BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Latar Belaka Belakang ng Semua jenjang sekolah baik dari Sekolah Dasar hingga Sekolah Menengah Atas,
kadang kadang juga juga sampai sampai pada pada pergur perguruan uan tinggi tinggi.. Kita Kita tidak tidak lepas lepas dengan dengan pembel pembelajar ajaran an matematika. Pembelajaran matematika itu sendiri tidak lepas dari hitung menghitung. Kali Kali ini ini ada ada salah salah satu satu caban cabang g dari dari Mate Matema matik tikaa yang yang memp mempela elajar jarii tent tentan ang g perhitungan sehingga disebut juga ilmu il mu hitung. Salah satu cabang Matematika Mate matika tersebut adala adalah h Aritma ritmatik tika. a. Aritma ritmati tika ka sendi sendiri ri ada ada dua dua macam macam yaitu yaitu aritm aritmati atika ka jam dan dan aritmatika sosial. Dalam Dalam maka makala lah h ini ini bertu bertuju juan an untu untuk k memp memperm ermud udah ah para para pembac pembacaa dalam dalam memahami aritmatika jam. 1.2 Rumusan Rumusan Masala Masalah h
Adapun yang menjadi rumusan masalah dalam makalah ini adalah : 1. Apa yang yang dimak dimaksud sud deng dengan an aritma aritmatik tikaa jam jam !. "agaim "agaimana ana operas operasii hitung hitung dalam dalam aritma aritmatik tikaa jam 1.3 Tu Tujuan juan "erdasar rumusan masalah diatas, maka tujuan pembuatan makalah ini adalah : 1. #ntuk mengetahui mengetahui apa apa yang yang dimaksu dimaksud d dengan dengan aritmatik aritmatikaa jam. !. #ntuk mengetahui mengetahui bagaima bagaimana na operasi operasi hitung hitung dalam aritmatika aritmatika jam. jam.
BAB II PEMBAHAAN
2.1 Pengert!an Ar!tmat!ka "am
1
Aritmatika merupakan cabang dari matematika yang mempelajari tentang perhitungan sehingga disebut juga ilmu hitung. Pembelajaran aritmatika jam merupakan salah satru kegiatan pengayaan yang dapat dilaksanakan dlam pembelajaran matematika di sekolah dasar yang berkenaan dengan kongruensi. 2.2 #$eras! H!tung %alam Ar!tmat!ka "am
Salah satu pengayaan kegiatan yang dilaksanakan di sekolah dalam pembelajaran matematika yang berkenaan dengan kongruensi adalah pembelajaran aritmatika jam. Sebagai contoh, jika sekarang adalah pukul $%.$$ maka pukul berapa & jam kemudian #ntuk menentukan & jam setelah pukul $%.$$ adalah pukul $'.$$. Masalah ini kita tulis %
⊕
& ( ', dimana lambang
⊕
menunjukkan penjumlahan jam. )asil ini dapat
pula diperoleh dengan menggunakan penjumlahan biasa % * & ( 1+, kemudian 1+ dibagi oleh 1! dan kita pilih sisa pembagian itu sebagai jaabannya, yaitu '. Dengan demikian, untuk memperoleh hasil penjumlahan dua buah bilangan dalam jam 1!-an, kita jumlahkan bilangan-bilangan itu dengan cara biasa, kemudian cari sisa hasil pembagiannya oleh 1!. #ntuk operasi pengurangan pada jam 1!-an, seperti !
⊝
% dimana
⊝
menunjukkan pengurangan jam, kita dapat mengatakannya sebagai % jam sebelum pukul $!.$$. Dengan membilang mundur % langkah pada gambar jam, kita peroleh !
⊝
'. ika pengurangan ini kita de/inisikan melalui penjumlahan maka kita peroleh ! % ( 0 jika dan hanya jika ! ( %
⊕
% ( ⊝
0. Akibatnya 0 ( '.
ontoh 1. Tentukan hasil operasi pada jam 12-an berikut: 1. !. 3. 2.
& 2 2 2
⊕ ⊝ ⊝ ⊝
& 1! 2 &
Penyelesaian:
1. 4& * &5 : 1! mempunyai sisa 2 adi, & ⊕ & ( 2 !. 2 ⊝ 1! ( 2 karena dengan membilang mundur 1! langkah pada gambar jam, kita sampai pada bilangan 2. 3. 2 ⊝ 2 ( 1! karena 2 ⊝ 1! ( 2. 2. 2 ⊝ & ( & karena & ⊕ & ( 2. !
Perkalian jam dapat dide/inisikan sebagai penjumlahan berulang dengan bilangan ⨂
cacah. Sebagai contoh, pada jam 1!-an, ! melambangkan perkalian jam. 3
⨂ ' ( '
⊕
& ( & '
⊕
⊕
' ( 1$
& ( 2 dimana ⊕
⊗
' ( 3.
Pembagian jam dapat dide/inisikan dengan menggunakan perkalian. Sebagai contoh, pada jam 1!-an, & 6 ' ( 0, dimana 6 melambangkan pembagian jam jika dan hanya jika & ( '
⨂ 0 untuk suatu 0 unik dalam himpunan 71, !, 3, ..., 1!8. Karena '
⨂ 2 (&, & 6 ' ( 2.
ontoh !. Tentukan hasil operasi dalam jam 12-an berikut ini (jika mungkin). 1. !. 3. 2.
3 ⨂ 11 !6+ 36! ' 6 1!
