Caderno de Testes Mat 12º Ano

MATEMÁTICA 12

CADERNO DE TESTES MATEMÁTICA A | 12.º ANO Luzia Gomes Daniela Raposo Consultor Científico Filipe Carvalho

Consultor Pedagógico José Maria Antunes

Testes com estrutura idêntica à do exame s7 testes cumulativos s2 testes globais

Apresentação A matemática nunca deixa completamente de ser um jogo, embora possa ser muitas outras coisas Miguel de Guzmán Este Caderno de Testes pretende ser um instrumento de trabalho para os alunos do 12.º ano de escolaridade, num ano determinante das suas vidas. Além de ¿nalizar todo um ciclo de estudos, é um ano que culmina num exame nacional, e essa, sendo uma preocupação dos alunos, dos professores e até dos encarregados de educação, também foi uma atenção constante ao longo de todo este caderno. Mais do que um livro de exercícios, este caderno, simulando momentos de avaliação, contém 9 testes, onde os conteúdos a avaliar vão sempre surgindo de forma cumulativa, sendo os dois últimos testes globais. Todos os testes incluem itens de seleção (escolha múltipla) e itens de construção que envolvem resolução de problemas, desenvolvimento de raciocínios demonstrativos, uso obrigatório de calculadora grá¿ca e composição, itens de presença comum em todos os Exames Nacionais dos últimos anos. Cada teste contém: – matriz de conteúdos; – enunciado com cotações; – proposta de resolução; – critérios especí¿cos de classi¿cação; – exemplos de resposta e proposta de cotação. É nossa convicção de que os alunos devem ter um papel ativo no seu processo de aprendizagem. Assim, cada teste apresenta critérios especí¿cos de classi¿cação e exemplos de possíveis respostas e proposta de cotação, que pensamos ser uma mais-valia para a autoavaliação do aluno, já que permitem um feedback da sua evolução e que motivam os alunos para querer ir sempre mais além. Bom trabalho! As autoras

3

ÍNDICE

Teste n.º 1

Teste n.º 6

Matriz ....................................................................................5

Matriz ..................................................................................85

Enunciado .............................................................................6

Enunciado ...........................................................................86

Proposta de resolução ........................................................10


Critérios especí¿cos de classi¿cação ................................13


Exemplos de resposta e proposta de cotação....................17


Teste n.º 2

Teste n.º 7

Matriz ..................................................................................19

Matriz ..................................................................................99

Enunciado ...........................................................................20

Enunciado .........................................................................100


Proposta de resolução ......................................................105


Critérios especí¿cos de classi¿cação ..............................109


Exemplos de resposta e proposta de cotação..................112

Teste n.º 3

Teste Global n.º 1

Matriz ..................................................................................33

Matriz ................................................................................113

Enunciado ...........................................................................34

Enunciado .........................................................................114







Teste n.º 4

Teste Global n.º 2

Matriz ..................................................................................49

Matriz ................................................................................127

Enunciado ...........................................................................50

Enunciado .........................................................................128







Teste n.º 5 Matriz ..................................................................................67

Critérios Gerais de Classi¿cação ......................................141

Enunciado ...........................................................................68

Formulário .........................................................................144

Proposta de resolução ........................................................73 Critérios especí¿cos de classi¿cação ................................77 Exemplos de resposta e proposta de cotação....................84

Matemática 12 | Caderno de Testes

TESTE N.º 1

Matriz Duração: 90 minutos

Tipologia, número de itens e cotação:

Número de itens

Cotação por item (em pontos)

Escolha múltipla

5

10

Resolução de problemas

8

15 a 20

Raciocínio demonstrativo

1

20

Resposta extensa (composição)

1

20

Tipologia de itens Itens de seleção

Itens de construção

Conteúdos Tema I – Probabilidades e combinatória > Conceitos probabilísticos > Operações com acontecimentos > De¿nição frequencista de probabilidade > De¿nição clássica de probabilidade > De¿nição axiomática de probabilidade > Probabilidade condicionada e independência > Distribuição de probabilidades > Distribuição normal e curva de Gauss > Análise combinatória


5

6

Teste n.º 1 Matemática A Duração do teste: 90 minutos 12.º Ano de Escolaridade

GRUPO I

• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta. • Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item. • Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classi¿cada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. • Não apresente cálculos, nem justi¿cações.

1. Um código é constituído por seis algarismos. Quantos códigos diferentes existem em que o algarismo 5 aparece exatamente três vezes e os restantes algarismos são diferentes? (A) 504

(B) 14 580

(C) 10 080

(D) 14 400

2. Num saco existem vinte bombons, indistinguíveis ao tato: oito de chocolate negro (sendo cinco com recheio de licor e três com recheio de morango) e doze de chocolate branco. O Pedro tirou, ao acaso, um bombom com recheio de licor e comeu-o. A seguir, a Maria pegou num bombom de chocolate negro. Qual é a probabilidade de o bombom ser o seu favorito, que é com recheio de morango? (A) 3 7

(B) 5 * 3 8 7

(C) 2 19

(D)

5 3 * 20 19 B

3. No prisma hexagonal regular da ¿gura estão representados três vértices A, B e C.

A

Considere todas as retas distintas que contêm as arestas do prisma. Qual é a probabilidade de escolhendo ao acaso uma dessas retas esta ser estritamente paralela ao plano ABC? (A) 0


(B) 4 9

(C) 2 9

(D) 5 9

C

TESTE N.º 1

4. O Rui pratica salto em comprimento. O seu treinador fez um estudo sobre os resultados obtidos por ele no último trimestre e veri¿cou que o comprimento, medido em metros, é uma variável aleatória bem modelada por uma distribuição normal de valor médio 8. Sabe-se que P(8 < X < 8,2) = 0,4. Para um certo valor de a, tem-se P(X < a) = 0,1. Qual é o valor de a? (A) 8,1

(B) 7,9

(C) 7,6

(D) 7,8

5. Seja 1 o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória e sejam A, B e C três acontecimentos possíveis de 1 tais que: • A e B E C são acontecimentos equiprováveis e incompatíveis; • P(B) = 0,45; • P(C) = 0,35; • P(B F C) = 0,6. Qual é o valor de P [A F (B E C)]? (A) 0,2

(B) 0,4

(C) 0,65

(D) 0,8

GRUPO II

• Nas respostas aos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justi¿cações necessárias. • Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.

1. Seja 1 o conjunto de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos possíveis e não certos. Prove que P(A | B) * P(B) - P(A E B) + P(B) = P(A). 2. Numa turma cada aluno tem apenas uma calculadora grá¿ca. Sabe-se que: • apenas metade dos alunos trouxe a calculadora para a aula; • sete em cada dez alunos que trouxeram a calculadora para a aula têm a marca Texas; • um em cada dez alunos que se esqueceram da calculadora têm a marca Texas. Escolhe-se, aleatoriamente, um aluno que se sabe ter uma calculadora da marca Texas. Qual é a probabilidade de ele não ter trazido a calculadora para a aula? Apresente o resultado sob a forma de percentagem. 3. São retiradas simultaneamente duas cartas de um baralho de 40 cartas. Por cada Ás que ocorra há um prémio de 2 euros. Considere a variável aleatória X, que representa o ganho, em euros, numa jogada. 3.1. Construa uma tabela representativa da distribuição de probabilidades da variável aleatória X. Apresente os resultados na forma de fração irredutível. Nota: Apresente todas as justi¿cações e todos os cálculos que efetuar na determinação dos valores das probabilidades. Matemática 12 | Caderno de Testes

7

8

3.2. Sendo + o valor médio e m o desvio-padrão da distribuição, determine P(X > + + m). Apresente o resultado na forma de fração irredutível. (Se proceder a arredondamentos nos cálculos intermédios, utilize no mínimo duas casas decimais.) NOTA: Caso não tenha conseguido resolver a alínea anterior, considere a seguinte distribuição de probabilidades para X:

xi

0

1

2

P(X = xi)

101 130

28 130

1 130

4. Considere o seguinte problema: Um baralho de cartas completo é constituído por cinquenta e duas cartas, repartidas por quatro naipes de treze cartas cada: espadas, copas, ouros e paus. De um baralho completo extraem-se, sucessivamente e sem reposição, cinco cartas. Qual é a probabilidade de haver apenas quatro cartas do naipe de espadas? Apresentam-se, de seguida, duas respostas a este problema. 13 Resposta I: 30 * C4 * 5! 52 A5

39

Resposta II:

A1 * 13A4 52 A5

Apenas uma das respostas está correta. Elabore uma composição na qual: • identi¿que a resposta correta; • explique um raciocínio que conduza à resposta correta; • proponha uma alteração na expressão correspondente à resposta incorreta, de modo a torná-la correta; • explique, no contexto do problema, a razão da alteração proposta. 5. Sete automóveis diferentes estão estacionados num parque de estacionamento de dez lugares que tem o seguinte aspeto:

5.1. Quantas são as maneiras possíveis de estacionar? 5.2. O Nuno, um oitavo automobilista, pretende estacionar de modo a que o seu automóvel não tenha automóveis ao lado. Quantas são as diferentes con¿gurações que permitem satisfazer a vontade do Nuno? 6. Numa turma com vinte alunos, com mais raparigas do que rapazes, o número de comissões diferentes, para organizar um jantar de Natal, que é possível formar com dois alunos do mesmo sexo é 91. Determina o número de rapazes da turma.


9

Cotações Grupo I ..................................................................................................................................................... 50

Cada resposta certa ............................................................................................................. 10 Cada resposta errada ............................................................................................................. 0 Cada questão não respondida ou anulada ............................................................................ 0

Grupo II .................................................................................................................................................. 150

1. .......................................................................................................................................... 20 2. .......................................................................................................................................... 20 3. .......................................................................................................................................... 40 3.1. .................................................................................................................... 25 3.2. .................................................................................................................... 15 4. .......................................................................................................................................... 20 5. .......................................................................................................................................... 30 5.1. .................................................................................................................... 15 5.2. .................................................................................................................... 15 6. .......................................................................................................................................... 20

TOTAL .................................................................................................................................................... 200

Matemática 12 | Caderno de Tarefas

10

Proposta de resolução 5. Sabe-se que:

GRUPO I

P(B C) = P(B) + P(C) - P(B C) 1.

5 5 5 1 * 1 * 1 * 9 * 8 * 7 * 6C3 = 10 080 códigos diferentes

Logo: 0,6 = 0,45 + 0,35 - P(B C) §

P(B C) = 0,2

Como A e B E C são acontecimentos equipro-

Resposta (C)

váveis e incompatíveis vem que: 2. Sabendo que o Pedro já comeu um bombom com recheio de licor, sabe-se que apenas restam sete bombons de chocolate negro, dos

P [ A (B C)] = P( A) + P(B C) = 0,2 + 0,2 = 0,4 Resposta (B)

quais quatro são de licor e três são de recheio

GRUPO II

de morango. Como, após isso, a Maria retirou um bombom que era de chocolate negro, então a probabilidade de esse bombom ter recheio de morango é de 3 . 7 Resposta (A) 3. As retas distintas que contêm as arestas do prisma são dezoito; dentro destas existem oito que são estritamente paralelas ao plano ABC. B

(

)

1. P A | B * P(B) - P( A B) + P(B) =

(

P A B P(B)

(

) * P(B) - P( A B) + P(B)

)

= P A B - P( A B) + P(B) = 1- P( A B) - P( A B) + P(B) = 1- P( A) - P(B) + P( A B) - P( A B) + P(B) = 1- P( A)

A

( )

=P A

c.q.d.

C

Assim, o valor da probabilidade pedida é 8 = 4 . 9 18 Resposta (B)

2. Considere os acontecimentos: A: “o aluno tem a calculadora na aula” T: “o aluno tem uma calculadora da marca

4. Esquematicamente, tem-se:

Texas” Sabe-se que:

0,4

• P( A) =

0,4

0,1

0,1 7,8

8

Resposta (D)


8,2

1 2

• P (T | A) =

(

)

•P T|A =

7 10 1 10

TESTE N.º 1

Pretende-se determinar P(A | T).

em euros, numa jogada, então X pode assu-

Com os dados do enunciado, tem-se que:

mir os valores 0, 2 e 4, que correspondem à saída de 0, 1 ou 2 ases respetivamente.

P(T A) 7 § = 0,7 • P(T | A) = P( A) 10

Logo:

P(T A) = 0,7 0,5 § P(T A) = 0,7 * 0,5 §

P(T A) = 0,35

§

( )

• P T |A =

(

)

P TA 1 § = 0,1 10 P A

(

0,5

P( X = 2) = P( X = 4) =

) = 0,1

P TA

§ §

( )

P( X = 0) =

C2

40

C2

630 21 = 780 26

=

4 * 36C1 40 4

C2

C2

40

C2

=

144 12 = 780 65

6 1 = 780 130

=

Assim, a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X é:

( ) P (T A) = 0,05

P T A = 0,1* 0,5

§

36

xi

0

2

4

P(X = xi)

21 26

12 65

1 130

Organizando os dados numa tabela, obtém-se: T

T

Total

A

0,35

0,5

A

0,05

0,5

Total

0,4

1

3.2. = 0 *

21 12 1 + 2* +4* = 0,4 26 65 130

21 2 12 2 = 0 * - 0,4 + 2 * - 0,4 + 26 65 1 2 - 0,4 0,84 + 4* 130

Cálculo auxiliar: P(T) = P(T E A) + P(T E A) = 0,35 + 0,05 = 0,4 Da tabela, vem que:

(

)

P A|T =

(

)

P TA P(T )

0,05 0,4 = 0,125 =

(

)

Assim, P A | T = 12,5%.

Assim, como se pretende o cálculo de P(X > + + m), tem-se que: P ( X > 0,4 + 0,84) = P ( X > 1,24) = P ( X = 2) + P ( X = 4 ) 12 1 + 65 130 25 = 130 5 = 26 =

3. 3.1. São retiradas simultaneamente duas cartas de um baralho de 40 cartas. Por cada Ás que ocorra há um prémio de 2 euros. Sendo que a variável aleatória X representa o ganho,

4. A resposta correta é a I. Segundo a regra de Laplace, a probabilidade de um acontecimento é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis a esse


11

12

acontecimento e o número de casos possí-

• ou o Nuno estaciona em qualquer um dos

veis, quando os acontecimentos elementares

oito lugares que não os dos extremos e,

são equiprováveis.

assim, existem 8 * 7! maneiras de o fazer.

Assim, a resposta I apresenta como casos possíveis

52

A5, já que existem

52

A5 maneiras T X T

diferentes de se extrair, sucessivamente e sem reposição, cinco cartas de um baralho de cinquenta e duas cartas.

Assim, existem 2 * 8A7 + 8 * 7! = 120 960

Os casos favoráveis são 39 * 13C4 * 5!, pois

con¿gurações que permitem satisfazer a von-

existem 39 maneiras diferentes de escolher

tade do Nuno.

uma carta que não seja do naipe de espadas, e por cada uma destas maneiras existem 13C4 maneiras de formar conjuntos de quatro cartas do naipe de espadas; por cada um destes con-

6. Seja n o número de rapazes da turma. Pretende-se determinar n tal que:

juntos (cinco cartas sendo apenas quatro do

n

naipe de espadas) existem 5! maneiras diferentes de as cartas se encontrarem ordenadas.

§

A resposta II ¿caria correta se o número de casos favoráveis alterasse para 39A1 * 13A4 * 5, pois existem 39A1 maneiras diferentes de esco-

§

lher uma carta que não seja do naipe de espadas; por cada uma destas maneiras existem 13

§

A4 maneiras diferentes de se extrair, suces-

sivamente e sem reposição, quatro cartas, de

mas de posicionar a carta que não é do naipe

n! (20 - n)! = 91 + ( n - 2)!2! (18 - n)!2! n ( n - 1) ( n - 2)!

( n - 2 )! 2 n ( n - 1) 2

5.1.

10

A7 = 604 800 maneiras

lugar e, assim, existem 2 * 8A7 maneiras de o fazer; T X


= 91

(20 - n) (19 - n) = 91 2

§

2n2 - 40n + 380 = 91 2

§n

2

- 20n + 190 = 91

§n

2

- 20n + 99 = 0

§

n=

20 ¿ (-20)2 - 4 * 99 2

§

n=

20 ¿ 2 2

§

n = 11 › n = 9

5.2. Existem dois tipos de casos diferentes: • ou o Nuno estaciona no primeiro ou no último

( 20 - n) (19 - n) (18 - n)! (18 - n)! 2

n2 - n + 380 - 20n - 19n + n2 = 91 2

de espadas.

5.

+

+

§

entre as treze existentes do naipe de espadas, e por cada um destes casos existem cinco for-

C2 + 20-nC2 = 91

A turma tem nove rapazes, pois sabe-se que a turma tem mais raparigas do que rapazes.

TESTE N.º 1

Critérios especí¿cos de classi¿cação GRUPO I

Cada resposta certa .................................................................................................................... 10 pontos As respostas corretas são as seguintes:

Itens

1

2

3

4

5

Respostas

C

A

B

D

B

GRUPO II 1. .................................................................................................................................................. 20 pontos A resolução desta questão envolve a utilização de:

• de¿nição de probabilidade condicionada; • leis de De Morgan; • relação da probabilidade de um acontecimento com a do seu contrário; • probabilidade da reunião de acontecimentos.

A classi¿cação a atribuir deve estar de acordo com o seguinte critério: O aluno prova corretamente o pretendido ............................................................................20 pontos O aluno utiliza corretamente os quatro itens mas não prova o pretendido ..........................14 pontos O aluno utiliza corretamente apenas três itens ....................................................................10 pontos O aluno utiliza corretamente apenas dois itens......................................................................6 pontos O aluno utiliza corretamente apenas um item ........................................................................2 pontos

2. .................................................................................................................................................. 20 pontos No que se segue, vamos designar por A o acontecimento “o aluno ter a calculadora na aula” e por T o acontecimento “o aluno ter uma calculadora da marca Texas”. 1 Escrever P(A) = ......................................................................................................................... 2 pontos 2 Interpretar P(T | A) = 7 ................................................................................................................. 2 pontos 10 Matemática 12 | Caderno de Testes

13

14

Interpretar P(T | A) = 1 .................................................................................................................. 2 pontos 10 Calcular P(T E A) ............................................................................................................................. 4 pontos Calcular P(T E A) .............................................................................................................................. 4 pontos Calcular P(T ) ................................................................................................................................... 2 pontos Reconhecer o pedido: P(A | T) .......................................................................................................... 2 pontos Calcular P(A | T ) apresentando o resultado na forma pedida ........................................................... 2 pontos Nota: Se os valores obtidos forem apresentados numa tabela ou diagrama em árvore, as etapas deverão ser pontuadas segundo procedimentos análogos aos apresentados.

3. 3.1. ............................................................................................................................................... 25 pontos Indicar os valores que a variável aleatória X pode tomar ............................................................... 6 pontos Calcular a probabilidade de cada um dos valores da variável ........ (6 + 6 + 6) (ver nota) ............ 18 pontos Apresentar a tabela de distribuição de probabilidades ......................................................................1 ponto Nota: A classi¿cação a atribuir a cada valor correto da probabilidade não apresentado na forma de fração irredutível deve ser desvalorizada em 1 ponto.

3.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos Determinar o valor correto de + ....................................................................................................... 4 pontos Determinar o valor correto de m ....................................................................................................... 4 pontos Substituir os valores obtidos de + e m em P (X > + + m) .................................................................. 2 pontos Determinar o valor de P (X > + + m) na forma pedida ..................................................................... 5 pontos

4. .................................................................................................................................................. 20 pontos A composição deve contemplar os pontos seguintes:

A) Identi¿cação da resposta correta. B) Explicação do raciocínio que conduz à resposta correta. C) Proposta de alteração na expressão da resposta incorreta, de modo a torná-la correta. D) Explicação, no contexto do problema, da razão da alteração proposta. Matemática 12 | Caderno de Testes

TESTE N.º 1

A composição contempla corretamente os quatro pontos (ver nota) ................................ 20 pontos A composição contempla corretamente apenas três pontos .............................................. 15 pontos A composição contempla corretamente apenas dois pontos ..............................................10 pontos A composição contempla corretamente apenas um ponto ....................................................5 pontos Nota: Se o aluno apresentar corretamente os pontos B, C e D, considera-se que identi¿cou a resposta correta e portanto o ponto A está contemplado.

5. 5.1. ................................................................................................................................................15 pontos Escrever a expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) ............................................................. 13 pontos Calcular o valor pedido (ver nota 2) ................................................................................................ 2 pontos Nota 1 Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, e a pontuação a atribuir em cada caso: 10

A7 (ou equivalente) ..................................................................................................................... 13 pontos

7! (ou equivalente) ............................................................................................................................ 7 pontos 10

C7 (ou equivalente)........................................................................................................................ 5 pontos

Outras situações............................................................................................................................... 0 pontos Nota 2 A pontuação relativa a esta etapa só pode ser atribuída se o resultado estiver de acordo com a expressão escrita pelo aluno, e se essa expressão não tiver sido pontuada com zero pontos.

5.2. ................................................................................................................................................15 pontos Escrever a expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) ............................................................. 13 pontos Calcular o valor pedido (ver nota 2) ................................................................................................ 2 pontos Nota 1 Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, e a pontuação a atribuir em cada caso: 2 * 8A7 + 8 * 7! (ou equivalente).................................................................................................... 13 pontos 2 * 8A7 (ou equivalente) ................................................................................................................... 7 pontos 8 * 7! (ou equivalente) ..................................................................................................................... 7 pontos Matemática 12 | Caderno de Testes

15

16

8

A7 (ou equivalente) ........................................................................................................................ 3 pontos

7! (ou equivalente) ........................................................................................................................... 3 pontos Outras situações .............................................................................................................................. 0 pontos

Nota 2 A pontuação relativa a esta etapa só pode ser atribuída se o resultado estiver de acordo com a expressão escrita pelo aluno, e se essa expressão não tiver sido pontuada com zero pontos.

6. .................................................................................................................................................. 20 pontos Equacionar o problema .................................................................................................................... 6 pontos Resolver a equação........................................................................................................................ 10 pontos Desenvolver nC2 .....................................................................................................................2 pontos Desenvolver 20 – nC2 ..............................................................................................................2 pontos Obter n2 - 20n + 99 = 0 ..........................................................................................................4 pontos Obter n = 9 › n = 11 ...............................................................................................................2 pontos Concluir no contexto do problema .................................................................................................... 4 pontos


TESTE N.º 1

Exemplos de resposta e proposta de cotação O aluno não indica corretamente os valores

GRUPO II

que a variável aleatória X pode tomar mas calcula corretamente os valores das probabilida-

(

) ( ) P ( A B) = * P ( B) - P ( A B) + P ( B) P ( B) = P ( A B) - P ( A B) + P ( B)

1. P A | B * P B - P ( A B) + P ( B)

des pretendidos, apesar de não os apresentar na forma de fração irredutível. Cotação a atribuir ...... 16 (0 + 15 + 1) pontos 4. A resposta correta é aquela onde aparece como número de casos possíveis

= 1- P ( A B) - P ( A B) + P ( B)

existem

= 1- P ( A) - P ( B) + P ( A B) - P ( A B) + P ( B)

( )

52

52

A5, já que

A5 maneiras diferentes de se extrair,

sucessivamente e sem reposição, cinco cartas de um baralho de cinquenta e duas cartas.

= P A + P ( A B) - P ( A B)

Os casos favoráveis são 39 * 13C4 * 5!, pois

Observa-se que o aluno utiliza erradamente a de¿nição de probabilidade condicionada mas, de acordo com o erro, utiliza corretamente uma das leis de De Morgan, a relação da probabilidade de um acontecimento com a do seu contrário e a probabilidade da reunião de acontecimentos. O aluno utiliza corretamente apenas três itens.

existem 39 maneiras diferentes de escolher uma carta que não seja do naipe de espadas, e por cada uma destas maneiras existem 13C4 maneiras de formar conjuntos de quatro cartas do naipe de espadas; por cada um destes conjuntos (cinco cartas sendo apenas quatro do naipe de espadas) existem 5! maneiras diferentes de as cartas se encontrarem orde-

Cotação a atribuir ..........................10 pontos

nadas.

3.

A outra resposta ¿caria correta se o número de

3.1. Só podem sair 0, 1 ou 2 ases numa extração

casos favoráveis alterasse para 39A1 * 13A4 * 5!,

de duas cartas de um baralho de 40 cartas.

pois existem 39A1 maneiras diferentes de esco-

Assim:

lher uma carta que não seja do naipe de espa36

das; por cada uma destas maneiras existem

630 = P( X = 0) = 40 C2 780 P( X = 1) =

C2

4 * 36 C1 40 4

C2

13

A4 maneiras diferentes de se extrair, suces-

sivamente e sem reposição, quatro cartas de

144 = 780

entre as treze existentes do naipe de espadas e por cada um destes casos existem 5! manei-

6 P( X = 2) = 40 = C2 780 C2

ras de as cinco cartas permutarem entre si. Nesta composição, o aluno explica correta-

Assim:

mente o raciocínio que conduz à resposta xi

0

1

2

correta, apesar de não a identi¿car explicita-

P(X = xi)

630 780

144 780

6 780

mente, percebe-se pelo texto que considera como correta a resposta I.


17

18

Propõe uma alteração na expressão da resposta incorreta, mas que não a torna correta, e portanto a razão da alteração proposta não é válida. A composição contempla corretamente apenas dois pontos. Cotação a atribuir ..........................10 pontos 6. Seja r o número de rapazes da turma e m o número de raparigas, onde r + m = 20. r

C2 + mC2 = 91

§

r(r 1) m (m 1) + = 91 2 2

§

r 2 - r + m2 - m = 91 2

§r

2

- r + m2 - m - 182 = 0

O aluno equaciona corretamente o problema e desenvolve as duas expressões que envolvem combinações corretamente, embora o desenvolvimento de

m

C2 em vez de

20 - n

C2 tenha

diminuído o grau de di¿culdade. Obtém, ainda, uma expressão do 2.º grau mas com duas incógnitas e, portanto, também se veri¿ca uma diminuição do grau de di¿culdade nesta etapa. Cotação a atribuir ..... 11 (6 + 2 + 1 + 2) pontos


TESTE N.º 2



Número de itens


Escolha múltipla

5

10


5

15 a 20


2

20


1

20



Conteúdos Tema I – Probabilidades e combinatória > Conceitos probabilísticos > Operações com acontecimentos > De¿nição frequencista de probabilidade > De¿nição clássica de probabilidade > De¿nição axiomática de probabilidade > Probabilidade condicionada e independência > Distribuição de probabilidades > Distribuição normal e curva de Gauss > Análise combinatória > Triângulo de Pascal > Binómio de Newton > Modelo binomial


19

20


GRUPO I


1. Uma determinada operadora de telemóveis realizou uma sondagem sobre o consumo mensal de minutos dos seus clientes. Admita que o número de minutos gastos é uma variável aleatória que é bem modelada por uma distribuição normal de valor médio igual a 150. Em relação aos inquiridos, pode a¿rmar-se que são equiprováveis os acontecimentos: (A) “gastam mais de 120 minutos” e “gastam menos de 150 minutos”. (B) “gastam mais de 120 minutos” e “gastam menos de 180 minutos”. (C) “gastam mais de 150 minutos” e “gastam menos de 180 minutos”. (D) “gastam mais de 150 minutos” e “gastam menos de 190 minutos”.

2. Escolhido aleatoriamente um elemento da linha n do triângulo de Pascal, a probabilidade de esse elemento ser igual a 1 é 1 . 10 O valor de n é: (A) 10 Matemática 12 | Caderno de Testes

(B) 19

(C) 20

(D) 9

TESTE N.º 2

3. Numa noite sete amigos decidiram ir ao cinema juntos. Cada um escolheu, ao acaso, um de entre os sete ¿lmes em exibição. A probabilidade de quatro quaisquer amigos escolherem o mesmo ¿lme e os restantes escolherem três ¿lmes diferentes é: (B) 120 76

(A) 600 75

(C) 150 74

(D) 600 76

4. Na ¿gura estão representadas oito ¿chas de um jogo, numeradas de 1 a 8.

1

3

2

5

4

7

6

8

Escolhe-se, ao acaso, uma dessas ¿chas e o número nela inscrito. Considera os seguintes acontecimentos associados a esta experiência aleatória: A: “o número da ¿cha escolhida é um número primo”

B: “a ¿cha escolhida é um triângulo”

Qual é o valor da probabilidade condicionada P(A | B)? (A) 1 8

(B) 3 4

(C) 2 3

(D) 1 2

5. A estatística revela que o futebolista Tó Pé Rápido falha 20% dos lances de grande penalidade que executa. Num treino, ele vai executar uma série de seis grandes penalidades. Qual dos acontecimentos seguintes tem probabilidade igual a 1 - 0,86 - 6C5 * 0,85 * 0,2? (A) O Tó Pé Rápido concretiza pelo menos quatro grandes penalidades. (B) O Tó Pé Rápido concretiza pelo menos cinco grandes penalidades. (C) O Tó Pé Rápido concretiza no máximo quatro grandes penalidades. (D) O Tó Pé Rápido concretiza no máximo cinco grandes penalidades. GRUPO II


1. A Clara apenas confeciona bolos com dois recheios: chocolate ou morango. A quantidade de bolos com recheio de chocolate que confeciona é o quádruplo da quantidade de bolos com recheio de morango. Da sua experiência, sabe-se que 10% dos bolos com recheio de chocolate e 15% dos bolos com recheio de morango apresentam peso signi¿cativamente inferior ao estabelecido. Suponha que encomendou à Clara um bolo e veri¿cou em casa que pesava bastante menos do que o indicado. Qual é a probabilidade de ele ter recheio de morango? Apresente a resposta sob a forma de percentagem arredondada às unidades. Matemática 12 | Caderno de Testes

21

22

2. Seja 1 o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A ƒ 1 e B ƒ 1), ambos com probabilidade diferente de zero. Prove que: P( A B) < P( A | B) * P(B) § P( A) < P( A | B) 3. Num saco estão dezasseis bolas numeradas, de duas cores diferentes, de igual tamanho e textura, indistinguíveis ao tato. Das dezasseis bolas do saco, dez bolas são azuis e seis bolas são vermelhas. 3.1. Suponha que se retiraram, sucessivamente, todas as bolas do saco, e se colocaram numa ¿la. Determine a probabilidade de as bolas azuis ¿carem juntas. Apresente o resultado na forma de dízima, com 5 casas decimais. 3.2. Suponha agora que se retiram do saco, simultaneamente, apenas seis bolas. Sabendo que se retiram bolas das duas cores, determine a probabilidade de se retirar mais bolas azuis do que bolas vermelhas. Apresente o resultado na forma de dízima, aproximada às décimas. 4. Considere o seguinte problema: Quantos números naturais ímpares inferiores a 1000 não têm dois algarismos iguais? Uma resposta correta a este problema é 5 + 8 * 5 + 82 * 5. Numa composição, explica porquê. 5. Na ¿gura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um prisma hexagonal regular [ABCDEFOPQRST].

z

E

F

D

C B

A

Sabe-se que: • a base inferior do prisma está contida no plano xOy; • o eixo Oy contém a aresta [OP]; • o eixo Oz contém a aresta [OA]. 5.1. Escolhe-se, ao acaso, uma aresta do prisma perpendicular ao eixo Oz.

