www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 1
TRANSFORMASI
PENGERTIAN TRANSFORMASI Transformasi adalah perpindahan dari suatu posisi ke posisi lain. lain. Dalam geometri, transformasi ialah suatu pemetaan setiap bangun geometri pada suatu bidang ke bangun geometri lainnya pada bidang yang sama, yang disebut transformasi bidang. Ada 2 macam transformasi, yaitu : 1. Transformasi isometri yaitu suatu transformasi yang tidak mer ubah ukuran bangun semula. Yang termasuk transformasi isometri : pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan pemutaran (rotasi). 2. Transformasi non-isometri yaitu suatu transformasi yang merubah ukuran bangun semula. Yang termasuk transformasi non-isometri : perkalian (dilatasi) Untuk menentukan bayangan hasil transformasi biasanya dipergunakan bantuan matriks.
1. PERGESERAN (TRANSLASI)
a Suatu titik P(x,y) ditranslasikan oleh translasi T = menjadi P’(x’,y ’) ditulis P(x,y) b T → → P’(x’,y ’) dimana
x’ = x + a y ’ = y + b atau x ' x
a = + y ' y b Secara geometri dapat digambarkan sebagai berikut : Y P’(x’ , y ‘) = P’(x+a , y+b) b P(x,y) a O
X
3 Contoh 1: Tentukan bayangan (peta) dari titik A(-1,2) oleh translasi T = 2 Jawab : ……………………..
Tidak hanya titik yang dapat ditranslasikan tetapi bisa juga garis atau kurva. Yaitu de ngan menyatakan x dan y dengan x’ dan y’ kemudian disubstitusikan ke persamaan garis atau kurva yang ditranslasikan.
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 2
− 3 4
Contoh 2 : Tentukan bayangan garis y = 2x – 1 oleh translasi T =
x = x '+3 x ' x − 3 = + ⇒ y = y '−4 y ' y 4
Jawab :
Substitusi x dan y ke persamaan per samaan y = 2x – 1 sehingga s ehingga : y '−4 = 2( x'+3) − 1 ⇔ y ' = 2 x'+9 Jadi bayangannya y = 2x + 9
LATIHAN SOAL
1.
3 . Tentukan koordinat titik A’ ! 7 −
Titik A(2,5) dipetakan ke bayangannya A’ oleh translasi T =
2. Jika B’ merupakan bayangan titik B oleh translasi I, maka tentukan koordinat titik B jika − 3 diketahui titik B’ (-5,7) dan I = 0
− 5 kemudian ditranslasikan lagi oleh 7
3. Jika koordiat titik Q(-3,8) ditranslasikan oleh T 1 =
2 , maka tentukan bayangan titik Q ! − 3
T 2 =
h 4. P’(-5,8) adalah bayangan titik P(-12,3) oleh translasi T = . Tentukan nilai h dan k ! k − 4 a 2 − 10 , QR , RS dan ST = = = b − 9 5 . Jika translasi tunggal yang 6 −4 mewakili jumlah semua translasi tersebut adalah , tentukan QR ! − 12
5. Diberikan PQ =
6. Titik (-5,9) ditranslasikan oleh T menjadi (2,-12). Tentukan bayangan titik P(-4,7) oleh translasi T ! 0 7. Garis OA melalui titik O(0,0) dan A(5,5). Tentukan bayangan garis OA oleh translasi T = 3
1 8. Tentukan bayangan garis y = x + 5 oleh translasi 2 − 7 − 9
9. Tentukan bayangan lingkaran yang berpusat di titik (3,5) dan berjari-jari 3 oleh translasi 10. D
C
P
A
B
3 Jika AB mewakili translasi dan BD mewakili translasi 1
− 2 − 4 maka nyatakan translasi yang
diwakili oleh AC dan PC !
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 3
2. PENCERMINAN (REFLEKSI) suatu pencerminan ditentukan oleh suatu garis tertentu sebagai sum bu pencerminan. Jarak bangun mula-mula ke sumbu pencerminan pencer minan sama dengan jarak bangun bayangannya ke sumbu pencerminan.
