -5,5110 0,0000 6,6121 5,5110 0,0000
-
0,0000 O,OOO~
0.0000 0,0000 0,0000 0,0000
-
217 Matenal protegido por derechos de autor
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA 2
1 3
...
J~J 2 2,_j 1
1
2
2
1
1
2 3 4
K
13
+K O
_________ DO
14 DO
O
1
L I
I I
K
24 DO
4
3 I
K
~ I
u
O
I I
K K
I ~ I
OF
I I
14 DI'
_
24 DF
---------~----+---------~-----------·K O K K + K. 13 FD
I I
FD
I
I I
13 FF
34 DO
I I
34 DI'
---------r----T---------r-----------K 14 I K 24 I K 34 I K 24 + K 34 + K 14 FDI
FO
I
FF
FF
PI'
218
Matenal protcqido por derechos de autor
DETERMINAR LA TENSION EN UN TIRANTE DE UNA ESTRUCTURA HIPERESTATICA
MATRIZ REDUCIDA
FXJ
--F
--MJ
423628.8
YJ
--FX~
--FY4 --M
~
---
O
-
9072 -420000 O
O
O 506100 6300 O -2100 6300
9072 6300 55440 O -6300 12600
-420000
O
O
O
-2100 -6300 6612,1 511611 -6300
6300 12600 9072 -6300 55440
O 431562.1 6612,1 9072
X 3
Yl -e J
•
X.
Y. -e~ 219
Material protoqido por derechos de autor
..-
cAlCULO ESTRUCTURAl _
l
MOVIMIENTOS 0.00484335 m
0.00001578 m
60kN
-0.00065889 rad.
3
0.00472811 m
2
-0.00007697 m -0.00063448 rad.
Resolución del sistema
x y) -9)
60 O O O O O
)
-
423628.8 O 9072 -420000 O
O
O 506100 6300 O -2100 6300
9072 6300 55440
O -6300 12600
-420000 O O 431562,1 6612.1 9072
O -2100 -6300 6612.1 511611 -6300
O 6300 12600 9072 -6300 55440
•
x.
Y. 9.
220 Matenal protegido por derechos de autor
REACCIONES HI VI
KI3DI' I~ KJ.IDI' _ K 00 + K'~DO LII O ~II I 24 I K24 I O I K O I DO I I 1)1' 4 'J I O I KI1 K)4 I K.lDI' K ·I'U I I 1'''+ DO I ---------r----~---------~-----------4 24 24 34 34 I4 I K I K I K + K + K KIro I rol FO I FF FF FI'
- ---------~----+---------~-----------8, MI
V.•
o
'J _________
M1
O •
O
O
O
O 60kN 3
xJ YJ 9 x. Y. j
33'98 kN·m 48'60 kN 38'79 kN
33'30 kN·m 1
2
04
11'40 kN
6.
38'79 kN
222 Matenal protegido por derechos de autor
Ejercicio 9
Material protegido por derechos de autor
RESOLVER UNA ESTRUCTURA TRIANGUlADA
•
E9: Obtener las solicitaciones en la barra 2-3-4, para cada uno de los casos representados. a)
b)
180 kN/m
180 kNlm
4
3m 1
4m
3m
4m
4m
1
4m
• Datos: O Barra 2-3-4: • Área
o Resto
= 10000 mm1
• Inercia = 25000-10' mm4
o El módulo • E
lO
de barras:
• Area
= 5000 mm1
• Inercia
= 4000'10' mm4
de elasticidad del material es:
210000 Nlmm1
225
Material protegido por derechos de autor
RESOLVER UNA ESTRUCruRA TRIANGULADA
BARRA 1-4: COEFICIENTES Área (A)
=
Inercia (1) long, (l)
5000,00
=
=
Material (E) Angulo X
4,OOOOE+07 5,00
=
210,000
DE RIGIDEZ y [K]G
