Liceo de Aplicación Dpto de Física F.P.O / f.p.o
APUNTES DE FÍSICA ( Hidrostática ) ( 3° Medio) Aprendizajes Esperados
- Definen operacionalmente el concepto de presión e identifican su correspondiente unidad S.I. - Caracterizan la presión ejercida por un líquido sobre el fondo y sobre las paredes laterales y cuantificarla cuantificarl a aplicando aplicando la relación P = d g h - Identifican el Principio de Pascal y justifican su validez tanto para líquidos como para los gases - Identifican Identifi can el Principio de Arquímedes Arquímedes y justifican justific an su validez vali dez tanto para líquidos como para los gases - Calculan Cal culan el empuje que recibe un cuerpo sumergido en un fluido , aplicando la relación E = d L v g - Señalan la condición necesaria para que un cuerpo flote en un líquido. - Resuelven problemas que se relacionen con los contenidos de los apuntes
O . F. Transversales: Desarrollo de habilidades de pensamiento y del trabajo en equipo FLUIDO: Un fluido es una sustancia que puede fluir, esto es escurre fácilmente. Cuando sometidos a la acción de fuerzas de intensidades muy pequeñas, los fluidos pueden cambiar de forma. Por lo tanto, el término fluido incluye los líquidos y los gases. Los líquidos ofrecen una resistencia muy grande a la compresión, en cuanto los gases son fácilmente compresibles. En el movimiento de un líquido existe roce entre sus moléculas y que es traducido por una magnitud denominada viscosidad .El agua posee viscosidad muy pequeña, por eso escurre fácilmente, en tanto el aceite posee una viscosidad mayor, esto es escurre con mas dificultad La parte de la Física que vamos a estudiar en esta unidad se llama Mecánica de los fluidos y puede ser dividida en dos partes: Fluido – Estática: estudia los fluidos en reposo Fluido – Dinámico: estudia los fluidos en movimiento Como el líquido más usado en la antigüedad era el agua, cuyo prefijo es hidro, se acostumbra a usar los nombres: Hidrostática: fluido – estática Hidrodinámica: fluido – dinámica. CONCEPTO DE PRESIÓN: Vamos a imaginar que tiene que clavar los dos clavos de la figura en una pared Si usted martilla los dos clavos contra la pared comprobara que el clavo con la punta más fina entrara con más facilidad Clavo A en la pared. Clavo B En las dos situaciones, las fuerzas que hagamos con el martillo son transmitidos por los clavos a la pared. Suponiendo que esas fuerzas sean iguales, por que el clavo con la punta más fina entra con más facilidad en la pared? La diferencia es que el tamaño de la superficie de contacto (región del clavo que se une con la pared) del clavo de punta más fina es menor que el tamaño de la superficie de contacto del clavo de punta más gruesa, esto es, el área donde la fuerza es aplicada es diferente en los dos casos. Podemos decir que el clavo puntiagudo entra en la pared con más facilidad porque la presión que el ejerce sobre la pared es mayor. CUANTO MENOR ES EL AREA DE APLICACIÓN DE LA FUERZA, MAYOR SERA LA PRESIÓN QUE EL CLAVO EJERCE SOBRE LA PARED Si usted usa dos clavos iguales comprobara que, cuanto mayor sea la fuerza aplicada, más fácilmente el clavo entrara en la pared, pues mayor será la presión. Cuanto mayor sea la fuerza aplicada, mayor será la presión De lo expuesto, podemos verificar que la presión es inversamente proporcional al área y directamente proporcional a la fuerza aplicada. Matemáticamente, definimos presión como el cuociente entre la intensidad de la fuerza aplicada sobre la superficie y el área de esa superficie. F
P = ------S
F COS Ф
P = --------------------------------S
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UNIDADES DE MEDIDA DE PRESIÓN Pascal (Pa) = n / m 2 Baria (ba) = dyn / m 2 0tras Unidades Centímetro de Mercurio: cmHg Milimetro de Mercurio: mmHg Atmosfera: Atmosfera: atm Milibar: mbar
Relaciones entre las Unidades 1 atm = 10 5 Pa 1 N/ m2 = 10 ba 1mmHg = 133,3 N/m2 1 mbar = 10 2 N/m 2
