BIOFÍSICA transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. Unidad de El ampere (A) es la intensidad de una corriente intensidad de constante que manteniéndose en dos corriente eléctrica conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de longitud. Unidad de El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura temperatura termodinámica del punto triple del termodinámica agua. Observación: Además de la temperatura termodinámica (símbolo T) expresada en kelvins, se utiliza también la temperatura Celsius (símbolo t) definida por la ecuación t = T - T 0 donde T 0 = 273,15 K por definición. Unidad de cantidad El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades de sustancia elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas.
Unidad intensidad luminosa
de La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540·1012 hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 watt por estereorradián.
Unidades derivadas sin dimensión. Magnitud Nombre Símbolo Expresión en unidades SI básicas Ángulo plano
Radián
rad
Ángulo sólido
Estereorradián sr
mm -1= 1 m2m-2= 1
Unidad de ángulo El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un círculo plano que, sobre la circunferencia de dicho círculo, interceptan un arco de longitud igual a la del radio. Unidad de ángulo El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, sólido teniendo su vértice en el centro de una esfera, intercepta sobre la superficie de dicha esfera un área igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera.
Ing. Magno Cuba Atahua
BIOFÍSICA el resto de unidades son derivadas, es decir, se expresan en función de las fundamentales. Las magnitudes y unidades fundamentales en el Sistema Internacional
Línea de acción L B Sentido
Módulo
Ejercicios: 1.- Convertir : ANÁLISIS VECTORIAL Las cantidades físicas por su forma geométrica o naturaleza pueden ser clasificadas como escalares ó vectoriales. 1.- Magnitud Escalar.- Son aquellas que quedan definidas por su valor numérico y su unidad como: masa, longitud, tiempo. trabajo , potencia, densidad, calor, etc. 2.- Magnitud Vectorial.- Son aquellas que aparte de conocer su valor numérico y su unidad es necesario conocer su dirección y sentido, como: desplazamiento, velocidad, aceleración, impulso, momento de una fuerza, torque, etc.
VECTOR Es una expresión matemática que permite representar los fenómenos físicos indicado por un segmento de recta a cierta escala, con orientación y sentido por lo tanto todo vector está constituido por : Origen : Punto “A” Dirección : Definido por la línea de acción que sigue la recta (Angulo α ) Sentido : Definido por la orientación que tiene la flecha (Punta de la flecha) Módulo: Definido por la magnitud escalar es decir cantidad y unidad. ( L)
α
A
Representación de un vector. 1.- Gráficamente.- Se representa mediante una flecha don de su longitud dibujada a escala es su magnitud , la punta de la flecha su sentido y la línea de acción se dirección. 2.-Analíticamente.- Se representa por una ó dos letras llevando en su parte superior una pequeña flecha. A B = Se lee vector AB A = Se lee Vector A Donde su magnitud es simplemente la letra o letras: AB, A r
r
Tipos de Vectores:
1.- Vectores coloniales.- Son aquellos que siguen la misma dirección A B 2.- Vectores Opuestos.- Son aquellos que tienen Operaciones iguales pero sentidos opuestos. r
A r
r
−
A r
3.-Vectores Concurrentes.- Son aquellos que tienen un punto común de Operaciones o la su línea de acción pasa por el mismo punto.
Ing. Magno Cuba Atahua
BIOFÍSICA Para la suma: S = A + B D = A − B r
A r
r
B
r
r
Para
r
La
diferencia
:
r
r
A r
C r
B r
S
−B
r
D
r
r
4.- Vectores No concurrentes o paralelos .- son aquellas que tienen sus líneas de acción en forma paralelas 3.-Método del polígono: Consiste en dibujar los vectores una a continuación de otra luego la resultante se determina uniendo el punto de origen del primero con el final del último. S = A + B + C C
A r
r
B r
r
r
r
r
C Operaciones Vectoriales: r
S
Métodos gráfico :. 1.-Método del triángulo : Se dibuja una a continuación de la otra luego la resultante es uniendo el punto inicial del primero con el punto final del segundo Para Sumar : S = A + B Para Restar: D = A − B A C −B B D r
r
A
r
r
r
r
B
r
r
Métodos analíticos: Solo nos permite determinar la magnitud del vector. Ley de los cosenos: Ley de los senos
r
r
R= A2 + B 2 + 2 AB cos φ
A senα
= sen B β = senC γ
r
r
r
r
A
R
r
A
r
B
A r
B
C
r
2.-Método del paralelogramo: Se dibuja a partir del punto de origen ambos vectores luego se traza líneas paralelas a los mismos, su resultante es la unión del punto de origen a la intersección de las rectas.
Método de los componentes rectangulares: y Rx = ∑Vx Ry = ∑Vy
Ry
Ing. Magno Cuba Atahua
BIOFÍSICA D2 = A2 + B2 - 2AB cos α
R A 2
R= Rx + Ry Donde : Rx = Rcos α Ry = Rsen α
2
Restando las ecuaciones se tiene : S 2 – D2 = 4AB cos 60° = 4 AB( 12 ) 652 –52 = 2AB AB = 2100
x
α
D
Rx
PROBLEMAS DE VECTORES 01.-Dos vectores de igual módulo tienen como resultante a un vector del mismo módulo .Determinar el ángulo que forman dichos vectores a partir de sus orígenes.
