Hautes Etudes d’Ingénieur 13, rue de Toul 59046 Lille Cedex
HEI 4 BTP
CHAPITRE II CALCUL DES PORTIQUES PAR LA MÉTHODE DES DÉPLACEMENTS
I. Définitions
Un portique est un assemblage de poutres dont les lignes moyennes appartiennent à un plan (Oxy) et qui sont chargées dans ce plan. Le point d’assemblage de plusieurs poutres s’appelle un nœud. Les poutres sont considérées comme encastrées aux nœuds, on dit ainsi que les nœuds sont rigides. II. Conventions de signes sur les éléments poutres II.1 Déplacements des nœuds En un nœud i d’une poutre, le déplacement i à 3 composantes (ou 3 degrés de liberté) ui i vi θ i
1
v1
u1
2
v2 u2
II. Conventions de signes sur les éléments poutres II.2 Eléments de réduction Chaque section droite est sollicitée par un effort normal N, un effort tranchant T et un moment fléchissant µ. Dans les sections extrêmes, les sens positifs sont les suivants: µ2
T2
N1
N2
T1
µ1
II.3 Forces extérieures M1
Y1 X1
M2
Y2 X2
III. Définition des vecteurs force et déplacement nodaux Pour une poutre 1-2, les vecteurs force {F} et déplacement {} s’écriront: X1 u1 Y v 1 1 M1 1 F X2 u2 Y2 v2 M 2 2 Notre objectif est d’établir la relation de rigidité d’un élément poutre, c’est-à-dire: u 1 X1 v Y 1 1 1 M1 K K F u X 2 2 v 2 Y2 dimension 6x6 M 2 2
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local a) Matrice de rigidité due aux efforts selon x* (cf chapitre précédent)
X1 EA 1 1 u1 L 1 1 u2 X2 Soit:
X1 1 Y 0 1 M1 EA 0 -1 X L 2 Y2 0 M 0 2
0 0 - 1 0 0 u1 0 0 0 0 0 v1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 u 2 0 0 0 0 0 v 2 0 0 0 0 0 2
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local
b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z* On impose une rotation 1 au nœud 1 en bloquant les autres déplacements M1
1
2
M2
1 Y1
Y2
Le moment M1 nécessaire pour produire 1 est (p 21) : M1 4EI 1 L Il produit un moment M2 au nœud 2 : M 2 2EI 1 L Mt/1=0 M1+M2+Y2L=0 Y2 6EI 2 1 L De plus, on a Y1+Y2=0 Y1 6EI 1 L2 Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local
b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z* De même, on impose une rotation 2 au nœud 2 en bloquant les autres déplacements M1
1
2
M2
2 Y1
Y2
Le moment M2 nécessaire pour produire 2 est : M 2 4EI 2 L Il produit un moment M1 au nœud 1 : M1 2EI 2 L Mt/2=0 M1+M2-Y1L=0 Y1 6EI 2 2 L De plus, on a Y1+Y2=0 Y2 6EI 2 L2 Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local
b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z* En superposant les deux cas, on obtient:
0 0 0 0
X1 Y 1 M1 0 0 0 0 X2 Y2 0 0 M2 0 0
0 6 EI L2 4 EI L 0 6 EI 2 L 2 EI L
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 6 EI L2 2 EI L 0 6 EI 2 L 4 EI L
u1 v 1 1 u 2 v2 2
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local
c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y* On impose un déplacement v1 au nœud 1 et on bloque tous les autres déplacements M1
v1
1 1 Y1
2
M2 Y2
Nous avons des moments (2.4 p 23) M1 M 2 6EI v 2 v1 6EI v1 L L L2 Mt/2=0 M1+M2-Y1L=0 Y1 12EI v1 3 L De plus, on a Y1+Y2=0 Y2 12EI v1 L3 Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local
c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y* De même, on impose un déplacement v2 au nœud 2 et on bloque tous les autres déplacements M1
