Assurance Vie Abouzaid

INSEA RABAT

2011-2012

COURS ASSURANCE –  VIE  VIE EL MOSTAFA ABOUZAID

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SOMMAIRE

ACTUAIRE DÉFINITIONS DE L'ASSURANCE ASSURANCE-VIE TABLE DE MORTALITE FONCTIONS BIOMETRIQUES FONCTIONS ACTUARIELLES PRIMES ET CHARGEMENTS VALEURS FINALES RESERVES MATHEMATIQUES RESILIATION DU CONTRAT CONTRE-ASSURANCE ASSURANCES SUR PLUSIEURS TETES

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SOMMAIRE

ACTUAIRE DÉFINITIONS DE L'ASSURANCE ASSURANCE-VIE TABLE DE MORTALITE FONCTIONS BIOMETRIQUES FONCTIONS ACTUARIELLES PRIMES ET CHARGEMENTS VALEURS FINALES RESERVES MATHEMATIQUES RESILIATION DU CONTRAT CONTRE-ASSURANCE ASSURANCES SUR PLUSIEURS TETES

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ACTUAIRE I- DEFINITION L'étymologie du mot " actuaire" est latine (comptable, rédacteur des livres de comptes –  comptes – acta-), acta-), Ce terme n'apparaît qu'au XVIII° siècle, repris de l'anglais "actuary". 

Le dictionnaire Larousse le définit ainsi :

Actuaire : "spécialiste qui fait des calculs statistiques pour les assurances". Les mots "actuariat" ("fonction d'actuaire. Corps des actuaires") et "actuariel" ("calcul effectué par des actuaires") se définissent par rapport à celui d'actuaire. Les actuaires canadiens proposent : "Spécialiste de l'analyse et du traitement des impacts financiers du risque". 



L’AAI :

Les actuaires sont des penseurs stratégiques pluridimensionnels, formés à la théorie et à l’application des mathématiques, des statistiques, de l’économique, des probabilités et des finances. On les appelle des architectes financiers et des mathématiciens sociaux parce qu’ils utilisent leur combinaison particulière d’aptitudes analytiques et administratives pour relever une diversité croissante de défis d’ordre financier et social partout dans le monde. II- L'ACTUARIAT COMPREND PLUSIEURS METIERS : 1- Conception/ adaptation de produits. - • Définition Définition de produits : analyser les risques –  risques  –  définir  définir les garanties –  garanties –  élaborer  élaborer les lois de mortalité ou de rachat –  rachat –  concevoir les tarifs –  tarifs –  élaborer  élaborer les normes de tarification –  tarification –  définir les méthodes de calcul et les procédures - prévoir les résultats.

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-

-

• Adaptation de produits : concevoir les outils d’analyse –  réaliser les études techniques sur le portefeuille - évaluer l’évolution des risques –  proposer des adaptations en termes de tarification et/ ou de garanties - assurer la maintenance du système de tarification – évaluer l’évolution des résultats. • Marketing : cibler les produits –  segmenter la clientèle.

2-Gestion des contrats. • Contrats : élaborer les états et les normes – assurer le suivi et l’analyse technique –  définir et assurer le suivi du portefeuille –  exploiter les résultats techniques –  définir les cahiers des charges techniques et informatiques –  surveiller le portefeuille, déterminer les mesures de redressement. • Portefeuille : actualiser les barèmes de provisionnement –  définir les  besoins de réassurance –  calculer le montant des réserves obligatoires –  vérifier les équilibres techniques –  élaborer des modèles de rentabilité –  contribuer au calcul de la valeur du portefeuille –  mettre en place des outils de suivi des résultats –  contrôler les prévisions de résultats.

3- Gestion de bilan. • Comptes : définir les méthodes d’élaboration des comptes –  mettre aux normes les comptes –  réaliser et suivre les comptes mensuels –   provisionner les engagements. • Contrôle de gestion : élaborer des modèles de rentabilité –  faire des études de rentabilité –  analyser la rentabilité –  contrôler les prévisions de résultats. • Actif / passif : suivre l’évolution des provisions mathématiques –  évaluer les fonds propres –  analyser / suivre des placements –  évaluer les  portefeuilles –  concevoir des modèles de prévision –  réaliser des scénarios de résultats –  proposer des stratégies de gestion, analyser les risques.

4- Finances. • Etudes : analyser les tendances des différents marchés –  évaluer les  portefeuilles –  concevoir des systèmes de pilotage –  élaborer les outils de suivi.

5- Audit et expertise 



Réaliser des audits destinés à améliorer l'organisation ou certaines  procédures. Mener des expertises actuarielles liées à l'étude de la rentabilité et de l'évolution des activités : tarification, calculs de provisions, analyse de la sinistralité des portefeuilles de contrats...

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III- LA MAJORITE DES ACTUAIRES TRAVAILLENT DANS L'ASSURANCE. F rance* Canada* *

assur ance 60% 45.5%

conseil 12% 46.5%

autr e 28% 8%

total 100% 100%

*Annuaire 1997 de l'Institut des actuaires français. **données de l'Institut canadien des actuaires en 1995.

IV- LES INTERESSES PAR L’ACTUARIAT L'actuariat s'adresse à trois catégories de professionnels : -

Ceux qui, sans souhaiter devenir actuaires, ont besoin de comprendre le langage parfois ésotérique, et la façon de raisonner des actuaires, afin de  pouvoir dialoguer avec eux de manière professionnelle. Cette catégorie est large; elle comprend :  les financiers,  les comptables,  les juristes,  es techniciens des diverses branches,  les responsables commerciaux (qui doivent  intégrer les préoccupations actuarielles dans leur approche marketing),  les informaticiens,  les auditeurs,  les directions générales des entreprises d'assurance

- Les actuaires professionnels et les étudiants en actuariat - Les statisticiens, notamment universitaires, de plus en plus nombreux à s'intéresser à l'actuariat, qui fournit des applications de leur science extrêmement concrètes et très souvent méconnues.

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DÉFINITIONS DE L'ASSURANCE L'assurance est généralement définie comme l'opération par laquelle une  personne, l'assureur, s'engage à exécuter une prestation au profit d'une autre  personne, l'assuré, en cas de réalisation d'un événement aléatoire, le risque, en contrepartie du paiement d'une somme, la prime ou cotisation. La technique assurantielle réside dans la mutualisation des risques, c'est-à-dire une division du coût des conséquences de sa survenue entre plusieurs. A ce stade, les définitions évoquées ci-dessus sont suffisamment larges pour inclure dans le champ de l'assurance les régimes de sécurité sociale obligatoires qui ne seront pourtant pas traités dans le présent rapport.

BASES DE L’ASSURANCE

Besoin de sécurité La sécurité est un des besoins fondamentaux de l’être humain. La vie comporte toutefois des risques et des dangers qui peuvent menacer la santé, la vie et les  biens que l’on possède. C’est la raison pour laquelle les êtres humains ont, depuis toujours, eu recours à l’assurance pour se protéger contre ce qui pouvait leur arriver. De nos jours, vivre sans assurances dans un pays industrialisé n’est  pas concevable. En Suisse, par exemple, hommes et femmes, sont très soucieux de leur sécurité. En 2004, chaque habitant de la Suisse a consacré 7'109 francs (environ 50 000 Dh) aux assurances privées (assurances sociales non comprises), ce qui représente le montant le plus élevé au niveau mondial.

Solidarité L’assurance repose sur le principe de la solidarité. Un grand nombre de  personnes ou d’entreprises, exposées aux mêmes risques, versent leurs primes à une caisse commune qui doit, en cas de sinistre, fournir la prestation contractuellement convenue à l’assuré qui en est victime.

Loi des grands nombres De nos jours, les statistiques fondées sur les mathématiques sont les éléments les  plus importants de l’assurance. La théorie des probabilités et le traitement statistique d’un grand nombre de cas particuliers d’assurance permettent d’établir certaines certitudes de régularité, soit la fréquence avec laquelle ils

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vont se produire. La loi des grands nombres peut être expliquée en prenant le jeu de dés pour exemple: le résultat d’un seul coup de dés dépend du hasard. Mais si les dés sont jetés un grand nombre de fois, une certaine régularité se manifeste. La loi des grands nombres ne dit pas qui sera victime d’un événement bien déterminé, mais seulement combien de membres d’une communauté le seront. Le hasard en tant que facteur provoquant des dommages assurés devient ainsi une valeur moyenne pouvant être chiffrée statistiquement.

Contrat d’assurance Un contrat d’assurance offre une couverture d’assurance. Cette dernière couvre les conséquences financières d’un événement dommageable. La caractéristique de l’événement dommageable est que l’on ne sait en général pas s’il surviendra et quand il se produira. Dans le contrat d’assurance, des choses et des personnes  peuvent être assurées contre des événements dommageables (assurance de choses ou de personnes).

Surveillance des assurances La surveillance des assurances a pour objectif principal la protection des assurés. Les entreprises privées d’assurances sont placées sous le contrôle de l’autorité publique qui délivre l’autorisation d’opérer et exerce par ailleurs des contrôles permanents portant sur leurs activités d’assureurs. Ainsi la protection d’assurance et la solvabilité des compagnies d’assurances ser aient garanties à l’avenir .

Primes / prestations Toutes les personnes qui font partie d’une communauté de risques s’acquittent de leur contribution afin de pouvoir venir en aide à ceux qui sont victimes d’un dommage. Cette contribution est la prime qui comprend les éléments suivants: 





 Le risque: cette partie de la prime est calculée sur des bases mathématiques,

des statistiques d’assurance, ainsi que des valeurs empiriques. Cette partie de la prime doit suffire à régler tous les sinistres. Elle se fonde sur la moyenne d’une période de longue durée.  Les frais: le conseil à la clientèle, la conclusion de l’assurance et le traitement des sinistres occasionnent des frais qui sont répartis entre la communauté des assurés.  L’épargne: pour les assurances-vie de capitalisation, vient s’ajouter l’objectif de l’épargne. Une part de la prime vient financer la prestation en espèces convenue pour la fin du contrat. L’autre part donne lieu à des intérêts crédités par la compagnie d’assurances jouant ici un rôle  particulièrement important dans le développent de l’investissement.

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Lorsque le cas couvert par l’assurance survient, la compagnie d’assur ance doit verser la prestation convenue, à savoir: 

 Prestations en espèces: versements en capital, rentes, indemnités journalières,

dédommagements de toute nature.  Prestations de services: mesures de défense contre les prétentions injustifiées de

tiers à l’encontre des assurés (en assurance responsabilité civile notamment),  protection juridique, conseil, aide en cas de sinistre, assistance…

CLASSIFICATION DE L'ASSURANCE On distingue deux branches principales au sein du secteur de l'assurance :

BRANCHE VIE

BRANCHE NON-VIE

Assurances vie ou décès Assurance de personnes

Assurance dommages IARD pour Incendie Automobile et Risques Divers Assurance des biens

Il suffit en effet d'ajouter l'assurance santé à l'assurance vie pour aboutir à l'assurance de personnes.

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RISQUE CONTRAT ( POLICE D’ASSURANCE)

 ___________________________________________________________________________

COUVERTURE CONTRAT

ASSUREUR

ASSURE PRIME (COTISATION)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

RISQUE PRESTATION

LIEN

BENEFICIAIRE  ___________________________________________________________________________

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ASSURANCE-VIE L'assurance-vie est une assurance de personnes qui a pour objet de garantir le versement d'une certaine somme d'argent (capital ou rente) lorsque survient un événement lié à la personne assurée : son décès, un accident, une maladie ... Cette théorie a des applications directes en assurance et a des liens étroits avec d’autres théories et modèles actuariels et financiers. Le cours présente l’essentiel de la théorie et des techniques actuarielles relatives à l’évaluation des contrats d’assurance vie et des rentes viagères. Ces techniques se trouvent sous une forme ou une autre dans un grand nombre de règles, méthodes et lois que les actuaires appliquent tous les jours.

Il existe différents types d'assurance-vie tels que : l’assurance en cas de décès, l'assurance en cas de vie, l'assurance " mixte "(Ce type de contrat combine les deux types d'assurance précédents)….

