Arbol de Decision

E.P.S. La Rábida I.T. Informática de Gestión Universidad de Huelva

Administración de Empresas Empresas

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TEMA 6:

Introducción a la teoría de la decisión (II)

3. problemas problemas de decisión d ecisión secuenciales (Árboles de decisión) Bibliografía


Administración de Empresas

__________________________________________________________________________________________ 3. Decisiones secuenciales y árboles de decisión: Problema de decisión en el que se consideran una secuencia de decisiones, es decir, decisiones posteriores dependientes de una decisión inicial. El análisis del problema de decisión bajo el enfoque secuencial suele ser preferible al enfoque estático, dado que es normal que una decisión tomada en el momento inicial condicione decisiones en los momentos posteriores de tiempo. En este caso, se sintetiza la representación del problema a través de un árbol de decisión dado que su representación en una matriz no es viable. Un árbol de decisión es un grafo o dibujo que explica las secuencias de las decisiones o alternativas a tomar y los diversos estados de la naturaleza que se pueden presentar o acontecimientos que pueden suceder. Es una forma de abordar el problema de decisión cuando hay que adoptar una secuencia de decisiones excluyentes. Los elementos fundamentales del problema de decisión se representan en un árbol de decisión de la siguiente forma: □ Puntos o nudos de decisión entre alternativas o estrategias ○ Nudos aleatorios: Ocurrencia de los posibles estados de la naturaleza ∆ Resultados esperados El primer nudo (1) siempre es decisional: representa la decisión inicial que ha de tomar el decisor. El árbol toma la siguiente forma:

X

2

4

X S 1

X S 2 N 2 X

R1

R2

N 1X

1

R3

Y 3

Y S 1

5

Y S 2

R4

N 2 Y R5

N 1Y R6

Se supone que la elección de una alternativa supone el abandono del resto. El resultado de dicha decisión depende a su vez de un suceso incierto como es el estado de la naturaleza que se produzca. Una vez producido un posible estado de la naturaleza, es posible elegir de nuevo entre distintas alternativas, siendo sus resultados dependientes del estado de la naturaleza que se produzca. La solución de un problema de decisión secuencial, consiste en buscar la secuencia de decisiones óptimas a adoptar. Vamos a resolverlo en un contexto de riesgo. La técnica de resolución consiste en ir determinando los valores monetarios esperados en cada punto de decisión, haciéndolo de derecha a izquierda, empezando por los resultados finales. Distinguimos entre. El valor de los nudos aleatorios (que son de los que parte los estados de la naturaleza) es la media ponderada de los resultados posibles. El valor de los nudos decisionales se obtiene tomando la esperanza matemática correspondiente a la mejor decisión posible.

2



__________________________________________________________________________________________ Para la construcción del árbol seguiremos los siguientes pasos: 1) Identificación clara del problema. 2) Establecer las estrategias o alternativas primarias entre las que deberá elegir el momento actual 3) Establecer las diferentes alternativas y los diferentes sucesos que se van a ir produciendo a lo largo de este horizonte temporal. Hay dos matizaciones: 3.1. Sucesos inciertos: tienen que ser mutuamente excluyentes. 3.2. Sucesos aleatorios: Tienen que ser definidos de manera exhaustiva, es decir, la suma de las probabilidades de los diferentes sucesos debe ser igual a uno. 4) Representación completa del árbol de decisión con los diferentes nudos y ramas. Las secuencias alternativas que hemos representado tienen que reflejar fielmente la información con la que cuenta el sujeto decidor en cada momento para tomar diferentes decisiones en el horizonte temporal. 5) Valoración de cada una de las alternativas y sucesos aleatorios que nos lleva al final a una valoración de las diferentes ramas de un árbol. 6) Determinar las decisiones óptimas, y para ello utilizaremos el método de resolución de marcha atrás. Para esto tenemos que valorar todos los nudos del árbol. Limitaciones del método: -

El método es válido si el decisor utiliza como criterio decisor maximizar el valor esperado. Se puede corregir con la desviación típica. En cada nudo aleatorio se calcula la función de utilidad de los resultados posibles. En cada nudo decisional se toma la alternativa con mayor función de utilidad.

-

El método exige que el decisor pueda soportar el riesgo de ruina.

