www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 1
M A T R I K S
A. PENGERTIAN DAN NOTASI MATRIKS 1. PENGERTIAN BARIS, KOLOM DAN ELEMEN SUATU MATRIKS Matriks yaitu himpunan bilangan-bilangan yang tersusun menurut baris dan kolom berbentuk persegi panjang dan ditulis diantara tanda kurung ( ) atau [ ]. Nama matriks dengan menggunakan huruf besar. Elemen-elemen Elemen-elemen suatu matriks dengan huruf kecil sesuai nama matriks dengan indeks sesuai letak elemennya.
4 − 1 2 3 −5 Contoh 1: Diketahui matriks A = 3 0 − 4 − 2
Jawab
Tentukan : a. banyak baris b. banyak kolom
d. elemen-elemen kolom ke-3 e. b3.2
c. elemen-elemen elemen-elemen baris ke-2
f. b1.3
: a. b. c. d. e.
banyak baris … buah banyak kolom … buah celemen-elemen celemen-elemen baris ke-2 : … elemen-elemen elemen-elemen kolom ke-3 : … b3.2 = elemen baris ke-3 kolom ke-2 = …
f.
b1.3 = elemen baris ke-1 kolom ke-3 = …
1 4 Contoh 2: Diketahui X = 2 5 3 6 Tentukan letak elemen 2 dan 6 ! Jawab
: elemen 2 = x..... elemen 6 = x.....
2. ORDO MATRIKS Yaitu banyaknya baris dan kolom yang menyatakan suatu matriks. Amxn artinya matriks A berordo m x n yaitu banyaknya baris m buah dan banyaknya kolom n buah.
1 Contoh 3: Diketahui P = 5
− 2 4 0 2 3 3
Tentukan ordo matriks P Jawab
: Ordo matriks P = … x …
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 2
3. JENIS-JENIS MATRIKS 1.
Matriks Nol Yaitu matriks yang setiap elemennya nol. 0 0 Misal : A = 0 0
2. Matriks Baris Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu baris Misal : B = [− 1 0 2 3] 3. Matriks Kolom Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 2
0
Misal : C = − 1
4. Matriks Bujur sangkar Yaitu suatu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Ordo matriks n x n sering disingkat dengan n saja. 1 2 3 Misal : D =
0 2 1 − 2 3 0
5. Matriks Diagonal Yaitu matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali elemen-elemen elemen-elemen diagonal utamanya. − 1 0 0 Misal : E =
0 0
0 3 2
0
6. Matriks Satuan (Identitas) Yaitu matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, dan elemen lainnya nol. 1 0 0
0 0 0 1
Misal : F = 0 1
7. Matriks Skalar Yaitu matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya sama, tetapi bukan nol dan semua elemen lainnya nol. 3 0 0
3 0 0 0 3
Misal : G = 0
8. Matriks Segitiga Atas Yaitu matriks yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol. 2 1 − 3
1 0 0
Misal : H = 0
5 4
9. Matriks Segitiga Bawah Yaitu matriks yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol. 3 0 0
4 0 1 − 3 2
Misal : K = 4
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 3
LATIHAN SOAL
1 − 1 2 4 5 2 5 3 1. Diketahui P = 0 3 1 0 − 1 3 5 Tentukan : a. elemen-elemen elemen-elemen baris ke-2 b. elemen-elemen elemen-elemen kolom ke-2 c. elemen-elemen elemen-elemen kolom ke-4 d. elemen baris ke-1 kolom ke-3 e. elemen baris ke-3 kolom ke-5 f. ordo P
2 − 3 5 1 1 4 0 2. Diketahui X = 3 − − 4 0 − 2 6 Tentrukan : a. ordo X b. elemen-elemen elemen-elemen baris ke-2 c. x2.3 d. x3.1 e. x3.2
4 6 2 0 − 2 − 5 3. Diketahui A = − 1 5 1 3 2 4 − Tentukan letak elemen : a. –2 b. 5
c. 6
4. Berikut ini termasuk jenis matriks apa ? 1 2 a. A = b. B = [− 1 0 0 1
3 0 0 c. C = − 1 3 0 4 3 3
d. 3
e. 0
2]
4 0 0 d. D = 0 4 0 0 0 4
5. Berikan contoh lain dari matriks : a. skalar b. segitiga bawah c. segitiga atas d. diagonal
4. KESAMAAN DUA MATRIKS Dua matriks dikatakan sama jika ordo dan elemen-elemen yang seletak sama. Contoh 1: Mana matriks yang sama ?
