BAB 5 Integral Lipat dan Penggunaannya

Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I

MODUL 5 INTEGRAL LIPAT DAN PENGGUNAANNYA Satuan Acara Perkuliahan Modul 5 (Integral Lipat dan Penggunaannya) sebagai berikut. Pertemuan ke-

Pokok/Sub Pokok Bahasan

1

Integral Lipat Integral Lipat Dua

Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa diharapkan mampu:  menghitung integral lipat dua dengan menggunakan integral

f x, y dA

berulang.

b

d

a

c

f x, y dy dx

R

  

menggunakan interpretasinya untuk menentukan masalah real seperti penentuan volume benda pejal. memahami daerah pengintegralan yang lebih umum dan menentukan batas-batasnya. menuliskan integral lipat dua sebagai integral berulang.

f x, y dA

b a d

2

c

1

S

Mengubah Urutan Pengintegralan

 

Integral Lipat Tiga

 

2

Integral Lipat Transformasi Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar

x

f x, y dx dy .

melakukan perubahan urutan pengintegralan dari dxdy menjadi dydx atau sebaliknya, menggunakannya untuk menentukan masalah real seperti penentuan volume benda pejal dan sejenisnya. menghitung integral lipat tiga menggunakan integral berulang, menggunakan integral lipat tiga untuk menentukan volume benda.

f x, y dA R

f r cos , r sin R

f x, y dxdy 

rdrd .

melakukan transformasi integral dari koordinat Cartesius ke koordinat polar dan sebaliknya R

Aip Saripudin

x

f x, y dy dx atau

Mahasiswa diharapkan mampu:  memahami daerah pengintegralan dalam koordinat polar/kutub dan menentukan batas-batasnya.  menuliskan integral lipat dua sebagai integral berulang



Mengganti Peubah Integral; Transformasi

x

1

R

f x, y dA

x

2

f r cos , r sin

rdrd

R

mentransformasikan satu ke satu pada daerah S di bidang-uv ke daearah D di bidang-xy dengan

Modul 5 Integral Lipat - 67


Jacobi  

persamaan berbentuk: x = g(u,v), y = h(u,v). menentukan determinan Jacobi mentransformasikan integral menggunakan transformasi Jacobi dengan formula:

f ( x, y)dxdy D

3

4

Aip Saripudin

f ( g (u, v), h(u, v)) | J (u, v) | dudv S

Integral Lipat Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Bola

Mahasiswa diharapkan mampu:  mengubah koordinat dari koordinat ruang ke koordinat bola atau sebaliknya  mentransformasikan integral lipat tiga dalam koordinat ruang menjadi koordinat bola dan menghitungnya

Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Tabung



Integral Lipat Penggunaan Integral Lipat

Mahasiswa diharapkan mampu:  mampu menggunakan integral lipat dua untuk menyelesaikan berbagai masalah seperti penentuan pusat massa, volume, momen inersia, dan sebagainya.  mampu menggunakan integral lipat tiga untuk menyelesaikan berbagai masalah seperti penentuan pusat massa, volume, momen inersia, dan sebagainya.



mengubah koordinat dari koordinat ruang ke koordinat tabung atau sebaliknya mentransformasikan integral lipat tiga dalam koordinat ruang menjadi koordinat tabung dan menghitungnya



5.1 Integral Lipat Dua 5.1.1 Integral Lipat Dua Pada Bidang Segiempat Perhatikan Gambar 5.1. Proyeksi kurva permukaan z

f ( x, y) pada bidang xoy adalah daerah pengintegralan D. Jika daerah pengintegralannya berupa bidang segiempat dengan a x b dan c y d , secara umum ditulis: D {( x, y ) | a x b, c y d } . z

y

z

f ( x, y) d D d

c a

c y

a

D

b

x

b

x Gambar 5.1

Pengintegralan f ( x, y ) terhadap daerah D

{( x, y ) | a

x

b, c

y

d } dinyatakan

sebagai integral berulang sebagai berikut:

b d

f ( x, y)dA D

f ( x, y)dydx a c

Catatan: Ketika mengintegralkan terhadap x, anggap y konstanta. Demikian pula, ketika mengintegralkan terhadap y, anggap x konstanta.

CONTOH 1

(2 x

Hitung

y)dA dengan D {( x, y ) | 0

x

2, 0

y

1} .

D

Penyelesaian Integralkan dulu bagian dalam terhadap y (anggap x konstanta), hasilnya kemudian integralkan terhadap x. 2 1

(2 x D

y)dA

(2 x

y)dydx

0 0

2

2

[2 xy 0

Aip Saripudin

1 2

y 2 ]10 dx

(2 x

1 2

)dx [ x 2

1 2

x]02

5

0



3 2

CONTOH 2

(x2 y

Hitung

xy 2 )dxdy .