S

Qual é a probabilidade de essa aresta ser estritamente paralela ao eixo Oy? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

R

Q

T O

P

y

x

5.2. Os pontos assinalados são os vértices do polígono. Considere agora que se assinalam outros n (n å b) pontos na face [ABPO] de maneira a que nunca haja três pontos colineares. Escolhem-se, ao acaso, três dos pontos dessa face. Mostre que a probabilidade de ser construído um triângulo em que o ponto A não seja um dos vértices é igual a n + 1 . n +4 10 6. No desenvolvimento de 2x - 1 , uma das parcelas é 2kx -5, sendo k uma constante. x2 Determine o valor de k.


23

Cotações Grupo I ..................................................................................................................................................... 50


Grupo II .................................................................................................................................................. 150

1. .......................................................................................................................................... 20 2. .......................................................................................................................................... 20 3. .......................................................................................................................................... 35 3.1. .................................................................................................................... 15 3.2. .................................................................................................................... 20 4. .......................................................................................................................................... 20 5. .......................................................................................................................................... 35 5.1. .................................................................................................................... 15 5.2. .................................................................................................................... 20 6. .......................................................................................................................................... 20

TOTAL .................................................................................................................................................... 200


24

Proposta de resolução 3. O número de casos possíveis é 77, pois cada

GRUPO I

um dos sete amigos tem sete possibilidades diferentes de escolha. 1. X: “número de minutos gastos pelos clientes de

O número de casos favoráveis é 7C4 * 7 * 6 * 5

determinada operadora”

* 4, pois 7C4 é o número de maneiras distintas

X }N (150, )

de escolher quem são os quatro amigos que escolhem o mesmo ¿lme; por cada uma destas maneiras existem sete possibilidades distintas para o ¿lme escolhido pelos quatro amigos; 120

e por cada uma dessas maneiras existem,

150

P( X > 120) > P( X < 150)

ainda, 6 * 5 * 4 maneiras distintas de os três restantes amigos escolherem ordenadamente três ¿lmes distintos. Assim, a probabilidade pedida é:

120

150

180

P( X > 120) = P( X < 180)

7

7

= 150

=

180

P ( X > 150) < P ( X < 180)

C4 * 7 * 6 * 5 * 4 7 35 * 6 * 5 * 4 76 5*6*5*4 7

5

=

=

=

35 * 7 * 6 * 5 * 4

77 7*5*6*5*4 76

600 75

Resposta (A)

4. P(A | B) representa a probabilidade de o número 150

190

P ( X > 150) < P ( X < 190) Resposta (B) 2. Considere a linha n do triângulo de Pascal. Sabe-se que tem (n + 1) elementos, dos quais dois elementos são iguais a um. Assim, P("escolher o número um") = 2 , ou seja: n+1 1 2 = § 20 = n + 1 § n = 19 n + 1 10 Resposta (B)


da ¿cha escolhida ser um número primo sabendo que a ¿cha escolhida não é um triângulo. Ora, admitindo que a ¿cha escolhida não é um triângulo existem 6 casos possíveis, e desses apenas 3 são números primos (2, 3 e 7). 3 1 Assim, P(A | B) = = . 6 2 Resposta (D)

5. O Tó Pé Rápido falha 20% das grandes penalidades que executa. Portanto, ao executar uma grande penalidade, a probabilidade de a concretizar é igual a 0,8.

TESTE N.º 2

Numa série de seis grandes penalidades, tem-se:

Pretende-se determinar:

6

• 0,8 é a probabilidade de o Tó Pé Rápido

P( M | I ) =

concretizar as seis grandes penalidades. •

6

C5 * 0,85 * 0,2 é a probabilidade de o Tó Pé

P( M I ) 0,03 = ) 0,27 0,11 P(I )

Assim, P( M | I ) ) 27% .

Rápido concretizar cinco grandes penalidades. Assim, 0,86 + 6C5 * 0,85 * 0,2 é a probabilidade

2. A , B , P(B) 0 0

(

6

6

)

( )

P A B < P ( A | B ) * P B

de o Tó Pé Rápido concretizar pelo menos cinco 5

grandes penalidades e 1 < (0,8 + C5 * 0,8 * 0,2)

P( A) - P( A B) < P( A | B) * [1 P(B)] § P( A) - P( A B) < P( A | B) - P( A | B) * P(B) P( A B) § P( A) - P( A B) < P( A | B) * P(B) P(B) § P( A) - P( A B) < P( A | B) - P( A B) § P( A) < P( A | B) - P( A B) + P( A B) § P( A) < P( A | B) c.q.d. §

é a probabilidade do acontecimento contrário deste. Isto é, 1 - 0,86 - 6C5 * 0,85 * 0,2 é a probabilidade de o Tó Pé Rápido concretizar no máximo quatro grandes penalidades. Resposta (C) 3.

GRUPO II

3.1. O número de casos possíveis é 16!. 1. Considere os acontecimentos:

O número de casos favoráveis é 10! * 6! * 7,

C: “o bolo ter recheio de chocolate”

pois 10! é o número de maneiras de permu-

M: “o bolo ter recheio de morango”

tar as bolas azuis, 6! é o número de manei-

I: “o bolo ter peso inferior ao estabelecido” Sabe-se que: • P(C) = 4P( M ) e P(C) + P( M ) = 1, ou seja: 4P( M ) + P( M ) = 1 § 5P( M ) = 1 § P( M ) = 0,2 P(C) = 4 * 0,2 = 0,8 P(I C) •P(I | C) = 0,1 § = 0,1 P(C) P(I C) § = 0,1 § P(I C) = 0,1* 0,8 0,8 § P(I C) = 0,08 P(I M ) •P(I | M ) = 0,15 § = 0,15 P( M ) P(I M ) § = 0,15 § P(I M ) = 0,15 * 0,2 0,2 § P(I M ) = 0,03

ras de permutar as bolas vermelhas e 7 é o número de maneiras que o bloco das bolas azuis pode “percorrer” a ¿la. Assim, a proba10! * 6! * 7 bilidade pedida é, ) 0,00087 . 16! 3.2. Admitindo que se retiraram, simultaneamente, seis bolas do saco, das duas cores, o número de casos possíveis é 16C6 - 10C6 - 6C6. O número de casos favoráveis é: 10

C5 * 6C1 +

10

C4 * 6C2

5 vermelhas e 1 azul ou 4 vermelhas e 2 azuis

Assim, a probabilidade pedida é: 10

Organizando os dados numa tabela, obtém-se: I

C 0,08

M 0,03

Total 0,11

I Total

0,8

0,2

1

Cálculo auxiliar: P(I) = P(I E C) + P(I E M) = 0,08 + 0,03 = 0,11

C5 * 6C 1 + 10C4 * 6C 2 16

C6 -

10

6

C6 - C6

=

4662 ) 0,6 7797

4. Os números ímpares menores do que 1000, com os algarismos todos diferentes, podem ter um só algarismo, dois algarismos ou três algarismos, possibilidades estas que se excluem mutuamente. Assim, existem 5 números ímpares Matemática 12 | Caderno de Testes

25

26

menores do que 1000 só com um algarismo (1, 3, 5, 7 ou 9); 8 * 5 é o número de números ímpares menores do que 1000 só com dois algarismos, pois para ser ímpar tem que terminar em número ímpar (1, 3, 5, 7 ou 9) – cinco hipóteses, e por cada uma dessas possibilidades existem oito números para o algarismo das dezenas (não pode ser o algarismo escolhido para as unidades nem o zero); 82 * 5 é o número de números ímpares menores do que 1000 com três algarismos, pois para ser ímpar tem que terminar em número ímpar (1, 3, 5, 7 ou 9) – cinco hipóteses, e por cada uma dessas possibilidades existem oito hipóteses para o algarismo das centenas (não podem ser o algarismo escolhido para as unidades nem o zero) e por cada uma dessas possibilidades existem também oito hipóteses para o algarismo das dezenas (não podem ser os algarismos escolhidos para as unidades nem para as centenas). Logo, 5 + 8 * 5 + 82 * 5 é o número de números naturais ímpares inferiores a 1000 que não têm dois algarismos iguais.

Assim, a probabilidade pedida é: ( n + 3 )( n + 2 )( n + 1) ( n + 3 )( n + 2 )( n + 1) 6 = ( n + 4 )( n + 3 )( n + 2 ) ( n + 4 )( n + 3 )( n + 2 ) 6 n +1 c.q.d. = n+4

Outra maneira de resolver este exercício seria calculando a probabilidade p do ponto A ser um dos vértices do triângulo, calculando depois a probabilidade do acontecimento contrário 1 – p. Neste caso: Número de casos possíveis: é o mesmo calculado anteriormente. n +3

Número de casos favoráveis: 3 P ("A a ser um vértice") = n+4 3 1- p = 1n+4 n +1 = c.q.d. n+4

C2

1 10 6. Qualquer termo do desenvolvimento de 2x 2 x é do tipo: 1 p 10 C p (2x)10 - p * - 2 , com p {0,1,10} x

5.

Simpli¿cando a expressão acima obtém-se:

5.1. O número de casos possíveis é 12.

10

O número de casos favoráveis é 3. Assim, a probabilidade pedida é 3 = 1 . 12 4 5.2. Existem (n + 4) pontos assinalados na face [ABPO] sem que haja três pontos colineares. O número de casos possíveis é: n+4

=

C3 =

(n + 4)! 3! (n + 4 - 3)!

=

(n + 4)!

6(n + 1)!

=

(n + 4)(n + 3)(n + 2) 6

O número de casos favoráveis é: (n + 3)! (n + 3)! C3 = = 3! (n + 3 - 3)! 6(n)! (n + 3)(n + 2)(n + 1)(n)! (n + 3)(n + 2)(n + 1) = = 6(n)! 6 n+3


( )

C p 210 - p * x10 p * (-1) p * x -2

10

p

= (-1) p * 10Cp * 210 - p * x10 p * x 2 p = (-1) p * 10Cp * 210 - p * x10 p 2 p = (-1) p * 10Cp * 210 - p * x10 3 p Procura-se o termo em x- 5, ou seja, tem de se

6(n + 1)!

(n + 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1)!

1 p C p (2x)10 - p * - 2 x

descobrir o valor da constante p para o qual se obtém o termo em x– 5: 10 - 3 p = -5 § 10 + 5 = 3 p § 15 = 3 p § p = 5 O termo em x -5 é ( - 1)5 * 10C5 * 25 * x -5 = -252 * 32 * x -5 = -8064x -5 Logo, 2k = - 8064 § k = - 4032 .

TESTE N.º 2



Itens

1

2

3

4

5

Respostas

B

B

A

D

C

GRUPO II 1. .................................................................................................................................................. 20 pontos No que se segue, vamos designar por C o acontecimento “o bolo ter recheio de chocolate”, por M o acontecimento “o bolo ter recheio de morango” e por I o acontecimento “o bolo ter peso inferior ao estabelecido”. Escrever P(C) = 4P(M) (ou equivalente) .......................................................................................... 2 pontos Calcular P(M) ................................................................................................................................... 2 pontos Obter P(C) ..........................................................................................................................................1 ponto Escrever P(I | C) = 0,1 ...................................................................................................................... 2 pontos Calcular P(I E C) .............................................................................................................................. 3 pontos Escrever P(I | M) = 0,15 ................................................................................................................... 2 pontos Calcular P(I E M) ............................................................................................................................. 3 pontos Calcular P(I) .................................................................................................................................... 2 pontos Calcular P(M | I) ............................................................................................................................... 3 pontos

2. .................................................................................................................................................. 20 pontos A resolução deste item envolve a utilização das seguintes propriedades: • P(A E B) = P(A) - (A E B); • P(B) = 1- P(B); • Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição; P(A E B) • P(A | B) = ou P(A E B) = P(A | B) * P(B). P(B)


27

28

Descritores do nível de desempenho no domínio especí¿co da disciplina 5 O aluno aplica corretamente as quatro propriedades e conclui o pretendido. 4 Níveis

O aluno aplica corretamente as quatro propriedades mas não conclui o pretendido.

Pontuação 20 16

3 O aluno aplica corretamente apenas três propriedades.

12

2 O aluno aplica corretamente apenas duas propriedades.

8

1 O aluno aplica corretamente apenas uma propriedade.

4

3. 3.1. ................................................................................................................................................15 pontos Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1)............................................................................... 12 pontos Resultado na forma pedida (P ) 0,00087) (ver nota 2) .................................................................... 3 pontos Nota 1 Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, com a respetiva classi¿cação a atribuir. 10! * 6! * 7 (ou equivalente) ............................................................................................................. 12 pontos 16! 10! * 6! (ou equivalente) ............................................................................................................... 8 pontos 16! Outras frações próprias com denominador 16! ............................................................................... 5 pontos Outras situações .............................................................................................................................. 0 pontos Nota 2 A classi¿cação relativa a esta etapa só é atribuída se a etapa anterior não tiver sido classi¿cada com zero pontos. 3.2. ............................................................................................................................................... 20 pontos Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) .............................................................................. 17 pontos Resultado na forma pedida (P ) 0,6) (ver nota 2) .......................................................................... 3 pontos Nota 1 Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, com a respetiva classi¿cação a atribuir. 10

C5 * 6C1 + 10C4 * 6C2 16

C6 - 10C6 -6C6

(ou equivalente) .................................................................................. 17 pontos

10

C5 * 6C1 + 10C4 * 6C2 +10C6 16

C6 - 10C6 -6C6


(ou equivalente) ........................................................................ 12 pontos

TESTE N.º 2

10

C5 * 6C1 + 10C4 * 6C2 16

(ou equivalente) ..................................................................................... 7 pontos

C6

Outras situações .............................................................................................................................. 0 pontos Nota 2 A classi¿cação relativa a esta etapa só é atribuída se a etapa anterior não tiver sido classi¿cada com zero pontos.

4. .................................................................................................................................................. 20 pontos A composição deverá contemplar os seguintes pontos: • Explicação de 5: o aluno deverá referir que 5 é o número de números ímpares menores do que 1000 só com um algarismo. • Explicação de 8 * 5: o aluno deverá referir que é o número de números ímpares menores do que 1000 só com dois algarismos. • Explicação de 82 * 5: o aluno deverá referir que 82 * 5 é o número de números ímpares menores do que 1000 com três algarismos. • Explicação de 5 + 8 * 5 + 82 * 5: o aluno deverá referir que a soma representa o número de números ímpares menores do que 1000 com os algarismos todos diferentes. Na tabela seguinte indica-se como deverá ser classi¿cada a redação. Os níveis 1, 2 e 3 dizem respeito ao desempenho na comunicação em língua portuguesa, de acordo com o disposto nos critérios gerais. Nível 1

Nível 2

Nível 3

A composição contempla corretamente os quatros pontos.

18

19

20

A composição contempla corretamente apenas três pontos.

12

13

14

A composição contempla corretamente apenas dois pontos.

8

9

10

A composição contempla corretamente apenas um ponto.

4

5

6

5. 5.1. ................................................................................................................................................15 pontos Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) .............................................................................. 12 pontos 1 Resultado na forma pedida P = (ver nota 2) ........................................................................... 3 pontos 4 Nota 1 Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, com a respetiva classi¿cação a atribuir. 3 (ou equivalente) ......................................................................................................................... 12 pontos 12 Matemática 12 | Caderno de Testes

29

30

4 (ou equivalente) ...................................................................................................................... 8 pontos 12 Outras frações próprias com denominador 12 ............................................................................ 5 pontos Outras situações .......................................................................................................................... 0 pontos

Nota 2 A classi¿cação relativa a esta etapa só é atribuída se a etapa anterior não tiver sido classi¿cada com zero pontos.

5.2. ............................................................................................................................................... 20 pontos A resolução deste item deve contemplar os seguintes pontos: • Expressão que dá o valor do número de casos favoráveis. • Expressão que dá o valor do número de casos possíveis. • Expressão que dá o valor da probabilidade pedida.

Na tabela seguinte, indica-se como a resposta a este item deve ser classi¿cada, de acordo com o respetivo nível de desempenho no domínio especí¿co da disciplina: Descritores do nível de desempenho no domínio especí¿co da disciplina

Níveis

Pontuação

4

O aluno executa corretamente os três pontos e conclui o pretendido.

20

3

O aluno executa corretamente os três pontos mas não conclui o pretendido.

18

2

O aluno executa corretamente apenas dois pontos.

12

1

O aluno executa corretamente apenas um ponto.

6

6. .................................................................................................................................................. 20 pontos Escrever a expressão

1 p C p (2x)10- p * - 2 ............................................................................... 6 pontos x

10

Obter a expressão (-1) p *10C p * 210- p * x10 3 p ............................................................................. 6 pontos Equacionar o problema: 10 - 3 p = -5 .............................................................................................. 4 pontos Determinar o termo em x -5 ............................................................................................................. 2 pontos Obter o valor de k (-4032) ............................................................................................................... 2 pontos


TESTE N.º 2

Exemplos de resposta e proposta de cotação • não calcula P(I E C) .........................0 pontos

GRUPO II

• não escreve P(I | M) = 0,15 ..............0 pontos • não calcula P(I E M) ........................0 pontos • calcula P(I) de acordo com os cálculos ante-

1. Considere os acontecimentos: C: “o bolo ter recheio de chocolate”

riores ..................................................2 pontos

M: “o bolo ter recheio de morango”

• calcula P(M | I) de acordo com os cálculos

I: “o bolo ter peso inferior ao estabelecido”

anteriores ...........................................3 pontos 2.

Sabe-se que: • P(C) = 4P( M ) e P(C) + P( M ) = 1, ou seja: 4P( M ) + P( M ) = 1 § 5P( M ) = 1 § P( M ) = 0,2 P(C) = 4 * 0,2 = 0,8

P(A E B) < P(A | B) * P(B) § P(A) - P(A E B) < P(A | B) * 1 - P(B) § P(A) - P(A E B) < P(A | B) - P(B) Cotação a atribuir ............................8 pontos Esta resolução contempla apenas duas pro-

• P(I E C) = 0,1 Errado!

priedades:

• P(I E M) = 0,15 Errado!

• P(A E B) = P(A) - P(A E B) • P(B) = 1 - P(B)

Organizando os dados numa tabela, obtém-se:

I

C

M

Total

Repara que um simples erro de esquecimento

0,1

0,15

0,25

de colocação de parênteses comprometeu mais de metade da cotação desta questão.

I Total

0,8

0,2

1 4. Os números ímpares menores do que 1000,

Cálculo auxiliar: P(I) = P(I E C) + P(I E M) = 0,1 + 0,15 = 0,25

com os algarismos todos diferentes, podem ter só um algarismo, dois algarismos ou três algarismos. Assim, existem cinco números ímpares meno-

Pretende-se determinar.

res do que 1000 só com um algarismo (1, 3, 5,

P( M I ) 0,15 = = 0,60 P( M | I ) = 0,25 P(I )

7 ou 9);

Assim, P( M | I ) = 60%

do que 1000 só com dois algarismos;


res do que 1000 com três algarismos.

Nesta resposta o aluno: • escreve P(C) = 4P(M) (ou equivalente) 2 pontos • calcula P(M) .....................................2 pontos • obtém P(C) ........................................1 ponto

8 * 5 é o número de números ímpares menores 82 * 5 é o número de números ímpares menoLogo, 5 + 8 * 5 + 82 * 5 é o número de números naturais ímpares inferiores a 1000 que não têm dois algarismos iguais. Cotação a atribuir .........................10 pontos

• não escreve P(I | C) = 0,1 ................0 pontos Matemática 12 | Caderno de Testes

31

32

Esta resposta contempla corretamente apenas dois pontos numa composição bem estruturada. • Explicação de 5: o aluno deverá referir que 5 é o número de números ímpares menores do que 1000 só com um algarismo; • Explicação de 5 + 8 * 5 + 82 * 5: o aluno deverá referir que a soma representa o número de números ímpares menores do que 1000 com os algarismos todos diferentes.


TESTE N.º 3



Número de itens


Escolha múltipla

5

10


8

15 a 20

Uso obrigatório de calculadora grá¿ca

1

15


1

15


1

15



Conteúdos

Tema I – Probabilidades e combinatória > Conceitos probabilísticos > Operações com acontecimentos > De¿nição clássica de probabilidade > De¿nição axiomática de probabilidade > Probabilidade condicionada e independência > Distribuição de probabilidades > Distribuição normal e curva de Gauss > Análise combinatória > Triângulo de Pascal > Binómio de Newton Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II > Função exponencial de base superior a 1 > Função logarítmica de base superior a 1 > Limites Matemática 12 | Caderno de Testes

33

34


GRUPO I


1. Escolhem-se, ao acaso, dois vértices diferentes de um octaedro. Qual é a probabilidade de esses dois vértices serem extremos de uma aresta? (A)

(C)

12 6

62

C2 8

6

12

(B)

8

(D)

6

C2

A2

2. Sejam a e b dois números naturais tais que a =

2012

C20 e b =

2012

C21 .

Qual é o valor de a + 2b? C20 + 2013C21

(B)

2013

C20 +

2012

(C) 2013 C21 + 2012C21

(D)

2013

C21 +

2012

(A)

2013


C21

C20

TESTE N.º 3

3. Na ¿gura está desenhada parte da representação grá¿ca de uma função h, cujo domínio é \ {-1} . As retas de equações x = -1 e y = - x são assíntotas 1 do grá¿co de f. Seja (xn) a sucessão tal que xn = -1+ ln 1 , com n D b. n (ln designa o logaritmo de base e)

h y

-1 O

x

Qual é o valor de lim h(xn)? (A) 0

(B) - '

4. A expressão simpli¿cada de log a (A)

1 2

(B) -

(C) + '

(

(D) -1

)

ln a e , com a \ {1} é:

1 2

(C) log a e

(D) nenhuma das anteriores

y

5. Observe o grá¿co. Sabe-se que:

g

• f (x) = -1 + 2ln x; • g(x) = e0,5x;

A

• O é a origem do referencial;

O

• o ponto A pertence ao grá¿co de g;

f

C B

x

• os pontos B e C pertencem ao grá¿co de f; • o ponto C tem a mesma ordenada que o ponto A. A área do trapézio [OACB] é igual a: (A) e

2 (B) e 2

(C)

e +e *e 2

(D)

e +e 2

GRUPO II


1. Considere as funções f e g de¿nidas por: f (x) = log 2 (x 2 - x) - log 2 (x) e g(x) = -e2x - e x + 7 Recorrendo a processos exclusivamente analíticos resolva as seguintes alíneas. 1.1. Determine o conjunto dos números reais que são soluções da inequação f (x) ≥ 1. Apresente o conjunto-solução na forma de um intervalo de números reais. 1.2. Determine os valores de x tais que g(x) = f (3). Matemática 12 | Caderno de Testes

35

36

2. Uma pequena barragem rural está contaminada por uma colónia de bactérias que cresce segundo a lei: t 4 N (t) = 10 000 * 2 , t

≥ 0 , com t em dias

Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva as alíneas seguintes. 2.1. Quantos dias demora a colónia de bactérias a triplicar o seu número inicial? Apresente o resultado arredondado às unidades. N(t + 1) é constante. N(t) Determine um valor aproximado dessa constante, arredondado às centésimas e interprete esse valor

2.2. Veri¿que que para qualquer valor de t,

no contexto da situação descrita.

3. Considere as funções f e g, representadas no referencial da ¿gura, e a função h de¿nida por: f

y

2 x 2 x 1 h(x) = 4 3 x 1 x 1

2

O

3

x

g

se x > 1 se x = 1 se x < 1

Determine, caso existam: 3.1. lim x 3

f (x) ; g(x)

3.2. lim h(x) (utilizando métodos exclusivamente analíticos); x 1

3.3.

lim h(x) (utilizando métodos exclusivamente analíticos).

x -

4. No início de 1978 havia 800 corças num determinado parque natural. As medidas de proteção a corças ¿zeram com que o referido número aumentasse continuamente. Os recursos do parque permitem que esse número cresça até um valor muito próximo de dois milhares, mas não permitem que esse valor seja ultrapassado. Nestas condições, apenas uma das expressões seguintes pode de¿nir a função P, que dá o número aproximado de corças existentes no parque natural, t anos após o início de 1978. (I)

2000 0,25t

1+ e (III)

1600 1+ e

-t

Qual é a expressão correta?


(II)

2000 1+ 1,5e-t

(IV) 2000 -

(

)

1200 t 3 + 1 t

e

TESTE N.º 3

Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explique as razões que o levam a rejeitar as outras três expressões (apresente três razões diferentes, uma por cada expressão rejeitada). Nota: poder-lhe-á ser útil recorrer às capacidades grá¿cas da sua calculadora. Se o ¿zer apresente todos os elementos recolhidos na sua utilização, nomeadamente o(s) grá¿co(s) obtido(s), bem como as coordenada(s) relevante(s) de algum (ou de alguns) ponto(s).

5. Num laboratório de pesquisa genética estuda-se a capacidade pulmonar de uma determinada cobaia (um macaco). 5.1. De um grupo constituído por três macacos pretos e por dois macacos brancos, dois vão ser selecionados, aleatoriamente, para uma determinada experiência. Qual é a probabilidade de serem selecionados dois macacos de cores diferentes? Apresente o resultado na forma de fração irredutível. 5.2. Sabe-se que é utilizada apenas uma cobaia em determinada experiência e que por cada cinco cobaias sujeitas a essa experiência apenas duas sobrevivem. Determine a probabilidade de, no ¿nal de um dia em que são feitas 35 experiências, apenas 12 cobaias sobreviverem. Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às milésimas.


37

38

Cotações Grupo I ..................................................................................................................................................... 50


Grupo II .................................................................................................................................................. 150

1. .......................................................................................................................................... 35 1.1. .................................................................................................................... 20 1.2. .................................................................................................................... 15 2. .......................................................................................................................................... 30 2.1. ..................................................................................................................... 15 2.2. ..................................................................................................................... 15 3. .......................................................................................................................................... 40 3.1. .................................................................................................................... 15 3.2. .................................................................................................................... 15 3.2. .................................................................................................................... 10 4. .......................................................................................................................................... 15 5. .......................................................................................................................................... 30 5.1. .................................................................................................................... 15 5.2. .................................................................................................................... 15

TOTAL .................................................................................................................................................... 200


TESTE N.º 3

Proposta de resolução GRUPO I 4. log a

(

)

1. O número de casos possíveis é: 6C2 O número de casos favoráveis é o número de arestas do octaedro, isto é, 12. Assim, a probabilidade pedida é 12 . 6 C2 Resposta (A)

2. a + 2b =

2012 C20 + 2012C 21 +

(

)

1 log a ln a e 2 1 1 = log a ln e a 2

ln a e =

=

1 1 log a a 2

1 * (1) 2 1 =2

=

2012

C21

(1)

= (1)

2012

2013

C21 +

C20 +

Resposta (B)

2012

2012

C21

C 21 =

2013

5. • A (0, g(0)) C21 é uma das pro-

g(0) = e0,5 * 0 = e0 = 1, logo A(0,1)

priedades do triângulo de Pascal: n

n

Cp + Cp + 1 =

• C(xc ,1)

n +1

f (x) = 1 § - 1+ 2lnx = 1 ‹ x > 0

Cp + 1

§ 2lnx

ou seja, adicionando dois números consecutivos

§ lnx

de uma linha do triângulo de Pascal obtém-se o número colocado abaixo, na linha seguinte.

§

=2 ‹ x>0

=1 ‹ x >0

x=e ‹ x>0

ou seja, C(e,1).

Resposta (C) • B(x B , 0)

3. - 1 0n 1 1- 1n 1 ln 1- 0 n

f (x) = 0 § - 1+ 2lnx = 0 ‹ x > 0 § 2lnx § lnx §

1 -1+ ln 1- -1 n A sucessão de termo geral -1+ ln 1

Assim, B 1 tende n

(

=

1 ‹ x>0 2

x= e ‹ x>0

)

e, 0 .