La presión es una magnitud escalar- Cuando queremos presiones grandes, los pesos deben ser distribuidos por las superficies de áreas muy pequeñas. Como ejemplo podemos citar: cuchillo, tijeras, alicates. Cuando pretendemos que las presiones sean menores, los pesos o cargas deben ser distribuidas en áreas de superficies muy grandes, como ejemplos podemos citar: esquiadores, camiones con varios neumáticos, tanques de guerra etc. Ejercicios 1.- Un paralelepípedo tiene dimensiones 5 cm x 10cm x 30cm y peso 60 N. Determine la presión que el ejerce en el plano de apoyo, en los siguientes casos: a) apoyado en la superficie de mayor área. b) apoyado sobre la base de menor área 2.- Un muchacho da un golpe de martillo que transmite al clavo una fuerza de 60 N. Sabiéndose que el área de contacto de la punta del clavo con la tabla es de 0,2 mm 2, cual es la presión ejercida por el clavo sobre la tabla. 3.- Sobre una superficie plana de área igual a 20 cm 2 actúa una fuerza de 30 N, formando un ángulo de 60 ° con la normal a la superficie. Cuál es la presión ejercida por esa fuerza4.-Un cuchillo esta romo, cuando se le saca filo, él pasa a cortar con más facilidad. Por qué eso ocurre. 5.- el área de contacto entre una aguja de vitrola y un disco es de 2,4 x10 – 3 cm. de diámetro. Sabiendo que la aguja ejerce una fuerza de 5 x 10 – 2 N. Calcula la presión ejercida por ella. Adopte π = 3,14. 6.- Una persona con un peso de 600 N y que calza un par de zapatos que cubren un área de 0,05 cm 2 no consigue atravesar una región nevada sin hundirse, porque esa región no soporta soporta una presión superior a 10000 N/ m 2. Responda: a) Cual es la presión ejercida por esa persona sobre la nieve. b) Cual debe ser el área mínima de cada esquí que esa persona debería usar para no hundirse. 7.- Una abeja consigue clavar su aguijón en el brazo de una persona, sin embargo la fuerza aplicada por el aguijón sea muy pequeña; porque ella consigue perforar la piel del brazo-
8.- Con cuál de esas herramientas es más fácil cortar un alambre. Porque?
DENSIDAD. Cuando, en un mismo lugar, comparamos cuerpos formados por sustancias diferentes, usamos la palabra pesado con un significado diferente del significado de masa o peso. Por ejemplo, cuando hablamos hablamos que la madera pesa
menos que el fierro, eso solo es verdadero si los dos cuerpos tuviesen volúmenes iguales y fuesen macizos. Caso contrario, la afirmación es falsa. Por ejemplo, un clavo de fierro pesa mucho menos que un banco de madera. Asi, para comparar masas o pesos pesos de sustancias sustancias diferentes, diferentes, debemos debemos comparar comparar cuerpos cuerpos con volúmenes volúmenes iguales iguales .Esa comparación es hecha a través de una magnitud llamada densidad. Cualquier cuerpo, homogéneo o no, posee una masa m y un volumen v olumen V . Se define densidad (d) o masa específica ( μ) de ese cuerpo como el cuociente entre la masa del cuerpo y su volumen d = masa especifica o densidad m d = ---------V
m = masa del cuerpo V = Volumen del cuerpo
En el S.I, la unidad de densidad es el Kg./m 3.También podemos usar gr. /cm 3 o Kg / lt La densidad indica la cantidad de masa que existe en una unidad de volumen. Por ejemplo, la figura muestra varios cubos de 1 cm 3 de volumen de sustancias diferentes
madera
cobre
corcho
fierro
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Si la densidad del cobre es 9 gr/ cm 3, esto significa que cada 1cm 3 tiene 9 gr de masa. Note que 1 cm 3 de fierro tiene una masa 39 veces mayor que 1 cm 3 de caucho .Por eso decimos que el fierro es 39 veces más denso que el caucho . La masa de un cuerpo depende de su tamaño: cuanto mayor el cuerpo, mayor es su masa. Por otro lado, la densidad no depende de las dimensiones del cuerpo , pero del tipo de sustancia que lo forma. Por ejemplo, la densidad del agua es siempre la misma , no importa si está en el vaso o en una botella .Cuando un cuerpo es homogéneo , esto es, constituido por una única sustancia, el término masa especifica ( µ)puede ser usado en lugar de densidad. densidad. La densidad varía con el cambio de temperatura y de la presión. En los sólidos y líquidos la variación es muy pequeña por ser casi incompresibles, y muy grande en los gases, que son bastante compresibles compresibl es . La densidad puede ser usada para identificar falsificaciones de metales nobles o piedras preciosas. Por ejemplo, a través de él es posible si un anillo es hecho de uno u otro metal. de oro ,o de otro otro metal PESO ESPECÍFICO: Se define como peso especifico de la sustancia que constituye un cuerpo al cuociente entre el peso del cuerpo y su volumen Ρ = peso especifico
P ρ = ---------V
P = peso del cuerpo V = volumen del cuerpo