1 2 A = 3 4 Jawab
: Matriks yang sama yaitu matriks …
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
1 2 C = 3 4 5 6
2 4 B = 1 3
1
4
9
22
D =
dan …
Page 4
3 Contoh 2: Tentukan x dan y dari 0 Jawab
: x =… 2y = …
1
3 x = − 5 2 y − 5
⇒ y=…
5. TRANSPOSE MATRIKS Transpose (putaran) matriks A yaitu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukarkan elemen-elemen elemen-elemen pada baris menjadi kolom dan sebaliknya elemen-elemen pada kolom menjadi baris. Transpose matriks A dinyatakan dengan AT atau A’.
1 2 3 maka tentukan P T 4 5 6
Contoh 3: Jika P = : P T = …
Jawab
LATIHAN SOAL 1.
Tentukan x dan y dari :
3 3 x 3 − 9 a. = 2 y − 5 8 5 − − 4 y + 1 − 4 2 y − x = x − 5 2 x 3 3
c.
1 4 1 x 1 = b. 2 0 y + 3 0 x x + 2 y 1 d. = 4 x y −
2. Tentukan a, b, c dan d dari :
5 2a − 6 5 2b a. = 6 4 3 b 4
10 − a − 6 c 2 = b. b 8 a − 2 bd c
−3 a c d − 3 d = b c. b + 1 2 a − 2 5
d.
3b + 4d 1 15 a+c = − b + 3d 2a − c 8 5
3. Tentukan transposenya dari :
4 b. B = 5 − 1 2a 4a 4 c − 6b 4. Tentukan c jika A = , B = 2b 3c 4a + 2 2b + 14 − 1 2 3 a. A = 4 5 0
2 1
2 5
0
3
dan A = BT
B. OPERASI MATRIKS 1. PENJUMLAHAN MATRIKS Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Yang dijumlahkan yaitu elemen-elemen yang seletak.
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 5
3 4 − 3 2 B dan = 0 5 maka tentukan A + B − 1 2
Contoh 1: Jika A = Jawab
:A+B=…
2 0 3 1 5 − 2 B C , = dan = 2 4 4 0 , tentukan : 1 3
Contoh 2: Jika A = a. A + B Jawab
b. B + Ac. A + (B + C)
d. (A + B) + C
: a. A + B = … b. B + A = … c. A + (B + C) = … d. (A + B) + C = …
1 2 Contoh 3: Diketahui A = , − A = 3 4
− 1 − 2 0 0 O dan = − 3 − 4 0 0 .
Tunjukkan : a. A + (-A) = (-A) + A = O b. A + O = O + A = A Jawab
: a. A + (-A) = … (-A) + A = … b. A + O = … O+A=…
Sifat-sifat penjumlahan matriks : 1. A + B = B + A (bersifat komutatif) komutatif) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (bersifat asosiatif) 3. A + O = O + A = A (O matriks identitas dari penjumlahan) 4. A + (-A) = (-A) + A = O (-A matriks invers penjumlahan)
2. PENGURANGAN MATRIKS Dua matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama. Yang dikurangkan elemen-elemen elemen-elemen yang seletak.
2 − 3 4 − 1 B dan = 3 − 5 , maka tentukan : 1 4 −
Contoh 4: Jika A = a. A – B Jawab
b. B – A
: a. A – B = … b. B – A = …
Sifat-sifat Pengurangan matriks : 1.
A – B ≠ B – A (tidak komutatif)
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 6
2. A – (B – C) = (A – B) – C (asosiatif)
LATIHAN SOAL 1.
