Categorias y Funtores Sobre Modulos

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ´ FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICA ´ ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA

´ INFORME FINAL DE PRACTICA PRE-PROFESIONAL ´ MODALIDAD DE INVESTIGACION

´ “CATEGORÍAS Y FUNTORES SOBRE M ODULOS ”

´ ANGELICA MILUZCA VICTORIO CELIS Código: odigo: 031038-K

´ N◦ : 011-2014-CD-EPM-FCNM RESOLUCION

Bellavista - Callao Semestre: Semestre: 2014-A

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A. DATOS GENERALES

A1. DEL ESTUDIANTE

APELLIDOS Y NOMBRES

: Victorio Celis Angélica Miluzca

´ DIGO CO

: 031038-K

Ń INSTITUCIO

: Universidad Nacional del Callao

FACULTAD

: Ciencias Naturales y matematicas a´ticas

´ CA PROFES ESCUELA ACADEMICA EMI PROFESION IONAL AL : Matem´ Matem´ atica atica TÍTULO

: “CATEGORÍAS Y FUNTORES ´ SOBRE MODULOS”

´ MICO SEMESTRE ACADE

: 2014-A

A2. DEL PROFESOR ASESOR

APELLIDOS Y NOMBRES

: Fa ja jardo Camp os Ezequiel

´ DIGO CO

: 28 07

Ń CATEGORÍA Y DEDICACI O

: Aso ciado D.E.

Ń CONDICIO

: Nombrado

ESPECIALIDAD

: Matematica a´tica

FACULTAD

: Ciencias Naturales y Matematica a´tica

´ A3. DE LA INSTITUCI ON

Ń INSTITUCIO

: Universidad nacional del Callao

Ń DIRECCIO

: Av. Juan Pablo I I 306, Bellavista-Callao

´ FONO TELE

: (0 51 ) 42 9 717 8















B. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES REALIZADAS

El desarrollo de la práctica actica pre-profesional en la modalidad de investigaci´ on on se realiz´ o como indica el siguiente cronograma semanal de actividades:

Semanas Descripción

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Recolección on

x

bibliográfica afica Módulos, odulos, homomorfis-

x x x

mos, suma directas y sucesiones sucesiones exactas Semigrupo Semigrupoides ides,, catecate-

x x x

gor´ıas ıas y funtore funt oress Transf ransform ormaci acione oness

y

x x x

morfismos funtoriales Funtores lineales sobre

x

x

módulos odu los,, satélites elit es Análisis de resultados Redacción y expo expossición on del informe

´ DE LA MONOGRAF´ C. PRESENTACION IA

x

x x

x

x















´ Indice

I.

RESUMEN

1

´ II. INTRO INTRODUC DUCCI CION

2

´ RICO III. MARCO TE O

3

CAP´ ITULO I: Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.

Mo´dulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.

Homomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.

Prod odu uctos directos y sumas directas . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4.

Mo´dulos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5.

Sucesiones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.6.

Pro ductos tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.7.

Mo´dulos de homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.8.

Mo´dulos proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.9.

Mo´dulo inyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.10.

Semigrupoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

CAP´ ITULO II: Desarrollo del Trabajo de Investigaci´ on . . . . . .

18

2.1.

Categor´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.

Funtores untores y Transformaciones ransformaciones de Funtores untores o Morfismos Funtoriales untoriales 21

2.3. 2.3.

Fun untor tores es Linea Lineale less sobre sobre M´ odulos

. . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.4.

Satélites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

´ LISIS DE LOS RESULTADOS IV. IV. ANA

18

49

Ń CONCLU CONCLUSIO SIONES NES Y DISC DISCUSI USIO

50

´ FICAS VI. REFERENC REFERENCIAS IAS BIBLIOG BIBLIOGR RA

51

V.