En el S.I. la unidad de peso específico es el N/ m 3. Observe que el peso peso específico no es una magnitud característica característi ca de la sustancia, porque no solo depende de esta, pero depende también de la aceleración de gravedad g. Ejercicios 1.- La densidad del fierro es igual a 7800 Kg/ m 3 Que significado tiene ese número. 2.- Una sustancia tiene 80 gr de masa y volumen de 10cm3. Exprese la densidad de esa sustancia en gr/cm 3 y Kg. / m 3. 3.- Cual es en gramos, la masa de un volumen de 50 cm 3 de un líquido cuya densidad es igual a 2 gr. / cm 3 4.- Un bloque cúbico de concreto de arista a = 2 m tiene masa M = 56 Tn. determine en gr/ cm 3, la densidad media del bloque. 5.- Cual es el volumen de aluminio, en centímetros cúbicos, que corresponde a una masa de 20 Kg. (Adopte d al = 2,67 gr. / cm3) 6.- Cual es la densidad media de su cuerpo. Haga una aproximación de ese valor. 7.-Explique porque una balanza queda desequilibrada si el volumen de agua y el de óleo son iguales 8.- Una pieza maciza está hecha de oro de densidad 20 gr/ cm 3 y plata de densidad 10 gr/ cm 3. El volumen y la masa de esa pieza son respectivamente 625 cm 3 y 10 Kg. Cual es la masa del oro y de la plata contenida en esa pieza. 9.- Cual es la densidad de una mezcla homogénea en volúmenes iguales de dos líquidos de densidades 0,9 gr/ cm 3 y 0,6 gr/ cm3
LÍQUIDO PERFECTO O LÍQUIDO IDEAL : En el estudio de la Hidrostática consideraremos solo los líquidos ideales, aquellos que presentan las siguientes propiedades: a) son incompresibles, incompresi bles, esto esto es, su volumen permanece constante b) no presentan presentan roce entre las moléculas, esto es, es, la viscosidad es despreciable c) la fuerza que ejercen ejercen sobre una superficie es siempre perpendicular a ella
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Presión de una columna de Líquido: De la misma forma que los sólidos, los líquidos también ejercen presión sobre otros cuerpos debido a su peso Para obtener esa presión, consideremos esa presión, consideremos un recipiente que contiene un líquido de densidad d hasta una altura h , en un lugar donde la aceleración de gravedad es g
El líquido contenido en el recipiente tiene peso P y ejerce sobre el área de la base S del recipiente una presión p dada por: P P =--------=-------- S
mg p = --------S
dVg p = --------------------- -V h
p=dgh
Esa presión, debido solamente a la columna de líquido, es también llamada presión hidrostática y puede ser aplicada a un punto cualquiera del líquido contenido en el recipiente. Esta expresión muestra que la presión ejercida por un líquido en el fondo y en las paredes del recipiente o sobre cualquier superficie en su interior depende: De la profundidad h: cuanto mayor la profundidad, o sea, cuanto mayor la altura de la columna del líquido sobre la
superficie considerada, mayor la presión ejercida por el líquido. De la densidad d del líquido: para una misma profundidad,
la presión es mayor en el líquido de mayor densidad (la columna de líquido pesa más) De la aceleración de gravedad g: cuanto mayor es la
aceleración de gravedad del lugar, mayor será la presión ejercida por el líquido La figura del lado muestra que el alcance del jarro de agua depende de la altura del orificio, debido a la presión ejercida por el líquido.
Si tenemos, por ejemplo, tres líquidos no mezclables Dentro de un mismo recipiente, la presión en el fondo será la suma de las presiones parciales que cada líquido ejercerá individualmente. P fondo = P A + PB + PC → P fondo = d A gh A + dBghB
dCghC
El estudio de la presión debida a los líquidos es muy utilizado en la construcción de submarinos y en la seguridad de los buceadores
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Ejercicios 1.- Los recipientes de la figura contienen agua. Las alturas de las columnas de agua son iguales en todos los recipientes.
a) la presión en el fondo de esos recipientes es igual? b) el valor de la fuerza que actúa en el fondo de cada recipiente es la misma? 2.- Cuál es la presión que ejerce ejerce en su base una columna de agua con 8 cm de altura. Considere g = 10 m/s 2 y d agua 3 3 = 1 x 10 Kg/ m 3.-En la figura, tenemos un frasco lleno de agua Determine la intensidad de la fuerza ejercida en el fondo del frasco por el agua en el contenida d Agua = 10 3 Kg/m3; y g = 10 m/ s2.
Volumen = 600 cm 3
4.-El barril de la figura está lleno de óleo. La densidad absoluta del óleo es 0,8 gr. / cm 3 y el diámetro de las bases mide 60 cm. a) Cuál es la presión ejercida en la base base inferi inferior. or. b) Cuál es la fuerza ejercida sobre la base inferior. c) 5.- Las dimensiones de una piscina de fondo plano horizontal de un club social son: largo = 25 metros, ancho = 10 metros. Se sabe que el agua que la llena ejerce una fuerza F = 4,5 x10 6 N en su fondo. Determine la profundidad de esa piscina (d agua = 1 gr/ cm 3; g = 10 m/ s 2) 6.- Observe la pared de la represa indicada en la figura. Porque esa pared fue construida en ese formato.
