BAB VI MAGNETOSTATIKA 6.1 Medan Magnetik
Lain Lain halnya halnya dengan dengan elektro elektrostat statika, ika, magnet magnetosta ostatika tika tidak tidak dapat dapat digamba digambarka rkan n sebaga sebagaii intera interaksi ksi banyak banyak “muatan “muatan”” magnet magnetik ik qm terha terhada dap p sebua sebuah h “muat “muatan an uji” uji” Qm. Secar Secaraa funda fundame menta ntall dari dari ahli ahli Fisi Fisikaw kawan an menga mengata takan kan “tidak “tidak ada muat muatan an bebas bebas magne magneti tik. k. Sebali Sebaliknya knya medan medan magneti magnetik k dihasil dihasilkan kan oleh oleh muata muata listri listrik k biasa biasa yang berada berada dalam dalam keadaan bergerak atau bahkan berapa arus listrik.
Salah satu percobaan dasar dalam magnetostatika adalah dua kawat berarus yang sejajar seperti pada gambar (6.1)
BATERY
Gambar 6.1
Pada percobaan ini jika arah arus sama kedua kawat akan tarik menarik sedangkan jika arah arus berlawanan kedua kawat tersebut akan tolak menolak. Gaya tarik menarik atau tolak menolak ini tampak analogis dengan gaya Coulomb pada elektrostatika.
Bagaimanakah kita mengamati medan magnetik jika kita tidak dapat mempunyai “muatan uji magnetik” ? → Kita dapat menggunakan kompas magnetik. Jarum kompas akan selalu menun menunju jukan kan arah arah meda medan n magn magnet etik ik ; umum umumnya nya kita kita ingin ingin menge mengeta tahui hui arah arah meda medan n magnetik bumi yang kutub selatannya terletak ditutara bumi dan sebaliknya. Jadi ternyata 109
dalam praktek, medan magnetik lebih mudah teramati jika kita punya alat seperti yang kita sebut diatas → kompas. Gejala lain yang dapat diamati 2 hal sebagai berikut : a). Bila Bila terdapa terdapatt arus melaluika melaluikawat wat lurus, lurus, maka medan magnet magnet (yang (yang tercata tercatatt dalam dalam kompas kompas)) tidak tidak mengar mengarah ah melalui melalui ataupu ataupun n menjauh menjauhii kawa, kawa, melainka melainkan n melingk melingkar ar ternyata yang terlihat adalah baha medan magnetik yang diakibatkan sebuah kawat arahnya selalu selalu berputar mengeliling mengelilingii kawat tersebut. Besarnya Besarnya berbanding terbalik terbalik dengan jarak makin jauh dari kawat makin kecil. Disekitar kawat seprti pada gambar (6.2). b). Bila ada dua buah kawat lurus (di dekat kawat pertama terdapat kawat laurus lain yang saling sejajar, maka pada kawat ini bekerja gaya tarik arah kiri, bla keduanya dialiri arus listrik seperti pada gambar (6.3)
ARUS
B
V (1)
(2)
F Gambar 6.2
Gambar 6.3
Dari gambar (6.3) kelihatan kelihatan bahwa kawat (2) terdapat B yang diakibatkan kawat (1) yang arahnya ke dalam kertas.
6.2. Gaya Magnetik
Jika kita asosiasikan gambar (6.3) dengan perkalian Vektor kros (Cros Product) dengan teliti, kita akan dapatkan bahwa gaya yang diterima suatu muatan terhadap yang bergerak
110
B
dengan kecepatan V didalam daerah pengaruh medan magnetik B, maka muatan akan mengalami gaya magnet : Fmag = Q (V X B )
6.1
dimana Fm ⊥ ( V, B). Seperti yang dapat dilihat pada gambar
V
└
┚
B Gambar 6.4
Jika disamping medan magnet B ada pula medan listrik E , gaya total elektromagnetik menurut hukum gaya lorents :
Fm
F = Fm + Fus
= q (VXB) + q E = q ( E + V X B)
6.2
Persamaan (6.2) diatas disebut hukum Gaya Lorentz. Adanya gaya magnet (Gaya Lorentz) terhadap gerak partikel mengakibatkan partikel akan mengalami lintasan dalam bentuk tertentu.