Sur le plan pratique, pour appréhender la survenance et l'importance d'un risque futur, les Sciences Actuarielles font usage des mathématiques, de la statistique et du calcul des probabilités. En Assurance Vie à travers le calcul de réserves ou de primes d’assurances, les actuaires font appel : A la démographie (risque de mortalité)  Aux mathématiques financières élémentaires (taux composés,  actualisation, capitalisation) A la finance (ALM, Asset Liability Management ou DFA, Dynamic  Financial Analysis ou encore en français, gestion Actif-Passif)

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TABLE DE MORTALITE Une table de mortalité (appelée aussi table de survie) est une construction qui  permet de suivre le nombre de décès, les probabilités de décès ou de survie selon l'âge et le sexe. Il existe deux types de tables de mortalité : 



La table de mortalité du moment : génération fictive à laquelle on applique les quotients de mortalité  pour chaque âge (qx) La table de mortalité par génération : se réalise de la même manière qu’une table de mortalité du moment à la différence que, au lieu de constituer une génération fictive, on construit la table en observant les niveaux réels de mortalité d’une génération particulière (par exemple la génération née en 1900)

On distingue également: - les tables de mor tal ité br utes : résultant de l’observation (recensement) - les tabl es de mor tal ité aj usté es : table ajustée analytiquement -les tabl es de mortal ité statiques : suppose que la mortalité va rester stable dans le futur - les tables de mor tal itépr ospecti ves : intègre une évolution future attendue de la mortalité

Et ce afin de déterminer les statistiques suivantes :   





(dx) le nombre de décès par âge (lx) le nombre de survivants par âge (Lx) le nombre d’années vécues par les tous les individus de la cohorte  par âge (Tx) le nombre d’années restant à vivre pour tous les individus par âge (ex)

l’espérance de vie par âge

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Effectif de base La base de la table est formée de l’effectif de l’âge le plus bas Généralement correspondant à l’âge x = 0 : l0 (ex. l0 = 100 000). Mais dans une table d’assurés x est supérieur à 0 :

l15, l20

Âge limite L’âge limite (ou ultime ou maximum)

, âge à partir duquel il n’y a plus de

survivant où l +1 = 0,  est voisin de 100 ans mais ne dépassant guère 115 ans. Bien que des cas de longévité exceptionnelle soient constatés dans différentes régions du monde notamment dans les régions montagneuses (120 à140 ans) : Equateur, Caucase, Himalaya… Ces longévités n’ont pas à être prises en compte dans la pratique de l’assurance vie.

Construction de tables L’étude des tables de mortalité et de la construction de celles-ci sort du champ de ce cours. Néanmoins quelques constatations et quelques méthodes d’ajustement des tables de mortalité seront rappelées et ne devraient pas être  perdues de vue dans l’exercice de métier d’actuaire. Les probabilités de décès sont déterminées à partir d’enquêtes statistiques réalisées par : Des Instituts spécialisés  Des sociétés ou groupements de sociétés d’assurances  Des caisses de pensions 

Les tables de mortalité élaborées par les sociétés d’assurances et les caisses de  pensions concernent leurs assurés, ce qui permet de tenir compte des facteurs socio-économiques des populations couvertes.

Facteurs qui influencent la mortalité : Ces facteurs sont multiples mais nous ne citerons que ceux retenus dans les tables courantes.

Influence de l’âge

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C’est le facteur qui a le plus d’influence sur la probabilité de décès. C’est  pourquoi il constitue le facteur essentiel dans les calculs actuariels d’assurance vie. On a une variation de qx du type suivant : De 0 à 11 ans : décroissance rapide De 10 à 11 ans : probabilité de décès la plus faible De 11 à 20 ans : croissance assez rapide De 20 à 40 ans : croissance lente. Une décroissance même entre 20 et 25 ans De 40 à 100 ans : croissance exponentielle

Influence du sexe Il est constaté que les femmes présentent toujours des probabilités de décès inférieures à celles des hommes. Ces différences sont-elles dues à un fait  biologique ou relèvent-elles simplement de modes de vie différents tels que : Travaux pénibles exercés par les hommes  Pratique intense de sport chez les hommes  Consommation plus importante de tabac et d’alcool chez les  hommes Etc…  L’assureur est par conséquent contraint d’employer des tables séparées de mortalité bien que dans certains cas l’emploi d’une table unique peut être admis.

Influence de l’époque Les enquêtes statistiques récentes ont toujours donné des probabilités de décès inférieures à celles des enquêtes anciennes. Cette baisse est appelée régression

séculaire. Cette régression est particulièrement apparente chez les nouveaux-nés. Cette évolution est à attribuer principalement à l’évolution de la pédiatrie et à la médecine en général. Mais la régression séculaire de mortalité subit l’effet perturbateur de fléaux tels que les guerres et les épidémies. L’assureur sur la vie devrait changer de table de mortalité tous les dix ou quinze ans

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Évolution des probabilités de décès par âge 1880  –  2003 Belgique Influence de l’âge , du sexe et de l’époque

Hommes

Âge (x)

1880-1890

1928-1932

1968-1972

2001-2003

qx 2001-2003 / qx 1880-1890

0

0,172620

0,100750

0,023911

0,004067

2,4%

30

0,007590

0,004440

0,001486

0,000928

12,2%

50

0,018170

0,011650

0,007900

0,005125

28,2%

80

0,150030

0,144080

0,121685

0,075884

50,6%

Âge (y)

1880-1890

1928-1932

1968-1972

2001-2003

qy 2001-2003 / qy 1880-1890

0

0,145540

0,078550

0,017632

0,003189

2,2%

30

0,007160

0,004150

0,000728

0,000394

5,5%

50

0,012160

0,009140

0,004520

0,002602

21,4%

80

0,136490

0,126700

0,091933

0,044578

32,7%

Femmes

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Influence du lieu Les enquêtes statistiques ont toujours donné des probabilités de décès qui diffèrent d’un pays à un autre. La différence est à attribuer certainement aux influences climatiques et au développement des systèmes de santé. Comparaison de mortalité Suisse-France (1000qx)  

Age

0 11 20 40 60 65 70

Suisse 1958/63 France 1960/64

Hommes

Femmes

Suisse

France

Suisse

France

24,48 0,48 1,67 2,65 19,35 30,19 46,25

24,28 0,39 1,35 3,58 22,30 32,96 48,57

18,60 0,29 0,51 1,62 10,12 16,97 29,29

18,49 0,25 0,62 1,98 9,84 15,85 26,94

Ces taux diffèrent mais restent proches. En revanche la différence est très significative lorsque la comparaison concerne les taux de pays industrialisés et ceux des pays en développement L’assureur doit adapter le choix de la table de mortalité aux conditions du pays où il fait ses affaires. Dans certains pays des tables de mortalité sont élaborées par région. Mais dans les calculs de l’assurance sur la vie, il n’est pas usuel de tenir compte des variations régionales de la mortalité .Une même table de mortalité est appliquée pour tout un pays.

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Espérance de vie à la naissance dans les régions de Suisse Région Cantons romands

Hommes 60,87

Femmes 65,61

Cantons du Tessin

61,84

67,19

Région alémanique

63,25

67,31

Suisse entière

62,68

66,96

Influence de l’état civil Les études ont montré que les taux de mortalité varient selon l’état civil des  personnes mises en observation. En classant les états civils par ordre croissant des probabilités de décès, on trouve : marié, veufs, célibataire, divorcé.

1000qx Age

Marié

Veuf

Célibataire

Divorcé

Ensemble

30 40 50 60 70

2,16 3,56 8,85 21,48 51,79

4,88 7,93 12,90 28,86 62,27

4,24 7,26 14,14 28,89 66,47

4,89 7,64 18,98 35,86 82,06

2,89 4,32 9,81 23,43 56,81

Les assureurs ne tiennent pas compte en général de l’état civil de l’assuré. En cas de survie on applique des fois des tables spécifiques aux veuves pour le calcul des pensions.

Influence de la profession Il est évident que certaines professions présentent plus de risques que d’autres. Face à cette surmortalité liée à l’exercice d’une profession dangereuse, les assureurs peuvent adopter des positions plus ou moins prudentes selon la  politique d’acceptation des risques :    

Refuser d’assurer (cas extrême) Assurer avec certaines restrictions Assurer à des conditions plus onéreuses Assurer sans tenir compte du risque

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Influence spécifique à l’assurance Sélection médicale : pour contracter une assurance décès l’assureur procède en général soit un examen médical de la personne à assurer, soit pour le moins lui faire remplir un questionnaire de santé. Le candidat est : Soit accepté si son état physique est jugé bon  Soit refusé si son état physique est jugé compromettant  Soit assuré tout en procédant à des restrictions  Soit accepté mais à des conditions plus onéreuses  Les personnes choisies après contrôle médical présentent des probabilités de décès beaucoup plus faibles par rapport à la population générale : on parle alors de sélection médicale.

Anti-sélection : Il y a des contrats qui prévoient le paiement de prestations en cas de survie. De tels contrats sont plutôt conclus par des personnes de bonne santé. Il y a alors une sélection non plus de la part de l’assureur mais de la part de l’assuré lui-même : on parle alors d’anti-sélection.

Invalidité : Certains contrats d’assurance sur la vie ne concernent que des  personnes qui sont classés soit actifs soit invalides. L’assureur doit utiliser la table de mortalité spécifique à chaque population. La différence de mortalité est très nette comme le montre l’exemple suivant :

Table de mortalité de la Caisse Fédérale d’Assurance EVK1970 (Suisse) 1000qx

Age 20 30 40 50 60

Hommes Actifs Invalides 0,75 0,85 1,50 3,95 10,45

30,00 39,50 46,00 49,50 50,24

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Femmes Actifs Invalides 0,60 0,98 1,61 3,05 6,90

15,00 15,00 14,00 8,50 7,00

Probabilités de décès et de survie - Probabilité annuelle de décès - quotient de mortalité : C’est la Probabilité qu’étant en vie à l’âge x de décéder dans l’année (avant d’atteindre l’âge x+1)

dx

lx – lx+1

qx = ----- = -----------lx lx

lx : nombre de survivants à l âge x dx : nombre de décès à l âge x

où

Dans une table on dispose de : lx et qx

l0, l1, l2, l3,……..l  -1, l   q0, q1, q2, q3…………q  -1, q  

lx+1 est obtenu par : lx+1 = lx - dx -

Probabilité annuelle de survie ou taux de survie :

lx+1

lx - dx

 px = ------- = ----------- = 1- qx lx

lx

lx+1 = lx . px lx+2 = lx+1. px+1 = lx . px . px+1 lx+n = lx . px . px+1 . px+2 . px+3….. px+n-1 18

Ajustement des tables de mortalité Les tables résultant des observations directes de la population suite à enquêtes ou recensement (tables brutes) donnent des taux de mortalité qui représentés en fonction de l’âge x ont la même allure de la fonction qx déjà décrite. Cependant ces variations sont entachées de multiples fluctuations dues en particulier au nombre limité d’observations. Mais ces observations restent néanmoins des approximations des probabilités qx. Pour éviter ces irrégularités, on n’utilise pas les fréquences observées mais celles ajustées. Un bon ajustement possède nécessairement deux qualités majeures : - Représentation fidèle - Régularité des variations Il existe trois grands groupes de méthodes d’ajustement : - Ajustement graphique - Ajustement mécanique - Ajustement analytique

Ajustement graphique Représentation sur un repère cartésien des points (x , qx observés) puis tracer une courbe aussi régulière que possible qui le plus près de la courbe des taux de mortalité bruts. Cette méthode empirique est utilisée pour avoir une première approche rapide de l’ajustement. Elle est utilisée aussi lorsque les procédés sophistiqués se révèlent impraticables

Ajustement mécanique On exprime les probabilités qx en fonction de 2k+1 fréquences successives :

qx = a(-k )q’x-k + a(-k+1)q’x-k+1………+ a(0)q’x + …….. +a(+k)q’x+k 

où

i   k 

 a(i) =1 et a(-i) = a(+i)

i   k 

 Nous donnons ci-dessous quelques ajustements découlant de cette même formule a) Formule de Wittstein

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k=2 k : -2 , a(i) : 0,2  b) Formule de Finlaison

-1 , 0,2

0, 0,2

+1 , 0,2

+2 0,2

k=4 k : -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , a(i) : 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20

+1 , 0,16

+2 , +3 , +4 0,12 0,08 0,04

c) Formule de Woolhouse k=7 k : -7, 1000a(i) : -24

-6, 0

-5, -16

-4 , 24

k : +1 , 1000a(i) : 192

+2 , 168

+3 , 56

+4 , 24

-6, -6

-5, -5

+2 , 46

+3 , 21

+4 , 3

-6, -5, -16 0

-4 , 42

-3 , -2 , -1 , 0 , 56 168 192 200 +5, +6, -16 0

+7 -24

d) Formule de Spencer k=7 k : -7, 320a(i) : -3 k : 320a(i) :

+1 , 67

-4 , 3

-3 , 21

-2 , -1 , 0 , 46 67 74

+5, +6, -5 -6

+7 -3

e) Formule de Karup k=9 k : -9 , -8, -7, 1250 a(i) : -4 -12 -18 k : +1 , 1250a(i) : 228

+2 , 174

+3 , 106

+4 , 42

20

-3 , 106

+5 , +6 , 0 -16

-2 , 174

-1 , 228

0, 250

+7 , +8 , +9 -18 -12 -4

f) Ajustement de King

qx = 1,08 Wx -0,04(Wx-5 +Wx+5) avec

Wx = 0,2(q’x-2 + q’x-1 + q’x + q’x+1 + q’x+2)

q’ x : fréquence de décès observée à l’âge x Cet ajustement est utilisé par le Bureau fédéral de statistique pour le calcul d’une partie des probabilités de décès de la table de mortalité de la  population suisse

g) Ajustement de Jaumain 1/5

qx = (q’ x-2 q’ x-1 q’ x q’ x+1 q’ x+2) Moyenne géométrique des 5 q’ (taux bruts)

Ajustement analytique C’est l’ajustement des taux bruts observés par la une fonction

qx = f(x)

prédéterminée contenant des paramètres dont la valeur est à fixer à  partir des fréquences observées. L’ajustement est en général fait à partir de la fonction lx (nombre de survivants à l’âge x).  Nous donnons ci-dessous quelques exemples d’a justement analytique.

a) Formule de De Moivre (1725) De Moivre a admis la décroissance constante du nombre des vivants entre les âges de 12 à 86 ans, autrement dit la constance de dx. L’âge ultime est 86 ans.

