MECANICA DE FLUIDOS-HIDROSTATICA INTRODUCCION
2. FLUIDOS EN EQUILIBRIO
En el presente capitulo nos abocamos al estudio de las propiedades de los fluidos (líquidos y gases) en reposo y en movimiento. Describiremos la densidad y la presión de los fluidos que nos llevan a la noción de flotabilidad. Dado que el movimiento interno de los fluidos es muy complicado, nos limitaremos a las consecuencias de la conservación de masa y energía para fluidos en movimiento
La condición necesaria para que un fluido se encuentre en equilibrio es que sus fronteras solo experimenten fuerzas normales. Es decir un fluido en equilibrio se encuentra bajo la acción de tensiones normales únicamente. Cualquier esfuerzo cortante o tangencial producirá el deslizamiento del fluido sobre sus fronteras y éste entonces, fluirá.
1. FLUIDOS Se denominan fluidos a aquellas sustancias entre cuyas moléculas las fuerzas de cohesión intermolecular son muy débiles o no existen, por lo cual dichas moléculas se pueden deslizar unas sobre otras y desplazarse con relativa independencia como en el caso de los líquidos o moverse a grandes velocidades generando fuerzas de repulsión entre moléculas como en el caso de los gases. A diferencia de los sólidos, los fluidos no son capaces de sostener esfuerzos cortantes de allí que no ofrecen resistencia a los cambios de forma y suelen gotear o escurrirse a través de orificios o conductos; en particular los gases se filtran por pequeñ pequeños os poros poros o se difund difunden en en los sólido sólidos. s. Como el fluido es completamente deformable, toma la forma de su recipiente. Este ejerce una fuerza sobre él, que debe ser normal a la superficie, porque cualquier componente tangencial ejercería una fuerza cortante sobre el fluido y este respondería deformándose hasta que desapareciera la fuerza de corte. Los líquidos presen presentan tan supe superf rfic icie ie "lib "libre re"" (en (en cont contac acto to con con la atmósfera) gracias a la cohesión intermolecular y el peso del líquido en tanto que los gases ocupan todo el volumen del recipiente que los contiene.
Fig.1. fuerzas sobre la superficie de un líquido.
3. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS Debido a sus propiedades especiales los fluidos se estudian en términos de densidad, compresibilidad, presión y volumen en lugar de fuerzas y dimensiones lineales como se acostumbra en el estudio de cuerpos rígidos o partíc partícula ulas. s.
Compresibilidad. Un líquido perfecto es incompresible, pero un líquido real si es compresible pero en un grado muy pequeño en comparación con los gases que si son muy compresibles.
Densidad (ρ): es la masa por cada unidad de volumen de una sustancia. En S.I., se expresa en kg/m3.
ρ=
dm dV
(1)
La densidad es constante en todo el volumen de
La mecánica de los fluidos comprende la Hidrostática o estudio de las propiedades mecánicas de los fluidos en reposo y la Hidrodinámica, el estudio de los líquidos en movimiento. Una parte de la hidrodinámica que estudia el aire en movimiento se llama aerodinámica.
una sustancia incompresible, lo cual es aproximadamente cierto en los líquidos bajo ciertas condiciones restringidas. En cambio la densidad disminuye con la altura en la atmósfera que es un buen ejemplo de fluido compresible. Sin embargo en una región donde hay pequeñas
1
variaciones
de
altura
la
densidad
Mercurio Aire Helio Oxigeno
puede
considerarse constante en dicha región.
Peso específico (γ), es el peso de cada unidad de
13,6 1,293x10-3 0,179x10-3 1,43x10-3
volumen de la sustancia, se expresa en N/m3.
PRESION (P). La presión media P, en cualquier
γ=
dP dV
=
(dm)g dV
Se denomina
= ρg
superficie de área S, se define como la fuerza perpendicular por unidad de área.
(2)
densidad relativa (ρr ) o gravedad
P=
específica a la densidad de un cuerpo comparado con
F S
(4)
la densidad de otro (generalmente el agua) es la magnitud de la fuerza que ejerce el fluido por
ρ r =
densidad del cuerpo densidad del agua
unidad de superficie. La presión es un escalar y su valor es independiente de la orientación de la
(3)
superficie.
EJEMPLO 1. Calcular la densidad relativa del Consideremos como indica la Fig. (2) un elemento de superficie ∆S y actuando sobre él una fuerza
acero y del aire si la densidad del agua es de 3
1000 kg/m .
∆F. Por definición se tiene: 7800 kg/m3
densidad del acero:
∆F = ∆S→ 0 ∆S
1,3 kg/m3
densidad del aire: densidad relativa del acero:
P = lim
7,8
densidad relativa del aire:
La densidad relativa tiene el mismo valor en cualquier sistema de unidades que se emplee.
(5)
(S.I.)
Unidades prácticas de uso generalizado:
TABLA 1.Densidad relativa de algunas
1) atmósfera (atm) = 1,013x105 Pa 2) torr = 1 mmHg = 133 Pa 3) 1mm H2O = 9,8 Pa ≈ 10 Pa
sustancias.
Acero Aluminio Bronce Cobre Hielo Hierro Oro Plata Platino Plomo Agua (a 4°C) Agua de mar Alcohol etílico Benceno Glicerina
dS
Unidades de presión y equivalencias
0,0013
1 Pascal (Pa) = 1N/m2
Sustancia
dF
Densidad relativa 7,8 2,7 8,6 8,9 0,92 7,8 19,3 10,5 21,4 11,3 1,0 1,025 0,81 0,90 1,26
Fig. 2. Presión ≡ fuerza distribuida. Si se conoce el valor de la presión en cada punto de una superficie es posible hallar la fuerza que ejerce el fluido sobre dicha superficie con la siguiente expresión: dF=P.dS
2
(6)
La fuerza dF es siempre perpendicular a la superficie dS. Sin embargo esta fuerza es equilibrada por su reacción dF' que también actúa sobre el mismo elemento de superficie.