Sederhanakanlah Sederhanakanlah !
10 − 3 2 1 3 b. + + 10 2 5 1 5 − − 0 2 − 2 3 d. e. − 4 − 7 1 5 − − 5 4 7 − 3 − 1 2 f. g. + 0 4 − − 3 5 2 1 − a.
h. [2
− 1] − [3 − 4] − [− 5 − 4]
− 4 5 c. + [− 1 3] − 5 − 2 5 − 1 3 − 3 4 − 1 4 2 − 8 − 3 − 5 − 7 2 − 1 − 7 2 4 − 2 4 3 − − 5 1 + 1 0 x − x 2 x − y 3 y i. − − 3 y + 5 x 5 x 4 x − y 2 y
2 − 3 − 1 4 x + = 2 − 3 4 5 − 4 − 1 7 2 3. Tentukan x jika − x + = 3 − 5 − 6 3 2. Tentukan x jika
4. Tentukan a, b, c dan d dari :
a b 8 − 4 0 3 c d − 1 5 = 1 − 1 a 4 − 2 4 0 a + b b. − 3 5 = 1 5 c c d − a.
3. PERKALIAN MATRIKS 3.1 PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL (SKALAR) Hasil perkalian skalar k dengan sebuah matriks A yang berordo m x n adalah sebuah matriks yang berordo m x n dengan elemen-elemennya adalah hasil kali skalar k dengan setiap elemen matriks A.
2 − 1 maka tentukan : 3 − 5
Contoh 1: Jika A =
1 b. − A 2
a. 2A Jawab
: a. 2A = …
1 b. − A = … 2
4 − 2 6 4 B dan = 3 − 1 maka tentukan : 1 3
Contoh 2: Jika A =
a. 2(A + B)
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
b. 2A + 2B
c. 2(3A)
d. 6A
Page 7
Jawab
: a. 2(A + B) = … b. 2A + 2B = … c. 2(3A) = … d. 6A = …
Sifat-sifat perkalian skalar k dengan suatu matriks : 1. k(A + B) = … 2. (k + l)A = … 3. k(lA) = …
LATIHAN SOAL 1.
2 − 5 − 1 4 B dan = 2 0 , maka tentukan : 3 1
Jika A = a. 2A + 2B
b. 3A – 2B
c.
2. Tentukan matriks X jika: 4 − 6 a. 2 X = 10 8
5 1 1 c. 2 X − = 2 10 0
b.
a + 1
4
b
( A + B )
1 d. 0
0
− 1
d. –4(A – B)
− 2 7 6 = 4 3 0 0 − 3 1 = X − 1 2 2 − 1
5 7 4 − 5
8d + 2 b − 2 c 1 4b 3 − = − 4 6 3a 2 2c + 4 6 c
a
4. Diketahui A =
4
2c − 3b 2a + 1 . Jika A = 2 BT , maka tentukan nilai c ! b+7 a
dan B =
2b 3c
3.2
2
3 b. 2 X + 5
− 3 4
3. Tentukan a, b, c dan d dari : a 2 − 1 b a. 2 + 3 = 1 d c − 3
1
PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS
Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A (matriks kiri) sama dengan jumlah baris matriks B (matriks kanan). Ordo hasil perkalian matriks Amxn dengan Bnxp , misalnya matriks C yang akan berordo mxp (seperti permainan domino). Cara mengalikan matriks A dan B yaitu dengan menjumlahkan setiap perkalian elemen pada baris matriks A dengan elemen kolom matriks B dan hasilnya diletakkan sesuai dengan baris dan kolom pada matriks C (matriks hasil perkalian).
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 8
a b p r t dan B = maka : c d q s u a b p r t ap + bq ar + bs at + bu AB = = cp + dq cr + ds ct + du c d q s u Misal : A =
1 2 2 5 B C D Contoh 1: Diketahui A = dan , , [ 3 5 ] = = = 4 7 3 4 Terntukan : a. AB Jawab
b. AC
6
.
