ASENTAMIENTOS suelos 2

ASENTAMIENTOS I.- ASENTAMIENTOS ASENTAMIENTOS EN ARCILLAS NORMALMENTE CONSOLIDADAS: Arcillas normalmente consolidadas, son aquellas que nunca estuvieron sometidas a una presión mayor que la que corresponde a la cubierta actual. Es decir que la que soporta al presente por efecto de las capas de suelo situadas sobre ellas. I.1.-COEFICIENTE I.1.-COEFICIENTE DE COMPRESIBILIDAD COMPRESIBILIDAD (a v) cm2/gr. El peso de la estructura o del terraplén, según sea el caso, incrementa la presión a la que esta sometida la arcilla desde P o hasta P y origina una disminución de la relación de vacíos, desde e o hasta e. eo  e ! e ! a v. P av

=

e → "eformación unitaria P → #ncremento de carga eo − e

av = P $ gr gr .% .% cm& '

I.2.-COEFICIENTE DE COMPRESIBILIDAD cm2/gr. (a disminución de porosidad es) n=

e

* + eo

=

av . P

* + eo

VOLMETRICA (mv)

= mv . P

av ⇒

mv

=

* + eo

I.!.- ASENTAMIENTO (S) cm. S = H × P × mv

+ompresión de la arcilla por unidad de espesor original bao la influencia de un aumento de presión. - ! Espesor de la capa de arcilla. P ! Aumento de presión. ustituyendo las anteriores ecuaciones en la última ecuación obtenemos) (a compresión $' que sufre el estrato confinado de arcilla normalmente consolidada es)

75

MECANICA DE SUELOS Y CIMENTACIONES

C

S = H ×

+ +

! 0 n d i c e d e c o m p r e s i ó n ! / . / / 1 $ ( . ( . 2 * / 3 ' P o

! P r e s i ó

C

* + eo

× Log */ */

P o + P P o

n e f e c t i v a e n e l e s t r a t o d e a r c i l l a . eo ! 4elación de vacíos inicial P ! Presión vertical en el centro de la capa de arcilla.

II.- ARCILLAS PRECONSOLIDADAS. on on aque aquell llas as que que algu alguna na ve5 en su historia geológica, han estado sometid tidas a presiones mayores de la que resulta de su cubierta actual. Esta mayor mayor presió presiónn tempo temporar raria ia pudo haber sido causada por el peso de estrato de suel suelo, o, que que fuer fueron on lueg luegoo erosionados por el peso de hielo que mas tarde se derritió o por desecación de la arcilla. i C >> /.** + /./67 IP P

⇒

Es arcilla preconsolidada.

⇒

Es arcilla consolidada.

o

i C << /.** + /./67 IP P

o

+ ! +ohesión Po ! Presión efectiva #.P. ! 0ndice de plasticidad

S 8= /.&9S

III.- TEOR"A DE LA CONSOLIDACI#N. Proceso de disminución de volumen que tiene lugar en un lapso de tiempo provocado por un incr increm emen ento to de las las carg cargas as sobren el suelo.i se aumenta la carga que actúa sobr sobree una una capa capa de suel sueloo poroso, saturado, comp compre resi sibl blee como como es el caso de la arcilla, la capa se comprim comprimee y e:p e:puls ulsaa agu aguaa de sus poros. A este fenómeno se le llama consolidación. III.1.- VELOCIDAD DE CONSOLIDACI#N. t=

T

&

× H

U 3 = f $T '

V

V

C V V

t ! ;iempo de consolidación. ;< ! =actor tiempo.$del gr>fico'

T V V

tK $* + e/ ' × t

=a

× H &

× γ V

W

+< ! +oeficiente de consolidación $cm &%seg.' K $* + e' C V V = γ W .aV

 3 ! Brado de consolidación en porcentae. - ! Espesor, de acuerdo a la capa de arcilla.

76

?

@ ! +oefic ficiente de perme rmeabili ilidad.

av ! +oeficiente de compresibilidad

ANGEL. R. HUANCA HUANCA BORDA BORDA

a. i es es capa abiert a.2 (a arcill a se encue ntra entre estrat os de arena s o mant os perm eable s. Por tanto, el agua para aband onar el estrat o tiene que recorr er) H

&

b. i es capa semia

bierta .2 (a arcill a se encue ntra sobre una fronte ra imper meab le? por tanto el agua para aband onar el estrat o, tiene que recorr er la distan cia) -

(F$g. %) RELACI#N ENTRE EL FACTOR TIEMPO & EL 'RADO DE CONSOLIDACI #N

77


+* ! e usa en capas abiertas. +& ! +apas semiabiertas. +6 ! +apas semiabiertas, donde P es igual a cero en su parte superior.