Portanto, A [OACB] =

para -1, por valores inferiores a -1, pelo que lim(xn ) = lim h(x) = + . x -1-

Resposta (C)

=1 ‹ x >0

OB + AC * OA 2

=

e +e *1 2

=

e +e 2

Resposta (D)


39

40

x Considerando a mudança de variável e = y, vem

GRUPO II 1.

que: -y2 - y + 6 = 0

{

}

1.1. D f = x : x 2 - x > 0 ‹ x > 0

§

= { x : ( x < 0 › x > 1) ‹ x > 0}

§

= ]1, + [

§

Cálculo auxiliar :

Substituindo y por ex, tem-se que:

x2 - x = 0 § §

x(x - 1) = 0

+

+ 0

x = 0 › x =1

x -3 e =

-

§

§

x = ln2

C.S. = {ln2}

( x2 - x) - log2 x ≥ 1 ‹ x > 1 log 2 ( x 2 - x ) ≥ log 2 2 + log 2 x ‹ x > 1 log 2 ( x 2 - x ) ≥ log 2 (2x) ‹ x > 1

§ log 2

§

› ex = 2

Equação impossível

1

f (x) ≥ 1

§

1 ¿ 1- 4 * (-1* 6) -2 1¿ 5 y= -2 y = -3 › y = 2 y=

x 2 - x ≥ 2x ‹ x > 1

2.

t 4 N (t) = 10 000 * 2

2.1.

0 N (0) = 10 000 * 2 4

t 4 N (t) = 3N (0) § 10 000 * 2

§

x - 3x ≥ 0 ‹ x > 1

§

(x ≤ 0

§

Cálculo auxiliar :

t ) 6 dias

x 2 - 3x = 0

§

x=0 › x=3

C.S. = 3, +

A colónia de bactérias triplica ao ¿m de aproxi+

+ 0

1.2. f (3) = log 2 (9 - 3) - log 2 3 = log 2 6 - log 2 3 6 = log 2 3 = log 2 2 =1

§-

2x

-

madamente 6 dias.

3

2.2. N (t +1) = N (t)

10 000 * 2 10 000

=

1 4 2

t +1 4

t 4 *2

=2

t +1 t 4 4

, At +0

N (t +1) ) 1,19 N (t) N (t +1) ) 1,19 * N (t)

g(x) = f (3) §-e

=3

t = log 2 3 4 § t = 4 * log 2 3

› x ≥ 3) ‹ x > 1

x(x - 3) = 0

= 30 000

t § 24

2

§

= 10 000 * 1= 10 000

N (t +1) ) N (t) + 0,19 * N (t)

- ex + 7 = 1

(e )

x 2

x

-e +6=0


Por cada dia que passa, o número de bactérias aumenta a uma taxa de aproximadamente 19%.

TESTE N.º 3

3.

A opção (I) está incorreta porque não está de

lim f (x) x 3 f (x) 2 = = 3.1. lim lim g ( x ) 0 x 3 g(x)

acordo com o facto de existirem 800 corças no parque natural, no instante t = 0, corres-

x 3

pondente ao início de 1978. Na realidade,

Calculando os limites laterais, e por observa-

nesta função, a imagem de 0 é 1000.

ção dos grá¿cos:

O facto de os recursos do parque permitirem

f (x) 2 = + = + + g(x) x 3 0 f (x) f (x) 0 lim ± lim + f (x) 2 x 3 g(x) x 3- g(x) lim = - = - x 3- g(x) 0 f (x) Logo, E lim . x 3 g(x) lim

que o número de corças cresça continuamente até um valor muito próximo dos dois milhares implica que se tenha lim P(t) = 2000 . t +

Assim, a opção (III) também não está adequada à situação descrita, pois:

3.2. lim h(x) = ? x1

lim

1600

=

1600 = 1600 1+ 0

Uma vez que para x > 1 a expressão analítica

t + 1+ e-t

de h é distinta da expressão analítica para

A opção (IV) também é incorreta, como se

x < 1, tem que se calcular os limites laterais:

pode con¿rmar através do grá¿co reprodu-

(

)

zido abaixo. A função de¿nida por

0 0

2 x -1 2 x -2 lim h(x) = lim = lim = x -1 x1+ x1+ x - 1 x1+ 2

= lim

(

x1+

) ( x + 1) = lim ( x - 1) ( x + 1) x1 x -1

+

2 ( x - 1)

( x - 1) (

+

x1

lim h(x) = lim

x1-

)

x +1

t

ças cresce continuamente. P 2000

( x - 1) ( x 2 + x + 1) = lim x1( x - 1)

0 3 x - 1 0

x1-

(

x -1

800

)

O

= lim x 2 + x + 1 = 1+ 1+ 1= 3 x1-

)

não é monótona, o que e contraria a a¿rmação de que o número de cor2000

2 2 = =1 x +1 2

= lim

(

1200 t 3 +1

t

Logo, a opção correta é a opção (II). Cálculo auxiliar: 1 1 1

0 1 1

0 1 1

5.

-1

5.1. O número de casos possíveis é 5C2 . O número de casos favoráveis é 3C1 * 2 C1 .

1 0=r


C1 * 2 C1

x3 - 1 = (x - 1) (x2 + x + 1)

5

lim h(x) 0 lim h(x), logo E lim h(x).

x1+

x1

3.3. lim h(x) = lim x -

x -

2

= lim x = + x -

x1

¿ x 3 - 1 ¿

x -1

x3 = lim x - x

C2

=

6 3 = 10 5

5.2. X: “número de cobaias que sobreviveram nas 35 experiências”. 2 X } 35, 5 P ( X = 12) =

35

2 12 C12 * * 5

3 23 ) 0,111 5


41

42


Cada resposta certa .................................................................................................................... 10 pontos As respostas corretas são as seguintes: Itens

1

2

3

4

5

Respostas

A

C

C

B

D

GRUPO II 1. 1.1. ............................................................................................................................................... 20 pontos Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos: 1.º Processo: Determinar o domínio de f ............................................................................................................... 5 pontos Escrever log2(x2 - x) - log2 x ≥ 1 ..................................................................................................... 1 ponto Resolver a inequação ................................................................................................................... 11 pontos Escrever log2(x2 - x) ≥ 1+ log2 x ............................................................................................. 1 ponto Escrever 1 = log2 2 ............................................................................................................... 2 pontos Utilizar a propriedade da soma dos logaritmos .....................................................................4 pontos Resolver a inequação x2 - x ≥ 2x ...........................................................................................4 pontos Indicar a solução da inequação f (x) ≥ 1 (C.S. = [3, + '[) ............................................................... 3 pontos 2.º Processo: Determinar o domínio de f ............................................................................................................... 5 pontos Escrever log2(x2 - x) - log2 x ≥ 1 ..................................................................................................... 1 ponto Resolver a inequação ................................................................................................................... 11 pontos Escrever 1 = log2 2 ............................................................................................................... 2 pontos Utilizar a propriedade da diferença de logaritmos ................................................................ 4 pontos 2 Obter a inequação x - x ≥ 2 ................................................................................................ 1 ponto x 2 Resolver a inequação x - x ≥ 2 ......................................................................................... 4 pontos x Indicar a solução da inequação f (x) ≥ 1 (C.S. = [3, + '[) .............................................................. 3 pontos


TESTE N.º 3

1.2. ................................................................................................................................................15 pontos Calcular f (3) (f (3) = 1) ................................................................................................................... 2 pontos Escrever -e2x -ex + 7 = 1 .................................................................................................................. 1 ponto Resolver a equação ...................................................................................................................... 11 pontos Obter - (ex)2 - ex + 6 = 0 ........................................................................................................ 2 pontos Obter ex = - 3 › ex = 2 ........................................................................................................ 5 pontos Reconhecer que ex = - 3 é uma equação impossível ........................................................... 2 pontos Concluir que ex = 2 § x = ln2 ................................................................................................. 2 pontos Concluir que ln2 é solução da equação ........................................................................................... 1 ponto 2. 2.1. ................................................................................................................................................15 pontos Calcular N(0) (N(0) = 10 000) ......................................................................................................... 2 pontos Equacionar o problema (N(t) = 3N(0)) ............................................................................................ 3 pontos Resolver a equação ........................................................................................................................ 9 pontos t

Obter a equação 2 4 = 3 ....................................................................................................... 2 pontos t Obter a equação = log 2 3 ................................................................................................ 4 pontos 4 Obter a equação t = 4 * log 2 3 ............................................................................................. 1 ponto Concluir que t ) 6 .................................................................................................................. 2 pontos Responder ao problema ................................................................................................................... 1 ponto 2.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos Determinar N (t + 1) ...................................................................................................................... 11 pontos N (t) Obter a expressão

Obter a expressão

10 000 * 2

t +1 4

t 10 000 * 2 4 t +1 t 2 4 4

........................................................................................ 4 pontos

................................................................................................. 4 pontos 1

Obter o valor do quociente 2 4 ............................................................................................. 2 pontos Concluir que

N (t + 1) ) 1,19, At +0 ...................................................................................... 1 ponto N (t)

Interpretar o valor de

N (t + 1) no contexto da situação apresentada ............................................ 4 pontos N (t) Matemática 12 | Caderno de Testes

43

44

3. 3.1. ............................................................................................................................................... 15 pontos Calcular lim x 3

f (x) ......................................................................................................................... 5 pontos g(x)

+

Escrever lim x 3

+

f (x) 2 ...................................................................................................... 3 pontos = g(x) 0+

Concluir que lim x 3

Calcular lim x 3

x 3

f (x) = + ............................................................................................... 2 pontos g(x)

f (x) ......................................................................................................................... 5 pontos g(x)

-

Escrever lim

+

-

f (x) 2 ...................................................................................................... 3 pontos = g(x) 0-

Concluir que lim x 3

Referir que lim x 3

-

f (x) = - ................................................................................................ 2 pontos g(x)

f (x) f (x) ................................................................................................ 2 pontos 0 lim g(x) x 3 g(x)

+

Concluir que não existe lim x 3

f (x) .................................................................................................. 3 pontos g(x)

3.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos Calcular lim h(x) .......................................................................................................................... 7 pontos x1+

Escrever lim

x1+

2 x -2 ........................................................................................................... 1 ponto x -1 2

Escrever lim

(

)

x -1 x -1

+

x1

......................................................................................................... 1 ponto

Multiplicar o numerador e o denominador da fração por Obter lim

+

x1

2 ( x - 1) (x - 1)( x + 1)

Escrever lim

+

x1

(

)

x +1 ........................................ 2 pontos

....................................................................................................... 1 ponto

2 ............................................................................................................. 1 ponto x +1

Concluir que lim

+

x1

2 = 1 ................................................................................................... 1 ponto x +1


TESTE N.º 3

Calcular lim h(x) .......................................................................................................................... 6 pontos x1-

Escrever lim

x1-

x3 - 1 .............................................................................................................. 1 ponto x -1

Decompor x3 – 1 num produto de fatores

(

)

(( x - 1) ( x

2

)) ............................................... 3 pontos

+ x +1

Obter lim x 2 + x + 1 ............................................................................................................ 1 ponto x1-

(

)

Concluir que lim x 2 + x + 1 = 3 ............................................................................................ 1 ponto x1-

Referir que lim h(x) 0 lim h(x) ..................................................................................................... 1 ponto x1-

x1+

Concluir que não existe lim h(x) ..................................................................................................... 1 ponto x1

3.3. ............................................................................................................................................... 10 pontos x3 - 1 ........................................................................................................... 2 pontos x - x - 1

Escrever lim

x3 - 1 x3 .......................................................................................... 4 pontos = lim x - x - 1 x - x

Escrever lim

Obter lim x 2 ...................................................................................................................... 2 pontos x -

Concluir que lim h(x) = + ................................................................................................ 2 pontos x -

4. .................................................................................................................................................. 15 pontos A composição deve apresentar os pontos seguintes: A) Identi¿car a opção que representa P. B) Indicar uma razão que permita rejeitar a opção (I). C) Indicar uma razão que permita rejeitar a opção (III). D) Indicar uma razão que permita rejeitar a opção (IV). Na tabela seguinte indica-se como deve ser classi¿cada a resposta a este item, de acordo com os níveis de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa e os níveis de desempenho no domínio especí¿co da disciplina.


45

46

Descritores do nível de desempenho no domínio

Níveis*

da comunicação escrita em língua portuguesa. Descritores do nível de desempenho no domínio especí¿co da disciplina.

6 Apresenta corretamente os quatro pontos, OU apenas os pontos B, C e D.

Níveis

5 4 3 2

Apresenta corretamente apenas os pontos A, B e C, OU apenas os pontos A, B e D, OU apenas os pontos A, C e D. Apresenta corretamente apenas os pontos B e C, OU apenas os pontos B e D, OU apenas os pontos C e D. Apresenta corretamente apenas os pontos A e B, OU apenas os pontos A e C, OU apenas os pontos A e D. Apresenta corretamente apenas o ponto B, OU apenas o ponto C, OU apenas o ponto D.

1 Apresenta apenas o ponto A.

1

2

3

13

14

15

10

11

12

7

8

9

4

5

6

1

2

3

1

1

1

* Descritores apresentados nos Critérios Gerais de Classi¿cação. 5. 5.1. ............................................................................................................................................... 15 pontos Expressão que dá o valor pedido (ver nota1) .............................................................................. 12 pontos 3 Resultado na forma pedida P = (ver nota 2) .......................................................................... 3 pontos 5 Nota 1 Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão , com a respetiva classi¿cação a atribuir. 3 C1 * 2C1 (ou equivalente) .......................................................................................................... 12 pontos 5 C2 Outras frações próprias com denominador 5C2 ou 5A 2 ................................................................ 5 pontos Outras situações ............................................................................................................................. 0 pontos Nota 2 A classi¿cação relativa a esta etapa só é atribuída se a etapa anterior não tiver sido classi¿cada com zero pontos.

5.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) ............................................................................. 12 pontos Resultado na forma pedida (P ) 0,111) (ver nota 2) ...................................................................... 3 pontos Matemática 12 | Caderno de Testes

TESTE N.º 3

Nota 1 Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, com a respetiva classi¿cação a atribuir. 2 12 C12 * * 5

35

3 23 (ou equivalente) ............................................................................................ 12 pontos 5

3 12 2 23 C12 * * (ou equivalente) .............................................................................................. 8 pontos 5 5

35

2 12 5 23 * (ou equivalente) .......................................................................................................... 6 pontos 5 5 3 12 * 5

2 23 (ou equivalente) .......................................................................................................... 4 pontos 5

Outras situações............................................................................................................................... 0 pontos Nota 2 A classi¿cação relativa a esta etapa só é atribuída se a etapa anterior não tiver sido classi¿cada com zero pontos.


47

48

Exemplos de resposta e proposta de cotação Cotação a atribuir ............................0 pontos

GRUPO II 1.

(

)

1.1. f (x) ≥ 1 § log 2 x 2 - x - log 2 x ≥ 1

( x2 - x) ≥ log2 2 + log2 x log 2 ( x 2 - x ) ≥ log 2 ( 2x )

§ log 2 §

da situação apresentada...................0 pontos

x 2 - x ≥ 2x § x 2 - 3x ≥ 0 §x≤0 › x≥3 §

Cálculo auxiliar : +

x 2 - 3x = 0 § x(x - 3) = 0 §x=0 › x=3

+ 0

3

C.S. = ]-', 0 ] F [3, +'[ Errado! Cotação a atribuir ..........................15 pontos O aluno utiliza o 1.º Processo de resolução e: • não determina o domínio de f ..........0 pontos 2 • escreve log 2 x - x - log 2 x ≥ 1 .........1 ponto

(

)

• resolve a inequação ...................... 11 pontos

(

Nesta resposta o aluno: • não determina N (t + 1) ....................0 pontos N (t) • não interpreta o valor de N (t + 1) no contexto N (t)

)

Neste exercício pretendia-se que o aluno provasse que N (t + 1) é uma constante, qualquer N (t) que seja o valor de t pertencente a +0 . O aluno concretizou o valor de t substituindo o valor de t por zero. Logo, não provou o que se pretendia. 4. A opção (I) está incorreta porque 2000 = 1000 , o que não está de acordo P (0 ) = 1+ e0 com o facto de existirem 800 corças no parque natural, no instante t = 0, correspondente ao ínicio de 1978. O facto de os recursos do parque

Escreve log 2 x 2 - x ≥ log 2 2 + log 2 x ...1 ponto

permitirem que o número de corças cresça conti-

Escreve 1= log 2 2 ...............................2 pontos

implica que se tenha lim P (t ) = 2000. Assim, a

Utiliza corretamente a propriedade da soma dos logaritmos ..........................................4 pontos 2 Resolve corretamente a inequação x - x ≥ 2x ...........................................................4 pontos • indica a solução de f (x) ≥ 1 de acordo com os cálculos efetuados .......................... 3 pontos

Repara como o esquecimento da determinação do domínio de f implicou a classi¿cação de 0 pontos em duas etapas! Deves, na resolução de equações e inequações logarítmicas começar sempre por determinar o domínio da expressão. 2. 2.2. N (0) = 10 000 N (1) = N (0)

1 N (1) = 10 000 * 2 4

1 10 000 * 2 4

10 000

=


1 24

) 1,19

nuamente até um valor próximo dos dois milhares t +

opção (III) também não está adequada à situa1600 1600 = = 1600 . ção descrita, pois lim 1+ 0 t + 1+ e- t A opção (IV) também é incorreta, pois a função 1200 t 3 + 1 não é monótona, de¿nida por 2000 et o que contraria a a¿rmação de que o número

(

)

de corças cresce continuamente. Logo, a opção correta é a opção (II). Cotação a atribuir ..........................12 pontos Nesta resposta considera-se que o aluno apresenta corretamente apenas os pontos A, B e C, pois não apresenta uma justi¿cação (grá¿co) para o facto de a função da opção (IV) não ser monótona.

TESTE N.º 4



Número de itens


Escolha múltipla

5

10


5

15 a 20


1

12


1

20


1

15



Conteúdos Tema I – Probabilidades e combinatória > Conceitos probabilísticos > Operações com acontecimentos > De¿nição clássica de probabilidade > De¿nição axiomática de probabilidade > Probabilidade condicionada e independência > Análise combinatória > Triângulo de Pascal Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II > Função exponencial de base superior a 1 > Função logarítmica de base superior a 1 > Limites > Continuidade > Assíntotas do grá¿co de uma função


49

50


GRUPO I


1. Uma determinada linha do triângulo de Pascal tem 17 elementos. Escolhendo, ao acaso, um elemento dessa linha, qual é a probabilidade de ele ser maior do que 16? (A) 13 16

(B) 13 17

(C) 8 17

(D) 3 4

2. Sejam a, b, c, e d quatro números reais, tais que a å ^+ \{1} e b, c å ^+. Sabe-se que loga (b2) = c e c = ad. Indique qual das expressões seguintes é igual a log a bc ? (A)

c2 d + 4 2

(B) c + d

(C)

c +d 4

(D)

3. Para certos valores de a e b, é contínua em ^ a função f de¿nida por: Quais os valores de a e b? (A) a = -6 e b = -4

(B) a = -4 e b = -

(C) a = -4 e b = -6

(D) a = 6 e b = 4


1 6

c d + 4 2

e- x - 1 a + x f ( x ) = -5 bx + 1 ln ( x + 1)

se x < 0 se x = 0 se x > 0

TESTE N.º 4

4. Na ¿gura está representado o grá¿co de uma função g, de domínio ^.

y=–x

Tal como a ¿gura sugere, as retas de equação y = -x e x = 0 são assíntotas e x - g(x) do grá¿co de g. Qual é o valor de lim ? x x - (A) 1 (B) -1 (C) -' (D) +'

y g

O

x

5. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação: log 2 ( x - 4) ≤ 1- log 2 (7 - x ) (A) ] -, 5[ ] 6, + [

(B) ] -, 5] [ 6, + [

(D) ] 4, 5] [ 6, 7[

(C) ] 4, 5[ ] 6, 7[

GRUPO II


1. Uma caixa contém cartões, indistinguíveis ao tato, numerados de 1 a 20. Os cartões numerados com número par têm cor branca e os cartões numerados com número ímpar têm cor amarela. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar, sucessivamente, dois cartões da caixa, não repondo o primeiro cartão retirado, e em registar a cor dos cartões retirados. 1.1. Determine a probabilidade de os dois cartões retirados da caixa terem cores diferentes. Apresente o resultado na forma de fração irredutível. 1.2. Na mesma experiência aleatória, considere os acontecimentos: A: “O primeiro cartão retirado é amarelo.” B: “O segundo cartão retirado é branco.” C: “O número do segundo cartão retirado é primo.”

(

)

Qual é o valor da probabilidade condicionada P (B C) | A ?

(

)

9 . 19 Numa pequena composição, sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, explique o valor

A resposta correta a esta questão é P (B C) | A =

(

)

dado, começando por interpretar o signi¿cado de P (B C) | A no contexto da situação descrita e fazendo referência: • à regra de Laplace; • ao número de casos possíveis; • ao número de casos favoráveis. Matemática 12 | Caderno de Testes

51

52

2.

Seja g a função de domínio ^ de¿nida por: 5x 2 - 5 g(x) = x 2 - 2x + 1 1- x 2x + ln x - e

se x ≤ 0 se x > 0

2.1. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, estude a função g quanto à continuidade. 2.2. Sem recorrer à calculadora, estude a função g quanto à existência de assíntotas do seu grá¿co. Indique uma equação para cada uma das assíntotas encontradas. 2.3. Na ¿gura está representada, em referencial o.n. xOy, parte do grá¿co da função g. O retângulo [ABCD] tem dois vértices no eixo Ox, estando os outros dois no grá¿co de g. O ponto A tem abcissa -3. Determine a área do retângulo [ABCD]. Nota: Na resolução deste problema vai necessitar de determinar a abcissa do

y B

A

g C

O

D

x

ponto C. Para tal, utilize as capacidades grá¿cas da sua calculadora. Reproduza a parte do grá¿co de g que visualizou, bem como a reta BC. Assinale também o ponto C e apresente a sua abcissa arredondada às centésimas. Apresente a área pedida igualmente arredondada às centésimas.

3. Em dois lagos A e B onde não havia peixes, introduziram-se, a 1 de janeiro de 1994, alguns peixes. Admita que t anos depois, o número, em milhares, de peixes existentes em qualquer um dos lagos é dado aproximadamente por: P(t) =

4ekt 2 + pekt

, em que k e p são parâmetros reais

Resolve os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar cálculos numéricos. 1 e p = 2. 2 Determina o ano e o mês em que o número de peixes nesse lago atingiu os 1500.

3.1. Admita que, no lago A, k =

Sempre que nos cálculos intermédios proceder a arredondamentos, conserve no mínimo três casas decimais. 3.2. No lago B, constatou-se que havia 500 peixes no início de 1995. Qual é para esse caso a relação entre k e p, sendo p um valor positivo. Apresente a sua resposta na forma k = - ln(A + Bp), em que A e B são números reais. 4. De uma função g de domínio [a,b] sabe-se que: • g é contínua em todo o seu domínio; • g(x) > 0, Ax å [a, b]; g(b) . • g(a) = 4 Seja h a função de domínio [a,b] de¿nida por h(x) = 2g(x) - g(b). Prove que a função h tem pelo menos um zero. Matemática 12 | Caderno de Testes

53

Cotações Grupo I ..................................................................................................................................................... 50


Grupo II .................................................................................................................................................. 150

1. .......................................................................................................................................... 30 1.1. .................................................................................................................... 15 1.2. .................................................................................................................... 15 2. .......................................................................................................................................... 60 2.1. .................................................................................................................... 20 2.2. .................................................................................................................... 28 2.3. .................................................................................................................... 12 3. .......................................................................................................................................... 40 3.1. .................................................................................................................... 20 3.2. .................................................................................................................... 20 4. .......................................................................................................................................... 20

TOTAL .................................................................................................................................................... 200


54

Proposta de resolução 1 ln(x +1) = b * + 1 Note que: lim =1 1 x x 0 (limite notável) = b+1

GRUPO I

1. A linha do triângulo de Pascal com 17 elemen-

e - x - 1 lim f (x) = lim a + x x 0x 0-

tos é a linha cujos elementos são do tipo 16

C p , com p {0,1,,16}.

Apenas os elementos

e- x - 1 x x 0-

= a + lim

16

C0 , 16C1, 16C15 e 16C 16

não são maiores do que 16, ou seja, todos os

e- x - 1 x 0- -x

outros (17 - 4 = 13) são maiores do que 16. 13 . Assim, a probabilidade pedida é 17

= a - lim

Consideremos a mudança de variável -x = y;

Resposta (B)

como x A 0-, y A 0+.

( )

2. Sabe-se que: log a b2 = c § 2log a ( b) = c § log a

(b) =

c e c = ad 2

§

ey -1 y y 0+

= a - lim

d = log a ( c )

1 log a ( bc ) 2 1 = [ log a (b) + log a (c)] 2 1 c = + d 22

ey -1 =1 y

y 0 (limite notável)

= a -1

Então, log a bc =

=

Note que: lim

Para que f seja contínua em x = 0, então lim f (x) = lim f (x) = f (0) , isto é:

x 0+

x 0-

b = -6 b + 1= -5 § a - 1= -5 a = -4

c d + 4 2

Resposta (C)

Resposta (D) 4. 3. Nos intervalos ]-', 0[ e ] 0, +'[ a função é

e x g(x) e x - f (x) = lim x x x - x - x lim

ex g(x) - lim x - x x - x

contínua por se tratar da composta de funções

= lim

contínuas. Para que f seja contínua em ^, tem que ser contínua em x = 0, isto é:

Declive da assíntota oblíqua do gráfico de g quando

lim f (x) = lim f (x) = f (0)

x 0+

x -

x 0-

e- - ( -1) - 0 = +1 - = 0 +1 =

bx + 1 lim f (x) = lim + + ln(x + 1) x 0 x 0 = b * lim

x 0

= b*

+

x +1 ln(x + 1)

1 ln(x + 1) lim x x 0+


=1 Resposta (A)

TESTE N.º 4

5. D = { x : x - 4 > 0 ‹ 7 - x > 0}

Assim, a probabilidade pedida é: 2 * 10 * 10

= { x : x > 4 ‹ 7 > x}

20

A2

= ] 4, 7[

((

Resolução analítica:

( x - 4) + log 2 (7 - x ) ≤ log 2 2 ‹ x D § log 2 ( x - 4) (7 - x ) ≤ log 2 2 ‹ x D § ( x - 4 ) (7 - x ) ≤ 2 ‹ x D

numerado com um número primo, sabendo que

§

o primeiro cartão retirado é amarelo. Ora, admitindo que o primeiro cartão retirado é amarelo, e não há reposição, restam 19

x 2 + 4x + 7x - 28 - 2 ≤ 0 ‹ x D 2

cartões possíveis para a 2.ª extração, dos

+ 11x - 30 ≤ 0 ‹ x D

(x ≤ 5

) )

segundo cartão retirado ser branco e não estar

§ log 2

§x

2 * 10 * 10 10 . = 20 * 19 19

1.2. P B C | A representa a probabilidade de o

log 2 ( x - 4) ≤ 1- log 2 (7 - x )

§-

=

quais 10 são cartões brancos e pares (pois

› x ≥ 6) ‹ x D

sabe-se que os cartões numerados com número par tem cor branca). Desses 10 car-

C.S. = ] 4, 5] [ 6, 7[

tões brancos, 9 são cartões que não estão numerados com número primo (4, 6, 8, 10,

Cálculo auxiliar :

12, 14, 16, 18 e 20). Assim, 19 é o número de

-x 2 + 11x - 30 = 0

casos possíveis e 9 é o número de casos

-11¿ 121- 4 * 30 §x= -2 §x=6 › x=5

favoráveis. Pela regra de Laplace, a probabi-

+ 6

lidade de um acontecimento é o quociente

–

–

5

entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possí-

Resolução gráfica:

veis quando os resultados elementares são

y1 = log 2 ( x - 4)

P1(5, b1)

y2 = 1- log 2 (7 - x )

P2 (6, b2 )

y

y2

0

4

5

6

7

((

) )

2.

y1

P2

P1

equiprováveis e em número ¿nito. Assim, 9 . conclui-se que P B C | A = 19

x

2.1. • Em ] -,0[ , g é contínua por, neste intervalo, se tratar de uma função racional cujo denominador não se anula no intervalo considerado.

Veri¿ca-se que y1 ≤ y2 para x D ]4, 5] F [6, 7[. Resposta (D)

• Em ]0,+ [ , g é contínua por, neste intervalo, se tratar da soma entre três funções contínuas, uma polinomial, uma logarítmica e a composta de uma função exponencial

GRUPO II

com uma função a¿m. • Em x = 0:

1. 1.1. O número de casos possíveis é:

20

A2 = 20 * 19

O número de casos favoráveis é: 10 * 10 + 10 * 10 = 2 * 10 * 10

(

lim g ( x ) = lim 2x + ln x - e1-x

x 0+

x 0+

)

= 0 + ( -) - e = -


55

56

lim g ( x ) = lim

5x 2 - 5 2

x - 2x + 1 lim g ( x ) 0 lim g ( x )

x 0

x 0

x 0

x 0+

g (0) = -5

=-

5 = -5 1

Como o valor obtido não é um número real, conclui-se que o grá¿co de g não admite assíntota não vertical quando xA +'. • x -

Não existe lim g ( x ), logo g não é contínua em

x -

x 0

x = 0, apesar de g ser contínua à esquerda em x = 0, uma vez que lim - g ( x ) = g (0) .

= lim

Conclui-se que g é contínua em ^\{0}.

