Solución del balotario de de Matemáticas Avanzadas
Curso: Matemáticas Avanzadas Profesor: Raúl Castro Vidal
Integrant es: es: Chuquispuma Zamudio, Victor…092041A Garcia Quintana, Gustavo…………092615H Martinez Calzada, David…………..092608A Melgarejo Vargas, Pedro…………..092649J Saraya Espinoza, Eduardo………..092621H
2012
1. Considere un sistema LTI con respuesta al impulso: Y halle la representación en serie de Fourier de la salida y (t) para las siguientes entradas. a) b) SOLUCIÓN 1(a): Considerando la salida de un sistema LTI:
∑
2 3 ( ) ( ) 6 7
Tenemos:
La salida del sistema LTI será:
Definimos
como:
Entonces expresamos a y(t) de la siguiente manera:
La segunda integral se anula, pues
es es cero:
Recordando:
En el problema:
46 ( )7 6 ( )75
( ) ( ) 2 3
Ya que es acotada para todo b, al multiplicar por una exponencial y aplicar el teorema de sándwich, este límite tiende a 0 cuando b→. Por lo tanto:
1(b): Tenemos:
La salida del sistema LTI será:
Definimos
como:
Para el problema tenemos que:
Entonces la integral será:
Sabemos también que:
Por lo tanto:
∫
2. si , -π ≤ x ≤π ;α una constante no entera. Probar que a partir de si Serie de Fourier. SOLUCION
Se trata de una función par, luego
y
Luego la representación quedará:
Reemplazando finalmente obtenemos:
3. Enunciar y demostrar el teorema de Parseval, comente la utilidad en la teoría de señales. SOLUCIÓN: Enunciamos la aplicación de la identidad de Parseval en las series de Fourier y en las Integrales de Fourier.
*+
Identidad de Parseval en las Series de Fourier:
Donde
y
estan determinados por:
Una consecuencia importante es:
Se le conoce como el teorema de Riemann.
Identidad de Parsaval para Integrales de Fourier: Si F[f(t)] = F(W) entonces:
|| ||
A esto se le conoce como la Identidad de Parsaval para Integrales de Fourier y es susceptible de generalizaciones y le llamaremos β. Demostración de β: Si F[f(t)] = F(W) y con todo lo aprendido alrededor de Fourier (convolucion):
,- , - [ ]
( ) - , , || || ||
Es decir:
Luego si hacemos
y
Por convolución:
Por lo tanto:
Quedando demostrado el teorema de Parseval
4. Hallar la DFT de U = C (constante)
Solución:
Nos damos cuenta que tiene la forma de una serie geométrica:
Entonces:
Donde Sabemos:
y
Entonces queda:
, - , , - ,,- , , , , ,- ,- , - , - , - ] [ ] , - [ , - [ ] [ ]
5. Hallar la Transformada de Fourier del siguiente pulso triangular: Solución:
Ahora, tomando la Transformada de Fourier:
Usando las siguientes propiedades:
Se tiene:
6. Calcular la Transformada de Fourier mediante la propiedad de convolucion de la función: Solución: Por convolucion:
Donde:
Para:
Verificando: Por propiedad:
Nos queda:
, - ,- ,,- , - , - , - , -
Aplicando la Transformada Inversa, se tiene:
7. Una señal de onda cuadrada periódica en tiempo discreto mostrada en la figura. Evaluar la serie de Fourier de esta función.
Solución: Debido a la simetría de esta secuencia con respecto a n=0, es conveniente seleccionar un intervalo simétrico en el cual la sumatoria siguiente.
. / ./ . /
Considerando:
Separando se obtiene la ecuación:
Evaluamos la sumatoria, obteniendo una serie geométrica, la cual genera:
. / . / . / . / . / . / . / . / . / 01 01
Ordenando:
Se ha dado forma de función seno:
Finalmente obtenemos:
./
8. Se tiene la señal de tono con una frecuencia de muestreo ; hallar: a. Fn y F(nts) b. El número de muestras por periodo c. La tabulación y la amplitud de cada una de las muestras d. El factor “ ” en grados entre cada muestra Solución: a)
Reemplazando:
b)
Sabemos que:
c) Tabulando:
d) Calculamos el factor para determinar la separación entre cada muestra:
Graficando:
2 ,- ,- ⏟,- ⏟,-
9. Consideramos la señal periódica N=10.
Solución:
Por definición:
Reemplazando valores:
Propiedad
10. Determinar la transformada inversa de
, determinar
la transformada inversa de Solución:
A pesar de que las fracciones parciales de la expresión anterior se podrían determinar de manera directa, el procedimiento que con mayor frecuencia conduce
a formas estándar es obtener las fracciones parciales de
Donde
.