-

En caso de que los resultados no sean temporalmente homogéneos habrán de ser actualizados a la misma fecha.

Otra situación puede ser tomar el criterio de elección de maximizar la probabilidad de ganancia y no la de maximizar el valor esperado. Este criterio de elección es útil cuando existen muchas situaciones de ganancia nula. Ejemplo 1: Frank Jones es un estudiante de último curso de la Titulación de Ingeniería Técnica en Informática de Gestión y quiere empezar a hacer curriculom. El servicio Central de Informática de la Universidad ha convocado unas becas para trabajar en el servicio. Los solicitantes deben superar dos pruebas: una teórica que se realizará el próximo 30 de noviembre y una práctica para quienes superen la prueba teórica que aún no está programada. La beca esta dotada de una retribución mensual de 1.000 euros libres de toda carga. Por otra parte, el Ayuntamiento de Huelva ha convocado mediante concurso la provisión de un puesto de Ayudante de Informática que se dedicará a la formación técnica de los empleados. El puesto tiene una remuneración mensual de 1500 euros y habrá que superar una entrevista personal con el jefe del servicio en el ayuntamiento programada para el 30 de noviembre y un examen teórico-práctico para quienes superen la prueba teórica. Frank esta nervioso, pues no sabe a qué carta jugar. Por un lado se siente seguro de sus conocimientos teóricos y piensa que si solicita la beca tiene un 70% de posibilidades de aprobar la prueba teórica y un 40% de aprobar la práctica, pero si se decanta por concursar en el ayuntamiento considera que con su nerviosismo las posibilidades de superar la entrevista se reducen al 40% y la probabilidad de superar el examen teórico-práctico la estima en el 50%. Dado que la primera prueba para la beca y para el ayuntamiento coinciden, decidir:

3



__________________________________________________________________________________________ a) ¿a cuál deberá asistir si lo que desea Frank es maximizar su ganancia mensual esperada? b) ¿a cuál deberá asistir si lo que desea Frank si su objetivo es maximizar la probabilidad de obtener alguna ganancia? Solución: a) Lo primero es construir el árbol con las alternativas, probabilidades asociadas y resultados

a e c B

7 0 0,

4

0, 4

1.000

0 , 6

2

0

0 ,3

1

0

o t n e i m a t n u y A

0, 5 0, 4

5

3

1.500

0 ,5 0

0 ,6 0

Una vez representados los nudos y las ramas, con sus probabilidades, así como los resultados asociados a ese cada camino, se procede de derecha a izquierda para determinar el valor asociado a cada vértice. El valor asociado a un nudo aleatorio es la esperanza matemática de los valores situados al final de las ramas que parten de él: E ( X i ) =

m

∑1 j =

X ij ∗ P j y

n

∑1 P = 1 j

j =

Comenzamos por el nodo 4: E (4) = 1.000 ∗ 0, 4 + 0 ∗ 0,6 = 400 Tal será el valor asociado al nodo 4, que se ha de situar junto a el en el árbol. Y del mismo modo se opera con los demás nodos. E (2) = 400 ∗ 0,7 + 0 ∗ 0,3 = 280 Del mismo modo, procediendo de derecha a izquierda, se calculan los valores asociados a los nodos 5 y 3. E (5) = 1.500 ∗ 0,5 + 0 ∗ 0,5 = 750 E (3) = 750 ∗ 0, 4 + 0 ∗ 0,6 = 300 El valor asociado a cualquier nudo decisional es igual al mayor de los valores asociados a los nudos en los que tienen destino las ramas que se desprenden de él.

4



__________________________________________________________________________________________ Si Frank sigue el criterio de elegir la opción a la que le corresponda la mayor ganacia mensual esperada, se decidirá por asistir a la prueba del ayuntamiento con un valor esperado de 300 euros mensuales. El árbol queda de la siguiente forma:

400 280

300

c a B e

, 0 0 7

0, 4 0 ,6

4

1.000

2

0

0 ,3

1

0

o t n e i m a 300 t n u y 3 A

750 0, 4

5

, 0 5

1.500

0 ,5

0

0 ,6

0

b) Si se decide por la Beca, la probabilidad de obtener alguna ganancia mensual, será la probabilidad de aprobar las dos pruebas de la misma, es decir superar la primera prueba y luego la segunda:

