Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika Geometri, Pengertian, Rumus, Sifat-sifat Notasi Sigma, Tak Hingga, Hitung Keuangan, Bunga Tunggal a!emuk Anuitas, atematika
Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika Geometri, Pengertian, Rumus, Sifat-sifat Notasi Sigma, Tak Hingga, Hingga, Hitung Keuangan, Bunga Tunggal a!emuk Anuitas, atematika Barisan an dan Deret Aritmatika Geometri, Pengertian, Contoh Contoh Soal Soal Baris Pengertian, Rumus, Rumus,
SifatSifat-sif sifat at No Notas tasii Sigma Sigma,, Tak Hingga Hingga,, Hitun Hitung g Keuanga euangan, n, Bunga Bunga Tunggal unggal Majemuk Majemuk Anuitas, Anuitas, Matematik Matematika a - Perna Pernahka hkah h kalian kalian mengamat mengamatii lingku lingkunga ngan n sekitar sekitar !i sekelili sekeliling ng kalian kalian tentulah tentulah "an#ak "an#ak terja$i terja$i hal-hal hal-hal #ang "ersifat "ersifat rutin% Keja$ian rutin a$alah keja$ian #ang mem&un#ai &ola atau keteraturan tert terten entu tu%% Amat Amatii &ola &ola susu susuna nan n "iji "iji &a$a &a$a "ung "unga a mata mataha hari ri%% Amat Amatii &ola &ola &ertum"uhan &ertum"uhan &o&ulasi makhluk hi$u& tertentu% Ke$ua 'ontoh itu se"enarn#a mem" em"entu ntuk
&ola &ola
kete eteratu ratura ran n
tert terte entu ntu
"eru& eru&a a
"arisa risan n%
Kita ita
$a&at &at
mem&erkirakan suku &a$a (aktu tertentu% Salah satun#a a$alah keteraturan &o&u &o&ula lasi si
makh makhlu luk k
hi$u hi$u&% &%
)ntu )ntuk k
meng menghi hitu tung ng
$an $an
mem& mem&er erki kira rak kann# ann#a, a,
$i&erlukan suatu 'ara tertentu agar le"ih mu$ah men#elesaikann#a, #aitu $engan konse& "arisan $an $eret%
Tujuan Tujuan Pem"elajaran Pem"elajaran *
Setelah mem&elajari "a" ini, $ihara&kan kalian $a&at +% menjelas menjelaskan kan 'iri "arisan "arisan aritmetik aritmetika a $an "arisan "arisan geometri geometri % merumusk merumuskan an suku suku ken $an jumlah jumlah n suku suku $eret aritmetik aritmetika a $an $eret geometri
.% menentuk menentukan an suku suku ke-n $an jumlah jumlah n suku $eret $eret aritmetika aritmetika $an $eret $eret geometri /% menjelaskan menjelaskan 'iri $eret geometri tak hingga hingga #ang mem&un#ai mem&un#ai jumlah jumlah 0% menghitun menghitung g jumlah jumlah $eret $eret geometri geometri tak hingg hingga a 1% menuliskan menuliskan suatu suatu $eret $eret aritmetika aritmetika $an geometri $engan $engan notasi sigma sigma 2% menj menjel elas ask kan
karak arakte teri rist stik ik
masal asalah ah
#ang #ang
mo$e mo$ell
mate matem matik atikan an#a #a
"er"entuk $eret aritmetika atau geometri 3% meru merumu musk skan an $an $an
men#e en#ele lesa saik ikan an $eret eret #ang #ang meru& eru&ak akan an mo$e mo$ell
matematika $ari masalah 4% menj menjel elas aska kan n rumu rumuss-ru rumu mus s $ala $alam m hitu hitung ng keuan euanga gan n $eng $engan an $er $eret aritmetika atau geometri +5% +5%
menent nentu ukan "unga nga tu tungg nggal, "unga majem jemuk, uk, $a $an anu anuit ita as%
Se"elumn#a, kalian &ernah "elajar "arisan $an $eret ketika $u$uk $i "angku SMP% Pa$a &okok "ahasan ini akan $i"ahas se'ara men$alam tentang "arisan $an $eret, serta hal-hal #ang terkait $engan "arisan $an $eret% Kemu$ian, akan $ijelaskan tentang kegunaan "arisan $an $eret $alam kehi$u&an seharihari%
A% Barisan dan Deret
Kalia Kalian n tentu tentu &erna &ernah h "er&ik "er&ikir ir tentan tentang g nomor nomor rumah rumah $i sisi sisi kiri kiri jalan jalan #ang #ang "ernomor ganjil +, ., 0, 2, $an seterusn#a, se$angkan nomor rumah $i sisi kanan jalan "ernomor gena& , /, 1, 3, $an seterusn#a% Mungkin juga kalian &ernah "er&ikir $ari mana &ara &akar men#atakan men#atakan "ah(a +5 tahun ke $e&an &en$u$uk 6n$onesia akan menja$i 7 juta ji(a%
!ua 'ontoh $i atas "erkaitan $engan "arisan $an $eret $ari suatu "ilangan%
+% Barisan Bilangan
Misa Misalk lkan an seor seoran ang g anak anak $i"e $i"eri ri uang uang sak saku oran orang g tuan tuan#a #a seti setia& a& ming minggu gu R&+5%555,55% 8ika setia& minggu uang sakun#a "ertam"ah R&055,55 maka $a&a $a&att $itu $ituli lisk skan an uang uang sak saku $ari $ari ming minggu gu ke ming minggu gu "eri "erik kutn# utn#a a a$al a$alah ah R&+5%555,55, R&+5%055,55, R&++%555,55, R&++%055,55, %%%%
Susunan "ilangan-"ilangan #ang sesuai $engan 'ontoh $i atas a$alah *
Perha Perhatika tikan n "ah(a "ah(a $ari "ilangan "ilangan-"ila -"ilanga ngan n #ang $isusun $isusun "er"entuk "er"entuk +5%555, +5%555, +5%055, +5%055, ++%555, ++%555, ++%055, ++%055, %%% mem&un# mem&un#ai ai ke keterat teraturan uran $ari urutan urutan &ertama, &ertama, ke$ua, ketiga, keem&at, $an seterusn#a, #aitu "ilangan "erikutn#a $i&eroleh $ari "ilangan "ilangan se"elumn se"elumn#a #a $itam"ah $itam"ah 055% BilanganBilangan-"ilan "ilangan gan #ang $isusun $isusun urut urut $enga $engan n aturan aturan terten tertentu tu se&ert se&ertii itulah itulah $ikena $ikenall $enga $engan n nama nama "aris "arisan an "ilangan%
Se'ara matematis, "arisan "ilangan meru&akan nilai fungsi $engan $aerah $e9nisin#a a$alah "ilangan asli% Misalkan "arisan "ilangan $itulis lam"ang ) untuk men#atakan urutan suku-sukun#a maka "ilangan &ertama $itulis ):+; atau U1, "ilangan ke$ua $itulis ):; atau U2, $an seterusn#a% 8ika kita "uat kores&on$ensi, akan terlihat se&erti "erikut%
8a$i, "entuk umum umum "arisan "arisan "ilangan a$alah a$alah U1, U2, U3, ..., Un, ...
!alam hal ini, Un < f:n; $ise"ut rumus umum suku ke-n $ari "arisan "ilangan%
Contoh Soal Barisan Bilangan + *
!iketahui "arisan "ilangan $engan suku ke-n "er"entuk Un < n2 = n% Tuliskan 0 suku &ertama $ari "arisan terse"ut%
Pem"ahasan *
Rumus suku ke-n a$alah Un < n2 = n%
Suku
&ertama
$a&at
$i'ari
$engan
men#u"stitusikan
n
<
+
$an
$i&eroleh U1 < 12 = :+; < =+% Suku ke$ua $i'ari $engan mensu"stitusikan n < $an $i&eroleh U2 < 22 = :; < 5%
!engan 'ara #ang sama, $i&eroleh se"agai "erikut%
Suku ketiga < ) . < . = :.; < .% Suku keem&at < )/ < / = :/; < 3% Suku kelima = U 5 = 52 – 2(5) = 15.
8a$i, lima suku &ertama $ari "arisan itu a$alah =+, 5, ., 3, +0%
Misalkan $i"erikan suatu "arisan "ilangan $engan suku ke-n $ari "arisan "ilangan terse"ut ti$ak $iketahui% !a&atkah kita menentukan rumus suku ken Hal ini ti$ak selalu $a&at $itentukan, teta&i &a$a "e"era&a "arisan kita $a&at
melakukann#a
terse"ut%
Contoh Soal *
$engan
mem&erhatikan
&ola
suku-suku
"arisan
!iketahui "arisan "ilangan /, 2, +, +4, %%%%
a% Tentukan rumus suku ke-n% "% Suku ke"era&a $ari "arisan terse"ut #ang "ernilai +44
Pen#elesaian *
Barisan "ilangan* /, 2, +, +4, %%%
a% Suku ke-+ < ) + < / < + > . Suku ke- < ) < 2 < > . Suku ke-. < ) . < + < . > . Suku ke-/ < ) / < +4 < / > .
Suku ke-n < Un < n2 > . 8a$i, rumus suku ke-n "arisan terse"ut a$alah Un < n2 > .%
"% !iketahui suku ke-n < +44, "erarti Un < +44 ↔ n2 > . < +44 ↔ n2 < +41
Karena n2 < +41 maka n1 < +/ atau n2 < =+/ :$i&ilih nilai n &ositif;% Menga&a ti$ak $i&ilih n < =+/ 8a$i, suku #ang nilain#a +44 a$alah suku ke-+/%
% Deret Bilangan
Misalkan kita mem&un#ai "arisan "ilangan U1, U2, U3, ..., Un $an Sn a$alah jumlah
$ari
suku-suku
"arisan
itu%
Sn < Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un $ise"ut $eret%
8a$i, $eret a$alah jumlahan suku-suku $ari suatu "arisan%
B% Barisan dan Deret Aritmatika
+% Barisan Aritmatika
6n$ah men#isihkan se"agaian uang #ang $imilikin#a untuk $isim&an% Pa$a "ulan ke-+, ia men#im&an R& 5%555,55% Bulan "erikutn#a ia selalu menaikkan sim&anann#a R& 055,55 le"ih "esar $ari "ulan se"elumn#a% Bear sim&anan :$alam ru&iah; 6n$ah $ari &ertama $an seterusn#a $a&at $itulis se"agai "erikut%
Bulan Ke-1
Bulan Ke-2
Bulan Ke-3
Bulan Ke-4
...
20.000
20.500
21.000
21.500
...
8ika kalian amati, selisih suku "arisan ke suku "erikutn#a selalu teta&, #aitu 055%
Barisan aritmetika a$alah suatu "arisan "ilangan #ang selisih setia& $ua suku "erturutan selalu meru&akan "ilangan teta& :konstan;%
Bilangan #ang teta& terse"ut $ise"ut "e$a $an $ilam"angkan $engan "%
Perhatikan juga "arisan-"arisan "ilangan "erikut ini%
a% +, /, 2, +5, +., %%%
"% , 3, +/, 5, %%% '% .5, 0, 5, +0, %%%
Barisan-"arisan terse"ut meru&akan 'ontoh $ari "arisan aritmatika%
Mari kita tinjau satu &er satu%
a% Pa$a "arisan ini, suku "erikutn#a $i&eroleh $ari suku se"elumn#a $itam"ah .% !a&at $ikatakan "ah(a "e$a sukun#a . atau " < .%
"% Pa$a "arisan ini, suku "erikutn#a $i&eroleh $ari suku se"elumn#a $itam"ah 1% !a&at $ikatakan "ah(a "e$a sukun#a 1 atau " < 1%
'% Pa$a "arisan ini, suku "erikutn#a $i&eroleh $ari suku se"elumn#a $itam"ah =0% !a&at $ikatakan "ah(a "e$a sukun#a =0 atau " < =0% Se'ara umum $a&at $ikatakan se"agai "erikut% 8ika Un a$alah suku ke-n $ari suatu "arisan aritmetika maka "erlaku " < Un = Un-1%
Rumus umum suku ke-n "arisan aritmetika $engan suku &ertama :)+; $ilam"angkan $engan a $an "e$a $engan " $a&at $itentukan se&erti "erikut%
)+ < a ) < )+ > " < a > " ). < ) > " < :a > "; > " < a > " )/ < ). > " < :a > "; > " < a > ."
)0 < )/ > " < :a > ."; > " < a > /" % % % n < )n=+ > " < a > :n = +;"
8a$i, rumus suku ke-n $ari "arisan aritmatika a$alah *
Un = a + (n – 1)b
Keterangan*
Un < suku ke-n
a < suku &ertama " < "e$a n < "an#ak suku
Contoh Soal Barisan Aritmatika . *
Tentukan suku ke-3 $an ke-5 $ari "arisan =., , 2, +, %%%%
8a(a"an *
=., , 2, +, ?
Suku &ertama a$alah a < =. $an "e$an#a " < = :=.; < 0% !engan men#u"stitusikan a $an ", $i&eroleh Un < =. > :n = +;0% Suku ke-3 * U8 < =. > :3 = +;0 < .% Suku ke-5 * U20 < =. > :5 = +;0 < 4%
Contoh Soal / *
!iketahui "arisan aritmetika =, +, /, 2, %%%, /5% Tentukan "an#ak suku "arisan terse"ut%
Pen#elesaian *
!iketahui "arisan aritmetika =, +, /, 2, %%%, /5%
!ari "arisan terse"ut, $i&eroleh a < =, " < + = :=; < ., $an Un < /5%
Rumus suku ke-n a$alah Un < a > :n = +;" sehingga *
/5 < = > :n = +;. ↔ /5 < .n = 0 ↔ .n < /0
Karena .n < /0, $i&eroleh n < +0%
8a$i, "an#akn#a suku $ari "arisan $i atas a$alah +0%
Contoh Soal 0 *
Suku ke-+5 $an suku ke-+/ $ari "arisan aritmetika "erturut-turut a$alah 2 $an +0% Tentukan suku &ertama, "e$a, $an suku ke-5 "arisan terse"ut%
Pem"ahasan *
!iketahui U10 < 2 $an U14 < +0% !ari rumus suku ke-n "arisan aritmetika Un < a > :n = +;", $i&eroleh &ersamaan, #aitu *
U10 < 2 sehingga $i&eroleh a > 4" < 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% :+; U14 < +0 sehingga $i&eroleh a > +." < +0 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% :;
)ntuk menentukan nilai a $an ", kita gunakan meto$e 'am&uran antara eliminasi $an su"stitusi% !ari &ersamaan :+; $an :;, $i&eroleh *
a a
+ 9b
=
+ 13b –4b
= 15 = –! =2
b
-
!engan men#u"stitusikan " < ke &ersamaan :+;, $i&eroleh *
a > 4:; < 2 ↔ a < =++
!engan $emikian, $i&eroleh suku ke-n a$alah Un < =++ > :n = +;%
8a$i, suku ke-5 a$alah U20 < =++ > :5 = +; < 2%
Pola Kuadrat dari Bilangan "
A&akah hasil kua$rat "ilangan #ang $isusun $ari angka 4 memiliki &ola tertentu Betul sekali% Hasil kua$ratn#a han#a tersusun $ari angka 4, 3, +, $an 5% 8ika "ilangan ter$iri atas n $igit angka 4 :n "ilangan "ulat kurang $ari +5; maka kua$rat "ilangan terse"ut a$alah "ilangan #ang tersusun $ari angka 4 se"an#ak n = +, $iikuti angka 3, kemu$ian angka 5 se"an#ak n = +, $an $iakhiri angka +% Perhatikan &ola "erikut%
4 < 3+ 44 < 435+ 444 < 44355+ 4444 < 4443555+ 44444 < 444435555+ 444444 < 44444355555+
Setelah mem&erhatikan &ola $i atas, 'o"a kalian tentukan hasil $ari *
a% 4444444 "% 44444444 ". 999999999 2
% Deret Aritmetika
!ari sem"arang "arisan aritmetika, misaln#a , 0, 3, ++, +/, %%% $a&at $i"entuk suatu $eret #ang meru&akan &enjumlahan "erurut $ari suku-suku "arisan terse"ut, #aitu > 0 > 3 > ++ > %%%% Terlihat "ah(a "arisan aritmetika $a&at $i"entuk menja$i $eret aritmetika $engan 'ara menjumlahkan sukusuku "arisan aritmetika sehingga $a&at $i$e9nisikan se'ara umum%
Misalkan U1,
U 2,
U 3,
...,
Un meru&akan
suku-suku
$ari
suatu
aritmetika% U1 + U2 + U3 + ... + Un $ise"ut $eret aritmetika, $engan *
"arisan
Un < a > :n = +;"%
Se&erti telah kalian ketahui, $eret aritmetika a$alah jumlah n suku &ertama "arisan aritmetika% 8umlah n suku &ertama $ari suatu "arisan "ilangan $inotasikan Sn% !engan $emikian,
Sn = U1 + U2 + U3 + ... + U n.
)ntuk memahami langkah-langkah menentukan rumus Sn, &erhatikan 'ontoh "erikut%
Contoh Soal !eret Aritmatika 1 *
!iketahui suatu "arisan aritmetika , 0, 3, ++, +/% Tentukan jumlah kelima suku "arisan terse"ut%
Pem"ahasan *
8umlah kelima suku , 0, 3, ++, +/ $a&at $ituliskan se"agai "erikut%
S5 =
2 + 5 + 8 + 11 + 14
S5 = 14 + 11 + 8 + 5 + 2 2S5 = 1! + 1! + 1! + 1! + 1! 2S5 = 5 # 1!
+
S5 =
8a$i, jumlah kelima suku "arisan terse"ut a$alah /5%
Setelah kalian amati 'ontoh $i atas, kita $a&at menentukan rumus umum untuk Sn se"agai "erikut%
!iketahui rumus umum suku ke-n $ari "arisan aritmetika a$alah )n < a > :n = +;"% @leh karena itu,
U1 =
a
U2 = U3 = .
a a
=a b 2b .
= Un – (n – 2)b = Un – (n – 3)b .
.
.
