Barisan Aritmatika (1) 3, 7, 11, 15, 19, ... (2) 30, 25, 20, 15, 10,... Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c. Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar. Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil. Suatu barisan U 1, U2, U3,....disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l). 3, 7, 11, 15, 19, ... Misalkan U1, U2, U3 , .... adalah barisan aritmetika tersebut maka U1 = 3 =+ 4 (0) U2 = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1) U3 = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2) .... Un = 3 + 4(n-1) Secara umum, jika suku pertama (U 1) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n - 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan Un = a + b(n-1) Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun. U1, U2, U3, .......U n-1, Un disebut barisan aritmatika, jika U2 - U1 = U3 - U2 = .... = U n - Un-1 = konstanta Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n
Deret Aritmatika Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari sukusuku pada sebuah barisan. Jika U 1, U2, U3, ... barisan aritmetika. U 1, U2, U3, ... adalah deret aritmetika. Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).
3 +7 + 1l + 15 + 19 + ... Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.S n maka S dari deret di atas adalah : Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah
Latihan : 1. Jumlah suku yang pertama dari barisan 20 + 15 + 10 +...... adalah ..... a. -550 b. -250 c. -75 d. -115 e. -250
Penyelesaian : a = 20 b = U2-U1 = 15-20 = -5 Sn = n (a + Un) Un = a + (n – 1) b U20 = 20 + (20-1)(-5) = 20 + (19) (-5) = 20 – 95
= - 75 S20 = . 20 (20 + (-75)) = 10 (-55) S20 = - 550 Jawaban : A
2. Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika : 3 + 5 + 7 + 9 + ..... adalah ..... a.
105
b.
120
c.
150
d.
155
e.
165
Penyelesaian : a=3 b = U3 – U2 – 1 = U3 – U2 =7–5 =2 Sn = n (2a + (n-1)b) = 10 (2 (5) + (10-1)2) = 5 (6+9) 2 = 120 Jawaban : B
3. Jika jumlah tak hingga dari deret geometri adalah 6 dan rasionya - , maka suku pertamanya adalah ..... a.
2
b.
3
c.
8
d.
10
e.
12
Penyelesaian : S= 6= 6= 6= 6= 6= 6 x a => 6 x 5 = = 10 Jawaban : D
4. Jumlah tak hingga deret geometri adalah 6 + 2 + + adalah ..... a.
7
b.
6
c.
9
d.
10
e.
18
S= a=6 r= = = S2 = = = 6 S2 = 6 x = = 9 Jawaban : C
5. Diketahui barisan aritmatikan dengan U4 = 11 dan U8 = 23. Suku ke 15 dari suku barisan aritmatika itu adalah ..... a.
345
b.
44
c.
49
d.
-40
e.
-44
Penyelesaian : Un = a + (n-1)b = a + (4-1)b = 11 = a + 36 = 11 U8 = a + (8-1)b = 23 = a + 7b = 23
Eliminasi a + 3b = 11 a + 7b = 23 -4b = -12 b= =3 Substansi a + 3b = 11 a + 3 (3) = 11 a + 9 = 11 a = 11 – 9 = 2 U15 Un = a + (n-1) b U15 = 2 + (15-1) 3 = 2 + (14 x 3) = 44 Jawaban : B
6. Dari suatu barisan aritmatika diketahui U2 = 7 dan U6 = 19. Suku ke 8 dari barisan aritmatika tersebut adalah ..... a.
25
b.
26
c.
28
d.
31
e.
34
Penyelesaian : Un = a + (n-1) b U2 = a + (2-1) b = 7 = a + 1b = 7 U6 = a + (6-1)b = 19 = a + 5b = 19 Eliminasi : a+1b=7
a + 5b = 19 -4b = -12 b=- =3 Subtitusi : b=3 a+1b=7 a + 1 (3) = 7 a+3=7 a = 7 -3 = 4 U8 Un = a + (n-1) b U8 = 4 + (8-1) 3 = 4 + (7 . 3) = 25 Jawaban : A
7. Dari suatu barisan aritmatika diketahui U10 = 41 dan U5 = 21. U20 barisan tersebut adalah ..... a.
69
b.