0 1

Penyelesaian 3 2

3 2

(x y

2

[ 13 x 3 y

xy )dxdy

0 1

x 2 y 2 ]12 dy

1 2

0 3

[ 73 y

y 2 ]dy [ 76 y 2

3 2

1 2

y 3 ]30

24

0

f ( x, y)dA adalah volume bangun di bawah

Interpretasi geometris integral lipat dua D

permukaan z

f ( x, y) yang berada di atas bidang D. Jika f ( x, y) 1 , integral tersebut

dA sama dengan luas bidang D. D

4 x2 y 1} .

y 2 yang berada

Tentukan volume bangun di bawah permukaan z

CONTOH 3

di atas bidang D

{( x, y ) | 0

x 1, 0

Penyelesaian

4 x 2 y 2 yang berada di x 1, 0 y 1} adalah seperti

Bangun di bawah permukaan z

z

atas bidang D

4

{( x, y ) | 0

pada Gambar 5.2 di samping. Volume bangun tersebut adalah 3

1 1

(4 x 2

V

y 2 )dA

D

2

(4 x 2 0 0

1

1

x2 y

[4 y 0

1

y

1 3

y 3 ]10 dx

( 113

0

[ 113 x

1

y 2 )dydx

x 2 )dx

0 1 3

x 3 ]10

10 3

x Gambar 5.2

5.1.2 Integral Lipat Dua Pada Bidang Bukan Segiempat Daerah pengintegralan dapat berupa bidang sebarang (bukan segiempat), seperti diilustrasikan pada Gambar 5.4. Untuk kasus seperti ini, kita dapat mengambil batas pada sumbu-x konstanta, sedangkan batas pada sumbu y sebagai fungsi dari x atau sebaliknya. Pada Gambar 5.4(a), daerah ( x)} . Sementara itu, pada pengintegralan adalah D {( x, y ) | a x b, ( x ) y Gambar 5.4(b), daerah pengintegralan adalah D

Aip Saripudin

{( x, y ) | ( y )

x

( y ), c

y

d }.



y

y

( y) ( y)

(x) d

D

D

(x) a

c x

x

b (a)

(b) Gambar 5.4

Jika f ( x, y ) diintegralkan terhadap D

{( x, y ) | a

x

b,

( x)

y

( x)} ,

x

( y ), c

integralnya ditulis sebagai

b

( x)

a

( x)

f ( x, y )dA D

f ( x, y )dydx

Di lain pihak, jika daerah pengintegralannya D

{( x, y ) | ( y )

d

d},

( y)

f ( x, y )dA D

y

f ( x, y )dxdy c

( y)

2 2x

CONTOH 4

xydydx .

Hitung 0 x

2

Penyelesaian 2 2x

2

xydydx 0 x2

CONTOH 5

2 1 2

2 2x x2

(2 x 3

[ xy ] dx 0

1 2

x 5 )dx [ 12 x 4

1 12

x 6 ]02

8 3

.

0

Tentukan luas daerah D yang dibatasi oleh y

Penyelesaian

x2 .

2 x dan y y

Dari skets daerah pengintegralan diperoleh 4

y D

Aip Saripudin

2x 2

x - 71 Modul 5 Integraly Lipat x 0 2 Gambar 5.3


D {(x, y) | 0

2, x 2

x

y

2x}

Dengan demikian, luas daerah D adalah 2 2x

A

dA

2

dydx 0 x2

D

[x2

x 2 )dx

(2 x

4 3

x 3 ]02

1 3

0

Tentukan volume tetrahedron yang dibatasi oleh bidang z bidang koordinat.

CONTOH 6

4 2x

y dan

Penyelesaian

z

Bangun tetrahedron yang dibatasi oleh bidang diperlihatkan pada Gambar 5.5. z

4 2x

y dan bidang koordinat

y

4

4

y

4 2x

D y

4

0

2

x

2

D

x

{( x, y ) | 0

x

2, 0

y

4 2 x}

Gambar 5.5

Daerah pengintegralan (proyeksi bangun pada bidang xoy) berupa segitiga dan dapat dinyatakan oleh D {( x, y ) | 0 x 2, 0 y 4 2 x} . Dengan demikian, volume tetrahedron tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. 2 4 2x

V

(4 2 x

y)dA

D

(4 2 x 0

y)dydx

0

2

2

[4 y 2 xy

1 2

2 4 2x 0

y ]

dx

0

(4(4 2 x) 2 x(4 2 x)

1 2

(4 2 x) 2 )dx

0

2

(16 8 x 8 x 4 x 2

1 2

(16 16 x 4 x 2 ))dx

0

2

(8 8 x 2 x 2 )dx [8 x 4 x 2 0

Aip Saripudin

2 3

x 3 ]02

16 3



Mengubah Urutan Pengintegralan Kadang-kadang, mengintegralkan dalam urutan tertentu sulit dilakukan. Salah satu cara mengatasinya adalah dengan mengubah urutan pengintegralan dari bentuk ”dydx” menjadi ”dxdy”. Meskipun urutan pengintegralan ini berubah, daerah pengintegralannya tetap sehingga hasil akhirnya akan tetap sama. Mengubah urutan pengintegralan dapat dilakukan jika fungsi batas pengintegralan memiliki invers.