Selanjutnya kita akan melihat bagaimana gaya Lorentz pada dua kawat sejajar dialiri arus listrik, gaya Lorentz dapat ditulis :
dF = id l xd B 111
Bila dua kawat lurus panjang sejajar, dialiri arus I dalam arah yang sama, maka pada kawat akan terjadi tarik-menarik, hal ini dapat dijelaskan baik secara fisika maupun matematika. Mula-mula kita akan bahas gaya Lorentz pada secara matematika :
k
dl1
dl2
i1
i2
jˆ
iˆ iˆ
ˆ i1dl k
Pandang kawat 1 :
ˆo r
= jˆ merupakan vektor satuan dari titik 1 ke titik 2
Medan magnet pada kawat 2 oleh kawat 1 atau dB21 dan medan magnet pada kawat 1 oleh kawat 2 adalah
dB21 =
ˆ x − jˆ µ o ( i1dl ) k 2
4π
=
2
iˆ
6.3
4π r
r
ˆ x jˆ µ o ( i 2 dl ) k dB12 = 4π r 2
µ o i1dl
=−
µ o i 2 dl 2
iˆ
6.4
4π r
Gaya Lorentz pada kawat 2 oleh kawat dan pada kawat 1 oleh kawat 2 adalah
dF 21
= i 2 dlxd B12 = i 2 dlx
−
µ o i 2 dl iˆ 4π r 2
112
µ o
=
4π
−
=
( )
ˆ i1i 2 ( dl ) 2 iˆ xk
µ o
4π
i1i 2 ( dl ) 2 ( j )
= i1dlxd B21
dF 12
= i1 dlx
−
µ o i 2 dl iˆ 4π r 2
Contoh 1 : Gerakan Siklotron, gerak partikel bermuatan yang bergerak dalam medan magnetik yang paling dasar adalah gerak melingkar beraturan, dimana gaya magnetik berlaku sebagai gaya sentripetal diperlihatkan pada gambar 6,6 dibawah ini :
Pada gambar (6.6 tersebut kelihatan medan magnetik B keluar dari kertas, dengan demikian berlaku hubungan sebagai berikut : V⊥B 2
q V B=
→
mV 2 R
mV
6.3
R
= gaya sentripeta l.
qB =
mV R
→ m.V = q B R
Karena momentum partikel = m.V
→ P = q B R P = Momentum partikel m = massa partikel
Rumus (6.4) sagat sering dipakai pada akselerator partikel yang dipakai pertama kali. Juga dipergunakan Irak untuk memproduksi plutonium dalam program nuklirnya sebelum 113
diluncurkan oleh Amerika pada perang Teluk. Jika selain kecepatan yang kebetulan tegak lurus B, juga terdapat komponen kecepatan yang sejajar B, maka gerak yang terjadi adalah berupa heliks seperti pada gambar 6.6.
Apa yang terjadi jika partikel mulai bergerak dengan kecepatan V tidak bergerak lurus B
Komponen kecepatan
→
V = V11 + V⊥
Komponen gerak dalam arah V11 tidak akan terpengaruh oleh gaya magnetik.
→ partikel akan bergerak dalam lintasan helik dengan jejari diberikan oleh : q V⊥ B =
m V⊥2
6.6
R
Contoh 2 : Gerak Sikloid. Gerakan ini terjadi dalam medan magnet campuran E dan B yang kebetulan saling tegak lurus seperti pada gambar 6.7 dibawah ini :
Tidak ada gaya dalam arah sumbu X, karena :
→ Posisi partikel setiap saat (0,Y) (t), Z (t) ; → Kecepatannya setiap saat (0,Y,Z)
ˆi VX B =
jˆ
hˆ
O
.
.
Y
Z
B
O
O
114
. . ˆ ˆ V X B = B Z j − B Y k
6.6
Gaya elektromagnetik :
(
F=q E + V X B . . ˆ + ( B Z) jˆ − ( B Y) k ˆ = q ( E ) k
6.7
Hukum Newton II → F = m.a
. . .. .. ˆ ˆ q E − B y k + B Z j = m y jˆ + Z hˆ
6.8
memberikan : . .. qBZ=m y . .. q E −q B y=m Z Misalkan frekwensi Cyclotron → W = ..
.
Y=WZ ;
→ Persamaan gerak :
d2y dt 2
=
W
. I
d2 y dt 2
=W
dZ dt
qB m
E . Z = W − Y B d2Z E − dy ; =W dt 2 B dt ..