7.- Calcule la presión que los líquidos mercurio y agua ejercen en el fondo del recipiente de la figura. dHg = 13,6 gr/cm 3; d agua = 1 gr/ cm 3 g = 10 m/s2.
8.- El recipiente indicado en la figura contiene tres líquidos no mezclables en equilibrio. Calcule la presión debido a esos tres líquidos en el fondo del recipiente (d óleo = 0,8 gr/cm gr/cm 3; d Hg. = 13,6 gr. /cm 3 h1 = 10 cm.; h 2 = 20 cm.; h3 = 30 cm.)
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9.-Los recipientes de la figura contienen óleo y agua la densidad del óleo es 0,8 gr. / cm 3 y la del agua 1 gr. /cm 3 Que altura h debe tener la columna de óleo para ejercer la misma presión que la columna de agua. PRESIÓN ATMOSFERICA: En torno a la Tierra existe una cámara de gases llamada atmósfera, Ella está compuesta por una mezcla gaseosa cuyos principales componentes son el oxígeno y el nitrógeno. Aproximadamente el 90% de todo el aire que rodea a la Tierra se encuentra debajo de 18000 metros. Como el aire está formado por moléculas y esas moléculas tienen masa, entonces el aire tiene peso. Por lo tanto atmosférica ejerce presión sobre toda la superficie de la Tierra Esa presión es llamada presión atmosférica Presión atmosférica es la presión que la atmósfera ejerce sobre la superficie de la Tierra
La presión atmosférica depende del peso del aire .Por eso, cuanto menor sea la espesura de la atmósfera, menor será su presión y vice- v ersa. La presión atmosférica en la ciudad de Calama localizada a más 2500 m sobre el nivel del mar, por ejemplo es menor que la presión atmosférica en Valparaíso que está a nivel del marEXPERIENCIA DE TORRICELLI: En 1643 para medir la presión atmosférica al nivel del mar, Torricelli realizo la siguiente experiencia: Usando un tubo de vidrio de aproximadamente un metro de longitud, es completamente lleno mercurio, luego invertido es sumergido en un recipiente también conteniendo mercurio, abrió, en seguida, el extremo extremo que había tapado, para que el mercurio escurra hacia el recipiente. Se verifico, entonces que el mercurio descendió en el tubo y se estabilizo a una altura del orden de los 760 mm en relación a la superficie del recipiente. Como los puntos A y B estaban al mismo nivel en un líquido en equilibrio, Torricelli concluyo que la Presión que el aire ejerce sobre la superficie libre del mercurio en el recipiente es igual a la presión de los 760 mm de mercurio contenido en el tubo. Luego: P A = PB → P A = P ATM
vacio
Presión de la columna del líquido( H g ) P Atm
P ATM = d g h Pero:
d = 13,6 x 10 3 Kg. / m3 g = 9,8 m/ s2 h = 0,760 m
Por lo tanto P ATM = 13,6 13,6 x 10 3 9,8 0,760 → 1,01 x 105 N/m2 La presión atmosférica equivale a la presión ejercida por una columna de Mercurio de 760mm de altura. Tenemos las siguientes unidades de presión P ATM = 760 mmHg o 76 cmHg Ese valor, llamado atmósfera (atm), es utilizado como unidad de presión P ATm = 1 Atm = 76 cmHg = 760 mmHg Volviendo a la experiencia de Torricelli, observe que, en la parte superior del tubo invertido, queda una región sin aire: el vació, Si hiciéramos un agujero en esa parte, el aire entra y la presiona a la columna de mercurio, haciéndola descender hasta alcanzar el nivel del mercurio del recipiente. En este curso utilizaremos el valor aproximado P ATM = 1 x 10 5 N/m2 = 1 atm. Si la presión atmosférica es igual a 1 normal. atm es llamada presión normal.
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Problemas vacío
1.- Cual es la causa de la presión atmosférica 2.- En 1648, Pascal realizo en público, varias experiencias con la intención de investigar la presión atmosférica. En el transcurrir de las experiencias verifico que la misma presión atmosférica que equilibraba una columna de agua de 10 m de altura es capaz de equilibrar una columna de vino tinto de 15 m de altura a) Calcule la razón d agua / d vino entre las densidades (d agua) y del vino (d vino) usados en las experiencias b) Si el vino hubiese sido entregado por un comerciante deshonesto que le agrego agua el resultado sería una columna de vino mezclado mayor, igual o menor de la de 15m justifique su respuesta respuesta..