mm2 mm" m
N/mm' o
=
36,87
[K]~=
x 10 134.6899 _ 100,4130 76,1165 100.4130 1,6128 -1.2096 -100,4130 -134.6899 -76,1165 -100.4130 1.612.8 -1.2096
n
>
K" = EAIL
2.1000E+05
kN/m
K, = 12EIIL' K2 = 6EIIL2 K, = 4EIIL
8.0640E+02
kN/m
2.0160E+03
kN
6.7200E+03
kNm
K. = 2EIIL
3.3600E+03
kNm
(kN. m)
-1,2096 1,6128 6,7200 1,2096 -1,6128 3,3600
-134.6899 -100,4130 1,2096 134.6699 100,4130 1.2096
-100,4130 -76,1165 -1,6128 100,4130 76,1165 -1,6128
-1.2096 1,6128 3.3600 1,2096 -1.6128 6.7200
229
BARRAS 2-3 Y 3-4: COEFICIENTES DE RIGIDEZ Y [K1G Area (A) '"
= Long. (L) = Inerda (1)
Material (E)
Angulo X '"
1<,.= ENL
10000.00 2,5000E+08 4,00
=
210.000 0,00
(kN , m) 525,0000 0,0000 0.0000 -525,0000 0,0000 0,0000
K, = 12EI/L' K2 = 6EI/L' K$ = 4EI/L
m N/mm" o
K., '" 2EI/L
5,2500E+05
kN/m
9,8438E+03
kN/m
l,9688E+04
kN
5,2500E+04
kNm
2,6250E+04
kNm
)(lO' 0,0000 9,8438 19,6875 0,0000 -9,8438 19,6875
0,0000 19,6875 52,5000 0,0000 -19,6875 26,2500
-525,0000 0,0000 0,0000 525.0000 0,0000 0,0000
0,0000 -9,8438 -19,6875 0.0000 9,8438 -19,6875
0,0000 19,6875 26,2500 0,0000 -19,6875 52,5000
230 Matenal protcqido por derechos de autor
RESOlVER
UNA ESTRUCTURA TRIANGULADA
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA 2
1
1
2
3 4
2 KI00
1 I4 + KI3DO + K DO'
2
4
3
KI2DF
'K'4 I
K13 OF
,
--------------~---------~-------------~-------2 K'2~+K K O KIro I
I
23
23
'
I
I
DO'
OF
,
OF
,
--------------r---------~-------------~-------'K K K K K K I3
23
FO
I
K FD
I
FI)
,
I
13
FF
+
23
I'F
+
34,
DO
34
I
OF
--------------r---------r-------------r-------I4 'O I K>4 , K'4 + K34 ,
FD
,~FF
231
I'vlatenal protegido por derechos de autor
RESOLVER UNA ESTRUCTURA TRIANGULADA
ESTADO (O). VECTOR DE ACCIONES a)
180 kN/m
360 kN
721
kN
360 kN
3
Material protoqido por derechos de autor
BARRA 3-4. SOLICITACIONES 180 kNlm
1
S0] [ SF
=
[S~]+
[[TDO]
s~
(kN, m)
-
567.16 , 413.07 249"28 -567,16 306,9J. -36.99
0.00 360.00 240,00 0.00 360,00 -24{).00
+
525,0000 0.0000 0,0000 -525,0000 0,0000 0,0000
[Troj x10 3 0,0000 9,8438 19,6875 0,0000 -9,8438 19.6875
0.0000 19,6875 52,5000 0,0000 -19,6875 26.2500
-525,0000 0,0000 0,0000 525,0000 0,0000 0.0000
0.0000 -9.8438 -19,6875 0,0000 9.8438 -19,6875
0.0000 19.6875 26.2500 0.0000 -19.6875 52.5000
-1,0803E-OO -9,3688E·03 O,OOOOE+OO
-2. 1606E-03 O.OOOOE+OO
7.3802E-03
236
Matenal protcqido por derechos de autor
RESOLVER UNA ESTRUCTURA TRIANGUlADA
EJES - INCÓGNITAS •
Caso b)
o
Identificación de los ejes locales para cada una de las barras.