,- ,-
De esta forma:
El primer termino tiene , que es la transformada z de un escalón unitario muestreado o de una secuencia en tiempo discreto 1, 1, 1, 1,… . El segundo termino tiene la forma , que es la transformada z de . De esta forma, la trasformada inversa es: Entonces la secuencia en tiempo discreto esta dado por 0, 1, 1.5, 1.75, …
11.
8 ./ . / , - [ ] Solución:
, - , - ./
./ ⁄ ⁄
12.
, -
Solución
2 2 2 13. Hallar la respuesta al impulso unitario del circuito RC que se muestra en la figura:
Solución: El sistema mostrado trata de un filtro pasabajos, donde su función de transferencia esta dado por:
Donde:
} }
Entonces la salida está dado por:
Recordar que:
Entonces aplicamos la transformada inversa:
14. Considerar el sistema mecánico ilustrado en la figura, que consiste de un resorte. Una masa y un amortiguador, si el sistema se perturba por una fuerza Hallar el desplazamiento x(t) de la respuesta en estado estacionario.
Solución: La respuesta xs (t) y la función excitadora f(t) están relacionadas por la siguiente ecuación diferencial:
Donde m, B, k representan la masa, el coeficiente de amortiguamiento y la constante de resorte, respectivamente. La ecuación anterior se puede expresar en forma operacional como:
,
Donde
Dado que se pide la respuesta en estado estacionario, mediante notación fasorial, se obtiene: Donde
15.Encuentre las representaciones en serie trigonométrica de Fourier para las señales mostradas a continuación
Solución: a.
2 01 Como
es impar
01
b.
c.
d.
. / Como
es impar
Como
par
, , ∑
16. Hallar la serie de Fourier de solo cosenos para la función: mediante la relación de Parseval, probar que:
en
y
Solución:
Haciendo la extensión par de
Aplicando Parserval:
17. Considere un sistema LTI con respuesta al impulso:
Y halle la representación en serie de Fourier de la salida y(t) para las siguientes entradas e. f.
Solución:
La salida del sistema LTI será:
Definimos
como:
2
Propiedades de la función delta de Direc
Entonces la integral será:
Sabemos que:
18.Desarrollar en serie de Fourier la siguiente función f(x) =x2 ; π
4 5
Como la función es par, hablamos de una serie de cosenos y se calculan los coeficientes de Fourier. La serie tendrá la forma de:
Obteniendo a0:
Obteniendo an:
Se aplican integración por partes 2 veces, para obtener:
De igual forma para bn
Se aplican integración por partes 2 veces, para obtener:
Por lo que la serie de Fourier es:
Como la función es continua en los reales, la serie coincide con la función f(x) para cualquier número real x. Para obtener la serie numérica pedida, hacemos que x = .
Dando forma obtenemos finalmente:
19.Indique las técnicas de comprensión de audio y video mediante la Transformada de Fourier, sea preciso. Solución: Para la compresión de audio se emplean técnicas tanto en el dominio del tiempo como en la frecuencia, mediante la aplicación de filtros digitales IIR (Infinite Impulse Response), FFT (Fast Fourier Transform) entre otros. En la compresión de vídeo se aprovecha la redundancia espacial y temporal de las imágenes así como las características perceptuales de la visión. 20.Hallar las integrales de Fourier de las siguientes funciones: a)
| | ||
Además: Si:
,
Si:
Entonces obtenemos:
./ ./ . / . / . / . / . / . / / . /. / . /. . /. /. /. /. /. / * + * + . / . / ||| ||| Otra forma de resolver:
Aplicamos la primera derivada:
Aplicamos la transformada de Fourier:
b)
También se le puede representar de la siguiente manera:
Aplicamos la primera derivada:
Aplicamos la segunda derivada:
Aplicamos la transformada de Fourier:
{ ( ) ( ) . / ||||
c)
Aplicamos la primera derivada:
Aplicamos la segunda derivada:
Aplicamos la transformada de Fourier:
d)
Aplicamos la primera derivada:
Aplicamos la transformada de Fourier:
20.
a) Solución: Si:
b) Solución: Por integración por partes, obtenemos:
6 7
c) Solución: Usando las identidades trigonométricas, obtenemos:
