Esforço Normal Simples Barra carregada axialmente: tensões, deformações e deslocamento relativo.
Profª Amanda Jarek
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Barras e Cabos
Elementos estruturais com uma dimensão predominante sobre as demais, solicitados apenas por ações axiais. cabos barras
Barra prismática sob carga axial Hipóteses •Carregamento aplicado no eixo
central (passando pelo centróide da seção transversal) • Barra permanece reta e seção
transversal permanece plana
• Material homogêneo: possui as
mesmas propriedades físicas e mecânicas em todo o seu volume • Material isotrópico: possui as
mesmas propriedades em todas as direções
Ensaio de Tração
Indeformada
Deformada
Princípio de Saint-Venant
~ largura da seção transversal
tensão normal média
Tensões em barra prismática sob carga axial Considere uma barra, submetida à tração P
Internamente como a barra assimila essa solicitação? A
P
P
P
N N
Método das seções Equilíbrio:
P
Tensões em barra prismática sob carga axial N
P
N – o esforço normal interno é a resultante das tensões internas.
Se a barra é homogênea, todas as partículas do corpo são consideradas iguais na contribuição para a resistência. Lei de distribuição dos esforços internos é uniforme na área A da seção. A tensão para todos os pontos será: s
N
Tensões em barra prismática sob carga axial P
N s
A
Estado homogêneo de tensões – Barra de material homogêneo submetida à tração (ou compressão) uniforme, as tensões são constantes ao longo da barra e em toda a seção transversal. s
const pontos do volume
O que pode tornar o estado de tensões não homogêneo?
Tensões em barra prismática sob carga axial Sempre que houver variação na área:
Regiões excluídas de tensões uniformes
Tensões em barra prismática sob carga axial Sempre que houver variação na carga:
A B
Coluna de Trajano, Roma
Onde a força é maior, seção A ou seção B? Por que?
Tensões em barra prismática sob carga axial Variação de Mudança Área constante A M
P
P
P B
A tensão na seção A é igual a que ocorre em B?
Tensões em barra prismática sob carga axial Estado de Tensão não homogêneo A x
N x s
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Ex01: (Popov) Calcular a tensão na seção no meio da sua altura da fundação de uma ponte (=24 KN/m3) que recebe uma tensão de 30 kPa da ponte. 0,6m 0,6m
Resposta: 1,2 m
1,8 m
s
1,2 m Vista lateral
36.6kPa
Deformações em barra prismática sob carga axial A B
x
dx
B’
P
l
dx
Se o estado de tensões é homogêneo: s
N=P
cte cte0 x l
Ddx
dx
Dl
l
B
P
Dl l
Valendo a Lei de Hooke s
N
N
P
solicitação
Pl
Deformações em barra prismática sob carga axial Se o estado de tensões não é homogêneo: A x N x dx Dl EA x s x
N x
l
0
Se o material for homogêneo (E é constante) x
Deslocamento axial relativo A(x)
s s
N ( x )
A
B
A( x ) d δ
B
N(x)
N
δ B / A
dx
δ B δ A A
E
N ( x )
dx
EA( x )
x
dB/A
= Deslocamento axial do ponto B em relação ao ponto A
Resultante da força normal interna, aplicada no centroide da área da seção transversal A(x) = Área da seção transversal E = Módulo de elasticidade longitudinal N(x) =
Deslocamento axial relativo Carga e área constantes B
A
N
N
Carga e área constantes por trecho δC / A
δ B / A
δC / B
N
δ x
δ B / A
δ B
δ A
NL
EA
NL
EA
Convenção de sinais N=
N=
Eixo x sempre “saindo” da seção
Tração e alongamento
(+)
Compressão e encurtamento
(-)
Projeto de barras e cabos 1. Reação de apoio • Equilíbrio 2. Esforço interno • Força normal N(x) • Diagrama de força normal
N s
δ
A N L
EA
3. Tensão normal média Tensão normal (s) Verificação: s max < s adm • •
4. Deslocamento Deslocamento d(x) Verificação: dmax < dadm • •
Ex 02: A barra composta de aço A-36 mostrada ao lado, é formada por dois segmentos, AB e BD, com áreas de seção transversal conhecidas. Determinar o deslocamento vertical da extremidade A e o deslocamento de B em relação a C. Dados: E = 210 Gpa; sE = 250 MPa; A AB = 600 mm2, ABD = 1200 mm2
δ B / A
δ B
δ
δ A
NL Resposta:
NL
EA
EA
d A = 0,61 mm /C = 0,104 mm dB
Ex 03: O eixo de cobre está sujeito às cargas axiais mostradas na figura. Determine o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D se os diâmetros de cada segmento forem dAB = 20 mm, dBC = 25 mm, dCD = 12 mm. Considere E = 126 GPa.
2m 40 kN
3,75 m
2,5 m
25 kN
10 kN
25 kN
10 kN
30 kN
Resposta: d A/D=3,848 mm (p/ direita)
δ B / A
δ B
δ
δ A
NL
NL
EA
EA
Ex 04: O conjunto consiste de um tubo de alumínio AB e uma haste de aço rigidamente acoplada a um colar em B. Determinar o deslocamento da extremidade C ?
Dados: Ealum=70 GPa Eaço=200 GPa
Aalum=400 mm2 Aaço= 78,54 mm2
δ B / A
δ B
δ
δ A
NL
NL
EA
EA
Resposta: d C = 4,2 mm (para a direita)
Ex 05: Uma viga rígida AB apóia-se sobre dois postes curtos AC (aço, dAC=20 mm) e BD (alumínio, dBD=40 mm). Determinar o deslocamento do ponto F?
Dados: Ealum=70 GPa Eaço=200 GPa dAC=20 mm dBD=40 mm
δ B / A
δ B
δ
δ A
NL
NL
EA
EA
Resposta: d F = 0,225 mm (para baixo)
Ex 06: O poste é feito de abeto Douglas e tem diâmetro de 60 mm. Se estiver sujeito a uma carga de 20 kN e o solo proporcionar uma resistência ao atrito w = 4 kN/m uniformemente distribuída ao longo de seus lados, determine a força F na parte inferior do poste necessária para haver equilíbrio. Calcule também qual é o deslocamento da parte superior do poste A em relação à parte inferior B. Despreze o peso próprio do poste. Dados: E =13,1 GPa
B
δ B / A
δ B δ A A
N ( x )
dx
EA( x )
Resposta: F= 12 kN d A/B= 0,864 mm
Ex 07: O sistema articulado é composto por 3 elementos de aço A-36 conectados por pinos, cada um com área de seção transversal de 500 mm2. Determine o valor da força P necessária para deslocar o ponto B a uma distância de 2,5 mm para baixo.
Dado: Eaço=200 GPa
δ B / A
δ B
δ
δ A
NL
NL
EA
EA
Resposta: P = 50,47 kN