(Siteoria ∩ Sipractica) P ( Siteoria ∩ Sipractica ) = P ( Siteoria ) P (Spractica / Siteoria ) P ( Siteoria ∩ Sipractica ) = 0,7 • 0, 4 = 0, 28 = 28% i

Del mismo modo se obtienen: P ( Siteoria ∩ Nopractica ) = P (Siteoria ) P ( Nopractica / Siteoria ) i

P ( Siteoria ∩ Nopractica ) = 0,7 • 0,6 = 0, 42 = 42% Con respecto al concurso convocado por el ayuntamiento

(Sientrevista ∩ Siteorico − practica) P ( Sientrevista ∩ Siteorico − practico) = P( Sientrevista) P( Siteorico − practic / Sentrevista) P ( Sientrevista ∩ Siteorico − practico) = 0, 4 • 0,5 = 0, 20 = 20% i

5



__________________________________________________________________________________________

(Sientrevista ∩ Noteorico − practica) P ( Sientrevista ∩ Noteorico − practico) = P( Sientrevista ) P( Noteorico − practic / Sientrevista) P ( Sientrevista ∩ Noteorico − practico) = 0, 4 • 0,5 = 0, 20 = 20% i

Por consiguiente el árbol de decisión también puede representarse de la siguiente forma:

280

300

c a B e

2

1

0, 2 8 S P = S T ∩

1.000

ST ∩ NP = 0,42 N T ∩ N P = 0 ,3 0

0

0

o t n e i m a 300 t n u y 3 A

S E

0, 2 0 T P = S ∩

SE ∩ N TP=0,20 N E ∩ N TP = 0 , 6

1.500 0

0

Las distribuciones de probabilidad asociadas a las dos opciones se recogen en la siguiente tabla: Opciones Beca Ayuntamiento

Valores probables 1.000 0 1.500 0

Probabilidades 0,28 0,72 0,20 0,80

Valor esperado 280 300

Respuestas: a) ¿a cuál deberá asistir si lo que desea Frank es maximizar su ganancia mensual esperada? Según los valores esperados reflejados en la tabla, se debe elegir Ayuntamiento (300) por presentar mayor valor esperado frente al Ayuntamiento (280). Los resultados deben corregirse con medidas de dispersión y medidas que incluyan el riesgo que se quiere asumir. Corrección de la dispersión de los resultados con la desviación típica y construcción de las respectivas funciones de utilidad si el coeficiente de aversión al riesgo (α) es del 10%: Funcion de utilidad = U ( X i ) = E ( X i ) − a ∗ σ X

6



__________________________________________________________________________________________ 2

σ

X

de los resultados = var ianza como medida de var iabilidad

Varianza : σ X2 =

m

∑1 ( X

ij

− E ( X i ))2 ∗ Pj

j =

= Desviación típica :

σ

σ

2

X

Dado que para la beca, la esperanza matemática vale 280 euros, su desviación típica será: 2

σ

beca

= [(1.000 − 280) 0, 28 + (0 − 280) *0,72] = 448,99 euros

σ

1 2

2

i

2

ayuntamiento

2

1 2

= [(1.500 − 300) 0, 20 + (0 − 300) *0,80] = 600 euros i

Funcion de utilidad = U ( X i ) = E ( X i ) − a ∗ σ X = 280 − (0,10)*448,9 = 235, 2 Funcion de utilidad = U ( X i ) = E ( X i ) − a ∗ σ X = 300 − (0,1)*600 = 240 Por tanto, la dispersión de los valores posibles de la variable “ganancia mensual”, en relación a su media, es mayor en la opción del Ayuntamiento que en la opción de la Beca. b) ¿a cuál deberá asistir si lo que desea Frank si su objetivo es maximizar la probabilidad de obtener alguna ganancia? Según los valores esperados reflejados en la tabla, se debe elegir Beca (28%) por presentar mayor probabilidad de ganancia frente al Ayuntamiento (20%). Ejemplo 2: Una empresa analiza el lanzamiento de un nuevo producto. se pregunta si lanzarlo o no, y en el caso que lo lance, determinar a que precio hacerlo (alto, medio, bajo). Los resultados que obtenga en el caso de lanzarlo, dependerán de la existencia o no de competencia y el precio al que la competencia hace el producto. -

