Calcul Metal Eurocod 3

UNIVERSITATEA “POLITEHNICA” TIMIŞOARA

FACULTATEA DE CONSTRUCŢII DEPARTAMENTUL DE CONSTRUCŢII METALICE ŞI MECANICA CONSTRUCŢIILOR Centrul de Excelenta pentru Mecanica Materialelor şi Siguranţa Structurilor CEMSIG Ioan Curea 1, 300224 Timişoara, ROMÂNIA Telefon Departament: ++40.256.403911 CEMSIG: ++40.256.403932 e-mail: [email protected] 

Fax ++40.256.403917 ++40.256.403932 http://cemsig.ct.upt.ro 

Contract nr. 424/08.12.2009 Verificarea la stabilitate a elementelor din oţel în conformitate cu SR EN 1993-1.1 Recomandări de calcul, comentarii şi exemple de aplicare Redactarea I-a

Timişoara, august 2010

COLECTIV DE ELABORARE

ef Proiect  Ş ef

Prof. Dr, Ing. Dan DUBINĂ 

_____________________

 Membri:

Conf. Dr. Ing. Viorel UNGUREANU

_____________________

Conf. Dr. Ing. Raul ZAHARIA

_____________________

Asist. Dr. Ing. Adrian DOGARIU

_____________________

Drd. Ing. Andrei CRIŞAN

_____________________

Drd. Ing. Iulia ŢUCA

_____________________

Drd. Ing. Călin NEAGU

_____________________

CUPRINS

1. INTRODUCERE 2. FENOMENUL DE PIERDERE AL STABILIT ĂŢII. ASPECTE GENERALE 2.1 Pierderea stabilit ăţi prin bifurcarea şi prin limitarea echilibrului 2.1.1 St ări de echilibru 2.1.2 Flambajul prin bifurcarea echilibrului 2.1.3 Flambajul prin limitarea echilibrului

2.2 Forme de instabilitate a barelor comprimate centric 2.3 Instabilitatea barelor încovoiate 2.4 Probleme specifice de stabilitate pentru profile cu pere ţi subţiri 3. ELEMENTE SOLICITATE LA COMPRESIUNE 3.1 Calculul încărcării critice de flambaj la prin încovoiere la bare ideale comprimate centric. Determinarea lungimilor de flambaj 3.2 Efectul imperfec ţiunilor 3.3 Flambajul prin r ăsucire. Flambajul prin încovoiere-r ăsucire 3.4 Determinarea caracteristicilor eficace a sec ţiunilor transversale pentru profile cu pere ţi subţiri 3.5 Verificarea la flambaj a barelor comprimate centric în conformitate cu SR EN 1993-1-1 3.6 Voalarea elementelor realizate din pl ăci plane 3.7 Flambajul barelor compuse uniforme solicitate la compresiune centric ă 3.7.1 Bare compuse din ramuri pu ţ in in depărtate 3.7.2 Flambajul elementelor componente ale barelor comprimate solidarizate cu z ăbrele respectiv cu pl ăcu ţ e

Exemplul E.1. Verificarea stabilit ăţii generale a unui stâlp supus la compresiune uniform ă (flambaj) Exemplul E.2. Verificarea de pierdere a stabilit ăţii generale a unui element cu sec ţiunea de clasa 4 supus la compresiune uniform ă Exemplul E.3. Determinarea rezistentei la flambaj a unui stâlp cu blocaje laterale Exemplul E.4. Determinarea lungimii de flambaj a unui stâlp dintr-un cadru multietajat Exemplul E.5. Determinarea lungimilor de flambaj pentru un stâlp in trepte Exemplul E.6. Determinarea rezisten ţei la pierderea stabilit ăţii a unui element compus supus la compresiune uniformă Exemplul E.7. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale sec ţiunii transversale a unui profil cu secţiune de tip C format ă la rece, solicitat ă la compresiune Exemplul E.8. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale sec ţiunii transversale a unui profil cu secţiune de tip C format ă la rece, solicitat ă la încovoiere Exemplul E.9. Calculul unui stâlp cu sec ţiune transversal ă de tip C format ă la rece, solicitat la compresiune

4. ELEMENTE SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE 4.1. Determinarea momentului critic elastic pentru bare solicitate la încovoiere 4.2 Efectul modului de înc ărcare şi al condi ţiilor de rezemare 4.3 Efectul imperfec ţiunilor şi efectul plasticiz ării 4.4 Verificarea la flambaj lateral prin încovoiere – r ăsucire a barelor încovoiate în conformitate cu SR EN 1993-1-1 4.4.1. Metoda general ă de calcul 4.4.2 Metoda alternativă  de calcul pentru profile laminate sau sec ţ iuni iuni sudate echivalente

ăţ irea ăţ ii 4.4.3 Metode pentru îmbun ăt ăţ  irea capacit ăţ  ii elementului structural încovoiat

4.5 Metoda simplificat ă pentru grinzi cu leg ături transversale, f ăcând parte din structuri Exemplul E.10. Determinarea rezisten ţei la pierderea stabilit ăţii prin încovoiere-r î ncovoiere-răsucire Exemplul E.11. Determinarea rezistentei la pierderea stabilit ăţii prin încovoiere-r ăsucire a unui element cu legaturi transversale continue Exemplul E.12. Calculul unei grinzi cu sec ţiune transversal ă de tip C format ă la rece, solicitat ă la  încovoiere 5. BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE ŞI ÎNCOVOIERE 5.1 Aspecte generale. Producerea fenomenelor 5.2 Rezistenţa barelor comprimate şi încovoiate la pierderea stabilit ăţii generale 5.2.1 Bazele teoretice 5.2.2 Flambajul prin încovoiere  şi flambajul prin încovoiere-r ăsucire

5.3 Bare supuse la încovoiere şi compresiune cu sec ţiune transversal ă  uniformă. Utilizarea factorilor de interacţiune folosind metoda din anexa A (Metoda 1), respectiv anexa B (Metoda 2) conform SR EN 1993-1-1 5.4 Metoda general ă de verificare a elementelor structurale la flambaj prin încovoiere şi flambaj prin încovoiere – r ăsucire a componentelor structurale Exemplul E.13. E.13. Determinarea rezisten rezistenţei la pierderea stabilit ăţii – interacţiunea M-N Exemplul E.14. E.14. Determinarea rezisten rezistenţei la pierderea stabilit ăţii a unui cadru portal Exemplul E.15. Determinarea unei sec ţiunii echivalente pentru verificarea elementelor cu sec ţiune variabila supuse la M-N Exemplul E.16. Calculul unui stâlp cu sec ţiune transversal ă de tip C format ă la rece, solicitat la compresiune cu încovoiere ANEXA I: Coeficientul de zvelte ţe transformat pentru barele cu sec ţiuni cu o ax ă de simetrie supusă la compresiune axial ă care flambeaz ă prin încovoiere-r ăsucire ANEXA II: Lungimi de flambaj ale stâlpilor structurilor multietajate II.1 Baze teoretice II.2 Determinarea lungimilor de flambaj ale stâlpilor structurilor multietajate cu metoda Wood II.3 Metoda Merchant - Rankine

ANEXA III: Lungimi de flambaj ale stâlpilor structurilor parter ANEXA IV: Lungimi de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu z ăbrele ANEXA V: Monogramele pentru coeficien ţi C 1 şi C 2, pentru elemente structurale sub efectul combinat al momentelor încovoietoare aplicate la capete şi al încărcărilor transversale direct aplicate ANEXA VI: Clase de sec ţiuni ANEXA VII: Calculul prin metoda elementului finit (MEF) conform Anexei C din SR EN 19931-5 VII.1 Utilizarea imperfec ţiunilor VII.2 Proprietăţile materialelor VII.3 Încărcări ANEXA VIII: Imperfecţiuni VIII.1 Imperfecţiuni pentru analiza global ă a cadrelor VIII.2 Imperfecţiuni pentru calculul sistemului de contravântuiri VIII.3 Imperfecţiunile elementelor BIBLIOGRAFIE

1. INTRODUCERE Problemele de stabilitate a structurilor metalice sunt nu numai complicate dar şi cu pondere majoră în asigurarea siguran ţei structurilor. În SUA se elaboreaz ă de către SSRC – Structural Stability Research Council, periodic (la 5 ani), Ghidul pentru verificarea la stabilitate a structurilor metalice, care con ţine circa 600 de pagini. În Europa, Conven ţia Europeana pentru Construcţii Metalice a editat şi publicat în 2008 un Manual explicativ pentru calculul la stabilitate a structurilor metalice, în conformitate cu EN 1993-1-1 cu exemple, având 250 de pagini. În Marea Britanie, Steel Construction Institute a elaborat o serie întreaga de documente dedicate verificărilor şi calculelor de stabilitate a diferitelor tipuri t ipuri de elemente structurale. La fel, astfel de materiale au fost elaborate în Fran ţa, la CTIM şi OTUA, sau în Germania documentaţiile DASt. Pe plan na ţional nu exist ă  documente cu caracter normativ sau ghiduri de proiectare care s ă abordeze problema verific ărilor de stabilitate în format Eurocode (SR EN 1993-1-1), în condi ţiile  în care verificările de stabilitate, în format SR EN 1993-1-1, difer ă  formal de cele cu care proiectanţii români erau obi şnuiţi in conformitate cu STAS 10108/0-78. În ultimele decade s-au investit eforturi uriaşe în dezvoltarea Eurocodurilor pentru construc ţii, a căror scop este de a dispune de un set de documente care sa formeze o baz ă comună în Europa pentru proiectarea structurilor realizate din diverse materiale. Versiunea final ă  a Eurocodurilor se bazeaz ă pe cercet ări recente şi introduc astfel, formule de calcul noi, care permit o proiectare mai economică. De asemenea, în EN 1993 sunt date metodologii de rezolvare cu ajutorul programelor de calcul structural a unor probleme de stabilitate. Prin urmare, procedurile SR EN 1993 sunt noi nu numai în con ţinut, dar şi ca formă, în compara ţie cu procedurile din STAS 10108/0-78. Documentul de fa ţă este conceput ca un instrument de explicitare şi aplicare a SR EN 1993-1-1. Versiunea final ă a SR EN 1993-1-1 are o abordare complex ă, uneori confuz ă a problemelor de stabilitate a structurilor din bare. Pentru elementele care î şi pot pierde stabilitatea prin  încovoiere–răsucire, în norma se dau trei metode, din care se alege, de c ătre proiectant, cea care se aplică, existând îns ă condiţii impuse şi restricţii în aplicarea acestora la anumite cazuri sau clase de probleme. În norm ă  nu se dau indica ţii pentru determinarea momentului încovoietor critic sau a altor formule similare. Nu sunt preciz ări explicite pentru verificarea la stabilitate general ă, a elementelor cu sec ţiuni de clasa 4, trebuind combinate prevederile din EN 1993-1-1 cu cele din EN 1993-1-3 şi EN 1993-1-5. Nu sunt prevederi explicite pentru stâlpii cu sec ţiune variabilă, liniară  sau în trepte şi cu condiţii de rezemare altele decât cele corespunz ătoare cazurilor fundamentale. Toate aceste aspecte ( şi nu numai) sunt tratate în cadrul prezentei lucr ări, care prezint ă  baza normativ ă  (SR EN 1993-1-1, SR EN 1993-1-3, SR EN 1993-1-5) pentru verificarea la stabilitate a elementelor structurale din o ţel, cu relaţiile de calcul şi prevederile de proiectare, respectiv comentarii privind aplicarea acestora, înso ţite de aplica ţii. Lucrarea trateaz ă verificarea la stabilitate a barelor din o ţel. Lucrarea nu trateaz ă  verificarea la stabilitate a structurilor din pl ăci plane solicitate la înc ărcări în plan sau în afara planului şi nici verificarea la stabilitate a pl ăcilor curbe sub ţiri. Lucrarea prezint ă si informaţii complementare neconflictuale cu prevederile SR EN 1993. Unele dintre aceste informa ţii sunt strict necesare în calcule, altele sunt prezentate datorit ă caracterului practic. Ca surs ă de documentare s-a folosit şi baza Access Steel (www.access-steel.com ( www.access-steel.com,, 2006). În cuprinsul lucr ării s-au utilizat coeficien ţii de siguran ţa stabiliţi prin Anexele Na ţionale. În Anexa Naţionala SR EN 1993-1-1:2006/NA:2008 s-a p ăstrat valoarea recomandat r ecomandată în cadrul EN 1993-1-1, adică valoarea unitar ă pentru coeficientul par ţial de siguran ţă γM1 pentru verificarea de stabilitate. În cadrul SR EN 1993-1-3/NB:2008, s-a adoptat coeficientul γM1  =1,10 (faţă de

valoarea unitar ă recomandat ă în EN 1993-1-3) datorit ă fenomenului de interac ţiune a modurilor de flambaj local şi general, care caracterizeaz ă comportarea profilelor cu pere ţi subţiri. În zona de interacţiune, influenţa imperfecţiunilor creşte, producând eroziunea înc ărcării critice teoretice.

Capitol 2 al lucrării debutează cu prezentarea unor aspecte generale referitoare la fenomenul de pierdere al stabilit ăţii. Se prezint ă noţiunea de înc ărcare critică  de flambaj şi problema de bifurcare a echilibrului, dup ă  care se prezint ă metoda divergen ţei echilibrului cu considerarea imperfecţiunilor structurale şi a celor geometrice. În acest capitol se prezint ă  flambajul prin  încovoiere, prin răsucire şi prin încovoiere – r ăsucire a barelor comprimate centric, respectiv pierderea stabilit ăţii barelor încovoiate. Tot în acest capitol se prezint ă problemele specifice de stabilitate pentru profile cu pere ţi subţiri. Capitolul 3 este destinat fenomenului de pierdere a stabilit ăţii elementelor comprimate centric. Capitolul debuteaz ă  cu calculul înc ărcării critice de flambaj prin încovoiere la bare ideale comprimate centric, înso ţit de determinarea lungimilor de flambaj pentru cazurile elementare de rezemare. Sunt date în continuare formulele de calcul pentru înc ărcarea critică de flambaj prin răsucire şi pentru încărcarea critică  de flambaj prin încovoiere-r ăsucire. Ca informa ţie complementară neconflictual ă cu prevederile SR EN1993-1-1, în rela ţie cu acest capitol, Anexa I prezintă  calculul coeficientului de zvelte ţe transformat pentru barele cu sec ţiuni cu o ax ă de simetrie supusă la compresiune axial ă care flambeaz ă prin încovoiere-r ăsucire. Tot in cadrul acestui capitol se prezint ă  modul de determinare a caracteristicilor eficace a secţiunilor transversale pentru profile cu pere ţi subţiri, pentru a ţine cont de efectul voal ării pereţilor secţiunii transversale (flambajul local). Capitolul prezint ă  în continuare efectul imperfecţiunilor şi procedura de verificare la flambaj a barelor comprimate centric în conformitate cu SR EN 1993-1-1. 1 993-1-1. Pentru cazul general al unui element într-o structur ă, pentru stabilirea înc ărcării critice şi implicit a lungimii de flambaj, în Anexa II se prezint ă  o metodologie de determinare a lungimilor de flambaj pentru stâlpii structurilor în cadre multietajate (metoda Wood), iar în Anexa III se prezintă  tabele pentru determinarea lungimilor de flambaj pentru stâlpii structurilor parter cu secţiune constant ă sau în trepte. De asemenea, în Anexa II, se prezint pr ezint ă o metodă de determinare a  încărcării ultime de cedare (Metoda Merchant-Rankine) pentru structuri multietajate cu noduri rigide. Deşi aceste metodologii de verificare nu apar în norma SR EN 1993-1-1, s-a considerat utilă prezentarea acestora, ca informa ţie complementara neconflictual ă, necesar ă în calculul de verificare la stabilitate, sau având în vedere caracterul practic al acestora (Metoda MerchantRankine). Capitolul trateaz ă  în final particularit ăţile verificării la flambaj a barelor compuse uniforme solicitate la compresiune centric ă (cazul barelor comprimate compuse ale c ăror ramuri sunt în contact sau sunt pu ţin depărtate şi legate cu fururi), respectiv a barelor comprimate solidarizate cu zăbrele respectiv cu pl ăcuţe. Exemplele de calcul aferente acestui capitol con ţin verificarea stabilit ăţii generale a barelor supuse la compresiune uniform ă, inclusiv a celor cu sec ţiunea de clasa 4 (cu determinarea caracteristicilor eficace) şi a barelor cu sec ţiune compus ă  solidarizat ă  cu pl ăcuţe, influenţa blocajelor laterale, determinarea lungimii de flambaj a stâlpilor dintr-un cadru multietajat, respectiv determinarea lungimii de flambaj a stâlpilor cu sec ţiune variabil ă în trepte.

Capitol 4 este destinat fenomenului de pierdere a stabilit ăţii elementelor încovoiate. Se prezint ă instabilitatea în domeniul elastic, urmat ă de instabilitatea în domeniul inelastic, cu determinarea momentului critic elastic pentru elemente solicitate la încovoiere. Se studiaz ă efectele modului

de încărcare şi a condi ţiilor de rezemare la capetele barei asupra momentului critic elastic, precum şi efectul imperfec ţiunilor şi efectul plasticiz ării. Se prezint ă metodele de verificare la flambaj prin încovoiere – r ăsucire, conform SR EN 1993-11, atât Metoda general ă de calcul, cât şi Metoda alternativ ă de calcul pentru profile laminate sau secţiuni sudate echivalente. Se prezint ă şi metoda simplificat ă  pentru grinzi cu legături transversale, f ăcând parte din structuri. Ca informaţie complementar ă neconflictual ă cu prevederile SR EN 1993-1-1, în rela ţie cu acest capitol, Anexa V prezint ă  o procedur ă  de calcul pentru coeficien ţi C1 şi C2, pentru elemente structurale sub efectul combinat al momentelor încovoietoare aplicate la capete şi al încărcărilor transversale direct aplicate. Exemplele de calcul aferente acestui capitol con ţin determinarea rezisten ţei la pierderea stabilităţii prin încovoiere-r ăsucire a barelor încovoiate pentru cazul barei simplu rezemate nefixate lateral (se prezint ă de asemenea, determinarea momentului critic pentru diverse situa ţii de încărcare, rezemare, respectiv fixare laterala), respectiv a unei pane de acoperi ş  solicitată alternant (se verific ă condiţiile în care tabla asigur ă fixarea tălpii superioare şi se consider ă de asemenea ipoteza utiliz ării unor tiranţi de fixare lateral ă). Exemplele de calcul prezint ă de asemenea verificarea barelor cu sec ţiuni de clasa 4.

Capitolul 5 prezintă stabilitatea elementelor solicitate la încovoiere cu compresiune axial ă. La  început se tratează  aspecte legate de producerea fenomenului, respectiv bazele metodelor de calcul aplicate în practic ă. În continuare se prezint ă  metodele de verificare a elementelor conform SR EN 1993-1-1: (1) Bare supuse la încovoiere şi compresiune cu sec ţiune transversal ă uniformă. Utilizarea factorilor de interac ţiune folosind metoda din anexa A (Metoda 1), respectiv anexa B (Metoda 2) conform SR EN 1993-1-1; (2) Metoda general ă de verificare a elementelor structurale la flambaj prin încovoiere şi flambaj prin încovoiere – r ăsucire: aplicare la componentele structurale şi la cadre parter. Exemplele de calcul aferente acestui capitol con ţin determinarea rezisten ţei la pierderea stabilităţii a barelor cu sec ţiune constant ă, a barelor cu sec ţiune variabilă (3 tălpi) şi a barelor cu secţiune compusă  solidarizate cu pl ăcuţe. De asemenea, se prezint ă  determinarea sec ţiunii echivalente pentru verificarea barelor cu sec ţiune variabil ă supuse la interac ţiunea M-N, precum şi verificarea barelor cu sec ţiuni de clasa 4. Lucrarea se adreseaz ă firmelor de proiectare, exper ţilor, verificatorilor, precum şi unităţilor de  învăţământ de profil.

2. FENOMENUL DE PIERDERE AL STABILIT ĂŢII. ĂŢII. ASPECTE GENERALE 2.1 Pierderea stabilităţ stabilităţii prin bifurcarea şi prin limitarea echilibrului  2.1.1 Stă ri de echilibru

Teoria clasic ă  a stabilităţii stabileşte condiţiile în care un sistem structural, sau un element structural aflat ini ţial în stare de echilibru, înceteaz ă  a mai fi stabil. În termeni generali, stabilitatea unui sistem fizic poate fi definit ă ca abilitatea sistemului respectiv de a se întoarce în starea de echilibru ini ţială, după ce a fost u şor perturbat. Pentru un sistem mecanic (fenomenul de pierdere a stabilit ăţii elementelor de rezisten ţă utilizate  în construcţii poate fi descris utilizând no ţiunile de mecanic ă clasică) poate fi adoptat ă definiţia dată  de Dirichlet: “Echilibrul unui sistem mecanic este stabil, dac ă  prin deplasarea punctelor sistemului din pozi ţia de echilibru cu o cantitate infinitezimal ă şi dând fiecărui punct o vitez ă iniţială, deplasările diferitelor puncte ale sistemului r ămân, în timpul mişcării, conţinute între anumite limite”. În spiritul defini ţiei date de Dirichlet, dac ă se consider ă un sistem elastic conservativ aflat ini ţial  în stare de echilibru sub ac ţiunea unui set de for ţe, sistemul va p ărăsi starea de echilibru doar dacă va fi acţionat de o for ţă exterioară sistemului ini ţial în echilibru (în conformitate cu prima lege a Mecanicii Clasice a şa cum a fost enun ţată  de Newton – Legea iner ţiei). Considerând energia totală,  E , introdusă  în sistem de c ătre forţa perturbatoare, se poate scrie urm ătoarea ecuaţie de echilibru, în virtutea legii de conservare a energiei:  E  =  = E c + E  p = constant

(2.1)

 în care E c este energia cinetic ă a sistemului, respectiv  E  p este energia poten ţială a acestuia. O creştere a energiei cinetice este înso ţită  de o scădere a energiei poten ţiale şi invers, în conformitate cu legea conserv ării energiei. Dac ă  sistemul este ini ţial într-o configuraţie de echilibru cu energie poten ţială  minimă, atunci energia poten ţială  din ecuaţia de conservare a energiei creşte şi în aceste condi ţii energia cinetic ă datorată mişcării sistemului, trebuie s ă scadă. Astfel, deplasarea din starea ini ţială  de echilibru în urma perturb ării sistemului cu o for ţă exterioară va rămâne mică şi starea de echilibru este una stabil ă. Acest fenomen poate fi foarte bine ilustrat pe modelul mecanic binecunoscut din Figura 2.1, cu ajutorul unui corp rigid sferic pe o suprafa ţă curbă. Dacă în starea iniţială de echilibru sfera se află pe o suprafa ţă concavă (a se vedea Figura 2.1a), atunci echilibrul este stabil; dac ă sfera este scoas ă din pozi ţia iniţială cu energie poten ţială minimă, aceasta va începe s ă oscileze şi, în cele din urmă, va reveni la pozi ţia de echilibru. Dac ă  sfera se afla pe o suprafa ţă  convex ă, într-o poziţie de energie poten ţială  maximă  (a se vedea Figura 2.1c), atunci o perturbare a pozi ţiei iniţiale conduce la cre şterea energiei cinetice, respectiv la sc ăderea energiei poten ţiale şi sfera se va îndepărta cu viteză tot mai mare de pozi ţia iniţială de echilibru. În acesta situa ţie se spune c ă echilibrul este instabil. Starea de echilibru indiferent este ilustrat ă de modelul mecanic prin sfera pe un plan orizontal (a se vedea Figura 2.1b), în care pentru orice vecin ătate a pozi ţiei iniţiale de echilibru, energia poten ţială este aceea şi. Se poate face mai departe o analogie între comportamentul modelului mecanic cu corp rigid şi comportamentul unui element structural (bara comprimat ă) pentru definirea st ărilor de echilibru ale acestuia. Se presupune bara ideal ă  comprimată  (perfect dreapt ă, f ără  imperfecţiuni, cu un

comportament de material perfect elastic) din Figura 2.1a, aflat ă iniţial în stare nedeformat ă, solicitată la o forţă axială de compresiune N .

a) echilibru stabil b) echilibru indiferent c) echilibru instabil Fig. 2.1: Analogia între comportamentul modelului mecanic cu corp rigid şi comportamentul unui element structural pentru definirea st ărilor de echilibru Dacă  se perturbă  poziţia de echilibru a acesteia, spre exemplu cu o for ţă  concentrat ă de intensitate redus ă aplicată orizontal la mijlocul în ălţimii, bara va suferi o încovoiere. Pozi ţia de echilibru stabil, prin analogie cu modelul mecanic, presupune ca dup ă  anularea for ţei perturbatoare, bara revine în pozi ţia dreapt ă sub acţiunea forţei N . Dacă se măreşte treptat forţa N , se constat ă că bara revine din ce în ce mai greu la pozi ţia iniţială nedeformată după  anularea forţei perturbatoare. Pentru o anumit ă  valoare a for ţei de compresiune  N  =  =  N cr  cr , bara nu mai revine în pozi ţia iniţială dup ă anularea for ţei perturbatoare şi va rămâne în pozi ţia deformată  sub acţiunea forţei  N cr  cr . Aceasta este situa ţia de echilibru indiferent pentru bara comprimat ă, în care, la limit ă, pot exista sub ac ţiunea forţei de compresiune N cr  cr , dou ă configuraţii de echilibru a barei: pozi ţia iniţială dreapt ă, în absen ţa forţei perturbatoare, sau pozi ţia deformată, după acţiunea forţei perturbatoare cu intensitate redus ă. Dacă forţa de compresiune este mai mare decât valoarea  N cr  cr , bara se deformeaz ă accentuat la cea mai mică forţă  perturbatoare. Dep ăşirea lui  N cr  cr   conduce la pierderea stabilit ăţii echilibrului (cedarea elementului prin pierdere de stabilitate, sau cedarea elementului prin flambaj). Situa ţia  > N cr   N  > cr  corespunde situa ţiei de echilibru instabil.  2.1.2 Flambajul prin bifurcarea bifurcarea echilibrului echilibrului

Exemplele intuitive prezentate mai sus arat ă că  stabilitatea unui sistem este legat ă  de energia potenţială a acestuia. Cu toate acestea, stabilitatea unui sistem elastic (a unui element structural sau a unei structuri) poate fi exprimat ă şi prin conceptul de rigiditate al sistemului. Cu referire la Figura 2.1a, în cazul modelului mecanic, derivata energiei poten ţiale în raport cu deplasarea este rigiditatea sistemului dat ă de panta suprafe ţei.

În cazul barei comprimate, rigiditatea sistemului este dat ă de rigiditatea la încovoiere a acesteia, care depinde de sec ţiunea transversal ă, lungimea barei, modulul de elasticitate al materialului din care este alc ătuită şi nu în ultimul rând de condi ţiile de rezemare. Toate aceste caracteristici reprezintă, în calculul structurilor pentru construc ţii, parametrii care condi ţionează fenomenul de instabilitate. În consecinţă, o rigiditate pozitivă a sistemului implic ă o stare stabil ă de echilibru, în timp ce în situaţia de echilibru indiferent rigiditatea devine nul ă. Pentru o structur ă de rezisten ţă, rigiditatea este dată sub forma matriceal ă (matrice de rigiditate a structurii), care dac ă este pozitiv definit ă garantează starea de echilibru stabil a structurii. Punctul în care starea unui element sau sistem structural elastic trece din starea de echilibru stabil în î n cea de echilibru indiferent define şte “starea limită de stabilitate” a elementului sau a structurii. Comportamentul barei ideale comprimate din Figura 2.1 poate fi definit ă prin caracteristica for ţă de compresiune – s ăgeată la mijlocul barei deformate, a şa cum se arat ă în graficul din Figura 2.2 (ESDEP, 1994). Punctul critic din acest grafic, corespunz ător atingerii forţei  N cr  cr , dup ă  care, pentru o forţa perturbatoare foarte mic ă deplasările sistemului devin mari şi se produce flambajul barei, se nume şte “punct de bifurcare”. Acest tip de pierdere a stabilit ăţii echilibrului unui element structural (sau a unei structuri), în care în punctul de bifurcare sunt posibile dou ă forme de echilibru, aşa cum se arat ă şi în Figura 2.2, una descris ă  de caracteristica for ţa-deplasare primară de echilibru (echilibru instabil în configura ţia nedeformat ă), respectiv de caracteristica secundar ă  de echilibru, în configura ţia deformat ă  (curba post-critic ă), se numeşte pierdere de stabilitate prin bifurcarea echilibrului, sau flambaj prin bifurcare.

Fig. 2.2: Stabilitatea barei comprimate drepte f ără imperfecţiuni – flambaj prin bifurcarea echilibrului (ESDEP, 1994) Dacă bara nu este ini ţial dreaptă (există imperfecţiuni, definite printr-o curbură iniţială a barei) săgeata creşte odată cu încărcarea  N  şi nu se mai produce o pierdere de stabilitate brusc ă prin bifurcarea echilibrului; în acest caz exist ă o creştere continuă accentuat ă a deplasărilor, aşa cum se arat ă în Figura 2.3 (ESDEP, 1994). Acest fenomen este numit “divergen ţă a echilibrului” şi nu mai există, în acest caz, o limit ă strictă de stabilitate. Dac ă materialul rămâne elastic, a şa cum s-a

presupus ini ţial, rigiditatea barei comprimate (dat ă aici de panta caracteristicii for ţă - deplasare) este întotdeauna pozitiv ă, dar o creştere mică  de forţă  axială  implică  un spor important de deplasare.

(a) Bara comprimata cu imperfec ţiuni (b) caracteristica forţă axială - deplasare Fig. 2.3: Stabilitatea barei comprimate drepte cu imperfec ţiuni iniţiale (ESDEP, 1994) Reducerea rigidit ăţii unui element structural se datoreaz ă  în general schimb ării în geometria acestuia, sau a propriet ăţilor mecanice. Reducerea rigidit ăţii datorită doar modificării geometriei elementului în cazul elementelor ideale, cu un comportament de material perfect elastic, nu cauzeaz ă  întotdeauna pierderea de stabilitate, dar conduce la deplas ări mari. Pe de alt ă  parte, reduceri substan ţiale de rigiditate ale elementului pot fi rezultatul schimb ării proprietăţilor mecanice, care conduc la cedarea elementului. Acest aspect important va fi discutat în sec ţiunea 3.2. Este de men ţionat aici, totu şi, faptul că  modelul fizic cel mai apropiat de realitatea fenomenului de instabilitate este cel al divergen ţei echilibrului, a şa cum a fost definit de c ătre Dutheil (1966), care st ă  la baza calculului de stabilitate al elementelor structurale din o ţel, în conformitate cu normele de calcul europene. Acest model se aplic ă  la bara real ă, afectat ă de imperfecţiuni, care pot fi asimilate cu o curbur ă iniţială (a se vedea Figura 2.2a). Dac ă în acest model se ţine cont şi de plasticizarea materialului, odat ă  cu creşterea încărcării, gradul de plasticizare a celei mai solicitate sec ţiuni transversale (sec ţiunea de la mijlocul barei, pentru modelul de bar ă  dublu-articulat ă  la capete cu curbur ă iniţială, solicitată  la compresiune cu  încovoiere), micşorează  la un moment dat gradientul de cre ştere al momentului încovoietor, obţinut prin reducerea for ţelor interioare. Astfel, cre şterea efortului moment încovoietor ajunge  în “divergenţă” cu creşterea momentului exterior (dat de for ţa de compresiune prin s ăgeata barei) şi echilibrul devine instabil, producându-se astfel cedarea barei (Mateescu ş.a., 1980). A şa cum s-a menţionat anterior, aspectele legate de plasticizare vor fi reluate în sec ţiunea 3.2. În continuare, în aceast ă secţiune, se vor prezenta doar aspectele legate de cedarea prin flambaj a elementelor care prezint ă un comportament al materialului perfect elastic. După  punctul de bifurcare, a şa cum a fost definit în Figura 2.2, pentru caracteristica de comportament forţă – deplasare post-critic ă pot să apară trei situaţii, funcţie de tipul sistemului structural. Figura 2.4 prezint ă curbele de echilibru ale sistemului perfect, respectiv a sistemului cu imperfecţiuni (imperfect) pentru cele trei situa ţii menţionate. În aceast ă  figură,  N   este  încărcarea aplicat ă, δ   este o deplasare a unui punct din structur ă şi ξ   este amplitudinea imperfecţiunii.

Figura 2.4a (ESDEP, 1994) prezint ă  situaţia flambajului prin bifurcare simetric ă  stabilă. În aceast ă  situaţie, comportamentul post-critic nu este afectat de semnul imperfec ţiunilor (spre exemplu, la bara comprimat ă cu imperfecţiuni din Figura 2.3, nu conteaz ă sensul curburii ini ţiale  în comportamentul post-critic). Imperfecţiunile pozitive sau negative au efect similar şi conduc la o curbă  post-critică  stabilă, în care creşterea deplas ărilor se face odat ă  cu creşterea  încărcărilor. Acest tip de comportament apare spre exemplu la bara dreapt ă comprimată  (a se vedea Figura 2.2), la pl ăci plane, sau la structuri, cum este cazul cadrului dublu-articulat din Figura 2.5 (ESDEP, 1994). Figura 2.4b (ESDEP, 1994) prezint ă  situaţia flambajului prin bifurcare simetric ă  instabilă. În aceasta situa ţie, imperfecţiunile joacă  un rol important în modificarea comport ării sistemului structural, acestea introducând o înc ărcare de cedare mai mic ă decât încărcarea critică. Acest tip de comportament apare spre exemplu la cilindrul circular comprimat sau la arcul dublu-articulat  încărcat radial, a şa cum se arat ă în Figura 2.6 (ESDEP, 1994).

a) Bifurcare simetric ă stabilă

b) Bifurcare simetrică instabilă

c) Bifurcare nesimetric ă Fig. 2.4: Comportamentul post-critic (ESDEP, 1994)

Figura 2.4c (ESDEP, 1994) prezint ă  situaţia flambajului prin bifurcare nesimetric ă. În aceast ă situaţie, comportamentul post-critic depinde de sensul imperfec ţiunilor. Pentru valori mici ale imperfecţiunilor negative, spre exemplu, a şa cum se arat ă în Figura 2.4c, curba post-critic ă este stabilă. Pentru valori mici ale imperfec ţiunilor pozitive, sistemul î şi poate pierde stabilitatea la o  încărcare limită (încărcare ultimă N u) mult redusă faţă de înc ărcarea critică N cr  cr . Un exemplu tipic de structur ă  cu acest tip de comportament este prezentat în Figura 2.7 (ESDEP, 1994) (bara cotită, pentru care imperfec ţiunea pozitivă sau negativ ă este dat ă de punctul de aplicare al for ţei concentrate, spre exteriorul cadrului în cazul comport ării post-critice stabile, respectiv spre interiorul cadrului în cazul comport ării post-critice instabile).

Fig. 2.5: Exemplu de flambaj prin bifurcare simetric ă stabilă (ESDEP, 1994)

Fig. 2.6: Exemplu de flambaj prin bifurcare simetric ă instabilă (ESDEP, 1994)

Fig. 2.7: Exemplu de flambaj prin bifurcare simetric ă instabilă (ESDEP, 1994)

În concluzie, flambajul prin bifurcarea echilibrului apare în general la structuri ideale, f ără imperfecţiuni, sau la structuri pentru care deforma ţia primară  a componentei pre-critice nu cuprinde deformaţia de instabilitate. În cazul în care deformata primar ă  pre-critică  cuprinde deformata de instabilitate, pierderea de stabilitate se produce, la fel ca în exemplul din Figura 2.7 pentru imperfecţiuni pozitive, prin limitarea echilibrului şi încărcarea limită în aceast ă situaţie se numeşte încărcare ultimă  N u. Nu toate structurile ideale, f ără imperfecţiuni, î şi pierd stabilitatea prin bifurcare; pot s ă  apară  situaţii în care o structur ă f ără  imperfecţiuni î şi pierde stabilitatea prin limitarea echilibrului, aşa cum se arat ă în continuare.  2.1.3 Flambajul prin limitarea limitarea echilibrului

Aşa cum s-a men ţionat în 2.1.2, flambajul prin bifurcarea echilibrului nu este singura form ă de instabilitate care poate s ă  apară. Pentru anumite structuri elastice, pentru care deformata pre-critică cuprinde deformata de instabilitate, flambajul prin limitarea echilibrului apare atunci când caracteristica înc ărcare-deplasare ini ţială stabilă devine instabil ă la atingerea unui maxim local al încărcării (încărcarea ultimă N u), denumită punct limită al sistemului structural, a şa cum se arată  în Figura 2.8 (ESDEP, 1994). În aceea şi figură, se arat ă că  pentru astfel de sisteme structurale, răspunsul aceluia şi sistem cu imperfec ţiuni este similar cu cel al sistemului perfect, diferenţa constând în valoarea înc ărcării ultime a sistemului cu imperfecţiuni, care poate fi superioară  sau inferioară încărcării ultime a sistemului perfect, func ţie de sensul imperfecţiunilor. Tipic pentru acest mod de pierdere al stabilit ăţii este că după  atingerea  încărcării ultime deplasările cresc f ără creşterea suplimentar ă a încărcărilor.

Fig. 2.8: Flambaj prin limitarea echilibrului pentru un sistem f ără imperfecţiuni geometrice, respectiv pentru un sistem cu imperfec i mperfec ţiuni (imperfect) (ESDEP, 1994) Există  structuri cu o configura ţie similară  care î şi pot pierde stabilitatea în cele dou ă  moduri diferite. Acesta este, spre exemplu, cazul arcului pleo ştit ideal, f ără imperfecţiuni, care în cazul rezemării articulate î şi poate pierde stabilitatea prin bifurcare (deformata primului mod de flambaj nesimetrică, corespunz ătoare încărcării critice minime, a şa cum se arat ă în Figura 2.6),  în acest caz deformata primar ă  fiind diferită  de deformata post-critic ă, respectiv care în cazul rezemării încastrate î şi pierde stabilitatea prin limitarea echilibrului (deformata simetric ă după atingerea încărcării ultime), în acest caz deformata primar ă fiind aceeaşi cu deformata de dup ă atingerea încărcării ultime.

2.2 Forme de instabilitate a barelor comprimate centric Flambajul barelor zvelte comprimate centric se produce, în general, prin încovoiere în jurul axei principale minime de iner ţie a sec ţiunii transversale, sub for ţa de compresiune critic ă,  N cr  cr , aşa cum se arata în Figura 2.9a. În cazul barelor cu sec ţiune transversal ă deschisă, dublu-simetrică (centrul de t ăiere coincide cu centrul de greutate), sau chiar cu sec ţiune mono-simetrică (T, corniere cu aripi egale), la care rigidităţile la încovoiere în raport cu axele principale sunt apropiate ca valoare, poate s ă apară flambajul prin răsucire sau torsiune, sub for ţa de compresiune critic ă,  N cr,T  cr,T . Flambajul prin răsucire se produce prin rotirea sec ţiunii transversale în jurul axei longitudinale, a şa cum se arat ă  în Figura 2.9b (daSilva (daSilva ş.a., 2010). Flambajul prin încovoiere–r ăsucire, sub for ţa critică de compresiune,  N cr,TF  cr,TF , apare la barele cu secţiune transversal ă deschisă mono-simetrică sau cu sec ţiune oarecare, la care centrul de t ăiere nu coincide cu centrul de greutate şi pentru care rigiditatea la încovoiere în raport cu axa de simetrie are valori apropiate de rigiditatea ri giditatea la încovoiere în raport cu axa perpendicular ă cu axa de simetrie. Flambajul prin încovoiere – r ăsucire se produce prin rotirea sec ţiunii transversale în  jurul axei longitudinale, concomitent cu încovoierea elementului în lungul axei, a şa cum se arat ă  în Figura 2.9c (daSilva (daSilva ş.a., 2010). Pierderea de stabilitate prin încovoiere – r ăsucire este caracteristica elementelor comprimate cu secţiune transversal ă  deschisă, cum ar fi spre exemplu corniere, profile U, sau sec ţiuni în T, pentru care rigiditatea la torsiune este redus ă. Evident, exist ă întotdeauna posibilitatea pierderii stabilităţii prin încovoiere în raport cu axa de iner ţie principal ă minimă şi o astfel de verificare trebuie efectuat ă. Pentru barele comprimate cu sec ţiune I sau H, modul critic de pierdere a stabilităţii este, în mod normal, flambajul prin încovoiere. Totu şi, în prezen ţa imperfecţiunilor, inerente, şi aceste bare î şi pot pierde stabilitatea prin r ăsucire, prin urmare o verificare din acest punct de vedere este necesar ă. Doar barele comprimate cu sec ţiuni tubulare, circulare sau rectangulare, pot fi considerate la ad ăpost de pierderea stabilit ăţii prin încovoiere-r ăsucire.

a) Încovoiere b) Răsucire c) Încovoiere-răsucire Fig. 2.9: Flambaj prin încovoiere, r ăsucire şi încovoiere – r ăsucire pentru bare comprimate centric (daSilva ş.a., 2010)

2.3 Instabilitatea barelor încovoiate Dimensionarea barelor sub ac ţiunea momentului încovoietor conduce la sec ţiuni cu rigiditate la  încovoiere mare în planul de ac ţiune al momentului încovoietor şi mult mai redusă  în plan

perpendicular. Flambajul lateral prin încovoiere – r ăsucire este caracterizat printr-o transla ţie a zonei comprimate a sec ţiunii transversale (talpa comprimat ă, spre exemplu, în cazul profilelor I sau H), perpendicular pe planul de simetrie al sec ţiunii care con ţine axa principal ă  minimă de inerţie, concomitent cu o r ăsucire a sec ţiunii elementului în jurul axei longitudinale. Aceast ă parte a secţiunii transversale se comport ă ca un element comprimat, care î şi pierde stabilitatea prin încovoiere, dar are deplasarea împiedicat ă de zona întins ă din secţiune, care nu are ini ţial tendinţa de a se deplasa lateral. A şa cum se arat ă în Figura 2.10, în care flambajul lateral prin  încovoiere - răsucire este ilustrat pentru o grind ă în consolă, deformarea rezultant ă  a secţiunii transversale include atât încovoierea lateral ă  (după  axa minimă  de inerţie a profilului) cât şi torsiunea, de unde şi denumirea fenomenului.

Fig. 2.10: Flambajul lateral prin încovoiere - r ăsucire pentru elemente încovoiate

2.4 Probleme specifice de stabilitate pentru profile cu pereţ pere ţi subţ subţiri Utilizarea profilelor cu grosimi reduse şi a oţelurilor cu rezistenţe ridicate implică  rezolvarea unor probleme de proiectare deosebite, care nu sunt întâlnite în proiectarea structurilor din o ţel clasice. Instabilitatea structural ă se produce mai repede, ca rezultat al voal ării pereţilor secţiunii transversale, care interac ţionează  cu flambajul global al elementului. Utilizarea o ţelurilor cu rezistenţe ridicate poate face îns ă ca tensiunea critic ă corespunz ătoare voalării pereţilor secţiunii transversale să fie aproximativ egal ă cu limita de curgere. În analiza comport ării barelor cu pereţi subţiri trebuie să se ţină cont de cele trei moduri specifice de pierdere a stabilit ăţii care apar, dup ă cum se prezint ă în Figura 2.11: 1. Modurile de instabilitate locale, care se produc prin voalarea unuia sau mai multor pere ţi componen ţi ai profilului. În acest caz nodurile care descriu sec ţiunea transversal ă î şi păstrează poziţia iniţială şi, are loc deformarea pere ţilor între aceste noduri. 2. Modurile de instabilitate distorsionale, sunt moduri de instabilitate care se produc atunci când rebordurile secţiunii transversale nu au suficient ă  rigiditate şi, astfel, are loc o rotire a ansamblului talpă-rebord în jurul inimii, deci nodurile care descriu sec ţiunea transversal ă nu  î şi mai păstrează poziţia iniţială ca în cazul voal ării. 3. Moduri globale de instabilitate, care au loc prin flambajul barei prin încovoiere, prin  încovoiere-răsucire (în cazul elementelor comprimate) sau prin încovoiere lateral ă cu  încovoiere-răsucire (denumit în literatura de specialitate şi „lateral-torsional buckling” sau „deversement”, „deversement”, caracteristic barelor solicitate la încovoiere pur ă). Modurile locale şi distorsionale de instabilitate apar cu prec ădere în cazul zvelte ţilor de bară reduse, şi sunt caracterizate de lungimi de semiund ă diferite. Flambajul local şi cel distorsional

pot fi considerate ca fiind moduri de flambaj sec ţional şi pot interacţiona atât între ele cât şi cu moduri globale de flambaj (Dubina, 1996). Din punct de vedere al analizei de stabilitate, o bar ă cu pereţi subţiri se caracterizeaz ă prin: - zvelteţea redusă de bar ă (λ ) ; - zvelteţea redusă de perete ( λ  p );  N cr  - forţa critică elastică ( N  cr ) sau momentul critic elastic ( M cr  cr ) pentru flambajul de bar ă, instabilitatea global ă;  N  L) pentru voalarea pere ţilor (instabilitatea local ă). - forţa critică ( N  Funcţie de valorile zvelte ţilor reduse (λ ) şi ( λ  p ), respectiv de valoarea raportului ( N cr   /  N  L), se cr  disting trei categorii de bare: - bare scurte, care sunt caracterizate de instabilitatea local ă sau distorsional ă; - bare lungi, care sunt caracterizate de instabilitatea i nstabilitatea global ă; - bare de lungime medie, la care apar şi interacţionează ambele moduri de instabilitate. În Figura 2.10 se prezint ă  câteva moduri de flambaj simple şi cuplate pentru o sec ţiune C solicitată la compresiune. Rezultatele au fost ob ţinute printr-o analiz ă de stabilitate cu element finit.

(a)

(f)

(b)

(c)

(d)

(e)

(g) (h) (i) (j) (k) Fig. 2.11: Moduri de flambaj pentru un profil C format la rece comprimat

Moduri simple: (a) local (L); (b) distorsional (D); (c) încovoiere (F); (d) torsional (T); (e) încovoiere-r ăsucire (FT). Moduri cuplate (interacţiune): (f) L + D; (g) F + L; (h) F + D; (i) FT + L; (j) FT + D; (k) F + FT.

Pentru o secţiune dată se pot ob ţine diferite moduri de pierdere a stabilit ăţii funcţie de lungimea de flambaj, aşa cum se arat ă în Figura 2.12 (Hancock, 1998). Figura 2.12 s-a ob ţinut în urma unei analize cu un program bazat pe metoda fâ şiilor finite şi descrie modificarea for ţei critice de flambaj funcţie de lungimea de semiund ă. Primul minim (punctul  A) apare pe curb ă la o lungime de semiundă de 65mm şi reprezintă flambajul local. Flambajul local se produce prin deformarea inimii elementului, f ără rotirea ansamblului talp ă-rigidizarea în jurul punctului de leg ătura dintre inimă şi talpă. Al doilea minim pe curb ă  apare în punctul  B, la o lungime de semiund ă de 280mm. Acesta este modul de flambaj prin distorsiune, şi se produce prin rotirea ansamblului talpă-rigidizarea faţă de inima profilului, f ără  o deplasare de ansamblu a sec ţiunii transversale. Efortul corespunz ător flambajului distorsional (în punctul  B) este u şor mai mare decât efortul corespunzător flambajului local (în punctul  A) şi în cazul unui profil lung solicitat la compresiune, împiedicat s ă flambeze global, este de a şteptat ca acesta s ă î şi piardă stabilitatea prin flambaj local, mai repede decât printr-un flambaj distorsional. Elementul î şi pierde stabilitatea general ă  prin încovoiere sau încovoiere-r ăsucire la lungimi de semiund ă  mari (punctele C ,  D şi  E ). ). În acest caz particular, pentru sec ţiunea considerat ă  în Figura 2.12, pierderea stabilit ăţii prin încovoiere-r ăsucire apare pân ă la lungimi de semiund ă de aproximativ 1800mm. La lungimi de semiund ă mai mari se produce flambajul prin încovoiere. Linia punctat ă din Figura 2.12, ad ăugată figurii originale a lui Hancock (1998), reprezint ă curba modurilor cuplate de flambaj. Efectul interac ţiunii dintre modurile de flambaj sec ţionale şi globale const ă  în creşterea sensibilit ăţii elementului la imperfec ţiuni, conducând la eroziunea  încărcării critice de flambaj (zonele ha şurate în Figura 2.12). De fapt, în realitate, datorit ă prezenţei imperfecţiunilor, interacţiunea modurilor de flambaj apare întotdeauna în cazul profilelor formate la rece cu pere ţi subţiri, în special în cazul barelor cu lungimi medii şi lungi. 800 Voalare

Distorsiune

700    )   a   p    M    (    j   a    b   m   a    l    f   a    l   a    t   n   e    t   s    i   z   e    R

600 Flambaj prin incovoiererasucire

500 400 A  B

300 Toate modurile (interactiune)

200

Incovoiere-rasucire 65mm

100 0

C

10

2 8 0 mm

D

10 0 1000 Lungime de semi-unda (mm)

E 10000

Fig. 2.12: Moduri de flambaj func ţie de lungimea de semiund ă pentru un profil C solicitat la compresiune (Hancock, (Hancock, 1998) Figura 2.13 arat ă  diferenţa de comportament dintre o bar ă cu pereţi groşi şi o bară  de aceea şi lungime cu pereţi subţiri. Atât cazul barei ideale cât şi cazul barei cu imperfec ţiuni sunt prezentate. Pentru prima situa ţie (bara cu pere ţi groşi), se poate observa c ă în punctul  B, când fibrele marginale încep s ă se plasticizeze, bara începe s ă î şi piardă rigiditatea până la atingerea stării limită  ultime,  N u, în punctul C , după  care tinde asimptotic spre curba teoretic ă de comportament rigid-plastic. Teoria elastic ă este capabil ă să determine deplas ările şi tensiunile

până în punctul în care se atinge limita de curgere. Pozi ţia curbei rigid-plastice determin ă limita absolută a capacit ăţii portante. În cazul în care bara este cu pere ţi subţiri, fenomenul de instabilitate prin voalare local ă a pereţilor apare înaintea începutului plastific ării secţiunii, în punctul  L. Prin voalarea pere ţilor apare o pierdere prematur ă de rigiditate a barei, îns ă nu se produce p roduce cedarea acesteia. Plastificarea  începe în î n punctul  B, la colţurile secţiunii transversale, cu pu ţin înainte de cedarea elementului, când flambajul sec ţional se transform ă  într-un mecanism plastic local, simultan cu apari ţia flambajului general (Dubina, 2000). În acest caz, înc ărcarea ultimă a barei este mai mic ă decât cea a unei bare la care nu apare voalarea. De fapt, flambajul sec ţional apare înaintea flambajului general, iar în practica proiect ării se opereaz ă cu caracteristici geometrice reduse ale sec ţiunii transversale. N

N Npl

N Npl

Rigid-plastic

Rigid-plastic

f 0 Ideal elastic

Ideal elastic f 

Ncr

Ncr Elastic cu imperfectiuni

Elastic cu imperfectiuni

Nu

C B

D

Nu

N

NL

Elasto-plastic

B C

Elasto-plastic D

L Initiatiere plastificare

Initiatiere plastificare

Aparitie voalare f 

f 0

f  f 0

Fig. 2.13: Comportarea unui profil comprimat cu (a) sec ţiune obişnuită şi (b) pereţi subţiri

3. ELEMENTE SOLICITATE LA COMPRESIUNE 3.1 Calculul încă încărcă rcării critice de flambaj la prin încovoiere la bare ideale comprimate centric. Determinarea lungimilor de flambaj Aşa cum s-a ar ătat în 2.1, înc ărcarea critică elastică de flambaj prin încovoiere,  N cr  cr  (încărcarea critică  Euler), se define şte ca fiind valoarea for ţei de compresiune pentru care, o bar ă  ideală,  încărcat exclusiv cu for ţa axială, poate s ă prezinte şi deplasări laterale. Flambajul prin încovoiere a unei bare ideale comprimate centric este ilustrat în Figura 3.1 (daSilva ş.a., 2010). Înc ărcarea critică corespunde punctului de bifurcare a echilibrului. Pentru calculul înc ărcării critice elastice a barei comprimate rezemata articulat la ambele capete, cu secţiune transversal ă  constant ă  pe toata lungimea elementului, se consider ă următoarele ipoteze: - materialul are un comportament liniar elastic; - nu există imperfecţiuni geometrice şi nici tensiuni reziduale; -  încărcarea se aplic ă perfect centric; - este valabil ă teoria micilor deplas ări.

Fig. 3.1: Flambajul prin încovoiere al barei ideale (Euler) (daSilva ş.a., 2010) Până în momentul atingerii înc ărcării critice elastice de pierdere a stabilit ăţii, bara se deformeaz ă doar axial. Dup ă pierderea stabilit ăţii, bara este încovoiat ă şi apar deplas ări laterale. Condi ţia de echilibru static în pozi ţia deformată, luând în considerare şi momentul încovoietor produs de forţa axială (după axa z) prin deplasările laterale, este dat ă de următoarea ecuaţie: 2

 EI 

d   y dx 2

+ Ny = 0  

(3.1)

 în care  E este modulul de elasticitate al materialului şi  I este momentul de iner ţie al secţiunii transversale dup ă axa perpendiculară pe planul încovoierii (dup ă axa z). Ecuaţia diferenţială are soluţia:  y = C 1 sin (kx ) + C 2 cos(kx )  

 în care:

2 k = N  / ( EI ) . 

(3.2)

Impunând condi ţiile de margine (deplas ările laterale sunt nule pe reazeme), rezult ă: ⇒  x = 0) = 0 pentru y( x C2 = 0; ⇒  x = L) = 0 pentru y( x C1 sin (k L) = 0; ⇒ soluţia C1 = 0, care nu intereseaz ă, deoarece înseamn ă că bara nu se deformeaz ă, sau ⇒ rămâne rezolvarea ecua ţiei sin (k L) = 0: ⇒ soluţia k = 0 nu intereseaz ă, deoarece înseamn ă că P = 0 şi deci nu ar exista forţa de compresiune, ⇒ soluţia ecuaţiei este, în aceste condi ţii kL = nπ. Încărcarea critică de pierdere a stabilit ăţii se obţine în consecin ţă din: 2

kL = nπ  ⇒ k  =

n 2π 2 2

 L

=

 N   EI 

 

(3.3)

Încărcarea critică  minimă, corespunz ătoare configuraţiei deformate din Figura 3.1 este dat ă de formula:  N cr  =

π 2 EI   L2

 

(3.4)

În concluzie, pentru o bar ă ideală, încărcarea critică elastică de pierdere a stabilit ăţii depinde de rigiditatea la încovoiere, de lungimea acesteia şi de condi ţiile de rezemare. Pentru alte condi ţii de rezemare, ca alternativ ă  la rezolvarea ecua ţiei diferenţiale, încărcarea critică  poate fi ob ţinută direct, înlocuind în formul ă lungimea real ă  L cu lungimea de flambaj  Lcr . Lungimea de flambaj  Lcr   a unui element este definit ă  ca lungimea barei echivalente dublu articulate, pentru care  încărcarea critică este egal ă cu înc ărcarea critică a barei reale. Lungimea de flambaj mai poate fi definită ca fiind distan ţa dintre dou ă puncte de inflexiune succesive pe deformata de pierdere a stabilităţii barei, egală cu lungimea unei semiunde. Aceasta interpretare este ilustrat ă în Figura 3.2 (daSilva ş.a., 2010), în care sunt ar ătate lungimile de flambaj pentru bara ideal ă cu diverse condiţii de rezemare.

Fig. 3.2: Lungimea de flambaj  Lcr  func  funcţie de lungimea real ă a barei, pentru diverse condi ţii de rezemare (daSilva ş.a., 2010)

Tensiunea critic ă se obţine împărţind încărcarea critică la aria sec ţiunii transversale a barei:

π 2 EI  π 2 E  σ cr  = 2 = 2   λ   AL E   = Lcr  / i este zvelte ţea barei şi i =  în care  λ = L

I  /  A

(3.5)

este raza de gira ţie a sec ţiunii.

Pentru o bar ă f ără imperfecţiuni, cu un material având un comportament elasto-plastic (a şa cum se poate considera, în mod ideal, pentru o ţelul obişnuit pentru construc ţii), cedarea se produce prin flambaj în domeniul elastic, dac ă  tensiunea critic ă  este inferioar ă  limitei de curgere  f  y. Pentru o bar ă scurtă, cu zvelte ţe redusă, cedarea se produce prin curgerea sec ţiunii transversale, când tensiunea aplicat ă este egal ă cu limita de curgere, adic ă atunci când σ  =  = N·A = f  y. Limita dintre cele dou ă tipuri de comportament este dat ă de o valoare a zvelte ţii, notată  λ1, care depinde de limita de curgere a materialului, dat ă de: σ cr

π 2 E = =  f y ⇒ λ1 = π  λ 12

E   f  y

 

(3.6)

Funcţie de zvelteţea  λ1, zvelteţea relativă a barei (adimensională) se obţine cu formula:

λ  =

λ  = λ 1

 Af  y  N cr 

 

(3.7)

Comportamentul unei bare f ără  imperfecţiuni, solicitată  la compresiune, func ţie de zvelte ţea acesteia, este reprezentat în Figura 3.3.

Fig. 3.3: Relaţia tensiune – zvelte ţe pentru bara comprimat ă f ără imperfecţiuni

3.2 Efectul imperfecţ imperfecţiunilor În structurile reale, imperfec ţiunile nu pot fi evitate şi, în general, cedarea se produce înainte de atingerea valorii înc ărcării critice, aşa cum a fost definit ă  anterior. Imperfecţiunile pot fi

clasificate în dou ă  tipuri: imperfecţiuni geometrice (curburi ale elementelor, excentricit ăţi ale  încărcărilor) şi imperfecţiuni de material (tensiuni reziduale). Pentru a determina efectul imperfec ţiunilor, se consider ă  bara comprimata din Figura 3.4a (daSilva ş.a., 2010), cu o configuraţie iniţial deformată cu o curbur ă sinusoidal ă:  π  x     L  

(3.8)

 y 0 = e0 sin 

Ecuaţia diferenţială a echilibrului barei dublu-articulate cu imperfec ţiuni este: 2

 EI 

d   y dx 2

+ N ( y +  y0 ) = 0  

(3.9)

a) Deformata ini ţială sinusoidală b) relaţia încărcare – deplasare laterala Fig. 3.4: Bara cu imperfec ţiune iniţială (daSilva ş.a., 2010)  L)=0, Introducând expresia (3.8) în ecua ţia (3.9) şi considerând condi ţiile de margine  y(0)=0 şi y( L se obţine următoarea soluţie:  y =

e0  N cr   N 

 π  x      L  

sin  −1

(3.10)

 în care N cr   este încărcarea critica elastic ă Euler. cr  este Ecuaţia deformatei totale a elementului se ob ţine funcţie de încărcarea aplicata  N  cu  cu formula:  yt  =  y +  y0 =

1 1−

 N 

 π  x     L  

e0 sin 

 N cr 

Valoarea maxim ă, notată cu e, care se ob ţine pentru x= L /2, este dată de formula:

(3.11)

e=

e0  N 

1−

 

(3.12)

 N cr 

O deformat ă iniţială a barei, chiar pentru valori reduse ale for ţei axiale  N , produce un moment  încovoietor, dat de formula:  M ( x ) =  N ( y +  y0 ) =  N 

1−

1  N 

 π  x      L  

e0 sin 

(3.13)

 N cr 

care cauzeaz ă o creştere progresiva a deplas ării laterale. Relaţia dintre deplasarea lateral ă maximă şi încărcarea aplicat ă este reprezentat ă în Figura 3.4.b. Pentru un element cu un comportament de material perfect elastic, cu o configura ţie iniţială deformată, deplasările încep s ă crească de la valori reduse ale înc ărcării, în mod asimptotic, pe măsură  ce încărcarea aplicat ă  tinde spre înc ărcarea critică  (pentru bara f ără  imperfecţiuni). În aceast ă situaţie, nu mai exist ă punct de bifurcare a echilibrului. Referitor la imperfecţiunile de material, în cazul elementelor din o ţel, tensiunile reziduale apar datorită răcirii diferenţiate pe secţiunea transversal ă, în urma laminării la cald sau a altor procese tehnologice care implic ă temperaturi înalte (sudare, t ăiere cu flacără etc.), sau în urma form ării secţiunilor transversale la rece prin îndoire. Aceste tensiuni schimb ă comportamentul sec ţiunii transversale pe ansamblu, chiar dac ă formează un sistem în echilibru, a şa cum se arat ă în Figura 3.5 (daSilva ş.a., 2010), în care se exemplific ă  distribuţia tensiunilor reziduale care apar pe secţiunea transversal ă a unui profil I în urma lamin ării la cald.

compresiune  întindere

Fig. 3.5: Tensiuni reziduale într-un profil I laminat la cald (daSilva ş.a., 2010) Figura 3.6 (daSilva ş.a., 2010) ilustreaz ă  rezultatele unor teste experimentale pe bare comprimate, având zvelte ţi diferite, în comparaţie cu comportamentul teoretic al elementelor f ără imperfecţiuni (ECCS, 1976). Se observ ă că  pentru valori reduse ale zvelte ţii relative, cedarea barei se produce prin plastificarea sec ţiunii transversale (valorile raportului tensiune / limit ă de curgere mai mari decât unitatea apar datorit ă ecruisării). Pentru valori mari ale zvelte ţii relative, cedarea se produce prin flambaj în domeniul elastic, imperfec ţiunile neavând o influen ţă importantă. Pentru valori intermediare ale zvelte ţii relative, cedarea se produce prin flambaj elasto-plastic. Acesta este domeniul în care imperfec ţiunile joacă  un rol important, în care rezultatele experimentale deviaz ă mult de la curba teoretic t eoretică.

Calculul rezisten ţei barelor comprimate centric în SR EN 1993-1-1, se bazeaz ă  pe curbele europene de flambaj (ECCS, 1977), care rela ţionează raportul tensiune şi limita de curgere (dat ă de factorul de reducere  χ  = σ  / f  y) şi zvelteţea adimensional ă λ . Ca rezultat al unui important program experimental şi numeric (ECCS, 1976), care a considerat toate imperfec ţiunile posibile ale elementelor reale (curbura ini ţială, excentricitate a înc ărcării, tensiuni reziduale), au fost stabilite cinci curbe de flambaj, func ţie de tipul sec ţiunii transversale t ransversale şi axa principal ă a secţiunii transversale dup ă  care se produce flambajul. Imperfec ţiunile au fost definite statistic în urma unei campanii extinse de m ăsurători (Strating şi Vos, 1973) care a permis adoptarea unor imperfecţiuni iniţiale sinusoidale în simul ările numerice.

curba Euler

Fig. 3.6: Rezultate experimentale pe elemente comprimate (daSilva ş.a., 2010) Formularea analitică a curbelor de flambaj (determinarea factorului de reducere  χ ), ), prezentat ă în continuare, a fost realizat ă de către Maquoi şi Rondal (1978), fiind bazat ă pe formula AyrtonPerry, considerând o deformat ă iniţială  sinusoidală, în care amplitudinea deformatei a fost calibrată astfel încât s ă reproducă efectul tuturor imperfecţiunilor. Pentru a calcula factorul de reducere  χ , se consider ă  elementul comprimat centric, dubluarticulat, cu o configura ţie a deformatei ini ţiale sinusoidal ă, dată de formula (3.8). Considerând că elementul nu are tensiuni reziduale, plastificarea fibrelor extreme ale sec ţiunii transversale se produce când este îndeplinit ă următoarea condi ţie:  N max  A

+

 N max e W el

=  f  y  

(3.14)

 în care:  N max max e W el el

este valoarea maxim ă a forţei de compresiune  N  (limitat  (limitată de N cr  cr ); este deplasarea lateral ă corespunz ătoare forţei N max max; este modulul de rezisten ţă elastic al sec ţiunii transversale t ransversale..

Relaţia poate fi scris ă într-o forma adimensional ă înlocuind amplitudinea deformatei cu formula (3.12) şi împărţind toţi termenii la f  y:  N max  N  pl

+

 N max e0 A

   N   N  pl    W el 1 − max   N  pl  N cr   N  pl    

= 1 

(3.15)

Dacă se noteaz ă  χ  =  N max  /  N  pl  se obţine:

 χ  +

 χ  e0 A = 1  2 W  (1 − χ λ  ) el

(3.16)

sau 2

(1 − χ )(1 − χ λ  ) =

e0 A W el

 χ  = ηχ 

(3.17)

care reprezint ă  forma de baz ă  a ecuaţiei Ayrton-Perry (Maquoi şi Rondal, 1978). Nota ţia η reprezintă imperfecţiunea generalizat ă iniţială  care poate fi utilizat ă pentru estimarea efectelor tuturor imperfecţiunilor care apar într-un element real. Deoarece influen ţa unora dintre aceste imperfecţiuni este legat ă  de lungimea elementului, s-a ales exprimarea termenului η  prin următoarea formulă:

η  = α (λ  − 0.2)  

(3.18)

 în care factorul de imperfec ţiune α depinde de forma sec ţiunii transversale, axa principal ă după care se produce flambajul etc., iar 0.2 define şte lungimea platoului în lungul c ăruia factorul de reducere  χ  are  are valoare unitara. Formula (3.17) poate fi astfel rescris ă astfel: 2

(1 − χ λ  )(1 − χ ) = ηχ  = αχ (λ − 0.2)  

(3.19)

iar soluţia minimă a ecua ţiei este: 2

 în care

φ  − φ 2 − λ     χ  = λ 2

(3.20)

2

φ  = 0.5[1 + α (λ  − 0.2) + λ  ]  

(3.21)

Expresia finală  a factorului de reducere, care ţine cont de riscul de pierdere al stabilit ăţii elementului comprimat prin încovoiere, a şa cum se reg ăseşte şi în SR EN 1993-1-1, este (func ţie de zvelteţea adimensional ă şi de factorul de imperfec ţiune):

 χ  =

1 2

2

 

(3.22)

φ  + φ  − λ 

3.3 Flambajul prin ră răsucire. Flambajul prin încovoiere-ră încovoiere-răsucire Aşa cum s-a ar ătat în paragraful 2.2, în cazul barelor cu sec ţiune transversal ă  deschis ă, este posibil ca rezisten ţa barei la flambaj prin r ăsucire sau prin încovoiere-r ăsucire să fie inferioar ă rezistenţei la flambaj prin încovoiere. î ncovoiere. Încărcarea critică de flambaj prin r ăsucire pentru elemente comprimate centric se calculeaz ă cu formula:

 N cr ,T =

1 

 GI t +

io 2 

π 2 EI w   

 

LT 2 

(3.23)

Încărcarea critică  de flambaj prin încovoiere-r ăsucire pentru elemente comprimate centric se calculează cu formula (a se vedea Figura 2.9c):  N cr ,TF =

1   ( Ncr , y + N cr ,T ) − ( N cr , y + N cr ,T ) 2 − 4 β N cr, y N cr cr,T      2 β   

(3.24)

 în care: este raza de gira ţie polară, io2 = yo2 + ( I y + I z ) /  A ; G I t t  este rigiditatea la torsiune a sec ţiunii transversale;  I t este momentul de iner ţie la răsucire liberă al secţiunii transversale;  E I w este rigiditatea la r ăsucire împiedicat ă a secţiunii transversale;  I w este momentul de iner ţie la răsucire împiedicat ă al secţiunii transversale;  LT  este o lungime de flambaj echivalent ă care depinde de condi ţiile de rezemare din punct de vedere al r ăsucirii şi deplanării la capetele sec ţiunii;  N cr,y este încărcarea critică pentru flambaj prin încovoiere dup ă axa de iner ţie  y-y a secţiunii cr,y transversale (axa  y-y este ax ă de simetrie); Atunci când sec ţiunea este simetric ă dup ă axa z-z, în ecuaţia (3.24), N cr,y cr,y trebuie înlocuit cu  N cr,z cr,z. 2  β   yo / io) , în care  yo este distan ţa în este un factor care se calculeaz ă  cu formula  β   =1−( y lungul axei y dintre centrul de t ăiere şi centrul de greutate al sec ţiunii transversale. io

În Anexa I se prezint ă coeficientul de zvelte ţe transformat pentru barele cu sec ţiuni cu o ax ă de simetrie supusă la compresiune axial ă care flambeaz ă prin încovoiere-r ăsucire.

