19. Calcule el importe de la renta constante que colocada al final de cada trimestre durante 4 años permite constituir un monto de 20000 um. La TNA aplicable es de 36% con capitalización mensual. Solución:
S = 20000 n = 4 años, 4X4 = 16 trimestres TET = (1+ 0.03) 3 -
1 = 0.092727
De la fórmula S = R [(1+i)n R = S / [ (1+i) n
- 1 / i], despejamos R:
- 1 / i ] = S[i/ ( 1+i) n - 1 ] = S*FDFA
R = 20000[0.092727 / (1.092727) 16
-1 ]
R = 20000(0.2960394) R = 592.08
21. Se planea remplazar una máquina máquina dentro de 4 meses, cuyo precio se estima que en dicha fecha será 5000 um. ¿Qué importe constante a fin de mes deberá depositarse durante ese plazo en un banco que paga una TEM de 5%, a fin de comprar dicha maquina con los ahorros capitalizados? Solución:
S = 5000 n = 4 meses TEM = 0.05 De la fórmula S = R [(1+i)n R = S / [ (1+i) n
- 1 / i], despejamos R :
- 1 / i ] = S *[i/ ( 1+i) n - 1 ] = S*FDFA
R = 5000[0.05/ (1.05) 4
-1]
R = 5000(0.23201183) R = 1160.06
22. Un préstamo de 5000 um se contrata en el Banco del Oriente para devolver el principal dentro de un año y pagar trimestralmente solo los intereses, con una TET de 8%. El prestatario, para cancelar el principal a su vencimiento, desea acumular un fondo y para ello efectúa depósitos constantes trimestrales en el Banco del Sur, con una TEM de 2%; Calcule la cuota trimestral total que le permita acumular el fondo y pagar los intereses trimestrales Solución:
S = 5000 TET = (1+ 0.02)3 n = 4 trimestres
1 = 0.061208
De la fórmula F = R [(1+i) n R = S / [ (1+i) n
- 1 / i ], despejamos R :
- 1 / i ] = S*[i/ ( 1+i) n - 1 ] = S*FDFA
R = 5000[0.061208 / (1.061208)4 -1] R = 5000(0.22818219) R = 1140.91 Los intereses trimestrales son: 5000*0.08 = 400 Rtotal =1140.91 + 400
Rtotal = 1540.91
23. Un préstamo de 5000 um debe amortizarse en el plazo de un año con cuotas uniformes mensuales con una TNA de 36% capitalizable mensualmente. Calcule el importe de esa cuota constante. Solución
P = 5000 um n = 12 meses TNA = 0.36, TNM = 0.36/12 = 0.03 De la fórmula de P = R [(1+i) n - 1
/ i *(1+i)n
Despejamos R, R = P [ i(1+ i ) n / (1+ i )n
-
1]
R = P*FRC (i, n)
Aplicando la formula anterior: R = 5000*[0.03*(1+0.03)12 / (1+0.03)12 -
1 ]
R = 5000*0.10046209 R = 502.31
24. La empresa equipos S.A vende sus máquinas al contado en 10000 um, pero debido a que consiguió un financiamiento del exterior está planeando efectuar ventas a crédito con una cuota inicial y seis cuotas mensuales uniformes, todas iguales. Si la TEA que se piensa cargar al financiamiento es 25 %, calcule el importe de las cuotas del programa de ventas a plazo. Solución:
P = 10000 n = 07 meses TEA = 0.25 TNM= ¿? (1+TNM) 12 - 1
= 0.25
TNM = 12/ 1.25
- 1
TNM= 0.01876927 Aplicando la fórmula para hallar Ra, dados P, n , i Ra = P /(1+i) * [ i(1+i) n / (1+i)n - 1
Ra = 10000/(1+0.01876927) * [0.01876927 (1+0.01876927) 7 / (1+0.1876927)7 - 1] Ra = 9815.7653*0.15378182 Ra = 1509.49
25. Se compró un automóvil cuyo precio de contado fue 12000 um, se pago una cuota inicial de 2000 um y el saldo amortizable en el plazo de 4 meses es con cuotas mensuales iguales. ¿Cuál es el importe de la cuota uniforme si el costo del financiamiento es 2% efectivo mensual? Solución
