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ARTÍCULO CIENTÍFICO
Introducción a las Ecuaciones de Navier-Stokes: Ing. Fernando Alfredo Manzano Aybar, MSc. (Doctorando)
Dr. Luis Joyanes Aguilar (Director de Investigación) Universidad Pontifica de Salamanca, campus Madrid Paseo Juan XXIII, 3 Madrid, 28040
En nuestras manos tenemos una botella llena de aceite. Si la agitamos, la hacemos girar, y la colocamos en una mesa, ¿cómo fluye el aceite cuando el sistema está en reposo?, ¿cómo se describiría esto matemáticamente? ¿Podríamos predecir la próxima movida del fluido? .
Resumen Las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos, conocidas como ecuaciones de Navier-Stokes, surgieron producto del del francés constructor de puentes Claude-Louis Claude-Louis Navier y del matemático irlandés George Stokes. En principio fueron obtenidas por el francés en una época en que no se comprendía muy bien cuál era la física de la situación que estaba matematizando. De hecho, lo único que hizo fue modificar unas ecuaciones ya existentes y obtenidas por el famoso matemático Euler, de modo que incluyesen las fuerzas existentes entre las moléculas del fluido. Aproximadamente 20 años después, Stokes justificó las ecuaciones del ingeniero francés deduciéndolas adecuadamente. Básicamente plantean el comportamiento de los fluidos viscosos dentro de un sistema de coordenadas y explican matemáticamente los efectos propios de su estado.
Las ecuaciones de Navier-Stokes no son más que una aproximación del medio continuo, que sirven de modelo a una parcela de la Realidad, por ende, como modelo matemático, renuncian a la categórica exactitud. Sin embargo, resultan ser tan efectivas, que se olvida con frecuencia de que se tratan de un modelo. Surgen al aplicar leyes de distintas áreas de la física (Segunda Ley de Newton, Primera y Segunda Ley de Termodinámica Termodinámica y el Principio de de Conservación de la Masa) al movimiento de los fluidos, en especial viscosos. viscosos. Hay una cantidad extensa de aplicaciones para estas ecuaciones, pero por lo general su uso es conocido en la meteorología, en la aeronáutica, en la hidráulica, y muy peculiarmente en la angiología con la matematización del correr de la sangre.
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Introducción Este artículo se escribe con el propósito de dar una descripción más física que la tradicional matemática a las propiedades y efectos relacionados con los fluidos. Los fluidos son unos de los componentes más difíciles de estudiar dentro de la física. Esto se debe precisamente a su incapacidad de resistir a esfuerzos cortantes (lo que provoca que tengan forma indefinida). La hipótesis de donde se parte para el desarrollo de cualquier concepto en la mecánica de fluidos es la del medio continuo, la cual sostiene que un fluido es continuo a lo largo del espacio que ocupa, ignorando su estructura molecular y las discontinuidades asociadas a ésta. De ahí conceptualizamos fluido como un medio continuo, es decir, agregado que se mueve (se deforma) en forma continua al transcurrir el tiempo, y forma un todo en el espacio.
Las ecuaciones de Navier-Stokes no son más que una aproximación del medio continuo que sirven de modelo a una parcela de la Realidad, por ende, como modelo matemático, renuncia a la categórica exactitud. Sin embargo, resultan ser tan efectivas, que se olvida con frecuencia de que se tratan de un modelo. Estas ecuaciones surgen al aplicar leyes de distintas áreas de la física (Segunda Ley de Newton, Primera y Segunda Ley de Termodinámica y el Principio de Conservación de la Masa) al movimiento de los fluidos, en especial viscosos. Hay una cantidad extensa de aplicaciones para estas ecuaciones, pero por lo general su uso es conocido en la meteorología, en la aeronáutica, en la hidráulica, y muy peculiarmente utilizada en la angiología.
Desarrollo “En nuestras manos tenemos una
botella llena de aceite. La agitamos, la hacemos girar, y la colocamos en una mesa”: Un ejemplo típico de un medio continuo, y dentro de éstos, un ejemplo de un fluido incompresible. Se entiende por Medio Continuo a un conjunto infinito de partículas de un material que va a ser estudiado macroscópicamente, es decir, sin considerar las posibles discontinuidades existentes en el nivel microscópico (nivel atómico o
molecular). En consecuencia, se admite que no hay discontinuidades entre las partículas y que la descripción matemática de este medio y de sus propiedades se puede realizar mediante funciones continuas. ¿De qué estamos seguros al predecir el movimiento del aceite? 1- El aceite es incompresible, o sea, que su estado físico no alterará su volumen ni su densidad.
