Capítulo 2 La ecuación de Schródinger En 1913, N. Bohr publicó el resultado de sus investigaciones sobre las propiedades cuánticas del más simple de los átomos, el de hidrógeno. Basándose en el modelo atómico de Rutherford, Bohr encontraba que la cantidad que era necesario cuantizar era la acción, obteniendo que las órbitas posibles para un electrón sólo podían ser aquellas que obedecieran este postulado cuántico, con este resultado fue inmediato probar, teóricamente, que las llamadas series radiativas del átomo de hidrógeno que correspondían muy bien a la fórmula empírica de Rydberg. Posteriormente, Sommerfeld y Wilson (1916) extendieron el modelo de Bohr para incluir órbitas elípticas. Las reglas de cuantización de Bohr, Sommerfeld y Wilson resultaron insuficientes e imprecisas1 sobre todo cuando se trataba de explicar algunas propiedades magnéticas del átomo de hidrógeno. A principios de la década de 1920, un nuevo experimento sobre dispersión de electrones por un cristal atrajo la atenición de los científicos de la época. Este fenómeno fue explicado de dos formas: por medio de la hipótesis de L. De Broglie (1924) referente a las ondas de materia y por medio de la hipótesis de cuantización de la acción de Duane-Compton (1923). En esta exposición seguiremos la la segunda opción debido a que se enmarca en la misma hipótesis de la vieja teoría cuántica que para esa época era aceptada a pesar de sus fallas. La explicación a todos estos fenómenos cuánticos la dio E. Schródinger en 1926, tratando de extender la hipótesis cuántica de Bohr, Sommerfeld, Wilson, Duane y Compton introdujo un postulado para la acción: que la acción en la ecuación de Hamilton-Jacobi satisface el principio variacional. De ahí obtuvo una ecuación de valores propios para una función ($) que al cumplir con las condiciones de frontera apropiadas reproduce correctamente las reglas de cuantización para el oscilador armónico, el átomo de hidrógeno, un electrón en un cristal, etc. La solución de Schródinger superó, por mucho, a la que proporcionaba la vieja teoría cuántica: podía ser aplicada a cualquier sistema aunque no fuese periódico, era capaz de predecir el orden de los conjunto de estas reglas de cuantización se le conoció como la vieja teoría cuántica.
21
22
CAPITULO 2. LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER
niveles de energía, las transiciones permitidas entre niveles de energía, las intensidades de las líneas espectrales, la vida medias de estos niveles, la interacción del átomo de hidrógeno con campos eléctricos y magnéticos, etc. A partir de ese momento y hasta la fecha, la teoría desarrollada por Schródinger a mostrado ser la muy exitosa para describir a los sistemas cuánticos (aquellos cuya acción es muy pequeña, comparable a la constante de planck h). Ha descrito exitosamente: átomos, moléculas, núcleos, cristales, semiconductores, etc. Incluso es capaz de describir sistemas muy complejos como los superfluidos, los superconductores, estrellas de neutrones, etc. La teoría cuántica se convirtió en la teoría de la materia, es la única capaz de predecir las propiedades de la materia tales como la compresibilidad la susceptibilidad eléctrica, coeficientes de transporte, la permitividad magnética de un material, y casi todas las propiedades de la materia. La teoría de Schródinger no es una teoría relativista2, por esa razón fue necesario desarrollar una teoría cuántica relativista, la que fue obtenida sólo un año después por P. A. M. Dirac la que resulta apropiada cuando no es posible despreciar los efectos relativistas3. Desde la ecuación de Schródinger, la teoría cuántica se ha desarrollado hasta conformar una teoría muy completa que en alguna de sus formas es aplicable a cualquier sistema cuántico. Para sistemas de muchas partículas, se desarrollo la teoría cuántica de muchos cuerpos; igualmente la teoría cuántica de campos, la electrodinámica cuántica, la teoría cuántica relativista, etc. En este capítulo describimos la interpretación para la función t/>, llamada función de estado4; aquí, adoptamos para la función de estado la interpretación estadística también conocida como la interpretación de Einstein
2.1.
Modelo atómico de Rutherford-Bohr
Desde fines del siglo XIX era sabido que todos los elementos de la tabla periódica mostraban espectros de emisión y absorción de radiación electromagnética muy característicos, a tal grado que cada elemento puede ser identificado por su espectro de emisión. Parte del espectro de emisión del hidrógeno en la región visible del espectro de radiación electromagnética, se ilustra en la figura (2.1). Esta serie se conoce con el nombre de serie de Balmer, además de esta serie el hidrógeno presenta otras series en las regiones infrarroja y ultravioleta (en conjunto reciben los nombres de Lyman, Balmer, Pashen, Bracket, Pfund,...). Empíricamente, J. J. Balmer y J. R. Rydberg lograron obtener una expresión algebraica simple que 2
La ecuación de Schródinger es invariante de Galileo, no es invariante de Lorentz. Cuando la energía de una partícula o sistema físico es comparable con su energía de masa me2. 4 En contraste a la llamada función de onda de la teoría de De Broglie. 3
2.1. MODELO ATÓMICO DE
RUTHERFORD-BOHR
23
X = 3646 A
6565 A
Figura 2.1: La serie de Balmer en el átomo de hidrógeno. .
