Calcul Plastique Structures

Département Génie Civil

Année 2009/2010

Calcul plastique des structures Analyse Limite Plastique et principes de l’EC3 A. Bouchaïr Ce document contient les bases générales du calcul plastique des structures même s’il est destiné à la formation continue (Construction Métallique).

Introduction

Généralités

Calcul Calcul lasti ue des structures structures : assoc associé ié aux états limites limites ultimes 

Exploite les réserves de résistance de l’acier à différents niveaux : - Le matériau matériau : si ductilité ductilité suffisa suffisante nte - a sec on c asse ou : ac eur e orme - L’élément L’élément de structure structure : si hyperstatic hyperstaticité, ité, capacité capacité de rotation suffisante et maintien/instabilités 

Calcul plastique des structures n°2/66

A. Bouchaïr, Bouchaïr, C/U/S/T/ - 2009/10 2009/10

1

Introduction 



Matériau

Le calcul élastique consiste à vérifier la résistance des sectio ction ns et des éléme lément ntss en cons consid idé éran rant ue tout toute es les les fibres restent dans le domaine élastique. Le calcul plastique permet d’exploiter la ductilité de l’acier l’acier par des des « incursion incursionss » plus ou moins moins grande grandess dans le domaine plastique sans dépasser l’ELU de la structure. , matériau ait des caractéristiques suffisantes de ductilité (non fragilité). Ceci permet de garantir une capacité à subir des déformations permanentes tout en maintenant un certain niveau de résistance.


A. Bouchaïr, Bouchaïr, C/U/S/T/ - 2009/201 2009/2010 0

Le calcul plastique Définit Définit deux deux niveaux niveaux de « service service » : – Capacités de sections : sans redistribution plastique – bon compromis compromis (performance/co (performance/coût ût ingénierie) ingénierie) – accessible à tous – Capacités de section et redistribution redistribution plastique – coût ingénierie ingénierie plus élevé élevé – avantages dans cas particuliers particuliers – bâtiments standardisés standardisés –

Redistribution plastique (outil performant) : en pratique utile mais pas indispensable Calcul plastique des structures n°4/66


2

Plan de la présentation 

Comportement Comportement des matériaux (modèles courants)



Caractérisation de sections sections (sous N et M séparés)



Interaction M-N



Relation Moment-courbure et rotule plastique



Méthodes d’analyse plastique (N et M séparés):  Méthode incrémentale (pas à pas)  Méthode statique  Méthode cinématique



Assemblages : quelques « extraits » Lien avec l’EC3 à faire en association avec les autres présentations présentations



Comportement des matériaux 

Éprouvette normalisée : permet de déterminer la courbe de traction qui fournit les caractéristiques mécaniques de base de l’acier (f y, f u, u, A (%))



AB : écoulement plastique (acier doux) – fy



A et B confondus:







conventionnelle

Idéalisation (élastique parfaitement plastique, élastique plastique avec écrouissage, …..) Décharge élastique ( et u résiduels)



3

Comportement de matériau Courbe de traction 

Courbe de traction idéalisée –

. .

– f u/f y ≥ 1,1 

– Au ≥ 15 % et u ≥15*y Choix possible Annexe Nationale F/So

C

fu B A

E

l/l 0

O p=0.2%


u


Comportement de matériau Courbes de traction 







Les courbes courbes de traction « ductiles » n’ont pas pas toujours toujours de palier palier plastique bien défini.  Acier inoxydable inoxydable (0,2 :limite élastique conventionnelle) conventionnelle)  Aciers écrouis écrouis (formés à froid, ….)  Aciers à hautes hautes limites d’élasticité d’élasticité La relation de type élastique parfaitement plastique est un outil pratique pour les calculs L’hypothèse de décharge élastique est acceptable pour la plupart des métaux a sur-r s s ance peu pos poser es pro mes ans cer a nes situations



4

Etude de section N seul (Ne et Np) 

Section homogène : – Ne et Np confondus (limite élastique atteinte au même moment sur la section)



Section non homogène (E ou fy) : – – – – –



Déformation constante sur la section Ne (l’effort normal élastique) : défini par le matériau qui se plastifie en premier premier Np (l’effort normal plastique) : défini par la plastification totale de la section Np et Ne : différents Si E est constant (contraintes élastiques constantes dans la section)