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Si

l0 = 860000

lx = (86-x) 10000 = (Ax+B) 10000 ; A= -1,B=86 l12 =(86-12) 10000 = 74000 l50 =(86-50) 10000 = 36000 l60 =(86-60) 10000 = 26000 l80 =(86-80) 10000 = 6000 0 l86 =(86-86) 10000 =

Cette représentation bien que simpliste permet d’orienter vers une résolution mathématique de la fonction de mortalité. Ce qui sera développé à travers les autres méthodes d’ajustement analytiques.

 b) Formule exponentielle

lx = k a

 x

avec a<1

c) Formule de Sang

lx = a + b c

 x

d) Formule de Gompertz (1825) Gompertz part de considération sur la décroissance de la résistance humaine avec l’âge et que la mortalité croit exponentiellement avec l’âge. c x

lx = kg 

 x

c ( c1)

D’où

q x  1  g 

Donne de bons résultats vers 45 ans d) Formule de Makeham (1860) Makeham discutait la loi de Gompertz et introduisait une modification qui a  pour effet de rendre la formule applicable avec une étonnante exactitude après 22

l’âge de 25 ans et jusqu’à la fin de la table. Sa découverte revenait à admettre que la mort puisse provenir de deux causes généralement coexistantes : 



Le hasard sans aucune disposition préalable à la mort ou à la destruction organique. (1) Une détérioration ou une incapacité croissante à résister à la destruction. (2)

L’intensité de la mortalité due à la cause (1) est une fonction constante L’intensité de la mortalité due à la cause (2) est une fonction exponentielle c x

l  x  ks g   x

c x ( c 1)

 p x   sg 

Probabilité cond. de survivre aux causes organiques

Probabilité de survivre aux causes accidentelles

Cela nous amene à introduire la notion de taux instantané de mortalité.

Taux instantané de mortalité Appelé également

force de mortalité

Définition 23

 par définition,

En développant et en utilisant la définition de la dérivée première d'une fonction, nous obtenons

Taux de survie

Vu la propriété précédente

En calculant l'intégrale (par variation d'une primitive),

Or, nous savons que

donc

24

. Ainsi,

et en appliquant la fonction exponentielle aux deux membres, nous obtenons le résultat annoncé :

Approximation

En effet, est la pente de la tangente représentée en rouge. Cette pente peut être approchée par la pente de la sécante représentée en vert, mathématiquement cela se traduit par

25

Or, nous savons que

D'où le résultat attendu en remplaçant

par l'approximation obtenue.

26

Espérance de vie (ou vie moyenne) Soit un homme en vie lors de son xème anniversaire. Considérons le nombre d’années qui lui restent à vivre. Ce nombre d’années est une variable aléatoire dot nous pouvons calculer l’espérance mathématique. En négligeant toute fraction d’année, cette espérance mathématique est notée

Variable Probabilité

0 qx

1

2

1 qx

2 qx

……….

En remplaçant qx par dx/lx :

ex =( 0 dx + 1 dx+1 + 2 dx+2 +…….+(  -x)dx)) / lx A

A = + +

dx+1 dx+2 + dx+2 dx+3 + dx+3

dx+3

+

……………………… +

A =

d  

+

d  

+

d   +…………..

+

d  

lx+1 + lx+2 + lx+3 + ………. + l  

ex = ( lx+1 + lx+2 + lx+3 + ………… + l  ) / lx ex =  px ex

+

 2px

+

 3px

+

 4px

+ …..+   -x px

est appelée espérance de vie abrégée à l âge x

27

ex   -x   -x qx

Si on refait le même calcul en comptant chaque année commencée par une demie année : 0

La nouvelle espérance mathématique est notée e x

Variable Probabilité

0,5 qx

1,5

2,5

……….

1| qx

2| qx

En remplaçant qx par dx/lx :

0

ex

=( 0,5 dx + 1,5 dx+1 + 2,5 dx+2 +…….+(  -x+0,5)dx))

/ lx

A

A = 0,5 dx 0,5 dx+1 + dx+1 +0,5 dx+2 + dx+2 + dx+2 + 0,5 dx+3 + dx+3 + dx+3 + dx+3 …………………………………. + 0,5 d   + d   + d  +………….. +

A = 0,5

lx + lx+1 + lx+2 + lx+3 + ………. + l   l l

0

 l

e x  = (0,5 x + x+1 + x+2 + 0

e x = 0,5 +  px + =

d  

 2px

+

lx+3 + ………… + l  ) / lx

 3px

+

 4px

+ …..+   -x px

ex + 0,5

0

e x  est appelée espérance de vie complète à l âge x

28

 

-x+0,5

 

-x| qx

Tables de mortalité pour la Suisse 1998/2003 Après chaque recensement fédéral de la population, depuis la période 1876/1880, l’Office fédéral de la statistique (OFS) établit des tables de mortalité de la population résidante en Suisse, pour une période de six ans dont le centre est constitué par l’année du recensement. Ces tables sont construites pour chaque sexe et selon l’état civil. Dans un petit pays comme la Suisse, le nombre de décès enregistrés à chaque âge ainsi que les effectifs des résidents aux différents âges sont trop faibles pour  permettre, à partir d’une seule année d’observation, de calculer des valeurs  permettant de faire des analyses actuarielles, épidémiologiques ou démographiques précises. Des tables de mortalité établies à partir d’observations s’étendant sur six années autour d’un recensement permettent par contre d’obtenir des valeurs fiables pour étudier de manière détaillée la mortalité en Suisse.

Evolution de l'espérance de vie à la naissance (en années)

Période d'observation* Espérance de vie à la naissance

Augmentation de l'espérance de vie Entre périodes d’obs.

Ecart Hommes

Femmes

F/H

Hommes

Femmes

1876/80 1881/88 1889/00 1910/11 1920/21 1929/32 1939/44 1948/53 1958/63 1968/73 1978/83 1988/93

40.64 43.29 45.69 50.65 54.48 59.25 62.68 66.36 68.72 70.29 72.40 74.19

43.24 45.70 48.47 53.89 57.50 63.05 66.96 70.85 74.13 76.22 79.08 81.05

2.60 2.41 2.78 3.24 3.02 3.80 4.28 4.49 5.41 5.93 6.68 6.86

2.65 2.40 4.96 3.83 4.77 3.43 3.68 2.36 1.57 2.11 1.79

2.46 2.77 5.42 3.61 5.55 3.91 3.89 3.28 2.09 2.86 1.97

1998/03

77.22

82.82

5.60

3.03

1.77



A partir de 1910/1911, sont uniquement prises en compte les tables de mortalité dont les périodes d'observation étaient proches d'un recensement fédéral de la population. Sources: BEVNAT, ESPOP, RFP

29

Vie probable : La vie probable à l’âge x est la durée comptée à partir de l’âge x pour laquelle la  probabilité temporaire de survie est égale à 0,5 :  

   :

px = 0,5



lx+    = (1 /2) lx

vie probable à l’âge x ou vie médiane à l’âge x

  se calcule à l’aide de

lx et par interpolation linéaire ( répartition uniforme

autour de x+  

30

Fonctions biométriques. Relations entre elles. Probabilité

Probabilité de décès

Annuelle -immédiate

qx

-différée

 px

se note

|1 qx se note 0|

qx

se note

 px

 _

n| qx

Pluriannuelle (ou temporaire)

1

survie

| nqx

n px

 px qx

suppression de l’indice n quand il vaut 0 ou 1

qx

La probabilité pluriannuelle différée de décès :

k|n q  X = k| q  X + k+1| q  X + k+2|

q  X

+…. k+n -2|

q  X

+ k+n-1|

q  X

Soit un grand ensemble de personnes Lo toutes nées vivantes d’âge 0 (base de la table de mortalité). Lx sous ensemble de Lo en vie le jour de leur xème anniversaire. Soit L’x le sous ensemble de personnes de Lo qui décèdent entre leur leur (x+1) ème anniversaire.

31

xème et

Cardinal(Lo) = lo Cardinal(Lx) = lx Cardinal(L’x) = dx

dx = lx – lx+1 ……+  lx = dx + dx+1 +  d  -1 +   d   ……+  lx - lx +n = dx + dx+1 +   dx+n-1 d  =   l  

 p  = 0 q  = 1 Probabilité qu’une personne p de l’ensemble Lo soit en vie le jour de son anniversaire :

xème

lx x p  0 = P(p appartient à Lx) = -------

l0 Probabilité qu’une personne p de l’ensemble Lo décède entre son (x+1) ème anniversaire.

xème et son

lx –  lx+1

dx

x q  0 = P(p appartient à L’x) = ------- = -----------

l0

lx

Probabilité qu’une personne p de l’ensemble Lo décède entre son (x+n) ème anniversaire.

x| q  0 + x+1| q  0 + x+2|

q  0 +….

x+n-2|

q  0 +

x+n-1|

xème et son

q  0=

….. + dx+n-1 lx –  lx+n = -------------------------------------------- = ------------------

dx + dx+1 + dx+2

l0

l0

Probabilité qu’une personne p de l’ensemble Lo  décède avant son anniversaire.

32

xème

do + d1 + d2

….. + dx-1

lo –  lx

= ---------------------------------- = ----------- = 1- x p  0

l0

l0

lx +1

p  x=

-------

lx lx+n n p  x = ------- = p  x p  x+1

p  x+n-2 p  x+n-1 x+3…….. p 

lx

dx

lx - lx +1

q  x = --------- = --------------- = 1- p  x lx

lx

dx+n n| q  x = --------- = n p  x q  x+n

lx n| q  x + n+1| q  x + n+2|

q  x +….

n+k -2|

q  x +

dx+n + dx+n+1

….. + dx+n+k-1 = --------------------------------------------

lx

33

n+k-1|

q  x=

dx + dx+1 + dx+2

….. + dx+n-1

X = -------------------------------------------|n q 

lx

lx –  lx+n = --------------- = q  X  + |1 q  X |2 q  X |3 q  X+……..+ |n-1 q  X  = 1- n p  x lx

lx +1 dx

=

=

lx p  x lx q  x

dx + dx+1 +…+ dx+n-1 = lx- lx+n = lx |nq  X dx+n = lx n| q  X

q  x + 1| q  x + 2| q  x + x +….+    -x-1| q  n| q  x + n+1| n| q  x + n+1|

q  x + x +….+   -x-1| q 

q  x x +….+ n+k -1| q  n+k p  x = n p  x . k p  x +n n| q  x = n p  x . q  x +n

  -x|

  -x|

q  x =1

q  x = n p  x

= n p  x –  n+k p  x

34

FONCTIONS ACTUARIELLES Elles se divisent entre deux grands groupes : 

les assurances de capitaux Une assurance de capital est un contrat par lequel un assureur s’engage à  payer un capital déterminé soit en cas de décès au cours d’une période fixée soit en cas de vie à l’expiration d’une période fixée



les rentes viagères Une rente viagère est une suite de paiements effectués à des échéances  périodiques et prenant fin au plus tard au décès de leur bénéficiaire (le rentier). L’assureur reçoit en contrepartie de ces prestations une prime unique ou  périodique. En cas de rente la prime unique est appelée : » capital constitutif de rentes ». Les fonctions actuarielles peuvent être définies de trois manières : 1) Comme l’espérance mathématique d’une fonction d’intérêt composé. On substitue une variable aléatoire à une grandeur certaine. Cette méthode théorique met en évidence les relations qui existent entre les mathématiques des assurances sur la vie et les mathématiques financières. Mais dans la pratique elle n’est pas utilisée pour effectuer des calculs numériques. 2) Comme coût moyen unitaire d’une opération financière supposée se réalisant dan la population type de la table de mortalité choisie et ce à l’aide des nombres de commutation. C’est cette méthode qui employée couramment dans les calculs numériques 3) Comme combinaison d’autres fonctions actuarielles. C’est le cas notamment des primes périodiques.