8
c. AD
: a. AB = … b. AC tidak dapat dikalikan, karena … c. AD = …
− 1 2 4 0 3 − 2 , B C = dan = 2 1 1 3 . 2 3
Contoh 2: Diketahui A = Tentukan : a. AB e. A(B + C) Jawab
b. BA f. AB + AC
c. (AB)C g. AI
d. A(BC) h. IA
: a. AB = … b. BA = … c. (AB)C = … d. A(BC) = … e. A(B + C) = … f. AB + AC = … g. AI = … h. IA = …
Sifat-sifat perkalian matriks : 1. Umumnya tidak komutatif (AB ≠ BA) 2. Asosiatif : (AB)C = A(BC) 3. Distributif kiri : A(B + C) = AB + AC Distributif kanan : (B + C)A = BA + CA 4. Identitas : IA = AI = A 5. k(AB) = (kA)B
LATIHAN SOAL 1.
Sederhanakan ! 5 a. [− 3 4] 2
0
d.
3 5
4 − 1 1
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
3 b. [1 − 2] 0
1
− 4
3 − 4 3 5 e. 1 0 − 2 1
6 1 4 1 − 3 − 8 − 9 2 2 4 2 − 1 4 f. 1 3 3 0 2 c.
Page 9
5 2 − 1 − 1 2 − 4 4 1 − 5 h. 4 6 − 3 7 0 2 2 3 − 3
3 1 − 1 0 3 4 −2 g. 4 2 5 0 − 3
− 3 − 1 2 3 . Jika X = X . X dan X = X . X . X maka tentukan : 4 2
2. Diketahui X = a. X 2
b. X 3
4 2 3. Jika A = dan B = − 1 1 maka tentukan : 3 4 2 0 0 1
2
0
BA)T a. ( BA)
AB)T b. ( AB)
−1 4. Tentukan a jika − b
1 4 − 5 2 − 1 2c + = 3 − 3 b − 4 3 c a + 1
d
C. INVERS MATRIKS 1. INVERS MATRIKS ORDO 2 x 2
1 0 Jika AB = BA = I , dimana I matriks satuan yaitu I = maka A dan B dikatakan saling 0 1 −1 invers. Invers matriks A dinotasikan A . a b p q B Misal A = dan = r s maka : c d a AB = I ⇒ c
1 0 ap + br aq + bs 1 0 = ⇒ cp + dr cq + ds = 0 1 d r s 0 1 b p
q
ap + br = 1
⇒ p =
d ad − bc
dan r =
−c ad − bc
cp + dr = 0 aq + bs = 0
⇒ q=
−b a dan s = ad − bc ad − bc
cq + ds = 1
p q Karena B = A−1 = maka r s
A−1 =
d − b ad − bc − c a 1
ad – bc disebut Determinan (D) atau A atau det(A). Jadi D = A = det( A) = ad − bc . Jika D = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan matriks A disebut matriks Singular. Jika ad – bc ≠ 0 maka matriks A disebut matriks Non Singular.
2 − 3 5 − 1
Contoh 1: Tentukan determinan A =
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 10
Jawab : A = ....
2 5 − 3 − 1
Contoh 2: Tentukan invers dari P =
Jawab
−1
: P = ....
5 6 merupakan matriks singular ! x 2 −
Contoh 3: Tentukan x jika A = Jawab
: ad – bc = 0 ⇒ …
2 − 1 13 − 3 = − 3 − 2 3 2
Contoh 4: Tentukan matriks X jika X Jawab
: XA = B ⇒ X = BA−1 = …
Jika ada persamaan matriks berbentuk : AX = B maka X = A−1 B XA = B maka X = BA−1
LATIHAN SOAL 1.