3.- La experiencia conocida como la Experiencia de Torricelli realizada por primera vez en 1643 comprueba que la presión atmosférica a nivel del mar es igual a la presión presión ejercida por una columna de mercurio de 76 cm. de altura. En esa misma época. Pascal suponiendo que el resultado debería depender de la altitud, pidió a su cuñado que realizase la experiencia en una montaña, en un punto situado a 1000 m sobre el nivel del mar. De hecho la columna de Mercurio Mercurio descendió 8 cm. en relación a la altura obtenida a nivel del mar, comprobando la suposición suposición de Pascal. Cuál era la presión en lo alto de la montaña, en N / m 2 Considere la masa especifica del mercurio igual a 13,6 Kg /m 3 y la aceleración de gravedad, 9,8 m/ s 2. 4.- Porque el volumen de un balón varia cuando el sube. A una altura muy grande, el balón puede reventar ¿Por qué’? 5.- Es más difícil respirar a gran altura que a nivel del mar. Por qué? 6.- Imagínese tomando un jugo con una bombilla: a) Que hacemos al aspirar b) Porque el jugo sube por la bombilla c) Es posible tomar el jugo de esa manera en la Luna.
LEY DE STEVIN: Sea un líquido de densidad d en equilibrio en un recipiente cualquiera, y A y B y dos puntos cualesquiera del líquido. Las presiones hidrostáticas en los puntos A y B son: P A = d g h A y PB = d g hB La diferencia de presión entre esos dos puntos es: PB
-
P A = d g hB - d g h A → PB - P A = d g (hB - h A)
PB - P A = d g h o
PB = P A + d g h
Puntos situados en un mismo nivel de un líquido Soportan la misma presión: PB - P A = d g h → PB - P A = 0 (pues h = 0)
PB = PA
En base a esa conclusión, se puede comprobar que la superficie libre de un líquido en equilibrio es siempre plana y horizontal, pues todos sus puntos soportan la misma presión, debiendo entonces estar en el mismo nivel.
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La presión en un punto situado a una profundidad h en el interior de un líquido en equilibrio está dada por la presión en la superficie ejercida por el aire (P atm) Mas la presión ejercida por la columna del líquido situada sobre el punto (dgh)
Luego:
PB = P A + d g h →
PB = PAtm + d g h
La presión en el punto B es llamada presión absoluta o presión total . EJERCICIOS: 1.- Determine la presión total en un punto situado 4 m bajo la superficie del agua en una piscina (g = 10 m/s 10 5 N/m3 y d agua = 1 gr. /cm 3)
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Patm = 1 x
2.- Determine la presión absoluta en un punto situado a 6 m bajo la superficie del mar en un lugar donde la aceleración de gravedad es 10 m/ s 2. Densidad agua de mar = 1,03 Kg/ m 3 y Patm = 1 x 105 N/m2. 3.- Un buzo respira bajo el agua por medio de un tubo unido a la atmósfera .Si él estuviera nadando a la profundidad de 1 m, cuál será la diferencia de presión aproximada que sus pulmones experimentaran (d agua = 1000 Kg / m 3) 4.- Sumergido en un lago, un buzo constata que la presión absoluta en el medidor que se encuentra en su muñeca corresponde a 1,6 x 106 N/m2 Un barómetro indica que la presión atmosférica local es 1 x 10 5 N/m2. Considere la masa específica del agua como 1 x 10 3 Kg/m3 y la aceleración de gravedad 10 m/s 2. Calcule la profundidad, en relación a la superficie en que el buzo se encuentra. VASOS COMUNICANTES: Vasos comunicantes son dos o más recipientes unidos por un conducto. Si los vasos son abiertos y contienen un único líquido:
Las alturas de las columnas líquidas en todos los vasos son iguales , porque la presión en la superficie libre de cada una de ellas es la presión atmosférica Puntos a una misma profundidad soportan presiones iguales , esto es, las superficies horizontales son isobáricas
Aplicación Aplicación 1.- Los vasos comunicantes de la figura contiene líquidos que no se mezclan 1 y 2 en equilibrio. Sabiendo que d 1 = 1,2 gr/ cm 3 d2 = 0,8 gr/ cm 3y h2 = 3cm calcule h1.
2- En los vasos comunicantes de la figura, el líquido A tiene densidad 5 gr/ cm 3. Determine la densidad del líquido B.
3.- La figura muestra un tubo en U abierto contiene agua y óleo . Las alturas están indicadas en la figura, determine la altura X de la columna de óleo. d agua = 1 gr/ cm 3 d óleo = 0,91 gr/cm 3
4- En el tubo en U de la figura, de extremos abiertos Se encuentran dos líquidos ideales, de densidades 0,8 gr/cm 3 y 1 gr/ cm 3. El desnivel entre las superficies libres de los líquidos es h = 2 cm. Calcule las alturas h1 y h2.