Les assurances de capitaux Capital différé (ou facteur d’escompte  viager) [ pure endowment] : 35

Une assurance de capital différé est un contrat par lequel l’assureur s’engage à  payer le capital assuré après un terme fixé (n années) si l’assuré d’âge x est toujours vivant à l’âge (x+n). La durée n reste une grandeur certaine. Le montant à payer devient ainsi une variable aléatoire qui prend la valeur : 1 avec une probabilité

n p  x

0 avec une probabilité

X |nq 

n

n

v n . n p  x

E x  = 1. v . n p  X = x + 0. v . |nq  n

Assurance au décès vie entière [whole life insurance] C’est un contrat par lequel l’assureur s’engage à payer le capital assuré, à un  bénéficiaire désigné, au décès de l’assuré, et ce quel que soit le moment de ce décès. Le paiement devient certain. C’est la durée n qui devient une variable aléatoire Considérons le cas où le capital est payable à la fin de l’année n de décès.  N prend la valeur : 1

avec une probabilité

2

avec une probabilité

3 avec une probabilité ……………………………….  

-x +1 avec une probabilité

 

A x  =

+ …….+

v

-x | q  x

v n est dans ce cas :

L ’espérance mathématique de la fonction

A x  = v q x + v 2 1| q x

q  x 1| q  x 2| q  x

- x 1

 

 

-x | q  x

valeur actuelle au jour du x ème anniversaire d’une personne (x) de 1 dh,

 payable au décès de la dite personne le jour exactement de l’anniversaire qui suit immédiatement le décès.

36

Assurance temporaire au décès [term insurance] Assurance temporaire est un contrat qui garantit un capital détérminé si le décès survient avant un terme fixé de n années. Le paiement du capital a lieu le jour de l’anniversaire qui suit le décès  si le décès survient avant le (x+n) ème anniversaire. Aucun paiement n’a lieu si la personne(x) est en vie le jour de son (x+n) ème anniversaire. Considérons le paiement et la durée tous deux aléatoires, on aura alors : La durée n prend la valeur

Le paiement prend la valeur 

tous deux avec la probabilité

1

1

q  x

2

1

1| q  x

3

1

2| q  x

………..

…….

n-1

1

n-2| q  x

n

1

n-1| q  x

n

0

n p  x

…….

D’où l’espérance mathématique :

A x  = n

2 v v q x + 1| q x

+……+ v

n

 n-1| q  x

Assurance mixte [endowment] Assurance mixte est un contrat qui garantit un capital déterminé si le décès survient avant un terme fixé de n années et si en revanche la personne(x) est en vie le jour de son (x+n) ème anniversaire. Le paiement du capital a lieu ce jourlà. Le paiement est donc certain mais le nombre d’années après lesquelles il est fait est une variable aléatoire

37

n  prend la valeur 

avec la probabilité

1

q  x

2

1| q  x

3

2| q  x

…….

…….

n-1

n-2| q  x

n

n-1| q  x

n

n p  x

L ’espérance mathématique de la fonction

A x :n

= =

=

v q x + v

2

v q x + v

2

n

E x  +

n

v

n -1

v n est dans ce cas : n q  v  n-2| x + x + n p  x) ( n-1| q 

1| q  x

+…+

1| q  x

n -1 v +…+  n-2| q  x +

v n  n-1 p  x)

Ax

Assurance au décès différé Le capital est payé par l’assureur si le décès survient après le (x+n)ème anniversaire. Aucun paiement n’a lieu si le décès a lieu avant l’âge x+n. C’est le cas inverse de l’assurance temporaire

Ax n

=

vn

1



n| q  x+ v

n 2

 n+1| q  x +….+

Remarque :

Ax

= n

Ax

+ n

Ax

38

n

Ax

v

- x 1

 

  -x

| q  x

Les rentes viagères [life annuity] Rappels : 1- Une rente viagère est une suite de paiements effectués à des échéances  périodiques et prenant fin au plutard au décès de leur bénéficiaire (le rentier). 2- Taux d’intérêt : a) Postnumerando Au taux i, l’intérêt périodique d’un capital C vaut C*i. Cet intérêt ère échoit à la fin de la 1  période à laquelle il se rapporte. L’intérêt C*i est payé postnumerando  b) Praenumerando Si l’intérêt échoit au début des périodes auxquelles il se rapporte, l’intérêt Cd est payé praenumerando. d est la valeur escomptée de i : d =i/(1+i) = iv = 1-v c) Taux nominal d’intérêt

i (m)

Soit i le taux effectif annuel. désigne le taux nominal d’intérêt  payable en m fractions. Dans le cas d’un taux trimestriel, m = 4 et

i

1

taux dont la période vaut 1/m de celle de i.

m

i (m) et

i

1

i (m) = m

 sont proportionnels :

m

i

1 m

(

1+i = 1+ i

1

)

m

[

= 1+

m

d’où

i(m) m

]

m

m

[

i = 1+

i(m) m

]-1 1

et

i (m) = m [ (1  i) m  - 1]

 pour un taux nominal

i (m) = 0,06 ,

i varie selon m comme suit :

39

i(m)

i = [1+

m

m

m

] -1

1 0,060 00 2 0,060 90 4 0,061 36 12 0,061 68 ……………………………………



i = lim

0,061 84

[1+

d) Taux instantané

i = lim m

i+1=

m



m

e

i(m)

  

0,06

1 =

e

1 =

e   - 1

- 1 = 0,061 84

 

[1+



m

] -

m

  /m ] -

log(1  i)

  =

ln (1+i) =

  =

2,302 585 log(1+i)

  =

i (m)

lim m



40

log e

 = log(1+i)/04342945

Valeur actuelle d’une rente viagère Elle peut être calculée selon les trois méthodes déjà énoncées .

Cas d’une rente initiale temporaire payable praenumerando . Méthode 1 : Considérons maintenant comme fonction de l’intérêt composé la valeur actuelle de 1 payable au début de chaque année pendant n années :

ä n  = än

1+ v + v +…….+ v 2

n -1

1  vn = 1 v



1  vn d 

= valeur actuelle d’une rente certaine initiale temporaire pendant n

années payable praenumerando. Dans le cas d’une rente viagère, le nombre de paiements devient une variable aléatoire qui peut prendre selon la date de décès : 1, 2, 3…n

La rente viagère est égale à

ä1

X

………….

ä

et x+1

x+1 et

ä2

än

Si le décès a lieu entre

x+2

Avec la probabilité

q  x 1| q  x

………………… x+n-2 et

x+n-1

n-2| q  x

1



n

Après

x+n-1

41

n-1 p  x

ä x:n

ä x:n

 =

ä1 q  ä q  x + 2 1| x | + … än

1



  n-2| q  x+

ä

n

 n-1 p  x

praenumerando à une  personne (p) tant qu’elle est vivante  mais au plus pendant n années  est la valeur actuelle de 1,- payable

Méthode 2 : chacun des lx personnes vivantes d’âge x verse à l’assureur un montant de

ä x:n

Dh. La somme ainsi recueillie soit ( lx ä x:n ) est placée à

intérêt composé et sert à payer aux survivants au début de chaque année et ce pendant n années consécutives d’où :

lx ä x:n = lx + v lx+1 + v 2 lx+2 +… v

n -1

lx +n-1

Méthode 3 : Chaque paiement est un capital différé :

ä x:n = 1+

 E  x  + 2 E  x +……+

1

n 1

E  x

Relation :

ä x:n

d

ä  x:n

 =

ä1 q  ä q  x + 2 1| x | + … än

2 v ) 1| q  q   = (1-v) x +(1x+…+(1- v

42

n -1

1



  n-2| q  x+

) n-2| q  x +(1-

ä

n

 n-1 p  x

v n ) n-1 p  x

= q  x + 1| q  x + n-1 p  x x + …. + n-2| q 

=1

2 v vq  x + 1| q  x+

n -1 n v q  v  n-2| x + n-1 p  x …. +

|---------------| ||

v n (n-1| q x+ n p x) d ä x:n = 1 -

=

(

n

Ax

+

n

E

x

)

1   A

1

 x:n

  A

 x:n

ä  x:n

=

d 

similaire à

ä n  =

1  vn 1 v



1  vn d 

Considérations globales 1- Catégories d’assu rances Selon la règle qui définit les conditions de paiements on peut distinguer  plusieurs catégories d’assurances : - quand un seul paiement est prévu on parle d’assurances de capitaux. - Quand plusieurs paiements dont possibles on parle d’assurances de

rentes -

Si les paiements ne peuvent avoir lieu que dans espace de temps limité et fixé contractuellement on a affaire à une assurance

temporaire -

Dans le cas contraire, il s’agit d’une assurance vie entière Si tout paiement est exclu pendant les premières années du contrat l’assurance est dite différée Dans le cas contraire, on parle d’une assurance immédiate.

43

2- Nombres de commutation Les calculs pratiques, aussi bien des capitaux que de rentes, sont effectués selon la méthode 2 mentionnée plus haut, à l’aide de valeurs auxiliaires que l’on nomme nombres de commutation. Les nombres de commutation se répartissent en six catégories : x Dx  v lx  N  x   D x  D x 1  ...  D  

S  x   N  x  N  x 1  ...  N   

C  x  M  x

 x 1

v 

d  x

C  x  C  x 1  ...  C   

 R x  M  x  M  x 1  ...  M  = C  x  2C  x 1  ...  (   x  1)C  



 

 

Expression des assurances de capitaux et de rentes à l’aide des nombres de commutation 1- Assurances de capitaux a) Capital assuré est égal à 1 -

Assurance en cas de vie (capital différé ou facteur d’escompte), le capital est payé en cas de vie à l’échéance : n

-

 E  x 



:

 M  x  D x

Assurance au décès temporaire (immédiate) n

-

 D x

Assurance au décès vie entière (immédiate)

 A x

-

 D x  n

A x  =

 M  x  M  x n  D x

Assurance au décès différé (vie entière) :

44

:

n

-

Ax

 M  x

 =



n

 D x

Assurance mixte :

A x :n



 M  x  M  x



n 

 D x



n

 D x

b) Le capital assuré croit en progression arithmétique de raison 1. - Assurance au décès vie entière : ( IA) x

-



 R x  D x

Assurance au décès vie entière  – La progression s’arrête après n années. Le capital est ainsi de t si le décès a lieu pendant la tème année d’assurance (t



n) puis il reste égal à n

(I n A) x   R

 x

  R x  n

 D x

c) Le capital assuré décroît en progression arithmétique de raison 1 - Assurance temporaire au décès vie entière : 45

Le capital décroissant en progression arithmétique de raison 1. Si le décès a lieu pendant la première année d’assurance, le capital est de n Si le décès a lieu pendant la deuxième année d’assurance, le capital est de n-1 et ainsi de suite…

( DA) x n



n. M  x   R x 1   R x 

 n 1

 D x

2- Assurances de rentes a) Rentes entières Paiement de 1,- par année

Rentes entières

praenumerando

Rente vie entière immédiate

ä x 

 N  x

a x 

 D x

Rente vie entière différée

ä x  n

Rente temporaire immédiate

ä x n 

 N  x  n  D x  N  x   N  x  n  D x

b) Rentes fractionnées m paiements de 1/m  par fraction d’année 2 paiements de 1/2 par semestre 4 paiements de 1/4 par trimestre 12 paiements de 1/12 par mois