reproducía con gran exactitud las frecuencias (o las longitudes de onda) de cada línea de las series radiativas del átomo de hidrógeno, cuya expresión es:
A
(2.1)
donde R es una constante llamada la constante de Rydberg, cuyo valor numérico es: R — l,097x 105cm~1 y n\ < n2 son números enteros; para cada valor de ni y n2 = ni + 1, n\ + 2, n\ + 3, ... ; se obtiene una de las series mencionadas, sin embargo no existía explicación alguna de la dinámica que subyace en estas series radiativas. En 1913 el danés N. Bohr propuso un modelo que trataba de explicar algunos de los hechos básicos de la dinámica que obedecían los electrones dentro de los átomos. Las ideas fundamentales que guiaba a Bohr eran los resultado de M. Planck, y A. Einstein de la cuantización de microsistemas, así como del modelo atómico de E. Rutherford. Bohr, siguiendo el resultado de Rutherford, consideró que el átomo tiene un núcleo que concentra casi toda la masa del átomo y posee toda la carga positiva, mientras que el electrón se mueve en el campo central que proporciona el núcleo atómico; a semejanza de un planeta orbitando al sol en un campo central. El electrón que es mucho más ligero que el núcleo interacciona con el núcleo por medio de la interacción coulombiana5 Ze2¡r donde r es la'distancia entre el núcleo y el electrón; más precisamente r representa la 5
Siguiendo la nomenclatura clásica y a la mayoría de los libros de texto en este tema asaremos también el sistema de unidades CGS.
24
CAPITULO 2. LA ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER
distancia entre el centro de masa del átomo y una partícula de masa reducida
M= ra + M,: .
(2.2)
N
e
Debido a que el movimiento del centro de masa y el movimiento relativo se pueden separar, la función lagrangiana de una partícula cargada e = — e0\ = —1,6 x 10~19C. y de masa reducida // ~ me = 9,1 x W~3lKg. sujeta a una interacción eléctrica del tipo V = -Ze2/r es:
. . . u .2 .2. .2 Ze2 L = L(x,y, z,x,y,z,t) = T- V = -(x +y + z ) H , £
T
(2.3)
el sistema de coordenadas generalizadas más apropiado para describir el movimiento es el esférico, en éste, la función lagrangiana toma la forma:
/ 2 .2 ,2\ £ = - í r + r 9 + r2sen2 0$ j - Y_( r )
(2-4)
/
\
con las siguientes ecuaciones de movimiento:
J
¿,
.2 —
ar
~Ov
_\_ urfl
^ _1_ IIT
.2
c&m^fyff)
T)
*2
j
—
9*
COz c;^
pe = p,r O
^ — ^Pe — A"" sen 0(1)
v -°/
= cíe. A pesar de que el movimiento clásico del electrón es en un plano (debido a que el momento angular relativo L = r x p se conserva) aquí consideraremos los tres grados de libertad 6 , con los momentos generalizados se puede construir la función de Hamilton: ^2
(2.6)
cuyas ecuaciones canónicas de movimiento serán: ' rr
dH
Pe
dH _ _ 96
6
fl
dr "~ pr^ ^ iasen2 9 /ir 2 sen3 9
_ dV_ dr
' __ dH __ pr ' '
í)p,
' »'
a _ dH.. - £1. dpe
(07}
La razón de esto se debe a que cuánticamente se requieren a los tres grados de libertad para describir el movimiento del electrón.
2.1. MODELO ATÓMICO DE RUTHERFORD-BOHR
25
Estas ecuaciones canónicas son la alternativa a las ecuaciones de Lagrange Esta función hamiltoniana tiene por ecuación de Hamilton-Jacobi la siguiente expresión:
i 2/i
dr
V(r) = cte = E
r2 sen2
\ 80 )
(2.8)
donde hemos puesto que ~- — PÍ, en este caso la primera constante de separación es la energía, es decir: ^
S = (r, 9, v?, «i, «2, «3; í) = W (r, 6», <¿j, «i, «2, a3) - £í •
La función 5" es la función principal de Hamilton y es también la acción clásica, W es la función característica de Hamilton, La ecuación (2.8) es a su vez separable en las variables r, (?, 0 de tal forma que podemos escribir que W (r, 9,0, aj) - Wr (r) + W6 (6) + W^ (0)
(2.9)
donde o,-, j = 1, 2, 3 son constantes; la ecuación de Hamilton-Jacobi se convierte en:
(dWr -r~ dr
_1
I (dWe
(2.10)
^ i r2— sen2o 0\
~í rz \-j¿dQ
donde hemos escrito derivadas totales en lugar de derivadas parciales, esta última expresión se puede escribir también como sigue:
\
(2.11)
el lado izquierdo es sólo función de r y O, mientras que el derecho es exclusivamente función de 0, ésto es posible sólo si:
d(f)
= p
(2.12)
f
es decir; el momento canónico p
es una constante. Nuevamente, arreglando tendremos que dWfi m (2.13) dO ) ' sen2 9 para que ésto se satisfaga necesitamos que
dW0\2 dO
(2.14)
sen2 9
£2 es una nueva constante de separación; la ecuación restante, para la variable r, es la siguiente, / WT/T/ \ ^ _
\ dr
/2 _
— <.
j.