73
c.
77
d.
81
e.
83
Penyelesaian : Un = a + (n-1) b U10 = a + (10-1)b = 41 U5 = a + (5-1)b = 21 a + 4b = 21 eliminasi : a + 9b = 41
a + 4b = 21 5b = 20 b= =4 subtitusi : b=4 a + 9b = 41 5 +a + (9.4) = 41 a + 36 = 41 a = 41- 36 =5 U20 Un = a + (n-1)b U20 = a + (n-1) b U20 = 5 + (20+1) 4 = 5 + (19.4) d
= 5 + 76 = 81
8. Gaji seorang karyawan setiap bulan dinaikan sebesar Rp 5.000,00jika gaji pertama gajian tersebut Rp. 100.000 ..... a.
Rp. 1.205.000
b.
1Rp. 1.255.000
c.
Rp. 260.000.000
d.
Rp. 1.530.000
Penyelesaian : Sn = n (2a + (n-1) b
12 (2 . 100.000) +(12-1)5000 = 6 (200.000+55.000) = 6 (225.000) = 1.530.000
9. Sebuah perusahaan mempunyai peluang untuk menjual hasil pproduksinya0,65 jika di produksi 2.500.000unit brang, maka diperkiraan banyak hasil produksi yang tidak terjual adalah ..... a.
625.000 unit
b.
875.000 unit
c.
1.125.000 unit
d.
1.375.000 unit
e.
1.625.000 unit
Penyelesaian : . 2.500.000= 1.625.000 2.500.000 – 1.625.000 = 875.000 unit Hasil produk yang terbaik terjual adalah
Jawaban : B
10. Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 5000 unit barang, pada tahun-tahun berikutnyaproduksinya turun secara tetap80 unit per tahun. Pada tahun keberapa perusahaan tersebut memproduksi 3000 unit barang? a.
24
b.
25
c.
26
d.
27
e.
28
Penyelesaian : Un = a + (n-1) b 3000 = 5000 + (n-1) (-80) 3000 = 5000 + (80n) + (80) 80n = 5000 – 3000 + 80 80n = 2000 + 80 80n = 2080 n = 2080 : 80 = 26 Jawaban : C
11. Seorang pemilik kebun memetik jeruknya setiap hari,dan mencatat banyaknya jeruk yang dipetik. Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un= 50 + 25n. Jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari yang pertama adalah ..... a.
2000
b.
1950
c.
1900
d.
1875
e.
1825
Penyelesaian : Sn = n (2a +(n-1)b)
S10 = 10 (2.75+(10-1)25) S10 = 5 (150+(9.25) S10 = 5 (150+225) S10 = 5 (375) S10 = 1875 buah Jawaban : D
12. Dua piluh pekerja mendapat upah harian dengan hasil pekerjaannya sebagai berikut : pekerja 1 mendapat Rp.12.000, pekerja 2 mendapat Rp.12.500, pekerja 3 mendapat Rp.13.000 dan seterusnya hingga upah tersebut membentuk deret aritmatika. Jumlah upah satu hati yang harus disiapkan oleh pemberi upah adalah ..... a.
Rp. 670.000
b.
Rp. 340.000
c.
Rp. 335.000
d.
Rp. 220.000
e.
Rp. 700.000
Penyelesaian : Sn = n (2a + (n-1)b) S20 = 20 (2.12000+(20-1)500) = 20 (24000+19)500) = 10 (24000+9500) = 10 (33.500) = 335.000
13. Diketahui Barisan geometri dengan suku pertama 2 dan suku ke 5 = 640,maka rasionya adalah ..... a.
2
b.
8
c.
1
d.
4
Penyelesaian :
a=2 Un = a.r n-1 640 = 2 . r s-1 =
r 4
256 = r 4 R4 = 256 R=4 Jawaban : E 14. Jika suku pertama suatu barisan geometri = 16 dan suku ketiga = 36, maka besar suku kelima adalah ..... a.
