Fundación Universitaria Konrad Lorenz Junio de 2008 ¿POR QUÉ LA TEORÍA DE CATEGORÍAS NO OCUPÓ EL LUGAR DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS EN ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE, DE NICOLAS BOURBAKI? Camilo Eduardo Matson Hernández Director: Alberto Campos Sánchez Profesor Honorario Universidad Nacional de Colombia. Co-Director: Oscar Gómez Matemático Fundación Universitaria Konrad Lorenz Resumen El siguiente artículo, presenta un análisis y posteriormente una crítica del documento “LA <> SE FONDE-T-ELLE SEULEMENT SUR DES VOCABLES MÉTAMATHÉMATIQUES? BOURBAKI ET LES CATÉGORIES AU COURS DES ANNÉES CINQUANTE”, publicado en Revue d’histoire des mathématiques. El artículo de Ralf Krömer es una profunda búsqueda en las razones del rechazo de la Teoría de categorías en Éléments de mathématique, de Nicolás Bourbaki, el documento permite acercarse a la forma en que trabajaban los miembros del grupo y a las relaciones al interior de este. Destaca la participación de Samuel Eilenberg en Bourbaki y sus efectos, también se resalta el importante trabajo de Grothendieck en la teoría de categorías y la influencia de André Weil en el grupo.
Propósito: Se pretende hacer un análisis detallado de las hipótesis planteadas por Krömer a lo largo del artículo, también se procura dar los elementos para hacer mas entendible el documento al lector inexperto. Otros trabajos de Krömer: Tool and Object. A history and Philosophy of Category Theory (2007). El artículo de Ralf Krömer está planteado en nueve secciones que se enumeran a continuación: 0. 1. 2. 3.
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Introducción. Funcionamiento de Bourbaki. Eilenberg y Bourbaki. Las tentativas de integrar los trabajos de Grothendieck al proyecto Bourbaki. 3.1. Límites inductivos y proyectivos. 3.2. Álgebra Homológica. 3.3. Geometría Algebraica. El papel de André Weil. Categorías y estructuras. ¿Cómo proveer los fundamentos conjuntistas a la teoría de las categorías? Ad majorem fonctori gloriam. La renuncia de Grothendieck. Conclusión
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Introducción Ralf Krömer plantea hacer un examen de las razones que motivaron a Bourbaki para rechazar la teoría de categorías en Éléments de mathématique, considera que la teoría de categorías está pensada en un marco acorde con la filosofía de Bourbaki, pero el grupo la rechaza explícitamente. Entre las hipótesis discutidas por Krömer están las dificultades para dar un fundamento conjuntista apropiado para la teoría de categorías, los problemas filosóficos de estas dificultades y los problemas personales entre los miembros del grupo. Su objetivo principal es mostrar la riqueza del tema antes que entender los detalles matemáticos. Este tema había sido discutido por Leo Corry en su libro Modern Algebra and the rise of mathematical structures, libro que hace un profundo análisis del concepto de estructura matemática, su significado, sus orígenes históricos y su desarrollo. En el capítulo 7 “Nicolás Bourbaki: Theory of Structures” se discute el lugar de la idea de estructura matemática en el trabajo de Bourbaki se analiza en detalle el papel de estas en Éléments de mathématique. Corry concluye que la negativa para incluir las categorías en Éléments de mathématique se debe a la oposición teórica entre la teoría de categorías y la teoría de estructuras [1]. Krömer al contrario de Corry, considera que las razones fundamentales que causaron el rechazo, no tienen que ver con la diferencia entre el enfoque estructurado y el categórico. El tema de discusión en el libro Modern Algebra and the rise of mathematical structures es más amplio, es una exposición de la trayectoria del concepto de estructura matemática, a diferencia del artículo de Krömer que se concentra en el papel de las estructuras y en la problemática al interior del grupo Bourbaki. Por esto, Corry no hace un análisis tan profundo de la problemática acerca de la adopción de las categorías al interior de Bourbaki [1]. Así mismo Corry no contaba con la gran cantidad de fuentes originales que disponía Krömer. Las conclusiones de Krömer son: las razones prácticas, filosóficas y personales, fueron utilizadas para rechazar la teoría de categorías. Y que de estas razones las personales parecen haber sido decisivas. Uno de los principales temas de discusión en este documento es el capítulo IV del libro de teoría de conjuntos de Bourbaki donde se tratan las estructuras. Según la visión de Bourbaki este capítulo es importante porque da a los matemáticos una herramienta que hace más simple su trabajo, ya que sintetiza pruebas de diferentes áreas de las matemáticas en una sola, por lo tanto un resultado en esta teoría brinda un conjunto de resultados en diferentes teorías. Otro punto de discusión a lo largo de este texto es el artículo de Grothendieck publicado en Tôhoku. Según Krömer este es un suceso que marca la historia de la teoría de categorías. El aspecto importante de la publicación en Tôhoku es que Grothendieck presenta innovaciones en la aplicación de los métodos cohomológicos en geometría algebraica. El tratamiento de los límites inductivos, los límites proyectivos, los recientes resultados en álgebra homológica y el sentido dado por Grothendieck a la geometría
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BOURBAKI Y LA TEORÍA DE CATEGORÍAS algebraica; son factores que promovieron la discusión sobre el uso del lenguaje categórico en la obra de Bourbaki. Pero Bourbaki se dio cuenta de que existían conflictos técnicos entre la teoría de categorías y la teoría de estructuras. Por otra parte existían serias dificultades para dar un fundamento conjuntista adecuado a la teoría de categorías. En los primeros documentos de Eilenberg y Mac Lane, se habla sobre dichas dificultades que no son tratadas por Krömer, pero serán discutidas más adelante. Por ahora tenemos que: •
Bourbaki sabía de estos problemas.
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Eilenberg había trabajado en conflictos de carácter técnico entre las categorías y las estructuras y no tenía una solución.
Se promovió el uso del lenguaje categórico al interior de Bourbaki, pero la decisión final fue dar la espalda a esta teoría, hecho que coincidió con la renuncia de Grothendieck. Una de las primeras y más notables reacciones acerca de estas decisiones, es una carta escrita por Serge Lang quien consideraba que el grupo se debió adherir al movimiento functorial de Grothendieck. De hecho pensaba que era inadmisible que así Bourbaki no se encontrara a la cabeza, por lo menos debía adherirse a este movimiento. A lo largo del documento, serán citados apartes de biografías de ciertos personajes claves en la discusión; esto con el fin de mejorar la comprensión del lector. Saunders Mac Lane (1909 -2005) Matemático estadounidense, se graduó en Yale en 1930, se ganó una beca en la Universidad de Chicago. Fue influenciado por Eliakim Moore para hacer su tesis doctoral en Göttingen, Alemania. Trabajó bajo la supervisión de Paul Isaac Bernays, pero con la llegada de los nazis al poder tuvo que apresurarse con su tesis doctoral “pruebas abreviadas en el cálculo lógico” antes de volver a Estados Unidos. Se ocupó a lo largo de su carrera en lógica y en una gran variedad de ramas de la matemática. En los años cuarenta trabajó en cohomología. Junto con Samuel Eilenberg desarrolló los conceptos básicos de la teoría de categorías. Serge Lang (1927- 2005) Matemático, nacido en Francia donde hizo sus estudios hasta décimo grado; tuvo que huir a Estados Unidos y se estableció en los Ángeles California. Su tesis On Quasi algebraic Clousure la hizo con asesoría de Emil Artin y se doctoró en 1951. Sus primeros trabajos están relacionados con su tesis. En 1954 publicó Number of points of varieties in finite fields en colaboración con André Weil. Es uno de los matemáticos que investigó en una amplia gama de temas como: la geometría algebraica, la geometría diofántica, la teoría de los números trascendentes, la geometría diferencial y muchas más áreas, además fue miembro del Grupo Bourbaki.
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1. Funcionamiento de Bourbaki. El Nombre Nicolás Bourbaki es un pseudónimo que le da un carácter colectivo al trabajo del grupo, esta característica es esencial y está presente en la forma de redacción del grupo. Bourbaki contaba con un muy organizado esquema de trabajo que era evidente en todos los aspectos; tanto en el de redacción matemática, como en el administrativo. El esquema que tenía muy claro el grupo en sus redacciones se hizo oficial a partir del segundo “congrès” (congreso de Bourbaki), en cada congreso era elaborada un acta, “La Tribu”, que contenía lo siguiente: • • • • • •
La lista de los participantes. Algunas anécdotas del congreso; Las fechas, el lugar y los organizadores del congreso siguiente. Los compromisos del congreso: una lista de los avances de la redacción de cada miembro. El estado de las redacciones: una lista de los avances de los trabajos para cada capítulo en producción. Las decisiones: resultados de la discusión de las redacciones leídas en el congreso.