— Cte.
tf\
-i r \
^¿.luj
26
CAPITULO 2. LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER
En resumen:
Pe =
m2
dW0 d9
V
dWT
sen2i
(E-V(r))-~
(2.16)
las constantes m, I y E tienen aquí el sentido de: proyección sobre el eje polar del momento angular, módulo del momento angular y la energía respectivamente, son las tres constantes de movimiento que hacen al problema soluble. Claramente, el movimiento • • en (j) y en 9 son periódicos (véase relaciones para p#, p^, 9 y 0), de tal forma que se pueden definir las variables de acción, J = § P d4> = § md
en esta última expresión es necesario que i > m para que JQ sea real, esto tiene el siguiente sentido físico, el momento angular es mayor o igual que cualquiera de sus componentes, los límites de integración para 9 serán aquellos valores para los cuales se anula el integrando, 0! = sen'1 (mi i} , 02 = TT - sen"1 (m/i) ,
(2.18)
resultando que
Jg = 2
>2
(£2-m2sen20)1/2d0 = 2^(£-m) .
(2.19)
Si las constantes m, i, E, y la función V (r) son tales que el movimiento en r es periódico, entonces podemos definir la variable de acción pra la coordenada r; Jr = 2 í
Jri
l
Jfy V
(E-V (r)} - -„ dr 2 r
(2.20)
donde r\ y r? son los valores de r que anulan el integrando, i. e., son los puntos clásicos de retorno del potencial efectivo. El problema de campo central que nos interesa es aquel donde, V = K/r (dependiendo del valor de K', podemos tener atracción gravitatoria K = —GMm o el campo eléctrico de una carga puntual K = e\a-i]\ en este caso, el movimiento periódico en la variable r corresponde a órbitas elípticas o circulares, i.e., energías negativas. Recordemos que r = \TI — r-2\ y que el movimiento del centro de masa ha sido separado. Para este caso r-2 r
/
i
\2n(E-K/r)-
«21 i/ 2
-\
r
dr
(2.21)
2.1. MODELO ATÓMICO DE RUTHERFORD-BOHR
27
con
« = 1,2 V
(2.22)
V
7
integral que se puede efectuar , resultando que -,
(2.23)
aquí Ejiebe ser negativa de lo contrario el movimiento no es periódico y Jr resultaría compleja. Sustituyendo el valor de i en términos de Jg y J<¿, dados por la ecuación (2.17) tendremos que H ( J r , Je, JJ = -
( Jr + Je +
, 2 =E
(2-24)
con el hamiltoniano en variables de acción podemos calcular las frecuencias dH
2
1
(Jr 8H
es decir vr — VQ — i/^, y la órbita es cerrada, cuando las frecuencias son iguales decimos que el sistema es degenerado. Por último la función generadora o función característica se puede finalmente calcular así: W = W (r, 6, , Jr, Je, J, Jr, Jg, J,p) = / (prdr + pede + p^} - E t.
(2.27)
Debemos hacer notar que el problema del campo central es soluble en el método de Hamilton-Jacobi gracias a que existen las tres integrales de movimiento: m, £, E, equivalentemente, que el movimiento es periódico y separable. Los modelo de Bohr-Wilson-Sommerfeld. La primera solución cuántica al problema del átomo de hidrógeno fue dada por N. Bohr (1913) y completada por Wilson y Sommerfeld (1916); consiste de dos postulados: 7
Véase por ejemplo la referencia [49].
28
CAPITULO 2. LA ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER
I) Las integral de acción para que un electrón permanezca en una órbita estacionaria (sin emitir radiacoón electromagnética) están cuantizadas;
Ji =
® Pidqi = Hih
(2.28)
II) Un electrón emite o absorbe un fotón de frecuencia uj cuando efectúa espontáneamente una transición entre dos estados estacionarios n y n bajo la ley de conservación de la energía híunn, = En- En,, (2.29) Sustituyendo la ecuación (2.28) en (2.24) obtenemos inmediatamente la expresión cuántica la energía E , E=—-•-•--3 (2.30) (nj + n2 + n3) La definición usual de estos números cuánticos es asi: a la acción Jr se le asocia el número cuántico principal n, a la suma de Jg + J^ se le asocia el número cuático azimutal K, y a la acción J^ se le asocia el número cuántico magnético m. Los números cuánticos n y K definen las órbitas elípticas del modelo de Wilson-Sommerfeld mientras que n con K = m = O define las órbiras circulares de Bohr ([12]), los radios que pueden tener las órbitas circulares se obtienen de la ecuación (2.23) y la ecuación para la cuantización de la energía, n2 fi?