I. RESUMEN

El objetivo ob jetivo principal de este traba jo consiste en estudiar Categor´ Categor´ıas Algebraicas y Funtores untore s entre Categor Cate gor´´ıas, espec esp ec´´ıficamente ıficame nte Funtores untore s Contravariantes Contravariante s y Covariantes. Aqu´ı dos do s funtor fu ntores es especi esp eciale aless son so n el satélite eli te S S 1 contravar co ntravariant iantee y el e l sat´ sa télite elit e S 1 covariante, para lo cual usamos nociones de módulos, odulos, sucesiones exactas de m´ odulos, odulos, módulos odulos proyectivos, módulos odulos inyectiv inyectivos os y semigrupoides. semigrupoides. Concluyendo que para todo funtor R- lineal f : M R −→ M R y toda sucesión on exacta corta 0 → X → Y → Z → 0 de R-módulos, odulos, se tiene asociada la sucesi´ on on semiexacta de sat´ sa télit el ites es . . . −→ [S n (f )]( f )](X X ) −→ [S n (f )]( f )](Y Y )) −→ [S n (f )]( f )](Z Z ) −→ [S n−1 (f )]( f )](X X ) −→ . . ., ., para f f contravariante, . . . −→ [S n (f )]( f )](Z Z ) −→ [S n (f )]( f )](Y Y )) −→ [S n (f )]( f )](X X ) −→ [S n−1 (f )]( f )](Z Z ) −→ . . ., ., para f f covariante.















´ II. INTRODUCCION

En diferentes areas a´reas de la matem´ a tica se presenta el problema de existencia y atica unicidad en tal sentido, la aparición on de los funtores se constituye en estos tiempos como una solución on a este problema. En este trabajo presentamos los funtores y sus propiedades de linealidad. En (1.1) introducimos los módulos odulos sobre un anillo R. En (1.5) presentamos las sucesiones exactas de m´ odulos y sus propiedades. odulos En (1.8) y (1.9) presentamos los m´ odulos proyectivos e inyectivos. odulos En (1.10) presentamos los semigrupoides y su axiom´ atica. atica. En (2.1) (2 .1) estudiamos est udiamos las categor´ categor´ıas y se da una relaci´ on on de ejemplos. En (2.2) introducimos los funtores y las transformaciones funtoriales. En (2.4) estudiamos los funtores sobre R-módulos. odulos. Finalmente en (2.5) estudiamos los satélites elites y su asociaci´ aso ciaci´ on con las sucesiones exactas on de módulos. odulos. El estudio de los funtores es muy importante, puesto que en la actualidad, mediante estos, se están an reso r esolvie lviendo ndo proble pro blemas mas de Topolo Top ologg´ıa Algeb Al gebrai raica, ca, Geomet Geo metrr´ıa, Econom´ Eco nom´ıa ıa y otros, tal es el caso de los funtores en Homotop´ Homotop´ıa y Homolog´ Homolog´ıa.

















´ III. MARCO TEORICO CAP´ ITULO I: Preliminares 1.1.

Modulos o ´dulos

A lo largo del texto, R texto, R denotar´ a un anillo conmutativo con unidad 1 =  0, arbitrariamente riamente dado.

odulo) Un m´ odulo sobre R, o un R-m´ odulo, es un grupo abeDefinici´ on on 1.1.1 (M´ liano aditivo X , juntamente con una funci´ on µ : R : R × X −→ X

del producto cartesiano R × X en X , que satisface las tres condiciones siguientes: (M1) La funci´ on µ es biaditiva; es decir, µ(α + β + β,, x) = µ( µ (α, x) + µ + µ((β, x), µ(α, x + y + y)) = µ( µ (α, x) + µ + µ((α, y )

son ciertas para todo α, β en R y todo x, y en X . (M2) Para cualesquiera α, β en R y x en X , se tiene µ[α, µ(β, x)] = µ( µ (αβ,x) αβ,x).

(M3) Para todo elemento x de X , µ(1, (1, x) = x.

