6.9
II
d2Z dt 2
115
d3Z dt 2
→
1 d 3Z W dt 3
=
1 d3y
→ Substitusi ke II
W dt 3
E dy = W − B dt
3
d y
dy
dt
dt
+ W2 3
= W2
E B
Solusi : y( t ) = C1 Cos Wt + C 2 Sin Wt +
E B
t + C3
6.10
5.3 Gaya magnetik
Arus listrik dalam kawat adalah jumlah muatan persatuan waktu yang melewati suatu titik pada benda itu. Umumnya digambarkan bahwa muatan ini positif, walaupun sebenarnya jumlah muatan negatif yang sama juga mengalir berlawanan arah pada kawat tersebut ( dan sebenarnya muatan elektron yang bergerak, bukan ion ppositif), hal ini tidak perlu dipermasalahkan karena secara pengukuran (dengan ampermeter) kedua hal ini tidak dapat dibedakan. Satuan arus listrik adalah Ampere (A) = Coulomb per detik. 1 A = 1 CS
Muatan Garis :
λ
V.∆ V
V
116
Gambar 6.4 Suatu muatan garis
λ
yang bergerak sepanjang kawat dengan laju V (gambar 6.4)
menghasilkan arus listrik : I =
λ.V
6.14
Karena suatu segment panjang V∆t yang membawa muatan dalam interval waktu
λV∆t
melewati titik A
∆t.
Arus disetiap saat sebetulnya merupakan vektor
→ I=λV Gaya magnetik pada segment kawat dl yang dialiri arus ; Dapat dirumuskan : Fmag
= ∫ ( λdl) ( V x B)
= ∫ ( I x B dl
6.16
Kerena I dan dl keduanya mempunyai arah yang sama :
→ Fmag = ∫ I (d l x B
6.16
Kerena umumnya kuat arus adalah konstan, maka dapat juga ditulis
→ Fmag = I ∫ ( dl x B)
6.17
Ada kasus-kasus dimana arus mengalir dipermukaan, ini dapat dijelaskan dengan rapat arus permukaan K seperti pada gambar (6.6) dibawah, yang didefinisikan sebagai :
dl ⊥
K = ALIRAN ARUS
dI dl ⊥
6.18
K = arus persatuan panjang yang tegak lurus aliran
117
jika
σ : rapat muatan permukaan (yang bergerak) V : Kecepatan gerak muatan
→ K = σ v dari gambar diatas : muatan garis pada pita
σ dl ⊥
→ dl = ( σ dl⊥ ). V jadi ∴ K =
dI dl ⊥
=σV
6.20
Gaya magnetik yang bekerja pada sebuah arus permukaan adalah : Fmag =
∫ ( σ dA) ( V X B
= ∫ ( K x B)
dA
6.21
jika aliran muatan terdistribusi melalui suatu wilayah atau ruang tiga dimensi, kita memakai rapat arus volume j .
→ Aliran muatan tersebut dinyatakan dengan rapat arus volume j .
j =
dI
6.22
dA ⊥
injau suatu “pipa” dengan penampang lintang dA ⊥ , yang (vektornya) pararel dengan arah alir, pada gambar (6.6) dibawah.
j : arus persatuan luas yang tegak lurus aliran. Jika
ρ:
rapat
muatan
volume
(yang
bergerak) V : kecepatan aliran muatan
→ j = ρ V
6.23
118
Maka gaya maknetik yang bekerja pada elemen volume dt adalah : Fmag =
∫ ( ρ dt ) ( V x B) = ∫ ( j x B) dt
6.24
6.4. Persamaan Kontinuitas
Arus menembus suatu permukaan S dapat dituliskan :
∫
∫
I = j . dA ⊥ = J. dA s
→
s
6.26
Muatan total penentuan waktu yang meninggalkan suatu Volume V (menembus
permukaan tertutup yang meliputi volume V), menurut Teorema divergensi, dapat ditentukan :
∫ j . dA = ∫ (∇. j dt s
6.26
V
Tetapi karena muatan selalu kekal, apapun yang keluar pastilah mengurangi (laju pengurangan,
d dt
muata yang sebelumnya ada di dalam (ρ dt ) :
d . j dt ( ) ∇ = − ∫ ∫ ρ dt dt V
V
→ ∇. j = jadi
∇. j +
− ∂ρ ∂t
− ∂ρ =0 ∂t
6.28 Persamaan kontnuitas hukum kekekalan muatan.
6.29
Persamaan (6.29) adalah sebuah statement matematika yang sangat universal dan sering disebut persamaan kontinuitas, bagi elektromagnetika khususnya ini menegaskan kembali kembali, konversi muatan lokal.