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PRINCIPIO DE PASCAL: PASCAL : Cuando ejercemos presión sobre un cuerpo sólido, ésta se transmite en forma desigual en diversas direcciones por causa de la fuerte cohesión que otorga al sólido su rigidez. En un líquido la presión se transmite igualmente en todas las direcciones, debido a su fluidez Para demostrar el teorema de Pascal, consideremos dos puntos A y B en el interior de un líquido incompresible en equilibrio, de densidad absoluta d, en un lugar de aceleración de gravedad igual a g La diferencia de presión entre los puntos A y B es: P A - PB = dgh (1) Aumentando Aumentando la presión presión en los puntos puntos A y B por un proceso proceso cualquiera, cualquiera, los puntos puntos A y B sufrirán sufrirán un aumento aumento de presión ∆P A y ∆PB, tal que las presiones pasen a P’ A y P’ B
P’A = P A +
∆
P’ B = PB +
PA P
∆ B
Como el líquido es incompresible, la distancia entre los puntos A y b continúa igual. Luego: P’ A A - P’B = dgh → (P A + ∆ P A)) – (PB + ∆PB) = d g h Haciendo (1) = (2) tenemos P A – PB = P A + ∆ P A – PB - ∆ PB
(2) →
∆P A = ∆PB
Por lo tanto, podemos enunciar: TEOREMA DE PASCAL “El aumento de presión ejercido en un punto de un líquido ideal en equilibrio se transmite integralmente a todos los puntos de ese líquido y a las paredes del recipiente que lo contiene” El principio de pascal es usado en elevadores o gatas hidráulicas, en las jeringas de inyección, en los frenos hidráulicos de los automóviles. PRENSA HIDRAULICA : La prensa hidráulica es una de las aplicaciones del teorema de Pascal. Consiste en dos cilindros verticales, de secciones diferentes A y B unidos por un tubo en cuyo interior existe un líquido que sustenta dos émbolos de áreas S 1 y S2. Si aplicamos en el émbolo menor una fuerza de intensidad F 1 ejerceremos un aumento de presión sobre el líquido dada por: F1
∆ P = ---------
S1
Por el teorema de Pascal, ese aumento de presión se transmite íntegramente a todo los punto del, inclusive aquellos en contacto con el émbolo mayor. Por lo tanto: F2
∆P = ----------
S2 Igualando las dos expresiones se tiene: F1 F2 -------- = -------S1 S2 Observe que la prensa hidráulica tiene, como resultado de la aplicación de F 1, una fuerza F 2 mayor que F 1, pues S2 es mayor que S 1. Ejercicios: 1.- Las ramas de una prensa hidráulica tienen áreas iguales a S 1 = 20 cm2 y S2 = 50 cm2. Es ejercida sobre el émbolo menor una fuerza F 1 = 10 N a) Cuál es la fuerza transmitida al al émbolo émbolo mayor b) Que altura se eleva el émbolo émbolo mayor si el el menor desciende 0,6 m
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2.- El barril de la figura está completamente lleno de vino. Que ocurrirá cuando golpeamos una de los tapones.
3.- La figura muestra dos jeringas unidas por un tubo de de caucho lleno de agua. Empuje primero el émbolo A. cuando empuja el émbolo de mayor sección
4.- Una gata hidráulica tiene dos pistones de 2cm y 10 cm de diámetro a) Determine la fuerza que debe ser aplicada sobre el pistón menor para levantar un cuerpo de peso 40 N colocado en el pistón mayor b) Determine la altura que se elevara el objeto cuando el pistón menor se desplaza desplaza 25 cm. 5.- Una gata hidráulica, representada en la figura es construida para sostener sostener vehículos vehíc ulos de 3 toneladas de masa en una plataforma de área A 1 = 3 m2. Determine el módulo de la fuerza F que debe ser ejercida en el otro extremo de área A 2 = 250 cm 2, para que él pueda funcionar adecuadamente 6.- Cuanto deberá medir en cm 2, el área de la sección del émbolo de una prensa hidráulica, sabiendo que la del émbolo mayor es de 1 m 2, para que la fuerza aplicada sea multiplicada multiplic ada por 1000. 1000. 7.- La figura muestra que es necesario ejercer una fuerza F sobre el pistón para mantenerlo en equilibrio. La presión del aire dentro de la jeringa es mayor, menor o igual a la presión atmosférica. Justifique 8.- Una prensa hidráulica, que contiene un líquido incompresible, posee dos ramas con áreas que están en la razón de 1/5. Se aplica al émbolo menor una fuerza de 2 N. Determine la fuerza ejercida en el émbolo mayor. embolo de
9.- El diagrama de la figura muestra el principio del sistema hidráulico del freno de un automóvil . Cuando una fuerza de 50 N es ejercida en el pedal, cual es la fuerza aplicada por el émbolo de 80 mm 2 de área.