En construction métallique : – Section non homogène (E et fy) : mixte acier-béton, acier-béton, …. – Section non homogène (fy) : sections hybrides



Etude de section N seul 







Tube mixte

Une section de tube circulaire constituée de deux matériaux ductiles parfaitement parfaitement adhérents (E 1=10*E2, f y1=5*f y2) La résistance plastique Np (charge de ruine) est atteinte après la plastification des deux matériaux : N p= S1*f y1 + S2*f y2 = 8*f y2**R2 Ne : effort normal élastique (première (première plastification) calculé en utilisant la déformation constante ( 1 = 2). Ainsi : Ne= 6,5*f y2**R2 Np/Ne = 1,23 fy1

Si suppression de la charge après Ne : contraintes résiduelles dans les deux matériaux Calcul plastique des structures n°10/66

fy2

2

1

R

2R

E2 E1

A. Bouchaïr, Bouchaïr, C/U/S/T/ -2009/2010

5

Etude de section M seul 





Rotule plastique

Pour les calculs, la rotule plastique est considérée localisée localisée dans la zone du moment maximum En réalité, la seule section relative à la rotule plastique est plastifiée sur toute sa hauteur mais les sections dans son voisinage sont en phase élasto-plastique Par simplification, seule la rotule plastique est considérée plastifiée et les autres sections sont considérées élastiques (rigidité et résistance )

P

 M Me

Mp

Me Mp Zone plastifiée





Etude de section M seul Facteurs de forme 



Facteur de forme de sections symétriques : plus grand pour la matière concentrée près de l’axe neutre Si section non symétrique (géométrie (géométrie ou matériau) : les axes neutres élastique et plastique ne sont pas confondus (facteur de forme important )

section

=Mp/Me

1,0


1,1-1,15

1,27

1,5

1,7

2


6

Étude de section Facteur de forme M seul 

Catalogue ARBED :

Section seule : gain de 10 à 15 % (/ axe yy) Calcul plastique des structures n°13/66



   

Déformations

Hypothèse Navier-Bernoulli Navier-Bernoulli (section plane reste plane après déformation élastique et plastique) Phase 1 : toutes les fibres sont en phase élastique Phase 2 (Me) : seule la fibre extrême est plastifiée Phase 3 (Mep) : une partie de la section plastifiée et l’autre élastique Phase 4 (Mp) : toutes les fibres sont plastifiées =

e

e e

2

y

infini

e

4

e

e

b*2h

e

e

e

ep

p

p

z Calcul plastique des structures n°14/66


7

Etude de section M seul    

Contraintes

Phase 1 : = My.z/y (section sous M seul en élasticité) Phas Phase e 2 : M = W *f (mom (momen entt éla élast stiq ique ue)) Phase 3 : Mep = Me1 + Mp1 Phase 4 : Mp = wpl*f y

fy

=fy

=fy

=fy

y

b*2h

e

e

e

ep

p

p



Etude de section M seul

Me

Application : Section rectangulaire rectangulaire symétrique, symétrique, homogène homogène (E, f y) inté rale des contraintes sur cha ue artie  M seul : F = F  ANE : confondu avec centre de gravité de de section (E (E constant)  Loi de Hooke à respecter :  = E*  Relation section homogène : = My.z/Iy  Ainsi : Me = f y.Iy/h = f y*b*h 2*2/3 = Wel*f y 

=

=fy =f y

e

y

Fc b*2h

e



8


Mp

Section rectangulaire symétrique, homogène (E, fy)  seu seu : t = c = y  ANP : divise la section section en deux deux parties égales égales (f y constant)  Aucune relation relation entre  et   Ainsi : Mp = 2*f y*b*h*(h/2) = f y*b*h2 = Wpl*f y 

=fy Ft

ac eur eur e orm orme e se sec on rec angu a re : Mp/Me = 1,5

AN P

y

Fc b*2h

p




Mep

Section rectangulaire symétrique, homogène homogène (E, fy)  M seul : F = F ave F = F + F et F = F + F  AN_EP : partage partage la section section en deux deux parties vérifiant vérifiant (Ft=Fc)  Loi de Hooke respectée sur la partie élastique ( e  Section = partie élastique + partie plastique  Ainsi : Mep = Me1 + Mp1 = Wel1*f y + Wpl1*f y 