46

postnumerando

 N  x 1  D x

a x  n

a x n 

 N  x  n1  D x

 N  x 1   N  x  n1  D x

praenumerando

Rentes fractionnées Rente vie entière immédiate

ä x

(m)

Rente vie entière différée n

ä x

Rente temporaire immédiate

ä x n

m 1  ä x  2m

(m)

( m)

 n ä x 

 ä x n 

a x

m 1 .n E  x 2m

m 1 2m

postnumerando

(1 n E  x )

n

(m)

a x

a x n

m 1  a x  2m

(m)

( m)

 n a x 

m 1

 a x n 

2m

n

m 1 2m

E  x

(1 n E  x )

c) Rentes en progression arithmétique Progression de raison 1

Rentes entières

Rente vie entière immédiate Rente vie entière Progression cessant après n termes

praenumerando

( Iä) x 

S  x

( Ia) x 

 D x

( I n ä ) x 

Rente temporaire immédiate

( Iä) x n 

postnumerando

S  x  S  x  n  D x

S  x  S  x n  nN  x n  D x

47

S  x 1  D x

( I n a) x 

( Ia) x n 

S  x 1  S  x  n1  D x S  x 1  S  x  n1  nN  x n1  D x

d) Rentes en progression géométrique Progression de raison h. Les termes sont  : 1, h, h , h ,... 2

3

Cas de rente temporaire immédiate : -

Praenumerando 2 2 n 1 n 1  1  hvp x  h v 2  p x  ...  h v n 1  p x 

(vä) x n





 ä x n -

au taux i’ tel que

Postnumerando

1 1  i'



h 1 i

(va) x n  vp x  hv 2 2  p x  ...  h n1v n n  p x 

1 h

soit i ' 

a x n au taux i ' 

Voir détails dans manuscrit (18 pages)

48

 

1 i h 1 i h

1

1

PRIMES ET CHARGEMENTS  Nous avons appris à calculer la valeur actuelle d’une assurance (capital ou rente). Les assureurs sur la vie proposent au public de souscrire des contrats au terme desquels : - L’assureur s’engage à verser au bénéficiaire telle ou telle  prestation (capital ou rente). - Le preneur d’assurance s’engage à payer des primes. Ces primes représentent le prix de l’assurance. La prime est composée de deux parties : - la valeur actuelle des prestations promises - les frais qu’occasionnent la gestion et l’acquisition du contrat en question Les techniques d’assurance sur la vie ne sont pas l’apanage des compagnies d’assurance. Elles sont également utilisées à des fins sociaux par des caisses de  pensions et des assurances sociales. L’étude de ces deux derniers cas sort du cadre de ce cours. Pour aborder le public, l’assureur a recours à des acquisiteurs : agents,  prospecteurs, inspecteurs, …

Niveaux de primes Il existe trois niveaux de primes : 1) prime pure : c’est la contrepartie de la prestation assurée 2) prime d’inventaire  : qui contient outre la contre-valeur de la prestation assurée un chargement pour frais administratif  (ou frais de gestion) 3) prime commerciale : qui en plus des éléments figurant dans la prime d’inventaire contient encore des chargements pour frais d’acquisition et frais d’encaissement de primes. Chargement : Montant ajouté à la prime de risque(pure) pour couvrir les charges, le bénéfice et les imprévus. 49

Prime pure

=  prestation Prime d’inventaire = prestation + frais administratif  Prime commerciale = prestation + frais administratif  + frais d’acquisition + frais d’encaissement de primes

Il existe trois sortes de primes : 1) Prime unique : 2) l’assuré est tenu à un seul versement au début du contr at at 3) Prime annuelle : l’assuré est tenu à des versements chaque année du contrat pour autant qu’il soit en vie au moment de leur échéance. 4) Prime limitée : l’assuré est tenu à des versements chaque année des m  premières années du contrat. Il en est libéré libéré dès la (m+1)ème  année.

Les primes annuelles et les primes limitées limitées forment ensemble les primes périodiques. Les primes périodiques peuvent périodiques peuvent s’acquitter par fractions  semestrielles, trimestrielles ou mensuelles. Les rentes viagères immédiates ne peuvent peuvent se faire évidemment qu’à prime unique.

Exemple 1 : Assurance mixte -

capital assuré : C durée d’assurance : d’assurance : n sortes de primes : a) a ) unique  b) annuelles c) limitée

a) prime unique : - pure :

CA x:n

- d’inventaire  :

CA' x:n



CA x:n



  Cä

 x:n

  C représente le chargement annuel pour la gestion du contrat  

ce taux est actuellement pour le tarif mixte = …. …. ?  ? Au Maroc 50

1,5% o en Suisse

- commerciale :

CA" x:n

CA" x:n

d’où

 .CA" x:n



1

CA' x:n

1   

 CA'

 x:n

 CA"

 x:n

est la commission d’acquisition c à d la rémunération de l’agent qui

a contacté l’assuré . Dans la formule ci-dessus cette commission et proportionnelle à la prime commerciale. Elle peut être aussi proportionnelle au capital assuré et on alors :

CA" x:n

 CA'

 x:n

 .C 

b) Prime annuelle - Prime pure :

- Prime d’inventaire  :

 A x:n 1 CP  x:n  C   C (  d ) ä x:n ä x:n

CP " x:n

- Prime commerciale : CP " x:n

D’où





CP   x:n

1 1    



  .C 

(CP ' x:n

CP " x:n  CP  x:n   .C  



 .C 

 .C  ä x:n

ä x:n

)

  .CP " x:n

Avec  .C  = chargement annuel pour les frais frais de gestion gestion actuellement actuellement = ……..au Maroc, 2,5%o en Suisse d’acquisition  .C  = commission d’acquisition

51

 .C 

ä x:n

  = quote- part  part annuelle d’amortissement de la la commission d’acquisition

les frais d’encaissement proportionnel à la   .CP " x:n = chargement pour les  prime annuelle commerciale actuellement actuellement : = ……..au Maroc, 3% en Suisse pour le tarif mixte

c) Prime limitée - Prime pure : C .  P : ( m)

 x n



C 

 A x:n

- Prime d’inventaire  : C .  P ' x:n (m)

m
ä x:m

 A x:n ä x:n  C    1C    2C  ä x:m ä x:m

Dans ce cas, le chargement pour frais administratifs est général réduit pendant les (n-m) (n-m) années en fin de contrat où il n’y a plus d’encaissement de prime. On a donc : ( 1   2 )C  = chargement annuel de gestion pendant les m premières années du contrat où les primes sont dues actuellement : = ……..au Maroc, 1%o en Suisse  1

 2

= ……..au Maroc,

1,5%o en Suisse

 2C  = chargement annuel de gestion pendant les (n- m) dernières années du contrat où les primes ne sont pas dues.

- Prime commerciale :

( m)

C .  P " x:n



1 (C .( m ) P ' x:n 1   



 .C  ä x:m

Même commentaire que pour la prime annuelle Remarques :

52

1) la valeur du coefficient    peut être déterminé en fonction de la durée du contrat n, exemple (Suisse) :

 = (30+2n)%o et au maximum égal à 50%o 3% de la prime commerciale périodique     2) les chargements des assurances complémentaires et de groupe sont moindres (inférieurs à ceux des assurances individuelles) car le contrat concerne un groupe et non individu par individu d’où réduction des frais d’acquisition et d’encaissement. 3) le chargement pour frais administratifs et d’acquisition se calculent sur la moitié : - capital assuré pendant la première année du contrat en cas d’assurance au décès décroissante. - de la valeur actuelle de la rente certaine en cas d’assurance d’annuités :  R

än 2

Exemple 2 : assurance d’une rente viagère différée (rente postnumerando, à termes constants fractionnées)

a) Prime unique  N  m 1 .n E  x )  R n a ( m ) x   R.(  x  n  2m  D x - Prime d’inventaire  : R n a'( m ) x  (1   ) R n a ( m ) x   1 Rä x:n   2 R n äx - Prime pure :

Avec  1 = taux de chargement pour frais administratifs pendant le différé  2 = taux de chargement pour frais administratifs pendant le service  

de la rente = taux de chargement pour le paiement de la rente

Dans le tarif Suisse  1 = 1,5%  2 =0 par simplification, incorporé dans

  qui est = 2,5%

- Prime commerciale :  R n a"( m ) x 

1

 R n a'( m ) x où 1   

   …….(Maroc) = 3% (Suisse)

 NB. Le tarif peut introduire encore un chargement de sécurité Zx. La prime pure devient :

53

 N  m 1  R n a ( m ) x   R(  x  n   E  x  Z  x ) n  D x 2m En suisse Zx = 0,02(x-60) mais au maximum Zx = 0,1

 b) Prime annuelle (selon tarif suisse) - Prime pure et prime d’inventaire  : Prime annuelle = -

Prime unique ä x:n

Prime commerciale Prime annuelle =

0,97 Prime unique . ä x:n 0,95

Problème principal dans le calcul d’un tarif Le problème principal dans le calcul d’un tarif est tarif  est : 1) le choix de la table de mortalité 2) le choix du taux technique d’intérêt 3) le choix des taux de chargement si ces bases techniques de calcul ne reflètent pas fidèlement la réalité, l’assureur soit ne pourra pas tenir ses engagements (primes insuffisantes) , soit il demandera des primes trop élevées et ne pourra pas faire ses affaires en raison de la concurrence. Très souvent on constate que toutes les compagnies d’assurances qui opèrent sur un même marché adoptent les mêmes bases techniques. Le choix de ces bases est arrêté après discussion entre les compagnies ou certaines d’entre elles et l’autorité l’autorité de surveillance. Les règles générales qui président au choix choix de ces bases techniques techniques peuvent être résumées comme suit : 1) Taux d’intérêt  (ou taux technique) Dans le marché de capitaux ce taux peut connaître diverses évolutions à long et court termes. Les contrats d’assurance sur la vie « tant «  tant des contrats généralement de long durée. On choisira un taux d’intérêt technique de telle

54

manière que le taux de rendement des capitaux placés ne soit inférieur au taux technique. Le taux technique est rarement modifié. En Suisse il était depuis avant la 2ème guerre fixé à 2,5%. En 1970 il a été relevé à 3,25%. Au Maroc…..

2) Mortalité a) Faire la distinction selon qu’il s’agit d’assurance en cas de vie : rentes viagères capitaux différés… en cas de décès : assurance mixtes, assurance décès … Pour la première catégorie, on prendra des

qx  faibles qx élevés de l’ordre de

Pour la deuxième catégorie, on prendra des grandeur de la table de la population générale.

 b) Faire une distinction selon le sexe : un un tarif pour hommes et un tarif pour femmes. Distinction absolument indispensable pour les assurances de rentes. Elle est recommandée pour les assurances de capitaux. c) Changer périodiquement la table de mortalité pour tenir compte de la régression séculaire de la mortalité. En général tous les 15 ou 20 ans.

3) Tarif Faire preuve de pessimisme lors de l’établissement du tarif pour créer une marge de sécurité. Dans le cas d’assurance avec participation au bénéfice, le trop perçu est redistribué aux assurés. Ce qui est équitable. Dans ce cas on a plus de liberté d’introduire des marges de sécurité.

55

VALEURS FINALES Comme en mathématiques financières on distingue parmi les fonctions actuarielles : - les valeurs actuelles ou initiales - les valeurs finales soit X le montant d’un capital différé de n années dont la valeur actuelle à l’âge x est 1 :

X . n E x = 1

 I  = n  x

1

X=



1

 E  x n

=

 D x  D x

=  I  n

x

n

 par analogie en mathématiques financières à : r   n

 E  x n

1 vn

On dira que X est la valeur finale de 1,- capitalisé viagèrement pendant n année La valeur finale d’une rente est : est  :

¨ s x:n

 I  x  n 1 I  x

n

=



 D x  D x

= D

 x

¨ s x:n





 n

1



 D x  D x

1





 I  x



 D x



2

 D x



n

 n 2

n



2





...1 I  x



 D x



... 