Sumbu pencerminan A
K
A’
B
B’
C Keterangan : AK = A’K, BL = B’L
M
C’
dan CM = C’M
2.1 PENCERMINAN TERHADAP SUMBU X Y P(x,y) O
X P’(x’,y’)
x' 1 0 x = y ' 0 1 − y
2.2 PENCERMINAN TERHADAP SUMBU Y Y P’(x’,y’)
P(x,y)
O
X
x' − 1 0 x = y ' 0 1 y
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 4
2.3 PENCERMINAN TERHADAP TITIK ASAL Y P(x,y)
0
X
P’(x’,y’)
x' − 1 0 x = y ' 0 1 − y
2.4 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = k Y P’(x’,y’)
y = k
P(x,y) 0
X
x ' 1 0 x 0 = + y ' 0 − 1 y 2k
2.5 PENCERMINAN PENCERMINAN TERHADAP GARIS x = k
x ' − 1 0 x 2k = + y ' 0 1 y 0
2.6 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = x
x ' 0 1 x = y ' 1 0 y 2.7 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = -x
x' 0 − 1 x = y ' 1 0 − y
2.8 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = mx
x' cos 2α sin 2α x = , y ' sin 2 cos 2 − α α y
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
α
= arctan m
Page 5
2.9 PENCERMINAN TERHADAP TITIK (a,b)
x' − 1 0 x 2a = + y ' 0 1 − y 2b 2.10 PENCERMINAN TERHADAP GARIS x = k DILANJUTKAN x = h P’’(x+2(h – k) , y)
2.11 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = k DILANJUTKAN y = h P”(x , y + 2(h-k))
2.12 PENCERMINAN TERHADAP DUA GARIS x = k DAN y = h YANG SALING TEGAK LURUS P”(2k – x , 2h – y)
Contoh 1 : Tentukan bayangan dari titik P(5,3) oleh p encerminan terhadap garis y = -x ! Jawab : ……………
Contoh 2 : Tentukan bayangan titik P(3,-2) oleh pencerminan terhadap gar is x = 2 dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis x = 6 ! Jawab : ……………..
Contoh 3 : Tentukan bayangan titik titik P(2,-4) oleh pencerminan terhadap garis x = -1 dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = 2 ! Jawab : ……………
LATIHAN SOAL
1.
Tentukan bayangan titik (-2,5) dan (3,-6) jika dicerminkan terhadap : a. sumbu X b. sumbu Y
2. Diketahui persegi panjang ABCD dengan A(1,1), B(4,1) , C(4,3) dan D(1,3). Tentukan bayangan persegi panjang tersebut jika dicerminkan terhadap sumbu Y ! 3. Tentukan bayangan titik (-3,1) yang dicerminkan terhadap garis y = 8 ! 4. Tentukan bayangan titik (-2,7) yang dicerminkan terhadap garis x = -12 ! 5. Tentukan bayangan jajargenjang ABCD dengan A(0,0), B(4,1), C(5,3) dan D(1,2) jika dicerminkan terhadap garis y = -1 !
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 6
6. Suatu segitiga ABC dengan A(2,1), B(0,-2) dan C(-1,2) dicerminkan terhadap garis x = 0. Kemudian dicerminkan lagi terhadap garis y = 0. Tentukan koordinatbayangan koordinatbayangan akhir segitiga ABC tersebut ! 7. Titik-titik sudut segitiga ABC adalah A(1,3), B(3,4) dan C(2,1). Segitiga tersebut dicerminkan terhadap sumbu X, dilanjutkan pencerminan terhadap ter hadap sumbu Y dan terakhir pencerminan terhadap titik asal. Tentukan koordinat bayangan segitiga tersebut ! 8. Persegi panjang ABCD dengan A(-1,1), B(-1,3), C(3,3) dan D(3,1) dicerminkan terhadap garis y = x. Tentukan koordinat bayangannya ! 9. Tentukan bayangan titik A(-2,1) oleh pencerminan terhadap garis x = 2 dilanjutkan oleh pencerminan garis x = 4 ! 10. Tentukan bayangan titik C(2,3) karena pencerminan terhadap garis y = -1 dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = 3 !
3. PERPUTARAN (ROTASI) Pada rotasi ada 3 komponen, yaitu titik pusat pemutaran, pe mutaran, besar sudut putar dan arah sudut putar. Pemutaran mempunyai arah positif jika berlawanan ber lawanan dengan arah putaran jarum jam.
