Partie B : Calcul et dimensionnement des Ouvrages d’Art Chapitre 4 : Etude des Ponts à Poutres à Travées Indépendantes « calcul de CRT »
Par Othman Ben Mekki ENIT 2011
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Avant-propos
Flexion locale et transversale
Flexion longitudinale 2
Objectifs
Cette Charge comment sera répartie sur les poutres principales ??? 3
Introduction Depuis très longtemps, les ponts ont été construit et bien souvent leurs conceptions ainsi que leurs réalisations reposaient sur des connaissances empiriques et le savoir faire des concepteurs. Les ponts ont été construits avant même de savoir les calculer et aujourd’hui encore, certains types de ponts ne peuvent pas être
calculés convenablement malgré la puissance des ordinateurs et des méthodes aux éléments finis.
Avant le développement des MEF, les ingénieurs ont développé des méthodes pour calculer analytiquement les ponts à poutres. Ces
méthodes, basées sur la théorie de l’élasticité, permettaient d’offrir des moyens de dimensionner ces structures en prenant en compte la rigidité transversale des pièces d’entretoisement. 4
Introduction •Le rôle principal des entretoises est de répartir les efforts entre les poutres principales. •Dans le cas de l'absence des entretoises, c'est le hourdis qui joue le rôle d'entretoisement. pour déterminer les efforts dans une poutre, on doit tenir compte de la répartition transversale des surcharges à travers un coefficient correctif appelé Coefficient de Répartition Transversale "CRT". Ce coefficient détermine la portion des surcharges transmise sur la poutre considérée.
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Coefficient de Répartition Transversale L'étude du tablier est subdivisée en une étude dans le sens transversal et une étude d'une poutre dans le sens longitudinal.
• La première étude donne un Coefficient de Répartition Transversale (CRT).
• La deuxième étude donne les sollicitations globales à partir des lignes d’influences. Ainsi, on obtient le principe suivant: Sollicitation moyenne (poutre) = CRT x Sollicitation globale 6
Coefficient de Répartition Transversale
Pi= ηi P
ηi =1
•Dans le cas des poutres infiniment rigides à la torsion et les entretoises infiniment rigides à la flexion Pi= P/n
ηi =1/n
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Coefficient de Répartition Transversale •La répartition transversale des charges consistes en l’évaluation de la portion des surcharges transmise sur chaque poutre principale. • Cette répartition des charges dépend des paramètres suivants : La rigidité flexionnelle des poutres et des entretoises ( EIP, EIE) La rigidité torsionnelle des poutres et des entretoises( GKP, GKE)
Méthodes de calcul EIE=infini GKP=GKE=0
EIE≠ infini GKP≠ 0
Méthode de Courbon (c’est la plus simple) Méthode de Guyon-Massonnet (c’est la plus sophistiquée)
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Coefficient de Répartition Transversale • Section droite indéformable : pont à poutre avec entretoises intermédiaires
Méthode de Courbon
Méthode de torsion non uniforme (gênée)
•Section droite
déformable : pont à poutre sans entretoises intermédiaires Méthode de Guyon-MassonnetBares Méthode des ossatures plissées Méthode des matrices-transfert De flexion transversale 9
CRT :
Méthode de Courbon (Entretoises rigides)
•L’entretoise d’un pont multipoutre n’est que très peu soumise à la flexion. Cette dernière est la conséquence de la différence de flexion longitudinale des poutres principales. • S’inspirant de ce constat, Courbon considère l’entretoise comme une poutre infiniment rigide par rapport aux poutres principales.
•Cette hypothèse lui permet de développer une méthode simple pour dimensionner ce type d’ouvrage d’art. •A partir d’un chargement fixé au préalable, la méthode de Courbon détermine les réactions d’appuis exercées par les poutres principales sur l’entretoise : D’une part, la poutre infiniment rigide (entretoise) se déplacera dans son ensemble sans fléchir. D’autre part, l’entretoise repose sur n appuis élastiques au niveau des liaisons avec les poutres principales. Cela signifie que les réactions d’appuis verticales exercées sur la poutre sont 10 proportionnelles à l’abaissement de la poutre au droit de l’appui.