P R O B L E M A S R ES  E LT O S El edificio construido sobre la superficie del perfil que se indica en la figura, aumenta la presión

PROBLEMA Nº 1.-

e:istente sobre la arcilla C. +. en *.D @g.%cm&. +alcule el asentamiento promedio del edificio. Presión producido por el edificio en el punto AF$sobre la arcilla' !*.D @g.%cm&

WIL B E R C U TI M B O C H O Q U E wil be r_ 25  ! "# $% &il '( # % 78

C el' )5 * , 5 

ANGEL. R. HUANCA BORDA

(. (. ! G9 3 H 3 ! G/ 3 γ S = &.7D gr % cm6

Solución:

i' El asentamiento en arcillas normalmente consolidadas esta dado por) C

S = H ×

C

. Log */ P O + P IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII $#'

P O * + eo C C = /.//1. L. L. −*/3/ = /.//1$G9 −*/' = /.6*9

"onde) 

4elación de vacíos inicial $eo') G3.eo = S S .W 3

?

y

B 3 ! *// 3

eo ! &.7D $/.G/' ! *.**& Presión efectiva en el estrato de arcilla) γ = γ 8+γ 6 sat $arena' W = &,/G/ Kg % m P = γ 8$ H '8 = &,/G/$G.9/' + *,/G/$J' = *9,G&/ Kg % m& o P = *.9G Kg % cm& P = *.D Kg % m& ? o

ii' Asentamiento promedio del edificio) En $#') /.6*9 *.9G + *.D S = 79/. .Log = &D.9cm. &.**& *.9G PROBLEMA Nº 2.- En

una prueba de consolidación de una muestra de arcilla inalterada, se obtuvieron los siguientes datos)

P* ! *.9/ @g%cm& P& ! 6.// @g%cm& - ! *.6/ cm. $altura de la muestra'

e* ! *.6/ e& ! *.*D

MECANICA DE SUELOS Y CIMENTACIONE

a' +alcule el coeficiente de compresibilidad, b' +alcule el coeficiente de variación volumétrica. c' +alcule el coeficiente de permeabilidad. d' +alcule el coeficiente de consolidación. i el tiempo requerido para alcan5ar el 9/ 3 de consolidación es de &/ minutos. Solución:

Para la muestra de arcilla tenemos) e = e* − e& = *.6 −*.*D = /.*& P = P − P 6 −*.9 = *.9 Kg % cm& &

*

a' +oeficiente de compresibilidad. e /.*& av = P = *.9/ = /./Dcm& % seg . b' +oeficiente de variación volumétrica. a & m = V = /./D = /./69cm % Kg . V

*+ eo

* +*.6/

c' +oeficiente de permeabilidad. C C $t ' T = H & "e la relación)

K $* + eo ' ?

donde)

C C =

V

a .γ V

W

K $*+ eo '

Entonces)

T V = a .γ W . H & V

"espeando la permeabilidad) & a .γ W . H .T K =

V

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII $K'

V

.* + e /t o

γ = * gr % cm6 W

H = *.6/cm.

?

a

V

= /./Dcn& % Kg . = D ×*/−9 cm& % gr .

eo = *.6/cm. ? ? Por dato) tF para el 9/ 3 es ! &/ min.? por tanto el 9/ 3 interceptado con la curva +&F $fig. 9', nos entrega un valor para ;<) T V = /.& 4eempla5ando los valores en la e:presión $K', obtenemos)

K =

$ /

t = &/ min . = *,&// seg .

. / D ' $ * . 6 ' &

$ / . & ' =

1 . 7 1 ×

* /−1

c m

% s e g

.

$ & . 6 ' $ * , & / / ' "ado el perfil de suelo mostrado en la fig. y la carga concentrada, P ! 7 ;n.,que transmite al punto AF una presión de /.&9 ;n%m & y al punto LF una presión de /.DD ;n%m&. "eterminar el asentamiento diferencial entre el punto AF y LF. PROBLEMA Nº

3.-

80


Solución:

i' El asentamiento en arcillas C.+. esta dado por) S = H × C C Log */ P o + P IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII $#'

*+ e

P o

Presión efectiva sobre el estrato de arcilla) "onde)

γ sat . = γ 8+γ W = &.* gr % cm&

Por tanto tenemos) P O = $&.*'$&G/' + $*.*'$6J/' = 1// gr % cm&

Espesor de la capa de arcilla $-' ! *9/cm. C C = /.//1$J93 −*/3' = /.9

ii' Asentamiento En el punto AF? cuando P = DD gr % cm& 4eempla5ando en $#') S A

*9/$/.9' Log 1// + &9 = /.9cm. * + /.D 1// =

iii' Asentamiento en el punto LF, cuando P = DD gr % cm& S B = *.7cm.