3.1 ROTASI DENGAN PUSAT TITIK ASAL Y P’(x’ , y’)
P(x,y) α θ
0
X
x = r cosθ y = r sin θ P ( x, y ) = P (r ,θ ) P ' ( x' , y ' ) = P ' (r ,θ + α ) x' = r cos (θ + α ) = r cosθ cosα − r sin θ sin α = x cosα − y sin α y ' = r sin
(θ + α ) = r sinθ cosα + r cosθ sin α = x sin α + y cosα x ' cosα − sin α x = y ' sin cos α α y
Contoh 1 : Tentukan bayangan titik A(2,-4) jika diputar 90 dengan pusat putaran di titik pusat ! o
Jawab : ………….
Rotasi dengan pusat (0,0) sebesar
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
α
sering ditulis Rα
Page 7
3.2 ROTASI DENGAN PUSAT (a,b) Y
P’(x’,y’)
P(x,y) α
A(a,b)
θ
X
a Hal ini sebenarnya sama dengan rotasi dengan pusat (0,0) yang d i translasikan sebesar . b x '−a cosα − sin α x − a = y b y b ' sin cos − − α α x' cosα − sin α x − a a = + y y b ' sin cos − α α b
Contoh 2 : Tentukan bayangan titik B(4,5) oleh rotasi sebesar 90 dengan pusat (1,2) ! o
Jawab : …………….
LATIHAN SOAL
1.
Tentukan bayangan titik A(3,6) dan B(-2,1) karena rotasi : a. R90 o
b. R180
o
2. Diketahui segitiga ABC dengan A(2,3), B(-5,1) dan C(3,5).Tentukan bayangan segitiga tersebut karena rotasi R− 90 ! o
3. Tentukan bayangan koordinat jajargenjang ABCD dengan A(1,2), B(3,5), C (6,1) dan D(m,n) karena rotasi R180 ! o
4. Tentukan bayangan titik (5,4) dengan pusat rotasi (1,2) yang diputar sejauh 90 ! o
5. Tentukan bayangan titik (-1,2) dengan pusat rotasi (0,-3) yang diputar sejauh 270 ! o
6. Tentukan bayangan titik (-2,3) dengan pusat rotasi (2,-1) yang diputar sejauh 180 ! o
7. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1,-4) dan dan B(-3,4) yang diputar sejauh - 90 dengan pusat rotasi R(0,-2) ! o
8. Tentukan bayangan titik A(-1,2) karena rotasi R90 dilajutkan dengan rotasi R180 o
9. Tentukan bayangan titik B(3,-2) karena rotasi R180 dilanjutkan R− 90 o
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
o
o
Page 8
2 10. Tentukan bayangan titik X(-1,-2) karena translasi dilajutkan refleksi terhadap garis x = 5 1 dan terakhir oleh rotasi R90 dengan pusat (1,2) !
4. PERKALIAN (DILATASI) Pada dilatasi diperlukan suatu titik sebagai pusat per kalian dan faktor skala k ∈ R.
4.1 DILATASI DENGAN PUSAT O(0,0) DAN FAKTOR SKALA k Y P’(x’ , y’)
P(x,y) O
Q
Q’
X
x' k 0 x = y ' 0 k y Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k sering ditulis D [O, k )] Contoh 1 : Tentukan bayangan titik A(-3,4) oleh dilatasi dengan faktor skala 2 dan pusat (0,0) ! Jawab : ………………
4.2 DILATASI DENGAN PUSAT (a,b) DAN FAKTOR SKALA k Y P’(x’ , y’)
P(x,y) A(a,b) 0
X
x' x − a a = k + y ' y b − b
Contoh 2 : Tentukan bayangan titik P(4,7) dengan pusat A(2,3) dan faktor skala 2 ! Jawab : ………………
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 9
LATIHAN SOAL
1.
Tentukan bayangan titik (5,7) oleh dilatasi [O,2] !
1 2. Tentukan bayangan titik (12,-27) oleh dilatasi O, ! 3 3. Tentukan bayangan titik A(2,1) oleh dilatasi [ P (4,3),2] !