CRT : Méthode de Courbon • Hypothèse: • •
Rigidité torsionnelle des poutres est négligeable (VIPP, acier) On peut isoler l’entretoise et l’étudier comme une poutre continue sur appuis élastiques
e
i
i = + yi
Ri = Ki ( + yi)
11
CRT : Méthode de Courbon • Les deux équations d’équilibre pour déterminer les 2 inconnues
δ
n
Ki
n
i 1
i 1
n
n
i 1
i 1
2 R i yi P e K i yi
2. Équation d’équilibre de rotation
P
n
R i P Kiδ
1. Équation d’équilibre de translation verticale
i 1
Pe n
2 K i yi
i 1
• D’où la portion de charge transmise sur la i-ème poutre est :
K K y e Pi Ri P n i n i i K i K i yi2 i 1 i 1
Coefficient de répartition transversale
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CRT : Méthode de Courbon • Raideur élastique de i-ème ressort :
EI Pi Ki c 3 L • La valeur de charge transmise sur la i-ème poutre est :
EI p EI p i yi i Pi n n e P 2 EI p EI p yi i i i 1 i 1
• Si toutes les poutres de l’hourdis sont identiques et même pour une charge répartie : Coefficient de 1 y répartition Pi ( x) n i e P( x) transversale n yi2 i 1 1. Si on fixe yi et on fait varier e, on obtient la ligne d’influence du CRT 2. Si on fixe e et on fait varier yi, on obtient la portion de charge transmise à 13 chaque poutre longitudinale
Commentaire sur la méthode de Courbon Cette méthode néglige complètement le rôle de la dalle dans la transmission des efforts. •
Elle ne peut pas prendre la spécificité d’un pont biais, qui est un cas très fréquent dans la construction des ponts. •
Si la charge n’est pas sur une entretoise, le tablier est supposé doter d’une infinité d’entretoises rigides très rapprochées. •
Cette méthode, très simple, est bien adaptée dans le cas des tabliers en béton (armés ou précontraint). En effet, dans le cas des ponts en ossature mixte ou métalliques, les effets du gauchissement des sections peuvent affecter de façon sensible les bords des semelles inférieures des poutres principales. Or, ces effets ne peuvent être quantifiés par la méthode de Courbon, qui présente un caractère relativement global. Donc, si on veut examiner de près le niveau de contraintes dans les semelles des poutres, il est préférable de recourir à la théorie de la torsion non uniforme ou gênée. 14 •
CRT :
Méthode de Guyon-Massonnet (Dalle orthotrope et de grillage des poutres) •Lorsque la section transversale du pont est considérée déformable: rigidité torsionnelle des éléments d'un pont ne peut être négligée. Méthode de Guyon-Massonnet-Bares
• Cette méthode repose sur la théorie des plaques orthotropes. • Elle fut développée par Guyon dans les années 46 dans le cas d’une dalle orthotrope à rigidité torsionnelle négligeable.
• Massonnet en 1950 généralisa les relations trouvées par Guyon en introduisant l’effet de torsion dans les calculs. • En 66, Massonnet et Bares publièrent un recueil de ces méthodes illustré par un certain nombre d’exemples. 15
CRT : Méthode de Guyon-Massonnet Le système dalle-poutre discret est remplacé par un système uniforme composé d’une dalle anisotrope ou orthotrope ayant des caractéristiques constantes suivant chacun de ses axes transversal et longitudinal. x x
y y e1
e2
Disposition des nervures dans le plan moyen de la plaque.
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CRT : Méthode de Guyon-Massonnet • Ce passage d’une répartition discrète de la rigidité, à une
répartition continue, est l’hypothèse principale sur laquelle repose cette méthode. • La deuxième hypothèse consiste à admettre que le coefficient de Poisson du matériau constitutif est nul. • La troisième hypothèse consiste à considérer sinusoïdale appliquée dans la direction des poutres
une
charge
• Le réseau des poutres sera assimilé à une dalle orthotrope possédant deux bords libres (selon ox) et deux bords simplement appuyés (selon oy). 17
CRT : Méthode de Guyon-Massonnet • La méthode s’appuie sur la résolution approchée de l’équation
différentielle d’un grillage simple d’une travée indépendante, de portée L et de largeur 2b, constitué de n poutres longitudinales (portée L, espacement b1) et de m entretoises (portées 2b, et espacement L1).