P contado = 12000 um Inicial = 2000 um Saldo = 12000 – 2000 = 10000 n = 4 meses TEM = 0.02 De la fórmula de P = R [(1+i) n - 1
/ i *(1+i)n
Despejamos R, R = P[ i(1+ i ) n / (1+ i )n
-
1]
R = P*FRC (i, n) Aplicando la formula anterior: R = 10000*[0.02*(1+0.02)4 / (1+002)4 -
1 ]
R = 10000*0.26262375 R = 2626.24
26. Prepare una alternativa de financiamiento para una máquina que se vende al contado a un precio de 4000 um. A crédito se otorgará con una cuota inicial equivalente a 25% del precio de contado y seis cuotas uniformes pagaderas cada 30 días. Se cargara una TEM de 5% sobre el saldo deudor. Solución
P contado = 4000 um Inicial = 0.25*4000 um = 1000 Saldo = 4000 – 1000 = 3000 n = 6 meses TEM = 0.05 De la fórmula de P = R [(1+i) n - 1 Despejamos R, R = P[ i(1+ i ) n / (1+ i )n
-
1]
/ i *(1+i)n
R = P*FRC (i, n) Aplicando la formula anterior: R = 3000*[0.05*(1+0.05)6 / (1+0.05)6 -
1 ]
R = 3000*0.19701947 R = 591.05
27. En la adquisición de una máquina, una empresa recibe las siguientes propuestas: Propuestas
A
B
Vida útil (años)
10
12
Precio de contado um
5000
5800
¿Cuál es la propuesta más conveniente dado un costo de oportunidad de 15% efectivo anual? Solución
Propuesta A: Calculamos el costo anual equivalente para cada una de las alternativas. Dados P= 5000, n= 10, TEA = 0.15 Entonces calculamos R R = P[ i(1+ i ) n / (1+ i )n
-
1]
R = P*FRC (i, n) Aplicando la formula anterior: R = 5000*[0.15*(1+0.15)10 / (1+0.15)10 -
1 ]
R = 5000*0.19925206
R = 996.26
Propuesta B: Calculamos el costo anual equivalente Dados P= 5800, n= 12, TEA = 015 R = P[ i(1+ i ) n / (1+ i )n
-
1]
R = P*FRC (i, n) Aplicando la formula anterior: R = 5800*[0.15*(1+0.15)12 / (1+0.15)12 -
1 ]
R = 5800*0.18448018 R = 1069.99 Conclusión, Al calcular el valor de R, hemos calculado el costo equivalente anual para cada propuesta, lo que resulta que es más conveniente la propuesta A de menor CEA = 996.26.
28. Una empresa solicita a un banco un préstamo de 20000 um., que devenga una TEM de 2%, para amortización en el plazo de dos años con cuotas uniformes trimestrales vencidas. La suma de las amortizaciones debe ser: en el primer año, igual a 40% del préstamo y durante el segundo año, igual a 60% del préstamo. Calcule el importe de las cuotas uniformes durante el primer año. Solución P = 20000 um TEM = 0.02 n = 2 años en cuota trimestrales, n = 8 trimestres. Año 1 Suma de las amortizaciones debe ser =: 0.40*20000 = 8,000 Para el primer año debe devolver 8,000 um. TET = (1+ 0.02)3 - 1 = 0.061208 R = P*FRC R = P*FRC (i,n) R = P[i(1+i) n / (1+i)n - 1 ] R = 8000[0.061208 (1.061208)4 / (1.061208)4 - 1] R = 8000[0.077626523 /0.26824179 R = 8000(0.28939019) R = 2315.12
Cuota principal en función de R
29. En cuánto tiempo podrá acumularse un monto de 2000 um, si se efectúan depósitos quincenales anticipados de 150 um? El banco paga una TNA de 24% capitalizable mensualmente. Solución
S = 2000 um. Ra = 150um TNA = 0.24 capitalizable mensualmente TEM = 0.24 / 12 = 0.02 TEM = (1+TNQ)2 - 1 TNQ = 2/ 1.02
- 1
TNQ = 0.00995049 Aplicando la fórmula de cálculo de n, dados S, i y Ra. n = Log [Si/ Ra (1+i)
+ 1] / Log (1+i )
n = Log [2000*0.00995049 / 150(1+ 0.00995049) + 1 / Log (1+0.00995049) n = Log [1.13136609] / Log(1.00995049) n = 0.05360316 / 0043018 n = 12.46 quincenas.