Existe la ACNB sigla que significa (Asociación de colaboradores de Nicolás Bourbaki); como su nombre lo indica es el grupo de colaboradores de Bourbaki encargado de las labores de secretariado relativas al grupo. Los archivos de la ACNB son la recopilación de documentos como: “La Tribu”, documentos anexos, borradores y versiones previas de Éléments de mathématique, de estos documentos están en repertorio los años posteriores a 1953; la ACNB posee la mayoría de los de las redacciones a partir de la número 100. Estos archivos no estaban disponibles. Fue gracias a la aprobación del Comité scientifique des Archives de la création des mathématiques, que estos archivos fueron puestos a disposición del público a partir del año 2003. En cuanto al trabajo matemático propiamente dicho, se sabe que Bourbaki contaba con un muy elaborado proceso de redacción en el que se escogía un tema para tratar, con base en este tema uno de los miembros era encargado de hacer una redacción inicial que resumiera las características y resultados principales de dicho tema; el grupo se basaba en este informe para dividir el trabajo en secciones o capítulos que se distribuían entre los miembros del grupo. Esta redacción era presentada y discutida en los “congrès” donde se le hacían críticas o algunas veces se cambiaba por completo, luego se designaba un nuevo redactor para el texto. Este proceso se repetía hasta que todo el grupo estaba conforme con los resultados. La redacción final estaba a cargo de Jean Dieudonné quien le imprimía el estilo Bourbaki a los documentos. Este estilo de redacción era importante para el grupo; la mayoría de las redacciones eran anónimas, de esta manera se afianzaba el pensamiento colectivo de Bourbaki.
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BOURBAKI Y LA TEORÍA DE CATEGORÍAS Al final de este extenso proceso de redacción, un documento había pasado por muchas personas, y si a eso le agregamos que los documentos eran anónimos el resultado final de este proceso, era un documento que en realidad pertenecía a todo el grupo. Las labores de la ACNB, como dactilografía, reproducción de los documentos y el respectivo archivo, eran tareas que se vinculaban a la oficina de Jean Delsarte, quien tomó un papel destacado dentro del grupo ya que era el encargado de hacer la redacción de las actas para “La Tribu” de los congresos Bourbaki. Jean Delsarte (1903-1968) Matemático francés. En 1922 entró a la École Normale Supérieure de Paris, donde conoció a muchos compañeros que se convertirían en sus amigos como André Weil, Henri Cartan, Jean Dieudonné, Claude Chevalley y Charles Ehresmann. Los cinco primeros combinarían sus talentos para crear el grupo Bourbaki. Entre los primeros documentos de Delsarte se encuentran Sur les rotations dans l'espace fonctionnel y É de certaines équations intégrales qui généralisent celles de Fredholm, publicados por La Academia de Ciencias. En marzo de 1928 se doctoró con su trabajo Les rotations fonctionnelles. Impartió cursos de grupos de transformaciones lineales en el espacio de Hilbert, ecuaciones diferenciales y espacios de Riemann entre otros. En las visitas regulares a París en 1934 y 1935 se involucró en el proyecto Bourbaki.
Bourbaki no incluía es sus trabajos: Teorías abstractas y sin motivación, teorías que no produjeran nuevas herramientas en matemáticas, teorías muy importantes pero que todavía no tuvieran una clara descripción y teorías en pleno desarrollo. El eje central de las discusiones en los “congrés” era el trabajo relativo Éléments de mathématique, pero no solo se discutían temas concernientes a esta obra; también se discutían temáticas en desarrollo y trabajos de los colegas. Bourbaki no aceptaba todas las ideas que le proponían; es por esto que muchas de las redacciones o de los informes eran dejados “Au frigidaire”, expresión que significa “A la nevera”, hace referencia a los textos que fueron dejados a un lado por Bourbaki. Estos textos posiblemente no pudieron pasar el complejo proceso de redacción, o debido al gran trabajo que demandaron, los autores decidieron publicarlos por su cuenta. Entre los trabajos dejados Au frigidaire que posteriormente fueron publicados por sus autores se encuentran: el de Pierre Samuel sobre los problemas universales, el artículo publicado en la revista Tôhoku, por Grothendieck y el libro de Godement sobre la teoría de haces. Estos son aspectos confirman que Bourbaki no se pudo poner de acuerdo sobre la manera de presentar la teoría de categorías.
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2. Eilenberg y Bourbaki. Krömer destaca la participación de Eilenberg en el grupo Bourbaki, y hace una reconstrucción de las circunstancias de su admisión. Samuel Eilenberg (1913-1998), nació en Polonia; estudió en la universidad de Varsovia donde se interesó en la topología que florecía por esa época. La universidad de Varsovia contaba con un excelente personal docente; estaban Mazurkiewicz, Kuratowski, Sierpinski, Saks y Borsuk. Eilenberg se doctoró en 1936 bajo la dirección de Borsuk en el instituto Henri Poincaré. El trabajo que realizó fue sobre la topología del plano. Otro importante centro de investigación en Polonia era Lvov lugar donde Eilenberg conoció a Stefan Banach, miembro del círculo de análisis funcional. La mayoría de trabajos de Eilenberg por esa época fueron de Topología de conjuntos de puntos, pero hay indicios de que durante esta temprana época en su carrera, también estaba trabajando con tópicos algebraicos. No se tiene completa seguridad de que Eilenberg conociera a los miembros de Bourbaki, mientras hizo su doctorado. Pero por medio de la viuda de Charles Ehresmann, quien se apoya en recuerdos personales de su esposo, Eilenberg se encontraba atraído por la idea Bourbakistica de explicar la noción de estructura y usarla como fundamento de las nuevas ramas de la matemática. Esto permite determinar que muy probablemente existía un contacto entre Ehresmann y Eilenberg antes de su ingreso a Bourbaki. Los trabajos de Eilenberg le hicieron ganar un alto prestigio a nivel mundial en especial en Estados Unidos, razón por la que su padre lo convenció de seguir con su camino, Eilenberg viajó a Estados Unidos en 1939 e ingresó a la universidad de Princeton. Desde 1947 Eilenberg fue profesor de la universidad de Columbia (New York), donde se dedicó a la topología algebraica. Eilenberg se integró con facilidad a la comunidad matemática, en particular se integró bastante bien con la estadounidense. Lo que lo llevó a hacer muchos trabajos notables en compañía de otros matemáticos, entre estos se encuentra la colaboración con Saunders Mac Lane durante 1940 y 1954; trabajaron en 15 documentos que abarcan una gran variedad de temas como: teoría de categorías, cohomología, homotopía, espacios de Eilenberg-Mac Lane; además introdujeron el concepto de functor y homomorfismo natural. En el congreso 12 realizado del 8 al 19 de junio de 1946 Bourbaki toma la decisión de admitir a Eilenberg en el grupo. Eilenberg es invitado a participar en el Proyecto Bourbaki en la carta citada por Krömer del 21 de junio del 1948, Bourbaki le pide a Eilenberg participar en la revisión de las redacciones y elaborar un informe sobre las propiedades elementales de la homotopía. Curiosamente la carta de invitación aparece fechada el 21 de junio de 1948 dato que ocasiona desfase en la fecha, de aprobación del ingreso y la fecha de emisión de la carta; no se descartan errores de digitación.
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BOURBAKI Y LA TEORÍA DE CATEGORÍAS El informe que se le pidió redactar a Eilenberg se titulaba SEAW, dicha redacción era en compañía de André Weil, quien por esos años también hacia parte de la comunidad científica estadounidense. La sigla SEAW significa “Samuel Eilenberg André Weil”. Este informe es sobre “topología prehomológica” e incluye: grupos de homotopía y espacios fibrados. Durante el año académico de 1950-1951 Eilenberg viaja a París al Instituto Henri Poincaré para trabajar con Henri Cartan. Este año Eilenberg participó en el seminario de la L’École Normale Supérieure; que ese año fue dedicado a la cohomología de grupos, a las sucesiones espectrales y a la teoría de haces [2]. En este seminario Eilenberg se destacó por una presencia fuerte de su enfoque axiomático en las teorías de homología y de cohomología. Eilenberg era una persona que sabía cómo poner a trabajar a sus amigos; junto con Steenrod estableció los axiomas de la teoría de la homología y la cohomología, que aparece en su famosa obra Foundations of algebraic topology [2]. De igual manera Henri Cartan y Samuel Eilenberg sostuvieron una colaboración que duro aproximadamente cinco años; esta empezó en 1947 cuando Cartan fue a recibir a Eilenberg al aeropuerto de Nueva York. Cartan ya se encontraba familiarizado con los trabajos de Eilenberg. Comenzó a interesarse en la topología algebraica desde los años cuarenta. Tuvo contacto con un artículo de Eilenberg publicado en 1944; Annals of Mathematics, donde Eilenberg expone su teoría de la homología singular. Cartan y Eilenberg trabajaron con el fin de producir un artículo que desarrollara las nuevas ideas para la formula de Künnteh. A medida que avanzaba en el proyecto trabajaron cohomología de grupos, cohomología de álgebras de Lie, cohomología de álgebras asociativas y luego el concepto de hipercohomología. El trabajo se agrandó tanto que tuvieron que publicar un libro con un nombre que resumiera su contenido “Homological Algebra”. Esta colaboración continúo hasta el año 1966 [2]. Es probable que el contacto entre Eilenberg y Bourbaki haya sido establecido por Claude Chevalley antes de 1948; en este año Eilenberg publicó en compañía de Claude Chevalley un documento donde dio un enfoque algebraico a la cohomología de grupos de Lie usando el álgebra básica como objeto. Demostraron que la característica de la cero cohomología de un grupo compacto de Lie es isomorfo a un álgebra correspondiente de Lie. La fuerte influencia del enfoque axiomático expuesta por Eilenberg en el seminario de 1951, se extendió hasta los congresos Bourbaki. Eilenberg participó en el congreso (realizado del 27 de enero al 3 de febrero de 1951); según “La Tribu” 24, Bourbaki tuvo la intención de integrar la homología axiomática en sus escritos.