2. El conjun conjunto to X X = R s de todas las funciones f : S −→ R de un conjunto S en R en R es un grupo abeliano respecto a la adici´ on funcional definida por on (f + g)( g )(ss) = f ( f (s) + g + g((s) para cualquiera f , f , g ∈ X y s ∈ S . La función on µ : R : R × X −→ X. definida asignando a cada elemento (α, (α, f ) f ) de R × X la X la función on αf : S −→ R, dada por (αf )( αf )(ss) = α[ α [f ( f (s)] para todo s todo s ∈ S , satisface las condiones condiones (M1)-(M3). Por ello X ello X es es un R un R-m´ -módulo. odulo.

odulo) Un subm´ odulo de X es un subconjunto A no vac´ va c´ıo ıo Definici´ on on 1.1.2 (Subm´ X que es un R R -m´ de X odulo respecto a la adici´ on y la multiplicaci´ on escalar del m´ odulo X . Ejemplo 2

1. Todo subgrupo subgrupo A de un grupo abeliano aditivo X es es un submódulo odulo de X considerado como m´ odulo odulo sobre el anillo Z de de los enteros. 2. Consideremos Consideremos el R el R-- módulo X odulo X = R s del ejemplo (2) de m´ odulos. odulos. Sea el subcon junto A de X formado X formado por todas las funciones f : S −→ R tales que f ( f (x) = 0 para todos los elementos s elementos s ∈ S salvo salvo a lo más as un n´ umero finito de ellos. Entonces umero

















1.2. 1.2.

Homo Homomo morfi rfism smo o

on liDefinici´ on on 1.2.1 (Homomorfismo) Un homomorfismo (o morfismo o aplicaci´ neal) de un R-m´ odulo X en en un R-m´ odulo Y es una funci´ on f : X −→ Y, X en el grupo abeliano aditivo que es un homomorfismo del grupo abeliano aditivo de X Y que conserva la multiplicaci´ de Y on escalar e scalar.. En otros términos ermi nos,, f es un homomorfismo

del m´ odulo X en el m´ odulo Y si y s´ olo si f ( f (u + v + v)) = f ( f (u) + f + f ((v ), f ( f (αu) αu) = αf ( αf (u)

para todo α en R y u, v en X . Definici´ on on 1.2.2 (Monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo) Un homomorfismo

h : X −→ Y de un R-m´ odulo X en un R-m´ odulo Y se dice monomorfismo si y

s´ olo si es inyectivo; h se dice epimorfismo si y s´ olo si es suprayectivo (sobre). Un homomorfismo biyectivo (inyectivo y sobre) recibe el nombre de isomorfismo. Dos Rm´ odulos X olo si existe un isomorfismo h : X e Y Y son isomorfos, X ≈ Y , si y s´ h : X X −→ Y . Proposici´ on on 1.2.3 El producto h = hof de dos homomorfismo f : X → Y y g :

odulos es el homomorfismo trivial si y s´ olo si Y → Z de R-m´ I m(f ) f ) ⊂ K er( er (g ).

















Suficiencia. Supongamos I m(f ) f ) ⊂ K er( er (g ). Sea x ∈ X . Entonces, tenemos h(x) = g[f ( f (x)]. Puesto que f ( f (x) ∈ I m(f ) f ) ⊂ K er( er(g ), obtenemos g [f ( f (x)] = 0, y de aqu´ aqu´ı h(x) = 0. Como x es arbitrario, resulta ser h = 0.

1.3. 1.3.

Produ Product ctos os dire direct ctos os y suma sumass direc directa tass

Definici´ on on 1.3.1 (Productos directos y sumas directas) Consideremos una familia

arbitrariamente dada: F

= {X i \ i ∈ M }

de R-m´ odulos X 1 y designemos con P =



X i

i∈M

el producto cartesiano de la familia F definido como en [4]. Por definici´ on, un elemento de P es una funci´ on f : M −→ U

del conjunto M de d e ´ındices ındices en la uni´ on U de los conjuntos X l tal que f ( f (i) ∈ X i para todo i ∈ M . P considerando, para dos elementos f y g de P P , Definamos una operaci´ on binaria en P g : M M → U determinada por la funci´ on f + g : (f + g)( g )(ii) = f ( f (i) + g + g((i) ∈ X i

