60° S B
-B
03.-En el sistema de vectores mostrados en la figura. Calcular el valor del vector resultante. D E
C
B
Por la Ley de los cosenos : R A
R2 = A2 + B2 +2AB cos α
α
B Pero : A = B = R ; entonces R2 = R2 + R2 +2R2 cos α 1 = 2( 1+cos α ) cos α = 12 - 1 = - 12 α = arc cos(- 12 ) = 120°
A Solución: La Resultante del conjunto de vectores es : R =A + B + C + D +E Pero : C = E + D C=A+B Luego R = 3C R = 3(4) = 12 U. 04.-Dos Vectores de 50 y 40 N respectivamente, forman un ángulo de 143°. Hallar la resultante sabiendo que es perpendicular a la menor fuerza.
02.-El vector resultante de dos vectores que formen entre sí un ángulo de 60° vale 65 unidades y la diferencia de los mismos es de 5 unidades. Hallar la suma de sus módulos de dichos vectores. Solución: Por la Ley de los cosenos para la suma y diferencia. S 2 = A2 + B2 + 2AB cos α
50N
R 40N
Ing. Magno Cuba Atahua
BIOFÍSICA 05.-Dos fuerzas de 5/13 y 10N respectivamente , son aplicados a una placa rectangular dividida en cuadritos de lado “a” como se muestra en la figura. Determine la resultante.
. 08.-Dos vectores forman un ángulo de 106° uno de ellos tiene 25 unidades de longitud y hace un ángulo de 16° con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector.
60N 09.-Calcular el ángulo entre dos vectores de 8U y 10U de longitud, cuando su resultante forma un ángulo de 50° con el vector mayor y cual será la magnitud del vector resultante. 10.-Determine la resultante de los vectores A y B y el ángulo que formen entre ellos si A = (3;-2) ; B 0 (2,4). 20N 06.- Calcular: 2A + 3B + C. Asumir el lado de cada cuadrito como “b”. C A B 07 .- La resultante de un sistema de fuerzas mostrado es de 70N apuntando hacia abajo a lo largo del eje de la s ordenadas. Hallar el ángulo θ y la fuerza F necesaria para obtener dicha resultante 200N 450N
53°
11.-Se añade una fuerza a una fuerza que tiene por componentes X, Y de (8. –5)N la resultante de las dos fuerzas está en la dirección –X y tiene una magnitud de 4N . Hallar la fuerza B. 12.-Un hombre camina 8 km hacia el sur , y gira 60° hacia el este y camina 1 km mas, ahora hace un giro en ángulo recto hacia el norte y camina 2 km. Cual es la posición final con respecto al punto de partida . 13.-Demostrar que si dos vectores tienen la misma magnitud P y hacen un ángulo α su suma tiene una magnitud de 2Pcos( α /2) y su diferencia de 2Psen( α /2). 14.- El vector resultante de dos vectores tiene 30 unidades de magnitud y hace un ángulo de 37° y 45° con ellos . Hallar la magnitud de dichos vectores. 15.-Una fuerza vertical F = 60N actúas hacia abajo en el punto A de una estructura de dos partes. Determine el ángulo θ del miembro AB de tal forma que la componente de F que actúa a lo largo del eje AB sea de 80 N . Cuál es la magnitud de la componente de la fuerza que actúa a lo largo del eje del miembro AC.
θ
F
Ing. Magno Cuba Atahua
BIOFÍSICA 16.-En la figura se muestra el sistema de vectores si r= 2 .Determine la Resultante. del sistema de vectores.
19.-Sabiendo que B − 2A = 5U y que 5 B + 3A = 6U. Hallar la magnitud 7 B − A
5B + 3A R
53°
r
r 17.- En la figura se muestra los vectores A y B , determine su resultante ( los cuadritos tienen lado “a” 25N
B – 2A 20.-Determinar el vector X en función de A y B , sabiendo que el triángulo JKH es equilátero. K B
A
G 30N 18.-Hallar el módulo del vector resultante del conjunto de vectores mostrados en la figura , sabiendo que A = 5U y C = 8U.
B
E
N
L
X
60°
J
M 21.- Hallar el modulo del vector resultante si a=6 y b=8
D
A 37°
C 22.-
En
el
paralelogramo.
Ing. Magno Cuba Atahua
BIOFÍSICA Determinarla resultante del sistema de vectores en términos de A y B sabiendo que m y n son puntos medios.
25.- En el grafico se muestra un triangulo con dos vectores en su interior si AB = 2 y BC = 4. Determinar el modulo del vector resultante, sabiendo que AM =MN =MC
23.- La figura muestra un trapecio de vértices , A ,B ,C y D, sabiendo que “M” es punto medio del segmento AB. Determinar el modulo de la resultante de los vectores A y B , sabiendo que BC =7 y AD = 13 26.- Hallar el Angulo “ α “ para que la resultante de los vectores dados tengan resultante igual a “L”
24.- Dado el trapecio MNPQ mostrado en la figura determinar el valor del ángulo 0; para que la resultante de de los vectores a y b sea de 26 unidades. R es punto medio de de PQ , se sabe que MQ = 10u y NP = 24 u.
Ing. Magno Cuba Atahua