= lim

Assíntotas verticais

(

lim g ( x ) = lim 2x + ln x - e

x 0+

x 0+

1 x

)

= 0 + ( -) - e = - A reta de equação x = 0 é uma assíntota vertical do grá¿co de g. Como g é contínua em ^\{0}, o seu grá¿co não admite mais assíntotas verticais. Assíntotas não verticais

( y = mx + b, m, b ) • x + m = lim

g ( x)

x +

x 2x + ln x - e1- x = lim x x + ln x e1- x = lim 2 + x x x + ln x 0 Note que: lim =0 = 2+0x + x + (limite notável) = 2+0-0 =2

b = lim g ( x ) - 2x x +

( 2x + ln x - e1- x - 2x ) x + = lim ( ln x - e1- x ) x + = lim

= + e = + + 0 = + Matemática 12 | Caderno de Testes

x 5x 2 - 5

x - x 3

x 0

2.2. Dg = ^

g ( x)

m = lim

- 2x 2 + x

5x 2

x3 5 = lim x - x x -

5 - =0 =

b = lim g ( x ) - 0x x -

5x 2 - 5

= lim

x - x 2 - 2x + 1

5x 2

= lim

x2 = lim 5 x - x -

=5 A reta de equação y = 5 é uma assíntota horizontal do grá¿co de g quando xA -'. 2.3. O ponto A tem como coordenadas (-3, 0) e B ( -3, g (3)) . g ( -3) =

5 ( -3) - 5 2

(-3)

2

- 2 ( -3) + 1

=

40 5 = 16 2

Como a ordenada do ponto C é igual à ordenada de B: 5 C xC , , ou seja, pretende-se determinar a 2 solução da equação 2x + ln x - e1- x =

5 . 2

TESTE N.º 4

3.2. O início de 1995 corresponde a t = 1.

Na calculadora: 1- x

y1 = 2x + ln x - e y2 =

Assim: P B(1) = 0,5

5 2 y

§

y1

1,41

x

D tem como coordenadas (1,41; 0) A [ ABCD ] = AB * AD )

5 * (3 + 1,41) ) 11,03 2

3. 1 2

p=2

PA (t ) =

4e0,5t

2 + 2e0,5t 0,5t

§ 4e

)

‹

0,5t

2 + 2e 0 0

Condição universal 0,5t

= 3 + 3e0,5t

0,5t

- 3e0,5t = 3

§ 4e § 4e

)

‹

2 + pek 0 0

Condição universal visto p > 0 § 4e

k

= 1+ 0,5 pek

§ 4e

k

- 0,5 pek = 1

§

(4 - 0,5 p) ek = 1

§e

k

=

1 4 0,5 p

§

1 k = ln 4 0,5 p

§

k = - ln ( 4 - 0,5 p )

produto de uma constante por g e a outra que

= 1,5 2 + 2e0,5t ‹

(

= 0,5 2 + pek

entre duas funções contínuas (uma que é o

= 1,5

(

= 0,5

4. h é contínua em [a, b] por se tratar da diferença

2 + 2e0,5t

4e0,5t

k

y2

5 C tem como coordenadas 1,41; 2

3.1. k =

2 + pek

§ 4e

C

O

4ek

0,5t

=3 § 0,5t = ln3 §e

ln3 §t = 0,5 § t = 2ln3 t ) 2,197 2,197 anos = 2 anos + 0,197 anos 0,197 * 12 = 2,364

é uma constante). h ( a ) = 2g ( a ) - g ( b) = =

2g ( b) 4 g ( b)

=-

- g ( b)

- g ( b) 2 g ( b) 2

Como g ( x ) > 0, Ax [ a, b] então, em particular, g ( b) > 0.

Logo: g ( b) < 0, isto é, h ( a ) < 0. 2 h ( b) = 2g ( b) - g ( b) = g ( b) > 0, pois g ( x ) > 0, Ax [ a, b]

Assim, h ( a ) * h ( b) < 0. Pelo corolário do Teorema de Bolzano, conclui-

O número de peixes atingiu 1500 em março

-se que E c ] a, b[ : h ( c ) = 0 , isto é, a função h

de 1996.

tem pelo menos um zero. Matemática 12 | Caderno de Testes

57

58

Critprios esSect¿cos de cOassi¿caomo GRUPO I

Cada resposta certa ..................................................................................................................... 10 pontos As respostas corretas são as seguintes:

Itens

1

2

3

4

5

Respostas

B

D

C

A

D

GRUPO II 1. 1.1. ............................................................................................................................................... 15 pontos Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos: 1.º Processo: Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1)............................................................................... 12 pontos 10 Resultado na forma pedida P = (ver nota 2) .......................................................................... 3 pontos 19 Nota 1 Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, com a respetiva classi¿caoão a atriEuir. 10 * 10 * 2 (ou equivalente) ......................................................................................................... 12 pontos 20 * 19 10 * 10 (ou equivalente) ................................................................................................................ 8 pontos 20 * 19 10 * 10 * 2 (ou equivalente) ........................................................................................................... 6 pontos 20 * 20 Outras situações ............................................................................................................................. 0 pontos Nota 2 A classi¿cação atriEuída a esta etapa sy p atriEuída se a etapa anterior não tiver sido classi¿cada com ]ero pontos. 2.º Processo: -usti¿cação para o valor pedido (ver nota 1)................................................................................ 12 pontos 10 Resultado na forma pedida P = (ver nota 2) ........................................................................ 3 pontos 19 Matemática 12 | Caderno de Testes

TESTE N.º 4

Nota 1 8m exemplo de uma Musti¿cação possível poderá ser: ³Retirado o primeiro cartão, seMa qual for o resultado, ¿camos com 19 possiEilidades equiprováveis de tirar o segundo cartão, das quais 10 são de cor diferente do primeiro. 10 Assim, a probabilidade pedida é igual a . 19 Nota 2 A classi¿cação relativa a esta etapa sy é atribuída se a etapa anterior não tiver sido classi¿cada com ]ero pontos. 1.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos A composição deve abordar os seguintes pontos:

((

) )

Interpretação de P B C | A : signi¿ca a probabilidade de o segundo cartão retirado ser de cor branca e não ter número ímpar, sabendo que o primeiro cartão retirado é amarelo. Explicação do número de casos possíveis: como foi retirado um cartão e não Ká reposição, existem 19 cartões possíveis para a 2.ª extração. Explicação do número de casos favoráveis: uma ve] que o primeiro cartão retirado é amarelo, continuam na caixa os 10 cartões brancos, numerados com 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, dos quais existem 9 com número não primo; 9 . De acordo com a regra de Laplace, a probabilidade de um aconteci19 mento é o quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, quando estes

Concluir que a probabilidade é são todos equiprováveis.

1a tabela seguinte, indica-se como deve ser classi¿cada a resposta a este item, de acordo com os níveis de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa, descritos nos critérios gerais, e os níveis de desempenho no domínio especí¿co da disciplina. Descritores do nível de desempenho no domínio

Níveis*

da comunicação escrita em língua portuguesa. Descritores do nível de desempenho

1

2

3

4 A composição aborda corretamente os quatro pontos.

13

14

15

3 A composição aborda corretamente apenas três pontos.

9

10

11

2 A composição aborda corretamente apenas dois pontos.

5

6

7

1 A composição aborda corretamente apenas um ponto.

1

2

3

Níveis**

no domínio especí¿co da disciplina.

*Descritores apresentados nos critérios gerais. **Apenas podem ser atribuídas classi¿cações correspondentes a um dos valores constantes do quadro. 1ão há lugar a classi¿cações intermédias.


59

60

2. 2.1. ............................................................................................................................................... 20 pontos g em ^- (ver nota 1) .......................................................................... 5 pontos g em ^+ (ver nota 2) .......................................................................... 5 pontos Estudar a continuidade de g em x = 0 ............................................................................................ 8 pontos Calcular lim - g x ................................................................................................................ 3 pontos xA 0

Calcular lim g x ............................................................................................................... 3 pontos xA 0+

g não é contínua em x = 0 .............................................................................. 2 pontos

Concluir que a função é contínua em ^\!0# ................................................................................... 2 pontos Nota 1 Se o aluno apenas referir que a função é contínua por ser o quociente de duas funções contínuas, a clasNota 2 cação a atribuir a esta etapa é de 3 pontos. 2.2. ............................................................................................................................................... 28 pontos g .......................................................... 5 pontos Calcular lim + g x ............................................................................................................... 2 pontos xA 0

Concluir que a reta de equação x =

g .............................. 1 ponto ....................................................... 2 pontos

Estudar a existência de assíntota não vertical quando xA +' ..................................................... 13 pontos g x Escrever m = lim ........................................................................................................ 1 ponto xA +' x Escrever lim

g x

xA +'

x

2x + ln x - e1- x ............................................................................ 1 ponto x xA +'

= lim

2x + ln x - e1- x ln x e1- x ............................................................... 1 ponto lim 2 + x x x xA +' xA +'

Escrever lim

Indicar que lim

xA +'

ln x = 0 ....................................................................................................... 1 ponto x

e1- x = 0 ..................................................................................................... 1 ponto xA +' x

Indicar que lim

Concluir que lim

xA +'

g x x

= 2 ................................................................................................... 1 ponto


TESTE N.º 4

Escrever b = lim g ( x ) - 2x ................................................................................................ 1 ponto x +

(

)

Escrever lim g ( x ) - 2x = lim 2x + ln x - e1- x - 2x ......................................................... 1 ponto x +

x +

(

)

(

)

Escrever lim 2x + ln x - e1- x - 2x = lim ln x e1 x ........................................................ 1 ponto x +

x +

Indicar que lim ln x = + ..................................................................................................... 1 ponto x +

(

)

Indicar que lim e1- x = 0 ....................................................................................................1 ponto x +

Concluir que lim g ( x ) - 2x = + ....................................................................................... 1 ponto x +

-usti¿car a não existência de assíntota não vertical quando xA +' ..................................... 1 ponto Estudar a existência de assíntota não vertical quando xA -' .................................................... 10 pontos Esta etapa pode ser resolvida por, pelo menos, dois processos: 1.º Processo:

g ( x)

Escrever m = lim

x -

Escrever lim

x -

g ( x)

5x 2 - 5

x - x 3

x -

= lim

- 2x 2 + x

5x 2 x

5x 2 - 5

x - x 3

x

Escrever lim Escrever lim

........................................................................................................ 1 ponto

x

3

Concluir que lim

x -

- 2x 2 + x

= lim

5x 2

x -

x3

............................................................................... 1 ponto ................................................................................ 1 ponto

5 ................................................................................................ 1 ponto x - x

= lim g ( x) x

= 0 ................................................................................................... 1 ponto

Escrever b = lim g ( x ) - 0x ................................................................................................ 1 ponto x -

Escrever lim g ( x ) - 0x = lim

x - x 2 - 2x + 1

x -

Escrever lim

5x 2 - 5

5x 2 - 5

x - x 2 - 2x + 1

= lim

x -

5x 2 x2

......................................................................... 1 ponto

................................................................................... 1 ponto

Concluir que lim g ( x ) - 0x = 5 .......................................................................................... 1 ponto x -

Concluir que a reta de equação y = 5 é assíntota hori]ontal do grá¿co de h quando xA -' .... 1 ponto


61

62

2.º Processo: Escrever lim g x ............................................................................................................. 2 pontos xA -'

Escrever lim g x = lim

xA -' x 2 - 2x + 1

xA -'

Escrever lim

5x 2 - 5

5x 2 - 5

xA -' x 2 - 2x + 1

= lim

5x 2

xA -'

x2

................................................................................. 2 pontos ................................................................................. 2 pontos

Concluir que lim g x = 5 .................................................................................................. 2 pontos xA -'

Concluir que a reta da equação y =

g quando xA -'... 2 pontos

2.3. ................................................................................................................................................12 pontos Determinar a ordenada de B g -3 =

5 2

........................................................................................ 1 ponto

Determinar a abcissa de C ............................................................................................................. 8 pontos 5 ‹ x D ^+ Equacionar o problema g x = ................................................................. 2 pontos 2 .............................................. 3 pontos g .................................................................................................................. 1 ponto 5 Reta de equação y = .............................................................................................. 1 ponto 2 Respeito pelo domínio ................................................................................................. 1 ponto Assinalar devidamente o ponto C ........................................................................................... 1 ponto Apresentar a abcissa aproximada do ponto C (1,41) (ver nota 1) .........................................2 pontos Escrever a expressão que dá a área do retângulo ........................................................................... 1 ponto Apresentar o valor pedido (ver nota 2) .......................................................................................... 2 pontos Nota 1

1.º caso: valor com duas casas decimais 1,41 ................................................................................................................................................. 2 pontos 1,40 ou 1,42 ...................................................................................................................................... 1 ponto Outros valores ................................................................................................................................ 0 pontos 2.º caso: valor com mais de duas casas decimais Valor pertencente ao intervalo [1,410; 1,411] ................................................................................... 1 ponto Outros valores ................................................................................................................................ 0 pontos Matemática 12 | Caderno de Testes

TESTE N.º 4

3.º caso: valor com menos de duas casas decimais Valor igual a 1,4 ................................................................................................................................ 1 ponto Outros valores ................................................................................................................................ 0 pontos Nota 2 A apresentação do valor pedido deve ser classi¿cada de acordo com o seguinte critério: Valor igual a 11,03 .......................................................................................................................... 2 pontos Valor igual a 11,025 .......................................................................................................................... 1 ponto Outros valores ................................................................................................................................ 0 pontos 3. 3.1. ............................................................................................................................................... 20 pontos Equacionar o problema (ver nota 1) .............................................................................................. 4 pontos Substituir k por 1 e p por 2 .............................................................................................................. 1 ponto 2 Resolver a equação (ver nota 2) ................................................................................................. 13 pontos

(

Obter a equação 4e0,5t = 1,5 2 + 2e0,5t 0,5t

Obter a equação 4e

0,5t

= 3 + 3e

) (ou equivalente) ..................................................... 2 pontos

(ou equivalente) ............................................................ 2 pontos

Obter a equação e0,5t = 3 .................................................................................................... 2 pontos Obter equação 0,5t = ln3

.................................................................................................. 4 pontos

ln3 (ou equivalente) ............................................................................1 ponto 0,5 Concluir que t ) 2,197 ........................................................................................................... 2 pontos Obter a equação t =

Responder ao problema (ver nota 3) ............................................................................................. 2 pontos Nota 1 Caso o aluno, ao equacionar o problema, escreva P(t) = 1500, a pontuação a atribuir a esta etapa é de 2 pontos. Nota 2 Caso a equação seja P(t) = 1500, a pontuação máxima a atribuir a esta etapa é de 8 pontos, tal como se discrimina a seguir.

(

Obter a equação 4e0,5t = 1500 2 + 2e0,5t

)

.....................................................................................1 ponto

Obter a equação 4e0,5t = 3000 + 3000e0,5t ................................................................................. 2 pontos Obter a equação -2996e0,5t = 3000 ........................................................................................... 2 pontos Obter a equação e0,5t = -

3000 ................................................................................................... 1 ponto 2996


63

64

Nota 3 Caso o aluno tenha obtido, na etapa anterior, uma equação impossível, a pontuação a atribuir a esta etapa é de 0 pontos. 3.2. ................................................................................................................................................20 pontos Escrever P(1) = 0,5 (ver nota) ....................................................................................................... 4 pontos

(

)

Obter a equação 4ek = 0,5 2 + pek ............................................................................................... 2 pontos Obter a equação 4ek = 1+ 0,5 pek .................................................................................................. 2 pontos Obter a equação ( 4 - 0,5 p ) ek = 1 .................................................................................................... 1 ponto 1 Obter a equação ek = ........................................................................................................ 1 ponto 4 - 0,5 p 1 Obter a equação k = ln .................................................................................................. 4 pontos 4 - 0,5 p Obter a equação k = ln ( 4 - 0,5 p )

-1

ou a equação k = ln1- ln ( 4 - 0,5 p )

..................................... 4 pontos

Concluir que k = - ln ( 4 - 0,5 p ) ....................................................................................................... 2 pontos Nota: caso o aluno escreva P(1) = 500, a pontuação a atribuir a esta etapa é de 2 pontos. 4. ...................................................................................................................................................20 pontos -usti¿car a continuidade da função h no intervalo [a, b] (ver nota 1) ............................................... 4 pontos g ( b) ou h ( a ) = -2g ( a ) ............................................................................................. 3 pontos Obter h ( a ) = 2 Obter h ( b) = g ( b) ou h ( b) = 4g ( a ) ................................................................................................... 3 pontos Concluir que h ( a ) < 0 ..................................................................................................................... 2 pontos Concluir que h ( b) > 0 ..................................................................................................................... 2 pontos Escrever h ( a ) * h ( b) < 0 ou h ( a ) < 0 < h ( b) .................................................................................... 2 pontos Concluir o pretendido (ver nota 2) ................................................................................................. 4 pontos Nota 1 Se o aluno não referir a continuidade no intervalo [a,b], mas a¿rmar que a função é contínua, a classi¿cação a atribuir a esta etapa é de 2 pontos. Nota 2 Se o aluno concluir o pretendido, mas não referir que a conclusão resulta do Teorema de Bolzano ou do seu corolário, a classi¿cação a atribuir a esta etapa é de 2 pontos.


TESTE N.º 4

Exemplos de resposta e proposta de cotação Continuidade em x = 0:

GRUPO II

lim g x = lim * 2x + ln x - e1- x *

xA 0+

1.

1.2. P B E C | A =

P BEC E A

P B E C E A = P AE B E C

= -' 5x 2 - 5

lim g x = lim

x 2 - 2x + 1 0-5 = 0 - 0 +1 = -5

xA 0-

10 * 9 20 * 19 9 = 38 =

P A =

= 0 + -' - e

P A

9 18 = 38 = 1 38 2 9 = 19

xA 0+

10 * 19 1 = 20 * 19 2

Cotação a atribuir ............................0 pontos Nesta resposta, o aluno utiliza um processo de resolução que não respeita a instrução dada: “sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada”.

xA 0-

lim g x 0 lim g x

xA 0+

xA 0-

Jnão é contínua em[= 0. Jé contínua em ^\!0#. Cotação a atribuir ..........................15 pontos Nesta resposta o aluno: -

-

dade deJem ^ (ver nota 1) ..........3 pontos -

+

dade deJem ^ (ver nota 2) ..........3 pontos estuda a continuidade deJem[= 0 com a presença de um erro formal (falta de parênte-

Repara que o aluno não respeitou a instrução

sis) ...................................................8 pontos

dada no enunciado, logo a etapa onde ocorreu

conclui que a função é contínua em ^\!0# ....

o desrespeito e todas as subsequentes que dela

.........................................................2 pontos

dependem foram cotadas com zero pontos. 4. h é contínua em DE * *

2. 2.1.g é contínua em - ', 0 por, neste intervalo, se tratar do quociente entre duas funções contínuas; Justificação incompleta g é contínua em 0, + ' por, neste intervalo, se tratar da soma de funções contínuas; Justificação incompleta

h a = 2g a - g E = 2* =

g E 4

- g E

g E

- g E 2 g E =<0 2


65

66

Sabe-se que: g ( x ) > 0, Ax [ a, b] , logo g ( b) > 0 e -

g ( b) 2

<0

h ( b) = 2g ( b) - g ( b) = g ( b) > 0 h ( a ) * h ( b) < 0 Logo, h tem pelo menos um zero. Resposta incompleta Cotação a atribuir .........................14 pontos Nesta resposta o aluno: não justi¿ca a continuidade de h no intervalo a, b .................................................0 pontos obtém h ( a ) = -

g ( b) 2

.........................3 pontos

obtém h ( b) = g ( b) ............................3 pontos conclui que h ( a ) < 0 ........................2 pontos conclui que h ( b) > 0 ........................2 pontos escreve h ( a ) * h ( b) < 0 ....................2 pontos conclui o pretendido sem evocar o corolário do Teorema de Bolzano ...................2 pontos


TESTE N.º 5



Número de itens


Escolha múltipla

5

10


4

15 a 20


1

15


3

20 e 15


1

15



Conteúdos Tema I – Probabilidades e combinatória > Conceitos probabilísticos > Operações com acontecimentos > De¿nição clássica de probabilidade > De¿nição axiomática de probabilidade > Probabilidade condicionada e independência > Análise combinatória Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II > Função exponencial de base superior a 1 > Função logarítmica de base superior a 1 > Limites > Continuidade > Assíntotas do grá¿co de uma função > Derivadas


67

68


GRUPO I

Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta. Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item. Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classi¿cada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos, nem Musti¿caç}es.

1 fez o trabalho de casa da disciplina de Matemá4 tica. A professora vai ver ao acaso o caderno de seis destes alunos.

1. Num determinado dia, de uma turma com 28 alunos só

Qual é a probabilidade de apenas um deles ter feito o trabalho de casa? (A)

21

C5

28

(B)

7*

C6

21

28

C5

C6

(C)

1 7

(D)

7 28

C6

2. De duas funções f e g sabe-se que f ( x * y ) = f ( x ) + f ( y ) e g ( x + y ) = g ( x ) * g ( y ) , para quaisquer dois números reais positivos x e y. Quais das seguintes expressões podem representar as expressões analíticas de f e g? (A) f ( x ) = e x e g ( x ) = ln x

(B) f ( x ) = ln x e g ( x ) = e x

(C) f ( x ) = x 2 e g ( x ) = x

(D) f ( x ) = x e g ( x ) = x 2


TESTE N.º 5

3.

f de domínio ^\!0#. As retas de equação x = 0, x = 1 e y = x Seja an = ln 1+

1 n

y

f.

f

n

. O valor de lim f an é: O

(A) 0

(B) -'

(C) 1

(D) +'

1

x

4. Seja f uma função de domínio ^+. Sabe-se que a reta de equação y = 1 x é igual a: f x

ln de f. Então, pode concluir-se que lim

xA +'

(A) +'

(B) -'

(D) -3

(C) 0 f e a reta r

5.

y

no ponto de abcissa 1. 2

Sabendo que g x = - 2 - x , qual é o valor de (A) 2

g ' ? 1 f

(C) 5 4

(B) -2

2

(D) 3 4

O

1

3

x f

r

GRUPO II Nas respostas aos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e

necessárias.

Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.

1. Na inauguração de uma perfumaria ofereciam-se amostras de um determinado perfume. Pretendia-se 40% das pessoas não sabiam desta iniciativa; 55% das pessoas compraram o perfume; duas pessoas em cada três das que sabiam da iniciativa compraram o perfume. 1.1. Qual é a probabilidade de uma pessoa, que não saiba desta iniciativa, comprar o perfume? Apresente o resultado na forma de fração irredutível. 1.2. Numa prateleira dessa mesma perfumaria encontravam-se 2 frascos de perfume da marca A, 3 frascos da marca B e 4 frascos da marca C, todos distintos entre si. todos agrupados por marca? Apresente o resultado sob a forma de fração irredutível. Matemática 12 | Caderno de Testes

69

70

2. Considere a função f, de domínio -',e \ !0# e

f x =

-

1 x

+x

1 1- ln x

se x < 0 se 0 < x < e

Resolva as duas primeiras alíneas seguintes utilizando métodos exclusivamente analíticos. 2.1. Estude a função f 2.2. Mostre que a função f tem pelo menos um zero no intervalo -2, -1. Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos; sempre que proceder a arredondamentos, conserve três casas decimais.

2.3. Utilize as

da calculadora para determinar o zero referido na alínea anterior,

para dar a sua resposta. 3. Seja g uma função, de domínio IR+, tal que g(x) 0 0, para qualquer x å IR+. Sabe-se que a reta de equação y = 0,5x Seja h a função, de domínio IR+ h x =

x2 g x

Prove que a reta de equação y = 2x

h.

4. Uma rampa de skate foi construída entre duas colunas A e B, distanciadas 5 metros, como se mostra

5 metros

A

B

Considere a função h h x = 6 - 2ln -x 2 + 5x + 6 , 0 ≤ x ≤ 5 (ln designa o logaritmo de base e)

Admita que h(x) é a altura, em metros, do ponto da rampa situado x metros à direita da coluna A.


TESTE N.º 5

4.1. Sem recorrer à calculadora, estude a função h quanto à monotonia e conclua daí que, tal como a

4.2. Mostre, analiticamente, que h 5 - x = h 5 + x . Interprete esta igualdade no contexto da situação 2 2 descrita.

5.

xOy g

g.

y

O

x

Sabe-se que: g é uma função contínua em ^; g não tem zeros; a primeira derivada, f ', de uma certa função f tem domínio ^ f ' x = g x * -x 2 + 5x - 4

f 1 * f 4 < 0.

Apenas uma das opções seguintes pode representar a função f. (II)

(I)

y

y

O

1

4 5

O

x

(III)

(IV)

1

4

x

4

x

y

y

O

1

4

O

1

Elabore uma composição na qual: indique a opção que pode representar f; apresente as razões que o levam a rejeitar as restantes opções.


71

72

Cotações Grupo I ..................................................................................................................................................... 50


Grupo II .................................................................................................................................................. 150

1. .......................................................................................................................................... 35 1.1. .................................................................................................................... 20 1.2. .................................................................................................................... 15 2. .......................................................................................................................................... 50 2.1. .................................................................................................................... 20 2.2. .................................................................................................................... 15 2.3. .................................................................................................................... 15 3. .......................................................................................................................................... 20 4. .......................................................................................................................................... 30 4.1. .................................................................................................................... 15 4.2. .................................................................................................................... 15 5. .......................................................................................................................................... 15

TOTAL .................................................................................................................................................... 200


TESTE N.º 5

Proposta de resolução 4. Dado que a reta de equação y = -2 é assíntota

GRUPO I

do grá¿co de f e Df = ^+, conclui-se que

1. O número de casos possíveis é

28

lim f ( x ) = -2 .

x +

C6 .

O número de casos favoráveis é 7 * 21C5 ,

Assim:

pois 7 é o número de maneiras diferentes de

1 1 1 + lim ln ln ln x x + x + ln 0 = = = lim lim f ( x ) -2 -2 x + f ( x )

( )

escolher um de entre os sete alunos que fez o trabalho de casa; e por cada uma dessas maneiras existem

x +

21

C5 maneiras distintas de

=

escolher 5 alunos de entre os 21 que não fez os trabalhos de casa. Assim, a probabilidade pedida é

7*

Resposta (A)

21

28

C5

C6

- = + -2

.

Resposta (B)

5. g ' 1 = g ' (1) * f (1) - g (1) * f ' (1) ( ) f f (1)2 =

2. Seja f (x) = lnx. Então: f ( x * y ) = ln ( x * y )

2 * 2 - ( -1) * ( -1) 4

=

Cálculo auxiliar : g ' ( x ) = -2 ( 2 - x ) ( -1)

= ln x + ln y

= 2 (2 - x )

= f ( x ) + f ( y ) , Ax, y +

= 4 - 2x

x

Seja g (x) = e . Então:

g ' (1) = 4 - 2 = 2

g ( x + y ) = e x+ y

g (1) = - ( 2 - 1) = -1 2

= ex * e y

f ' (1) = mt =

= g ( x ) * g ( y ) , Ax, y +

1 n 3. 1+ e n

GRUPO II

n

1 1 n

1.

1 n A sucessão de termo geral 1+ tende para 1, n por valores inferiores a 1, pelo que lim f ( an ) = lim f ( x ) = 1. -

x1

Resposta (C)

0-2 = -1 3 -1

Resposta (D)

Resposta (B)

ln 1+

4 -1 3 = 4 4

1.1. Considere os acontecimentos: S: “saber da iniciativa” C: “comprar o perfume” Da informação retirada do enunciado, sabe-se que:

()

• P S = 0,4, logo P ( S ) = 0,6.


73

74

( )

Assim, a probabilidade pedida é:

• P (C ) = 0,55, logo P C = 0,45.

2! 3! 4! 3! 1 = 9! 210

2 3 P (C S ) 2 2 P (C | S ) = § = P (S ) 3 3

• P (C | S ) =

2. 2.1. D f = ] -, e[ \ {0}

2 6 * 3 10 2 § P (C S ) = 5 § P (C S ) = 0,4 §

P (C S ) =

• Assíntotas verticais lim f ( x ) = lim

x 0

Organizando os dados numa tabela, obtém-se: C

Total

C

S

0,4

0,6

S

0,15

0,4

Total

0,55

0,45

x 0

1

x e- 1- ln x y

= 0,15 Pretende-se determinar:

(

)

()

P S

1

lim f ( x ) = lim

x e-

= 0,55 - 0,4

P C|S =

( )

1 1 = = =0 1- ( -) + -1 -1 lim f ( x ) = lim e x + x = e 0 + 0 x 0x 0-

cal do grá¿co de f.

)

(

1 1 = 1- ln x 1- ln 0+

A reta da equação x = 0 é uma assíntota verti-

P C S = P (C ) - P (C S )

P CS

+

- - = e ( ) = e+ = +

Cálculo auxiliar :

(

+

O

) = 0,15 = 3 0,4

=

1 0+

= +

y = 1 - ln x

e

x

8 A reta de equação x = e é uma assíntota verti-

1.2. O número de casos possíveis é 9!. O número de casos favoráveis é 2! * 3! * 4! * 3!, pois:

cal do grá¿co de f. Dado que f é contínua no seu domínio, o seu grá¿co não admite mais assíntotas verticais.

A A B B2 B3 C1 C2 C3 C4 12 1 * * * 2! 3! 4!

3!

• Assíntotas não verticais

( y = mx + b, m, b ) Dado que o domínio de f é limitado superior-

N.º de maneiras distintas dos frascos da marca A trocarem entre si

N.º de maneiras distintas dos frascos de perfume da marca B trocarem entre si


N.º de maneiras distintas dos 3 blocos das marcas A, B e C trocarem entre si N.º de maneiras distintas dos frascos de perfume da marca C trocarem entre si

mente só faz sentido procurar assíntota não vertical quando x A -'.

m = lim

x -

f ( x)

= lim

e

-

1 x

+x

x x x - -1 e x 1 = lim + 1 = + 1= 0 + 1= 1 x - x -

TESTE N.º 5

Procura-se a assíntota não vertical do grá¿co

-1 b = lim f ( x ) - x = lim e x + x - x x - x - = lim

x -

1 e x

de h, isto é, y = mx + b, m , b h ( x)

m = lim

x +

=1

= lim

x +

A reta da equação y = x + 1 é uma assíntota oblíqua do grá¿co de f quando x A - '.

se tratar da soma de duas funções contínuas,

que é uma função polinomial.

x * lim g ( x ) - 0,5x ( x ) x +

= -2 lim

1 * lim g ( x ) - 0,5x g ( x ) x + x

x + g

x +

-2= e-2<0

-1

f ( -2) * f ( -1) < 0

y = 2x é uma assíntota não vertical do grá¿co de h.

Pelo corolário do Teorema de Bolzano, conclui-se que E c å ]-2, -1[: f (c) = 0, ou seja, f tem pelo menos um zero no intervalo ]-2, -1[.