Untuk referensi selanjutnya kita dapat menyingkat suatu “ jembatan kelpdai” yang memungkinkan penerjemahan persamaan-persamaan jika arusnya berupa muatan dikrit yang bergerak, arus garis, arus permukaan dan arus volume :
119
n
∑(
∫
∫
) q i Vi ~ ( ) I dl ~
i =1
gari
( ) K dA ~
permukaan
∫ (
) j. dt
6.
Volume
Tinjau medan magnet B = KZˆi. Tentukan gaya bekerja pada kop bjsk dengan sisi S (terletak pada bidang YZ dan berpusat di 0) yang dialiri aus I. Jawab : Segment 1 – 2 :
∫ = I ∫ dl x B ˆ Zˆi = I ∫ dZ k
Fiz = I dl x B
i
= I K jˆ
2
s
∫ Z dZ
−
1
2
s
= I K j Z2 Segment 3 -4 : F34
=0
∫
∫
Segment 2 –3 : F23 = I d l x B = I dl x B
= I ∫ − jˆdy
x KZˆi
ˆ Z dy = I K k ∫ 1
S
1 ˆ dy = I K S k 2 − ∫ 1 S 2
2
1 1 1 ˆ = I K S S + S k 2 2 2
=
1 2
ˆ I K S2 k
6.5. Hukum Biot Savast
a). Medan magnetik untuk arus garis. 120
B( P ) =
=
µ0 I x r ˆ dl 4π ∫ r 2
µ 0 I dl x r ˆ 4π ∫ r 2
6.36
b). Medan magnetik untuk arus permukaan. Rapat arus permukaan K B(P)
=
µ 0 K x r ˆ dA 4π ∫ r 2
6.37
c). Medan magnetik oleh arus volume. Rapat arus volume j B(P) =
µ 0 J x r ˆ dt 4π ∫ r 2
6.38
Contoh : Tentukan medan magnet di pusat loop bujur sangkar yang dialiri arus tetap I. Misal jarak dari pusat ke rusuk bujur sangkar R
R
I
b). tettukan medan di pusat poligon segi –n aberaturan yang dialiri arus tetap I. Misalkan jarak dari pusat poligon ke rusuknya R. c). Tentukanlah bahwa untuk n
→ ~ memberikan formulasi untuk medan dipusat loop
ingkaran dengan jejari R.
Y
Jawab :
R
d
µ 0 dl x r ˆ I 4π ∫ r 2
R
-R
a
dB =
c X
I
-R
b
121
Segmen a – b :
θ
r
a
dB =
l = R tg θ = R
b l
R
µ 0 dlSin β I arah menuju mata 2 4π r
dl =
β
R Cos 2 θ
Sin β = Cos θ ;
1 r 2
Sinθ Cos θ
dθ
=
Cos 2 θ R 2
Cos 2 θ µ 0 I R dθ dB = Cos θ 2 4 π Cos 2 θ R =
µ0 I Cos θ dθ 4 πR
µ0 I θ µ0 I ( Sin θ 2 − Sin θ1 ) Cos d = θ θ = 4πR θ∫ 4πR 2
1
θ1 = −
π 4
Jadi B :
dan θ 2 =
µ0 I 1 4πR 2
π 4 2+
1 2
µ0 I 4πR
2 =
2
Jadi : Segmen-segmen lainnya memberikan medan dengan besar dan arah yang sama → Induksi magnet total
∴Bt = 4B =
µ0I πR
2
6.6. Hukum Ampere Menurut yang dibahas untuk kawat lurus yang sangat panjang (~), pada titik sejarak r dan kawat maka : B=
122
B=
µ0 I 2πr
bila dicari integral untuk lintasan lingkaran berjejari R, yang sepusat dengan kedudukan kawat seperti gambar (6.14) dibahas, maka medan magnet:
∫
Jadi
∫ B .dl = µ
0
B . dl =
µ 0 I dl ∫ 2πR
=
µ0 I dl 2πR ∫
=
µ0 I [ 2πR ] 2πR
I
6.39
∫ B . dl tak tergantung pada
Dengan keliling lingkaran 2 πR . Ternyata hasil integral
jarak dan pusat lingkaran yang ditempati oleh kawat, karena B mengecil dengan laju yang sama dengan membesarnya lingkaran. Integral ini juga dapat dilakukan dengan koordinat silnder untuk bentuk loop (kawat berarus tertutup) sembarang (bukan hanya lingkaran).