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CAMILO MATSON H. Stefan Banach (1892-1945) Nació en Cracovia, Austria Hungría, actualmente Polonia. Dejó Cracovia para estudiar ingeniería en la Universidad Técnica de Lvov donde hizo sus estudios en los años 1910-1914. Debido al estallido de la primera guerra mundial se vio obligado a dejar Lvov. En 1920 inició su doctorado bajo la supervisión de Lomnicki aunque Banach no siguió la ruta adecuada por que no tenía calificaciones de la facultad de matemáticas. Se hizo una excepción para que pudiera presentar On Operations on Abstract Sets and their Application to Integral Equations; se dice que esta tesis es el nacimiento del análisis funcional. Se involucró mucho con la publicación en matemáticas. En compañía de Steinhaus creó la revista Studia Matemática, donde se trataron varios aspectos del análisis funcional.
Charles Ehresmann (1905-1979) Nació en Estrasburgo, Francia, entró a la École Normale Supérieure de Paris en el año de 1924 y se graduó en 1927, continúo con sus estudios dos años más tarde en Göttingen que por esa época era uno de los principales centros de investigación matemática a nivel mundial, pero tuvo que irse a Princeton en los Estados Unidos por la llegada del gobierno nazi. Su doctorado, le fue otorgado por la universidad de Paris en 1934; estudió propiedades topológicas de variedades diferenciales. Fue uno de los creadores de la topología diferencial. A partir del año 1941 realizó aportes significativos para la formación de los actuales conceptos de espacios fibrados y variedades. Después de 1957 se convirtió en líder de la teoría de categorías en la que trabajo por 20 años.
3. Las tentativas de integrar los trabajos de Grothendieck al proyecto Bourbaki. Aunque es Eilenberg quien se empeña en convencer a Bourbaki, sobre lo útil de aceptar el lenguaje categórico, es gracias a Alexandre Grothendieck como la discusión se hace más fuerte.
3.1 Límites inductivos y proyectivos. Los límites inductivos y límites proyectivos, se discuten con bastante frecuencia a lo largo de este documento y del artículo de Krömer. Por esto es necesario conocer la verdadera importancia de las nociones de límite inductivo y límite proyectivo que se puede medir por el hecho, de que las discusiones acerca de la adopción por parte de Bourbaki del lenguaje categórico se centraron en unos cuatro temas, pocos en realidad; entre ellos estaban por ejemplo los concernientes a las aplicaciones
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BOURBAKI Y LA TEORÍA DE CATEGORÍAS universales, a los functores, y precisamente a límites inductivos y límites proyectivos. En algunos trabajos de Bourbaki, que serán mencionados posteriormente, era importante el uso de los límites inductivos y de los límites proyectivos, por esto se discutieron los posibles lugares para incluirlos en Éléments de mathématique. Entre las acciones e intentos de Bourbaki para introducir estas nociones en su obra se encuentran: • En los números de la “La Tribu” 24, 26 y 27 donde se hacen las primeras menciones de estos temas, se plantea tratarlos en el capítulo II de espacios vectoriales topológicos. • En “La Tribu” 37 se puede constatar, que finalmente fue desechada la posibilidad de incluirlos en el capítulo II. • En “La Tribu” 30 se hacen explícitos los planes para tratar los límites de forma más general dada la nueva visión funcionalista que tenía Grothendieck sobre estos, por lo que Bourbaki considera que el capítulo más adecuado para esto es el IV de estructuras. • En “La Tribu” 38 observan que la búsqueda de un límite inductivo es un problema de aplicación universal. • En “La Tribu” 39, Cartier muestra que hay grupos de ejemplos desordenados sobre la conmutación de problemas universales, que no se enuncian bien sino en el ámbito de las categorías; de nuevo se retrasa la publicación de estos temas y se propone elaborar un capítulo V sobre conjuntos para introducir las categorías y functores. En un documento Cartier habla acerca de los resultados obtenidos por Eilenberg, sobre los límites inductivos y de que estos son tan solo ejemplos de lo que Cartier llama “acicaladuras”1 ultra generales sobre la conmutación de problemas universales. Cartier en una firme posición a favor de las categorías considera que estas “acicaladuras” solamente es posible enunciarlos en el marco de las categorías y los de functores. Posiblemente el término “acicaladuras” es mencionado por Cartier en el sentido de limpiar de aspectos particulares las teorías, para poder tener resultados ultra generales. Según estas declaraciones la teoría de categorías se muestra como marco ideal para el tratamiento de los límites inductivos. Es lanzada la propuesta sobre la elaboración de un capitulo V, en el libro de teoría de conjuntos para incluir el marco de las categorías y los functores; es en este punto donde Bourbaki comienza las
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Cartier menciona el término “Fourbis”, que es la palabra en francés para acicaladuras.
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CAMILO MATSON H. discusiones relativas a la forma de hacer un fundamento conjuntista, adecuado para la teoría de categorías. Bourbaki en la Reedición del capítulo III de Topología General considera que el único lugar apropiado para tratar los límites inductivos y proyectivos es en las categorías. Pero contrario a esto en “La Tribu” 53 se plantea de nuevo un cambio respecto a la forma y el lugar para tratar los límites inductivos y los límites proyectivos; esta vez planean agregarlos en el capítulo de Álgebra Lineal. Este comportamiento es un completo abandono por parte del grupo hacia el pensamiento categórico ya que deja por fuera la inclusión de la base conjuntista de las categorías en Éléments de mathématique. Esta decisión de Bourbaki coincide con la renuncia de Grothendieck. Bourbaki se da cuenta de que muchos contextos exigen el uso del lenguaje categórico, por lo que plantea abordarlos de manera general en el capítulo de estructuras. El uso del lenguaje categórico en la obra del grupo trae varias discusiones al interior de Bourbaki, muchas razones que ya se mencionaron motivaron el uso de este lenguaje. Pero pensar en esta inclusión trae serios inconvenientes al interior del grupo. •
El primero es que el caballo de batalla de Bourbaki, el concepto de estructura quedaría inutilizable con el de categoría.
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Por otro lado se discuten las dificultades conjuntistas para usar el lenguaje categórico en las estructuras.
3.2 Álgebra Homológica Krömer señala la importancia que tuvo la publicación de Grothendieck “Sur quelques points d’ algébre homologique”, en Mathematical Journal, Tôhoku en el año 1957; este documento tiene un papel fundamental en la historia de la teoría de categorías. En él Grothendieck exhibe varias aplicaciones de las categorías a cuestiones desarrolladas recientemente en matemáticas de la época. En este artículo Grothendieck hizo innovaciones en la aplicación de los métodos cohómologicos, en geometría algebraica. Dichas innovaciones encaminaron al uso del lenguaje categórico [1]. Este artículo publicado en “Tôhoku” estaba inicialmente destinado para ser incluido en los trabajos de Bourbaki, esto se deduce por que la redacción preliminar hecha por Grothendieck, sigue los lineamientos para publicar de Bourbaki. Krömer en su documento hace una reconstrucción de hechos relacionados con esta publicación, para esto se remite a la correspondencia entre Serre y Grothendieck; publicada recientemente por la Sociedad de Matemáticos Franceses. En la carta de Serre a Grothendieck el 13 de julio de 1955 se puede ver el entusiasmo manifestado por los miembros del grupo respecto al ensayo sobre álgebra homológica, escrito por Grothendieck y leído por Serre en el congreso realizado del 28 de junio al 9 de julio.