2.3. y1 =

1 e x

1 *0=0 0,5

= -2 *

f ( -1) = e -1 + ( -1) = e - 1> 0

1 2x g ( x ) - x 2 = - lim g ( x) x +

= -2 lim

Em particular, f é contínua em [-2, -1]. + ( -2) =

g ( x)

x +

nencial com uma função racional e a outra

f ( -2) =

x 2 - 2xg ( x )

= lim

uma que é a composta de uma função expo-

1 2 e

1 1 = =2 g ( x ) 0,5 x

x2 b = lim h ( x ) - 2x = lim - 2x x + x + g ( x )

2.2. f é contínua em ]-', 0[ por, neste intervalo,

-1 -2 e

x

x2 x = lim x + g ( x ) * x x + g ( x )

= lim

4.

(

h ( x ) = 6 - 2ln -x 2 + 5x + 6

4.1. h' ( x ) = +x

=

y y1

(

)

Dh = [0, 5]

) = -2 (-2x + 5)

-2 -x 2 + 5x + 6 ' 2

-x + 5x + 6 4x - 10

-x 2 + 5x + 6 Dh' = [0, 5]

-x 2 + 5x + 6

h' ( x ) = 0 4x - 10 = 0 ‹ - x 2 + 5x + 6 0 0

A(-1,8; 0)

10 ‹ 4 5 §x= 2

O zero de f é, com aproximação às décimas,

Cálculo auxiliar :

x

§

Sabe-se que a reta de equação y = 0,5x é uma assíntota do grá¿co de g, logo: lim

x +

g ( x) x

= 0,5 e lim g ( x ) - 0,5x = 0 x +

(x 0 - 1

‹ x 0 6)

-x 2 + 5x + 6 = 0

-1,8. 3.

x=

§

x=

-5 ¿ 25 - 4 * ( -6)

-2 -5 ¿ 7 §x= -2 § x = 6 › x = -1

+ –1 –

O

6

–

A -1,8


75

76

Esta igualdade é sempre verdadeira, tal como

5 2

0

5

se queria mostrar. 5 5 A igualdade h - x = h + x traduz o 2 2

4x -10

-

-

0

+

+

-x + 5x + 6

+

+

+

+

+

seguinte facto:

Sinal de h'

-

-

0

+

+

Pontos equidistantes (para a esquerda e para

M

¢

m

£

M

a direita) do meio da rampa estão à mesma

Sentido de variação de h

5 . 2 Con¿rma-se assim que é num ponto equidisA função atinge o mínimo em x =

tante das duas colunas que a altura da rampa é mínima.

altura.

5. A opção que pode representar a função f é a (B). Pode-se excluir a opção (A), pois, pelo facto de f ' estar de¿nida em ^, em particular, f é derivá-

5 h é estritamente decrescente em 0, . 2

vel, logo contínua.

5 h é estritamente crescente em , 5. 2

respeita o sentido de variação da função f. O

§

2 5 5 6 - 2ln - - x + 5 - x + 6 = 2 2

2 5 5 = 6 - 2ln - + x + 5 + x + 6 2 2 25 25 § - 2ln - - 5x + x 2 + - 5x + 6 = 2 4 25 25 + 5x + x 2 + + 5x + 6 = -2ln - 2 4 25 25 § ln + 5x - x 2 + - 5x + 6 = 4 2 25 25 - 5x - x 2 + + 5x + 6 = ln 4 2 2 25 25 § ln -x + + 6 = ln -x 2 + + 6 4 4 §-

x2 +

49 49 = -x 2 + 4 4


estudo do sinal da primeira derivada de f. Pelo facto da parte do grá¿co de g visualizada estar acima do eixo das abcissas, tem-se que g ( x ) > 0, Ax . Assim, o sinal de f ' é dado pelo sinal do fator

(-x2 + 5x - 4) obtido no seguinte esboço: + –

5 5 h - x = h + x 2 2

sentido de variação da função f é obtido pelo

1

4

–

5 4.2. Para qualquer x 0, , tem-se que: 2

A opção (C) também é excluída porque não

Assim, rejeita-se a opção (C), pois, por exemplo, no intervalo [1, 4], e função é estritamente decrescente e o esboço apresentado indica que deveria ser estritamente crescente. Exclui-se a opção (D), visto que, por visualização grá¿ca, as imagens de 1 e 4 têm sinais iguais, logo f (1) * f ( 4) > 0 , o que contraria a

condição dada, f (1) * f ( 4) < 0 .

TESTE N.º 5



Itens

1

2

3

4

5

Respostas

B

B

C

A

D

GRUPO II 1. 1.1................................................................................................................................................. 20 pontos No que se segue, vamos designar por S o acontecimento “saber da iniciativa”, por C o acontecimento “comprar o perfume”.

()

Escrever P S = 0,4 (ou equivalente) ............................................................................................. 2 pontos Obter P(S) ........................................................................................................................................ 2 pontos Escrever P(C) .................................................................................................................................. 2 pontos 2 Escrever P (C | S ) = (ou equivalente) ........................................................................................... 4 pontos 3 Obter P (C S ) ............................................................................................................................... 4 pontos

( ) ........................................................................................................................... 2 pontos P (C S ) Escrever P (C | S ) = .......................................................................................................... 2 pontos P (S ) Calcular P C S

(

Calcular P C | S

)

............................................................................................................................. 2 pontos

1.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1)............................................................................... 12 pontos Resultado ¿nal (ver nota 2) ............................................................................................................. 3 pontos Nota 1 Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, com a respetiva pontuação a atribuir. Matemática 12 | Caderno de Testes

77

78

2! * 3! * 4! * 3! (ou equivalente) ...................................................................................................... 12 pontos 9! 2! * 3! * 4! (ou equivalente) .............................................................................................................. 8 pontos 9! 9

C2 * 7C3 * 4C4 (ou equivalente) ................................................................................................. 4 pontos 9!

Outras situações .............................................................................................................................. 0 pontos

Nota 2 A classi¿cação relativa a esta etapa só é atribuída se a etapa anterior não tiver sido classi¿cada com zero pontos.

2. 2.1. ............................................................................................................................................... 20 pontos Estudar a existência de assíntotas verticais do grá¿co de f (ver nota 1) ...................................... 10 pontos Calcular lim + f ( x ) ...............................................................................................................2 pontos x 0

Calcular lim - f ( x ) ...............................................................................................................2 pontos x 0

Concluir que a reta de equação x = 0 é uma assíntota vertical do grá¿co de f ........................1 ponto Calcular lim- f ( x ) ................................................................................................................2 pontos x e

Concluir que a reta de equação x = e é uma assíntota vertical do grá¿co de f ........................1 ponto Justi¿car a não existência de mais assíntotas verticais .........................................................2 pontos

Estudar a existência de assíntota não vertical quando xA-' (ver nota 2) ................................... 10 pontos Determinar m

f ( x)

Escrever m = lim

x

x –

Escrever lim

f ( x) x

x –

Escrever lim

x –

e

-

..........................................................................................................1 ponto

= lim

x –

1 x

x

+x

e

-

1 x

x

+x

........................................................................................1 ponto

-1 e x = lim + 1 .................................................................................1 ponto x – x

Obter m = 1 .............................................................................................................................2 pontos


TESTE N.º 5

Determinar b Escrever b = lim f ( x ) - x ....................................................................................................1 ponto x -

-1 Escrever b = lim f ( x ) - x = lim e x ...............................................................................1 ponto x - x - Obter b = 1 ..............................................................................................................................2 pontos Concluir que a reta de equação y = x + 1 é uma assíntota oblíqua do grá¿co de f quando xA-' ..........................................................................................................................1 ponto

Nota 1 Se o aluno calcular outro(s) limite(s) para além dos indicados, a classi¿cação a atribuir a esta etapa deve ser desvalorizada em 2 pontos. Se, da aplicação desta nota resultar uma classi¿cação negativa, esta etapa deve ser classi¿cada com zero pontos. Nota 2 Se o aluno tentar calcular valorizada em 2 pontos.

lim f ( x ) ou lim

x +

x +

f ( x) x

a classi¿cação a atribuir a esta etapa deve ser des-

2.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos Justi¿car a continuidade da função f no intervalo [-2,-1] (ver nota 1) ............................................ 3 pontos Calcular f (-2) ................................................................................................................................... 2 pontos Calcular f (-1) ................................................................................................................................... 2 pontos Concluir que f (-2) < 0 .......................................................................................................................1 ponto Concluir que f (-1) > 0 .......................................................................................................................1 ponto Escrever f (-2) * f (-1) < 0 ou f (-2) < 0 < f (-1) ............................................................................. 2 pontos Concluir o pretendido (ver nota 2) ................................................................................................... 4 pontos

Nota 1 Se o aluno não justi¿car a continuidade no intervalo [-2,-1], mas justi¿car a continuidade em ^-, a classi¿cação a atribuir a esta etapa é de 2 pontos. Nota 2 Se o aluno concluir o pretendido mas não referir que a conclusão resulta do Teorema de Bolzano ou do seu corolário, a classi¿cação a atribuir a esta etapa é de 2 pontos.


79

80

2.3. ............................................................................................................................................... 15 pontos -1 Equacionar o problema e x + x = 0 ............................................................................................... 4 pontos Representar gra¿camente a função f em ]-', 0[ ou em ]-2, -1[ ..................................................... 4 pontos Assinalar devidamente o zero ............................................................................................................1 ponto Apresentar o valor pedido (ver nota) ............................................................................................... 6 pontos

Nota A apresentação do valor pedido deve ser classi¿cada de acordo com o seguinte critério:

1.º caso: valor com uma casa decimal -1,8 ................................................................................................................................................. 6 pontos -1,7 ou -1,9 .................................................................................................................................... 4 pontos Outros valores ................................................................................................................................ 0 pontos

2.º caso: valor com mais de uma casa decimal valor pertencente ao intervalo [-1,75; 1,77] ..................................................................................... 3 pontos Outros valores ................................................................................................................................ 0 pontos

3.º caso: valor com menos de uma casa decimal Valor igual a -2 ................................................................................................................................. 1 ponto Outros valores ................................................................................................................................ 0 pontos

3. .................................................................................................................................................. 20 pontos Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo: g ( x) Indicar lim = 0,5 .................................................................................................................. 2 pontos x + x Indicar lim g ( x ) - 0,5x = 0 ......................................................................................................... 2 pontos x +

Escrever lim

x +

h ( x) x

x2 .................................................................................................1 ponto x + g ( x ) * x

= lim


TESTE N.º 5

x2 x = lim .................................................................................................1 ponto x + g ( x ) * x x + g ( x )

Escrever lim

x 1 = lim lim Escrever x ......................................................................................................1 ponto g + g ( x ) x + ( x ) x h ( x)

Obter lim

x +

x

= 2 ..........................................................................................................................1 ponto

x2 - 2x .....................................................................................1 ponto Escrever lim h ( x ) - 2x = lim x + x + g ( x ) x2 x 2 - 2xg ( x ) - 2x = lim ............................................................................... 2 pontos Escrever lim g ( x) x + g ( x ) x + 2x g ( x ) - 0,5x x 2 - 2xg ( x ) = - lim Escrever lim ....................................................................... 2 pontos g ( x) g ( x) x + x + 2x g ( x ) - 0,5x

Escrever - lim

x +

g ( x)

x * lim g ( x ) - 0,5x .............................................. 2 pontos x + g ( x ) x +

= -2 lim

x 1 * lim g ( x ) - 0,5x = -2 lim * lim g ( x ) - 0,5x = ............................1 ponto x + g ( x ) x + x + g ( x ) x + x 1 1 * lim g ( x ) - 0,5x = -2 * * 0 .................................................................1 ponto Escrever -2 lim 0,5 x + g ( x ) x + x Escrever -2 lim

Obter lim h ( x ) - 2x = 0 ................................................................................................................ 1 ponto x +

Concluir que a reta de equação y = 2x é uma assíntota oblíqua do grá¿co de h quando xA +' ..... 2 pontos 2.º Processo: g ( x) = 0,5 .................................................................................................................... 2 pontos Indicar lim x + x Indicar lim g ( x ) - 0,5x = 0 ........................................................................................................... 2 pontos x +

x2 - 2x ................................................................................... 2 pontos Escrever lim h ( x ) - 2x = lim x + x + g ( x ) x2 x 2 - 2xg ( x ) - 2x = lim Escrever lim ............................................................................... 2 pontos g ( x) x + g ( x ) x + Escrever lim

x +

Escrever lim

x +

x 2 - 2xg ( x ) g ( x)

= lim

g ( x)

x +

-2x g ( x ) - 0,5x g ( x)

-2x g ( x ) - 0,5x

....................................................................... 2 pontos

x * lim g ( x ) - 0,5x .................................................1 ponto x + g ( x ) x +

= -2 lim


81

82

x 1 * lim g ( x ) - 0,5x = -2 lim * lim g ( x ) - 0,5x ............................ 4 pontos x + g ( x ) x + x + g ( x ) x + x

Escrever -2 lim

Escrever -2 lim

x +

1 1 * lim g ( x ) - 0,5x = -2 * * 0 ................................................................1 ponto g ( x ) x + 0,5 x

Obter lim h ( x ) - 2x = 0 .............................................................................................................. 2 pontos x +

Concluir que a reta de equação y = 2x é uma assíntota oblíqua do grá¿co de h quando xA +' ..... 2 pontos

4. 4.1. ............................................................................................................................................... 15 pontos 4x - 10 Determinar h' ( x ) h' ( x ) = 2 .......................................................................................... 3 pontos -x + 5x + 6 Determinar o zero de h' .................................................................................................................. 4 pontos Escrever h'(x) = 0..................................................................................................................... 1 ponto 5 Resolver a equação x = ................................................................................................ 3 pontos 2 Estudar o sinal de h' e consequente conclusão, relativamente ao extremo relativo de h, com recurso a um quadro ............................................................................................................................................. 5 pontos Primeira linha do quadro ........................................................................................................ 1 ponto Sinal de h' .............................................................................................................................. 2 pontos Relação entre o sinal de h' e a monotonia de h ...................................................................... 1 ponto 5 Indicar, no quadro que a função h tem o seu valor mínimo para x = ..................................1 ponto 2 5 Escrever “h é estritamente decrescente em 0, ” ......................................................................... 1 ponto 2 5 Escrever “h é estritamente crescente em , 5 ” ............................................................................. 1 ponto 2 Concluir o pretendido ....................................................................................................................... 1 ponto

4.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos 2 5 2 5 5 5 Escrever 6 - 2ln - - x + 5 - x + 6 = 6 - 2ln - + x + 5 + x + 6 ................................. 3 pontos 2 2 2 2 25 25 25 25 Escrever -2ln - - 5x + x 2 + - 5x + 6 = -2ln - + 5x + x 2 + + 5x + 6 ......................... 3 pontos 2 2 4 4 25 25 25 25 Escrever ln + 5x - x 2 + - 5x + 6 = ln - 5x - x 2 + + 5x + 6 ..................................... 2 pontos 4 4 2 2 Matemática 12 | Caderno de Testes

TESTE N.º 5

25 25 Escrever ln -x 2 + + 6 = ln -x 2 + + 6 .................................................................................. 2 pontos 4 4 49 49 = -x 2 + ......................................................................................................... 3 pontos 4 4 Concluir que esta igualdade é sempre verdadeira ......................................................................... 2 pontos Escrever -x 2 +

5. .................................................................................................................................................. 15 pontos A) Identi¿car a opção que representa f. B) Indicar uma razão que permita rejeitar a opção (I). C) Indicar uma razão que permita rejeitar a opção (III). D) Indicar uma razão que permita rejeitar a opção (IV).

Na tabela seguinte, indica-se como deve ser classi¿cada a resposta a este item, de acordo com os níveis de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa, e os níveis de desempenho no domínio especí¿co da disciplina.


Níveis*

da comunicação escrita em língua portuguesa. Descritores do nível de desempenho no domínio especí¿co da disciplina.

6 Apresenta corretamente os quatro pontos, OU apenas os pontos B, C e D.

Níveis

5 4 3 2

Apresenta corretamente apenas os pontos A, B e C, Ou apenas os pontos A, B e D, OU apenas os pontos A, C e D. Apresenta corretamente apenas os pontos B e C, OU apenas os pontos B e D, OU apenas os pontos C e D. Apresenta corretamente apenas os pontos A e B, OU apenas os pontos A e C, OU apenas os pontos A e D. Apresenta corretamente apenas o ponto B, OU apenas o ponto C, OU apenas o ponto D.

1 Apresenta apenas o ponto A.

1

2

3

13

14

15

10

11

12

7

8

9

4

5

6

1

2

3

1

1

1

*Descritores apresentados nos Critérios Gerais de Classi¿cação.


83

84

Exemplos de resposta e proposta de cotação x2 • escreve lim h ( x ) - 2x = lim - 2x x + x + g ( x ) .............................................................1 ponto

GRUPO II

3. lim

x +

h ( x) x

x2 g ( x)

= lim

x +

• não obtém corretamente o valor de lim h ( x ) - 2x .............................. 0 pontos

x

x +

x x 1 = lim = =2 x + g ( x ) x + 0,5x 0,5

= lim

• conclui ..............................................0 pontos

x2 - 2x lim h ( x ) - 2x = lim x + x + g ( x )

O aluno não pode substituir g(x) por 0,5x no

x2 = lim - 2x x + 0,5x

cálculo do limite. Caso o faça, a etapa em que

x - 2x = lim x + 0,5

tes devem ser classi¿cadas com zero pontos.

efetua esta substituição e todas as subsequen-

= lim ( 2x - 2x ) = 0

4. 4.1. h' ( x ) =

x +

y = 2x é uma assíntota oblíqua do grá¿co de h.

=


=

O aluno segue o 1.º Processo e: g ( x)

• não indica lim

x +

x

(

)

-2 -x 2 + 5x + 6 ' 2

-x + 5x + 6 -2 ( -2x + 5) -x 2 + 5x + 6 4x - 10 -x 2 + 5x + 6

, x [0, 5]

h' ( x ) = 0 § 4x - 10 = 0 ‹ - x 2 + 5x + 6 0 0

= 0,5 ..............0 pontos

• não indica lim g ( x ) - 0,5x = 0 .....0 pontos

5 ‹ ( x 0 - 1 ‹ x 0 6) 2 Cálculo auxiliar :

§

x=

x +

• escreve lim

x +

• escreve lim

h ( x)

= lim

x +

x

x2 g ( x)

x +

x

x2 g ( x) x

-x 2 + 5x + 6 = 0 § x = ....1 ponto

-2

x = -1 › x = 6 5 , logo, num ponto 2 equidistante das duas colunas.

h admite um mínimo em x = = lim

x + g

x

( x)

...1 ponto

x 1 ........ = lim g x + g ( x ) x + ( x) x ...........................................................0 pontos

• não escreve lim

• não obtém corretamente o valor de h ( x ) ..........................................0 pontos lim x + x


-5 ¿ 25 - 4 * ( -6)

Cotação a atribuir ..........................7 pontos Nesta resposta o aluno: • determina h' .....................................3 pontos • determina o zero de h' ......................4 pontos • não estuda o sinal de h' e a conclusão que tira não se baseia em qualquer estudo ............... .........................................................0 pontos

TESTE N.º 6

Matriz Duração: 90 minutos Tipologia, número de itens e cotação:

Número de itens


Escolha múltipla

5

10


5

15 a 20


1

20


1

20


1

15



Conteúdos Tema I – Probabilidades e combinatória > Conceitos probabilísticos > Operações com acontecimentos > De¿nição clássica de probabilidade > De¿nição axiomática de probabilidade > Probabilidade condicionada e independência > Análise combinatória > Distribuição de probabilidades > Distribuição normal e curva de Gauss Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II > Função exponencial de base superior a 1 > Função logarítmica de base superior a 1 > Limites > Continuidade > Assíntotas do grá¿co de uma função > Derivadas Tema III – Trigonometria e números complexos > Funções trigonométricas > Fórmulas trigonométricas > Limites trigonométricos > Derivadas de funções trigonométricas Matemática 12 | Caderno de Testes

85

86


GRUPO I


1. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte. xi P(X = xi)

0 a

1 b

2 2a

3 b

4 0,1

Sabe-se que: • a e b são números reais;

• P ( X ≤ 1) = 4P ( X = 4) .

Qual é o valor de b? (A) 0,1

(B) 0,2

(C) 0,3

(D) 0,4

2. Admita que a idade, X, em anos, do momento do parto, das mulheres, que foram mães, pela primeira vez, no ano de 2010 numa dada região, segue aproximadamente, uma distribuição normal, de valor médio 27 anos. Sabe-se que aproximadamente 95,45% dessas mulheres tinha entre 19 e 35 anos. Qual é o desvio-padrão da variável aleatória X? (A) 3 Matemática 12 | Caderno de Testes

(B) 4

(C) 5

(D) 6

TESTE N.º 6

3. Considera o grá¿co da função f representado na ¿gura, e cujo domínio é o intervalo ]a,b[. y

O

a

b

x

A função f tem primeira e segunda derivadas ¿nitas em todos os pontos do seu domínio. Seja x ] a, b[ . Qual das seguintes a¿rmações é verdadeira? (A) f ' ( x ) > 0 e f '' ( x ) > 0

(B) f ' ( x ) < 0 e f '' ( x ) > 0

(C) f ' ( x ) > 0 e f '' ( x ) < 0

(D) f ' ( x ) < 0 e f '' ( x ) < 0

4. Seja g uma função de domínio ^+. Sabe-se que: •

lim

x +

g ( x) + x x

= 1;

• o grá¿co de g tem uma assíntota não vertical. Qual das seguintes equações pode de¿nir essa assíntota? (A) y = x

(B) y = 2x + 1

(C) y = -x

(D) y = 2

5. Na ¿gura está representado em referencial o. n. xOy o círculo trigonométrico. y

Sabe-se que: • C é o ponto de coordenadas (1,0);

E

• os pontos D e E pertencem ao eixo Oy;

A θ

O

• [AB] é um diâmetro do círculo trigonométrico; • as retas EA e BD são paralelas ao eixo Ox;

B

• e é a amplitude do ângulo COA; • 0, . 2

C

x

D

Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada? cos * sen 2

(A) cos * sen

(B)

(C) cos + sen

(D) sen ( 2)


87

88

GRUPO II


1. Num determinado dia, três casais: os Gomes, os Gonçalves e os Raposo decidem jantar juntos. 1.1. De quantas maneiras se podem sentar os seis amigos, numa mesa como a da ¿gura, ¿cando os elementos de cada casal frente a frente e sabendo que nenhum dos elementos se senta na cabeceira da mesa?

1.2. Depois de ouvirem algumas músicas, os seis amigos resolveram dançar aos pares. Admita que, numa dança: • cada rapaz dança com uma rapariga; • todos os amigos dançam; • todos os pares são escolhidos ao acaso. A probabilidade de, nessa dança, os elementos do casal Gomes dançarem um com o outro é igual a 2 . 3! Explique, numa pequena composição, o raciocínio que conduziu a esta expressão. Nota: Deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos: • Referência à regra de Laplace. • Explicação do número de casos possíveis. • Explicação do número de casos favoráveis.

sen ( x - 1) + 4 se 0 < x < 1 2. Seja a função f, de domínio ^ , de¿nida por f ( x ) = ex - e -x se x ≥ 1 xe + 4x +

Resolva as seguintes alíneas utilizando métodos exclusivamente analíticos. 2.1. Averigue se a função é contínua em x = 1 . 2.2. O grá¿co da função f tem uma assíntota oblíqua. Determine a equação reduzida dessa assíntota. f ( x) = ex - 2 . 2.3. Resolva, no intervalo [1,+ [ , a equação x


TESTE N.º 6

3. Na ¿gura está a representação grá¿ca da função g, de¿nida em [0, 2] , por g ( x ) = sen ( 2x ) + x + 1. y

B A

O

C

D

2π

x

Resolva as duas primeiras alíneas utilizando métodos exclusivamente analíticos. 3.1. Determine a área do trapézio [ABDC], sabendo que os pontos A e B correspondem a máximos da função e que os pontos C e D pertencem ao eixo das abcissas. 3.2. Mostre que Ex 0, : g ( x ) = g ' ( x ) . 3 3.3. Existe um ponto no grá¿co de g cuja ordenada é o dobro da abcissa. Determine as coordenadas desse ponto recorrendo à calculadora grá¿ca. Na sua resposta, deve: • equacionar o problema; • reproduzir o grá¿co da função ou os grá¿cos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identi¿cado(s), incluindo o referencial; • assinalar esse ponto; • indicar as coordenadas desse ponto com arredondamento às centésimas.


89

90

Cotações Grupo I ..................................................................................................................................................... 50


Grupo II .................................................................................................................................................. 150

1. .......................................................................................................................................... 30 1.1. .................................................................................................................... 15 1.2. .................................................................................................................... 15 2. .......................................................................................................................................... 60 2.1. .................................................................................................................... 20 2.2. .................................................................................................................... 20 2.3. .................................................................................................................... 20 3. .......................................................................................................................................... 60 3.1. .................................................................................................................... 20 3.2. .................................................................................................................... 20 3.3. .................................................................................................................... 20

TOTAL .................................................................................................................................................... 200


TESTE N.º 6

Proposta de resolução GRUPO I

§

1. Dado que P ( x ≤ 1) = 4P ( x = 4) , vem que:

§

a + b = 4 * 0,1 § a + b = 0,4

g ( x) g ( x) lim + 1 = 1 § lim + 1= 1 x + x x + x lim

x +

g ( x) x

=0

Além disso:

O declive da assíntota é igual a zero. Logo,

P ( x = 0) + P ( x = 1) + P ( x = 2) + P ( x = 3) +

o grá¿co de g tem uma assíntota horizontal

+ P ( x = 4) = 1

quando x + . A única equação que pode de¿nir essa assíntota é y = 2 .

Isto é:

Resposta (D)

a + b + 2a + b + 0,1= 1 § 3a + 2b = 0,9

5. A ( cos, sen )

Assim: a + b = 0,4 a = 0,4 - b § 3a + 2b = 0,9 3 (0,4 - b) + 2b = 0,9 a = 0,4 - b

§

A sombreada = 2 *

EA = cos

OE * EA = sen * cos 2

Resposta (A)

a = 0,1

1,2 - 3b + 2b = 0,9

OE = sen

§

b = 0,3

Logo, b = 0,3.

GRUPO II 1.

Resposta (C)

1.1. O número de maneiras possíveis é: 2. X segue aproximadamente uma distribuição normal N ( 27, ) . Assim:

2! * 2! * 2! * 3! = 48 1.2. Uma vez que cada rapaz dança com uma rapa-

P ( 27 - 2 < x < 27 + 2 ) ) 95,45%

riga, todos os amigos dançam e os pares são

Ou seja, 27 - 2 = 19 e 27 + 2 = 35.

escolhidos ao acaso, temos 3! maneiras distin-

Logo, = 4.

tas de organizar os três pares de dança: o rapaz Gomes pode dançar com uma das três rapari-

Resposta (B)

gas possíveis. Por cada uma destas maneiras,

3. f é estritamente decrescente em ] a, b[ , logo não se pode ter f ' ( x ) > 0, Ax ] a, b[ .

o rapaz Gonçalves pode dançar com uma das duas raparigas que restam e ¿nalmente o rapaz Raposo dança com a rapariga disponível.

O grá¿co de f tem a concavidade voltada para cima em ] a, b[, logo não se pode ter f '' ( x ) < 0, Ax ] a, b[ .

O número de casos favoráveis ao acontecimento “os elementos do casal Gomes dançaram um com o outro” é igual a 2, pois o rapaz

Logo, a a¿rmação verdadeira é:

Gomes tem apenas uma rapariga possível (a

f '' ( x ) < 0 e f '' ( x ) > 0

rapariga Gomes), o rapaz Gonçalves tem duas possibilidades diferentes (rapariga Gonçalves

Resposta (B)

ou rapariga Raposo) e por cada uma des4.

lim

x +

g ( x) + x x

g ( x) = 1 § lim + x + x

x =1 x

tas maneiras o rapaz Raposo ¿ca com apenas uma possibilidade (a única rapariga disponível). Matemática 12 | Caderno de Testes

91

92

Assim, de acordo com a regra de Laplace, a

x +

probabilidade de um acontecimento é dada

x +

favoráveis e o número de casos possíveis,

= lim

quando estes são todos equiprováveis e o

x +

conjunto de resultados ¿nito, ou seja, a probabilidade pedida é igual a 2 . 3!

sen ( x - 1) lim f ( x ) = lim + 4 x1 x1 ex - e

=

2.3. Em [1,+ [ : f ( x)

xe- x + 4x = ex - 2 x x 1 -x §e + 4 = ex - 2 § x + 4 - ex + 2 = 0 e 2 1 x § - e + 6 = 0 § 1- e x + 6e x = 0 x e

+4

sen ( x - 1) 1 lim +4 x -1 e x1

§-

Consideremos a mudança de variável x - 1= y. Como x 1- , y 0-.

=

(e )

x 2

( )

+ 6e x + 1= 0

vem que: - y 2 + 6 y + 1= 0 § y = sen y = 0 y 0 y

Note que: lim

1 +4 e

(limite notável)

( x1

)

lim f ( x ) = lim xe- x + 4x = 1e-1 + 4 =

x1+

= ex - 2 §

Considerando a mudança de variável ex = y,

sen y 1 +4 = lim y e y 0 1 = * 1+ 4 e

+

1 ex x

qua do grá¿co de f.

x1+

e ( x - 1)

( xe- x ) = xlim+ exx = xlim+

A reta de equação y = 4x é assíntota oblí-

lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (1)

sen ( x - 1)

( xe- x + 4x - 4x)

1 =0 + ex = + (limite notável) Note que: lim x + x

2.1. A função f é contínua em x = 1 se:

x1-

x +

=

2.

