Cálculo Avanzado-Lectura 6 Nueva

Módulo 3: Unidad 7: Lectura 6

Materia: Calculo Avanzado Profesor: Carlos Leonardo Di Prinzio

La mecánica es el paraíso de las ciencias matemáticas, porque con ella se alcanza el fruto matemático. Leonardo Da Vinci

Contenido del módulo:

Calculo avanzado

INTEGRACIÓN

INTEGRALES MÚLTIPLES:

Integrales dobles Integrales repetidas Coordenadas polares Integrales triples

Objetivo de la lectura: En esta lectura veremos como integra funciones multi-variables. multi -variables. Calcularemos áreas y volúmenes en diferentes sistemas de coordenadas.

7.1 Integrales dobles En otros cursos de analisis analisi s habiamos visto la integración de funciones de una variable. Para ello usabamos reglas de integración como sustitución o por partes. Sin embargo como vimos en otros capitulos las funciones no se limitan a funciones de una variable, por lo tanto en esta lectura veremos como es el proceso de integración a funciones de las de una variable.

Calculo Avanzado – Carlos Carlos L. Di Prinzio | 2

Una de los procesos de integración multivariable mas frecuente es el que involucra funciones de dos variables. Este método de doble integración sirve para calcular el volumen o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f 2 (x), inferiormente de y=f 1 (x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una función F(x, y) de dos variables x e y . La notación de una integral doble de una función F(x,y) dentro de una región A es:

∫

V = F ( x, y ) dA

Las aplicaciones físicas inmediatas resultan con expresiones particulares para F(x, y), por ejemplo:

F(x, y)= 1 cuando se trate de calcular el área y F(x, y)= y cuando se quiera

calcularse el momento del área respecto al eje x. Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A (ver figura) , de la función F(x, y), imaginémonos la región A cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x e y.

(a) y

f 1(x) Δx Δy

f 2(x)

0

a

b

x (b)

Calculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 3

z

F(x,y) y

c

d

b a x Figura 1: a) Grilla de integración. b) Integración doble si f1(x)=c y f2(x)=d.

Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares, dA=dxdy=dydx

algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos en cuenta las que están fuera de A y podemos tomar o no en consideración aquella que se haya parcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atención en A interiores al contorno que numeramos en cierto orden

dA1, dA2…….dAn

sea (xk, yk) un punto cualquiera de d Ak y formemos la suma

Sn =

n

∑ F ( x , y k

k

) dAk

k =1


Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que d x y dy tienden a cero, el límite

I =

lim

n

∑ F ( x

n → ∞ k =1

k

, y k )dAk

Existe, y se expresa por la notación utilizada en la ecuación

∫

V = F ( x, y ) dA

∫

La integral doble V = F ( x, y) dA se puede interpretar como un volumen, al menos en el caso de que F(x, y) sea positiva. Propiedades de la integral doble: 1) si tengo dos funciones F(x,y) y G(x,y) con el mismo dominio entonces podemos decir que: A =

∫ (F ( x, y) + G( x, y))dA = ∫ F ( x, y)dA + ∫ G( x, y)dA

2) si tengo la función F(x,y) y G(x,y) con su dominio determinado y k una constante entonces podemos decir que: A =

∫ (kF ( x, y))dA = k ∫ F ( x, y)dA

Ejemplo: Podemos ahora realizar un calculo de una masa de una superficie plana limitada dentro del intervalo xε [1,2] y yε [0,2] . Sabemos que la densidad de un cuerpo es una cantidad física constante no así su masa. La masa de un cuerpo es el producto de su densidad volumetrica y su volumen. En este caso nuestro cuerpo es una superficie por lo que la masa será solo el producto de su densidad superficial δ(x,y) y su área (A). Si la la densidad superficial δ(x,y) tiene un valor contante k entonces la masa de la superficie m en cuestión será:

∫

∫

∫

m = δ ( x, y ) dA = kdA = k dA = kA


Vemos que al ser el area de la superficie 2 inmediatamente podemos calcular la masa m=2k. Para el área en cuestión tenemos que los limites de integración son:

∫

2 2

∫ ∫ dxdy = 2k

m = k dA = k

1 0

Sin embargo veremos en la próxima sección como se calcula directamente esta integral si tener que saber de antemano el área. Existen métodos para calcular la integral doble mediante integrales repetidas o sucesivas. V =

∫∫ F ( x, y)dxdy

7.2 Integrales repetidas En esta sección desarrollaremos un método para calcular integrales repetidas como la planteada en la sección anterior. La integral en cuestión es:

∫

A = F ( x, y ) dA =

∫∫ F ( x, y)dxdy A

Para realizar esa integral partimos integrando en y como si x fuese constante.

∫∫

F ( x, y )dxdy =

A

 f 2 F ( x, y)dy dx ∫a  ∫ f 1  b

Luego la función resultante se calcula entre los límites y=f1(x) e y=f2(x); Finalmente el resultado se integra respecto a x entre los límites x=a y x=b. Significado geométrico de la integral doble: Sea la integral


∫∫

F ( x, y )dxdy =

A

 f 2 F ( x, y)dy dx ∫a  ∫ f 1  b

La F(x,y) puede una altura z de un punto x, y. Para cada sector da=dxdy se lo multiplica por z es decir que tenemos un pequeño volumen dv=zdxdy. Si sumamos todos esos volúmenes obtenemos el valor de la integral. Si la función F(x,y) es positiva en todo la región en cuestión podemos considerar que la integral es el volumen encerrado debajo de la función F(x,y) Ejemplo: Supongamos que tenemos una función F(x,y)=xy+x, y queremos encontrar la integral de la misma en xε [1,2] y yε [ x 2 + 1, x ]. Por lo tanto tengo:

∫∫ F ( x, y)dxdy = ∫

2

1

A

 f ( x )= x +1 ( xy + x ) dy dx  ∫ f ( x )= x  2

2

x

Operando tengo:

f ( x ) = x +1   2 2 xy dx ∫∫ A F ( x, y)dxdy = ∫1  2 + xy  f ( x ) = x   2

2

x

f ( x ) = x +1   2 2 2 2 xy 2  x( x + 1) ( x) 3 2 2   xy dx x ( x 1 ) ( x ) dx + = + + − −   ∫1  2 ∫ 1 2 2    f ( x ) = x   2

2

x

 x( x 2 + 1) 2  ∫1  2 dx + 2 2 2  x ( x + 1) 2 ( x) 3 2 2 2 [ x ( x 1 ) ( x ) dx x ( x + + − − = + + 1)]dx +  ∫1  2 ∫ 1 2  2  ( x) 3 + ∫ − − ( x) 2 dx 1  2  2


 ( x 2 + 1) 3 2   2  x( x 2 + 1) 2    +   125 8  dx + 12 − +  ∫1      1   12 12 2  2     2  2    + 2 [ x( x 2 + 1)]dx +  =  ( x + 1) +  =  + 25 − 1 +   ∫1   4   4  1 3   2  ( x)    1 8 1 1 2 − ( x) 2 dx   x 4 x 3  − − + +  + ∫1 −  2 3 8 3   2    − −   8 3 1    125 8  − +  12 12    117 19 15 7 234 + 114 − 45 − 56 247 25  + −1+  = + − − = = 4 12 4 8 3 24 24   − 1 − 8 + 1 + 1   2 3 8 3  ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área esta dada por una cualquiera de las integrales

A =

∫∫ dxdy = ∫∫ dydx

Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y , y después respecto a x ; es decir

b f 2

A =

∫ ∫ dydx a f 1

La misma es constante, si el área esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y) , a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d. , Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y después respecto a y ; es decir como

d g 2

A =

∫ ∫ dydx c g1


Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los elementos

dA= dxdy

Situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es

A =

∫

d

c

 g 2( y ) dy dx = d [ x]g 2( x ) dy = d ( g ( y) − g ( y ))dy 1 ∫c g1( y ) ∫c 2  ∫g1( y ) 

Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.