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2- Una vez el fluido alcance un costado de la botella, se dispersará por toda la botella, y con toda su fuerza. Ahí es donde se empiezan a separar los ejes de la observación. Existen dos distintos sistemas de coordenadas con los que se describe comúnmente la evolución de los medios continuos a medida que el tiempo corre, éstas son las coordenadas lagrangianas y las eulerianas. Las coordenadas lagrangianas reúnen información de cada una de las partículas del fluido por individual. En mecánica de medios continuos, las magnitudes que evolucionan con el tiempo y definen el estado físico del sistema están relacionadas con los campos vectoriales de desplazamientos, o sea, es como si marcásemos cada partícula antes de que empiecen a correr y seguimos a cada una de ellas registrando su posición, su velocidad, la aceleración, la densidad… Si se fuese a sacar una tabla de datos estadísticos habiendo hecho una observación del tipo lagrangiana, se tendría la descripción numérica de cada una de las partículas en los instantes que queremos examinar. En coordenadas eulerianas, nos concentramos en cada puntopartícula dentro de la botella y registramos lo que lo atraviesa. Sólo evaluamos una partícula cuando atraviesa el punto “X” o “Y” en tiempos diferentes y no la asociamos con la misma partícula.
Entonces ya sabemos que mientras el observador lagrangiano “sigue” el flujo; el euleriano, se concentra en un punto del material en que el flujo está y observa el flujo pasar. Podemos decir, que la información básica que registra el observador lagrangiano es la posición en el tiempo de cada partícula que se “marca” inicialmente. Para esta observación se parte de que la partícula estuvo en un punto “X₀” cuando el correr del fluido no había empezado, o sea que t=0, y se dice que la coordenada de la partícula es Y(X, t). También podemos decir que para el observador euleriano, la información central es la velocidad, pero la velocidad del flujo, no de cada partícula en especial dentro del fluido. Toquemos un poco la definición de incompresibilidad. Del término “comprimir”, nuestro concepto intuitivo nos dice que es tratar de presionar algo para empacarlo de forma más densa y reducir su volumen, cosa que es muy común en los gases. Así que podríamos decir que en un material incompresible, su estructura química no hace posible la disminución del volumen o el aumento de la densidad. La primera ecuación en el sistema de Navier-Stokes establece al flujo bajo consideración de que es incompresible, en coordenadas lagrangianas significa que si tomamos cualquier porción pequeña de volumen, siempre mantendría su volumen a medida en que evoluciona el tiempo.
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de una partícula en un punto, y en un momento ya esa partícula no está, lo que hace no-lineal la operación de aceleración en las coordenadas eulerianas, cosa que es bastante sencilla en las lagrangianas. En coordenadas eulerianas, como no seguimos el flujo, lo que hacemos es fijar nuestra atención en cualquier región pequeña, y notar que en cada instante la cantidad total de líquido que la atraviesa es la misma. Puesto que la incompresibilidad es válida para ambos tipos de observaciones: tanto lagrangianas como eulerianas, entonces se puede traducir tanto en las matemáticas propias de un modelo como las del otro. (Lo que en coordenadas eulerianas es un cálculo infinitesimal, para las lagrangianas es una derivada). Donde de verdad se siente la diferencia entre los dos tipos de coordenadas, es en las magnitudes que éstas manejan. La aceleración, básicamente, es un concepto lagrangiano, ya que es más fácil estudiar ésta tasa de cambio de la velocidad en partículas individuales que en un flujo completo, así que la obtención de la fórmula para la aceleración en coordenadas lagrangianas es más sencilla. En cambio, en las coordenadas eulerianas, es la tensión quien juega un papel predominante, y el método para la obtención de la fórmula para la aceleración sería algo mucho más complejo: Se examina la aceleración
Así que lo más importante de la dinámica de fluidos incompresibles es que hay que manejar variables que son naturales en las coordenadas lagrangianas, como aceleración, pero también hay que tomar en cuenta variables que son propias es las coordenadas eulerianas, como la tensión. Y por eso es que la dinámica de fluidos es tan complicada: Escribes una cantidad, y las otras no tienen tanta importancia, escribes otra cantidad, y la otra parte no tiene tanta importancia. Sería casi imposible traducir las fórmulas en coordenadas lagrangianas a las euclidianas, y viceversa. Entonces la pregunta sería ahora, ¿en cuál sistema de coordenadas están escritas las ecuaciones de Navier-Stokes? La respuesta es: En coordenadas eulerianas, debido a que, aunque elementos lagrangianos como aceleración no son tan precisos, al menos la viscosidad se obtiene fácilmente en las eulerianas, lo cual
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facilita bastante el desarrollo de las ecuaciones.
ejercen sobre ella, se va a mover hacia adelante.