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BOURBAKI Y LA TEORÍA DE CATEGORÍAS En ese congreso Eilenberg se comprometió a redactar un texto para Bourbaki que incluía, teoría general de la homología, aplicaciones de los módulos y la aplicación de los haces. En la carta se puede ver que hay un interés latente por parte de los miembros del grupo presentes en el congreso, por trabajar las innovaciones conceptuales propuestas por Grothendieck; por otra parte es importante ver que estas redacciones fueron hechas con los parámetros del grupo Bourbaki. En la correspondencia publicada, no se menciona de nuevo el tema referente a álgebra homológica hasta el 1 de septiembre de 1956. En esta carta de Grothendieck a Serre se puede ver el interés de Grothendieck por hacer conocer en el grupo Bourbaki su obra, con el fin de tenerla en cuenta para la redacción, proyectada de un álgebra homológica. “Tienes alguna su gerencia sobre dónde puedo publicar […], por otra parte puede que no sea tonto mandárselo a Bourbaki […] para poder tenerlo en cuenta en la redacción próxima de Álgebra Homológica, ¿Qué piensas de esto?”. Grothendieck escribe a Serre el 13 de Noviembre de 1956, y le manifiesta su inconformidad sobre la publicación del artículo de algebra homológica, por que este debió ser mecanografiado para Bourbaki. Finalmente de las cartas escritas por Grothendieck a Serre, concernientes a la redacción de los textos de álgebra homológica, se pueden tomar los siguientes aspectos relevantes: • • • • •
Grothendieck terminó la redacción acerca de algebra homológica. La redacción fue desagradable, porque insistir es la única manera de que se dispone para comprender. Envió una copia a Delasarte, quien precisamente no tenia en ese momento trabajo para su dactilografía. Propuso el artículo al matemático Tanaka para la revista a su cargo Tôhoku. Lo extenso de los artículos no desalienta a Tanaka.
Grothendieck estaba interesado en renovar las bases de la geometría algebraica y en este proceso, estaba transmitiendo ese interés a los miembros del grupo Bourbaki los cuales se vieron atraídos por las innovaciones propuestas. Para este proyecto tenía pensado usar resultados obtenidos de los trabajos sobre álgebra homológica, pero con el paso del tiempo y su renuncia el proyecto fue abandonado por el grupo. Una de las hipótesis que se impone fuertemente en el artículo para justificar tal abandono, es que André Weil, quien había contribuido considerablemente a la geometría algebraica, no estaba dispuesto a aceptar los cambios conceptuales propuestos por Grothendieck, y que su influencia en el grupo pudo tener repercusiones que provocaron el abandono del proyecto.
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4. El papel de André Weil. Krömer maneja la hipótesis, de que el prestigio de André Weil, su importancia dentro del grupo como miembro fundador, y que no compartía el punto de vista de Grothendieck sobre la geometría algebraica; fueron factores determinantes que provocaron la repentina falta de interés de Bourbaki en la teoría de categorías. El texto escrito por Serge Lang le da bastante fuerza a esta hipótesis, pero en la crítica del artículo de Krömer se plantean otros motivos que pudieron afectar la renuncia de Bourbaki a la teoría de categorías. André Weil (1906-1998) Nació en Paris, de padres judíos. Estudió en la École Normale Supérieure de Paris y después de su graduación paso mucho tiempo en los Alpes franceses, donde permanecía siempre con un bloc de cálculos matemáticos. Después se trasladó a Göttingen, donde produjo su primera obra importante en investigación matemática en teoría de curvas algebraicas. Comenzó su doctorado en la Universidad de Paris; Hadamard dirigió su trabajo de grado que continuó con el desarrollo del trabajo hecho en Göttingen sobre la teoría de curvas algebraicas, recibió su doctorado en 1928. Desde 1933 hasta el estallido de la segunda guerra mundial trabajó en la Universidad de Estrasburgo, fue allí donde se involucró en la creación del grupo Bourbaki. Por causa de la guerra Weil fue obligado a huir a Finlandia, donde fue detenido y estuvo a punto de ser ejecutado por que lo consideraban un espía, pero afortunadamente fue deportado a Francia donde fue puesto en prisión. Weil se encontraba en gran peligro por ser judío. A partir de 1940 Weil se dedicó a la teoría de números, en sentar las bases para la geometría algebraica y la teoría de grupos. Los trabajos de Weil fueron bastante influyentes, con base en estos se otorgaron Medallas Fields a Yau por trabajar en tres dimensiones la geometría algebraica y a de Deligne porque resolvió las conjeturas de Weil. Weil recibió muchos honores por sus destacadas competencias matemáticas. La Sociedad Matemática de Londres le otorgó una membrecía honoraria en 1959. A lo largo del parágrafo 4 del artículo de Krömer, se muestran reacciones de André Weil respecto al uso de los métodos categóricos. Krömer trata de establecer si la oposición hecha por Weil es en contra de los métodos categóricos o en contra de las reformas conceptuales propuestas por Grothendieck. Dicha oposición se manifiesta en la carta escrita por Weil a Claude Chevalley, con fecha del 15 Octubre de 1950.
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BOURBAKI Y LA TEORÍA DE CATEGORÍAS “Acabo de recibir los capítulos II-III de Conjuntos [...] se debe reservar la palabra “función” a una aplicación de un conjunto en el universo, como tú lo hiciste [...] o bien es conveniente nombrar como “función” todo aquello a lo que añadimos un símbolo funcional, p. Ej. ℜ (E), A x B, A o B [...] etc.? Evidentemente “función” en el segundo sentido no sería un objeto matemático, sino un vocablo metamatemático; y por esta razón sin duda existen (no quiero nombrar a nadie...) personas que dicen “functor”; ¿debemos aceptar este término? Parece que necesitar de dos palabras para cada noción de “Función” en los dos sentidos podría tener más ventajas que inconvenientes” [1], pagina 379. En esta carta Weil hace una crítica sobre el uso de la palabra “Función” cuestionando el apropiado uso de este concepto observando que ahora tiene dos sentidos, en el primero se usa para la aplicación de un conjunto en el universo y en el segundo se usa para nombrar todo aquello con símbolo funcional2. El aspecto principal en la carta es la marcada necesidad de Weil por establecer qué hace parte de la matemática o de la metamatemática, por ejemplo en el primer uso de la palabra función el sentido es matemático y en el segundo sentido es metamatemático. Otro aspecto para conocer más sobre la posición de Weil; es un debate violento entre Weil y Mac Lane que tuvo lugar en un congreso en el año de 1952 acerca del uso del término “sucesión exacta”; Weil se oponía a esta terminología. Aunque se piensa que Mac Lane no asistió al congreso porque no aparece en las listas, se sabe que en más de una ocasión se presentó este tipo de enfrentamientos. Mac Lane aparece de nuevo en 1954 interviniendo a favor de las categorías pero fracasa, se excusa porque considera que su francés era insuficiente para persuadir. En la página 140, hay una carta irónica que Weil escribe a Chevalley que dice: “Como sabes, mi honorable colega Mac Lane sostiene que toda noción de estructura conlleva necesariamente una noción de homomorphismo […] ¿Qué piensas que hay que concluir de esas consideraciones?”. El sentido de esta carta es irónico por que Bourbaki ya tenía conocimiento sobre este tema, luego es probable que esta haya sido una pregunta capciosa. En la misma página del artículo de Krömer, esta citada la observación destacada en cursiva por Bourbaki: “Dada una especie estructura no implica una noción bien determinada de morfismo” (E IV 12). Los miembros del grupo manifiestan un descontento en un aparte de “La Tribu” 31, en donde hay reacciones respecto a la teoría estructuras. Algunos aspectos son realmente incómodos para Bourbaki; el concepto de estructura resulta molesto para la integración y las variedades cuando se tratan en la forma de André Weil, otro aspecto especialmente incómodo para el grupo es que las representaciones son impuestas una vez escogida la estructura.
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En lenguaje categórico el segundo se etiqueta con el nombre de functor.
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CAMILO MATSON H. Por cierto se prueba que “el hecho de que las representaciones sean impuestas una vez escogida la estructura” puede ser molesto por “la integración y las variedades” cuando se tratan a la manera de André Weil. Las citas hacen referencia a que la elección del morfismo se hace dependiendo de la estructura, entonces es posible que los datos de alguna estructura no permitan definir un morfismo bien determinado. Bourbaki saca dos conclusiones para el capítulo de estructuras, la primera es que la noción de representación será llamada morfismo y la segunda que los morfismos serán disociados de las estructuras. De las citas anteriores se infiere que Bourbaki busca separar los conceptos morfismo y estructura, con el fin de hacer una distinción entre matemática y metamatemática, por que las estructuras son consideradas objetos matemáticos y los morfismos ‘vocablos de la metamatemática. En el libro de André Weil sobre la integración de espacios topológicos se hace una distinción de dos tipos de homomorfismos para los grupos topológicos, unos son los homomorfismos y los otros son homomorfismos continuos; también hace uso de la palabra categoría para distinguir entre la categoría de los grupos abelianos discretos y los grupos abelianos compactos. Hasta ahora Weil parece oponerse a los métodos categóricos, en especial busca establecer una clara diferencia entre los objetos matemáticos y los vocablos metamatemáticos, aunque se ve abocado a hacer uso de nociones cercanas a la teoría de categorías en sus trabajos. La actitud de Weil no es clara acerca de la teoría de categorías; por otra parte, hasta el momento, no se ha destacado en el artículo de Krömer una oposición directa a las ideas matemáticas propuestas por Grothendieck. Sin embargo, es indicativa la frase de Serre a Grothendieck, 2 II 1956. “me alegro mucho de ver esta “hipercohomología” dando resultados tangibles en geometría algebraica – ¡Weil estará furioso!”