2 4. Tentukan bayangan titik B(-3,2) oleh dilatasi P (3,−1), ! 3 1 5. Tentukan bayangan titik C(4,-1) oleh dilatasi P (0,5),− ! 2 6. Tentukan bayangan segitiga PQR dengan P(3,2), Q(-1,4) dan R(-2,-1) oleh dilatasi [O,−2] ! 7. Tentukan luas segitiga hasil bayangan dari segitiga ABC dimana A(2,1), B(3,5) dan C(6,1) oleh 1 dilatasi O, 2 8. Tentukan bayangan titik A(2,3) karena rotasi R− 90 dilanjutkan refleksi terhadap garis y = 5 o
− 2 dan diakhiri dengan dilatasi [ P (0,3),4] ! 2
dilanjutkan lagi dengan translasi
5. TRANSFORMASI TEMPAT KEDUDUKAN Yang dimaksud tempat kedudukan dalam hal ini yaitu himpunan titik-titik yang mempunyai pola tertentu. Seperti garis dan kurva. Transformasi terhadap suatu garis atau kurva oleh suatu transformasi (translasi, refleksi, rotasi atau dilatasi) dilakukan dengan dengan menyatakan x d an y dengan x’ dan y’ sesuai dengan transformasi yang digunakan. Kemudian disubstitusikan ke persamaan garis atau kurva yang diketahui. Hasilnya akan ber upa persamaan yang menggunakan variabel x’ dan y’ sebagai tanda hasil transformasi (bayangan). (bayangan). Sehingga tanda aksennya bisa dihilangkan.
Contoh 1 : Tentukan bayangan parabola y = x 2 + 1 karena rotasi sebesar 90 dengan pusat O ! o
Jawab : Rotasi dengan pusat O sebesar 90 x' cos 90 − sin 90 x 0 o
− 1 x − y x = y ' = = = ⇒ y = − x' cos 90 y 1 0 y x y ' sin 90 Substitusi x = y ' dan y = − x ' ke y = x 2 + 1 sehingga : − x' = ( y ') 2 + 1 atau − x = y 2 + 1 o
o
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
o
o
Page 10
LATIHAN SOAL
1.
Tentukan persamaan garis g ≡ x + y + 1 = 0 terhadap pencerminan sumbu X !
2. Tentukan persamaan garis g ≡ x + y + 1 = 0 di atas oleh rotasi R90 ! o
1 3. Tentukan persamaan bayangan garis y = x + 1 oleh transformasi 0
2
!
1
2 − 1 ! 0 1
4. Tentukan peta dari garis 2x – y = 7 oleh transformasi
1 − 3 ! 2 5 −
5. Tentukan bayangan garis x – 2y + 3 = 0 oleh transformasi transfor masi
1 1 6. Tentukan bayangan lingkaran x 2 + y 2 = 9 oleh transformasi ! 0 1 7. Tentukan peta lingkaran x 2 + y 2 + 4 x + 8 y − 5 = 0 oleh pencerminan terhadap titik pusat ! 8. Tentukan peta dari parabola y = 2 x 2 + 1 oleh dilatasi [O,3] ! 9. Tentukan persamaan bayangan kurva xy = 4 jika diputar terhadap titik O sebesar 45 ! o
10. Tentukan persamaan peta lingkaran x 2 + y 2 = 9 oleh transformasi yang ditentukan :
x1 = − x + y y1 = 2 x − y
6. KOMPOSISI TRANSFORMASI Komposisi transformasi berarti transformasi yang dilakukan lebih dari satu kali ter hadap suatu objek (titik, garis atau kurva) tertentu.
6.1 KOMPOSISI BEBERAPA TRANSLASI Komposisi dari dua translasi T 1 dan dilanjutkan dengan T 2 ditulis T 2 T 1 . Jadi dalam suatu o
komposisi, yang dilaksanakan/dioperasikan terlebih dahulu adalah elemen yang paling kanan ( T 1 ).