•
4w 4w 4w P 4 P E 2 2 E 4 p( x, y) x x y y
P, E :
rigidité flexionnelle des poutres, respectivement, des entretoises répartie par unité de longueur
•P, E : rigidité torsionnelle des poutres, respectivement , des entretoises répartie par unité de longueur • w : déformée de la dalle • p(x,y) : chargement de la dalle
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CRT : Méthode de Guyon-Massonnet Poutres
Bp=E.IP CP=G.KP Entretoises
BE=E.IE CE=G.KE E E : Module de Young G ν : coefficient de Poisson 2(1 ) G: Module de cisaillement. IP et IE sont les moments d'inerties de flexions des poutres, respectivement, des entretoises. KP et KE sont les moments d'inerties de torsions des poutres, respectivement, des entretoises.
Rigidités par unité de longueur Rigidité de flexion :
Bp E.I p p b1 b1 E BE E.I E L1 L1
Rigidité de Torsion :
C p G.K p p b b1 1 C E G.K E E L1 L1
E Kp p 2 b1 E K E E 2 L1
CRT : Méthode de Guyon-Massonnet Les 2 paramètres fondamentaux • La résolution analytique directe de cette équation conduit à des calculs compliqués et
peu pratiques à mettre en œuvre. • La méthode de Guyon-Massonnet permet de s’affranchir de cette difficulté en utilisant une méthode approximative basée sur les coefficients de répartitions.
•La construction réelle est remplacée par une dalle orthotrope présentant les mêmes rigidités moyennes de flexion et de torsion. • Deux paramètres caractérisent l’ouvrage calculé : Paramètre d’entretoisement
Paramètre de torsion
b L
4
P E
P E 2 P E 20
CRT : Méthode de Guyon-Massonnet Les 2 paramètres fondamentaux Paramètre d’entretoisement : caractérise la souplesse de l’entretoisement • Plus
est grand, plus l’entretoisement est souple. • Lorsque le pont est très allongé ou les entretoises sont très rigides, est voisin de zéro. Pour <0.3,
méthode de Courbon
Paramètre de torsion : caractérise la résistance à la torsion de l’ouvrage
Ce coefficient varie entre 0 et 1
=0
(P+ E) = 0
La résistance à la torsion est négligeable.
=1
(P+ E) = 2
[P= E = ] Le pont est une dalle isotrope.
4w 4w 4w p( x, y ) 2 x 4 x 2 y 2 y 4
Les ponts à poutres ont un comportement intermédiaire entre 21 ces 2 cas limites !!!
CRT : Méthode de Guyon-Massonnet 4w 4w 4w x P 4 P E 2 2 E 4 p0 sin( ) x x y y L w( x, y ) W ( y, e) sin
x L
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CRT : Méthode de Guyon-Massonnet • Ils supposent de repartir la charge uniformément sur toute la largeur de la plaque (charge cylindrique) • Par suite, la déformée aussi sera cylindrique (ne dépend pas de y)
w0 ( x) W0 sin
x L
1 b W ( y, e) dy b 2b 1 b .x en effet : w0 ( x) W ( y , e ) sin dy b 2b L .x 1 b w0 ( x) W ( y , e ) dy . sin L 2b b .x w0 ( x) W0 .sin L avec
W0
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CRT : Méthode de Guyon-Massonnet • Guyon-Massonnet introduisent un rapport entre la déformée en un point due à la charge linéaire et la déformée du même point due la charge répartie.