5. Categorías y estructuras. El objetivo de la gran tarea de Bourbaki era proporcionar una base sólida para todos los recientes avances que tenía la matemática, para esta tarea usaron como eje fundamental el método axiomático, y el concepto de estructura. Bourbaki deja en claro que no hay que confundir el método axiomático con el formalismo lógico3.
3
Lo que el método axiomático se propone como objetivo esencial es precisamente lo que el formalismo lógico, por sí sólo, es incapaz de dar, esto es, la profunda inteligibilidad de las matemáticas... El método axiomático se basa en la convicción de que, no sólo la matemática no es una mera concatenación al azar de silogismos, sino que tampoco es una colección de trucos, más o menos astutos, a los que se llega por una serie de afortunadas combinaciones...El método axiomático enseña a buscar las razones profundas... a encontrar las ideas comunes a varias teorías, sepultadas bajo la acumulación de detalles propios de cada una de ellas...” [2].
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BOURBAKI Y LA TEORÍA DE CATEGORÍAS
5.1 Bourbaki: Filosofía estructuralista de la matemática. En un principio las diferentes ramas de las matemáticas se distinguían por estudiar objetos de diferente tipo, la aritmética estudiaba los números, la geometría los objetos en el espacio, el análisis las funciones, etc. A medida que cada una de estas ramas de las matemáticas fue creciendo, fue posible ver que existían resultados muy similares en un campo y en el otro. De esa forma en el siglo XIX fue posible ver que lo importante no era la naturaleza de los objetos, si no el tipo de relaciones entre estos. Empezaron a surgir las primeras estructuras algebraicas como: grupos, anillos, campos y cuerpos; en donde se incluyen una gran cantidad de objetos de diferente naturaleza con propiedades en común, esta visión global de las matemáticas es el pensamiento estructurado y permite abordar una gran cantidad de teorías en forma simultánea en las matemáticas. Las estructuras se convirtieron en el instrumento fundamental para llevara a cabo el proyecto de Bourbaki. Aunque el grupo no inventó este concepto, sí es el que le hace jugar un papel fundamental en la organización de la matemática moderna [3]. Bourbaki introduce tres estructuras fundamentales: las algebraicas, las de orden y las topológicas, ya que a partir de estas, se puede crear estructuras compuestas por una o más estructuras “simples” sobre un mismo conjunto, que se relacionan mediante ciertos axiomas de compatibilidad [3]. Al tener el método axiomático y las estructuras el matemático dedicado a la investigación, tendría a su disposición unos métodos muy refinados y resultados bastante generales4.
5.2 Categorías y estructuras en Bourbaki Bourbaki presentó una descripción de estructura en el Fasicule des résultats (1939), esto provocó la escritura de un capítulo sobre la teoría de estructuras en 1957 en el capítulo IV del libro I sobre teoría de conjuntos5. Leo Corry concluye que hubo serias dificultades para compaginar las categorías con las estructuras, Corry considera que esté fue un factor importante para el rechazo de las categorías en la obra de Bourbaki. Senechal comenta observaciones de Cartier respecto a este tema: “Las teorías de conjuntos y estructuras son, en contraste, son mas rígidas, se puede ver leyendo el capítulo final del libro de teoría de conjuntos, con un monstruoso esfuerzo para formular las categorías sin las categorías” [7]. Cartier era un fuerte partidario de integrar las categorías al trabajo de Bourbaki, tanto así que se parcializó respecto al tema. 4
De esta manera se cumpliría con el objetivo principal de Bourbaki, que era dar las herramientas necesarias. 5 Los Fasicule des résultats eran borradores, que en una etapa inicial no eran muy formales.
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CAMILO MATSON H. Krömer analiza las siguientes fuentes para dar un soporte a las razones dadas por Corry: En “La Tribu” 25 se puede ver un intento de integrar el concepto de functor; se le pide a Eilenberg que elabore un informe sobre los functores, homomorfismos, variaciones, estructuras inducidas y otros temas. Este informe aparece en el Nachla β de la universidad de Columbia, se titula Concerning functors and livre I. El documento es reproducido en su totalidad en el artículo de Krömer; en él Eilenberg sugiere incluir la categorías y los functores en el Libro I o Segunda parte, Álgebra Homológica. Eilenberg considera apropiado introducir las categorías y los functores en el libro I porque piensa que es más apropiado exponer solo una de las dos teorías primero. Pero también considera la inclusión de estos temas para la sección de Álgebra Homológica porque en esta se deben usar los functores para unificar las diferentes teorías de homología. En este documento Eilenberg confirma que existen serias dificultades técnicas para unificar la teoría de categorías y la de estructuras, escribe al respecto: “El método de los functores y las categorías está en una especie de “competencia” con el método de las estructuras”. Eilenberg considera que la única forma posible para cerrar esta competencia es crear una definición de homomorfismo estructural que convierta cada especie de estructura en una categoría, de esta manera quedaría cerrada la competencia entre estos dos conceptos, porque los resultados obtenidos por Bourbaki para estructuras se podrían llevar a las categorías y sería posible el uso de los métodos categóricos en las estructuras. Pero para poder lograr esto es importante hacer una fuerte modificación del concepto de estructura, esto implicaría complicaciones adicionales ya que la noción de estructuras es complicada por sí sola. Aunque Eilenberg es uno de los creadores y un fuerte partidario de la adopción de la de la teoría de categorías en la obra de Bourbaki, no se oponía a la teoría de las estructuras, por el contrario esta noción le atraía mucho por lo que mostró compromiso e interés en esta. Krömer no se especifica cuáles son las dificultades técnicas expuestas por Saunders Mac Lane y Samuel Eilenberg entre la teoría de categorías y las estructuras, pero en las notas de pie de página menciona que estas dificultades fueron tratadas desde 1960 por, Chevalley, Lawvere, Ehresmann y otros, que hicieron contribuciones importantes para solucionar estos problemas. En “La Tribu” 39 se discute sobre la forma en que se deben tratar las categorías y las estructuras. Finalmente el grupo decide publicar las estructuras sin hacer modificaciones y dejar para más adelante lo concerniente a las categorías. Bourbaki justifica parte de esta decisión afirmando que resulta más cómodo introducir una de las dos teorías primero, y que esto es más favorable para la comprensión del lector.
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BOURBAKI Y LA TEORÍA DE CATEGORÍAS Dixmier se oponía a la decisión de hacer publicaciones acerca de estructuras, porque él se encontraba parcializado, él estaba completamente a favor de las categorías y en contra del uso de las estructuras en la obra de Bourbaki. La publicación del capítulo sobre estructuras estuvo sujeta a muchas discusiones al interior de Bourbaki; por razones prácticas el grupo se vio obligado a publicarlo porque “Se había trabajado mucho en él”. El texto fue enviado a publicar sin hacer algunas correcciones a los límites inductivos, lo extraño es que estos límites no están en la versión publicada6. Bourbaki estaba interesado en conocer si las categorías y los functores podrían adaptarse al tratado; Grothendieck fue encargado de redactar un borrador a manera de fascículo de resultados7, que contuviera los aspectos principales de las categorías y los functores. Este sería el comienzo del trabajo en el capítulo V titulado categorías y functores. Henri Cartan compuso un texto que introductorio a la teoría de categorías. Se presenta en “La Tribu” 43 un documento adjunto de tres hojas que contiene observaciones muy detalladas, técnicas y precisas donde se destacan los puntos débiles y fuertes de la redacción de Cartan8 titulada “Notas sobre las categorías y los functores”. Aunque Bourbaki no se opuso de manera general a este documento en la primera página del informe se lee: “el punto de vista adoptado parece ser incompatible con las estructuras y Bourbaki no quiere abandonar este último sin tener razones serias”. La frase con la que comienza este documento hace referencia a que el punto de vista adoptado por Cartan “categórico”, resulta ser incompatible con el punto de vista “estructurado”, y debido a que las estructuras han sido el caballo de batalla de Bourbaki durante mucho tiempo, se necesitan razones muy fuertes para que el grupo decida abandonar las estructuras9. Contrario a esto en la redacción No 307 Grothendieck considera que es necesario hacer un nuevo capítulo IV del libro I porque piensa que el primero es “Inutilizable de todas formas”, esta opinión debió ser debatida durante el congreso 43 de Bourbaki.
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Esta es una de las preguntas que se encuentran abiertas referentes al Capítulo IV. Se ignora si Grothendieck escribió este informe. 8 La redacción de Cartan no fue revisada por Krömer, pero si el documento adjunto a “La Tribu” 43 que contiene las especificaciones generales de este documento. 9 Es importante notar que André Weil estaba presente durante este congreso, probablemente esta fue la razón por la que se presentó un enfoque determinante a favor de las estructuras, por parte de Bourbaki. 7
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CAMILO MATSON H.