iv'

Asentamiento diferencial entre el punto A y L) S 8= S B − S A = *.7 − /.9 = *.&cm.

obre un estrato de arena como se muestra en la fig. se efectúa una e:cavación de D : D : & m., para cimentar una platea, sabiendo que esta produce una presión de contacto de G @g%cm. "etermine el asentamiento m>:imo. PROBLEMA Nº 4.-

81


Solución:

i' Para el estrato de arena) γ 8 = γ sat . − γ W = 19/ Kg % m6 ii' Para el estrato de arcilla? donde B 3 ! *// 3?  ! *.79  )W 3 = G3.e e = $/.69'$*.79' = /.J* ⇒ γ 8m = *,79/ −*,/// = 79/ Kg % m6 Presión efectiva en el centro del estratote arcilla) P O = $*,19/'$6' + $19/'$&' + $79/'$/.J' = D,&// Kg % m& P O = /.D& Kg % cm&

iii' #ncremento de presión vertical en el centro del estrato arcilloso) P C $*' = G Kg % cm& $Presión de contacto de la

platea'

Presión de contacto del terreno) &

P C $&' = γ .h = $*,19/'$&' = 6,1//G Kg % m = /.61 Kg % cm

&

Por tanto la presión de contacto neta es) P C = P C $*' − P C $&' = G − /.61 = 6.J* Kg % cm&

El P V , según el método de ;E#CL4ECCE4 es) P V = P C . K IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII $K'

Prof. -asta el centro de la arcilla) M = 6.J m. a

m=b =*

82


n=

Z 6.J = = /.1 b G

+on estos dos valores nos dirigimos al grafico de teinbrenner y encontramos el valor de @) K = /.*D 4eempla5ando en la e:presión $K' obtenemos) P V = $6.J*'$*.*D' G!reas = &.J/ Kg % cm&

iv' Asentamiento m>:imo en la arcilla C. +.) S = H .

C

C

. Log P O + P

?

C C

=

/.//1$G&3 −*/3'

P O

*+e

C C = /.&D H = *.&/cm.

S

=

ma: .

$*&/'$/.&D' $/.D&' + $&.J/' = *6cm. * + /.J* . Log /.D&

"e una capa de arcilla de J m. de espesor, situada entre & estratos de arena, se obtuvieron varias muestras representativas, que ensayadas a consolidación, dieron para +<, un valor medio de G.1& : */ 2G cm&.seg. n edificio construido encima de la capa aumentó la tensión media sobre la misma y el edificio empe5ó a asentarse. N+u>ntos días son necesarios para que se produ5ca la mitad del asentamiento totalO

PROBLEMA Nº 5.-

Solución:

i' Por teoría, el tiempo de consolidación esta dado por) t=

T V . H &

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII $K'

C V

;< ! e obtiene se la +urva de ;iempo $=ig. 9' cuando  3 ! 9/ 3? interceptado con la curva + *, por tratarse de una capa abierta. T V = /.&/ - ! 6// cm. $ya que se trata de una capa abierta' +< ! G.1& : */ 2G cm&%seg.

83


ii' ;iempo necesario en días? en $K') t=

$/.&/'$6//' & = 6J9D9,6J9.D9 seg . G G.1& ×*/ −

* dia!J/:J/:&G!DJ,G// seg t = G&6.G"#as

i la capa de arcilla del problema anterior, contiene una delgada capita de drenae, situada a *.9/ metros de su borde superior, N+u>ntos días se requieren para alcan5ar la mitad de la consolidación. PROBLEMA Nº 6.-

Solución:

i' Br>fico del perfil estratigr>fico)

ii' tF en la capa de *.9/ m.

&

T . H t=

V

C

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII $K'

V

84


H = *9/ /79cm.

?

T = /.&/

&

V

4eempla5ando en $K') t=

/.&/$79' & G.1& ×*/ G −

=

&&DJ,9D9.G seg = &J.GJ"#as.

iii' tF en la capa de G.9/ m. T V = /.&/ H = &&9 cm. ? 4eempla5ando en $K') t = &6D "#as

El tiempo requerido es &6D días, ya que como el asentamiento es simult>neo, la primera capa demora menos tiempo. PROBLEMA Nº 7.- (os resultados de un ensayo de consolidación sobre una muestra de arcilla con u espesor de &.9 cm. #ndican que la mitad de la consolidación total se produce durante los primeros 9 minutos. N+u>nto tardaría un edificio construido encima de la capa de la misma arcilla para e:perimentar el 79 3 de su asentamientoO