para todo i ∈ M . Por otra parte, se define una multiplicaci´ on escalar µ : R : R × P −→ P

asignado a cada α ∈ R y cada f ∈ P el producto escalar µ(α, f ) f ) = αf : M −→ U

dado por (αf )( αf )(ii) = α[ α [f ( f (i)] µ estructura para todo i ∈ M . Se comprueba f´ acilmente que esta multiplicaci´ on escalar µ

al grupo abeliano aditivo P como R -m´ odulo, que es conocido con el nombre de producto directo de la familia dada F de R-m´ odulo X i , i ∈ M . Consideremos ahora el subconjunto S de P P que consiste de todo f ∈ P tal que f ( f (i) = 0 para todo i ∈ M salvo a lo m´ as un n´ umero finito. Evidentemente S es un subm´ odulo de P . Luego S es un R-m´ odulo llamado suma directa de la familia dada F y es designado por S =



X i .

i∈M

Si el conjunto M es finito, entonces P = S . En este caso, el R-m´ odulo P = S puede llamarse bien producto directo o bien suma directa de la familia finita F . Sin embargo, la segunda denominaci´ on es la m´ as extendida, y es la que utilizaremos en lo sucesivo. Para Pa ra todo ´ındi ın dice ce j ∈ M , definamos una funci´ on d : X → S mediante



















para todo f : M → U en P . Evidentemen Evidentemente, te, pk es un homomorfismo del m´ odulo P en el m´ odulo X k llamado proyecci´ on natural del producto directo P en el m´ odulo X k . Adem´ as, su restricci´ on q k = p k | S : S −→ X k

al subm´ odulo S de P a proyecci´ on natural de la suma directa S odulo P se llamar´ S en el m´ X k .

Sea la sucesi´ on de homomorfismos dj

h

p

k X j −→ S −→ P −→ X k ,

: S → P representa el homomorfismo inclusi´ donde h : S on.

1.4.

Modulos o ´dulos libres

odulos libres) Un R-m´ odulo libre sobre un conjunto S es es un RDefinici´ on on 1.4.1 (M´ m´ odulo F juntamente con una funci´ on f : S → F tal que, para toda funci´ on g : S : S → en un R-m´ odulo X , existe un unico ´ homomorfismo h : F X del conjunto S en : F → X del m´ odulo F en el m´ odulo X tal que



















de homomorfismos de R-m´ odulos tal que la imagen del homomorfismo entrante coincide con el n´ ucleo del homomorfismo saliente de todo m´ odulo distinto de los extremos (si existen) de la sucesi´ on. Por ejemplo, en el m´ odulo Y , deber´ a ser I m(f ) f ) = ker(g ker(g ).

una sucesi´ on exacta de la forma f

g

0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0

se llamar´ a sucesi´ on exacta corta. Como ejemplo de sucesi´ on exacta corta, consideremos un subm´ on odulo odulo arbitrario arbitrario E E de un R-módulo odulo X X y el módulo odulo cociente Q = X/E . Como el homomorfismo inclusión on i : E : E → X es es un monomorfismo, la proyecci´ on on natural p natural p : : X X → Q es un epimorfismo, y I m(i) = E = E = ker( p) p), obteni´ obten iéndose endos e una sucesi´ suces i´ on on exacta corta i

p

0 −→ E −→ X −→ Q −→ 0.



















on finita o infinita Definici´ on on 1.5.2 (Sucesiones semiexactas) Una sucesi´ f

g

... −→ X −→ Y −→ Z −→ ...

de homomorfismos de R-m´ odulos se llama semiexacta si y s´ olo si la imagen del homomorfismo entrante est´ a contenida en el n´ ucleo del homomorfismo saliente en todo m´ odulo distinto de los extremos (si existen) de la sucesi´ on. En virtud de (1.2.3), la sucesi´ on es semiexacta si y s´ olo si el producto gof g of de dos homomorfismos cualesquiera consecutivos de la sucesi´ on f y g es el homomorfismo trivial.