5.3 Problemas universales Bourbaki quería desarrollar una teoría que fuera lo suficientemente general; esta se basaría en construcciones que fueran lo mas general posible, pero para esto era indispensable el tratamiento general de problemas universales. Esto genera de nuevo una problemática, porque el lugar apropiado para tratar estos problemas es la teoría de categorías. Debido a la importancia de los problemas universales fue inevitable tratarlos. El primer texto que hace referencia a este tema, es un apéndice en Algèbre multilinéare de 1948, de igual manera se hacen alusiones al tema en dos textos posteriores que desarrollan el tratamiento. En estos documentos se hace un tratamiento de los problemas universales pero en ambos documentos se deja de lado la teoría de categorías. Uno de estos dos textos es el artículo de Pierre Samuel, donde se hace una construcción que trata de llegar a la solución de un problema universal y resulta ser la solución en casi todos los ejemplos estudiados. Krömer critica la hipótesis de Corry en la que menciona que Eilenberg estaba haciendo un uso implícito de los métodos categóricos, porque lo que hace, en realidad, es dar una estructura al producto cartesiano de ciertos conjuntos. Debido a que en algunos casos fue ineludible para Bourbaki el uso del lenguaje categórico, es muy posible que existiera cierta similitud en la forma de tratar algunos conceptos, entre el punto de vista de Bourbaki y el punto de vista de los promotores del pensamiento categórico. Krömer se cuestiona sí, los miembros del grupo eran conscientes de estas similitudes; es posible pensar que debido a la experiencia de los miembros del grupo ellos eran conscientes de estas, pero quizás no las hicieron explicitas con el fin de estar de acuerdo con la posición oficial del grupo respecto a las ideas categóricas.
6.
¿Cómo proveer los fundamentos conjuntistas a la teoría de las categorías? Bourbaki decidió fundamentar las matemáticas sobre las estructuras que a su vez se definen apoyándose en el concepto de conjunto, fue puesta en uso una axiomática de la teoría de conjuntos que es equivalente a la de Zermelo Fraenkel incluyendo el axioma de elección. Aceptarla fue una decisión complicada porque el axioma de elección no es del gusto de Bourbaki, porque no todos los matemáticos lo consideran aceptable10.
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En la matemática moderna no es necesario que los axiomas sean evidentes; solo basta que se cumplan las condiciones para un sistema axiomático. Además muchas teorías han mostrado que la sola intuición puede fallar.
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BOURBAKI Y LA TEORÍA DE CATEGORÍAS El aceptar este axioma va en contra de la posición hipotético deductiva11 de Bourbaki, pero al ver el fracaso del programa inicial de Hilbert al grupo no le quedó otra opción más que aceptarlo. ZFC12 fue uno de los primeros intentos de Bourbaki para dar un fundamento conjuntista a la teoría de categorías; pero en los primeros artículos de Eilenberg y Mac Lane se establecía que esta axiomática no es un marco ideal para la teoría de categorías. En cuanto a esto Krömer no expone la razón de ellos para hacer esta aseveración. Bourbaki discutió varias alternativas para dar un fundamento a la teoría de categorías, se buscaba seguir los parámetros establecidos por el grupo. Entre estos que estaban que la axiomática adoptada debía ser una extensión de la teoría conocida. Había muchas sugerencias y debates al interior del grupo para dar una base sólida a la teoría de categorías. Después de varios debates se llegó a pensar que lo más conveniente era el uso de la axiomática de Zermelo Fraenkel, sin incluir el axioma de elección. El grupo tomó la posición ad hoc13 “en caso de encontrar alguna contradicción por el uso de esta axiomática, se retrocedería en los razonamientos hasta encontrar las hipótesis que ocasionaron la contradicción". Entre las opiniones del grupo está la de Cartan quien desconfía de un sistema “cerrado” en el que todo esté dado desde el comienzo. A decir verdad esta posición está en contra de la filosofía oficial de Bourbaki en la que todo tiene que ser sumamente preciso y claro desde el comienzo. Otra alternativa para axiomatizar la teoría de categorías fue propuesta en “La Tribu 24” donde se propone Gödelizar, “introducir la teoría de conjuntos de Gödel”, esta hace una distinción entre conjuntos y clases, la decisión parece conveniente porque se quiere adoptar las operaciones usuales de la teoría de conjuntos, incluyendo el axioma de elección. Además permite tratar más cómodamente la homología axiomática y las aplicaciones universales. Pero con esta alternativa se presentan problemas para evitar contradicciones respecto a la extensión del axioma de elección a clases propias. “Cartier propone un método metamatemático para introducir [las categorías y functores] sin modificar nuestro sistema lógico. Pero este procedimiento es rechazado14 porque le da resueltamente la espalda al punto de vista de la extensión [...]. Se decide entonces que es mejor alargar el sistema para allí hacer entrar las categorías; a primera vista el sistema Gödel parece convenir”.
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La posición hipotético deductiva que consiste en cuestionar la introducción de nuevos elementos en la teoría que no sean convenientes, o que no provengan de otras teorías matemáticas firmes. 12 ZFC axioma Zermelo Fraenkel con el axioma de elección. 13 La posición ad hoc es adoptada por Bourbaki en varios documentos, también en la conferencia Foundations of mathematics for the working mathematician, dada por André Weil quien era el representante del grupo. 14 La palabra original del francés es “vomi” que significa “vomitado”.
19
CAMILO MATSON H. La propuesta de Cartier consistía introducir las categorías a manera de las estructuras, de esa forma solo se tenía que fijar un modelo de la teoría de conjuntos sin tener que modificar el esquema fundacional, lo que se puede interpretar como justificar el pasaje sin modificar el sistema lógico usual. Esta propuesta metamatemática no es aceptable para Bourbaki por que le da la espala al punto de vista de extensión, que consiste en buscar una axiomatización que no sea nueva, sino una extensión de la una de las axiomáticas usuales de la teoría de conjuntos. Una axiomática que cumpla con estos requisitos da a Bourbaki la seguridad empírica, lo que significa que se está construyendo la base sobre un referente conocido y estudiado, cosa que está a favor de la posición oficial del grupo. Una nueva propuesta surge en “La Tribu” 44, donde algunos miembros de Bourbaki se muestran interesados por dar una base lógica sólida para los functores y las categorías; rechazan un procedimiento artificial que consiste en limitar los cardinales inaccesibles ad hoc. El grupo parece estar convencido de que la mejor opción para trabajar las categorías es el sistema de Gödel. Pero surgen algunas dificultades en el camino en primer lugar no se tratan aspectos como el axioma de elección o los cardinales inaccesibles, además en “La Tribu” 44 se puede ver que existían dudas sobre aceptar este sistema, en particular Chevalley dudaba de que este sistema fuera lo suficientemente potente. Lacombe presenta varias formas de fundar las categorías, trabaja a más a fondo respecto a la distinción entre conjuntos y clases, realiza ejemplos de construcciones ilegítimas y muestra que hay términos que no se pueden expresar con la ayuda de las clases. Lacombe afirma que la propuesta “la composición de functores se comporta formalmente como un bifunctor”, no se puede expresar por medio de las clases “porque necesitaría la construcción de categorías de functores arbitrarios que sirvan como categorías de base de un bifunctor tal”. La primera cita hecha por Lacombe fue enunciada con anterioridad por Grothendieck en sus trabajos principales sobre álgebra homológica. En estos trabajos Grothendieck enuncia esta dificultad. Grothendieck considera que la solución de Lacombe es inadecuada y responde redactando el texto No 307, aunque Grothendieck sabe que hay cosas que no se pueden expresar con la ayuda de las clases sabe que con un cambio se pueden tratar estos inconvenientes. El punto de vista de Grothendieck es que las categorías, homomorfismos, functores, no son objetos de la metamatemática, sino de las matemáticas, sobre los que se puede cuantificar y están sujetos a las operaciones usuales de la teoría de conjuntos15.
15
A lo largo de éste texto Grothendieck destaca que no hay que hacer distinciones especiales para categorías, functores o los homomorfismos. Él considera que estos son objetos matemáticos por lo tanto es posible considerar conjuntos de functores o de homomorfismos, porque estos también son lo suficientemente interesantes para su estudio.