Solución:

i' Para el ensayo de consolidación sobre la muestra tenemos) T .H & C

=

V

H =

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII $K'

V

t

&.9 = *.&9 cm. $+apa abierta, debido a que esta drenada por arriba y por &

abao' ;< ! "e la curva de tiempo $fig. 9'? para el 9/ 3 de consolidación interceptado con la curva + * para capas abiertas. ;< ! /.& 4eempla5ando en $K') /.&$*.&9'& = /./J&9 cm& % min . C V = 9 min .

ii' Para el estrato de arcilla) $se trata de una capa semiabierta' - ! &// cm. 85


;< ! Para) 3! 79 3? intercep tado con la curva +&, obtene mos) ;< ! /.69 4eempla5ando en $K', y despeando tF, obtenemos lo pedido) t=

/.69$&//' & = &&G,/// minutos &.D& 0 6 dias /./J&9

+alcular el asentamiento de un estrato compresible de 6 m. de espesor, limitada en su parte superior por una capa hori5ontal de */ cm. de arena y por abao por un espesor indefinido, del mismo material, el estrato compresible esta sueto a una presión de 9 ;n%m& en una arena muy grande, la consolidación bao dicha presión hace variar la relación de vacíos de 6 a &.6. +alcular el tiempo en el cual ocurrir> la mitad del hundimiento total, supuesto que estrato compresible tiene una permeabilidad de */27 cm%seg. PROBLEMA Nº 8.-

Solución:

S = H .P .mV

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII $#' m V

m V

= aV * + eo = *.G */ * + 6

? 6

−

donde) a = eo − e* = 6 − &.6 = *.G ×*/ V P 9// G & = 6.9 */ cm % gr . ? H = 6// cm.

6

−

−

4eempla5ando en $#', obtenemos el asentamiento) 9 ;C%m& !9// gr.%cm& S = $6//'$9//'$6.9 */−G ' = 9&.9 cm.

&

cm % gr .

;iempo de consolidación $t') C

K m .γ

=

V

T V t=

V

=

W

/.&/ & T .H

=

V

C

V

=

*/ 7 cm % seg . 6.9 $ */−G cm& % gr $*' gr % cm6 −

=

&.DJ $ */ G cm& % seg .

$ 3 ! 9/ 3? interceptado con + *' $/.&'$*9/'& &.DJ */ G = *976G,&J9.76 seg . −

t = *D&.*/"#as

-allar el asentamiento que se producir> en la 5apata del sótano, que se construye después? después de efectuar la e:cavación de &/ : &/ m. y 6.9/ m. de profundidad. PROBLEMA Nº 9.-

86

−


Solución:

i' γ m del estrato arcilloso) S S .W 3 = G3.e

e = &.7D$/.9/' = *.61

⇒

γ = S S + G3.e &.7D +*.61 sat . = * +*.61 *+e

=

*,7G9 Kg % m6

ii' Presión efectiva $Po' en el centro del estrato arcilloso) γ sat $arena' = &,/G/ Kg % m6 Por tanto) Po = $&,/G/'$J' + $*,/G/'$*.9' + $7G9'$*.9' Po = *G,1*7.9 Kg % m& = *.G1 Kg % cm& P v , en el centro de la capa de arcilla, debido a la 5apata de *// ;n. +omo la profundidad MF ! D m. Q 6$Lase'? entonces usaremos la ecuación de LR#CES)

iii'

9

9

&

P

V $*'

*

= 6% &π Z &

*

+

r Z

&

*

6$*//,///' & = &.π $D//' &

6 * +

& D

& P V $*' = /./9G Kg % cm

iv' P V , debido a la 5apata de *.9/ ;n. +omo MF ! 9.9 m. T 6L? por lo tanto utili5amos el método de CEHUA4@) P V = P C .C . A& IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII $K'

87


P = % =*9/,/// Kg =

&.G Kg % cm&

+ ! /.//9

?

J&,9// cm& El número Ai, en la carta de CeVmarW, para M ! 9.9 m. haciendo coincidirle centro de la 5apata con el centro de la carta. X "e A& = G.7$G' = *D.D C

A

En la ecuación $K') P V $&' = $&.G$'$/.//9'$*D.D' = /.&&6 Kg % cm&

v' 4educción en presión por efectos de e:cavación. Presión de contacto del terreno a e:cavarse) P C = γ SAT . .h = $&,/G/'$6.9' = 7,*G/ Kg % m& = /.7*G Kg % cm&

El número Ai, se halla para M ! 9.9 m., coincidiendo el punto +F con el centro del gr>fico. X "e A& = J/.7$&' = *&*.*G En la ecuación $K') P V $6' = /.G6 Kg % cm&

$4educción en presión'

vi' P< CE;A) P V $*' + P V $&' − P V $6' = −/.*96 Kg % cm&

P V $ 'eto' =

vii'"eterminando el asentamiento) S = H .