Estas últimas ecuaciones implican que los únicos posibles estados electrónicos en un átomo hidrogenoide 8 tiene órbitas y energías discretas. Haciendo uso del segundo postulado es inmediato probar que o
ofc 2/r
H
i
2 [n7o
-- 2 o
n
ya que cu = kc, k = 2yr/A con k el número de onda knn> =
R
\_n'
-
~
n¿ \
(2.33)
la cual es la fórmula empírica de Rydberg-Balmer y este valor obtenido teóricamente para R coincide con la constante de Rydberg, dentro de los límites experimentales con que se determina.
R= Por átomo hidrogenoide entenderemos aquel que tiene un sólo electrón y una carga Ze en el núcleo
2.2. DIFRACCIÓN DE ELECTRONES
POR UN CRISTAL
29
El postulado de Bohr-Sommerfeld-Wilson puede explicar la fenomenología de las series radiativas muy apropiadamente. Posteriormente, como sucede muchas veces en la física, una vez que se resuelve un problema aparecen otros, este es un ejemplo típico de la metodología de las ciencias naturales: el primer señalamiento sobre estos postulados es que siguen sin explicar porque el electrón en una órbita permitida no radía y segundo, que la descripción que hacía del número cuántico magnético no era precisa. Si atendemos al postulado cuántico, en una órbita estacionaria la acción está cuantizada y la energía radiada o absorbida se realiza al, pasar entre órbitas permitidas (estacionarias); debemos entonces preguntar ¿Cuál es la dinámica que hace que la acción este cuantizada?, claramente no se trata de la mecánica de Newton. Análogamente podemos preguntarnos: ¿qué sucede con un sistema que no sea periódico en el cual no se puedan definir los variables de acción (llamados también invariantes adiabáticos)?, ¿por qué son estables las órbitas?, ¿cómo se pueden tratar otros átomos más complejos, como el Helio y otros con más electrones que no son periódicos y que no tiene las integrales de movimiento suficientes para poder resolver la ecuación de hamilton-Jacobi?, ¿cómo calcular las intensidades de las líneas espectrales?, etc. Podemos ahora adelantar que el postulado cuántico no resultó ser la nueva teoría que se estaba buscando; sin embargo, resulto útil para establecer el carácter cuántico de los sistemas microscópicos como átomos, moléculas, iones en cristales, etc.; los postulados de Bohr-Sommerfeld-Wilson validaban la idea del quantum de M. Planck y A. Einstein y además sirvió como un escalón hacia la teoría cuántica.
2.2.
Difracción de electrones por un cristal
Difracción de electrones por un cristal. En 1923 Davisson y Germer experimentaron con un haz de electrones que incidía sobre la superficie de un cristal, con lo que obtuvieron un patrón de dispersión de partículas muy parecido al patrón de difracción de un haz de rayos x por un cristal. La explicación a este experimento (no es la única ni la más conocida) la obtuvo W. Duane ese mismo año9 siguiendo las reglas de cuantización de la vieja teoría cuántica, postuló que la variable de acción se cuantiza ([55, 56, 57, 58]). En un cristal existe una periodicidad espacial, digamos que a lo largo del eje z, donde todos los planos cristalinos están igualmente espaciados por la distancia d; debido a la invariancia traslacional del cristal, un electrón del cristal tendrá momento pz en la posición z = ZQ idéntico que en la posición z = ZQ + d, de tal forma que el momento y la posición del electrón son periódicas y la variable de acción correspondiente es: ¿ pzdz = nh, 9
(2.34)
Detalles sobre este cálculo se pueden consultar en la ref.[12], este postulado fue refinado posteriormente por Compton, Epstein y Ehrenfest. Desafortunadamente esta hipótesis fue subestimada en esa época.
30
CAPITULO 2. LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER
Figura 2.2: Un electrón incide a un ángulo 0, con momento p sobre la superficie de un cristal, el periodo espacial del cristal es d, las parículas en el cristal tienen componente del momento lineal en la dirección z igual a pz. esta integral se efectúa sobre un periodo espacial e?, si el electrón es libre o cuasi-libre (momento lineal constante o casi constante) los únicos momentos permitidos por la regla de cuantización serán aquellos que cumplan con nh
(2.35)
Cualquier partícula que interaccione con este electrón podrá intercambiar momento de tal forma que el electrón del cristal quede en un estado permisible por la regla de cuantización, por lo tanto, el cambio en el momento del electrón del cristal será
h ,h = An- = n'-. d d
(2.36)
Por conservación de momento, el electrón incidente sufrirá en la colisión un cambio de momento (ver figura (2.2)) Ap = 2psen0 = n'-,, d
(2.37)
esta expresión puede arreglarse de la siguiente forma: n— = 2d sen 9, P
(2.38)
la cual es muy parecida a la ley de difracción de Bragg para rayos x 10 y que también cumplen los electrones difractados por el cristal; el resultado experimental obtenido por 10
La ley de difracción de Bragg se obtendría si escribimos que A = -, la cual es la hipótesis de L. De Broglie; nótese que en este caso no es necesaria dicha hipótesis y que si no definimos de esta forma a la longitud de onda A, basta con medir el momento de la partícula emergente para conocer el ángulo de difracción.