w( x, y, e) W ( y, e) K ( y, e) w0 ( x) W0
• Ce coefficient K est aussi le rapport entre le moment fléchissant d’une poutre du à la charge linéaire excentrée et le moment fléchissant de la même poutre du la charge répartie. 24
CRT : Méthode de Guyon-Massonnet Supposons que le tablier du pont soit soumis à un ensemble des charges « en lame de couteau » :
p( x, y ) pi . sin i 1
.x L
Placée à la position ei
La déformée du tablier du pont, est égale à la somme des déformées dues à chacune des charges « en lame de couteau » : w( x, y ) w( x, y, ei ) i 1
w( x, y ) ( Pi .W ( y, ei ) sin
.x
)
L .x w( x, y ) [ Pi .W ( y, ei )] sin L i 1 .x w( x, y ) sin [ ( Pi .W0 .K ( y, ei )] L i 1 .x w( x, y ) W0 sin [ ( Pi .K ( y, ei )] L i 1 i 1
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CRT : Méthode de Guyon-Massonnet Si toutes ces charges étaient réparties sur la longueur, du tablier du pont avec la densité Pi i 1
2b
La déformée du tablier a l’expression suivante : .x W0 ( x) pi .W0 . sin L i 1 W0 ( x) W0 .x ( Pi ) sin L i 1
w( x, y ) W0 ( x).
p .K ( y, e ) i 1
i
i
p i 1
i
p .K i 1
i
pi
i
p. K i i 1
n. p
K n
i 1
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CRT : Méthode de Guyon-Massonnet w( x, y ) W0 ( x).
p .K ( y, e ) i 1
i
i
p i 1
i
p .K i 1
i
i
p i 1
i
Les charges Pi sont constantes
K n
n : nombre des poutres principale s
est le coefficient de répartition transversale par poutre 27
CRT : Méthode de Guyon-Massonnet Calcul de K • si
• si
=0
=1
K0
K1
K0 et K1 sont données soit par des formules soit par les tables de Guyon-Massonnet en fonction de θ, e et y
si est quelconque, K est déterminé par une interpolation selon Massonnet •
K K0 ( K1 K0 ). 28
CRT : Méthode de Guyon-Massonnet Calcul de K
29
CRT : Méthode de Guyon-Massonnet Calcul de K
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CRT : Méthode de Guyon-Massonnet Propriétés de K Le coefficient K dépend de la valeur: • des paramètres fondamentaux α (de torsion) et θ (d’entretoisement). •de l’excentricité de la charge « e ». • de l’ordonnée de la poutre principale considérée « y ». K 0 K 0 ( , e, y ); Varie de 0 à 1 : Varie de 1 à 2 Varie de 2 à 5 3b b b b b 3b , , ,0, , , , b 4 2 4 4 2 4 b b 3b y 0, , , , b 4 2 4
K1 K1 ( , e, y ) de 0.05 en 0.05 de 0.10 en 0.10 de 0.20 en 0.20
e b,
Pour y <0 les valeurs sont symétriques.
K ( y, e) K (e, y) 1 3b 3b 1 K (e b) K (e ) .......... . K (e ) K (e b) 8 2 4 4 2
31
CRT : Méthode de Guyon-Massonnet Propriétés de K
...
32
CRT : Méthode de Guyon-Massonnet Calcul de K • Pour une poutre d'ordonnée y, on procède à une interpolation
linéaire entre les valeurs de y données dans les tableaux de GuyonMassonnet. Une interpolation linéaire peut se faire par rapport à θ. • Pour aboutir à K, on trace sa ligne d'influence K = K(e). Puis on place les charges réglementaires sur cette Li, de la manière la plus défavorable, en respectant les règles d'application pour chaque charge. •Le coefficient K sera égal à l'ordonnée de la Li de K au point de l'application de la charge.
33
CRT : Méthode de Guyon-Massonnet
Évaluation de K d'après ses Li, pour différentes charges Cas 1: Charge AL
K
Al i
Al i
Placer Al transversalement de manière à produire l’effet le plus défavorable
Al LAl
Al i
K n
AL est la surface couverte transversalement par AL sur la ligne d’influence de K.