3.4 Determinarea caracteristicilor eficace a secţ secţiunilor transversale pentru profile cu pereţ pereţi subţ subţiri În secţiunea 2.4 s-au prezentat problemele specifice de stabilitate pentru profilele din o ţel cu pereţi subţiri. Reducerea rigidit ăţii barei cu sec ţiune transversal ă  de acest tip, ca urmare a voalării, poate fi modelat ă cu ajutorul unei sec ţiuni transversale reduse a profilului în compara ţie iune eficace ” şi se obţine evaluând cu secţiunea sa brut ă. Această secţiune se nume şte “sec ţ iune “lăţ imile imile eficace” ale pereţilor. Pentru definirea l ăţimii eficace de perete, se poate utiliza exemplul unui element comprimat. De exemplu, inima profilului se comport ă  ca o plac ă  rectangular ă  lungă, perfect plan ă iniţial, articulată după  cele dou ă  laturi longitudinale şi supusă  în sens longitudinal unei solicit ări de compresiune uniform ă (a se vedea Figura 3.7). Când aceast ă compresiune uniform ă dep ăşeşte efortul unitar critic de voalare σ cr   al plăcii, apar unde de voalare care se amplific ă pe măsură ce creşte tensiunea. Fibrele longitudinale situate în zona undelor, datorit ă  curburii lor, prezint ă  o rezistenţă  mai mică  la compresiune, care se va descărca asupra zonelor mai rigide, c ătre reazeme. Rezult ă  o diagramă  de efort unitar care prezintă  o adâncitur ă la mijlocul lungimii ei, respectiv valori majorate c ătre reazeme. În final, aceste valori majorate pot atinge limita elastic ă a materialului f  y (a se vedea Figura 3.8).

Fig. 3.7: Voalarea pere ţilor comprimaţi σ2max = f y

f y< σ1max < σcr σ2max

σ1max σ

b b b Fig. 3.8: Starea de efort unitar într-un perete plan care voaleaz ă Pornind de la aspectul diagramelor din Figura 3.8, a ap ărut ideea înlocuirii pl ăcii în stare voalat ă prin două fâşii longitudinale, având fiecare l ăţimea beff  /2 şi reprezentând zona eficace (activ ă) a secţiunii. Astfel, rezult ă  efortul unitar majorat σ max   considerat uniform pe întreaga l ăţime eficace, aşa cum se vede din Figura 3.9. σmax σmed

σmax

P>Pcr

P>Pcr

σx(y)

bef/2

y

y

x

x P>Pcr b

a

P>Pcr

bef/2

b

a

Fig. 3.9: Sec ţiunea eficace a unui perete voalat Se admite c ă rezistenţa ultimă a plăcii se atinge atunci când σ max  devine egal cu  f  y. Pentru a determina lăţimea eficace beff  a  a pl ăcii în stare limit ă ultimă, se utilizeaz ă ipoteza lui Von Karman (autorul conceptului de l ăţime eficace) conform c ăreia tensiunea σ max corespunzând domeniului post – critic, este egal ă  cu tensiunea critic ă  elastică corespunzând l ăţ imii imii eficace, deci σ max = (σ cr )eff  .

Ştiind că în general tensiunea critic ă de voalare a pl ăcii se scrie: 2

  π 2 E     t     σ cr  = k σ   b p  12( 1 − υ 2 )    

rezultă:

(3.25)

σ max = (σ cr )eff

π 2 E  t  = k σ   12(1 − υ 2 )  beff

2

  b p  = σ cr      beff  

2

      

(3.26)

 în care: k σ  σ   E 

ν 

este coeficient de voalare; este modul de elasticitate; este coeficientul lui Poisson.

La starea limit ă ultimă: 2

 b  σ max = (σ cr )ef  .  p  =  f y    beff    

(3.27)

sau: beff  b p

= ρ  =

σ cr  f y

 

(3.28)

Deci, conform ultimei rela ţii, lăţimea eficace, beff , se ob ţine înmulţind lăţimea plană  totală a plăcii, b p, cu un coeficient de reducere  ρ  ≤ 1  (deci beff = ρ ⋅ b p ), în care:

 ρ  = iar λ  p =

 f  y

σ cr 

σ cr   f  y

=

1

λ  p

 

(3.29)

 este zvelte ţea redusă de placă.

Coeficientul de voalare k σ   ia valori diferite func ţie de modul cum este rezemată placa şi de tipul solicitării în planul pl ăcii (compresiune, încovoiere, forfecare). Astfel, se poate face deosebirea  între pereţii rigidizaţi (plăci rezemate pe cele dou ă  laturi longitudinale) şi pereţii nerigidizaţi (plăci rezemate pe o singur ă latură longitudinal ă). Pe baza l ăţimilor eficace determinate, se pot obţine mai departe caracteristicile eficace ale sec ţiunii. Procedeul de fabrica ţie influenţează anumite caracteristici mecanice şi geometrice ale profilelor formate la rece. În primul rând, formarea la rece produce modificarea curbei caracteristice a oţelului. Prin ecruisare, laminarea la rece conduce la cre şterea limitei de curgere, uneori şi a rezistenţei la rupere, fenomen mai accentuat în col ţurile profilelor şi apreciabil în inimi şi tălpi. Presarea la rece las ă aceste caracteristici aproape neschimbate în inimi şi tălpi. Profilele laminate la cald sunt afectate de tensiuni reziduale de tip membran ă, care depind de forma secţiunii transversale şi au o influen ţă  semnificativă  asupra comportamentului la stabilitate. De aceea, tensiunile reziduale au constituit factorul cel mai important pentru  încadrarea profilelor laminate la cald pe diferite curbe de flambaj în normele de calcul europene. În cazul profilelor formate la rece, tensiunile reziduale sunt în principal de încovoiere, iar influenţa acestora asupra comportamentului la stabilitate este mai pu ţin importantă decât cele de tip membrană. Pe de alt ă parte, procedeul de formare la rece influen ţează mărimea tensiunilor reziduale; laminarea la rece produce tensiuni reziduale de încovoiere mai mari decât presarea la rece. Datorită faptului că proprietăţile mecanice ale profilelor formate la rece sunt diferite de cele ale profilelor formate la cald, ar trebui luate în considerare curbe de flambaj distincte, dar pentru

simplitatea procesului de proiectare se utilizeaz ă aceleaşi curbe de flambaj ca şi pentru profilele formate la cald. În Figura 3.10 se prezint ă comparaţia dintre curbele de flambaj pentru un profil C solicitat la compresiune, calculate în conformitate SR EN 1993-1-1, considerând caracteristicile brute ale secţiunii transversale (f ără considerarea flambajului local) şi caracteristicile reduse ale sec ţiunii (caz în care se produce interac i nterac ţiunea dintre modul sec ţional şi cel global). N=N/Npl (Npl=A×f y)

NE (Euler)

Eroziune datorita imperfectiunilor + efectul voalarii

Eroziune datorita imperfectiunilor

1.0

Sectiune bruta (A)

N=Aeff  /A<1

Sectiune redusa (Aeff ) 0

0.2

1.0

2.0 Zveltete element ( λ )

Fig. 3.10: Efectul voal ării pereţilor secţiunii transversale asupra capacit ăţii portante a unui profil comprimat

3.5 Verificarea la flambaj a barelor comprimate centric în conformitate cu SR EN 1993-1-1 În conformitate cu clauza 6.2.4 (1) din SR EN 1993-1-1, rezisten ţa secţiunii transversale a unui element încărcat axial centric se verific ă cu următoarea formulă:  N  Ed   N c , Rd 

≤ 1.0  

(3.29)

 în care N  Ed  este valoarea de calcul a efortului de compresiune pe sec ţiune şi N c,Rd  c,Rd  este valoarea de calcul a rezisten ţei secţiunii transversale, dat ă  de 6.2.4(2) din SR EN 1993-1-1, dup ă  cum urmează: -

pentru secţiunile transversale din Clasa1, 2 sau 3  N c.Rd = A f y  / γ  M 0   

-

(3.30)

pentru secţiunile transversale din Clasa 4  N c.Rd = Aeff f y  / γ  M 0   

(3.31)

 în care  A  este aria brut ă  a secţiunii transversale,  Aeff   este aria eficace a sec ţiunii transversale pentru o secţiune de clasa 4, iar γ M0  este coeficientul par ţial de siguran ţă  pentru rezistenţa

secţiunilor transversale. În evaluarea  N c,Rd  c,Rd , găurile pentru şuruburi pot fi neglijate, dac ă în acestea se afla şuruburi de prindere, cu excep ţia g ăurilor ovalizate şi a celor de dimensiuni mari, aşa cum sunt definite în EN 1090. Caracteristicile eficace ale sec ţiunilor de clas ă 4 se calculeaz ă  în conformitate cu normele normele SR EN 1993-1-3 şi SR EN 1993-1-5 şi se prezintă în subcapitolul. În Anexa VI se prezint ă  clasificarea sec ţiunilor transversale în clase de sec ţiuni, funcţie de supleţea pereţilor secţiunii şi de distribuţia şi semnul tensiunilor σ . Pentru elemente comprimate trebuie verificat ă de asemenea rezisten ţa la flambaj cu urm ătoarea formula:  N  Ed   N b, Rd 

≤1  

(3.32)

 în care  N b,Rd  b,Rd  este rezisten ţa de calcul a elementului comprimat la flambaj, care controleaz ă, de obicei, dimensionarea sec ţiunii transversale t ransversale.. Rezistenţa de calcul la flambaj a unei bare comprimate este egal ă cu: - pentru secţiunile transversale din Clasa1, 2 sau 3  N b, Rd =  χ A f y

-

/ γ  M 1  

(3.33)

 

pentru secţiunile transversale din Clasa 4  N b, Rd =  χ Aeff f y  / γ  M 1   

(3.34)

 în care  χ  este   este factorul de reducere pentru modul de flambaj considerat, iar γ M1 este coeficientul parţial de siguranţă pentru rezistenţa elementelor la flambaj. Aşa cum s-a ar ătat în paragraful 3.2, factorul de reducere se calculeaz ă cu formula: 1

 χ  =

2

2

, dar  χ  ≤ 1.0  

(3.35)

φ  + φ  − λ  2

În aceast ă expresie, φ  = 0.5[1 + α (λ  − 0.2) + λ  ] , iar zvelteţea adimensional ă  se calculeaz ă cu următoarele formule: - pentru secţiunile transversale din Clasa1, 2 sau 3 λ  =

-

 L 1  Af y  /  N cr  = cr  i λ 1

 

(3.36)

pentru secţiunile transversale din Clasa 4 λ  =

 Lcr   Aeff   /  A  Aeff f y  / N cr =   i λ 1

 

(3.37)

 în care: α  N cr  cr   Lcr 

este factorul de imperfecţiune; este efortul axial critic de flambaj elastic, corespunz ător modului de flambaj considerat, calculat pe baza caracteristicilor sec ţiunii transversale brute; este lungimea de flambaj corespunzătoare modului de flambaj considerat;

este raza de gira ţie a secţiunii transversale, corespunz ătoare modului de flambaj considerat; λ 1 = π  ( E  /  f  y ) = 93.9ε  ;

i

ε  = 235 /  f  y  cu f  y în N/mm2. Efectul imperfecţiunilor este inclus în factorul de imperfec ţiune α, care are valorile 0.13, 0.21, 0.34, 0.49 şi 0.76, pentru curbele de flambaj a 0, a, b, c, şi d, respectiv, în conformitate cu nota ţiile SR EN 1993-1-1 (curbele europene de flambaj) şi prezentate în Tabelul 3.1. Aceste curbe de flambaj, în formularea matematic ă dat ă de formula (3.35), sunt ilustrate în Figura 3.11. Factorul de imperfecţiune α şi curbele de flambaj asociate pentru proiectarea unui element comprimat centric depind de geometria sec ţiunii transversale, de calitatea o ţelului, de procesul de fabrica ţie şi de planul de flambaj, a şa cum se arat ă în Tabelul 3.2. Tabelul 3.1: Factorii de imperfec ţiune pentru curbele de flambaj Curba de flambaj a0 a b c d Factorul de imperfecţiune α

0.13

0.21

0.34

0.49

0.76

Fig. 3.11: Curbele de flambaj europene în conformitate cu SR EN 1993-1-1 În conformitate cu 6.3.1.2(4) din SR EN 1993-1-1, pentru valori ale zvelte ţii adimensionale mai mici de 0.2, sau dac ă  N  Ed  /  N cr  cr  < 0.04, flambajul poate fi neglijat şi elementele se dimensioneaz ă funcţie de rezisten ţa secţiunii transversale t ransversale.. Proiectarea elementelor comprimate centric care î şi pot pierde stabilitatea prin r ăsucire sau prin  încovoiere-răsucire se face în mod similar, prin înlocuirea zvelte ţii adimensionale λ  cu zvelte ţea adimensionala λ T  , calculat ă cu următoarele formule: − pentru secţiunile transversale din Clasa 1, 2 sau 3 λ T  =

 Af y  /  N cr   

− pentru secţiunile transversale din Clasa 4

(3.38)

λ T  =

 Aeff f y  /  N cr , 

(3.39)

 în care N cr   este cea mai mic ă dintre valorile  N cr,T   este efortul critic de flambaj cr  este cr,T  şi  N cr,TF  cr,TF , unde  N cr,T  cr,T  este elastic prin r ăsucire, iar  N cr,TF   este efortul critic de flambaj elastic prin încovoiere – r ăsucire (date cr,TF  este  în 3.2, respectiv, de formulele 3.23 şi 3.24). În Anexa I se prezint ă  modul de calcul al coeficientului de zvelte ţe transformat pentru barele cu sec ţiuni cu o ax ă de simetrie supuse la compresiune axial ă  care flambeaz ă  prin încovoiere-r ăsucire, pentru diverse tipuri de sec ţiuni. Pentru ambele moduri de flambaj, factorul de imperfec ţiune, α, se poate considera corespunz ător flambajului prin încovoiere dup ă axa minimă de inerţie z, aşa cum se arat ă în Tabelul 6.2 din SR EN 1993-1-1 şi prezentat în Tabelul 3.2 de mai jos. Tabelul 3.2: Alegerea curbei de flambaj pentru diverse sec ţiuni transversale (Tabel 6.2-SREN1993-1-1) Secţiune transversal ă 

  e    t   a   n    i   m   a    l   e    l    i    f   o   r    P

Limite

   2  .    1    >    b    /    h

   2  .    1       ≤    b    /    h

tf ≤ 40 mm

Curbă de flambaj Flambaj după S235 S275 axa S460 S355 S400 y-y a a0 z-z b a0

40 mm< tf ≤ 100 mm

y-y z-z

b c

a a

tf ≤ 100 mm

y-y z-z

b c

a a

tf > 100 mm

y-y z-z

d d

c c

     I    i    t   n   e   u   a    i       ţ    d   u   c   e   s    S

tf ≤ 40 mm

y-y z-z

b c

b c

tf >40 mm

y-y z-z

c d

c d

   i   e   n   r   a   u   l    i       ţ   u   c   e   b   u    S   t

finisate la cald

oricare

a

a0

formate la rece

oricare

c

c

 în general

oricare

b

b

grosime pereţi: a>0.5tf  b/tf <30 h/tf <30

oricare

c

c

   i      ş   e   n    T   i  ,    l   p    U   i    i   n   n   u   u   i       ţ    i       ţ   c   c   e   e    S   s

oricare

c

c

  r   e    i   n   r   o    C

oricare

b

b

  e   n   t   e   a   a   o   s   e   d   u    h   s    C

În ceea ce prive şte alegerea lungimii de flambaj a elementelor dintr-o structur ă, se face precizarea că  utilizarea valorilor pentru cazurile de rezemare ideal ă  a barelor prezentate în secţiunea 3.1, pot fi utilizate doar în cazuri izolate. Pentru cazul general al unui element într-o structură, pentru stabilirea înc ărcării critice şi implicit a lungimii de flambaj, poate fi utilizat ă teoria clasică  a barelor pe rezeme elastice. În baza acesteia, în Anexa II se prezint ă o metodologie de determinare a lungimilor de flambaj pentru stâlpii structurilor în cadre multietajate, iar în Anexa III se prezint ă tabele pentru determinarea lungimilor de flambaj pentru stâlpii structurilor parter cu sec ţiune constant ă  sau în trepte. De asemenea, în Anexa II, se prezintă  o metodă  de determinare a înc ărcării ultime de cedare (Metoda Merchant-Rankine) pentru structuri multietajate cu noduri rigide. De şi această  metodă  nu apare în norma SR EN 1993-1-1, s-a considerat util ă prezentarea acesteia, având în vedere caracterul practic al acesteia.

3.6 Voalarea elementelor realizate din plă plăci plane Efectul voal ării pereţilor (flambajul local) se ia în considerare prin utilizarea caracteristicilor geometrice eficace, determinate pe baza conceptului de l ăţime eficace ale pere ţilor componenţi expuşi fenomenului de voalare, a şa cum se arat ă  în SR EN 1993-1-3 şi SR EN 1993-1-5.  Aeff ,  I eff  Caracteristicile eficace ale sec ţiunilor transversale de clas ă 4 ( A eff , W eff  eff ) se utilizeaz ă în verificările secţiunilor transversale sau a elementelor la flambaj, respectiv în determinarea rigidităţii acestora, conform SR EN 1993-1-1. Acestea se determin ă pe baza distribu ţiei liniare a tensiunilor în sec ţiune, cu atingerea limitei de curgere în planul median al pl ăcii comprimate. Caracteristicile sec ţiunii eficace ale elementelor se bazeaz ă  pe ariile eficace ale elementelor comprimate şi pe ariile eficace ale elementelor întinse datorit ă efectului de „shear lag”. Aria efectivă,  Aeff , se determinat ă  presupunând c ă secţiunea transversal ă  este supus ă  doar la tensiuni din compresiunea axial ă uniformă. Pentru secţiunile nesimetrice, are loc deplasarea, eN, a centrului de greutate al ariei eficace  Aeff  în   în raport cu centrul de greutate al sec ţiunii brute, aşa cum se arat ă în Figura 3.12, ceea ce conduce la un moment încovoietor suplimentar, care trebuie luat în considerare la verificarea sec ţiunii transversale, a şa cu se va prezenta în 5.3. G centrul de greutate greutate al secţiunii brute G´ centrul de greutate al 2 G´ secţiunii eficace e  1 1 axa neutră a secţiunii G G brute 3 2 axa neutră a secţiunii eficace Secţiune transversal ă brută Secţiunea transversal ă eficace 3 zonă neeficace Fig. 3.12: Sec ţiune transversal ă de clas ă 4 solicitat ă la compresiune 3

N

Modulul de rezisten ţă  al secţiunii eficace W eff  eff   se determin ă  presupunând c ă secţiunea transversală  este solicitat ă  doar la încovoiere, a şa cum se prezint ă  în Figura 3.13. Pentru  încovoiere biaxială  module de rezisten ţă  eficace trebuie determinate pentru ambele axe principale.

3

1

2

G

G´

G centrul de greutate al al secţiunii brute G´ centrul de greutate al sec ţiunii eficace 1 axa neutră a secţiunii brute 2 axa neutră a secţiunii eficace 3 zonă neeficace

3

1

2

G

G´

Secţiunea transversal ă brută Secţiunea transversal ă eficace Fig. 3.13: Sec ţiune transversal ă de clas ă 4 solicitat ă la încovoiere Ariile eficace ale elementelor comprimate plane se vor ob ţine folosind Tabelul 4.1 pentru elemente comprimate rezemate pe dou ă  laturi şi Tabelul 4.2 pentru elemente comprimate în consol ă. Aria eficace a zonei comprimate a unei pl ăci cu secţiunea brută Ac se va ob ţine din:  Ac,eff  =  =  ρ Ac 

(3.40)

unde  ρ este factorul de reducere care ţine cont de voalarea pl ăcii. Factorul de reducere  ρ poate fi considerat dup ă cum urmeaz ă: – pentru elemente interne comprimate:  ρ = 1.0 pentru λ  p ≤ 0.673  

 ρ  = –

unde ψ  b

k σ

λ p − 0, 05 055 (3 + ψ ) 2

λ  p

≤ 1.0 pentru λ  p > 0.673 , unde (3 + ψ ) ≥ 0  

pentru elemente comprimate în consol ă: pentru λ  p ≤ 0.748    ρ = 1.0 λ  − 0.188 ≤ 1.0 pentru λ  p > 0.748    ρ  =  p 2 λ  p

λ  p =

 f  y

=

(3.41a) (3.41b)

(3.42a) (3.42b)

b / t 

σ cr  28.4 ε  k σ  este raportul de tensiuni; este lăţimea peretelui (pentru defini ţii, vezi Tabelul 5.2 din SR EN 1993-1-1) bw pentru inimi; b pentru elemente interne de talp ă (exceptând sec ţiunile tubulare rectangulare); b - 3 t  pentru tălpi ale secţiunilor tubulare rectangulare (RHS); c pentru tălpi în consol ă; pentru corniere cu aripi egale; h h pentru corniere cu aripi inegale; este coeficientul de pierdere a stabilit ăţii corespunz ător raportului de tensiuni ψ  şi condiţiilor de margine ( k σ se prezint ă în Tabelul 3.3 sau Tabelul 3.4, dup ă caz);

este grosimea; este efortul unitar critic de voalare; 235 ε  =  = .  f y  N / mm2 

t  σ cr cr

Tabelul 3.3: Elemente comprimate rezemate pe dou ă laturi Distribuţia tensiunilor (compresiune pozitiv ă) Lăţimea eficace beff  σ 1

σ 2 b e1

ψ  =  = 1: beff  = b  =  ρ     be1 = 0.5 beff 

b e2 b 

σ 1

1 > ψ  ≥ 0:  =  ρ     beff  = b 2 be1 = b 5 − ψ  eff 

σ 2 b e1

b e2 b  b c

ψ  < 0: beff  = b / (1-ψ )  =  ρ bc =  ρ     be1 = 0.4 beff  be2 = 0.6 beff 

σ 2

b e2 b

ψ  = σ 1  = σ 2 / σ 

1

Factor de voalare k σ

be2 = beff   - be1

b t

σ 1 b e1

be2 = 0.5 beff 

1 > ψ  > 0

0

0 > ψ  > -1

-1

-1 > ψ  >  > -3

4.0 8.2 / (1.05 + ψ ) 7.81 7.81 – 6.29 ψ  +  + 9.78ψ 2 23.9 5.98 (1 - ψ )2

Tabelul 3.4: Elemente comprimate în consol ă Distribuţia tensiunilor (compresiune pozitiv ă) Lăţimea eficace beff  b eff

σ 2

σ 1

1 > ψ  ≥ 0: beff  =  =  ρ c

σ 1

ψ  <  < 0: beff  =  =  ρ bc =  ρ c / (1-ψ )

c 

b t

b c

σ 2

b eff eff

1 0.43

ψ  = σ1   = σ 2 / σ 

Factor de voalare k σ

0 0.57

b eff

σ 1

-1 0.85

1 ≥ ψ  ≥ -3 0.57 – 0.21 ψ  +  + 0.07ψ 2

1 > ψ  ≥ 0: beff  =  =  ρ c

σ 2 c  b eff

ψ  < 0:  =  ρ bc =  ρ c / (1-ψ ) beff  =

σ 1 σ 2 bc

ψ  = σ 2 / σ  σ1 

Factor de voalare k σ

b t

1 0.43

1 > ψ  > 0 0.578 / (ψ  + 0.34)

0 1.70

0 > ψ  > -1 1.7 - 5ψ  +  + 17.1ψ 2 

-1 23.8

Pentru elemente de talp ă  ale secţiunilor de tip I şi închise, raportul de tensiuni ψ   utilizat în Tabelul 3.3 şi Tabelul 3.4 trebuie s ă  se bazeze pe propriet ăţile secţiunii transversale brute, datorită faptului că se permite efectul de „shear lag” în t ălpi, dacă e cazul. Pentru elemente de inimă raportul tensiunilor ψ  folosit  folosit în Tabelul 3.3 va fi ob ţinut utilizând o distribu ţie a tensiunilor bazată pe aria eficace a t ălpii comprimate şi aria brută a inimii.

3.7 Flambajul barelor compuse uniforme solicitate la compresiune centrică centrică Barele compuse cu sec ţiune uniformă se analizeaz ă în conformitate cu subcapitolul 6.4 din SR EN 1993-1-1.  3.7.1 Bare compuse compuse din ramuri pu ţ in in depă rtate

În cazul barelor comprimate compuse ale c ăror ramuri sunt în contact sau sunt pu ţin depărtate şi legate cu fururi, a se vedea Figura 3.14, sau ale c ăror ramuri sunt corniere dispuse în cruce şi legate prin perechi de pl ăcuţe, ele însăşi dispuse în cruce, a se vedea Figura 3.15, pot fi proiectate  împotriva pierderii stabilit ăţii ca o bară cu secţiune unitară, omogenă, neglijând efectul rigidit ăţii la forfecare (SV = ∞), cu condi ţia respect ării distanţei maxime dintre prinderi. Pentru elemente legate cu şuruburi sau cordoane de sudur ă, distanţa maximă este de 15 imin, iar pentru elementele legate cu perechi de pl ăcuţe, distanţa maximă  este de 70 imin, în care imin  este raza de gira ţie minimă a secţiunii transversale a unuia dintre elementele solidarizate. z

y

z

y

z

y

z

y

z

y

z

y y

z

y

z

Fig. 3.14: Bare compuse din elemente pu ţin depărtate

Fig. 3.15: Bare compuse din corniere dispuse în cruce legate prin perechi de pl ăcuţe în cruce  3.7.2 Flambajul elementelor elementelor componente ale ale barelor comprimate comprimate solidarizate solidarizate cu z ă brele  respectiv cu cu pl ă cu ţ e

În secţiunea 3.6.1 s-a prezentat cazul barelor compuse cu sec ţiune uniformă, ale căror ramuri sunt în contact sau sunt pu ţin depărtate şi legate cu fururi, pentru care se poate neglija efectul rigidităţii la forfecare (rigiditatea la forfecare se poate considera infinit ă). Verificarea de stabilitate pentru acest tip de bare se poate face la fel ca şi în cazul barelor uniforme cu sec ţiune unitară, încadrând sec ţiunea în curbele de flambaj corespunzătoare.

Barele cu sec ţiune compusă din elemente îndep ărtate pot fi realizate prin solidarizare cu z ăbrele sau cu pl ăcuţe, aşa cum se arat ă în Figura 3.16.

(a) (b) Fig. 3.16: Bare cu sec ţiune compus ă solidarizate cu (a) z ăbrele sau (b) pl ăcuţe Problema specific ă pentru acest tip de bare compuse este flambajul în raport cu axa care nu taie profilele care compun sec ţiunea transversal ă, deoarece rigiditatea la forfecare nu mai poate fi presupus ă  a fi infinită. Deformaţiile din forţa tăietoare în elementele de solidarizare sunt importante şi nu pot fi neglijate. Deforma ţiile din forţa tăietoare a elementelor de solidarizare reduc rigiditatea la încovoiere şi forţa critică  “capabilă” a barei compuse. For ţa critică a barei compuse poate fi determinat ă cu relaţia: 1

 N cr ,comp =

1  N cr 

+

1

1

=  N cr 

S v

1+

 N cr 

 

(3.43)

S v

 în care: este forţa critică Euler, calculat ă neglijând forfecarea cu formula

 N cr  cr 

 N cr  =  I eff  eff 

-

π 2 EI eff   L2

 

este momentul de inerţie efectiv a sec ţiunii compuse care se poate calcula astfel: pentru cazul barelor compuse cu z ăbrele: 2  I eff  = 0.5 Ach h0  

-

(3.45a)

pentru cazul barelor compuse cu pl ăcuţe  I eff = 0.5 Ach h02 + 2 µ I ch  

unde:  Ach h0

(3.44)

este aria secţiunii transversale a unei ramuri (a se vedea Figura 3.16); este distanţa între centrele de greutate ale ramurilor;

(3.45b)

 I ch ch S v

este momentul de iner ţie la încovoiere al unei ramuri în î n plan; este rigiditatea la forfecare a sistemului de solidarizare, cu z ăbrele sau pl ăcuţe: S v = GAech

unde: G este modulul de elasticitate transversal;  Aech este aria inimii pline echivalente a stâlpului, aşa cum se prezint ă în Figura 3.17.

Fig. 3.17: Sec ţiune compus ă echivalent ă (principiu de calcul) SR EN 1993-1-1 abordeaz ă  calculul de stabilitate al acestor tipuri de bare printr-un calcul de ordinul II, considerând efectul imperfec ţiunilor de ansamblu con ţinut intr-o deformată echivalentă sinusoidal ă cu o amplitudine ini ţială L /500, aşa cum se arat ă în Figura 3.18. Modelul de calcul al barei compuse se aplic ă dacă zăbrelele sau pl ăcuţele de solidarizare alc ătuiesc în lungul barei compuse panouri identice cu ramuri paralele şi există  minim trei panouri în bara compus ă. Aceste condi ţii minimale permit considerarea unei structuri ordonate ale c ărei elemente structurale discrete pot fi considerate ca un mediu continuu.

Fig. 3.18: Deformata ini ţială echivalent ă Relaţia de verificare a ramurilor sec ţiunii compuse se face cu expresia (6.4.2.1(1) din SR EN 1993-1-1):

 N ch, Ed    N b, Rd 

≤ 1.0  

(3.46)

 în care  N ch,Ed  ch,Ed   N b,Rd  b,Rd 

este valoarea valoarea de de calcul calcul a efortului de compresiune în ramur ă, care ac ţionează la jumătatea lungimii barei compuse; este valoarea de calcul a rezisten ţei ramurii la flambaj; lungimea de flambaj se consider ă distanţă între elementele de prindere; pentru cazuri speciale de alc ătuire a sistemului de solidarizare se consider ă valorile precizate în Figura 6.8 din SR EN 1993-1-1.

Efortul axial de calcul într-o ramur ă  N ch,Ed  ch,Ed   rezultă  prin suprapunerea efortului axial de compresiune al barei compuse care se distribuie pe ramurile sec ţiunii transversale, la care se adaugă forţa axială  rezultată  din efectul momentului de ordinul II, calculat func ţie de excentricitatea echivalent ă e0  la mijlocul înălţimii barei (a se vedea Figura 3.18). În calculul efortului  N ch,Ed  ch,Ed  intervine şi este rigiditatea la forfecare S v a modulelor de z ăbrele sau de pl ăcuţe de solidarizare, care se calculeaz ă  diferit pentru cele dou ă  cazuri (tabelul din Figura 6.9, respectiv formula (6.73) din SR EN 1993-1-1).  N ch, Ed = 0.5 N Ed + 

 M Ed h0 Ach

2 I eff 

 

(3.46)

 în care  I 

 N ⋅ e + M Ed   M  Ed  = +  Ed 0  N Ed N Ed 

1−

 N  Ed   M  Ed   I   M  Ed 

 N cr

−

S v

este valoarea de calcul a efortului de compresiune care ac ţionează în bara compus ă; este valoarea de calcul a momentului de încovoiere maxim, care ac ţionează la jumătatea lungimii barei compuse, luând în considerare efectele de ordinul doi; este valoarea valoarea de calcul calcul a momentului de de încovoiere maxim, care ac ţionează la jumătatea lungimii barei compuse, f ără a lua în considerare efectele de ordinul doi.

Anexa BB.1 din SR EN 1993-1-1 ofer ă informaţii pentru alegerea lungimilor de flambaj în cazul flambajului prin încovoiere a barelor din structurile cu z ăbrele. În general, pentru evaluarea rezistenţei la flambaj a t ălpilor grinzilor cu zăbrele, lungimea de flambaj  Lcr se poate lua egal ă cu lungimea efectiv ă  L, în afară  de cazul când o valoare inferioar ă  poate fi justificat ă  printr-o analiză. Lungimea de flambaj a unei t ălpi cu sec ţiune I sau H poate fi luat ă egală cu 0.9 L, pentru flambaj în planul structurii. Lungimea de flambaj a unei t ălpi cu sec ţiunea tubular ă, poate fi luat ă  L este egală cu 0.9 L atât pentru flambajul în plan perpendicular cât şi pentru flambajul în plan, plan, ( L lungimea efectiv ă în planul considerat). Lungimea efectiv ă în plan este distan ţa între dou ă noduri consecutive. consecutive. Lungimea efectiv ă în plan perpendicular este distan ţa între reazemele laterale, dac ă acestea exist ă, în afară  de cazul în care o valoare inferioar ă  este justificat ă  printr-o analiz ă. Zăbrelele pot fi calculate pentru flambajul în plan utilizând o lungime de flambaj inferioar ă lungimii lor efective, cu condi ţia ca tălpile să realizeze o încastrare adecvat ă la extremităţile lor şi ca prinderile la extremit ăţi s ă asigure un grad de fixare corespunz ător (cel puţin două şuruburi  în caz de prindere cu şuruburi). În aceste condi ţii, în structurile triunghiulare obi şnuite, lungimea de flambaj  Lcr  a zăbrelelor pentru flambajul în plan poate fi luat ă  egală  cu 0.9 L, cu excep ţia barelor alcătuite din corniere. În Anexa IV se prezint ă  lungimi de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu z ăbrele, conform STAS 10108/0-78, respectiv normei belgiene NB51-002.

În continuare se prezint ă  exemple de calcul ce acoper ă  partea teoretic ă  a acestui capitol, şi anume: Exemplul E.1. Verificarea stabilit ăţii generale a unui stâlp supus la compresiune uniform ă (flambaj); Exemplul E.2. Verificarea de pierdere a stabilit ăţii generale a unui element cu sec ţiunea de clasa 4 supus la compresiune uniform ă; Exemplul E.3. Determinarea rezistentei la flambaj a unui stâlp cu blocaje laterale; Exemplul E.4. Determinarea lungimii de flambaj a unui stâlp dintr-un cadru multietajat; Exemplul E.5. Determinarea lungimilor de flambaj pentru un stâlp in trepte; Exemplul E.6. Determinarea rezisten ţei la pierderea stabilit ăţii a unui element compus supus la compresiune uniformă; Exemplul E.7. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale sec ţiunii transversale a unui profil cu secţiune de tip C format ă la rece, solicitat ă la compresiune; Exemplul E.8. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale sec ţiunii transversale a unui profil cu secţiune de tip C format ă la rece, solicitat ă la încovoiere; Exemplul E.9. Calculul unui stâlp cu sec ţiune transversal ă de tip C format ă la rece, solicitat la compresiune.

EXEMPLE DE CALCUL E.1. Verificarea Verificarea stabilit s tabilităţ uniformă (flambaj) ăţiiii generale a unui stâlp supus la compresiune uniformă   Descrierea  Descrierea

problemei problemei

Se consider ă  o structur ă  parter. Stâlpul cadrului transversal este realizat din profile laminate I şi are în ălţimea de 6m. Rigla este realizat ă în solu ţie grindă cu z ăbrele rezemat ă articulat pe stâlp. Cadrele longitudinale sunt contravântuite. Se cere s ă  se facă  verificarea stabilităţii generale a stâlpului cadrului. 

Schema statică

N

 L

N

 L

 y  y

 z

 z

Figura E.1.1. Schema statica si lungimea de flambaj dup ă axele zz, respectiv yy   Datele

problemei problemei

Pentru verificarea de rezisten ţă şi flambaj flamb aj a stâlpului sunt necesare urm ătoarele date:  N  Ed  = 900 kN Forţa axială  L = 6,00 m Lungimea elementului Marca oţelului S355 Clasa secţiunii Clasa 1

  Determinarea  Determinarea

lungimii de flambaj

Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y); Lungimea de flambaj (y-y); Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z); Lungimea de flambaj (z-z)

 f  L_y = 2,00  Lcr,y = f  L_y × L = 12,00 m  f  L_z = 1,00  Lcr,z = f  L_z × L = 6,00 m

  Dimensiunile  şi caracteristicile geometrice ale

sec ţ iunii iunii transversale

HE 100 B - Marca S355; Înălţimea Lăţimea tălpilor Grosimea inimii Grosimea tălpilor Raza de racord Aria secţiunii transversale Momentul de iner ţie / yy Momentul de iner ţie / zz

h = 100,0 mm b = 100,0 mm t w = 6,0 mm t f f =    = 10,0 mm r  =  = 12,0 mm 2  A = 26,0 cm 4  I y = 450 cm 4  I z = 167 cm  z

r

tf  tw

 y

 y

h

 z b

Figura E.1.2. Sec ţiunea transversala 

Caracteristici mecanice - limita de curgere

Marca de oţel S355 Deoarece grosimea maxim ă a pereţilor secţiunii transversale este 10 mm ≤  40 mm, limita de curgere este  f  y = 355 N/mm2 SREN 1993-1-1 Tabel 3.1 

Coeficien ţ ii ii par  ţ iali iali de siguran ţă

γ  M 1 = 1,00 

SREN 1993-1-1 §6.1 (1)

Verificarea de d e rezisten ţă a sec ţ iunii iunii transversale a stâlpului

  Reziste  Rezisten n ţ a la compresiune

Pentru a determin ă rezistenţa de calcul a sec ţiunii transversale a stâlpului la compresiune uniformă se folose şte relaţia de defini ţie corespunz ătoare clasei de sec ţiune 1:  N c ,Rd  =

 A ⋅ f  y

γ  M 0

26 ⋅ 102 ⋅ 355 kN = = 923000 N = 923 kN 1, 0

SREN 1993-1-1 (6.10) După determinarea capacit ăţii portante se trece la verificarea condi ţiei:

 N  Ed   N c, Rd 

=

900 975 ≤ 1, 0 ⇒  Secţiunea verifică = 0, 97 923

SREN 1993-1-1 (6.9)  Rezisten n ţ a la flambaj prin încovoiere a elementului supus la compresiune uniform ă   Reziste

Pentru a determin ă  rezistenţa la flambaj a stâlpului  N b,Rd  b,Rd , este necesar ă  determinarea factorului de reducere pentru flambaj prin încovoiere  χ  corespunz   corespunzător curbei de flambaj pentru secţiunea transversal ă a stâlpului. Acest factor se determin ă cu ajutorul zvelte ţii relative λ. λ se calculeaz ă în funcţie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat şi rezistenţa de calcul a sec ţiunii transversale stâlpului la compresiune uniform ă. Se calculeaz ă folosind proprietăţile secţiunii transversale brute.   Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul modul de flambaj considerat considerat Ncr  Efortul critic de flambaj, elastic se determin ă folosind urm ătoarea relaţie de definiţie:  N cr , y =

π2 ⋅ E ⋅ I  y

 N cr , z =

=

 L2cr, y

π2 ⋅ E ⋅ I  z  L2cr , z

3,14 2 ⋅ 2,1 ⋅105 ⋅ 450 ⋅10 4 kN = 64704 N = 64, 7 kN 120002

3,142 ⋅ 2,1 ⋅105 ⋅167 ⋅10 4 kN = = 96049 N = 96 kN 60002

Efortul axial critic (3.4) unde  E  este   este modulul de elasticitate longitudinal , E  =   = 210000 N/mm 2 şi  Lcr  este lungimea de flambaj în planul de flambaj considerat,  Lcr,y = 12,00 m şi Lcr,z = 6,00 m   Zvelte ţ ea ea

relativă

Zvelteţea relativă se calculeaz ă cu ajutorul formulei: λ y =

λ z =

 A ⋅ f  y  N cr , y  A ⋅ f  y  N cr , z

26 ⋅ 1 0 2 ⋅ 3 5 5 = = 3,77 64704 26 ⋅102 ⋅ 355 = = 3,10 96049

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)  N cr Pentru elemente cu zvelte ţea λ ≤ 0.2 sau cu raportul  N  Ed /  N  cr ≤ 0.04 verificarea de pierdere a stabilit ăţii generale a elementului nu este necesar ă fiind suficient ă verificarea de rezisten ţă a secţiunii transversale t ransversale.. SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (4) 

Factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere

În cazul elementelor supuse la compresiune uniform ă  valoarea factorului de reducere χ  depinde de zvelte ţea redus ă λ  ce trebuie determinat ă ţinând seama de curbele de flambaj corespunzătoare: χ=

1 φ + φ2 − λ 2

însă χ ≤ 1

 în care: φ = 0, 5 ⋅ 1 + α ⋅ ( λ − 0, 2) + λ 2  ;

α este factor de imperfec ţiune.

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1) Pentru alegerea curbei de flambaj pentru sec ţiunea transversal ă  trebuie să luăm în considerare urm ătoarele condi ţii (SREN 1993-1-1 Tabelul Tabelul 6.2):

• HEB 100 – profil laminat;

100 = 1 ≤ 1, 2 ; b 100 mm ≤ 100 mm mm • Grosimea t ălpilor t  f  = 10 mm h

• Raportul

=

• Marca de o ţel S355 •

ăţ ii Pierderea stabilit ăţ  ii generale în jurul axei y-y Curba de flambaj b, factorul de imperfec ţiune α y =

0,34 (SREN 1993-1-1 Tabelul Tabelul 6.1);

2

φ y = 0, 5 ⋅ 1 + α y ⋅ ( λ y − 0, 2) + λ y  = 0.5 ⋅ 1 + 0, 34 ⋅(3 ( 3, 77 − 0, 2) + 3, 77 2  = 8, 213 χ y =

•

1 2

2

φ y + φ y − λ y

=

1 2

8, 213 + 8, 213 − 3, 77

2

= 0,0645

ăţ ii Pierderea stabilit ăţ  ii generale în jurul axei z-z Curba de flambaj c, factorul de imperfec ţiune α Z  =  = 0.49

( 3,10 − 0, 2) + 3,10 2  = 6, 016 φ z = 0, 5 ⋅ 1 + α z ⋅ ( λ z − 0, 2) + λ z2  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 49 ⋅(3 χ z =

1 2

2

=

φ z + φz − λ z

1 2

6, 016 + 6, 016 − 3,10

2

= 0,0895

χ  =  = min (1.0, χ  y y, χ  z z) = 0.0645 (în cazul în care χ  >  > 1 atunci χ  =  = 1)   Rezisten ţ a

la flambaj

Rezistenţa la flambaj se determin ă cu următoarei relaţie:  N b, Rd  = χ ⋅

26 ⋅102 ⋅ 355 = 0, 0645 ⋅ = 59533 N = 59, 5 kN 1,00 γ 

 A ⋅ f  y

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3) Verificarea condi ţiei:  N  Ed   N b, Rd 

=

900 = 15, 2 ≥ 1 ⇒ elementul nu verific ă şi trebuie aleas ă o altă secţiune 59.3

transversală (profil). SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (1) Observa ţ ie: ie: Cu toate ca elementul satisface cerin ţele de rezisten ţă, rezistenţa la pierderea stabilităţii generale este dep ăş it ă  de peste 15 ori ceea ce subliniaz ă  necesitatea efectu ării verificărilor de stabilitate în cazul elementelor elementelor de o ţel. În concluzie este nevoie s ă alegem o alt ă sec ţiune transversal ă. Vom Vom alege HEB 220.   Dimensiuni  şi caracteristici geometrice ale

HE 220 B - Marca de o ţel S355; Înălţimea; Lăţimea tălpilor Grosimea inimii Grosimea tălpilor Raza de racord Aria secţiunii transversale Momentul de iner ţie / yy Momentul de iner ţie / zz   Efortul

sec ţ iunii iunii transversale

h = 220,0 mm b = 220.,0 mm t w = 9,5 mm t f f =    = 16,0 mm r  =  = 18,0 mm 2  A = 91,0 cm 4  I y = 8091 cm 4  I z = 2843 cm

critic de flambaj N cr  cr 

Efortul critic de flambaj, elastic se determin ă folosind următoarea relaţie de defini ţie:  N cr , y =

π2 ⋅ E ⋅ I  y  L2cr , y

3,14 2 ⋅ 2,1 ⋅105 ⋅ 8091⋅ 10 4 = = 1163371 N = 1163 kN 120002

 N cr , z =

π2 ⋅ E ⋅ I  z

3,14 2 ⋅ 2,1 ⋅10 5 ⋅ 2834 ⋅10 4 = = 1629956 N = 1630 kN 60002

 L2cr , z

Efortul axial critic (3.4) unde, E este modulul de elasticitate longitudinal  E  =   = 210000 N/mm 2 şi  Lcr  este   este lungimea de flambaj în planul de flambaj considerat,  Lcr,y = 12,00 m şi Lcr,z = 6,00 m   Zvelte ţ ea ea

relativă  A ⋅ f  y

λ y =

 N cr , y  A ⋅ f  y

λ z =

 N cr , z

91 ⋅ 10 2 ⋅ 355 = = 1,666 1163371 91 ⋅102 ⋅ 355 = = 1,408 1629956

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1) 

Factorul de reducere

Pentru alegerea curbei de flambaj pentru sec ţiunea transversala trebuie s ă  luam în considerare urm ătoarele condi ţii (SREN 1993-1-1 Tabelul Tabelul 6.2): HEB 220 – profil laminat • h 220 = 1 ≤ 1, 2 • Raportul = b 220 mm ≤ 100 mm mm • Grosimea tălpilor t  f  = 16 mm Marca de o ţel S355 • • Pierderea stabilit ăţii generale în jurul axei y-y: Curba de flambaj b, factorul de imperfec ţiune αy = 0,34 (SREN 1993-1-1 Tabelul Tabelul 6.1); φ y = 0, 5 ⋅ 1 + α y ⋅ ( λ y − 0, 2) + λ 2y  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 34 ⋅ (1, 666 − 0, 2) +1, 666 2  = 2,137 χ y =

•

1 2

2

φ y + φ y − λ y

=

1 2,137 + 2,137 2 − 1, 666 2

= 0,288

Pierderea stabilit ăţii generale în jurul axei z-z: Curba de flambaj c, factorul de imperfec ţiune α Z  =  = 0.49 φ z = 0, 5 ⋅ 1 + α z ⋅ ( λ z − 0, 2) + λ z2  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 49 ⋅(1, 408 − 0, 2) +1, 408 2  =1, 784 χ z =

1 2

2

=

φ z + φz − λ z

1 2

1, 748 + 1, 748 − 1, 408

 χ  = min (1,0, χ  y  y, χ  z  z) = 0,288   Rezisten ţ a la flambaj

2

= 0.346

(în cazul în care χ  >  > 1 atunci χ  =  = 1)

Rezistenţa la flambaj se determin ă cu următoarei relaţie:  N b,Rd  = χ ⋅

 A ⋅ f  y

γ 

= 0, 288 ⋅

91 ⋅ 102 ⋅ 355 = 930384 N = 930 kN 1,00

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3) Verificarea condi ţiei:  N  Ed   N b, Rd 

=

900 = 0, 968 ≤ 1 ⇒ elementul verific ă 930

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (1)

ăţiiii generale E.2. Verificarea Verificarea de pierdere a stabilit s tabilităţ ge nerale a unui element element cu secţ secţiunea de clasa 4 supus la compresiune uniformă uniformă   Descrierea  Descrierea

problemei problemei

Se consider ă o grinda cu z ăbrele cu diagonale în V cu t ălpi paralele realizat ă  din ţeavă pătrată  formata la rece. T ălpile executate din SHS 350 x 350 x 12. Se cere s ă  se efectueze verificarea la flambaj a diagonalei comprimate realizate din SHS 200 x 200 x 5. 

Schema statică N

L

Figura E.2.1. Schema statica Element dublu articulat.   Datele

problemei problemei

Pentru verificarea de rezisten ţă a stâlpului sunt necesare urm ătoarele date:  N  Ed  = 1000 kN Forţa axială Lungimea elementului  L = 2.75 m Marca oţelului S355   Dimensiunile  şi caracteristicile geometrice ale

SHS 300 x 300 x 5 – Marca S355; Înălţimea Lăţimea Grosimea Aria secţiunii transversale Clasa secţiunii Aria eficace Momentul de iner ţie / yy Momentul de iner ţie / zz   Determinarea  Determinarea

sec ţ iunii iunii transversale

h = 200.0 mm b = 200.0 mm t  =  = 5.0 mm 2  A = 39.0 cm

Clasa 4 (ex.2) 2  Aeff  = 35.22 cm 4  I y = 2,473 cm 4  I z = 2,473 cm

clasei de sec sec ţ iune iune

Pentru a determină clasa secţiunii transversale trebuie calculat ă supleţea pereţilor comprimaţii. Toţi pereţii secţiunii sunt pere ţi interiori supuşi la compresiune. Parametrul ε depinde de limita de curgere a m ărcii de oţel: ε=

235 235 = = 0.81 355  f y [ N / mm 2 ]

Perete interior supus la compresiune c t

=

h − 2 ⋅ t  t 

  Determinarea  Determinarea

=

200 − 3 ⋅ 5 = 37 > 42 ⋅ ε ⇒  secţiune de clasa IV 5

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2(1)

sec ţ iunii iunii efective

Întreaga sec ţiune este supusa la compresiune deci raportul între tensiunile unitare de la capetele peretelui ψ  = 1 ⇒  factorul de flambaj kσ  = 4.0

beff 2

beff 1

   2    f    f   e

eficace

   b    1    f    f   e

   b

Figura E.2.2. Aria eficace 9003 ⋅ 200 = 181 mm bef  = ρ ⋅ b = 0, 9 181 = 90, 5 mm bel = 0.5 ⋅ beff =  0, 5 ⋅18

EN 1993-1-5 Tabel 4.1 Factorul de reducere  ρ al lăţimii se calculeaz ă pentru pereţii interiori: ρ=

λ p − 0, 055 ⋅ (3 + ψ)   0, 804 − 0, 055 ⋅ (3 + 1) = = 0,903 0,8042 λ p2

EN 1993-1-5 §4.4 (2) Zvelteţea redusă a plăcii se calculeaz ă: λ p =

b / t 

28, 4 ⋅ ε ⋅ k σ

=

(200 − 3 ⋅ 5)/ 5) / 5 = 0,804 28, 4 ⋅ 0, 81 ⋅ 4, 00

Calculul ariei efective  Aeff  = ρ ⋅ A = 0, 90 903 ⋅ 3900 = 3522 mm2

EN 1993-1-5 §4.4 (1) Alternativ aria efectivă poate fi calculat ă astfel:  Aeff = A − 4 ⋅ t ⋅ (b − beff ) =  3900 − 4 ⋅ 5 ⋅ ( 200 − 181) = 3520 mm   Rezisten ţ a

2

la compresiune

Pentru a determin ă rezisten ţa de calcul a sec ţiunii transversale stâlpului la compresiune uniformă se folose şte relaţia de defini ţie corespunz ătoare clasei de sec ţiune 4:  N c ,Rd  =

 Anet ⋅ f y

γ  M 0

35, 22 ⋅ 102 ⋅ 355 = = 1250310 N = 1250 kN 1, 0

SREN 1993-1-1 (6.11) După determinarea capacit ăţii portante se trece la verificarea condi ţiei:  N  Ed   N c, Rd 

=

1000 = 0, 8 ≤ 1, 0 ⇒  Secţiunea verifică 1250

SREN 1993-1-1 (6.9)   Determinarea  Determinarea

lungimii de flambaj

Deoarece grinda cu z ăbrele este cu t ălpi paralele, cu diagonale în V, şi tălpile executate din SHS 350 x 350 x 12 se poate consider ă că multiplicatorul lungimii de flambaj este 0,75 în ambele planuri. SREN 1993-1-1 §BB1.3 (2) B hdiagonala htalpa

=

200 = 0, 57 ≤ 0, 6 350

Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y); Lungimea de flambaj (y-y); Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z); Lungimea de flambaj (z-z)  Rezisten ţ a   Rezisten

 f  L_y = 0,75  Lcr,y = f  L_y × L = 2,06 m  f  L_z = 0,75  Lcr,z = f  L_z × L = 2,06 m

la flambaj prin încovoiere a elementului supus la compresiune uniform ă

Pentru a determin ă  rezistenţa la flambaj a diagonalei  N b,Rd  b,Rd , este necesar ă  determinarea factorului de reducere pentru flambaj prin încovoiere  χ  corespunz   corespunzător curbei de flambaj pentru secţiunea transversal ă  a diagonalei. Acest factor se determin ă  cu ajutorul zvelte ţii relative  λ funcţie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat, bazat pe proprietăţile secţiunii transversale brute şi rezistenţa de calcul a sec ţiunii transversale stâlpului la compresiune uniform ă.   Zvelte ţ ea ea

relativă

Zvelteţea relativă se calculeaz ă cu ajutorul formulei: λ y =

 Lcr  i

⋅

1 λ1

⋅

 Aeff 

=

A

2063 1 35 2 2 ⋅ ⋅ = 0,322 79, 63 76, 4 3900

 E 

λ1 = π ⋅

 f  y

= 93, 9 ⋅ ε = 76, 4

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1) Pentru determinarea ariei eficace vezi exemplu de calcul 2.8.3. 

Factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere

În cazul elementelor supuse la compresiune uniform ă  valoarea factorului de reducere  χ  depinde de zvelte ţea redus ă λ  ce trebuie determinat ă ţinând seama de curbele de flambaj corespunzătoare: 1

χ=

2

φ+ φ −λ

2

însă χ ≤ 1

 în care: φ = 0, 5 ⋅ 1 + α ⋅ (λ − 0, 2) + λ 2  ;

α este factor de imperfec ţiune.

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1) Pentru alegerea curbei de flambaj pentru sec ţiunea transversal ă  trebuie să luăm în considerare urm ătoarele condi ţii : (SREN 1993-1-1 Tabelul Tabelul 6.2):  SHS 200 x 5 – sec ţiune tubular ă formată la rece  Pierderea stabilit ăţii generale în jurul axei y-y sau z-z: Curba de flambaj c, factorul de imperfec ţiune α y = 0,49 (SREN 1993-1-1 Tabelul Tabelul 6.1): φ y = φ z = 0, 5 ⋅ 1 + α z ⋅ (λ z − 0, 2) + λ z2  = = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 49 ⋅ (0, 322 − 0, 2) + 0, 3222  = 0, 582 χ y = χ z =

1 2

2

φ z + φz − λ z

=

1 2

0, 582 + 0, 582 − 0, 322

2

= 0,937

 χ  =  = min (1.0,  χ y,  χ z) = 0.937

(în cazul în care χ  >  > 1 atunci χ  =  = 1)

  Rezisten ţ a

la flambaj

Rezistenţa la flambaj se determin ă cu următoarea relaţie:

 N b, Rd  = χ ⋅

 Aeff ⋅ f y

γ  M 1

35, 22 22 ⋅ 102 ⋅ 355 = 0, 937 ⋅ = 1171540 N = 1172 kN 1,00

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3) Verificarea condi ţiei:  N  Ed   N b, Rd 

=

1000 = 0, 85 ≤ 1 ⇒ elementul verific ă 1172

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (1)

E.3. Determinarea rezistentei la flambaj a unui stâlp cu blocaje laterale  Descrierea   Descrierea

problemei problemei

Se consider ă  stâlpul de col ţ al unei hale parter, cu prinderea la baz ă  realizata în solu ţie articulată pe ambele direc ţii. Atât cadrul longitudinal cât şi cadrul transversal de fronton sunt contravântuite. Rigla cadrului transversal reazem ă  articulat pe stâlp transmi ţându-i acestuia doar efort axial. Închiderile structurii sunt realizate din tabl ă  cutată  ce sprijină  pe riglele de perete fixate pe stâlpi cadrului longitudinal din 2.5 m în 2.5m. 

Schema statică

N

N

L3 L

L2

L1

 z  y

 y  z

Figura E.3.1. Schema statica si lungimile de flambaj dup ă axa yy, respectiv zz   Datele

problemei problemei

Pentru verificarea de rezisten ţă şi flambaj a stâlpului sunt necesare urm ătoarele date:  N  Ed = 1100 kN Forţa axială  L = 7,50 m Lungimea elementului Marca oţelului S235 Clasa secţiunii Clasa 1  Determinarea   Determinarea

lungimii de flambaj

Prezenta riglelor de perete nu modifica comportarea elementului la pierderea stabilit ăţii în planul cadrului: Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y)  f  L_y = 1.00 Lungimea de flambaj (y-y)  Lcr,y = f  L_y × L = 7,50 m În cazul în care se ţine cont de prezenta riglelor de perete care fixeaz ă  elementul în afara planului cadrului: Lungimea de flambaj (z-z) pe cele 3 intervale:  Lcr,z,1 = 2,50 m

 Lcr,z,2 = 2,50 m  Lcr,z,3 = 2,50 m  Lcr,z = max( L  Lcr,z,1; Lcr,z,2; Lcr,z,3) = 2,50 m

În cazul în care nu se ţine cont de prezenta riglelor de perete care fixeaz ă elementul în afara planului cadrului:  f  L_z = 1,00 Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z);  Lcr,z = f  L_z × L = 7,50 m Lungimea de flambaj (z-z);   Dimensiunile  şi caracteristicile geometrice ale

HE 200 B – Marca de o ţel S235; Înălţimea; imea; Lăţimea tălpilor Grosimea inimii Grosimea tălpilor; lpilor; Raza de racord; racord ; Aria; Aria; Momentul de iner ţie / yy; yy; Momentul de iner ţie / zz 

sec ţ iunii iunii transversale

h = 200,0 mm b = 200,0 mm t w = 9,0 mm    = 15,0 mm t f f = r  =  = 18,0 mm 2  A = 78,1 cm 4  I y = 5696 cm 4  I z = 2003 cm

Caracteristici mecanice – limita de curgere

Marca S235 Deoarece grosimea maxim ă a pereţilor secţiunii transversale este 15,0 mm ≤ 40 mm, limita de curgere este  fy = 235 N/mm 2. SREN 1993-1-1 Tabel 3.1 

Coeficien ţ ii ii par  ţ iali iali de siguran ţă

γ  M 0 = 1,00 γ  M 1 = 1,00   Rezisten  Rezisten ţ a

SREN 1993-1-1 §6.1 (1)

la flambaj prin încovoiere a elementului supus la compresiune uniform ă a determin ă  rezistenţa la flambaj a stâlpului  N b,Rd  b,Rd , este necesar ă  determinarea reducere pentru flambaj prin încovoiere  χ  corespunz   corespunzător curbei de flambaj pentru

Pentru factorului de secţiunea transversal ă  a stâlpului. Acest factor se determin ă  cu ajutorul zvelte ţii relative λ funcţie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat, bazat pe proprietăţile secţiunii transversale brute şi rezistenţa de calcul a sec ţiunii transversale stâlpului la compresiune uniform ă.   Efortul

critic de flambaj, elastic, pentru modul modul de flambaj considerat considerat N cr  cr 

Efortul critic de flambaj, elastic se determin ă folosind următoarea relaţie de defini ţie: π 2 ⋅ EI  y

 N cr , y =  N cr , z =

2  Lcr ,y

π 2 ⋅ E ⋅ I  z 2  Lcr ,z

3,142 ⋅ 2,1 ⋅ 105 ⋅ 5696 ⋅ 104 = = 2098778 N = 2099 kN 75002 =

3,142 ⋅ 2,1 ⋅ 105 ⋅ 2003 ⋅ 104 = 6642323 N = 6642 kN 25002

În cazul în care riglele de perete nu ar asigura fixarea lateral ă:  N cr0 , z =

ea   Zvelte ţ ea

π 2 ⋅ E ⋅ I z 2  Lcr ,z

=

3,142 ⋅ 2,1 ⋅ 105 ⋅ 2003 ⋅ 104 = 738036 N = 738 kN 75002

relativă

Zvelteţea relativă se calculeaz ă cu ajutorul formulei:

(3.4)

78,1 ⋅ 102 ⋅ 235 = = 0,937 2089778

 A ⋅ f  y

 λ y =

 N cr , y

78,1 ⋅102 ⋅ 235 = = 0,526 6642323

 A f  y

 λ z =

 N cr , z

În cazul în care riglele de perete nu ar asigura fixarea lateral ă:  A ⋅ f  y

0

 λ z =

 N cr , z

78,1 ⋅ 102 ⋅ 235 = = 1,577 738036

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1) 

Factorul de reducere

Pentru alegerea curbei de flambaj pentru sec ţiunea transversal ă  trebuie să  luam în considerare urm ătoarele condi ţii: • HEB 200 - profil laminat • •

200 = 1 ≤ 1, 2 b 200 Grosimea tălpilor t  f  = 15 mm mm ≤ 100 mm mm

Raportul

h

=

• Marca de o ţel S235 • Pierderea stabilit ăţii generale în jurul axei y-y:

Curba de flambaj b, factorul de imperfec ţiune α y = 0,34 2

φ y = 0,5 ⋅ 1 + α y ⋅ ( λ y − 0,2) + λ y  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 34 ⋅(0, 937 − 0, 2) + 0, 937 2  =1, 064





1

χ y =

2

2

=

φ y + φ y − λ y





1 2

1, 064 + 1, 064 − 0, 937

2

= 0,638

• Pierderea stabilit ăţii generale în jurul axei z-z:

Curba de flambaj c, factorul de imperfec ţiune α z = 0.49 2

φ z = 0,5 ⋅ 1 + α z ⋅ ( λ z − 0,2) + λ z  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 49 ⋅ (0, 526 − 0, 2) + 0, 526 2  = 0, 718





χ z =

1 2

2

=

φ z + φz - λ z





1 0, 718 + 0, 718 2 − 0, 526 2

= 0,829

În cazul în care riglele de perete nu ar asigura fixarea lateral ă: • Pierderea stabilit ăţii generale în jurul axei z-z in i n cazul în care riglele de perete nu ar asigura fixarea lateral ă: Curba de flambaj c, factorul de imperfec ţiune α z = 0.49 2

φ z0 = 0,5 ⋅ 1 + α z ⋅ ( λ z − 0,2) + λ z  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 49 ⋅(1, 577 − 0, 2) +1, 577 2  = 2, 081



χ z0 =



1 0

0 2

0 2

φ z + ( φz ) − ( λ z )

=





1 2

2, 081 + 2, 081 − 1, 577

2

= 0,291

χ  =  = min (1.0, χ  y y, χ  z z) = 0,638 (în cazul în care χ  >  > 1 atunci χ  =  = 1)   Rezisten ţ a

la flambaj

 N b, Rd  = χ ⋅

 A ⋅ f y

γ  M 1

78,1 ⋅10 2 ⋅ 235 = 0, 638 ⋅ = 1170953 N = 1171 kN 1,00

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3)

Verificarea condi ţiei:  N  Ed   N b, Rd 

=

1100 = 0, 94 ≤ 1.0 ⇒ elementul verifică 1171

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (1) În cazul în care riglele de perete nu ar asigura fixarea lateral ă: 0  A ⋅ f  y

0

 N b,Rd  = χ ⋅

γ  M 1

= 0, 291 ⋅

78,1 ⋅10 2 ⋅ 235 = 534087 N = 534 kN 1,00

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3)

Verificarea condi ţiei:  N  Ed  0

 N b, Rd 

=

1100 = 2, 06 ≥ 1, 0 ⇒ elementul nu verific ă 534

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (1)

E.4. Determinarea lungimii de flambaj a unui stâlp dintr-un cadru multi-etajat   Descrierea  Descrierea

problemei problemei

Acest exemplu de calcul î şi propune s ă  determine lungimea de flambaj şi rezistenţa la pierderea stabilităţii generale prin încovoiere a unui stâlp dintr-un cadru multietajat cu noduri rigide. Vor fi considerate dou ă situaţii de comportare global ă a cadrului. În prima ipoteza cadrul va fi considerat cu noduri fixe, iar în a doua situa ţie va fi considerat cu noduri deplasabile. Va fi analizat un stâlp interior alc ătuit dintr-un profil laminat european HEM. Determinarea comport ării globale a cadrului per ansamblu nu face obiectul acestui exemplu, îns ă clasificarea  clasificarea se face conform SREN 1993-1-1 paragraful 5.2.1 (3) – analiza globala.   Datele

problemei problemei

• Coeficien ţ ii ii par  ţ iali iali de siguran ţă γ  M 0 = 1,00 γ  M 1 = 1,00

SREN 1993-1-1 §6.1 (1)

•  Date geometrice

Deschiderea grinzii superioare stânga Deschiderea grinzii superioare dreapta Deschiderea grinzii inferioare stânga Deschiderea grinzii inferioare dreapta Înălţimea stâlpului studiat Înălţimea stâlpului de la etajul superior Înălţimea stâlpului de la etajul superior Marca oţelului Clasificarea sec ţiunii transversale

l11 = 6,00 m l12 = 6,00 m l21 = 6,00 m l22 = 6,00 m lc = 3,50 m l1 = 3,50 m l2 = 3,80 m

S275

Clasa 1

• Caracteristici geometrice ale sec ţ iunilor iunilor transversale

Stâlpul studiat HE 220 M Stâlpul superior HE 200 M Stâlpul inferior HE 240 M Grindă superioară stânga IPE 400 Grindă superioară dreapta IPE 400 Grindă inferioară stânga IPE 450 Grindă inferioară dreapta IPE 400

4

2

 I  y = 14600 cm ;  A = 149,4 cm ; 4 2  I  y = 10642 cm ;  A = 131,3 cm ; 4 2  I  y = 24290 cm ;  A = 199,6 cm ; 4 2  I  y = 23128 cm ;  A = 84,5 cm ; 4 2  I  y = 23128 cm ;  A = 84,5 cm ; 4 2  I  y = 33743 cm ;  A = 98,8 cm ; 4 2  I  y = 23128 cm ;  A = 84,5 cm ;

a) Cadru cu noduri fixe 1

l1 11

12

c

lc 21

22

2

l2

l11 ,l21

l12 ,l22

Figura E.4.1. Cadru transversal cu noduri fixe fix e b)Cadru b) Cadru cu noduri deplasabile

1

l1 11

12

c

lc 21

22

2

l2

l11 ,l21

l12 ,l 22

Figura E.4.2. Cadru transversal cu noduri deplasabile • Caracteristici mecanice - limita de curgere

Marca de oţel S275 Deoarece grosimea maxim ă a pereţilor secţiunii transversale este 26,0 mm ≤ 40 mm, limita de curgere este :  f  y = 275 N/mm2. SREN 1993-1-1 Tabel 3.1

k11

k1

k12 kc

k21

k2

k22

Figura E.4.3. Nota ţiile folosite pentru rigidit ăţile elementelor

Cadru cu noduri fixe

N 1

k11 l

k12 kc

k21

k22

Figura E.4.4. Forma de pierdere a stabilit ăţii a unui stâlp parte a unei structuri cu noduri fixe

  Determinarea

lungimii lungi mii de flambaj fla mbaj în cele cel e dou ă ipoteze de comportare global ă a cadrului

Determinarea lungimii de flambaj se face în conformitate cu P100/2006 anexa F paragraful F.5. (vezi anexa II.2)  Factori de distribu ţ ie ăţ ii ie a rigidit ăţ  ii η 1  şi η 2 Se consider ă că grinzile nu sunt solicitate la eforturi axiale şi rămân în domeniul elastic sub acţiunea momentelor de calcul. Rotirea la cap ătul opus poate fi considerat ă egal ă şi de semn opus cu cea de la cap ătul studiat (simpl ă curbur ă). (P100/2006 – Tabel F.3.(1)). Rigiditatea poate fi calculat ă astfel: • Rigiditatea stâlpilor • Rigiditatea grinzilor

k c =

 I c lc k ij = 0.5 ⋅

 I ij lij

 (vezi Tabel II.1)

astfel obţinem următori factori de distribu ţie: 14600 10462 + 3 5 0 350 η1 = = = 0,652  (vezi II.1) 23128 23128 kc + k1 + k11 + k12   14600 10462 + + 0, 5 ⋅ + 0, 5 ⋅ 350 350 600 600 14600 24290 + kc + k 2 3 5 0 380 η2 = = = 0,690  (vezi II.2) 33743 23128 kc + k2 + k21 + k 22   14600 24290 + + 0, 5 ⋅ + 0, 5 ⋅ 350 380 600 600 kc + k 1

Raportul între  Lcr  /  L  se poate ob ţine din diagrama prezentat ă  în Figura F.4. P100/2006 (vezi Fig. II.4) sau aplicând formula (II.3):  Lcr   L

= 0, 5 + 0,14 ⋅ ( η1 + η2 ) + 0, 055 ⋅ ( η1 + η2 ) 2 =

6552 + 0, 690) 2 = 0, 787 = 0, 5 + 0,14 ⋅ (0, 652 + 0, 690) + 0, 055 ⋅(0, 6

Lungimea de flambaj a stâlpului se poate ob ţine:  Lcr = f cr _ y ⋅ L = 0, 78 787 ⋅ 3500 = 2755 mm

Anexa F - P100-1/2006 (Fig. II.4)   Rezisten  Rezis ten ţ a

la flambaj prin încovoiere a elementului supus la compresiune uniform uniform ă a determin ă  rezistenţa la flambaj a stâlpului  N b,Rd  b,Rd , este necesar ă  determinarea reducere pentru flambaj prin încovoiere  χ  corespunz   corespunzător curbei de flambaj pentru

Pentru factorului de secţiunea transversal ă  a stâlpului. Acest factor se determin ă  cu ajutorul zvelte ţii relative λ  funcţie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat, bazat pe proprietăţile secţiunii transversale brute şi rezistenţa de calcul a sec ţiunii a transversale stâlpului la compresiune uniform ă.   Efortul

critic de flambaj, elastic, pentru modul modul de flambaj considerat considerat N cr  cr 

Efortul critic de flambaj, elastic se determin ă folosind urm ătoarea relaţie de definiţie:  N cr , y =

ea   Zvelte ţ ea

π 2 ⋅ E ⋅ I  y 2  Lcr ,y

3,142 ⋅ 2,1 ⋅105 ⋅14605 ⋅10 4 398422 kN = = 3984 27552

relativă

Zvelteţea relativă se calculeaz ă cu ajutorul formulei: λy =

 A ⋅ f  y  N cr , y

149, 4 ⋅10 2 ⋅ 275 = 0,321 39841616

=

Printr-o formulare alternativă zvelteţea relativă poate fi calculat ă astfel: λy = λ y =

λ1

=

 Lcr, y

λ1 = π ⋅ 

λ y

i  E   f  y

27,85 = 0,321 86,81

=

2755 = 27,85 98,94

= 93, 9 ⋅ ε = 86, 81

Factorul de reducere

Pentru alegerea curbei de flambaj pentru sec ţiunea transversal ă  trebuie să luăm în considerare urm ătoarele condi ţii:  HEM 240 - profil laminat  

240 062 ≤ 1, 2 = 1, 06 b 226 mm ≤ 100 mm mm Grosimea tălpilor t  f  = 26 mm

Raportul

h

=

Marca de o ţel S275 • Pierderea stabilit ăţii generale în jurul axei y-y: Curba de flambaj b, factorul de imperfec ţiune α y = 0.34;



2

φ y = 0,5 ⋅ 1 + α y ⋅ ( λ y − 0,2) + λ y  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 34 ⋅(0, 321 − 0, 2) + 0, 321 2  = 0, 572





1

χ y =

2

2

=

φ y + φ y − λ y   Rezisten ţ a





1 2

0, 572 + 0, 572 − 0, 321

2

= 0,957

la flambaj

 N b,Rd  =χ ⋅

 A ⋅ f  y

γ  M 1

149, 4 ⋅10 2 ⋅ 275 = 0, 957 ⋅ = 3931835 N = 3932 kN 1,00

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3) 

Cadru cu noduri deplasabile

N 1

k11

k12 kc

k21

k22 N

2

Figura E.4.5. Forma de pierdere a stabilit ăţii a unui stâlp parte a unei structuri cu noduri deplasabile 

ăţ ii Factori de distribu ţ ie ie a rigidit ăţ  ii η1  şi η2

Se consideră că grinzile nu sunt solicitate la eforturi axiale şi rămân în domeniul elastic sub acţiunea momentelor de calcul. Rotirea la cap ătul opus poate fi considerat ă  egală  cu cea de la capătul studiat (dubl ă curbură).(P100/2006 - Tabel F.3. (1)). Rigiditatea poate fi calculat ă astfel: • Rigiditatea stâlpilor kc =

 I c lc

⋅l

grinzilor k ij = 1, 5 ⋅ • Rigiditatea grinzilor

 I ij lij

 (vezi Tabel II.2)

astfel obţinem următori factori de distribu ţie: 14600 10462 + kc + k 1 3 5 0 350 η1 = = = 0,384  (vezi II.1) 1 4 6 0 0 1 0 4 6 2 2 3 128 23128 kc + k1 + k11 + k12   + + 1, 5 ⋅ + 1, 5 ⋅ 350 350 600 600 14,60 ,600 24,29 ,290 + kc + k 2 350 380 η2 = = = 0.426  (vezi II.2) 33, 734 23,128 kc + k2 + k21 + k22   14, 600 24, 290 + + 1.5 ⋅ + 0.5 ⋅ 350 380 600 600

Anexa F - P100/2006 (Fig. II.5) Raportul între  Lcr  /  L  se poate ob ţine din diagrama prezentata în Figura F.5. P100/2006 sau aplicând formula:  Lcr 

=

 L

=

1 − 0, 2 ⋅ ( η1 + η2 ) − 0,12 ⋅ η1 ⋅ η2 = 1 − 0, 8 ⋅ ( η1 + η2 ) + 0, 6 ⋅ η1 ⋅ η2 1 − 0, 2 ⋅ (0, 384 + 0, 426) − 0,12 ⋅0, 384 ⋅0, 44226 = 0,957 1 − 0, 8 ⋅ (0, 384 + 0, 44226) + 0, 4 ⋅ 0, 384 ⋅0, 426

 (vezi formula II.4)

Lungimea de flambaj a stâlpului se poate ob ţine: 348 ⋅ 3500 = 4719 mm  Lcr = f cr _ y ⋅ L = 1, 34   Rezisten  Rezis ten ţ a

la flambaj prin încovoiere a elementului supus la compresiune uniform uniform ă •  Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul modul de flambaj considerat considerat N cr  cr 

Efortul critic de flambaj, elastic se determin ă folosind urm ătoarea relaţie de definiţie:  N cr , y =

π 2 ⋅ E ⋅ I  y 2  Lcr ,y

=

3,14 2 ⋅ 2,1 ⋅105 ⋅14605 ⋅10 4 135799 kN = 1357 4719 2

•  Zvelte ţ ea ea relativă

Zvelteţea relativă se calculeaz ă cu ajutorul formulei:  A ⋅ f  y

λ y =

 N cr, y

149, 4 ⋅102 ⋅ 275 = = 0,55 13579388

• Factorul de reducere

Alegerea curbei de flambaj este aceia şi ca în ipoteza cu noduri fixe. • Pierderea stabilit ăţii generale în jurul axei y-y: Curba de flambaj b, factorul de imperfec ţiune α y = 0.34 2

( 0, 55 − 0, 2) + 0, 55 2  = 0, 711 φ y = 0,5 ⋅ 1 + α y ⋅ ( λ y − 0,2) + λ y  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 34 ⋅(0 

χ y =



1 2

2

φ y + φ y − λ y

•  Rezisten ţ a la flambaj

=





1 0, 711 + 0, 7112 − 0, 55 2

= 0,861

 N b,Rd  = χ ⋅

 A ⋅ f  y

γ  M 1

149, 4 ⋅10 2 ⋅ 275 = 0, 861 ⋅ = 3537419 N = 3537 kN 1,00

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3)

E.5. Determinarea lungimilor de flambaj pentru un stâlp in trepte  Descrierea   Descrierea

problemei problemei

Se consider ă  o structur ă  parter. Stâlpul cadrului transversal este realizat in trepte. Ramura superioara este  I   din table sudate 500x200x6x12mm şi are înălţimea de 3,50m, iar ramura inferioara  I  1000x200x10x12.  1000x200x10x12. Se considera ca acoperi şul şi sistemul de contravântuiri  împiedica  împi edica deplasarea depl asarea laterala late rala a cap ătului superior al stâlpului. Se cere s ă  se determine lungimile de flambaj ale celor doua ramuri stâlpului cadrului. 