2.3. LA HIPÓTESIS DE SCHRÓDINGER
31
Davisson y Germer coincide muy bien con este resultado. Esto es, el experimento de Davisson y Germer es explicado satisfactoriamente por la hipótesis de Duane-Compton: Para un electrón en un cristal la variable de acción Jz está cuantizada en unidades de /i, la constante de Planck. Nuevamente la hipótesis de Duane-Compton se reduce a cuantizar la acción para un sistema que es periódico.
2.3.
La hipótesis de Schródinger
Resumiendo los resultados obtenidos hasta 1924, podemos asegurar que los experimentos de radiación de cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico, el calor específico de los sólidos a bajas temperaturas (ver capítulo 1), las líneas espectrales del átomo de hidrógeno, la difracción de electrones por un cristal, etc., podían ser explicados con la hipótesis de cuantización de las variables de acción. El paso lógico que seguía era preguntarse ¿cómo cuantizar a un sistema para el cual no pueden definirse variables de acción, i.e., sistemas no periódicos? como por ejemplo el átomo de helio o una molécula, en los que sus variables dinámicas no son periódicas. La respuesta llegó en 1926 con el trabajo de E. Schródinger [9]. Buscando las reglas para cuantizar la acción encontró la ecuación de movimiento de los sistemas cuánticos. La esencia del método de Schrodinger la describimos a continuación. Consideremos un electrón en el átomo de hidrógeno, separamos al movimiento del centro de masa y entonces, las coordenadas relativas obedecen la siguiente ecuación de Hamilton-Jacobi H(q, ~) = E, (2.39) q son los grados de libertad del sistema. Supongamos ahora que la acción S la escribimos en términos de una nueva función a determinar $( = $(z, i/, 2,0-!, 0-2,0:3)
(2.40) (2.41)
la constante K debe tener dimensiones de acción. Con esta forma para S podemos escribir la siguiente ecuación para los momentos generalizados,
*-?-» Para el hamiltoniano de un electrón en el campo central del protón obtenemos que la ecuación (2.39) se escribe como sigue o.
(2.43)
32
CAPITULO 2. LA ECUACIÓN DE
SCHRÓDINGER
m es (muy aproximadamente) la masa del electrón, e es su carga. Para encontrar a la función $ que proporciona la acción, Schródinger exigió que la integral sobre todo el espacio de la ecuación (2.43) sea extremal, i.e., que satisfaga el principio variacional: dxdydz = 0. (2.44) %
Este integrando tiene la siguiente forma: y,z,x,y,z)
(2.45)
donde hemos definido 9
<9
(9$
**=a? •»-£• *'=aí ;
<2'46'
5J = 6 í í í F($, $z, $„, $ 2 , x, y, z)dxdydz = O,
(2.47)
requerimos que
el cálculo de variaciones nos proporciona la siguiente condición sobre F($, X, 3>y, $z, x, y, z): para que se cumpla la ecuación (2.47) el integrando debe cumplir la ecuación diferencial de Euler-Lagrange u dF_ _ d_dF_ _ d_dF__ _
d_dF_
d$ dx d$x dy d$y dz d$z' Aplicando las ecuacioines de Euler-Lagrange a la ecuación (2.44) obtenemos la siguiente ecuación diferencial para la función $: 2
dx
dy
2
2m K
2
dz
además, para que la función tenga valor definido en la frontera (no tenga variación en la frontera del volumen de integración) debe satisfacer la siguiente restricción, $— dA = O, on
(2.50)
donde dA es el elemento de área en la frontera del volumen de integración. La ecuación (2.49) es la ecuación de Schódinger para el átomo de hidrógeno 12, es una ecuación 11
Para los detalles de este teorema consúltese los capítulo 9 y 11 de la referencia [30]. En el trabajo original de Schródinger la función se denota por 4", la razón es que Schródinger estaba motivado por la idea de ondas de materia de L. De Broglie que se denotaba de manera generalizada por $; sin embargo, en esta forma de plantear el problema la hipótesis de De Broglie no es necesaria. 12
2.3. LA HIPÓTESIS DE SCHRODINGER
„
33
de valores propios a la que deben imponérsele condiciones de frontera apropiadas: A la solución se le exige ser diferenciable, univaluada, finita y cumplir la condición de frontera (2.50). En el caso del átomo de hidrógeno, la solución a esta ecuación es posible solamente para funciones que se pueden identificar por un conjunto de valores de números enteros n, i, ra; éstos son las constantes de separación y son los números que cuantizan a la energía n, al momento angular i y la proyección z del momento angular m 13. La ecuación de Schródinger para el átomo de hidrógeno resultó ser la forma apropiada para describir al sistema cuántico mientras que el postulado de Bohr Sommerfeld y Wilson no lo era. La solución al problema de valores propios sólo es físicamente aceptable cuando hay un conjunto discreto de números cuánticos, parámetros de la función $, que la hacen ser univaluada, continua, diferenciable y cuadráticamente integrable14. Esta función llamada función de estado aportará el resto de la información física que se puede obtener del sistema en un estado estacionario. El método de Schródinger fue aplicado también al oscilador armónico en una dimensión con el siguiente operador de Hamilton ^L
H
1 ___ o
= *?>
K
+
9
2* '
obteniendo su función $(x) y su energía cuantizada 15 ,
2
2
.