o Identificación de las incógnitas. y
2
INCÓGNITAS: Movimientos del nudo 1:
X,. Y 1
Movimientos del nudo 3:
X 3• y 3
Movimientos del nudo 4:
Xt
237
Material protegido por derechos de autor
BARRAS 1-2 Y 1-4: COEFICIENTES DE RIGIDEZ Y [K]G Barra 1-2
= =
Area (A) Long. (L) Material (E) IAngulo X-
x 10'
=
l
mm
5000,00 5,00 210000,00 143,13
m Nlmm
2
o
I
K" = EAIL
-
[KI:= -134,3996 100,8001 I 2,l000E+05 I
kNfm
Barra 1-4
=
238
lO' 100,8001 75,6004 -100.8001 -75,6004 X
=
Area (Al Long. (L)" Material (E) IAngulO X
-100.8001 -134.3996 100.8001 75.6004 100,8001 -75,6004 _!.':1 00~,8~00::.:1_I-_l.:.:34::!!:::,3~996~~-1 00,8001 -75.6004 -100,8001 75.6004
=
5000,00 5,00 210000,00 36,87
2
mm m
Nlmm2 o
[KI;=
- 134,3996 -100,8001
-134,3996 -100,8001 134,3996 100.8001
-100,8001 -75,6004 100,8001 75.6004
RESOLVER UNA ESTRUCllJRA
TRIANGULADA
BARRAS 1-3,2-3 Y 3-4: COEFICIENTES DE RIGIDEZ Y [K]G Barra 1-3 Atea (A' = long. (l )= Material (E) = IAnguloX =
5000,00 3,00 210000,00 90.00
[K~= K" = EAIL
I 3,5000E+05
Barras 2-3 Y 3-4
= =
Área (Al long. (l) Material (E) = IAngulo X =
10000,00 4,00 210000,00 0,00
[K1 =
o
K" = EAIL
I 5,2500E+05
103 0,0000 350,0000 0,0000 -350,0000
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
0,0000 -350,0000 0,0000 350,0000
x 103 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
-525,0000 0,0000 525,0000 0,0000
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
x
kN/m
(kN. m)
mm2 m N/mm2
(kN. m) 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
525,0000 0,0000 -525,0000 0,0000 kNlm
239
Material protoqido por derechos de autor
• ..
cALC\JLO ESTRUCTURAL
'. ""
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA 2
1
1 2
3 4
2
3 K 13 01'
4 K 14 01'
K 00 + K 00 + K 14 I K 12 I I ~ ~ L _ 00 I DI' I I 2 I KI2 K23 I K2301' I O KIFD I FI' + DD I I --------------~---------~-------------~-------I K2J I K1J +K23 + K34 I KJ4OF K1FOJ I FO I FF FF DO I --------------~---------r-------------~-------34 I4 34 I O I K I K +K KI4FO I I ro IFF FF 12 13 ______________
240 Material protegido por derechos de autor
RESOLVER UNA ESTRUCTURA TRIANGULADA
MATRIZ REDUCIDA
1
FXl
--Fy, FX3 FY3 FX4
---
-
268799,2
O
O
O
-134399,6
O
501200,8
O
-350000
-100800,1
O
O -350000 -100800,1
O 350000
-525000
O -134399,6
1050000 O -525000
O
O 659399,6
-241
Material protoqido por derechos de autor
• MOVIMIENTOS
1
Resolución del sistema
o
--- ...
O
o ----720 ----
O
268799.2 O O O -134399.6
O 501200,8 O -350000 -100800.1
O O 1050000 O -525000
O -350000 O 350000 O
-134399.6 -100800,1 -525000 O 659399.6
XI
243
Material protegido por derechos de autor
rACIONES 180 kNfm
480'01 kN .11111111111111111111111111111111111111111111111111 3
2
r
480'01 kN
4
360'00 kN
i
360'00 kN
4m
1
SD]=[s~l+[[Tn,,] [Tod][60] [ Sr
s~
[Troj
SO 4~~.01 360.00 -480.01 360.00
-
0.00 --360.00 0.00 360,00
+
[TFF]
(kN• m) 525.0000 0.0000 -525.0000 0.0000
8F
x 103 0.0000 0.0000 0.0000 0,0000
-525.0000 0.0000 525.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0,0000
•
O.OOOOE+OO O,OOOOE+OO -9, ~430E-04 -8.0381 E·03
244 •
Material protoqido por derechos de autor
RESOlVER
UNA ESTRUCTURA TRIANGULADA
BARRA 3-4. SOLICITACIONES 180 kN/m
480'01 kN
2
2
3
1_.1
·3
4
i
4
480'01 kN
0111111111111111111111111111111111111111111111111
360'00 kN
4
i
m
360'00 kN
1
rr 0] [ [ ] [ s~ + SD
So
SF =
[Tri,)
SO 480,01 380,00 -480,01 360.00
-
0,00 360.00
U.OO 360.00
00]
(kN. m)
+
525.0000 0,0000 -525.0000 0.0000
x10 0.0000 0,0000 0,0000 0.0000
-525,0000 0,0000 525,0000 0.0000
0.0000 0.0000 0,0000 0.0000
•
_:9J_1430E-04 -8,0381 E-03 -1,8286E-03
O.OOOOE+OO
245 Matenal protegido por derechos de autor
Ejercicio 1O
Material protoqido por derechos de autor
RESOLVE.R UNA ESTRUCTURA APLICANDO LAS CONDICIONES
•
DE SIMETRIA
E10: Considerando la simetría de forma de la estructura croquizada, se pide: O Movimientos de los nudos.