=fy

e

e

AN_EP

y

ze

Ft =

Fc

+

Fcee Fc

e

b*2h

ep

tp

Fte

e1

Fcp Fc p p1



9

Etude de section M seul     

Mep

Partie élastique caractérisée par : z e = *h , ( = 0 à 1) M = 2/3 *b*f *z 2 & M = b*f * h2-z 2 Mep = b*f y*h2*(1- 2/3) = Mp*(1- 2/3) L’inertie L’inertie « efficace » de la section correspond à la partie élastique Relation parabolique parabolique : traduit l’évolution de Mep (entre Me et Mp) fonction de la rigidité de la section e

=fy e

AN_EP

y

+

ze

ze

e

b*2h

e1

p1



Etude de section Relation Rela tion MomentMoment--courbure cour courbure bure M seul 





1

z Navier-Bernoulli Navier-Bernoulli sur section section plane (petits R    x  v" R déplacements): h La déformation élastique e s’écrit en fonction  z e  e  des rayons de courbure (sous M e et Mep) Re Rep Le rayon de courbure diminue avec la Rep  R e plastification de la section et tend vers 0 sous Mp 1,6 1,4

Mp

1,2

Me

1

e M0,8 / M

0,6 0,4 0,2 0 0


1

2

3

4

5 6 Re/Rep = h/ze

7

8

9

10 10


10

Etude de section Rotule plastique Idéalisation du comportement en flexion – as que n a re p : compor emen – M = Mp : la section atteint son palier de résistance et se transforme en rotule (rotation libre au-delà de M p)  Ainsi, le comportement comportement élastique élastique parfaitement parfaitement plastique plastique est défini en flexion de manière analogue à la traction/compression simple (section entière se plastifie au même moment).  Avec cette notion, notion, la section passe en flexion flexion d’un état état élastique à un tat p ast que sans sans p ase asto-p asto-p ast que progr progress ess on e a plasticité sur la hauteur)  Ce modèle est particulièrement justifié pour les sections en I  En réalité, la résistance est augmentée par l’écrouissage  Mp peut être réduit par N et V 



Etude de section Rotule plastique : Une représentation



11


écrouissage

Une loi  bi-linéaire suffit pour tenir compte de l’écrouissage ’ .  Déformation linéaire linéaire sur la hauteur de la section  Au-delà de Me : parties parties élastique et plastique (pas (pas de Mp) 

=fy

  fy

E/k

E





1 2 3

fy

y

fy

y

y

 b*2h z

e

e


ep

p


Etude de section M seul monomono-symétrie -symétrie 

 

Section homogène non symétrique : axes neutres élastique et plastique non confondus Me : défini par la fibre la plus sollicitée Le facteur de forme Mp/Me : influencé par l’évolution du bras de levier levier des « contrainte contraintess »

   

ye = yg =7,75*a yp = 10*a Me = 30,4*f y*a3 Mp = 55*f y*a3 Mp/Me = 1,8


10a*a

y

yp

AN E

ye

a*10a z

=fy e

=fy p


12


monomono-symétrie -symétrie

Section non homogène et non symétrique : – axe neutre élastique non non confondu avec le centre de gravité – E variable sur sur la section : influence Ieq et Me – f y variable : influence M e et Mp







Ea/Es = 5 et f ya = f ys = f y – ye = 5,92*a – e , * y* – Mp = 55*f y*a3 Mp/Me = 2,43 Me : fibre inférieure âme





Ea/Es = 5 / f ya= 10*f ys= 10*f y – ye = 5,92*a ; yp = 5,5*a – e = , * y* 3 – Mp = 302,5*f y*a3 Mp/Me = 1,34 Me : fibre supérieure semelle



Etude de section M+N  

Phase élastique

Superposition Superposition des contraintes M (triangulaire) et N (rectangulaire) (rectangulaire) L’é uili uilibr bre e de la sect sectio ion n s’éc s’écri rira ra : N   . . x .dS y

S

 

x

S

L’axe neutre se déplace en fonction de l’intensité de N La fibre la plus sollicitée se plastifie en premier fy

y +

=

AN E b*2h z Calcul plastique des structures n°26/66


13

Etude de section M+N Phase élastoélasto-plastique -plastique 

 

L’équilibre de la section s’écrira :