Toda sucesi´ sucesion oń exacta de homomorfismo de R-módulos odulos es semiexacta, pero no toda sucesi´ on semiexacta es exacta. Por ejemplo, sea A un subm´ on odulo odulo propio de un R-módulo X odulo X ,, es decir, A decir, A  = X y A ⊂ X , y sea i sea i : : A A → X el X el homomorfismo inclusión. on. Entonces, la sucesi´ on on i

0 −→ A −→ X −→ 0 es semiexacta, pero no exacta.



















tal que, para toda funci´ on bilineal g : A × B −→ X

de A × B en n R-m´ odulo X , existe un unico ´ homomorfismo h : T → X del m´ odulo T en el m´ odulo X que satisface la relaci´ on de conmutatividad hof = g

en el siguiente tri´ angulo: f

A×B g

 

  T

 

h

X

odulos cualesquiera A y B , Teorema 1.6.2 (Teorema de existencia) Dados dos R-m´ existe un producto tensorial sobre R de A y B . Demostraci´ on. on. Ver Sze-Tsen Hu [5].

1.7.

Modulos o ´dulos de homomorfismos



















definido por (φ on es Φ ( φ + ψ )(x )(x) = φ( φ (x) + ψ (x) para todo x ∈ A. Con esta adici´ Φ , evidentemente, un grupo abeliano. Ahora, para cualesquiera α ∈ R y φ ∈ Φ, consideremos la funci´ on αφ : : A αφ A −→ B αφ)( )(x x) = α(φ(x)) para todo x ∈ A. Mediante la conmutatividad de R, definida por (αφ

se puede f´ acilmente conbrobar que (αφ αφ)) es un homomorfismo de A en B y que la correspondencia (α, φ) → αφ define una multiplicaci´ on escalar : R × Φ −→ Φ µ : R

en el grupo abeliano Φ . Asi, Φ queda estructurado como R -m´ odulo recibiendo el nombre de m´ odulo de los homomorfismos de A en B . El elemento cero de Φ es el homomorfismo trivial 0.

1.8.

Modulos o ´dulos proyectivos

R m´ odulos proyectivos) Un R odulo X se dice proyectivo si y s´ olo Definici´ on on 1.8.1 (M´ R -m´ si, para todo homomorfismo f : X → B y todo epimorfismo g : A → B de R odulos,

existe un homomorfismo h X → A que satisface





















odulo libre es proyectivo. Proposici´ on on 1.8.2 Todo R-m´ Demostraci´ on. on. Ver Sze-Tsen Hu [5].

odulo proyectivo es proyectivo. Proposici´ on on 1.8.3 Todo sumando directo de un R-m´ Demostraci´ on. on. Ver Sze-Tsen Hu [5].

1.9.

Modulo o ´dulo inyectivo

odulo X se dice inyectivo si y s´ olo si, para todo homoDefinici´ on on 1.9.1 Un R-m´ morfismo f : A → X y todo monomorfismo g : A → B de R-m´ odulos, existe un : B → X que satisface homomorfismo h : B





















1.10 1.10..

Semi Semigr grupo upoid ides es

Un semigrupoide es una clase M clase M tal que, para algunos pares α pares α,, β ∈ M est´ está definido un producto αβ ∈ M que satisface las dos condiciones de asociatividad siguientes: (CA 1) Para elementos cualesquiera α cualesquiera α,, β , γ de M de M ,, el triple producto α producto α((βγ )est´ βγ )está definido si y sólo olo si (αβ (αβ )γ est´ está definido. En el caso en que cualquiera de los dos esté definido, se cumple la ley asociativa (αβ )γ = α( α (βγ ) βγ ) Este producto triple ser´ a denotado por αβγ . αβγ .





















está definido. Entonces, por (AC 1), se deduce que (ξξ (ξξ  )α está tambi´ t ambién en definid defi nido. o. Esto E sto implica que el producto ξξ  está definido. Como ξ y ξ  son identidades, es ξ = ξξ ξ ξ  = ξ  . lo que prueba (1.10.1). Está identidad unica ξ u ńica ξ de de (1.10.1) recibirá el nombre de identidad de identidad por por la izquierda la izquierda del del elemento α de M y M y se designará con el s´ımbolo ımbo lo λ(α). La correspondencia α → λ( λ (α) define una funci´ on on λ : M : M −→ M del semigrupoide regular M e M en n s´ı mism mi smo. o. Análogamente, alogamente, tenemos el siguiente lema.





