.
.
.
.
(n – 1)b
= Un
Un =
a
+ +
+
!engan $emikian, $i&eroleh *
Sn < a > :a > "; > :a > "; > %%% > :a > :n = +;";
< a > : Un = :n = ; "; > : Un = :n = .; "; > %%% > Un%%%%%%%%%%%% :+;
!a&at &ula $in#atakan "ah(a "esar setia& suku a$alah " kurang $ari suku "erikutn#a%
)n=+ < )n = " )n= < )n=+ = " < )n = " Un–3 = Un–2 – b = U n – 3b
!emikian seterusn#a sehingga Sn $a&at $ituliskan
Sn < a > :) n = :n = +;"; > ? > :)n = "; > :)n = "; > )n %%%%%% :;
!ari &ersamaan + $an jika kita jumlahkan, $i&eroleh *
!engan $emikian, Sn < n:a > )n;
Sn < n:a > ) n; Sn < n:a > :a > :n = +;";; ↔ Sn = n(2a + (n – 1)b)
8a$i, rumus umum jumlah n suku &ertama $eret aritmetika a$alah *
Sn < n:a > )n; atau Sn = $ n %2a + (n – 1)b&
Keterangan*
Sn< jumlah n suku &ertama
a < suku &ertama " < "e$a )n < suku ke-n n < "an#ak suku
Contoh Soal 2 *
Carilah jumlah +55 suku &ertama $ari $eret > / > 1 > 3 > %%%%
8a(a"an *
!iketahui "ah(a a < , " < / = < , $an n < +55% S100 < $ +55 D:; > :+55 = +;E
< 05 D/ > +43E < 05 :5; < +5%+55
8a$i, jumlah +55 suku &ertama $ari $eret terse"ut a$alah +5%+55%
Contoh Soal 3 *
Hitunglah jumlah semua "ilangan asli keli&atan . #ang kurang $ari +55%
Pem"ahasan *
Bilangan asli keli&atan . #ang kurang $ari +55 a$alah ., 1, 4, +, %%%, 44 sehingga $i&eroleh a < ., " < ., $an ) n < 44%
Terle"ih $ahulu kita 'ari n se"agai "erikut%
)n < a > :n = +;" ↔ 44 < . > :n = +;. ↔ .n < 44 ↔ n < ..
8umlah $ari $eret terse"ut a$alah * Sn < $ n:a > )n; S33 < $ ..:. > 44;
< +%13.
8a$i, jumlah "ilangan asli keli&atan . #ang kurang $ari +55 a$alah +%13.%
Contoh Soal 4 *
!ari suatu $eret aritmetika $iketahui suku &ertaman#a ++, "e$an#a /, $an jumlah n suku &ertaman#a a$alah 55% Tentukan "an#akn#a suku $ari $eret terse"ut%
Pem"ahasan *
!iketahui a < ++, " < /, $an Sn < 55%
!ari rumus umum jumlah n suku &ertama, $i&eroleh *
Sn < n:a > :n = +;"; 55 < n F:++; > :n = +;/ /55 < n: > /n = /; /55 < n:/n > +3; ↔ 4n2 + 18n – 400 = 0
8ika setia& suku $i"agi , &ersamaan terse"ut menja$i *
n2 > 4n = 55 < 5 ↔ :n = 3;:n > 0; < 5 ↔ n < 3 atau n <
:$iam"il n &ositif karena n "ilangan asli;
8a$i, "an#ak suku $eret terse"ut a$alah 3%
Mennntukan Suku ke-n jika Rumus 8umlah n Suku Pertama !i"erikan
Misalkan $i"erikan suku ke-n "arisan aritmetika Sn% Rumus suku ke-n $a&at $itentukan $engan
Un = Sn – Sn–1
Selain $engan menggunakan rumus itu, a$a 'ara lain #ang sangat efektif% Misalkan jumlah n suku &ertama $eret aritmetika a$alah *
Sn < &n2 > n%
Suku ke-n $a&at $itentukan $engan *
Un < &n > : = &;
$engan "e$a &%
Contoh Soal +5 *
8umlah n suku &ertama $ari $eret aritmetika a$alah Sn = 2n2 = /n% Tentukan suku ke-n $eret terse"ut $an "e$an#a% Tentukan &ula U9%
Pen#elesaian *
Sn < n = /n I & < , < =/ Un = 2'n + ( – ')
< 7 7 n > :=/ = ; < /n = 1
Be$a < & < :; < /
Suku ke-+5 $a&at $itentukan $engan U9 = S9 – S8 S9 < :92; = /:4; < +1 S8 < :82; = /:3; < 41
8a$i, U9 < +1 = 41 < .5
Teorema
#ang
engharukan
A&akah kamu tahu teorema #ang $ikemukakan Pierre $e Jermat :+15+= +110; Teorema ini $ikem"angkan $ari teorema P#thagoras #ang sangat mas#ur itu% Menurut teorema P#thagoras, a$a "an#ak &asangan "ilangan a, ", $an ' #ang memenuhi "2 = a2 + b2, se&erti 0, ., $an / :"eserta keli&atann#a; +., +, $an 0 :"eserta keli&atann#a; 0, /, $an 2 :"eserta keli&atann#a; $an
seterusn#a%
Pierre $e Jermat mengklaim, ti$ak a$a "ilangan "ulat a, ", $an ' #ang memenuhi "n = an + bn, untuk n % Namun, &em"uktiann#a saat itu masih $i&ertan#akan% Ban#ak ilmu(an #ang &enasaran $engan teorema #ang $ilontarkan Jermat% Paul Lolfskehl, &rofesor matematik asal 8erman, a(al tahun +455-an "erusaha mem"uktikan teorema terse"ut, namun gagal% Rasa frustasi men#elimutin#a, $itam"ah keke'e(aan &a$a kekasihn#a mem"uat ia "erniat "unuh $iri% Ketika (aktu untuk "unuh $iri su$ah $ekat, ia masih &enasaran $an men'o"a lagi mem"uktikan Teorema Jermat mem"uat $ia lu&a untuk "unuh $iri% Sam&ai akhir ha#atn#a, teorema ini "elum juga
ter"uktikan% Lolfskehl "er(asiat, ia men#e$iakan uang +55%555 mark "agi orang &ertama #ang mam&u mem"uktikan teorema itu% Tahun +440, !r% An$re( Liles, matematika(an $ari )niersitas Prin'eton, 6nggris, "erhasil mem"uktikan teorema Jermat $engan gemilang% 6a akhirn#a men$a&at ha$iah 55%555 $olar $ari a#asan Raja Jaisal $i Ara" Sau$i &a$a tahun +442% :Sum"er*
(((%mate-mati-kaku%'om;
C% Barisan dan Deret Geometri
+% Barisan Geometri
Co"a kalian amati "arisan +, , /, 3, +1, ., %%%% Terlihat, suku "erikutn#a $i&eroleh $engan mengalikan &a$a suku se"elumn#a% Barisan ini termasuk "arisan geometri% 8a$i, se'ara umum, "arisan geometri a$alah suatu "arisan "ilangan #ang setia& sukun#a $i&eroleh $ari suku se"elumn#a $ikalikan $engan suatu "ilangan teta& :konstan;% Bilangan #ang teta& terse"ut $inamakan rasio :&em"an$ing; $an $inotasikan $engan r%
Perhatikan 'ontoh "arisan-"arisan "erikut%
a% ., 1, +, /, %%% "% , +, , +O/, %%% '% , =/, 3, =+1, %%%
Barisan $i atas meru&akan 'ontoh "arisan geometri% )ntuk "arisan $i atas "erturut-turut $a&at $ihitung rasion#a se"agai "erikut% a%
< %%%%% < % 8a$i, r < %
"%
< %%%% 8a$i, r <
'%
< =% 8a$i, r < =%
!engan $emikian, $a&at $isim&ulkan jika U1, U2, ... Un "arisan geometri $engan Un a$alah rumus ke-n, "erlaku *
Rumus umum suku ke-n "arisan geometri $engan suku &ertama :)+; $in#atakan a $an rasio r, $a&at $iturunkan se"agai "erikut%
U1 = U2 = U3 = U4 = . . . Un =
a U1 * = a* U2 * = a* 2 U3 * = a* 3 . . . Un–1 * = a* n–2 * = a* n–1
!engan $emikian, $i&eroleh "arisan geometri a, a*, a* 2, ..., a* n–1, ...