o
18 kNfm
Reacciones.
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
4m
• Datos: O
1
Todas las barras:
• Area
= 15000 mm2
• Inercia O
2
.:-_..::;5..:..:m.:.,__---;. (
4
3m
) (
3m
5
) .:-_..::;5..:..:m.:.,__---;.
= 25000-104 mm4
El módulo de elasticidad del material es: • E
= 210000 Nlmm1
249 Material protoqido por derechos de autor
cALCULO
ESTRUCTURAL
, ESQUEMAS DE CÁLCULO
9 kNfm
9 kN/m
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
,
4m
4m
1
2
~( __~5~m~ __~)(
Estado SIMÉTRICO
1
3m )
-E-(
2
....... 5 mL.L.L...___
~)
(
3m
)
Estado ANTIMÉTRICO
250 Matenal protcqido por derechos de autor
RESOlVER UNA ESTRUCTURA APLICANDO LAS CONDICIONES DE SIMETRIA
ESTADO SIMÉTRICO •
Ejes - Incógnitas
o Identificación de los ejes locales para cada una de las barras.
o
Identificación de las incógnitas.
y INCÓGNITAS: Movimientos del nudo 2:
Xz
Movimientos del nudo 3:
y3
o
Y2 092
2
__ -==±~1 1
~
~X
2
251 Matenal protegido por derechos de autor
cALCULO ESTRUCTURAl
••
•
ESTADO SIMÉTRICO •
Los coeficientes de rigidez son iguales para las dos barras, porque: O Tienen la misma sección. O Tienen la misma longitud.
O Son del mismo material.
kea (A)" Inercia (1) ., Long. (L)
=
Material (E) .,
15000,00 2,5OOOE+08 5,00 210.000
m N/mm"
ID
K,," EAlL
6,3000E+05
kNlm
K, ., 12EtlL·
5,0400E+03
kNlm
K2" 6EI/L'
1,2600E+04
kN
~ ::4EI/L
4,2000E+04
kNm
K.::
2,1000E+04
kNm
2EI/L
252 Mat la protegido por dOIechos d auto
RESOLVER UNA ESTRUCTURA APliCANDO LAS CONDICIONES DE SIMEmlA
ESTADO SIMÉTRICO •
Matrices de rigidez, [I<]G. de las barras (kN, m)
630.0000 0.0000 0,0000 -630.0000 0,0000 0,0000
(kN. m)
230,0267 299,9811 -10,0800 -230.0267 -299,9811 -10.0800
x10 0.0000 5,0400 12,6000 0,0000 -5,0400 12,6000
0.0000 12.6000 42.0000 0,0000 -12.6000 21,0000
-630.0000 0.0000 0,0000 630.0000 0,0000 0,0000
0.0000 -5,0400 -12,6000 0,0000 5,0400 -12,6000
0,0000 12,6000 21.0000 0,0000 -12.6000 42.0000
xl0 299,9811 405,0133 7.5600 -299,9811 -405.0133 7.5600
-10,0800 7,5600 42.0000 10,0800 -7.5600 21.0000
-230,0267 -299,9811 10.0800 230,0267 299.9811 10.0800
-299,9811 -405,0133 -7,5600 299,9811 405,0133 -7,5600
-10,0800 7,5600 21,0000 10,0800 -7.5600 42.0000
253 Matenal protegido por derechos de autor
ESTADO SIMÉTRICO •
Matriz de rigidez y matriz reducida 1 2
I 1 ____ KIDO ~ I I2 K 2 fO O 3
KI2 I DF I ------L
I KI2
+ K2J00 23 K . FO
I
O _ K2J Of K2J
----~---------~---
2
1
3
2
2
I I I
Ff
I
I I
FF
Matríz reducida F
X2 ---
FV2
--M: = Fy)
8600267 299981.1 -100BO -299981,1
2999B1.1 410053.3 -5040 -405013,3
-100BO -5040 84000 -7560