on o n de λ(ξ ), ), el producto λ(ξ )ξ est´ está definido. Demostraci´ on. on. Por definici´ Como λ Como λ((ξ ) y ξ son son identidades, identidades, se sigue que λ que λ((ξ ) = ξ . Análogamente, alogamente, se puede probar que ρ(ξ ) = ξ , lo que completa la demostraci´ on del Corolario (1.10.3). on

Lema 1.10.4 Si α y β son dos elementos cualesquiera de un semigrupoide regular

a definido si y s´ olo si ρ(α) = λ( M , entonces αβ est´ λ (β ). αβ est´ a definido. Entonces el triple Demostraci´ on. on. Necesidad. Supongamos que αβ producto α[λ(β )β ] = αβ está definido. Por (AC 1) también en est´ a definido [αλ [αλ((β )]β )]β , lo que implica que αλ αλ((β )





















de α si y sólo olo si αβ = λ(α) y βα = ρ(α). Si α posee un inverso un inverso,, diremos que α es inversible. inversible.

´ Lema 1.10.6 Todo elemento inversible de un semigrupoide regular tiene un unico inverso. γ dos inversos de un elemento inversible arbitrariamente Demostraci´ on. on. Sean β y γ dos dado α dado α de un semigrupoide regular M regular M .. Entonces est´ an an definidos β definidos β α y αγ . αγ . Por tanto, por (AC 2), está definido βαγ . βαγ . De las relaciones βαγ = β (αγ ) = βγ β γ (α) = β ,























CAP´ ITULO II: Desarrollo del Trabajo de Investigaci´ on 2.1.

Categor´ Categor´ıas

Una categ K de elementos llamados objetos y un ca tegor´ or´ıas ıa s C consiste de una clase K semigrupoide regular M regular M de de elementos llamados morfismos justamente justamente con una funci´ on on























para dar ejemplos ejemplos de categor´ categor´ıas, se debe especificar los objetos y los morfismos de la categor categ or´´ıa, e indicar indic ar c´ omo omo están an definidos los productos p roductos de morfismos. mo rfismos. En E n la mayor´ mayor´ıa de los casos, las identidades y las condiciones de asociatividad son obvias.

Ejemplos Ejem plos de categor cate gor´ ´ıas























(6) La cat catego egor´ıa

L

de sucesione sucesioness descenden descendentes tes sobre sobre R consiste de todas las

sucesiones descendientes de R-módulos odulos como objetos y de sus homomorfismos como morfismos. Los productos de morfismos est´ an definidos por composici´ an on on como en (2). Análogamente, alogamente, se puede definir la cate categgor´ıa U de sucesiones ascendentes sobre R.























introducida artificialmente en la noci´ on on de categor´ categor´ıa mediante una funci´ on on biyectiva ι. En los ejemplos (2)-(6), (2) -(6), hemos utilizado los términos erminos “la clase de todos los conjuntos” , etc. En la axiomática atica usual de la teor´ıa ıa de conjuntos, conj untos, éstas estas son totalidade tota lidadess ileg´ ileg´ıtimas que deben ser evitadas. Sin embargo, embargo, si adoptamos los axiomas de Godel-Bernays Godel-Bernays-vo -von n























En virtud de la condición on (CF2), un funtor f funtor f está completamente determinado por la función f on f ((α) definida para los morfismos α morfismos α de de C unicamente. u ńica mente. As´ As´ı un funtor covariante f : de

C

→

C en

D es

esencialmente un homomorfismo del semigrupoide de los morfismos

el de los de

D ,

apliquen apliquen en identidades. identidades.

sujeto a la condición on de que las identidades (o unidades) se







































































































































































































































































































































































































































Categorias y Funtores Sobre Modulos

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