C C

. Log */

*+e

P O + P

?

C C

=

/.//1$7/3 −*/3'

P O

C C = /.9G

6.9G . Log */ *.G1 + /.*96 = −6.*D cm. * + *.61 *.G1 Podemos decir que no e:iste asentamiento y que el signo $2', es debido a la mayor duración o aliviación en presión, a causa del volumen e:cavado. S = 6//.

WILBER CUTIMBO CHOQUE wilber_25!"#$%&il'(#% 88 Cel' )5*,5


PROBLEMA Nº

En la figura se muestra la planta de un edificio cuyo peso total es de J,/// ;n., para el centro del edificio hallar) a' El esfuer5o sobre la roca, cuando no se ha reali5ado la e:cavación? cuando se ha reali5ado la e:cavación para la cimentación y cuando se ha construido el edificio. b' +alcular el asentamiento de la arcilla, si la relación de vacíos en el estado natural es *.*6 c' +alcular el tiempo que se requiere para que se produ5ca el DJ3 del asentamiento en la arcilla. 1.-

PROBLEMA Nº

e reali5a una gran e:cavación de *& m., *J m., h, con la finalidad de reducir a cero el asentamiento del estado arcilloso que se produciría en el centro de una 5apata cuadrada de 6.9 m. de lado que recibe una carga de &9/ ;n. a' -allar la profundidad hF para cumplir lo deseado. b' +uando h ! &.// m. Ne:iste asentamientoO N+u>ntoO 11.-

89


C A P I T  L O V I I RESISTENCIA AL ESFERO CORTANTE DE LOS SELOS (RES ISTE NCI A AL COR TE) (a resistencia al Esfuer5o +ortante, en general es un factor importante para determinar, la capacidad m>:ima de carga de suelos, la estabilidad de terraplenes y la presión contra muros de retención.
I. ESFERO NORMAL () & ESFERO CORTANTE (*) +onsiderando un espécimen de suelo sueto a compresión tria:ial.

σ * = (sf)er*o Pr &nc&+a, -a.or σ 6 = (sf)er*o Pr &nc&+a, -enor

El an>lisis del prisma triangular, conduce a las ecuaciones del esfuer5o normal y esfuer5o cortante respectivamente. σ = σ * + σ 6 + σ * − σ 6 Cos &θ

&

τ = σ *

− σ

6

Se n

&θ & En base a estas ecuaciones se construye el círculo de UR-4.

II. RESISTENCIA AL CORTE DE SELOS NO CO+ESIVOS.

90

&


τ = σ Ta ng φ

Y Y Y Y Y $+ ou lo m b' Z! Esfuer5o Cormal Promedio. [ ! Angulo de fricción interna.

/ μ P = μσ +ero μ = Tang φ = A A τ = σ Tang φ

τ=

II.1. RELACI#N DE ESFEROS PRINCIPALES. φ

σ * = Tang G9 +

= ' φ

&

σ6

σ * = Tang G9 −

σ6

*

φ =

&

BI. RESISTE NCIA AL CORTE DE SELOS

' φ

CO+ESI VOS (SELO S MI,TOS ). &

σ * = σ 6 Tang G9

+

φ

+ &C Tang G9

& sando la notación introducida arriba, obtenemos) σ * = σ 6 ' φ + &C ' φ

IV. ECACI#N REVISADA POR TERA'+I τ = C + P OTang φ

Po ! Presión vertical efectiva + ! + ohesión

PROB LEM AS RES ELTO S PROBLEMA Nº 1.- +onsiderar en

espécimen de suelo, sueto a un esfuer5o vertical Z*, que se supone el principal mayor, y a un esfuer5o lateral Z6, considerando como el principal menor? como se indica en la figura.

+

φ

&


"eterminar las intensidades de las tensiones normal y cortante en un plano inclinado un >ngulo \ con la dirección del esfuer5o principal menor Z6.