Ejercicios: Después de haber integrado la función F(x,y)=xy+x podemos relizar estos ejercicios simples. 2 4

1) Calcular el área que viene dada por la integral

∫ ∫ dxdy 0 2

3 9


∫ ∫ dxdy 0 y 2

4 16


∫ ∫ dxdy 0 y

5 25


∫ ∫ dxdy 0 y 3

7.3 Coordenadas polares


Las coordenadas polares son θ y r llamadas ángulo polar y radio respectivamente. Un punto en el plano P=(x,y) estará representada por: x = r cos θ

y = r sin θ

Figura 3: Coordenadas polares Sea una función F ( r , θ ) una función definida sobre el área A. Consideremos la región A determinada por las semirrec tas θ=β, θ=α y las curvas r=f 1 (θ) , r=f 2 ( θ ), como en la figura 3. Supongamos que A queda incluida por completo en el sector R definido por r= a hasta 0.

Sean m y n dos enteros positivos y hagamos

∆r =

a m

∆θ =

β − α n

Cubrimos ahora A por una red de arcos circulares de centro 0 y radios Δr, 2Δr,… mΔr y trazamos por 0 los rayos α+Δθ, α+2Δθ , α+3Δθ ,….


Δθ

r=a

ΔAk

r=f 1(θ) θ=β

θ

Δr

(rk, θk)

r=f 2(θ)

θ=0 Figura 3: Integrales en coord. Polares.

Aquellas áreas diferenciales ∆ Ak = r k ∆θ ∆r que estén dentro del área A se numeraran en cierto orden por 1, 2, 3,…,N, eligiendo en cada una de ellas un punto (rk, θk). Se multiplica el valor de F (función dada, definida sobre la región A) en cada punto (rk, θk) por el área de la correspondiente subregión, y se suman los productos así obtenidos; es decir, consideramos la suma

S =

N

∑ F (r ,θ )∆A k

k

k

k =1

S =

N

∑ F (r ,θ )r ∆θ ∆r k

k

k

k =1

Con ∆ Ak = r k ∆θ ∆r

Si la función F es continúa y la región A esta limitada por curvas continuas rectificables, las sumas tiene como límite la integral doble de F extendida a A:


lim

N

∑ F (r ,θ )r ∆θ ∆r = ∫ ∫ F (r ,θ )dA

N → ∞ k =1

k

k

k

A

Este límite puede calcularse utilizando la siguiente integral repetida:

∫∫ A

β

∫∫

F ( r , θ ) dA =

f 2 (θ )

r = f 1(θ )

θ =α

F ( r , θ )rdrd θ

Ejemplo:

Supongamos que tenemos una función F (r , θ ) = r y queremos evaluar la integral

∫∫ A

β

∫∫

F (r , θ ) dA =

f 2 (θ )

r = f 1(θ )

θ =α

F ( r , θ )rdrd θ

 π   2 

En el area donde r ε [0,3] y θε 0,

La integral anterior entonces queda:

θ =

∫∫ A

F ( r , θ )dA =

π 2

∫∫

r = 3

r = 0

θ = 0

r 2 drd θ

Entonces: θ =

π 2

θ =

∫∫

θ = 0

r =3

r = 0

r drd θ = 2

π 2

∫

θ = 0

3

r

3

θ =

r = 3

π 2

π

∫ 9d θ =9 2

d θ =

θ = 0

r = 0

Ejercicios: 1) Evaluar la integral doble

2) Evaluar la integral doble

2π 6

∫ ∫ 3r senθ drd θ = 0

2

0

2π

7

0

0

∫ ∫

r 2 cos θ drd θ =


3) Evaluar la integral doble

2π

8

0

0

∫ ∫

3r 3 sen2θ drd θ =

7.4 Integrales triples La definición de integral triple es análoga a la de integral doble. En el caso más simple consideremos una caja rectangular R acotada por 6 planos x= a 0 , x= a 1 , y = b 0 , y = b 1 , z = c 0 , z = c 1 ; y sea u = f(x, y, z) una función de tres variables definida en todo (x, y, z) de R (figura 4).

c1 z c0

F(x,y,z)

y

b0

b1

a1 a0 x

Figura 4: Región en el espacio de integración. Subdividimos el espacio en cajas rectangulares mediante planos paralelos a los planos coordenados.