Schema statică

Figura E.5.1. Schema statica si sec ţiunile transversale   Datele

problemei problemei

Pentru verificarea de rezisten ţă şi flambaj flamb aj a stâlpului sunt necesare urm ătoarele date: Raport forţa axială P1 / P2 = 3 Efort axial ramura inferioara / ramura superioara  Lungimea elementului elementului

Ramura superioara Ramura inferioara Marca oţelului Clasa secţiunii   Dimensiunile  şi caracteristicile geometrice ale 

S355 Clasa 1

sec ţ iunii iunii transversale

 Ramura superioara; superioara;

Înălţimea Lăţimea tălpilor Grosimea inimii Grosimea tălpilor Momentul de iner ţie / yy 

 L2 = 3,50 m  L1 = 7,00 m

h = 500,0 mm b = 200,0 mm t w = 6,0 mm t f f =    = 12,0 mm 4  I y2 y2 = 3398 cm

 Ramura inferioara; inferioara;

Înălţimea Lăţimea tălpilor

h = 1000,0 mm b = 200,0 mm

Grosimea inimii Grosimea tălpilor Momentul de iner ţie / yy   Multiplicatorul

t w = 10,0 mm t f f =    = 12,0 mm 4  I y1 y1 = 19460 cm

lungimii de flambaj

Pentru alegerea determinarea multiplicatorului lungimii de flambaj pentru un stâlp cu secţiune variabila cu o sigura treapta sunt necesare urm ătoarele rapoarte:  L2  L1  I 2  I 1 P1 P2

=

3500 = 0,5 7000

=

3398 ⋅104 = 0,175 194 19460 ⋅104

=3

Relaţiile de calcul al coeficien ţilor  µ 1 si  µ 2 pentru determinarea lungimii de flambaj in planul cadrului: ( c − 1) µ121 + µ122

µ1 =

c

( 4 − 1) 0, 9452 + 1, 7875 2 = = 1,2118 4

1,2118 µ µ2 = 1 = = 2, 026 ≤ 3 0,598

c1

c=

 N1 + N 2  N 2

 L c1 = 2  L1

=4

1 I 1 ⋅

c I 2

= 0, 5

1 1 ⋅ = 0, 598 4 0,175

Deoarece cap ătul superior este cu rotiri libere si deplas ări împiedecate pentru determinarea  µ 11 11 si  µ 12 12 se va folosi Tabelul 22 din STAS 10108/0-78: µ12 = 1,7875 µ11 = 0,945  Lungimii 

 valorile se ob ţin prin interpolare liniara

de flambaj:

 In planul cadrului:  Lcr , y1 = µ1L1 = 1,21 ,2118 ⋅ 7000 = 8483 mm  Lcr , y 2 = µ 2 L2 = 2, 02 026 ⋅ 3500 = 7089 mm



 Normal pe planul cadrului: cadrului:  Lcr , z1 = µ ⋅ L1 = 1 ⋅ 7000 = 7000 mm  Lcr , z 2 = µ ⋅ L2 = 1 ⋅ 3500 = 3500 mm

E.6. Determinarea rezistenţ rezistenţei la pierderea stabilităţ stabilităţiiii a unui element compus supus la compresiune compresiune uniformă uniformă  Descrierea   Descrierea

structurii

Se consider ă grinda de acoperi ş alc ătuita in solu ţie ferma metalic ă a unei hale parter. Grinda cu z ăbrele este simetric ă  de form ă  bitrapezoidal ă  cu montan ţi si diagonale alternante. Talpa superioar ă  are o pant ă de α  = 7o35’. Se consider ă  ca acoperi şul asigură legătura transversală a tălpii superioare la deplasare lateral ă  datorită  rigidităţii suficiente a tablei de acoperi ş si a sistemului de contravântuiri din acoperi ş. Tălpile grinzii sunt alc ătuite din profile U spate in spate dep ărtate (cu axa maxim ă de inerţie perpendicular ă pe planul t ălpii), solidarizate

cu ajutorul unor pl ăcuţe cu lungimea de 100 mm a şezate la distanta de 650mm. Panele rezem ă pe talpa superioar ă tot la al doilea nod asigurând fixarea lateral ă (in afara planului fermei) pe deschiderea a dou ă panouri). Se cere verificarea t ălpii superioare. 

Schema statică

Grinda cu z ăbrele, cu barele articulate in noduri, simplu rezemata cu deschiderea de 21 m. 12 panouri a cate 1,75m.

2600 1400

1750

1750

1750

1750

1750

1750

1750

1750

1750

1750

1750

1750

21000

Figura E.6.1. Grinda cu z ăbrele   Datele

problemei problemei

Pentru verificarea de rezisten ţă şi flambaj flamb aj a stâlpului sunt necesare urm ătoarele date: • Talpa superioara (11-13)

Forţa axială  Ipoteze de încărcare Greutate proprie ( G)  Z ) Greutatea zăpezii ( Z  Combina ţ ia ia de încărcare 1,35 G + 1,5 Z

 N  Ed  = -143,22 kN  N  Ed  = -107,42 kN

 N  Ed  = -354,5 kN  L = 1513 mm

Lungimea teoretica elementului Marca oţelului Clasa secţiunii

S235 Clasa 1

  Dimensiunile  şi caracteristicile geometrice ale

sec ţ iunii iunii transversale

SECTIUNE TRANSVERSALA

ys yu ys

y

tw

tf  z

z

2 UPN 120

Pl. 120x6 100

65 0

10 0

Figura E.6.2. Sec ţiunea transversala şi poziţionarea plăcuţelor de solidarizare

2 UPN 120; Înălţimea Lăţimea tălpilor Grosimea inimii Grosimea tălpilor Aria secţiunii transversale Momentul de iner ţie / yy Momentul de iner ţie / zz Modul de rezisten ţă plastic / zz Poziţia centrului de greutate Distanta intre profile (UPN100) Distanta intre elementele de solidarizare   Determinarea  Determinarea

h = 120,0 mm b = 50,0 mm t w = 7,0 mm t  f  =  = 9,0 mm 2  A = Ach = 17,0 cm 4  I y = 364 cm 4  I z = 43,2 cm W  pl,z = 21,2 cm3  ys = 16,0 mm  yu = 50,0 mm a = 750 mm

lungimii de flambaj

Conform Anexei BB (BB1.1), lungimea de flambaj  Lcr  a unei tălpi cu secţiunea de forma I sau H poate fi luat ă  egală  cu 0,9 L  pentru flambajul în plan şi 1,0 L  pentru flambajul în plan perpendicular. În acest exemplu se va folosi pentru talpa lungimea de flambaj 1,0 L  pentru flambajul în plan şi în plan perpendicular (STAS (STAS 10108/0-78).

x y x z Figura E.6.3. Lungimile de flambaj În structurile triunghiulare obi şnuite, lungimea de flambaj  Lcr  a zăbrelelor pentru flambajul în plan poate fi luat ă egală cu 0,9L şi 1,0L pentru flambajul în î n plan perpendicular.  f  L_y = 1,00; L = 1765 mm Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y);  Lcr,y = f  L_y × L = 1765 mm Lungimea de flambaj (y-y); Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z);  f  L_z = 1,00; L = 3530 mm Lungimea de flambaj (z-z)  Lcr,z = f  L_z × L = 3530 mm 

Caracteristici mecanice - limita de curgere

Marca de oţel S235 Deoarece grosimea maxim ă a pereţilor secţiunii transversale este 9,0 mm ≤  40 mm, limita de curgere este  f  y = 235 N/mm2 SREN 1993-1-1 Tabel 3.1 

Coeficien ţ ii ii par  ţ iali iali de siguran ţă

γ  M 1 = 1,00 

Verificarea de d e rezisten ţă a sec ţ iunii iunii transversale a t ălpii superioare

 Rezisten n ţ a la compresiune   Reziste

SREN 1993-1-1 §6.1 (1)

Pentru a determin ă rezistenţa de calcul a sec ţiunii transversale a stâlpului la compresiune uniformă se folose şte relaţia de defini ţie corespunz ătoare clasei de sec ţiune 1:  N c, Rd  =

 A2U ⋅ f y

γ  M 0

17 ⋅102 ⋅ 235 = = 799000 N = 799 kN 1, 0

SREN 1993-1-1 (6.10) După determinarea capacit ăţii portante se trece la verificarea condi ţiei:  N  Ed   N c, Rd 

=

354,5 4444 ≤ 1, 0 ⇒  Secţiunea verifică = 0, 4 799

SREN 1993-1-1 (6.9)   Reziste ăţ ii  Rezisten n ţ a la pierderea stabilit ăţ  ii

Pentru a determin ă  rezistenţa la flambaj a stâlpului  N b,Rd  b,Rd , este necesar ă  determinarea factorului de reducere pentru flambaj prin încovoiere  χ  corespunz   corespunzător curbei de flambaj pentru secţiunea transversal ă a stâlpului. Acest factor se determin ă cu ajutorul zvelte ţii relative λ . λ se calculeaz ă în funcţie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat şi rezistenţa de calcul a sec ţiunii transversale stâlpului la compresiune uniform ă. Se calculeaz ă folosind proprietăţile secţiunii transversale brute. • •

 In planul grinzii  Efortul critic de flambaj, flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat considerat Ncr

Efortul critic de flambaj, elastic se determin ă folosind urm ătoarea relaţie de definiţie:  N cr , y =

π2 ⋅ E ⋅ I  y

3,14 2 ⋅ 2,1 ⋅10 5 ⋅ 2 ⋅ 364 ⋅10 4 4839 kN = = 4839 2 1765

 L2cr , y

Efortul axial critic Euler (4.3) unde  E  este   este modulul de elasticitate longitudinal,  E  =   = 210000 N/mm 2 şi  Lcr  este   este lungimea de flambaj în planul de flambaj considerat,  Lcr,y = 1765 mm •

 Zvelte ţ ea ea relativă

Zvelteţea relativă se calculeaz ă cu ajutorul formulei: λ y =

 A ⋅ f  y  N cr , y

2 ⋅17 ⋅10 2 ⋅ 235 4006 ≥ 0, 2 = = 0, 4 483900

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1) •

Factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere

În cazul elementelor supuse la compresiune uniform ă  valoarea factorului de reducere χ  depinde de zvelte ţea redus ă λ  ce trebuie determinat ă ţinând seama de curbele de flambaj corespunzătoare: χ=

1 2

φ+ φ −λ

2

însă χ ≤ 1

 în care: φ = 0, 5 ⋅ 1 + α ⋅ ( λ − 0, 2) + λ 2  ;

α este factor de imperfec ţiune funcţie de curba de flambaj

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1) •

ăţ ii Pierderea stabilit ăţ  ii generale în jurul axei y-y Curba de flambaj c (SREN 1993-1-1 Tabel Tabel 6.2), factorul de

1993-1-1 Tabel 6.1);

imperfec ţiune α y = 0,49 (SREN

φ y = 0, 5 ⋅ 1 + α y ⋅ (λ y − 0, 2) + λ y2  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 49 ⋅ (0, 406 − 0, 2) + 0, 4062  = 0, 633

χ y =   Rezisten ţ a

1 φ y + φ y2 − λ y2

=

1 0, 633 + 0, 6332 − 0, 4092

= 0,894

la flambaj in planul cadrului

Rezistenţa la flambaj se determin ă cu următoarei relaţie:  N b ,Rd  = χ ⋅

 A2U ⋅ f y

γ 

2 ⋅ 17 ⋅ 10 2 ⋅ 2 3 5 = 0, 894 ⋅ = 714, 4 kN 1,00

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3) După determinarea capacit ăţii portante se trece la verificarea condi ţiei:  N  Ed 

=

 N b, Rd 

•

354,5 = 0, 4 4996 ≤ 1, 0 ⇒  Secţiunea verifică 714,4

 In afara planului grinzii grinzii

Momentele de inerţie după  axa minima de iner ţie se calculeaz ă  cu ajutorul formulei lui Steiner:  h  2   I z = 2  0  ⋅ Ach + I z ,ch  = 0, 5 ⋅ 822 ⋅ 17 ⋅ 102 + 2 ⋅ 43, 2 ⋅ 104 = 657, 9 ⋅ 104 mm4  2   h0 = 2 ⋅ ys + yu = 2 ⋅ 16 +

50 = 82 50 82 mm

Momentele de iner ţie la încovoiere ale barelor compuse cu pl ăcuţe de solidarizare pot fi calculate astfel: 2

 I eff = 0, 5 ⋅ h0 ⋅ Ach + 2 ⋅ µ ⋅ I ch

SREN 1993-1-1 § 6.4.3.1 (3) (6.74) unde:  µ  –  – = factor de eficacitate ce depinde de zvelte ţea maximă elementului compus (Tabel 6.8); 657,9 ⋅ 104 = = 43,99 mm 2 2 ⋅ Ach 2 ⋅17 ⋅ 10  L 2 ⋅ 1765 λ 80, 25 λ= = = 80, 25 ⇒ µ = 2 − =2− = 0, 93 i0 43.99 75 75

i0 =

 I  z

2

2

2

4

4

 I eff = 0, 5 ⋅ h0 ⋅ Ach + 2 ⋅ µ ⋅ I ch = 0, 5 ⋅ 82 82 ⋅ 17 ⋅ 10 + 2 ⋅ 0, 0, 93 ⋅ 43 43, 2 ⋅ 10 = 651, 9 ⋅ 10 mm

•

4

 Efortul critic de flambaj, flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat considerat Ncr

Efortul critic de flambaj, elastic se determin ă folosind urm ătoarea relaţie de definiţie:  N cr , z =

π2 ⋅ E ⋅ I eff , z  L2cr , z

=

3,142 ⋅ 2,1 ⋅ 105 ⋅ 651, 9 ⋅ 104 = 1083199 N = 1083,2 kN 35302

Efortul axial critic Euler (4.3) unde  Lcr,z  este lungimea de flambaj în planul de flambaj considerat,  Lcr,z= 3530 mm (distanta intre doua pane) •

 Rigiditatea la forfecare forfecare S v S v trebuie calculat ă astfel: Sv =

•

2 ⋅ π2 ⋅ EI ch a2

2 ⋅ 3,142 ⋅ 2,1 ⋅ 105 ⋅ 43, 2 ⋅ 104 = = 3180 kN  7502

SREN 1993-1-1 § 6.4.3.1 (3) (6.73)

 Eforturile de calcul calcul

În general barele compuse cu sec ţiune uniformă, solicitate la compresiune concentric ă şi articulate la extremit ăţi se considerat ă ca un stâlp având o imperfec ţiune în arc e0 = L/500 = 7,06

mm. În cazul verificării tălpii superioare se poate aplica modelul barei compuse cu sec ţiune constantă  supusă  la compresiune concentric ă  deoarece elementele de solidarizare alc ătuiesc în lungul barei compuse panouri identice cu ramuri paralele si num ărul de panouri în bara compus ă este mai mare de trei. În cazul unei bare compuse alc ătuite din două ramuri identice, efortul de calcul  N ch,Ed  ch,Ed  trebuie determinat astfel:  N ch ,Ed = 0, 5N Ed + 

 M Ed ⋅ h0 ⋅ Ach 4, 459 ⋅ 106 ⋅ 82 ⋅ 17 ⋅ 102 = 0, 5 ⋅ 354, 5 ⋅ 103 + = 224, 93 kN 2 I eff  2 ⋅ 651, 9 ⋅ 104

 N Ed ⋅ e0 + M  I  Ed   M Ed  = =  N Ed N Ed 

1−

 N cr

−

S v

354, 5 ⋅ 103 ⋅ 7, 06 + 0 = 4,459 kNm 354, 5 ⋅ 103 354, 5 ⋅ 103 1− − 1083 ⋅ 103 3180 ⋅ 103

SREN 1993-1-1 § 6.4.1 (6)

unde:  N cr  cr  – este efortul critic eficace în bara compus ă;  N  Ed  – valoarea de calcul a efortului de compresiune care ac ţionează în bara compus ă;  I   M  Ed   – este valoarea de calcul a momentului de încovoiere maxim, care ac ţionează la

 jumătatea lungimii barei compuse, luând în considerare efectele de ordinul doi; h0 – este distan ţa între centrele de greutate ale ramurilor;  Ach – este aria sec ţiunii transversale a unei ramuri;  I eff  eff  – este momentul de iner ţie efectiv al barei compuse; S v – este rigiditatea la forfecare a elementelor de solidarizare;  Ach – este aria sec ţiunii transversale a unei ramuri; •

ăţ ii Pierderea stabilit ăţ  ii în afara planului a unei ramuri

În cazul verificării unei ramurii in afara planului  Lcr,z  = a =750 mm. Efortul critic de flambaj, elastic se determin ă folosind urm ătoarea relaţie de defini ţie:  N cr ,z −a =

π2 ⋅ E ⋅ I  z  L2cr ,z − a

3,142 ⋅ 2,1 ⋅ 105 ⋅ 43, 2 ⋅ 104 = = 1590 1590 kN 7502

Efortul axial critic Euler (4.3) •

 Zvelte ţ ea ea relativă

Zvelteţea relativă se calculeaz ă cu ajutorul formulei: λ z =

•

 A ⋅ f  y  N cr ,z −a

2 ⋅ 17 ⋅ 102 ⋅ 235 = = 0, 709 ≥ 0, 2 1590 ⋅103

ăţ ii Pierderea stabilit ăţ  ii generale în jurul axei z-z Curba de flambaj c (SREN 1993-1-1 Tabel Tabel 6.2), factorul de

1993-1-1 Tabel 6.1);

imperfec ţiune α z = 0,49 (SREN

φ z = 0, 5 ⋅ 1 + α z ⋅ (λ z − 0, 2) + λ z2  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 49 ⋅ (0, 709 − 0, 2) + 07092  = 0, 876 χ z =   Rezisten ţ a

1 2

2

=

φ z + φ z − λ z

1 2

0, 876 + 0, 876 − 0, 709

2

= 0,719

la flambaj in planul cadrului

Rezistenţa la flambaj se determin ă cu următoarei relaţie:  N  z ,b ,Rd = χ z ⋅

 Ach ⋅ f y

γ 

1 7 ⋅ 1 0 2 ⋅ 2 35 = 0, 719 ⋅ = 287, 2 kN 1,00

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3) Verificarea condi ţiei:

 N ch. Ed    N b,Rd 

=

224,9 = 0, 783 ≥ 1 ⇒ elementul verifică 287,2

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (1) De regulă, verificarea z ăbrelelor barelor compuse cu z ăbrele sau verificarea pentru eforturile care rezultă din efectul de cadru în barele compuse cu pl ăcuţe de solidarizare, trebuie f ăcută în panourile de la extremit ăţile barei, pornind de la for ţa tăietoare global ă V  Ed  , care acţionează în bara compusă şi se determină prin: 4,45 ,459 ⋅ 106 V Ed  ⋅ a 3, 96 967 ⋅ 103 ⋅ 750 V Ed  = π = 3,14 = 3, 967 kN  ⇒  M ch, Ed   = = = 0,744 kNm  L 3530 4 4  M  Ed 

  Rezisten ţ a

la forfecare

Valoarea de calcul a rezisten ţei plastice la forfecare în absen ţa răsucirii depinde de aria de forfecare, care pentru un profil U solicitat paralel cu t ălpile se defineşte ca fiind aria celor dou ă tălpi:  Avy = 2 ⋅ (b − tw − r ) ⋅ t f = 2 ⋅ (55 − 7 − 9) ⋅ 9 = 702

mm2

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (3) 

Valoarea de calcul a rezisten ţ ei ei plastice la forfecare

În absenţa răsucirii, rezistenţei plastice la forfecare a sec ţiunii compuse este dat ă de relaţia: V  pl , y , Rd  =

2 Avy ⋅ ( f y / 3 ) γ  M 0

=

2 ⋅ 702 ⋅ 235 = 190,5 190,5 kN 3 ⋅ 1, 0

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (2) Trebuie să fie satisf ăcută condiţia: V  Ed  V c, Rd 

=

3,967 = 0, 02 021 ≤ 0, 5⇒   nu e necesar ă  nicio reducere a capacit ăţii la flambaj a 190,5

elementului 

Verificarea interac ţ iunii iunii M-N

In secţiunea din dreptul elementelor de solidarizare trebuie f ăcuta verificarea la ac ţiunea  M N. Relaţia de verificare (6.62) devine simplificat:  N  Ed   N b, Rd

 M  z ,Ed 

+ k  zz ⋅

M z ,Rd

≤ 1 , unde N  Ed = N ch,Ed  ch,Ed ; N b,Rd b,Rd = N   z,b,Rd ; M   z,Ed = M ch,Ed  ch,Ed ; M   z,Rd = M   pl,Rd ;  

SREN 1993-1-1 § 6.3.3 (6.61-62) Pentru o secţiune de clasa 1 rezisten ţa de calcul a unei sec ţiuni transversale supus ă la  încovoiere în raport raport cu axa principal ă de inerţie se determin ă astfel:  M z ,Rd = M pl , Rd  =



W pl , z ⋅ f y

γ  M 0

21, 2 ⋅ 103 ⋅ 235 4,982 kN kNm m = = 4,982 1, 0

Calculul factorilor de interac ţ iune iune k  zz

Factorii de interac ţiune k  yy , k  yz , k  zy , k  zz depind de metoda de calcul aleas ă. Se pot calcula folosind dou ă metode alternative. În acest exemplu exempl u valorile valoril e acestor factori au au fost determin determinate ate conform anexei B (metoda alternativ ă 2). k  zz se determina conform Tabel B.2 (elemente sensibile la deformaţii prin răsucire), ce face trimitere la Tabel B.1, profilul U putând fi asimilat cu secţiuni I:



k zz = Cmz 1 +





 N









N 



( 2 ⋅ λ z − 0, 6)  Nch,Rd  ≤ C mz 1 + 1, 4 N ch,Rd    b , Rd

b ,Rd



 

Calculul factorilor de moment uniform C mz mz

Deoarece profilul U intre doua elementele de solidarizare are cu mod de instabilitate cu noduri deplasabile trebuie s ă se ia ca factor de moment uniform echivalent C mz mz = 0,9. SREN 1993-1-1 Anexa B (Tabel B.3) 

k zz = C mz 1 +



 N 



224,9 

 

( 2 ⋅ λ z − 0, 6)  N ch,Rd    = 0, 9 1 + ( 2 ⋅ 0, 709 − 0, 6) 287,3  = b,Rd 

  





 N ch ,Rd   

= 1, 476 ≤ C mz  1 + 1, 4

 N b, Rd 

224,9   1, 4  = 0, 9  1 + 1,  = 1, 886 287,3   

Trebuie să fie satisf ăcută condiţia:  N  Ed   N b, Rd

 M  + k  zz ⋅  z ,Ed  = M z ,Rd  

224, 9 ⋅10 103 0, 744 ⋅10 106 1 , 4 7 6 + ⋅ = 1, 003  1  elementul nu verific ă şi trebuie 287, 3 ⋅ 10 103 4, 982 ⋅10 106

aleasă o altă secţiune transversal ă E.7. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale secţiunii transversale a unui profil cu secţiune de tip C formată la rece, solicitată la compresiune   Descrierea  Descrierea

problemei problemei

Exemplul prezint ă calculul caracteristicilor eficace pentru o sec ţiune de tip C, format ă la rece, solicitat ă la compresiune.   Datele

problemei problemei

Marca oţelului Modulul de elasticitate Coeficientul lui Poisson

S355  E  =  = 210000 N

mm2

 ν = 0,3

  Dimensiunile  şi caracteristicile geometrice ale

sec ţ iunii iunii transversale

h = 150 150 mm Înălţimea totală a inimii b1 = 47 mm Lăţimea totală a tălpii comprimate Lăţimea totală a tălpii întinse b = 41mm 2 Lăţimea totală a rebordului c = 16mm  = 3 mm Raza interioar ă r  = Grosimea nominal ă t nom = 1 mm t  =  = 0,96 mm Grosimea miezului de o ţel (calculată conform paragrafului § 3.2.4(3) din EN1993-1-3)   Dimensiunile

sec ţ iunii iunii pe axa median ă (vezi Figura E.x.1):

Înălţimea inimii

mm h = h − t  = 150 − 1 = 149 mm  p nom

Lăţimea tălpii comprimate

b = b − t  = 47 − 1 = 46 mm  p1 1 nom

Lăţimea tălpii întinse

b = b2 − t nom = 41 − 1 = 40 mm  p 2

Lăţimea rebordului 

c = c − t nom  p

2 = 16 − 1 2 = 15, 5mm

Caracteristici mecanice - limita de curgere

Marca de oţel S355 Deoarece grosimea maxim ă a pereţilor secţiunii transversale este 1.0 mm ≤  40 mm, limita de curgere este  f  y = 355 N/mm2 SREN 1993-1-1 Tabel 3.1 

Coeficien ţ ii ii par  ţ iali iali de siguran ţă

γ  M0 = 1,00

SREN 1993-1-3 § 2(3)

Figura E.7.1. Sec ţiunea transversal ă 

Verificarea propor  ţ iilor iilor geometrice

Metoda de calcul conform SR EN1993-1-3 poate fi aplicat ă dacă următoarele condi ţii sunt satisf ăcute:  ≤ 60  = 47 0, 96 = 48, 96 < 60  – verifică b t  ≤ b1 t  =  ≤ 50  = 16 0, 96 = 16, 67 < 50  – verifică c t  ≤ c t  = h t  ≤ h t  =  ≤ 500  = 150 0, 96 = 156, 2 255 < 500  – verifică SREN 1993-1-3 §5.2 Pentru a asigura o rigiditate suficient ă  a elementului de rigidizare sau pentru a evita voalarea prematur ă a acesteia, dimensiunile dimensiunile rigidiz ării trebuie să se încadreze între urm ătoarele limite: c b1 = 16 47 = 0, 34 0, 2 ≤ c b ≤ 0, 6 0,2 < 0,34 < 0,6  – verifică 0,2 < 0,39 < 0,6  – verifică c b2 = 16 41 = 0, 39 r r

Influenţa rotunjirii col ţurilor poate fi neglijat ă dacă: t  ≤ r t  =  ≤ 5  = 3 0, 96 = 3,125 < 5  – verifică bp ≤ 0,10 r bp1 = 3 47 = 0, 06 < 0.10  – verifică r bp2 = 3 64 64 = 0, 05 < 0,10  – verifică SREN 1993-1-3 §5.1(3) Aria secţiunii transversale brute:

 Abr = t

( 2cp + bp1 + bp2 + hp ) = 0, 96 × ( 2 × 15, 5 + 46 + 40 + 149 ) = 255, 36 mm 2

Poziţia axei neutre în raport cu talpa comprimat ă:  cp ( hp − cp 2 ) + bp2 hp + hp2 2 + cp2 2  t      zb1 = = 72,82 72,82 mm  Abr

 Determinar area ea caracte caracterist risticil icilor or geometr geometrice ice eficace eficace ale t ălpii şi rebordului în   Determin

compresiune

În conformitate cu paragraful §5.5.3.2 din SR EN1993-1-3, în calculul caracteristicilor eficace ale t ălpii şi rebordului în compresiune, se aplic ă procedura iterativ ă. Calculul se conduce  în trei paşi, astfel:  Pasul 1:

Conform punctului §5.5.3.2(3) din SR EN1993-1-3 se ob ţine pentru rigidizarea marginal ă o arie eficace ini ţială, folosind lăţimea eficace a t ălpii comprimate şi considerând c ă  talpa  = ∞ ) şi comprimată este un perete interior, rigidizarea fiind considerat ă cu rigiditate infinit ă ( K  = folosind o rezisten ţă de calcul neredus ă ( σcom,Ed =  f yb  / γ  M 0 ). • Lăţimea eficace a t ălpii comprimate Raportul tensiunilor: ψ = 1  (compresiune uniform ă), rezultă coeficientul de flambaj este: k σ = 4   pentru pere ţi comprimaţi interiori (conform § 5.5.2 din SR EN1993-1-3 şi §4.4 din

EN1993-1-5). ε = 235  f yb o

Pentru talpa superioar ă: Zvelteţea redusă este: λ p,b1 =

bp1 t 

28, 4 ε k σ

=

46 0,96 ,96 = 1,03 28, 4 × 235 350 × 4

Factorul de reducere al l ăţimii tălpii este: ρ=

λ p,b1 − 0,05 ,055 (3 + ψ )   1, 03 − 0, 055 × (3 + 1) = = 0,764 λ p,b 2 1,032

Rezultă lăţimea eficace a t ălpii comprimate: mm beff1 = ρ1bp1 = 0, 764 × 46 = 35,14 mm be11 = be12 = 0, 5beff1 = 0, 5 × 35,14 = 17, 57 mm mm o

Pentru talpa inferioar ă: Zvelteţea redusă este: λ p,b2 =

bp2 t 

28, 4 ε k σ

=

40 0,96 ,96 = 0,895 28, 4 × 235 350 × 4

Factorul de reducere al l ăţimii tălpii este: ρ=

λ p,b2 − 0,05 ,055 (3 + ψ )   0, 895 − 0, 055 × (3 + 1) = = 0,843 λ p,b2 2 0,8952

Rezultă lăţimea eficace a t ălpii comprimate: mm beff2 = ρ 2bp2 = 0, 843 × 40 = 33, 72 mm be21 = be22 = 0, 5beff2 = 0, 5 × 33, 72 = 16, 86 mm

• Lăţimea eficace a rebordului comprimat o

Pentru rebordul de la partea p artea superioar ă:

Coeficientul de voalare este: dacă bp,c bp1 ≤ 0,35 :

k σ = 0,5

dacă

kσ = 0, 5 + 0, 83 3 bp,c bp1 − 0, 35

0, 35 < bp,c bp1 ≤ 0, 6 : bp,c bp1 = 15, 5

46 = 0, 337 < 0, 35  

(

rezultă

)

2

k σ = 0,5

SREN 1993-1-3 §5.5.3.2(5a) Zvelteţea redusă este: λ p,c1 =

cp t 

28, 4 ε k σ1

=

15,5 0,96 ,96 = 0,981 28, 4 × 235 350 × 0, 5

SREN 1993-1-5 §4.4 Factorul de reducere al l ăţimii rebordului: ρ1 =

λ p,c1 − 0,188 λ p,c12

0,98 ,981 − 0,188 = 0,824 , ρ ≤ 1 2 0,981

=

Lăţimea eficace a rebordului este: ceff = ρ cp = 0, 824 × 15, 5 = 12, 77 77 mm

SREN 1993-1-3 § 5.5.3.2(5a) Aria eficace a rigidiz ării marginale de la partea superioar ă se calculeaz ă astfel:  As = t ( be2 + ceff )  = 0, 96 × (17, 57 + 12, 77 ) = 29,126mm 2 SREN 1993-1-3 § 5.5.3.2(6) o

Pentru rebordul de la partea inferioar ă: Coeficientul de voalare este: bp,c bp2 = 15, 5

2

40 = 0, 388 > 0, 35  rezultă k σ = 0, 5 + 0, 83 3 (0, 388 − 0, 35 ) = 0, 594

SREN 1993-1-3 §5.5.3.2(5a) Zvelteţea redusă este: λ p,c2 =

cp t 

28, 4 ε k σ2

=

15,5 0,96 ,96 = 0,900 28, 4 × 235 350 × 0, 594

SREN 1993-1-5 §4.4 Factorul de reducere al l ăţimii rebordului: ρ2 =

λ p,c2 − 0,188 λ p,c2 2

=

0,90 ,900 − 0,188 = 0,879 , ρ ≤ 1 0,900 2

Lăţimea eficace a rebordului este: 879 × 15, 5 = 13, 62 62 mm ceff2 = ρ cp2 = 0, 87

SREN 1993-1-3 § 5.5.3.2(5a) Aria eficace a rigidiz ării marginale de la partea superioar ă se calculeaz ă astfel: 26mm 2  As2 = t ( be22 + ceff2 ) = 0, 96 × (16, 86 + 13, 62 ) = 29, 26

SREN 1993-1-3 § 5.5.3.2(6)  Pasul 2:

În conformitate cu §5.5.3.2(3) din EN1993-1-3, se utilizeaz ă secţiunea transversal ă eficace a rigidizării marginale, pentru determinarea coeficientului de reducere, luându-se în considerare efectele legăturii elastice între: Tensiunea critic ă de flambaj elastic pentru rigidizarea marginal ă este: σcr , s =

2 K E I s  As

SREN 1993-1-3 §5.5.3.2(7) unde: K este rigiditatea resortului pe unitatea de lungime; Is este momentul de iner ţie a sec ţiunii eficace a rigidiz ării. o

Pentru rebordul de la partea p artea superioar ă: Rigiditatea resortului este: 3

K 1 =

1

 E t 

⋅ 4(1 − ν 2 ) b12 hp + b13 + 0, 5 b1 b2 hp k f1  

SREN 1993-1-3 §5.5.3.1(5) cu: 2 17, 5577 × 0, 96 ×17, 5577 / 2 = 46 − = 40, 913 mm (be2 + ceff ) t  (17, 57 + 12, 77) × 0, 96 2 b tb 16, 86 × 0, 96 ×16, 86 2 b2 = bp2 − e22 e22 = 40 − = 35, 34 mm (be22 + ceff2 ) t  (16, 86 + 13, 62) × 0, 96  A 29,26 k f1 = s2 = = 1,004  pentru un element supus la compresiune axial ă  As1 29,13 b1 = bp1 −

be2t be2

K 1 = 0,12 N

mm 2

Momentul de iner ţie al secţiunii eficace a rigidiz ării este: 2

2

c     ceff12 ceff12 e f f 1 457,32 mm4  I s1 = b t c t  + + e 12  −  + eff1     I s1 = 457,32 12 12  2  2 ( be12 + ceff1 )   2 ( be12 + ceff1 )   be12 t 3

ceff13 t

Rezultă, tensiunea critic ă  de flambaj elastic pentru rigidizarea marginal ă  de la partea superioară: σcr,s =

o

2 × 0,161 × 210000 × 457, 32 = 270,011 ,011 N mm 2 29,126

Pentru rebordul de la partea inferioar ă: Rigiditatea resortului este: 3

K 2 =

 E t 

1

⋅ 2 2 4(1 − ν ) b2 hp + b23 + 0, 5 b1 b2 hp k f2  

SREN 1993-1-3 §5.5.3.1(5) cu: b1 = bp1 −

2 17, 5577 × 0, 96 ×17, 5577 / 2 = 46 − = 40, 913 mm (be2 + ceff ) t  (17, 57 + 12, 77) × 0, 96 be2t be2

k f2 =

 As1  As2

=

29,13 = 0,996  pentru un element supus la compresiune axial ă 29,26

K 2 = 0,151 N

mm 2

Momentul de iner ţie al secţiunii eficace a rigidiz ării este:  I s2 =

be22 t 3

12

+

ceff23 t

12

2

c     ceff22 ceff22 e f f 2 + be22 t  −  + ceff2 t    2  2 ( be22 + ceff2 )   2 ( be22 + ceff2 )  

2

538,02 mm4  I s2 = 538,02

Rezultă, tensiunea critic ă  de flambaj elastic pentru rigidizarea marginal ă  de la partea inferioară: σcr,s =

2 × 0,151 × 210000 × 538, 02 = 282,33 ,33 N mm 2 29,26

• Coeficientul de reducere χ d al grosimii rigidiz ării marginale, conform § 5.5.3.2(3), Figura

5.10d din SR EN1993-1-3

o

Pentru rebordul de la partea p artea superioar ă: Zvelteţea redusă este: λ d1 =  f yb σ cr,s1 = 350 233,1 = 1,22 ,225

SREN 1993-1-5 §4.4 Factorul de reducere rezult ă: dacă dacă dacă

λ d ≤ 0,65

χ d = 1, 0

0, 65 < λ d < 1, 38 χ d = 1, 47 47 − 0, 72 723 λ d λ d ≥ 1,38 χ d = 0,66 λ d 0, 65 < λ d1 = 1, 225 < 1, 38   deci χd1 = 1, 4477 − 0, 77223 × 1, 22225 = 0, 584

SREN 1993-1-5 § 4.4(2) o

Pentru rebordul de la partea inferioar ă: Zvelteţea redusă este: λ d2 =  f yb σcr,s2 = 350 282,33 ,33 = 1,113

SREN 1993-1-5 §4.4 Factorul de reducere rezult ă: 0, 65 < λ d1 = 1,113 < 1, 38  

deci

χd1 = 1, 4 477 − 0, 77223 × 1,113 = 0, 66665

 Pasul 3:

Conform §5.5.3.2(3), Figura 5.10e şi §5.5.3.2 (10) din EN1993-1-3, dac ă  factorul de reducere χ d < 1, se itereaz ă pentru îmbunătăţirea valorii factorului de reducere pentru flambajul rigidizării. şi σcom,Ed,i = χd f yb γ M0  λ p,red = λ p χ d Procesul iterativ se opre şte când factorul de reducere χ  converge. o

Pentru rebordul de la partea p artea superioar ă:

Valori iniţiale (iteraţia 1):

o

Valori finale (iteraţia n):

χd1 = 0,584

χd1 = χd1,n = 0,622

be12 = 17,57 17,57 mm

be12 = be12,n = 20,65mm

12,77 mm ceff1 = 12,77

15,16 mm ceff1 = ceff1,n = 15,16

Pentru rebordul de la partea inferioar ă: Valori iniţiale (iteraţia 1):

Valori finale (iteraţia n):

χd2 = 0,665

χd2 = χd2,n = 0,693

16,57 mm be22 = 16,57

be22 = be22,n = 18,92mm

ceff2 = 13,62 13,62 mm

ceff2 = ceff2,n = 15,49 15,49 mm

Valorile finale ale caracteristicilor eficace pentru talpa şi rebordul solicitate la compresiune sunt (§5.5.3.2(12) din EN1993-1-3): E N1993-1-3): o

Pentru talpa si rebordul de la partea superioar ă: χd1 = 0,622

o

20,65 mm be12 = 20,65

15,16 mm ceff1 = 15,16

şi

17,57 mm be11 = 17,57

şi

16,86 mm be21 = 16,86

Pentru talpa si rebordul de la partea superioar ă: χd2 = 0,693

18,92 mm be22 = 18,92

15,49 mm ceff2 = 15,49

Conform (§5.5.3.2(12) din EN1993-1-3, rezult ă: 96 × 0, 62 622 = 0, 59 597 tred,1 = t χ d1 = 0, 96

mm tred,2 = t χ d2 = 0, 96 96 × 0, 69 693 = 0, 66 665 mm mm  Determinar area ea caracte caracterist risticil icilor or geometr geometrice ice ale sec ţ iunii iunii   Determin

eficace a inimii:

Raportul tensiunilor: ψ = 1  (compresiune uniform ă), astfel încât coeficientul de flambaj, conform §4.4 din EN1993-1-5 este k σ = 4 . ε = 235  f yb

Zvelteţea redusă: λ p,h =

hp t 

28, 4 ε k σ

=

149 0,96 ,96 = 3,335 28, 4 × 235 350 × 4

Factorul de reducere este: ρ=

λ p,h − 0,05 ,055 (3 + ψ )   3, 335 − 0, 055 × (3 + 1) = = 0,280 λ p,h 2 3,3352

Lăţimea eficace a inimii este: 2880 × 149 = 41, 7722 mm mm heff = ρ hc = 0, 2 mm he1 = he2 = 0, 5heff =  0, 5 × 41, 72 = 20, 86 mm



Caracteristicile sec ţ iunii iunii eficace:

Aria secţiunii eficace:  Aeff = t be11 + be21 + he1 + he2 + (be12 + ceff1 )χ d1 + ( be22 + ceff2 )χ d2   Aeff  = 117,37 117,37 mm2

Poziţia axei neutre în raport cu talpa superioar ă:  zG1 =

 c  t ceff2χ d2  hp − eff2 2  

he2    + hp ( be22χ d2 + be21 ) + he2  hp − 2  

 he12 ceff12 χd1   + 2 + 2  

 Aeff 

 zG1 = 74,92 74,92 mm

Poziţia axei neutre în raport cu talpa inferioar ă:  zG 2 = hp − zG1 = 149 − 74, 92 = 74, 08 08mm

E.8. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale secţ secţiunii transversale a unui profil cu secţ secţiune de tip C formată formată la rece, solicitată solicitată la încovoiere  Descrierea   Descrierea

problemei problemei

Exemplul prezint ă calculul caracteristicilor eficace pentru o sec ţiune de tip C, format ă la rece, solicitat ă la încovoiere dup ă axa maxim ă de iner ţie.   Datele

problemei problemei

Marca oţelului Modulul de elasticitate Coeficientul lui Poisson

S355  E  =  = 210000 N

mm2

 ν = 0,3

  Dimensiunile  şi caracteristicile geometrice ale

sec ţ iunii iunii transversale

Înălţimea totală a inimii h = 150 150 mm b1 = 47 mm Lăţimea totală a tălpii comprimate Lăţimea totală a tălpii întinse b = 41mm 2 c = 16mm Lăţimea totală a rebordului r  = Raza interioar ă  = 3 mm Grosimea nominal ă t  nom = 1 mm t  = Grosimea miezului de o ţel  = 0,96 mm (calculată conform paragrafului § 3.2.4(3) din SR EN1993-1-3)   Dimensiunile

sec ţ iunii iunii pe axa median ă (vezi Figura E.x.1):

Înălţimea inimii

h = h − t  = 150 − 1 = 149 mm mm  p nom

Lăţimea tălpii comprimate

b = b − t  = 47 − 1 = 46 mm  p1 1 nom

Lăţimea tălpii întinse

b = b2 − t nom = 41 − 1 = 40 mm  p 2

Lăţimea rebordului

c = c − t nom  p

2 = 16 − 1 2 = 15, 5mm

Figura E.8.1. Sec ţiunea transversal ă 

Caracteristici mecanice - limita de curgere

Marca de oţel S355 Deoarece grosimea maxim ă a pereţilor secţiunii transversale este 1.0 mm ≤  40 mm, limita de curgere este  f  y = 355 N/mm2 SREN 1993-1-1 Tabel 3.1 

Coeficien ţ ii ii par  ţ iali iali de siguran ţă

γ  M0 = 1,00 

SREN 1993-1-3 § 2(3)

Verificarea propor  ţ iilor iilor geometrice

Metoda de calcul conform SR EN1993-1-3 poate fi aplicat ă dacă următoarele condi ţii sunt satisf ăcute: b t  ≤ b1 t  =  ≤ 60  = 47 0, 96 = 48, 96 < 60  – verifică c t  ≤ c t  =  ≤ 50  = 16 0, 96 = 16, 67 < 50  – verifică h t  ≤  ≤ 500 h t  =  = 150 0, 96 = 156, 25 25 < 500  – verifică SREN 1993-1-3 §5.2 Pentru a asigura o rigiditate suficient ă  a elementului de rigidizare sau pentru a evita voalarea prematur ă a acesteia, dimensiunile dimensiunile rigidiz ării trebuie să se încadreze între urm ătoarele limite: 0, 2 ≤ c b ≤ 0, 6 c b1 = 16 47 = 0, 34 0,2 < 0,34 < 0,6  – verifică c b2 = 16 41 = 0, 39 0,2 < 0,39 < 0,6  – verifică r r

Influenţa rotunjirii col ţurilor poate fi neglijat ă dacă: t  ≤  ≤ 5 r t  =  = 3 0, 96 = 3,125 < 5  – verifică bp ≤ 0,10 r bp1 = 3 47 = 0, 06 < 0.10  – verifică r bp2 = 3 64 64 = 0, 05 < 0,10  – verifică SREN 1993-1-3 §5.1(3) Aria secţiunii transversale brute:

 Abr = t

( 2cp + bp1 + bp2 + hp ) = 0, 96 × ( 2 ×15, 5 + 46 + 40 + 149) = 255, 36 mm2

Poziţia axei neutre în raport cu talpa comprimat ă: cp ( hp − cp 2 ) + bp2 hp + hp2 2 + cp2 2  t    = 72,82  zb1 =  72,82 mm  Abr

 Determinar area ea caracte caracterist risticil icilor or geometr geometrice ice eficace eficace ale t ălpii şi rebordului în   Determin

compresiune

În conformitate cu paragraful §5.5.3.2 din SR EN1993-1-3, în calculul caracteristicilor eficace ale t ălpii şi rebordului în compresiune, se aplic ă procedura iterativ ă. Calculul se conduce  în trei paşi, astfel:  Pasul 1:

Conform punctului §5.5.3.2(3) din SR EN1993-1-3 se ob ţine pentru rigidizarea marginal ă o arie eficace ini ţială, folosind lăţimea eficace a t ălpii comprimate şi considerând c ă  talpa comprimată este un perete interior, rigidizarea fiind considerat ă cu rigiditate infinit ă ( K  =  = ∞ ) şi folosind o rezisten ţă de calcul neredus ă ( σcom,Ed =  f yb  / γ  M 0 ). • Lăţimea eficace a t ălpii comprimate

Raportul tensiunilor: ψ = 1  (compresiune uniform ă), rezultă coeficientul de flambaj este: k σ = 4  pentru pere ţi comprimaţi interiori (conform § 5.5.2 din SR EN1993-1-3 şi §4.4 din SR EN1993-1-5). ε = 235  f yb

Zvelteţea redusă este: λ p,b =

bp1 t 

28, 4 ε k σ

=

46 0,96 ,96 = 1,03 28, 4 × 235 350 × 4

Factorul de reducere al l ăţimii tălpii este: ρ=

λ p,b − 0,05 ,055 ( 3 + ψ )   1, 03 − 0, 055 × ( 3 + 1) = = 0,764 2 2 λ p,b 1,03

Rezultă lăţimea eficace a t ălpii comprimate: beff = ρ bp1 = 0, 764 × 46 = 35,14 mm mm be1 = be2 = 0, 5beff =  0, 5 × 35,14 = 17, 57 mm mm

• Lăţimea eficace a rebordului comprimat

Coeficientul de voalare este: dacă bp,c bp1 ≤ 0,35 :

k σ = 0,5

dacă

kσ = 0, 5 + 0, 83 3 bp,c bp1 − 0, 35

0, 35 < bp,c bp1 ≤ 0, 6 : bp,c bp1 = 15, 5

46 = 0, 337 < 0, 35  

(

rezultă

)

2

k σ = 0,5

SREN 1993-1-3 §5.5.3.2(5a) Zvelteţea redusă este: λ p,c =

cp t 

28, 4 ε k σ

=

15,5 0,96 ,96 = 0,981 28, 4 × 235 350 × 0, 5

SREN 1993-1-5 §4.4 Factorul de reducere al l ăţimii rebordului:

ρ=

λ p,c − 0,188 λ p,c 2

=

0,98 ,981 − 0,188 = 0,824 , ρ ≤ 1 2 0,981

Lăţimea eficace a rebordului este: ceff = ρ cp = 0, 824 × 15, 5 = 12, 7 777 mm

SREN 1993-1-3 § 5.5.3.2(5a) Aria eficace a rigidiz ării marginale se calculeaz ă astfel:  As = t ( be2 + ceff )  = 0, 96 × (17, 57 + 12, 77 ) = 29,126mm 2

SREN 1993-1-3 § 5.5.3.2(6)  Pasul 2:

În conformitate cu §5.5.3.2(3) din SR EN1993-1-3, se utilizeaz ă secţiunea transversal ă eficace a rigidiz ării marginale, pentru determinarea coeficientului de reducere, luându-se în considerare efectele leg ăturii elastice între: Tensiunea critic ă de flambaj elastic pentru rigidizarea marginal ă este: σcr , s =

2 K E I s  As

SREN 1993-1-3 §5.5.3.2(7) Unde rigiditatea resortului este: 3

K  =

1

 E t 

⋅ 4(1 − ν ) b12 hp + b13 + 0, 5 b1 b2 hp k f     2

SREN 1993-1-3 §5.5.3.1(5) cu: b1 = bp1 −

2 17, 57 × 0, 96 × 17, 57 / 2 = 46 − = 40, 913 mm (be2 + ceff ) t  (17, 57 + 12, 77) × 0, 96 be2t be2

k f  = 0  pentru încovoierea dup ă axa y-y K  =  = 0,161 N

mm

Momentul de iner ţie al secţiunii eficace a rigidiz ării este: 2

2

   ceff ceff 2 ceff 2     I s = + + be2 t  −  457,32 mm4  + ceff t    I s = 457,32 12 12  2 ( be2 + ceff )   2 2 ( be2 + ceff )    be2 t 3

ceff 3 t

Rezultă, tensiunea critic ă de flambaj elastic: σcr,s =

2 × 0,161 × 210000 × 457, 32 = 270,011 ,011 N mm2 29,126

• Coeficientul de reducere χ d al grosimii rigidizării marginale, conform § 5.5.3.2(3), Figura 5.8d

din SR EN1993-1-3 Zvelteţea redusă este:

λ d =  f yb σcr,s = 350 270,01 ,011 = 1,139

SREN 1993-1-3 §5.5.3.1(7) Factorul de reducere rezult ă: dacă dacă

λ d ≤ 0,65

χd = 1, 0

0, 65 < λd < 1, 38

χd = 1, 47 47 − 0, 72 723 λd

dacă

λ d ≥ 1,38

χd = 0,66 λ d

0, 65 < λd = 0, 992 < 1, 38  

deci

χd = 1, 47 47 − 0, 72 723 ×1,139 = 0, 64 646

SREN 1993-1-5 § 4.4(2)  Pasul 3:

Conform §5.5.3.2(3), Figura 5.10e şi §5.5.3.2 (10) din SR EN1993-1-3, dac ă factorul de reducere χ d < 1, se itereaz ă pentru îmbunătăţirea valorii factorului de reducere pentru flambajul rigidizării. şi σcom,Ed,i = χd f yb γ M0  λ p,red = λ p χd Procesul iterativ se opre şte când factorul de reducere χ  converge. Valori iniţiale (iteraţia 1):

Valori finale (iteraţia n):

χd = 0,646 be2 = 17,57 17,57 mm

χd = χd,n = 0,614 be2 = be2,n = 20,736 20,736 mm

ceff  = 12,77 12,77 mm

ceff = ceff,n = 12,77 12,77 mm

Valorile finale ale caracteristicilor eficace pentru talpa şi rebordul solicitate la compresiune sunt (§5.5.3.2(12) din EN1993-1-3): E N1993-1-3): χd = 0,614 be2 = 20,736 20,736 mm ceff  = 12,77 12,77 mm şi be1 = 17,57 17,57 mm tred = t χd = 0, 9 966 × 0, 66114 = 0, 55889

mm mm

 Determinar area ea caracte caracterist risticil icilor or geometr geometrice ice eficace eficace a   Determin

inimii inimii::

Poziţia axei neutre în raport cu talpa comprimat ă (a se vedea Figura E.8.2): hc =

(

cp hp − cp

2 ) + bp2 hp + hp2 2 + ceff 2 χd 2

cp + bp2 + hp + be1 + ( be2 + c eff ) χd

hc = 79,5 79,5 mm

Raportul tensiunilor: ψ=

hc − hp = hc

79, 5 − 149 = −0,874 79,5

Coeficientul de flambaj este: k σ = 7, 81 − 6, 29ψ + 9, 78ψ 2  

k σ = 20,76

Zvelteţea redusă: λ p,h =

hp t 

28, 4 ε k σ

=

149 0,96 = 1,464 28, 4 × 235 350 × 20, 76

Factorul de reducere este: ρ=

λ p,h − 0,05 ,055 ( 3 + ψ )   1, 464 − 0, 055 × ( 3 − 0, 874 ) = = 0,629 λ p,h 2 1,4642

Lăţimea eficace a zonei comprimate a inimii este: heff = ρ hc = 0, 629 × 79, 5 = 50 mm mm

Porţiunea cea mai apropiat ă de talpa în compresiune: he1 = 0, 4heff =  0, 4 × 50 = 20 mm

Porţiunea cea mai apropiat ă de axa neutr ă: he2 = 0, 6heff =  0, 6 × 50 = 30 mm

SREN 1993-1-5 § 4.4(Tabelul 4.1)

Figura E.8.2 • Lăţimea eficace a inimii:

Porţiunea cea mai apropiat ă de talpa în compresiune: h1 = he1 = 20 mm

Porţiunea cea mai apropiat ă de talpa întinsă: h2 = hp − ( hc − he2 ) = 149 − ( 79, 5 − 30) = 99, 5 mm

Caracteristicile sec ţiunii eficace (vezi Figura E.8.3):  Aeff = t[cp + bp 2 + h1 + h2 + be1 + (be 2 + ceff ) χ d ]  Aeff  = 0, 96 × 15, 5 + 40 + 20 + 99, 5 + 17, 57 + ( 20, 736 + 12, 77 ) × 0, 614  = 204, 62 mm mm2

Figura E.8.3 Poziţia axei neutre în raport cu talpa comprimat ă:  zc =

t cp hp − cp 

(

 zc = 85,75 85,75 mm

2 ) + bp2 hp + h2 ( hp − h2 2 ) + h12 2 + ceff 2 χ d 2  Aeff 

Poziţia axei neutre în raport cu talpa întins ă:  zt = hp − zc = 149 − 85, 7 755 = 63, 2255mm

Momentul de iner ţie al secţiunii eficace este:  I eff,y =

h13t

+

h23t   bp2t

+

3

+

cp 3t

+

 be1t 3

+

be2 (χ dt )3

+

ceff 3 (χd t )

+

 

1 2 12 12 12 12 12 12 + cp t ( zt − cp 2) 2 + bp 2tz t 2 + h2t ( z t − h2 2) 2 + h1t ( z c − h1 2) 2 + + be1t zc 2 + be2 (χd t ) zc 2 + ceff (χdt )( zc − ceff 2  ) 2

 I eff,y = 668 668103 103 mm4

Modulul de rezisten ţă al secţiunii eficace: - în raport cu talpa comprimat ă W eff,y,c =

 I eff,y  zc

=

668103 = 7791 mm3 85,75

- în raport cu talpa întins ă W eff,y,t =

 I eff,y  zt

=

668103 = 10563 mm3 63,25

E.9. Calculul unui stâlp cu secţ sec ţiune transversală transversală de tip C formată format ă la rece, solicitat la compresiune  Descrierea   Descrierea

structurii

Exemplul descrie calculul unui montant de perete dublu-articulat supus la compresiune. Montantul de perete e realizat dintr-un profil C cu pere ţi subţiri format la rece, care are ata şate pl ăci pe ambele t ălpi, care previn flambajul pe direc ţia slabă şi flambajul prin răsucire. În Figura E.9.1(a) E.9.1(a) se prezint ă schema static ă şi încărcarea ce ac ţioneaz ă pe montant. 