-81
b.
-52
c.
-46
d.
46
e.
81
Penyelesaian : a = 16 U3 = 36 Un = a r n-1 U3 = 16.r 3-1 36 = 16.r 2 = 2
r
R2 = r= r= r= U5 = 16 ( )r-1 = 16 ( )4
= 16 . = 81
Jawaban : E
15. Seseorang berjalan kaki dengan kecepatan 8km/jam pada jam pertama. Kemudian pada jam keduakecepatan menjadi setengahnya dari jam pertama,demikian seterusnya. Jarak terjauh yang ditempuh orang tersebut adalah ..... a.
4
b.
8
c.
12
d.
14
e.
16
Penyelesaian : U1 = 8 U2 = 4 r= = = S2 = = = x = 16 Jawaban : E
Contoh 2.1 1. 1, 2, 3,... merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 1. 2. 1, 3, 5, … merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 2. 3. 1, -1, 1, -1,.... bukan barisan aritmatika sebab U2 – U1 = -1 – 1 = -2 ? 2 = 1 – (-1) = U 3 – U2 4. Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda = 2. Tentukan unsur ke 1, ke 3, dan ke 4 dari barisan itu. Penyelesaian: Karena b = U n - Un-1 = 2, maka U 2 - U1 = 2. Jadi U 1 = U2 - 2 = 10 - 2 = 8. Secara sama diperoleh U 3 - U2 = 2 = b. Jadi U3 = U2 + b = 10 + 2 = 12, dan U4 = U3 + b = 12 + 2 = 14.
Menurunkan Rumus Unsur ke n Barisan Aritmatika Jika U1 = a, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan aritmatika, maka unsur ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut. U1 = a U2 = a + b U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b ? Un = a + (n-1)b Jadi rumus umum unsur ke n suatu barisan aritmatika dengan unsur pertama a dan beda b adalah: Un = a + (n-1)b Contoh 2.2 Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda = 2. Tentukan unsur ke 7 barisan itu. Penyelesaian: Diketahui U2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus U n = a + (n-1)b, diperoleh U2 = a + (2-1)b U2 = a + b a = U2 - b = 10 - 2 = 8. U7 = a + (7-1) b =a+6b = 8 + 6 (2) = 8 + 12 = 20. Jadi unsur ke 7 dari barisan adalah 20. Contoh 2.3 Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu. Penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun 2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005? Penyelesaian: Misalkan: a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000. b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun. P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005. Jadi a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000,-, dan P 2005 akan dicari. Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun adalah tetap, maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000. P2005 = U6 = a + 5b = 6.000.000 + 5(500.000) = 6.000.000 + 2.500.000
= 8.500.000. Jadi perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005 adalah Rp 8.500.000,Dengan adanya deret aritmatika, kita dapat membentuk barisan yang terkait dengan deret tersebut. Barisan demikian disebut barisan aritmatika. Contoh 2.4 Tentukan jumlah 25 suku pertama deret 3 + 6 + 9 +.... Penyelesaian: Deret 3 + 6 + 9 +.... adalah deret aritmatika dengan a = 3 dan b = 3. Oleh karena itu dengan menggunakan rumus S n = 1 2
n[2a + (n -1)b] diperoleh: S25 = 1 2
(25) [2(3) + (25 -1)(3)] = 25 2
[6 + 24(3)] = 25 2
(6 + 72) = 25 (39) = 975. Jadi jumlah 25 suku pertama dari deret 3 + 6 + 9 +.... adalah 975. Contoh 2.5 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100. Penyelesaian: Diketahui a = 51, b = 2, dan U n = 99. Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100, pertamatama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100, yaitu n dengan menggunakan rumus: Un = a + (n - 1) b 99 = 51 + (n - 1)(2) 99 = 51 + 2n - 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 - 49 n = 25. Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika, Sn = 1 2
n[2a + (n -1)b]
diperoleh: S25 = 1 2
(25)[2(51) + (25 -1)(2)] = 25(51 + 24) = 25(75) = 1.875. Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1.875.