N    x .dS

M y    x . z.dS S

S

L’axe neutre se déplace en fonction de la plastification (rapport N-M) La phase ultime est atteinte par une plastification en diagramme birectangulaire avec un ANP qui dépend du rapport N-M fy

fy

y

AN E b*2h

AN P fy

fy



Etude de section M+N  



Interaction MM-N -N

L’équilibre de la section s’écrira : N    .dS M    . z.dS Con Contra trainte intess bornée nées ar f ave avec tou toutes tes les les fibr fibre es last lastif ifié iée es (matériau élastique parfaitement plastique) Contraintes : centrées (N) et auto-équilibrées (M) x

y

x

S

S

=fy S M /2 y

SN

=

+

zN

AN P

b*2h z Calcul plastique des structures n°28/66


14

Etude de section M+N section rectangulaire  





Toute la section est plastifiée 2*zN décrit la zone centrale considérée reprendre N N (zN)= fy*2*ZN*b 2*h-2*ZN décrit la partie qui reprend le moment M (zN)= fy*b*(0,25*h2- zN2) L’élimination de z N entre les deux équations donne l’expression du critère d’interaction M-N : 2

  1 M p  Np 



Etude de section M+N Interaction MM-N -N   



Diagramme d’Interaction M-N Pas d’interaction : irréaliste Interaction linéaire : simple mais sévère Interaction non linéaire : dépend des sections et des matériaux

1 0,9 0,8 0,7 0,6 p M0,5 / M

0,4

circulaire rectangulaire tube_circ

0,3 0,2 0,1 0 0

0,1

0,2 0,3

0,4 0,5 0,6

0,7 0,8

0,9

1

N/Np



15


Contraintes résiduelles

Les contraintes résiduelles dans une section en flexion, après une « » , utilisant le principe de la décharge élastique élastique : – Charger en phase élastique-plastique élastique-plastique ou plastique plastique – Après Mep ou Mp, décharger élastiquement puis appliquer une charge égale à celle atteinte mais de sens opposé et superposer =fy

fy

+

=

+

b*2h

-

-

y

-

=0,5fy

-

+ p

décharge


+ =fy =f y + contraintes résiduelles


Méthodes d’analyse plastique 



L’analyse plastique des structures exploite les caractéristiques caractéristiques élastiques et plastiques des sections de barres soumises à N ou M. Différentes méthodes sont proposées – Méthode incrémentale (calcul pas à pas) : peut peut être effectué effectué manuellement ou par des logiciels évolués – Méthode statique –



16

Méthode incrémentale Structure à barres tendues 

  





Structure réticulée à trois barres (sections constantes) soumise à un effort de traction (hyperstatique de degré 1) . Phase élastique : N1 = N3 = 0,29*P, N2 = 0,586*P La barre 2 se plastifie en premier (N2=Np). Ainsi : Pe = 1,71*Np Au-delà de Pe, la structure fonctionne comme si la barre 2 n’existe pas. L’incrément de charge dans chaque barre est : N1 = N3 = 0,71*P La ruine du système est donnée par Pu, la charge de plastification de toutes les barres. Pu = Pe + Pu = 2,41*Np Np/Ne = 1,4 2

1



3

l

1

l

P

P


3



Relation force-dépacement – Comportement bi-linéaire avec K1 = 2,41*K2 – Si décharge élastique après l’atteinte de Pu, la flèche résiduelle résiduelle représente environ 30 % de la flèche atteinte sous Pu. P

Pu=1,4*Pe K2

Pe

K1 u*E/(fy*L)

K1 0,59 1 Calcul plastique des structures n°34/66

2


17


Evolution des forces dans les barres – La barre 2, atteint N en remier, elle ne eut lus re rendre d’effort et n’a plus de rigidité. Les deux autres barres reprennent les incréments de charge appliqués. – Après décharge complète, les barres 1 et 3 ont un effort effort résiduel de traction (29 % de Np) et la barre 2 a un effort résiduel de compression (41 % de Np)

1

0,29

-N/Np

N2

N1 Fe 1,7

Fu

(P/Np)

