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MAURO G BIGE 11/10/15

CÁLCULO DE PERÍMETRO, ÁREA E VOLUME DE FORMAS GEOMÉTRICAS

PERÍMETRO é a medida do comprimento de um contorno, ou o comprimento da linha que delimita uma figura plana. Pode ser expresso em metro. As principais FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS e o cálculo de seus perímetros são:

ÁREA

é

a

medida

da

quantidade

de

espaço

de

uma

superfície

delimitada.

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Volume de um prisma qualquer

O volume de um prisma qualquer pode ser calculado multiplicando-se a área da base pela altura

Um prima é um poliedro que possui uma base inferior e uma base superior. Essas bases são paralelas e congruentes, isto é, possuem as mesmas formas e dimensões, e não se interceptam. Para determinarmos o volume de um prisma qualquer, nós calculamos a área de sua base para, em seguida, multiplicá-la pela sua altura. Sendo assim:

V = (área da base) . altura Na imagem acima, a área do prisma de base retangular pode ser calculada por:

V=a.b.c Já a área do prisma de base triangular é dada por:

Volume de um cilindro

V=a.b.c 2

O volume de um cilindro é calculado multiplicando-se a área da base pela altura

Assim como ocorre com os prismas, para calcular o volume do cilindro, multiplicamos a área da base pela altura. Podemos definir novamente:

V = (área da base) . altura Para o cilindro da figura acima, podemos calcular seu volume como:

V = π . r2 . a

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Volume de um cone

O volume de um cone é calculado multiplicando-se a área da base por um terço da altura

O cone tem uma diferenciação das outras formas vistas até aqui. Ao calcularmos o volume do cone, nós multiplicamos a área da base por um terço da sua altura. Podemos definir:

V = (área da base) . 1/3 altura Para o cilindro da figura acima, podemos calcular seu volume como:

V = π . r2 . a 3

Volume de uma pirâmide

O volume de uma pirâmide é calculado através do produto da área da base por um terço da altura

A pirâmide assemelha-se ao cone em relação ao cálculo do volume. Para calcular o volume da pirâmide, multiplicamos a área da base por um terço da sua altura. Definimos novamente:

V = (área da base) . 1/3 altura Para a pirâmide da figura acima, podemos calcular seu volume como:

V = b. c . a 2 3 V=b.c.a 6

Esfera

Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R. Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

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CÁLCULO DE PERÍMETRO, ÁREA E VOLUME DE FORMAS GEOMÉTRICAS Partes da esfera Superfície esférica

A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R. Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.

Volume

O volume da esfera de raio R é dado

por:

A área da

superfície esférica é dada por:

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA SENO, COSSENO, TANGENTE, SECANTE E COSSECANTE

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Lei dos cossenos Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A saber:

Demonstração Esta é uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos. Considerando a figura, podemos observar três triângulos:

Destes, pode-se extrair as seguintes relações:

e

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos: •

Para

•

Para

Substituindo

e

Entretanto, pode-se substituir a relação

em

do triângulo

na equação acima.

Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

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Aplicação A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo oposto a esse. Ela também permite calcular todos os ângulos de um triângulo, desde que se saiba o comprimento de todos os lados.

Exemplos Considere um triângulo de lados comprimento de comprimento de •

é

e

metros. Os lados

sendo que o comprimento de e

é 2 metros e o

definem um ângulo de 30º. Calcule o

Resolução

Dada a Lei dos Cossenos, que

tem-se

e

portanto:

O comprimento de

é 1 metro.

•

Prove por Lei dos Cossenos que o triângulo eqüilátero também é eqüiângulo

•

Resolução

Dado um triângulo eqüilátero de lados que

Sejam

e

e

por definição tem-se

os ângulos deste triângulo. Aplicando a Lei dos Cossenos:

O mesmo vale para

e

O gráfico da funcão co-seno, no cartesiano, será uma curva denominada co- senóide. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico.

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Lei dos senos O seno de um ângulo de um triângulo qualquer é proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo. A saber:

Demonstração Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo raio

qualquer inscrito em uma circunferência de

A partir do ponto

diametralmente oposto triângulo

pode-se encontrar um ponto e, ligando

a

formamos um novo

retângulo em

Da figura, podemos perceber também que determinam na circunferência uma mesma corda

Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos

e do lado

oposto a

em que e

porque

Desta forma, podemos relacionar:

e

teremos as relações:

é a medida do lado

oposto a

é a medida

é uma constante.

Logo, podemos concluir que: Página 7 de 11



O gráfico da função seno, no plano cartesiano, será uma curva denominada senóide. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico.

Lei das tangentes

Seja um triângulo não isósceles e não retângulo

cujos ângulos internos e medidas dos

lados estão indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:

Demonstração Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:

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CÁLCULO DE PERÍMETRO, ÁREA E VOLUME DE FORMAS GEOMÉTRICAS Usando uma propriedade das proporções, temos que:

Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:

Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.

O gráfico da função tangente, no cartesiano, será uma curva denominada tangentóite. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico.

Colocando os ângulos notáveis neste círculo obtêm-se os valores (x; y) em que x é o cosseno do ângulo y o seno

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Representação de Seno e Coseno dos principais ângulos no círculo

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CÁLCULO DE PERÍMETRO, ÁREA E VOLUME DE FORMAS GEOMÉTRICAS REFER!CIAS "I"LIOGRÁFICAS# http://www.mundoeduaao.om/matematia/!o"mu#a$%pa"a%a#u#o%&o#ume$.htm http://teienia.u!'a.'"/a"ea%e%pe"imet"o%da$%!igu"a$%geomet"ia$%p#ana$ http://www.$omatematia.om.'"/emedio/e$paia#/e$paia#().php http://www.'"a$i#e$o#a.om/matematia/!unoe$%t"igonomet"ia$%1.htm http$://pt.wi*i'oo*$.o"g/wi*i/Matem+,)+A1tia-e#ementa"/"igonomet"ia/un+,)+A+,)+B5e$-t"igon om+,)+At"ia$ http://www.in!oe$o#a.om/matematia/!unoe$%t"igonomet"ia$/

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