30. ¿Por cuántos meses una persona debe depositar 250 um cada fin de mes en un banco para acumular un monto de 2000 um en la fecha de ultimo deposito si percibe una TEM de 3%? Solución Calculo de n en una anualidad vencida cuando se conoce S, i, n
S = 2000 R = 250 TEM = 0.03 n = Log [Si /R
+ 1] / Log (1+ i)
n = Log [2000*0.03/ 250 + 1] / Log (1+0.03)
n = Log [1.24] / log 1.00995049 n = 0.09342169 / 0.01283722 n = 7.28 meses
31. ¿En cuántas cuotas de 1576,14 um pagaderas cada fin de mes podrá amortizarse un préstamo de 8000 um? La entidad financiera cobra una TEM de 5%. Solución
Calculo de n en una anualidad vencida cuando se conoce P, i, n P = 8000 R = 1576.14 TEM = 0.05 n = ¿? Aplicando la fórmula de n: n = - Log [1 - Pi /R] / Log (1+ i) n = - Log [1 – 8000*0.05/ 1576.14 ] / Log ( 1+0.05) n = - Log [0.74621544 / log 1.05 n = - (- 5.99999887) n = 6 meses.
32. ¿Cuántas cuotas mensuales anticipadas de 1650 um serán necesarias para cancelar un préstamo de 8500 um? La deuda se contrajo en un banco que cobra una TNA de 24%, con capitalización trimestral. Solución
P = 8500 um. Ra = 1650 um, mensuales TNA = 0.24, capitalización trimestral. TNT = 0.24 / 4 = 0.06 TNM, (1+TNM) 3 TNM = 3/ 1.06
- 1 = 0.06 - 1
TNM = 0.01961282 Aplicando la fórmula de cálculo de n, dados P, i y Ra. n = - Log [1 -
Pi / Ra (1+i) ] / Log (1+i )
n = Log [1 - 8500*0.01961282 / 1650(1+ 0.0191282)
/ Log (1+0.01961282)
n = - Log [0.90090] / Log (1.01061282) n = 0.04531968 / 0.00843529 n = 5.37 meses
33. Con el objeto de retirar 800 um cada 30 días, una persona deposita 10000 um en un banco y gana una TEM de 2%. ¿Cuántos retiros podrá efectuar? Solución Calculo de n en una anualidad vencida cuando se conoce P, i, n P = 10000 R = 800 TEM = 0.02 n = ¿? Aplicando la fórmula de n: n = - Log [1 - Pi /R] / Log (1+ i) n = - Log [ 1 – 10000*0.02/ 800 ] / Log ( 1+0.02) n = - Log [0.75] / log 1.02 n = - (- 0.12493874)/ 0.0086007 n = 14.53, retirará 14 meses de 800 soles y saldo después
34. Una máquina cuyo precio al contado es 5000 um se compra a crédito. El 26 de mayo paga al contado 2000 um y las cuotas de amortización de 1000 um se pagan cada 30 días. ¿En qué fecha quedará cancelada totalmente la máquina si se supone que los pagos se efectúan puntualmente y que la empresa que concedió el crédito carga una TEM de 5% sobre los saldos pendientes de pago? Solución
Calculo de n en una anualidad vencida cuando se conoce P, i, n P = 5000 Saldo = 5000 – 2000 = 3000 R = 1000 TEM = 0.05 n = ¿? Aplicando la fórmula de n: n = - Log [1 - Pi /R] / Log (1+ i) n = - Log[ 1 – 5000*0.05/1000 ] / Log ( 1+0.05)
n = - (- 0.07058107) / 0.0211893 n = 3 n = - Log [1 – 3000*0.05 / 1000] / Log (1+0.05) n = - Log [0.85] / log 1.05 n = 3.30973meses. n = = 99.922 = 100 días Del 26 de mayo pasando 100 días, la fecha es 03 de setiembre.