embolo de
articulación
PRINCIPIO DE ARQUÌMIDES Se cuenta que Arquímedes tuvo la intuición del principio que lleva su nombre cuando, durante un baño, sintió que su peso se “alivianaba “cuando se sumergía en el agua. El teorema de Arquímedes puede ser enunciado de la siguiente manera : “ Un fluido en equilibrio equilibrio actúa sobre un cuerpo dentro de él sumergido ( parcial o totalmente) totalmente) con una fuerza vertical orientada de abajo hacia arriba , llamada empuje , aplicada en el centro de gravedad del volumen desplazado , cuya intensidad es igual a la del peso del volumen desplazado”
Imaginemos en el interior de un líquido en equilibrio, una porción de ese líquido cuyo peso sea P L. Las fuerzas hidrostáticas hidrostátic as con que el resto del del líquido actúa sobre la porción considerada, deben equilibrar el peso de la porción porción líquida PL (Fig. 16a). La resultante de todas esas fuerzas hidrostáticas es llamada empuje y está representada por E (Fig. 16 b): Así: (1) E = PL
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Si sumergimos en el líquido un cuerpo sólido de forma y volumen idénticos a los de la porción considerada, no se alteran las condiciones de equilibrio para el líquido. Entonces, las fuerzas hidrostáticas cuya resultante es el empuje E tenderán a equilibrar el peso del líquido (PL ) que ahora fue desalojado por el cuerpo. En la situación presente, sin embargo, el empuje E estará actuando sobre el cuerpo sólido, pudiendo o no, como veremos, equilibrar el peso del cuerpo PC (Fig. 17). Desarrollando la igualdad (1), según la cual el empuje tiene intensidad igual a la del peso del líquido desalojado por el cuerpo, obtenemos: E = PL = mL g Como mL = dL vL ( dL : densidad del líquido y V L : volumen del líquido desplazado)
E = dL VL g
(2) Formula del empuje
Para poder comparar, en las situaciones que analizaremos a continuación, la intensidad del empuje con la intensidad del peso del cuerpo, vamos a desarrollar esta última para obtener una formula semejante a la del empuje. Así, siendo mC la masa del cuerpo, V C el volumen del cuerpo y d C la de su densidad, tenemos: PC = mC g PC = dC VC g
(3)
Vamos, entonces, admitir que un cuerpo sólido sea totalmente sumergido en un líquido. Pueden ocurrir tres casos: 1° Caso: Caso: El cuerpo es más denso que el líquido ( d C > dL ) Como el cuerpo está totalmente sumergido, el volumen del líquido desplazado V L es igual al volumen del cuerpo V C (Fig 18) . Así: VL = VC = V Las formulas (2) y (3 ) , que dan las intensidades del empuje y del peso del cuerpo , se tornan E = dL V g
PC = dC V g
como dC > dL , resulta :
PC > E
En consecuencia, el cuerpo queda sujeto a una resultante vertical con sentido de arriba hacia abajo, denominada “ peso aparente “ , cuya intensidad está dada por :
Pap = PC - E Habrá equilibrio cuando el cuerpo este en reposo en el fondo del recipiente. 2° Caso: el cuerpo tiene densidad igual a la del líquido ( d C = dL ) El volumen del líquido desplazado V L es igual al del volumen del cuerpo V C ( Fig 19 ) : VC = VL = V Comparando las formulas (2) y (3) (3 )
E = dL V g PC = dC V g
concluimos que las intensidades del peso del cuerpo y del empuje son iguales , pues las densidades son iguales ( d C = dL ):
PC = E En consecuencia, la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es nula .Habrá equilibrio, cualquiera sea la profundidad en que el cuerpo está totalmente sumergido. Podemos decir que el peso aparente es nulo:
Pap = 0
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3° caso : el cuerpo es menos denso que el líquido ( d C < dL ) Consideremos un instante en que el cuerpo está totalmente sumergido (Fig. 20). El volumen del líquido desplazado VL es igual al volumen del cuerpo V C V C = VL = V Comparando las formulas (2) y (3) ,
PC < E
E = dL V g PC = dC V g
(pues dC < dL )
Por consiguiente, el cuerpo queda sujeto a una resultante vertical con sentido de abajo hacia arriba, llamada “fuerza ascensional “, cuya intensidad está dada por:
Fasc = E – PC Cuando el cuerpo alcanza la superficie libre del líquido, a medida que él sale del líquido (emerge) va disminuyendo el volumen del líquido desplazado y, en consecuencia, la intensidad del empuje se va haciendo menor. El equilibrio ocurre ( Fig 21) cuando la intensidad del empuje se torna igual a la intensidad del peso del cuerpo E = PC Observe en la figura 21, que el volumen del líquido desplazado (sombreado) VL es menor que el volumen del cuerpo V C . Considerando las formulas del empuje y del peso del cuerpo: E = dL VL g PC = dC VC g Por lo tanto
dL VL g = dC VC g
dL VL = dC VC