Sean B 1 , B 2 ,......, B n aquellas cajas de la subdivisión que contienen puntos de R.


Designaremos con V (B i ) el volumen de la i-enésima caja B i .

Elegimos un punto Pi ( ξi , η i , γ i ) en B i , esta elección se puede hacer en forma arbitraria. La suma: V =

n

∑ f (ξ ,η , γ ).V ( B ) i

i

i

i

i =1

es una aproximación de la integral triple.

La norma de subdivisión es la longitud de la mayor diagonal de las cajas B 1 , B 2 ,....., Bn.

Si las sumas anteriores tienden a un límite cuando la norma de la subdivisión tiende a cero y para elecciones arbitrarias de los puntos P i , a este límite lo llamaremos la integral triple de f(x,y,z) sobre R.

V =

lim

n

∑ f (ξ ,η , γ ).V ( B ) = ∫∫∫ f ( x, y, z).dV

n → ∞ i =1

i

i

i

i

R

Así como la integral doble es igual a dos integrales repetidas, también la integral triple es igual a tres integrales repetidas. Para el caso de la caja rectángular R obtenemos:

V =

∫∫∫

f ( x, y, z ).dV =

a1 b1 c1 f ( x, y, z ).dz.dy.dx a 0 b0 c 0

∫ ∫ ∫

R

Suponemos ahora que una región S está limitada por los planos x = a 0 ; x = a 1 ; y = b 0 ; y = b 1 y por las superficies z = r(x, y), z = s(x, y).


La integral triple se puede definir de igual forma

a1 f ( x, y , z ) dV = a0

∫∫∫ S

b1

s ( x , y ) f ( x , y , z )dzdydx r ( x , y )

∫ ∫ ∫ bo

Sea S una región definida por las desigualdades: S:{P(x, y, z)/a ≤ x ≤ b; p (x) ≤ y ≤ q (x) ; r(x, y) ≤ z ≤ s(x, y) Donde las p; q; r y s son continuas. Si f es una función continua en S, tenemos:

∫∫∫

f ( x, y , z ) dV =

S

a1 q ( x ) s ( x , y ) f ( x , y , z )dzdydx a 0 p ( x ) r ( x , y )

∫ ∫

∫

Las integrales repetidas se efectúan considerando todas las variables constantes, excepto aquella respecto a la cual se integra. Este concepto se puede extender a n variables. Ejemplo:

a1 q ( x ) s ( x , y ) f ( x, y , z ) dV = f ( x , y , z )dzdydx a 0 p ( x ) r ( x , y )

∫∫∫ S

∫ ∫

∫

Sea una función F(x,y,z)=xyz Queremos calcular la integral:

∫∫∫

f ( x, y , z ) dV =

S

a1 q ( x ) s ( x , y ) xyzdzdydx a 0 p ( x ) r ( x , y )

∫ ∫

∫

Donde xε [0,1] , q( x) = 0 p ( x) = x y finalmente s ( x, y ) = 0

r ( x, y ) = xy .

Remplazando en la integral y comenzando a integrar en z tengo:

∫∫∫

f ( x, y , z ) dV =

S 1

x

0

0

∫∫ ∫

xy

0

1

x

0

0

∫∫∫

0

1 x

xyzdzdydx =

xy

xyzdzdydx

∫ ∫ xy 0 0

z 2

2

xy

dxdy 0


1 x

z

2

∫ ∫ xy 2 ∫∫ 1

∫ 0

3

2 4

dxdy =

∫

x

1

dx =

∫ 0

8

dxdy

x

dx

2 4

x 7

3

2

x 3 y 4

0

0

3

x y

0 0

1

2

x y 4

∫∫

0

x 3 y 3

0 0

1 x

dxdy =

0 0

1 x

xy

0

1

dx =

56

Resolver los siguientes ejercicios:

1) Calcular la siguiente integral

3

2 1

0

0

∫ ∫ ∫ ( x + y + z)dxdydz 0

2) Hallar la masa de la porción del sólido elipsoidal Q dado por 4x 2 + 4x2 + z2 = 16, que esta por encima del plano xy, supuesto que la densidad en un punto del sólido es proporcional a su distancia al plano xy.

