948
Ca
;,Verdadero
falso?
En lo Ejer Ejerci cici cios os re Sies re
ma j em em p 100.
101.
102.
Si (rl' mism mism
(}j)
Co
me
100100-10 103, 3, dete determ rmii-
co azon azon ca pana pana pres presen enta ta la ecua ecuaci ci6n 6n
104.
lar
punt punto, o, ento entonc nces es I r 1 1
Ir21.
pued pued repr repres es nt rs
lares
siendo
Ar
de na
ON
N ID ID O po
P un u n tata s d e n tete r e cc c c ioio n d e g rar a l c a e n p o a rere s L an an g u d d e A re re a d e u n
u pe pe r c i
po la
ca en po
tt
valo valore re
Us nd
Area Ar
lo ente entero ro
-sen
un calc calcul ulad ador ora, a, re
-5
5. ",Qu ",Qu
de
rt oord oorden en da po
Th
arctg (y/x).
yZ
on
sen 20
cos 50
Si 1) (}z) on coor coorde dena nada da pola polare re de un mismis(r, (}z) rn punt punto, o, enton entonce ce para algu algu ente entero ro n. 2n para Si nas ( x
l ar ar e graf grafic ic
103.
tien tienen en la mism mism
(}2)
(r
c o or o r d en en a da d a s p a lala rree s
Coll Colleg eg
Math Mathem emaa-
tics tics Jour Journa nal. l.
o ng ng i u d d e
e oo oo rd rd en en ad ad a
po
es
al de area area en co rden rdenad adas as cart cartes esia iana na
pe
util utiliz iz sectores circulares
de na
on
ea
ol
d e e vo v o lulu c e n
aral aralel el
el
8r
f)
Co side side emos emos la ecua ecuaci ci j(O), con continua intervalo a ~ ) ~ io po la rect rectas as radi radial ales es 0= Pa hall hallar ar el area area esta esta regi region on di idim idimos os el inter interva valo lo [a, fJ en subi subint nter erva valo lo igua iguale les. s.
0z
rJ
. , < 0n-l
sectores. F IG I G U R A 9 .4.4 7 E I a rere a d e u n e c o r c i c u a r e s
Radi Radi
de z-es z-esim im
18r2
sect sect
j(O)
Ll8
{}
,n-i
r=f({})
(J
,n-i
r= f({})
,{},
_,a
-a
F IG I G U R A 9 .4.4 8
S e ee i6 n 9 .
Area
949
o n g u d d e a re o e n e oo rd en a da s p o /a re s
se obtien
--->
-e
[f(0)]2.10
;=1
[f(O)]
ar
Nota.
lor MP
[a
l.
Ar
7!
30.
9.49
-n/6
n/6.
r2 F IG U R A 9 .4 9 E I a re a d e l p e a l d e radiales
o s s i u ad o e n
-nj6
as ecas
/6
petalo
f"/6
(3 cos 38)2
-,,/6
f"/6
3nj4.
cos 60
-,,/6
[0
sen 60]"/6
~)
3n
-,,/6
2n. Haciendolo 2n.
se obtendri
9n12,
9S0
Cap tu
C 6 n ic a s e c ua c io n e
p a ra m e tr ic a s
EJEMPLO
C a lc u
caracol
1-
c o or de n ad a s p o la re s
d e a re a
mi ad
pa un cu oa
lC
Solucion:
n/6
Sn16.
lazo interior es 1(
Al
8)2 dO
1(16 1(
n'
dO
1(16
F IG U R A 9 .5 0 E I a r e c om p re nd id a e n r e o s a w s n te r o r e s a pr ox im a d am e n t
[1
=~
exterior
c;s 28)
sen
d8
8 ,3 4 1(
(3
cos 28) d8
1(16
38
sen 28
JS~6 1(16
3j3 imil por ella
Snl6
exte io
es
2n
13nl6
en
ta
(3j3/2).
AI'
P un to s d e n te rs ec c o n d e g ra f c a e n p o a re s ad qu cada punt admite diversas representaciones en coordenada polare ha qu te er cuidado al determinar lo puntos de interseccion do graficas en olares or ejempl consideremos lo unto de interseccion de la graficas
]f_
2 c inte ta
ec
la lo neamente obtendriamo
ci
1-
Primer
1- 2c
Sustituir
ecuacion
Simplificar F IG U R A 9 .5 1 T re s p u n o s d e n te rs ec c 6 n : (-1,0),
1 , ni2),
(I, 3 n i 2 ) .
~, 3n
Despejar
S c cc io n 9 .
PARA MA
INFORMACIO
busqueda de puntos de interseccion pued vers en el articulo «Finding Points of Intersection of PolarCoordinate Graphs», de Warren Esty, en Mathematic Teacher, septiembre de 1991
Area
951
o n g u d d e a re o e n c oo rd en a da s p o /a re s
Lo corr spondi nt
n12) puntos de nt rs cion so (I, 3n12). in mun tercer punto de interseccion simultaneamente. ap re ta al reso ve la ecuacion
qu
1, correspond cos 0, us coordenada
de
polare pu de co parars
0) diferent s.
ns nt
la coordenada on
co el
ol
en
colision
produc ra
anal zars
or se arad
lo
os puntos de nt r-
' ( 0 0), siendo Ii cualquie nt nter ecci n.
EJEMPLO
A re a d e
cuando se usca
e g o n c om p re nd id a e n
angulo debe
do cu as
la do region
ti L a s t r ay e c t o ri a s
ol siones
sateli-
(v or de ).
Nota.
F IG U R A 9 .5 2
(I,
Ii it da po la siguientes
curvas:
s a i e l i t e : p u e d e n c o r ta r s
Circulo
-6
s i q u e s e p ro d nz ca n c o s io n es .
Cardioidc
tJ
Soiucum:
breada ma oscura esta limitada po la circunferencia om la circunferenc iene oord nada (0 n/2) n/2
2n/3 2n/3
al ul
2n/3. la rect radial polo ntegra os en re
su ar
()
tt
nt 2n/3 corrnin situada po
po
card oide
or tanto, podemo
in grando Re io
e nt r
e l c ir e l o 21[/3
nc ma
tt
R eg io n e nt r l a c ar di oi d r ec ta s r a i al e I I 21[/3
II
las 1[
2nl3
(-6 cos
)2 dO
fn
2TCjJ
nl2 nl3
dO 2~3
F IG U R A 9 .5 3
sen
(I
cos
)2 dO
fT fn
cos 20j2n .l
2 -
cos
cos
sen 20jTC -_
30
~2
2~3
Nota.
resu ad ob en en el je pl 3, obse ve os el area de la egio circular es nr2 9n. Parece pues situad dentro de la circunferencia card oi se 5n.
)3
2)3
~)
5n 5n.
C a pi tu l
C o n ic a s e c ua c io n e
p a ra m e tr ic a s
c o or d en a d a
p o la r e
2x
I;
dx
_x
Nota.
r ar s
la
L on g u d d e a re a e n p o a re s ro
os 31
it metricas (vease Ejereiei
,pe
EJEMPLO
C o lc u
de
ta 8)
o ng i u d d e u n c u
e n p o a re s
ha ta
2n
la ea dioi
f(O)
Solucion:
Comof'(O)
en
po em
ealcular la lo gitu
de rc co
ig e.
la 2Jr
)2
F IG U R A 9 .5 4 L a o ng i u d d e a re a d e e s
e a d io id e e s 1 6
0)
dO
2Jr
cos
dO
Jr
sen? Jr
dO
-cos 8(1
I)
dO ()
Zn