8a$i, rumus umum suku ke-n : Un; "arisan geometri a$alah *
Un < a* n–1
Keterangan*
a < suku &ertama r < rasio n < "an#ak suku
Contoh Soal Barisan Geometri ++ *
Carilah suku &ertama, rasio, $an suku ke-2 $ari "arisan geometri "erikut%
a%
,
1,
+3,
"% 4, =., +, -+O. , %%%
8a(a"an *
a% , 1, +3, 0/, %%%
!ari "arisan geometri $i atas, $i&eroleh *
+; suku &ertama* a < ; rasio* r < %%% < %%% < .%
Karena rumus suku ke-n "arisan geometri a$alah *
Un < a* n–1 maka U < 2(3–1) < 24 < +%/03
"% 4, =., +,
, %%%%
!ari "arisan ini, $i&eroleh *
+; suku &ertama* a < 4 ; rasio* r < .; suku ke-2* U <
Contoh Soal + *
0/,
%%%
Tiga "ilangan mem"entuk "arisan geometri% 8umlah ketiga "ilangan itu + $an hasil kalin#a +1% Tentukan ketiga "ilangan itu%
Pen#elesaian * Pemisalan #ang mu$ah untuk "arisan geometri a$alah 8umlah ketiga "ilangan itu a$alah + maka Hasil kali ketiga "ilangan a$alah +1 maka
, a, $an ar%
> a > ar < +% a ar < +1 ↔ a. < +1
Karena a3 < +1, $i&eroleh a < 1% Kemu$ian, su"stitusikan nilai a < 1 ke &ersamaan
> a > ar < + sehingga $i&eroleh hasil se"agai "erikut%
> 1 > 1r < + %%%%%%%%%%% :ke$ua ruas $ikalikan $engan r; ↔ 1 > 1r > 1* 2 < +r ↔ 1 = +0r > 1* 2 < 5 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% :ke$ua ruas $i"agi .; ↔ * 2 = 0r > < 5 ↔ :r = +;:r = ; < 5 ↔ r = + < 5 atau r = < 5 ↔ r < $ atau r <
!ari &ersamaan $i atas, $i&eroleh r < $ $an r < %
)ntuk r < $ $an a < 1, ketiga "ilangan terse"ut +, 1, $an .% )ntuk r < $an a < 1, ketiga "ilangan terse"ut ., 1, $an +%
Pola Bilangan #ang $ndah
Perhatikan &ola "ilangan "erikut%
+3>+<4 + 3 > < 43 +. 3 > . < 432
+./ 3 > / < 4321 +./0 3 > 0 < 43210 +./01 3 > 1 < 43210/
Ban$ingkan $engan &ola "ilangan "erikut%
54>+<+ + 4 > < ++ + 4 > . < +++ +. 4 > / < ++++ +./ 4 > 0 < +++++ +./0 4 > 1 < ++++++ +./01 4 > 2 < +++++++
!ari ke$ua &ola "ilangan $i atas, $a&atkah kalian menemukan "entuk umumn#a
!engan memerhatikan "entuk umum ke$ua &ola "ilangan $i atas, tentu kalian $a&at $engan mu$ah menentukan hasil $ari &ertan#aan "erikut%
a% +./012 3 > 2 < %%% "% +./0123 3 > 3 < %%% '% +./01234 3 > 4 < %%% $% +./012 4 > 3 < %%% e% +./0123 4 > 4 < %%%
Co"a kalian kerjakan%
% Deret Geometri
8ika U1, U2, U3, ... U n meru&akan "arisan geometri maka U1 + U2 + U3 + ... + Un a$alah $eret geometri $engan Un = a* n–1. Rumus umum untuk menentukan
jumlah n suku &ertama $ari $eret geometri $a&at $iturunkan se"agai "erikut%
Misalkan Sn notasi $ari jumlah n suku &ertama%
Sn < )+ > ) > %%% > )n Sn = a + a* + ... + a* n–2 + a* n–1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% :+;
8ika ke$ua ruas $ikalikan r, $i&eroleh * *Sn = a* + a* 2 + a* 3 + ... + a* n–1 + a* n %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% :;
!ari selisih &ersamaan :+; $an :;, $i&eroleh *
a* + a*2 + a* 3 + ... + a* n–1 + a* n
*Sn = Sn = *Sn - Sn =
↔ :r
a+ a* + a*2 + a* 3 + ... + a* n–1 –a + a*n
=
+;Sn <
-
a:* n–1;
↔ Sn <
8a$i, rumus umum jumlah n suku &ertama $ari $eret geometri a$alah se"agai "erikut% Sn <
, untuk r +
Sn <
, untuk r +
Keterangan*
Sn < jumlah n suku &ertama
a < suku &ertama r < rasio n < "an#ak suku A&a #ang terja$i jika r "ernilai +
Contoh Soal !eret Geometri +. *
Tentukan jumlah $ari $eret geometri "erikut%
a% > / > 3 > +1 > %%% :3 suku; "% + > 1 > . > +,0 > %%% :1 suku;
Pem"ahasan *
a% > / > 3 > +1 > %%%
!ari $eret terse"ut, $i&eroleh a < $an r < /O < :r +;% 8umlah $eret sam&ai 3 suku &ertama, "erarti n < 3% Sn <
↔ S3 <
< :01 = +; < 0+5
8a$i, jumlah 3 suku &ertama $ari $eret terse"ut a$alah 0+5%
"% + > 1 > . > +,0 > %%% !ari $eret itu, $i&eroleh a < + $an r <
:r +;%
8umlah $eret sam&ai 1 suku &ertama, "erarti n < 1%
Sn <
↔ S! <
< /:+-
;<
Contoh Soal +/ *
!iketahui $eret 3 + 32 + 33 + ... + 3 n < .1.% Tentukan *
a% suku &ertama "%
rasio
'% "an#ak suku%
Pen#elesaian *
!eret . > 32 + 33 + ... + 3 n < .1. a% Suku &ertama* a < . "% Rasio* r < %%% < %%%% < . '% )ntuk Sn < .1.
Karena r < . +, kita gunakan rumus * Sn < ↔ .1. <
21 < .n>+ = . .n>+ < 24 .n>+ < .1
!engan $emikian, $i&eroleh n > + < 1 atau n < 0% 8a$i, "an#ak suku $ari $eret terse"ut a$alah 0%
Contoh Soal +0 *
Carilah n terke'il sehingga Sn +%555 &a$a $eret geometri + > / > +1 > 1/ > %%%
Kun'i 8a(a"an *
!ari $eret terse"ut, $iketahui a < + $an r < / :r +; sehingga jumlah n suku &ertaman#a $a&at $itentukan se"agai "erikut%
Sn <
Nilai n #ang mengaki"atkan Sn +%555 a$alah *
+%555 ↔ 4n .%55+
8ika ke$ua ruas $ilogaritmakan, $i&eroleh *
log 4n log .%55+ ↔ n log / log .%55+ ↔ n
↔ n 0,23 :Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai logaritma;
8a$i, nilai n terke'il agar Sn +%555 a$alah 1%
Contoh Soal +1 *
Tentukan rumus jumlah n $ari $eret + > ++ > +++ > +%+++ > %%%
Pen#elesaian *
8ika kalian &erhatikan sekilas, $eret ini "ukan meru&akan $eret aritmetika mau&un geometri% Namun, 'o"a &erhatikan &enja"aran "erikut%
.% Deret Geometri Tak Berhingga
!eret geometri #ang ti$ak $a&at $ihitung "an#ak seluruh sukun#a $ise"ut $eret geometri tak "erhingga%
Perhatikan $eret geometri "erikut%
a% + > > / > 3 > %%% '% + >
>
> %%%%
$% 4 = . > + =
> %%%%%
!eret-$eret $i atas meru&akan 'ontoh $eret geometri tak "erhingga%
!ari 'ontoh a $an ", rasion#a "erturut-turut a$alah $an =%
8ika $eret terse"ut $iteruskan maka nilain#a akan makin "esar $an ti$ak ter"atas% !eret #ang $emikian $ise"ut $eret $iergen, $engan Q r Q +% Se"alikn#a, $ari 'ontoh ' $an $, rasio masing-masing $eret +O $an =+O.% !ari 'ontoh ' $an $, $a&at kita hitung &en$ekatan jumlahn#a% !eret terse"ut $inamakan $eret konergen $engan Q r Q +% Pa$a $eret konergen, jumlah suku-sukun#a ti$ak akan mele"ihi suatu harga tertentu, teta&i akan men$ekati harga tertentu% Harga tertentu ini $ise"ut jumlah tak "erhingga suku #ang $inotasikan $engan S % Nilai S meru&akan nilai &en$ekatan :limit; jumlah seluruh suku : Sn; $engan n men$ekati tak "erhingga% @leh karena itu, rumus $eret tak "erhingga $a&at $iturunkan $ari $eret geometri $engan suku &ertama a, rasio r $an n %