3) Calcular el volumen del sólido W limitado por el paraboloide

z

a 2

x2

y 2 y el plano XY.

4) Calcular el área de la región limitada por la elipse de ecuación:

x

2

a2 utilizando integración doble y un adecuado cambio de coordenadas.

4

5) Calcular la siguiente integral

π

+

y

2

b2

=1,

7

∫ ∫ ∫ r cosθ drd θ dz 0

2

0

0

7.5 Centro de masa Si tenemos una masa distribuida de modo continua sobre una región A del plano xy , un elemento dm de masa será


dm= δ (x, y)dydx= δ (x, y)dA

(ver ejemplo en sección 1) En donde = δ (x, y) es la densidad en el punto (x, y) de A, en tal supuesto, cabe utilizar una integral doble para calcular

a) la masa

∫

M = δ ( x , y ) dxdy

b) el primer momento de la masa respecto al eje x

∫

M x = δ ( x , y ) ydxdy

c) su primer momento respecto al eje y

∫

M y = δ ( x , y ) xdxdy

Las coordenadas del centro de masa serán: xcm =

M y M

, y cm =

M x M

Otros momentos de importancia en las aplicaciones a la mecánica son los momentos de inercia de la masa. Estos son los segundos momentos que se obtienen utilizando los cuadrados en lugar de las primeras potencias de las distancias o brazos de palanca x y y.

Así el momento de inercia respecto al eje x representado por Ix se define por:

∫

2 I y = δ ( x , y ) x dxdy


y el momento de inercia respecto al eje y es

∫

I x = δ ( x , y ) y 2 dxdy

Tiene también interés el momento de inercia polar respecto al origen dado por

∫

I 0 = δ ( r , θ )r 2 dA

Esta ultima formula r 2=x 2+y 2 es el cuadrado de la distancian desde el origen al punto representativo ( x, y ) En todas estas integrales deben ponerse los mismos límites de integración que si se tratara solo de calcular el área de A.

Ejercicios:

1) Hallar la masa de la lamina triangular de vértices (0,0), (0,3) y (2,3), si su densidad en (x, y) es δ(x, y)=2x+y. La masa resulta de plantear la integral: 3

∫∫ 0

2 y

0

3

(2 x + y )dxdy

2) Hallar la masa de la lamina triangular de vértices (0,0), (0,6) y (3,3), si su densidad en (x, y) es δ (x, y)=2xy

Derivada y gradiente:

1) La ecuación de la superficie de una montaña es Z=1200-3X 2-2Y2 donde la distancia se mide en pies, el eje X apunta al este y el eje Y apunta al norte. Un


montañista se encuentra en el punto correspondiente a las coordenadas (-10, 5, 850) calcule

a) ¿cual es la dirección mas pronunciada de la ladera? (Rumbo) b) si el montañista se mueve hacia es norte ¿esta ascendiendo o descendiendo? c) si el montañista se mueve en dirección nor-oeste ¿esta ascendiendo o descendiendo? d) ¿en que dirección recorrería una trayectoria a nivel?

2) La temperatura en grados Celsius, sobre la superficie de una placa metálica viene dada por T (X,Y)=20-4X2-Y2, midiéndose “X” y “Y” en cm, desde el punto (2,-3) ¿en que dirección corre la temperatura mas rápidamente? ¿A que ritmo se produce este crecimiento?

3) La temperatura en el punto (X,Y) de una placa viene dada por: T =

X X + Y 2 2

Hállese la dirección de mayor crecimiento del calor desde el punto (3,4)

4) Si “V” es el potencial eléctrico en cualquier punto (X,Y,Z) en el espacio tridimensional y V = X 2 + Y 2 + Z 2 . Encuentre la rapidez de cambio de “V” en  el punto (2,2-1) en la dirección del vector 2i − 3 jˆ + 6k ˆ y la dirección de mayor rapidez de cambio de “V” en (2,2,-1).