µ 0 I φˆ 2 R π
Sistim koordinat silinder : B = Dengan : dl = dr r ˆ + r dφ φˆ + dz zˆ
∫
Sehingga : B . dl =
µ 0 I 1 r dφ 2π ∫ r
µ 0 I 2π dφ = µ 0 I = 2π ∫ 0
6.40
Secara umum dapat dirumuskan bila terdapat sejumlah arus
∑ Ii i =1
didalam lingkaran
tertutup mengelilingnya, maka rumus integral hukum ampere :
∫ B .dl = µ ∑ Ii = µ 0
C
i =1
0
I C Hukum Ampere
6.41
I1
loop lintasan integrasi I2
I3 123
I4
Gambar 6.16 Dimana IC adlah jumlah arus total yang dilingkupi oleh lintasan integrasi. Dalam bahasa rapat arus, dapat ditulis sebagai :
∫ → ∫ B . dl = µ ∫ J . dA I C = J . dA
6.42 6.43
0
Dengan menggunakan permukaan yang dibatsi oleh loop kita. Dengan menggunakan teorema stoker ditulis sebagai :
∫ (∇ x B). dA = µ ∫ J . dA 0
→ Jadi ∇. B = µ 0 . J
Hukum Ampere dalam bentuk difrensial
6.44
6.7. Aplikasi Hukum Ampere
Bentuk integral dari hukum Ampere yang mungkin lebih dikenal dibandingkan bntuk diferensialnya. Pada praktek penggunaannya gunakanlah selalu kaidah tangan kanan. Hukum Ampere dalam magnetostatika adalah analogis dengan Hukum Gauss dalam elektrostatika. Dan juga seperti halnya Hukum Gauss ; walaupun selalu benar, tidaklah selalu mudah untuk diaplikasikan. Ini disebabkan bahwa kemungkinan besar kita tidak mampu untuk melakukan integrasinya jika geometrinya kompleks ; hanya yang geometrinya simpel dapat kita kerjakan seperti (kawat lurus tak berhingga, Soleonida tak berhingga, toroida) Hukum Ampere sangat berguna untuk menentukan B yang memiliki simetri tinggi.
Loop ampere I -~
r ~ 124
B
=
memiliki simtri silinder.
∫ B . dl = B ∫ dl = B 2πr
IC = I
Jadi ∴ B 2πr = µ 0 I → B =
µ0 I 2πr
Jika panjang kawat terbatas atau bengkok : B yang dihasilkan tidak lagi memiliki simetri tinggi : B : disamping fungsi dari r juga fungsi dari Z dan atau
φ.