Schema statică

(a) (b) Figura E.9.1. Schema static ă şi secţiunea transversal ă   Datele

problemei problemei

Marca oţelului Modulul de elasticitate

S355  E  =  = 210000 N

mm2

Coeficientul lui Poisson

0, 3  ν = 0,3

Modulul de elasticitate transversal

G =

Înălţimea montantului Deschiderea plan şeului Distanţa dintre grinzile de plan şeu Încărcarea distribuit ă aplicată pe planşeu: - încărcarea permanent ă – plan şeu uşor:

 E 

2 (1 + ν )

= 81000 N mm2

 H  =  = 3,1m  L = 5 m S  =  = 0,6m

1, 2 kN kN m 2 qG = 1, 2 × 0, 6 = 0, 72 kN kN m

- încărcarea utilă:

2, 5 kN k N m2 qQ = 2, 5 × 0, 6 = 1, 50 kN kN m

Forţa concentrat ă corespunz ătoare stării limită ultime, provenită de la nivelul superior şi de la acoperi ş: Q = 15,0 15,0 kN   Dimensiunile  şi caracteristicile geometrice ale

sec ţ iunii iunii transversale

h = 150 Înălţimea totală a inimii 150 mm b = 40 mm Lăţimea totală a tălpii c = 15mm Lăţimea totală a rebordului r  =  = 3 mm Raza interioar ă Grosimea nominal ă t nom = 1 mm t  = Grosimea miezului de o ţel  = 0,96 mm (conform §3.2.4(3) din SR EN1993-1-3) 

Caracteristicile geometrice ale sec ţ iunii iunii transversale eficace:

Conform §5.5.3.1, §5.5.3.2 din SR EN1993-1-3 şi §4.4 din SR EN1993-1-5, respectiv conform modelului de calcul prezentat în Exemplele E.7 şi E.8. Aria eficace a sec ţiunii transversale solicitate la compresiune rezult ă:  Aeff  = 198mm2

Poziţia axei z-z a sec ţiunii transversale eficace în raport cu inima:  yc,eff  = 15,92 15,92 mm

Modulul de rezisten ţă  eficace, din solicitarea de încovoiere dup ă  axa minimă  de inerţie rezultă: W eff,z,com = 1274 1274 mm3 W eff,z,ten = 2585 2585 mm3 

Caracteristici mecanice - limita de curgere

Marca de oţel S355 Deoarece grosimea maxim ă a pereţilor secţiunii transversale este 1.0 mm ≤  40 mm, limita de curgere este  f  y = 355 N/mm2 SREN 1993-1-1 Tabel 3.1 

Coeficien ţ ii ii par  ţ iali iali de siguran ţă

γ  M0 = 1,00 γ  M1 = 1,00 γ G = 1,35  – încărcări permanente

SREN 1993-1-3 § 2(3)

γ Q = 1,50  – încărcări variabile

SREN 1990 Forţa concentrat ă  totală, de compresiune, aplicat ă  montantului, conform EN1990, se calculează astfel:  N Ed = ( γ G qG + γ Q qQ ) L + Q = (1, 35 × 0, 6 + 1, 50 × 1, 50) × 5 + 10 = 25, 3 kN kN 

Verificarea rezisten ţ ei ei sec ţ iunii iunii transversa t ransversale: le:

Următorul criteriu trebuie îndeplinit:  N Ed  N c,Rd

+

 M y,Ed + ∆M y,Ed M cy,Rd,com

≤1

SREN 1993-1-3 §6.1.9 unde:  N c,Rd = Aeff f yb γ M0

SREN 1993-1-3 §6.1.3  M cz,Rd,com = Weff,com f yb  / γ M0

SREN 1993-1-3 §6.1.4 iar, conform §6.1.9(2) din SR EN1993-1-3, reprezint ă momentele adi ţionale ∆ M y,Ed = N Ed eNy , datorate deplas ării centrului de greutate eNy   pe axa y-y. (pentru acest caz particular, datorit ă faptului că secţiunea transversal ă este dublu simetric ă, eNy = 0 ). Verificarea rezisten ţei: 25300 0 + 25300 × 3, 04 + = 0, 785 < 1 118 × 350 1, 1, 0 1274 × 350 1, 1, 0

– verifică

4. ELEMENTE SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE 4.1. Determinarea momentului critic elastic pentru bare solicitate la încovoiere Proiectarea unei bare solicitate la încovoiere cu for ţă tăietoare presupune verificarea rezisten ţei secţiunii transversale şi verificarea stabilit ăţii elementului. Aşa cum s-a ar ătat în 2.3, atunci când o bară  încovoiat ă  este încărcată după  axa maxim ă  de inerţie, există  tendinţa de a- şi pierde stabilitatea printr-un mod de flambaj care implic ă atât o deplasare lateral ă (încovoiere dup ă axa minimă de inerţie) cât şi o rotire a secţiunii (răsucire în jurul axei longitudinale a barei). Acest mod de pierdere a stabilit ăţii barelor încovoiate este denumit flambaj lateral prin încovoiererăsucire. Cu referire la Figura 2.10, presupunând grinda în consol ă perfect dreapt ă şi materialul perfect elastic, cap ătul consolei s-ar deplasa doar în plan vertical, pan ă  când momentul  încovoietor aplicat atinge o valoare critic ă, pentru care grinda î şi pierde stabilitatea prin  încovoiere-răsucire şi apar deplas ări în afara planului vertical. O metod ă  de proiectare pentru bare încovoiate, care î şi pot pierde stabilitatea prin încovoiere – r ăsucire, trebuie s ă  ia în considerare un num ăr mare de factori, incluzând forma sec ţiunii transversale, prezen ţa reazemelor laterale, modul de înc ărcare, distribuţia tensiunilor reziduale şi imperfecţiunile iniţiale. În continuare se va prezenta modul de calcul al momentului critic de pierdere a stabilit ăţii prin  încovoiere – răsucire pentru un caz simplu, care va fi dezvoltat mai departe, pentru a include cazuri mai generale. Se consider ă grinda simplu-rezemat ă  din Figura 4.1 (daSilva ş.a., 2010),  încărcată cu momente încovoietoare pe cap ăt, astfel încât bara este înc ărcată cu moment uniform pe toată lungimea. Reazemele împiedic ă deplasările laterale şi r ăsucirea sec ţiunilor de cap ăt, dar permit deplanarea şi rotirea în jurul axelor sec ţiunii transversale ( y şi  z). Acest caz se mai denume şte în continuare cazul standard. Pentru calcul, se consider ă următoarele ipoteze: - bara este perfect dreapt ă, f ără nici un tip de imperfec ţiuni (geometrice sau de material); - secţiunea este dublu-simetric ă; - materialul are o comportare liniar elastic ă; - deplas ările sunt mici. Considerând configura ţia deformată din Figura 4.1 cu sistemul de axe  x’,  y’,  z’, se pot scrie trei ecuaţii de echilibru, pentru aflarea deplas ărilor necunoscute φ, v şi w. În conformitate cu ipoteza micilor deplasări, pentru secţiunea transversal ă, se pot considera caracteristicile din pozi ţia nedeformată. Pentru încovoiere dup ă  axa  y’, considerând  M  y’=  M  y  cos φ ≈  M  y, ecuaţia de echilibru se poate scrie: d 2w ( x) + M y = 0    EI y (4.1) 2 dx

Pentru încovoiere dup ă axa z’, considerând  M  z’= M  y sin φ ≈ φ M  y, ecuaţia de echilibru este:  EI z

d

2ν  x ( ) + ϕ ( x ) M y = 0   dx 2

(4.2)

Pentru răsucire în jurul axei  x’, considerând T =  M  y sin (dv /d x) ≈  M  y (d v /d x), ecuaţia diferenţială pentru torsiune neuniform ă este:

d 3ϕ ( x ) dϕ ( x ) dν ( x ) − GIT + M y = 0   EI w 3 d x d x dx

(4.3)

Poziţ Poziţie iniţ iniţială ială Poziţ Poziţie deformată deformată

Vedere segmentul A-C Secţiunea C-C Fig. 4.1: Flambaj prin încovoiere – r ăsucire pentru o bar ă cu secţiune I dublu-simetric ă sub acţiunea unui moment încovoietor constant pe lungimea barei (daSilva ş.a., 2010) Ecuaţia (4.1) este ecua ţia diferenţială  utilizată  în mod obi şnuit pentru încovoierea dup ă  axa maximă de inerţie şi depinde doar de deplasarea vertical ă a grinzii w(x). Ecuaţiile (4.2) şi (4.3) sunt cuplate. Derivând ecua ţia (4.3) în raport cu  x  (poziţia în lungul axei barei) şi înlocuind expresia d 2v(x)/dx2 din ecua ţia (4.2), se ob ţine următoarea ecuaţie diferenţială de ordinul patru: 2 d 4ϕ ( x ) d 2ϕ ( x )  M  y − GIT  − ϕ ( x ) = 0    EI w 4 2  EI  dx dx

(4.4)

 z

Impunând condi ţiile de margine (rotirile φ în jurul axei grinzii sunt nule în dreptul reazemelor) se obţine un sistem de ecua ţii omogene. Punând condi ţia ca acest sistem s ă aibă soluţie diferită de soluţia banală (adică rotirea în jurul axei grinzii, care reprezint ă necunoscuta ecua ţiei, să nu fie nulă, ceea ce ar presupune c ă  bara încovoiat ă rămâne nedeformat ă şi deci nu î şi pierde stabilitatea), se ob ţine valoarea momentului  M  y  în aceast ă  situaţie, adică  a momentului critic elastic de flambaj prin încovoiere-răsucire:  M E  cr =

 π 2 EI w  GIT EI z  1 +     L2GI    L  T  

π 

 în care:  I  z  I T  T   I w  L

este momentul de inerţie după axa minimă de inerţie z; este momentul de inerţie la răsucire liberă; este momentul de inerţie la răsucire împiedicat ă; este distanta între reazemele laterale ale grinzii.

(4.5)

Prezenţa concomitent ă în ecuaţia (4.5) a rigidit ăţii la încovoiere ( EI  z) şi a rigidităţilor la răsucire (GI T T,   EI w) este o consecin ţă  a modului de deformare a barei prin cele dou ă  componente: deplasare lateral ă şi răsucire. Importanţa relativă a acestor rigidit ăţi în valoarea momentului critic este dată de forma secţiunii transversale. Figura 4.2 prezint ă comparaţia între momentul critic al unei secţiuni închise, cu o rigiditate mare la r ăsucire, cu momentul critic al unor sec ţiuni deschise. Se observ ă că, fa ţă de o sec ţiune închisă, un profil I obi şnuit are o valoare mult redus ă a momentului critic. Acesta este motivul pentru care, în anumite situa ţii, pentru a m ări momentul capabil al unei grinzi cu sec ţiune I laminat ă  sau sudat ă, predispusă la flambaj prin încovoiererăsucire, se poate mari substan ţial rigiditatea la r ăsucire, transformând sec ţiunea I într-o sec ţiune  închisă, prin sudarea a dou ă platbenzi laterale de t ălpile profilului, aşa cum se arat ă în Figura 4.3.

  r   a    l   u   g   n   a    t   c   e   r

       ă

       ă

  v   a   e   e   n   u    i       ţ   c   e   s   r   c       ţ

   M    /    t   n   e   r   u   c   e   n   u    i       ţ   c   e   s   r   c

       ă

   M    t   r   o   p   a    R

Raport lungime / în ălţime Fig. 4.2: Efectul formei sec ţiunii transversale asupra momentului critic elastic (SSDATA, 1999)

Fig. 4.3: Secţiune I cu rigiditate sporit ă la răsucire În Figura 4.4 se prezint ă comparativ valorile momentului critic elastic de flambaj prin încovoiere – r ăsucire pentru dou ă grinzi I laminate la cald, de tip IPE, respectiv HEA (cu t ălpi late), având

valori aproximativ egale pentru momentul capabil plastic ( M  p). Bara încovoiat ă cu secţiune I cu tălpi late, care are atât rigiditatea lateral ă  (după  axa minimă  de inerţie) cât şi rigiditatea la răsucire mult mai mari, prezint ă, pentru aceea şi deschidere, un raport superior între momentul critic elastic de flambaj prin încovoiere – r ăsucire şi momentul capabil plastic al sec ţiunii transversale.

Fig. 4.4: Compara ţie între momentele critice elastice între sec ţiuni IPE şi HEB În paragrafele urm ătoare se vor prezenta efectele: modului de înc ărcare, al condi ţiilor de rezemare şi al imperfec ţiunilor în verificarea stabilit ăţii barelor încovoiate.

4.2 Efectul modului de încă încărcare şi al condiţ condiţiilor de rezemare Expresia (4.5) este valabil ă  pentru determinarea momentului critic elastic de flambaj prin  încovoiere – răsucire pentru bara simplu rezemat ă  cu sec ţiune dublu-simetrică, solicitată la  încovoiere cu moment constant, cu rotirea dup ă  axa minim ă  de inerţie şi deplanarea liber ă pe reazeme. În realitate pot s ă apără şi alte situaţii, cum ar fi bare cu sec ţiune transversal ă nesimetrică, cu alte condi ţii de rezemare, atât în plan vertical cât şi pentru rotirea dup ă  axa minimă  de inerţie, respectiv pentru deplanare, alte înc ărcări şi în consecin ţă  cu altă  formă a diagramei de moment încovoietor. Determinarea momentului critic pentru fiecare caz presupune rezolvarea unor ecua ţii diferenţiale complexe şi de aceea, în practic ă, se utilizează  expresii aproximative, aplicabile unui set mai larg de situa ţii. Pentru cazul uzual al grinzilor cu sec ţiune constant ă, dublu-simetrice sau mono-simetrice, în raport cu axa minim ă de inerţie, aşa cum se arat ă în Figura 4.5, momentul critic elastic poate fi determinat cu expresia (4.6) (Clark & Hill, 1960; Galea, 1981). Aceast ă expresie este aplicabil ă elementelor structurale încovoiate dup ă axa maximă de inerţie, pentru diverse rezem ări şi tipuri de încărcare.

π 2 EI z  M cr = C1 (k L)2  z

0.5   2  2     k z  I w (k z L ) GI T   + + (C2 z g − C3 z j )2  − (C2 z g − C3 z j )       π 2 EI z     kw  I z    

(4.6)

În aceast ă expresie, coeficien ţii C 1, C 2 şi C 3 depind de modul de înc ărcare şi de condi ţiile de rezemare la capetele barei. Valorile acestor coeficien ţi sunt prezentate în Tabelele 4.1 şi 4.2 pentru câteva situa ţii uzuale (Boissonade et al, 2006).

Fig. 4.5: Secţiuni mono-simetrice in raport cu axa minima de iner ţie Produsul C 2 zg din expresia (4.6) ţine cont de pozi ţia punctului de aplicare al înc ărcării pe bara  încovoiată, în relaţie cu pozi ţia centrului de t ăiere. Aşa cum se arat ă în Figura 4.6, o înc ărcare gravitaţională aplicată sub centrul de t ăiere C  al   al secţiunii transversale (care coincide cu centrul de greutate G al secţiunii în cazul sec ţiunilor dublu-simetrice) are un efect stabilizator, în timp ce aceeaşi încărcare aplicat ă deasupra centrului de t ăiere are un efect destabilizator. Termenul  zg se calculează cu formula:  z g = ( za − z s )  

(4.7)

 în care  za şi  zs sunt coordonatele punctului în care se aplic ă încărcarea, respectiv a centrului de tăiere C , relativ la centrul de greutate G  al secţiunii transversale. Valorile sunt pozitive când punctul de aplicare al înc ărcării şi centrul de t ăiere se găsesc în zona comprimat ă, respectiv negative când se g ăsesc în zona întins ă a secţiunii transversale a barei încovoiate.

Fig. 4.6: Efectul punctului de aplicare a înc ărcării În Tabelul 4.1 se prezint ă valorile coeficien ţilor C 1-C 3 pentru elemente structurale înc ărcate cu momente pe cap ăt. În acest tabel, având în vedere modul de înc ărcare, produsul C 2 zg este prin definiţie nul, deci coeficientul C 2 nu mai apare în tabel. Coeficientul C 3  are valoare unitar ă  atunci când momentele încovoietoare de pe capetele elementului structural produc compresiune pe aceea şi talpă, pe toata lungimea grinzii. În caz contrar, în Tabelul 4.1, coeficientul C 3 se calculeaz ă funcţie de parametrul ψ  f  care se determin ă cu formula:

ψ  f  =

 I fc − I ft   I c + I ft 

 

(4.8)

 în care  I  fc şi  I  ft  reprezintă momentul de iner ţie a tălpii comprimate, respectiv întinse a sec ţiunii transversale, calculate în raport cu axa minim ă de inerţie  z. În cazul profilelor I mono-simetrice, Tabelele 4.1 şi 4.2 se pot utiliza util iza doar dac ă următoarea condi ţie este verificat ă: −0.9 ≤ ψ  f  ≤ 0.9  

(4.9)

Mărimea  z j din expresia (4.6) ţine cont de asimetria sec ţiunii transversale în raport cu axa maximă de inerţie y. Formula de calcul al acestei m ărimi este:



 z j = z s −  0.5



∫

 A



    ( y 2 + z 2 ) ( z / I y ) dA 

(4.10)

Mărimea  z j  este nul ă  pentru sec ţiuni dublu-simetrice (spre exemplu sec ţiuni I sau H cu t ălpi egale) şi are valori pozitive în cazul în care talpa comprimat ă a secţiunii este talpa cu momentul de inerţie cel mai mare în raport cu axa minim ă de inerţie a secţiunii, în secţiunea cu moment  încovoietor maxim. În Tabelele 4.1 şi 4.2, condi ţiile de rezemare sunt cele din modelul de calcul pentru cazul simplificat prezentat în subcapitolul 4.1 (rotire liber ă după axa minimă de inerţie z şi deplanare liberă a secţiunii transversale pe reazeme). Pentru a putea considera şi alte condi ţii de rezemare la capete, în expresia momentului critic elastic (4.6) exist ă coeficienţii lungimii de flambaj prin  încovoiere după axa minimă de inerţie k  z, respectiv prin r ăsucire k w. În cazul unor situa ţii complexe, elemente cu momente la capete (elemente dublu încastrate sau porţiuni între două blocaje transversale) înc ărcate cu sarcini uniform distribuite sau concentrate, se recomand ă  procedura din www.access-steel.com www.access-steel.com   (SN003a-EN-EU – NCCI:  Elastic critical moment for lateral torsional buckling ) sau utilizarea unui software specializat (de exemplu: LTBeam versiunea 1.0.8 (2002-2009) – Lateral Torsional Buckling of Beams by Yvan Galea produs de CTICM (www.cticm.com)). În Anexa V se prezint ă monogramele pentru coeficien ţi C 1 şi C 2, pentru elemente structurale sub efectul combinat al momentelor încovoietoare aplicate la capete şi al încărcărilor transversale direct aplicate (SN003a-EN-EU – www.access-steel.com), valabile pentru k  z = 1 şi k w  = 1. Se consider ă două cazuri distincte: Cazul a) momente încovoietoare la capete şi încărcărilor transversale uniform distribuite; Cazul b) momente încovoietoare la capete şi încărcări transversale concentrate la mijlocul deschiderii. Coeficientul k  z se refer ă la posibilitatea de rotire a sec ţiunii transversale pe reazeme, dup ă axa minimă  de inerţie a sec ţiunii, iar coeficientul k w  se refer ă  la posibilitatea deplan ării secţiunii transversale pe reazeme. Ace şti coeficienţi variază între 0.5 (fixare perfect ă la ambele capete), 0.7 (fixare perfect ă la un cap ăt şi celalalt cap ăt liber) şi 1.0 (liber la ambele capete). Dac ă nu s-au luat măsuri speciale pentru fixarea deplan ării secţiunii transversale în dreptul reazemelor, coeficientul k w  poate fi considerat, în mod conservativ, egal cu unitatea. Dealtfel, având în vedere că  în multe situa ţii practice fixarea atât din punct de vedere al încovoierii dup ă  axa minimă de inerţie cât şi din punct de vedere al deplan ării este doar par ţială, ambii coeficien ţi pot fi consideraţi în mod conservativ egali cu unitatea. Cu toate acestea, exist ă detalii structurale de  îmbinare sau de rezemare a grinzilor pentru care se poate considera o fixare perfect ă. Proiectantul trebuie s ă aibă în vedere relaţia între modul de alc ătuire al detaliilor structurale şi alegerea coeficien ţilor lungimilor de flambaj pentru calculul momentului critic elastic pentru flambaj prin încovoiere – r ăsucire. În Figura 4.7 sunt prezentate câteva exemple cu detalii

structurale (îmbinare rigid ă şi articulată rigla-stâlp, îmbinare articulată grindă secundar ă – grind ă principală, reazem articulat grind ă) pentru care sunt precizate condi ţiile de fixare. Tabelul 4.1: Coeficien ţi C 1, C 3 pentru elemente structurale încovoiate, cu momente pe capete C 3 Încărcare şi Diagrama de k  z C 1 condi ţii de ψ  f  > 0 ψ  f  ≤ 0 momente rezemare 1.0 1.00 1.000 0.5 1.05 1.019 1.0 0.5

1.14 1.19

1.000 1.017

1.0 0.5

1.31 1.37

1.000 1.000

1.0 0.5

1.52 1.60

1.000 1.000

1.0 0.5

1.77 1.86

1.000 1.000

1.0 0.5

2.06 2.15

1.000 1.000

0.850 0.650

1.0 0.5

2.35 2.42

1.000 0.950

1.3 − 1.2ψ  f 

1.0 0.5

2.60 2.45

1.000 0.850

0.55ψ  f 

1.0 0.5

2.60 2.45

−ψ  f 

−ψ 

−0.125 − 0.7ψ  f 

− 0.125 − 0.7ψ  f 

0.77ψ  f  0.35ψ  f 

Tabelul 4.2: Coeficienţi C 1, C 2 şi C 3 pentru elemente structurale încovoiate cu încărcări direct aplicate Încărcare şi condiţii Diagrama de k  z C 1 C 2 C 3 de rezemare moment încovoietor 1.0 0.5

1.127 0.97

0.454 0.36

0.525 0.478

1.0 0.5

1.348 1.05

0.630 0.48

0.411 0.338

1.0 0.5

1.04 0.95

0.42 0.31

0.562 0.539

- Încastrat pentru încovoiere dup ă axa y - Rotire după axa z împiedicat ă - Deplanarea împiedicat ă a) Îmbinare rigidă grindă – stâlp

- Articulaţie pentru încovoiere dup ă axa y - Rotire după axa z liber ă - Deplanare liber ă c) Îmbinare grindă secundară-principală

- Articulaţie pentru încovoiere dup ă axa y - Rotire după axa z liber ă - Deplanare liberă b) Îmbinare articulată grindă – stâlp

- Articulaţie pentru încovoiere dup ă axa y - Rotire după axa z par ţial împiedicată - Deplanare liberă d) Reazem articulat-secţiune de cap ăt liberă

- Articulaţie pentru încovoiere dup ă axa y - Rotire după axa z împiedicat ă - Deplanare împiedicat ă e) Reazem articulat – sec ţiune de cap ăt rigidizată

Fig. 4.7: Detalii de îmbin ări Chiar dacă, aşa cum s-a precizat anterior, în general este conservativ s ă se considere lungimea de flambaj egală cu lungimea grinzii (prin coeficien ţii k , k w unitari), exist ă situaţii care conduc la o rezistenţă redusă la răsucire, pentru care lungimea de flambaj trebuie majorată, cum ar fi cazul grinzilor rezemate la talpa de jos, f ără rigidizare în dreptul reazemului (a se vedea Figura 4.7d). În această  situaţie, chiar dacă  rotirea în jurul axei minime de inerţie este parţial împiedicată, funcţie de zvelteţea inimii, în deformata de pierdere a stabilit ăţii poate să ap ără o componentă de distorsiune a secţiunii transversale (a se vedea Figura 4.8), ceea ce conduce la un moment critic de flambaj lateral prin încovoiere – răsucire redus. În absenţa unor detalii constructive pentru a preveni acest fenomen (spre exemplu rigidizare pe capătul secţiunii, ca în Figura 4.7e), Bradford (1989) a propus ca pentru calculul lungimii de flambaj a elementului să se utilizeze urm ătoarele formule: - pentru momente încovoietore aplicate la capete:  L f  = L + α 

hs  t w 

  6  t  f  

3

b  + 1  h s   2  

      

(4.11)

-

pentru încărcare concentrată aplicată la mijlocul deschiderii:

 L f  = L + 10

hs  t w 

  6  t  f  

3/ 2

b  + 1  h s   2  

      

(4.12)

În ambele situaţii,  L reprezintă deschiderea grinzii, hs este distanţa dintre centrele de greutate ale tălpilor, b este lăţimea tălpii, t  f  şi t w sunt grosimile tălpilor, respectiv inimilor, iar α  este   este dat de 2 relaţia α = 4 + 7ψ + 4ψ  , unde ψ  este  este raportul momentelor de cap ăt.

Fig. 4.8: Distorsiunea secţiunii transversale (vezi Figura 4.7d) În cazul elementelor structurale încovoiate cu rezem ări intermediare cum este de exemplu cazul tiranţilor pentru pane de acoperiş  (a se vedea Figura 4.9), sau al grinzilor secundare pentru grinzile principale (a se vedea Figura 4.10), segmentele de grind ă dintre acestea pot fi tratate în mod izolat, dimensionarea barei încovoiate bazându-se pe segmentul critic (cel mai solicitat, sau cu lungimea de flambaj cea mai mare). Lungimile de flambaj considerate în calcul între reazemele intermediare pot fi calculate considerând factorul k   unitar, având în vedere alura deformatei de flambaj a grinzii pe toat ă  lungimea. Nu se consider ă, în această  discuţie, cazul elementelor structurale încovoiate care au legături transversale discrete, care va fi tratat separat,  în paragraful 4.6.

Fig. 4.9: Rezemări intermediare – tiran ţi pentru pane de acoperi ş

Fig. 4.10: Rezemări intermediare – grinzi secundare pentru grinzi principale Grinzile continue pe mai multe reazeme pot fi, de asemenea, tratate ca segmente individuale  între reazeme, ţinând cont de alura diagramei de moment încovoietor, ca rezultat al continuităţii elementului structural. Verificarea stabilităţii tălpii libere (doar talpa inferioară, în cazurile uzuale) pentru panele de acoperiş cu tiranţi se verifică în conformitate cu 10.1.4.2 din SR EN1993-1-3, în care sunt date expresii de calcul cu coeficien ţi care ţin cont de numărul de tiranţi de pe deschidere, precum şi de tipul deschiderii (marginală  sau intermediară). De asemenea, se face diferenţa între tipul de solicitare, în cazul panelor realizate ca şi grindă  continuă, adică încărcare gravitaţională (când porţiunea de talpă liberă comprimată este în apropierea reazemelor) sau suc ţiune (când porţiunea de talpă  liberă  comprimată  este în câmp). Dacă  nu se asigură  continuitatea panelor peste reazeme, atunci verificarea de stabilitate este necesară  doar pentru sucţiune, în cazul uzual al panelor cu talpă inferioară liberă.

4.3 Efectul imperfecţ imperfecţiunilor şi efectul plasticiză plasticizării În verificarea stabilităţii barelor încovoiate, este necesar s ă se ţină cont de efectul urm ătoarelor imperfecţiuni: - deplasări laterale ini ţiale; - răsuciri iniţiale; - excentricitatea încărcărilor relativ la pozi ţia centrului de tăiere al secţiunii transversale; - tensiuni reziduale. Datorită  prezenţei imperfecţiunilor, comportamentul real al barelor încovoiate diferă  de cel teoretic şi momentul critic elastic de flambaj prin încovoiere – r ăsucire nu este de fapt atins niciodată. Considerând analogia între N cr  cr  şi  M cr  cr , abordarea flambajului prin încovoiere-răsucire a barei încovoiate este similară cu abordarea flambajului barei comprimate. Astfel: - rezistenţa barelor scurte depinde de momentul capabil elastic sau plastic al sec ţiunii transversale (funcţie de clasa secţiunii); - rezistenţa barelor cu zvelteţe mare depinde de valoarea momentului critic  M cr  cr , asociat cu flambajul lateral prin încovoiere – r ăsucire; - rezistenţa barelor cu valori intermediare ale zvelteţii depinde de interacţiunea între fenomenul de pierdere a stabilităţii şi plasticizarea secţiunii transversale.

Efectul imperfecţiunilor geometrice poate fi introdus în procedura de verificare a elementului structural încovoiat după  axa maximă  de inerţie, în mod similar elementelor solicitate la compresiune axiala. Pentru aceasta, se consideră cazul simplu al barei încovoiate dublu-articulate din Figura 3.1, cu condiţiile de rezemare precizate în subcapitolul 4.1, cu sec ţiune transversală dublu-simetric ă  I sau H, la care se aplic ă  o imperfecţiune iniţială  sub forma unei deformate sinusoidale cu amplitudine e0, de forma:  π  x      L 

(4.13)

 y0 = e0 sin 

Printr-o analiză  elastică  de ordinul II (Boissonade et al, 2006) starea limit ă  de pierdere a stabilităţii poate fi definită  prin atingerea limitei de curgere pe secţiunea transversală  prin expresia:  M y , Ed  M y , Rd

  2 h 2  N  cr z ,   N cr , z M y , Ed 1 2 M y ,Ed   ≤ 1.0   e + +  0 2 M z ,Rd M cr    M  y2,Ed    M z ,Rd M cr2  1 − 2      M cr   

(4.14)

 în care:  M cr  cr  este momentul critic elastic;  M  y,Rd  şi M  z,Rd  sunt momentele capabile elastice ale sec ţiunii transversale;  N cr,z cr,z este înc ărcarea critic ă elastică Euler, pentru flambajul în raport cu axa minim ă de iner ţie z; h este în ălţimea secţiunii transversale între centrele de greutate ale t ălpilor. În expresia (4.14), al doilea şi al treilea termen reprezint ă efectul momentelor încovoietoare de ordinul II (primul termen), respectiv efectul bimomentelor, datorit ă deformării spaţiale a barei  încovoiate. Impunând ca valoarea de calcul a momentului încovoietor  M  y,Ed  să fie egală cu rezisten ţa barei  încovoiate la flambaj lateral prin încovoiere –r ăsucire, dată de produsul  χ  LT  M  y,Rd , din expresia (4.14) se poate determina valoarea amplitudinii imperfec ţiunii iniţiale laterale e0, funcţie de factorul de reducere pentru flambaj lateral prin încovoiere r ăsucire, χ LT LT: W  z 

2

 4 1 1 λ  z 2 − −  χ λ  e0 = 1 1    LT     LT  4  A h 1  A  χ  LT  λ  LT  χ  LT  +  2 W  y 2 λ  z

(

)

(4.15)

 în care: W  y şi W  z sunt modulele de rezisten ţa ale sec ţiunii transversale în raport cu axele  y şi z; λ  z  este zvelte ţea redusă pentru flambaj prin încovoiere în raport cu axa z; 0.5 λ  = ( M y, Rk  / M cr  )  este zvelte ţea redus ă pentru flambajul lateral prin încovoiere r ăsucire;  M  y,Rk  este valoarea caracteristic ă a rezistenţei la încovoiere în raport cu axa  y-y.  LT 

La fel ca în cazul barelor comprimate, tensiunile reziduale şi alte imperfecţiuni geometrice, menţionate la începutul acestui capitol, afecteaz ă rezistenţa la flambaj lateral prin încovoiere – răsucire a barelor încovoiate. În mod simplificat, analog cazului barelor comprimate, aceste imperfecţiuni sunt luate în considerare în proiectarea elementelor structurale solicitate la  încovoiere cu ajutorul ajutorul conceptului de imperfec ţiune echivalent ă.

Imperfecţiunea echivalent ă laterală ini ţială dat ă de expresia (4.14) are o semnifica ţie similară cu cea din expresia (3.17) pentru cazul barelor comprimate centric, chiar dac ă parametrii con ţinuţi  în cele două expresii sunt diferi ţi. În consecin ţă, este posibil ă definirea unei proceduri similare pentru flambajul lateral prin încovoiere – r ăsucire al barelor încovoiate. Pentru a putea aplica aceasta procedur ă, a fost necesar ă calibrarea imperfec ţiunilor laterale ale barelor reale. În baza unui program extins de simul ări numerice şi de teste (Boissonade et al, 2006), s-a concluzionat că  proiectarea majorit ăţii elementelor structurale din o ţel solicitate la încovoiere (inclusiv a elementelor cu sec ţiune I şi H laminate la cald sau sudate) poate fi realizat ă utilizând curbele de flambaj europene ob ţinute anterior pentru proiectarea barelor comprimate axial. Metodologia de verificare a elementelor structurale încovoiate la flambaj prin încovoiere–r ăsucire în conformitate cu SR EN 1993-1-1 se prezint ă în secţiunea următoare.

4.4 Verificarea la flambaj lateral prin încovoiere – ră răsucire a barelor încovoiate în conformitate cu SR EN 1993-1-1 Rezistenţa unui element structural solicitat la încovoiere dup ă axa maximă de inerţie presupune verificarea următoarei condi ţii (a se vedea 6.3.2.1(1) din SR EN1993-1-1):  M  Ed   M b, Rd 

≤ 1.0  

(4.16)

 în care:  M  Ed  este valoarea de calcul a momentului încovoietor;  M b,Rd  b,Rd  este momentul capabil al elementului, ţinând cont de posibilitatea pierderii stabilit ăţii prin  încovoiere-răsucire (calculat cu expresia 6.3.2.1(3) din SR EN 1993-1-1):  M b, Rd =  χ LT Wy f y  / γ  M 1   

 în care: W  y=W   pl,y W  y=W el,y el,y W  y=W eff,y eff,y  χ  LT 

(4.17)

este modulul de rezisten ţă plastic pentru sec ţiuni de clas ă 1 şi 2; este modulul de rezisten ţă elastic pentru sec ţiuni de clas ă 3; este modulul de rezisten ţă efectiv pentru sec ţiuni de clas ă 4; este factorul de reducere pentru flambajul lateral prin încovoiere–r ăsucire.

În Anexa VI se prezint ă  clasificarea sec ţiunilor transversale în clase de sec ţiuni, funcţie de supleţea pereţilor secţiunii şi de distribuţia şi semnul tensiunilor σ . SR EN1993-1-1 ofer ă dou ă metode de calcul a factorului de reducere  χ  LT  pentru  pentru bare încovoiate: o metodă general ă, mai conservativ ă, care poate fi aplicat ă oricărui tip de sec ţiune transversal ă şi o metodă  alternativă  care poate fi aplicat ă  barelor din profile laminate la cald sau sudate echivalente.  4.4.1. Metoda general  general ă de calcul

În conformitate cu metoda general ă  (a se vedea 6.3.2.2 din SR EN 1993-1-1), factorul de reducere  χ  LT  se determină cu expresia:

 χ  LT  =

1

(

2

2

φ LT + φLT  − λ  LT 

)

0.5

, dar  χ  LT  ≤ 1  

(4.18)

 în care: 2 φ LT = 0.5 1 + α LT  ( λ LT − 0.2 ) + λ LT     



0.5

λ  LT  = W y f y  / M cr  α  LT  este factorul de imperfecţiune care depinde de curba de flambaj considerat ă;  M cr  este momentul critic elastic de flambaj prin încovoiere-r ăsucire. cr  Curbele de flambaj care se adopt ă în calcul depind de geometria sec ţiunii transversale a barei  încovoiate şi sunt prezentate în Tabelul 4.3 (a se vedea Tabelul 6.4 din SR EN1993-1-1). Pentru factorul de imperfec ţiune α LT  asociat  asociat diverselor curbe de flambaj se vor considera valorile date în secţiunea 3.5 pentru factorul de imperfec ţiune α pentru cazul barelor solicitate la compresiune axială. Tabelul 4.3: Curbe de flambaj prin încovoiere-r ăsucire pentru metoda generala de calcul Secţiune Limite Curbe de flambaj Secţiuni I or H laminate a h / b ≤ 2 h/b>2 b Secţiuni I or H sudate c h / b ≤ 2 h/b>2 d Alte secţiuni --d În conformitate cu 6.3.2.2(4) din SR EN 1993-1-1, verificarea rezisten ţei la flambaj prin  încovoiere-r ăsucire a elementelor structurale încovoiate poate fi neglijată  daca cel puţin una 2 dintre următoarele condiţii este îndeplinită: λ LT ≤ λ LT ,0  sau  M Ed  / M cr  ≤ λ  LT ,0 .  4.4.2 Metoda alternativ alternativă de calcul pentru profile laminate sau sec ţ iuni iuni sudate echivalente

În conformitate cu metoda alternativă  (a se vedea 6.3.2.3 din SR EN1993-1-1), factorul de reducere  χ  LT  pentru profile laminate sau sudate echivalente se determină cu expresia:

 χ  LT  =

1

(

2

2

φ LT + φLT  − β λ LT  

)

0.5

,

dar

 χ  LT  ≤ 1.0 2

 χ  LT  ≤ 1 / λ  LT 

 

(4.19)

 în care:

φ LT = 0.5 1 + α LT  ( λ LT − λ LT ,0 ) + β λ LT    ; 2





λ  LT ,0 şi  β   sunt parametrii definiţi în Anexa Naţională; valorile recomandate sunt λ  LT ,0 = 0.4 (valoare maximă), respectiv  β  =  = 0.75 (valoare minimă); λ  LT   este zvelteţea redusă, calculată la fel ca în metoda generală;  M cr  cr  este momentul critic elastic. La fel ca pentru metoda general ă, curbele de flambaj care se adopt ă  în calcul depind de geometria secţiunii transversale a barei încovoiate şi sunt date, pentru metoda alternativ ă, în Tabelul 4.4 (a se vedea Tabelul 6.5 din SR EN 1993-1-1). Pentru factorul de imperfec ţiune α LT  asociat diverselor curbe de flambaj se vor considera şi în această  situaţie valorile date în secţiunea 3.5 pentru factorul de imperfecţiune α  pentru cazul barelor solicitate la compresiune axială.

Tabelul 4.4: Curbe de flambaj prin încovoiere-răsucire pentru metoda alternativă de calcul Secţiune Limite Curbe de flambaj b h / b ≤ 2 Secţiuni I or H laminate c h/b>2 c h / b ≤ 2 Secţiuni I or H sudate d h/b>2 În această  metodă, alura diagramei de moment încovoietor între leg ăturile transversale ale elementului structural verificat este considerată în calcul printr-un factor de reducere modificat  χ  LT,mod :

 χ  LT ,mod =

 χ  LT   f 

, dar  χ  LT ,mod ≤ 1.0  

(4.20)

Parametrul  f poate fi indicat în Anexa Naţională, iar valoarea recomandată minimă este dată de expresia:  f = 1 − 0.5 (1 − k c ) 1 − 0.2



2 λ  − 0 . 8  LT  ( )  dar



 f  ≤ 1.0  

(4.21)

Valoarea factorului de corecţie k c este dată în Tabelul 4.5 (Tabelul 6.6 din SR EN 1993-1-1). Tabelul 4.5: Factorul de corecţie k c Diagrama de momente încovoietoare

k c

1.0

ψ  = 1 −1 ≤ ψ  ≤ 1

1 1.33 − 0.33ψ  0.94 0.90

0.91 0.86 0.77

0.82 ψ   este raportul dintre momentele de cap ăt, cu −1 ≤ ψ  ≤ 1 În Tabelul 4.5 sunt prezentate trei seturi de diagrame de moment încovoietor. Primul set se refer ă la bare încovoiate cu momente pe capete. Al doilea set de diagrame poate reprezenta cazul

 încărcării uniform distribuite pe lungimea barei, combinate cu momente pe cap ăt. Pentru cel de al treilea set, diagramele pot reprezenta cazul unei încărcări concentrate aplicate la mijlocul deschiderii barei, combinate cu momente pe capăt. Condiţiile de rezemare nu sunt relevante, deoarece sunt deja reproduse prin diagramele de moment. Valorile k c prezentate în Tabelul 4.5 corespund unor situaţii uzuale; unele valori sunt exacte, altele aproximative.  4.4.3 Metode pentru pentru îmbună tăţ irea irea capacităţ ii ii elementului structural încovoiat

Rezisten ţa la flambaj prin încovoiere – răsucire a elementelor structurale încovoiate poate fi  îmbunătăţită în proiectare în două moduri: - prin sporirea rigidităţii la încovoiere laterală şi/sau răsucire, prin schimbarea profilelor I cu profile H (din profile de tip IPE în profile de tip HEA sau HEB) sau cu profile cu secţiune închisă (pătrată, rectangulară, circulară); o alternativă este şi sudarea de tălpile profilului a unor platbenzi, aşa cum s-a arătat în Figura 4.3; - prin introducerea de legături laterale în lungul barei încovoiate, pentru zonele comprimate ale secţiunii transversale (talpa comprimată în cazul profilelor I sau H). În mod obişnuit, cea de a doua alternativ ă este mai economică, chiar dacă în anumite cazuri nu este uşor de realizat, deoarece, pentru aceasta, este necesar ca leg ăturile transversale să fixeze zona comprimată  a secţiunii transversale de alte puncte din structură, care trebuie să  prezinte deplasări transversale neglijabile. Secţiunea 4.5 prezintă în continuare o metod ă simplificată de calcul pentru verificarea rezisten ţei la flambaj prin încovoiere – răsucire pentru grinzi cu leg ături transversale, f ăcând parte din structuri (6.3.2.4 din SR EN1993-1-1).

4.5 Metoda simplificată simplificată pentru grinzi cu legă legături transversale, f ăcând parte din structuri Aşa cum s-a arătat în secţiunea anterioară, rezistenţa la flambaj prin încovoiere – r ăsucire a elementelor structurale solicitate la încovoiere poate fi îmbun ătăţită  prin introducerea unor legături transversale discrete în lungul barei încovoiate, care să  fixeze zona comprimată a secţiunii transversale de alte puncte din structur ă. Un exemplu tipic în acest sens este fixarea tălpii inferioare a unei grinzi de panele de acoperi ş, aşa cum se arată în Figura 4.11. În acest caz, fixarea t ălpii superioare se realizeaz ă direct prin pane, în zonele de rezemare a acestora pe grindă, iar talpa inferioar ă se fixează de pane prin contrafişe.

Fig. 4.11: Fixarea t ălpii inferioare a grinzii de panele de acoperiş (SR EN 1993-1-1) Barele încovoiate a căror talpă comprimată  este prevăzută cu legături transversale discrete nu trebuie verificate la stabilitate generală dacă lungimea  Lc dintre legături sau zvelteţea λ  f  tălpii comprimate echivalente, definită mai jos, satisface urm ătoarea condiţie:

λ  f =

kc Lc i f , z λ 1

≤ λ c 0

 M c , Rd  M y . Ed 

 

(4.22)

 în care: este lungimea barei încovoiate între legături (distanţa dintre legături); este valoarea de calcul maxim ă a momentului încovoietor între legături;

 Lc  M   y,Ed 

 M c, Rd  = W  y

γ   M 1 este modulul de rezistenţă în raport cu talpa comprimat ă; este un factorul de corecţie al zvelteţii, care ţine seamă  de distribu ţia momentului de  încovoiere  încovoi ere între leg l egături (a se vedea Tabelul 4.5 din subcapitolul 4.4); raza de giraţie a secţiunii formate de talpa comprimată  a grinzii plus o treime din partea comprimată a inimii, în raport cu axa minimă de inerţie a secţiunii; parametrul de zvelteţe limită a t ălpi comprimate echivalente;

W  y k c i f,z

λ c,0 λ1 = π ε  =  =

 f  y

 E   f  y

235  f  y

= 93.9ε 

 (f  (f y in N/mm 2 )

Parametrul de zvelteţe limită λ c,0  este specificat Anexa Naţională, valoarea recomandat ă fiind λ c ,0 = λ LT ,0 + 0.1  (a se vedea subcapitolul sub capitolul 4.4.2). Dac ă  zvelteţea tălpii comprimate echivalente, λ  f  , dep ăş eşte limita dată  în relaţia (4.22), atunci momentul capabil al barei încovoiate pentru flambaj prin încovoiere – răsucire poate fi fi calculat astfel:  M b, Rd = k fl χ M c ,Rd

   dar  M b, Rd ≤ M c ,Rd   

(4.23)

 în care: ca re:  χ  este factorul de reducere pentru talpa comprimată echivalent ă, determinat func ţie de zvelteţea tălpii comprimate echivalente; k  este un factor de modificare care ia în considerare faptul că  metoda tălpii comprimate  f l echivalente oferă rezultate conservative; valoarea recomandată pentru acest factor în Anexa Naţională este 1.10. Pentru aplicarea relaţiei (4.23), se consider ă următoarele curbe de flambaj: curba d pentru

secţiunile sudate, cu condi ţia:

h t  f 

≤ 44ε  ;

curba c pentru toate celelalte secţiuni;  în care h este înălţimea secţiunii transversale, iar t  f  este grosimea tălpii comprimate. Anexa BB.3 din SR EN 1993-1-1 oferă  valori limit ă  ale distanţelor dintre legăturile transversale pentru diverse situaţii. În cazul în care se prev ăd legături transversale la distan ţe cel puţin egale cu aceste valori limit ă, nu mai este necesar ă  efectuarea unui verific ări de rezistenţă la flambaj prin încovoiere – răsucire a elementelor structurale încovoiate respective.

În continuare se prezintă  exemple de calcul ce acoperă  partea teoretică  a acestui capitol, şi anume: Exemplul E.10. Determinarea rezistenţei la pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire; Exemplul E.11. Determinarea rezistentei la pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire a unui element cu legaturi transversale continue; Exemplul E.12. Calculul unei grinzi cu secţiune transversală de tip C format ă la rece, solicitat ă la  încovoiere.

EXEMPLE DE CALCUL E.10. Determinarea rezistenţei la pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire   Descrierea

problemei

Să  se facă  toate verificările de rezistenţă şi stabilitate pentru grinda simplu rezemată, realizată  din profile europene IPE 400 - S420, încărcată  cu o sarcină  uniform distribuită cu intensitatea de 22,65 kN/m. Grinda nu este fixat ă  lateral decât în dreptul reazemelor. Nu sunt prevăzute dispozitive speciale în rezem ări care s ă  previn ă deplanarea liber ă  a secţiunii, iar sec ţiunea este liber ă s ă se rotească în jurul axei minime de inerţie. 

Schema statică  şi de încărcare

Grinda simplu rezemată încărcată cu o înc ărcare uniform distribuită:

blocaje laterale

L blocaje laterale

Figura E.10. Schema statica si modul de înc ărcare Rezemările sunt de tip furcă - blocaje lateral ce previn r ăsturnarea.   Datele

problemei

Datele geometrice ale elementului sunt prezentate în continuare:  L = 7500 mm Deschiderea Marca oţelului S420 Caracteristicile dimensionale şi geometrice ale sec ţiunii transversale: Profil laminat european IPE 400 - Marca S420 h = 400,0 mm Înălţimea hw = 373,0 mm Înălţimea libera a inimii b = 180,0 mm Lăţimea tălpilor t w = 8,6 mm Grosimea inimii

Grosimea tălpilor Raza de racord Aria secţiunii transversale Momentul de inerţie maxim /yy Momentul de inerţie minim /zz Momentul de inerţie la torsiune Moment de inerţie sectorial Modulul de rezistenţă elastic Modulul de rezistenţă plastic Raza de giraţie / zz Modulul de elasticitate

t  f  = 13,5 mm r  =  = 21,0 mm 2  A = 84,5 cm 4  I  y = 23128 cm 4  I  z = 1318 cm 4  I t t  = 51,08 cm 6  I w = 490000 cm 3 W el,y el,y = 1156,4 cm 3 W  pl,y = 1307,1 cm i z = 3,95 cm  E  =  = 210000 N/mm2  z

r

tf  tw

 y

 y

h

 z b

Figura E.10.2 Secţiunea transversală   Determinarea

eforturil or de calcul eforturilor

M +

My,Ed Vz,Ed

+

V

-

Figura E.10.3. Diagramele de eforturi  M y , Ed  = 0,125 ⋅ 22, 65 ⋅ L2 = 159, 260 kNm

V z ,Ed  = 0, 5 ⋅ 22, 65 ⋅ L = 84, 339 kN 

 

Caracteristici mecanice

Marca oţelului S420; Grosimea maximă de perete este t  f  = 13,5 mm < 40 mm, astfel încât limita de curgere este 2  f y = 420 N/mm .   Determinarea

Parametrul ε=

clasei sec ţ iunii iunii ε depinde de limita de curgere a materialului:

235 235 2 = 420 = 0,75  f  y [N/ [N/mm ]

Talpă în consolă supusă la compresiune:

+ c Figura E.10.4. Talpa in consola supusa la compresiune c=

b − tw − 2 ⋅ r 

=

180 − 8, 6 − 2 ⋅ 21 21 = 64,7 64,7 mm 2

2 c 64,7 = = 4, 973 < 9 ⋅ ε = 9 ⋅ 0, 75 = 6, 75 ⇒  talpa clasa 1 t  f  13,5

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2 Perete interior supus la încovoiere:

f y

+ -

c

f y Figura E.10.5. Perete interior (inima) supus la încovoiere c = h − 2t f  − 2 r = 4 00 − 2 ⋅13 13, 5 − 2 ⋅ 21 = 331 mm c t w

=

331 = 38, 49 < 72 ⋅ ε = 72 ⋅ 0, 75 = 54 ⇒  inima clasa 1 8,6

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2 Clasa unei secţiuni transversale este definită  prin clasa cea mai mare (cea mai puţin favorabilă) a pereţilor săi comprimaţi: în cazul de fa ţă: Clasa 1. Deoarece avem de-a face cu o secţiune de clasa 1 toate verificările la SLU se pot face bazându-ne pe capacitatea plastică a secţiunii transversale. 

Verificarea la încovoiere

Pentru o secţiune de clasa 1 rezisten ţa de calcul a unei sec ţiuni transversale supusă la  încovoiere în raport cu axa principal ă de inerţie se determină astfel:  M c, Rd = M pl ,Rd =  

W pl ⋅ f y

γ  M 0

=

1307,1 ⋅ 103 ⋅ 420 = 548980000 Nmm = 548,98 ,98 kNm 1, 0

SREN 1993-1-1 (6.13) Valoarea de calcul  M  Ed  a momentului încovoietor în fiecare secţiune transversală  trebuie să satisfacă condiţia:  M  Ed   M c ,Rd 

=

159,3 = 0, 29 ≤ 1, 0 ⇒ secţiunea verifică 549

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.1 Observa ţ ie ie: Pentru elementele supuse la încovoiere este necesară şi verificarea elementului la pierderea stabilităţii prin încovoiere r ăsucire.   Rezisten ţ a

la forfecare

Valoarea de calcul a rezistenţei plastice la forfecare în absenţa răsucirii depinde de aria de forfecare, care se define şte:

 Avz = A − 2 ⋅ b ⋅ t f + t f ⋅ ( tw + 2 ⋅ r ) = 6450 − 2 ⋅180 ⋅13, 5 + 13, 5⋅ (8 (8, 6 + 2 ⋅ 21 21) = 4273 mm

2

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (3) 

Valoarea de calcul a rezisten ţ ei ei plastice la forfecare

În absenţa răsucirii, aceasta este dat ă de relaţia: V  pl , z ,Rd  =

 Avz ⋅ ( f y /

γ  M 0

3)

=

4273 ⋅ 420 1036 kN = 1036 3 ⋅ 1, 0

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (2) Trebuie să fie satisf ăcută condiţia: V  Ed  V c,Rd 

=

84,94 = 0, 0 0882 ≤ 1, 0 1036

Pentru inimile grinzilor, care nu sunt prevăzute cu rigidiz ări transversale, rezistenţa la voalare din forfecare nu este necesară dacă e îndeplinită condiţia: hw t w

≤ 72 ⋅

ε 400 − 2 ⋅ 13, 5 0.75 → = 43, 37 ≤ 72 ⋅ = 54 η 8, 6 1

η – se consideră acoperitor egal cu 1,0.   Rezisten ţ a

la încovoiere-r ăsucire

 Deter minarea rea factorului facto rului de reducere reduce re pentru pentr u pierderea pie rderea stabilit  stabi lit ăţ  ii prin încovoiere-r  încovoiere-r ăsucire •  Determina ăţ ii

Pentru a determină momentul de rezistentă de calcul la pierderea stabilit ăţii prin încovoiererăsucire pentru o grindă nefixată lateral trebuie determinat în prealabil factorul de reducere pentru  încovoiere  încovoiere-r -răsucire. Acest factor depinde de valoarea momentul critic elastic de flambaj prin  încovoie-răsucire. el astic de flambaj prin încovoiere-r ăsucire •  Momentul critic elastic

Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire poate fi calculat folosind următoarea expresie (4.6): 



2

π2 ⋅ EI  z   k    I w (kL)2 ⋅GI t   M cr = C1 ⋅ ⋅ ⋅ + 2 + (C2 ⋅ z g − C3 ⋅ z j )2 − (C2 ⋅ z g − C3 ⋅ z j )  , unde 2   k  I   (kL)   w  z π ⋅ EI z   

∫ z ⋅ ( y  z j = z s ⋅  A

2

+ z 2 ) ⋅ dA

2 ⋅ I  y

− zi = 0  (4.10) pentru secţiuni

dublu simetrice si expresia devine:

  π2 ⋅ E ⋅ I  z   k    I w (k ⋅ L)2 ⋅ G ⋅ I t  2 = C1 ⋅ ⋅ ⋅ + + (C2 ⋅ z g ) − C2 ⋅ z g  (k ⋅ L)2   kw  I z π2 ⋅ E ⋅ I z    2

 M cr

unde:  E  –  – modulul de elasticitate longitudinal  E  =  = 210000 N/mm2 2 G – modulul de elasticitate transversal G = 80770 N/mm  L – deschiderea grinzii  L = 7500 mm k ţine cont de posibilitatea de rotire în plan – în jurul axei minime de iner ţie zz. k w ţine cont de posibilitatea deplanării libere din răsucire a secţiunii transversale. În calculul M crcr, au fost introduse urm ătoarele valori pentru factori:  = 1 deoarece talpa comprimată e libera s ă se rotească în jurul axei minime de iner ţie, k  =  k w  = 1 deoarece nu sunt prev ăzute măsuri speciale de împiedecare a deplasării libere a  capetelor grinzii.  zg  distanţa de la punctul de aplicare al înc ărcării la centru de t ăiere ( z  zg are valori pozitive când  înc ărcarea este aplicata spre centru de t ăiere - efect favorabil). În cazul de fa ţă înc ărcare ac ţionează la talpa superioar ă (situaţia uzuală în cazul ca zul grinzilor):

 z g =

h

2

=

400 200 mm = 200 2

şi C 2  – coeficienţi ce depind de forma diagramei de moment încovoietor, de propriet ăţile secţiunii transversale şi de condiţiile de margine (rezemare). Pentru o înc ărcare uniform distribuit ă şi k  =  = 1, avem urm ătoarele valori (vezi Tabelul 4.2): C 1 = 1,127 C 2 = 0,454 Datorită  complexităţii expresiei, a posibilit ăţii inerente a unor erori algebrice este recomandat ă efectuarea aritmeticilor pe termeni, pentru urmărirea mai facilă a calculelor: C 1

T0 = π2 ⋅ E ⋅ I  z = 3,142 ⋅ 2,1 ⋅105 ⋅ 1318 ⋅ 104 = 2, 732 ⋅ 1013 T1 = C 1 ⋅

π2 ⋅ E ⋅ I  z

(k ⋅ L)2

2,73 ,732 ⋅1013 3 = 1,127 ⋅ 2 = 547, 31 ⋅ 10 (1 ⋅ 7500)

2

2

9

10  k  I w  1  490 ⋅ 10 T2 =  ⋅ = ⋅ = 37,1 37,188 ⋅ 103    4  k w  I z  1  1318 ⋅ 10 T 3 =

( k ⋅ L)2 ⋅ G ⋅ I t 

(1 ⋅ 75 7500)2 ⋅ 80770 ⋅ 51 51⋅ 104 = = 84,8 84,811 ⋅103 2 13 π ⋅ E ⋅ I  z 2,73 ,732 ⋅10 T4 = C2 ⋅ z g = 0, 45 454 ⋅ 200 = 90, 8

 M cr  = T1 ⋅  T2 + T3 + T4 − T 4  = 2

kNm = 547,13 ⋅103 ⋅  37,18 ⋅10 3 + 84, 81 ⋅10 3 + 90, 8 2 − 90, 8  =147, 78 kN

Pentru exemplificarea determinării momentului critic elastic de flambaj prin încovoierăsucire, se vor considera mai multe situaţii de rezemare la capete si de înc ărcare ale aceluiaşi element IPE400 L=7500m: − Element simplu rezemat cu încărcare uniform distribuita cu rotirea blocata in jurului axei minime de inerţie la capete k  z = 0.5: C 1 = 0,97; C 2 = 0,36 (Tabel (Tabel 4.2) ⇒ M cr  = 220,27kNm − Element simplu rezemat cu încărcare concentrata si legătura transversala la jum ătatea deschiderii cu rotirea libera in jurului axei minime de inerţie la capete k  z = 1,0:  L = 3,75m  distanta intre doua leg ăturii transversale C 1 = 1,35; C 2 = 0,630  M cr  = 395,724kNm − Element dublu încastrat cu încărcare uniform distribuita cu rotirea libera in jurului axei minime de inerţie la capete k  z = 1,0: C 1 = 2,578; C 2 = 1,554 (vezi Anexa V) ⇒ M cr  = 415,026kNm ea redusă pentru încovoiere-r ăsucire •  Zvelte ţ ea

Zvelteţea redusă  pentru flambajul prin încovoiere-răsucire se determină  cu următoarele relaţii: λ LT  =

W pl , y ⋅ f y  M cr 

1307,1 ⋅10 3 ⋅ 420 = = 1,927 147 147,78 ⋅10 6

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2 (1) Pentru profile laminate λ LT,0 LT,0 = 0,4

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (1) Deoarece λ LT  = 1,927 > λ LT ,0,0 efectele deversării nu pot fi neglijate, verificarea la pierderea stabilităţii prin încovoiere - răsucire fiind obligatorie.

• Factorul de reducere

Pentru profilele laminate sau secţiunile sudate echivalente supuse la încovoiere, valorile χ  LT  pentru zvelteţea redusă corespunzătoare pot fi determinate astfel: χ LT  =

1 φ LT  +

2 2 φ LT − β ⋅ λ LT 

unde

χ LT  ≤ 1.0  1.0 dar  χ LT  ≤ 2  λ LT  

2  φ LT = 0, 5 ⋅ 1 + α LT ⋅ ( λ LT − λ LT ,0 ) + β ⋅ λ LT  

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1) α LT  factorul de imperfecţiune pentru pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire: Pentru

h b

=

400 = 2, 222 > 2 ⇒ curba c (α LT  = 0,49) 180

SREN 1993-1-1 199 3-1-1 Tabel 6.5, Tabel Tabel 6.3 Valorile recomandate: λ LT ,0,0 = 0,4 şi β = 0,75

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1)

2

φ LT = 0,5 ⋅ 1 + α LT  ⋅ ( λ LT − λ LT ,0 ) + β ⋅ λ LT  

  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 49 ⋅ (1, 927 − 0, 4) + 0, 75 ⋅1, 927 2  = 2, 267  

1

χ LT  =

2

=

φ LT + φ LT  − β ⋅ λ LT  =

1 2

2, 267 + 2, 267 − 0, 75 ⋅1, 927

2

= 0, 263 <

1 2

= 0, 269

λ LT 

Pentru a lua în considerare distribuţia momentelor între legăturile laterale ale barelor se calculează factorul f : k c = 0,94 - diagram ă de moment parabolică – zero la capete. SREN 1993-1-1 Tabel 6.6  f = 1 − 0, 5 ⋅ (1 − k c ) ⋅ 1 − 2 ⋅ ( λ LT  − 0, 8) 2 





= 1 − 0, 5 ⋅ (1 − 0, 94) ⋅ 1 − 2 ⋅ (1, 927 − 0, 8) 2  =1, 046 ≥1, 00





⇒  f  =1

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (2) Factorul de reducere χ LT poate fi definit astfel: χ LT ,mod  =

χ LT   f 

=

0,263 = 0,263 1

calcu l la încovoiere-r ăsucire •  Momentul rezistent de calcul  f  y 420 kNm  M b, Rd = χ LT ⋅W pl , y ⋅ = 0, 263 ⋅1307,1 ⋅10 3 ⋅ = 144, 37 kN 1,00 γ  M 1

• Verificarea la deversare

O grindă care nu este fixată lateral şi este supusă la încovoiere după axa maximă de inerţie, trebuie verificată astfel:  M  y , Ed   M b,Ed 

=

159,26 00 ⇒ Grinda nu verific ă = 1,10 ≥ 1, 00 144,37

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.1

E.11. Determinarea rezistentei la pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire a unui element cu legaturi transversale continue  Descrierea

structurii

Să se facă toate verificările de rezisten ţă şi stabilitate pentru o pan ă de acoperiş simplu rezemată, realizată  din profile europene IPE 160 S235 dispuse la distanta de 2,2 m. Pana este  încărcată  cu o sarcină  uniform distribuită, rezultată  din combinaţia 1,35P + 1,5Z (presiune), respectiv 1P + 1,5 V (suc ţiune). Grinda este fixată  lateral în dreptul reazemelor si la talpa superioară prin intermediul tablei de acoperi ş. 

Schema statică  şi de încărcare

Grinda simplu rezemată încărcată cu o înc ărcare uniform distribuită:

blocaje laterale

L

Figura E.10.1 Schema statica si modul de înc ărcare Talpa superioara este fixata de către tablă cutata LTP20/0.7 S350. Rezemările sunt blocaje lateral ce previn r ăsturnarea. ii de încărcări •  Ipotezele de înc ărcare / Combina ţ ii

Permanenta Zăpada Vânt (sucţiune) Presiune Suc ţ iune iune   Datele

2

 p = 0,30 kN/m 2  z = 0,618 kN/m 2 v = -0,73 kN/m

1, 35P + 1, 5Z = 1, 35 ⋅ 0, 3 +1, 5 ⋅ 0, 618 = 1, 332 kN / m   2 1, 35P + 1, 5V = 1, 35 ⋅ 0, 3 + 1, 5 ⋅( −0, 73) = −0, 69 kN / m   2

problemei

Datele geometrice sunt prezentate în continuare: Deschiderea  L = 6200 mm s = 2200 mm Distanta intre pane Marca oţelului S235 Caracteristicile dimensionale şi geometrice ale secţiunii transversale: Profil laminat european IPE 160 - Marca S235 h = 160,0 mm Înălţimea hw = 145,2 mm Înălţimea libera a inimii b = 82,0 mm Lăţimea tălpilor t w = 5,0 mm Grosimea inimii t  f  = 7,4 mm Grosimea tălpilor r  = Raza de racord  = 9,0 mm 2  A = 20,09 cm Aria secţiunii transversale 2  Avz = 9,66 cm Aria de forfecare 4  I  y = 869,3 cm Momentul de inerţie maxim / yy 4  I  z = 68,31 cm Momentul de inerţie minim / zz 4  I t t  = 3,60 cm Momentul de inerţie la torsiune

6

Moment de inerţie sectorial Modulul de rezistenţă elastic Modulul de rezistenţă plastic Raza de giraţie / zz Modulul de elasticitate

 I w = 3960 cm 3 W el,y el,y = 108,7 cm 3 W  pl,y = 123,9 cm i z = 1,84 cm  E  =  = 210000 N/mm2  z

r

tf  tw

 y

 y

h

 z b

Figura E.11.2. Secţiunea transversala Dimensiunile tablei cutate: Tabla cutata LINBAD LTP20/0.7 – S350 h = 17,4 mm Înălţimea t  = Grosimea  = 0,7 mm htw = 18 mm Înălţimea 2 G = 7 kg/m Greutatea

  Determinarea

eforturil or de calcul eforturilor

• Presiune

M +

My,Ed Vz,Ed

+

-

V

Figura E.11.3. Diagramele de eforturi  M y , Ed  = 0,125 ⋅ 2, 2 ⋅1, 332 ⋅ L2 = 14, 081 kNm

V z ,Ed  = 0, 5 ⋅ 2, 2 ⋅ 1, 332 ⋅ L = 9, 084 kN

 

iune • Suc ţ iune 2

 M y , Ed  = 0,125 ⋅ 2, 2 ⋅ ( −0, 69 ) ⋅ L = 7, 294 kNm

V z ,Ed  = 0, 5⋅ 2, 2 ⋅ 0, 69 ⋅ L = 4, 706 kN 

Caracteristici mecanice

 

Marca oţelului S235; Grosimea maximă de perete este t  f  = 7,4 mm < 40 mm, astfel încât limita de curgere este  f y = 235 N/mm2.   Determinarea

Parametrul

clasei sec ţ iunii iunii ε depinde de limita de curgere a materialului:

235 235 = = 1, 0 2 235  f  y [N/ [N/mm ]

ε=

Talpă în consolă supusă la compresiune:

+ c Figura E.11.4. Talpa in consola supusa la compresiune c=

b − tw − 2 ⋅ r 

2 c t  f 

=

=

82 − 5 − 2 ⋅ 9 29,5 mm = 29,5 2

29,5 = 3, 99 < 9 ⋅ ε = 9 ⋅1 = 9 ⇒  talpa clasa 1 7,4 7, 4

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2 Perete interior supus la încovoiere:

f y

+ -

c

f y Figura E.11.5. Perete interior (inima) supus la încovoiere 7 , 4 − 2 ⋅9 = 127, 2 mm c = h − 2t f  − 2 r = 16  0 − 2 ⋅7, c t w

=

127,2 = 25, 44 < 72 ⋅ ε = 72 ⋅1 = 72 ⇒  inima clasa 1 5

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2 Clasa unei secţiuni transversale este definită  prin clasa cea mai mare (cea mai puţin favorabilă) a pereţilor săi comprimaţi: în cazul de fa ţă: Clasa 1. Deoarece avem de-a face cu o secţiune de clasa 1 toate verificările la SLU se pot face bazându-ne pe capacitatea plastică a secţiunii transversale. 