Si no hay competencia, se prevé que si el precio es elevado obtendría un beneficio de 80 u.m., si el precio es medio obtendría un beneficio de 50 u.m. si es bajo, obtendría un beneficio de 30 u.m. La probabilidad que no exista competencia es de un 40%. En caso que exista competencia, los beneficios dependen tanto del precio de nuestro producto como del precio del competidor. La siguiente tabla presenta los beneficios que se obtendrían para los diferentes niveles de precios:

Precios de la empresa -

Elevado Medio Bajo

Beneficios Precios del competidor Elevado Medio 20 -20 15 -15 10 0

Bajo -60 -25 -10

La siguiente tabla presenta las probabilidades de establecimiento de precios de la empresa y del competidor

Probabilidades de la empresa

Elevado Medio Bajo

Probabilidades Probabilidades del competidor Elevado Medio 0,4 0,4 0,2 0,5 0,1 0,1

7

Bajo 0,2 0,3 0,8



__________________________________________________________________________________________ Solución: Empezamos dibujando el árbol: Continuamos calculando el valor esperado en cada punto de decisión, empezando por lo más próximo a los resultados. V II =80 V II’→ se calcula el valor esperado en B,C, y D V(B) = 20*0,4 - 20*0,4 – 60*0,2 = -12 V(C) = 15*0,2 – 15*0,2 – 25*0,3= -12 V(D) = 10*0,1 + 0*0,1 -10*0,8= -7→ Por lo tanto, si el decisor estuviera en II’ (decidir precio existiendo competidor) eligiria el precio bajo. El árbol de decisión queda en: R1=0 r X z a l a n N o

I

II

Precio elevado

= 80

o r i d t e p m 4 0 c o 0, n = i P S

l a n z a r X

A

Con competidor

II’

Precio bajo

= -7

P=0,60

Beneficio esperado de lanzar: 80*0,4 – 7*0,6 = 27,8 Beneficio esperado de no lanzar = 0 Conclusión: La empresa decidirá lanzar X, esperando un beneficio medio de 27,8. Una vez lanzado si no existe producto competidor elige precio elevado y en caso de que exista competidor fija el precio bajo.

8

E.P.S. La Rábida Administración de Empresas I.T. Informática de Gestión Universidad de Huelva __________________________________________________________________________________________ ¡Error! Vínculo no válido.



__________________________________________________________________________________________ Ejemplo 3 Una empresa está analizando la conveniencia de construir una nueva planta industrial, para lo que tiene dos alternativas. Una planta grande, para la que será necesaria una inversión de 100 millones de u.m. con la que obtendría unos beneficios de 15 millones si la demanda es alta, 5 millones de u,m. si ésta es intermedia y unas pérdidas de 10 millones de u.m. si la demanda es baja. La otra alternativa consiste en construir una planta pequeña que precisa una inversión de 50 millones de u.m.. En este caso los beneficios serán de 10, 4 y 2 millones de u.m. para demanda alta, media y baja, respectivamente. De la información que obra en poder de esta empresa se desprende que las probabilidades de los distintos estados de la naturaleza son: — Demanda alta, 25 por 100. — Demanda media, 40 por 100. — Demanda baja, 35 por 100. Por otra parte, la dirección se está planteando la posibilidad de encargar un estudio por 0,5 millones a una firma de reconocido prestigio; no obstante, los resultados no son totalmente fiables, siendo las probabilidades de acierto y error las de la tabla siguiente.

Estados de la naturaleza

Dda alta Dda media Dda baja

Resultados del estudio Dda alta Dda media 0,85 0,10 0,07 0,85 0,05 0,10

Dda baja 0,05 0,08 0,85



__________________________________________________________________________________________ Ejemplo 3 Una empresa está analizando la conveniencia de construir una nueva planta industrial, para lo que tiene dos alternativas. Una planta grande, para la que será necesaria una inversión de 100 millones de u.m. con la que obtendría unos beneficios de 15 millones si la demanda es alta, 5 millones de u,m. si ésta es intermedia y unas pérdidas de 10 millones de u.m. si la demanda es baja. La otra alternativa consiste en construir una planta pequeña que precisa una inversión de 50 millones de u.m.. En este caso los beneficios serán de 10, 4 y 2 millones de u.m. para demanda alta, media y baja, respectivamente. De la información que obra en poder de esta empresa se desprende que las probabilidades de los distintos estados de la naturaleza son: — Demanda alta, 25 por 100. — Demanda media, 40 por 100. — Demanda baja, 35 por 100. Por otra parte, la dirección se está planteando la posibilidad de encargar un estudio por 0,5 millones a una firma de reconocido prestigio; no obstante, los resultados no son totalmente fiables, siendo las probabilidades de acierto y error las de la tabla siguiente.