CONTOH 7

x 2 ydA dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh garis y

Hitung

2x

D

x 2 . Hitung integral ini dengan dua cara (berbeda urutan).

dan y Penyelesaian

Daerah pengintegralan D seperti diperlihatkan pada Gambar 5.6. Daerah D ini dapat dinyatakan dalam dua cara sebagai berikut. (1)

D {(x, y) | 0

x

2, x 2

(2)

D {(x, y) | 0

y

4, y / 2

y

y

x

y

4

2x}

y}

D

0

D {(x, y) | 0

Untuk

x

2, x

2 2x 2

0 x

Untuk

4 2

x ydA D

2 2x x2

y

x

4 1 3

x ydxdy

3

[ x y]

0 y/2

x 6 )dx [ 52 x 5

1 14

x 7 ]02

128 35

y} :

4 2

1 2

0

4, y / 2

y

y

Gambar 5.6

(2 x 4

0

D {(x, y) | 0

x

y/2

x

2

2x}:

[ x y ] dx

2

x2

y

x

2 2

1 2

x ydydx

D

y

2 2

x ydA

2

2x

y y/2

0

5

( 13 y 2

dx

1 24

7

y 4 )dx [ 212 y 2

1 120

y 5 ]04

128 35

0

Perhatikan bahwa hasil akhirnya sama. Jadi, mengubah urutan pengintegralan tidak akan mengubah hasil akhir hasil pengintegralan.

2 4

CONTOH 8

x3

Hitung 0 x

x4

2

y2

dydx .

Penyelesaian Pengintegralan dengan urutan seperti di atas sulit dilakukan. Oleh karena itu, kita ubah urutan pengintegralannya. Dari batas-batas pengintegralan di atas diperoleh daerah pengintegralannya adalah

D {(x, y) | x 2

y

4, 0

x

Daerah ini juga dapat dinyatakan sebagai

2}. Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.7. D {(x, y) | 0

x

y, 0

x

4} . Dengan

demikian, menghitung integralnya sebagai berikut.

Aip Saripudin



2 4

0 x2

4

x3 x4

y2

y

x3

dydx

x4

0 0

y

dxdy (*)

y2

Untuk mengintegralkan bagian dalam (terhadap x), gunakan metode substitusi:

x4

u

y2

du

dengan batas-batas: x

0

y

4

x

y

4

D

4 x 3 dx y2 ,

u

x

x2

y

y

u

0

x

2

2y 2

Gambar 5.7

Dengan demikian, diperoleh y

4

2 4 2y

x3 x4

0 0

y2

4 1 4

dxdy

u

1/ 2

dudy

4 2

[u 1 / 2 ]2y 2y dy

1 2

0 y2

1 2

0

[ 14 ( 2 1) y 2 ]04

( 2 1) ydy 0

4( 2 1)

Jadi, 2 4

0 x2

4

x3 x4

y2

y

x3

dydx

x4

0 0

y2

dxdy

4( 2 1) .

SOAL-SOAL LATIHAN 5.1 1.

Hitung integral berikut. 2 3

2 4

(x2

(a)

y )dxdy

xy 2 dydx

(b) 0 1

1 0

2.

xydA jika:

Tentukan D

(a) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis x (b) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis 3.

D {(x, y) | 0

x

4, x

y

x2 .

x}

(b) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis

x 1, x

3 , dan y

x 3.

Tentukan volume benda padat yang dibatasi oleh permukaan 9 x bidang 9 x

5.

x dan y

2x .

Nyatakan luas daerah D berikut dalam bentuk integral lipat dua, kemudian hitung integralnya. (a)

4.

y

2 , dan y

0, x

4 y 6z

4y2

36

0 dan

0.

Tentukan volume bangun yang dibatasi oleh bidang 2 x koordinat.

Aip Saripudin

2

y 2z 4

0 dengan bidang



6.