2,4

-0,41 Calcul plastique des structures n°35/66


Méthode incrémentale 





C’est la méthode naturelle de calcul non linéaire des structures. Elle peut être utilisée en considérant différentes possibilités : – Calcul plastique (rotules plastiques) plastiques) – Calcul élasto-plastique élasto-plastique tenant tenant compte de l’évolution l’évolution de la plasticité sur la hauteur de la section (et éventuellement le long de l’élément) – Peut intégrer intégrer les non linéarités géométriques géométriques (grands déplacement) déplacement) au niveau des éléments ou des sections (voilement local) Elle permet d’obtenir la loi globale force-déplacement quelle que soit la finesse du modèle choisi Permet de dispenser dispenser des « équivalences » proposées proposées par l’EC3 pour l’analyse des structures (amplification d’effort, défaut initial, …)



18

Méthode incrémentale  



Poutre sur 3 appuis : h = 1 Caractéristiques constantes le long de la poutre EI, Mp Pour F < Fe : phase élastique (M
= FL/64

A

pas1

F

2*L/2

B

C

L

y -0,09*F

-0,41*F

A

C

B 0,59*F



 

Première rotule plastique : sur la = Effort tranchant non négligeable rotule due au moment de flexion seul

Fe = 4,92*Mp/L

-0,46*Mp

x

A

2*L/2 y


B

L

Mp A. Bouchaïr, Bouchaïr, C/U/S/T/ - 2009/201 2009/2010 0

Méthode incrémentale  









Après première rotule : h = 1-1 = 0 Au-delà de Fe : structure , distribution des efforts) Superposition des effets (pas 1 et pas 2) : sur deux structures différentes Deuxième rotule : section la plus sollicitée (appui B) 2 rotules : le s stème se transforme en mécanisme (capacité maximale en charge)

C

F

A

2*L/2

pas 2

-0,5* F*L B

L

C

L

C

y Fu = 6*Mp/L

Mp

x

A

2*L/2 y

B

Mp

Fu/Fe = rotule due au moment de flexion seul



19

Flèche à mi mi--travée -travée   

Loi F-u bi-linéaire (en utilisant la rotule plastique) Déformations résiduelles non négligeables négligeables Rapport des rigidités (initiale et tangente après Fe)  8,4 F*(L/Mp) 6 4,92 Fe

Fu

0,21 0,074 0,12 u*(Mp*L2)/(EI) Calcul plastique des structure s n°39/66

A. Bouchaïr, C/U/S/T/ - 2009/201 2009/2010 0

Moments résiduels 

 





Moment résiduel en B ~ 0,5*Mp Fe = 4,92*Mp/L Fu = 6*Mp/L Histoire de chargement à ne pas négliger pour les structures hyperstatiques hyperstatiques ductiles Redistribution des efforts à considérer

M/Mp 1

M AB(L/2) Fe - ,

Fu F*(L/Mp)

B

-0,46

-0,44

-1

Calcul plastique des structure s n°40/66

A. Bouchaïr, C/U/S/T/ - 2009/201 2009/2010 0

20

Réactions d’appui 



 

Réactions d’appui: évolu évolutio tion n nonnonlinéaire R_résiduelle en B ~ 2 fois A et C Fe = 4,92*Mp/L Fu = 6*Mp/L

F

A

B

A

R(*Mp/L)

C RC

RB

5

RB 3,4 2 0,85

-0,44

R A

Fe RC

Fu

-0,46 -1


A. Bouchaïr, C/U/S/T/ - 2009/201 2009/2010 0

Redistribution des efforts 





La redistribution des efforts permet d’exploiter les capacités maximales des structures La structure perd sa rigidité (un degré d’hyperstaticité avec chaque rotule) Les hypothèses de calcul classiques (de type élastique parfaitement parfaitement plastique) peuvent être utilisées


V

V

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21

Autres méthodes d’analyse plastique 

Si les besoins concernent seulement seulement la charge ultime de ruine sans les étapes intermédiaires de calcul. Les deux théorèmes d’analyse d’analyse limite plastique peuvent être utilisés : Théorèmes Théorèmes statique et cinématique. – 2 théorèmes théorèmes issus du PTV permettent permettent d’encadrer d’encadrer la charge charge de ruine Pu – Structure soumise à un un système de force {Pj} – Les charges charges augmentent augmentent proportionnelle proportionnellement: ment: un seul seul paramètre paramètre λ – La charge de ruine est est notée λr : (Pu = λr.Pj) – Les SPC (sections (sections potentiellement potentiellement critiques) critiques) sont celles celles où les moments sont maximum (encastrement, appuis, discontinuité fibre moyenne, points de charges ponctuelles, …..)


