BAB V BARISAN-BARISAN DIVERGEN SEJATI
5.1 Definisi
(xn) adalah barisan bilangan real. (i) (xn) menuju ke + , dan ditulis lim (xn) = + , jika untuk semua α ∈ R, terdapat bilangan asli K(α K(α), sedemikian hingga untuk n ≥ K(α K(α), maka xn > α. (ii) (xn) menuju ke - , dan ditulis lim (xn) = - , jika untuk semua β ∈ R, terdapat bilangan asli K(β K(β), sedemikian hingga untuk n ≥ K(β K(β), maka xn < β
Contoh-contoh
(a) lim (n) = + ∼ Bukti : Untuk sembarang α ∈ R, akan ditentukan K(α K(α) ∈ N, ∋ ∀ n ≥ K(α K(α) → xn = n > α. Ambil K(α K(α) ∈ N, K(α K(α) > α ∀ n ≥ K(α K(α) akan diperoleh n ≥ K(α K(α) > α, sehingga …….. Jadi, terbukti Lim (n) = + ∼. 2
(b) lim (n ) = + ∼ Bukti : Untuk sembarang α ∈ R, akan ditentukan K(α K(α) ∈ N, ∋ ∀ n ≥ K(α K(α) → …… 2
n ∈ N, sehingga n …… n Ambil K(α K(α) ∈ N, K(α K(α) > ……. 2
∀ n ≥ K(α K(α) akan diperoleh n ≥ K(α K(α) > ….., dan n ….. n Maka diperoleh …….. 2
Jadi, terbukti lim (n ) = + ∼ n
(c ) Jika c > 1, maka lim (c ) = + ∼ Bukti : Karena c > 1, maka dapat dimisalkan c = 1 + b, b > 0. Untuk sembarang α ∈ R, akan ditentukan K(α) ∈ N, ∋ ∀ n ≥ K(α) → ……
n
n
c = 1 + b, b > 0, maka c = (1 +b)
≥ 1
+ nb
Jika diambil K(α)∈ N, K(α) …….., maka ∀ n ≥ K(α) diperoleh ………. n
n
Sehingga, c = (1 +b)
≥ 1
+ nb > 1 + α > α n
Jadi, terbukti bahwa : untuk c > 1, maka lim (c ) = + ∼
5.2 Teorema
Suatu barisan bilangan real monoton merupakan barisan divergen sejati jika dan hanya jika barisan tersebut tidak terbatas. (a) Jika (xn) barisan naik dan tidak terbatas, maka lim (xn) = + ∼ (b) Jika (yn) barisan turun dan tidak terbatas, maka lim (yn) = - ∼ Bukti :
(a) Anggap (xn) merupakan barisan naik. Jika (xn) terbatas, maka (xn) barisan konvergen. Jika (xn) tidak terbatas, maka untuk sembarang α ∈ R, terdapat K(α) ∈ N, sedemikian hingga xK(α) > α.
…… (1)
(xn) merupakan barisan naik, sehingga untuk n ≥ K(α) berlaku …… > …….. (2) Dari (1) dan (2) diperoleh : untuk sembarang α ∈ R, terdapat K(α) ∈ N, sedemikian hingga untuk n ≥ K(α) berlaku …… > …….., dan xK(α) > α sehingga diperoleh : xn > α. Jadi, terbukti bahwa lim (xn) = + ∼ (b) (xn) barisan naik dan tidak terbatas, maka Y = -X = (-x n) merupakan barisan ….. Karena (xn) tidak terbatas, maka untuk sembarang α ∈ R, terdapat K(α) ∈ N, sedemikian hingga xK(α) > α. Untuk Y = -X, maka untuk sembarang α ∈ R, terdapat K(α) ∈ N, sedemikian hingga yK(α) = - xK(α) < ……..
(1)
(yn) merupakan barisan turun, sehingga untuk n ≥ K(α) berlaku …… > …….. (2) Dari (1) dan (2) diperoleh : untuk sembarang α ∈ R, terdapat K(α) ∈ N, sedemikian hingga untuk n ≥ K(α) berlaku …… > …….., dan yK(α) = - xK(α) < …….. sehingga diperoleh : ………… Jadi, terbukti bahwa lim (xn) = - ∼
5.3 Teorema
(xn) dan (yn) adalah dua barisan bilangan real, dan xn ≤ yn, ∀ n ∈ N. (a) Jika lim (xn) = + ∼, maka lim (yn) = + ∼ (b) Jika lim (yn) = - ∼, maka lim (xn) = - ∼ Bukti :
(a) lim (xn) = + ∼, artinya jika diambil sembarang α ∈ R, maka ∃ K(α) ∈ N, sedemikian hingga untuk ……… berlaku ……… (1) Diketahui : xn ≤ yn, ∀ n ∈ N.
(2)
Dari (1) dan (2) : ∀ α ∈ R, maka ∃ K(α) ∈ N, sedemikian hingga untuk ……… berlaku …, dan xn ≤ yn, ∀ n ∈ N → …………. Jadi, terbukti lim (yn) = + ∼ (b) lim (yn) = - ∼, artinya jika diambil sembarang β ∈ R, maka ∃ K(β) ∈ N, sedemikian hingga untuk ……… berlaku ……… (1) Diketahui : xn ≤ yn, ∀ n ∈ N.
(2)
Dari (1) dan (2) : ∀ β ∈ R, maka ∃ K(β) ∈ N, sedemikian hingga untuk ……… berlaku …, dan xn ≤ yn, ∀ n ∈ N → …………. Jadi, terbukti lim (xn) = - ∼
5.4 Teorema
(xn) dan (yn) merupakan barisan-barisan bilangan real positif, dan untuk suatu L ∈ R, L > 0, dipenuhi : lim
= L, maka
: lim (xn) = + ∼ jika dan hanya jika lim (yn) = + ∼
Bukti :
lim
= L artinya ∀ ε > 0, ∃ K(ε) ∈ N, sedemikian hingga untuk …… …..
berlaku | - L|< ε ⇔ …… < – L < ……..
⇔ …….. < …….. <
< ……., karena L > 0, maka ambil ε = , sehingga diperoleh : < …….
⇔ ……. yn < xn < …….yn Terdapat dua pertidaksamaan : (1) ……. yn < xn, dan (2) xn < …….yn (⇒) lim (xn) = + ∼, artinya jika diambil sembarang α ∈ R, maka ∃ K(α) ∈ N, sedemikian hingga untuk ……… berlaku ……… (3) Kita pilih pertidaksamaan (2), sehingga dari (2) dan (3) diperoleh : ∀ α ∈ R, maka ∃ K(α) ∈ N, sedemikian hingga untuk ……… berlaku ………dan xn < …….yn. Jadi, ambil α1 = ….., sehingga yn > α1 Terbukti, lim (yn) = + ∼ (⇐) lim (yn) = + ∼, artinya jika diambil sembarang α ∈ R, maka ∃ K(α) ∈ N, sedemikian hingga untuk ……… berlaku ……… (4) Kita pilih pertidaksamaan (1), sehingga dari (1) dan (4) diperoleh : ∀ α ∈ R, maka ∃ K(α) ∈ N, sedemikian hingga untuk ……… berlaku ………dan ……. yn < xn. Jadi, ambil α2 = ….., sehingga yn > α2 Terbukti, lim (xn) = + ∼.