Ubah urutan pengintegralan dari integral berikut. 4 y/2

2 x

f ( x, y )dydx

(a) 7.

f ( x, y )dxdy

(b)

0 1

0 0

Skets daerah pengintegralan, ubah urutannya, kemudian hitung integralnya. 1 y 2

e x dxdy

(a)

(b)

0 0

0

sin y dydx y x

5.2 Integral Lipat Tiga Integral lipat tiga merupakan perluasan dari integral lipat dua ke dimensi yang lebih tinggi. Sebagai ilustrasi, tinjau sebuah balok yang panjangnya p, lebarnya l, dan tingginya t, seperti pada Gambar 5.8(a). Dalam bentuk integral lipat dua, volume balok ditentukan dengan f ( x, y) t pada daerah D {( x, y, z ) | 0 x p, 0 y l} mengintegralkan z sebagai berikut. p l

V

f ( x, y )dA D

p

p

[ty]l0 dx

tdydx 0 0

0

ltdx [ltx]0p

plt

0

z

z

z

( x, y)

t dz dy

B

dx

y

l

a

p

b x

x

y

z

( x, y)

y

(x)

y

(x)

(a)

(b) Gambar 5.8

Sekarang, ambil segmen panjang pada x = dx, segmen panjang pada y = dy, dan segmen panjang pada z = dz. Segmen volume balok adalah dV dzdydx . Daerah penginteralannya adalah

B

{( x, y, z ) | 0

x

p, 0

y

l, 0

z

t} . Volume total balok ditentukan dengan

integral lipat tiga sebagai berikut. p l t

dV B

p l

dzdydx 0 0 0

p

tdydx 0 0

ltdx

plt .

0

Hasilnya sama dengan cara menggunakan integral lipat dua.

Aip Saripudin



Secara umum, fungsi f ( x, y, z ) dapat diintegralkan pada daerah pengintegralannya. Daerah pengintegralan integral lipat tiga (lihat Gambar 5.8(b)) secara umum ditulis:

B

{( x, y, z ) | a

x

b,

( x)

y

( x),

( x, y )

z

( x, y )} .

Bentuk integral lipat tiga dalam ditulis sebagai

b

( x) ( x, y )

a

( x) ( x, y )

f ( x, y, z )dV

f ( x, y, z )dzdydx

B

Interpretasi

geometri

dan

Secara

geometri,

dalam

kasus

f ( x, y, z) 1 ,

dV adalah volume benda B. Secara fisis, untuk f ( x, y, z )

f ( x, y, z )dV B

fisis

0 pada

B

massa benda dengan f ( x, y, z )

f ( x, y, z )dV

B,

massa jenis benda B di ( x, y, z ) .

B

1

CONTOH 1

xy

xyzdzdydx .

Hitung 0 x 0

Penyelesaian xy

1

1

x

1 2 y 0

1 2

xyzdzdydx

[ xyz ] dydx

0 x 0

0 x 1 4

x

1 8

[ xy ] x dx 0

CONTOH 2

xy 3 dydx 0 x

1 1 8

x

1 2

( x3

x 5 )dx

y

2x, 0

1 8

[ 14 x 4

1 6

x 6 ]10

1 96

.

0

x 2 yzdV dengan

Tentukan B

B {(x, y, z) | 0

x 1, x 2

z

xy} .

Penyelesaian 1 2 x xy

x 2 yzdV B

1 2x

x 2 yzdzdydx 0 x2 0

0 x2

1 2x

1

x 4 y 3 dydx

1 2

[ x 2 yz 2 ]0xy dydx

1 2

[ x 4 y 4 ]2x2x dx

1 8

0 x2

0

1

(16 x8

1 8

x12 )dx

[ x9

1 16 8 9

1 13

x13 ]10

119 936

0

Aip Saripudin



Sebuah benda B dibatasi oleh silinder parabol z

CONTOH 3

x , dan y

y

1 2

2

x 2 dan bidang z

0,

0 . Nyatakan volume benda dalam bentuk integral lipat tiga,

kemudian carilah nilainya. Penyelesaian Benda B yang dimaksud seperti ditunjukkan pada Gambar 5.9. Dari Gambar 5.9(b) jelas bahwa daerah pengintegralannya adalah

B {(x, y, z) | 0

x

2, 0

y

x, 0

z

x 2 }.

2

1 2

1 8

x 4 ]02

Dengan demikian, 2 x 2

V

1 2 x 2

dV

2 x

dzdydx

B

0 0

0

2

(2

1 2

2

x )dydx

1 2

(2 x

0 0

x 3 )dx [ x 2

z

z

Pemukaan

Bidang y = 0

2

0

z

Bidang y = x

2

1 2

x2 2

Pemukaan

z

2

1 2

x2

0

y

y

2 y=x

x x (a)

(b)

Gambar 5.9


Hitung integral berikut. 2 2 1 3y8 x y

1 1 1

(x

(a)

2

y

2

2

z )dzdydx

0 0 x2 3 y 2

0 0 0

2.

dzdxdy

(b)

xdzdydx jika

Hitung B

(a) B

x, 0

z

2

(b) B adalah daerah yang dibatasi oleh permukaan z

4

x2

y

Aip Saripudin

{( x, y, z ) | 0

x 1, 0

0 , y 1 x 2 , dan z

y

2

x

y}

y dan bidang x 1 ,

3.



2

3.

Benda B dibatasi oleh bidang y z 1 dan y x . Nyatakan volume benda B dalam bentuk integral berulang lipat tiga kemudian tentukan nilainya.