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Méthodes d’analyse plastique 

Théorème statique : si pour un chargement λs, on peut trouver une distribution d’efforts internes en équilibre avec les forces externes (plastiquement admissibles), alors : λs ≤ λr



Théorème cinématique : tout multiplicateur de charge λc obtenu de la relation ci-dessous pour des déplacements cinématiquement admissibles tels qu’ils forment un mécanisme pour la structure, est supérieur à λr (i : nombre de rotules plastiques). Pour ce théorème la ruine se fait par mécanismes (mouvement de corps rigides entre rotules).  c

 P j . uj   M pi .  i j



i

Ces deux théorèmes permettent d’encadrer la valeur du facteur de ruine λr


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Théorème Statique Mise en œuvre      



Transformer Transformer la structure hyperstatique en isostatique associée Déterminer le diagramme M dû aux forces appliquées Déterminer les diagrammes de M dus aux inconnues hyperstatiques hyperstatiques Superposer pour obtenir le diagramme réel (Statiquement admissible) Déterminer les SPC (sections potentiellement potentiellement critiques) Déduire la charge de ruine en vérifiant que toutes les SPC sont PA (Plastiquement (Plastiquement admissibles) par le critère M ≤Mp ’ programmation linéaire) Cette méthode est relativement complexe mais elle donne des charges inférieurs inférieurs à la charge ultime



Théorème Cinématique Mise en œuvre   

 



Identifier tous les mécanismes de ruine possible de la structure Déterminer toutes les SPC Déduire tous les mécanismes de ruine possibles Cinématiquement admissibles (CA) avec (h+1) rotules pour obtenir un mécanisme Déterminer la charge de ruine ( λk) relative à chaque mécanisme En déduire la charge de ruine du système : λr = min {λk} ou Pu = min {Pk} Cette méthode est relativement relativement facile à mettre en oeuvre oeuvre pour des structures courantes courantes mais elle donne des charges supérieures à la charge ultime (on a intérêt à ne pas oublier le bon mécanisme)


A. Bouchaïr, C/U/S/T/ - 2009/201 2009/2010 0

23

Théorème statique Poutre continue   

SA = Structure isostatique + une inconnue hyperstatique PA = M ≤ Mp Système d’inéquations d’inéquations à résoudre résoudre (+/- long) F

F

x

A

2*L/2 y

B

L

= F

A

y

B

+

x B

-X*L

C

L

C

FL/4

=

-X*L

2*L/2

A

C

A

(PL/4-X*L/2)


B

C

A. Bouchaïr, C/U/S/T/ - 2009/10 2009/10

Théorème statique Poutre continue   

Vérifier : M ≤ M dans dans tou toute tess les les sect sectio ions ns de la la stru struct ctur ure e 2 sections critiques : mi-travée AB et appui B Vérifier les inéquations suivantes : PL

4

4 





XL

x

2

2

 M p

1

et

et

 XL  M p

 x  1 Avec :

y 

M p

 x 

M p

Résoudre graphiquement les inéquations (axes x-y)



24

Théorème statique

F ruine

Partie non hachurée = vérifie l’inégalité  Tous les points du domaine non hachuré vérifient vérifient le critère : M ≤Mp  Méthode statique : la charge de ruine est le maximum des charges respectant le critère de plasticité  Ainsi : Fu correspond correspond à y = 6  D’où : Fu = 6Mp/L

y







ymax = 6

x

Méthode longue à mettre en œuvre et ne donne que la charge de ruine Elle a l’avantage de borner la charge de ruine par le bas



Théorème cinématique Charge ponctuelle poutre continue Poutre sur trois appuis : h=1  2 rotules suffisent pour transformer le système en mécanisme  2 SPC (appui B et sous F)  Ainsi : un seul seul mécanisme de ruine « réaliste » possible  We = F*u , J = Mp*(2* 2+ 1) et 2= 1= u/(L/2)  We = J  Fu1 = 6*Mp/L 

  

Fu = min {Fui} = Fu1 Méthode rapide Solution bornée par le haut : toute charge calculée > la «bonne» charge de ruine