(2.51)
De esta forma el postulado de Planck quedó totalmente justificado. Si la aplicamos a una red cristalina unidimensional en la dirección del eje z obtenemos la regla de cuantización de Duane para los electrones libres o cuasi-libres (ecuación (2.35))
P
nh
^T'
justificando a su vez el postulado de Duane-Compton. En esa época, muchos otros sistemas se pudieron describir con el método de Schródinger al menos aproximadamente, átomos de varios electrones algunas moléculas sencillas, se pudo también describir aproximadamentes los estados electrónicos en un cristal, etc. 13
No es sorprendente que estos números cuánticos no coincidan con los de la teoría de Bohr, Sommerfeld y Wilson debido a que proviene de un postulado diferente 14 La condición impuesta por la ecuación (2.50) se puede transformar a que la función sea cuadráticamente integrable en todo el espacio. 15 Esta cuantización de la energía no coincide exactamente con el postulado de Planck, difiere por un factor aditivo ^hv que resulta ser intracendente en cuanto a las transiciones entre estados. Sin embargo, el postulado de Planck no contiene el llamado punto cero de energía (n = 0) que si tiene relevancia en la teoría.
34
CAPITULO 2. LA ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER
El método de Schródinger consistió en definir operadores diferenciales para la función hamiltoniana y el momento lineal con la siguiente regla: r\
Px -» Pi = ~^a~'
(2.52)
H(r,p) ^ H = H(r,p).
(2.53)
Para el caso general, donde el potencial es sólo función de las coordenadas, el operador de Hamilton de una partícula se escribe como sigue: H = H(r, p) = -L(-¿W)2 + V(x, y, z ) , 2m
(2.54)
donde V es la función potencial que representa a la interacción a la que está sujeta la partícula. La ecuación de Schródinger es la que determina la dinámica de un sistema microscópico en un estado estacionario, nótese que el formalismo en el que se escribe la teoría cuántica es un formalismo hamiltoniano. De esta forma, la ecuación que describe, el estado estacionario de un electrón en el campo central del protón se escribe así: (2.55)
En el caso del átomo de hidrógeno, descrito por esta ecuación, fue muy satisfactorio al comparase con los resultados experimentales, cosa que no lograba la vieja teoría cuántica de Bohr, Sommerfeld y Wilson. Más aún, cuando se incluyen otros efectos: como el efecto de un campo magnético (efecto Zeeman), el de un campo eléctrico (efecto Stark), o el acoplamiento magnético debido a los momentos angular del electrón, del espín del electrón y del núcleo (estructura fina e hiperfina del átomo de hidrógeno), los resultados obtenidos por la ecuación de Schródinger comparan muy bien con los resultados experimentales. Esto hizo que se reconociera a la ecuación de Schródinger como la ecuación fundamental para sistemas cuánticos.
!
Para describir sistemas cuánticos que tienen dependencia temporal, en lugar de la ecuación (2.39) debemos partir de la correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi dependiente del tiempo, esa presentación la omitiremos aquí y la pospondremos para el siguiente capítulo, véase la sección (3.4); por ahora, sólo nos referiremos a ella como un resultado establecido ([9]). La ecuación de Schródinger dependiente del tiempo resultó ser H$ = ¿fcjU,
(2.57)
ella describe a un sistema que tiene una evolución temporal y por su exactitud para describir a los sistemas cuánticos fue elevada a nivel de principio fundamental de la
)?t •< 'J
2.3. LA HIPÓTESIS DE SCHRODINGER
35 Me
/
r
•
' ,. - •'-'(*•''
bvfl*""
1 fi
teoría cuántica .