→:
Sulit untuk memilih lintasan ampere yang tepat. Sehingga : Hukum ampere
∫ B.dl = µ
0
IC
6.44
→ Kurang tepat guna, tetai tetap berlaku. Persoalan-persoalan yang dapat digarap ( dengan mudah) dengan hukum Ampere : 1. Garis lurus tak berhingga. 2. Bidang datar ~ 3. Silinder ~ 4. Solonoida ~ 5. Toroida ~ Arus mantap I mengalir melalui kabel silinder yang sangat panjang dengan jejari R. Tentukan medan magnet diluardan didalam silinder : a). Arus terdistribusi secara merata pada permukaan kawat. b). Arus terdistribusi sedemikian rupa sehingga J sebanding dengan r (J = kr)
R C1 I
C2
125
Jawab : a). K =
1 2πR
→ I = K 2πR
untuk : r < R
∫ B .dl = µ
0
IC = µ0 I
C2
B=
µ0 I µ0 I ˆ = φ 2πr 2πr
6.8. Divergensi Dan Rotasi B
Hukum BIOT-SAVART untuk kasus umum dari arus volume adalah : B=
µ 0 J x r ˆ dt 4π ∫ r 2
6.46
B : Fungsi dari (X,Y,Z) J : Fungsi dari ( X' , Y ' , Z' )
(X, Y, Z)
Y
ˆ r = ( x − x ') ˆi + ( y − y') jˆ + ( z − z' ) k (X’, Y’, Z’)
dt = dx ' dy' dz '
dt
r integrasi dalam sistim koordinat medan (x,y,z) X
0
Divergensi :
∇. B =
J x r ˆ µ0 dt . ∇ 4π ∫ r 2
Dengan menggunakan aturan perkalian :
r ˆ r ˆ ˆ r ∇. J x 2 = 2 . (∇. J ) − J. ∇ x 2 r r r
126
Tetapi :
∇ x J = 0;
karena J tak bergantung terhadap varuabel medan (x, y, z) dan
ˆ r ∇. 2 = 0 r
→ ∇. B = 0
Rotasi : ∇. B =
6.46
µ0 J x r ˆ dt x ∇ 4π ∫ r 2
Aturan perkalian :
r ˆ r ˆ . J − ( J . ∇ ) r ˆ + J ∇. r ˆ − r ˆ ( ∇. J ) J x . ∇ x = ∇ 2 2 r 2 r 2 r 2 r r r ˆ r ˆ ˆ r → ∇ x J x 2 = J ∇ . 2 − ( J . ∇ ) 2 r r r
tetapi :
− ( J .∇ )
ˆ r
= ( J .∇) 2
r
6.47
ˆ r r 2
Untuk komponen x :
( J . ∇') x − x ' = ∇ ( x − x') − x − x ' (∇ : J )
r 3
Untuk arus mantap :
r 3
r 3
∇. J = 0
ˆr x − x' → − ( J . ∇ ) 2 = ∇ ; 3 r x r
konteribusinya dalam integral :
( x − x ') ( x − x ') ∫ ∇ : r 3 J dt = permu ∫ r 3 J .dA Vol
127
Catatan : daerah integrasi : B =
µ J x r ˆ dt 4π ∫ r 2
meliputi semua arus → daerah ini dapat
diperbesar tanpa merubah hasil. Jika daerah integrasi dibuat sangat besar (menuju ~)
→ J = 0 dialuar volume mengandung arus . ( x − x ')
∴ ∫
J . dA → 0
r 3
r ˆ r ˆ ∴∇x J x 2 = J ∇. 2 r r
dari definsi fungsi delta diral :
∇.
ˆr 2
r
= 4π δ 2 ( r )
→ ∇ x B=
µ0 3 J ( r ') 4π δ ( r − r ') dt ∫ 4π
= µ 0 ∫ J ( r ') δ 3 ( r − r ') dt = µ 0 J ( r ) Jadi :
∇x B = µ 0 J
∫ B .d= µ
→ 0
Hukum Ampere
IC
6.48 6.49
6.9. Potensial Vektor Magnetik
128
Didalam elektrostatika
∇ x E = 0, kita dapat menurunkan medan listrik dari suatu potensial
Skalar V, yang dirumuskan E = − ∇ V. Dengan analogi, bahwa sanja
∇ . B = 0, juga
menyebablkan kita boleh untuk memperkenalkan suatu potensial Vektor A didalam magnetostatika sedemikian sehingga : B=∇ x A
6.63
Tidak ada permasalahan dengan yarat
∇ .B = 0, karena divergensi dari suatu kurl adalah
nol. Hukum Ampere dapat dituliskan :
∇ x B = ∇ x (∇ x A = ∇ (∇ . A − ∇ 2 A = µ 0 j
6.64
sebagai langkah pertama, kita mempunyai kebebasan untuk membuat
∇ . A = 0, → Coulomb Gauge
6.66
Hal ini akan menghasilkan :
∇ 2 A = − µ 0 j → Persamaan Poisson Ini merupakan persamaan poisson, dimana
µ 0 j
6.67
adalah sumber.