2 2
1 Y1
v2
M2
Y2
Nous avons des moments M1 M 2 6EI v 2 v1 6EI v 2 L L L2
Mt/1=0 M1+M2+Y2L=0
12EI v2 3 L De plus, on a Y1+Y2=0 Y1 12EI v 2 L3 Y2
Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local
c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y* En superposant les deux cas, on obtient:
0 0
X1 Y 1 M1 0 0 X2 Y2 0 M2 0
0 12 EI L3 6 EI L2 0 12 EI 3 L 6 EI L2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 12 EI 3 L 6 EI 2 L 0 12 EI L3 6 EI 2 L
0
0 0 0 0 0
u1 v1 1 u2 v2 2
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local
Conclusion : La matrice de rigidité de l’élément poutre en repère local est obtenue en superposant les cas a), b) et c):
EA L
0
0
EA L
0
0 6 EI 2 L 2 EI L
12 EI 6 EI 12 EI X1 0 0 3 2 3 L L L Y1 6 EI 4 EI 6 EI 0 0 2 2 M1 L L L EA EA X2 0 0 0 0 L L Y2 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI 3 2 0 2 M2 0 3 L L L L 6 EI 2 EI 6 EI 4 EI 0 0 L L L2 L2 * K e
u1 v 1 1 u 2 v2 2
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local
Cas particuliers : La poutre est rigide-articulée ou articulée-rigide (p 63-65) IV.2 En repère global La matrice de rotation est la suivante: 0
0 0 0 1
Au nœud 1 (par exemple), nous avons les relations: X *1 X1 * Y 1 Y1 * M 1 M1
u *1 u1 * v 1 v1 * 1 1
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère global
Pour la poutre 1-2, on peut donc écrire : X *1 * Y 1 M *1 0 * X 2 0 Y*2 0 * M 2 0
0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
X1 Y1 M1 X2 Y2 M2
soit
F F *
De même, on a : *
*
En repère local, la relation de rigidité s’écrit : K e * F*
On cherche à établir la relation de rigidité en repère global, soit :
K e F
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère global
On a la relation de rigidité en repère local :
et : *
K F *
*
e
*
K F *
*
e
De plus : F* F
K * F e Ou encore :
1
K e F
Comme on a :
*
1
t
La relation de rigidité en repère global s’écrit : K e F Ke t
*
matrice de rigidité en repère global
V. Transformation des chargements en forces nodales La relation {F}=[Ke].{} qu’on doit résoudre n’est valable que lorsque les forces {F} sont appliquées aux nœuds. Une charge répartie ou concentrée (en travée) doit donc être décomposée en forces nodales appelées forces de blocage. On cherche donc à déterminer i et j qui correspondent aux réactions des nœuds au chargement considéré (p 71 à 75).
p M1
p
1
Y1 X* 0 1 pl * * 1 Y1 2 pl2 * M1 12
2
l
M2
Y2
2
*
X2 0 pl * Y2 2 pl2 * M2 12 *
M1
1
Y1 X* 0 1 p * * 1 Y1 2 pl * M1 8
2
l
M2
2
*
X2 0 p * Y2 2 pl * M2 8 *
Y2
VI. Equation d’équilibre d’un élément poutre Les équations d’équilibre d’un élément poutre chargé entre les nœuds s’écriront:
i K ii i K ij j i Forces de raideur
Forces de blocage
j K ji i K jj j j
Où i et j sont les systèmes de forces extérieures qui sollicitent directement les nœuds i et j : Pxi i Pyi M zi
Pxj et j Pyj M zj
VII. Effet thermique sur les poutres Les expressions en repère local des forces de blocage sont les suivantes :
*i
EAT 0 0
*j
- EAT 0 0
La relation de rigidité avec effet thermique dans les poutres s'écrit alors :
Fi(e) Fj(e)
(e)
(e)
(e)
(e)
K ii i K ij j i(e) i
(e)
K ji i K jj j j(e) j
(e)
VIII. Tableau de localisation
e
i
j
EA/L
12EI/L3
6EI/L2
4EI/L
….
….
….
….
….
….
….
…. …. ….