Verificarea la încovoiere

Pentru o secţiune de clasa 1 rezisten ţa de calcul a unei sec ţiuni transversale supusă la  încovoiere în raport cu axa principal ă de inerţie se determină astfel:  M c, Rd = M pl ,Rd =  

W pl ⋅ f y

γ  M 0

123, 9 ⋅103 ⋅ 235 = = 29116500 Nmm = 29,12 kNm 1, 0

SREN 1993-1-1 (6.13)

Valoarea de calcul  M  Ed  a momentului încovoietor în fiecare secţiune transversală  trebuie să satisfacă condiţia:  M  Ed   M c ,Rd 

=

14,081 4884 ≤ 1, 0 ⇒ secţiunea verifică = 0, 4 29,12

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.1 Observa ţ ie ie: Pentru elementele supuse la încovoiere este necesară şi verificarea elementului la pierderea stabilităţii prin încovoiere r ăsucire.   Rezisten ţ a

la forfecare

Valoarea de calcul a rezistenţei plastice la forfecare în absenţa răsucirii depinde de aria de forfecare, care se define şte:  Avz = A − 2 ⋅ b ⋅ t f + t f ⋅ ( tw + 2 ⋅ r ) = 2009 − 2 ⋅ 82 ⋅7, 4 + 7, 4 ⋅(5 + 2 ⋅9) =965, 6 mm

2

 966

mm 2( tabele)

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (3) 

Valoarea de calcul a rezisten ţ ei ei plastice la forfecare

În absenţa răsucirii, aceasta este dat ă de relaţia: V  pl , z ,Rd  =

 Avz ⋅ ( f y /

γ  M 0

3)

=

966 ⋅ 235 131,1 ,1 kN = 131 3 ⋅1, 0

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (2) Trebuie să fie satisf ăcută condiţia: V  Ed  V c,Rd 

=

9,084 069 ≤ 1, 0 = 0, 06 131,1

Pentru inimile grinzilor, care nu sunt prevăzute cu rigidiz ări transversale, rezistenţa la voalare din forfecare nu este necesară dacă e îndeplinită condiţia: hw t w

≤ 72 ⋅

160 − 2 ⋅ 7, 4 1 ε → = 29, 04 ≤ 72 ⋅ = 72 5 1 η

η – se consideră acoperitor egal cu 1,0.   Rezisten ţ a

la încovoiere-r ăsucire

 Deter minarea rea leg ături transversale •  Determina

Dacă o tablă cu profil trapezoidal (LTP20/0.7) este fixată pe o grindă, această grindă poate fi considerată ca fixată lateral în planul tablei, la nivelul leg ăturilor, dacă condiţia este îndeplinită: S ≥ S min

  70 π2 π2 =  EI w 2 + GI t + EI z 2 0.25h 2  ⋅ 2   h  L L  

SREN 1993-1-1 BB2.1.(1)B unde: S   - este rigiditatea la forfecare conferit ă grinzii de către tablă, în raport cu deformaţia acesteia în planul tablei, considerată fixată în dreptul fiecărei nervuri;  I w - este moment de inerţie sectorial al grinzii;  I t t   este moment de inerţie la răsucire al grinzii;  I  z - este moment de inerţie la încovoiere a sec ţiunii transversale a grinzii în raport cu axa slab ă;  L - este lungimea grinzii; h - este în ălţimea grinzii; Dacă tabla este fixată doar în dreptul unei nervuri din dou ă, S se va înlocui cu 0,20S. Smin

  70 π2 π2 =  EI w 2 + GIt + EI EI z 2 0.25h 2  ⋅ 2 = 9973000 Nmm / mm = 9973 kNm / m    h  L L  

S, rigiditatea la forfecare în planul tablei se determina conform EN 1993 – 1 – 3 (§ 10.1.1 (10)):

S = 1 0 00 t 3

s

( 50 + 103 bac ) h

=

tw

= 1000 ⋅ 0.73 ⋅ ( 50 + 10 ⋅ 3 6200 ) ⋅

2200 = 16730000 Nmm / mm = 16730 kNm / m  18

unde: S   - este rigiditatea la forfecare conferit ă grinzii de către tablă, în raport cu deformaţia acesteia în planul tablei, considerată fixată în dreptul fiecărei nervuri; bac – lungimea tablei – deschiderea panei; s – deschiderea tablei – distanta intre doua pane consecutive; htw - este în ălţimea tablei cutate. Smin = 9973kNm / m < S = 16730 kNm / m  ⇒  

tabla cutată  are suficientă  rigiditate pentru a fi considerată la deplasare lateral ă ca o leg ătura transversală continuă la talpă superioară a panei.  Deter minarea rea factorului facto rului de reducere reduce re pentru pentr u pierderea pie rderea stabilit  stabi lit ăţ  ii prin încovoiere-r  încovoiere-r ăsucire •  Determina ăţ ii

Pierderea stabilităţii este posibila doar in cazul in care talpa nefixat ă  – cea inferioară – este supusă la compresiune, adică in situaţia de încărcare “sucţiune”. Pentru a determină momentul de rezistentă de calcul trebuie determinat în prealabil factorul de reducere pentru încovoiere-răsucire. Acest factor depinde de valoarea momentul critic elastic de flambaj prin p rin încovoie-răsucire. el astic de flambaj prin încovoiere-r ăsucire •  Momentul critic elastic

Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-r ăsucire poate fi calculat folosind un software specializat si anume LTBeam versiunea 1.0.8 (2002-2009) (Lateral Torsional Buckling of Beams by Yvan Galea) produs de CTICM (www.cticm.com (www.cticm.com): ):  M cr  = 22,862 22,862 kN kNm m (fata de  M cr  = 12,136 12,136 kN kNm m  in cazul lipsei leg ăturii transversale). S-a considerat talpa superioara fixata continuu (la 80 mm de centru de taiere) si  înc ărcarea aplicata in centrul de taiere. ea redusă pentru încovoiere-r ăsucire •  Zvelte ţ ea

Zvelteţea redusă  pentru flambajul prin încovoiere-răsucire se determină  cu următoarele relaţii: λ LT  =

W pl , y ⋅ f y  M cr 

123, 9 ⋅ 103 ⋅ 235 = = 1,129 22,862 ,862 ⋅ 106

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2 (1) Pentru profile laminate λ LT,0 LT,0 = 0,4

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (1) Deoarece λ LT  = 1,129 > λ LT ,0,0 efectele deversării nu pot fi neglijate, verificarea la pierderea stabilităţii prin încovoiere - răsucire fiind obligatorie. • Factorul de reducere

Pentru profilele laminate sau secţiunile sudate echivalente supuse la încovoiere, valorile χ  LT  pentru zvelteţea redusă corespunzătoare pot fi determinate astfel: χ LT  =

1 φ LT  +

2 2 φ LT − β ⋅ λ LT 

χ LT  ≤ 1.0  1.0 dar  χ LT  ≤ 2  λ LT  

unde 2  φ LT = 0, 5 ⋅ 1 + α LT ⋅ (λ LT − λ LT ,0 ) + β ⋅ λ LT  

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1) α LT  factorul de imperfecţiune pentru pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire:

160 = 1, 951 < 2 ⇒ curba b (α LT  = 0,34) b 82 h

Pentru

=

SREN 1993-1-1 199 3-1-1 Tabel 6.5, Tabel Tabel 6.3 Valorile recomandate: λ LT ,0,0 = 0,4 şi β = 0,75

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1)

2

φ LT = 0,5 ⋅ 1 + α LT  ⋅ (λ LT − λ LT ,0 ) + β ⋅ λ LT  

  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 34 ⋅ (1,129 − 0, 4) + 0, 75 ⋅1,1292  = 1,101  

χ LT  =

1

=

2

φ LT + φ LT  − β ⋅ λ LT  =

1 2

1,101 + 1,101 − 0, 75 ⋅1,129

2

1

= 0, 621 <

2

= 0, 785

λ LT 

Pentru a lua în considerare distribuţia momentelor între legăturile laterale ale barelor se calculează factorul f : k c = 0,94 - diagram ă de moment parabolică – zero la capete. SREN 1993-1-1 Tabel 6.6  f = 1 − 0, 5 ⋅ (1 − k c ) ⋅ 1 − 2 ⋅ (λ LT  − 0, 8)2 





= 1 − 0, 5 ⋅ (1 − 0, 94) ⋅ 1 − 2 ⋅ (1,129 − 0, 8)2  = 0, 903





SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (2) Factorul de reducere χ LT poate fi definit astfel: χ LT ,mod  =

χ LT   f 

=

0,621 = 0,688 0,903

calcu l la încovoiere-r ăsucire •  Momentul rezistent de calcul  M b,Rd = χ LT ⋅ W pl , y ⋅

 f  y

γ  M 1

= 0, 688 ⋅ 123, 9 ⋅103 ⋅

235 = 20, 042 kN kNm 1, 0

• Verificarea la deversare

O grindă a cărei tălpii comprimate nu este fixată lateral şi este supusă la încovoiere după axa maximă de inerţie, trebuie verificat ă astfel:  M  y , Ed   M b,Ed 

=

7,294 364 ≥ 1, 00 00 ⇒ Pana verifică condiţiile SLU = 0, 36 20,042

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.1 dispune rii unui tirant •  Ipoteza dispunerii

In ipoteza dispunerii unui tirant de legătura la mijlocul deschiderii, acesta va reduce lungimea elementului intre doua legaturi. Barele a c ăror talpă  comprimată  este prevăzută  cu legături transversale discrete nu trebuie verificate la stabilitate generală dacă lungimea Lc dintre legături sau zvelteţea λ f  a tălpii comprimate: M c,Rd k L λ f  = c c ≤ λ c 0 i f ,z ⋅ λ1 M y ,Rd i f,z  f,z  raza de gira ţie a secţiunii formate de talpa comprimat ă  a grinzii plus 1/3 din partea comprimată a inimii, în raport cu axa slab ă a secţiunii. I 340262 = 21,62 mm if , z = z , f  = A f  727,8

k c este un factor de corec ţie al zvelteţi, care ţine seama de distribu ţia momentului de încovoiere  între  între leg legături (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.6); k c = 0,94

0,94 ⋅ 3600 = 1,445 21,62 ⋅ 93,3  λc0 parametrul de zvelte ţe limită a tălpi comprimate: λ c 0 = λ LT , 0 + 0,1 = 0,4 + 0,1 = 0,5 λf  =

Nota (2)B si SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3  M c,Rd = Wy ⋅

 f  y

γ   M 1

= 29,12 kNm

29,12 = 1, 603  M  y ,Ed  9,084 Astfel condiţia (SREN 1993-1-1 (6.59)) devine: λ f  = 1,445 < 1,603 ⇒ elementul nu trebuie verificate la stabilitate general ă

λ c 0



 M c ,Rd 

= 0, 5 ⋅

Verificarea săge ţ ii ii SLS

5 ⋅ p1 ⋅ L4 5 ⋅ ( 0, 918 ⋅ 2, 2 ) ⋅ 62004 v= = = 21, 29 mm ~ L / 300 384 EI  y 384 ⋅ 210000 ⋅ 869,3 ⋅ 104

presiune

5 ⋅ p2 ⋅ L4 5 ⋅ (−0, 43 ⋅ 2, 2, 2) ⋅ 62 6 20 0 4 v= = = −9, 97 mm ~ L / 620 384 EI  y 384 ⋅ 210000 ⋅ 869,3 ⋅ 104

suctiune

E.12. Calculul unei grinzi cu secţiune transversală de tip C formată la rece, solicitată la încovoiere   Descrierea

problemei

Exemplul prezint ă  calculul unei grinzi de plan şeu solicitat ă  la încovoiere. Grinda de plan şeu se consider ă că  este simplu rezemat ă  la capete, iar sec ţiunea transversal ă  este realizat ă dintr-un profil cu pere ţi subţiri formate la rece de tip C. Se consider ă că atât talpa superioar ă cât şi cea inferioar ă a sec ţiunii grinzii sunt împiedicate continuu lateral. În Figura E.12.1(a) se prezint ă  schema static ă şi încărcarea ce ac ţioneaz ă. De asemenea, în exemplu este inclus ă şi verificarea la starea limit ă de serviciu. 

Schema statică

(a) (b) Figura E.12.1. Schema static ă şi secţiunea transversal ă

  Datele

problemei

Marca oţelului Modulul de elasticitate Coeficientul lui Poisson

S355  E  =  = 210000 N

mm2

 ν = 0,3 0, 3

Modulul de elasticitate transversal

G =

 E 

2 (1 + ν )  L = 4 m S  =  = 0,6m

= 81000 N mm2

Deschiderea grinzii Distanţa dintre grinzi Încărcarea uniform distribuit ă aplicată pe grindă: qG,grinda = 0, 06 Greutatea proprie a grinzii 06 kN m Planşeu uşor: Încărcarea permanent ă Încărcarea utilă:   Dimensiunile  şi

0, 75 75 k N m2 qG,planseu = 0, 75 × 0, 6 = 0, 45 kN kN m qG = qG,grinda + qG,planseu = 0,51k ,51kN Nm 3 kN kN m2 qQ = 3 × 0, 6 = 1, 80 kN kN m

caracteristicile geometrice ale sec ţ iunii iunii transversale

Înălţimea totală a inimii Lăţimea totală a tălpii comprimate Lăţimea totală a tălpii întinse Lăţimea totală a rebordului Raza interioar ă Grosimea nominal ă Grosimea miezului de o ţel (conform §3.2.4(3) din EN1993-1-3) 

h = 200 200 mm b1 = 74mm b2 = 66mm c = 20,8 20,8 mm r  =  = 3 mm t nom = 2 mm t  =  = 1,96 mm

Caracteristici mecanice - limita de curgere

Marca de oţel S355 Deoarece grosimea maxim ă a pereţilor secţiunii transversale este 1.0 mm ≤  40 mm, limita de curgere este  f  y = 355 N/mm2 SREN 1993-1-1 Tabel 3.1 

Coeficien ţ ii ii par  ţ iali iali de siguran ţă

γ  M0 = 1,00 γ  M1 = 1,00

SREN 1993-1-3 § 2(3)

γ G = 1,35  – încărcări permanente γ Q = 1,50  – încărcări variabile

SREN 1990 

Verificarea la Starea Limit ă Ultimă



Caracteristicile geometrice ale sec ţ iunii iunii transversale eficace:

Momentul de iner ţie al secţiunii transversale eficace în raport cu axa maxim ă  de inerţie:  I eff,y = 4139861mm4

Poziţia axei neutre: - în raport cu talpa comprimat ă: - în raport cu talpa întins ă:

 zc = 102,3 102,3 mm  z t = 95,7 95,7 mm

Modulul de rezisten ţă eficace: - în raport cu talpa comprimat ă: W eff,y,c =

 I eff,y  zc

=

4139861 = 40463 mm3 102,3

- în raport cu talpa întins ă: W eff,y,t =

 I eff,y  zt

=

4139861 = 43264 mm3 95,7

Weff,y = min Weff,y,c ,W eff,y,t = 40463 mm3

(

)

Încărcarea care ac ţionează pe grindă aferentă stării limită ultime(ULS), conform EN1990. qd = γ G qG + γ Q qQ = 1, 35 × 0, 51 + 1, 50 × 1, 80 = 3, 39 kN kN

m

Momentul încovoietor maxim (la mijlocul deschiderii), în raport cu axa maxim ă de inerţie y-y, din înc ărcările de calcul:  M Ed = qd L2

8 = 3, 39 × 42 8 = 6, 78 kNm

ei la încovoiere la Starea Limit ă Ultimă • Verificarea rezisten ţ ei

Momentul încovoietor capabil al sec ţiunii transversale pentru încovoiere dup ă axa maximă de inerţie este:  M c,Rd = Weff,y f yb γ M0 = 40463 × 10−9 × 350 × 103

1, 0 = 14,16 kN kNm

SREN 1993-1-3 §6.1.4.1(1) Următoarea condi ţie trebuie îndeplinit ă la încovoiere:  M Ed  M c,Rd

=

6,78 = 0, 479 < 1 – verifică 14,16

SREN 1993-1-1 §6.2.5(1) ei la forfecare la Starea Limit ă Ultimă • Verificarea rezisten ţ ei

Calculul la for ţă tăietoare Forţa tăietoare maximă din încărcările de calcul este: VEd = qd L

2 = 3, 39 × 4 2 = 6, 78 kN

Valoarea de calcul a rezisten ţei plastice la forfecare este: V pl,Rd =

(

 Av f yb

γ M0

3)

hw

=

sin ϕ

(

t f yb

3)

γ M0

SREN 1993-1-1 §6.2.6(2) unde:  Av hw = h − t nom

ϕ = 90°

– aria de forfecare – înălţimea inimii măsurat ă între axele t ălpilor – unghiul de înclinare a inimii faţă de tălpi.

( 200 − 2 ) × 10−3 × 1, 96 × 10−3 × ( 350 × 103 sin90° V pl,Rd = 1, 0 Forţa capabilă la forfecare este: hw V b,Rd =

sinϕ

3)

= 78,42 78,42 kN

tf bv

γ M0

SREN 1993-1-3 §6.1.5 unde:  f bv  este rezisten ţa la flambajul prin forfecare Pentru inimi cu rigidiz ări în secţiunea de reazem:

dacă dacă

 f bv = 0,58 f yb  f bv = 0,48 f yb λ w

λ w ≤ 0,83 λ w > 0,83

Zvelteţea redusă λ w  pentru inimi f ără rigidizări longitudinale: s λ w = 0, 346 w

 f yb

t

E

λ w = 1, 4 4227 > 0, 8833  

= 0, 346

h − t nom

f yb

t

E

 

200 − 2 350 × = 1, 427 1, 96 210000

astfel:

 f bv = 0, 48 f yb λ w = 0, 48 × 350

V b,Rd

= 0, 346 ×

1, 427 = 117, 73 N mm2 1,

( 200 − 2 ) × 10−3 × 1, 96 × 10−3 × 117, 73 × 103 sin90° = = 45,7 45,7 kN 1, 0

Efortul capabil la forfecare:

(

)

Vc,Rd = min Vpl,Rd ,V b,Rd = min ( 78,42 ; 45,7 ) = 45,7 kN

Valoarea de calcul V Ed Ed a forţei t ăietoare în fiecare sec ţiune transversal ă trebuie s ă satisfacă relaţia: V Ed V c,Rd

=

6.78 = 0,148 < 1 45,7

– verifică SREN 1993-1-1 §6.2.6(1)

ei la for  ţ e transversale concentrate la Starea Limit ă Ultimă • Verificarea rezisten ţ ei

Reacţiunea:

FEd = qd L

2 = 3, 39 × 4 2 = 6, 68 kN

Pentru o secţiune transversal ă  cu o singur ă  inimă  nerigidizat ă, următoarele condi ţii trebuiesc satisf ăcute: hw t  ≤ 200 198 1, 1, 96 = 101, 02 < 200 – verifică r t  ≤ 6 3 1, 96 = 1, 53 < 6 – verifică 45° ≤ ϕ ≤ 90°

unde ϕ  este unghiul de înclinare a inimii fa ţă de tălpi: ϕ = 90°

– verifică SREN 1993-1-3 §6.1.7.2(1) Rezistenţa inimii la cedarea prin deformare local ă se determină astfel: ss = 80 mm Lungimea de rezemare: Pentru ss t  =  = 80 1, 96 = 40, 816 < 60  rezistenţa inimii la cedarea prin deformare local ă  Rw,Rd

este:  Rw,Rd =

h t s   k1k2 k3 5, 92 − w  1 + 0, 01 s  t 2 f yb 132 t 







 

γ M1

SREN 1993-1-3 §6.1.7.2(2) unde: k1 = 1, 3 333 − 0, 3333k 

cu

k = f yb

228 = 350 228 = 1, 535

k 1 = 1, 33 − 0, 33 × 1, 53 535 = 0, 823 k2 = 1,15 − 0,15 r t  = 1,15 − 0,15 × 3 1, 1, 96 = 0, 92 k 3 = 0, 7 + 0, 3 ( ϕ

2

2

90) = 0, 7 + 0, 3 × ( 90 90) = 1

SREN 1993-1-3 §6.1.7.2(3) 0, 823 × 0, 92 × 1× 5, 92 −  Rw,Rd =

7,396 kN sau  Rw,Rd = 7,39



198 1, 96   80  × 1 + 0, 01× ×1, 962 × 350   1 32   1, 96  7396 N = 739 1, 0

Pentru cazul verific ării la forţe transversale concentrate trebuie îndeplinit ă condiţia: FEd = 6, 68 kN < Rw,Rd = 7, 396 kN – verifică SREN 1993-1-3 §6.1.7.1(1) 

Verificarea la Starea Limit ă de Serviciu

Încărcarea aplicat ă grinzii, aferent ă stării limită de serviciu, conform EN1990 este: qd,ser = qG + qQ = 0, 51 + 1, 80 = 2, 31 kN kN

m

Momentul încovoietor maxim (la mijlocul deschiderii), în raport cu axa maxim ă de inerţie y-y:  M Ed,ser = qd,ser L2

8 = 2, 31 × 42 8 = 4, 62 kNm

iunii transversale eficace, corespunzătoare st ării limit ă de • Caracteristicile geometrice ale sec ţ iunii serviciu (conform §7.1(3) din EN1993-1-3)

Momentul de iner ţie corespunz ător stării limită de serviciu este:  I fic = I gr −

cu:

σgr σ

( I gr − I ( σ)eff  )

 I gr = 4495921mm4  – momentul de iner ţie al secţiunii transversale brute

σgr –

valoarea maxim ă  negativă  a tensiunii din încovoiere corespunz ătoare stării limită de

serviciu  zc,gr = 96,88 96,88 mm  – pozi ţia axei neutre în raport cu talpa comprimat ă

σgr =

 M Ed,ser Wgr

=

M Ed,ser I gr zc,gr

4, 62 × 106 ,55 N mm 2 = = 99,55 449592 449 59211 96,88 96,88

σ =  f yb = 350 N mm2  I ( σ )eff  = I eff,y = 4139861mm4  I fic = 4495921 −

99,55 × ( 4495921 − 4139861) = 4394644 mm mm4 350

• Verificarea săge ţ i 4

5 qd,ser L 5 2.31× 40004 8.34 mm , adică δ = L / 480 δ= = × = 8.34 384  EI fic 384 210000 × 4394644 Săgeata admisă δadm = L / 250 = 16 mm  – verifică

5. BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE ŞI ÎNCOVOIERE 5.1 Aspecte generale. Producerea fenomenelor Elementele construc ţiilor metalice solicitate axial prezint ă anumite excentricit ăţi, conducând la apariţia unor momente încovoietoare suplimentare. În subcapitolul 3.2 s-a ar ătat că, în cazul flambajului barelor comprimate centric, ţinând cont de efectul imperfec ţiunilor, cedarea se produce prin compresiune excentric ă. Astfel, comportarea barelor comprimate şi încovoiate apare ca un caz general de comportare, deosebindu-se de comportarea barelor comprimate centric, prin faptul c ă  excentricit ăţile sunt mai mari, sau prin faptul c ă  încovoierea poate fi produsă şi de acţiunea unor momente încovoietoare, sau a unor for ţe transversale care ac ţionează asupra barei. Una din limitele de comportare a barelor comprimate şi încovoiate o reprezint ă bara  M = 0), iar cealalt ă limită o reprezint ă bara încovoiat ă ( N  N = 0), la care, de comprimată centric ( M asemenea, apar fenomenele de pierdere a stabilit ăţii (Dalban ş.a., 1997). Cedarea barelor comprimate şi încovoiate se produce fie prin plastificarea sec ţiunilor celor mai solicitate, datorate în special solicit ării de încovoiere, fie prin pierderea stabilit ăţii prin  încovoiere-răsucire, în func ţie de raportul dintre cele dou ă solicitări (moment încovoietor şi forţă axială), de forma secţiunii transversale a barei, de leg ăturile de la capete sau de pe lungimea barei etc. Fenomenele pot fi ini ţiate în domeniul elastic sau elasto-plastic. În stadiul final de cedare, deforma ţiile barei au un pronun ţat caracter plastic. În Figura 5.1 se prezint ă două  exemple de elemente solicitate la compresiune şi încovoiere. Comportarea acestor elemente rezult ă din combina ţia celor dou ă efecte şi variază cu zvelteţea acestora. În domeniul zvelte ţilor mici rezistenţa secţiunii transversale domin ă  fenomenul, descrisă prin relaţia de interacţiune pentru starea limita elastic ă sau plastic ă. Pentru domeniile de zvelteţe medii şi mari, efectele de ordinul doi devin importante, comportarea fiind influen ţată semnificativ de imperfec ţiunile geometrice şi tensiunile reziduale. În domeniul zvelte ţilor mari, cedare se produce prin flambaj în domeniul elastic. Cedarea se produce fie prin flambajul prin  încovoiere (tipic elementelor solicitate la compresiune pur ă), fie prin flambaj prin încovoiere laterală cu răsucire (tipic elementelor solicitate la încovoiere).

Fig. 5.1: Exemple de elemente solicitate la compresiune şi încovoiere Comportarea elementelor solicitate la compresiune şi încovoiere rezult ă din interacţiunea dintre pierderea stabilit ăţii şi plasticizarea sec ţiunii transversale şi este influen ţată  de imperfecţiunile geometrice şi de material. Comportarea acestor elemente este foarte complex ă. O prezentare în detaliu a comport ării elementelor solicitate la compresiune şi încovoiere, precum şi bazele teoretice ale rela ţiilor de interacţiune în ceea ce prive şte stabilitatea, care sunt prezentate în SR EN 1993-1-1, a fost f ăcută de Boissonnade ş.a. (2006).

Verificarea elementelor solicitate la l a compresiune şi încovoiere se realizeaz ă în doi paşi: a) verificarea rezisten ţei secţiunii transversale; b) verificarea de flambaj a barei. În continuare se vor prezenta aspectele teoretice în ceea ce prive şte stabilitatea elementelor solicitate la compresiune şi încovoiere, respectiv rela ţiile de interacţiune în conformitate cu SR EN 1993-1-1.

5.2 Rezistenţ Rezistenţa barelor comprimate şi încovoiate la pierderea stabilităţ stabilităţii ii generale  5.2.1 Bazele teoretice teoretice

În cazul unei bare solicitate la compresiune şi încovoiere, pe lâng ă momentele încovoietoare de ordinul întâi şi deformaţiile aferente (ob ţinute pe configura ţia nedeformată), trebuie luate în considerare şi momentele încovoietoare şi deformaţiile de ordinul doi, adi ţionale (efectele P-δ ). ). În Figura 5.2 se prezint ă comportarea unui element solicitat la compresiune şi încovoiere, cu o curbură iniţială de forma unei sinusoide cu s ăgeata maximă e0. Diagrama de moment încovoietor include momentele încovoietoare de ordinul întâi şi doi, care rezult ă din deformarea lateral ă.

Fig. 5.2: Comportarea unei bare solicitate la compresiune şi încovoiere (da Silva ş.a., 2010) Verificarea în sec ţiunea transversal ă a barei nu ţine cont de distribu ţia momentului încovoietor  M , în lungul barei. În Figura 5.3 se prezint ă deformata barei ca rezultat al ac ţiunii simultane a forţei axiale de compresiune şi a momentelor încovoietoare aplicate la capete, egale ca m ărime (încovoierea în curbur ă simplă). După  cum s-a precizat, momentul încovoietor în fiecare sec ţiune în lungul bare poate fi considerat ca fiind compus din doi termeni: - momentul încovoietor de ordinul întâi M;  N v. - momentul încovoietor de ordinul doi  N v. Utilizând teoria de bar ă, în domeniul elastic, se poate ob ţine săgeata maximă la mijlocul barei (Trahair şi Bradford, 1988): vmax =

 M  N

sec

π  2

N  N cr , y

−1  

(5.1)

unde  N cr , y =

π 2 EI  y  L2

  este forţa critică  de flambaj dup ă  axa maximă, respectiv momentul

 încovoietor maxim:  M max = M sec

π  2

 N   N cr , y

 

(5.2)

Fig. 5.3: Momentul încovoietor de ordinul întâi şi doi (SSDATA, 1999) În ecuaţiile (5.1) şi (5.2) de mai sus, termenul ce con ţine secanta poate fi înlocuit cu termenul din relaţia (5.3), observând c ă ecuaţiile deformatei şi momentului încovoietor de ordinul întâi  M sunt aproximativ egale, a şa cum se prezint ă în Figura 5.4. 1   1 − N / N cr , y

(5.3)

Aproximare Ecuaţiile (5.4) şi (5.5) Soluţia exactă pentru moment, ecuaţia (5.2) Soluţia exactă pentru săgeată, ecuaţia (5.1)

 / Fig. 5.4: S ăgeata şi momentul încovoietor maxim pentru bara solicitat ă la compresiune cu  încovoiere (momente (momente încovoietoare egale egale aplicate la capetele capetele barei) (SSDATA, 1999) 1999)

Astfel, relaţiile (5.1) şi (5.2) devin: vmax =

 ML2

1   8 EI y 1 − N / N cr , y

 M max = M 

1   1 − N / N cr , y

(5.4)

(5.5)

Efortul unitar maxim în sec ţiunea transversal ă cea mai solicitat ă va fi:

σ max = σ c + σ b

 M max  M 

 

(5.6)

unde, σ c  este efortul unitar din compresiune, iar σ b  este efortul unitar din încovoiere. Ecuaţia (6) poate fi rescris ă astfel:

σc  f y

+

σ b = 1.0   f y (1 − N / N cr , y )

(7)

Ecuaţia (5.7) poate fi rezolvat ă  pentru valorile σ c şi σ b   care produc plasticizarea sec ţiunii, luând diferite valori ale for ţei critice  N cr , y  (care depinde de zvelte ţe). Această ecuaţie genereaz ă o serie de curbe dup ă cum se prezint ă în Figura 5.5, care indic ă faptul că dacă σ b → 0 , atunci σ c  tinde către valoarea limitei de curgere  f  y. Astfel, ecua ţia (5.7) nu identific ă posibilitatea de flambaj sub forţa axială pură, la un nivel dat al efortului unitar critic σ cr , y , dat de rela ţia:

σ cr , y =

 Ncr , y  A

π 2 EI y

π 2 E  = =    AL2 λ  y2

Fig. 5.5: Reprezentarea grafic ă a ecua ţiei (5.14) (SSDATA, 1999)

(5.8)

Utilizarea ambelor ecua ţii (5.7) şi (5.8), asigur ă că ambele condi ţii sunt acoperite, dup ă cum se prezintă în Figura 5.6.

Fig. 5.6: Reprezentarea grafic ă a ecua ţiilor (5.7) şi (5.8) (SSDATA, 1999) După cum s-a prezentat în subcapitolul 3.2, stabilitatea unei bare cu o imperfec ţiune iniţială e0 solicitată la compresiune axial ă N  Ed , poate fi exprimat ă prin relaţia (5.9), astfel:  N Ed  N Rd

+

1

N Ed  ⋅ e0

1 − N Ed / N cr M Rd 

≤ 1 

(5.9)

unde cu e0 se noteaz ă imperfecţiunea geometrică echivalent ă. 2 (1 − χ )(1 − χ λ  )  M el , Rd   e0 =    χ   N  pl , Rd 

(5.10)

Când bara este solicitat ă la momente încovoietoare suplimentare celor de ordinul întâi, atunci ecuaţia (5.9) poate fi scris ă astfel. II  N Ed ⋅ e0, d  M Ed   max ≤ 1   + +  N Rd 1 − N Ed / N cr M Rd M Rd   N Ed

1

(5.11)

II unde  M  Ed   max   reprezint ă  momentul încovoietor de ordinul doi maxim, indus de momentul  încovoietor de ordinul întâi suplimentar. Deoarece ecua ţia (5.11) reprezint ă relaţia de verificare  în secţiunea cea mai solicitat ă, este necesar s ă se determine pozi ţia acestei sec ţiuni pentru a putea II evalua momentul încovoietor  M  Ed   max . Atunci când exist ă un momentul încovoietor de ordinul  întâi  M  Ed  , apare şi un braţ  de forţă  suplimentar pentru for ţa axială  N  Ed , ce conduce la o amplificare a deformatei şi a momentului încovoietor, în acela şi sens cu imperfec ţiunea iniţială e0, aşa cum se prezint ă în Figura 5.7.

Fig. 5.7: Momentul încovoietor de ordinul doi şi forma sinusoidal ă echivalent ă (Boissonade ş.a, 2006) Pentru a evita determinarea pozi ţiei secţiunii transversale cea mai solicitat ă  din efectele de ordinul doi, se utilizeaz ă  conceptul de moment încovoietor echivalent. Acesta const ă în  înlocuirea sistemului încovoietor de ordinul întâi de pe elementul deja solicitat la acela şi efort axial, cu un moment încovoietor de ordinul întâi sinusoidal, care produce acela şi moment  încovoietor amplificat. Acesta din urm ă se exprimă de regul ă prin termenul Cm M Ed   (a se vedea forma sinusoidal ă echivalent ă din Figura 5.7). II Momentul încovoietor de ordinul doi maxim  M  Ed   max  poate fi exprimat astfel: C M Ed  max II  M  Ed  max = m   1 − N Ed / N cr 

(5.12)

Astfel, verificarea în sec ţiunea cea mai solicitat ă se va efectua cu formula:  N Ed  N Rd

+

 N Ed ⋅ e0, d  Cm M Ed  1 + ≤1  1 − N Ed / N cr M Rd 1 − N Ed / Ncr M Rd   

1

(5.13)

momentul încovoietor ini ţial fiind produs de momentele încovoietoare de la capete şi sau forţele transversale aplicate în lungul barei. Ecuaţia (5.13) reprezint ă forma general ă şi a fost folosită în majoritatea normelor de proiectare. O exprimare similară a acestei rela ţii este şi:  N Ed

 χ  N Rd

1

Cm M Ed 

1 − N Ed / Ncr

M Rd 

+ µ 

≤ 1 

(5.14)

unde

 µ  =

1 − N Ed / N cr    1 − χ  N Ed / N cr 

(5.15)

Relaţia (5.14) este prezentat ă  într-o formă  mai convenabil ă, permiţând exprimarea separat ă a termenului ce con ţine termenul de flambaj. Totu şi, termenul nu este izolat, acesta depinzând de forţa axială de compresiune  N  Ed .  5.2.2 Flambajul prin încovoiere încovoiere şi flambajul prin încovoiere-ră sucire

Cele trei moduri de comportare a barelor solicitate la compresiune cu încovoiere sunt ilustrate în Figura 5.8.

Legături laterale

Stâlpul se deformeaz ă doar în planul zx (a) comportarea în plan

Stâlpul se deformeaz ă în planul zx, apoi flambează în planul yx şi se răsuceşte după axa x (b) comportarea la încovoiere cu răsucire

Stâlpul se deformeaz ă în planurile zx şi yx şi se răsuceşte după axa x (c) încovoierea biaxială

Fig. 5.8: Moduri de flambaj ale elementelor solicitate la compresiune şi încovoiere Dacă  un element este încovoiat dup ă  axa minimă  de inerţie, sau dac ă  este împiedicat s ă se deformeze lateral atunci când este încovoiat ă după axa maxim ă de inerţie, aşa cu se prezint ă în Figura 5.8a, atunci comportarea barei va fi limitat ă la planul de flambaj. Atunci când un element cu secţiunea transversal ă deschisă (simplu conex ă), este solicitat la încovoiere dup ă axa maximă de inerţie, aşa cum se arat ă în Figura 5.8b, atunci acesta poate flamba în afara planului înc ărcării prin deformare lateral ă şi răsucire. Acest fenomen este similar cu flambajul prin încovoiere laterală cu răsucire a grinzilor (a se vedea capitolul 4). Cazul cel mai general este cazul prezentat  în Figura 5.8c, atunci când încovoierea este biaxial ă, iar comportarea elementului este tridimensională, care implică încovoierea biaxial ă şi răsucirea. Când un element f ără legături / rezemări laterale este solicitat la compresiune şi încovoiere în planul de rigiditate maxim ă (a se vedea Figura 5.8a), acesta î şi pierde stabilitatea, de regul ă, prin  încovoiere-răsucire, la o for ţă care este semnificativ mai mic ă decât cea dintr-o analiz ă în plan. Acest mod de pierdere a stabilit ăţii este întâlnit atât la bare încovoiate, cât şi la bare comprimate. Flambajul prin încovoierea lateral ă cu răsucire poate sa apar ă în timp ce elementul este înc ă în domeniul elastic (a se vedea curba 1 din Figura 5.9), sau dup ă ce are loc plastificarea sec ţiunii (a se vedea curba 2 din Figura 5.9), datorit ă  compresiunii şi încovoierii în planul de rigiditate maximă. Forta

(1) Flambaj elastic

Forta

(1) Flambaj elastic

(2) Flambaj inelastic (2) Flambaj inelastic

Prima articulatie plastica Deformatie in afara planului

(a) comportare în afara planului

Deformatie in plan

(b) comportare în plan

Fig. 5.9: Flambajul prin încovoierea î ncovoierea lateral ă cu răsucire a elementelor solicitate la compresiune şi încovoiere (SSDATA, 1999)

Se consider ă flambajul prin încovoierea - r ăsucire a unui element cu sec ţiunea transversal ă dublu T, f ără legături / rezemări laterale, încovoiat dup ă  axa maximă  de inerţie. Considerând o comportarea elastic ă şi schema static ă şi modul de înc ărcare aşa cum se prezint ă în Figura 5.10, combinaţia critică N – M  se  se poate ob ţine din solu ţia ecuaţiei de mai jos (Chen şi Atsuta, 1976):  M

2

  

= 1 −

i02 N cr ,z N cr , T  

 N    1 −  N cr , z   N cr ,T N

     

(5.16)

unde  I y + I z  este raza de iner ţie polară;  A π 2 EI 

•

i0 =

•

 N cr , z =

•

 Ncr ,T =

 L2

1

 z

 este forţa critică de flambaj după axa minimă de inerţie;

 GI t +

i02 

π 2 EI w   

l2

T 

  este for ţa critică de flambaj prin r ăsucire.  

Fig. 5.10: Flambajul prin încovoierea lateral ă cu răsucire. Cazul standard: reazemele marginale  împiedică deformarea lateral ă şi răsucirea, dar nu împiedic ă deplanarea Ecuaţia (5.16) se reduce la flambajul unei grinzii atunci când  N  → 0 şi la flambajul unui stâlp prin încovoiere ( N cr,z  N cr,T  cr,z) sau răsucire ( N  cr,T ) când  M → 0. În primul caz, valoarea momentul critic elastic se calculeaz ă cu relaţia:  M cr =

π   L

EI z GI t

π 2 EI w

1 +  2    L GI 

unde •  EI  z este rigiditatea la încovoiere dup ă axa minimă; • GI t t este rigiditatea la r ăsucire   •  EI w este rigiditatea la deplanare.

t 

(5.17)

În relaţia (5.16) nu se ţine cont de amplificarea momentului încovoietor  M   datorită  prezenţei forţei axiale. Aceasta se poate aproxima prin

 M

2

 M 

1 − N / N cr , y   

= 1 −

2 i0 N cr ,z N cr , T  

. În acest caz ecua ţia (5.16) devine:

 N  1 −  N cr , y   N cr , z N

 N    1 −   N cr ,T

     

(5.18)

Ţinând cont de importan ţa relativă a forţelor N cr,y cr,y,  N cr,z cr,z şi  N cr,T  cr,T , şi prin rearanjarea termenilor se obţine următoarea aproximare:  N  N cr , z

+

M  1 = 1  1 − N / N cr , y i0 Ncr , z N cr , T  

(5.19)

+

1 M  = 1  1 − N / Ncr , y M cr  

(5.20)

sau  N  N cr , z

În trecut, au fost propuse diverse formule de interac ţiune pentru a reprezenta aceast ă  situaţie pentru întreg domeniul de zvelte ţi. Prezenta abordare din SR EN 1993-1-1 se bazeaz ă pe formula de interacţiune liniară, reprezentat ă  prin ecuaţia (5.21). În conformitate cu aceast ă  abordare, efectele forţei axiale de compresiune şi ale momentelor încovoietoare se adun ă liniar, iar efectele neliniare produse de for ţa axială  de compresiune sunt luate în considerare prin factori de interacţiune specifici.   N   M  y  M  z  , ,  ≤ 1.0    Nu M uy M uz   

 f  

(5.21)

unde N , M  y şi M  z sunt eforturile de calcul şi N u, M uy uy şi  M uz uz sunt rezisten ţele de calcul, care iau în considerare fenomenele de pierdere a stabilit ăţii asociate. Evoluţia relaţiilor de calcul, şi în particular a celor adoptate de norma SR EN 1993-1-1, este complexă, deoarece acestea trebuie s ă includă, printre alte aspecte, dou ă moduri de pierdere a stabilităţii, şi anume flambajul prin încovoiere şi flambajul prin încovoiere lateral ă cu răsucire, sau o combina ţie a celor dou ă, diferite forme ale sec ţiunii transversale, diferite tipuri de diagrame de moment încovoietor etc. Aceste formule, care se bazeaz ă pe teoria de ordinul doi, trebuie să  includă  mai multe concepte comune, cum ar fi: momentul echivalent, definirea lungimii de flambaj şi conceptul de amplificare. Aceste formule s-au bazat în principal pe secţiuni dublu-simetrice, de şi studii recente (Kaim, 2004) au ar ătat că  acestea ar putea oferi soluţii aproximative bune pentru sec ţiuni mono-simetrice. Boissonade ş.a (2006), pentru elemente solicitate la compresiune şi încovoiere ( N  Ed  +  M  y,Ed  +  M  z,Ed ), a exprimat prin urm ătoarele ecua ţii stabilitatea elastic ă la încovoiere în ambele planuri principale (planul  x-y şi planul x-z), f ără a ţine cont de modul de cuplare complex dintre modurile de pierdere a stabilit ăţii în ambele planuri, astfel:

    C M  C M     N  Ed  my y , Ed Ed   mz z , Ed Ed   + µ  y  +  ≤ 1.0    χ  y N pl , Rd       N    1 −  N  Ed   M  −  Ed   M el , z , Rd   1  , , e l y R d     N cr , z     N    cr , y     

(5.22)

    C M  C M     N  Ed  my y , Ed Ed   mz z , Ed Ed   + µ  z  +  ≤ 1.0    χ  z N pl , Rd       N    1 −  N  Ed   M  −  Ed   M el , z , Rd   1  , , e l y R d     N cr , z     N  ,   cr y     

(5.23)

unde C my my şi C mz mz sunt factori ai momentului uniform echivalent cu privire la diagramele  M   y şi  M   z, respectiv la parametrii  µ  y şi  µ  z  definiţii prin următoarele formule:

 µ  y =

1 − N Ed / N cr , y   1 − χ  y N Ed / N cr , y

(5.24)

 µ  z =

1 − N Ed / N cr , z   1 − χ  z N Ed / N cr , z

(5.25)

Formulele generale exprimate prin rela ţiile (5.22) şi (5.23) se bazeaz ă  pe teoria elastic ă de ordinul doi, astfel c ă sunt valabile doar pentru sec ţiuni de clasă 3. Secţiunile de clas ă 1 şi 2 pot flamba prin încovoiere în domeniul elasto-plastic, conducând conducând la urm ătoarele ecuaţii modificate:     C M  C M     N  Ed  my y , Ed Ed   mz z , Ed Ed   + µ y  + α *  ≤ 1.0   (5.26)  χ  y N pl , Rd       N  Ed    1 −  N  Ed   C M  − C yz M pl , z , Rd   1   , ,  yy pl y Rd    N cr , z     N    cr , y     

    C M  Cmz M z , Ed    N  Ed  my y , Ed Ed   Ed   + µ z  β * +  ≤ 1.0   (5.27)  χ  z N pl , Rd       N   N    1 −  Ed   C M  −  Ed   C zz M el , z , Rd   1  , ,  zy pl y Rd    N cr , z     N    cr , y      

unde C  yy, C  yz, C  zy şi C  zz factori introduşi pentru a simula efectele plasticiz ării, iar α* şi  β * sunt factori ce depind de comportarea neliniar ă a materialului. Formulele prezentare mai sus reprezint ă comportarea elementelor pentru care modul de cedare posibil este flambajul prin încovoiere într-unul din planurile principale. Acesta ar putea fi cazul elementelor cu sec ţiune închisă (dublu conex ă), sau elementelor cu rezem ări laterale. În cazul

elementelor cu sec ţiune deschis ă, f ără  rezemări laterale, modul de cedare este flambajul prin  încovoiere laterală cu r ăsucire. Se consider ă o bară cu sec ţiune I sau H dublu-simetric ă, cu cazul standard de rezemare la capete, solicitat la compresiune axial ă şi moment încovoietor uniform  M  y,Ed . Considerând o curbur ă  laterală  sinusoidal ă iniţială şi un prim criteriu de cedare, Kaim (2004) a obţinut următoarea formulă de flambaj:  N  Ed 

+

 M  y

+

  N  Ed   1 −  M    N cr , y   y, Rd        (5.28) h   2 2  N  , cr z  M M   N cr , z  N  Ed   1  y , Ed 2 y , Ed   ≤ 1 + e0  + +   M z , Rd  M 2 ( ) M z , Rd  M 2 ( )   M  y2, Ed      N  Ed   cr N cr N    1 −    1 −  M  z , Rd   2  N    , cr z   M     cr   

 N  pl , Rd 

unde M cr(N) cr(N) este momentul critic pentru flambajul prin încovoiere lateral ă cu răsucire sub efectul suplimentar al forţei axiale de compresiune (Boissonade ş.a, 2006; da Silva ş.a., 2010), iar  M  y,Rd  şi M  z,Rd  sunt momentele capabile elastice după axa y, respectiv axa z-z. Ecuaţia (5.28) descrie modul de flambaj prin încovoiere lateral ă cu răsucire a unui element solicitat la compresiune şi încovoiere în planul  xz ( M  y). Totuşi această relaţie trebuie simplificată  într-un format mai adecvat pentru proiectare. Ecuaţiile (5.21) – (5.28) stau la baza celor dou ă metode de proiectare pentru elemente solicitate la compresiune şi încovoiere prezentate în norma SR EN 1993-1-1. Pentru a obţine relaţiile actuale din norm ă, au fost f ăcute unele simplificări şi câţiva parametri au fost calibraţi prin investigaţii experimentale şi numerice. Cele două metode, denumite Metoda 1 şi Metoda 2, se prezint ă în paragraful următor.

5.3 Bare supuse la încovoiere şi compresiune cu secţ secţiune transversală transversală uniformă  uniformă. Utilizarea factorilor de interacţ interacţiune folosind metoda din anexa A (Metoda 1), respectiv anexa B (Metoda 2) conform SR EN 1993-1-1 Pierderea stabilităţii unui element cu secţiunea transversală  dublu-simetrică, care nu este sensibilă la deformaţi de distorsiune, şi solicitată  la compresiune şi încovoiere, se poate datora flambajului prin încovoiere sau flambajului prin încovoiere laterală cu răsucire. Astfel, clauza 6.3.3(1) din SR EN 1993-1-1, consideră două situaţii distincte: - bare care nu sunt sensibile la deplanarea secţiunii prin răsucire, de exemplu barele cu secţiuni tubulare circulare sau alte barele care au secţiunile prevăzute cu legături  împotriva răsucirii. Flambajul prin încovoiere este modul relevant de pierdere a stabilităţii. - bare sensibile la deplanarea secţiunii prin răsucire, de exemplu barele cu secţiuni transversale deschise (secţiuni I şi H), care nu sunt prev ăzute cu legături împotriva răsucirii. Flambajul prin încovoiere laterală cu răsucire este modul relevant de pierdere a stabilităţii. Se consideră  „cazul standard” al unei bare cu o singur ă  deschidere, care la extremităţi are reazeme simple tip „furcă” (împiedică deplasările laterale şi r ăsucirea, dar permite deplanarea şi rotirile după  axele secţiunii transversale  y şi  z) solicitată  la compresiune axială şi momente  încovoietoare la extremit ex tremităţi. Următoarele condiţii trebuiesc îndeplinite:

 N  Ed 

 χ y N Rk  / γ M 1  N  Ed 

 χ z N Rk  / γ M 1

+ k yy

+ k zy

 M y , Ed + ∆M y , Ed 

χ LT M y, Rk / γ M 1

 M y , Ed + ∆M y , Ed 

χ LT M y, Rk / γ M 1

+ k yz

+ k zz

 M z , Ed + ∆M z, Ed  M z , Rk

/ γ  M 1

 M z , Ed + ∆M z , Ed  M z, Rk

/ γ  M 1

≤ 1.0  

(5.29a)

≤ 1.0  

(5.29b)

 în care  N  Ed ,  M  y,Ed  şi  M  z,Ed   sunt valorile de calcul ale efortului de compresiune şi ale momentelor  încovoietoare maxime max ime în element, în raport rapo rt cu axele y-y respectiv z-z; ∆ M  y,Ed , ∆ M  z,Ed   sunt momentele încovoietoare datorate deplasării centrului de greutate, în cazul secţiunilor eficace, de clasă 4 (a se vedea Tabelul 5.1);  χ  y şi  χ  z sunt factori de reducere pentru flambajul prin încovoiere (dup ă axa y-y, respectiv axa z-z), conform 6.3.1 din SR EN 1993-1-1;  χ  LT   este factorul de reducere datorat pierderii stabilit ăţii prin încovoiere lateral ă cu răsucire, conform 6.3.2 din SR EN 1993-1-1 (pentru elemente care nu sunt sensibile la deplanarea secţiunii prin răsucire  χ  LT  = 1); k  yy, k  yz, k  zy, k  zz  sunt factori de interac ţiune care depind de fenomenul de pierdere a stabilităţii, respectiv plasticizării, obţinuţi conform Metodei 1 (a se vedea Anexa A din SR EN 1993-1-1), sau Metodei 2 (a se vedea Anexa B din SR EN 1993-1-1).  N  Rk  =  f  y Ai ,  M i , Rk  =  f  yW i şi ∆ M i, Ed   se calculează conform Tabelului 5.1, în func ţie de clasa de secţiune a elementului. Tabelul 5.1: Valorile pentru calcul N  Rk , M i,Rk  i,Rk  şi ∆ M i,Ed  i,Ed  Clasa de secţ secţiune 1 2

3

4

 Ai

A

A

A

Aeff 

W  y

W  pl,y

W  pl,y

W el,y el,y

W eff,y eff,y

W  z

W  pl,z

W  pl,z

W el,z el,z

W eff,z eff,z

∆ M  y , Ed 

0

0

0

e N , y N Ed 

∆ M  z , Ed 

0

0

0

e N , z N Ed 

În SR EN 1993-1-1 sunt oferite două metode pentru calculul factorilor de interac ţiune k  yy, k  yz, k  zy, k  zz, şi anume Metoda 1, dezvoltată  de grupul de cercetătorii francezi şi belgieni, şi Metoda 2, dezvoltat ă de grupul de cercet ătorii austrieci şi germani (Boissonade ş.a, 2006). În cazul elementelor care nu sunt sensibile la deplanarea secţiunii prin răsucire, se presupune c ă nu există  riscul flambajului prin încovoiere-răsucire. Verificarea stabilităţii elementelor se efectuează ţinând cont de flambajul prin încovoiere dup ă axa  y-y şi axa  z-z. Această procedură impune aplicarea expresiilor (5.29a) pentru flambajul după  axa  y-y şi (5.29b) pentru flambajul după axa  z-z, considerând  χ  LT  = 1 şi calculând factorii de interacţiune k  yy, k  yz, k  zy, k  zz pentru un element care nu este sensibil la deforma ţii de torsiune. În cazul elementelor care sunt sensibile la deplanarea sec ţiunii prin răsucire, se presupune că nu există  modul critic de flambaj este flambajului prin încovoiere-r ăsucire. În acest caz se aplic ă expresiile (5.29a) şi (5.29b), iar coeficientul  χ  LT  se determină în conformitate cu procedura din paragraful 6.3.2 din SR EN 1993-1-1 şi calculând factorii de interacţiune k  yy, k  yz, k  zy, k  zz pentru un element care este sensibil la deformaţii de torsiune.

În conformitate cu Metoda 1, un element nu este sensibil la deforma ţii din torsiune dacă  I T T  ≥  I  y, unde  I T T   este moment de inerţie la răsucire Saint-Venant, iar  I  y  este moment de inerţie la  încovoiere în raport cu axa  y-y. Dacă  I T T  <  I  y, dar există rezemări laterale în lungul elementului, atunci şi această situaţie poate fi considerată că nu este sensibil la deformaţii din torsiune, dacă următoarea condiţie este îndeplinită:

λ 0 ≤ 0.2



C 1 4 1 − 



 N Ed  

 N    1 − Ed      N cr , z   N cr ,T  

(5.30)

unde C 1 este un coeficient care depinde forma diagramei de moment încovoietor între punctele de fixare,  N cr,z cr,z şi  N cr,T  cr,T  reprezintă forţa critică elastică pentru flambajul prin încovoiere după axa z-z, respectiv pentru flambajul prin răsucire, iar λ 0  este zvelteţea redusă pentru flambajul prin  încovoiere laterală cu răsucire, evaluată  pentru situaţia cu moment încovoietor constant. Dac ă condiţia (5.30) nu este satisf ăcută, atunci elementul trebuie considerat ca element sensibil la deformaţii din torsiune. În continuare se prezint ă următoarele tabele din Anexa A a SR EN 1993-1-1 pentru calculul factorilor de interacţiune în conformitate cu Metoda 1. În Tabelul 5.2 se prezint ă  valorile factorilor de interacţiune k ijij în conformitate cu Metoda 1. Tabelul 5.2: Factori de interacţiune k ijij în conformitate cu Metoda 1 Factori de interacţiune Caracteristici elastice ale Caracteristici plastice ale secţiunilor secţiunilor (Secţiuni de clasă 3 sau 4) (Secţiuni de clasă 1 sau 2) k  yy

k  yz

k  zy

k  zz

 µ  y

C my C mLT 

1−

1−

 N  Ed   N cr , z

 µ  z

C my C mLT 

1−

 N  Ed   N cr , y

 µ  z 1−

1−

 N cr , y

 µ  y

C mz

C mz

 N  Ed 

 N  Ed   N cr , z

 µ  y

C my C mLT 

 N  Ed  C  yy  N cr , y

 µ  y

C mz

1−

1

1

 N  Ed  C  yz

0.6

w z w y

 N cr , z

 µ  z

C my C mLT 

1−

C mz

1

 N  Ed  C  zy  N cr , y

 µ  z 1−

0.6

w y w z

1

 N  Ed  C  zz  N cr , z

În Tabelul 5.3 se prezint ă o serie de termeni auxiliari. De asemenea, sunt furnizate informa ţii şi despre factorii C  yy, C  yz, C  zy, şi C  zz; aceştia depind de gradul de plasticizare al sec ţiunii transversale la cedarea elementului. Ace şti termeni iau valori diferite, în func ţie de faptul dac ă elementul este sensibil sau nu la l a deforma ţii din torsiune.

Tabelul 5.3: Termeni auxiliari pentru calculul factorilor de interac ţiune k ijij din Tabelul 5.2 Termeni auxiliari: 1−

 µ  y =

n pl =

 N  Ed 

1−

 N cr , y

1 − χ  y

;  µ  z =

 N  Ed   N cr , y

 N  Ed   N  Rk  / γ  M 1

 N  Ed   N cr , z

1 − χ  z

; α  LT  = 1 −

 I T   I  y

 N  Ed 

; w y =

W  pl , y W el , y

≤ 1.5 ; w z =

W  pl , z W el , z

≤ 1.5

 N cr , z

≥ 0;

C my my and C mz mz sunt factori ai

momentului uniform echivalent, determina ţi în Tabelul 5.4. Pentru secţiunile de clas ă 3 şi 4, se consider ă wy=wz=1.0.  1.6 2  W el , y 1.6 2 2  C yy = 1 + wy − 1  2 − Cmy λ max − Cmy λ max  n pl − bLT   ≥  w y wy   W pl , y 

(

)

 M  y , Ed 

 M  z , Ed 

 χ  LT M pl , y, Rd

M pl , z, Rd 

2

unde b  LT = 0.5aLT λ 0

C yz

  2 λ 2  W  C  max mz   n pl − cLT   ≥ 0.6 w z el , z , = 1 + ( wz − 1)  2 − 14   w y W pl , z  w z5    2

unde c LT = 10aLT 

C zy

,

λ 0

 M  y , Ed 

4 Rd   5 + λ  z Cmy χ LT M pl , y, Rd

  2 λ 2  C max m y  n − d  ≥ 0.6 w y W el , y , = 1 + ( wy − 1)  2 − 14 LT   5   pl w z W pl , y w y   

unde d LT = 2aLT 

λ 0

 M  y , Ed 

4 0.1 + λ  z Cmy χ LT M pl , y, Rd



C zz = 1 + ( wz − 1)  2 −



+

 M  z , Ed  Cmz M pl , z , Rd   

W el , z  1.6 2 1.6 2 2  , (vezi erata Cmz λ max − Cmz λ max  − eLT  n pl ≥ w z

wz





W pl , z

 N1620E/EN1993-1-1)

unde e LT = 1.7aLT 

λ 0

 M  y , Ed 

4 Rd   0.1 + λ  z Cmy χ LT M pl , y , Rd

λ max = max(λ  y , λ  z ) λ 0 = zvelteţea redusă pentru flambajul prin încovoiere lateral ă cu răsucire datorit ă momentului  încovoietor uniform, considerând considerând Ψ y = 1.0  în Tabelul 5.4; λ  LT  = zvelteţea redusă pentru flambajul prin încovoiere lateral ă cu răsucire;

Tabelul 5.3: Termeni auxiliari pentru calculul factorilor de interac ţiune k ijij (continuare)   

Dacă λ 0 ≤ 0.2 C1 4 1 − Dacă λ 0 > 0.2

  

C1 4 1 −

 N Ed  

 1 −

ε  y =  N cr,y cr,y  N cr,z cr,z  N cr,T  cr,T   I T  T   I  y

 M  y , Ed   A  N Ed W el , y  M y , Ed

Aeff 

 N Ed W eff , y

 : Cmy = Cmy ,0 ; Cmz = Cmz ,0 ,0 ; CmLT =  1.0 ; 

 N cr , z  

N cr ,T   

 N Ed  

N Ed  

 1 −

 N cr , z  

2 Cmz = Cmz ,0 ; CmLT = Cm y

ε  y =

N Ed  

 

 : Cmy = Cmy , 0 + (1 − Cmy ,0 )

N cr ,T    a LT 

  N Ed  1 −   N cr , z

 N   1 − Ed    N cr ,T

   

ε  y aLT   

1 + ε  y aLT 

;

≥1;

 pentru secţiuni de clasa 1, 2 sau 3;  pentru secţiuni de clasa 4;

forţă critică de flambaj prin încovoiere î ncovoiere după axa y, în domeniul elastic; forţă critică de flambaj prin încovoiere î ncovoiere după axa z, în domeniul elastic; forţă critică pentru flambajul prin r ăsucire; moment de inerţie la răsucire Saint-Venant; moment de inerţie la încovoiere în raport cu axa y; 2

  1   C 1 =   unde k c este factor de corec ţie prezentat în tabelul Table 5.5.  k c  

În Tabelul 5.4 se prezint ă factorii C mi,0 mi,0, care permit ob ţinerea factorilor momentului încovoietor uniform echivalent, C mi mi, care sunt descri şi în Tabelul 5.3. Ace şti coeficien ţi ar trebui evalua ţi pe baza diagramelor de moment încovoietor (dup ă  axele  y-y şi  z-z) între punctele de fixare. În Tabelul 4.5 din capitolul 4 se prezint ă factorul de corec ţie k c. În conformitate cu Metoda 2, urm ătoarele elemente pot fi considerate c ă  nu sunt sensibile la deformaţii din torsiune: - elemente cu sec ţiuni tubulare circulare; - elemente cu sec ţiuni tubulare rectangulare (dac ă este respectat ă  condiţia h / b ≤ 10 / λ     z , unde h şi b reprezint ă în ălţimea şi l ăţimea secţiunii, iar λ  z  reprezintă zvelteţea redusă în raport cu axa z-z, (Kaim, 2004)); - elemente cu sec ţiune deschis ă, considerând acestea sunt împiedicate lateral şi la răsucire. Un element cu sec ţiune deschis ă I sau H, împiedecat continuu, poate fi considerat c ă nu este sensibil la deforma ţii din torsiune, dac ă  condiţiile prescrise în Anexa BB.2 a SR EN1993-1-1 sunt îndeplinite (Boissonade ş.a, 2006). Elementele cu sec ţiune deschis ă, de exemplu I sau H, sunt considerate ca fiind sensibile la deformaţii din torsiune dac ă  acestea nu sunt împiedecate corespunz ător lateral şi la torsiune. Împiedecat lateral înseamn ă că secţiunea transversal ă  este rezemat ă  lateral la nivelul t ălpii comprimate.

Tabelul 5.4: Factori ai momentului încovoietor uniform echivalent C mi,0 mi,0 C mi,0 Diagrama de momente mi,0  N  C mi, 0 = 0.79 + 0.21Ψi + 0.36(Ψi − 0.33)  Ed   N cr ,i

 π 2 EI  δ    N  i x − 1  Ed  C mi,0 = 1 +   L2 M i , Ed  ( x )  N cr ,i    M i , Ed  ( x )  este momentul maxim  M  y,Ed  sau M  z,Ed 

În conformitate cu analizele de ordinul întâi δ  x  este s ăgeata lateral ă maximă δ  z (datorită M  y,Ed ) sau δ  y ( datorită M  z,Ed ) în lungul elementului  N  C mi,0 = 1 − 0.18  Ed   N cr ,i  N  C mi,0 = 1 − 0.03  Ed   N cr ,i

Pentru calculul factorilor de interac ţiune în conformitate cu Metoda 2, se prezint ă în continuare tabelele din Anexa B a SR EN 1993-1-1. Tabelele 5.5 şi 5.6 prezint ă factorii de interacţiune k ijij. În Tabelul 5.7 se prezint ă factori de moment uniform echivalent C mi mi, evalua ţi pe baza diagramelor de moment încovoietor, între puntele de fixare. Tabelul 5.5: Factori de interac ţiune k ijij pentru elementele care nu sunt sensibile la deforma ţiile din răsucire în conformitate cu Metoda 2 Factorii de Tipul de Caracteristici elastice ale Caracteristici plastice ale sec ţiunilor interacţiune secţiune secţiunilor (Secţiuni de clas ă 1 sau 2) (Secţiuni de clas ă 3 sau 4)   

    N  Ed   ≤ C my  1 + ( λ  y − 0.2 ) ≤   Secţiuni I sau  N   /   χ y N Rk  / γ  M 1   χ γ    y Rk M 1   H şi secţiuni      N  Ed   N  Ed  tubulare ≤ C my 1 + 0.6 ≤ C my 1 + 0.8   rectangulare      /   /   χ γ    χ γ    N   N   y Rk M 1   y Rk M 1     N  Ed 

C my 1 + 0.6λ  y

k  yy

k  yz

k  zy

Secţiuni I sau H şi secţiuni tubulare rectangulare Secţiuni I sau H şi secţiuni tubulare rectangulare

k  zz

0.6k  zz

0.8k  yy

0.6k  yy



C mz 1 +

Secţiuni I sau H







 N 

( 2λ  z − 0.6 ) χ  N   Ed  ≤  /  γ    z Rk M 1 



≤ C mz 1 + 1.4

   χ z N Rk  / γ  M 1   N  Ed 

  ≤  N   /   χ γ     z Rk M 1     N  Ed  ≤ C mz  1 + 0.6     N  Ed   χ γ    N   /  1  z Rk M    + λ  − C  1 0 . 2  z ( ) ≤ Secţiuni mz   χ γ    N   /   z Rk M 1   tubulare rectangulare    N  Ed  ≤ C mz  1 + 0.8   χ z N Rk  / γ  M 1   C mz 1 + 0.6λ  z

k  zz

 N  Ed 

Pentru secţiunile I sau H ca şi pentru sec ţiunile tubulare rectangulare supuse la compresiune axial ă şi încovoiere pe o singur ă direcţie ( M   M  y,Ed ), ), se poate lua k  zy = 0. Pentru a ilustra modul de calcul a factorilor de moment uniform echivalent C mi mi (Tabelul 5.8), se consider ă  un element solicitat la încovoiere biaxial ă şi compresiune, care la extremit ăţi are reazeme simple tip „furc ă” (împiedică deplasările laterale şi r ăsucirea, dar permite deplanarea şi rotirile după  axele sec ţiunii transversale  y şi  z) şi este rezemat lateral în câteva sec ţiuni intermediare. Se consider ă că  rezemările intermediare împiedic ă  nu doar deforma ţiile din torsiune, ci şi deformaţiile transversale ale sec ţiunii acolo unde acestea sunt aplicate. În acest caz, factorul C my my  trebuie evaluat pe baza diagramei de moment încovoietor  M   y  în lungul elementului. Factorii C mz  trebuie evalua ţi pe baza diagramelor de moment încovoietor  M  z mz şi C mLT  mLT  trebuie şi M  y, între punctele de fixare fi xare laterale. Tabelul 5.6: Factori de interac ţiune k ijij pentru elementele care sunt sensibile la deforma ţiile din răsucire în conformitate cu Metoda 2 Factorii de Caracteristici elastice ale sec ţiunilor Caracteristici plastice ale sec ţiunilor interacţiune (Secţiuni de clasă 3 sau 4) (Secţiuni de clas ă 1 sau 2) k  yy

k  yy din tabelul 5.5

k  yy din tabelul 5.5

k  yz

k  yz din tabelul 5.5

k  yz din tabelul 5.5

   N  Ed  0.1λ  z 1 −    ( CmLT − 0.25 )  χ z N Rk / γ  M  1  

k  zy

   N  Ed  0.05λ  z 1 −   ( CmLT − 0.25 )  χ z N Rk / γ  M  1      N  Ed  0.05 ≥ 1 −   ( CmLT − 0.25 )  χ z N Rk / γ  M  1   



≥ 1 −



k  zz din tabelul 5.5

( CmLT

 N  Ed 

pentru λ z < 0.4 : k  zy = 0.6 + λ z ≤ 1−

k  zz

  − 0.25 )  χ z N Rk / γ  M  1   

0.1

 N  Ed  0.1λ  z ( CmLT − 0.25 )  χ z N Rk / γ  M  1 k  zz din tabelul 5.5

 

Tabelul 5.7: Factori de moment uniform echivalent C mi mi din tabelele 5.5 şi 5.6 Diagrame de momente Domenii C my my, C mz mz şi C mLT  mLT  Încărcare uniformă Încărcare concentrat ă 0.6 + 0.4Ψ ≥ 0.4

−1 ≤ Ψ ≤ 1

0 ≤ α s ≤ 1

α h = M S  /  M h

− 1 ≤ α s < 1

0 ≤ α h ≤ 1

α h = M h / M s

− 1 ≤ α h < 1

−1 ≤ Ψ ≤ 1

0 ≤ Ψ ≤1

0.2 + 0.8α s ≥ 0.4   0.1 − 0.8α s ≥ 0.4

0. 0.2 + 0.8α s ≥ 0.4 − 0.8α s ≥ 0.4

− 1 ≤ Ψ < 0 0.1(1 − Ψ ) − 0.8α s ≥ 0.4

0.2 ( −Ψ ) − 0.8α s ≥ 0.4

−1 ≤ Ψ ≤ 1

0.95 + 0.05α h

0.90 + 0.10α h

0 ≤ Ψ ≤1

0.95 + 0.05α h

0.90 + 0.10α h

−1 ≤ Ψ < 0

0.95 + 0.05α h (1 + 2Ψ )

0.90 + 0.10α h (1 + 2Ψ )

Pentru calculul parametrilor α S   sau α h , momentele încovoietoare deasupra axei barei se consider ă negative, iar momentele încovoietoare de sub axa barei se consider ă pozitive. Pentru elementele cu mod de instabilitate cu noduri deplasabile, factor de moment uniform echivalent trebuie s ă se ia C my my = 0.9 sau C mz mz = 0.9, dup ă caz. Factorii C my my, C mz mz şi C mLT  mLT  trebuie calcula ţi conform diagramelor de momente de încovoiere pe distan ţa dintre punctele fixare a sec ţiunii, astfel: factor de moment C my my C mz mz C mLT  mLT 

axa de încovoiere  y-y  z-z  y-y

puncte fixate pe direc ţia  z-z  y-y  y-y

5.5 Metoda generală generală de verificare a elementelor structurale la flambaj prin încovoiere şi flambaj prin încovoire-ră încovoire-răsucire a componentelor structurale şi la cadre parter În Figura 5.11 se prezint ă un cadru portal, realizat din grinzi şi stâlpi cu sec ţiune variabil ă, la care tălpile exterioare ale sec ţiunilor transversale sunt împiedecate lateral de pane care, datorit ă rigidităţii la încovoiere a acestora, introduc o rigiditate la torsiune elementelor cadrului. Totu şi, grinzile şi stâlpii pot fi solicitate şi la distorsiunea sec ţiunii transversale, datorit ă  flexibilităţii inimilor.

Fig. 5.11: Cadru portal realizat din grinzi şi stâlpi cu sec ţiune variabilă cu împiedicări la răsucire şi deplasare elastice introduse de pane

O verificare exact ă şi corectă a structurii trebuie s ă se realizeze pe baza unui model cu elemente finite care să ia în considerare toate efectele suplimentare prezentate mai sus. De asemenea, în modelul cu element finit trebuie considerate şi imperfecţiunile globale şi locale. În Anexa VII se prezintă câteva principii de modelare cu metoda elementului finit (MEF) conform Anexei C din SR EN 1993-1-5, unde se prezint ă  aspecte legate de utilizarea imperfec ţiunilor, proprietăţile materialelor, respectiv introducerea înc ărcărilor. În anexa VIII sunt prezentate tipurile de imperfecţiuni şi valorile acestora, şi anume: − Imperfecţiuni pentru analiza global ă  a cadrelor (abatere global ă iniţială  de la axa verticală şi imperfecţiunile iniţiale locale ale barelor); − Imperfecţiuni pentru calculul sistemului de contravântuiri. În continuare se prezint ă  o procedur ă  de verificare mai simpl ă  pentru elementele structurii, conform metodei generale de verificare a elementelor structurale la flambaj prin încovoiere şi flambaj prin încovoire-r ăsucire a componentelor structurale din SR EN 1993-1-1 (a se vedea subcapitolul 6.3.4 din SR EN 1993-1-1). În general, procedura descris ă  mai jos necesit ă programe de calcul performante, capabile s ă  efectueze analize elasto-plastice şi analize de flambaj. Metoda poate fi utilizat ă atunci când metodele din paragrafele 6.3.1, 6.3.2 şi 6.3.3 din SR EN 1993-1-1 nu pot fi aplicate. Ea permite verificarea rezisten ţei la flambaj prin încovoiere sau  încovoiere-răsucire a elementelor structurale precum: - bare izolate, cu sec ţiune compusă  sau nu, cu sec ţiune uniformă  sau nu, cu condi ţii de rezemare complexe sau nu, sau - structuri în cadre plane sau sub-structuri compuse din astfel de bare, supuse la compresiune şi/sau încovoiere mono-axial ă în planul lor, dar care nu con ţin articulaţii plastice. Rezistenţa globală la flambaj în afara planului înc ărcării a oricărui element structural conform celor enunţate mai sus poate fi efectuat ă verificând următoarea condi ţie:

 χ opα ult , k   ≥ 1  γ   M 1

(5.31)

 în care α ult , k    este factorul minim de amplificare care se aplic ă încărcărilor de calcul pentru a atinge rezistenţa caracteristică  în secţiunea transversal ă  critică  a elementului structural, considerând comportarea sa în planul înc ărcării, f ără a lua în considerare flambajul prin încovoiere lateral sau flambajul prin încovoiere-r ăsucire, dar luând totu şi în considerare când este necesar, toate efectele datorate deforma ţiei geometrice în plan, respectiv r espectiv imperfec ţiunilor globale şi locale;  χ op este factorul de reducere calculat pentru zvelte ţea redusă λ op , astfel încât s ă  se ia în considerare flambajul prin încovoiere lateral ă şi flambajul prin încovoiere-r ăsucire. Zvelteţea globală  redusă λ op   a elementului structural se poate determina cu ajutorul rela ţiei următoare:

λ op =

α ult ,k    α cr ,op

(5.32)

 în care α cr ,op  este factorul minim de amplificare, aplicat înc ărcărilor de calcul ac ţionând în plan, pentru a atinge rezisten ţa critică  elastică  a elementului structural în ceea ce prive şte flambajul prin  încovoiere lateral sau sau încovoiere-răsucire, f ără a ţine seama de flambajul prin încovoiere în plan. Pentru determinarea factorilor α cr , op şi α ult , k    se pot utiliza programe de calcul bazate pe Metoda Elementului Finit. Factorul de reducere  χ op  poate fi determinat plecând de la una din urm ătoarele metode: a) valoarea minim ă dintre pentru flambajul lateral elementului comprimat concentric conform paragrafului  χ  6.3.1 din SR EN 1993-1-1, şi  χ  LT  pentru flambajul prin încovoire-răsucire conform paragrafului 6.3.2 din SR EN 1993-1-1 fiecare fiind calculat pentru zvelte ţea redusă globală λ op . De exemplu, când α ult , k  este determinat prin verificarea sec ţiunii transversale cu rela ţia 1  N  Ed   M  y , Ed  = + , aceast ă metodă conduce la: α ult ,k   N  Rk   M  y, Rk   N  Ed   N  Rk  / γ   M 1

+

 M  y , Ed   M  y , Rk  / γ   M 1

≤ χ op  

(5.33)

b) o valoare ob ţinută prin interpolare între valorile  χ  şi  χ  LT  aşa cum au fost definite la punctul a), utilizând formula care permite determinarea lui α ult , k   în secţiunea transversal ă critică De exemplu, când α ult , k  este determinat prin verificarea sec ţiunii transversale cu rela ţia 1  N  Ed   M  y , Ed  = + , aceast ă metodă conduce la: α ult ,k   N  Rk   M  y, Rk   N  Ed 

+

 M  y , Ed 

 χ  N  Rk  / γ   M 1  χ  LT  M  y , Rk  / γ   M 1

≤1 

(5.34)

O metodă  de calcul alternativ ă, a rezisten ţei critice de flambaj a structurilor în cadre, ce nu necesită un program de calcul se prezint ă în Anexa IX (King, 2001) şi are la baz ă  cercet ările efectuate de Davies (1990, 1991). Metoda const ă în determinarea pentru fiecare combina ţie de  încărcări analizată, a unui coeficient λ cr   pentru fiecare din substructurile în care este împ ărţită structura, şi apoi, cel mai mic coeficient λ cr  rezultat se utilizeaz ă pentru toat ă structura, pentru acea combina ţie particulară. Eforturile din stâlpi şi grinzi se vor determina printr-o analiz ă elastică şi pot fi ob ţinute prin calcul manual sau automat. În continuare se prezint ă  exemple de calcul ce acoper ă  partea teoretic ă  a acestui capitol, şi anume: Exemplul E.13. E.13. Determinarea rezisten rezistenţei la pierderea stabilit ăţii – interacţiunea M-N; Exemplul E.14. E.14. Determinarea rezisten rezistenţei la pierderea stabilit ăţii a unui cadru portal;

Exemplul E.15. Determinarea unei sec ţiunii echivalente pentru verificarea elementelor cu sec ţiune variabila supuse la M-N; Exemplul E.16. Calculul unui stâlp cu sec ţiune transversal ă de tip C format ă la rece, solicitat la compresiune cu încovoiere.