Karena $eret konergen :Q r Q +;, untuk n maka * n 5 sehingga *
8a$i, rumus jumlah $eret geometri tak "erhingga a$alah * , $engan Q r Q +
Contoh Soal !eret Geometri Tak Terhingga +2 *
Tentukan jumlah tak "erhingga suku $ari $eret "erikut%
a% + >
>
>
> %%%
"%
Pem"ahasan * a% + >
>
>
> %%%
!ari $eret terse"ut $iketahui a < + $an r < $ sehingga *
"% Perhatikan $eret > + >
>
>
> %%%%
!ari $eret terse"ut, $i&eroleh a < $an r <
%$< 24 < +1%
8a$i,
Contoh Soal +3 *
Suku &ertama suatu $eret geometri a$alah $an jumlah sam&ai tak "erhingga a$alah /% Carilah rasion#a%
Pen#elesaian *
!ari soal $i atas, unsur-unsur #ang $iketahui a$alah a < $an S < /%
Kita su"stitusikan ke $alam rumus S % S<
↔/<
↔ + = r < $ %
↔ r < $
8a$i, rasion#a a$alah
%$Contoh Soal +4 *
Se"uah "ola jatuh $ari ketinggian +5 m $an memantul kem"ali $engan ketinggian .O/ kali tinggi se"elumn#a% Pemantulan "erlangsung terusmenerus sehingga "ola "erhenti% Tentukan jumlah seluruh lintasan "ola% :)MPTN +440;
8a(a"an *
U0 < +5 m r < .O/% U1 < .O/ 7 +5 m < .O/5 m
Sn < +5 > S < < +5 > :
; < +5 > :
; < +5 > : .5; < 25%
!engan 'ara lain*
Misaln#a suatu "en$a $ijatuhkan $ari ketinggian 0 se'ara ertikal $an memantul ke atas $engan tinggi &antulan aO" kali $ari ketinggian semula maka &anjang lintasan &antulan :H; hingga "erhenti $irumuskan $engan*
!engan menggunakan 'ara ini, $iketahui a < ., " < /, $an 0 < +5 m% 8a$i, H <
< 2 +5 < 25 m
Keindahan atematika dalam Deret
Small is "eautiful, $emikian salah satu slogan #ang $i&egang "an#ak matematika(an $alam mem"uktikan teoriteori matematis% Thomas Auino, &a$a a"a$ 666 su$ah melihat hu"ungan antara kein$ahan $an matematika% !ia mengatakan, 6n$ra itu senang $engan sesuatu #ang &ro&orsin#a te&at% Pro&orsi #ang te&at itu $a&at $iterjemahkan $alam keserasian, keteraturan, keselarasan, keseim"angan, $an keutuhan%
8ika kita jeli, alam men#e$iakan "an#ak sekali kein$ahan matematis% Co"a kalian &erhatikan, s&iral geometris &a$a 'angkang sarang si&ut :Nautilus;, susunan sel segi enam &a$a sarang ta(on ma$u, susunan mahkota "unga aster, susunan mahkota $an "iji "unga matahari, $an masih "an#ak #ang lainn#a% Susunan-susunan o"jek $i atas "erkaitan "arisan atau $eret matematis%
:Sum"er*
Ha&
(ith
!% Penera%an Konse% Barisan dan Deret
Math,
552;
Kai$ah "arisan $an $eret $a&at $igunakan untuk memu$ahkan &en#elesaian &erhitungan, misaln#a "unga "ank, kenaikan &ro$uksi, $an la"aOrugi suatu usaha%
)ntuk
men#elesaikan
&ersoalan
terse"ut,
kita
harus
$a&at
mem"e$akan a&akah &ersoalan terse"ut termasuk "arisan aritmetika, "arisan geometri, $eret aritmetika atau&un $eret geometri% Kemu$ian, kita $a&at men#elesaikan &ersoalan terse"ut menggunakan rumus-rumus #ang "erlaku%
Contoh Soal Penera&an Konse& Barisan $an !eret 5 *
Ketika a(al "ekerja, seorang kar#a(an se"uah &erusahaan $igaji R& 255%555,55 &er "ulan% Setahun "erikutn#a, gaji &er "ulann#a akan naik se"esar R& +0%555,55% !emikian seterusn#a untuk tahun-tahun "erikutn#a% Bera&a gaji kar#a(an itu &er "ulan untuk masa kerjan#a sam&ai &a$a tahun ke-4
Pem"ahasan *
Kasus ini a$alah a&likasi $ari "arisan aritmetika%
Suku a(al a < 255%555 Be$a " < +0%555 n<4
8a$i suku ke-4, $a&at $itentukan se"agai "erikut%
Un < a > :n = +;" U9 < 255%555 > :4 = +; +0%555
< 255%555 > +%555%555 < +%255%555
8a$i, gaji &er "ulan kar#a(an itu &a$a tahun ke-4 a$alah R& +%255%555,55%
Contoh Soal + *
Setia& a(al "ulan N#oman mena"ung R& 05%555,55 $i suatu "ank #ang mem"erikan "unga + &er "ulan% Pa$a tia& akhir "ulan, "ungan#a $itam"ahkan &a$a ta"ungann#a% Bera&akah uang N#oman $i "ank itu &a$a akhir tahun ke-+ jika ia ti$ak &ernah mengam"il ta"ungann#a sam&ai akhir tahun ke-+
Pen#elesaian *
Misalkan ta"ungan a(al a$alah R& 05%555,55%
Pa$a akhir "ulan ke-+ 8umlah uang N#oman a$alah se"agai "erikut% Bunga #ang ia &eroleh < 05%555 + < 05%555 5,5+ 8umlah uang N#oman < 05%555 > :05%555 5,5+; < 05%555:+ > 5,5+; < 05%555:+,5+;
Pa$a akhir "ulan ke-
)ang #ang su$ah $imasukkan sejak "ulan ke-+ a$alah jumlah uang &a$a akhir "ulan ke-+ $itam"ah "unga sehingga $i&eroleh * 05%555:+,5+; > :05%555:+,5+; +; < 05%555:+,5+;:+ > 5,5+; < 05%555:+,5+;2
)ang #ang $imasukkan &a$a a(al "ulan ke- menja$i * 05%555 > :05%555 +; < 05%555:+ > 5,5+; < 05%555:+,5+; 8a$i, jumlah uang N#oman &a$a akhir "ulan ke- a$alah * 05%555:+,5+; > 05%555:+,5+;2%
Pa$a akhir "ulan ke-. )ang #ang su$ah $imasukkan sejak "ulan ke-+ a$alah * 05%555:+,5+;2 > :05%555:+,5+; 2 +; < 05%555:+,5+;2 :+ > 5,5+; < 05%555:+,5+;2 :+,5+; < 05%555:+,5+;3
)ang #ang $imasukkan &a$a a(al "ulan ke- menja$i * 05%555:+,5+; > :05%555:+,5+; +; < 05%555:+,5+;:+ > 5,5+; < 05%555:+,5+;:+,5+; < 05%555:+,5+;2
)ang #ang su$ah $imasukkan &a$a a(al "ulan ke-. menja$i * 05%555 > :05%555 +; < 05%555:+ > +; < 05%555:+,5+;
8a$i, jumlah uang N#oman &a$a akhir "ulan ke-. a$alah * 05%555:+,5+; > 05%555:+,5+;2 > 05%555:+,5+;3
!emikian seterusn#a, sam&ai akhir "ulan ke-+%
!ari hasil &erhitungan sam&ai "ulan ke-., $a&at $isim&ulkan "ah(a jumlah uang ta"ungan N#oman a$alah *
05%555:+,5+;
>
05%555:+,5+;2 >
05%555:+,5+;3 >
%%%
>
05%555:+,5+; 12
< 05%555D+,5+ > :+,5+; 2 > :+,5+;3 > %%% > :+,5+; 12E
!eret +,5+ > :+,5+; 2 > %%% > :+,5+;12 meru&akan $eret geometri $engan * a
<
+,5+,
r
<
+,5+,
$an
n
<
+%
S12 < +,3.