Solución:

i.' +ortamos el espécimen, por un plano inclinado un >ngulo, respecto al ee :, obteniendo así el elemento triangular siguiente)

+ada uno de esos esfuer5os, est> uniformemente repartida en la superficie en que actúa. El espesor del espécimen, perpendicularmente al plano del papel, est> representado por t.

ii.' #ntroduce los ees C y ;,

normal y tangente al plano inclinado. "el equilibrio) 1 / ' =

/ − σ t "s + σ *t " Cosθ + σ 6t ". Senθ =/ σ " s = σ *

"  C o s θ

+ σ 6

" . S e n θ Por trigonometría) ". = "s Senθ ? " = "s Cosθ σ $"s' = σ * $"s'Cos &θ + σ 6 $"s'Sen&θ ⇒

*

"e las identidades) Sen&θ = & $* − Cos&θ '

, Cos &θ =

*

& $* + Cos&θ '

92


4eempla5ando)σ =

σ *

&

$* + Cos&θ ' +

σ6

&

$* − Cos&θ '

E0r Nrma3 σ = σ * + σ 6 + σ * − σ 6 Cos&θ &

iii.' +onsiderando el equilibrio de las fuer5as que actúan en la dirección de ;.. 1 /T = / − τ t " s + σ *

t "  S e n θ

− σ 6

t " . C o s θ

=

/ τ "s = σ *" Senθ − σ

&

6".

Cosθ

ustituyendo) ". = "s Senθ ? " = "s Cosθ

τ $"s' = σ * $"s' Sen θ Co sθ − σ 6

$"s' Sen θ Co sθ

;eniendo en cuenta la identidad) Sen &θ = & Senθ Cosθ ⇒

τ = σ Sen &θ − σ Sen &θ *

6

&

&

E0r Cr4a540 τ =

σ − σ

&θ & PROBLEMA Nº

El estado de esfuer5os plano de un cuerpo, est> definido por los siguientes esfuer5os) σ * = J// Kg .% & cm de compresión? σ 6 & = *9/ Kg .% cm de tensión "etermine los esfuer5os normal y tangencial en un plano inclinado */] con 2.-

*

6 Sen

respecto al plano en que actúa el esfuer5o principal menor. ficamente. se la convención aceptada en mec>nica de suelos, según la cu>l los esfuer5os de compresión son positivos y los de tracción negativos. Solución:

i.'

Esfuer5o Cormal)

e ha hallado que, σ n

σ + σ =

*

6

+ σ * − σ 6 Cos&θ

&

&

"onde) \ ! 1/] 2 */] ! D/] J// ⇒

−*9/

σn =

+

&

J// + *9/

Cos*J/]

&

σ n = −*&7 Kg .% cm&

ii.'

Esfuer5o +ortante o ;angencial)

93


τ=

σ

− *

σ 6

Sen&θ

J// =

&

iii.'

+ *9/

Sen*J/]

Kg .% cm&

= *&D

&

Br>ficamente, por medio del círculo de Uohr, los esfuer5os pedidos son las coordenadas del punto AF.

σ n = −*&7 Kg .% cm& τ = *&D Kg .% cm&

PROBLEMA Nº 3.- n

espécimen de suelo est> sometido a tensiones normales en dos direcciones perpendiculares, así como a tensiones cortantes. 4epresentar estas condiciones por σ  ,σ . ,τ . , con las direcciones positivas de la figura adunta. a' "eterminar la magnitud de las tensiones normal y cortante en un plano inclinado un >ngulo \ con el ee ^. b' "eterminar los valores m>:imo y mínimo que puede e:istir en planos inclinados y sus direcciones.

94


Solución:

a' ;EC#RCE EC C P(ACR #C+(#CA"R

#ntroducimos los ees C y ;, normal y tangente al plano inclinado. ea t, el espesor del elemento, donde cada una de esas tensiones est> uniformemente repartida en la superficie en que actúa. "el an>lisis del equilibrio) 1 /' = / σ t "s − σ  t ". Sen θ −τ . t " Sen θ −τ . t ". Cos θ − σ . t " Cos θ = /

"onde) ". = "s Senθ ? " = "s Cosθ ⇒

σ "s − σ  "s Sen&θ +τ . "s Senθ Cosθ +τ . "s Senθ Cosθ + σ . "s Cos&θ

#ntroducimos las siguientes identidades)

* Sen θ = & $* − Cos&θ ' , σ &

⇒

σ=



Cos

&

* θ = & $* + Cos&θ ' ,

$* − Cos &θ ' +

&

σ .

Sen &θ = & Senθ Cosθ

$* + Cos &θ ' + τ . Sen &θ

&

+oncluimos, que el esfuer5o Cormal es) σn =

σ  + σ . $σ  − σ . ' Cos &θ + τ . Sen &θ YYYYY$_' − & &

95


1 /T =

/ τ t "s − σ  t ". Cosθ + τ . t ". Senθ −τ . t " Cosθ + σ . t " Senθ = / τ "s = σ  "s Senθ Cosθ −τ &

.

"s Sen θ +τ

.

"s Cos θ − σ

.