A

Mp

 u Mp



B

L

C



2*L/2 A. Bouchaïr, Bouchaïr, C/U/S/T/ - 2009/10 2009/10

25

Théorème Cinématique Charge uniforme  





Poutre avec charge répartie : h = 1 2 rotules transforment le système en mécanisme Position de la rotule en travée inconnue Si approximation (x = l/2) : qu 



12 M p l

x A

2

Mp 

Si équation supplémentaire (q

dq dx

q u

B

Mp 

 

 0  qu  11,66 * M 2 p

A

l


Mp

B

Mp


Théorème cinématique Portique     

Portique simple : h = 1 2 rotules transforment le système en mécanisme 2 SPC: un seul mécanisme pour déterminer la charge ultime de ruine Petits déplacements : pas d’interaction entre déplacements horizontaux et verticaux Compatibilités des rotations (CA)  1   1 

 W e  J

 u

h

 P *  u

 M p * ( 1   2)  2*M p *

M p J   W e Pu *  2 *  h Calcul plastique des structures n°52/66

Mp

u Mp

P





h A

C





L

D


26

Théorème Cinématique Portique  

 

Autre exemple : portique (h = 2) 3 rotules transforment le système en mécanisme 4 SPC : 4 mécanismes sont à considérer Charges de ruine pour les différents modes :

3P



Mp

v 

Mp

h



A

D

2*L u Mp

3P

M p P2  h

Mp C

B





h

2 A


C



1

2 M p

P1 

2P

Mp

 Mp



D

2*L


Théorème cinématique Portique (suite) 



Le mode 4 a moins de chance de se produire (travail négatif en partie) Suite des charges de ruine :

P3 

5 M p 3h  2l

P4 

2P



3P



5* M p 3h  2l

h

u Mp 

v



Mp

3

Mp 



2*L

– h = L (mode 2 ou 3)

Pu  min

Pi

 M p l

– h = 2L (mode 2)

M p Pu  minPi  P 2  2l Calcul plastique des structures n°54/66

Mp 3P

v





u

Mp



h Mp 

4 

2*L


27

Théorème cinématique Ruine locale





Des ruines peuvent se produire localement (une partie de la structure est hypostatique et le reste hyperstatique) Exemple : – h = 5 (6 rotules transforment le système en mécanisme), SPC= SPC= 7 – Nombre de mécanismes possibles (associant 6 rotules) = 7 – Ici : 3 rotules transforment le système en mécanisme local – Ou 5 (pieds et angles) : mécanisme Pi 

3 M p 2l

P

P 2

Mp 3

4

h

5



6Mp

v Mp



1

7

3*L

2*L Calcul plastique des structures n°55/66


L’apport de l’Eurocode 3 : Assemblages semisemi-rigides -rigides 

L’assemblage semi-rigide (ou semi-continu) possède de nombreux avanta es :  Réduction des coûts de fabrication et de montage (intéressant pour les assemblages standard)  Meilleure optimisation des barres assemblées  Permet de justifier une structure «d’architecte»  Plus de souplesse dans la réhabilitation (accepte l’assemblage avec ses défauts)



28

L’apport de l’Eurocode 3 : Assemblages semisemi-rigides -rigides – – rigidité et résistance p



p

2



16

2 p

16

Loi moment-rotation

p2



p2



12

16

p2

12

M j

Assemblage semi-rigide idéal

Pleine résistance Résistance élément Résistance assemblage assemblag e

p2

Résistance partielle

24

0,25 * Résistance élément

Encastrement parfait

Articulé

 Calcul plastique des structures n°57/66


Zone d’assemblage Tronçon en Té 

Le tronçon en té est une composante principale de la zone tendue de l’assemblage

Lignes de contact

Zone tendue

Charnières plastiques

Zone cisaillée

Mb Zone comprimée



29

Tronçon en té Calcul plastique 

Deux étapes de calcul sont donnés dans l’EC3 pour déterminer la résistance et la ri idité du tron on en té. Le théorème cinémati ue est utilisé dans les deux cas. – Un calcul de charnières plastiques sur sur un plaque plaque en flexion (fournit la longueur efficace) – Un calcul sur un tronçon en 2D pour déterminer la résistance et le mode de ruine (ductile, fragile, …). La ruine se produit par : Mp dans la poutre et Np dans le boulon. P