@leh karena itu, jumlah uang N#oman setelah + tahun a$alah * 05%555 D+,5+ > :+,5+;2 > %%% > :+,5+; 12E < 05%555 +,3. < 1/+%055
8a$i, jumlah uang N#oman setelah + tahun a$alah R& 1/+%055,55%
U% Notasi Sigma
Salah
satu
'iri
matematika
a$alah
$igunakann#a
lam"ang
untuk
mengungka&kan suatu &ern#ataan se'ara singkat, jelas, $an konsisten #ang jika $iungka&kan $engan kalimat "iasa 'uku& &anjang% Salah satu lam"ang #ang &enting a$alah :$i"a'a* sigma;% Vam"ang ini $igunakan untuk menuliskan &enjumlahan se'ara singkat%
+% Pengertian Notasi Sigma
Perhatikan &enjumlahan "ilangan-"ilangan $i "a(ah ini%
+ > > . > / > %%% > 05
8ika semua suku-sukun#a $itulis, 'ara &enulisan &enjumlahan terse"ut jelas ti$ak efektif% A&alagi jika "an#ak "ilangan #ang $ijumlahkan makin "esar% !engan menggunakan notasi sigma, &enulisan + > > . > / > %%% > 05
$i&ersingkat menja$i
k :$i"a'a* sigma k mulai $ari k < + sam&ai $engan
k < 05;% Atau, "oleh $i"a'a sigma k, untuk k < + hingga 05%
Huruf k $igunakan se"agai aria"el suku #ang akan "ergerak mulai + $an "ertam"ah + sam&ai men'a&ai 05% Bilangan + $ise"ut "atas "a(ah $an 05 $ise"ut "atas atas &enjumlahan% Se'ara umum, notasi sigma $in#atakan se"agai "erikut%
Uk = U1 + U2 + ... + U n
Keterangan*
+ < "atas "a(ah n < "atas atas k < in$eks Uk < suku ke-k
Batas "a(ah ti$ak harus "ernilai +% 8ika "atas "a(ah &enjumlahan + $an "atas atasn#a n maka &enjumlahan ter$iri atas n suku, se$angkan jika "atas "a(ahn#a r $an "atas atasn#a n maka &enjumlahan ter$iri $ari :n = r > +; suku%
Contoh Soal Notasi Sigma *
N#atakan $alam "entuk &enjumlahan
k:k > +;%
Pem"ahasan *
k:k > +; < +:+ > +; > : > +; > .:. > +; > /:/ > +; > 0:0 > +; <+>.>./>/0>01 < > 1 > + > 5 > .5
Contoh Soal . *
Tulislah "entuk &enjumlahan "erikut $alam notasi sigma% a% > / > 1 > 3 > +5 "% '% ab5 + a2 b4 + a3 b3 + a4 b2
Pen#elesaian *
a% > / > 1 > 3 > +5 < + > > . > / > 0 < :+ > > . > / > 0;
<
k%
"%
'% ab5 + a2 b4 + a3 b3 + a4 b2 = a1 b!–1 + a2 b!–2 + a3 b!–3 + a4 b!–4 <
ak b!-k
% enentukan Nilai Pen!umlahan #ang Din#atakan dengan Notasi Sigma
Nilai &enjumlahan #ang $in#atakan $engan notasi sigma $a&at $i'ari, antara lain $engan terle"ih $ahulu men#atakan ke $alam "entuk lengka&n#a, kemu$ian $ijumlahkan% Perhatikan 'ontoh-'ontoh "erikut ini%
Contoh Soal / *
Tentukan nilai-nilai notasi sigma "erikut%
a%
"%
8a(a"an *
a%
"%
< + > > . > / > ? > +5 < 00
< 2(32) + 2(42) + 2(52) + 2(!2) < +3 > . > 05 > 2 < +2
.% Sifat-Sifat Notasi Sigma
)ntuk mem&ermu$ah &erhitungan #ang "erhu"ungan $engan notasi sigma, $a&at $igunakan sifat-sifat #ang "erlaku &a$a notasi sigma% Sifat a&akah #ang "erlaku &a$a notasi sigma Vakukan Aktiitas "erikut%
Aktiitas *
Tujuan * Menemukan sifat-sifat #ang "erlaku &a$a notasi sigma% Permasalahan * Sifat-sifat a&akah #ang "erlaku &a$a notasi sigma Kegiatan * Kerjakan soal-soal "erikut%
+% N#atakan notasi sigma "erikut $alam "entuk &enjumlahan "iasa%
a%
"%
'% Ban$ingkan hasil antara a $an "%
A&a kesim&ulanmu
% Tentukan nilai &enjumlahan #ang $in#atakan $alam notasi sigma "erikut%
a% A&akah
"%
'%
hasiln#a sama $engan :2 = . > +; 0
$% Ban$ingkan hasil antara ' $an
%$A&a kesim&ulanmu Kesim&ulan * Sifat-sifat a&akah #ang kalian temukan
!ari Aktiitas $i atas $i&eroleh sifat-sifat "erikut%
Sifat-sifat lain #ang "erlaku &a$a notasi sigma a$alah se"agai "erikut%
)ntuk Uk /an k a$alah rumus umum suku ke-k $an &, ϵ B, "erlaku *
Bukti*
Pa$a kali ini, akan $i"uktikan sifat " $an e saja%
Sifat "*
Sifat e*
Sekarang, mari kita gunakan sifat-sifat $i atas untuk men#elesaikan &ermasalahan notasi sigma, se&erti 'ontoh-'ontoh "erikut%
Contoh Soal sifat-sifat notasi sigma 0 *
Hitunglah nilai $ari
:k 2 - /k;%
Pem"ahasan *
A$a 'ara #ang $a&at $igunakan untuk men#elesaikan soal $i atas%
Cara +*
(k 2 - 4k) = (1 2 – 4(1)) + (2 2 – 4(2)) + (3 2 – 4(3)) + (4 2 – 4(4))
< :+ = /; > :/ = 3; > :4 = +; > :+1 = +1;
<=.=/=.>5 < =+5
Cara *
(k 2 - 4k) =
k 2 - /
k 2 -
4k
k
< (12 + 22 + 32 + 42) = /: + > > . > /; < :+ > / > 4 > +1; = /:+5; < .5 = /5 < =+5
Contoh * !engan menggunakan sifat notasi sigma, "uktikan "ah(a
:k - /; 2 < /
k 2 - +1
k > +1n
8a(a"
*
:k
<
-
/k 2 -
k 2 - +1
+1k
/;2 <
:/k 2 -
+1k
>
k > +1n %%%%%%%%%%%%??% :ter"ukti;
-
+1;
+1
+
Contoh
.*
)"ahlah "atas "a(ah sigma menja$i + $ari notasi sigma "erikut%
Contoh )"ahlah "atas "a(ah sigma menja$i / $ari notasi sigma "erikut%
/*
/% en#atakan Suatu Deret dalam Notasi Sigma
Notasi sigma $a&at mem&ermu$ah kita $alam menuliskan jumlah "ilangan"ilangan #ang ter&ola, misaln#a > / > 1 > 3 > %%%% Se&erti kalian ketahui, $eret aritmetika $an $eret geometri meru&akan $eret $engan suku-sukun#a ter&ola teta&% !eret-$eret se&erti ini $a&at kita sajikan $alam notasi sigma% Agar le"ih &aham, &erhatikan 'ontoh "erikut%
Contoh Soal 1 *
Suatu $eret $in#atakan $engan notasi sigma "erikut%
a%
:n >+;
"%
2n
!eret a&akah itu Kemu$ian, tentukan nilain#a%
8a(a"an*
a%
:n > +; < ::+; > +; > ::; > +; > ::.; > +; > %%% > ::+5; > +;
< : > +; > :/ > +; > :1 > +; > %%% > :5 > +; < . > 0 > 2 > %%% > +
Tam&ak "ah(a $eret itu memiliki suku-suku #ang selisihn#a teta&, #aitu % 8a$i, $eret itu a$alah $eret aritmetika $engan suku a(al a < ., "e$a " < ,
$an U10 < +% Nilai
:n > +; sama $engan nilai jumlah n suku &ertama, S10%
!engan menggunakan jumlah +5 suku &ertama #ang kalian ketahui, $i&eroleh *
Sn < $ n:a > )n; < $ :+5;:. > +; < +5
8a$i,
"%
:n > +; < +5%
< 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 2! < > / > 3 > +1 > . > 1/
Tam&ak "ah(a $eret itu memiliki rasio teta&, #aitu r < % 8a$i, $eret ini termasuk $eret geometri $engan suku a(al a < $an rasio r <
% @leh karena itu
< S!% Karena r < +, kita gunakan rumus "erikut%
Sn <
8a$i,
↔ S! <
< +1
2n < +1%
J% Deret dalam Hitung Keuangan &Penga#aan'
Pernahkah kalian mengamati kegiatan ekonomi #ang terja$i $i sekitarmu Kegiatan ekonomi &a$a umumn#a meli"atkan terja$in#a rotasi uang% Misaln#a, terja$in#a transaksi jual "eli, hutang-&iutang, &injam-meminjam, $an lain-lain% Pa$a transaksitransaksi terse"ut, "iasan#a $ihu"ungkan $engan "unga%
Berkaitan $engan hal itu, &a$a &em"ahasan kali ini, kita akan mem"i'arakan "unga tunggal, "unga majemuk, $an anuitas% )ntuk mem&ermu$ah &roses &erhitungan "unga tunggal, "unga majemuk, $an anuitas, kalian $a&at menggunakan "antuan kalkulator%
+% Bunga Tunggal