 D x

n1

n 1



n

  D x 1  ...   D x n1  D x

 Dx  Dx

.  D x n

ä x:n .n I  x , en mathématiques financières, ¨ sn

56



n

än r 

En appliquant la méthode 2 déjà exposée à une population type, on peut exprimer les valeurs finales de certaines fonctions actuarielles comme suit :

1) Cas de n I  x

lx  personnes versent chacune 1,- Dh. Les lx Dh ainsi recueillis sont capitalisés à intérêt composé pendant n années. Le capital final ainsi obtenu est réparti en  parts égales entre les lx+n survivants. Chacune des parts vaut

l  x r n



 I  x

n

Dh

l  x n .n I  x 

1 l  x  D x    I   r  . n  x l  x  n n E  x  D x  n n

D’où

2) Cas de

¨ s x:n

lx  personnes versent aujourd’hui chacune 1,- Dh. lx+1  personnes survivantes versent chacune 1,- Dh une année plus tard lx+2 personnes survivantes versent chacune 1,- Dh deux années plus tard. Ainsi de suite…. Les n versements, respectivement de lx , lx+1,lx+2 ,…, lx+n-1 Dh ainsi recueillis au début des n années consécutives sont capitalisés à intérêt composé. Le capital final ainsi obtenu est réparti en parts égales entre les lx+n survivants. Chacune

¨ s x:n

des parts distribuée vaut n

l  x r 



n 1

l  x 1r  

Dh, on a donc :



...  l  x



n1

r   l  x n .¨s x:n 

d’où

3) Cas de

n

¨ s x:n

n

¨ s x:n



 I  x  n 1 I  x 

1



 I  x

 n 2



2



...1 I  x



n1

ä x:n .n I  x

r  x

Valeur finale d’un Capital de 1,- Dh assuré au décès pendant n années :

57

1 année plutard les héritiers dx versent chacun 1,- Dh 2 années plutard les héritiers dx+1 versent chacun 1,- Dh ……………………………………………………… n années plutard les héritiers dx+n-1 versent chacun 1,- Dh Tous les avoirs ainsi recueillis sont capitalisés à intérêt composé. Le capital final ainsi obtenu est réparti en parts égales entre les lx+n survivants. Chacune des parts distribuée vaut

n

r  x

Dh, on a donc :

d  x r n1  d  x1r n2  ...  d  xn2 r   d  xn1  l  xn .

n

r  x =

d  x r n1  ...  d  x  n1

=

lx  n d  x v  ...  d  x  n1v n

=

l  x  n v n l  x . n A x l  x n .v n 

n

r  x  =

n

=

 A x .r n n

l  x l  x  n

 A x n I x

58

n

r  x

RESERVES MATHEMATIQUES Les compagnies d’assurance sur la vie établissent chaque année un bilan comptable. Dans le passif de ce bilan, figure un poste très important appelé réserves mathématiques. A un instant t, les réserves mathématiques constituent la différence entre la valeur actuelle des engagements de l’assureur pour tous les contrats en cours et la valeur actuelle des primes à recevoir au titre des mêmes contrats. En effet l’assuré paie une prime brute c'est-à-dire un montant comprenant la  prime pure certains chargements destinés couvrir les frais. La prime pure d’un contrat d’assurance sur la vie est calculée selon le principe d’équivalence. La valeur de la prime est obtenue de telle façon qu’elle vise à couvrir les prestations assurées sans laisser ni bénéfice ni perte à l’assureur.

Réserves mathématiques pures : Pour le calcul des réserves mathématiques pures , l’évaluation de la valeur actuelle des charges futures de l’assureur ne tient compte que des prestations assurées exclusion faite des frais de gestion futurs. De même pour l’évaluation de la valeur actuelle des primes futures, on ne prend en considération que les primes pures exclusion faite des chargements contenus dans les primes restant à échoir.

Cas d’une assurance au décès vie entière Après t années :

 A x



= valeur des engagements futurs de la compagnie

t 

= valeur actuelle de 1,- Dh payable au décès d’un homme d’âge (x+t) t 

r  x

= valeur finale du risque que l’assureur a couvert depuis l’effet de la  police.

 P  ä x  x



t 

 P  x ¨s x:t 

= valeur actuelle des engagements de l’assuré (primes encore dues) = valeur finale des primes déjà payées par l’assuré

il existe entre ces 4 grandeurs la relation suivante :

 A x



t  + t 

r x =  P ä  x

 x t 

¨s x:t    +  P   x

59

(1)

En effet d’après le principe d’équivalence on a :  A x



 P  ä x    x

(2)

L’égalité (2) exprime que la valeur actuelle des engagements de l’assuré est à l’effet égale à la valeur actuelle des engagements de l’assureur.

 P  ä x  x

La somme



t 

¨s x:t  +  P   x

exprime la valeur de la totalité des primes

dues par l’assuré t années après l’effet du contrat. Cette somme actualisée à l’effet du contrat est égale à la valeur actuelle des  primes à l’âge x (effet du contrat) :

ä x ( P   x

t 



¨s x:t  ) t   E x = +  P   x

 P  x ä x

De même :

(

 A x



t  + t 

r x )  E  =  A t 

x

x

D’où d’après (2) :

ä x ( P   x

t 



¨s x:t  ) t   E x = ( +  P   x

 A x



t  + t 

r x )  E  t 

x

Après simplification on retrouve la relation (1) Le raisonnement ci-dessus est valable pour toues les autres formes d’assurance et pour tous les autres modes de paiement de primes : primes uniques et primes limitées.

Définition de la réserve mathématique Reprenons la relation (1) :

 A x



t  + t 

 A x



t  =

r x =  P ä

 P  ä x  x

 x



t 

 x t 

¨s x:t    +  P   x

¨s x:t  +  P   x

t 

r  x   60

(1)

(3)

Après t années à partir de l’effet du contrat, la valeur actuelle des engagements futurs de l’assureur n’est égale à la valeur actuelle des primes encor dues par l’assuré. Pour pouvoir faire face aux dépenses futures, l’assureur ne doit pas seulement compter sur les primes encore dues, il doit posséder en outre un complément de fortune. C’est ce complément qui est défini comme la RESERVE MATHEMATIQUE. La réserve mathématique apparaît donc à chaque instant comme une somme destinée à rétablir l’équilibre entre les valeurs respectives à cet instant des engagements de l’assureur et de l’assuré. La réserve mathématique est d’après la formule (3) estimée par  :

 P  x ¨s x:t 

-

t 

r  x

a priori on ne peut rien dire du signe de cette expression. On peut se demander si elle n’est pas identiquement nulle (différence entre deux engagements équivalents). En fait la réserve mathématique est généralement positive en raison de l’accroissement du risque de décès lorsque l’âge augmente. Des cas de réserve mathématique négative peut exister. voir +loin

Méthode rétrospective et Méthode prospective D’après la relation (3) la réserve mathématique est exprimée par la différence entre les valeurs finales des primes payées et du risque couru. Dans le cas d’assurance décès vie entière, on a :

V  x =  P  x ¨s x:t 

t 

-

t 

r  x  

(4)

V  x  désigne réserve mathématique pour un capital assuré de 1,- Dh. Cette

t 

méthode de calcul de la réserve mathématique est appelée

méthode

rétrospective. D’après (1) on a aussi :

V  x =  A x

t 



t  -

 P  ä x  x



t 

La réserve mathématique apparaît alors comme la différence des valeurs actuelles des prestations futures de l’assureur et des primes encore dues par l’assuré : c’est la méthode prospective. 61

La méthode prospective est d’un emploi très fréquent. C’est par elle que les compagnies d’assurance estiment en général leurs réserves mathématiques. Elle sert parfois de définition. On dit alors que la réserve mathématique est égale à la différence des valeurs actuelles des engagements de la compagnie et de l’assuré.

Formule de récurrence C’est une relation liant entre elles les réserves mathématiques d’une même assurance après t et (t+1) années depuis l’effet du contrat Dans le cas d’une assurance décès vie entière, on a :

l  x  A x = vd  x  v 2 d  x 1  v 3 d x2  ...= vd  x  v(l  x1 Ax1 ) d’où :

 A x = vq x  vp x 1 A x 1   

(1)



et

l  x äx  l  x  vl  x1  v 2l  x2  ...  l  x   v(l  x1  vl  x 2  ...)  l  x  vl  x 1äx1 d’où :

ä x  1  vp x 1ä x 1   

(2)



On déduit de (1) et (2) :

 A x ä x





t  =

t 

vq x t   vp x t   A x

=



1 +



*1

t  1

 

vp x t  ä x 



t 1

 

*(-Px )

 ___________________________

 A x



t  -  P   x

ä x t  = vq x t  - P  x + vp x t  (  A x

 A x



t  -  P   x

ä x t   + P  x = vq x t  + vp x t  (  A x

(1+i)(





V  x + P  x ) = q x t  +  p x t  t  1V x

t 





t  1

 



62

-  P  x t  1

 

ä x



t 1

-  P  x ä x

) t 1



)

La formule de récurrence donne la description du mécanisme annuel de la gestion d’un contrat d’assurance. Le premier membre indique la provenance des ressources de l’assureur. Elles sont constituées par 3 éléments : 1) l’avoir dont dispose la compagnie pour la couverture de la réserve mathématique, 2) la prime annuelle que verse l’assuré 3) les intérêts annuels produits par le placement de ces sommes. Le deuxième membre indique l’utilisation qui est faite des sommes disponibles : 1)  paiement des décès de l’année 2) constitution des réserves de fin d’année L’ensemble des sommes dont dispose l’assureur est ainsi entièrement utilisé. Si la mortalité et l’intérêt sont conformes aux prévisions, la gestion du contrat ne lui laisse donc ni bénéfice, ni perte. On retrouve là encore une conséquence du  principe d’équivalence.

Réserves mathématiques négatives D’une manière générale, la réserve mathématique peut s’exprimer par l’une des deux relations : -Rétrospective

Res.math. =

Valeur finale des  primes payées par l’assuré

 _

Valeur finale du risque supporté par l’assureur 

- Prospective

Res.math. =

Valeur actuelle des engagements de l’assureur 

 _

63

Valeur actuelle des primes encore dues par l’assuré

Dans les deux cas la réserve mathématique est définie comme la différence entre deux quantités positives. A priori il est donc possible que la réserve mathématique puisse être dans certains cas inférieure à zéro. En retenant la méthode prospective, qui est la plus fréquente : Dans deux cas au moins, la réserve mathématique ne sera pas négative : 1) Dans le cas de paiement par prime unique. Dès que la prime unique est  payée, la valeur actuelle des engagements de l’assuré est nulle et la réserve mathématique est égale à la valeur actuelle des engagements de l’assureur. 2) Dans le cas de primes limitées, lorsque toutes les primes sont payées, la valeur actuelle des engagements de l’assuré devient nulle et la réserve mathématique est égale à la valeur actuelle des engagements de l’assureur. En revanche la réserve mathématique est négative si la valeur actuelle des engagements de l’assuré est supérieure à celle des engagements de l’assureur. Cela peut se produire quand les engagements de l’assureur perdent de leur importance en fin de contrat (exemple : capital au décès décroissant) et que le mode de paiement des primes est la prime annuelle.

Réserve mathématique sur primes d’inventaire Jusqu’à présent nous avons étudié uniquement le cas de la réserve mathématique sur primes pures faisant abstraction des chargements pour frais de gestion et d’acquisition. En laissant de côté provisoirement les frais d’acquisition, nous pouvons introduire, dans le concept d’engagement futur de l’assureur, non seulement la valeur actuelle des prestations assurées, mais encore les fais de gestion de l’assurance. Parallèlement nous prendrons dans l’estimation des engagements de l’assuré la valeur actuelle des primes d’inventaire  encore dues. Dans le cas de l’assurance au décès vie entière à primes annuelles, on aura :

V ' x  =  A x

t 



t  +

  ä x t  -

 P ' x ä x



 P ' x = P x +  

V ' x =  A

t 

 x  t 

+   ä x



t 

-  P  x ä x t  -   ä x



t 

64

t 

V ' x =  A x

t 



t  -  P   x

ä x

 t 

= t V    x

Dans ce cas la réserve mathématique sur primes d’inventaire est égale à la réserve mathématique sur primes pures. Mais ce résultat n’est pas général, exemple : assurance au décès vie entière à  primes limitées. Soit m nombre de primes. Pour tout t < m : (m)

V ' x  = t 

 A x

 t 

  1 ä x t  :m t   +   2 ä x

+



(m)

(m)

 P ' x =  P x  +   1

(m)



+   2

(m)

ä x

 t  -

( m)

 P x ä x t  :m t  -   1 ä x t  :m t  







ä x t  :mt 

ä x:m

V ' x =  A x t  -

 P x ä x  :t  m t  +   2 [ ä x

(m)





t 

(m)



 t 

V 

V ' x =

t 

(m)

V x

t 

-

ä x ä x:m

ä xt  :mt  ]

B

t   x

( m)

 P ' x ä x t  :mt 

(m)

ä x:m



  2

 -

ä x

V ' x =  A x t  +   1 ä x  :t  mt  +   2 t 

ä x

 t 

+

B

L’expression B est un complément de réserve mathématique pour la couverture des frais administratifs futurs. B est toujours positive car :

 N  x  >  N  x t   1/ N  x < 1/ N  x t   1-  N  x  m / N  x > 1- N  x  m / N  x t    ( N  x - N  x  m )/ N  x > ( N  x t  - N  x  m ) / N  x t  65

  N  x t   > ( N  x t  - N  x  m ) N  x /( N  x - N  x  m )

*[ N  x . N  x t  /( N  x - N  x  m )]

  N  x t  / D x t  >[( N  x t  - N  x  m )/ D x t  ].[ D x /( N  x - N  x  m )].[ N  x / D x ]

ä x t  

>

ä x t  :mt 

.