Menurut Coulomb Gauge :
∇.A = 0 → ∇ 2 A = − µ 0 j J → 0 di ~ Tepatnya ada tiga macam persamaa Poisson :
∇2Ax = − µ0 Jx ∇ 2 A y = − µ0 J y
6.68
∇2Az = − µ0 Jz Solusinya akan menghasilkan : Potensial untuk Arus Volume :
129
A=
µ0 J dt 4π ∫ r
6.69
Potensial untuk Arus Permukaan :
A=
µ 0 K dA 4π ∫ r
6.70
Potensial untuk Arus garis :
A=
µ0 I ∫ dl 4π r
6.71
Vektor Potensial A : Teorema Stoker
→ ∫ A.. dl = ∫ (∇ x A . dA = ∫ B . dA =φ
jadi
∫ A.. dl = ∫ B . dA
→ A=
3.72
µ0 J dt 4π ∫ r
Karena : B=
µ 0 j x r ˆ dt 4π ∫ r 2
→ A=
1
(Brot –Savart)
ˆ B x r dt 2 r
4π ∫
6.73
6.10. Ringkasan (Summary) 130
A=
µ0 1 dt 4π ∫ r
J
B
A
6.11. Syarat Batas Dalam Magnetostatika
B = ∇ x A ;∇ .A = 0
Pada medan listrik E terjad ketidak kontinuan pada muatan permukaan demikian padadengan medan magnet B tidak kontinue pada arus permukaan K. Mengingat
∇ . B = 0 , maka
ˆ x r 1 padaB untuk lapisan permukaa. ∫ B dA = 0 rumus ini diterapkanA dt =
∫ 4π r
2
Sehingga : Arus permukaan
∇.B = 0
medan magnetik kontinue
∫ B dA = 0
Pada gambar dibawah ini akan menghasilkan ; komponen normal →
Sedangkan dengan gambar dibawah menggunakan hukum Ampere : 131
Komponen tangensial ; B11 atas
∫ B.dl = ( B
11 atas
− B11 bawah )
→ ( B11atas − B11 bawah = µ 0 K
B11 bawah
6.76
→ µ 0 I = µ 0 K
Akan diperoleh B11 atas – b11 bawah =
µ 0 K (2)
Kedua hasil diatas dapat disatukan dalam rumus “
→ B atas − B bawah = µ 0 ( K x nˆ
6.76
dimana nˆ vektor satuan yang normal arahny, terkadang permukaan menuju keatas. Seperti halnya dalam medan elektrostatika, berlaku kekontinuan potensial vektor pada setiap batas ;
→ sehingga : → A atas Karena
= A bawah
6.77
∇.A = 0 menjamin bahwa komponen normalnya kontinu, sedangkan B = ∇ x A
yang menghasilkan :
∫ A .dl = ∫ B. dA = φ Bila komponen tangensialnya kontinu, berarti fluks magnet melewati loop kecil seali pada perbatasan boleh dikatakan nol. Tetapi turunan A menyebabkan diperolehnya keidak kontinuan medan B , jadi :
∂ A atas ∂ A bawah − = − µ 0 K ∂n ∂n
6.78
6.12. Uraian Kutub Ganda Potensial Vektor
132
Sudah dibicarakan dalam bab exspansi multipol untuk potensial kalar, dan sekarang ekspansi semacam itu dapat pula kita lakukan untuk potensial vektor.
A=
p
µ0 I dl 4π ∫ r
= r
A=
µ0 I 1 d 4π ∫
θ
0
r
µ 0 I 1 1 d + 4π r ∫ r 2
∫
r ' Cos θ d +
µ 1 2 3 2 ( ) r ' Cos d .... θ − + 2 r 3 2 1
∫
6.79
Suku pertama disebut monopol magnet, suku kedua dipol magnet, suku ketiga kuadrapol magnet dan suku keempat oktapo magnet ; disini suku monopol magnet selalu nol, karena
∫
pada loop d = 0. Suatu kesimpulan, bahwa tidak ada monopol magnet dan ini tampak pada adanya persamaan Maxwell ∇.B = 0. Karena suku yang dominan adalah bagian dpol magnet :
A dipol
=
µ0 I µ0 θ = r Cos d 4π ∫ 4πr 2
∫ ( r ˆ.r ') d
3.80
dengan manipulasi matematika : A dip
=
µ 0 m x r ˆ 4π r 2
6.81
Soal Latihan 1.