Estados de

Resultados del estudio Dda alta Dda media 0,85 0,10 0,07 0,85 0,05 0,10

Dda alta Dda media Dda baja

la naturaleza

Dda baja 0,05 0,08 0,85

Con la información anterior se pide: a) Elaborar el árbol de decisión e indicar la decisión a tomar. Calcular el valor esperado de la información perfecta antes y después de realizar el estudio, suponiendo que éste indique que la demanda va a ser intermedia. b)

c) Valor esperado de la información proporcionada por el estudio. Solución: GECIA=GANACIA ESPERADA CON LA INFORMACIÓN ADICIONAL GECIA =

n

∑1 Max[E ( X

m

)

ij a posteriori

i=

GEIA

=

 * ∑ P (E j )*P ( Ai / E j ) j =1

GECIA E ( X ij ) a priori −

GECIA=GANACIA ESPERADA CON LA INFORMACIÓN ADICIONAL GESIA=GANACIA ESPERADA SIN LA INFORMACIÓN ADICIONAL

5,73 4,80

GEIA=GANACIA ESPERADA DE LA INFORMACIÓN ADICIONAL

0,93

GEIP=GANACIA ESPERADA DE LA INFORMACIÓN PERFECTA Antes de realizar el estudio=(15*0,25+5*0,4+2*0,35)-4,8= Después de realizar el estudio y éste arroja que la demanda va a ser media.=(15*0,6+5*0,85+2*0,09)-4,31=

1,65 1,05

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EL CRITERIO DE LA GANACIA ESPERADA CON INFORMACIÓN ADICIONAL ESTADOS ALTERNATIVAS Grande pequeña

Dda Dda alta media 15,00 10,00

Probabilidad a priori Probabilidad D. Alta Condicionada D. Media D. Baja Probabilidad D. Alta Conjunta D. Media D. Baja Probabilidad D. Alta Revisada D. Media D. Baja

Gan. Esp. a priori Dda

Baja

5,00 10,00 4,00 2,00

0,25

0,40

0,35

0,85

0,07

0,05

0,10 0,05 0,21 0,03 0,01 0,82 0,06 0,04

0,85 0,08 0,03 0,34 0,03 0,11 0,85 0,09

0,10 0,85 0,02 0,04 0,30 0,07 0,09 0,87


Gan. Esperada a post. Dda Alta

2,25 12,22 4,80 8,81

Dda Dda Media Baja

4,31 -7,68 4,20 2,48

1,00

0,26 0,40 0,34 1,00 1,00 1,00


__________________________________________________________________________________________ BIBLIOGRAFÍA -

García del Junco, C. Fundamentos de Gestión Empresaria l. Ediciones Pirámide. Madrid 2000.

-

Pérez Gorostegui, E. Introducción a la Administración de Empresas. Editorial Centro de Estudios Ramón Areces S.A. Madrid. 2001.

-

Pérez Gorostegui, E. Economía de la Empresa Aplicada . Ediciones Pirámide. Madrid 2000.

-

Castillo Clavero et al. Prácticas de Gestión de Empresas . Ediciones Pirámide. Madrid 1992.



__________________________________________________________________________________________ BIBLIOGRAFÍA -

García del Junco, C. Fundamentos de Gestión Empresaria l. Ediciones Pirámide. Madrid 2000.

-

Pérez Gorostegui, E. Introducción a la Administración de Empresas. Editorial Centro de Estudios Ramón Areces S.A. Madrid. 2001.

-

Pérez Gorostegui, E. Economía de la Empresa Aplicada . Ediciones Pirámide. Madrid 2000.

-

Castillo Clavero et al. Prácticas de Gestión de Empresas . Ediciones Pirámide. Madrid 1992.

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