&

"s Senθ Cosθ

τ = Senθ Cosθ

$σ  − σ . ' +τ .

$Cos&θ −

Sen&θ

'

#ntroducimos las siguientes identidades) &

&

Sen &θ = &Senθ Cosθ , Cos &θ = Cos θ − Sen θ

+oncluimos que el esfuer5o cortante es) τ=

&τ .

σ  − σ . Sen &θ + τ . Cos&θ &

b' ;EC#RCE P4#C+#PA(E EC P(ACR #C+(#CA"R (os planos donde las tensiones normales son m>:imos y mínimos se obtiene derivando la ecuación $_' " $σ n ' " θ

=

/

⇒

(os valore de \ que dan origen a los valores m>:imos y mínimos de la tensión normal est>n dados por)

$σ  − σ . 'Sen &θ + &τ . Cos &θ = /

tg &

θ =

$σ  − σ

'

.

(a e:presión anterior da dos valores de $&\' que difieren en *D/] por lo que los planos de tensión normal, m>:ima y mínima son perpendiculares.

CASO I

2τ .

Sen &θ =

σ  − σ .

&

& + $τ . '

&


CASO II



σ



σ  − σ .

&

(os signos de arriba corresponden al caso #, y los de abao al ##. 4eempla5ando los valores de) en &\ y +os &\ en la ecuación $_' σ n

=

*

$σ  + σ . ' 2

*

$σ  − σ . '

& +

$τ . '

&

&

& (a tensión m>:ima es)

σ

m!

=

*

$σ  + σ . ' +

&

σ  − σ .

&

+ $τ . '

&

&

(a tensión normal mínima) σ min

PROBLEMA Nº

n estado de esfuer5o plano en una masa de arena puramente friccionante y compacta, est> 4.-

* =

&

$σ  + σ . ' −

σ  − σ .

&

& +

$τ . '

σ

.

&

Cos &θ =

⇒

−

&

& + $τ . '

&

definido por los siguientes esfuer5os) E s f u e r 5 o n o r m a l e n e l p l a n o h o r i 5 o n t a l ! 6 . 7 @ g . % c m & E s f u e r 5 o n o r m a l e n e l p l a n o v e r t i c a

l ! & . / @ g . % c m &

Esfuer5o cortante en los planos vertical y hori5ontal ! /.D @g.%cm& "etermine la magnitud y dirección de los esfuer5os principales y diga si el estado de esfuer5os mencionados es de falla. Solución:

i.' Uagnitud de los esfuer5os principales. 97


En el problema anterior, se ha hallado que los esfuer5os principales est>n dados por)

Esfuer5o principal mayor? reempla5ando en $#')D σ *

=

*

$6.7 + &' +

& − 6.7 &

&

&

+ $/.D' = G Kg .% cm

&

&

Esfuer5o principal menor? reempla5ando en $#') σ6

=

* $6.7 + &' −

& − 6.7 &

&

+

$/.D' & = *.JD Kg .% cm &

&

ii.' "irección de los esfuer5os principales.

Tang &θ =

−

&τ .

$σ  − σ . '

⇒

&θ = arcTang − &$/.D' $& − 6.7' θ=

&*.J6]

iii.' El estado de esfuer5os es de falla, puesto que la definición de un estado de esfuer5o plano involucra que el otro esfuer5o principal, en la dirección normal al papel valga cero, y si se tra5an en este caso los

círculos de UR-4 del estado general del esfuer5o $;ridimensional' se ve que el circulo define a Z6 en este caso ha de cortar a cualquier envolvente, recta que pase por el origen. "e hecho todo estado de esfuer5os planos en arenas ser> de falla, pues no puede haber equilibrio en la arena con un esfuer5o principal nulo por falta de confinamiento.


PROBLEMA Nº 5.- En una prueba

directa de esfuer5o cortante, se empleó una presión normal de6 J1.D : */& @g. %m ? produciéndose la falla con un esfuer5o cortante6 de 61.*/ : */ & @g. %m . "eterminar con la teoría del círculo de Uohr, los esfuer5os principales m>:imos y mínimos en el instante de la falla. +omparar resultados gr>ficos y analíticos. Solución:

i.' Br>fico del círculo de UR-4.

ii.'

"eterminamos analíticamente los esfuer5os principales.