Pa$a suatu kegiatan :usaha; #ang "erhu"ungan $engan uang, misaln#a &injam-meminjam, "iasan#a jumlah nominal uang #ang $i"a#arkan oleh seorang &eminjam akan le"ih "esar $ari&a$a jumlah nominal uang #ang $i&injamn#a% Selisih jumlah nominal uang #ang $i&injam $an jumlah #ang $ikem"alikan itu $inamakan "unga% Bunga &injaman meru&akan "e"an ganti rugi "agi &eminjam% Hal ini $ise"a"kan &eminjam menggunakan uang &injaman terse"ut untuk usaha% Besarn#a "unga $i&engaruhi oleh "esar uang #ang $i&injam, :&ersentase;%
jangka
(aktu
&eminjaman,
$an
tingkat suku
"unga
Bunga #ang $i"a#arkan oleh &eminjam &a$a akhir jangka (aktu &eminjaman &eminjaman tertentu $engan "esar &injaman $ija$ikan $asar &erhitungan $an "unga &a$a &erio$ &erio$e e "erik "erikutn utn#a% #a% 8ika 8ika "esar "esarn#a n#a "unga "unga se"ag se"agai ai jasa jasa &eminj &eminjama aman n #ang #ang $i"a#arkan teta& untuk setia& &erio$e, "unga itu $inamakan "unga tunggal%
Misalkan uang se"esar R&+55%555,55 $i"ungakan atas $asar "unga tunggal $engan tingkat suku "unga +5% 8umlah uang $an "unga sam&ai akhir "ulan &ertama*
R&+55%555,55 > +5 R&+55%555,55 < R&+55%555,55 :+ > +5;
8umlah uang uang $an "unga "unga sam&ai akhir akhir "ulan ke$ua* ke$ua*
R&+55%555,55
>
+5
R&+55%555,55
>
+5
R&+55%555,55
<
R&+55%555,55 :+ > +5;
8umlah uang uang $an "unga "unga sam&ai akhir akhir "ulan ketiga* ketiga*
R&+55%555,55 > +5 R&+55%555,55 > +5 R&+55%555,55 > +5 R&+55%555,55 < R&+55%555, 55 :+ > . +5;
8umlah uang uang $an "unga "unga sam&ai akhir akhir "ulan ke-t* ke-t*
R& +55%555,55 > +5 R& +55%555,55 > %%% > +5 R& +55%555,55 < R& +55%555,55 : +> t +5;
Se'ara umum, $a&at kita katakan se"agai "erikut%
Misalkan mo$al se"esar M5 $i"ungakan atas $asar "unga tunggal selama t &erio$e (aktu $engan tingkat suku "unga :&ersentase; r%
Bunga :B; $an "esar mo$al &a$a akhir &erio$e : ; a$alah *
B < M5 t r = 0(1 + *)
Contoh Soal Bunga Tunggal 2 *
Ko&erasi Ko&erasi Vestari mem"erikan &injaman ke&a$a anggotan#a atas $asar "unga tungg tunggal al se"esa se"esarr &er "ulan "ulan%% 8ika 8ika seoran seorang g anggo anggota ta meminj meminjam am mo$a mo$all se"esa se"esarr R& .%555% .%555%55 555,5 5,55 5 $eng $engan an jangk jangka a (aktu (aktu &eng &engem" em"ali alian an + tahun tahun,, tentukan
a% "esar "unga setia& "ulann#a "% "esar uang #ang harus $ikem"alikan sesuai jangka (aktu #ang $itentukan%
Pem"ahasan *
Besar "unga $ihitung setia& "ulan%
!iketahui r < , M 5 < R& .%555%555,55, $an t < + "ulan%
a% Besar "unga setia& "ulan a$alah * B < M5 + r < R& .%555%555,55 + < R& 15%555,55
"% Besar uang #ang harus $ikem"alikan sesuai jangka + "ulan a$alah * < M5:+ > t r; 12 < R&.% R&.%55 555% 5%55 555, 5,55 55:+ :+ > + ; ; < R& .%55 .%555% 5%55 555, 5,55 55:+ :+, ,/; /; < R&
.%25%555,55
Contoh Soal 3 *
Ce'e& meminjam uang $i suatu "ank se"esar R& %555%555,55 $engan suku "unga tunggal +5 &er tahun% !alam (aktu 45 hari, Ce'e& su$ah harus mengem"alikan uang terse"ut% Bera&a "unga $an jumlah uang #ang harus $ikem"alikann#a :Asumsikan* + tahun < .15 hari;
Pen#elesaian *
!ari soal $i atas $iketahui M5 < R& %555%555,55, r < +5 &er tahun, $an t < 15 hari < +O/ tahun%
a% Bunga B < M 5 t r < R& %555%555,55 +O/ +5 < R& 05%555,55 "% 8umlah uang #ang harus $ikem"alikan Ce'e& a$alah * < M5:+ > t r;
< M5 > M5 t r < M5 > B < R& %555%555,55 > R& 05%555,55 < R& %505%555,55
Contoh Soal 4 *
Bu$i meminjam uang $i "ank se"esar R& .%555%555,55 $engan menggunakan aturan sistem "unga tunggal $an tingkat "unga r &er tahun% !alam (aktu satu tahun, Bu$i harus mengem"alikan ke "ank se"esar R& .%/5%555,55% Tentukan tingkat "unga r%
8a(a"an *
!ari
soal
$i
atas
$iketahui
*
M5 < R& .%555%555,55 < R& .%/5%555,55
Nilai "unga $alam satu tahun a$alah * B < 1 = M5 < R&.%/5%555,55 = R&.%555%555,55 < R&/5%555,55
sehingga tingkat "unga &er tahun a$alah *
8a$i, "esarn#a tingkat "unga &er tahun a$alah 3%
Contoh Soal .5 *
Suatu mo$al $i&injamkan $engan menggunakan aturan sistem "unga tunggal / &er "ulan% !alam (aktu "era&a "ulan mo$al itu harus $i&injamkan agar jumlah uang #ang $ikem"alikan menja$i em&at kali mo$al semula
Pem"ahasan *
Misalkan mo$al #ang $i&injamkan a$alah M 5 % 8umlah uang #ang $ikem"alikan < /M5 % !engan tingkat "unga / &er "ulan $an menggunakan hu"ungan * < M5:+ > t r; ↔ / < M5:+ > t /; ↔
< + > t /
↔ / < + > t ↔t
<.
↔ t < 20
8a$i, mo$al #ang $i&injamkan itu akan men'a&ai em&at kali mo$al semula untuk masa (aktu 20 "ulan%
% Bunga a!emuk
Kalian telah mengetahui &erhitungan "unga #ang $i$asarkan atas "unga tunggal% Sekarang kalian $iajak untuk memahami "unga majemuk, #aitu "unga #ang $ihitung atas $asar jumlah mo$al #ang $igunakan $itam"ah $engan akumulasi "unga #ang telah terja$i% Bunga sema'am ini "iasan#a $ise"ut "unga #ang $a&at "er"unga% A$a&un &erhitungann#a $a&at kalian &ahami melalui &erhitungan $eret geometri%
Misalkan mo$al se"esar 0 $i"ungakan atas $asar "unga majemuk, $engan tingkat suku "unga i :$alam &ersentase; &er &erio$e (aktu% Besar mo$al &a$a &erio$e ke-t :; $a&at $ihitung $engan 'ara "erikut%
1 = 0 + 0 i = 0(1 + i) 2 = 1(1 + i) = %0(1 + i)& (1 + i) = 0(1 + i)2 3 = 2(1 + i) = %0(1 + i)2&(1 + i) = 0(1 + i)3 = –1(1 + i) = %0(1 + i) + 1&(1 + i) = 0(1 + i)
8a$i, $i&eroleh kesim&ulan se"agai "erikut%
8ika mo$al 0 $i"ungakan atas $asar "unga majemuk $engan tingkat suku "unga i :$alam &ersen; &er &erio$e tertentu, "esar mo$al &a$a &erio$e ke-t :; $a&at $itentukan $engan rumus *
< 0(1 + i)
Contoh Soal Bunga Majemuk .+ *
Se"uah "ank mem"eri &injaman ke&a$a nasa"ahn#a atas $asar "unga majemuk . &er tahun% 8ika seorang nasa"ah meminjam mo$al se"esar R&0%555%555,55 $an "ank mem"ungakan majemuk &er "ulan, "era&akah mo$al #ang harus $ikem"alikan setelah + tahun
Pem"ahasan *
!iketahui 0 < R&0%555%555,55, i < . < 5,5., $an t < + "ulan% !engan $emikian, mo$al #ang harus $ikem"alikan setelah + tahun :+ "ulan; a$alah * < 0(1 + i) 12 < R&0%555%555,55:+ > 5,5. )12
< R&0%555%555,55:+,/021; < R&2%+3%355,55
Pa$a "unga majemuk, "an#ak &erio$e "unga ti$ak harus te&at + "ulan atau &un + tahun% Namun, &erio$en#a juga $a&at $alam kurun (aktu tertentu, misaln#a "ulan, . "ulan, atau / "ulan%
Perhatikan 'ontoh "erikut%
Contoh Soal . *
Ramli meminjam uang $i suatu "ank se"esar R&%555%555,55% Bank terse"ut mem"erikan "unga atas $asar "unga majemuk 5 &er tahun $engan &erio$e &em"ungaan setia& 'atur (ulan% 8ika Ramli meminjam uang $alam jangka (aktu . tahun, tentukan jumlah uang #ang harus $ikem"alikan &a$a akhir tahun ke-.%
Pen#elesaian *
!iketahui 0 < R&%555%555,55 $an i < 5 < 5,% Pem"ungaan $ilakukan setia& 'atur (ulan :/ "ulan;% 8a$i, "an#ak &erio$e &em"ungaann#a $alam setahun a$a +O/ < . kali% 8a$i, jika lama &eminjaman . tahun, "an#ak &erio$e &em"ungaann#a . . < 4 kali% !engan $emikian, jumlah mo$al :uang; #ang harus $ikem"alikan Ramli &a$a akhir tahun ke-. a$alah * < 0(1 + i) 9 < R&%555%555,55:+ > 5,;9
