Vibrações Excitada Harmonicamente. Prof. Jean Rodrigo Bocca Maringá, 05/2013
• O sistema sofre vibração forçada sempre que é fornecida energia externa for fornecida ao sistema durante a vibração. • A natureza da força ou excitação aplicada no sistema pode ser: – Harmônica. – Não Harmônica, mas periódica – Não Periódica, Aleatória
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• Seja o Sistema:
A equação do movimento pode ser obtida:
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– Por se tratar de uma equação não homogênea, a solução geral será dado pela soma da solução homogênea, x h(x), com a solução particular, x p(x). – Para um sistema amortecido, a vibração livre cessa após um determinado tempo, assim a componente da solução homogênea deixa de existir e somente a solução particular estará presente no regime permanente.
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• Resposta de um Sistema Não Amortecido a Força Harmônica. – Seja a força harmônica atuante no sistema : F (t )
F 0
cos( t )
– A equação do movimento é dada por: – A solução Homogenia será: – Solução Particular:
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Sendo X é uma constante que denota a máxima amplitude de xp(t), derivando a solução particular e substituindo na eq. 3.3, conseguimos encontrar X:
Onde δst=Fo/k é a deflexão da massa sob uma força F o, denominada também deflexão estática (vem da lei de Hooke) A solução geral fica:
Aplicando as condições iniciais: 6
As constantes ficam:
Substituindo na equação:
A máxima amplitude X pode ser dada por:
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A razão X/δst representa a razão entre a amplitude dinamica e amplitude estatica,pode ser denominada por fator de ampliação, fator de amplificação ou coeficiente de amplitude. Existe 3 tipos de resposta para o sistema: 1 – Caso: Quando 01, o denominador da eq 3.10 é negativo, a resposta esta defasada 180º em relação a força, e a resposta é dada por:
E a amplitude é redefinida como:
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3 – Caso: Quando w/wn=1, temos que X tende para o infinito, esse fenomeno onde wn=w é conhecido como ressonancia e deve ser evitado. A resposta do sistema é dado por:
Comportamento é observado pelo gráfico:
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Podemos reescrever a resposta total da seguinte forma: A e ϕ pode ser determinado pela eq. 2.21
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•
Fenomeno de Batimento: – Se forçante for proxima, mas não exatamente igual a frequencia natural do sistema, pode ocorrer um fenomeno conhecido como Batimento. – No Batimento a amplitude aumenta e diminui de acordo com um padrão regular. – N equação 3.9, as as condições iniciais forem: – Então:
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Supondo que a freqüência forçante w seja ligeiramente menor que a freqüência natural: Onde Є é uma quantidade pequena positiva, então: Multiplicando as duas equações:
Substituindo os resultados anteriores:
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A amplitude variável é dada por:
O tempo entre os pontos de amplitude zero ou entre amplitude máxima é denominado período de batimento e é dado por:
E freqüência de batimento é dado por:
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• Resposta de Harmônica
um
Sistema
Amortecido
a
Força
– Se a função forçante for dada por: F (t ) F 0 cos( t )
– A equação do movimento será: – A solução particular será da forma: – Sendo X e Φ, a amplitude e o ângulo de fase da resposta, podemos encontrar:
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Utilizando as seguintes relações nas eq. 3.28 e 3.29, obtemos:
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– Resposta Total A solução completa é dada por: Assim:
Sendo Xo e Φo encontrados com as condições iniciais.
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– Resposta de um Sistema Amortecido a : A equação do movimento fica: A solução particular: Determinando X:
Multiplicando o numerador e denumerador da eq 3.79 por:
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Obtêm:
Usando as seguintes relações:
Temos:
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Assim a solução a regime permanente:
Resposta em Freqüência:
A equação 3.49 pode ser reescrita como:
Onde H(iw) é conhecida como a resposta em freqüência complexa do sistema, o valor absoluto é dado por:
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Assim:
Podemos escrever a solução de outra maneira:
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Se a força externa for: F (t )
F 0
cos( t )
A solução será reescrita como:
Onde Re denota a parte real da função. 21
Se a força for do tipo: F (t )
F 0 sen( t )
A solução será:
Onde Im refere-se a parte imaginaria da função
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• Resposta de um Sistema Amortecido a Movimento Harmonico de Base. Seja o sistema conforme figura: Seja y(t) o deslocamento de base e x(t) o deslocamento da massa em relação a sua condição de equilibrio estático, então a elongação da mola liquida sera(x-y) e a velocidade entre as duas extremidades do amortecedor (x’ – y’). A equação do movimento será: 23
Se Então:
A solução fica
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Usando identidades trigonométricas:
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A razão entre a amplitude da resposta e do movimento da base,X/Y, é denominado transmissibilidade de deslocamento. Se a excitação harmônica de base for expressa em forma complexa como: Então:
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– Força Transmitida. A força é transmitida para a base ou suporte devido as reações da mala ou amortecedor, essa força pode se determinada como: Podendo ser escrita, Sendo:
A razão FT/KY é conhecida como transmissibilidade de força 27
– Movimento Relativo Se z=x-y for o movimento da massa em relação a base, a equação do movimento fica:
A solução em regime permanente da eq 3.75:
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A amplitude de z(t) pode ser dada por:
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• Resposta de um Sistema Amortecimento ao Desbalanceamento Rotativo. O desbalanceamento de maquinas rotativas é um dos principais causadores de vibrações. Um modelo esta apresentado na figura abaixo.
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A força de excitação tem como origem a força centriguga da massas excentricas (m), e é dado por:
A equação do movimento será:
Onde M é a massa da Maquina, a solução será:
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Podemos encontrar novamente:
Lembrando que: Então:
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• Vibração Forçada com Amortecimento Coulomb. – Podemos escrever a equação do movimento para o sistema mostrado na figura como:
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– Se a força de atrito atuante no sistema for grande comparado com F0 a solução da equação se torna extremante trabalhosa. – Mas se a força de atrito for pequena em relação a F 0, podemos considerar que o sistema em regime permanente seja aproximadamente harmônico e então podemos encontrar um coeficiente de amortecimento viscoso equivalente e determinar a solução da equação.
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– Para determinar o C eq, primeiro encontramos a energia dissipada em um ciclo, é dada por:
– Sabendo que a energia dissipada em um ciclo completo com amortecimento viscoso é dado por:
– Igualando, encontramos o C eq:
– A resposta em regime permanente será:
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– A amplitude :
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