EXEMPLE DE CALCUL E.13. Determinarea rezistenţ rezistenţei la pierderea stabilităţ stabilităţiiii – interacţ interacţiunea M-N 

 Descrierea  Descrierea problemei problemei

Se consider ă stâlpul unei hale parter cu noduri fixe, cu prinderea la baz ă realizată în soluţie articulată  pe ambele direc ţii. Rigla cadrului transversal transmite stâlpului efort axial, forţa tăietoare şi moment încovoietor. Stâlpul are în ălţimea de 6.5 m şi este realizat din profil laminat I cu t ălpi late HEB320 marca S235. Se cere s ă  se facă  verificările de rezisten ţă şi stabilitate necesare. 

Schema statică

N M

V

 L

N

 L

 y

 y

 z  z

Figura E.13.1. Schema statica si lungimea de flambaj fl ambaj dup ă axele yy, respectiv zz 

 Datele problemei problemei

Pentru verificarea de rezisten ţă şi flambaj a stâlpului sunt necesare urm ătoarele date:  N  Ed  = Forţa axială  = 215 kN V  Ed  = 50 kN Forţa tăietoare  M  Ed  = 325 kNm Moment încovoietor  L = 6,50 m Lungimea elementului Marca oţelului S235 

 Dimensiunile  şi caracteristicile geometrice ale sec ţ iunii iunii transversa t ransversale le

HE 320 B - Marca de o ţel S235; Înălţimea Înălţimea inimii Înălţimea liberă a inimii Lăţimea tălpilor Grosimea inimii Grosimea tălpilor Raza de racord Aria Momentul de iner ţie/yy

h = 320,0 mm hw = 279,0 mm

dw = 225,0 mm b = 300,0 mm t w = 11,5 mm t f f =    = 20,5 mm r  =  = 27,0 mm 2  A = 161,3 cm 4  I y = 30824 cm

4

Momentul de iner ţie/zz Momentul de iner ţie la torsiune Moment de iner ţie sectorial Modul de rezisten ţă elastic /yy Modul de rezisten ţă plastic /yy Raza de giraţie /zz Modulul de elasticitate

 I z = 9239 cm 4  I t = 230 cm 6  I w = 2071812 cm 3 W el,y el,y = 1926,5 cm 3 W pl,y pl,y = 2149,2 cm iz = 7.57 cm  E  =  = 210000 N/mm 2

 z

r

tf  tw

 y

 y

h

 z b

Figura E.13.2. Sec ţiunea transversala 

Caracteristici mecanice - limita de curgere

Marca S235 Deoarece grosimea maxim ă a pereţilor secţiunii transversale este 15 mm ≤  40 mm, limita de curgere este f y = 235 N/mm 2. SREN 1993-1-1 Tabel 3.1 

Coeficien ţ ii ii par  ţ iali iali de siguran ţă

γ  M0 = 1.00 γ  M1 = 1.00 

 Determinarea  Determinarea lungimii de flambaj

Stâlpul este dublu articulat pe ambele direc ţii: Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y) Lungimea de flambaj (y-y) Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z) Lungimea de flambaj (z-z) 

SREN 1993-1-1 §6.1 (1) f L_y L_y = 1,00  Lcr,y = f L_y L_y × L = 6,50 m f L_z L_z = 1.00  Lcr,z = f L_z L_z × L = 6,50 m

 Determinarea  Determinarea clasei sec ţ iunii iunii

Parametrul ε  depinde  depinde de limita de curgere a materialului: ε=

•

2 35 235 = =1 235  f  y [N/ [N/mm 2 ]

Talpa în consol ă supusă la compresiune b − tw − 2 ⋅ r  300 − 11, 5 − 2 ⋅ 27 27 c= = = 117,25 117,25 mm

2 2 c 117,25 = = 5, 72 < 9 ⋅ ε = 9 ⋅ 1 = 9 ⇒ talpa clasa 1 t  f  20,5

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2

•

Perete interior supus la încovoiere  şi compresiune d  N  =

 N  Ed 

=

tw ⋅ f y

215 ⋅ 103 79,56 mm = 79,56 11,5 ⋅ 235

79, 5 + 225 = 0, 677 > 0, 5 2 ⋅ d w 2 ⋅ 225 d w = h − 2 ⋅ t f  − 2 ⋅ r = 320   − 2 ⋅ 20 2 0.5 − 2 ⋅ 27 27 = 225 mm

α=

d w t w

d N + d w

=

=

225 396 ⋅ ε 396 ⋅ 1 = 19.565 < = = 50, 76 ⇒ inima clasa 1 11, 5 13 ⋅ α − 1 13 ⋅ 0, 677 − 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2 Clasa unei sec ţiuni transversale este definit ă  prin clasa cea mai mare (cea mai pu ţin favorabilă) a pereţilor săi comprimaţi: în cazul de fa ţă: Clasa 1 Deoarece avem de-a face cu o sec ţiune de clasa 1 toate verific ările la SLU se pot face bazându-ne pe capacitatea plastic ă a secţiunii transversale. 

la: − − − −

Verificările de rezisten ţă

Pentru a respecta condi ţiile de rezisten ţă stâlpul trebuie s ă îndeplineasc ă toate verificările Forţă axială N ; Forţă tăietoare V ; Moment încovoietor  M ;  N -V . Interacţiunea M - N 

SREN 1993-1-1 §6.2.10  N -V  ordinea Datorită interacţiunii M - N   ordinea logic ă a determinării rezistenţelor este V  pl,Rd  , N  pl,Rd  şi

 M  pl,y,Rd . 

 Rezisten ţ a la forfecare

Valoarea de calcul a rezisten ţei plastice la forfecare în absen ţa răsucirii depinde de aria de forfecare, care se define şte:  Avz = A − 2 ⋅ b ⋅ t f + (tw + 2 ⋅ r ) ⋅ t f =

 

mm2 = 16130 − 2 ⋅ 300 ⋅ 20, 5 + (11, 5 + 2 ⋅ 27) ⋅ 20, 5 = 5173 mm

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (3) În absenţa răsucirii, este dat ă de relaţia: V  pl , z ,Rd  =

 Av , z ⋅ f y

3 ⋅ γ M 0

=

5173 ⋅ 235 = 701 701,85 ,85 kN 3 ⋅ 1, 0

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (2) Trebuie să fie satisf ăcută condiţia: V  Rd  V c , Rd 

=

50 = 0, 07 071 ≤ 0, 5 ⇒ secţiunea verifică, iar forţa tăietoare nu reduce valoarea 701,85

momentului încovoietor capabil 

Verificarea la for  ţă axială

Pentru a determină  rezistenţa de calcul a sec ţiunii transversale a stâlpului la compresiune uniformă se folose şte relaţia de definiţie corespunzătoare clasei de sec ţiune 1:  N c, Rd  =

 A ⋅ f  y

γ  M 0

161, 3⋅ 102 ⋅ 235 = = 3791kN 1, 0

După determinarea capacit ăţii portante se trece la verificarea condi ţiei:  N  Ed   N c, Rd 

=

215 = 0, 0 0557 ≤ 1, 0 ⇒ secţiunea verifică 1791

Pentru secţiunile cu doua axe de simetrie I sau H şi alte secţiuni cu doua axe de simetrie cu tălpi, nu este necesar s ă se ia în considerare efectul efortului axial asupra momentului rezistent plastic în raport cu axa y-y , atunci când sunt satisf ăcute următoarele două criterii:  N Ed = 215 kN ≤ 0, 25 ⋅ N pl ,Rd  = 0, 25 ⋅ 3791 = 947, 75 kN

0,5 ⋅ hw ⋅ t w ⋅ f y

 N  Ed  = 215 kN ≤

γ  M 0

=

0,5 ⋅ 279 ⋅ 11,5 ⋅ 235 = 377 kN 1

SREN 1993-1-1 § 6.2.9.1(4) Condiţiile fiind îndeplinite efectul efortului axial asupra momentului rezistent poate fi neglijat. 

Verificarea la încovoiere

Pentru o secţiune de clasa 1 rezisten ţa de calcul a unei sec ţiuni transversale supus ă la  încovoiere în raport raport cu axa principal ă de inerţie se determin ă astfel:  M c , Rd = M pl ,Rd =  

W pl ⋅ f y

γ  M 0

2149, 2 ⋅ 103 ⋅ 235 = = 505 505,06 ,06 kN kNm m 1, 0

Valoarea de calcul  M  Ed   a momentului încovoietor în fiecare sec ţiune transversal ă  trebuie să satisfacă condiţia:  M  Ed   M c ,Rd 

=

325 = 0, 6 6443 ≤ 1, 0 ⇒ secţiunea verifică 505

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.1 

ăţ ii Verificările de pierdere a stabilit ăţ  ii

Barele supuse la compresiune axial ă şi încovoiere trebuie s ă  îndeplineasc ă următoarele condiţii:  M y , Ed + ∆M y , Ed   M z , Ed + ∆M z , Ed   N  Ed  + k yy ⋅ + k yz ⋅ ≤1 M z, Rk  χ y ⋅ N Rk χ LT ⋅ N y, Rk

γ M 1

γ  M 1

γ M 1

 M y , Ed + ∆M y, Ed   M z , Ed + ∆M z , Ed   N  Ed  + k zy ⋅ + k zz ⋅ ≤1 M z, Rk  χ z ⋅ N Rk χ LT ⋅ M y , Rk

γ  M 1

Deoarece  M z , Ed

γ  M 1

γ  M 1

SREN 1993-1-1 § 6.3.3 (6.61-62) = ∆M z , Ed  ≤ 0  relaţiile de interacţiune se pot scrie:  M y , Ed + ∆M y , Ed   N  Ed  + k  yy ⋅ ≤1 χ y ⋅ N Rk χ LT ⋅ N y, Rk 

γ M 1

γ M 1

 M y , Ed + ∆M y, Ed   N  Ed  + k  zy ⋅ ≤1 χ z ⋅ N Rk χ LT ⋅ M y, Rk 

γ  M 1

γ  M 1

Pentru calculul acestor formule de interac ţiune este necesar calculul factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere dup ă ambele axe principale, factorul de reducere pentru flambaj prin  încovoiere - răsucire şi factorii de interacţiune k  zz , k  yy , k  yz şi k  zy. 

 Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul modul de flambaj considerat considerat N cr  cr 

Efortul critic de flambaj, elastic se determin ă folosind următoarea relaţie de defini ţie:  N cr , y =

π 2 ⋅ E ⋅ I  y 2  Lcr ,y

3,142 ⋅ 2,1 ⋅105 ⋅ 30824 ⋅10 4 = = 15104kN 65002

 N cr , z =



π 2 ⋅ E ⋅ I  z 2  Lcr ,z

3,14 2 ⋅ 2,1 ⋅10 5 ⋅ 9239 ⋅10 4 4528 kN = = 4528 6500 2

 Zvelte ţ ea ea relativă

Zvelteţea relativă se calculeaz ă cu ajutorul formulei: 161, 3 ⋅10 2 ⋅ 235 = = 0,501 15104

 A ⋅ f  y

λ y =

 N cr , y  A ⋅ f  y

λ z =

 N cr , z

161, 3 ⋅10 2 ⋅ 235 = = 0,915 4528

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1) 

Factorii de reducere pentru flambajul prin încovoiere

Pentru alegerea curbei de flambaj pentru sec ţiunea transversala trebuie s ă  luam în considerare urm ătoarele condi ţii:  HEB 320 - profil laminat 

320 077 ≤ 1, 2 = 1, 0 b 300 m m ≤ 100 mm Grosimea tălpilor t  f  = 20.5 mm



Marca de oţel S235

•

ăţ ii Pierderea stabilit ăţ  ii generale în jurul axei y-y: Curba de flambaj b, factorul de imperfec ţiune α y = 0.34;

Raportul



h

=

( 0, 501 − 0, 2) + 0, 501 2  = 0, 676 φ y = 0, 5 ⋅ 1 + α y ⋅ ( λ y − 0, 2) + λ 2y  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 34 ⋅(0 χ y =

•

1 2

=

2

φ y + φ y − λ y

1 2

0, 676 + 0, 676 − 0, 501

2

= 0,884

ăţ ii Pierderea stabilit ăţ  ii generale în jurul axei z-z φ z = 0, 5 ⋅ 1 + α z ⋅ ( λ z − 0, 2) + λ z2  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 49 ⋅(0, 915 − 0, 2) + 0, 915 2  =1.093 χ z =



•

1 2

2

φ z + φz − λ z

=

1 2

1, 093 + 1, 093 − 0, 915

2

= 0,591

Factorii de reducere pentru flambajul prin încovoiere-r ăsucire  Momentul critic elastic elastic de flambaj prin încovoie-r  încovoie-r ăsucire

Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-r ăsucire poate fi calculat folosind următoarea expresie:   π2 ⋅ E ⋅ I  z   k    I w (k ⋅ L) 2 ⋅ G ⋅ I t  2 = C1 ⋅ ⋅ ⋅ + + (C2 ⋅ z g ) − C 2 ⋅ z g    (k ⋅ L)2   kw  I z π2 ⋅ E ⋅ I z  2

 M cr

  

În calculul M crcr, au fost introduse urm ătoarele valori pentru factori: k  =   = 1; din moment ce talpa comprimat ă e liberă să se roteasc ă în jurul axei minime de inerţie, k w  = 1; din moment ce nu sunt prev ăzute m ăsuri speciale de împiedicare a deplan ării libere a capetelor grinzii.  zg distanţa de la punctul de aplicare al înc ărcării la centru de t ăiere. Deoarece eforturile sunt transmise prin intermediul rigle – înc ărcările sunt aplicate în axa neutr ă a stâlpului: zg = 0.



Coeficientul C 1  depinde de forma diagramei de moment încovoietor. Pentru o elemente  încărcate doar cu momente la capete – diagrama cu varia ţie lineară – şi pentru raportul între momente ψ  =  = 0, avem: C 1 = 1.77  Access Steel Steel NCCI: SN003a-EN-EU Astfel formula momentului critic devine:  M cr  = C 1 ⋅

π2 ⋅ E ⋅ I  z 2

 Lcr , LT  

⋅

 I w  I  z

2

+

 Lcr , LT   ⋅ G ⋅ I t 

π2 ⋅ E ⋅ I  z

Datorită  complexităţii expresiei, a posibilit ăţii inerente a unor erori algebrice este recomandat ă efectuarea aritmeticilor pe termeni, pentru urm ărirea mai facil ă a calculelor: π2 ⋅ E ⋅ I  z = 3,14 2 ⋅ 2,1 ⋅10 5 ⋅ 9239 ⋅10 4 = 1, 915 ⋅10 14

1,915 ,915 ⋅1014 ,532 ⋅106 = 4,53 2 2 6500  L 207181 8122 ⋅106  I w 2071 ,242 ⋅10 4 T2 = = = 2,24 7  I  z 9239 ⋅10 T1 =

π2 ⋅ E ⋅ I  z

=

 L2 ⋅ G ⋅ I t 

6500 2 ⋅ 80770 ⋅ 230 ⋅10 4 ,099 ⋅10 4 T 3 = 2 = = 4,09 14 1,915 ,915 ⋅10 π ⋅ E ⋅ I  z

În continuarea calculelor va fi necesar calculul  M cr,0 cr,0 , momentul critic corespunzător elementului încărcat cu momente egale la capete – varia ţie constant ă – ψ = 1, C 1,0 1,0 = +1,00. ψ ψ  

C 1

ψ ψ  

C 1

1.00 0.75 0.50 0.25 0.00

1.00 1.14 1.31 1.52 1.77

-0.25 -0.50 -0.75 -1.00

2.05 2.33 2.57 2.55

 Access Steel Steel NCCI: SN003a-EN-EU 6

 M cr ,0 = T1 ⋅ T2 + T 3 = 4, 532 ⋅10 ⋅

2, 242 ⋅10 4 + 4, 099 ⋅10 4 = 1141 kNm

Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-r ăsucire ,77 ⋅1141 = 2020 kNm  M cr = C1 ⋅ M cr ,0 =  1,77 •

 Zvelte ţ ea ea redus ă pentru încovoiere-r ăsucire

Zvelte ţea redus ă pentru flambajul prin încovoiere-r ăsucire se determină  cu următoarele relaţii: λ LT  =

W pl , y ⋅ f y  M cr 

=

2149.2 ⋅10 6 ⋅ 235 = 0,5 2020 ⋅10 6

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2 (1) Alternativ se poate folosi o metoda simplificata pentru profilele I / H blocate la capete f  ără forţă destabilizatoare: λ LT  =

 L / i z k s

=

6500/ 6500 / 75.7 = 0,826 104

unde k s = 104 (S235); 96 (S275); 85 (S355); 78 (S420), respectiv 75 (S460). NCCI – Access Steel (BS)

Deoarece λ LT  = 0,5 > λ LT,0 = 0,4 (profile laminate) efectele devers ării nu pot fi neglijate, verificarea la pierderea stabilit ăţii prin încovoiere-răsucire fiind obligatorie. •

Factorul de reducere

Pentru profile laminate sau sec ţiunile sudate echivalente supuse la încovoiere, valorile χ  LT  pentru zvelteţea redus ă corespunz ătoare pot fi determinate astfel: χ LT  =

χ LT  ≤ 1.0  1.0 dar  χ LT  ≤ 2  λ LT  

1 φ LT  +

2 2 φ LT − β ⋅ λ LT 

unde : 2  φ LT = 0, 5 ⋅ 1 + α LT ⋅ ( λ LT − λ LT ,0 ) + β ⋅ λ LT  

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1) α LT  factorul  factorul de imperfec ţiune pentru pierderea stabilit ăţii prin încovoiere-răsucire: Pentru

h b

=

320 = 2, 222 ≤ 2 ⇒ curba b ( α LT  = 0,34) 300

SREN 1993-1-1 Tabel 6.5 Tabel 6.3 Valorile recomandate: λ LT ,0,0 = 0,4 şi β = 0,75 SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1) φ LT = 0,5 ⋅ 1 + α LT  ⋅ ( λ LT − λ LT ,0 ) + β ⋅ λ LT   2

  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 34 ⋅ (0, 5 − 0, 4) + 0, 75 ⋅ 0, 5 2  = 0, 618  

1

χ LT  =

2

=

φ LT + φLT  − β ⋅ λ LT  =

1



1



= 0, 944 < 1; 2 = 3,177  2 2 0, 618 + 0, 618 − 0, 75 ⋅ 0, 5  λ LT  

Pentru a lua în considerare distribu ţia momentelor între leg ăturile laterale ale barelor se calculează factorul f : kc =

1 1 = = 0,752  - diagrama de momente linear ă 1, 33 − 0, 33 ⋅ ψ 1, 33 − 0

SREN 1993-1-1 Tabel 6.6  f = 1 − 0, 5 ⋅ (1 − k c ) ⋅ 1 − 2 ⋅ ( λ LT  − 0, 8) 2 





= 1 − 0, 5 ⋅ (1 − 0, 752) ⋅ 1 − 2 ⋅ (0, 5 − 0, 8) 2  = 0, 898 <1





SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (2) Factorul de reducere χ LT poate fi definit astfel: χ LT ,mod = 

χ LT   f 

=

0,944 = 1, 051 > 1 ⇒ χ LT ,mod  = 1, 00 0,898

Calculul factorilor de interac ţ iune iune k  yy  şi k  zy

Factorii de interac ţiune k  yy , k  yz , k  zy , k  zz depind de metoda de calcul aleas ă. Se pot calcula folosind dou ă metode alternative. În acest exemplu exempl u valorile valoril e acestor factori au au fost determin determinate ate conform anexei A (metoda alternativ ă 1).

Se începe cu calculul factorilor auxiliari: 1− µ y =

 N  Ed   N cr , y

1 − χ y ⋅

 N  Ed 

 N cr , y

1− µ z =

w y = w z = 

 N  Ed 

215 4528 = = 0,98 215 1 − 0, 591 ⋅ 4528 1−

 N cr , z

1 − χ z ⋅

 N cr, z

2149,2 = 1,116 ≤ 1.5 1926,5

=

939,1 = 1, 525 > 1, 5 ⇒ wz = 1.5 615,9

W el , y W el , z

 N  Ed 

=

W  pl , y W  pl , z

215 15104 = = 0,998 215 1 − 0, 884 ⋅ 15104 1−

 Efortul axial critic de flambaj elastic prin r ăsucire se determin ă:

1 

π2 ⋅ E ⋅ I w   N cr ,T = 2 ⋅  G ⋅ I t +   2  = i0   Lcr ,T   2 5 6  1 4 3,14 ⋅ 2,1 ⋅10 ⋅ 2071812 ⋅10  = ⋅  80770 ⋅ 230 ⋅10 +  = 11570kN 24, 83 ⋅103  6500 2 

Pentru o secţiune dublu simetrica i0 se define şte ca fiind: 2

2

2

2

2

2

2

i0 = i y + iz + y0 + z0 = 138, 2 + 75, 7 = 24, 83 ⋅10

3

mm 2

unde:  y0, z0 sunt coordonatele centrului de t ăiere faţă de centrul de greutate;  M cr, cr,0 este momentul critic corespunz ător elementului înc ărcat cu momente egale la capete: M cr ,0 = 1141kNm . λ LT ,0 =

W y ⋅ f y  M cr ,0

2149.2 ⋅10 6 ⋅ 235 = = 0,665 1141 1141⋅106 

 N

 

N 



Ed  λ 0 lim = 0, 2 ⋅ C 1 ⋅ 4  1 −  Ed  ⋅ 1 − =  N N  cr , z   cr ,TF   

215   215   ⋅ 1 −  = 0, 265 4528   11570 

 

= 0, 2 ⋅ 1, 77 ⋅ 4 1 −

115700 kN  (secţiune dublu simetric ă).  în care  N cr,TF = N cr,T  = 1157 Deoarece condi ţia λ LT ,0 > λ0 lim  este îndeplinit ă, rezultă: Cmy = Cmy ,0 + (1 − C my ,0 ) ⋅ CmLT = C m2y ⋅

ε y =

 M  y , Ed   N Ed

⋅

ε y ⋅ α LT 

1 + ε y ⋅ α LT 

α LT 

  N Ed  1 −  N cr , z   A W el , y

N Ed      ⋅ 1 − N   cr ,TF    

≥ 1.0

325 ⋅106 161, 3 ⋅10 2 = ⋅ = 12,656  (secţiune clasa I). 215 ⋅ 103 1926.5 ⋅10 3

şi 230 ⋅ 103 α LT  = 1 − =1− = 0, 999 ≥ 1  I  y 30824 ⋅10 4  I T 

Factorul

C my,0  se

calculeaz ă conform tabel A.2, unde ψ y = 0 :

C my ,0 = 0, 79 + 0, 21 ⋅ ψ y + 0, 36 ⋅ ( ψ y + 0, 33) ⋅

= 0, 79 + 0, 21 ⋅ 0 + 0, 36 ⋅ (0 + 0, 33) ⋅ 

 N cr , y

=

215 = 0, 79 15104

Calculul parametrilor C my  şi C mLT  Cmy = Cmy ,0 + (1 − C my ,0 ) ⋅

= 0, 79 + (1 − 0, 79) ⋅ CmLT = C m2y ⋅

= 0.9542 ⋅



 N  Ed 

ε y ⋅ α LT 

1 + ε y ⋅ α LT 

=

12,656 ,656 ⋅ 0.99 0.9999 = 0.954 1 + 12, 656 ⋅ 0.999 α LT 

 1 −  N Ed  ⋅ 1 − N Ed     N   N   cr , z   cr ,TF   

=

0.999 = 0.94 < 1 ⇒ C mLT  = 1  1 − 215  ⋅  1 − 215       4528   11570 

Calculul factorilor C  yy  şi C  zy λ max = max (λ y ; λ z ) = λ z = 0, 915



1.6



w y

C yy = 1 + ( wy − 1) ⋅  1 −

n pl =

 N Ed N Ed  = =  N Rk Ay ⋅ f y

γ  M 1

γ  M 1

2 ⋅ C my ⋅ λ max −

1.6 wy

γ M 1 C  yy = 1 + (1,116 − 1) ⋅  1 −



= 0.9915 >

W el , y W  pl , y

=

λ0



 W pl , y

W el , y

(M z, Ed  = 0)

γ M 1

1, 6 1, 6   ⋅ 0, 9542 ⋅ 0, 915 − ⋅ 0, 9582 ⋅ 0, 6332  ⋅ 0, 0567 = 1,116 1,116  

1926,5 = 0, 896 2149,2

2  Cm2y ⋅ λ m ax C zy = 1 + ( wy −1) ⋅  2 − 14 ⋅ 5  w y 

d LT = 2 ⋅ α LT ⋅



215 ⋅ 103 = 0,0567 161, 3 ⋅ 102 ⋅ 235 1, 0

 M  y , Ed   M  z , Ed  2 b LT = 0.5 ⋅ α LT ⋅ λ 0 ⋅ ⋅ =0 χ LT ⋅ M pl , y , Rd M pl , z , Rd 





2 2 ⋅ C my ⋅ λ max  ⋅ n pl − bLT   ≥

 M  y , Ed 

  w W   ⋅ n pl − d LT   ≥ 0.6 ⋅  y ⋅ el , y  w z W pl , y     M  z , Ed 

⋅ ⋅ = 0 ( M z , Ed  = 0) 0.1 + λ04 Cmy ⋅ χ LT ⋅ M pl , y, Rd Cmz ⋅ M pl , z, Rd   

  0, 98 9842 ⋅ 0, 91 9152  C  zy = 1 + (1,116 − 1) ⋅   2 − 14 ⋅ ⋅ 0 , 0 5 6 7 =  1,1165    

1,11 ,116 1926,5 ⋅ = 0, 4639 1, 5 2149, 2

= 0, 9726 ≥ 0, 6 ⋅



Calculul factorilor de interac ţ iune iune conform Tabel A.1. k yy = Cmy ⋅ C mLT  ⋅

k zy = Cmy ⋅ C mLT  ⋅

= 0, 954 ⋅ 1 ⋅



1 1−

⋅

 N  Ed  C  yy  N cr , z

µ z

1−

1

 N  Ed 

⋅

1 C zy

= 0, 954 ⋅ 1 ⋅

⋅ 0,6 ⋅

w y wz

0, 998 1 ⋅ = 0, 9603 215 0,9915 1− 15104

=

 N cr, y

0, 98 1 1,116 ⋅ ⋅ 0, 6 ⋅ = 0, 5047 215 0, 9726 1 , 5 1− 15104

Verificarea formulelor de interac ţ iune iune  M  y , Ed 

 N  Ed  + k  yy ⋅ χ y ⋅ N Rk

χ LT  ⋅

γ M 1

M y , Rk 

=

γ M 1

215 ⋅ 103 325 ⋅ 106 = + 0, 9603 ⋅ = 0, 682 ≤ 1 161, 3 ⋅ 102 ⋅ 235 2149, 2 ⋅ 10 103 ⋅ 235 0, 884 ⋅ 1, 0 ⋅ 1, 0 1, 0  N  Ed  + k  zy ⋅ χ z ⋅ N Rk

γ  M 1 =

 M  y , Ed 

χ LT  ⋅

M y , Rk 

=

γ  M 1

215 ⋅ 103 325 ⋅ 106 + 0 , 5 0 4 7 ⋅ = 0, 421 ≤ 1 161, 3 ⋅ 102 ⋅ 235 2149, 2 ⋅ 10 103 ⋅ 235 0, 591 ⋅ 1, 0 ⋅ 1, 0 1, 0

Stâlpul îndeplineşte condi ţiile de interac ţiune M-N.

E.14. Determinarea rezistenţ rezistenţei la pierderea stabilităţ stabilităţii ii a unui cadru portal  E.14.1 Grinda cu sec ţ iune iune variabila – interac ţ iunea iunea M-N 

 Descrierea  Descrierea structurii

Se consider ă grinda unui cadru transversal al unei hale parter cu deschiderea de 24m si traveea de 7,20m, cu prinderea la baz ă a stâlpului realizat ă în soluţie articulată pe ambele direcţii. Grinda este realizata dintr-un profil laminat IPE 400 marca S355. La margine pe distanta de 2,40 m grinda este vutata, realizându-se o sec ţiune cu trei t ălpi. La începutul vutei si din 4.8m, distanta măsurată orizontal, sunt dispuse leg ăturile transversale care împiedica torsiunea. Se cere să se facă verificările de rezisten ţă şi stabilitate necesare. 

 Datele problemei problemei

Pentru verificarea de rezisten ţă şi pierdere a stabilit ăţii a grinzii sunt necesare eforturile de calcul in secţiunea cea mai solicitata: - Pentru secţiunea constanta

Forţa axială Forţa tăietoare Moment încovoietor - Pentru secţiunea vutata Moment încovoietor Forţa axială Forţa tăietoare Moment încovoietor 

 N  Ed  = 76,59 kN V  Ed  =  = 84,19 kN  M  Ed  =  = 183,77 kNm  M  Ed  =  = 183,77 kNm  N  EdV  = 78,56 kN V  EdV  = 106,74 kN  M  EdV  =  = 413,77 kNm

Schema statică  şi încărcări zapada = 75 daN/mp

 ta = permanen ta

 /mp 30 daN /m

IPE400

IPE400

     0      5      4      E      P      I

     0      5      4      E      P      I

Figura E.14.1. Cadru transversal

Legãturi transversale

Figura E.14.2. Detaliu de grinda si dispunerea legaturilor transversale 

 Dimensiunile  şi caracteristicile geometrice ale sec ţ iunii iunii transversa t ransversale le

IPE400 - Marca de de oţel S355; Înălţimea Înălţimea inimii Înălţimea liberă a inimii Lăţimea tălpilor Grosimea inimii Grosimea tălpilor Raza de racord Aria Momentul de iner ţie / yy Momentul de iner ţie / zz

h = 400,0 mm hw = 373,0 mm

dw = 331,0 mm b = 180,0 mm t w = 8,6 mm t f f =    = 13,5 mm r  =  = 21,0 mm 2  A = 84,5 cm 4  I y = 23130 cm 4  I z = 1318 cm

4

Momentul de iner ţie la torsiune Moment de iner ţie sectorial Modul de rezisten ţă elastic / yy Modul de rezisten ţă plastic / yy Modul de rezisten ţă elastic /zz Modul de rezisten ţă plastic /zz Raza de giraţie /zz Modulul de elasticitate

 I t = 51,08 cm 6  I w = 490000 cm 3 W el,y el,y = 1156 cm 3 W pl,y pl,y = 1307 cm 3 W el,z el,z = 146.4 cm 3 W pl,z pl,z = 229 cm iz = 3,95 cm  E  =  = 210000 N/mm 2

 z

r

tf  tw

 y

 y

h

 z b

Figura E.14.3. Sec ţiunea transversala 

Caracteristici mecanice - limita de curgere

Marca de oţel - S355. Deoarece grosimea maxim ă  a pereţilor secţiunii transversale este 13,5 mm ≤   40 mm, limita de curgere este f y = 355 N/mm 2. SREN 1993-1-1 Tabel 3.1 

Coeficien ţ ii ii par  ţ iali iali de siguran ţă

γ  M0 = 1.00 γ  M1 = 1.00 

SREN 1993-1-1 §6.1 (1)

 Determinarea  Determinarea clasei sec ţ iunii iunii

Parametrul ε  depinde  depinde de limita de curgere a materialului: ε=

•

2 35 235 = = 0.814 355  f  y [N/ [N/mm 2 ]

Talpa în consol ă supusă la compresiune b − t w − 2 ⋅ r  180 − 8.6 − 2 ⋅ 21 c= = = 64.7 64.7 mm

2 2 c 64.7 = = 4.793 < 9 ⋅ ε = 9 ⋅ 0.814 = 7.323 ⇒ talpa clasa 1 t  f  13.5

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2 •

Perete interior supus la încovoiere  şi compresiune d  N  =

 N  Ed  t w ⋅ f y

=

83.9 83.961 61⋅ 103 = 27.501mm 8.6 ⋅ 355

27.501 + 331 = 0, 542 > 0, 5 2 ⋅ d w 2 ⋅ 331 d w = h − 2 ⋅ t f  − 2 ⋅ r = 400   − 2 ⋅ 13 13.5 − 2 ⋅ 21 2 1 = 331 mm

α=

d w t w

d N + d w

=

=

331 396 ⋅ ε 396 ⋅ 1 = 38.488 < = = 53, 343 ⇒ inima clasa 1 8.6 13 ⋅ α − 1 13 ⋅ 0, 542 − 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2 Clasa unei sec ţiuni transversale este definit ă  prin clasa cea mai mare (cea mai pu ţin favorabilă) a pereţilor săi comprimaţi: în cazul de fa ţă: Clasa 1 Deoarece avem de-a face cu o sec ţiune de clasa 1 toate verific ările la SLU se pot face bazându-ne pe capacitatea plastic ă a secţiunii transversale. 

la: − − − −

Verificările de rezisten ţă

Pentru a respecta condi ţiile de rezisten ţă grinda trebuie s ă îndeplineasc ă toate verificările Forţă axială N ; Forţă tăietoare V ; Moment încovoietor  M ;  N -V . Interacţiunea M - N 

SREN 1993-1-1 §6.2.10  N -V  ordinea Datorită interacţiunii M - N   ordinea logic ă a determinării rezistenţelor este V  pl,Rd  , N  pl,Rd  şi

 M  pl,y,Rd . 

 Rezisten ţ a la forfecare

Valoarea de calcul a rezisten ţei plastice la forfecare în absen ţa răsucirii depinde de aria de forfecare, care se define şte:  Avz = A − 2 ⋅ b ⋅ t f + (t w + 2 ⋅ r ) ⋅ t f =

 

= 8450 − 2 ⋅ 180 ⋅ 13.5 + (8.6 + 2 ⋅ 21) ⋅ 13.5 = 42.73 mm mm2

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (3) În absenţa răsucirii, este dat ă de relaţia: V  pl , z , Rd  =

 Av , z ⋅ f y

3 ⋅ γ M 0

=

4273 ⋅ 355 = 875 875,8 kN 3 ⋅1, 0

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (2) Trebuie să fie satisf ăcută condiţia: V  Rd  V c , Rd 



=

84,19 secţiunea verifică, iar forţa tăietoare nu reduce = 0, 096 ≤ 0, 5 ⇒ valoarea momentului încovoietor capabil 875.5

Verificarea la for  ţă axială

Pentru a determină  rezistenţa de calcul a sec ţiunii transversale a stâlpului la compresiune uniformă se folose şte relaţia de definiţie corespunzătoare clasei de sec ţiune 1:  N c, Rd  =

 A ⋅ f  y

γ  M 0

=

84, 5 ⋅ 102 ⋅ 355 2999,75 ,75 kN = 2999 1, 0

După determinarea capacit ăţii portante se trece la verificarea condi ţiei:  N  Ed   N c , Rd 

=

76,59 0226 ≤ 1, 0 ⇒ secţiunea verifică = 0, 0 2999,75

Pentru secţiunile bisimetrice I sau H şi alte secţiuni bisimetrice cu t ălpi, nu este necesar s ă se ia în considerare efectul efortului axial asupra momentului rezistent plastic în raport cu axa y-y , atunci când sunt satisf ăcute următoarele două criterii:

 N Ed = 76, 59 kN kN ≤ 0, 25 ⋅ N pl , Rd  = 0, 25 ⋅ 2999, 75 = 749, 9 kN kN  N  Ed  = 76, 59kN ≤

0,5 ⋅ hw ⋅ tw ⋅ f y γ  M 0

=

0, 5 ⋅ 373 ⋅ 8, 6 ⋅ 355 = 569, 4 kN 1

Condiţiile fiind îndeplinite efectul efortului axial asupra momentului rezistent poate fi neglijat. 

Verificarea la încovoiere

Pentru o secţiune de clasa 1 rezisten ţa de calcul a unei sec ţiuni transversale supus ă la  încovoiere în raport raport cu axa principal ă de inerţie se determin ă astfel:  M c , Rd = M pl , Rd =  

W pl ⋅ f y

 M c , RdV = M pl , Rd  =

γ  M 0

=

W plV ⋅ f y

γ  M 0

1307 ⋅ 103 ⋅ 355 463,985 kNm = 463,985 1, 0 3430,961 ⋅103 ⋅ 355 = = 1217,99kNm 1, 0

Valoarea de calcul  M  Ed   a momentului încovoietor în fiecare sec ţiune transversal ă  trebuie să satisfacă condiţia: Secţiunea constant ă

Secţiunea vutat ă

 M  Ed   M c, Rd   M  EdV   M c, Rd 

=

183,77 = 0, 3 3996 ≤ 1, 0 ⇒ secţiunea verifică 463,985

=

413.77 = 0, 34 ≤ 1, 0 ⇒ secţiunea verifică 1217,99

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.1 

ăţ ii Verificările de pierdere a stabilit ăţ  ii

Barele supuse la încovoiere şi compresiune axial ă trebuie s ă  îndeplineasc ă următoarele condiţii:  M y , Ed + ∆M y , Ed   N  Ed  + k  yy ⋅ ≤1 χ y ⋅ N Rk χ LT ⋅ N y, Rk 

γ M 1

γ M 1

 M y , Ed + ∆M y, Ed   N  Ed  + k  zy ⋅ ≤1 χ z ⋅ N Rk χ LT ⋅ M y, Rk 

γ  M 1

γ  M 1

SREN 1993-1-1 § 6.3.3 (6.61-62) Pentru calculul acestor formule de interac ţiune este necesar calculul factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere dup ă ambele axe principale, factorul de reducere pentru flambaj prin  încovoiere - răsucire şi factorii de interacţiune k  zz , k  yy , k  yz şi k  zy. 

 Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul modul de flambaj considerat considerat N cr  cr 

Pentru determinarea lungimii de flambaj a grinzii în planul cadrului, s-a f ăcut o analiz ă de stabilitate în urma căreia s-a determinat factorul de amplificare αcr pentru combinaţia de încărcări care dă cea mai mare valoare a for ţei verticale. Pentru aceast ă analiză, s-a considerat un reazem fictiv la capătul superior al unui stâlp. Efortul critic de flambaj, elastic se determin ă folosind următoarea relaţie de defini ţie:  N cr , y = αcr ⋅ N Ed =  42,404 ,404 ⋅ 83,96 ,961 = 3560,28k ,28kN N

Figura E.14.4. Modul de pierdere al stabilit ăţii 

 Zvelte ţ ea ea relativă

Zvelteţea relativă se calculeaz ă cu ajutorul formulei: 84, 5 ⋅ 102 ⋅ 355 = = 0,918 3560 3560,28 ,28 ⋅ 103

 A ⋅ f  y

λ y =

 N cr , y

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1) 

Factorii de reducere pentru flambajul prin încovoiere

Pentru alegerea curbei de flambaj pentru sec ţiunea transversala trebuie s ă  luam în considerare urm ătoarele condi ţii:  IPE 400 - profil laminat 

400 22 ≥ 1, 2 = 2, 22 b 180 mm ≤ 100 mm Grosimea tălpilor t  f  = 13, 5 mm



Marca de oţel S355

•

ăţ ii Pierderea stabilit ăţ  ii generale în jurul axei y-y: Curba de flambaj a, factorul de imperfec ţiune α y = 0,21;



Raportul

h

=

φ y = 0, 5 ⋅ 1 + α y ⋅ (λ y − 0, 2) + λ y2  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 21 ⋅ (0 (0, 918 − 0, 2) + 0, 9182  = 0, 997 χ y =

• 

1

=

φ y + φ y2 − λ y2

1 0, 997 + 0, 9972 − 0, 9182

= 0,722

ăţ ii Pierderea stabilit ăţ  ii generale în jurul axei z-z Flambaj prin încovoiere încovoiere  Lcr , z =

 N cr , z =

4,8 = 4,818 m (distanta intre legăturile transversale) cos(α) π2 ⋅ E ⋅ I  z  L2cr , z

=

π2 ⋅ 210000 ⋅ 1318 ⋅ 104

= 1177kN

48182

Efortul axial critic (3.4) 

Flambaj prin r ăsucire  Lcr ,T = Lcr , z = 4,818 m 4

 I 0 = I y + I z = 23130 ⋅ 104 + 1318 ⋅ 104 = 24450 cm  N cr ,T =

 A 

π2 ⋅ E ⋅ I w 

 G ⋅ I t +   2  I 0   Lcr ,T  

2 6 84, 5 ⋅ 102  4 π ⋅ 210000 ⋅ 490000 ⋅ 10  8 0 7 7 0 ⋅ 5 1 , 0 8 ⋅ 1 0 + = 2  = 2938 kN  24450 ⋅ 104  4 8 1 8  

 N cr = min ( N cr , z ; N cr ,T ) = 1 177; 2938) = 1177kN   min (11

 A ⋅ f  y

λ z =

 N cr 

84, 5 ⋅ 102 ⋅ 355 = = 1,597 1177 ⋅103

Curba de flambaj b, factorul de imperfec ţiune α y = 0,34; φ z = 0, 5 ⋅ 1 + α z ⋅ (λ z − 0, 2) + λ z2  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 34 ⋅ (1, 597 − 0, 2) + 0,1, 597 2  = 2, 012 χ z = 

•

1 2

2

=

φ z + φ z − λ z

1 2

2, 012 + 2, 012 − 1, 597

2

= 0,309

Factorii de reducere pentru flambajul prin încovoiere-r ăsucire  Momentul critic elastic elastic de flambaj prin încovoie-r  încovoie-r ăsucire

Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-r ăsucire poate fi calculat folosind următoarea expresie:   π2 ⋅ E ⋅ I  z   k    I w (k ⋅ L)2 ⋅ G ⋅ I t  2 = C1 ⋅ ⋅ ⋅ + + (C2 ⋅ z g ) − C 2 ⋅ z g  (k ⋅ L)2   kw  I z   π2 ⋅ E ⋅ I z  2

 M cr

  

În calculul M crcr, au fost introduse urm ătoarele valori pentru factori: k  =   = 1; din moment ce talpa comprimat ă e liberă să se roteasc ă în jurul axei minime de inerţie, k w  = 1; din moment ce nu sunt prev ăzute m ăsuri speciale de împiedicare a deplan ării libere a capetelor grinzii.  zg distanţa de la punctul de aplicare al înc ărcării la centru de t ăiere. Deoarece eforturile sunt transmise prin intermediul rigle – înc ărcările sunt aplicate în axa neutr ă a stâlpului: zg = 0.  Access Steel Steel NCCI: SN003a-EN-EU Astfel formula momentului critic devine:  M cr  = C 1 ⋅

π2 ⋅ E ⋅ I  z 2

 Lcr , LT  

⋅

 I w  I  z

2

+

 Lcr , LT   ⋅ G ⋅ I t 

π2 ⋅ E ⋅ I  z

Datorită  complexităţii expresiei, a posibilit ăţii inerente a unor erori algebrice este recomandat ă efectuarea aritmeticilor pe termeni, pentru urm ărirea mai facil ă a calculelor: π2 ⋅ E ⋅ I  z = π2 ⋅ 2,1 ⋅ 10 5 ⋅ 1318 ⋅ 104 = 2, 732 ⋅ 1013 π2 ⋅ E ⋅ I  z

2,73 ,732 ⋅ 1013 ,177 ⋅106 = 1,177 2 2  L 4818  I w 490 ⋅ 109 T2 = = = 3,718 ,718 ⋅ 104 4  I  z 1318 ⋅ 10

T1 =

=

 L2 ⋅ G ⋅ I t  T 3 = 2 =  E I  π ⋅ ⋅  z

48182 ⋅ 80770 ⋅ 51, 08 08 ⋅ 104 = 3,50 ,506 ⋅104 13 2,73 ,732 ⋅ 10

În continuarea calculelor va fi necesar calculul  M cr,0 cr,0 , momentul critic corespunzător elementului încărcat cu momente egale la capete – varia ţie constant ă – ψ = 1, C 1,0 1,0 = +1,00. 6

 M cr ,0 = T1 ⋅ T2 + T 3 = 1,177 ⋅ 10 ⋅ 

3, 718⋅10 1 04 + 3, 506 ⋅ 104 = 316, 3 kN kNm

Coeficientul C 1  depinde de forma diagramei de moment încovoietor. Pentru o elemente  încărcate cu momente la capete şi încărcare distribuită, avem: ψ=−

133.234 = −0,616 183,777

2

µ=

q⋅L

8 M 

=−

9.396 ⋅ ( 4.818 ⋅ 103 ) 4 ⋅ 183,77 ,777 ⋅ 106

2

= −0,148

C1=2,85 (vezi exemplu 1.5 şi Anexa V)  Access Steel Steel NCCI: SN003a-EN-EU

Figura E.14.5. Distribu ţia de momente intre doua legaturi transversale Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-r ăsucire:  M cr = C1 ⋅ M cr ,0 =  2,85 ,85 ⋅ 316,3 = 901,4 kNm

•

 Zvelte ţ ea ea redus ă pentru încovoiere-r ăsucire

Zvelte ţea redus ă pentru flambajul prin încovoiere-r ăsucire se determină  cu următoarele relaţii: W pl , y ⋅ f y

λ LT  =

 M cr 

1, 307 ⋅ 106 ⋅ 355 = 0,717 901,4 ⋅ 106

=

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2 (1) Deoarece λ LT  =   = 0,717 > λ LT,  LT,0 = 0,4 (profile laminate) efectele devers ării nu pot fi neglijate, verificarea la pierderea stabilit ăţii prin încovoiere-răsucire fiind obligatorie. •

Factorul de reducere

Pentru profile laminate sau sec ţiunile sudate echivalente supuse la încovoiere, valorile χ  LT  pentru zvelteţea redus ă corespunz ătoare pot fi determinate astfel: χ LT  =

χ LT  ≤ 1.0  1.0 dar  χ LT  ≤ λ 2  LT  

1 φ LT  +

2 2 φ LT − β ⋅ λ LT 

unde: 2  φ LT = 0, 5 ⋅ 1 + α LT ⋅ (λ LT − λ LT ,0 ) + β ⋅ λ LT  

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1) α LT  factorul  factorul de imperfec ţiune pentru pierderea stabilit ăţii prin încovoiere-răsucire: Pentru

h b

=

400 = 2, 222 ≥ 2 ⇒ curba c ( α LT  = 0,49) 180

SREN 1993-1-1 Tabel 6.5 Tabel 6.3 Valorile recomandate: λ LT ,0,0 = 0,4 şi β = 0,75 SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1) φ LT = 0,5 ⋅ 1 + α LT  ⋅ (λ LT − λ LT ,0 ) + β ⋅ λ LT   2

  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 49 ⋅ (0, 717 − 0, 4) + 0, 75 ⋅ 0, 7172  = 0, 771  

1

χ LT  = φ LT + =

2

=

φLT  − β ⋅ λ LT 

1



1



= 0, 815 <  1; 2 = 1, 943  2 2 0, 771 + 0, 771 − 0, 75 ⋅ 0, 717  λ LT  

Pentru a lua în considerare distribu ţia momentelor între leg ăturile laterale ale barelor se calculează factorul f :

Figura E.14.6. Distribu ţia de momente intre doua legaturi transversale

ψ=− kc =

133.234 = −0,616 183,777

1 1 = = 0,818 1, 33 − 0, 33 ⋅ψ ⋅ ψ 1, 33 + 0, 33 ⋅ 0, 616

SREN 1993-1-1 Tabel 6.6  f = 1 − 0, 5 ⋅ (1 − k c ) ⋅ 1 − 2 ⋅ (λ LT  − 0, 8)2 





= 1 − 0, 5 ⋅ (1 − 0, 818) ⋅ 1 − 2 ⋅ (0, 717 − 0, 8)2  = 0, 944 < 1





SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (2) Factorul de reducere χ LT poate fi definit astfel: χ LT ,mod  = 

χ LT   f 

=

0,815 = 0,863 0,944

Calculul factorilor de interac ţ iune iune k  yy  şi k  zy

Factorii de interac ţiune k  yy , k  yz , k  zy , k  zz depind de metoda de calcul aleas ă. Se pot calcula folosind dou ă metode alternative. În acest exemplu exempl u valorile valoril e acestor factori au au fost determin determinate ate conform anexei A (metoda alternativ ă 1). Se începe cu calculul factorilor auxiliari: 1− µ y =

w y = w z =

λ0 =

 N cr , y

W el , y W  pl , z

76,59 1177 = = 0.95 76,59 1 − 0, 309 ⋅ 1177 1−

 N cr , z

W  pl , y

W el , z

 N  Ed 

 N  Ed 

1 − χ z ⋅

76,59 3560 = =1 76,59 1 − 0, 722 ⋅ 3560 1−

 N cr , y

1 − χ y ⋅ 1−

µ z =

 N  Ed 

 N  Ed   N cr , z

=

1307 = 1,131 ≤ 1.5 1156

=

229 = 1, 546 > 1, 5 ⇒ wz = 1.5 146,4

W pl , y ⋅ f y  M cr ,0

1307 ⋅ 103 ⋅ 355 = = 1,211 316,3 ⋅106 

λ 0 lim = 0, 2 ⋅ C 1 ⋅ 4  1 −



 N Ed   N Ed   ⋅ 1 − = 0, 2 ⋅   N cr , z   N cr ,TF  

2, 85 ⋅ 4 1 − 

76, 59   76, 59   ⋅ 1 −  = 0, 33 1177   2938 

2938 kN  (secţiune dublu simetric ă).  în care  Ncr ,TF = N cr ,T  = 2938 Deoarece condi ţia λ LT ,0 > λ0 lim  este îndeplinit ă, rezultă: Cmy = Cmy ,0 + (1 − C my ,0 ) ⋅

 M  y , Ed   N Ed

⋅

1 + ε y ⋅ α LT 

α LT 

CmLT = C m2y ⋅

ε y =

ε y ⋅ α LT 

  N Ed  1 −  N cr , z   A W el , y

=

N Ed     ⋅ 1 −   N   cr ,TF    

≥ 1.0

183, 77 ⋅ 106 84, 5 ⋅102 ⋅ = 17,54  (secţiune clasa I). şi 76, 59 ⋅ 103 1156 ⋅ 103

51,08 ⋅ 104 α LT  = 1 − =1− = 0, 998  I  y 23130 ⋅104  I T 

Factorul

C my,0  se

calculeaz ă conform tabel A.2, unde ψ y = 0 :

 π2 ⋅ E ⋅ I  ⋅ δ   N   y  C my ,0 = 1 + 2 − 1  Ed  =  Ltot ⋅ M y max  N cr , y    π2 ⋅ 2,1 ⋅ 105 ⋅ 23130 ⋅ 104 ⋅ 164, 51  76,59 = 1+  − 1 = 0, 986 2 6   3560  24000 ⋅ 413, 7777 ⋅ 10   δ = 164,51mm  deplasarea maxim ă la SLU 

Calculul parametrilor C my  şi C mLT  Cmy = Cmy ,0 + CmLT = C m2y ⋅

= 0.9972 ⋅



(1 − C my,0 )

ε y ⋅ α LT 

1 + ε y ⋅ α LT 

= 0.986 + (1 − 0.986 )

α LT 

  N Ed  1 −  N cr , z 

N Ed     ⋅ 1 −   N   cr ,TF    

17,54 ,54 ⋅ 0,99 ,998 = 0.997 1 + 17 17, 54 ⋅ 0, 998

=

0.998 = 1, 04 > 1  76, 59   76, 59  1 −  ⋅ 1 −  2 93 8   1177  

Calculul factorilor C  yy  şi C  zy λ max = max (λ y ; λ z ) = max (0 (0, 918;1, 597) = 1, 597



1.6



w y

C yy = 1 + ( wy − 1) ⋅  1 −

n pl =

 N Ed N Ed  = =  N Rk Ay ⋅ f y

γ  M 1

γ  M 1

2 ⋅ C my ⋅ λ max −

1.6 wy







 W pl , y

2 2 ⋅ C my ⋅ λ max  ⋅ n pl − bLT   ≥

76,59 ,59 ⋅ 103 = 0,026 2 84, 5 ⋅10 ⋅ 355 1, 0

 M  y , Ed   M  z , Ed  2 b LT = 0.5 ⋅ α LT ⋅ λ 0 ⋅ ⋅ =0 χ LT ⋅ M pl , y , Rd M pl , z , Rd 

γ M 1

γ M 1

(M z, Ed  = 0)

W el , y



C  yy = 1+ (1,131 −1) ⋅  2 −



= 0.986 >

W el , y W  pl , y

 1, 6 1, 6  ⋅ 0.9972 ⋅1, 597 − ⋅ 0.997 2 ⋅1, 597 2  ⋅ 0, 026  = 1,131 1,131  

1156 = 0, 884 1307

=

 Cm2y ⋅ λ m2 ax C zy = 1 + ( wy −1) ⋅  2 − 14 ⋅  w y5  d LT = 2 ⋅ α LT ⋅

  w W   ⋅ n pl − d LT   ≥ 0.6 ⋅  y ⋅ el , y  w z W pl , y   

 M  y , Ed 

λ0

 M  z , Ed 

⋅ ⋅ = 0 ( M z , Ed  = 0) 0.1 + λ04 Cmy ⋅ χ LT ⋅ M pl , y, Rd Cmz ⋅ M pl , z , Rd   

 1.0122 ⋅1.5972 C  zy = 1 + (1,131 − 1) 1) ⋅  2 − 14 ⋅ 1,1315  = 0, 936 ≥ 0, 6 ⋅ 

1,131 131 1156 1156 ⋅ = 0, 461 1, 5 1307

Calculul factorilor de interac ţ iune iune conform Tabel A.1.

1

k yy = Cmy ⋅ C mLT  ⋅

k zy = Cmy ⋅ C mLT  ⋅

= 0, 997 ⋅ 1, 04



1−

µ z

1−

 N  Ed 

 N  Ed 

⋅

1 C  yy

= 0.997 ⋅ 1.04 ⋅

 N cr , z

⋅

1 C zy

⋅ 0,6 ⋅

w y wz

1 1 ⋅ = 1, 075 76,59 0,986 1− 3560

=

 N cr, y

0, 95 1 1,131 ⋅ ⋅ 0, 6 ⋅ = 0, 545 76,59 0, 936 1 , 5 1− 3560

Verificarea formulelor de interac ţ iune iune

 N  Ed  + k  yy ⋅ χ y ⋅ N Rk

γ M 1  N  Ed  + k  zy ⋅ χ z ⋅ N Rk

γ  M 1 

  ⋅ 0 , 0 2 8 =   

 M  y , Ed 

χ LT  ⋅

M y, Rk 

γ M 1

 M  y , Ed 

χ LT  ⋅

M y, Rk 

γ  M 1

76, 59 ⋅ 103 183, 77 ⋅106 = + 1, 075 ⋅ = 0, 558 ≤ 1 84, 5 ⋅ 102 ⋅ 355 1307 ⋅ 103 ⋅ 355 0, 722 ⋅ 0, 815 ⋅ 1, 0 1, 0 =

76, 59 ⋅ 103 183, 77 ⋅ 106 + 0 , 5 4 5 ⋅ = 0, 298 ≤ 1 84, 5 ⋅ 102 ⋅ 355 1307 ⋅ 103 ⋅ 355 0, 309 ⋅ 1, 0 ⋅ 1, 0 1, 0

Verificarea la SLS

Deplasarea verticala maxim ă la coama δ = 113, 45 mm = L / 211 Secţiunea nu verifică condiţia impusă δ < 

 L

250

=

24000 = 96 mm 250

Verificarea sec ţ iunii iunii vutei Caracteristicile geometrice ale întregii sec ţ iuni iuni  Lv=2.409 m Lungimea vutei:

Aria:

A=148,26 cm2

Iy= 114991,25 cm 4 4  I  z= 2001,4 cm 3 W el,y el,y=2852,67 cm 3 W el,y el,y=222,38 cm

Moment de iner ţie /yy: Moment de iner ţie /zz: Modul de rezisten ţă elastic /yy: Modul de rezisten ţă elastic /zz:

Caracteristicile geometrice ale p ăr  ţ ii ii comprimate

Talpa comprimata inclusiv 1/6 din în ălţimea inimii: 2  Av=31,63 cm Aria 4  I  y= 104,91cm Moment de iner ţie / yy: 4  I  z= 680,89 cm Moment de iner ţie / zz:

IPE400

z

y

z

y

Figura E.14.7. Sec ţiunea transversala si zona comprimat ă 680 680,89 ⋅104 i z = = = 46,4 mm  Av 31,63 ⋅ 102  I  z

λ1 = π

λ z =

 E   f  y  Lv

i z ⋅ λ1

=π

210000 = 76,409 355

2409 = 0,679 46,4 ⋅ 76,409 ,409

=

Se alege curba de flambaj d  pentru  pentru profile I cu h/b>2=> α=0.76 φ z = 0, 5 1 + α ( λ z − 0, 2 ) + λ 2z  = 0, 5 1 + 0, 76 ( 0, 0, 679 − 0, 2 ) + 0, 6792  = 0, 913



χ z =



1 2

2

φ z + φ z − λ z

=





1 2

0, 913 + 0, 913 − 0, 679

2

= 0,656

•

For  ţ a axială de calcul în talpa comprimat ă se ob ţ ine: ine:

 N Edf

31, 63 413, 77 ⋅ 106 = N Edv + Av = 76, 59 ⋅10 ⋅ + 31, 63 ⋅ 102 = 475,122 kN  3  A W  z 148,26 2852 2852,67 ,67 ⋅10  Av

M Edv

3



Verificarea erifica rea rezisten ţ ei ei la flambaj:

 N Edf

χ z ⋅ N Rk

=

N Edf 

χ z ⋅ Av ⋅ f y

=

475 475,122 ,122 ⋅103 = 0, 645 < 1 ⇒  Sec ţ iunea iunea verifică 0, 66556 ⋅ 31, 6633 ⋅ 102 ⋅ 355

 E.14.2 Stâlpul Stâlpul cadrului – interac ţ iunea iunea M-N 

 Datele problemei problemei

Pentru verificarea de rezisten ţă şi flambaj a stâlpului sunt necesare urm ătoarele date: Fara imperfectiuni  N  Ed  = 113.18 kN Forţa axială V  Ed  = Forţa tăietoare  = 68.96 kN  M  Ed  = 413.77 kNm Moment încovoietor Cu imperfectiuni  N  Ed  = 113.37 kN Forţa axială V  Ed  = 69.33 kN Forţa tăietoare  M  Ed  = Moment încovoietor  = 415.97 kNm Lungimea elementului Marca oţelului 

 L = 6,00 m

S355

 Dimensiunile  şi caracteristicile geometrice ale sec ţ iunii iunii transversale a stâlpului

IPE450 - Marca de o ţel S355; Înălţimea Înălţimea inimii Înălţimea liberă a inimii Lăţimea tălpilor Grosimea inimii Grosimea tălpilor Raza de racord Aria Momentul de iner ţie/yy Momentul de iner ţie/zz Momentul de iner ţie la torsiune Moment de iner ţie sectorial Modul de rezisten ţă elastic /yy Modul de rezisten ţă plastic /yy Modul de rezisten ţă elastic /zz Modul de rezisten ţă plastic /zz Raza de giraţie /yy Raza de giraţie /zz Modulul de elasticitate 

h = 450,0 mm hw = 420,8 mm

dw = 378,8 mm b = 190,0 mm t w = 9,4 mm t f f =    = 14,6 mm r  =  = 21,0 mm 2  A = 98,8 cm 4  I y = 33740 cm 4  I z = 1676 cm 4  I t = 66,87 cm 6  I w = 791000 cm 3 W el,y el,y = 1500 cm 3 W pl,y pl,y = 1702 cm 3 W el,z el,z = 176,4 cm 3 W pl,z pl,z = 276,4 cm iy = 18,48 cm iz = 4,12 cm  E  =  = 210000 N/mm 2

Caracteristici mecanice - limita de curgere

Marca S355 Deoarece grosimea maxim ă  a pereţilor secţiunii transversale este 14,6 mm ≤   40 mm, limita de curgere este f y = 355 N/mm 2. SREN 1993-1-1 Tabel 3.1 

Coeficien ţ ii ii par  ţ iali iali de siguran ţă

γ  M0 = 1.00 γ  M1 = 1.00

SREN 1993-1-1 §6.1 (1)



 Efectele imperfec imperfec ţ iunilor iunilor φ = φ0 ⋅ α h ⋅ α m =

unde

1 ⋅ 0,75 ,753 ⋅ 0,86 ,866 = 0,00 ,00326 200

φ0 = 1/ 200

2

2 = 0,753 h 7.05 1   1 α m = 0, 5  1 +  = 0, 5 1 +  = 0, 866  m  2

αh =

=

unde m=2 (numărul stâlpilor) SREN 1993-1-1 §5.3.2 (3)

Imperfecţiunile pot fi neglijate daca  H Ed ≥ 0,15V Ed  În cazul în care  H Ed ≤ 0,15V Ed  imperfecţiunile iniţiale pot fi înlocuite cu for ţe orizontale echivalente:  H Eq = φV Ed  SREN 1993-1-1 §5.3.2 (4)  

 H Eq = φV Ed  = 0, 00326 ⋅  1, 35 ⋅ 0, 30 ⋅

1  + 1 , 5 0 ⋅ 0 , 8 0 ⋅ 0 , 7 5  ⋅ 7.2 ⋅ 24 = cos50 

= 0.736 kN 

Încărcarea astfel determinat ă va fi aplicată celor 2 stâlpi HEq1= HEq2= HEq /2=0,37 kN 

 Determinarea  Determinarea lungimilor de flambaj

Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y) Lungimea de flambaj (y-y) Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z) Lungimea de flambaj (z-z) 

SREN 1993-1-1 §5.3.2 (7)

f L_y L_y = 1,00  Lcr,y = f L_y L_y × L = 6,00 m f L_z L_z = 1.00  Lcr,z = f L_z L_z × L = 6,00 m

 Determinarea  Determinarea clasei sec ţ iunii iunii

Parametrul ε  depinde  depinde de limita de curgere a materialului: ε=

•

2 35 235 = = 0,814 355  f  y [N/ [N/mm 2 ]

Talpa în consol ă supusă la compresiune b − t w − 2 ⋅ r  190 − 9, 4 − 2 ⋅ 21 c= = = 69,3mm

2 2 c 69,3 = = 4, 75 < 9 ⋅ ε = 9 ⋅ 0, 814 = 7, 326 ⇒ talpa clasa 1 t  f  14,6

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2 •

Perete interior supus la încovoiere  şi compresiune

113 113,37 ⋅103 d  N  = = = 33,98 33,98 mm tw ⋅ f y 9, 4 ⋅ 355  N  Ed 

33,98 ,98 + 378,8 = 0, 545 > 0, 5 2 ⋅ d w 2 ⋅ 378, 8 d w = h − 2 ⋅ t f  − 2 ⋅ r = 450   − 2 ⋅ 14 14, 6 − 2 ⋅ 21 = 378, 8 mm

α=

d w t w

d N + d w

=

=

378, 8 396 ⋅ ε 396 ⋅ 0, 0, 814 = 40, 3 < = = 55, 97 ⇒ inima clasa 1 9, 4 13 ⋅ α − 1 13 ⋅ 0, 545 − 1

SREN 1993-1-1 Table 5.2

Clasa unei sec ţiuni transversale este definit ă  prin clasa cea mai mare (cea mai pu ţin favorabilă) a pereţilor săi comprimaţi: în cazul de fa ţă: Clasa 1 Deoarece avem de-a face cu o sec ţiune de clasa 1 toate verific ările la SLU se pot face bazându-ne pe capacitatea plastic ă a secţiunii transversale. 

la: − − − −

Verificările de rezisten ţă

Pentru a respecta condi ţiile de rezisten ţă stâlpul trebuie s ă îndeplineasc ă toate verificările Forţă axială N ; Forţă tăietoare V ; Moment încovoietor  M ;  N -V . Interacţiunea M - N 

SREN 1993-1-1 §6.2.10  N -V  ordinea Datorită interacţiunii M - N   ordinea logic ă a determinării rezistenţelor este V  pl,Rd  , N  pl,Rd  şi

 M  pl,y,Rd . 