Tentukan determinannya ! 5 3 4 a. A = b. B = 2 3 2
6
2. Tentukan inversnya ! (jika ada) − 1 1 5 B a. A = b. = − 4 5 3
x 3. Tentukan x jika P = − x
3
− 1 0
d. D =
8 4 − 3 − 6
10 d. D = 8
c. C =
− 6 − 5
− 8 singular 2 x
4. Tentukan matriks X jika : 4 5 8 5 a. X = 14 15 2 0
3 − 2 c. X = 1 4
4 − 5 − 2 3
3 2 − 3 − 1
c. C =
28 − 14
1 b. 3
2 X = 4
4 3 2 − 1 8 2 2 1 − d. X = 14 5 4 1 10 − 2
2. INVERS MATRIKS ORDO 3 x 3 2.1 DETERMINAN MATRIKS ORDO 3 X 3 Cara menentukan determinan matriks matriks ordo 3 x 3 dengan menggunakan diagram SARRUS, yaitu : 1. Salin kolom ke-1 dan ke-2 pada kolom ke-4 dan ke-5
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 11
2. Kurangkan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke bawah dengan jumlah perkalian elemen-elemen elemen-elemen pada diagonal ke atas.
a11 a12 A = a21 a22 a31 a32
a13
a11 a12 ⇒ det (A) = A = a21 a22 a33 a31 a32
a23
a13 a11
a12
a23 a21
a22
a33 a31
a32
= ( ….. ) + ( …. -( … )–(
)+( …
…. )
)–(
…
)
1 2 3 Contoh 1: Jika P = 1 3 4 maka tentukan P 1 4 3
.... .... ........ .... Jawab
:
P = .... .... ........ ....
=…
.... .... ........ .... =…
MINOR, KOOFAKTOR DAN ADJOINT Minor yaitu sebuah determinan yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom i+ j
ke-j, dan ditulis dengan M ij . Sedangkan koofaktor diperoleh dari perkalian M ij dengan (− 1)
dan ditulis dengan Aij . Sedangkan adjoint yaitu koofaktor yang ditransposekan dan ditulis dengan Adj(A).
1 2 − 1 2 . Tentukan : Contoh 2: Diketahui M = − 1 1 2 − 1 1 a. M 12
Jawab
: a. M 12 =
b. M 22 =
b. M 22
.... .... .... .... .... .... .... ....
d. A23
e. Adj(M)
= ....
= ....
c. A31 =
(− 1)...+....
.... ....
d. A23 =
(− 1)...+....
.... ....
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
c. A31
.... ....
.... ....
= ....
= ....
Page 12
... ... ... f. Adj(M) = − ... ... ... ... = ... ... ... = ... ...
...
... ...
... ...
... ... ... ...
... ... ... ...
−
... ... ... ...
... ... ... ...
−
...
... ...
... ...
T
−
... ... ... ... ... ...
T
... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
2.3 INVERS MATRIKS ORDO 3 X 3 Untuk menentukan invers matriks matriks A ordo 3 x 3 dengan menggunakan rumus :
1
A−1 =
A
Adj ( A)
1 2 3 Contoh 3: Tentukan invers dari P = 1 3 4 1 4 5 ... ... ... ... ... Jawab
: P = ... ... ... ... ... = ....
... ... ... ... ...
... ... ... − ... ... ... ... ... ... Adj ( P ) = − ... ... ... ... ... ... − ... ... ... ... ... ... ... −1 P = ... ... ... = .... ... ... ... ...
...
... ...
... ...
... ... ... ...
... ... ...
−
=….
... ... ... ... ... ...
LATIHAN SOAL 1.
Tentukan determinan dari :
− 1 2 0 a. A = 3 2 1 0 3 1
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
4 − 2 1 b. B = − 3 3 0 1 − 1 2
5 − 2 4 c. C = − 1 0 3 4 − 1 2
Page 13
x
3 2. Tentukan x jika
1
− 1 = 35 −2 1 −3 4
0
4 2 − 2 3. Diketahui X = 0 1 1 . Tentukan : 3 − 4 − 1 a. M 21
b. M 33
4. Tentukan inversnya dari : 4 0 2
2 − 1 1 0
a. P = − 1 3
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
c. A12
d. A22
e. Adj(X)
5 − 2 1 b. Q = 3 3 4 0 − 1 2
Page 14