Presión
En la siguiente gráfica se describe aquel efecto, “el efecto viscosidad”.
Algo que dificulta las ecuaciones de Navier Stokes es la presión, porque en fluidos incompresibles, a diferencia de otros fenómenos matemáticos, la interacción entre velocidad y presión es instantánea: Con fluidos compresibles, cuando aplicas presión en una parte, tarda un poco en propagarse, mientras que en los incompresibles, cuando aplicas presión, instantáneamente se propaga. A diferencia de otros fenómenos, donde perturbaciones como el sonido viajan a velocidad finita, o el calor, que se propaga instantáneamente, pero en forma muy atenuada, en el flujo incompresible, el cambio de presión en un extremo de un tubo, se siente de lleno en el otro.
Viscosidad La viscosidad facilita el entendimiento del movimiento de las partículas y también asigna una definición de “singularidad ” a los fluidos incompresibles distinta a las de los otros tipos de medios continuos conocidos. Este término en Navier- Stokes, establece que cada una de las partículas que están dentro de un fluido es arrastrada por el resto de las partículas (el flujo mismo), gracias a la diferencia de velocidades que tiene cada partícula con relación a la otra. Por ejemplo: Supongamos que una partícula dentro de un fluido no se está moviendo, pero que las que están a su alrededor se mueven hacia adelante, entonces ésta partícula, debido a la fuerza de fricción que
Este término se llama laplaciano o “efecto de viscosidad” y es igual al límite de cuando el radio tiende a cero, de la velocidad promedio de la partícula, menos la velocidad en X₀, sobre el radio de la partícula. Esto ayuda a traducir la aceleración lagrangiana a euleriana. Entonces la aceleración, sería igual a la gradiente negativa de la presión más el laplaciano. Notemos que la elección del laplaciano para medir el arrastre de la partícula hacia adelante es algo arbitrario, especialmente su linealidad con respecto a la velocidad. Dependiendo de las propiedades del líquido, la dependencia puede cambiar a altas velocidades y llegar a ser no lineal. La velocidad promedio de la partícula arrastrada, menos la velocidad de esta partícula en el punto X₀, es la aceleración, como aquel fenómeno es parabólico, es necesario examinarlo como no-lineal. El arrastre de aquel fluido depende mucho de condiciones externas a las ya planteadas, así que hay situaciones donde ésta no es una premisa verdadera, así que se le ha asignado al laplaciano la condición de "regla ad hoc".
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Notemos también que esta es en esencia una expresión euleriana. No obstante, la viscosidad es un e fecto realmente beneficioso. Tiende a “aplastar” el flujo. Así que si una
partícula se intenta movilizar a una velocidad mayor a la de las otras partículas, entonces el flujo la frenará. Esto haría que la velocidad de un fluido viscoso sea finita.
Conclusión Entonces, con lo que ya mencionamos, ¿qué sabemos ahora de los fluidos incompresibles que nos lo proporcionan las ecuaciones de Navier-Stokes? 1- El fluido viscoso es incompresible. 2- La aceleración, en coordenadas eulerianas es igual a la gradiente negativa de la presión más el efecto viscosidad o el laplaciano. 3- Es posible encontrar un momento (tiempo) finito, donde la velocidad del fluido alcance un valor infinito, pero no se sabe cuál. Se espera que algún día alguien lo encuentre (como opción B al problema de Clay Foundation), alguien con espacio suficiente como para un millón de dólares. 4- Si la presión es constante, el fluido no acelera, se mantiene constante, si se le aplica presión, el fluido acelera hacia el área de presión más baja. 5- "La presión en una cantidad infinita de partículas en un fluido, puede causar una singularidad."
Referencias Contribuyentes de wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Navier-Stokes http://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_de_s%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_fluidos_computacional http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_fluidos#Descripciones_lagra ngiana_y_euleriana_del_movimiento_de_un_fluido http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_transporte_de_Reynolds http://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimiento#conservaci.C3.B3n Trabajo Universitario (Power Point): http://www.slideshare.net/kurtmilach/conservacin-de-la-cantidad-demovimiento Udea, Academa de Ciencias: http://ciencias.udea.edu.co/software/LaTeX/Darmstadt/presentacion.pdf