ˆ m dt . Hitunglah gaya yang Sebuah muatan titik – 1,2 C berkecepatan V = 5ˆi + 2 jˆ − 3k bekerja pada muatan tersebut jika ia berada dalam : 133
ˆv m a). Medan listrik E = − 18 ˆi + 5 jˆ − 10k ˆ N Am b). Medan magnet B = − 4ˆi + 4 jˆ + 4 jˆ − 3k c). Kedua medan E dan B diatas. 2. Arus mantap I mengalir melalui kabel silinder yang sangat panjang dengan jejari R. tentukanlah medan manet diluar dan didalam silinder jika a). Arus terdistribusi secara merata pada permukaan kawat. b). Arus terdistribusi sedemikian rupa sehingga J sebanding dengan r ( J = k.r) 3. Arus I mengalir sepanjang kawat yang jari-jarinya R. a). Bila ia terbagi seragam pada permukaan, tentukan rapat arus K ( A m ). b). Bila ia terbagi sedemikian k = konstanta dan r jarak dari sumber tentukanlah harga k. 4. Dua benda logam terletak terpisah di dalam bahan dengan konduktivitas σ lemah. Tunjukan hambatan antara keduanya ada hubungan dengan kapsitas sebagai : R =
Σ0
σc
5. Tetukan medan magnet dititik P yang berjarak Z diatas kawat lurus panjang yang memawa arus I seperti pada gambar : 6. a). Arus I terdistribusi keseluruh kawat dan I melewati bagian melingkar dengan jari jai R. tentukanlah rapat dan volume. b). Jika rapat arus pada kawat sebanding dengan jarak drai sumbu, J=kT, dengan k= konstanta tentukan arus total pada kawat. 7. tinjau suatu loo[ pligon segi 6 beraturan dengan rusuk S. Jika loop tersebut dialiri arus I, tentukanlah induksi magnet dipusat loop, seperti pada gambar. 8. a). Tentukan medan magnet dipusat poligon segi –n beraturan yang dialiri arus tetap I. Misalkan jarak dari pusat poligon kerusuknya R. b). Tunjukanlah bahwa untuk n → ~ memberikan formulasi untuk medan dipusat loop lingkaran dengan jari-jari R. 9. Sebuah kawat yang panjangnya 10 cm, berada tegak lurus di dalam medan magnetik. Jika rapat fluks magnetik 0,2 tesla dan arus yang mengalir di dalam kawat itu adalah 45 A, hitung gaya yang dialami oleh kawat itu ! 10. Dua kawat lurus panjang dan sejajar masing-masing berarus listrik 5 dan 10 A dengan arah saling berlawanan.
Kedua kawat terpisah sejauh 10 cm.
Hitung induksi
magnetik pada suatu titik di tengah-tengah antara kedua kawat tersebut !
134
11. Dua kawat lurus dan panjang terpisah pada jarak 2a. Bila kedua kawat dialiri arus yang sama besar dengan arah yang berlawanan, maka induksi magnetik di tengahtengah antara kedua kawat adalah B. hitung induksi magnetik di titik yang berjarak a dari kawat pertama dan 3a dari kawat kedua. 12. Dua kawat lurus dan panjang sejajar, terpisah pada jarak 1,5 m. Kedua kawat kedian dialiri arus yang sama besar dan searah, sehingga bekerja gaya tarik-menarik sebesar 12. 10-7 N/m. Hitung besarnya arus yang mengalir pada masing-masing kawat ? 13. Tiga buah kawat lurus dan panjang diletakkan sejajar satu sama lain. Ketiga kawat tetsebut (kawat I, II dan III) dialiri arus berturut-turut 10 A, 20 A dan 30 A dengan arah seperti pada gambar di bawah ini. Hitung besar dan arah gaya yang bekerja pada 25 cm dari kawat II. 14. Suatu kumparan terdiri dari 25 lilitan berbentuk lingkaran dengan jari-jari 10 cm berarus listrik 4 A, diletakkan dalam medan magnet homogen sehingga bidangnya tegak lurus terhadap garis gaya magnetik. Jika pada kumparan itu terjadi momen kopel sebesar 6,28 N.m, berapa induksi magnetik itu ? 15. Sebuah elektron dengan kecepatan 1/600 rambat cahaya di udara melintasi tegak lurus medan magnetik homogen dengan dengan induksi magnetik 1/8 x 10-3 W/m2. Hitung gaya yang bekerja pada muatan tersebut.
135
136