LAL est la largeur couverte transversalement par AL sur la ligne d’influence de K. n est le nombre des poutres
Pour retrouver le cas le plus défavorable, il faut comparer pour les différentes combinaisons de Al.
a1 Al 34
CRT : Méthode de Guyon-Massonnet
Evaluation de K d'après ses Li, pour différentes charges
Cas 2: Charge de trottoir qtr
Deux cas possibles : soit un trottoir est chargé soit deux trottoirs. Le coefficient Ktr est déterminé de la même manière que pour Al
K
tr i
tr i
tr Ltr
tr i
K n
tr est la surface couverte par les trottoirs sur Li de K. Ltr est la largeur couverte par les trottoirs sur Li de K.
n est le nombre des poutres
Pour retrouver le cas le plus défavorable, il faut comparer le CRT d’un seul trottoir chargé ou de deux trottoirs chargés 35
Poutre de rive
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Poutre intermédiaire
CRT : Méthode de Guyon-Massonnet
Evaluation de K d'après ses Li, pour différentes charges Cas 3: Charge Bc
Un essieu se compose de 2 roues. Transversalement, sa charge P se divise en deux.
Ainsi, dans le sens longitudinal, on prendra comme P la charge d'un essieu
K
Bc i
1 N
iBc
N
K j 1
K iBc n
j
Kj : ordonnée de la Li de la réaction Ki au droit des points d'application des charges concentrées du camion Bc.
Pour retrouver le cas le plus Bc b N c f i défavorable, il faut comparer pour les différentes combinaisons de Bc. 38
Poutre de rive
39
Poutre intermédiaire
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CRT : Méthode de Guyon-Massonnet
Evaluation de K d'après Li, pour différentes charges Cas 3: Charge Mc
Le poids d'un char est partagé entre les deux chenilles.
K
Mc i
1 ch1 1 ch 2 2 Lch1 2 Lch 2
Lch1, Lch2 largeur de deux chenilles
11 1 ( K1 K 2 ) ( K 3 K 4 ) 22 2 1 K1 K 2 K 3 K 4 4
Mc i
Mc i
K n 41
Poutre de rive
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Poutre intermédiaire
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Charges
CRT
Caractéristiques
Cas le plus défavorable
AL
0.2478
a1=0.9 ; LAL=9m
3 voies chargées
qtr
0.0286
Ltr=1.25m
2 trottoirs chargés
Bc
0.8121
bc=0.95
3 files Bc
Mc120
0.2965
LMc = 1m
1 char de Mc120
Charges
CRT
Caractéristiques
Cas le plus défavorable
AL
0.2427
a1=1 ; LAL=6m
2 voies chargées
qtr
0.8685
Ltr=1.25m
2 trottoirs chargés
Bc
0.5729
bc=1.1
2 files Bc
Mc120
0.342
LMc = 1m
1 char de Mc120
Poutre intermé diaire
Poutre de rive
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Annexes pour le calcul de CRT selon la méthode de Guyon-Massonnet-Bares
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Plusieurs méthodes d'analyse globale sont disponibles :
L'analyse par la méthode du grillage est celle qui est le plus fréquemment utilisée. Elle permet une idéalisation simple de la structure et une interprétation simple des résultats. Une attention particulière est demandée pour la conception du grillage de modélisation. Sont passés en revue les ponts biais, les effets locaux dans les dalles, les rigidités de flexion et de torsion des barres du grillage, la modélisation des poutres principales de flexion longitudinale et l'interprétation des résultats. •La méthode de calcul des dalles orthotropes n'a qu'une application limitée. •La méthode des âmes plissées est utilisée pour étudier l'effet des déformations des sections en caisson. •La méthode des éléments finis est de plus en plus utilisée. Cette méthode d'analyse par matrice de rigidité permet de s'adapter à toutes sortes de cas. Les charges d'exploitation créent des distorsions des caissons qui peuvent être contrôlées dans le cas des caissons métalliques et des caissons en ossature mixte acier-béton par l'utilisation de diaphragmes ou de cadres intermédiaires. Les efforts dans les diaphragmes ou les cadres intermédiaires peuvent être calculés par : •une méthode simple •une méthode plus générale. Dans le cas de membrures très larges, les effets du traînage de cisaillement (shear lag) doivent être pris en compte.
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