35. Por campaña escolar una casa comercial ofrece “paquetes escolares” en productos, por una importe de 1200 um y cobra una cuota inicial de 200 um y 11 cuotas mensuales de 120 um. ¿Cuál es la tasa mensual de interés cargada? Solución:
Saldo por pagar: 1200 – 200 = 1000 R = 120 P = 1000 Cálculo de i dados P y R Aplicando la formula P = R [(1+i) n - 1
/ i *(1+i)n
1000 = 120 [(1+i) 11 - 1 / i(1+i)11 ] 8.33333333 = [(1+i) 11 - 1 / i (1+i) 11 ] Dando valores a I , para obtener por aproximación el valor de i Por ejemplo i = 0.07
Verificamos la igualdad anterior 8.33333333 = [ (1+0.07) 11 - 1 / 0.05(1+0.07) 11 ] 8.3333333 = 7.4986, el valor es MENOR al valor correcto, entonces cambiamos la tasa, cuando la tasa se disminuye el FACTOR aumenta, probamos con i = 0.05
FAS = [(1.05)11 - 1 / 0.05 (1.0.05) 11] = 8.30, falta aproximación Seguimos probando con una tasa más baja, i = 0.493 FAS = [(1.0493) 11 - 1 / 0.0493 (1.0493) 11] = 8.33 Entonces la tasa a dos decimales es 4.933%
36. Calcule la TEM de una anualidad de 20 rentas trimestrales vencidas de 4000 um cada una, cuyo valor presente es 28989,61 um. Solución:
P = 28989.61 um R = 4000 um trimestrales vencidas n = 20 TNM = ¿?
Aplicando la formula P = R [(1+i) n - 1
/ i *(1+i)n
28989.61 = 4000 [ (1+i) 20 - 1 /i(1+i)20 ] 7.2474025 =[ (1+i) 20 - 1 /i(1+i)20 ] Dando valores a I , para obtener por aproximación el valor de i Por ejemplo i = 0.05
Verificamos la igualdad anterior 7.2474025 = [ (1+0.05) 20 - 1 / 005(1+0.05)20 ] 7.2474025 = 12.462213, el valor EXCEDE al valor correcto, entonces cambios la tasa, cuando la tasa se aumenta el FACTOR disminuye, probamos con i=0.12 FAS = [ (1.12)20 - 1 / 0.12(1.12)20 ] FAS = 7.46944362, que excede al valor correcto, probamos con 13% FAS =[ (1.13)20 - 1 / 0.12(1.13)20 ] = 7.02475158 Entonces si i = 12% ---------------------------FSA = 7.469 si i = 13%...........................................FSA = 7.024
El valor requerido está entre estas 2 tasas, entonces 12.5% Calculando con 12.5% FAS =[(1.125)20 - 1 / 0.12(1.125)20 ] = 7.24 Luego la TET = 12.5% 0.125 = (1+TEM)3 - 1 = (1+TEM)3 TEM = 3/ 1.125
-1
TEM = 0.04004 TEM = 4%
38. Una persona depositó 100 um en su cuenta de capitalización de una administradora de fondos de pensiones (AFP), cada fin de mes durante 10 años. Al finalizar este plazo, la AFP le informó que su fondo acumulado era 16247,34 um. ¿Cuál fue la tasa efectiva anual que rindió sus depósitos? Solución: R = 100 um. n =10 años = 120 meses. F = 16247.34 TEA =?