5) Supongamos que la superficie del cerro de las adyacencias de la UEsiglo21 se define por la ecuación Z=900-3XY. Donde la distancia se mide en metros. El eje “X” apunta hacia el oeste y el eje “Y” apunta hacia el sur. Un estudiante se encuentra en el punto (50,4,300)


a) ¿Cuál es la dirección de mayor pendiente? b)?si el estudiante avanza hacia el norte asciende o desciende? c) ¿en que dirección recorrería una trayectoria a nivel? d) si sigue un rumbo S30°E ¿esta ascendiendo?

Plano tangente:

1) Halle la ecuación del plano tangente y la recta normal en el punto dado

a) XYZ + Ln( XYZ ) − Z = 0, P(1,1,1) X − 1

2

=

Y − 1

2

=

Z − 1

1

b) Z = Xe −2Y , P(1,0,1)

−9

=

Y

4

=

X − 1

X − 2Y − Z = 0

c) YX 2 + ZY 2 − XZ 2 = 18, P( −2,0,3) X + 2

2X+2Y+Z-5=0

1

=

Y − 0

−2

=

Z − 1

−1

9 X − 4Y − 12Z + 54 = 0

Z − 3

12

d) X 2 + Y 2 + Z = 9, P(1, 2, 4 )

2 X + 4Y + Z = 14

e) Z = tg −1 (Y X ), P(1,1,π / 4 )

X − Y + 2Z = π 2

f) X = e 2Y − Z , P(1,1, 2 )

X − 2Y + Z = 1

X − 1

2

X − 1

1

X − 1

−1

=

=

Y − 1

2

Y − 2

=

4

Y − 1

=

−1

=

=

Z − 4

1

Z − π 4

2

Z − 2

−1


2) hállese el Angulo de inclinación θ del plano tangente a la superficie dada en el punto indicado. a)

X

2

12

+

2

Y

12

+

2

Z

3

= 1, P(2, 2,1)

b) 3 X 2 + 2Y 2 − Z = 15, P( 2, 2,5 )

c) X 2 − Y 2 + Z = 0, P(1, 2,3)

θ=35,3°

θ=86°

θ=77,4°

3) halle un punto de la superficie X 2 + 2Y 2 + 3Z 2 = 12 donde el plano tangente es perpendicular a la recta

X= 1+2t Y= 3+8t Z= 2-6t

4) encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva intersección del elipsoide 2 2 2 X + 4Y + 2 Z = 27 y en hiperboloide X + Y − 2 Z = 11 en el punto (3,2,1) 2

2

2

5) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva intercepción entre las superficies f ( X ,Y , Z ) = 9 X 2 + 4Y 2 + 4Z 2 − 41 = 0 y

f ( X ,Y , Z ) = 2 X 2 − Y 2 + 3Z 2 − 10 = 0

en el punto (1,2,2 )

6) Encuentre los puntos del hiperboloide X 2 − 2Y 2 − 4 Z 2 = 16 en los cuales el plano tangente a la superficie es paralelo al plano 4X-2y+4z=5

7) Encuentre el punto en el que el plano tangente a la superficie Z=X 2+2XY+2Y26X+8Y es horizontal.


Bibliografía Lectura 1 1. Cálculo I - Serge Lang - S/D - 1976 - Fondo educativo interamericano S.A. - México (D.F.) 2. Cálculo II - Serge Lang. - S/D - 1976 - Fondo educativo interamericano S.A. - México (D.F.) Cálculo: Varias variables-George Brinton Thomas, Palmas Velasco Alfredo, Ibarra Mercado Victor Hugo, Maurice D. Weir, Víctor Hugo Ibarra Mercado, Elena de Oteiza de Oteiza, Joel Hass, Frank R. Giordano, Oscar Alfredo Palmas Velasco. Edition: 11. Publicado por Pearson Educación, 2006

Sitios de internet www.uesiglo21.edu.ar http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m3_integrales.php http://recursostic.educacion.es/descartes/web/

http://www.matematicas.net/ http://es.wikipedia.org/ 3.


Cálculo Avanzado-Lectura 6 Nueva

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