a c Misal titik P(x,y) ditranslasikan oleh T 2 T 1 dimana T 1 = dan T 2 = maka bayangan titik b d P oleh komposisi dua translasi tersebut dapat d igambarkan sebagai berikut : o
P’’(x+a+c , y+b+d) d P’ c b P
a
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 11
Jadi untuk menentukan bayangan titik P(x,y) oleh komposisi translasi T 2 T 1 dapat juga dengan o
a + c menjumlahkan terlebih dahulu elemen-elemen translasinya yaitu T 2 T 1 = baru hasil b d + 1 o
a + c komposisi translasi tersebut yaitu matriks untuk mentranslasikan P(x,y) ke P’’. b d + 2 dilanjutkan 1 −
Contoh 1 : Jika titik A(1,-5) maka tentukan bayangan titik A oleh translasi T 1 =
− 3 4
T 2 =
1 2 + (−3) 0 Jawab : (T 2 T 1 )(1,−5) = + = 5 1 4 − − + − 2 o
Coba tentukan bayangan titik A(1,-5) karena translasi T 1 T 2 ! Apakah hasil bayangannya sama ? Jika sama sifat apakah yang berlaku untuk komposisi dua tr anslasi tersebut ? o
6.2 KOMPOSISI BEBERAPA REFLEKSI Sudah dibahas di bab refleksi.
6.3 KOMPOSISI BEBERAPA ROTASI Ada 3 cara menentukan hasil komposisi dua rotasi, yaitu de ngan merotasikan satu per satu atau dengan menentukan terlebih dahulu matriks hasil komposisi rotasi kedua r otasi tersebut dengan cara mengalikan. Atau bisa juga dengan menjumlahkan besar rotasi yang digunakan kemud ian gunakan matriks rotasi dari hasil penjumlahan tersebut.
Contoh 2 : Tentukan bayangan titik A(-1,2) oleh rotasi 90 dilanjutkan dengan rotasi 180 ! o
o
Jawab : Sudut hasil komposisi rotasi = 90 + 180 = 270 cos 270 − sin 270 − 1 0 1 − 1 2 = = A" = 2 1 0 − sin 270 cos 270 2 1 o
o
o
o
o
o
o
6.4 KOMPOSISI BEBERAPA DILATASI Untuk komposisi dilatasi dengan pusat O bisa dilakukan dengan 2 cara y aitu dengan dilatasi satu per satu atau dengan menentukan terlebih dahulu faktor skala hasil komposisi yaitu dengan mengalikan kedua faktor skala dilatasi. Untuk komposisi dilatasi dengan pusat (a,b) dilakukan satu per satu.
LATIHAN SOAL
1.
Tentukan bayangan titik (5,3) oleh refleksi terhadap garis x = 2 dan dilanjutkan terhadap garis x =6!
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 12
2. Tentukan bayangan titik (-3,8) oleh refleksi terhadap garis y = 3 dan dilanjutkan terhadap garis x = -1 ! 3. Diketahui segitiga PQR dengan P(1,1), Q(-3,4) dan R(-2,-1) . Tentukan bayangannya jika direfleksikan terhadap garis y = -1 dan dilanjutkan terhadap y = 3 ! 4. Tentukan bayangan titik (2,1) yang direfleksikan terhadap garis y = x, kemudian dilajutkan terhadap sumbu Y ! 5. Tentukan bayangan titik (5,5) yang dirotasikan terhadap R90 dan dilanjutkan R270 ! o
o
6. Tentukan bayangan titik (-5,4) yang dirotasikan terhadap R150 dan dilanjutkan R120 ! o
o
7. Jika M y adalah pencerminan terhadap sumbu Y, M 1 adalah pencerminan terhadap garis x = 6 dan M 2 adalah pencerminan terhadap garis x = 11. Tentukan peta segitiga ABC dengan A(-1,1), B(-2,6) dan C(-4,4) oleh komposisi pencerminan pencer minan : a. M y M 1 o
b.
M 2 M 1 M y o
o
8. Jika M 1 , M 2 dan M 3 adalah operasi pencerminan terhadap garis x = 2, x = 3 dan x = 7 berturut-turut, maka tentukan bayangan titik P(3,2) oleh transformasi M 1 M 2 M 3 ! o
o
9. Pada no. 8, tentukan bayangan garis y + x = 3 oleh transformasi M 3 M 2 M 1 o
− 2 0 10. Diketahui transformasi T 1 = , R90 = − 1 1 oleh transformasi T 2 R90 T 1 ! o
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
o
− 1 2 dan I = . Tentukan bayangan titik (7,10) 0 1
o
Page 13