ä x ä x:m

 B > 0

En conclusion : la réserve mathématique sur primes d’inventaire est supérieure ou égale à la réserve mathématique sur primes pures.

Réserve mathématique de Zillmer Introduisons maintenant les frais d’acquisition dans le calcul de  la réserve mathématique. Au moment de la conclusion du contrat, la société verse à l’agent acquisiteur une commission à titre de rémunération de son travail. Si l’assurance est à primes périodiques, l’amortissement de ce paiement se fait au fur et à mesure de l’encaissement de chaque prime à l’aide de la quote-part annuelle d’amortissement des frais d’acquisition. t années après l’effet du contrat (t < m dans le cas de primes limitées), la commission d’acquisition ne sera donc pas encore entièrement amortie. La part non amortie peut alors être déduite de la réserve mathématique. Cette déduction porte le nom de déduction de Zillmer, celui-ci étant l’auteur qui a proposé cette opération. La réserve mathématique sur primes d’inventaire, diminuée de la déduction de Zillmer est la réserve mathématique de Zillmer. Dans le cas de l’assurance au décès vie entière à primes annuelles, qui nous sert d’exemple d’application, la déduction de Zillmer est la suivan te, pour une assurance de 1,- Dh : Commission d’acquisition

:  

Quote- part annuelle d’amortissement : Valeur finale de la commission

 

ä x :  .t  I  x

66

  Valeur finale des quotes-parts

:

¨ s x:t 

ä x

On a alors :

 .t  I  x -

  

ä x

¨ s =  x:t 

[ D D

 .

 x



 x  t 

=  .

[  D D

 N  x   N  x t   D x .  D x t   N  x

 x



 x t 

=

 

ä x

ä x

 D x



 D x



ä x



t 

]

 N  x  D x





t 

t 

.

]  N   D x

 x

 t 

D’où la réserve mathématique de Zillmer :

V " x  t V  x ' t 

--

  ä x

t 

Utilité des réserves mathématiques 1) Solvabilité de l’assureur  : Pour être en mesure de faire face à ses engagements envers ses assurés, l’assureur doit posséder des provisions d’un montant égal au total des réserves mathématiques de chacun des contrats dont il assume le risque. Dans presque chaque pays la législation impose aux assureurs la constitution de telles provisions : - constitution de réserves mathématiques - constitution de provisions pour prestations en suspens (montants dus mais non encore versés à la date de clôture des comptes) - constitution de provisions équivalentes aux parts de bénéfice créditées aux preneurs d’assurances mais non encore distribuées - etc… 67

2) Calcul de la valeur de rachat 3) Réduction partielle 4) Transformation du contrat 5) Analyse du bénéfice 6) Prêt sur police

Constitution pratique des réserves mathématiques -

Dans tout ce qui précède nous avons toujours considéré que la constitution des réserves mathématiques a lieu à un anniversaire de la date de souscription du contrat c'est-à-dire que nous n’avons envisagé que les valeurs entières de t. dans la pratique il est évident qu’il n’y a pas nécessairement coïncidence entre la date de clôture du contrat. Théoriquement on devrait faire une interpolation linéaire pour déterminer la réserve mathématique au 31/12. Soit un contrat souscrit au 1er mai de l’année A. la réserve mathématique au 31 décembre de l’année B

t = B-A la réserve mathématique RM au 31 décembre de l’année B :

RM = (4/12).

V  x   + [(13-5)/12] . t  1V  x + (4/12). P  x

t 



Année B année B+1 [-----------avr_mai-------------------------------avr_mai ---------------] 31/12/B 4mois 8mois 4mois

V  x

V  x

t 

t 1

A partir du 01/05/B+1 on commence à constituer les res. A partir du 01/05/B on commence à constituer les res.

68

V  x

t 1

V  x

t 

er 

-

Au 1  mai à x+t on a évalué le montant de la res.

-

une prime annuelle P Au 30 avril à x+t+1 on n’a que

V  x  et on a reçu

t 

V  x

t 1

RM = [(m-1)/12)].[ t V  x +  P  x ] + [(13-m)/12] . t 1V  x

p

V 

t 1  x

V  x

t 

X+t

X+t+1

En pratique, on remarque que les dates de souscription se répartissent assez homogènement dans l'année. On pose donc, dans tous les cas et sans égard à la date réelle de souscription, que m = 7; ce qui revient à admettre un effet fictif au 1er juillet, soit au milieu de l'année civile. La formule mentionnée ci-dessus devient alors plus simplement : RM = 1/2.[ t V  x +  P  x ] + 1/2 . t 1V  x

C'est usuellement la réserve mathématique sur prime pure qui est considérée dans ces calculs. De plus, les réserves mathématiques négatives sont comptées pour zéro.

69

 Notons, pour terminer, que les biens affectés au Fonds de sûreté doivent être gérés séparément du reste de la fortune de l'assureur et qu'ils font l'objet de  prescriptions sévères visant à leur garantir une qualité financière de premier ordre et une estimation prudente de leur montant.

70

RESILIATION DU CONTRAT Les assurances-vie sont résiliables à tout moment. Il suffit de ne plus payer, et de ne pas tenir compte des lettres de mise en demeure envoyées par la compagnie. Aucune action ne peut être menée pour non-paiement. Dans pratiquement tous les pays, la législation qui régit l'assurance sur la vie a donné au preneur d'assurance de larges droits pour se départir du contrat avant son échéance contractuelle. De telles dispositions sont motivées par le fait que les contrats de l'assurance sur la vie sont des contrats de longue durée et que, dès lors, on ne saurait exiger du preneur d'assurance qu'il soit lié, sans échappatoire  possible, à des engagements qui pourraient devenir, le cas échéant, pour lui une charge trop lourde. Ce sont les textes législatifs et réglementaires sur le contrat d'assurance qui règlent cette question Le preneur d'assurance qui a payé la prime pour une année a le droit de refuser le paiement des primes ultérieures. En d'autres termes, seule la première prime annuelle peut faire l'objet de  poursuites de la part de l'assureur. En fait celui-ci y renonce souvent et l'on parle alors d'une non-régularisation du contrat. Mais quelles sont les conséquences du refus de payer les primes ultérieures à la  première ? Si moins de trois primes annuelles ont été payées au moment du refus, le contrat tombe purement et simplement, sans indemnité pour le preneur d'assurance. On dit dans ce cas qu'il y a

résiliation de l'assurance.

Assurance réduite En revanche, si des primes pour trois années ou plus ont été payées au moment du refus, le contrat d'assurance est maintenu mais le montant de la prestation assurée est réduit . On parle dans ce cas d'une assurance réduite ou d'une assurance libérée.

Valeur de rachat De plus, si l'assurance en question est une assurance de prestations certaines (décès vie entière, mixte, terme fixe), le preneur a le droit de refuser le maintien d'une assurance réduite et d'exiger l'annulation du contrat. Le preneur reçoit dans 71

ce cas une indemnité appelée valeur de rachat. On dit alors que le preneur fait racheter la police par l'assureur .

Montant de la prestation réduite et de celui de la valeur de rachat . Equitablement, la valeur de rachat doit être égale à la réserve mathématique de Zillmer (qui est d'ailleurs aussi nommée "valeur de rachat théorique"). En effet, cette réserve mathématique représente, si l'on se réfère à la formule rétrospective, la valeur finale des primes payées diminuée de la valeur finale du risque assuré et diminuée encore de la valeur finale des frais d'acquisition non amortis (elle comprend en outre, le cas échéant, une réserve complémentaire  pour frais administratifs futurs). En fait, la valeur de rachat est parfois inférieure à la réserve mathématique de Zillmer : la différence (en général peu importante) est une sorte de pénalisation  pour rupture anticipée de contrat et une indemnisation pour les frais administratifs spéciaux que le rachat occasionne à l'assureur. Le calcul de cette différence est empirique et peut varier d'une époque à l'autre de même d'une société d'assurances à l'autre. Il est évident qu'il doit être approuvé par l'autorité de surveillance. Quant à la valeur de la prestation réduite par suite de refus de paiement des  primes encore dues, elle s'obtient par l'application de la réserve mathématique de Zillmer comme prime unique d'inventaire de l'assurance réduite. (Parfois aussi, c'est la valeur de rachat qui est prise comme prime unique d'inventaire pour l'assurance réduite).

Rachat partiel Il existe aussi le rachat partiel: dans ce cas la prime annuelle ou limitée et la  prestation assurée diminuent proportionnellement et l'assureur verse la valeur de rachat de la partie du capital qui cesse d'être assurée.

Transformations de contrat Il arrive qu'un preneur d'assurance demande non pas le rachat ou la réduction d'une police mais sa transformation par la modification d'un de ses éléments. Par

72

exemple, on demandera un changement de la date d'échéance d'une assurance mixte ou la transformation d'une assurance au décès vie entière en une assurance mixte, etc… Bien que n'étant pas tenus légalement d'accéder à de telles requêtes, les assureurs y consentent dans la mesure du Possible pour des raisons de goodwill.

Analyse du bénéfice La réserve mathématique est également utilisée pour déterminer si la gestion d'un portefeuille permet à l'assureur de réaliser des bénéfices ou si, au contraire, elle lui fait subir des pertes.  Nous considérerons dans ce qui suit une perte comme un bénéfice négatif. Ceci simplifiera l'exposé: on n'aura à parler que de "bénéfices" (positif ou négatif) et non de "bénéfices ou pertes". Des bénéfices peuvent provenir soit du cours de la mortalité, soit du rendement des placements, soit encore des frais administratifs et soit enfin des opérations telles que rachat, résiliation ou autre. La décomposition du bénéfice global en quatre bénéfices partiels dus à chacune des causes citées ci-dessus est le seul moyen permettant le contrôle à posteriori du choix des bases de calcul du tarif (Table de mortalité, taux technique d'intérêt et taux de chargements pour frais).  Nous n'étudierons ici que les bénéfices dus à la mortalité et à l'intérêt. 1)Bénéfice de mortalité

Supposons que, pour les assurés d'un certain tarif et pour l'âge x + t, le taux annuel de décès observé soit q’x+t différent de la probabilité annuelle qx+t qui figure dans la table de mortalité et qui a servi de base de calculs. Cas de l'assurance au décès vie entière à primes annuelles : Si l’on substitue q’x+t à qx+t dans la formule de récurrence

(t

V x + Px) (1 +i ) = qx+t +  px+t . t+1 V x

73

On n'a plus une relation d'égalité. Il vient : (t

V x + P x) (1 +i )

( sauf si

=/=

q’x+t = q x+t

q’x+t

+ (1  – q’x+t ) t+ 1 V x

)

Pour rétablir l'égalité introduisons à droite un terme

 tbmort x

qui est le bénéfice de mortalité pour l'exercice considéré. On a :

(t

V x+Px)(1 +i ) =q’x+t +(1 – q’x+t ) t+ 1 V  x +  tbmort x

(t

V x + P x)(1 +i) = qx+t +(1 – qx+t ) t+ 1 V  x 

*(-1) *(+1)

 _________________________________________________

 tbmort x

= (

qx+t

-

q’x+t

)(

1 -

t+ 1

V  x )

On voit que dans ce cas:

qx+t qx+t qx+t

> =

<

q’x+t q’x+t q’x+t

entraîne un vrai bénéfice de mortalité (positif) entraîne un résultat sans bénéfice, ni perte entraîne une perte de mortalité

et que, d'autre part, le bénéfice, proportionnel à (1 - t+1 V x ) sera d'autant  plus grand en valeur absolue que la réserve mathématique est plus petite.