Si la aplicamos a una partícula libre, aquella que no esta sujeta a interacción alguna/ %) J\? V(x,y,z) = O, I ^ ;^/
2m
I
dt
obtenemos como solución -i $ = A exp(—(£í - p • r))
(2.59)
de tal forma que
2m
'
2m í)
(2.61)
donde p2/2m y E" son los valores propios de esta ecuación. La ecuación (2.59) representa una onda plana monocromática con momento lineal p y energía E. El contenido del trabajo de Schrodinger estaba enfocado a obtener reglas generales de cuantización para la acción; sin embargo, en esta búsqueda Schrodinger obtuvo una ecuación (para una función relacionada con la acción) cuya solución correspondía a la de una ecuación de valores propios y la cuantización de una variable dinámica correspondía a los valores propios que suelen ser discretos, esta cuantización proviene de las condiciones de frontera para la función de estado y de sus condiciones de continuidad, finitud, derivavilidad y que debe ser cuadráticamente integrable. Muy poco tiempo después de la publicación de su primer trabajo fueron publicados varios mas, entre ellos destaca el que establece la ecuación dinámica fundamental para cualquier sistema cuántico, conocida como la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo ([9]). Esta ecuación resultó ser la ecuación fundamental de la teoría cuántica. Tan sólo un año después P. A. M. Dirac formuló la teoría cuántica para sistemas relativistas en los cuales la energía cinética de las partículas es muy grande comparada con su energía en reposo, dicha teoría se le conoce como la teoría cuántica relativista ([!]). Para fines de la década de los cuarenta y principios de la década de los cincuentas se obtuvo la versión cuántica para fenómenos electromagnéticos, es decir; la electrodinámica cuántica ([39]). Desde su establecimiento en 1926, la teoría cuántica mostró un excelente acuerdo con los resultados experimentales. Se convirtió en la teoría de la materia, esto es, es la única teoría capaz de predecir las propiedades de la materia tales como: coeficientes 16
Para sistemas de: partículas con espín, relativistas, electromagnéticos, etc. debe usarse la versión apropiada de la ec. de Schrodinger y el operador hamiltoniano debe incluir apropiadamente las variables que no tienen análogo clásico en el caso de que éstas existan.
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CAPITULO 2. LA ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER
elásticos, respuestas eléctricas (la función dieléctrica), coeficientes de transporte, calores específicos, magnetizabilidad y polarizabilidad, etc. Siguió entonces, una cascada de desarrollos tanto teóricos como experimentales que no ha cesado hasta la fecha, con los cuales el avance científico y tecnológico ha alcanzado una rapidez sorprendente. La teoría cuántica resultó ser una teoría muy exacta con un rango de aplicabilidad gigantesco, ha logrado espectaculares éxitos en una gran variedad de sistemas físicos: desde partículas elementales hasta sistemas muy complejos pasando por átomos, núcleos, moléculas, macromoléculas, sólidos cristalinos y amorfos, estrellas de neutrones, superconductores, superfluidos, etc. Todas estas subáreas de la mecánica cuántica han tenido un gran impacto en la ciencia y la tecnología y por lo tanto en la cultura moderna. Tomemos como ejemplo típico al transistor (1948), el transistor fue desarrollado gracias al conocimiento que se había alcanzado en los sólidos cristalinos, muchas de las propiedades físicas del transistor fueron concebidas antes de que fuera producido, es decir; el transistor fue, básicamente, un diseño teórico gracias a la teoría del estado sólido que ya estaba muy desarrollada en ese momento. El transistor cambió drásticamente la electrónica y todo su desarrollo. Este avance no paró ahí; gracias al propio desarrollo experimental generado en el estudio y producción del transistor, en 1970 surgió la microelectrónica, nuevamente con un gran impacto tecnológico y cultural. Este desarrollo continúa; actualmente, se investiga sobre nuevos sistemas cuánticos como por ejemplo electrones confinados en dos dimensiones (gases de electrones bidimensionales), puntos cuánticos (regiones muy pequeñas del espacio donde se pueden confinar unos pocos electrones), sistemas superconductores de alta temperatura crítica; todos ellos con propiedades eléctricas novedosas que permitirían construir nuevos dispositivos electrónicos: más rápidos más eficientes, más complejos y de menor consumo energético. Como el transistor hay muchos ejemplo de desarrollo tecnológico cuyo origen es directamente la investigación científica, en particular en la teoría cuántica. En los años recientes este desarrollo ha tomado una gran velocidad, pasa muy poco tiempo entre el resultado de la investigación pura y su correspondiente aplicación tecnológica.
2.4.
La interpretación de la función de estado .
De la ecuación de Schródinger (2.57) con las condiciones de frontera y las propiedades de la función $ se obtienen los niveles de energía que puede ocupar el sistema de estudio, éstos pueden asumir valores discretos o continuos, y como ya dijimos, concuerdan muy bien con los resultados experimentales para una gran cantidad de sistemas cuánticos. Sin embargo, es necesario asociar un significado físico a esta función llamada función de estado17. 17
En la interpretación de la función que haremos aquí le llamaremos función de estado. El nombre de función de estado se debe a que esta función corresponde a un estado posible en el espacio de Hilbert
2.4. LA INTERPRETACIÓN DE LA FUNCIÓN DE ESTADO
37
eje de incidencia
rejilla de difracción
Figura 2.3: Esquema que ilustra el experimento de difracción de neutrones por una rendija. En cada punto x de la pantalla colectora se toman 23 muestras, cada una de ellas durante 500 segundos, esto se hace para acumular estadística. El detector barre la pantalla tomando un total de 100 muestras para formar el espectro de difracción. Para interpretar a la función de estado recurriremos a un experimento moderno [65]; en éste, a un haz de neutrones se le hace incidir sobre una rendija para ser difractados18. La rendija se construye con vidrio de alto contenido de boro que tiene un gran poder de absorción de neutrones, el vidrio es pulido especialmente para obtener una rendija muy definida, el ancho de ella es d = 96//m. El haz de neutrones térmicos proviene del puerto de salida de un reactor experimental, es de muy baja energía, h/p ~ 19,3A, con p el momento lineal de las partículas del haz de neutrones. El flujo de neutrones es de unas decenas de neutrones por minuto y es cuasi-monoenergético; es decir, la distribución de momentos de las partículas en el haz es aproximadamente gaussiana con una desviación estandard muy pequeña, Oh ~ 0,7A El arreglo experimental se p ilustra en la figura (2.3). El detector de neutrones es un cristal BF3, se coloca sobre la pantalla colectora a una distancia x del eje de incidencia después de una rendija muy angosta de una cuantas milésimas de milímetro de ancho y es impermeable a neutrones, la pantalla se encuentra a 5m del difractor de tal forma que el ángulo sólido que cubre el detector es en el que está definido el operador hamiltoniano. También suele llamársele función de onda, debido a razones históricas relacionadas con la hipótesis de L. De Broglie. 18 También podemos hacer un anáslisis del experimento de Rutherford de la dispersión de partículas alfa por núcleos de oro, en ese experimento Rutherford establece un concepto estadístico, la sección transversal de dispersió (ver capítulo 1). Sin embargo, el experimento de difracción de neutrones resulta mas fácil de analizar desde el punto de vista conceptual.