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BOURBAKI Y LA TEORÍA DE CATEGORÍAS Otra de las razones por las que Grothendieck considera inadecuada la solución propuesta por Lacombe, es porque hace una fuerte distinción entre los conjuntos y clases. Es en este punto donde Grothendieck hace una crítica fuerte de varios aspectos que son consecuencia de la adopción de esta propuesta16. La propuesta de Lacombe sugiere introducir una nueva categoría de objetos matemáticos, donde las clases serían los mismos conjuntos pero por decirlo así más “grandes” pero esta distinción formal le negaría a estos ser elementos de algo. Grothendieck recuerda que esta prohibición es inadmisible; quizás por el punto de vista de extensión. Pero de ser permitido sería posible considerar las clases de clases y así sucesivamente sería posible considerar conjuntos más “grandes” de conjuntos más “grandes”, lo que sería un problema porque según esto las clases, hiperclases, etc. no se diferenciarían en nada de los conjuntos usuales, porque en todos los casos se caracteriza una colección de elementos que a su vez es un elemento de otra colección. Al ver que el problema no queda resuelto con los elementos de la teoría de conjuntos de ese entonces, era necesario un nuevo axioma que permitiera nuevas operaciones intuitivas como la formación de la “categoría de todos los objetos”, esto para llegar a una teoría de conjuntos que no deja de ser una extensión de la usual, pero que es mucho más fuerte. Este es el paso de U i a U i +1 unas líneas debajo del texto 307 Grothendieck introduce el axioma de los Universales17. Grothendieck considera que el hablar de la categoría de todos los conjuntos debe ser algo del pasado, y a esta mención solo se debe hacer si es a título metamatemático. Las reacciones del grupo acerca de la teoría de los universos se pueden ver en: “La Tribu” 47, “la grandiosa teoría de los universos, aclamada por todos, Cartan se opone, permite ahora redactar las categorías en un marco cómodo”. Es obvia la posición de Cartan; en el artículo de Ralf Krömer se puede ver que desde mucho antes de la propuesta de Grothendieck, Cartan manifiesta desconfianza respecto al uso de un “sistema cerrado”. También es necesario resaltar que en el congreso de “La Tribu” 47, no estaba presente André Weil. Todos los presentes menos Cartan estuvieron recuerdo con los propuesto por Grothendieck. A lo largo de los congresos se tomó el hábito de identificar el axioma de los universos con el axioma que afirma la existencia de cardinales inaccesibles, de hecho esto se presenta por que estos axiomas son equivalentes, hecho demostrado por Tarsky. El axioma de los universales de Grothendieck da una solución para 16
Bourbaki no tenía una clara distinción entre clase y conjunto. La distinción viene después, consiste en que un conjunto es una clase que pertenece a otras clases, por lo tanto todos los conjuntos son clases, pero no todas las clases son conjuntos, a estas clases se les llama clases propias.
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CAMILO MATSON H. muchas dificultades de Bourbaki, pero, aceptarlo genera una pérdida de la seguridad empírica porque, la coherencia relativa para el axioma no es demostrable18. Bourbaki estaba inseguro respecto a introducir este axioma; estaba prevenido por que era posible que este axioma trajera grandes problemas o contradicciones a medida que se avanzaba en la teoría19. Para que Bourbaki adoptara con más seguridad el axioma de los universales, fue sugerida la idea de mostrar que este axioma es inofensivo, pero según la opinión de Paul Cohen esto parece muy difícil e incluso indemostrable [4]. La falta de seguridad si era una razón de peso para que Bourbaki no decidiera adoptar la teoría de categorías. Pero Bourbaki no comentó nada acerca del tema; Krömer interpreta este silencio como una falta de interés del grupo por su propia filosofía, pero que muy probablemente es una reacción de los miembros de Bourbaki por considerar que el camino no era muy confiable.
7. Ad majorem fonctori gloriam. La renuncia de Grothendieck. Como ya se sabe la mayoría de los miembros de Bourbaki estuvieron a favor de la introducción del axioma de los universales de Grothendieck; se afirmó que esto traería beneficios a la hora de redactar las categorías y se resolvió la discusión sobre la forma para dar a las categorías un fundamento conjuntista. Dado que en varios aspectos las categorías tenían un mejor desempeño que las estructuras lo más razonable es pensar que Bourbaki adoptaría las categorías en su obra. Pero la realidad fue muy distinta. En “La Tribu” 53 hay adjunto un texto titulado Ad majorem fonctori gloriam este texto no está firmado, según Liliane Beaulieu fue escrito por Serge Lang. “Me he enterado de que Grothendieck ya no es miembro de Bourbaki. Lo lamento mucho, así como las circunstancias que llevaron a esta decisión. [..] Lo que importó, fue una oposición sistemática, más o menos explicada según unos u otros, contra su punto de vista matemático, o más bien su empleo por Bourbaki”20. El autor de este texto se muestra desencantado por las decisiones que tomó el grupo y lamenta la renuncia de Grothendieck. Serge Lang confirma que hubo una oposición sistemática que si bien no fue por parte de todo el grupo; se tenía que algunos miembros Bourbaki no estaban de acuerdo con el punto de vista matemático de Grothendieck.
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Pero Bourbaki aun no tenía conocimiento. No se puede demostrar la consistencia del sistema con este axioma por el teorema de Gödel. 19 La seguridad empírica es justificada por un experto que ha trabajado mucho en una teoría. Ese axioma no brindaba seguridad, por que no habían sido estudiadas las consecuencias de su adopción. 20 Krömer no especifica el momento y las causas concretas de la renuncia de Grothendieck en su artículo.
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BOURBAKI Y LA TEORÍA DE CATEGORÍAS Curiosamente la afirmación hecha por Lang21 se puede contrastar con la gran cantidad de intentos, hechos por Bourbaki para adoptar las categorías. Kaplansky en su review comenta que Bourbaki ya no es el joven impetuoso de hace veinte años, lo que significa que el grupo ya no es el mismo de antes y que sus miembros han envejecido. Aunque Kaplansky no hace referencia a la teoría de categorías el autor del texto anónimo hace énfasis en que el grupo se encuentra atrasado en la nueva perspectiva de ver las matemáticas y que es intolerable que Bourbaki no se encuentre incluido en el nuevo movimiento functorial. “Es un escándalo que Bourbaki, no solamente no esté a la cabeza del movimiento functorial, pero que ni siquiera esté en la cola. [...] Si algunos miembros fundadores (e. g. Weil)22 quieren pensarlo mejor sobre su decisión de no influenciar a Bourbaki en la dirección que él desea tomar, que lo digan explícitamente”. Esta influencia por parte de los miembros antiguos de Bourbaki, se muestra claramente en el precepto de la retirada a los cincuenta que fue propuesto por André Weil quien le pidió a Cartan leer una carta en el congreso 39, enunciando que los miembros del grupo deberían jubilarse al cumplir cincuenta años. Curiosamente esta regla no fue respetada por los miembros más importantes del grupo, ejemplo de esto es que cuando Weil le pido a Cartan leer esta carta tenía ya cincuenta años. Se culpa a André Weil quien se muestra como un firme opositor al punto de vista que le dio Bourbaki a las ideas de Grothendieck, el autor del texto le pide indirectamente a Weil considerar las consecuencias de sus decisiones las cuales son una causa directa de la pérdida de la impetuosidad del grupo. La discusión sobre las categorías no terminó con la renuncia de Grothendieck, se habló de que Grothendieck escribió un documento con ocasión del congreso número 54, este es un esbozo del que uno de sus escribas debe extraer un artículo o un libro. En cuanto al escriba se supone que es Claude Chevalley y que este es el origen del libro de categorías y functores de Chevalley y Grothendieck, en teoría este libro habla sobre los universos. Este libro nunca fue publicado. Al parecer axioma de las aplicaciones universales no es una explicación suficiente para dar un fundamento a la teoría de categorías, por que se presentaron más intentos por componer las dos teorías. • Serre escribe una carta a Grothendieck el 30 de septiembre de 1964, en la que manifiesta su asombro por que Eilenberg redactó las categorías en 70 páginas, pero en un estado inicial23. • Chevalley convocó a Jacques Roubaud para que colaborara en la redacción en los apuntes de un capítulo sobre categorías que finalmente nunca fue publicado; Roubaud considera fue mejor, porque el documento era realmente ilegible. 21
Es importante notar que Lang específica que son algunos de los miembros de Bourbaki. e.g. exempli gratia – por ejemplo. 23 Esto les parece realmente sorprendente, porque como ya es costumbre los documentos de Grothendieck al respecto son muy extensos. Serre confirma que esta redacción era Bourbaki. 22
23
CAMILO MATSON H. No hay fuentes que permitan afirmar, que André Weil estaba directamente implicado con los motivos de la renuncia de Grothendieck. Pero es muy posible que su influencia haya sido un factor importante, para el retrasar las publicaciones hasta el punto en que fuesen obsoletas24[9].