2)Bénéfice d' intérêt : Un raisonnement semblable permettra de déterminer le bénéfice d'intérêt. Dans ce cas, c'est le taux technique d'intérêt i qui est remplacé par le taux de rendement effectivement enregistré par l'assureur et que nous noterons i'. Il vient (toujours dans le cas de l'assurance au décès vie entière à primes annuelles) 74

(t

V x + P x) (1 +i’ ) = qx+t +  px+t . t+1 V x +  tbint x

*(-1)

( t V x + P x) (1 +i ) = q x+t +  p x+t . t+1 V x *(+1)  ____________________________________________________

 tbint x

= ( i’

-

i ) (tV x +

P x)

Ici, on a : i'

>

i

entraîne un vrai bénéfice d'intérêt (positif)

i' =

i

entraîne un résultat sans bénéfice, ni perte

i'

i

entraîne une perte d' intérêt.

<

 tbint x

sera d ’ autant plus grand en valeur absolue que la réserve mathématique est plus grande.

CONTRE-ASSURANCE Les principaux types de contrats de

rente viagère

Le contrat de rente viagère garantit à son titulaire, moyennant le paiement  préalable de prime(s), le versement d'un revenu viager, autrement dit d'un revenu assuré jusqu'à son décès en complément à ceux des régimes de retraite obligatoires. Il existe :  

des contrats de rente viagère dont l'exécution est des contrats de rente viagère dont l'exécution est

immédiate, différée.

Ils peuvent être assortis d'une contre-assurance : ils combinent dès lors les garanties vie et décès.

75

On appelle "arrérages" ou "arrérages de rente" les paiements réguliers (mensuels, trimestriels, semestriels ou annuels) effectués par l'assureur au titre du contrat de rente viagère.

1) Les contrats de "rente viagère différée sans contre-assurance" Avec ces contrats, il faut distinguer deux périodes : 



la première est celle de constitution de la rente moyennant le paiement de  prime(s) (période dite "de différé", ou "d'épargne"), la seconde est la période de service de la rente.

Ainsi, la rente n'est versée qu'au terme de la période de différé, dont la durée est fixée lors de la souscription du contrat. Le contrat peut donner lieu au versement par le souscripteur :  

d'une prime unique, comme dans un contrat de rente immédiate, ou d'une série de primes échelonnées, versées pendant toute la durée du différé, cette formule étant de loin la plus pratiquée.

2)Les contrats de "rente viagère différée avec contre-assurance Ce type de contrat combine les garanties vie et décès puisqu'il assure : 



soit le versement d'une rente au terme de la période de différé si l'assuré est toujours vivant, soit le remboursement à un bénéficiaire désigné des primes versées ou de l'épargne accumulée, si le décès de l'assuré survient pendant le différé.

Le risque de décès est ici garanti pendant la seule période de différé. Cependant, commencent à apparaître sur le marché, des contrats de rente viagère (différée ou même immédiate) comportant une contre-assurance pendant les  premières années de service de la rente. Cette garantie permet de résoudre le problème de la perte du capital en cas de décès de l'assuré survenant peu de temps après l'entrée en vigueur de la rente.

76

ASSURANCES SUR PLUSIEURS TETES

A- GROUPE DE DEUX TETES

Dans les fonctions actuarielles traitées jusqu'ici, le paiement d es  prestations assurées dépendait de la survie ou du décès d' une seule personne. Des modèles peuvent être mis sur pied dans lesquels le paiement des prestations est fonction de l'état de survie totale ou partielle d'un groupe de plusieurs personnes.  Nous commencerons cette étude par des groupes de deux  personnes seulement. Un tel groupe est souvent appelé "couple" mais cela n'implique pas qu'il s'agisse de deux personnes mariées. Les deux personnes peuvent d'ailleurs être de même sexe: "couple" de deux hommes ou de deux femmes. Probabilités viagères d'un groupe de deux têtes

Soit x et y les âges de chacune des deux têtes à l'instant à la date d’effet de l'assurance (début). x et y sont toujours des nombres entiers (on les arrondit en conséquence). Par convention, le groupe est dissous (on dit aussi "éteint" ou "décédé") dès le premier décès. On a : - probabilités de survie du couple dans n années: n

 p xy  n p x .n p y

- probabilités de dissolution dans les n prochaines années: n

q xy



1 n p xy  n q x .n p y  n p x .n q y  n q x .n q y x décède

y décède

y survit

x survit

77

x décède y décède

Lorsque n = 1 :

q xy



q x .  p y



  p x .q y



q x .q y = 1    p xy

- probabilités annuelles de dissolution, différées de t années A l'aide des nombres de survivants l x et de décès  probabilités s'expriment comme il suit

dx , ces

Où

Taux instantané de dissolution

On peut encore définir un taux instantané de dissolution en prenant la dérivée logarithmique par rapport à t de

lx+ t

y+ t

1- Prestations assurées sur deux têtes 1-1 Prestation au premier décès

A chacune des valeurs actuelles assurées sur une tête, nous  pouvons faire correspondre une valeur actuelle assurée sur un groupe de deux têtes: la dissolution du groupe, lors du premier décès, a les mêmes conséquences que le décès de l'assuré dans l'assurance sur une tête.

78

Exemples : 1) Capital différé  sur 2 têtes : Le capital est payable si les deux têtes sont en vie à l'échéance.

ou, comme certains auteurs posent :

Les deux notations conduisent aux mêmes formules mais les nombres de commutation ne sont pas les mêmes

2) Rente viagère (entière, à termes constants, praenumerando, immédiate, vie entière) : Le paiement des termes de la rente cesse au premier décès

Avec : 3) Capital au décès vie entière : Le capital est payable au premier décès

79

avec On formera toutes les autres valeurs actuelles selon la même méthode, en utilisant au besoin les nombres de commutation suivants qui sont utiles pour le cas de prestations croissant en  progression arithmétique:

1-2 Prestations au dernier (ou deuxième) décès

On peut faire également la convention que le groupe est dissous au dernier décès. Pour calculer, les valeurs actuelles dans un tel cas, on forme la somme des valeurs actuelles sur chacune des deux têtes prises seules et on en retranche la valeur actuelle au  premier décès, calculée sur le groupe des deux têtes. On a le schéma général suivant:

valeur actuelle au dernier décès, valeur actuelle sur la seule tête d'âge x à l'effet, valeur actuelle sur la seule tête d'âge y à l'effet valeur actuelle sur les deux têtes, avec dissolution du groupe au premier décès. Exemples: 1)Capital différé au dernier décès

Le capital est dû si, à l'échéance, une tête au moins est en vie (on a, en fait, trois contrats: 2 sur une tête de capital 1 et un sur deux têtes au premier décès de capital négatif - 1 )

80

Dès lors, si à l'échéance: a° les deux têtes sont en vie, le capital sera:

 b° la première tête (âge x) est en vie, l'autre étant décédée, le capital sera :

c° la première tête est décédée et l'autre (âge y) en vie, le capital sera:

d° enfin, si les deux têtes sont décédées, on a:

2) Capital au décès vie entière: Le capital est payable au 2e décès : Ici aussi, nous allons considérer qu'il existe en fait trois contrats: deux sur une tête de 1 et un troisième sur le groupe de deux têtes de -1. Soit alors:

1er contrat

2e contrat

3e contrat

Au premier décès, deux capitaux sont échus: l'un des deux de 1 et celui de -1; le résultat est nul et il ne subsiste que l'une des deux assurances sur une tête. 3) Rentes viagères cessant au dernier décès: Les valeurs actuelles se forment à partir des 81

n

E xy

, soit par

exemple :

1-3 Généralisation

 Nous prendrons le cas du capital différé car, à partir de ce cas, on peut passer facilement à celui des rentes par addition. Posons:



 E 

Selon l'état - décédé ou en vie - de chacune des deux têtes à l'échéance, la prestation prendra différentes valeurs comme indiqué dans le tableau suivant:

Etat des têtes à l’échéance

Tête d'âge x

cas 1 cas 2 cas 3 cas 4

Tête d'âge y

En vie

En vie

En vie

Décédée

Décédée

En vie

Décédée

Décédée

Prestation à l'échéance

+

cl

c2 + C3

cl

= =

c2

=

 bl  b2  b3

On peut donner contractuellement à bl , b2 et b3) les valeurs que l'on veut; on en tire les valeurs de cl , c2 et c3 qui, à leur tour, permettent de calculer E.

82

Exemples: 1) Capital de 1 , payable si, à l'échéance, une tête exactement est en vie

2) Capital de 1, payable si, à l'échéance, la tête d’âge x à l'effet est seule en vie

Par addition des facteurs d’escompte viager sur 2 têtes nE x | y  , on ob tient en particulier la valeur actuelle d’une rente assez souvent utilisée, soit :

1-4 Problème de l'âge de substitution

Le calcul des valeurs actuelles sur 2 têtes se heurte à une difficulté pratique importante : il faut disposer, en effet, d’une table de nombres de commutation pour chacune des valeurs que peut prendre la différence d'âge   = x  –  y . Or en pratique   peut varier de -30 à + 30 et cela aussi bien pour les cas de deux têtes masculines, que pour celui d’une tête m asculine et d' une tête féminine ou de deux têtes féminines Dès lors, on s'est demandé s' il n’était pas possible de substituer

83

au couple donné d'âges x et y un couple fictif de deux têtes de même âge w . Il est bien évident qu’une telle   substitution devrait laisser les valeurs actuelles inchangées La substitution aux conditions énoncées ci-dessus est possible si la relation :

t 

 p xy t  pww

est une identité en t (c'est-à-dire si elle est vraie pour toute valeur de t). Si cette condition est réalisée, nous avons :

On voit que, si x et y augmentent d'une même quantité, alors l'âge de substitution augmente, lui aussi, de la même quantité t (Propriété du vieillissement uniforme).

w est l'âge de substitution, aussi appelé âge central, âge moyen ou âge actuarien.

84

Exemple : calcul de la rente

a36:45 table RF 3,5%

  36 = 0,00740   45 = 0,00987 ---------------------------

2   w = 0,01727

  w = 0,00864   41 = 0,00851

  41 = 0,00851

  42 = 0,00881

  w = 0,008640

 _________________

__________________

D = 0,00030

D’ = 0,00013

w = 41+0,43 = 41,43

D’/D = 0,00013/0,00030 = 0,43

a41:41   =

13,684 D’’ = 0,274

a42:42

= 13,410

a3 6:45 = 13,684 - 0,274*0,43 =

13,684 -0,118 = 13,566

85

Mais, en pratique, il peut se faire que les tables de mortalité à utiliser soient telles que le vieillissement uniforme n'existe pas. Dans une telle situation, diverses autres méthodes ont été pro posées. Nous en exposerons ici une seule qui est utilisée pour les tables SM/SF .

Les auteurs de ces tables ont préalablement calculé les valeurs De

a xy

pour toutes les valeurs possibles de x et de y . A

 partir de là, ils posent:

a xy



aww

et déterminent par interpolation linéaire la valeur de w Ensuite, ils regroupent l'ensemble des résultats dans le tableau suivant: u 

  

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u = le plus bas des deux âges x et y =

la différence d'âge à ajouter à l'âge u pour obtenir l'âge de l'autre tête    = la différence d'âge à ajouter à l'âge u pour obtenir l'âge de

substitution w w = u +   

Remarque : Dans le cas où les deux têtes sont de sexe différent, il faut distinguer les cas où c'est l'homme qui est le plus jeune des cas où c'est la femme qui est la plus jeune.

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B- GROUPE DE PLUS DE DEUX TETES

1- Capitaux différés. 1-1 Quelle est la valeur d'un capital 1 payable si toutes les têtes sont en vie dans n années?

- Cas de deux têtes x et y :

- Cas de plus de deux têtes :

Ces capitaux différés sont parfois dits" au premier décès, parce que l'opération prend fin au premier décès, mais cette expression est assez impropre puisqu'il n'est rien  payé au décès. L'expression "J'oint life endowment" est meilleure: capital différé sur plusieurs têtes jointes (Pour deux têtes :capital différé en cas de vie d'un couple)

1-2 Capital différé sur plusieurs têtes, payable si moins est en vie à l'échéance.

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l’une au

Le capital différé est, dans ce cas, improprement dit "au dernier décès. Il est payable au dernier survivant. - cas de deux têtes:

- cas de trois têtes:

1-3 Capital différé payable au terme quand exactement une tête est en vie

On obtient donc

Dans le cas de deux têtes, on a :

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2- Rente viagère, tant que toutes les têtes sont vivantes (jusqu'au premier décès) - Rente praenumerando

- Rente postnumerando

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