= lim

)

b = lim f ( x ) - 4x = lim

pelo quociente entre o número de casos

x1-

(

= lim e- x + 4 = e- + 4 = 0 + 4 = 4

1 +4 e

-6 ¿ 40 -2

§

y=

§

y = 3 ¿ 10

§

-6 ¿ 36 - 4 * ( -1) -2

y=

-6 ¿ 2 10 -2

Substituindo y por ex:

1 +4 e Como lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (1) , concluíx1x1+ f (1) = 1e-1 + 4 =

x =3- 10 e x = 3 + 10 › e

(

x = ln 3 + 10

mos que f é contínua em x = 1.

{ (

)

C.S. = ln 3 + 10

Equação impossível

)}

3. 2.2. Assíntota oblíqua

( y = mx + b, m \ {0}, b ) m = lim

x +

f ( x)

= lim

x x + xe- x 4x = lim + x x + x


xe

-x

+ 4x x

3.1. g ( x ) = sen ( 2x ) + x + 1, x [0, 2 ] g ' ( x ) = 2cos ( 2x ) + 1, g '( x) = 0 2cos ( 2x ) + 1= 0 § cos

(2x ) = -

1 2

x [0, 2 ]

y

2π 3 -1 4π 2 3

O

x

TESTE N.º 6

3.2. Consideremos a função h ( x ) = g ( x ) - g ' ( x ) .

2 4 + 2k › 2x = + 2k, k 3 3 2 §x= + k › x = + k, k 3 3 § 2x

=

h é contínua em [0, 2] por se tratar de diferença entre duas funções contínuas (g é contínua por ser a soma de uma função trigono-

Em [0, 2 ] :

métrica com uma função a¿m e g' é contínua

2 › x= k =0x= 3 3 4 5 k = 1 x = › x= 3 3 2/ 3

/ 3

uma que é o produto de uma constante por uma função trigonométrica e a outra que é 5/ 3

2/

Sinal de g

4/ 3

+

+

0

-

0

+

0

-

0

+

+

Sentido de variação

0

por ser a soma de duas funções contínuas:

mín.

£

Máx.

¢

mín.

£

Máx.

¢

mín.

£

Máx.

h (0) = g (0) - g ' (0) = 1- 3 = -2 < 0 3 h = g - g ' = + + 1+ 0 3 3 3 2 3 3 + + 1> 0 2 3 h (0 ) * h < 0 3 =

Cálculo auxiliar : g ' (0) = g ' ( 2) = 3 > 0

g ' ( ) = 3 > 0

g ' = -1< 0 2

3 g ' = -1< 0 2

• Coordenadas de A 2 3 + +1 g = sen + + 1= 3 3 3 2 3 3 + + 1 A , 3 2 3 • Coordenadas de B 4 8 4 3 4 + 1= + +1 g = sen + 3 3 3 2 3 4 3 4 + + 1 B , 3 3 2 DB + AC * CD A [ ABDC ] = 2 3 4 3 + + 1+ + +1 4 2 3 3 = 2 * - 3 3 2 2 3 5 + +2 3 = 2 * 2 3 5 + + 1 = 6 2

uma função constante. Em particular, g é contínua em 0, . 3

Pelo corolário do Teorema de Bolzano, concluímos que: Ex 0, : h ( x ) = 0 3 § Ex

0, : g ( x ) - g ' ( x ) = 0 3

§ Ex

0, : g ( x ) = g ' ( x ) 3

3.3. g ( x ) = 2x ‹ x [0, 2] y1 = sen ( 2x ) + x + 1 y2 = 2x y2

y

y1 2,75 O

I

1,38

2π

x

As coordenadas desse ponto são: I (1,38; 2,75)


93

94


Cada resposta certa ..................................................................................................................... 10 pontos As respostas corretas são as seguintes:

Itens

1

2

3

4

5

Respostas

C

B

B

D

A

GRUPO II 1. 1.1. ................................................................................................................................................15 pontos Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) ............................................................................. 12 pontos Calcular o valor pedido (ver nota 2) .............................................................................................. 3 pontos Nota 1 Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, com a respetiva classi¿cação a atribuir. 2! * 2! * 2! * 3! (ou equivalente) ..................................................................................................... 12 pontos 2! * 2! * 2! (ou equivalente) ............................................................................................................. 6 pontos 3! (ou equivalente) .......................................................................................................................... 3 pontos Outras situações............................................................................................................................... 0 pontos Nota 2 A pontuação relativa a esta etapa só é atribuída se na etapa anterior não tiverem sido atribuídos zero pontos.

1.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos A composição deve abordar os pontos seguintes: • Explicar o número de casos possíveis. • Explicar o número de casos favoráveis. • Enunciar a regra de Laplace. Matemática 12 | Caderno de Testes

TESTE N.º 6

Na tabela seguinte, indica-se como deve ser classi¿cada a resposta a este item, de acordo com os níveis de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa, descritos nos critérios gerais e os níveis de desempenho no domínio especí¿co da disciplina.


Níveis*


1

2

3

3 A composição aborda, corretamente, os três pontos.

13

14

15

2 A composição aborda, corretamente, apenas dois pontos.

8

9

10

1 A composição aborda, corretamente, apenas um ponto.

3

4

5

Níveis



2. 2.1. ................................................................................................................................................20 pontos Referir que f é contínua em x = 1 se lim+ f ( x ) = lim- f ( x ) = f (1) ................................................. 2 pontos x1

x1

Calcular lim+ f ( x ) ......................................................................................................................... 4 pontos x1

Calcular lim- f ( x ) ....................................................................................................................... 10 pontos x1

Levantar a indeterminação (ver nota) .................................................................................. 6 pontos Obter o valor de lim- f ( x ) .................................................................................................. 4 pontos x1

Calcular f (1) ................................................................................................................................. 2 pontos Concluir f é contínua em x = 1 ........................................................................................................ 2 pontos Nota: o aluno deve explicitar o limite notável, caso não o faça a classi¿cação a atribuir a esta etapa é de 4 pontos.

2.2..................................................................................................................................................20 pontos f ( x) Escrever m = lim .................................................................................................................. 1 ponto x + x Escrever lim

x +

f ( x) x

xe- x + 4x ........................................................................................... 2 pontos x x +

= lim

xe- x + 4x lim e- x + 4 ......................................................................................... 2 pontos x x + x + f ( x) = 4 ........................................................................................................... 2 pontos Concluir que lim x + x Escrever b = lim f ( x ) - 4x .......................................................................................................... 1 ponto Escrever lim

(

)

x +

( xe- x + 4x - 4x) ......................................................................... 2 pontos -x -x Escrever lim ( xe + 4x - 4x ) = lim ( xe ) ................................................................................ 2 pontos x + x + Escrever lim f ( x ) - 4x = lim x +

x +


95

96

Escrever lim xe- x = lim

x

x + e x

x +

....................................................................................................... 4 pontos

Concluir que lim f ( x ) - 4x = 0 .................................................................................................. 2 pontos x +

Concluir que a reta da equação y = 4x é assíntota oblíqua do grá¿co de f ................................... 2 pontos

2.3. ................................................................................................................................................20 pontos xe- x + 4x = e x - 2 ............................................................................................. 1ponto x Escrever e- x + 4 = e x - 2 ................................................................................................................ 2 pontos

Escrever a equação

Escrever e- x - e x + 6 = 0 ................................................................................................................ 2 pontos 1 Escrever - e x + 6 = 0 ................................................................................................................. 2 pontos ex 2 Obter a equação - e x + 6e x + 1= 0 ............................................................................................. 4 pontos

( ) 2 Resolver a equação - ( e x ) + 6e x + 1= 0

........................................................................................ 8 pontos

Concluir que e x = 3 + 10 › e x = 3 - 10 ......................................................................... 4 pontos Reconhecer que e x = 3 - 10 é uma equação impossível .................................................. 2 pontos

(

Concluir que e x = 3 + 10 § x = ln 3 + 10

(

)

)

........................................................................ 2 pontos

Concluir que ln 3 + 10 é solução da equação ............................................................................. 1 ponto

3. 3.1. ............................................................................................................................................... 20 pontos Determinar g' (x) .............................................................................................................................. 4 pontos Determinar (sen ( 2x )) ' .......................................................................................................... 2 pontos Determinar ( x + 1) ' .................................................................................................................. 1 ponto Obter g ' ( x ) = 2cos ( 2x ) + 1 ....................................................................................................... 1 ponto Determinar os zeros de g'................................................................................................................ 4 pontos Estudar o sinal de g', com recurso a um quadro ............................................................................ 6 pontos Primeira linha do quadro (relativa á variável x, de acordo com o domínio da função) ........... 1 ponto Sinal de g' (x) ........................................................................................................................ 2 pontos Relação entre o sinal de g' e a monotonia de g .................................................................... 2 pontos Assinalar os extremos de g ..................................................................................................... 1 ponto Obter as coordenadas de A .............................................................................................................. 1 ponto Obter as coordenadas de B .............................................................................................................. 1 ponto Determinar DB ................................................................................................................................... 1 ponto Matemática 12 | Caderno de Testes

TESTE N.º 6

Determinar AC .................................................................................................................................. 1 ponto Determinar CD .................................................................................................................................. 1 ponto Obter o valor exato da área do trapézio [ABDC] ............................................................................... 1 ponto

3.2. ............................................................................................................................................... 20 pontos Escrever h ( x ) = g ( x ) - g ' ( x ) (ou equivalente) ................................................................................ 4 pontos Justi¿car a continuidade de h em 0, (ver nota 1) .................................................................... 4 pontos 3 Determinar h (0) ............................................................................................................................. 2 pontos Determinar h ........................................................................................................................... 2 pontos 3 Concluir que h (0) < 0 .......................................................................................................................1 ponto Concluir que h > 0 ......................................................................................................................1 ponto 3 Escrever h (0) * h < 0 ou h (0) < 0 < h ............................................................................... 2 pontos 3 3 Concluir que Ex 0, : h ( x ) = 0 (ver nota 2) .............................................................................. 2 pontos 3 Concluir que Ex 0, : g ( x ) = g ' ( x ) ............................................................................................. 2 pontos 3 Nota 1 Se o aluno não referir a continuidade no intervalo 0, , mas a¿rmar que a função é contínua, a classi¿ 3 cação a atribuir a esta etapa é 2 pontos. Nota 2 Se o aluno concluir o pretendido, mas não referir que a conclusão resulta do Teorema de Bolzano ou do seu corolário, a classi¿cação a atribuir a esta etapa é 1 ponto.

3.3. ............................................................................................................................................... 20 pontos Equacionar o problema ( g ( x ) = 2x ) ............................................................................................... 6 pontos Apresentar corretamente os grá¿cos obtidos na calculadora ........................................................ 8 pontos Grá¿co de g ........................................................................................................................... 3 pontos Reta de equação y = 2x ...................................................................................................... 3 pontos Respeito pelo domínio .......................................................................................................... 2 pontos Assinalar devidamente o ponto ....................................................................................................... 2 pontos Apresentar as coordenadas do ponto ...................................................................................(2+2) 4 pontos


97

98

Exemplos de resposta e proposta de cotação f (1) =

GRUPO II

1 +4 e

Como lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (1) , conclui-se

1.

x1+

1.1. 2! * 2! * 2! * 3! = 1 6! 15

x1-

que f é contínua em x = 1.

Cotação a atribuir ...........................6 pontos

Cotação a atribuir .........................18 pontos

Nesta questão o aluno respondeu erradamente

Nesta resposta o aluno:

apresentado o valor de probabilidade e não o

• refere que f é contínua em x = 1 se

lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (1) ............. 2 pontos

número de maneiras.

x1-

Apesar de ter realizado um raciocínio mais complexo e de no número de casos favoráveis apresentar a expressão pretendida, a cotação a atribuir a esta questão é inferior a metade da

x1+

• calcula corretamente lim f ( x ) ...... 4 pontos x1+

• ao calcular lim- f ( x ) não explicita ............... x1

convenientemente o limite notável ...8 pontos

classi¿cação prevista.

• calcula f (1) ................................... 2 pontos 2. 2.1.

(

lim f ( x ) = lim xe- x + 4x

x1+

x1+

)

Repara que quando o aluno escreve sen ( x - 1) deveria no passo seguinte lim x -1 x1escrever

= 1e-1 + 4 =

1 +4 e

lim f ( x ) = lim -

-

x1

x1

sen ( x - 1) ex - e

+4

sen ( x - 1) = lim + 4 + 4 x1- e ( x - 1) sen ( x - 1) 1 * + 4 = lim x -1 e x1 =

• conclui que f é contínua em x = 1 ... 2 pontos

sen ( x - 1) 1 * lim + 4 e x1- x - 1

1 * 1+ 4 e 1 = +4 e =


lim

( x - 1) 0

sen ( x - 1) -

x -1

y = x -1 x 1- ± y 0-

ou lim

y 0-

sen y , considerando y

TESTE N.º 7

Matriz Duração: 90 minutos Tipologia, número de itens e cotação:

Número de itens


Escolha múltipla

5

10


6

15 a 20


1

15


1

15


1

15



Conteúdos Tema I – Probabilidades e combinatória > Conceitos probabilísticos > Operações com acontecimentos > De¿nição clássica de probabilidade > De¿nição axiomática de probabilidade > Probabilidade condicionada e independência > Análise combinatória > Distribuição de probabilidades Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II > Função exponencial de base superior a 1 > Função logarítmica de base superior a 1 > Limites > Continuidade > Assíntotas do grá¿co de uma função > Derivadas Tema III – Trigonometria e números complexos > Funções trigonométricas > Fórmulas trigonométricas > Limites trigonométricos > Derivadas de funções trigonométricas > Representação trigonométrica de um número complexo > Operações com números complexos na forma algébrica Matemática 12 | Caderno de Testes

99

100


GRUPO I


1. Seja 1 o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos ( A , B ) .

(

)

(

)

Sabe-se que P ( B) = 0,7, P A B = 0,2 e P A B = 0,5.

Qual é o valor de P(A)? (A) 0,5

(B) 0,4

(C) 0,3

(D) 0,2

2. Seja f uma função de domínio ^+. Sabe-se que a reta de equação y = - 4x + 1 é uma assíntota do grá¿co de f.

f ( x) Qual é o valor de lim + f ( x ) + 4x ? x + x (A) -'

(B) 4

(C) -3

(D) 0

( )

2 3. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da equação ln x = 2ln3 .

(A) {3}


(B) {-9,9}

(C) {9}

(D) {-3,3}

TESTE N.º 7

4. Na ¿gura está parte da representação grá¿ca de uma função f de domínio ^. y

y=1 O

x

Tal como a ¿gura sugere, a reta de equação y = 1 é uma assíntota do grá¿co de f. Seja g a função, de domínio \ {0} , de¿nida por:

g ( x ) = log f ( x )

Numa das opções seguintes está parte da representação grá¿ca da função g. Em qual delas? (A)

(B)

y

O

(C)

x

y

(D)

O

y

x

5. Para um certo número real positivo l e para um certo número real e compreendido entre 0 e / , o número complexo l cis e tem por imagem geo2 métrica o ponto A, representado na ¿gura.

O

x

O

x

y

Eixo imaginário

E

A

Qual é a imagem geométrica do número complexo 2 cis ( + ) ? (A) O ponto B

(B) O ponto C

(C) O ponto D

(D) O ponto E

D

C

Eixo real

B


101

102

GRUPO II


1. Uma caixa A contém 3 bolas vermelhas e 2 bolas azuis e uma caixa B contém 1 bola vermelha e 1 bola azul. Tira-se, ao acaso, uma bola da caixa A. Se a bola for vermelha, repõe-se na caixa A; se a bola for azul, coloca-se na caixa B. Em seguida, tira-se, também ao acaso, uma segunda bola da caixa A, e procede-se do mesmo modo: se a bola for vermelha, repõe-se na caixa A; se a bola for azul, coloca-se na caixa B. Seja X o número de bolas azuis que, no ¿nal da experiência, estão na caixa B. Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X. Apresente as probabilidades na forma de fração irredutível.

2. Uma turma de 12.º ano de uma escola tem alunos do sexo masculino e do sexo feminino. Redija, no contexto desta situação, o enunciado de um problema de cálculo de probabilidade, inventado por si, 14

que admita como resposta correta

C6 +10 C6 . 24 C6

No enunciado que apresentar, deve explicitar claramente: • o número total de alunos da turma; • o número de alunos de cada sexo; • a experiência aleatória; • o acontecimento cuja probabilidade pretende que seja calculada (e cujo valor terá que ser dado pela expressão apresentada). 3. Seja ` o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária. Sem recorrer à calculadora, determine

(1+ 3i) (2 + i) - i49 + i100 . 1+ 4i

Apresente o resultado na forma algébrica. 4. Seja ` o conjunto dos números complexos. Considere a equação z 3 - z 2 + 9z - 9 = 0 . Esta equação tem três soluções em `, sendo uma delas o número real 1. As imagens geométricas, no plano complexo, dessas três soluções são vértices de um triângulo. Determine a área desse triângulo. Resolva este item sem recorrer à calculadora.


TESTE N.º 7

5. Na ¿gura está representado o círculo trigonométrico.

y B

Sabe-se que: C

• o ponto B tem coordenadas (0,1); • o ponto D tem coordenadas (1,0); • um ponto A se desloca ao longo do arco DB, de tal forma que o segmento de

A O

α

D

x

reta [AC] é sempre paralelo ao eixo das abcissas; • para cada posição do ponto A, _ designa a amplitude, em radianos, do ângulo DOA 0, . 2 Seja f a função que a cada valor de _ faz corresponder o perímetro do triângulo [ABC]. Resolva os itens 2.1. e 2.2., usando exclusivamente métodos analíticos. 5.1. Mostre que f ( ) = 2cos + 2 2 - 2sen . 5.2. Seja r a reta tangente ao grá¿co da função f no ponto de abcissa

/ . Determine o declive da reta r. 6

5.3. Existe um valor de _ para o qual o perímetro do triângulo [ABC] é igual a 3. Determine esse valor, arredondado às centésimas, recorrendo às capacidades grá¿cas da calculadora. Apresente o(s) grá¿co(s) visualizado(s) na calculadora e assinale o ponto relevante para a resolução do problema. 6. De uma função g, de domínio [ -, ] , sabe-se que a sua derivada está de¿nida igualmente no intervalo

[ -, ] e é dada por:

g ' ( x ) = x + 2sen x

Utilizando métodos exclusivamente analíticos: 6.1. determine o valor de lim

x 0

g ( x ) - g (0 ) x

;

6.2. estude a função g quanto às concavidades do seu grá¿co e determine as abcissas dos pontos de inÀexão.


103

104

Cotações Grupo I ..................................................................................................................................................... 50


Grupo II .................................................................................................................................................. 150

1. .......................................................................................................................................... 20 2. .......................................................................................................................................... 15 3. .......................................................................................................................................... 15 4. .......................................................................................................................................... 20 5. .......................................................................................................................................... 45 5.1. .................................................................................................................... 15 5.2. .................................................................................................................... 15 5.3. .................................................................................................................... 15 6. .......................................................................................................................................... 35 6.1. .................................................................................................................... 15 6.2. .................................................................................................................... 20

TOTAL .................................................................................................................................................... 200


TESTE N.º 7

Proposta de resolução 4. Por observação da representação grá¿ca da

GRUPO I

função f, sabemos que:

(

)

• P A B = 0,5 § P ( B) - P ( A B) = 0,5 (1)

§ 0,7 §

(

y

lim f ( x ) = 1-

1. • P ( B) = 0,7 (1)

)

P ( A B) = 0,5

P ( A B) = 0,2 ( 2)

• P A B = 0,2 § P ( A) - P ( A B) = 0,2

y = log x

x +

lim f ( x ) = 1-

O

x -

1

x

lim f ( x ) = 0+

x 0

Assim, concluímos que:

O valor de P(A) é igual a 0,4.

( ) lim log f ( x ) = log (1- ) = 0x - lim log f ( x ) = log (0+ ) = - x 0

Resposta (B)

A única opção que respeita simultaneamente

( 2) §

P ( A) - 0,2 = 0,2

§

P ( A) = 0,4

2. Dado que a reta de equação y = -4x + 1 é uma assíntota oblíqua do grá¿co de f quando x + , conclui-se que: lim

f ( x)

x +

x

= -4 e

lim f ( x ) + 4x = 1

x +

estas três condições é a opção (A). Resposta (A) 5. 2 cis ( + ) é um número complexo cujo módulo é o dobro do módulo do número complexo cis .

Logo: f ( x) + ( f ( x ) + 4x ) lim x + x = lim

lim log f ( x ) = log 1- = 0-

x +

f ( x)

x +

x

( f ( x ) + 4x ) x +

+ lim

A imagem geométrica de 2cis ( + ) dista da origem do referencial o dobro de OA. Por outro lado, se e pertence ao 1.º quadrante, então e + / pertence ao 3.º quadrante.

= -4 + 1

Assim, B é o único ponto situado no 3.º qua-

= -3

drante cuja distância a O é o dobro da de A.

Resposta (C)

Resposta (A)

( ) ln ( x 2 ) = ln (32 )

ln x 2 = 2ln3 ‹ x \ {0}

3. § §

x 2 = 32 ‹ x \ {0}

§

(x = 3

› x = -3) ‹ x \ {0}

C.S. = {-3, 3}

GRUPO II

‹ x \ {0} 1. Caixa A: 3 bolas vermelhas e 2 bolas azuis Caixa B: 1 bola vermelha e 1 bola azul X: “número de bolas azuis que, no ¿nal da experiência, estão na caixa B”.

Resposta (D) Matemática 12 | Caderno de Testes

105

106

A variável X pode tomar os valores 1, 2 e 3. A variável toma o valor 1 se e só se as bolas retiradas forem ambas vermelhas.

3.

(1+ 3i) (2 + i) - i49 + i100 1+ 4i Cálculo auxiliar :

A variável toma o valor 2 se e só se a primeira bola retirada for vermelha e a segunda for azul,

49 = 4 * 12 + 1

ou a primeira bola retirada for azul e a segunda

i 49 = i1 = i

for vermelha.

100 = 4 * 25 + 0

A variável toma o valor 3 se e só se as bolas

i100 = i0 = 1

retiradas forem ambas azuis. 3 3 9 , pois as bolas vermelhas * = 5 5 25 são repostas na caixa A depois de retiradas. P ( X = 1) =

P ( X = 2) =

3 2 2 3 * + * 5 5 5 4

2 + i + 6i + 3i 2 - i + 1 1+ 4i

=

3 - 3 + 6i (1+ 4i)

=

Probabilidade de a primeira ser azul e a segunda ser vermelha

Probabilidade de a primeira ser vermelha e de a segunda ser azul

=

6 6 6 3 + = + 25 20 25 10 12 15 27 = + = 50 50 50 2 1 2 1 * = = , pois as bolas azuis 5 4 20 10 não são repostas na caixa A depois de retiradas.

(1+ 4i) (1- 4i)

=

6i - 24i 2 1+ 16

=

24 + 6i 17

=

24 6 + i 17 17

=

P ( X = 3) =

6i (1- 4i )

4. z 3 - z 2 + 9z - 9 = 0 Cálculo auxiliar:

A tabela de distribuição de probabilidades da 1

variável X é: 1 xi

1

2

3

P(X = xi)

9 25

27 50

1 10

1

Qual é a probabilidade de a comissão ser constituída por alunos do mesmo sexo? Matemática 12 | Caderno de Testes

1

0

9

0

9

0=r

z 3 - z 2 + 9z - 9 = 0 §

( z - 1) ( z 2 + 9) = 0

§

z - 1= 0 › z 2 + 9 = 0

§

z = 1 › z 2 = -9

§

z = 1 › z = 3i › z = -3i

formarem uma comissão de organização do baile de ¿nalistas.

-9

(

Uma turma de 12.º ano de uma escola tem 24 -se escolher, ao acaso, 6 desses alunos para

9

z 3 - z 2 + 9z - 9 = ( z - 1) z 2 + 9

2. Um enunciado possível é o seguinte: alunos: 14 raparigas e 10 rapazes. Pretende-

-1

C.S. = {1, 3i, - 3i}

)

TESTE N.º 7

Eixo imaginário

3

1 ' = ( 2cos ) ' + 2 ( 2 - 2sen ) 2 1 1 (2 - 2sen ) 2 * (2 - 2sen ) ' 2 1 = -2sen + * ( -2cos ) 2 - 2sen

= -2sen + 2 * O

1

Eixo real

-3

= -2sen -

Apretendida =

6 *1 = 3 u.a. 2

2cos 2 - 2sen

2cos 6 2 - 2sen 6

f ' = -2sen 6 6

5.1. P [ ABC ] = AC + AB + BC Uma vez que A é a interseção do lado extremidade do ângulo DOA com a circunferência de raio 1, conclui-se que A ( cos, sen ) .

1 =-2 * 2

Assim, AC = 2cos . B

= -1-

1 - sen α X

cos α

AB = (1- sen ) + cos2 2

1 2

3 1

5.3. f ( ) = 3 y1 = 2cos + 2 2 - 2sen

2

AB = 1- 2sen + sen 2 + cos2 2

2- 2 *

O declive da reta r é igual a -1- 3 .

Então:

§

3 2

= -1- 3

A

Seja X a projeção do ponto A no eixo Oy. 2

2*

=1

§

AB = 1- 2sen + 1

§

AB = 2 - 2sen

§

AB = 2 - 2sen , pois AB > 0.

y2 = 3 I (0,77; 3)

2

Como AB = BC, então BC = 2 - 2sen . Logo:

3

I

f ( ) = 2cos + 2 - 2sen + 2 - 2sen = 2cos + 2 2 - 2sen

f ( ) = 2cos + 2 2 - 2sen

(

y1

c.q.d.

5.2. Seja m o declive da reta r. Então, m = f ' . 6

y2

O

0,77

π 2

α

O perímetro do triângulo [ABC] é igual a 3 para

)

f ' ( ) = ( 2cos ) ' + 2 2 - 2sen '

x ) 0,77 rad.


107

108

Os zeros de g'' são 6. 6.1. lim

x 0

g ( x ) - g (0 ) x

= lim

g ( x ) - g (0 )

x 0

x-0

_

= g ' (0 )

Sinal de g''

= 0 + 2sen 0 = 0+ 2*0 =0 6.2. g ' ( x ) = x + 2sen x, x [ -, ] g '' ( x ) = x '+ ( 2sen x ) ' = 1+ 2cos x g '' ( x ) = 0

2/ 3

/

-

0

+

0

-

E

P.I.

F

P.I.

E

-

g '' ( -) = 1+ 2 ( -1) = -1< 0

y

g '' (0) = 1+ 2 = 3 > 0

2π 3 -1 2

g '' ( ) = 1+ 2 ( -1) = -1< 0 O

- 2π 3

Em [ -, ] : 2 2 - 2 › x = - 2 3 3 8 4 › x=§x=3 3 [ -, ] [ -, ]

k = -1 x =

2 2 › x=3 3 2 2 k = 1 x = + 2 › x = + 2 3 3 4 8 › x= § x= 3 3 [ -, ] [ -, ]


-

2/ 3

Cálculo auxilar:

1+ 2cos x = 0 1 § cos x = 2 2 2 §x= + 2k › x = + 2k, k 3 3

k =0x=

-

-/

Sentido das concavidades do grá¿co de g

2 2 e . 3 3

x

O grá¿co de g tem concavidade voltada para 2 2 baixo em -, e em , e tem a con 3 3 2 2 cavidade voltada para cima em , ; 3 3 2 2 são as abcissas dos pontos de e 3 3 inÀexão.

TESTE N.º 7



Itens

1

2

3

4

5

Respostas

B

C

D

A

A

GRUPO II 1. ………………………………………………………………………………………………......…....… 20 pontos Indicar os valores que a variável X pode tomar

({1, 2, 3})

.............................................................. 3 pontos

Calcular a probabilidade de cada um dos valores da variável X ................................. (4 + 4 + 4) 12 pontos Apresentar a tabela de distribuição de probabilidades (ver nota) ................................................. 5 pontos Nota: A pontuação relativa a esta etapa só é atribuída se, na etapa anterior, não tiverem sido atribuídos zero pontos.

2. ...................................................................................................................................................15 pontos A composição deve abordar os seguintes pontos: • O número total de alunos da turma. • O número de alunos de cada sexo. • A experiência aleatória. • O acontecimento cuja probabilidade pretende que seja calculada. Na tabela seguinte indica-se como deverá ser classi¿cada a redação. Os níveis 1, 2 e 3 dizem respeito ao desempenho na comunicação em língua portuguesa, de acordo com o disposto nos critérios gerais. Nível 1

Nível 2

Nível 3

A composição contempla corretamente os quatro pontos.

13

14

15

A composição contempla corretamente apenas três pontos.

9

10

11

A composição contempla corretamente apenas dois pontos.

5

6

7

A composição contempla corretamente apenas um ponto.