Penyelesaian : 1. 3 ⨂ 11
( 11
⊕
11
( 1$
⊕
11
⊕
11
(% ! 6 + ( 0 jika dan hanya jika ! ( + ⨂ 0 Akibatnya 0 ( !. 3. 3 6 ! ( 0 jika dan hanya jika 3 ( ! ⨂ 0 Perkalian ! dengan salah satu bilangan dalam himpunan 71, !, 3, ..., 1!8 pada !.
jam 1!-an tidak ada yang menghasilkan 3. Dengan demikian 3 6 ! tidak terde/inisi. 2. ' 6 1! ( 0 jika dan hanya jika ' ( 1! 1!
⨂ 0. 9etapi karena pada jam 1!-an,
⨂ 0 ( 1! untuk setiap 0 dalam himpunan 71, !, 3, ..., 1!8. Dengan
demikian, ' 6 1! ( tidak terde/inisi.
Penjumlahan dan pengurangan 1! pada jam 1!-an memberikan hasil yang sama. Dengan demikian, 1! pada jam 1!-an memainkan peran seperti $ pada penjumlahan atau pengurangan bilangan berbasis 1$ dan 1! adalah unsur identitas pada jam 1!-an. "egitu pula pada jam '-an, ' adalah unsur identitasnya. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian pada jam 1!-an untuk dua buah bilangan asli sebarang dapat ditentukan hasilnya, tetapi seperti yang ditunjukkan pada contoh ! diatas, tidak semua pembagian pada jam 1!-an tidak dapat ditentukan hasilnya. "agaimana pembagian pada jam '-an #ntuk itu perhatikan tabel berikut ini: 3
Tabel 1 (a) ⊕
1 ! 3 2 '
1 ! 3 2 ' 1
! 3 2 ' 1 !
3 2 ' 1 ! 3
2 ' 1 ! 3 2
' 1 ! 3 2 '
1 1 ! 3 2 '
! ! 2 1 3 '
3 3 1 2 ! '
2 2 3 ! 1 '
' ' ' ' ' '
(b) ⨂
1 ! 3 2 '
Pada jam '-an ini, 3
⊕
2 ( !, !
⊝
3 ( 2, !
⨂ 2 ( 3, dan 3 6 2 ( !.
Karena pada jam '-an, setiap bilangan dijumlahkan dengan ' menghasilkan bilangan itu sendiri, ' dikatakan sebagai unsur identitas penjumlahan untuk jam '-an, sebagaimana ditunjukkan pada tabel di atas. Akibatnya, kita dapat mengatakan baha setiap bilangan kecuali ' dibagi oleh ' tidak mungkin terjadi pada jam '-an. #ntuk menentukan pembagian mana yang mungkin pada jam '-an, perhatikan tabel 4b5, tabel perkalian untuk jam '-an. #ntuk menentukan 1 6 !, kita tulis 1 6 ! ( 0. yang ekuialen dengan 1 ( !
⨂ 0. "aris ke-! pada tabel 4b5 di atas menunjukkan baha !
⨂ ! ( 2, !
⨂ 3 ( 1, !
⨂ 2 ( 3, dan !
⨂
1 ( !, !
⨂ ' ( '. aaban untuk 1 ( !
⨂
0 adalah 0 ( 3. adi 1 6 ! ( 3. ;n/ormasi yang diambil dari baris ke-! tabel tersebut dapat digunakan untuk menentukan pembagian-pembagian berikut: ! 6 ! ( 1. karena ! ( !
⨂ 1
3 6 ! ( 2. karena 3 ( !
⨂ 2
2 6 ! ( !. karena 2 ( !
⨂ !
' 6 ! ( '. Karena ' ( !
⨂ '
9ampak baha setiap unsur yang ada pada baris ke-! tabel 4b5, pembagian oleh ! pada jam '-an selalu ada hasilnya. )al yang sama terjadi pada pembagian oleh bilangan lain kecuali pembagian oleh '. Selanjutnya anda diminta untuk menyelidiki operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada aritmatika jam selain jam 1!-an dan jam '-an.
2
BAB III PENUTUP
3.1 &es!m$ulan 1. #ntuk menentukan hasil penjumlahan dua buah bilangan dalam sistem jam 1!-an,
kita jumlahkan bilangan-bilangan itu dengan cara biasa< jika hasil penjumlahan cara biasa adalah kelipatan 1! maka hasil dalam sistem jam 1!-an adalah 1!. jika tidak, maka cari sisa hasil baginya oleh 1! dan hasil dalam sistem jam 1!-an adalah sisa hasil bagi tersebut. !. 6perasi pengurangan pada jam 1!-an dapat dilakukan dengan beberapa cara, yaitu
membilang mundur dan mende/inisikan baha pengurangan adalah balikan dari penjumlahan. 3. Perkalian dalam sistem jam 1!-an dide/inisikan sebagai penjumlahan berulang.
'
2. Pembagian dalamsistem jam 1!-an dide/inisikan sebagai balikan dari perkalian. '. Penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada jam '-an dan jam +-
an dilakukan dengan cara yang serupa dengan pada jam 1!-an.
Da'tar Pustaka
um(er Internet )
http:==dirahmaati!2.blogspot.com=!$12=$+=makalah-aritmatika-jam-dan-modular.html diakses pada hari Senin > April !$1' < $':$3
http:==/ile.upi.edu=Direktori=?PM;PA=#@.PBCD.MA9BMA9;KA=1%>$$&3$1%&>$31S#?AC;P@A"AEAC96=Aritmatikaam.pd/ diakses pada hari Senin > April !$1' < $':$3
>