 Rezisten ţ a la forfecare

Valoarea de calcul a rezisten ţei plastice la forfecare în absen ţa răsucirii depinde de aria de forfecare, care se define şte:  Avz = A − 2 ⋅ b ⋅ t f + (t w + 2 ⋅ r ) ⋅ t f =

 

mm 2 = 9880 − 2 ⋅190 ⋅ 14, 6 + (9, 4 + 2 ⋅ 21) ⋅ 14, 6 = 5082 mm

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (3) În absenţa răsucirii, este dat ă de relaţia: V  pl , z , Rd  =

 Av , z ⋅ f y

3 ⋅ γ M 0

=

5082 ⋅ 355 = 1041 1041,6 ,6 kN 3 ⋅1, 0

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (2) Trebuie s ă fie satisf ăcută condiţia: V  Rd  V c , Rd  

=

69,33 = 0, 06 067 ≤ 0, 5 ⇒ .secţiunea verifică, iar forţa tăietoare nu reduce valoarea momentului încovoietor capabil 1041,6

Verificarea la for  ţă axială

Pentru a determină  rezistenţa de calcul a sec ţiunii transversale a stâlpului la compresiune uniformă se folose şte relaţia de definiţie corespunzătoare clasei de sec ţiune 1:  N c, Rd  =

 A ⋅ f  y

γ   M 0

=

9880 ⋅ 355 = 3507,4 kN  1

După determinarea capacit ăţii portante se trece la verificarea condi ţiei:  N  Ed   N c , Rd 

=

113,37 = 0, 0 0332 ≤ 1, 0 ⇒ secţiunea verifică 3507,4

Pentru secţiunile bisimetrice I sau H şi alte secţiuni bisimetrice cu t ălpi, nu este necesar s ă se ia în considerare efectul efortului axial asupra momentului rezistent plastic în raport cu axa y-y , atunci când sunt satisf ăcute următoarele două criterii:  N Ed = 113, 37 kN kN ≤ 0, 25 ⋅ N pl , Rd  = 0, 25 ⋅ 3507, 4 = 876, 85 kN kN  N  Ed  = 113, 37 kN ≤

0,5 ⋅ hw ⋅ tw ⋅ f y γ  M 0

=

0, 5 ⋅ 420, 8⋅ 9, 4 ⋅ 355 = 702,1 kN 1

Condiţiile fiind îndeplinite efectul efortului axial asupra momentului rezistent poate fi neglijat. 

Verificarea la încovoiere

Pentru o secţiune de clasa 1 rezisten ţa de calcul a unei sec ţiuni transversale supus ă la  încovoiere în raport raport cu axa principal ă de inerţie se determin ă astfel:  M c , Rd = M pl , Rd =  

W pl ⋅ f y

γ  M 0

1702 ⋅ 103 ⋅ 355 = = 604,21kNm 1, 0

Valoarea de calcul  M  Ed   a momentului încovoietor în fiecare sec ţiune transversal ă  trebuie să satisfacă condiţia:  M  Ed   M c, Rd 

=

413,77 = 0, 6 6885 ≤ 1, 0 ⇒ secţiunea verifică 604,21

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.1 

ăţ ii Verificările de pierdere a stabilit ăţ  ii

Barele supuse la compresiune axial ă şi încovoiere trebuie s ă  îndeplineasc ă următoarele condiţii:  M y , Ed + ∆M y , Ed   M z , Ed + ∆M z , Ed   N  Ed  + k yy ⋅ + k yz ⋅ ≤1 χ y ⋅ N Rk χ LT ⋅ N y, Rk M z, Rk 

γ M 1

γ  M 1

γ M 1

 M y , Ed + ∆M y, Ed   M z , Ed + ∆M z , Ed   N  Ed  + k zy ⋅ + k zz ⋅ ≤1 χ z ⋅ N Rk χ LT ⋅ M y , Rk M z, Rk 

γ  M 1

Deoarece  M z , Ed

γ  M 1

γ  M 1

SREN 1993-1-1 § 6.3.3 (6.61-62) = ∆M z , Ed  ≤ 0  relaţiile de interacţiune se pot scrie:  M y , Ed + ∆M y , Ed   N  Ed  + k  yy ⋅ ≤1 χ y ⋅ N Rk χ LT ⋅ N y, Rk 

γ M 1

γ M 1

 M y , Ed + ∆M y, Ed   N  Ed  + k  zy ⋅ ≤1 χ z ⋅ N Rk χ LT ⋅ M y, Rk 

γ  M 1

γ  M 1

Pentru calculul acestor formule de interac ţiune este necesar calculul factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere dup ă ambele axe principale, factorul de reducere pentru flambaj prin  încovoiere - răsucire şi factorii de interacţiune k  zz , k  yy , k  yz şi k  zy. 

 Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul modul de flambaj considerat considerat N cr  cr 

Efortul critic de flambaj, elastic se determin ă folosind următoarea relaţie de defini ţie:  N cr , y =

 N cr , z =

π 2 ⋅ E ⋅ I  y 2  Lcr ,y

π 2 ⋅ E ⋅ I  z 2  Lcr ,z

=

3,142 ⋅ 2,1 ⋅ 105 ⋅ 33740 ⋅ 104 = 19425kN 60002

3,142 ⋅ 2,1⋅ 105 ⋅1676 ⋅ 104 = = 964,9 964,9 kN 60002

Efortul axial critic (3.4) 

 Zvelte ţ ea ea relativă

Zvelteţea relativă se calculeaz ă cu ajutorul formulei:

98, 8 ⋅ 102 ⋅ 355 = = 0,425 1942 194255 ⋅ 103

 A ⋅ f  y

λ y =

 N cr , y  A ⋅ f  y

λ z =

 N cr , z

=

98, 8 ⋅102 ⋅ 355 = 1,906 964,9 ⋅ 103

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1) 

Factorii de reducere pentru flambajul prin încovoiere

Pentru alegerea curbei de flambaj pentru sec ţiunea transversala trebuie s ă  luam în considerare urm ătoarele condi ţii: IPE450 - profil laminat  

450 = 2, 37 ≥ 1, 2 b 190 mm ≤ 100 mm mm Grosimea tălpilor t  f  = 14, 6 mm



Marca de oţel S355

•

ăţ ii Pierderea stabilit ăţ  ii generale în jurul axei y-y: Curba de flambaj a, factorul de imperfec ţiune α y = 0.21;

Raportul



h

=

cu imperfecţiuni

o

(0, 425 − 0, 2) + 0, 4252  = 0, 614 φ y = 0, 5 ⋅ 1 + α y ⋅ (λ y − 0, 2) + λ y2  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 21 ⋅ (0 χ y =

•

1 φ y + φ y2 − λ y2

=

1 0, 614 + 0, 6142 − 0, 4252

= 0,95

ăţ ii Pierderea stabilit ăţ  ii generale în jurul axei z-z Curba de flambaj b, factorul de imperfec ţiune α y = 0.34; φ z = 0, 5 ⋅ 1 + α z ⋅ (λ z − 0, 2) + λ z2  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 34 ⋅ (1, 906 − 0, 2) + 1, 9062  = 2, 606 χ z =



•

1 φ z + φ z2 − λ z2

=

1 2, 606 + 2, 6062 − 1, 9062

= 0,228

Factorii de reducere pentru flambajul prin încovoiere-r ăsucire  Momentul critic elastic elastic de flambaj prin încovoie-r  încovoie-r ăsucire

Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-r ăsucire poate fi calculat folosind următoarea expresie:   π2 ⋅ E ⋅ I  z   k    I w (k ⋅ L)2 ⋅ G ⋅ I t  2 = C1 ⋅ ⋅ ⋅ + + (C2 ⋅ z g ) − C 2 ⋅ z g    (k ⋅ L)2   kw  I z π2 ⋅ E ⋅ I z  2

 M cr

În calculul M crcr, au fost introduse urm ătoarele valori pentru factori: k  =   = 1; din moment ce talpa comprimat ă e liberă să se roteasc ă în jurul axei minime de  inerţie,  k w  = 1; din moment ce nu sunt prev ăzute m ăsuri speciale de împiedicare a deplan ării libere a capetelor grinzii.   zg distanţa de la punctul de aplicare al înc ărcării la centru de t ăiere. Deoarece eforturile sunt transmise prin intermediul rigle – înc ărcările sunt aplicate în axa neutr ă a stâlpului: zg = 0. Coeficientul C 1  depinde de forma diagramei de moment încovoietor. Pentru o elemente   încărcate doar cu momente la capete – diagrama cu varia ţie lineară – şi pentru raportul între momente ψ  =  = 0, avem: C 1 = 1.77 (vezi Tabelul 4.2 şi Anexa V). Astfel formula momentului critic devine:

 M cr  = C 1 ⋅

π2 ⋅ E ⋅ I  z 2

 Lcr , LT  

⋅

 I w  I  z

2

+

 Lcr , LT   ⋅ G ⋅ I t 

π2 ⋅ E ⋅ I  z

Datorită  complexităţii expresiei, a posibilit ăţii inerente a unor erori algebrice este recomandat ă efectuarea aritmeticilor pe termeni, pentru urm ărirea mai facil ă a calculelor: π2 ⋅ E ⋅ I  z = 3,142 ⋅ 2,1 ⋅105 ⋅1676 ⋅ 104 = 3, 473 ⋅ 1013 π2 ⋅ E ⋅ I  z

3,473 ,473 ⋅ 1013 T1 = = = 9,64 ,649 ⋅105 2 2  L 6000  I w 7910 7910000 ⋅ 106 T2 = = = 47195,7  I  z 1676 ⋅ 104  L2 ⋅ G ⋅ I t 

60002 ⋅ 80770 ⋅ 66, 87 ⋅ 104 T 3 = 2 = = 5,59 ,599 ⋅104 13 π ⋅ E ⋅ I  z 3,473 ,473 ⋅ 10

În continuarea calculelor va fi necesar calculul  M cr,0 cr,0 , momentul critic corespunzător elementului încărcat cu momente egale la capete – varia ţie constant ă – ψ = 1, C 1,0 1,0 = +1,00.  M cr ,0 = T1 ⋅ T2 + T 3 = 9, 649 ⋅105 ⋅

47195, 7 + 5, 599 ⋅ 104 = 309, 95 kN kNm

Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-r ăsucire  M cr = C1 ⋅ M cr ,0 =  1,77 ,77 ⋅ 309,95 ,95 = 548,61kN ,61kNm m

•

 Zvelte ţ ea ea redus ă pentru încovoiere-r ăsucire

Zvelte ţea redus ă pentru flambajul prin încovoiere-r ăsucire se determină  cu următoarele relaţii: W pl , y ⋅ f y

λ LT  =

 M cr 

1702 ⋅103 ⋅ 355 = = 1,049 548 548,61⋅ 106

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2 (1) Deoarece λ LT  =   = 3,31 > λ LT,  LT,0 = 0,4 (profile laminate) efectele devers ării nu pot fi neglijate, verificarea la pierderea stabilit ăţii prin încovoiere-răsucire fiind obligatorie. •

Factorul de reducere

Pentru profile laminate sau sec ţiunile sudate echivalente supuse la încovoiere, valorile χ  LT  pentru zvelteţea redus ă corespunz ătoare pot fi determinate astfel: χ LT  =

1 φ LT  +

2 2 φ LT − β ⋅ λ LT 

χ LT  ≤ 1.0  1.0 dar  χ LT  ≤ 2  λ LT  

unde : 2  φ LT = 0, 5 ⋅ 1 + α LT ⋅ (λ LT − λ LT ,0 ) + β ⋅ λ LT  

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1) α LT  factorul  factorul de imperfec ţiune pentru pierderea stabilit ăţii prin încovoiere-răsucire: Pentru

h b

=

450 = 2, 368 ≥ 2 ⇒ curba c ( α LT  = 0,49) 190

SREN 1993-1-1 Tabel 6.5 Tabel 6.3 Valorile recomandate: λ LT ,0,0 = 0,4 şi β = 0,75 SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1) 2

φ LT = 0,5 ⋅ 1 + α LT  ⋅ (λ LT − λ LT ,0 ) + β ⋅ λ LT   = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 49 ⋅ (1 (1, 049 − 0, 4) + 0, 75 ⋅1, 0492  = 1, 072









1

χ LT  =

2

φ LT + φLT  − β ⋅ λ LT 

=

1



1



= 0, 609 <  1; 2 = 0, 909  2 2 1, 072 + 1, 072 − 0, 75 ⋅ 1, 049  λ LT  

Pentru a lua în considerare distribu ţia momentelor între leg ăturile laterale ale barelor se calculează factorul f : kc =

1 1 = = 0,752  - diagrama de momente linear ă 1, 33 − 0, 33 ⋅ ψ 1, 33 − 0

SREN 1993-1-1 Tabel 6.6  f = 1 − 0, 5 ⋅ (1 (1 − k c ) ⋅ 1 − 2 ⋅ ( λ LT  − 0, 8)2  = 1 − 0, 5 ⋅ (1 (1 − 0, 752) ⋅ 1 − 2 ⋅ (0 ( 0, 5 − 0, 8)2  = 0, 898 < 1









SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (2) Factorul de reducere χ LT poate fi definit astfel: χ LT 

χ LT ,mod = 

 f 

=

0,944 = 1, 051 > 1 ⇒ χ LT ,mod  = 1, 00 0,898

Calculul factorilor de interac ţ iune iune k  yy  şi k  zy

Factorii de interac ţiune k  yy , k  yz , k  zy , k  zz depind de metoda de calcul aleas ă. Se pot calcula folosind dou ă metode alternative. În acest exemplu exempl u valorile valoril e acestor factori au au fost determin determinate ate conform anexei A (metoda alternativ ă 1). Se începe cu calculul factorilor auxiliari: 1− µ y =

w y = w z = 

 N cr , y

1 − χ y ⋅ 1−

µ z =

 N  Ed 

 N cr , y

 N  Ed   N cr , z

1 − χ z ⋅ W  pl , y W el , y W  pl , z W el , z

 N  Ed 

 N  Ed   N cr , z

113,37 19425 = = 0,9997 113,37 1 − 0, 95 ⋅ 19425 1−

113,37 964,9 = = 0,907 113,37 1 − 0, 228 ⋅ 964,9 1−

=

1702 = 1,135 ≤ 1.5 1500

=

276,4 = 1, 566 > 1, 5 ⇒ wz = 1.5 176,4

 Efortul axial critic de flambaj elastic prin r ăsucire se determin ă:

1

π2 ⋅ E ⋅ I w 

 G ⋅ I t +   2 =   L cr ,T    2 5 9  1 4 π ⋅ 2,1 ⋅ 10 ⋅ 791 ⋅ 10  = 8 0 7 7 0 ⋅ 6 6 , 8 7 ⋅ 1 0 +   = 2562, 44 kN  38, 85 ⋅103  6 0 00 2 

 N cr ,T =

i0 

Pentru o secţiune dublu simetrica i0 se define şte ca fiind: i02 = i y2 + iz2 + y02 + z02 = 184, 82 + 41, 2 2 = 38, 85 ⋅ 103

mm 2

unde:  y0, z0 sunt coordonatele centrului de t ăiere faţă de centrul de greutate;  M cr, cr,0 este momentul critic corespunz ător elementului înc ărcat cu momente egale la capete: 309,95 ,95 kNm .  M cr ,0 = 309

λ LT ,0 =

W pl . y ⋅ f y  M cr ,0

1702 ⋅ 103 ⋅ 355 = = 1,396 309 309,95 ⋅ 106 

λ 0 lim = 0, 2 ⋅ C 1 ⋅ 4  1 −



 N Ed   N Ed   ⋅ 1 − = 0, 2 ⋅   N cr, z   N cr ,TF  

1, 77 ⋅ 4 1 − 

113, 37   113, 38  ⋅ 1− = 0, 255 964, 9   2562, 4 

2562,, 44 kN  (secţiune dublu simetric ă).  în care  Ncr ,TF = N cr ,T  = 2562

Deoarece condi ţia λ LT ,0 > λ0 lim  este îndeplinit ă, rezultă: Cmy = Cmy ,0 + (1 − C my ,0 ) ⋅

ε y =

 N Ed

⋅

1 + ε y ⋅ α LT 

α LT 

CmLT = C m2y ⋅

 M  y , Ed 

ε y ⋅ α LT 

  N Ed  1 −  N cr , z   A W el , y

N Ed      ⋅ 1 − N   cr ,TF    

≥ 1.0

413, 77 77 ⋅ 106 98, 8 ⋅ 102 = ⋅ = 24,08  (secţiune clasa I). 113,18 ⋅ 103 1500 ⋅ 103

şi 66,87 ,87 ⋅104 α LT  = 1 − =1− = 0, 998 ≤ 1  I  y 33740 740 ⋅ 104  I T 

Factorul

C my,0  se

calculeaz ă conform tabel A.2, unde ψ y = 0 :

C my ,0 = 0, 79 + 0, 21 ⋅ ψ y + 0, 36 ⋅ (ψ y + 0, 33) ⋅

= 0, 79 + 0, 21 ⋅ 0 + 0, 36 ⋅ (0 + 0, 33) ⋅

Calculul parametrilor Cmy = Cmy ,0 +

C my

(1 − C my,0 ) 1

= 0, 791 + (1 − 0, 791) CmLT = C m2y ⋅

= 0.9662 ⋅

Calculul factorilor

şi

 N  Ed   N cr , y

=

113,387 = 0, 791 19425

C mLT 

ε y ⋅ α LT  + ε y ⋅ α LT 

=

24,08 ⋅ 0,99 ,998 = 0, 964 1 + 24, 09 ⋅ 0, 998 α LT 

  N Ed  1 −  N cr , z 

N Ed      ⋅ 1 − N   cr ,TF    

=

0.998 = 0.955 < 1 ⇒ C mLT  = 1 113, 37   113, 37   1 −  ⋅ 1 −  19425   2562, 44  C  yy

şi

C  zy

λ max = max (λ y ; λ z ) = λ z = 1, 906



1.6



w y

C yy = 1 + ( wy − 1) ⋅  1 −

2 ⋅ C my ⋅ λ max −

1.6 wy







W pl , y 

2 2 ⋅ C my ⋅ λ max  ⋅ n pl − bLT   ≥

W el , y

n pl

 N N Ed  =  Ed = =  N Rk Ay ⋅ f y

γ  M 1

γ  M 1

113,37 13,37 ⋅ 103 = 0,032 98, 8 ⋅102 ⋅ 355 1, 0

 M  y , Ed   M  z , Ed  2 b LT = 0.5 ⋅ α LT ⋅ λ 0 ⋅ ⋅ =0 χ LT ⋅ M pl , y , Rd M pl , z , Rd 

γ M 1



C  yy = 1+ (1,135 −1) ⋅ 1 −



= 0.973 >

W el , y W  pl , y

=

γ M 1

 1, 6 1, 6  0, 9642 ⋅ 1, 906 − ⋅0, 9642 ⋅1, 9062  ⋅ 0, 032 = 1,135 1,135  

1500 = 0, 881 1702

 Cm2y ⋅ λ m2 ax C zy = 1 + ( wy −1) ⋅  2 − 14 ⋅  w y5  d LT = 2 ⋅ α LT ⋅

(M z, Ed  = 0)

 M  y , Ed 

λ0

  w W   ⋅ n pl − d LT   ≥ 0.6 ⋅  y ⋅ el , y  w z W pl , y     M  z , Ed 

⋅ ⋅ = 0 ( M z , Ed  = 0) 4 C ⋅χ ⋅ M C ⋅ M   0.1 + λ0 my LT pl , y , Rd mz pl , z , Rd  



C  zy = 1 + (1,135 − 1) ⋅  2 − 14 ⋅ 



= 0, 9002 ≥ 0, 6 ⋅

 0,96 ,9642 ⋅ 1,90 ,9062  ⋅ 0 , 0 3 2 =  1,1355  

1,135 1500 ⋅ = 0, 49 1, 5 1702

Calculul factorilor de interacţiune conform Tabel A.1 a SR EN 1993-1-1. k yy = Cmy ⋅ C mLT  ⋅

k zy = Cmy ⋅ C mLT  ⋅

µ y

1−

 N  Ed 

= 0, 964 ⋅1 ⋅

1 C  yy

= 0, 964 ⋅ 1 ⋅

 N cr , z

µ z

1−

⋅

 N  Ed 

⋅

1 C zy

⋅ 0,6 0, 6 ⋅

w y wz

0, 9997 1 ⋅ = 0, 996 113,34 0,973 1− 19425

=

 N cr , y

0, 907 1 1,135 ⋅ ⋅ 0, 6 ⋅ = 0, 5099 113,37 0, 9002 1 , 5 1− 19427

Verificarea formulelor de interacţiune:  N  Ed  + k  yy ⋅ χ y ⋅ N Rk

γ M 1

 M  y , Ed 

χ LT  ⋅

M y, Rk 

=

γ M 1

113, 37 ⋅ 103 415, 97 ⋅ 106 = + 0, 966 ⋅ = 0, 739 ≤ 1 98, 8 ⋅102 ⋅ 355 1702 ⋅ 103 ⋅ 355 0, 95 ⋅ 0, 944 ⋅ 1, 0 1, 0

 N  Ed  + k  zy ⋅ χ z ⋅ N Rk

γ  M 1

 M  y , Ed 

χ LT  ⋅

M y, Rk 

=

γ  M 1

113, 37 ⋅ 103 415, 97 ⋅ 106 = + 0, 5099 ⋅ = 0, 514 ≤ 1 98, 8 ⋅ 102 ⋅ 355 1702 ⋅ 103 ⋅ 355 0, 228 ⋅ 0, 944 ⋅ 1, 0 1, 0

Stâlpul îndeplineşte condiţiile de interac ţiune M-N.

E.15. Determinarea unei secţ secţiunii echivalente pentru verificarea elementelor cu secţ secţiune variabila supuse la M-N 

 Descrierea  Descrierea structurii

Se consider ă  grinda simplu rezemata cu sec ţiune variabila I, înc ărcată  cu o sarcin ă uniform distribuită cu intensitatea de 20 kN/m si supusa la compresiune N = 150 kN. Grinda nu este fixată  lateral decât în dreptul reazemelor. Nu sunt prev ăzute dispozitive speciale în rezem ări care s ă prezint ă deplanarea liber ă a sec ţiunii, iar sec ţiunea este liber ă s ă se roteasc ă  în jurul juru l axei minime de inerţie. Se cere determinarea caracteristicilor geometrice, a eforturilor critice si parametrilor necesari verific ării interacţiunii M-N. q

N Ed

     N      I      M

     X      A      M

     h

     h

L=6000 mm

Figura E.15.1. 

 Datele problemei problemei

Datele geometrice ale elementului sunt prezentate în continuare:  L = 6000 mm Deschiderea Marca oţelului S355 Caracteristicile dimensionale ale sec ţiunii transversale: h MAX  = 400,0 mm Înălţimea maxima h MIN = 200,0 mm Înălţimea minima b = 180,0 mm Lăţimea tălpilor t w = 6,0 mm Grosimea inimii t  f  = Grosimea tălpilor  = 12,0 mm 

 Determinarea  Determinarea eforturilor de calcul calcul 2

 M y , Ed  = 0,125 ⋅ 20 ⋅ 6000 = 90 kNm

 N Ed  = 150 kN  

 Determinarea  Determinarea clasei sec ţ iunii iunii Parametrul ε depinde de limita de curgere a materialului: ε=

235 235 = =1 235  f  y [N/ [N/mm2 ]

NEd

Talpă în consol ă supusă la compresiune:

+ c Figura E.15.2. Vom

considera c= c t  f 

acoperitor

c,

neglijând

cordoanele

de

sudura

(a

=

0):

1  a  1 ⋅  b − t w − 2 ⋅ = ⋅ ( 200 − 6 ) = 87 mm 2  2 / 2  2 =

87 = 7, 25 < 9 ⋅ ε = 9 ⇒  talpa clasa 1 12

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2 Perete interior supus la încovoiere si compresiune:

Figura E.15.3. Variatia inaltimii comprimate 0,85

     α α

0,8

0,75

0,7

0,65

0,6 0

1000

2000

3000

4000

5000

6 00 0

Deschiderea (mm)

Figura E.15.4.

Pentru determinarea clasei sec ţiunii se folosesc urm ătorii parametrii: 150 ⋅ 103 d  N  = 106,38 mm = = 106,38 tw ⋅ f y 6 ⋅ 235  N  Ed 

α=

d N + d w

2 ⋅ d w

d w = h − 2 ⋅ t f 

> 0,5  - înălţimea comprimata

 înălţimea inimii se calculează în fiecare sec ţiune i, cu relaţia: hi ∈ [ hmax , hmin ] d w t w

= ⇒

d w,i = hi − 2 ⋅ t f

, unde  

inima clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2 In figura următoare sunt prezentate rapoartele maxime intre în ălţime si grosime pentru clasele de sec ţiune. Se poate observa varia ţia clasei sec ţiunii transversale pe deschiderea grinzii: Determinarea clasei sectiunii 70

  e   m    i   s   o   r   g     e 60   m    i    t   a    l   e    l   e    t   r   a   o 50   p   a    R    /    i    i   m    i   n    i   a 40   e    t   e    t    l   e   v    Z

Clasa 4 Clasa 3 Clasa 2 Zveltetea inimii

30 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Deschiderea x (mm)

Figura E.15.5. Funcţie de clasa de sec ţiune se stabile şte rezistenta elementului identificându-se sec ţiunea periculoasa de raport maxim intre solicitare si capacitate. Elementul este supus la încovoiere cu forţa axiala. 

Capacitatea sec ţ iunii iunii transversale. Verificarea de rezistenta.

Pentru secţiunii de clasa 1 sau 2 curba de interac ţiune moment încovoietor – for ţa axiala arata astfel:

N (Nmax,My,max = MNy,Rd)

(NEd,MEd) My

Figura E.15.6. Perechea de eforturi ( N max max , M   y,max) din figura se determina prin rezolvarea urm ătorului sistem de ecua ţii:  N   1 − max   N  pl  M y,max = M N , y ,Rd = M pl , y ,Rd ≤ M pl , y ,Rd ; 1 − 0.5 ⋅ a    N max N  =  Ed    M y ,max M y ,Ed 

unde

a = ( A − 2bt f  ) / A

 

SREN 1993-1-1 § 6.2.9.1(5) Momentul capabil al sectiunii transversale

2,70E+08

2,50E+08

   )   m   m    N    (    l    i    b   a   p   a   c    l   u    t   n   e   m   o    M

2,30E+08

Momentul redus Momentul capabil plastic

2,10E+08

1,90E+08

1,70E+08

1,50E+08

1,30E+08

1,10E+08

9,00E+07 0

1 00 0

2000

3000

4000

5000

6000

Deschiderea (mm)

Figura E.15.7 In situaţia in care for ţa axiala nu influen ţează momentul încovoietor capabil (vezi SREN 1993-1-1 §6.2.9.1 (4)) atunci  M N , y ,Rd = M pl , y ,Rd  , cazul de fata.



Gradul de utilizare a sec ţ iunii iunii transversale se determina astfel: 2

Pentru xi > 1200 mm (clasa 1 sau 2)  R = Pentru xi < 1200 mm (clasa 3 sau 4)  R =

2

 N Ed + M y , Ed  2 2  N m ax + M  y ,max

 N Ed  A ⋅ f y

+

M Ed  Wel , y ⋅ f y

≤ 1, 0 ≤ 1, 0

Coeficientul de utilizare a sectiunii

   i    i   n   u    i    t   c 0,6   e   s   a   e   r   a 0,5   z    i    l    i    t   u   e    d 0,4    l   u    t   n   e    i   c    i    f 0,3   e   o    C 0,2

0,1

0 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Deschiderea (mm)

Figura E.15.8. Secţiunea cea mai solicitata se afla la  xcr  = 3600 mm având gradul de solicitare maxim m axim  Rmax = 0,543. 

 Determinarea  Determinarea parametrilor necesari necesari verific verific ării de stabilitate Se considera propriet ăţile secţiunii transversale (la  xcr   =

3600 mm) in care se face verificarea si o sec ţiune echivalenta pentru determinarea propriet ăţile secţiunii necesare determinării eforturilor critice. Sec ţiunea cea mai solicitata s-a determinat in urma verific ărilor de rezistenta. Caracteristicile geometrice ale sec ţiunii sunt: h = 280,0 mm Înălţimea hw = 256,0 mm Înălţimea inimii b = 180,0 mm Lăţimea tălpilor t w = 6,0 mm Grosimea inimii t f f = Grosimea tălpilor    = 12,0 mm Aria Momentul de iner ţie / yy Momentul de iner ţie / zz Momentul de iner ţie la torsiune Moment de iner ţie sectorial Modul de rezisten ţă elastic / yy Modul de rezisten ţă plastic / yy Raza de giraţie /yy Raza de giraţie /zz

2

 A = 58,56 cm 4  I y = 8601 cm 4  I z = 1167 cm 4  I t = 22,9 cm 6  I w = 209500 cm 3 W el,y el,y = 614,4 cm 3 W pl,y pl,y = 677,2 cm iy = 12,12 cm iz = 4,46 cm

Modulul de elasticitate 

 E  =  = 210000 N/mm

2

 Rezistenta caracteristica caracteristica a sec ţ iunii iunii transversale  N Rk = A ⋅ f y = 5856 ⋅ 235 = 1376 kN  3

 M Rk = W pl , y ⋅ f y = 677 ⋅ 10 ⋅ 235 = 159,14 kNm 

ăţ ii Pierderea stabilit ăţ  ii prin încovoiere-r ăsucire

Se calculeaz ă un moment de iner ţie echivalent dup ă axa de iner ţie maxima yy, cu ajutorul următoarelor expresii: 18922 ⋅ 104 = 0,465  I  y ,max 4095 ⋅ 104 C = (0, 08 + 0, 92r ) = 0, 08 + 0, 92 ⋅ 0, 465 = 0, 508  I  y ,min

r =

=

 I y ,eq = C ⋅ I y ,max = 0, 508 ⋅18922 ⋅ 104 = 9612 ⋅ 104 mm 4

•

ăţ ii  Determinarea  Determinarea efortului axial critic de de pierdere pierdere a stabilit ăţ  ii prin încovoiere si a factorilor de reducere

o

 După axa maxima de iner  ţ ie ie yy 2

 N cr , y =

λ y =

π  ⋅ E ⋅ I  y ,eq 2  Lcr ,y

 N  Rk 

=

 N cr , y

3,142 ⋅ 2,1⋅ 105 ⋅ 9612 ⋅ 104 = = 5534 5534 kN 60002

1376 ⋅ 103 = 0,499 5534 ⋅ 103

Curba de flambaj b, factorul de imperfec ţiune α y = 0,34; φ y = 0, 5 ⋅ 1 + α y ⋅ (λ y − 0, 2) + λ 2y  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 34 ⋅ (0, 499 − 0, 2) + 0, 4992  = 0, 675 χ y = o

1 2

=

2

φ y + φ y − λ y

1 2

0, 675 + 0, 675 − 0, 499

2

= 0,885

 După axa minima de iner  ţ ie ie zz  N cr , z =

λ y =

π 2 ⋅ E ⋅ I  z ,min 2

 Lcr , y

 N  Rk   N cr , y

=

3,142 ⋅ 2,1 ⋅ 105 ⋅1167 ⋅ 104 = 671 671,74 kN 60002

1376 ⋅ 103 = = 1,431 671 671,74 ⋅ 103

Curba de flambaj c, factorul de imperfec ţiune α y = 0,49; φ y = 0, 5 ⋅ 1 + α y ⋅ (λ y − 0, 2) + λ 2y  = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 49 ⋅ (1, 431 − 0, 2) + 1, 4312  = 1, 826 χ y = 

•

1 φ y + φ y2 − λ 2y

=

1 1, 826 + 1, 8262 − 1, 4312

= 0,338

Factorii de reducere pentru flambajul prin încovoiere-r ăsucire  Momentul critic elastic elastic de flambaj prin încovoie-r  încovoie-r ăsucire

Pentru calculul momentului critic se folosesc caracteristicile geometrice ale unei sec ţiuni echivalente, pentru care se calculeaz ă heq , urmând următoarea procedur ă: h 200 γ = min = = 0,5 hmax

400

0, 283 + 0, 434 γ + 0, 283 γ2 =

heq = hmax

= 400 ⋅ 0, 283 + 0, 434 ⋅ 0, 5 + 0, 283 ⋅ 0, 52 = 302, 2 mm

Momentul de iner ţie la torsiune se calculeaz ă ca media aritmetica a momentelor de iner ţie minim si maxim:  IT = IT ,eq =

23, 62 ⋅104 + 22,18 ⋅104 = = 22,9 ⋅ 104 mm4 2

 IT ,max + I T ,min

2

Momentul de iner ţie sectorial se calculeaz ă cu caracteristicile geometrice ale sec ţiunii cu  înălţimea echivalenta heq. secţiunii cu o ax ă de simetrie, momentul de iner ţie sectorial poate fi calculat cu urm ătoarea formulă:  I w =

 I z ,eq ⋅ (heq − t f  )2

4

 M cr  = C 1 ⋅

2

1166, 94 ⋅104 ⋅ ( 302 − 12 ) = = 245 245,68 ⋅ 109 mm6 4

π2 ⋅ E ⋅ I  z ,min 2

 Lcr , LT  

= 1,127 ⋅

⋅

 I w,eq  I  z ,min

2

+

Lcr , LT   ⋅ G ⋅ I t ,eq

π2 ⋅ 2,1 ⋅ 105 ⋅ 1167 ⋅ 104

60002

π2 ⋅ E ⋅ I  z ,min

=

245, 68 ⋅ 109 60002 ⋅ 80770 ⋅ 22, 9 ⋅ 104 ⋅ + 2 = 167 kNm 1167 ⋅104 π ⋅ 2,1 ⋅ 105 ⋅ 1167 ⋅ 104

Zvelte ţea redus ă pentru flambajul prin încovoiere-r ăsucire se determină  cu următoarele relaţii: 159, 159,14 14 ⋅ 106 λ LT  = = = 0,976  M cr  167 ⋅106  M  Rk 

In cazul general valorile χ  LT  pentru zvelteţea redusă  corespunz ătoare pot fi determinate astfel: χ LT  =

1 2 2 φ LT  + φ LT − λ LT 

unde: 2  φ LT = 0, 5 ⋅ 1 + α LT ⋅ (λ LT  − 0, 2) + λ LT  

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2(1) α LT  factorul de imperfec ţiune pentru pierderea stabilit ăţii prin încovoiere-răsucire: Pentru profile I sudate

hmax b

=

400 = 2, 222 ≥ 2 ⇒ curba c ( α LT  = 0,49) 180

SREN 1993-1-1 Tabel 6.4 φ LT = 0,5 ⋅ 1 + α LT  ⋅ (λ LT − 0, 2) + λ LT   = 0, 5 ⋅ 1 + 0, 49 ⋅ (0 ( 0, 976 − 0, 2) + 0, 9762  = 1,167 2



1

χ LT  =

2

=

φ LT + φ LT  − λ LT  







1 2

2

1,167 + 1,167 − 0, 976

= 0,553

 Efortul axial critic de flambaj elastic prin r ăsucire se determin ă:

 I y ,eq = I y ( heq ) = 10180 0180 ⋅ 104 mm 4

 π2 ⋅ E ⋅ I w,eq   G ⋅ I t ,eq + =  N cr ,T = 2   I y ,eq + I z , min   Lcr ,T    2 5 9  59, 89 ⋅ 102 4 π ⋅ 2,1 ⋅ 10 ⋅ 245, 68 ⋅ 10 =  80770 ⋅ 22, 9 ⋅ 10 + 10180 ⋅ 104 + 1167 ⋅ 104  60002  Aeq

  = 1722, 8 kN  



Calculul factorilor de interac ţ iune iune k  yy  şi k  zy

Factorii de interac ţiune k  yy , k  yz , k  zy , k  zz se pot calcula folosind una dintre metodele prezentate in SR EN 1993-1-1, Anexa A si Anexa B.

E.16. Calculul unui stâlp cu secţ secţiune transversală transversală de tip C formată format ă la rece, solicitat la compresiune cu încovoiere 

 Descrierea  Descrierea problemei problemei

Exemplul descrie calculul unui montant de perete exterior solicitat la compresiune cu  încovoier  înco voieree uniaxial uniax ial ă. Montantul de perete se consider ă că  este articulat la capete, iar sec ţiunea transversal ă este realizat ă din dou ă profile cu pere ţi subţiri formate la rece de tip C, dispuse spate-în-spate. Pentru acest exemplu, leg ătura dintre cele dou ă  profile, în lungul barei, se consider ă rigidă (de exemplu îmbinare realizat ă prin sudur ă). În Figura E.16.1(a) se prezint ă schema static ă şi încărcarea ce ac ţioneaz ă pe montant. 

Schema statică

(a) (b) Figura E.16.1. Schema static ă şi secţiunea transversal ă 

 Datele problemei problemei

Marca oţelului Modulul de elasticitate Coeficientul lui Poisson

S355 0, 3  ν = 0,3

Modulul de elasticitate transversal

G =

 E  =  = 210000 N

Înălţimea montantului Deschiderea plan şeului Distanţa dintre grinzile de plan şeu Încărcarea distribuit ă aplicată pe planşeu: - încărcarea permanent ă – planşeu uşor:

 E 

2 (1 + ν )  H  =  = 3 m  L = 4 m S  =  = 0,6m

mm2

= 81000 N mm2

0, 75 75 k N m2 qG = 0, 75 × 0, 6 = 0, 45 kN kN m

- încărcarea utilă:

3 kN kN m2 qQ = 3 × 0, 6 = 1, 80 k kN Nm

Forţa concentrat ă corespunz ătoare stării limită ultime, provenit ă de la nivelul superior şi de

la acoperi ş: Q = 5,0kN

0, 4422 kN m2 qw = 0, 42 × 0, 6 = 0, 252 kN kN m

Presiunea uniform ă a vântului: 

 Dimensiunile  şi caracteristicile geometrice ale sec ţ iunii iunii transversa t ransversale le

Înălţimea totală a inimii Lăţimea totală a tălpii Lăţimea totală a rebordului Raza interioar ă Grosimea nominal ă Grosimea miezului de o ţel (conform §3.2.4(3) din EN1993-1-3) 

b = 40 mm c = 15mm r  =  = 3 mm t nom = 1,2 mm t  =  = 1,16 mm

Caracteristicile geometrice ale sec ţ iunii iunii transversale brute:

Aria secţiunii transversale brute: Razele de gira ţie: Momentul de iner ţie în raport cu axa maxim ă de inerţie y-y: Momentul de iner ţie în raport cu axa minimă de inerţie z-z: Momentul de iner ţie sectorial: Momentul de iner ţie la răsucire: 

h = 150 150 mm

 A = 592 592 mm2 iy = 57,2 57,2 mm ; iz = 18mm  I y = 1, 936 × 106

mm4

 I z = 19,13 × 104

mm4

 I w = 4, 931 × 108

mm6

 I t = 266 266 mm4

Caracteristicile geometrice ale sec ţ iunii iunii transversale eficace:

Conform §5.5.3.1, §5.5.3.2 din EN1993-1-3 şi §4.4 din EN1993-1-5, respectiv conform modelului de calcul prezentat în Exemplul E.x. Aria eficace a sec ţiunii transversale solicitate doar la compresiune rezult ă:  Aeff,c = 322 322 mm2

Modulul de rezisten ţă  eficace, din solicitarea de încovoiere dup ă  axa maximă  de inerţie rezultă: W eff,y,c = 22268 22268 mm3  în raport cu talpa comprimat comprimat ă:  în raport cu talpa întins ă:

W eff,y,t = 255 25580 80 mm3

⇒ Weff,y,min = min (Weff,y,c ,W eff,y,t ) = 22268 mm3 

Caracteristici mecanice - limita de curgere

Marca de oţel S355 Deoarece grosimea maxim ă a pereţilor secţiunii transversale este 1.0 mm ≤  40 mm, limita de curgere este  f  y = 355 N/mm2 SREN 1993-1-1 Tabel 3.1 

Coeficien ţ ii ii par  ţ iali iali de siguran ţă

γ  M0 = 1,00 γ  M1 = 1,00

SREN 1993-1-3 § 2(3)

γ G = 1,35  – încărcări permanente γ Q = 1,50  – încărcări variabile

SREN 1990

Forţa concentrat ă totală, de compresiune, aplicat ă montantului, conform EN1990, se calculează astfel:  N Ed = ( γ G qG + γ Q qQ ) L

2 + Q = (1, 35 × 0, 45 + 1, 50 × 1, 80 ) × 4 2 + 5 = 11, 62kN

Momentul încovoietor maxim, din înc ărcarea din vânt este:  M Ed = γ Q qw H 2 

8 = 1, 5 × 0, 252 × 32 8 = 0, 43 kNm

Verificarea erifica rea rezisten ţ ei ei sec ţ iunii iunii transversale: transversale:

Următorul criteriu trebuie îndeplinit:  N Ed  N c,Rd

+

 M y,Ed + ∆M y,Ed M cy,Rd,com

≤1

SREN 1993-1-3 §6.1.9 unde:  N c,Rd = Aeff f yb γ M0

SREN 1993-1-3 §6.1.3  M cz,Rd,com = Weff,com f yb / γ M0

SREN 1993-1-3 §6.1.4 iar, conform §6.1.9(2) din EN1993-1-3, reprezint ă  momentele adi ţionale ∆ M y,Ed = NEd eNy , datorate deplas ării centrului de greutate eNy   pe axa y-y. (pentru acest caz particular, datorit ă faptului că secţiunea transversal ă este dublu simetric ă, eNy = 0 ). Verificarea rezisten ţei: 11, 62 × 103 0, 43 × 106 + 0 + = 0,158 < 1 322 × 350 1, 0 22268 × 350 1, 0 

– verifică

ăţ ii Verificarea erifica rea rezisten ţ ei ei barelor la pierderea stabilit ăţ  ii generale

Elementele solicitate la compresiune cu încovoiere uniaxial ă trebuie să satisfacă următoarele condi ţii:  M y,Ed + ∆M y,Ed  N Ed + k  yy ≤1  N Rk M y,Rk χ y

γ M1

χ LT

γ M1

 M y,Ed + ∆M y,Ed  N Ed + k  zy ≤1  N Rk M y,Rk χ z

γ M1

χ LT

γ M1

SREN 1993-1-1 §6.3.3 unde:  N Rk = f yb Aeff  = 350 × 322 = 112, 7 × 103

N = 112,7 kN

 M y,Rk = f ybW eff,y,min = 350 × 22268 = 7, 794 × 106

Nmm = 7,794kNm

∆ M y,Ed  – momentul adi ţional datorat deplas ării centrului de greutate; ∆ M y,Ed = 0

1

χ=

2

ϕ + ϕ −λ

2

 

dar

χ ≤ 1, 0

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 ϕ = 0, 5 1 + α ( λ − 0, 2 ) + λ 2 





α  – factor de imperfec ţiune

Zvelteţea redusă este: λ=

 Aeff f yb  N cr

 N cr  – efortul critic elastic asociat modului de 

flambaj relevant  Determinarea  Determinarea factorilor de reducer reduceree  χ  y , χ  z , χ T  T  Conform § 6.3.1.3 din EN1993-1-1:

•

Flambajul prin încovoiere încovoiere  Aeff f yb  Lcr =  N cr i

λF =

 Aeff  A

λ1

Lungimea de flambaj:  Lcr,y = Lcr,z = H  = 3000 3000 mm  E 

λ1 = π

210000 = 76,95 350

= π×

 f yb

Flambajul după  axa y-y, conform Tabelului 6.3 din EN1993-1-3 şi Tabelului 6.1 din EN1993-1-1: λy =

 Lcr,y

 Aeff  A

iy

λ1

=

322 592 592 3000 322 × = 0,503 57, 2 76, 95

α y = 0,21  – curba de flambaj a ϕ y = 0, 5 1 + α y ( λ y − 0, 2 ) + λ y 2  = 0, 5 × 1 + 0, 21 × ( 0, 503 − 0, 2 ) + 0, 5032  = 0, 658



χy =





1 2

ϕy + ϕy − λ y

2

=



1 2

2

0, 658 + 0, 658 − 0, 503

= 0,923

Flambajul după  axa z-z, conform Tabelului 6.3 din EN1993-1-3 şi Tabelului 6.1 din EN1993-1-1: λz =

 Lcr,z  Aeff  A

λ1

iz

=

322 592 592 3000 322 × = 1,597 18 76, 95

α z = 0,34  – curba de flambaj b ϕz = 0, 5 1 + α z ( λ z − 0, 2 ) + λ z 2  = 0, 5 × 1 + 0, 34 × (1, 597 − 0, 2) + 1, 5972  = 1, 923



χz =



1 2

ϕz + ϕ z − λ z

•

2

=





1 2

1, 923 + 1, 923 − 1, 597

2

= 0,334

Flambajul prin r ăsucire (conform §6.2.3(5) din EN1993-1-3):

 N cr,T =

1 

 GI t +

io 2 

π2 EI w 

 

lT 2

SREN 1993-1-3 §6.2.3(5) unde: 2

2

2

2

io = iy + iz + yo + zo  yo , zo  –

2

coordonatele centrului de t ăiere în raport cu centrul de greutate al sec ţiunii transversale

brute:  yo = zo = 0 io 2 = 57, 22 + 182 + 0 + 0 = 3594 mm2 lT = H  = 3000 3000 mm

Efortul critic elastic pentru flambajul prin r ăsucire este:  N cr,T

1  π2 × 210000 × 4, 4, 931 × 108  = ×  81000 × 266 + = 37, 59 × 103 N  2  3594  3000 

•

Flambajul prin încovoiere-r  încovoiere-r ăsucire sucire (conform §6.2.3(6) din EN1993-1-3)  N cr,TF = N cr,T Pentru secţiuni dublu simetrice:

Efortul critic elastic de flambaj este:  N cr = N cr,T = N cr,TF = 37,59 37,59 kN

Zvelteţea redusă este:  Aeff f yb

λT =

 N cr

=

322 × 350 = 1,732 37, 5599 × 103

αT = 0,34   –

curba de flambaj b  (conform Tabelului 6.3 din EN1993-1-3 şi Tabelului 6.1 din EN1993-1-1). ϕT = 0, 5 1 + α T ( λT − 0, 2 ) + λT 2  = 0, 5 × 1 + 0, 34 × (1, 732 − 0, 2) + 1, 7322  = 2, 259









Factorul de reducere pentru flambajul prin r ăsucire, respectiv încovoiere-r ăsucire este: χT = 

1 ϕT + ϕT 2 − λT 2

1

=

2, 259 + 2, 2592 − 1, 7322

= 0,269

 Determinarea  Determinarea factorului de reducer reduceree  χ  LT  , corespunz corespunzător flambajului lateral prin încovoiere-r ăsucire:

• χLT =

Flambajului lateral prin încovoiere-r ăsucire

1 2

ϕLT + ϕLT − λ LT

2

 

dar

χLT ≤ 1, 0

SREN 1993-1-1 §6.3.2.2 ϕLT = 0, 5 1 + αLT ( λLT − 0, 2 ) + λLT 2 





α LT = 0,34  – curba de flambaj b

SREN 1993-1-1 §6.3.2.2 (Tabelul 6.3)

Zvelteţea redusă este: λ LT =

Weff, eff,yy,min ,min f yb  M cr

 M cr  – momentul critic elastic pentru flambajul lateral prin încovoiere î ncovoiere-r  -r ăsucire

π2 EI z  I w L2GI t  M cr = C 1 + 2  I z  L2 π EI z

unde, pentru grinzi simplu rezemate, sub înc ărcări uniform distribuite  M cr = 1,127 ×

π2 × 210000 × 19,13 × 104

30002

4, 932 × 108 30002 × 81000 × 266 × + 19,13 × 104 π2 × 210000 × 19,13 × 104

 M cr = 2,75 kN kNm m

λ LT =

Weff, eff,yy,min ,min f yb  M cr

=

22268 × 350 = 1,683 2, 75 75 × 106

α z = 0,34  – curba de flambaj b

C 1 = 1,127 .

ϕLT = 0, 5 1 + αLT ( λLT − 0, 2 ) + λLT 2  = 0, 5 × 1 + 0, 34 × (1, 683 − 0, 2 ) + 1, 6832  = 2,169



χLT =





1 2

ϕLT + ϕLT − λ LT

2

=





1 2

2

2,169 + 2,169 − 1, 683

= 0,283

 Determinarea  Determinarea factorilor de interac interac ţ iune iune kyy  şi kzy – Metoda 1 din EN1993-1-1, Anexa A. µy

k yy = CmyC mLT

kzy = Cmy C mLT

1−

 N Ed  N cr,y

µz

1−

 N Ed  N cr,y

unde: 1− µy =

 N Ed  N cr,y

1 − χy

 N cr,y =

 N Ed

1−

;

µz =

 N cr,y

π2 EI y

=

 N Ed  N cr,z

1 − χz

 N Ed  N cr,z

π2 × 210000 × 1, 93 936 × 106

= 445, 8 × 103 N = 445,8 kN

 L2cr,y 30002 π2 EI z π2 × 210000 × 19,13 × 104  N cr,z = 2 = = 44 × 103 2  Lcr,z 3000

1− µy =

 N cr,y

1 − χy 1−

µz =

 N Ed  N Ed  N cr,y

 N Ed  N cr,z

1 − χz

 N Ed  N cr,z

Cmy = Cmy,0 + 2 CmLT = C m y

11,62 445,8 = = 0,998 11,62 1 − 0, 923 × 445,8 1−

11,62 44 = = 0,807 11,62 1 − 0, 334 × 44 1−

(1 − C my,0 )

ε y aLT

1 + ε y aLT

aLT

  N Ed   N   1 −  1 − Ed    N cr,z   N cr,T 

 N  11,62 C my,0 = 1 + 0, 03 Ed = 1 + 0, 03 × = 1, 001  N cr,y 445,8

0, 43 × 106 32 2 εy = = × = 0,591  N Ed W eff,y,min 11, 62 62 × 103 19956  I  266 aLT = 1 − t = 1 − =1  I y 1, 93 936 × 106  M y,Ed

 Aeff 

N = 44 kN

0, 591 × 1 =1 1 + 0, 591 × 1 1 C mLT = 12 × = 1, 401  11, 62   11, 62  1 − 44  × 1 − 37, 59      C my = 1 + (1 − 1, 001) ×

Factorii de interac ţiune sunt: k yy = CmyC mLT

kzy = Cmy C mLT



µy

1−

 N Ed  N cr,y

µz

1−

= 1 ×1, 1, 401 ×

 N Ed

= 1 ×1, 1, 401 ×

 N cr,y

0,998 = 1, 435 11,62 1− 445,8 0,807 = 1,161 11,62 1− 445,8

Verificarea la flambaj:

 M y,Ed + ∆M y,Ed  N Ed + k yy =  N Rk M y,Rk χ

11, 62 0, 43 + 0 + 1, 435 × = 0, 389 < 1 –verifică 112, 7 7, 794 0, 923 × 0, 283 × 1, 0 1, 0

 M y,Ed + ∆M y,Ed  N Ed + k zy =  N Rk M y,Rk χ

11, 62 0, 43 + 0 + 1,161× = 0, 532 < 1 – verifică 112, 7 7, 794 0, 334 × 0, 283 × 1, 0 1, 0

y

z

γ M1

γ M1

χ LT

χ LT

γ M1

γ M1

ANEXA I Coeficientul de zvelteţ zvelteţe transformat pentru barele cu secţ secţiuni cu o axă axă de simetrie supusă supusă la compresiune axială axială care flambează flambează prin încovoiere-ră încovoiere-răsucire Prezentul document descrie modalitatea de determinare a coeficientului de zvelte ţe pentru barele cu secţiuni cu o ax ă de simetrie supuse la compresiune axial ă care flambeaz ă prin încovoiererăsucire. Coeficientul de zvelte ţe transformat este dat de rela ţia:

λ tr  = π 

 EA  N cr 

 

(I.1)

 în care A aria secţiunii brute a barei: Ncr forţa critică de flambaj prin încovoiere-r î ncovoiere-răsucire calculat ă pentru o bar ă ideală în domeniul elastic     a 2   2  N cr , z + N cr ,T  − ( N cr , z + N cr ,T  ) − 41 − 2  N cr , z N cr ,T     (I.2)  N cr  =   a 2       io   21 − 2     io  

1

 în care:  N cr,z cr,z

forţa critică de flambaj în raport cu axa z-z, care se calculează cu relaţia:  N cr , z =

 N cr,T  cr,T 

π  EI  y   ( µ l ) 2

(I.3)

forţa critică de flambaj prin r ăsucire, care se calculeaz ă cu relaţia:  N cr ,T

 1  π 2 EI w = 2 + GI  t   io  ( µ l )2 

(I.4)

 

Astfel se poate ob ţine expresia direct ă pentru λ tr , cu relaţia:

λ tr  =

 µ l i z

2 2 c + io 

4c 2 [i p2 + 0.093( µ 2 / µ 02 − 1)a 2 ]  1 + 1 −   2 2 2 + c i ( )   o

2c 2

(I.5)

 în care: 2

c =

În relaţia (I.2) şi (I.5) notaţiile reprezintă: l lungimea barei;

 I w ( µ l )

2

 /( µ 0l0 ) 2 + 0.039( µ l ) 2 I t   I  z

 

(I.6)

l0 

 µ   µ 0

distanţa dintre punctele în care este împiedicat ă constructiv r ăsucirea barei în jurul axei longitudinale; coeficient acre multiplic ă  lungimea barei în func ţie de gradul de încastrare la capetele barei; coeficient care ţine seama de gradul de împiedicare a deplan ării barei;

i p = i y2 + i z2 i0 =  I  z  I t t 

i y2 + i z2 + a 2

momentul de inerţie al secţiunii în raport cu axa  z-z; momentul de inerţie la răsucire liberă a barei.

Valorile a şi I w pentru diferitele sec ţiuni uzuale sunt prezentate în Tabelul I.1. Valorile  µ  şi  µ 0  se aleg astfel: 1.00 în cazul legăturilor articulate la capete, r ăsucirea fiind împiedicat ă, deplanarea sec ţiunii fiind liberă; 0.50 când bare este încastrat ă la ambele capete pentru încovoiere şi deplanarea la r ăsucire este  împiedicată; 0.70 când bare este încastrat ă  la un cap ăt şi articulată  la altul pentru încovoiere, respectiv deplanarea este împiedicat ă la un capăt şi liberă la altul. Pentru legăturile intermediare se pot lua valori pentru  µ  şi  µ 0  între 0.50 şi 1.00. În cazurile  =  µ 0 . curente, în practic ă,  µ  =

Tabelul I.1: Caracteristicile sectoriale pentru diferite sec ţiuni uzuale Nr. crt.

Secţiunea

0

1

Centru de răsucire

2

3

.zC b

G

r  y

= ∫

( y2

+z

2

 I   y

4

)dA

5

ω  = 0

y

1

 A = 2bt  t

Momentul de inerţie sectorial

 I 

C b

Suprafaţa, centru de greutate, momente de inerţie

 z c

=

e=

b

4

2

3 3

t

z

Ţinând seama de grosimea pereţilor  I ω  =

bt

18

r   y

=−

b

2

2

3

=

A

144

C b.1

.zC

G y. C

2 t

y 3

 A = t (b1 + b2 )

t

 I ω  =

t 

36

(b13 + b23 )

.2 b z

r   y

 A = 2 ( bt + at a ) ; C

A

b

3

 Aa zC .e .

=

at a

y

 zc

G t a

Secţiunea contraindicată pentru flambaj prin  încovo  încovoier iere-r e-răsucire

Aa,Ia

.ta z

a

 I a

=

1 3

3

a t a

=

2 2taba

6 I  z

2

( 3b − 2a )

 Iω  = 2b I a +

( zc − e)

2

+

I z

⋅

=−

tb

4

10 I  y

⋅

2 b − e t a 2b − a ) a ( 2 − ⋅  I  y b−e 2

 2

⋅

 4

+

(b − a)

2

+

  3  b+ a  − e    3  2  10   

a 2

1 3

h

G=C

2

4

t

 I ω 

y

 A= t ( 2b + h )

2

 y C

=

z =0 C 

2

b h t  6 r y

sau  Iω 

1

=

=

b

h

= r z =

0

2

4

I 1

z

A ,I h

5

b

h

th

= tbb ;

 Ab

C e

G

.zc y

+ 2 Ab

 A = Ah

h  ; I h  2

=

 I b

Ab 

=

 I z

h z

6

 Ab

2

3

3

e=

−e

2

 I 2

 Ah

+ 2 A2

 A

 Iω  =

h 3 t1b1

3 t2b2

b  + A2  + c 12 2 

 yc



2

3

z

 I 2h

 I z  I y

=

=

2 3

=

t2 b2 12

2I h 3

+ 2 I h I b

3

+

 I  z

+

+ A1 + 2 A2

b  ;  I 1 = 2 12

=

 I  z

b

2 b  Ib

 I  y

{e ( Aye 2 + I h  )

( 2e − b ) I b + t b

 e4 − ( b − e )4    

2 

= t2b2

Ah 

=

= e+

2

 I ω  =

1

A

2

 I h

 I b

=

r y

=0

2I b ;

= th h ; A1 = t1b1

C

 zc

12

 Ah

b tb

 yc

th h

=

=

3

b

 A

 I y

 A = 2 Ah

b .zc y A e th h Ah,IhbG . c .t2 Aa,Ia .b2

+

Ih

 A2

Ab,Ib

;e =

2

tb .

ti .

= th h

 Ah

h th

+

+

A2c

2I 2

+ 2 A2 h

=

e 1 +



=0;

b A

 I 2h

4 I z 

I z

2

 − 2h

2

−e

A

2

 I y + e2 A ⋅

4 

r y

b A 

=

2

⋅ 1 −

 + 2h2 I 2h −

 4 I  z  

 I 2h −2bch A2 + b heA  I  z 2

−4h

2

+ I 1 2

 zc

  

b

2 2  I 2h

 I  z

2

−

1  I  y

{e ( A1e2 + I1 )  +

+

( 2e − h ) I h +

+

t h  4 e 2 

−2

−

4 ( h − e )  −

( h − e ) [ I 2 +

+ A2

2 ( h − e ) 

}

= ta a ;

 Aa

= th h ;

 Ah

7

C Ab,Ib tb . .zc y A e h Ah,Ih G th . . ta Aa,Ia b a z

 A = 2 Ah

e=

Ab,Ib 8

h

.zc y

e G Ah,Ih ta . th . a,Ia A a b z

+

Ab

+ 2 Aa

+ 2 Aa

 Ah

 I h

=

 A

 b   I   ; b  2

Ah 

 I ah =

 I z  I y

=

ta a

3

12 =

2 3

=

+

2I h 3

h th

t a 3

 Iω  =

h

  

3

2

 I a

C tb . A

= tb b

 Ab

=

tb b

12

+2h

a

 yc

 b±a    2 

2

Aa 

+

=

0 ; zc

2 1  eAb

⋅

 I  z 

4

=

e+

  

− 2hI ah 

2

 I y + e2 A ⋅

4 

b A  2

⋅ 1 −

;

b

2

+

 4 I  z   

I ah

− 2bfh

2

Aa

+

 I ah 2 +b e + Ah  I  z

+ I b + 2I a 2

+ 2 Aa h − e

2

A

La calcularea valorii  I a  , semnele se iau astfel: semnul (+) pentru cazul 7  semnul ( − ) pentru cazul 8 

 f

=

a / 2

 f

= − a /

2

b .

9

h

y ti .t G=C z

 yc

=

0 ; zc

=

0

 Iω  =

h

2

4

I z

r y

= r z =

0

 Ah

 Ab

(bt − t a ) t t ; A   a

=

 A = Ah

t.a

 I h

ba. 10

ba t a ;

=

+ 2 Ab + 4 Aa 3

Ab,Ib

t Ah,Ih e G=C h Aa,Ia t t .

( h − tt ) t ;

=

y

. bt z

 I b

=

=

t ( h − t t  )

;

12

tb ( bt

3

)

− t a

12

;  yc

3

 I a  I z

=

=

0 ; zc

=

0

= I z

h  2  

2

+ 4I a

 b2     2

2

r y

= r  z =

0

;

12

 bt    2

2

2I b + 4 Aa 

=

 I y

ta ba

 Iω 

=

+ 4I a +

Ih 2

h  ( 2 Ab + 4 Aa ) 2  1   Ah =  h − ts + ti  t ;  2  +

11

bs. As,Is .ts A C .zc e y h G Ah,Ih t t.i .bi Ai,Ii z

 As

= bst s ; Ai = bi t i

 A = Ah e=

+

 Ah

As

Ai ;

+

+ 2 Ai

r y

h;

2 A

 yc 3

 1  t  h − ( ts + ti )  2    I h = ; 12

3

3

 I s

=

ts bs 12  I z

 I y

=

=

4I h

; I i Is

+

ti bi

=

12

;

+ I i

Ai h

2

−e

2

A

 zc

=

1

=

0

eI s − ( h − e ) I i   I  z

 Iω  =

 Ii I s  I  z

h

2

=

− Ai −

1  I  z

{zc I z + Ase3 −

( h − e)

3

}

4 ( h − e ) 

+

t 

e 4 −

4

b. s C

ts . 12

h.i

 As

y

G z =e h . ti .

 A = As

+

Ai ; e =

c

 I  z

=

 I ω  = 0

= bs t s : Ai = hi t i

3 ts bs

12

; I y

=

 Ai

2 A

3 ti hi

3

h

−e

2

 yc

=

0 ; zc

=

e

Cu luare în considerare a grosimii pereţilor

A

 I ω  =

z

3 3 ts bs

144

+

r y

3

+

3 3 ti hi

=

t i

1  I  y

{I z e + As e3 +

}

 e4 − ( h − e ) 4  

4 

36

b .

13

G=C

h

t2

y

2 2

 I r  =

t1

.

z

2b h t1 t 2 bt2

+

ht1 

 yc

=

zc

=

0

 I ω  = ⋅

b h

2 2

( bt2 − ht1 )

2

24

( bt2 + ht1 )

2

( bt1 − ht2  )

⋅

r y

= r z =

0

ANEXA II Lungimi de flambaj ale stâlpilor structurilor multietajate II.1 Baze teoretice Cazurile fundamentale pentru lungimile de flambaj ale barelor comprimate prezentate în capitolul 2 au un caracter teoretic, întâlnindu-se arareori în practic ă. Condiţiile reale de rezemare sau legare în structuri a barelor comprimate difer ă  de cele mai multe ori de cazurile fundamentale. Condi ţiile reale de rezemare se încadreaz ă  de regulă  între cazurile teoretice fundamentale, a şa cum se arat ă în Figura II.1.

Fig. II.1: Cazuri teoretice şi reale de rezemare Pentru determinarea lungimilor de flambaj a stâlpilor structurilor multietajate, trebuie f ăcută distincţia între structurile cu noduri fixe, sau cele cu noduri deplasabile. O structur ă  poate fi considerată  cu noduri fixe dac ă  este destul de rigid ă  la încărcări orizontale, pentru a putea considera orice eforturi suplimentare adi ţionale generate de deplas ările orizontale. Astfel, o structură poate fi considerat ă cu noduri fixe dac ă sistemul de contravântuire reduce deplas ările orizontale cu cel pu ţin 80% faţă  de aceea şi structură, având acelea şi elemente structurale de rezistenţă, dar necontravântuit ă. În aceast ă  situaţie, pentru calculul lungimilor de flambaj ale stâlpilor, se poate considera structura ca fiind împiedicat ă pentru deplas ări laterale, aşa cum se arată  în Figura II.2. Orice structur ă  care nu îndepline şte aceast ă  condiţie minimală  trebuie considerată în calcul ca fiind fi ind cu noduri deplasabile. Aşa cum se arat ă în Figura II.2, un stâlp dintr-o structur ă cu noduri fixe nu prezint ă deplasări relative ale punctelor de leg ătură cu restul structurii şi în aceast ă situaţie, valoarea coeficientului lungimii de flambaj va fi întotdeauna maxim 1. Stâlpul va fi astfel tratat ca o bar ă cu rezem ări elastice la rotire, dar cu reazeme rigide pentru deplasarea lateral ă, rigiditatea la rotire fiind dat ă de rigiditatea la încovoiere a elementelor cu care se interconecteaz i nterconecteaz ă stâlpul în structur ă (stâlpii şi grinzile de la nivelul superior şi inferior). Pentru structurile cu noduri deplasabile, a şa cum se arat ă în Figura II.3, un stâlp din structur ă prezintă  deplasări relative ale punctelor de leg ătura cu restul structurii şi în aceast ă  situaţie valoarea coeficientului de flambaj este întotdeauna mai mare sau la limit ă  egal cu 1 şi are o valoare nelimitat ă superior. Stâlpul va fi tratat ca o bar ă cu rezem ări elastice atât pentru rotire cât şi pentru deplasarea lateral ă. O metodă simplificată pentru calculul lungimilor de flambaj a stâlpilor din structurile în cadre multietajate a fost formulat ă de Wood (1974). Aceast ă formulare a fost introdus ă în Anexa E a versiunii ENV a EN1993-1-1 (ENV, 1992) şi este prezentat ă în continuare.

Fig. II.2: Condi ţii de rezemare pentru stâlpi din structuri cu noduri fixe

Fig. II.3: Condi ţii de rezemare pentru stâlpi din structuri cu noduri deplasabile

II.2 Determinarea lungimilor de flambaj ale stâlpilor structurilor multietajate cu metoda Wood Lungimea de flambaj  Lcr  a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri fixe poate fi ob ţinută din diagrama prezentată  în Figura II.4. Lungimea de flambaj  Lcr   a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri deplasabile poate fi ob ţinută din diagrama prezentat ă în Figura II.5. Factorii de distribuţie a rigidităţii η 1 şi η 2 (Figura II.6) sunt ob ţinuţi cu relaţiile:

η 1 = η 2 =

K C  + K 1 K C  + K 1 + K 11 + K 12

 

K C  + K 2 K C  + K 2 + K 21 + K 22

(II.1)

 

(II.2)

Articulat 1,0

1     , 0    0     , 9    5    

0,9

η1

0     , 9    0     , 8    5    

0,8 0     , 8   

0,7 0     , 7     5    

0,6 0     , 7     0     , 6     7     5    

0,5

0     , 6     5     0     , 6     2    5    

0,4 0     , 6     0     , 5     7     5    

0,3

0     , 5     5    

0,2 0     , 5     2    5    

0,1 Incastrat 0,0

0     , 5    

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

Incastrat

0,8

0,9

1,0 Articulat

η2

Fig. II.4: Raportul Lcr /L dintre lungimea de flambaj şi lungimea teoretică a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri fixe Articulat 1,0

5      , 0    4     , 0   

0,9

η1

3     , 0    2     ,  8    2     , 6     2     , 4    2     , 2   

0,8

2     , 0    1     , 9    1     , 8   

0,7

1     , 7     1     , 6    

0,6

1     , 5    

0,5

1     , 4   

0,4

1     , 3    1     , 2    5    

1     , 2   

0,3

1     , 1    5    

0,2

1     , 1    1     , 0    5    

0,1 Incastrat 0,0

1     , 0   

0,0

Incastrat

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 ,8

η2

0 ,9

1,0 Articulat

Fig. II.5: Raportul l f /L dintre lungimea de flambaj şi lungimea teoretică a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri deplasabile

K1 K11

Factor de distributie η 1

K12 KC

Stalp de verificat

K21

K22 K1

Factor de distributie η2

Fig. II.6: Factori de distribu ţie pentru stâlpii continui Când grinzile nu sunt solicitate la eforturi axiale, rigiditatea lor poate fi determinat ă în conformitate cu Tabelul II.1, respectiv Tabelul II.2, cu condi ţia rămânerii în domeniul elastic a grinzilor sub acţiunea momentelor de calcul. Tabel II.1

Caz

Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri fixe θ

θ

1 θ

 I  K  = 0.5  L  I  K  = 0.7  L

2 θ

 I  K  = 1.0  L

3

Tabel II.2

Caz

Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri deplasabile θ

1 θ

2

θ

 I  K  = 1.5  L  I  K  = 0.75  L

θ

3

 I  K  = 0.75  L

Pentru structurile cl ădirilor în cadre rectangulare cu plan şee din beton, cu topologia structurii regulată şi încărcare uniformă, se pot adopta, pentru grinzi, rigidit ăţile din Tabelul II.3. Tabel II.3

Rigiditatea K a unei grinzi dintr-o structură structură cu planş planşee din beton armat Structură cu noduri fixe

Condiţii de încărcare pentru grind ă

Structură cu noduri deplasabile

Grinzi care suport ă direct planşeul din beton armat

1.0

Alte grinzi încărcate direct

0.75

1.0

Grinzi solicitate numai la ac ţiunea momentelor de la extremit ăţi

0.5

1.5

 I 

1.0

 L  I 

 I 

 L  I 

 L  I 

 L  I 

 L

 L

Dacă momentul de calcul al unei grinzi dep ăşeşte momentul de rezisten ţă elastic Wel f y / γ  M 0  , se poate considera grinda articulat ă în acel punct. Dacă grinzile sunt supuse la eforturi axiale, rigiditatea lor trebuie corectat ă în consecin ţă. Pentru aceasta se pot utiliza func ţiile de stabilitate. O alternativ ă simplă constă în neglijarea surplusului de rigiditate datorat întinderii axiale şi considerarea efectelor compresiunii axiale cu valorilor aproximative prezentate în tabelele II.4 şi II.5. Tabel II.4

Caz

Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri fixe θ

θ

1.