-299981.1 -405013.3 -7560 405013,3
•
254
Matenal proteqido por derechos de autor
ESTADO SIMÉTRICO •
Movimientos
o -36'0 ----12'0 ---_. -/3'5
•
--
860026.7 299981,1 -10080 -299981,1
299981.1 410053,3 -5040 -405013,3
-10080 -5040 84000 -7560
-299981,1 -405013,3 -7560 405013.3
X2
Y2 92 -YJ
•
K2 =
KI1OF
II L
'O
L I
FO
+ K23DO FF
I KI2
I
I I
23
FD
X,
I K23
I
I
I
-0,01522071 m
_-Y¡
-0,01534529 m
-0,00215971 rad.
O
_
--y, K -----~---------~--e, O K K --o I2
Yz -9 -
o -o --
li, -------V,-22'S
I00 ____
-0,00006877 m
1
-
Reacciones
M-,-:W;S
:>
x2
OF
•
43'33 kN
-+-.
2
165'18 kN'm
23
FF
y,
72'00 kN
O
256 Matenal protegido por derechos de autor
-: •RUCTVRAI.
ESTADO ANTIMÉTRICO •
Ejes - Incógnitas
o o
Identificación de los ejes locales para cada una de las barras. Identificación de las incógnitas.
y INCÓGNITAS: Movimientos del nudo 2: Movimientos del nudo 3:
x2• y 2' el x3• e)
2
__ -=~~1~ __ ~ 1
~X
2
258 Matenal protegido por derechos de autor
RESOLVER UNA ESTRUCTURA APLICANDO LAS CONDICIONES
DE SIMETRIA
ESTADO ANTIMÉTRICO •
Los coeficientes de rigidez y las matrices de rigidez, [K]G' de las barras son las mismas que hemos calculado anteriormente.
[K~=
(kN, m) 630.0000 0,0000 0,0000 -630.0000 0,0000 0.0000
(kN. m) 230,0267 299,9611 -10.0BOO -230.0267 -299.9B11 -10.0800
I
x10 3 0.0000 5,0400 12,6000 0,0000 -5.0400 12,6000
0.0000 12,6000 42,0000 0,0000 -12,6000 21,0000
-630.0000 0.0000 0,0000 630.0000 0.0000 0.0000
0.0000 -5.0400 -12,6000 0,0000 5,0400 -12.6000
0.0000 12.6000 21.0000 0.0000 -12.6000 42.0000
x10 3 299,9611 405.0133 7.5600 -299.9811 -405,0133 7,56ÓO
-10,0600 7,5600 42.0000 10,0800 -7,5600 21.0000
-230,0267 -299,9611 10.0600 230.0267 299,9811 ~ 10.0800
-299,9611 -405,0133 -7.5600 299.9811 405.0133.. -7.5600
-10.0600 7.5600 21,0000 10,0800 -7,5600 42.0000
-
-
-
_._-
259 Matenal proteqido por derechos de autor
ESTADO ANTIMÉTRICO •
Matriz de rigidez y matriz reducida 2
1
2
1
KI2
____ 00
I L '
I2 K 2 FO
I
3
J 1
1
3
K'>DF KI2
+ K2JDO
O_
I I~ I
K23
----p---------~--K K O
2
I
FF
23
FD
I
I I
. UF
23
Ff
Matriz reducída FXl
FY2 --M¡ FXJ
MJ
=
860026,7 299981,1 -10080 -230026,7 -10080
299981,1 410053,3 -5040 -299981,1 7560
-10080 -5040 84000
10080 21000
-230026,7 -299981,1 10080 230026,7 10080
-10080 7560 21000 10080 42000
•
260
Material protogido por derechos de autor
RESOlVER UNA ESTRUCTURA APLICANDO lAS CONDICIONES DE SIMETRIA
ESTADO ANTIMÉTRICO •
Estado (O). Vector de acciones
1
Estado (O)
kN
6'75 kN'm
22'S kN 5kN'm
4m 9kN/m 1111111111111111111
Vector de acciones 13'5 kN
FX2 18'75 kN'm
111111lalhNffflll