4.

Tentukan volume benda yang dibatasi oleh bidang koordinat dan bidang x y 2z 2 di oktan pertama.

z 1 dan

5.3 Transformasi Koordinat Pada Integral Lipat 5.3.1 Transformasi Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar Koordinat polar Tinjau Gambar 5.10. Titik (x, y) dalam koordinat bidang dapat dinyatakan dalam koordinat polar (r, θ). Hubungan antara besaran dalam koordinat kutub dan koordinat polar sebagai berikut. y

x

r cos

y

r sin

r2

x2

P(x, y) r

y2

y x

x

0

Gambar 5.10

Integral lipat dua dalam koordinat polar Tinjau Gambar 5.11. Pada Gambar 5.11(a), daerah , } . Pada Gambar 5.11(b), pengintegralan dinyatakan oleh D {( r , ) | a r segmen luas dA dapat dinyatakan oleh dA

rdrd

maka

b

f (r , )dA D

*

f (r , )rdrd a

θ=β r=b r=a

rdθ D θ=α

dA

dθ dr

Sumbu polar (a)

(b) Gambar 5.11

Aip Saripudin



CONTOH 1

r 2 sin dA dengan D adalah bidang setengah lingkaran berjari-jari 2.

Hitung D

Penyelesaian Daerah pengintegralannya adalah D

{( r , ) | 0

r

2, 0

} (Gambar 5.12) maka

2 2

r 2 sin

r sin dA D

rdrd

y

0 0

2

r 3 sin drd

r

0 0

θ=π −2

4 2 0

1 4

θ=0 x 2

0

[r ] sin d Gambar 5.12

0

8 sin d

8[ cos ]0

16

0

Transformasi Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar Hubungan antara integral lipat dua dalam koordinat bidang dan koordinat polar sebagai berikut.

f ( x, y)dA D

dengan

D*

D

{(r, ) |

CONTOH 2

, g1 ( )

ex

Hitung

2

f (r , )rdrd . *

y2

r

g 2 ( )}.

dA dengan S adalah bidang lingkaran x 2

y2

4.

S

Penyelesaian 2

2

y

y 4 adalah lingkaran berpusat di Persamaan x (0, 0) dan berjari-jari 2. Dengan demikian, daerah pengintegralanya dapat dinyatakan oleh 2

2

2

S {( x, y ) | x y 4} seperti diperlihatkan pada Gambar 5.13. Dalam bentuk polar, daerah ini dinyatakan oleh

S

*

{(r, ) | 0 r

transformasi koordinat, r

2, 0

2

x2

2 } . Dengan

r −2

e S

r2

dA

−2

e rdrd 0 0

Gambar 5.13

2

0

Aip Saripudin

2 2

[e r ]02 d

1 2

x

r2

e dA S*

θ = 2π

y 2 , maka 2 2

x2 y 2

0

θ=0

1 2

(e 4 1) d

(e 4 1)

0



CONTOH 3

1

1 x2

0

0

1

Hitung

1 x2

y2

d ydx .

Penyelesaian Daerah pengintegralan dari integral di atas adalah D

{( x, y) | 0

x 1, 0

1 x 2 }.

y

Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.14. Dengan memperhatikan Gambar 5.14, daerah D dapat dinyatakan dalam bentuk polar sebagai berikut. y θ = π/2 1

y

1 x

y

1 x2

x2

y2

θ=0

0

1

sehingga diperoleh

{(r, ) | 0 r 1, 0

/ 2}

Dengan transformasi koordinat ke koordinat polar,

x

1

r2

1

1 x2

2

D* r

y2

1 x2

y2

1 r2

Gambar 5.14

dA dydx

rdrd

maka 1

0

1 x2

/2 1

1 1 x2

0

d ydx

y2

0

1

CONTOH 4

0

/2

1 1 r2

/2

1

1 r2 0d

rdrd

d

0

2

0

.

1 y2

sin( x 2

Hitung 0

y 2 )dxdy .

y

Penyelesaian Daerah pengintegralan di atas adalah D

{(x, y) | 0

y 1, y

1 y 2 } . Daerah ini

x

diperlihatkan pada Gambar 5.15. Dengan memperhatikan Gambar 5.15, daerah D dapat dinyatakan dalam bentuk polar sebagai berikut. y

Titik potong kedua kurva: x1

1 y2

x

y

1

x

y

2y2

1 y2 1

y2 1 2

y

θ2 = π/2 θ1 = π/4 x 0

1

Aip Saripudin

4

1

y x

1 y2 2

x

1 2

2

1 2

2

Untuk y = 1, x = 0 maka tan

Gambar 5.15 sehingga diperoleh

maka tan

2

x2

1 2

1

1 0

4

2

2

. Selanjutnya,



sehingga diperoleh

x

1 y2

x2

1 y2

D*

{(r, ) | 0 r 1, 0

x2

y2

r2

1

1

/ 2}.