 I  N   K  = 0.5 1 − 1.0   L  N   E  

θ

 I  N   K  = 0.75 1 − 1.0   L  N  E  

θ

 I  N   K  = 1.0 1 − 1.0   L  N   E  

2.

3.  în care:  N  E  = π 2 EI   L2

Următoarele relaţii se pot utiliza ca alternativ ă la valorile date în diagramele din Figurile II.4 şi II.5: (a) cadre cu noduri fixe: l f   L

=

 1 + 0.145(η1 + η 2 ) − 0.265η1η2        η η η η 2 − 0 . 3 6 4 ( + ) − 0 . 2 4 7 1 2 1 2 

(II.3)

(b) cadre cu noduri deplasabile: 1 − 0.2(η1 + η 2 ) − 0.12η1η2   =   L 1 − 0.8(η1 + η2 ) + 0.60η1η2   l f 

0.5

 

(II.4)

Tabel II.5

Caz

Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri deplasabile θ

θ

 I  N   K  = 1.5 1 − 0.2   L  N   E  

1. θ

 I  N   K  = 0.75 1 − 1.0   L  N  E  

2. θ

 I  N   K  = 1.0 1 − 0.4   L  N  E  

3.  în care:  N  E  = π 2 EI   L2

II.3 Metoda Merchant - Rankine Metoda Merchant-Rankine (Merchant, 1954), este o procedur ă  practică  de proiectare care permite determinarea rezisten ţei ultime a unei structuri multietajate cu noduri deplasabile, în ipoteza că  toate îmbinările structurii sunt perfect rigide. Înc ărcarea ultimă  a structurii care cedeaz ă  printr-o formă  de instabilitate inelastic ă  se determină  funcţie de încărcarea critică elastică a structurii şi de încărcarea de cedare a structurii prin configura ţie de mecanism, ob ţinută printr-o analiză plastică de ordinul I. Valoarea multiplicatorului înc ărcării de calcul pentru a provoca cedarea structurii α f  (corespunzător încărcării ultime) se calculeaz ă cu expresia: 1 α  f 

=

1 0.9 +   α cr  α  p

(II.5)

 în care: αcr  α p

este coeficientul de multiplicare al înc ărcărilor de calcul pentru a provoca instabilitatea elastică a structurii; este coeficientul de multiplicare al înc ărcărilor de calcul pentru a provoca cedarea structurii prin configuraţie de mecanism (analiza plastica de ordinul I).

Limitele de aplicare a acestei metode sunt: 0.4 ≤

α cr  ≤ 10   α  p

(II.6)

Structura este corespunz ătoare din punct de vedere al rezistentei şi stabilităţii dacă  valoarea multiplicatorului α f  este cel pu ţin unitara. Dacă  structura este cu noduri fixe, este de a şteptat ca raportul αcr  / α p să  fie mare. În aceste condiţii încărcarea ultimă  de cedare a structurii va fi apropiat ă  de încărcarea de cedare a structurii prin configura ţie de mecanism, ob ţinută  printr-o analiz ă  plastică  de ordinul I. Dac ă structura este cu noduri deplasabile, este de a şteptat ca raportul αcr  / α p să  fie mic. În aceste condiţii încărcarea ultimă  de cedare a structurii va fi apropiat ă  de încărcarea critică  elastică a structurii (Maquoi şi Jaspart, 2002). Verificarea unei structuri multietajate este relativ u şor de efectuat cu aceasta metod ă, în condiţiile în care exist ă  la dispozi ţie un program de calcul numeric adecvat pentru analiza de flambaj şi analiză plastică. Limitările metodei exclud stâlpii cu zvelte ţe foarte mare şi de aceea nu este necesar s ă  se ia în considerare efectele de ordinul II cauzate de imperfec ţiunile elementelor sau de deplas ări.

ANEXA III Lungimi de flambaj ale stâlpilor structurilor parter În cazul barelor cu efort de compresiune constant în lungul lor (a se vedea Figura III.1a), coeficientul de flambaj  µ  se prezint ă în Tabelul III.1.

P2 l.g2

P2

Is P1 .l2

l.g1 Ig1

Ig2 Is

Is

.ls

.l1

l

P2

I2 P1

.l2

I1

.l1

P1+P1

l

I2

P1 .l2

I1

.l1

P1+P1

l

P1+P1

a)

b) c) Fig. III.1: Determinarea lungimii de flambaj a) şi b) stâlpi cu sec ţiune constant ă; c) stâlpi cu sec ţiune variabil ă Tabelul III.1: Coeficien ţi de flambaj  µ   pentru stâlpii carelor cu un nivel cu sec ţiune constant ă şi cu încastrare elastic ă la partea superioar ă Coeficienţi  µ   pentru stâlpii carelor cu un nivel cu sec ţiune constant ă şi cu încastrare elastică la partea superioar ă k  =

r g r s

  I g1  I g 2   l s  +  l g1 l g 2  I s    

=

0

0.2

0.3

0.5

1.0

2.0

3.0

10.0

2.0 1.50 - 3.42

1.40 3.0

1.28 2.63

1.16 2.33

1.08 2.17

1.06 2.11

1.0 2.0

Prindere în funda ţie  încastrată articulată

În cazul barelor cu efort de compresiune variabil, discontinuu în lungul lor (a se vedea Figura III.1b), coeficientul de flambaj  µ  se prezintă în Tabelul III.2.

Tabelul III.2 Coeficienţi  µ  pentru stâlpii (conform Fig. III.1b) Condiţii de rezemare l2 P1 ≤3 Capătul Capătul superior l1 P2 interior cu rotiri şi deplasări libere 0.3 1.8 0.6 1.5 1.0 1.3 cu rotiri împiedicate şi 0.3 1.0 deplasări libere 0.6 0.9 1.0 0.8 Încastrat cu rotiri libere şi deplasări 0.3 0.6  împiedicate 0.6 0.5 1.0 0.5 cu rotiri şi deplasări 0.3 0.5  împiedicate 0.6 0.4 1.0 0.4

P1 P2

=1

2.,0 1,7 1,6 1.2 1.0 0.,9 0.6 0.6 0.6 0.5 0.4 0.4

În cazul barelor cu sec ţiune în trepte, lungimile de flambaj depind de raportul dintre rigidit ăţile părţii superioare şi ale părţii inferioare ale stâlpului, de felul leg ăturii la cele două extremităţi, respectiv de raportul P1 / P2. (a se vedea Figura III.1c). Valorile coeficien ţilor  µ 1 şi  µ 2   sunt prezentate în tabele detaliate în STAS 10108/0-78, în func ţie de tipul de leg ătură între stâlpi şi riglă şi de posibilitatea de deplasare lateral ă a capătului superior al stâlpului (a se vedea Figura III.2).

a)

b) c) d) Fig. III.2: Legăturile la cap ătul superior al stâlpilor halelor a) rotiri şi deplasări libere; b) rotiri împiedicate şi deplasări libere; c) deplas ări împiedicate şi rotiri libere; d) deplas ări şi rotiri împiedicate. În cazul în care stâlpii cadrului au o singur ă treaptă (a se vedea Figura III.1c) şi sunt îndeplinite condiţiile l2 / l1 ≤ 0.6 şi P1 / P2 ≥ 3 , coeficien ţii de flambaj  µ  se pot lua din Tabelul III.3.

Tabelul III.3 Condiţii de fixare ale capetelor Capătul interior

Capătul superior

cu rotiri şi deplasări libere cu rotiri împiedicate şi deplasări libere Încastrat cu rotiri libere şi deplasări împiedicate cu rotiri şi deplasări împiedicate

Coeficienţi  µ  pentru: partea inferioară a partea stâlpului ( µ 1 )  când: superioară 0.3 ≥

 I 2  I 1

≥ 0.1

2.5 2.0 1.6 1.2

0 .1 >

 I 2  I 1

≥ 0.5

3.0 2.0 2.0 1.5

( µ 2 ) 3.0 3.0 2.5 2.0

ANEXA IV Lungimi de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu ză z ăbrele În Tabelele IV.1, IV.2 şi IV.3 se prezint ă, ca alternativ ă, lungimi de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu z ăbrele, în conformitate cu STAS 10108/0-78 şi NB51-002. În STAS 10108/0-78, pentru t ălpi comprimate, lungimea de flambaj în planul grinzii se consider ă ca fiind distan ţa dintre nodurile teoretice, iar în plan normal grinzii este distan ţa între nodurile de fixare împotriva deplas ărilor în acest plan. În Tabelul IV.1 se prezint ă lungimile de flambaj în planul grinzii şi transversal planului grinzii pentru diferite elemente componente comprimate ale grinzii cu z ăbrele. În Tabelul IV.2 sunt prezentate lungimile de flambaj în cazul zăbrelelor încruci şate. Tabelul IV.1: Lungimile de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu z ăbrele conform STAS 10108/0-78 Grinzi cu zăbrele elementul talpă  diagonale şi celelalte z ăbrele Direcţia de flambaj montanţi de reazem l f l l 0.8l În planul grinzi Transversal planului l1 l l grinzi  în care: l este lungimea elementului între nodurile teoretice l1 este distan ţa între nodurile fixate împotriva deplas ărilor în planul transversal grinzii

Tabelul IV.2: Lungimile de flambaj pentru z ăbrele încruci şate şi prinse la intersec ţii conform STAS 10108/0-78 Zăbrele încruci şate şi prinse la intersec ţii Schema grinzi Lungimea de flambaj în planul transversal grinzii caracteristica nodului de felul solicitărilor în barele care se intersecţie a diagonalei opun flambajului  întindere efort nul compresiune 0.5l 0.7l l ambele diagonale neîntrerupte bara care se opune flambajului este întreruptă şi barele sunt 0.7l l 1.4l legate între ele cu guseu Lungimea de flambaj în planul grinzii l f =l1 În Tabelul IV.3 se prezint ă lungimile de flambaj, în planul grinzii şi în plan perpendicular pe planul grinzii, conform normei belgiene NB51-002.

Tabelul IV.3: Lungimile de flambaj pentru în planul grinzii şi în plan perpendicular pe planul grinzii conform normei belgiene NB51-002 Caz Elementul considerat Lungime de flambaj 1

   i    i   z   n    i   r   g    l   u   n   a    l   p   n    î    j   a    b   m   a    l    F

2

talpă

l fl = 0.9l

diagonal ă marginală

l fl = 0.9l

montant sau diagonal ă

l fl = 0.9l

intersecţie de două bare prinse  în mijlocul lor

l fl = 0.5l

talpă cu noduri contravântuite

l fl = l

talpă la care un punct nu este contravântuit (F1>F2)

  F    l fl = l  0.75 + 0.25 2  F 

3

4

5

   i    i   z   n    i   r   g    l   u   n   a    l   p   e   p   r   a    l   u   c    i    d   n   e   p   r   e   p   n   a    l   p   n    î    j   a    b   m   a    l    F

6

 

1

 

7 montant sau diagonal ă 8

l fl = 0.9l

sau sau l

 F   l fl = l  0.85 − 0.35 t   F c  

intersecţie a unei bare întinse cu una comprimată

l fl ≥ 0.5l

 F   l fl = 0.9l  0.85 − 0.35 t   F c   l fl ≥ 0.45l

9

montant de zăbrelire în K (F1>F2)

  F    l fl = l  0.75 + 0.25 2  F   

1

 

ANEXA V Monogramele pentru coeficienţ coeficienţi C 1 şi C 2, pentru elemente structurale sub efectul combinat al momentelor încovoietoare aplicate la capete şi al încă încărcă rcărilor transversale direct aplicate În cazul unor situa ţii complexe, elemente cu momente la capete (elemente dublu încastrate sau porţiuni între două blocaje transversale) înc ărcate cu sarcini uniform distribuite sau concentrate, se recomand ă  procedura din www.access-steel.com www.access-steel.com   (SN003a-EN-EU – NCCI:  Elastic critical moment for lateral torsional buckling ). Pentru elemente structurale sub efectul combinat al momentelor încovoietoare aplicate la capete şi al încărcărilor transversale direct aplicate (vezi Figura V.1), coeficien ţi C 1 şi C 2, se pot ob ţine din monogramele prezentate mai jos (V.2-V.5). Se consider ă două cazuri distincte: Cazul a) momente încovoietoare la capete şi încărcărilor transversale uniform distribuite; Cazul b) momente încovoietoare la capete şi încărcări transversale concentrate la mijlocul deschiderii. q

 M

  M ψ  ψ M

 M

 F

 L

 L

(a)

(b)

ψ    M ψ M

Fig. V.1: Momente pe capete şi încărcări transversală Distribuţia momentului încovoietor poate fi determinat folosind doi parametri:  este momentul încovoietor de cap ăt ψ  este raportul momentelor de capăt. Prin definiţie, M  este maxim, şi astfel: -1 ≤ ψ ≤ 1 (ψ  =  = 1 pentru momentul încovoietor î ncovoietor uniform)  µ  este raportul dintre momentul datorat înc ărcării transversale t ransversale şi momentul încovoietor de capăt maxim, M . 2

Cazul a)

 µ  =

Cazul b)

 µ  =

qL

8 M  FL

4 M 

Conven ţie de semne pentru  µ :  µ > 0 dacă  M  şi încărcarea transversal ă (q  sau F ), ), considerate c ă acţionează individual, deformeaz ă  grinda în aceea şi direcţie (de exemplu ca în Figura V.1); dacă  M  şi încărcarea transversal ă (q  sau F ), ), considerate c ă acţionează  µ < 0 individual, deformeaz ă grinda în sensuri diferite. Coeficienţi C 1 şi C 2 au fost determina ţi pentru k  z = 1 şi k w = 1.

3.0

C1

2.5

2.0

1.5

0,1

0,2

0,3

1.4

µ

0

0,4 0,5 0,6

1.3

0,7 0,8 1,2

1.2

2

1 1,5 2

1.1

1.0 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

ψ M

0.2

0. 4

ψ 

M

0.6

0.8

1

ψ M

M

 µ  >  > 0

5.0 -1,1

C1

-1

4.5 -0,9

4.0

-0,8

-0,7

3.5 -0,6

3.0 -0,5 -0,4

2.5 -0,3

-1,2 -1,3

-0,2

-1,4

2.0

-0,1

µ

1.5

-1,5

 0

-1,6 -1,7 -1,8 -2

1.0 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

M

ψ 

0.2

0.4

M

M

0.6

0.8

1

ψ M

 µ  <  < 0 Fig. V.2: Momente pe capete şi încărcare uniform distribuită – Factorul C 1

0.5

C2 0.4

µ 2 1,5 1,2

0.3

1

0,9 0,8

0,7

0,6 0,5

0.2

0,4 0,3 0,2 0.1 0,1

0.0 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

M

ψ 

0.2

0.4

0.6

0.8

1

M

M

M

 > 0  µ  >

2.5

C2

-1,2

2.0

-1,1

-1

µ

-1,3

1.5

-1,5

-0,9 -1,2

-1,7 -1,4

-0,8

-1,6 -1,8

1.0

-1,9 -2

-0,7 -0,6

0.5

-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1

0.0 -1

- 0 .8

- 0 .6

- 0 .4

-0.2

0

M

0.2

0.4

M

ψ M

0.6

0.8

1

ψ M

 < 0  µ  < Fig. V.3: Momente pe capete şi încărcare uniform distribuită – Factorul C 2

3.0

C1 2.5

2.0

1.5

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

µ

0

1.4 0,7

0,8 1.3 2 1,5 0,9

1,2

2

1

1.2

1

1.1

C

0,2 0,1 1.0 -1

-0.8

- 0.6

- 0.4

-0.2

0

0.2

0.4

ψ 

ψ M

0 .6

0.8

M

M

M

1

 > 0  µ  >

4.0

C1 3.5

-1,1

-1,2

µ

-1 -0,9 -0,8

3.0

-0,7 -0,6 -0,5

2.5 -0,4

-1,3 -1,4

-0,3

-1,5

-0,2

2.0

-1,6

-0,1

-1,7

 0

-1,8 -2

1.5

1.0 -1

- 0.8

- 0.6

- 0.4

-0.2

0

0.2

0.4

M

M M

0.6

0 .8

1

ψ M

 µ  <  < 0 Fig. V.4: Momente pe capete şi încărcare concentrat ă la mijlocul deschiderii – Factorul C 1

0.5

C2

µ 2

0.4

1,5 1,2 1 0,9 0,8

0.3

0,7 0,6 0,5 0.2

0,4 0,3

0,2

0.1

0,1

0.0 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

ψ M

ψ 

0.2

0.4

0.6

0.8

M

M

M

1

 µ  >  > 0

2.5

C2 2.0

µ

-1,2

-1,4 -1,6

-1,3

-1,8

-1,5 -1,7

1.5

-2

-1,1 -1

-0,9

1.0 -0,8 -0,7 -0,6

0.5 -0,5

-0,4 -0,3 -0,1

0.0 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

M ψ M

ψ 

0.2

-0,2

0 .4

M

0.6

0.8

1

ψ M

 < 0  µ  < Fig. V.5: Momente pe capete şi încărcare concentrat ă la mijlocul deschiderii – Factorul C 2

ANEXA VI Clase de secţ secţiuni Clasificarea sec ţiunilor transversale se face func ţie de supleţea pereţilor secţiunii şi de distribuţia şi semnul tensiunilor σ . Prin supleţe, se înţelege raportul dintre l ăţimea şi grosimea peretelui. Aceast ă clasificare este necesar ă pentru a delimita sec ţiunile care pot avea incursiuni în domeniul elasto-plastic de celelalte sec ţiuni (subcapitolul 5.5 din SR EN 1993-1-1:2006). Sunt definite patru clase de sec ţiuni: • Clasa 1 – secţiuni care permit plastificarea lor şi dezvoltarea articula ţiilor plastice (rotire sub

efort constant), f ără  apariţia voalărilor, până  la atingerea unghiurilor de rotire plastic ă admisibile. • Clasa 2  – secţiuni care permit formarea articula ţiilor plastice, dar care au o capacitate de

rotire plastică  redusă şi nu permit redistribuirea plastic ă  a momentelor încovoietoare în structură. • Clasa 3 – secţiuni în care se pot dezvolta compresiuni în fibrele extreme pân ă  la nivelul

limitei de curgere (rezisten ţa critică de voalare se situeaz ă la nivelul limitei de curgere), f ără a se putea dezvolta îns ă articulaţii plastice. • Clasa 4 – secţiuni cu suple ţe mare la care fenomenul de voalare (caracterizat de rezisten ţe

critice cu valori inferioare limitei de curgere) împiedic ă atingerea limitei de curgere în fibra extremă comprimată. Tabelul VI.1 prezint ă sintetic clasele de sec ţiuni în termeni de comportare, moment capabil şi capacitatea de rotire. În ceea ce prive şte calculul de rezisten ţă  al secţiunilor (calculul ariilor, modulelor de rezisten ţă, momentelor de iner ţie), acesta se poate face în domeniul plastic sau în domeniul elastic, pe baza întregii sec ţiuni sau sec ţiunii eficace, dup ă cum se prezint ă în Tabelul VI.2. În tabelul VI.3 sunt date valorile maxime ale suple ţilor pereţilor barelor funcţie de forma secţiunii şi de distribuţia tensiunilor.

Tabelul VI.1: Clase de sec ţiuni în termeni de moment capabil şi capacitatea de rotire

Tabelul VI.2: Metoda de analiz ă globală şi modul de efectuare al calculului de rezisten ţă în funcţie de clasa sec ţiunii Clasa secţ secţiunii 1 2 3 4

(distribuţia tensiunilor pe secţiune la încovoiere)

Metoda de analiz ă globală plastică* elastică  elastică  elastică (calcul static) Calculul de rezisten ţă elastic cu (modul de determinare al plastic** plastic** elastic lăţime eficace tensiunilor) * se poate folosi, de asemenea, şi analiza global ă elastică ** se poate folosi, de asemenea, şi calculul de rezisten ţă în domeniul elastic

Tabelul VI.3: Rapoarte l ăţime-grosime maxime pentru pere ţii comprimaţi

*) ψ  ≤ -1 se aplic ă fie când tensiunea de compresiune σ  ≤  f  y, fie când deforma ţia specifică de  întindere ε y > f  y /  E.

Tabelul VI.3 (continuare)

Tabelul VI.3 (continuare)

ANEXA VII Calculul prin metoda elementului finit (MEF) În Anexa C a normei SR EN 1993–1–5 sunt prezentate recomand ări referitoare la modelarea şi calculul pe baza metodei elementului finit pentru starea limit ă  ultimă, starea limită de serviciu sau pentru verific ări la oboseal ă ale structurilor realizate din pl ăci. În continuare se prezint ă câteva aspecte importante referitoare la modelarea cu element finit a structurilor din bare. Alegerea metodei de calcul depinde de problema analizat ă. Această alegere poate fi bazat ă pe următoarele ipoteze (vezi Tabelul VII.1): Tabelul VII.1: Ipoteze referitoare la alegerea metodei bazate pe element finit (Anexa C a normei SR EN 1993–1–5) Comportarea Comportarea Imperfecţiuni, Nr. Exemple de utilizare materialului geometric vezi VII.1 1 liniar liniar nu efectul „shear lag” 1), rezistenţa elastică 2 neliniar liniar nu rezistenţa plastică la SLU 3 liniar neliniar nu încărcarea critică de voalare 4 liniar neliniar da rezistenţa elastică de voalare 5 neliniar neliniar da rezistenţa elasto-plastică la SLU 1)

 influenţa tensiunilor tangen ţiale asupra tensiunilor normale, din încovoiere.

În modelarea cu element finit, trebuie acordat ă o atenţie deosebit ă următoarelor aspecte: – modelarea componentelor structurale şi a condi ţiilor de margine ale acestora; – alegerea programului de analiz ă şi a documenta ţiei necesare; – introducerea imperfec ţiunilor; – modelarea propriet ăţilor materialelor; – modelarea încărcărilor; – modelarea criteriilor la starea limit ă; – coeficienţii parţiali care vor fi aplica ţi. În ceea ce prive şte modelarea, alegerea modelelor de EF (elemente de bar ă, suprafaţă  sau de volum) şi a dimensiunilor elementelor finite pentru discretizare, determin ă  acurateţea rezultatelor. Pentru validare, se poate efectua un studiu de sensibilitate cu rafinare progresiv ă. Modelarea cu element finit poate fi efectuat ă: – pentru structură, în ansamblul ei sau; – pentru o substructur ă, ca parte component ă a structurii. Condiţiile de margine, referitoare la reazeme, leg ăturile dintre elemente şi detaliile referitoare la introducerea încărcărilor, trebuie alese de o asemenea manier ă încât rezultatele ob ţinute să  fie realiste. Proprietăţile geometrice trebuie considerate cu valorile nominale. Toate tipurile de imperfec ţiuni trebuie să  fie conforme cu formele şi amplitudinile prezentate în Anexa VIII şi subcapitolul VII.1. Proprietăţile materialelor şi comportarea materialului trebuie s ă  fie conforme cu cele prezentate în Figura VII.1. Programul de calcul trebuie s ă  fie corespunz ător analizei dorite, iar fiabilitatea acestuia trebuie demonstrată.

VII.1 Utilizarea imperfecţ imperfecţiunilor Atunci când în modelul cu EF trebuie incluse imperfec ţiuni, acestea trebuie s ă  includă  atât imperfecţiunile geometrice cât şi cele structurale. Cu excep ţia cazului când se realizeaz ă o măsurare detaliat ă a imperfecţiunilor geometrice şi structurale, atunci se pot folosi imperfec ţiuni geometrice echivalente. Aceste tipuri de imperfec ţiuni (globale la nivelul structurii, de bar ă sau locale la nivelul sec ţiunii, cât şi tensiunile de materiale), pentru structurile realizate din bare, se prezintă în Anexa VIII. Imperfecţiunile geometrice pot fi introduse şi pe modurile critice de flambaj/voalare, cu amplitudini egale cu 80% din toleran ţele de fabricaţie recomandate. Imperfec ţiunile structurale  în termeni de tensiuni reziduale pot fi reprezentate printr-un câmp de eforturi provenite din procesul de fabrica ţie, cu amplitudinile echivalente valorilor medii. Sensul imperfecţiunii trebuie astfel ales încât s ă  conducă  la rezisten ţa cea mai mic ă. Pentru aplicarea imperfec ţiunilor geometrice echivalente, poate fi folosit Tabelul VII.2 şi datele furnizate în Anexa VIII. Tabelul VII.2: Imperfecţiuni geometrice echivalente Tipul Componenta Forma imperfecţiunii global ă pe abatere de la axa vertical ă  înclinare structură locală pe curbur ă (arc) elementul cu lungimea l element La nivelul deformarea abatere de la forma sec ţiunii secţiunii secţiunii

Amplitudinea a se vedea Figura VIII.1 din Anexa VIII a se vedea Tabelul VIII.1 şi Figura VIII.2 din Anexa VIII a se vedea paragraful VIII.3

Pentru combinarea imperfec ţiunilor, trebuie aleas ă o imperfecţiune principală, iar imperfecţiunile asociate pot avea valori reduse la 70%. Orice tip de imperfec ţiune poate fi considerat ă ca imperfecţiune principal ă, celelalte imperfec ţiuni pot fi considerate ca imperfec ţiuni asociate. Imperfecţiunile geometrice echivalente pot fi substituite prin intermediul for ţelor echivalente aplicate elementului.

VII.2 Proprietăţ Proprietăţile ile materialelor Proprietăţile materialelor trebuie considerate în analiz ă cu valorile caracteristice. Pentru modulul de elasticitate,  E , se va considera valoarea nominal ă. În funcţie de cerin ţele de precizie şi de deformaţiile maxime ce se doresc a se ob ţine în cadrul analizei, pot fi utilizate urm ătoarele legi pentru comportarea materialului (a se vedea Figura VII.1): a) elastic-plastic f ără ecruisaj; b) elastic-plastic cu pseudo-ecruisaj pseudo-ecruisaj (din motive de simulare numeric ă); c) elastic-plastic cu ecruisaj liniar; d) curba real ă efort-deformaţii.

Modelul

cu platou de curgere

1 E/10000 (sau valori mici similare)

cu ecruisare

1 curba reală efort-deformaţie 2 curba efort-deformaţie rezultat ă din teste

Fig. VII.1: Modelarea comportamentului materialelor

VII.3 Încă Încărcă rcări Încărcările aplicate pe structur ă trebuie s ă includă factori relevan ţi ai încărcărilor şi de combinare a acestora. Prin simplificare, se poate utiliza un singur multiplicator unic al î nc ărcării, α . Factorul de amplificare al înc ărcării α u  la starea limit ă  ultimă  trebuie s ă  permită obţinerea fiabilităţii cerute. Factorul de amplificare α u trebuie să fie compus din 2 factori: 1. α 1 pentru a acoperi incertitudinea modelului cu EF folosit. Acesta trebuie ob ţinut din evaluarea testelor de calibrare, vezi Anexa D din EN 1990; 2. α 2  pentru a acoperi dispersia modelelor de înc ărcare şi rezistenţelor. α 2  poate fi considerat egal cu γM1 dacă fenomenul de instabilitate este dominant şi egal cu γM2 dacă fenomenul de rupere este dominant. Trebuie să se verifice c ă: α u > α 1·α 2. Anexa Na ţională a SR EN 1993-1-1 ofer ă informaţii pentru γM1 şi γM2.

ANEXA VIII Imperfecţ Imperfecţiuni Efectele imperfecţiunilor, adică tensiunile reziduale şi imperfecţiunile geometrice ca abateri de la axa vertical ă, abateri de la rectiliniaritate, abateri de la planeitate, abateri dimensionale şi orice excentricităţi minore prezente în îmbin ările structurii neîncărcate, trebuie luate în considerare, în mod corespunz ător în analiza structural ă. În general, se utilizeaz ă  imperfecţiunile geometrice echivalente. În analize trebuie luate în considerare urm ătoarele imperfecţiuni: a) imperfecţiuni globale pentru cadre şi sistemele de contravântuiri; b) imperfecţiuni locale pentru bare.

VIII.1 Imperfecţ Imperfecţiuni pentru analiza globală globală a cadrelor Forma presupus ă a imperfecţiunilor globale şi a imperfecţiunilor locale poate deriva din modul de flambaj elastic al structurii în planul de flambaj considerat. Aceste imperfec ţiuni trebuie luate  în considerare în forma şi sensul cel mai defavorabil, a flambajului în plan şi a flambajului în plan perpendicular, incluzând şi flambajul prin răsucire cu modurile simetrice şi antisimetrice. Pentru cadrele sensibile la flambaj într-un mod cu noduri deplasabile, trebuie luat în considerare a efectul imperfecţiunilor în analiza cadrului, cu ajutorul unei imperfec ţiuni echivalente sub forma unei abateri ini ţiale de la vertical ă şi a imperfecţiunilor locale în arc ale barelor. Imperfecţiunile trebuie determinate astfel: a) abatere global ă ini ţ ial ială de la axa vertical ă (a se vedea Figura VIII.1)

φ = φ0 ⋅α h ⋅ α m   

(VIII.1)

 în care φ 0 α h

este valoarea de baz ă: φ 0 = 1/200 ; este coeficientul de reducere aplicabil pentru în ălţimea h a stâlpilor:

αh = h

α m

2 h

dar

2 ≤ α h ≤ 1.0 3

este înălţimea structurii în metri; este factor de reducere pentru num ărul de stâlpi dintr-un şir:

1 α m = 0.5 1 +  m 



este numărul de stâlpi într-un şir, introducând aici numai stâlpii care preiau o înc ărcare verticală  N  Ed   mai mare sau egal ă  cu 50% din valoarea medie pe stâlp în planul vertical considerat. m

Figura VIII.1: Imperfecţiuni echivalente corespunz ătoare abaterii de la axa vertical ă b) imperfec ţ iunile iunile ini ţ iale iale locale în arc e 0  ale barelor (curburi ini ţ iale), iale), pentru flambajul prin încovoiere, definite prin: e0 / L   (VIII.2)

unde L este lungimea barei. Valorile recomandate pentru tabelul VIII.2.

e0  / L  de

anexa Na ţională a SR EN 1993-1-1 sunt men ţionate în

Tabelul VIII.1: Valorile de calcul ale imperfec ţiunilor iniţiale în arc e0 / L analiză elastică  analiză plastică Curba de flambaj e0 /   L e0 /   L a0 1/350 1/300 a 1/300 1/250 b 1/250 1/200 c 1/200 1/150 d 1/150 1/100 Curburile iniţiale ale barelor pot fi neglijate în cadrul analizei globale a structurii, pentru determinarea forţelor şi momentelor de la extremit ăţi, necesare verific ării barelor la pierderea stabilităţii. Cu toate acestea, în cazul structurilor sensibile la efectele de ordinul doi, în analiza structurală a cadrelor trebuie introduse, în plus, fa ţă de imperfecţiunile corespunz ătoare abaterii de la vertical ă şi aceste imperfec ţiuni locale (curburi), pentru fiecare bar ă  comprimată  pentru care sunt satisf ăcute următoarele două condiţii: - cel puţin o legătura de la cap ătul barei transmite moment -

λ  > 0.5

 A ⋅ f  y  N  Ed 

 

(VIII.3)

unde este valoarea de calcul a for ţei de compresiune λ  este zvelteţea redusă  în plan, calculat ă  pentru bara considerat ă  ca articulat ă la extremităţile sale.

 N Ed Ed

c) imperfec ţ iunile iunile de torsiune

Contrar abaterilor de la liniaritate (curburi ini ţiale), majoritatea normelor normelor actuale nu propun valori pentru imperfecţiunea de torsiune, care s ă  fie luat ă  în considerare în calculul de stabilitate, datorită faptului că în cazul torsiunii ini ţiale, a căror valoare nu dep ăşeşte 1 ° /m, sarcina sarcina critică a profilelor nu este afectat ă de această imperfecţiune. Totuşi, standardul australian AS4100, propune urm ătoarele formule pentru determinare s ăgeţii iniţiale după axa minimă de inerţie, uo, şi a rotirii iniţiale a secţiunii transversale, φ o, astfel:

1000 ⋅  f o / L = 1000 ⋅ ϕo ⋅ (M cr / N cr L) =  −1 pentru λ  LT  ≥ 0.6  

(VIII.4)

1000 ⋅  f o / L = 1000 ⋅ ϕo ⋅ (M cr / Ncr L) =  −0.001 pentru λ  LT  < 0.6  (VIII.5) unde:  N cr  cr   M cr  cr 

λ  LT 

este forţa critică pentru flambajul dup ă axa minimă de inerţie; este momentul critic al flambajului prin încovoiere laterală-răsucire al grinzilor; este zvelteţea redusă corespunz ătoare flambajului prin încovoiere lateral ă-răsucire.

Efectele imperfecţiunilor iniţiale datorită abaterii de la axa vertical ă şi ale imperfecţiunilor locale (curburi) pot fi înlocuite prin sisteme de for ţe orizontale echivalente, introduse pentru fiecare stâlp (a se vedea Figura VIII.2).

Figura VIII.2: Înlocuirea imperfec ţiunilor iniţiale prin forţe orizontale echivalente Aceste imperfecţiuni iniţiale datorate abaterii de la vertical ă pot fi considerate în toate direc ţiile orizontale, dar simultan, într-o singură direcţie. Acolo unde este necesar, trebuie luate în considerare şi eventualele efecte de torsiune ce pot rezulta din aplicarea imperfec ţiunilor iniţiale datorate abaterii de la axa vertical ă, în sens contrar pe două feţe opuse ale unei structuri (a se vedea figura VIII.3).

1 deforma ţ ie ie din transla ţ ie; ie; 2 deforma ţ ie ie din rotire

Figura VIII.3: Efecte de transla ţie şi torsiune (vedere în plan)

VIII.2 Imperfecţ Imperfecţiuni pentru calculul sistemului de contravântuiri În calculul sistemului de contravântuiri utilizate pentru asigurarea stabilit ăţii laterale a grinzilor şi a barelor comprimate, trebuie s ă se ia în considerare a efectelor imperfec ţiunilor cu ajutorul unei imperfecţiuni geometrice echivalente a elementelor stabilizate, sub forma unei imperfec ţiuni iniţiale în arc: e0 = α m L / 500  

 în care  L  este deschiderea sistemului de contravântuiri şi α m =

(VIII.6)  

0.5 1 +

1

 , în care m  este

m

numărul de elemente stabilizate.

e0 – imperfecţiune; qd  – forţă echivalent ă pe unitatea de lungime ; 1 – sistem de contravântuiri

Figura VIII.4: Forţă echivalent ă de stabilizare

Pentru simplificare, efectele imperfec ţiunilor iniţiale în arc (curburile ini ţiale) ale elementelor de stabilizat printr-un sistem de contravântuiri, pot fi înlocuite prin for ţe echivalente de stabilizare, aşa cum se prezint ă în Figura VIII.4: qd =

∑ N 

⋅ ⋅ Ed  8

e0 + δ q  L2

 

(VIII.7)

unde δq este săgeată sistemului de contravântuiri în planul stabilizat, calculat ă printr-o analiz ă de ordinul unu şi provocat ă de forţele q plus eventualele for ţe exterioare. S ăgeata δq se poate lua egală cu 0 dac ă se utilizeaz ă o analiz ă de ordinul doi.

VIII.3 Imperfecţ Imperfecţiunile geometrice locale şi tensiuni reziduale pentru barele cu pereţ pereţi subţ subţiri În cazul barelor cu pere ţi subţiri formate la rece, apar dou ă tipuri suplimentare de imperfec ţiuni faţă  de cele prezentate pentru barele ob ţinute prin laminate la cald sau sudare. Ca şi imperfecţiuni geometrice se identific ă imperfecţiunile geometrice locale, iar ca şi imperfecţiuni structurale se identific ă tensiunile reziduale de tip flexural, care au un rol hot ărâtor la pierderea stabilităţii. Un număr mare de cercet ători s-au ocupat de investigarea imperfec ţiunilor geometrice locale ale barelor cu pereţi subţiri formate la rece şi în ciuda tuturor acestor investiga ţii, nu s-a f ăcut nici o  încercare de unificare a imperfecţiunilor geometrice locale. Schafer şi Pekoz (1996, 1997) au fost primii cercet ători care au încercat o clasificare a tipurilor de imperfec ţiuni locale, şi au pus  în eviden evidenţă două tipuri distincte de imperfecţiuni pentru elementele solicitate la încovoiere şi / sau compresiune, şi anume: − imperfecţiuni locale ( tip  tip 1) – în cazul elementelor rigidizate (vezi Figura VIII.5a); − deviaţia de la pozi ţia dreapt ă ( tip  tip 2) pentru cazul t ălpilor slab rigidizate sau nerigidizate (vezi Figura VIII.5b).

d2

d1 (a) Tip 1

(b) Tip 2

Fig. VIII.5: Definirea imperfecţiunilor geometrice locale Imperfecţiunile de  tip 1 sunt caracteristice imperfec ţiunilor pentru modul local de flambaj, iar imperfecţiunile de tip 2 sunt caracteristice imperfec ţiunilor pentru modul distorsional de flambaj. În urma prelucrării pe cale statistic ă  a datelor experimentale culese din literatura de specialitate, Schafer & Pekoz au propus pentru  tipul  tipul 1 de imperfecţiuni (imperfecţiuni corespunz ătoare voal ării pereţilor secţiunii transversale) urm ătoarele relaţii pentru a modela imperfec ţiunea maximă: d1 ≈ 0.006 ⋅ w  

(VIII.8)

sau 2 t  d1 ≈ 6 ⋅ t ⋅ e −  (d1 şi t se introduc în mm)

(VIII.9)

unde w este înălţimea inimii sau l ăţimea tălpilor rigidizate (în mm), iar t  este  este grosimea peretelui. Imperfec ţiunea de  tip 2  (corespunz ătoare flambajului prin distorsiune) s-a determinat într-o manieră similară şi se poate folosi una din urm ătoarele relaţii: d 2 = 0.014 w / t + 0.5  

(VIII.10)

d 2 = 1.8mm  

(VIII.11)

sau În ceea ce prive şte tensiunile reziduale, în cazul profilelor din o ţel formate la rece deforma ţiile plastice ap ărute ca urmare a procesului de formare la rece genereaz ă  tensiuni reziduale cu valori mai importante în col ţurile secţiunii transversale decât pe fe ţele plane ale acesteia, atât în cazul profilelor laminate la rece, cât şi în cazul celor formate prin îndoire la rece. Elementele cu pereţi subţiri formate la rece sunt afectate de tensiuni reziduale de încovoiere, variabile pe grosimea elementului, respectiv de tensiunile membranare. În Figura VIII.6 sunt prezentate aceste două tipuri de tensiuni reziduale şi suprapunerea lor. interior

-

   e     m      i s     o    r     g  

+

-

+ flexural

= +

membranar

exterior

Fig. VIII.6: Variaţia tensiunilor reziduale de încovoiere î ncovoiere şi membranare Experienţa practic ă a ar ătat că  procedeul de formare la rece influen ţează  direct m ărimea tensiunilor reziduale; procedeul de laminarea la rece produce tensiuni reziduale de încovoiere mai mari decât procedeul prin presarea la rece. Rondal (1986, 1992) a ar ătat că profilele laminate la cald sunt afectate de tensiuni reziduale care rezultă, în principal, datorit ă răcirii după  laminare, iar aceste tensiuni reziduale sunt de tip membranar, iar pentru profilele formate la rece a ar ătat că  prin procesul de formare, acestea sunt afectate de tensiuni reziduale de încovoiere. Considerare în modelele de calcul a tensiunilor reziduale este o problem ă dificilă. După cum a fost prezentat, profilele din o ţel cu pere ţi subţiri formate la rece sunt afectate de tensiuni reziduale de  încovoiere,  încovoiere, variabile pe grosimea elementului, elementului, respec respectiv tiv de tensiun tensiunii membra membranare nare.. Varia ţia pe grosime a tensiunilor reziduale conduce la o atingerea timpurie a limitei de curgere pe una din feţele elementului, elementului, iar în cazul elementelor scurte sau medii amorseaz ă flambajul local. Schafer şi Pekoz (1996, 1997) au ob ţinut, prin prelucrare statistică  a încercărilor experimentale obţinute pe elemente realizate prin presare la rece cât şi prin laminare la rece, o codificare a tensiunilor reziduale. O importan ţă deosebit ă o are distribu ţia tensiunilor reziduale pe sec ţiune (în colţuri, pe elementele plane, pe reborduri). Din analiza statistic ă  a tensiunilor reziduale

membranare, ace ştia au ar ătat că aceste tensiuni sunt aproape nule. Acestea sunt importante doar  în zonele zonele de de colţ şi pentru rebordurile elementelor laminate la rece. De asemenea, au observat c ă tensiunile reziduale membranare sunt mai semnificative pentru elementele laminate la rece decât pentru cele ob ţinute prin presare la rece. Tensiunile reziduale de încovoiere sunt cea mai importantă  component ă  a tensiunilor reziduale. Valorile medii ale distribu ţiei tensiunilor reziduale de încovoiere pe sec ţiune transversal ă, pentru cele dou ă  metode de formare la rece, sunt prezentate în Figura VIII.7. Se poate observa c ă tensiunile reziduale sunt mai mari pentru elementele formate prin laminare la rece, decât pentru cele formate prin presare la rece. 27%

23%

39%

33%

8%

17%

(a) laminate la rece

(b) îndoite la rece

Fig. VIII.7: Valorile Valorile medii ale tensiunilor reziduale de încovoiere exprimate în %f y (Schafer şi Pekoz, 1996, 1997)

VIII.4 Imperfecţ Imperfecţiunile elementelor Efectele imperfecţiunilor barelor sunt cuprinse în formulele de verificare a acestora la flambaj, prin formule din subcapitolul 6.3 din SR EN 1993-1-1, respectiv prin cele prezentate în capitolele 4 şi 5 din prezenta lucrare. Când stabilitatea barelor este justificat ă cu ajutorul unui calcul de ordinul doi, atunci trebuie s ă se adopte imperfec ţiunile e0 ale barei comprimate conform celor prezentate în VIII.1. În cazul unui calcul de ordinul doi care ţine cont de pierderea stabilit ăţii prin încovoiere-răsucire a unei bare supuse la încovoiere, se poate considera o imperfec ţiune egală cu ke0,d, în care e0,d este curbura ini ţială echivalent ă pentru axa minim ă de inerţie a profilului considerat. În general, nu este necesar ă includerea unei imperfec ţiuni de torsiune suplimentare. Valoarea coeficientului k  se  se poate defini în Anexa Na ţională, iar adoptat ă este k  =  = 0.5.

ANEXA IX Încă Încărcarea critică critică de flambaj elastic pentru cadre portal În această anexă se prezint ă o metodă de calcul a rezisten ţei critice de flambaj a structurilor în cadre, ce nu necesit ă un program de calcul (King, 2001). Aceast ă metodă are la baz ă cercet ările efectuate de Davies (1990, 1991). Pentru calculul manual se introduc urm ătoarele aproximări: − Forţa critică  de flambaj nu este afectat ă  de distribuţia forţei transversale din lungul elementului; doar for ţa axială trebuie luat ă în considerare; − Forţa axial ă  maximă  din fiecare element se presupune c ă acţioneaz ă  pe întreaga sa lungime, iar efectul de rigidizare al vutelor este neglijat, ceea ce conduce la ipoteze conservative; − Forţele axiale trebuie calculate printr-o analiz ă  elastică, considerând prinderile în fundaţii ca articulaţii sau prinderi rigide. Se recomandă ca structura s ă fie considerat ă ca o serie de subdiviziuni (vezi Figura IX.1), care s ă includă: − Grinzi pereche de coam ă (vezi secţiunea IX.1); − Stâlp exterior + grind ă (vezi secţiunea IX.2); − Stâlp interior + grindă de fiecare parte (vezi sec ţiunea IX.3); − Cadru echivalent pentru cadre cu stâlpi dublu-articula ţi sau grinzi de dolie (vezi secţiunea IX.4). Perechi de rigle

Stâlp exterior + rigla

Stâlp interior + rigle laterale

Stâlpi dublu

Grinzi de dolie

Fig. IX.1: Sub-structuri ale cadrului pentru analiz ă manuală

Pentru fiecare combina ţie de încărcări analizată, trebuie determinat coeficientul λ cr    pentru fiecare din substructurile mai sus men ţionate, şi apoi cel mai mic λ cr  trebuie utilizat pentru toat ă structura, pentru acea combina ţie particulară. Valoarea cea mai mic ă a lui λ cr   poate fi utilizată şi pentru toate combina ţiile de încărcări, dar se poate dovedi neeficient ă. Eforturile din stâlpi şi grinzi se vor determina printr-o analiz ă elastică şi pot fi obţinute prin calcul manual sau automat.

IX.1 Grinzi pereche de coamă coamă Aceast ă metodă verifică că “arcul” format de grinzi nu cedeaz ă, aşa cum se prezint ă în Figura IX.2.

Fig. IX.2: Cedarea grinzilor înclinate Metoda a fost dezvoltat ă de Horne (1977) şi modificată de Davies (1991). Pentru pante ale acoperi şului în intervalul 0 ≤ θ r ≤ 20° ,  D   55.7 ( 4 + L h )    I s   275  λcr =   ⋅   ⋅ tan 2θ r     ⋅ 1 +  ⋅  Ω −1 I f   L       r y   

(IX.1)

unde  L = deschiderea cadrului;  D = înălţimea minimă a grinzilor; h = înălţimea stâlpului;  I s = momentul de iner ţie al stâlpului (se ia zero dac ă stâlpul nu este legat rigid de grind ă);  I r = momentul de iner ţie al grinzii;  f y = limita de curgere a materialului grinzii; Ω  =  = raportul de arcuire, adic ă raportul dintre forţa vertical ă de pe grinzi şi forţa vertical ă maximă care ar putea produce cedarea grinzii calculat ă ca o grind ă dublu încastrat ă de deschidere  L; 2h θ r   = panta acoperi şului dacă este simetric, sau altfel tan −1  1  , unde h1 este diferenţa dintre   L 

 înălţimea la coam ă şi înălţimea stâlpilor. Când Ω ≤ 1 , nu este posibil ă cedarea în „arc”.

IX.2 Stâlp exterior şi grindă grindă Metoda a fost propus ă de Davies (1990), şi apoi modificată pentru a putea lua în considerare, în mod explicit, rigiditatea bazei stâlpului.

Considerând astfel: = modulul de elasticitate al o ţelului = 210 kN/mm2;  E   I r r  = momentul de inerţie al riglei în planul cadrului ( I  y în EC3);  I s = momentul de inerţie al stâlpului în planul cadrului ( I  y în EC3); l = lungimea grinzii în planul înclinat; h = înălţimea stâlpului;  R

 I s  rigiditatea stalpului  h   I sl = ; = = rigiditatea riglei  I r    I r h  l   

Ps,cr

= forţa axială din stâlp din analiza elastic ă; = forţa axială din riglă din analiza elastic ă; π 2 EI s =   = forţa critică de flambaj Euler a stâlpului; 2

Pr,cr

=

Ps Pr

h π 2 EI r  l

2

  = forţa critică de flambaj Euler a riglei;

(a) Pentru baza stâlpului perfect articulat ă cu rigiditate 0:

λ cr  =

3 EI r    1.2   l  0.3Pr l + 1 +  Ps h   R    

 

(IX.2)

care poate fi exprimat şi în funcţie de forţele de flambaj Euler ale riglei şi stâlpului:

λ cr  =

1  Pr    Pr ,cr

  Ps + +  R 4 3 . 3 ( )     Ps ,cr

  

 

(IX.3)  

(b) Pentru baza stâlpului articulat ă, dar care poate avea o rigiditate ri giditate de pana la 10% din rigiditatea stâlpului sau 0.4 EI  /  s / h:

λ cr  =

( 4.2 + 0.4 R ) EI r     1.2    l  0.42 Pr l + 1.16 +  Ps h  



 R 

(IX.4)



şi care poate fi exprimat şi în funcţie de forţele de flambaj Euler ale riglei şi stâlpului:

λ cr  =

(1 + 0.1 R )  Pr    Pr ,cr

  P  + ( 2.9 + 2.7 R )  s   Ps ,cr

  

 

(IX.5)  

(c) Pentru baza stâlpului rigid ă dar care permite o u şoară flexibilitate:

λ cr  =

5 E (10 + 0.8 R )  5Pr l 2 Ps h 2    I + ( 2.6 R + 4 ) I   s   r

 

(IX.6)

care la fel poate fi exprimat şi în funcţie de forţele de flambaj Euler ale riglei şi stâlpului:

λ cr  =

(1 + 0.08 R )  Pr    Pr ,cr

  P  + ( 0.8 + 0.52 R )  s   Ps ,cr

  

 

(IX.7)  

IX.3 Stâlp interior şi grindă grindă de fiecare parte Metoda este similar ă cu cea din sec ţiunea IX.1, dar modificat ă pentru stâlpi interiori: Notaţiile sunt acelea şi mai puţin: Prs = forţa axială în rigla din stânga din analiza elastic ă; Prd = forţa axială în rigla din dreapta din analiza elastic ă; Prs,cr = forţa critică de flambaj Euler Euler a riglei din stânga = π 2 EI rs ls2 ; Prd,cr = forţa critică de flambaj Euler Euler a riglei din din dreapta = π 2 EI rd ld 2 ;  EI rs ls rigiditatea riglei din stanga  Rs = ; = rigiditatea totala a riglelor ( EI rs ls + EI rd ld )    EI rd ld  rigiditatea riglei din dreapta  Rd = ; = rigiditatea totala a riglelor ( EI rs ls + EI rd ld )    EI s h rigiditatea stalpului =  R2 = ; rigiditatea totala a riglelor ( EI rs ls + EI rd ld )   = momentul de inerţie al riglei din stânga;  I rs rs  I rd = momentul de inerţie al riglei din dreapta; rd ls = lungimea riglei din stânga; ld = lungimea riglei din dreapta. (a) Pentru baza stâlpului perfect articulat ă cu rigiditate 0:

λ cr  =

1  Prs   Prs ,cr

  P  Rs +  rd   Prd ,cr

  P  Rd  + ( 4 + 3.3R2 )  c   Pc ,cr

  

 

(IX.8)  

care în cazul for ţelor axiale din grinzi, sec ţiunilor şi lungimilor identice devine ecua ţia (IX.3):

λ cr  =

1  Pr    Pr ,cr

  Ps + +  R 4 3 . 3 ( )  2  P   s ,cr

  

 

(IX.9)  

(b) Pentru baza stâlpului articulat ă, dar care poate avea o rigiditate ri giditate de pana la 10% din rigiditatea stâlpului sau 0.4 EI  /  s / h:

λ cr  =

(1 + 0.1 R2 )  Prs   Prs ,cr

  P  Rs +  rd   Prd ,cr

  P  Rd  + ( 2.9 + 2.7 R2 )  c   Pc ,cr

  

 

(IX.10)  

care în cazul for ţelor axiale din grinzi, sec ţiunilor şi lungimilor identice devine de forma (IX.5):

λ cr  =

(1 + 0.1 R2 )  Pr    Pr ,cr

  P  + ( 2.9 + 2.7 R2 )  s   Ps ,cr

  

 

(IX.11)  

(c) Pentru baza stâlpului rigid ă dar care permite o u şoară flexibilitate:

λ cr  =

(1 + 0.08 R2 )  Prs   Prs ,cr

  Prd +  R  s    Prd ,cr

  Pc + + R R 0 . 8 0 . 5 2 ( )  d  2  P   c ,cr

  

 

(IX.12)  

care în cazul for ţelor axiale din grinzi, sec ţiunilor şi lungimilor identice devine de forma (IX.7):

λ cr  =

(1 + 0.08 R2 )  Pr    Pr ,cr

  Ps + +  R 0 . 8 0 . 5 2 ( )  2  P   s ,cr

  

 

(IX.13)  

IX.4 Cadru parter cu stâlpi dublu articulaţ articulaţi sau cu grindă grindă de dolie Metoda a fost propus ă de Davies (1990) şi apoi modificat ă pentru a putea lua în considerare, în mod explicit, rigiditatea bazei stâlpului. Se presupune c ă  toate îmbinările de dolie ale riglelor  înclinate sunt susţinute fie de stâlpi pendulari fie de rigle ri gle longitudinale. Se foloseşte un cadru simplu echivalent cu un singur stâlp dublu articulat, reprezentând o deschidere marginal ă. Contribuţia riglelor aparţinând primei deschideri, la stabilitatea lateral ă a cadrului este mic ă, aşa că  este neglijat ă. Grinzile longitudinale de dolie, la fel, nu aduc o contribuţie apreciabil ă la stabilitatea portalului şi nu îl destabilizeaz ă când sunt rezolvate corect, cu îmbinări rigide, la partea inferioara a dou ă grinzi înclinate. Notaţiile sunt acelea şi ca în IX.2, mai pu ţin:  EI h rigiditatea stalpului = s , unde  Rp = rigiditatea perechii de rigle  EI 2 l2 pentru rigle de sec ţiune şi lungime egal ă  I 2 = momentul de inerţie al riglei în planul cadrului; l2 = lungimea perechii de rigle adiacente coamei;

dar pentru grinzi înclinate nesimetrice,  I 2 / l2  este valoarea care d ă  raport dintre rigiditatea stâlpului şi rigiditatea perechii de grinzi înclinate. P2,cr

= forţa critică de flambaj Euler a perechii de grinzi adiacente stâlpului exterior. π 2 EI  = pentru o pereche de grinzi înclinate simetrice. 2 l ( 2)

(a) Pentru baza stâlpului perfect articulat ă cu rigiditate 0:

λ cr  =

3 EI r       1.2  l2 0.3 Pr l2 + 1 +  ( N + 1) Ps h  



 R 

(IX.14)



care poate fi exprimat şi în funcţie de forţele de flambaj Euler:

λ cr  =

1  Pr    P2 r ,cr

  P  + ( 4 + 3.3 R p ) ( N + 1)  s   Ps ,cr

  

 

(IX.15)  

(b) Pentru baza stâlpului articulat ă, dar care poate avea o rigiditate ri giditate de pana la 10% din rigiditatea stâlpului sau 0.4 EI  /  s / h:

λ cr  =

(1 + 0.1 R )  p

 Pr    P2 r ,cr

  P  + ( 2.9 + 2.7 R ) ( N + 1)  s   Ps ,cr

  

 

(IX.16)  

(c) Pentru baza stâlpului rigid ă dar care permite o u şoară flexibilitate:

λ cr  =

(1 + 0.08 R )  p

 Pr    P2 r ,cr

  P  + ( 0.8 + 0.52 R p )  s   Ps ,cr

  

 

(IX.17)  

BIBLIOGRAFIE Allen H.G. şi Bulson P.S. (1980).  Background to Buckling. McGraw-Hill, London. Australian Standard AS4100-1990: Steel Structures , Homebush, Australia. Boissonade N., Greiner R., Jaspart J.P., Lindner J. (2006).  New design rules in EN 1993-1-1 for f or member stability. ECCS Technical Committee 8 – Structural Stability, P119, ECCS, Brussels. Bradford M.A. (1989).  Buckling of beams supported on seats . Structural Engineer, 69(23), 411– 414. BS 5950: The structural use of steelwork in building, Part 1: Code practice for design in simple and continuous construction: Hot rolled sections . British Standards Institutions-BSI, 1990. Clark J.W. şi Hill H.N. (1960).  Lateral buckling for beams. Proceedings ASCE, Journal of Structural Division, vol. 68, no. ST7. Chen W.F. şi Atsuta T. (1976). Theory of Beam-Columns . Vol. 1 şi 2, McGraw-Hill. Dalban C., Chesaru E., Dima S., Şerbescu C. (1997). Construc ţ iiii cu structur ă metalică. Editura Didactică şi Pedagogic ă, Bucureşti. Davies J.M. (1990).  In-plane stability in portal frames. The Structural Engineer, Vol. 68, No. 8, April 1990. Davies J.M. (1991). The stability of multibay portal frames . The Structural Engineer, Vol. 69, No. 12, June 1991. Dogariu A. (2009). Calculul  şi proiectarea elementelor metalice . Editura Orizonturi Universitare, Timisoara. Dowling P.J., Owens G.W., Knowles P. (1988). Structural Steel Design, Butterworths. members-General Report . Coupled Instabilities in Dubina D. (1996). Coupled instabilities in bar members-General Metal Structures – CISM’96 (Rondal J., Dubina D., Gioncu V., Eds.), Imperial College Press, London, 119-132. Dubina D., Rondal J. şi Vayas I. (1997). Calculul structurilor metalice. Eurocode 3 – Exemple de calcul. Bridgeman, Timişoara. Dubina D. (2000).  Recent research advances and trends on coupled instability of bar members. General Report – Session 3: Bar Members . Coupled Instabilities in Metal Structures – CIMS’2000 (Camotin D., Dubina D., Rondal J., Eds.), Imperial Colleague Press, Lisbon, London, 131-144. iilor Dubina D., Ungureanu V., Zaharia R., Nagy Zs. (2004). Calculul  şi proiectarea construc ţ iilor din profile metalice cu pere ţ i sub ţ iri iri formate la rece . Editura AMM, Colec ţia Lindab, Bucureşti, 256 p. ISBN 973-86509-4-1. Dutheil J. (1966). Vérification des pièces comprimées. Principes Fondamentaux . Construction Métallique, 1966/2, 3. ECCS (1976).  Manual on stability of steel structures, Second edition, P022, ECCS Technical Committee 8, Structural Stability, European Convention for Constructional Steelwork, Brussels. recomendations for steel construction , P023, European Convention for ECCS (1977).  European recomendations Constructional Steelwork, Brussels. EN 1090-2 (2008).  Execution of steel structures and aluminium structures. Technical requirements for the execution of steel structures . European Committee for Standardization, Brussels. EN 1993-1-1 (2005).  Eurocode 3: Design of steel structures - Part 1-1: General rules and rules  for buildings. Published by European Committee for Standardization, Brussels. EN 1993-1-1 (2005). Corrigendum N1620E to EN 1993-1-1 . Published by European Committee for Standardization, Brussels.

EN 1993-1-3 (2006).  Eurocode 3: Design of steel structures. Part 1-3: General Rules. Supplementary rules for cold-formed thin gauge members and sheeting . Published by European Committee for Standardization, Brussels. EN 1993-1-5 (2006).  Eurocode 3: Design of steel structures - Part 1-5: Plated structural elements. Published by European Committee for Standardization, Brussels. ENV 1993-1-1 (1992).  Eurocode 3: Design of Steel Structures. Part. 1.1: General rules and rules for buildings. Published by European Committee for Standardization, Brussels. ESDEP (1994).  European Steel Design Education Programme, Applied Stability .  Lecture 6.1: Concepts of Stable and Unstable Elastic Equilibrium . The ESDEP Society – The Steel Construction Institute, Silwood Park – Ascot – Bekshire, United Kingdom (http://www.fgg.uni-lj.si/kmk/esdep/master/toc.htm http://www.fgg.uni-lj.si/kmk/esdep/master/toc.htm). ). Galambos T.V. (editor) (1988). Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures . John Wiley and Sons, 4th Edition, New York, 1988. deversement pour profiles lamines . Construction Metallique, 4, 39Galea Y. (1981).  Abaques de deversement 51. GP078-03: Ghid privind proiectarea halelor u şoare cu structur ă  metalică. Buletinul Construcţiilor, vol.16, 2004. Hancock G.J. (1998).  Design of Cold-formed Steel Steel Structures. 3rd Edition, Australian Institute of Steel Construction, Sydney S ydney.. Horne M.R. (1977). Safeguards against frame instability in the plastic design of single storey  pitched roof frames. Conference on the Behaviour of Slender Structures, City University, London. Kaim P. (2004). Spatial buckling behaviour of steel members under bending and compression . PhD Thesis. Graz University of Technology, Austria. King C.M. (2001).  Design of Steel Portal Frames to Eurocode 3 . The Steel Construction Institute. Technical Report SCI Publication 164. Europeenes de Maquoi R. şi Rondal J. (1978).  Mise en equation des nouvelles courbes Europeenes  flambement , Construction Metallique, 1, 17-30. Maquoi R. şi Jaspart J.P. (2002).  A simple approach for the design of steel and composite sway building frames. ORBi - Open Repository and Bibliography (Belgium). Martin L.H., Purkiss J.A. (2008). Structural Design of Steelwork to EN 1993 and EN 1994 . Butterworth-Heinemann - imprint of Elsevier, UK. Third edition. Mateescu D., Appeltauer I. şi Cuteanu E. (1980). Stabilitatea la compresiune a structurilor din bare de o ţ el el. Editura Academiei Române, Bucure şti. el. Editura Tehnic ă, Mateescu D. şi Caraba I. (1979). Calcului  şi proiectarea elementelor din o ţ el Bucureşti. Merchant W. (1954). The Failure Loads of Rigidly Jointed Frameworks as Influenced by Stability. The Structural Engineer, vol. 32, 7, 185 - 190. NB51-002: Charpentes en Acier . (Stări limită),Belgia, 1998. Nethercot D.A. (1991).  Limit State Design of Structural Steelwork . 2nd edition, Chapman and Hall. Rondal J. şi Maquoi R. (1979). Formulations d'Ayrton-Perry pour le flambement des barres métalliquées. Construction Métallique, no. 4. Rondal J. şi Maquoi R. (1985). Stub-column strength of thin-walled square and rectangular hollow sections . Thin-Walled Structures, 3(1985), p. 15-34. Rondal J. (1986). Thin-walled structures - General Report . În: Stability of Steel Structures (Ed. Ivanyi M.), Akademiai Kiado, Budapest, Vol. 2, p. 849-866. Rondal J. (1992).  Determination  Determination theoretique theoretique des des contraintes contraintes residuelle residuelless dans les les elements elements en acier acier  profiles  profiles a froid  froid . Ce travail a recu le prix N.V. Bekaert S.A. 1992, octroye par le Fonds National de la Recherche Scientifique.

Schafer B. şi Peköz T. (1996). Geometric imperfections and residual stresses members . În: Proc. of the 13th International Int ernational Specialty Specialt y Conference on Cold-Formed Steel Steel Structures, Structures, St. Louis, Louis, Missouri, USA, 17-18 October, p. 649-664. Schafer B. şi Peköz T. (1997). Geometric imperfections and residual stresses for use in the analytical modeling of cold-formed steel members . În: Experimental Model Research and Testing of Thin-Walled Structures, Prague, Czech Republic, 22-24 September 1997, p. 287302. daSilva L.S., Simoes R., Gervasio H. (2010).  Design of Steel Structures, Eurocode 3: Design of Steel Structures, Part 1-1: General rules and rules for buildings . Published by ECCS – European Convention for Constructional Steelwork, Eurocode Design Manuals, ISBN (ECCS) 978-92-9147-098-3, Wilhem Ernst & Sohn verlag, GmBH & Co. KG, Berlin. SN003a-EN-EU NCCI:  Elastic critical moment for lateral torsional buckling. Access Steel 2006 (www.access-steel.com www.access-steel.com). ). el. Partea 1-1: Reguli generale SR EN 1993-1-1:2006:  Eurocod 3: Proiectarea structurilor de o ţ el.  şi reguli pentru cl ădiri. Asociaţia de Standardizare din România (ASRO). Bucure şti. Proiectarea structurilor de o ţ el. el. Partea 1-1: Reguli SR EN 1993-1-1:2006/NA:2008: 1993-1-1:2006/NA:2008: Eurocod 3: Proiectarea generale  şi reguli pentru cl ădiri. Anexa Na ţ ional ională. Asociaţia de Standardizare din România (ASRO). Bucure şti. Proiectarea structurilor structurilor de o ţ el. el. Partea 1-3: Reguli generale. SR EN 1993-1-3:2007:  Eurocod 3: Proiectarea  Reguli suplimentare pentru elemente structurale  şi table formate la rece . Asociaţia de Standardizare din România (ASRO). Bucure şti. Proiectarea structurilor de o ţ el. el. Partea 1-3: Reguli SR EN 1993-1-3:2007/NB:2008: 1993-1-3:2007/NB:2008:  Eurocod 3: Proiectarea generale . Reguli suplimentare pentru elemente structurale  şi table formate la rece . Anexa Naţională. Asociaţia de Standardizare din România (ASRO). Bucure şti. el. Partea 1-5: Elemente SR EN 1993-1-5:2007: Eurocod 3: Proiectarea structurilor din o ţ el. structurale din pl ăci plane solicitate în planul lor . Asociaţia de Standardizare din România (ASRO). Bucureşti. SR EN 1993-1-5:2007/NA:2008:  Eurocod 3: Proiectarea structurilor din o ţ el. el. Partea 1-5:  Elemente structurale din pl ăci plane solicitate în planul lor. Anexă Na ţ ional ională. Asociaţia de Standardizare din România (ASRO). Bucure şti. SSDATA (1999): Structural Steelwork Eurocodes –Development of a Trans-National Approach. Course: Eurocode 3. Module 4: Member design. Lecture 9: Local Buckling and Section . SSDATA (1999): Structural Steelwork Eurocodes –Development of a Trans-National Approach. Course: Eurocode 3. Module 4: Member design. Lecture 12: Unrestrained Beams . SSDATA (1999): Structural Steelwork Eurocodes –Development of a Trans-National Approach. Course: Eurocode 3. Module 4: Lecture 13: Columns

SSDATA (1999): Structural Steelwork Eurocodes –Development of a Trans-National Approach. Course: Eurocode 3. Module 4: Lecture 14: Beam-columns el. Construcţii STAS 10108 0-78: Calculul elementelor din o ţ el

civile industriale şi agricole.

Institutul Român de Standardizare. Strating J., Vos H. (1973). Simulation sur ordinateur de la courbe CECM de flambement a l’aide de la methode Monte-Carlo , Construction Metallique, 2, 23-29. Timoshenko S.P. şi Gere J.M. (1961). Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, 2nd Edition, New York. Thompson J.M.T. şi Hunt G.W. (1973).  A General Theory of Elastic Stability , John Wiley and Sons, London. Trahair N.S. şi Bradford M.A. (1988).  Behaviour and design of steel structures , 2nd  edition, Chapman and Hall. Vayas I., Dubina D. (2004). Cold-formed steel structures  (in limba greacă). Kleidarithmos Publ., Athena. Wood R.H. (1974):  Effective Lengths of Columns in Multistorey Buildings. The Structural Engineer, vol. 52, (235-244; 295-302; 341-346).