Axiomatização da Geometria. Paralelismo e perpendicularidade 9ºano (resumo teórico).pdf

Matemática -9ºano Ano letivo 2015/2016

Tema: Axiomatização da Geometria

Conteúdos: Resumo: Axiomatização da geometria. Paralelismo e Perpendicularidade.

1. Axioma euclidiano de paralelismo

Num plano, por um ponto P fora de uma reta r passa uma e uma só reta paralela a r.

2. Posições relativas de duas retas complanares

2.1 Propriedades

Se uma reta t intersecta uma de duas retas paralelas r e s e é com elas complanar, então intersecta a outra.

Os ângulos correspondentes determinados por uma secante t em duas retas paralelas r e s são iguais. Num Plano, se dois ângulos correspondentes ߙ e ߚ, determinados em duas retas r e s por uma secante t, são iguais, então r e s são paralelas.

Duas retas paralelas a uma terceira num dado plano são paralelas entre si.

Lara Almeida

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3. Formas de definir um plano

4. Posições relativas de uma reta e de um plano

5. Posições relativas de dois planos

Lara Almeida

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6. Propriedades

Se uma reta r é secante a um plano ߙ, então também é secante a qualquer plano paralelo a ߙ.

Se um plano ߠ é concorrente com um de dois planos paralelos ߙ e ߚ, então também é concorrente com o outro: ߙ ∩ ߠ = ‫ ݎ‬e ߚ ∩ ߠ = ‫ݏ‬.

No espaço duas retas r e s são paralelas se e só se são complanares e não se intersectam. No espaço, duas retas paralelas a uma terceira (as três não necessariamente complanares)são paralelas entre si.

Dois planos paralelos a um terceiro são paralelos entre si.

Por um ponto P exterior a um plano ߚ passa um único plano paralelo a ߚ.

Se uma reta é perpendicular a um de dois planos paralelos, então também é perpendicular ao outro. Se dois planos são perpendiculares a uma de duas retas paralelas, então também é perpendicular à outra. Se um plano é perpendicular a uma de duas retas paralelas, então é perpendicular à outra. Se duas retas são perpendiculares a um mesmo plano, então são paralelas. Lara Almeida

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7. Critérios de paralelismo

8. Critérios de perpendicularidade

9. Ângulo de dois semiplanos Os ângulos A1O1B1 e A2O2B2 são iguais. Qualquer um destes ângulos, e a respectiva amplitude, é designado por ângulo de dois semiplanos

10. Plano mediador de um segmento de reta. Projeção ortogonal de um ponto num plano Dado um segmento de reta [AB] e M o ponto médio desse segmento de reta, define-se plano mediador do segmento de reta [AB] ao plano normal à reta suporte do segmento de reta [AB] e que passa por M. O plano mediador de [AB] é o conjunto de todos os pontos do espaço equidistantes de A e de B. O ponto M é a projecção ortogonal do ponto a sobre ࢻ e designase por pé da perpendicular traçada do ponto A para o plano ߙ.

Lara Almeida

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