Dengan transformasi koordinat ke koordinat polar,

sin( x 2

y2 )

dA dxdy

sin r 2

rdrd

maka 1

1 y2

/2 1

sin( x 2 0

y 2 )dxdy

/2

(sin r 2 )rdrd

y

[ cos r 2 ]10 d .

1 2

/4 0

/4 /2

1 2

(1 cos1) d

4

(1 cos1)

/4

5.3.2 Mengganti Peubah Integral: Transformasi Jacobi Misalnya daerah S dalam bidang uv ditransformasikan satu ke satu pada daerah D dalam bidang xy dengan persamaan berbentuk:

x

g (u, v), y

h(u, v) ,

seperti diilustrasikan pada Gambar 5.16. Sebuah fungsi f ( x, y ) yang didefinisikan pada D dapat dipandang sebagai fungsi f ( g (u, v), h(u, v)) yang didefinisikan pada G. Jika g, h, dan f memiliki turunan parsial kontinu,

f ( x, y)dxdy D

f ( g (u, v), h(u, v)) | J (u, v) | dudv S

u

y x = g(u, v) y = h(u, v)

• (u, v)

• (x, y)

v Koordinat bidang-uv

x Koordinat bidang-xy

Gambar 5.16

dengan J (u , v) adalah determinan Jacobi yang didefinisikan sebagai berikut.

Aip Saripudin



( x, y ) (u, v)

J (u, v)

CONTOH 1

(2 x 2

Hitung

x u y u

x v y v

x y u v

y x u v

y 2 )dA dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh

xy

D

garis y

2x 4 , y

2x 7 , y

x 2 , dan y

x 1.

Penyelesaian Daerah pengintegralan D dalam koordinat bidang-xy diperlihatkan pada Gambar 5.17. Untuk mentranformasikan ke koordinat kurvilinear, kita tentukan dahulu daerah S pada bidang-uv yang terkait dan determinan Jacobi. Untuk itu, pilih u 2 x y dan v x y . Selanjutnya, nyatakan x dan y dalam u dan v dengan memecahkan sistem persamaan di atas sebagai berikut.

u v u

u 2x y 2v 2 x 2 y u 2v 3 y

2x y x y v 3x

diperoleh

1 (u v) dan y 3

x

1 (u 2v) 3

Turunan parsial pertama x dan y masing-masing adalah

x u

1 ; 3

x v

1 ; 3

y u

1 ; 3

y v

2 3

maka

( x, y ) (u , v)

x y u v

y x u v

1 3

2 3

1 1 3 3

1 3

Batas-batas daerah S sebagai berikut.

y

2x

4

2x

y

4

u

4

y

2x 7

2x

y

7

u

7

y

x 2

x

y

y

x 1

x

y

sehingga diperoleh S

Aip Saripudin

{( u , v) | 4

2

v

1 u

7,

2

v 1 v

1 2} (Gambar 5.17).



y

u

y

7

v = −1

2x 7

y

4

D

1

u=7

x 1

y

v=2 S u=4

x 2 x

v

2 7/2

y

2x 4 Gambar 5.17

Selanjutnya, integrannya ditransformasikan menjadi sebagai berikut.

2x2

y2

xy

(2 x

y )( x

y)

uv

Dengan demikian,

(2 x 2

xy

y 2 )dA

D

uv | J (u, v) | dudv S

2 7

2

uv(

1 3

1 1 2 7 [ 2 u v]4 dv 3 1

)dudv

14 2

1 33vdv 6 1

11 1 2 2 [2 v ] 1 2

33 4

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh xy

CONTOH 2

x

1 , xy

4, y

2 x , dan

2y .

Penyelesaian Daerah yang dimaksud pada soal diperlihatkan pada Gambar 5.18. Daerah S yang berkaitan dengan daerah D dapat ditentukan sebagai berikut. y

u

y

2x

v

1 2

v

2 u

x D

0

2y

xy xy 1

4

S

4

u 1 x

0

v

Gambar 5.18

Aip Saripudin



Pilih u xy dan v y / x . Kita juga dapat menentukan determinan Jacobi dengan terlebih dahulu menentukan turunan parsial u dan v masing-masing terhadap x dan y sebagai berikut.

u x

u y

y;

(u , v) ( x, y )

v x

y ; x2

v u x y

y

x;

u v x y

v y 1 x

1 x y x x2

2

y x

2v

maka

J (u, v)

( x, y ) (u, v)

1 (u, v) ( x, y )

1 2v

Persamaan garis pada bidang-uv yang berkaitan dengan garis pada bidang-xy sebagai berikut.