8. Conclusión de Ralf Krömer. La matemática formal, se preocupa por el estudio de la forma de los entes matemáticos; estos entes son abstractos y sin contenido. David Hilbert es uno de los principales promotores de la matemática formal, en [6] 1922 decía: "Para mí, y en esto me opongo totalmente a Frege y a Dedekind, los objetos de la teoría de números son los signos mismos, de los cuales podemos reconocer la forma en toda su generalidad y con toda seguridad, independientemente de las circunstancias de lugar y de tiempo, de las condiciones particulares de su presentación y de las diferencias insignificantes que pueden afectar a su trazado. El punto de vista filosófico sólido que considero como indispensable para el fundamento de las matemáticas puras como para cualquier tipo de pensamiento, de comprensión y de comunicación científicos se puede resumir de esta forma: en el principio, y así nos expresaremos aquí, era el signo.'' Hilbert tiene dos concepciones respecto a la metamatemática, la primera la tiene durante su programa inicial, que consistió en encontrar una formalización finitista para justificar el uso de argumentos que involucren el infinito en matemáticas [1]. La metamatemática le servía a la matemática para probar su consistencia, en este sentido metamatemática es: trabajar dentro del lenguaje símbolos matemáticos, pero abordar el significado de los resultados en un nivel epistemológico diferente. Se trata de comenzar a hacer inferencias acerca la matemática misma pero desde un punto de vista intuitivo. Al hacer esto es necesario establecer la diferencia entre el lenguaje y el metalenguaje, porque en caso de no hacerlo se puede caer en paradojas de tipo semántico. La segunda visión de Hilbert respecto a la metamatemática, viene mucho tiempo después; en esta visión se considera que también es posible establecer un lenguaje de signos formal para la metamatemática. Según el artículo, parece que Bourbaki no siguiera a Hilbert en su primer programa, porque no se puede ver una separación intencional entre la matemática y la metamatemática. 24
La influencia de Weil pudo ser significativa para Bourbaki, pero en el caso de las instituciones de investigación francesas no mucho. Grothendieck se encontró pronto en cómodas situaciones materiales para continuar con su investigación.
24
BOURBAKI Y LA TEORÍA DE CATEGORÍAS En Bourbaki los conceptos introducidos para hablar de matemáticas, como “estructura”, también deben ser sometidos a un tratamiento matemático. De no ser así estos conceptos dejarían de ser objetos matemáticos y se convertirían en un vocablo de la metamatemática. Krömer basado en las evidencias, como los números de << La Tribu >>, considera que al interior del grupo no se realizó una meditación seria, respecto a los problemas filosóficos de aceptar la teoría de categorías en el trabajo de Bourbaki. Descarta que los motivos para no adoptar las categorías en el trabajo de Bourbaki hayan sido de tipo filosófico, es más, se puede ver que la propuesta de Grothendieck estaba bastante acorde con los lineamientos de Bourbaki. Krömer propone explicación peircerana para dar un fundamento apropiado a la teoría de categorías, está es tratada en su libro acerca de la historia de la teoría en cuestión. Aunque fue promovido un uso del lenguaje categórico la decisión final de Bourbaki fue darle la espalda a la teoría de categorías hecho que coincide con la renuncia de Grothendieck. En el artículo de Krömer, se habla acerca de la renuncia. Pero no se hace una mención de las razones que motivaron la renuncia o la forma en que renunció Grothendieck al grupo Bourbaki.
Conclusiones El artículo de Krömer hace una búsqueda detallada de las razones y las circunstancias, que fueron decisivas para que Bourbaki rechazara la teoría de categorías. Krömer dispone de fuentes, entre las que se encuentra parte archivos de las ACNB, lo que permite hacer una reconstrucción bastante acertada de los hechos al interior del grupo. Krömer presenta un análisis, de las posibles razones para que Bourbaki no aceptara incluir la teoría de categorías en su obra. Las razones fundamentales son: •
Problemas al conciliar la teoría de categorías y la teoría de estructuras.
•
Razones prácticas, que Bourbaki no quería perder el trabajo hecho en la teoría de estructuras.
•
Inconvenientes personales al interior del grupo.
•
Problemas filosóficos.
• Las dificultades para dar un fundamento conjuntista apropiado a la teoría de categorías.
25
CAMILO MATSON H. En la introducción del artículo de Krömer hay un aparte donde concluye que las razones usadas por Bourbaki, para el rechazo de la teoría de categorías son filosóficas, prácticas y personales. Y que entre estas las razones personales tienen un gran peso. Al hacer un estudio de las de las razones fundamentales a la luz del texto se puede ver que: Sí existían serias dificultades técnicas para conciliar la teoría de categorías con la teoría de estructuras, pero Bourbaki no se desanima por esto, no se presenta un descontento general dentro del grupo25. Por el contrario se puede ver que estas dificultades motivan trabajos de Chevalley y Ehresmann. También hubo intentos por fuera del grupo, como es el caso de Lawvere quien trabajó en estas dificultades. Después de 1960; ellos hicieron contribuciones importantes para solucionar dichos inconvenientes entre la teoría de categorías y la de estructuras. Las razones prácticas pudieron ser un factor relevante en ciertos casos, pero no fueron un factor determinante, en la decisión final de Bourbaki de rechazar la teoría de categorías. Estas razones aparecieron cuando Bourbaki publicó el capítulo IV del libro de teoría de conjuntos porque “se había trabajado mucho en él”. Pero en este punto la discusión se hizo más conceptual, porque se centro más en lo complicado que resultaba para Bourbaki abandonar el concepto de estructura. Para lo que se necesitaban razones de peso. Los problemas personales al interior del grupo evidentemente tienen un papel clave, en todo este inconveniente. Según Pierre Cartier, existían serias diferencias en entre las distintas generaciones de matemáticos que intervenían. En la entrevista con Majorie Senechal Cartier afirma: “Grothendieck permaneció en Bourbaki aproximadamente diez años pero Grothendieck enfadado dejó el grupo. Las personalidades eran muy fuertes en ese entonces. Yo recuerdo que frecuentemente había discusiones. Esto era también como, una usual pelea entre generaciones, como en una familia.”[7]. Unas líneas abajo Cartier responde a una de las grandes inquietudes planteadas a lo largo de este trabajo. “Nosotros teníamos discusiones entre generaciones, discusiones entre hermanos, y así sucesivamente. Pero eso no distraía a Bourbaki de su meta general, aunque algunas veces ellos eran bastante brutales. Por lo menos la meta general estaba bastante clara. Algunas personas no podían asimilar este estilo de carga psicológica, por ejemplo Grothendieck dejó el grupo y también salió Lang” [7]. Entonces las causas que motivaron la renuncia de Grothendieck sí fueron personales, también las de el autor del texto Ad majorem fonctori gloriam Serge Lang. Pero el grupo aún contaba con muchos expertos, personas que conocían muy 25
De ser así se vería reflejado en “La Tribu”.
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BOURBAKI Y LA TEORÍA DE CATEGORÍAS bien las categorías y que mostraron un profundo interés en desarrollar la teoría. Si las razones fueron personales y Grothendieck estaba por fuera del grupo, ¿por qué abandonar una teoría que parecía resolver muchos de los inconvenientes planteados?. Krömer argumenta muy bien que Bourbaki no realizó una profunda discusión filosófica en cuanto a la adopción de las categorías. Al analizar en detalle cada una de las posibles hipótesis planteadas a la luz de las referencias disponibles, se puede concluir que el factor detonante para que el grupo no introdujera la teoría de categorías en su obra, fue la falta de seguridad en el axioma de los universales de Grothendieck. La falta de seguridad pudo ser una razón con justificación para la renuncia, pero Bourbaki no la presentó como tal, Krömer sugiere que quizás pudo ser por desconocimiento de causa, aunque, Bourbaki manifiesta en una carta “Sería muy interesante mostrar que el axioma de los universales es inofensivo. Parece difícil e incluso indemostrable, dice Paul Cohen”. Es bastante probable que si Bourbaki no conocía a fondo razones para la incorporación de este axioma, no se atreviera a hacer afirmaciones al respecto y por eso decidierón, sencillamente guardar silencio respecto al tema. Cartier afirma: “Bourbaki no pudo encontrar una nueva salida, porque ellos tenían una visión dogmatica de las matemáticas: todo debía ser puesto en un marco seguro” [7]. En conclusión, Bourbaki tenía una visión muy dogmatica que no le permitía construir teorías en un marco inseguro. La solución propuesta por Grothendieck no le brindaba seguridad al grupo, por esto decidierón no continuar, y el desconocer los resultados de la adopción de este axioma, hizo que Bourbaki guardara silencio en cuanto a tal decisión.
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CAMILO MATSON H.
Bibliografía [1] Leo CORRY. Modern algebra and the rise of mathematical structures. 1996, Birkhäuser, 433 páginas. [2] Alberto CAMPOS. Samuel Eilenberg. Lecturas Matemáticas volumen 19, paginas (129-135). [3] Fernando BOMBAL, Nicolás Bourbaki. 1988, Historia de la Matemática en el siglo XX, paginas 313-323. [4] Artin MICHAEL. Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. 1972, Lecture Notes Math, Tome I. [6] J. LADRIERE, Limitaciones internas de los formalismos. 1969.Tecnos, p. 27. [7] Majorie SENECHAL. The continuing silence of Bourbaki – an interview whit Pierre Cartier, 1998, Math intelligencer 20, paginas 22-28. [8] Ralf KRÖMER. Tool and Object. A history and Philosophy of Category Theory .2007. Birkhäuser, 399 páginas. [9] Ralf KRÖMER. LA <> SE FONDE-TELLE SEULEMENT SUR DES VOCABLES MÉTAMATHÉMATIQUES? BOURBAKI ET LES CATÉGORIES AU COURS DES ANNÉES CINQUANTE. 2006. Revue d’histoire des mathématiques, paginas 119-162.
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