FY2
11111 18'75 kN'm 13'5 kN
~
22'S kN
--M 2
FXJ
~
22'S kN
----
--M --1
-
O
-36'0 ----
12'0
----,
O ----~ 6'75
----
261
Material proteqrdo por derechos de autor
CÁLCULO ESTRUCTURAl
I
SOLUCiÓN FINAL •
XJ
-0,00613273 m
Yo = -0,15345300
Movimientos
m
63 = 0,00247245 rad. X2 -
Yz
=
82 '"
-0,00006877 m -0.01984078 m -0.00217623
1
•
=
3
}(.,= 0,00006877 Y4 = -0.01060062
m m
= -0.00214317 rad. 4 5 64
18 kN/m
Reacciones
JI![1UllU[UIII n[IJlU nlUI Inuu lIlIl1lll [l
43'33 kN
..
1
241'80 kN·m\.__U 1117'58 kN
4
'------;: 5 \.])88'56 26'42 kNI
43'33 kN kN'm
264 Matenal protegido por derechos de autor
BIBLIOGRAFfA BÁSICA
R. Argüelles. CÁLCULO DE ESTRUCTURAS: PROGRAMACIÓN. ,
,
E.T.S.l.M. de Madrid. .
.
.
R. K. Livcs.ley. METODOS MATRICIALES PARA CALCULO DE ESTRUCTURAS. Editorial Blume.
M. Vázquez. CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS. C.I.T.O.P. de Madrid. •
••
CODIGO TECNTCO DE LA EDIFICACION (CTE). Ministerio de Vivienda. Seguridad estructural (SE). Bases de Cálculo (BA). Acciones en la Edificación (AE). Acero (A).
265 Material protegido por derechos de autor
0723P03
CÁLCULO ESTRUCTURAL Manuel Gasch Salvador Isabel Gasch MoIlna
Esta publacl6n abarca parte del programa que ..
otnpar1e en
la asignatura de
"T~ de EsINcIura. y Cons1Juc:dones Industriales· de la btulaci6n de Ingenoero T6enóc:o InclUStnat.espeaabdad Mecánica. en la Escuela Técnica Superior de Ingeniarla del 0isaII0 Su ~I ot.,ebvo 1!5 el de pro~ .. alumno. que c:uru dichaaslgnarur.. un material que le facilite el aPfendoza¡e de la misma.
El ~bro conbene dos
pat1M
c:Ia(Ml8nte dtferanciada.. en la prmere ae preaenta la
documentaci6n, 81quemas. resúmenes, y mat_1 bese sobre el que .. desanollan los contenidos teóricos La segunda parte recoge. totalmente resuellos. los problemas tipo
que
Se
analizan en la pI". pqctica de la asignatura.
UNIVERSIDAD POllTECNICA
DE Vl\lENCIl\ EDITORIAl
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@ Manuel Gasch Salvador
Isabel Gasch Molina
Edila:
EDITORIAL. DE LA UPV Camino de Vera, s/n 46071 VALENCIA Tel. 96 387 70 12 FUl(96 387 79 12
Imprime:
REPROVAL. SL. Tel. 96 369 22 72
Depéslto Legal: V·3120-2006 ISBN: 84·n21·710-9
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Manuel Gasch Salvador Isabel Gasch Molina
CÁLCULO ESTRUCTURAL
Departamento de Mecánica de los Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería del Dlseño
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA EDITORIAL UPV
Ret.: 2006.723
Th.1.e
One
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