xy 1

u 1

xy

4

u

y

2x

y x

2

v

2

x

2y

y x

1 2

v

1 2

4

Keempat garis tersebut pada bidang-uv diperlihatkan pada Gambar 5.18. Dari gambar jelas bahwa daerah S yang bersesuaian dengan daerah D adalah S {( u , v) | 1 u 4, 12 v 2} . Dengan demikian, luas daerah D adalah 2 4

dxdy

| J (u, v) | dudv

D

S

1/ 2 1

1 dudv 2v

2

3 dv 2v 1/ 2

3 [ln v]12/ 2 2

3 ln 4 . 2

5.3.3 Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Tabung Koordinat Tabung Hubungan antara koordinat bidang (x, y, z) dan koordinat tabung (r, θ, z) sebagai berikut (Gambar 5.18).

z z

x

r cos

y

r sin

z

x2

r

z

x

y2

P(r, θ, z) = P(x, y, z)

r2

y y

θ

x Gambar 5.18

Aip Saripudin



Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Tabung Tinjau benda pejal B pada Gambar 5.19. Pada Gambar 5.19(a), proyeksi B pada bidang-xy adalah daerah D yang dapat dinyatakan r r2 ( )} . Pada sumbu-z, benda B dibatasi oleh oleh D {( r , ) | 1 2 , r1 ( )

z

z1 (r , ) dan z B

z2 (r , ) . Dengan demikian, benda pejal B dapat dinyatakan oleh

{( r , , z ) |

1

z

2

, r1 ( )

r

r2 ( ), z1 (r , )

z

z 2 (r , )} .

z

z2(r,θ)

dr dz

B z1(r,θ) y θ2 x

y

dθ

rdθ

D

θ1

x

r2(θ)

r1(θ) (a)

(b) Gambar 5.19

Gambar 5.19(b) memperlihatkan elemen volume dV. Elemen volume ini dapat dinyatakan oleh

dV

rdzdrd

Dengan menggunakan transformasi koordinat: (x, y, z) → (r, θ, z), diperoleh hubungan antara integral lipat tiga pada koordinat bidang dan koordinat tabung sebagai berikut.

2 r2 (

) z2 ( r , )

1 r1 (

) z1 ( r , )

f ( x, y, z )dV B

CONTOH 1

F (r , , z )rdzdrd

Benda B dibatasi oleh tabung x

y

2z

2

y2

4 , bidang xoy, dan bidang

2 . Tentukan volume benda B.

Penyelesaian Benda B seperti diperlihatkan pada Gambar 5.20(a). Daerah pengintegralan dalam koordinat tabung ditentukan sebagai berikut. Proyeksi benda B pada bidang xoy adalah daerah D yang diperlihatkan pada Gambar 5.20(b). Jika ditransformasikan ke koordinat tabung, diperoleh

x2

y2

4 → r2

Dengan demikian, daerah D dapat dinyatakan oleh D

Aip Saripudin

4→r

2

{( r , ) | 0

2 , 0

r

2} .



z

y

z

1 2

1

x2

y

4

x

−2

2

{( r , ) | 0

2 , 0

y

y2

x

D (a)

r

2}

(b) Gambar 5.20

Batas-batas pada sumbu z adalah bidang xoy (z = 0) dan bidang y tabung,

2 → r sin

y 2z

2→ z 1

2z

1 2

sehinga diperoleh batas-batas pada sumbu z adalah 0 keseluruhan daerah pengintegralannya adalah

B

{( r , , z ) | 0

2 , 0

r

2 . Dalam koordinat

1 2

r sin . Jadi, secara

r sin

z 1

2, 0

2z

z

1

1 2

r sin }

Selanjutnya, volume benda B ditentukan sebagai berikut. 2 21

V

1 r sin 2

dV

2 2 1

rdzdrd

B

0 0

[rz ]0

0

1 r sin 2

drd

0 0

2 2

2 1 2

(r

2

[ 12 r 2

r sin )drd

0 0

1 6

r 3 sin ]02 d

0

2

(2

8 6

sin )d

[2

8 6

cos ]02

4

0

CONTOH 2

(x2

Hitung

y 2 )dV jika B dibatasi oleh permukaan z

4

x2

y2

B

dan bidang

z

0.

Penyelesaian Benda B diperlihatkan pada Gambar 5.21. Proyeksi benda B pada bidang xoy berupa lingkaran berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 2. Daerah ini dapat dinyatakan oleh

D

{( r , ) | 0

2 , 0

r

2} .