CAPITULO 2. LA ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER
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Figura 2.4: Representación cualitativa del experimento de difracción de neutrones por una rejilla.. muy pequeño. En cada punto x de la pantalla se recogen 23 muestras independientes de 500 s cada una, haciendo un tiempo de muestreo total de AT = 11500 s = 192 minutos para cada posición x. Sobre la pantalla se efectúan 100 muestras iguales, de esta forma el tiempo total de muestreo para obtener el patrón completo resultó de 320 h ~ 13,3 días. El resultado del experimento se muestra en la figura (2.4). En el análisis de este experimento deben tomarse en cuenta los siguientes hechos: El tiempo necesario para obtener este patrón es de cientos de horas, con un flujo de neutrones de aproximadamente 30 neutrones por minuto, i. e., el patrón no lo forma una sola partícula. El patrón se forma con las partículas que van llegando al detector a lo largo de 192 minutos para cada punto de la muestra, las muestras en los puntos x\ y x-2 son totalmente independientes entre si, es decir, las 100 muestras en la pantalla pueden ser tomadas en desorden y mediar entre ellas un tiempo arbitrario (siempre que se mantengan las condiciones experimentales). El detector mide partículas individuales, esto es, no se detecta una fracción de neutrón y la probabilidad de que el neutrón interaccione con el detector y lo active es menor de 1, esta característica es la misma para cada punto de los 100 puntos de la muestra. Este experimento tiene una gran analogía con el experimento de Rutherford de la disperión de partículas alfa por núcleos de oro. Al igual que en ese experimento, aquí, el patrón observado en la pantalla se mide por su intensidad relativa, i.e., como la razón del número de partículas que llegan a la pantalla en la posición x por unidad de tiempo entre el número total de partículas que incidió sobre la rendija de difracción en la unidad de tiempo. La ecuación de Schródinger deberá describir este proceso de difracción, si la función de estado , esta asociada a las propiedades físicamente medibles del sistema, ella debe determinar, entre otras cosas, la intensidad relativa de la distribución de partículas sobre la pantalla, de ahí que parezca razonable asociar a la función $ con la probabilidad de que una partícula del haz incidente sea difractada a la posición x, de la
2.4. LA INTERPRETACIÓN
DE LA FUNCIÓN DE ESTADO
39
misma forma en que Rutherford definió y midió la sección de dispersión. Sin embargo, la función de estado puede ser una función compleja y la probabilidad W debe ser un número real, de tal forma que la cantidad que asociamos con la probabilidad de encontrar a una partícula del conjunto en la posición x al tiempo t es: W(x t) = |$(x,í)| 2 »
(2.62)
la cual es una cantidad positiva definida, y si la función de estado es cuadráticamente integrable la función $ es normalizable a la unidad, esto es, $*(x,t)$(x,t)dx
= l.
(2.63)
La variable x denota a todos las grados de libertad del sistema y la función de estado puede depender de parámetros del sistema como por ejemplo el ancho de la rendija y la energía del haz. La ecuación (2.62) que asocia una probabilidad con el modulo al cuadrado de la función de estado resulta funcionar muy bien al interpretar los experimentos con partículas que tienen un comportamiento cuántico, de ahí que sea necesario elevar esta relación a postulado dentro del formalismo de la teoría cuántica, esta discusión la dejaremos para el siguiente capítulo.
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2.5.
CAPÍTULO 2. LA ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER
Ejercicios
Aplicando las reglas de cuantización de Wilson-Sommerfeld calcular los niveles de energía para una partícula que se mueve en un potencial de la siguiente forma V(r) = -ma> 2 r 2 con r la magnitud del vector de posición de la partícula, m su masa y u; su frecuencia natural de oscilación en este potencial armónico.