Aplicando la formula
S = R*FCS 16247.34= 100*[(1+i) 120
- 1
/ i]
162.4734 = [(1+i) 120 - 1 / i] Dando valores a i , para obtener por aproximación el valor de i Por ejemplo i = 0.005
Verificamos la igualdad anterior FCS = [(1.005)120 - 1 / 0.005] = 163.8793468 Cuando la tasa baja ,el factor disminuye Seguimos probando con una tasa más baja, i = 0.004 FCS = [(1.004)120 - 1 / 0.004] = 153.63 La tasa debe ser entre 0.004 y 0.00563 Probamos con 0.00499 FCS = [(1.00499)120 - 1 / 0.00499] = 159.67 Entonces la tasa debe ser muy cercana a 0.005 Por tanto TNA = 6% (0.005*12)
40. Una empresa solicita a un banco un préstamo de 10000 um que devenga una TNA de 24% capitalizable mensualmente para reembolsarlo en el plazo de 4 años con cuotas uniformes cada fin de trimestre. Inmediatamente después de haber pagado la décima cuota decide cancelar el resto de la deuda. ¿Qué importe tendrá que cancelar al banco? Solución
P = 10000 TNA = 0.24 TNM = 0.24/12 = 0.02 TET = (1+0.02)3 - 1 = 0.061208 n = 4 años, a trimestres 16 trimestres Calculando la cuota trimestral uniforme. R = P*FRC (i.n) 10000[0.01208 (1+0.061208) 16 / (1+0.01208)16 - 1 R = 10000(0.09977466) R = 997.75 Como ya pagó hasta la décima cuota le quedan pendientes 6 cuotas, cuyo valor actual desde la número 16 hasta la 11ava es: P = RFAS (i, n) P = 997.75 [(1+0.061208)6 - 1 / 0.061208 (1+0.061208)6]
P = 4887.69, tendrá que pagar
41. Una maestría en administración de negocios tiene un costo de 190 um por cada crédito de estudios. El plan curricular contempla 60 créditos que pueden aprobarse satisfactoriamente en el plazo de 2 años. Roberto Rojo, estudiante de contabilidad, a quien a la fecha le faltan 3 años para concluir su bachillerato decidió seguir la maestría al término de sus estudios básicos. Para estos efectos, a partir de hoy y a fin de cada mes, durante los 3 años siguientes, ahorrará un determinado importe constante que le permita sufragar el costo de su maestría. Dado que Roberto puede recibir una TEM de 0.5% por sus ahorros y que los pagos de la maestría se realizarán en cuotas iguales cada fin de mes ¿Cuánto debe ahorrar Roberto cada mes? Solución
Costo de la maestría 60 *190 = 5400, 5400/24 = 225 n = 3 años = 36 meses TEM = 0.005 Encontramos el Valor Presente de las cuotas a pagar por la maestría, que será a la vez el valor
futuro que debe acumular el Sr. Rojo
P= 225[(1+0.005)24 - 1 / 0.005(1+0.005)24] P = 5076.64
Ahora se desea encontrar que cuota deberá depositar en 36 meses para acumular el monto de 5076.64 con 0.5% de TEM R= F*FDFA R = 5076.64*[0.005/(1+0.005)36 R = 5076.64*(0.0254) R = 129.06
7. 3 .Problemas diversos
- 1]
1. Si se tienen que realizar 36 mensualidades vencidas de $ 4707.94 a una TNA de 24 % capitalizable mensualmente. Encontrar a) El tipo de anualidad b) La cantidad que se prestó al inicio del plazo Solución
R = 4707.94 n = 36 mensualidades TNA = 0.24, TNM = 0.24/12 = 0.02 P = ¿? a) Anualidad simple cierta vencida inmediata
b) Aplicando la fórmula P = R*FAS (i, n)
P = 4707.94 *((1+ 0.02)36 - 1 / 0.02 (1 + 0.02)36 P = 119999.99 P = 120000
)