Dalam koordinat tabung,

Aip Saripudin



x2 z

y2

r 2 ; dV x2

4

y2

rdzdrd

4 r2

Maka batas-batas dalam sumbu-z adalah 0 dinyatakan oleh

B {(r, , z) | 0

z

4 r 2 . Dengan demikian, benda B dapat

2 , 0 r

2, 0

z

z

4 r 2} .

y

B −2 −2

D

2

2

D

y

x

x Gambar 5.21

Dengan demikian, 2 2 4 r2

(x

2

2

B

2 2

r 2 rdzdrd

y )dV 0 0

0

[r 3 z ]04

r2

drd

0 0

2 2

2

( 4r 3

r 5 )drd

0 0

2

[r 4

1 6

16 d 3 0

r 6 ]02 d

0

32 3

5.3.4 Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Bola Titik-titik pada koordinat bola dinyatakan oleh (r, θ, ) dan hubungannya dengan koordinat bidang (x, y, z) seperti diperlihatkan pada Gambar 5.22. Dalam hal ini,

z

P(r, θ, )

x

r sin cos ;

y

z

r cos ;

0

r2

x2

y2

z2

r sin sin

r θ

y

x Gambar 5.22

Aip Saripudin



Elemen volume dV dalam koordinat bola diperlihatkan pada Gambar 5.23. Besarnya adalah

r 2 sin drd d

dV

Hubungan antara integral lipat tiga dalam koordinat bidang dan koordinat bola dinyatakan oleh

2

2(

f ( x, y, z )dV

) r2 ( , ) 2

r sin drd d

B

1

1(

) r1 ( , )

z

dr dθ rd

r

r sin d

d y

θ dθ

r sin d

x

Gambar 5.23

CONTOH 1

Buktikan bahwa volume bola berjari-jari R adalah

4 3 R . 3

Penyelesaian Daerah pengintegralan bola adalah B

{( r , , ) | 0

2 , 0

, 0

(Gambar 5.24). Volume bola adalah

r

R}

z

2 R

V

r 2 sin drd d

dV B

0 0 0

2

B

2

[ 13 r 3 sin ]0R d d

1 3

R 3 sin d d

0 0

0 0

R 1 3

R 3 sin [ ]02 d

0

2 R 3 [ cos ]0 3

Aip Saripudin

2 R 3 sin d 3 0 4 3 R 3

y

R x

Gambar 5.24



9 x2

3

CONTOH 2

9 x2 z 2

(x2

Hitung 3

9 x2

3

y2

z 2 ) 2 dydzdx .

9 x2 z 2

Penyelesaian Kita selesaikan integral di atas dengan mengubahnya ke koordinat bola. Daerah pengintegralannya adalah

B {(x, y, z ) | 3

x

9 x2

3,

9 x2 ,

z

9 x2

z2

{(r, , ) | 0 r

3, 0

, 0

2 }

(x

2

y

2

2

z )

B

2

(r )

3 2

r

3

y 3

r 2 sin drd d

dV

x

Gambar 5.25

Dengan demikian diperoleh 3

9 x2

9 x2 z 2

(x 3

9 x2

2

y

2

2

2 3

3 2

r 5 sin drd d

z ) dydzdx 0 0 0

9 x2 z 2

2

2

[ 16 r 6 sin ]30 d d

243 2

0 0

sin d d

0 0

243 sin [ ]02 d 2 0 243 [ cos ]0

243 2 sin d 2 0 486


Hitung integral berikut. / 2 sin

0

2.

1 cos

rdrd

(a)

r sin drd

(b)

0

0

0

Hitung integral berikut dengan cara mentransformasikannya terlebih dahulu ke koordinat polar. 1

1 x2

(x

(a) 0

x

Aip Saripudin

2

2

2

y )dydx

4 y2

e

(b) 0

z2 }

3

Integran dan elemen volumenya 3 2

9 x2

z

Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.25. Dalam koordinat bola, daerah pengintegralannya dapat dinyatakan oleh

B*

y

( x2 y 2 )

dxdy

0



3.

Gunakan koordinat polar untuk menentukan volume benda padat di oktan pertama yang berada di dalam paraboloida z

y 2 dan di dalam silinder x 2

x2

4

4.

1

Gunakan transformasi Jacobi untuk menentukan integral berikut: 0

5.

y 2

y2

9.

2x

y 2

y 2

dxdy

Jika D adalah daerah di kuadran pertama bidang-xy yang dibatasi oleh hiperbola xy

xy 9 , dan garis y x , y 4 x . Gunakan transformasi x u 0 dan v 0 untuk mengubah integral: y x

1,

u / v dan y uv dengan

xy dxdy

D

sebagai integral di atas daerah S pada bidang-uv, kemudian tentukan hasilnya. 3

6.

x2

Hitung 0

7.

0

y 2 dzdydx . (Petunjuk: Gunakan koordinat tabung!)

0

Tentukan volume benda padat yang dibatasi oleh paraboloid z

z 8.

9 x2 2

x2

y 2 , bidang

0 . (Petunjuk: Gunakan koordinat tabung!)

Tentukan volume volume benda padat di dalam bola x

z

4

x2

2

y2

z2

16 , di luar kerucut

y 2 , dan di atas bidang xoy. (Petunjuk: Gunakan koordinat bola!)

5.4 Penggunaan Integral Lipat

Aip Saripudin


BAB 5 Integral Lipat dan Penggunaannya

Recommend Documents