Mp

Mp u



n

P



Mp v

Mp



2m


n

Lb

 Np

n

 u1

Np

2m



n

L Pb n

Np

Np

2m

n

Lb


Principes de l’Eurocode 3 Sections    

Classes de sections 1 ou 2 Interaction (M-N-V) : limite élastique réduite Effet du voilement par cisaillement (réduction) (r éduction) (EN1993-1.5) Loi élastique parfaitement plastique (E, fy) à utiliser mais une relation plus précise est autorisée EN 1993-1.5)



30

Principes de l’Eurocode 3 Éléments et structures



Analyse au premier ordre peut être utilisée si : – cr > 15 : calcul plastique – cr > 10 : calcul élastique - cr = Fcr /FEd multiplicateur de charge de calcul qui provoque l’instabilité élastique élastique en mode global. Les limites peuvent être réduites par l’AN si justification - F : charge de calcul - Fcr : charge critique d’instabilité en mode global calculée avec les rigidités élastiques initiales



L’analyse rigide plastique : à appliquer seulement si les effets de second ordre peuvent être négligés



Principes de l’Eurocode 3 Éléments et structures 

Imperfection locale initiale plus grande pour le calcul plastique – Élastique plastique plastique : sections ou assemblages assemblages représentés représentés par par des rotules (Méthode incrémentale) incrémentale) – Plastique non non linéaire : plastification partielle partielle des barres barres le long des zones plastiques – Rigide plastique plastique : comportement comportement élastique élastique des barres barres entre entre rotules négligé (Mécanismes) – Capacité de rotation suffisante suffisante aux endroit endroit des rotules rotules (section et assemblages) : au moins égale à celle requise – Assemblage a une résistance résistance plus grande grande que que celle de la section (1,2fois) : pas d’exigences de ductilité – Stabilité des barres barres assurée assurée au niveau niveau des rotules rotules



31

Principes de l’Eurocode 3 Éléments et structures



– Si la rotule doit doit se produire produire en zone zone d’assemblage, d’assemblage, la soudure soudure doit doit présenter une résistance supérieure à :  Moment plastique des barres attachées  (1,4 ou 1,7)*Moment résistant de l’assemblage – Les assemblages assemblages sont classés en résistance (analyse globale rigide plastique) ou en rigidité et résistance (analyse globale élastique élastique plastique plastique)) – Pour tous les cas (couverts ou non) : Il est possible de justifier la rési résist stan ance ce,, la rigi rigidi dité té et la capa capaci cité té de rota rotatition on des des asse assemb mbla lage gess par es es essa s – nnexe ou es ca ca cu s as s su sur des essais essais Possibilité d’utiliser directement une méthode d’analyse fine élas élastitiqu quee-pl pla astiq stique ue inté intégr gran antt le voil voilem emen entt loca local,l, le flam flambe beme ment nt des des barres res et le fla flambemen ementt glob lobal (permet met de s’a s’affra ffran nchir hir de cer certai taines exigences)



Principes de l’Eurocode 3

Conclusion 



Dimensionnement Dimensionnement des structures plus riche mais complexe : – ’ – Explore les capacités capacités des matériaux, des des sections et et des éléments – Permet d’utiliser d’utiliser « le savoir » à tous les les niveaux de l’analyse l’analyse d’une structure y compris les approches expérimentales

Méthode de travail ? – Traiter des des cas simples (courants) (courants) pour « se donner » confiance – Mieux se former former à la mécanique mécanique des des matériaux matériaux et des structures structures sans oublier les aspects technologiques afin d’avoir la base qui permet de traiter les cas complexes



32

TP Analyse Limite - C CUST UST 



TP basé sur une poutre en I (IPE 100) ’ Puis sur trois appuis : notion de redistribution plastique plastique (2 rotules) – Difficulté de réaliser un appui bi-directionnel avec rotation libre) – Le résultat dépend des caractéristiques réelles (fy)

Calcul (fy = 235 MPa): Pe = 25 kN et Pu Pu = 28 28 kN Essai : Pe = 35 kN et Pu Pu = 39 39 kN (il faudrait fy = 329 MPa)

45 F (kN (kN)

40 35 30

TP AL No. 4 mars 2005

25 20 15 10

F A

5

D

2*1m

B

0,9m


Département Génie Civil

C

U_D (mm)

0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45


Année 2009/2010

Calcul plastique des structures Analyse limite plastique et principes de l’EC3

Merci pour votre attention

33

Calcul Plastique Structures

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