1

2

3


109

110

3. ...................................................................................................................................................15 pontos Obter (1+ 3i ) ( 2 + i ) = 2 + i + 6i + 3i 2 ................................................................................................. 2 pontos Escrever i 49 = i .............................................................................................................................. 2 pontos Escrever i100 = 1 ............................................................................................................................ 2 pontos Simpli¿car o numerador ( 6i ) .......................................................................................................... 2 pontos Multiplicar ambos os termos da fração por (1- 4i ) ......................................................................... 2 pontos Obter no numerador 24 + 6i ........................................................................................................... 2 pontos Obter no denominador 17................................................................................................................ 2 pontos 24 6 + i ............................................................................ 1 ponto Escrever o resultado na forma pedida 17 17 4. ...................................................................................................................................................20 pontos 3 2 Dividir por z - z + 9z - 9 por z - 1 ............................................................................................... 5 pontos

Resolver z 2 + 9 = 0 ......................................................................................................................... 8 pontos Representar no plano complexo as imagens geométricas das três soluções ............................... 3 pontos Calcular a área do triângulo ........................................................................................................... 4 pontos 5. 5.1. ............................................................................................................................................... 15 pontos Referir que o perímetro do triângulo [ABC] é igual a AC + AB + BC ................................................. 1 ponto Justi¿car que AC = 2cos .............................................................................................................. 2 pontos

(

)

Justi¿car que AB = 2 - 2sen ou CB ........................................................................................ 8 pontos Referir que AB = CB ....................................................................................................................... 2 pontos Concluir que f ( ) = 2cos + 2 2 - 2sen ...................................................................................... 2 pontos 5.2. ................................................................................................................................................15 pontos Identi¿car m = f ' ....................................................................................................................... 2 pontos 6 Determinar f ' ( ) ............................................................................................................................ 8 pontos Determinar ( 2cos ) ' ............................................................................................................. 2 pontos

(

)

Determinar 2 2 - 2sen ' ................................................................................................... 6 pontos Calcular f ' ................................................................................................................................ 4 pontos 6 Obter o valor de m ............................................................................................................................. 1 ponto Matemática 12 | Caderno de Testes

TESTE N.º 7

5.3. ................................................................................................................................................15 pontos Equacionar o problema

( f () = 3) ................................................................................................. 4 pontos

Apresentar corretamente os grá¿cos obtidos na calculadora ........................................................ 6 pontos Grá¿co de f ............................................................................................................................ 2 pontos Reta de equação y = 3 ......................................................................................................... 2 pontos Respeito pelo domínio .......................................................................................................... 2 pontos Assinalar devidamente o ponto ...................................................................................................... 2 pontos Apresentar a abcissa aproximada do ponto ................................................................................... 3 pontos

6.1. ............................................................................................................................................... 15 pontos Escrever lim

x 0

g ( x ) - g (0 ) x

= g ' (0) ................................................................................................... 5 pontos

Calcular g ' (0) ................................................................................................................................ 8 pontos Apresentar o valor pedido .............................................................................................................. 2 pontos

6.2. ............................................................................................................................................... 20 pontos Determinar g '' ( x ) ............................................................................................................................ 3 pontos Determinar os zeros de g'' .............................................................................................................. 5 pontos Escrever g '' ( x ) = 0 .................................................................................................................. 1 ponto Resolver a equação x = - 2 › x = 2 ......................................................................... 4 pontos 3 3 Estudar o sinal de g'' e consequente conclusão, relativamente às abcissas dos pontos de inÀexão e sentido das concavidades do grá¿co de g ................................................................................................... 7 pontos Primeira linha do quadro ........................................................................................................ 1 ponto Sinal de h'' ............................................................................................................................. 2 pontos Relação entre o sinal de h'' e o sentido da concavidade do grá¿co de g .............................. 2 pontos Indicar as abcissas dos pontos de inÀexão .......................................................................... 2 pontos Referir os intervalos onde o grá¿co tem a concavidade voltada para cima e os intervalos onde tem a concavidade voltada para baixo ............................................................................................................ 3 pontos Indicar as abcissas dos pontos de inÀexão .................................................................................... 2 pontos


111

112

Exemplos de resposta e proposta de cotação GRUPO II 3

(1+ 3i) (2 + i) - i49 + i100

3.

O

1+ 4i 2 + i + 6i + 3i 2 - i 4 * 12 + 1 + i 4 * 25 1+ 4i 2 - 3 + 7i - i + 1 -1+ 6i + 1 = = 1+ 4i 1+ 4i 6i (1- 4i ) 6i = = 1+ 4i (1+ 4i ) (1- 4i ) =

=

6i - 24i 2 1- 16i 2

Eixo imaginário

1

Eixo real

-3

Apedida =

6 *1 =3 2

Cotação a atribuir .......................... 0 pontos

24 + 6i = 17

Nesta resposta o aluno: • não divide z 3 - z 2 + 9z - 9 por z - 1 .. 0 pontos

Cotação a atribuir..........................14 pontos

• não resolve z 2 + 9 = 0 ..................... 0 pontos

Nesta resposta o aluno: 2 • obtém (1+ 3i ) ( 2 + i ) = 2 + i + 6i + 3i .. 2 pontos

49

• determina o valor de i

.................. 2 pontos

• determina o valor de i100................. 2 pontos • simpli¿ca o numerador ( 6i ) ............ 2 pontos • multiplica ambos os termos da fração por (1- 4i) ..... 2 pontos

• representa no plano complexo as imagens geométricas das três soluções, mas sem apresentar os cálculos que levaram às três soluções .... 0 pontos • calcula a área do triângulo, mas sem apresentar os cálculos que levaram a essa etapa ............... 0 pontos

• obtém no numerador 24 + 6i ........... 2 pontos

Pretendia-se que este exercício fosse resolvido

• obtém no denominador 17 .............. 2 pontos

sem recurso à calculadora. Dado que não há cál-

• não escreve o resultado na forma pedida .......................................................... 0 pontos Repara que o aluno não apresenta o resultado ¿nal na forma algébrica a + bi, a, b e, por isso, foi penalizado num ponto. 4. z 3 - z 2 + 9z - 9 = 0 §

z = 1 › z = 3i › z = -3i


culos nem justi¿cações necessárias à resolução da equação, esta etapa foi cotada com zero pontos, bem como todas as etapas subsequentes que dela dependiam.

TESTE GLOBAL TESTE N.º N.º 11


Tipologia, número de itens e cotação: Número de itens


Escolha múltipla

5

10


5

15 a 20


1

20


2

20


1

20



Conteúdos Tema I – Probabilidades e combinatória > Conceitos probabilísticos > Operações com acontecimentos > De¿nição clássica de probabilidade > De¿nição axiomática de probabilidade > Probabilidade condicionada e independência > Análise combinatória Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II > Função exponencial de base superior a 1 > Função logarítmica de base superior a 1 > Limites > Continuidade > Assíntotas do grá¿co de uma função > Derivadas Tema III – Trigonometria e números complexos > Funções trigonométricas > Fórmulas trigonométricas > Limites trigonométricos > Derivadas de funções trigonométricas > Representação trigonométrica de um número complexo > Operações com números complexos na forma algébrica e trigonométrica > Domínios planos Matemática 12 | Caderno de Testes

113

114

Teste Global n.º 1 Matemática A Duração do teste: 90 minutos 12.º Ano de Escolaridade

GRUPO I


1. Lança-se um dado equilibrado. Se sair face par tira-se uma bola da caixa A, caso saia face ímpar, tira-se uma bola da caixa B. A caixa A tem 4 bolas verdes e 3 amarelas e a caixa B tem 2 bolas verdes e 4 amarelas. Qual é a probabilidade de se tirar uma bola amarela, sabendo que no dado saiu o número 1? (A)

3 4

(B)

2 3

(C)

3 7

(D)

2. Seja x um número real positivo. Qual das expressões seguintes é igual a 3 (A) x 4 - x 5

(B) 2x 2 - 5x

(C)

1 x

(D)

(C)

1 2

(D)

7 13

( )

2log3 x 2 -5 log3 x

log3 x 4 log3 x 5

1 3. Qual é o valor de lim sen 2 ( 2x ) ? 2 x 0 x (A) 4


(B) 2

1 4

?

TESTE GLOBAL N.º 1

4. Seja g uma função cujo grá¿co tem um ponto de inÀexão de abcissa 2. Qual dos seguintes grá¿cos poderá ser o da segunda derivada de g? (A)

(B)

y

O

2

y

O

x

(C)

2

x

2

x

(D) y

O

y

2

O

x

5. Considere, no plano complexo, o conjunto representado na ¿gura. Eixo imaginário

1 -1

O -1

Eixo real

Qual das condições seguintes, de¿nidas em `, de¿ne a região sombreada, incluindo a fronteira? (A) z + 1 ≤ 1 ‹ z - i ≤ 1 ‹ z + i ≤ 1 (B) z + 1 ≤ 1 › z - i ≤ 1 › z + i ≤ 1 (C) z + 1 ≤ 1 › (D) z + 1 ≤ 1 ‹

(z-i (z-i

≤ 1 ‹ z + i ≤ 1) ≤ 1 › z + i ≤ 1)


115

116

GRUPO II


1. Em `, conjunto dos números complexos, considere z1 = 1 e z2 = cis . 5 3 2 1.1. O complexo z1 é raiz do polinómio z - z + 25z - 25 . Determine, em `, as restantes raízes do polinómio. Apresente as raízes obtidas na forma trigonométrica. 1.2. Mostre que:

2 z1 + z2 = 2 + 2cos 5

2. A Piconsulting é uma empresa de consultoria informática. Dos funcionários da Piconsulting, sabe-se que: • 60% são programadores e os restantes consultores; • 70% são juniores e os restantes são seniores; • 75% dos consultores são juniores. 2.1. Determine a probabilidade de um desses funcionários, escolhido ao acaso, ser programador, sabendo que é sénior. Apresente o resultado na forma de fração irredutível. 2.2. Admita que a Piconsulting tem 50 funcionários. Pretende-se formar uma comissão de quatro elementos para organizar a festa de Natal da empresa. Determine de quantas maneiras diferentes se pode formar uma comissão com, pelo menos, dois programadores.

3. Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico, o StopDor. Admita que a concentração deste medicamento, em decigramas por litro de sangue, t horas após ser administrado a uma pessoa, é dado por: A (t ) = 3te-0,6t De acordo com uma associação de defesa ao consumidor, um bom analgésico deve começar a produzir efeito, no máximo, meia hora após ter sido tomado, e a sua ação deve permanecer durante, pelo menos, cinco horas (após ter começado a produzir efeito). Suponha que foi incumbido de analisar um novo medicamento analgésico, o TiraDor, lançado por outro laboratório concorrente. Da análise que efetuou concluiu que a concentração desse medicamento, em decigramas por litro de sangue, t horas após ser administrado a uma pessoa, é dado por: B (t ) = 2te-0,4t Matemática 12 | Caderno de Testes

TESTE GLOBAL N.º 1

Recorrendo à sua calculadora compare as duas funções e elabore um relatório, que possa ser apresentado à gerência da sua empresa, em que re¿ra os instantes (em minutos arredondados às unidades) em que cada um dos medicamentos começa a produzir efeito e durante quanto tempo (em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades). Re¿ra, ainda, se cada um dos analgésicos satisfaz os critérios de¿nidos pela associação de defesa do consumidor para ser considerado um bom analgésico. Tenha em consideração que quer um medicamento quer outro, só produz efeito se a sua concentração for superior a 1 decigrama por litro de sangue. Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o(s) grá¿co(s) obtido(s), bem como coordenadas relevantes de algum(ns) ponto(s). Apresente as coordenadas arredondadas às centésimas. 4. Considere a função f, de domínio ^+0, de¿nida por: x-2 se 0 ≤ x < 2 1- e x-2 f ( x) = ln ( x + 3) se x ≥ 2 x + 3 Resolva os três itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. 4.1. Estude f quanto à existência de assíntotas paralelas aos eixos coordenados do seu grá¿co. 4.2. Mostre, sem resolver a equação, que f ( x ) = -2 tem, pelo menos, uma solução em ]0,1[ . Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, conserve três casas decimais. 4.3. Estude f quanto à monotonia em ] 2,+ [ .


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118

Cotações Grupo I ..................................................................................................................................................... 50


Grupo II .................................................................................................................................................. 150

1. .......................................................................................................................................... 40 1.1. .................................................................................................................... 20 1.2. .................................................................................................................... 20 2. .......................................................................................................................................... 30 2.1. .................................................................................................................... 15 2.2. .................................................................................................................... 15 3. .......................................................................................................................................... 20 4. .......................................................................................................................................... 60 4.1. .................................................................................................................... 20 4.2. .................................................................................................................... 20 4.3. .................................................................................................................... 20

TOTAL .................................................................................................................................................... 200


TESTE GLOBAL N.º 1

Proposta de resolução 5. z + 1 ≤ 1 de¿ne o círculo de centro (-1, 0) e raio 1.

GRUPO I

z - 1 ≤ 1 › z + i ≤ 1 de¿ne a união do cír1. Caixa A: 4 bolas verdes e 3 amarelas Caixa B: 2 bolas verdes e 4 amarelas Admitindo que no dado saiu número um, isto é,

culo de centro (0,1) e raio 1 com o círculo de centro (0, -1) e raio 1.

(z-i

z +1 ≤1 ‹

≤ 1 › z + i ≤ 1) de¿ne a

número ímpar, então vai-se extrair uma bola

interseção do círculo de centro (-1,0) e raio 1

da caixa B. Nesta caixa, há 4 bolas amarelas

com a união dos círculos unitários de centros

num total de 6 bolas, logo a probabilidade 4 2 pedida é = . 6 3

(0,1) e (0,-1). Resposta (D)

Resposta (B) 2. 3

=

( )

2log3 x 2 - 5log3 x

=

3

( ) x4 1 = 5 = log ( x ) x x 3

3

35log3 x

log3 x 4 5

3

Resposta (C) 1 sen 2 ( 2x ) 3. lim 2 sen 2 ( 2x ) = lim x 0 x 0 x x2 2 sen ( 2x ) 2 sen ( 2x ) = lim = lim * 2 x 2x x 0 x 0 Consideremos 2x = y. Como x 0, então y 0. sen = 4 * lim y 0 y = 4 * 12 = 4

2 2 y sen y = 4 * lim y y 0

Resposta (A) 4. Os grá¿cos das opções (A) e (D) não podem ser dado que, de acordo com eles, g '' ( 2) existe e g '' ( 2) > 0 . O grá¿co da opção (C) também não representa o da segunda derivada porque, de acordo com ele, não há mudança de sinal da segunda derivada em x = 2 apesar de g '' ( 2) = 0 . Resposta (B)

GRUPO II

( )

2log3 x 2

z2 = cis 5

1. z1 = 1

1.1. Como 1 é um zero do polinómio z 3 - z 2 + 25z - 25 , este polinómio é divisível por z - 1. Efetuando a divisão do polinómio z 3 - z 2 + 25z - 25 por z - 1, utilizando a regra de Ruf¿ni, tem-se: 1 1 1

-1

25

-25

1

0

25

0

25

0=r

(

)

Assim, z 3 - z 2 + 25z - 25 = ( z - 1) z 2 + 25 . Logo: z 3 - z 2 + 25z - 25 = 0 2 § ( z - 1) z + 25 = 0

(

)

z - 1= 0 › z 2 + 25 = 0 2 § z = 1 › z = -25 §

§

z = 1 › z = 5i › z = -5i

1= cis (0) 5i = 5 cos 2 3 -5i = 5cis 2 As raízes do polinómio na forma trigonométrica 3 são: cis (0) , 5cis e 5cis 2 2 Matemática 12 | Caderno de Testes

119

120

2 1.2. z1 + z2 = 2 + 2cos 5 z1 + z2 = 1+ cis = 1+ cos + i sen 5 5 5 z1 + z2

2

2 2 2 = 1+ cos + sen 5 5 2 = 1+ cos + sen 2 5 5 = 1+ 2cos + cos2 + sen 2 5 5 5 =1 = 1+ 2cos + 1 5 = 2 + 2cos c.q.d. 5

2.

Cálculos auxilares: P ( J A) = P ( J ) - P ( J B) = 0,7 - 0,3 = 0,4 P ( S A) = P ( A) - P ( J A) = 0,6 - 0,4 = 0,2 Assim, P ( A | S ) =

P ( A S ) P (S )

0,2 2 = 0,3 3

=

2.2. 0,6 * 50 = 30 programadores 30 C2 * 20C2 + 30C3 * 20C1 + Número de comissões com dois programadores

Número de comissões com três programadores

30 C4 = 191255

Número de comissões com quatro programadores

y1 = 3te-0,6t

3. A (t ) = 3te-0,6t

y2 = 2te-0,4t

B (t ) = 2te-0,4t

y3 = 1

2.1. Consideremos os seguintes acontecimentos: A: “ser programador”

B: “ser consultor”

J: “ser júnior”

S: “ser sénior”

Sabe-se que: • P ( J ) = 0,7 e P ( S ) = 0,3

P ( J B)

A B

0,3

Total

0,7

I 2 (0,65;1) I3

I4

y

3

4,24 6,36

I3 ( 4,24;1) I 4 ( 6,36;1) 12 t

0,43 * 60 ) 26 minutos 0,65 * 60 = 39 minutos 4,24 - 0,43 = 3,81h

6,36 - 0,65 = 5,71h

3,81h = 3 h + 0,81h

5,71h = 5 h + 0,71h

0,81* 60 ) 49 minutos

0,71* 60 ) 43 minutos

Total 0,6

Os efeitos do StopDor começam-se a sentir

0,4

ao ¿m de aproximadamente 26 minutos após

0,3

1

a sua toma e duram aproximadamente 3 horas e 49 minutos.

Pretendemos determinar: P( A | S) =

2

0,43 0,65

Organizando os dados numa tabela: S

I1 (0,43;1)

y

= 0,75

P ( B) § P ( J B ) = 0,75 * 0,4 § P ( J B ) = 0,3

J

1

1 I1 I2

• P ( A) = 0,6 e P ( B) = 0,4 • P ( J | B ) = 0,75 §

y

2

P ( A S )

Os efeitos do TiraDor começam a fazer-se sentir

P (S )

ao ¿m de aproximadamente 39 minutos após a sua toma e duram 5 horas e 43 minutos aproxi-

J

S

Total

A

0,4

0,2

0,6

Assim, nenhum dos dois medicamentos cum-

B

0,3

0,4

pre os requisitos recomendados pela associa-

Total

0,7

0,3


1

madamente.

ção de defesa do consumidor.

TESTE GLOBAL N.º 1

O StopDor apesar de começar a produzir efeito

4.2. f é contínua em [0, 2[, uma vez que se trata

antes da meia hora após ter sido tomado, a sua

do quociente entre duas funções contínuas

ação permanece menos do que cinco horas.

(uma que é uma função a¿m e outra que é a

O TiraDor tem um efeito superior a cinco horas,

diferença entre uma função constante e a com-

no entanto, só começa a produzir efeito aos 39

posta de uma função exponencial com uma

minutos, ou seja, mais de meia hora após a

função a¿m); em particular, é contínua em [0, 1].

sua toma.

f (0 ) =

-2 -2 = 2 ) - 2,313 1 1- e 1- 2 e - 1 e e2 1- 2 -1 -1 -1 f (1) = = = = ) - 1,582 1- 2 -1 1 e -1 1- e 1- e 1e e f (0) < -2 < f (1)

4. 4.1. • Assíntotas verticais: x-2

lim f ( x ) = lim

x 2-

= lim

x 2

x 2- 1- e

-1

-

e

x-2

= - lim

x-2

-1 x-2

x 2

= lim

x 2-

1 1- e x - 2 x-2

e

-1 x-2 -

Consideremos x - 2 = y. Como x 2 , y 0 . - lim

y 0-

ey -1 y

1

=lim y 0

1 = - = -1 1 ey -1

-

y

Como o valor obtido é um número real,

f ( x ) = -2 tem, pelo menos, uma solução em

]0,1[ . 4.3. Em ] 2,+ [ : f ( x ) = f '( x) =

concluímos que a reta de equação x = 2 não é assíntota vertical do grá¿co de f. Como f é contínua em

+0

\ {2} o seu grá¿co

não admite assíntotas verticais.

• Assíntotas horizontais: lim f ( x ) = lim

x +

x +

ln ( x + 3)

( x + 3)

Consideremos x + 3 = y. Como x +, y +.

zontal do grá¿co de f quando x + . Como o domínio de f é limitado inferiormente o seu grá¿co não admite outra assíntota não

( x + 3) x+3 - ln ( x + 3)

2

( x + 3) 1- ln ( x + 3) = 2 ( x + 3)

2

Como ( x + 3) > 0, Ax ] 2,+ [ , o sinal de f ' 2

depende apenas do sinal de 1- ln ( x + 3) . f ' ( x ) = 0 § 1- ln ( x + 3) = 0 ‹ x > 2 § ln

ln y = 0 (limite notável) y + y A reta de equação y = 0 é uma assíntota hori-

ln ( x + 3)

x+3 ln ( x + 3)' ( x + 3) - ln ( x + 3) ( x + 3) '

= x+3

lim

vertical.

=

que Ec ]0,1[ : f ( c ) = -2, isto é, a equação

x-2

-

1

0-2

Logo, pelo Teorema de Bolzano, concluímos

1 -

0-2

( x + 3) = 1

‹ x>2

§

x+3= e ‹ x >2

§

x = e-3 ‹ x > 2

C.S. = O f ' não tem zeros em ] 2,+ [ .

f ' ( x ) < 0, Ax ] 2,+ [ , logo, f é estritamente

decrescente em ] 2,+ [ .


121

122



Itens

1

2

3

4

5

Respostas

B

C

A

B

D

GRUPO II 1. 1.1. ............................................................................................................................................... 20 pontos 3 2 Dividir z - z + 25z - 25 por z - 1 ................................................................................................... 6 pontos

Resolver a equação z 2 + 25 = 0 ..................................................................................................... 8 pontos Representar na forma trigonométrica as três raízes ...................................................................... 6 pontos Escrever 1= cis (0) ................................................................................................................ 2 pontos Escrever 5i = 5cis ........................................................................................................... 2 pontos 2 3 Escrever -5i = 5cis ....................................................................................................... 2 pontos 2 1.2. ................................................................................................................................................20 pontos Escrever z1 + z2 = 1+ cis ............................................................................................................ 2 pontos 5 Escrever cis = cos + i sen ................................................................................................ 3 pontos 5 5 5 Determinar z1 + z2

2

...................................................................................................................... 13 pontos

Escrever z1 + z2 = 1+ cos + i sen ............................................................................... 2 pontos 5 5 2 Obter z1 + z2 2 = 1+ cos + sen 2 ............................................................................... 3 pontos 5 5


TESTE GLOBAL N.º 1

Obter 1+ 2cos + cos2 ................................................................................................. 4 pontos 5 5 Utilizar a fórmula fundamental da trigonometria ................................................................... 4 pontos 2 Concluir que z1 + z2 = 2 + 2cos ................................................................................................ 2 pontos 5 2. 2.1................................................................................................................................................. 15 pontos No que se segue, vamos designar por A o acontecimento “o funcionário é programador”, por B o acontecimento “o funcionário é consultor”, por J o acontecimento “ o funcionário é júnior” e por S o acontecimento “o funcionário é sénior”. Podem ser admitidas outras designações para os acontecimentos. Escrever P ( A) = 0,6 .......................................................................................................................... 1 ponto Escrever P ( J ) = 0,7 ........................................................................................................................ 1 ponto Escrever P ( J | B) = 0,75 …………………… ......................…………………………………………….. 2 pontos Calcular P ( J B) ........................................................................................................................... 4 pontos Identi¿car P ( A | S ) com o pedido .................................................................................................... 2 pontos P ( A S ) (ou equivalente) (ver nota) ................................................................ 1 ponto Escrever P ( A | S ) = P (S ) Calcular P ( A S ) ........................................................................................................................... 2 pontos

Obter P ( S ) ........................................................................................................................................ 1 ponto Obter P ( A | S ) ................................................................................................................................... 1 ponto Nota: se o aluno não escrever P ( A | S ) = siderada como cumprida.

P ( A S ) P (S )

e obtiver o valor de P ( A | S ) , esta etapa deve ser con-

2.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos Calcular corretamente o número de programadores ...................................................................... 2 pontos Escrever a expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) ........................................................... 11 pontos Calcular o valor pedido (ver nota 2) .............................................................................................. 2 pontos

Nota 1 Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita á escrita da expressão com a respetiva pontuação a atribuir. 30

C2 * 20C2 + 30C3 * 20C1 + 30C4 (ou equivalente) ........................................................................ 11 pontos


123

124

30

C2 +

30

C3 + 30C4 ......................................................................................................................... 5 pontos

30

A2 * 20 A2 + 30 A3 * 20 A1 + 30 A4 (ou equivalente) .......................................................................... 3 pontos

Outras situações ............................................................................................................................. 0 pontos Nota 2 A pontuação relativa a esta etapa só é atribuída se na etapa anterior não tiverem sido atribuídos zero pontos.

3. .................................................................................................................................................. 20 pontos Representar gra¿camente a função A ............................................................................................ 2 pontos Representar gra¿camente a função B ............................................................................................ 2 pontos Assinalar devidamente os pontos relevantes (1 + 1 + 1 + 1) ............................................................. 4 pontos Coordenadas aproximadas desses pontos (1 + 1 + 1 + 1) ................................................................ 4 pontos Referir o instante em que o StopDor começa a fazer efeito ........................................................... 2 pontos Referir o instante em que o TiraDor começa a fazer efeito ............................................................ 2 pontos Referir a duração do efeito do StopDor .......................................................................................... 2 pontos Referir a duração do efeito do TiraDor ........................................................................................... 2 pontos

4. 4.1. ................................................................................................................................................20 pontos Estudar a existência de assíntotas verticais do grá¿co de f .......................................................... 12 pontos Calcular lim - f ( x ) (ver nota 1) .......................................................................................... 8 pontos x 2

Concluir que a reta de equação x = 2 não é assíntota vertical do grá¿co de f ..................... 2 pontos Justi¿car a não existência de assíntotas verticais ................................................................ 2 pontos Estudar a existência de assíntota horizontal (ver nota 2) .............................................................. 8 pontos lim f ( x ) (ver nota 1) ......................................................................................... 6 pontos Calcular x + Concluir que a reta de equação y = 0 é assíntota horizontal do grá¿co de f quando x A +' ... 2 pontos Nota 1 O aluno deve explicitar o limite notável, caso não o faça a classi¿cação a atribuir a esta etapa é de 4 pontos. Nota 2 Se o aluno tentar calcular lim f ( x ) a classi¿cação a atribuir a esta etapa deve ser desvalorizada em 2 pontos. Matemática 12 | Caderno de Testes

x -

TESTE GLOBAL N.º 1

4.2. ................................................................................................................................................20 pontos Justi¿car a continuidade da função f no intervalo [0, 1] (ver notas 1 e 2) ...................................... 5 pontos Calcular f (0) ................................................................................................................................. 3 pontos Calcular f (1) ................................................................................................................................. 3 pontos Escrever f (0) < -2 < f (1) ............................................................................................................. 3 pontos Concluir o pretendido (ver nota 3) ................................................................................................. 6 pontos

Nota 1 Se o aluno não justi¿car a continuidade no intervalo [0,1], mas justi¿car a continuidade em [0,2[ a classi¿cação a atribuir a esta etapa é de 3 pontos. Nota 2 Se o aluno referir apenas, sem justi¿car, que f é contínua em [0, 1], a classi¿cação a atribuir a esta etapa é de 4 pontos. Nota 3 Se o aluno concluir o pretendido, mas não evocar o Teorema de Bolzano, a classi¿cação a atribuir a esta etapa é de 4 pontos.

4.3. ............................................................................................................................................... 20 pontos Determinar f ' ( x ) ............................................................................................................................ 6 pontos Escrever f ' ( x ) = 0 .......................................................................................................................... 2 pontos Resolver a equação f ' ( x ) = 0 ( S = O) ............................................................................................. 4 pontos Referir que f ' ( x ) < 0, Ax ] 2,+ [ .................................................................................................. 4 pontos Referir que f que é estritamente decrescente em ] 2,+ [ .............................................................. 4 pontos


125

126

Exemplos de resposta e proposta de cotação GRUPO II

1.2. z1 + z2 = ( z1 + z2 ) 2

2.

2

2

= z1 + 2 z1 * z2 + z2

2

= 12 + 2 * 1* 1+ 12

2.2.

50

C4 - 30C4 - 30C3 * 20C1

Cotação a atribuir ........................ 13 pontos

= 1+ 2 + 1 =4

Nesta resposta o aluno: • calcula corretamente o número de programa-

Cotação a atribuir .......................... 0 pontos

dores .............................................. 2 pontos • escreve uma expressão correta que dá o valor

Repara que o aluno comete um erro grave quando considera que z1 + z2 = z1 + z2 . Na verdade z1 + z2 ≤ z1 + z2 .


pedido .......................................... 11 pontos • não calcula o valor pedido ............. 0 pontos

TESTE GLOBAL N.º 2


Tipologia, número de itens e cotação: Número de itens


Escolha múltipla

5

10


6

15 a 20


1

15


1

15


1

15



Conteúdos Tema I – Probabilidades e combinatória > Conceitos probabilísticos > Operações com acontecimentos > De¿nição clássica de probabilidade > De¿nição axiomática de probabilidade > Probabilidade condicionada e independência > Análise combinatória Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II > Função exponencial de base superior a 1 > Função logarítmica de base superior a 1 > Limites > Continuidade > Assíntotas do grá¿co de uma função > Derivadas Tema III – Trigonometria e números complexos > Funções trigonométricas > Fórmulas trigonométricas > Limites trigonométricos > Derivadas de funções trigonométricas > Representação trigonométrica de um número complexo > Operações com números complexos na forma algébrica e trigonométrica > Domínios planos Matemática 12 | Caderno de Testes

127

128

Teste Global n.º 2 Matemática A Duração do teste: 90 minutos 12.º Ano de Escolaridade

GRUPO I


1. Considere um cubo com as faces numeradas de 1 a 6. Pretende-se colorir as suas faces dispondo-se para o efeito de seis cores distintas. De quantas maneiras diferentes o podemos colorir, supondo que duas das faces têm de ter a mesma cor e as restantes cores diferentes? (A) 6 * 6C2 * 5A4

(B) 6 C2 * 5!

(C) 6 * 6 A2 * 5C4

2. Em ^, o conjunto-solução da condição ln ( x + 1) > ln ( 2x - 3) é: 3 (B) ,+ (A) ] -, 4[ (C) ] -1, 4[ 2

(D) 6! * 5!