Note además, que el punto de aplicación del empuje ( centro de gravedad del líquido desplazado) no coincide con el punto de aplicación del peso del cuerpo ( centro de gravedad del cuerpo) No obstante , en la situación de equilibrio , las líneas de acción de las dos fuerzas están en la misma vertical . En la fig.21, el empuje y el peso fueron ligeramente desplazadas de su posición real , para evidenciar más nítidamente sus diferentes puntos de aplicación . En conclusión, siempre que un cuerpo es sumergido en un líquido más denso, ese cuerpo queda en equilibrio flotando parcialmente sumergido. La resultante que actúa sobre el cuerpo es nula, de modo que las intensidades del empuje y del peso del cuerpo son necesariamente iguales:
E = PC Ejercicios 1.- Una gota de óleo de masa 0,16 gramos y volumen 0,40 cm 3 está en equilibrio en el interior de un líquido con el cual no se mezcla . Determine: a) La densidad de ese líquido b) La intensidad del empuje sobre la gota 2.- Una esfera de masa 0,50 gramos y volumen 1 x 10 -3 m3 está en equilibrio cuando está totalmente sumergida en un líquido .Determine la densidad del líquido y la intensidad del empuje con que el líquido actúa sobre el cuerpo. 3.- Un cuerpo de volumen 2 x 10-4 m3 está totalmente sumergida en un líquido cuya masa específica es 8 x 10 2 kg/m3 . Determine la intensidad del empuje con que el líquido actúa el cuerpo. 4.- Un cuerpo macizo pesa, en el vacío 15 N Cuando está totalmente sumergido en agua, presenta un peso aparente de 10 N . Siendo la densidad del agua 1 x 10 3 kg/m3. Determine la densidad del cuerpo. 5.- Dos cubos de volúmenes iguales pero de materiales diferentes están completamente sumergidos en agua, a una profundidad de 10 metros y el otro a una profundidad de 20 metros ¿Cuál de los dos está sujeto a un empuje de mayor intensidad .
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6.- Un cuerpo de volumen 50 cm 3 y masa 75 gramos está totalmente sumergido en agua de densidad igual a 1 gr/cm 3 Determine la intensidad del peso del cuerpo, del empuje que sufre y del peso aparente (1 cm 3 = 10-6 m3) 7.- Un sólido de densidad D = 5 gr/cm está inmerso en agua densidad 1 gr/cm 3. Suponiendo la aceleración de gravedad igual a 10 m/s 2 , determine la aceleración de caída de este sólido en el interior del agua . Desprecie la resistencia que el líquido ofrece al movimiento. 8.- Un cuerpo inmerso totalmente en agua, cae con una aceleración igual a la cuarta parte de la aceleración de gravedad .Determine la densidad de ese cuerpo en relación al agua . 9.- Un pedazo de madera, cuya densidad es 0,80 gr/cm 3, flota en un líquido de densidad 1,2 gr/cm 3. El volumen de la madera es de 36 cm 3. Determine la masa de la madera y el volumen del líquido desplazado. 10.- Un bloque de madera cuya densidad es de 0,80 gr/cm 3 flota en un líquido de densidad 1,5 gr/cm 3. Determine la masa del bloque y el volumen del líquido desalojado, sabiendo que el volumen del bloque de madera es 120 cm3. 11.- Un sólido flota en un líquido con las tres cuartas partes de su volumen sumergido. Siendo 0,80 gr/cm 3 la masa específica del líquido , determine la densidad del sólido. 12.- Calcule la relación entre el volumen sumergido y el volumen total de un objeto macizo de densidad 0,50 gr/cm que flota en un líquido de densidad 2 gr/cm 3 .
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13.- Un cuerpo flota en el agua con sólo 1 /10 de su volumen sumergido. Siendo la densidad del agua igual a 1 gr/cm3 . Determine la densidad del cuerpo. 14.- Un cuerpo sólido flota en agua pura con 1/5 de su volumen sumergido. El mismo sólido flota en aceite con un 1/4 de su volumen sumergido. Si la densidad del agua es 1 gr/cm 3, determine la densidad del aceite. 15.- Un trozo de hielo flota en el agua con el 90 % de su volumen sumergido en está. Calcule la densidad del hielo. 16.- Una persona de 80 kg viaja en una canoa de 50 kg a través de un lago ¿Qué volumen de la canoa se sumerge en el agua? 17.- Una piedra tiene un peso de 120 N y ocupa un volumen de 0,004 m 3. Si se halla en el fondo de una piscina con agua . ¿Con qué fuerza estará presionando el fondo? 18.- Un bloque de aluminio cuyo volumen es de 0,1 m 3 se encuentra completamente sumergido en agua. El bloque está suspendido por medio de un cable. Calcule: a) La masa y el peso del bloque de aluminio b) El empuje que ejerce el el agua c) La tensión en en el cable cable 19.- Un iceberg flota con el 10% de su volumen con ¼ de su volumen sobre el nivel del mar. Sabiendo que la densidad del agua del mar es 1,04 gr/cm 3 , cual es la densidad del hielo
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