< R&%555%555,55:0,+04235; < R&+5%.+4%015,55
Contoh Soal .. *
Suatu mo$al se"esar R&0%555%555,55 $i"ungakan $engan aturan sistem "unga majemuk% Setelah +5 tahun, mo$al itu menja$i R&2%055%555,55% Tentukan tingkat "unga &er tahun $alam "entuk &ersen%
8a(a"an *
!ari soal $i atas $iketahui 0 < R&0%555%555,55, 10 < R&2%055%555,55, $an t < +5 tahun%
Mt < M5:+ > i;t M+5 < M5:+ > i;+5 2%055%555 < 0%555%555:+ > i; +5 :+ > i;+5 < :+ > i;+5 < +,0 + > i < :+,0; +O+5 + > i < +,5/+ i < +,5/+ = + ↔ i = 0,041 = 4,1
8a$i, "esarn#a nilai tingkat "unga &er tahun a$alah /,+%
.% Anuitas
Pernahkah kalian mem&erhatikan 'ara &em"a#aran kre$it se&e$a motor $engan sistem "unga menurun Biasan#a seseorang #ang mengkre$it se&e$a motor melakukan &em"a#aran $engan 'ara angsuran, #aitu sistem &em"a#aran atau &enerimaan $engan jangka (aktu teta& se'ara "erulangulang sesuai kese&akatan% Angsuran ini meru&akan "agian $ari anuitas%
Anuitas a$alah sistem &em"a#aran atau &enerimaan se'ara "erurutan $engan jumlah $an jangka (aktu #ang teta& :tertentu;%
)ntuk $a&at menentukan rumus &erhitungan anuitas, &erhatikan uraian "erikut%
Misalkan mo$al se"esar M $i&injamkan se'ara tunai :'ash;, $engan suku "unga i :$alam &ersen; &er &erio$e (aktu $an harus $ilunasi $alam t anuitas setia& &erio$e (aktu% 6ngat, "esarn#a anuitas selalu teta&% Bagaimana 'ara menentukan "esar anuitas
Misalkan M a$alah mo$al #ang $i&injamkan se'ara tunai $engan suku "unga i :$alam
&ersen;
$an
anuitasn#a
A%
Kita
$a&at
mem"uat
gam"aran
&erhitungan anuitas A se"agai "erikut%
8ika &engem"alian &injaman $ilakukan* satu kali anuitas maka $ua tiga
kali kali
anuitas
< M anuitas
maka
maka
< <
M
seterusn#a% 8a$i, jika &em"a#aran $ilakukan se"an#ak t kali anuitas, "erlaku *
< M
M $emikian
A:+ > i; =+ > A:+ > i; = > %%% > A:+ > i ;=t < M ↔ ((1 + i) –1 + (1 + i) –2 + ... + (1 + i) –) =
Hal ini $a&at $ituliskan $engan rumus "erikut%
Keterangan*
A < "esar anuitas M < mo$al :&okok; i < tingkat suku "unga t < "an#ak anuitas
Rumus anuitas juga $a&at $itulis $alam "entuk *
Contoh Soal Anuitas ./ *
!ealer Vestari Motor mela#ani &enjualan se&e$a motor $engan sistem &em"a#aran anuitas% Pak !ani mem"eli se"uah se&e$a motor seharga R&+%555%555,55 $i $ealer terse"ut% 8ika "unga #ang $iteta&kan &ihak $ealer . &er tahun $an &elunasan $ilakukan $engan 1 kali anuitas, tentukan "esarn#a anuitas% Kemu$ian, "uatlah ta"el ren'ana angsurann#a%
Pem"ahasan *
!ari soal $iketahui *
M < R&+%555%555,55 i
< . < 5,5.
t
<1
!engan menggunakan rumus anuitas $an melihat ta"el, $i&eroleh se"agai "erikut%
Karena
:+ > 5,5.)-1 <
A<
< 5,+3/04205 maka *
0,/+22+// :lihat
ta"el
anuitas;%
@leh karena itu,
< R& %+0%+25,5+
8a$i, "esar anuitas a$alah R& %+0%+25,5+%
Setelah mengetahui 'ara menentukan "esar anuitas #ang harus $i"a#arkan, tentu kalian juga harus mengetahui "esar angsuran #ang telah $i"a#arkan sehingga kalian mengetahui sisa &injaman setelah &em"a#aran anuitas &a$a &erio$e ke-t% )ntuk itu, &erhatikan uraian $i atas%
Kalian tahu "ah(a "esar anuitas selalu teta&% Pa$a 'ontoh $i atas, sisa hutang Pak !ani setelah anuitas &ertama $i"a#arkan a$alah se"agai "erikut%
Pinjaman &ertama > "unga = anuitas #ang $i"a#arkan
8a$i, sisa hutang * < R&+%555%555,55:+ > 5,5.; = R&%+0%+25,5+
< R&+5%+//%34,44
!engan $emikian, angsuran #ang $i"a#arkan se"enarn#a han#a selisih anuitas $engan "ungan#a%
8a$i, angsuran &a$a &em"a#aran anuitas &ertama a$alah *
R&%+0%+25,5+ = . R&+%555%555 < R&+%300%+25,5+%
Perhitungan ini "iasan#a $ilakukan &a$a akhir &erio$e "unga% Misalkan*
M < hutang a(al A < "esar anuitas i < tingkat suku "unga a < angsuran ke-t
Pa$a akhir &erio$e "unga ke-+, "esar angsurann#a *
a+ < A = i M%
Pa$a akhir &erio$e "unga ke-, "esar angsurann#a *
a < :A = i M;:+ > i;=+%
Pa$a akhir &erio$e "unga ke-., "esar angsurann#a *
a3 = ( – i )(1 + i)3–1.
8a$i, &a$a akhir &erio$e "unga ke-t, "esar angsurann#a
a = ( – i )(1 + i) –1
!ari 'ontoh $i atas, kita $a&at menentukan "esar angsuran ke-. Pak !ani &a$a $ealer Vestari Motor se"esar *
a3 = ( – i )(1 + i)3–1
< :R&%+0%+25,5+ = 5,5. R&+%555%555,55;:+ > 5,5. )2 < R&+%413%+/4,31
8a$i, "esar angsuran ke-. Pak !ani a$alah R&+%413%+/4,31%
Misalkan *
M < hutang a(al < sisa &injaman akhir &erio$e ke-t
A < "esar anuitas i < tingkat suku "unga a < angsuran ke-t
Ta"el ren'ana angsurann#a a$alah se"agai "erikut%
Ta"el Ren'ana Angsuran
ki* 6e*i7/e
Sia 6inaman
nuia
Beban Bun:a /i ki* 6e*i7/e
Bea* n:u*an
ke-1
1 =
i 1
a1 = – i 1
ke-2 ke-3 ke-
2 = 1 – a1 3 = 2 – a2 = –1 – a–1
i 2 i 3 i
a2 = – i 2 a3 = – i 3 = – i
!ari 'ontoh $i atas, kita $a&at mem"uat ta"el ren'ana angsuran se"agai "erikut%
ki* 6e*i7/e
Sia 6inaman
nuia
Beban Bun:a /i ki* 6e*i7/e
Bea* n:u*an
ke-1
1
;'2.215.10,01
i1
a1
ke-2
2
= ;'12.000.000<
= 1 – a1
;'2.215.10,01
i2
= ;'3!0.000,00
= ;'304.344,89
a2
= ;'10.144.829,99
=
– i 1
=
;'1.855.10,01
=
– i 2
=
;'1.910.825,1
ke-3
3
= 2 – a2 = ;'8.234.004,89
;'2.215.10,01
i3
= ;'24.020,15
a3
= =
– i 3 ;'1.9!8.149,8!
ke-4
4
= 3 – a3 = ;'!.2!5.855,03
;'2.215.10,01
i4
= ;'18.95,!5
a4
= =
– i 4 ;'2.02.194,35
ke-5
5
= 4 – a4 = ;'4.238.!!0,!8
;'2.215.10,01
i5
= ;'12.159,82
a5
= =
– i 5 ;'2.088.010,19
ke-!
!
= 5 – a5 = ;'2.150.!50,49
;'2.215.10,01
i!
= ;'!4.519,52
a!
= =
– i ! ;'2.150.!50,49
ke-
= ! – a!
i
=0
=0
Setelah kalian memahami rumus untuk menentukan "esarn#a angsuran, sekarang kita akan menentukan rumus untuk men'ari "esar &injaman% !ari rumus menentukan "esarn#a angsuran &a$a &erio$e "unga ke-t, untuk melunasi &injaman se"esar M $engan "esar anuitas A setia& &erio$e
&em"a#aran &a$a tingkat "unga i :$alam &ersen; &er &erio$e &em"a#aran $itentukan oleh a = ( – i)(1 + i)–1
)ntuk nilai-nilai t < +, , ., %%%% n, $i&eroleh hu"ungan "erikut%
a+ < :A = iM;:+ > i; +=+ < :A = iM; a < :A = iM;:+ > i; =+ < :A = iM;:+ > i; < a+:+ > i; a. < :A = iM;:+ > i; .=+ < :A = iM;:+ > i; < a+:+ > i; % % % a = ( – i)(1 + i)–1 = a1(1 + i)–1
Besarn#a &injaman M sama $engan jumlah angsuran ke-+, angsuran ke-, $an seterusn#a sam&ai $engan angsuran ke-t%
M < a+ > a > a. > a/ > %%% > a t = a1 + a1(1 + i) + a 1(1 + i) 2 + a1(1 + i)3 + ... + a 1(1 + i)–1
Terlihat "ah(a M meru&akan jumlah n suku &ertama $eret geometri $engan suku &ertama a1 $an rasio :+ > i;% !engan menggunakan rumus $eret geometri
maka
$i&eroleh
*
8a$i, $i&eroleh rumus untuk menentukan "esar &injaman atau hutang $engan sistem anuitas a$alah *