Tang φ = τ = 6.1* +omo) σ J.1D

⇒

φ = &1.&9]

θ = G9]+

φ

&

= G9]+

&G.&9 &

⇒

θ = 91.J&]

Por otro lado, el esfuer5o cortante esta dado por) τ = σ * − σ 6

Sen &θ ⇒

&

6.1* = σ * − σ 6 Sen &$91.J&] ' &

σ * − σ 6 = D.1J Kg .% cm&

El esfuer5o normal) σ − σ σ = σ * + σ 6

&

+

*

6

& 99

Cos &θ


"e la identidad) Cos &θ = &Cos&θ −* , entonces )

&σ = &σ 6 + σ * $&Cos &θ ' − σ 6 $&Cos &θ ' = &σ 6 + &Cos &θ $σ * − σ 6 ' σ = σ 6 + Cos &θ $σ * − σ 6 ' = σ 6 + $σ * − σ 6 ' Cos &θ 4eempla5ando valores) J.1D = σ 6 + D.1J Cos &θ σ 6 = G.J1 Kg .% cm& 4eempla5ando en la ecuación # σ * = *6.J9 Kg .% cm& PROBLEMA Nº 6.- e

somete a ensayo tria:ial, una muestra de arena densa, el >ngulo de fricción interna es apro:imadamente 67]? si la presión menor es de & @g. %cm&) a' N+u>l ser> la presión principal mayor de roturaO b' N+u>l ser> la presión principal mayor de rotura, si la arena tiene una cohesión igual a /.*/ @g.%cm6O Solución:

i.' (a presión principal de rotura est> dado por) σ * σ6

=

σ 6 ' φ + &C ' φ ...............$ I '

=

& Kg .% cm& ? φ = 67] ? C = / ? reempla5ando en $#'

σ * = σ 6 ' φ = σ 6Tg & $G9]+

' = &Tg & $G9]+

67]

φ

&

&' σ

*

=

D

. / G K g

. % c m &

ii.' i la arena tiene una cohesión ! /.*/ @g.%cm &, reempla5ando en $#' σ * = &Tg & $G9]+

$/.*/'Tg $G9]+

67]

67]

&' + &

&'

(a presión principal de rotura es) σ * =

D.G G K g .% c m&

(a resistencia al corte de un suelo est> determinada por la ecuación τ = C + σ Tg φ ? se reali5an & ensayos tria:iales sobre el material)

PROBLEMA Nº 7.-

100


Pr$m0r E5a6.(a presión de +onfinamiento ! & @g. %cm& $al empe5ar el ensayo se iguala los σ , y la presión dentro de la c>mara es igual en todo sentido y dirección'?y la rotura ocurre a una presión a:ial adicional& de J.& @g. %cm . S0g57 E5a6.- (a presión de +onfinamiento ! & G @g. %cm ? y la rotura ocurre a una presión a:ial adicional& de *& @g. %cm . (a prueba tria:ial se emplea para determinar par>metros de corte [ y + $+ohesión'. NSué valores de cohesión y >ngulo de fricción, corresponde a estos resultadosO Solución:

i.' Para el primer ensayo) σ * = σ 6 ' φ + &C ' φ ? donde) σ 6 = & Kg .% cm& ? σ * = & Kg .% cm& + J.& Kg .% cm& = D.& Kg .% cm& 4eempla5ando) D.& = & ' φ + &C ' φ D.& − & ' φ = &C ' φ ...............$ I ' ii.' σ6

Para el segundo ensayo) = G Kg .% cm& ? σ * = G + *& = *J Kg .% cm&

4eempla5ando) *J = & ' φ + &C ' φ *J − G ' φ = &C ' φ ...............$ II ' iii.' "eterminando el >ngulo de fricción) #gualamos $#' y $##'? obtenemos) D.& − & ' φ = *J − G ' φ

⇒

' φ = 6.1

Por relación de esfuer5os principales) ' φ = Tg

&

φ φ $G9]+ & ' ? 6.1 = Tg & $G9]+ & '

Rbtenemos) φ = 6J.&D]

iv.'

"eterminamos la cohesión del ensayo, reempla5ando datos en la e:presión $#' y despeando +. C = /.*/ Kg .% cm&

PROBLEMA Nº

n estrato de arcilla que tiene un espesor de *9m. est> situado a *&m. de profundidad por debao de la superficie natural. El peso unitario de la arcilla es γ *9/ (b. sat ! %pie6, su cohesión + ! &.&G @g. %cm&. Entre la superficie natural del terreno y la arcilla, el subsuelo consiste en arena fina? el C.=. se encuentra a G m. de profundidad a partir de la superficie. i el peso unitario sumergido promedio de la arena que se encuentra debao del C.=. es JJ 8.-

(b.% pie6. +alcular la resistencia al corte de una muestra inalterada, obtenida a una profundidad de 9 m. por debao del nivel de las superficie del estrato de arcilla, si el >ngulo de resistencia al corte es de &G].

ASENTAMIENTOS suelos 2

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