3 (D) , 4 2

3. Na ¿gura está representada a função f, de domínio ^, cujo grá¿co admite como assíntotas as retas de equação y = 0 e y = 3. As assín1 totas do grá¿co da função paralelas aos eixos coordenados são: f 1 (B) Não existem (A) x = 2 e y = 3 (D) y = 3 e y = 0 (C) x = 2 e y = 3


y f O

2

x

TESTE N.º 1

TESTE GLOBAL N.º 2

4. Na ¿gura encontra-se representada parte do grá¿co da função h',

y

primeira derivada de h, de domínio ^.

h´

Sabe-se que: • os zeros de h' são a e c; • c é minimizante e b é maximizante de h'. Relativamente ao grá¿co da função h, quais são as abcissas dos

O

a

b

c

x

seus pontos de inÀexão? (A) a, b e c

(B) a e b

(C) a

(D) b e c

5. Considere, no plano complexo, o conjunto representado na ¿gura.

Eixo imaginário

Qual das condições seguintes, de¿nidas em `, de¿ne a região sombreada, incluindo a fronteira? › Im ( z ) ≥ -3 (A) - ≤ arg ( z - 1+ i ) ≤ 4 2

1

(B) - ≤ arg ( z + 1- i ) ≤ ‹ Im ( z ) ≥ -3 2 4

-1

Eixo real

-3

(C) - ≤ arg ( z - 1+ i ) ≤ ‹ Re ( z ) ≥ -3 4 2 (D) -

≤ arg ( z - 1+ i ) ≤ ‹ Im ( z ) ≥ -3 2 4

GRUPO II


n 1. Em `, conjunto dos números complexos, considere z1 = 2 + i e z2 = cis , n . 10 1.1. O complexo z1 é uma raiz quarta de um certo número complexo z. Determine as restantes raízes quartas de z. 1.2. Determine o menor valor de n natural para o qual i * z2 é um número real.


129

130

2. Na ¿gura está representado um prisma hexagonal regular com as faces coloridas

B

de cores distintas.

C

2.1. Pretende-se designar os restantes nove vértices do prisma, utilizando, para cada um deles, letras distintas do alfabeto português (23 letras). Ao escolher, aleatoriamente, as letras, determine a probabilidade de os vértices de uma das bases serem todos designados por consoantes. A

Apresente o resultado arredondado às centésimas.

2.2. Escolhem-se aleatoriamente três vértices do prisma de maneira a de¿nir um triângulo. Qual é a probabilidade de o triângulo pertencer a uma das faces do prisma? 4 6 Uma resposta correta a este problema é 6 * C3 + 2 * C3 . 120

C3

Explique, numa pequena composição, o raciocínio que conduziu a esta expressão. Nota: deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos: • Referência à regra de Laplace. • Explicação do número de casos possíveis. • Explicação do número de casos favoráveis. 1 + 3e1-x e g ( x ) = cos ( 2x ) - sen x . 4 Utilize métodos exclusivamente analíticos para resolver as duas alíneas seguintes.

3. Considere as funções f e g, de domínio ^, de¿nidas por f ( x ) =

3.1. Estude a função f quanto à existência de assíntotas paralelas aos eixos coordenados. 3.2. Resolva a equação f ( x ) = g ( ) , apresentando a solução na forma ln ( ke) , onde k representa um número real positivo. 3.3. Recorrendo à calculadora, determine as soluções inteiras da inequação f ( x ) > g ( x ), no intervalo

[0, 2].

Na sua resposta, deve: • reproduzir o(s) grá¿co(s) da(s) função(ões) que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identi¿cado(s), incluindo o referencial; • assinalar os pontos relevantes; • indicar as coordenadas desses pontos com arredondamento às centésimas. P

D

C

4. Na ¿gura está representado um quadrado [ABCD], de lado 1.O ponto P desloca-se sobre o lado [CD]. Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude do ângulo BAP, x , . 4 2 Resolva os itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. 4.1. Mostre que a área do quadrilátero [ABCP] é dada, em função de x, por A ( x ) = 4.2. Estude a função A quanto à monotonia. Matemática 12 | Caderno de Testes

x A

2sen x - cos x . 2sen x

B

TESTE N.º 1

TESTE GLOBAL N.º 2

Cotações Grupo I ..................................................................................................................................................... 50


Grupo II .................................................................................................................................................. 150

1. .......................................................................................................................................... 35 1.1. .................................................................................................................... 15 1.2. .................................................................................................................... 20 2. .......................................................................................................................................... 30 2.1. .................................................................................................................... 15 2.2. .................................................................................................................... 15 3. .......................................................................................................................................... 50 3.1. .................................................................................................................... 20 3.2. .................................................................................................................... 15 3.3. .................................................................................................................... 15 4. .......................................................................................................................................... 35 4.1. .................................................................................................................... 15 4.2. .................................................................................................................... 20

TOTAL .................................................................................................................................................... 200


131

132

Proposta de resolução GRUPO I

1.

• Assíntotas horizontais do grá¿co de

6

C2 é o número de maneiras distintas de se escolher as duas faces do cubo que vão ser pintadas da mesma cor. Por cada uma dessas maneiras, existem 6 possibilidades diferentes para escolher a cor dessas duas faces. E por 5 cada uma destas maneiras existem A 4 maneiras diferentes de escolher quatro cores ordenadamente (as faces são distintas) de entre 5 disponíveis para colorir as restantes faces do cubo. Logo, a resposta correta é 6 * 6C2 * 5A 4 . Resposta (A)

2. D = { x : x + 1> 0 ‹ 2x - 3 > 0} = x : x > -1 ‹ x >

3 3 = , + 2 2

ln ( x + 1) > ln ( 2x - 3) §

x + 1> 2x - 3 ‹ x D

§ 1+ 3 §4

> 2x - x ‹ x D

>x ‹ xD

1 1 1 = lim ( x ) = lim x + f x + f ( x ) 3 1 é uma assíntota 3 1 horizontal do grá¿co de quando x + . f 1 1 1 = - = - lim ( x ) = lim x - f x - f ( x ) 0 A reta de equação y =

Como o valor obtido não é um número real, o 1 não admite assíntota horizontal grá¿co de f quando x - . 1 Logo, as assíntotas do grá¿co da função f paralelas aos eixos coordenados são x = 2 e 1 y= . 3 Resposta (A)

4. Por observação do grá¿co de h' podemos a partir da monotonia de h' estudar o sinal de h'':

3 C.S. = , 4 2

Sinal de h''

Resposta (D)

Sentido de variação de h'

3. D 1 = \ {2} f

• Assíntotas verticais do grá¿co de 1 : f 1 1 1 = + = + lim ( x ) = lim x 2+ f x 2+ f ( x ) 0 1 1 1 lim ( x ) = lim = - = - - f - f x x 2 x 2 ( ) 0 A reta de equação x = 2 é uma assíntota ver1 tical do grá¿co de . f


1 : f

x

-'

b

+

0

£

Máx.

c

+'

-

0

+

¢

mín.

£

A partir do sinal de h'' podemos estudar o sentido das concavidades do grá¿co de h. -'

b

c

+'

Sinal de h''

+

0

-

0

+

Sentido de concavidades do grá¿co de h

F

P.I.

E

P.I.

F

x

Logo, as abcissas dos pontos de inÀexão são b e c. Resposta (D)

TESTE N.º 1

TESTE GLOBAL N.º 2

5.

de centro na origem do referencial e ampli radianos. tude 2 Dado que, aplicar à imagem geométrica de

≤ arg ( z - (1- i )) ≤ 4 2 §≤ arg ( z - 1+ i ) ≤ - define: 2 4 -

um número complexo uma rotação de centro na origem e amplitude rad corresponde a 2 multiplicar esse número por i, então, as res-

Eixo imaginário

tantes raízes quartas de z são:

1 –1

O

i ( 2 + i ) = 2i + i 2 = -1+ 2i

Eixo real

i ( -1+ 2i ) = -i + 2i 2 = -2 - i i ( -2 - i) = -2i - i 2 = 1- 2i Logo, -1+ 2i, - 2 - i e 1- 2i são as restantes raízes quartas de z.

Im ( z ) ≥ -3 define: Eixo imaginário

O

n 1.2. i * z2 = i * cis , n 10 n = cis * cis , n 2 10

Eixo real

n = cis + , n 2 10

-3

i * z2 é um número real se: arg ( i * z2 ) = k, k Logo, a resposta correta é: -

isto é:

≤ arg ( z - 1+ i ) ≤ ‹ Im ( z ) ≥ -3 4 2

n + = k, k 2 10 n § = k - , k 10 2 § n = 10k - 5, k

Resposta (D)

§

n = 10k - 5, k

GRUPO II Fazendo k = 1, temos o menor natural que satisfaz o pretendido, isto é, n = 5.

1. 1.1. No plano complexo, as imagens geométricas das raízes quartas de um número complexo z, não nulo, são os vértices de um quadrado com centro na origem do referencial.

2. 2.1. O número de casos possíveis é:

20

O número de casos favoráveis é:

A9

16

A4 * 16A5

Assim, a partir da imagem geométrica de uma das raízes quartas de z, podemos obter as imagens geométricas das restantes raízes quartas de z, através de sucessivas rotações


A4 * 16A5 20

A9

) 0,38


133

134

2.2.

12

C3 é o número de maneiras distintas de

de¿nir um triângulo a partir dos 12 vértices do prisma, isto é, o número de casos pos-

• Assíntotas horizontais: 1 1 lim f ( x ) = lim + 3e1- x = + 3e- 4 x + 4

x +

=

síveis.

1 1 +0= 4 4

Para que o triângulo pertença a uma das faces do prisma existem 2 hipóteses em alternativa, que se excluem mutuamente: ou pertence a uma face lateral (retângulo) ou pertence a uma base (hexágono).

1 é assíntota horizon4 tal do grá¿co de f quando x + .

A reta de equação y =

1 lim f ( x ) = lim + 3e1-x x - x - 1 1 + 3e+ 4 1 = + 3 ( +) = + 4 =

No primeiro caso existem 6 faces laterais distintas e para cada uma delas temos que escolher 3 vértices de entre quatro, pelo que exis4 tem 6 * C3 maneiras diferentes de o fazer.

Como o valor obtido não é um número real,

No segundo caso temos que escolher uma

concluímos que o grá¿co de f não admite

base, de entre duas, e, para cada uma delas,

assíntota horizontal quando x - .

temos de escolher três vértices de entre seis, pelo que existem 2 * 6C3 maneiras diferen-

3.2. g ( ) = cos ( 2) - sen ( ) = 1- 0 = 1

tes de o fazer.

f ( x ) = g ( )

Assim, o número de casos favoráveis é: 6 * 4 C3 + 2 * 6C3 De acordo com a regra de Laplace, a probabilidade de um acontecimento é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis, quando estes são todos equiprováveis e em número ¿nito. Logo, a probabilidade pedida é: 6 * 4 C3 + 2 * 6C3 12

§

1 + 3e1- x = 1 4 1 1- x § 3e = 14 3 1- x § 3e = 4 1 1- x §e = 4 1 § 1- x = ln 4 §

§-

C3

f é contínua em ^, logo, o seu grá¿co não admite assíntotas verticais.


1 x = -1+ ln 4

§

1 x = 1- ln 4

§

x = ln e + ln 4

§

x = ln ( 4e)

3. 3.1. • Assíntotas verticais:

f ( x) = 1

C.S. = {ln ( 4e)}

TESTE N.º 1

TESTE GLOBAL N.º 2

3.3.

y

1 + 3e1- x 4 y2 = cos ( 2x ) - sen x y1 =

I1

y2 y

I2

I3 2,92 4,18 5,18

O

1

x

I1 ( 2,92; 0,69) I 2 ( 4,18; 0,37)

Logo: cos x sen x A( x) = 2 cos x 2sen x = 2 cos x = 12sen x 1+ 1-

=

I3 (5,18; 0,30) Em [0, 2] as soluções inteiras de f ( x ) > g ( x )

4.2. A' ( x ) =

2sen x - cos x 2sen x

c

(2sen x - cos x ) ' (2sen x ) 4sen 2 x - ( 2sen x - cos x ) ( 2sen x ) '

são: 0, 1, 2 e 5

4sen 2 x 4.

AB + PC * BC 2

4.1. A [ ABPC ] =

=

(2cos x + sen x ) (2sen x ) 4sen 2 x - ( 2sen x - cos x ) ( 2cos x )

Sabemos que AB = 1 e BC = 1.

4sen 2 x

Determinemos, então, PC : = P

D

4sen x cos x + 2sen 2 x 4sen 2 x

C

- 4sen x cos x + 2cos2 x 4sen 2 x 1

=

(

2 sen 2 x + cos2 x 4sen x

x A

PC = EB EB = 1- AE = 1tgx = §

cos x sen x

1 1 § AE = tgx AE

AE =

cos x sen x

E

B

= =

)

2

2 4sen 2 x 1 2sen 2 x

sen 2 x > 0, Ax , , logo 4 2 A' ( x ) > 0, Ax , , ou seja, A 4 2 é estritamente crescente em , . 4 2


135

136



Itens

1

2

3

4

5

Respostas

A

D

A

D

D

GRUPO II 1. 1.1. ............................................................................................................................................... 15 pontos Multiplicar z1 por i ............................................................................................................................ 2 pontos Obter -1 + 2i.................................................................................................................................... 3 pontos Multiplicar ( -1+ 2i ) por i ................................................................................................................ 2 pontos Obter -2 - i ...................................................................................................................................... 3 pontos Multiplicar ( -2 - i ) por i .................................................................................................................. 2 pontos Obter 1 - 2i ..................................................................................................................................... 3 pontos

1.2. ................................................................................................................................................20 pontos Escrever i na forma trigonométrica ................................................................................................ 3 pontos Indicar um argumento de i * z2........................................................................................................ 5 pontos Escrever uma condição para que i * z2 seja um número real ........................................................ 5 pontos Obter n = 10k - 5, k (ou equivalente) ........................................................................................ 4 pontos Concluir que n = 5............................................................................................................................ 3 pontos 2. 2.1. ............................................................................................................................................... 15 pontos Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) ............................................................................. 12 pontos Resultado ¿nal (ver nota 2) ........................................................................................................... 3 pontos Matemática 12 | Caderno de Testes

TESTE N.º 1

TESTE GLOBAL N.º 2

Nota 1 Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão com a respetiva pontuação a atribuir. 16

A4 * 16 A5 ................................................................................................................................. 12 pontos 20 A9

18

A4 * 19 A5 ................................................................................................................................... 6 pontos 23 A9

16

C4 * 16C5 ................................................................................................................................... 4 pontos 20 C9

Outras situações ............................................................................................................................. 0 pontos Nota 2 A pontuação relativa a esta etapa só é atribuída se na etapa anterior não tiverem sido atribuídos zero pontos.

2.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos A composição deve abordar os pontos seguintes: • Enunciar a regra de Laplace. • Explicar o número de casos possíveis. • Explicar o número de casos favoráveis.

Na tabela seguinte, indica-se como deve ser classi¿cada a resposta a este item, de acordo com os níveis de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa, descritos nos critérios gerais, e os níveis de desempenho no domínio especí¿co da disciplina. Descritores do nível de desempenho no domínio

Níveis*


1

2

3

3 A composição aborda, corretamente, os três pontos.

13

14

15

2 A composição aborda, corretamente, apenas dois pontos.

8

9

10

1 A composição aborda, corretamente, apenas um ponto.

3

4

5

Níveis




137

138

3. 3.1. ................................................................................................................................................20 pontos Estudar a existência de assíntotas verticais ................................................................................... 4 pontos Justi¿car a não existência de assíntotas verticais ................................................................ 4 pontos Estudar a existência de assíntotas horizontais ............................................................................ 16 pontos Calcular lim f ( x ) .............................................................................................................. 6 pontos x +

1 é uma assíntota horizontal do grá¿co da função .... 2 pontos 4 Calcular lim f ( x ) .............................................................................................................. 6 pontos

Concluir que a reta de equação y = x -

Concluir que o grá¿co de f não admite assíntota horizontal quando x - ....................... 2 pontos

3.2. ................................................................................................................................................15 pontos Determinar g ( ) (1) ....................................................................................................................... 2 pontos Escrever

1 + 3e1- x = 1 ...................................................................................................................... 1 ponto 4

Escrever 3e1- x = Obter e1- x =

3 .......................................................................................................................... 1 ponto 4

1 ................................................................................................................................. 1 ponto 4

1 Obter 1- x = ln .......................................................................................................................... 3 pontos 4 1 Obter x = 1- ln ............................................................................................................................ 1 ponto 4 Escrever 1= ln e ............................................................................................................................... 2 pontos Obter x = ln ( 4e) .............................................................................................................................. 3 pontos Apresentar a solução ........................................................................................................................ 1 ponto

3.3. ............................................................................................................................................... 15 pontos Apresentar corretamente os grá¿cos obtidos na calculadora ........................................................ 6 pontos Grá¿co de f ........................................................................................................................... 2 pontos Grá¿co de g ........................................................................................................................... 2 pontos Respeito pelo domínio .......................................................................................................... 2 pontos


TESTE N.º 1

TESTE GLOBAL N.º 2

Assinalar devidamente os pontos de interseção .............................................................. (1+1+1) 3 pontos Apresentar as coordenadas dos pontos ........................................................................... (1+1+1) 3 pontos Apresentar o conjunto-solução da condição f ( x ) > g ( x ) .............................................................. 3 pontos 4. 4.1. ............................................................................................................................................... 15 pontos Determinar AB ................................................................................................................................. 2 pontos Determinar BC ................................................................................................................................. 2 pontos Determinar PC ................................................................................................................................. 6 pontos Escrever a expressão que dá a área do trapézio ............................................................................. 1 ponto 2sen x - cos x Obter A ( x ) = .............................................................................................................. 4 pontos 2sen x 4.2. ............................................................................................................................................... 20 pontos Determinar A' ( x ) .......................................................................................................................... 12 pontos Determinar ( 2sen x - cos x ) ' ................................................................................................... 2 pontos Determinar ( 2sen x ) ' .............................................................................................................. 2 pontos Obter

(

2 sen 2 x + cos2 x 2

) ........................................................................................................ 5 pontos

4sen x Utilizar a fórmula fundamental da trigonometria ................................................................... 2 pontos Obter

1 2sen 2 x

......................................................................................................................... 1 ponto

Justi¿car que A' ( x ) > 0, Ax , ................................................................................................ 4 pontos 4 2 Concluir que A é estritamente crescente em , ........................................................................ 4 pontos 4 2


139

140

Exemplos de resposta e proposta de cotação GRUPO II

2.

1.

n n n 1.2. i * cis = cis * cis = cis + 10 2 10 2 10 n i * cis é um número real se: 10 n + = 2k, k 2 10 n § = - + 2k, k 10 2 § n = -5 + 20k, k §

n = -5 + 20k, k

k = 1 n = 15

4 2.2. • 6 * C3 é o número de triângulos que per-

tencem às faces laterais; • 2 * 6 C3 é o número de triângulos que pertencem às bases; •

12

C3 é o número de casos possíveis.

Pela regra de Laplace, a probabilidade de um acontecimento é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis, quando estes são equiprováveis.

O menor valor é 15. Logo, uma resposta correta é: Cotação a atribuir ........................ 17 pontos 6 * 4 C3 + 2 * 6 C3 Nesta resposta o aluno:

12

C3

• escreve i na forma trigonométrica .. 3 pontos • indica um argumento de i * z2 ......... 5 pontos

Cotação a atribuir ....................... 5 pontos

• escreve uma condição para que i * z2 seja um número real positivo ....................... 2 pontos • obtém n = -5 + 20k, k ............... 4 pontos

Nesta resposta, o aluno aborda corretamente um ponto – a regra de Laplace.

• conclui, de acordo com o erro cometido, que

Repara que não explica o número de casos

n = 15 .............................................. 3 pontos

favoráveis nem o número de casos possíveis.


CRITÉRIOS GERAIS DE CLASSIFICAÇÃO

Critérios Gerais de Classi¿cação A classi¿cação a atribuir a cada resposta resulta da aplicação dos critérios gerais e dos critérios especí¿cos de classi¿cação apresentados para cada item e é expressa por um número inteiro, previsto na grelha de classi¿cação. As respostas ilegíveis ou que não possam ser claramente identi¿cadas são classi¿cadas com zero pontos. No entanto, em caso de omissão ou de engano na identi¿cação de uma resposta, esta pode ser classi¿cada se for possível identi¿car inequivocamente o item a que diz respeito. Se o aluno responder a um mesmo item mais do que uma vez, não eliminando inequivocamente a(s) resposta(s) que não deseja que seja(m) classi¿cada(s), deve ser considerada apenas a resposta que surgir em primeiro lugar. Nos itens de seleção (escolha múltipla), a cotação total do item é atribuída às respostas que apresentem de forma inequívoca a única opção correta. São classi¿cadas com zero pontos as respostas em que seja assinalada: – uma opção incorreta; – mais do que uma opção. Não há lugar a classi¿cações intermédias. Os critérios de classi¿cação dos itens de construção apresentam-se organizados por etapas e/ou por níveis de desempenho. A cada nível de desempenho e a cada etapa corresponde uma dada pontuação. No caso de, ponderados todos os dados contidos nos descritores, permanecerem dúvidas quanto ao nível a atribuir, deve optar-se pelo nível mais elevado de entre os dois tidos em consideração. Nos itens de construção com cotação igual ou superior a quinze pontos e que impliquem a produção de um texto, a classi¿cação a atribuir traduz a avaliação simultânea das competências especí¿cas da disciplina e das competências de comunicação escrita em língua portuguesa. A avaliação das competências de comunicação escrita em língua portuguesa contribui para valorizar a classi¿cação atribuída ao desempenho no domínio das competências especí¿cas da disciplina. Esta valorização é cerca de 10% da cotação do item e faz-se de acordo com os níveis de desempenho descritos no quadro seguinte. Níveis

Descritores

3

Composição bem estruturada, sem erros de sintaxe, de pontuação e/ou de ortogra¿a, ou com erros esporádicos, cuja gravidade não implique perda de inteligibilidade e/ou de sentido.

2

Composição razoavelmente estruturada, com alguns erros de sintaxe, de pontuação e/ou de ortogra¿a, cuja gravidade não implique perda de inteligibilidade e/ou de sentido.

1

Composição sem estruturação aparente, com erros graves de sintaxe, de pontuação e/ou de ortogra¿a, cuja gravidade implique perda frequente de inteligibilidade e/ou de sentido.

No caso de a resposta não atingir o nível 1 de desempenho no domínio especí¿co da disciplina, a classi¿cação a atribuir é zero pontos. Neste caso, não é classi¿cado o desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa.


141

142

No quadro seguinte apresentam-se os critérios de classi¿cação a aplicar em situações não descritas anteriormente. Situação

Classi¿cação

1. Classi¿cação da resposta a um item cujo critério se apresenta organizado por etapas.

A pontuação indicada para cada etapa é a pontuação máxima que lhe é atribuível. A classi¿cação da resposta resulta da soma das pontuações das diferentes etapas, à qual se subtrai ou subtraem, eventualmente, um ou dois pontos, de acordo com o previsto nas situações 14 e/ou 19.

2. Pontuação de uma etapa dividida em passos.

A pontuação indicada para cada passo é a pontuação máxima que lhe é atribuível. A pontuação da etapa resulta da soma das pontuações dos diferentes passos.

3. Classi¿cação da resposta a um item ou pontuação de uma etapa cujo critério se apresenta organizado por níveis de desempenho.

A resposta é enquadrada numa das descrições apresentadas.

4. Utilização de processos de resolução que não estão previstos no critério especí¿co de classi¿cação.

É aceite e classi¿cado qualquer processo de resolução cienti¿camente correto.

À classi¿cação/pontuação correspondente subtraem-se, eventualmente, um, dois ou três pontos, de acordo com o previsto nas situações 9, 10 e/ou 19.

O critério especí¿co deve ser adaptado ao processo de resolução apresentado, mediante distribuição da cotação do item pelas etapas* percorridas pelo examinando. Esta adaptação do critério deve ser utilizada em todos os processos de resolução análogos. 5. Apresentação apenas do resultado ¿nal, embora a resolução do item exija cálculos e/ou justi¿cações.

A resposta é classi¿cada com zero pontos.

6. Utilização de processos de resolução que não respeitam as instruções dadas [exemplo: “usando métodos analíticos”].

A etapa em que a instrução não é respeitada é pontuada com zero pontos, bem como todas as etapas subsequentes que dela dependam, salvo se houver indicação em contrário no critério especí¿co de classi¿cação.

7. Ausência de apresentação dos cálculos e/ou das justi¿cações necessárias à resolução de uma etapa*.

A etapa é pontuada com zero pontos, bem como todas as etapas subsequentes que dela dependam, salvo se houver indicação em contrário no critério especí¿co de classi¿cação.

8. Ausência de apresentação explícita de uma dada etapa.

Se a resolução apresentada permitir perceber inequivocamente que a etapa foi percorrida, a mesma é pontuada com a cotação total para ela prevista.

9. Transposição incorreta de dados do enunciado.

Se o grau de di¿culdade da resolução da etapa não diminuir, é subtraído um ponto à pontuação da etapa. Se o grau de di¿culdade da resolução da etapa diminuir, a pontuação máxima a atribuir a essa etapa deve ser a parte inteira de metade da cotação prevista.

10. Ocorrência de um erro ocasional num cálculo.

É subtraído um ponto à pontuação da etapa em que o erro ocorre.

11. Ocorrência de um erro que revela desconhecimento de conceitos, de regras ou de propriedades.

A pontuação máxima a atribuir nessa etapa deve ser a parte inteira de metade da cotação prevista.


CRITÉRIOS GERAIS DE CLASSIFICAÇÃO

Situação 12. Ocorrência de um erro na resolução de uma etapa.

Classi¿cação A etapa é pontuada de acordo com o erro cometido. As etapas subsequentes são pontuadas de acordo com os efeitos do erro cometido: – se o grau de di¿culdade das etapas subsequentes não diminuir, estas são pontuadas de acordo com os critérios especí¿cos de classi¿cação; – se o grau de di¿culdade das etapas subsequentes diminuir, a pontuação máxima a atribuir a cada uma delas deve ser a parte inteira de metade da cotação prevista.

13. Resolução incompleta de uma etapa.

Se à resolução da etapa faltar apenas o passo ¿nal, é subtraído um ponto à pontuação da etapa; caso contrário, a pontuação máxima a atribuir deve ser a parte inteira de metade da cotação prevista.

14. Apresentação de cálculos intermédios com um número de casas decimais diferente do solicitado e/ou apresentação de um arredondamento incorreto.

É subtraído um ponto à classi¿cação da resposta, salvo se houver indicação em contrário no critério especí¿co de classi¿cação.

15. Apresentação do resultado ¿nal que não respeita a forma solicitada [exemplos: é pedido o resultado na forma de fração, e a resposta apresenta-se na forma de dízima; é pedido o resultado em centímetros, e a resposta apresenta-se em metros].

É subtraído um ponto à pontuação da etapa correspondente à apresentação do resultado ¿nal.

16. Omissão da unidade de medida na apresentação do resultado ¿nal [exemplo: “15” em vez de “15 metros”].

A etapa relativa à apresentação do resultado ¿nal é pontuada com a cotação para ela prevista.

17. Apresentação do resultado ¿nal com aproximação quando deveria ter sido apresentado o valor exato.


18. Apresentação do resultado ¿nal com um número de casas decimais diferente do solicitado e/ou apresentação do resultado ¿nal incorretamente arredondado.


19. Utilização de simbologias ou de expressões inequivocamente incorretas do ponto de vista formal.

É subtraído um ponto à classi¿cação da resposta, exceto: – se as incorreções ocorrerem apenas em etapas já pontuadas com zero pontos; – nos casos de uso do símbolo de igualdade onde, em rigor, deveria ter sido usado o símbolo de igualdade aproximada.

* Em situações em que o critério é aplicável tanto a etapas como a passos, utiliza-se apenas o termo “etapas” por razões de simpli¿cação da apresentação.

Transcrito de: Critérios Gerais de Classi¿cação, Teste intermédio de Matemática A, maio 2011, GAVE


143

144

Formulário Comprimento de um arco de circunferência Į r (_ - amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r - raio) Áreas de ¿guras planas Losango: Diagonal maior * Diagonal menor 2

Probabilidades = p1x1 + … + pn xn p1 ( x1 - ) + … + pn ( xn - ) 2

=

2

Se X é N (+, m), então: P(+ - m < X < + + m) ) 0,6827 P(+ - 2m < X < + + 2m) ) 0,9545 P(+ - 3m < X < + + 3m) ) 0,9973

Trapézio: Base maior * Base menor * Altura 2 Polígono regular: Semiperímetro * Apótema

Regras de derivação

2 Setor circular: _r (_ - amplitude, em radianos, do 2 ângulo ao centro; r - raio)

(u + v)' = u' + v' (u * v)' = u' * v + u * v'

Áreas de superfícies

(un )' = n * un - 1 * u' (n )

Área lateral de um cone: /rg (r – raio da base; g – geratriz)

(sen u)' = u' * cos u (cos u)' = - u' * sen u

Área de uma superfície esférica: 4/r2 (r – raio)

(tg u)' =

Volumes

(eu)' = u' * eu (au)' = u' * au * ln a (a D ^+ \ {1})

u u' * v - u * v' ' = v v2

u' cos2u

Pirâmide: 1 * Área da base * Altura 3

(ln u)' = u'

Cone: 1 * Área da base * Altura 3

(loga u)' =

Esfera: 4 / r3 (r – raio) 3 Trigonometria sen (a + b) = sen a * cos b + sen b * cos a cos (a + b) = cos a * cos b - sen a * sen b tg a + tg b tg (a + b) = 1- tg a * tg b

u

u' (a D ^+ \ {1}) u * ln a

Limites notáveis 1 n lim 1+ = e ( n ) n sen x =1 x 0 x lim

ex - 1 =1 x 0 x lim

Complexos

( cis ) n cis

n

= n cis ( n)

= n cis

+ 2k , k {0,…, n - 1} n

lim

ln ( x + 1)

x 0

lim

x +

lim

x ln x =0 x ex

x + x p


=1

= + ( p )

Caderno de Testes Mat 12º Ano

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