Las ecuaciones de movimiento en direcciones Y y Z son, respectivamente,
∑F
y
EJEMPLO 2. Sabiendo que la densidad del aire a nivel del mar es 1,3 kg/m 3 encuentre el peso del aire contenido en el salón de clase cuyas dimensiones son: 8m x 5m x 3m.
= Py δ x δ z − Ps δ x δs senθ δ x δ yδz ay =ρ 2
∑F
Solución Calculando la masa y el peso del aire de
z
volumen V = 8m x5mx3m = 120 m 3 Masa Peso
las
m = ρ V = 1,3 (8×5×3) = 156 kg W = mg = 156(9,8) = 1528,8 N
= Pz δ x δ y − Ps δ x δ s cos θ δ δ δ δ δ δ − γ x y z = ρ x y z az 2
2
De la Fig.3, también se verifica,
Luego en el aula existe tanta masa de aire aproximadamente igual a la de dos personas.
δ y = δ s cos θ
4. PRINCIPIO DE PASCAL
y
δ z = δs senθ
De modo que las ecuaciones de movimiento se reescriben como
Las propiedades básicas que caracterizan a un fluido en equilibrio están descritas de una manera muy concisa en una ley conocida como "el principio de Pascal". Tal principio afirma que: "La
presión ejercida sobre un fluido encerrado es transmitida íntegramente a todos los puntos del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene".
δy
Py
− Ps = ρa y
Pz
− Ps = (ρa z + γ )
2
δz 2
Como interesa lo que sucede en un punto, se considera el límite cuando δx ,δy y δz tienden a cero, manteniendo el ángulo. Se concluye que
Demostramos este principio consideremos el diagrama del cuerpo libre de la Fig.3 obtenido al eliminar una pequeña cuña triangular del fluido de alguna ubicación dentro de la masa de fluido. Si no existen esfuerzos cortantes, las únicas fuerzas externas que actúan sobre la cuña se deben a la presión y al peso. Se permitirá, en este análisis general, el movimiento acelerado del elemento de fluido.
Py= Pz= Ps La expresión anterior confirma analíticamente el Principio de Pascal que expresado de otro modo dice: la presión en un punto de un
fluido en reposo, o en movimiento, es independiente de la dirección en tanto no haya esfuerzos cortantes. Consideremos la Fig.4.
Fig.3. Fuerzas sobre un elemento de arbitrario de forma de cuña. Además, para facilitar el análisis no se muestran las fuerzas en al dirección X.
Fig.4. Los líquidos trasmiten la presión.
3
Según el principio de Pascal, la presión ejercida por la fuerza F1 es trasmitida a los dos pistones de secciones S2 y S3 de modo que: p1 = p2 = p3 o bien:
F1 S1
=
F2 S2
=
F3 S2
5. VARIACION DE LA PRESION CON LA PROFUNDIDAD A la profundidad "y" de un líquido en reposo, de densidad ρ consideremos un elemento de volumen dV (pequeña porción líquida) de masa dm en forma de una placa rectangular de área S y espesor d y; Fig. 6
(7)
La fuerza en el pistón 2 está dada por:
F2
S = 2 F1 S1
(8)
Se observa que si S2 es por ejemplo 10 veces mayor que S1, se obtendrá para F2 una fuerza igual a 10 veces la fuerza F 1. Por tanto un dispositivo de esta naturaleza permite multiplicar la fuerza. Las máquinas hidráulicas de amplio uso en la industria pesada tienen su fundamento en el principio de Pascal.
Fig.6. La presión aumenta con la profundidad. Como el fluido se encuentra en equilibrio, la suma de las fuerzas que actúan sobre el elemento en la dirección vertical es nula:
EJEMPLO 3. En una estación de servicio de automóviles el sistema de elevación usa aire comprimido que ejerce una presión sobre un pistón pequeño de radio 2 cm. La presión se trasmite al pistón grande de 10 cm de radio. ¿Qué fuerza deberá ejercer el aire comprimido para elevar un automóvil con un peso de 12kN?
F' - F - (dm)g = 0
(9)
pero dm = ρdV; dV = S.dy. Sustituyendo estos valores en la expresión anterior y dividiendo entre S obtenemos:
F' S
−
F S
= ρg dy
(10)
pero la diferencia de presiones F'/S - F/S sobre las caras superior e inferior del elemento es muy pequeña en razón de que el espesor de la lámina es apenas un diferencial; por lo cual designaremos a dicha diferencia con dp: Fig.4. Multiplicando la fuerza.
dp = ρ.g.dy
Solución Para el pistón grande: S2 = π (10) cm 2
Esta ecuación diferencial es la ecuación fundamental de la hidrostática, da cuenta de las variaciones de la presión con la profundidad o altura como consecuencia de la masa del fluido. Si la densidad del fluido y la aceleración de la gravedad son constantes podemos hallar la presión a una profundidad ‘y’ por integración inmediata de la Ec. (11)
y la fuerza es: F2 = 12kN. Para el pistón pequeño: S1 = π(2)2 cm2 y se determinará la fuerza F 1 . Por el principio de Pascal: la presión en el pistón 1 es igual a la presión en el pistón 2: F1 =
(11)
2
S1 π(2) 2 = 12000 F2 = 480 N 2 S ( 10 ) π 2
∫
P
Po
4
dp =
∫
y
0
ρ g dy
(12)
donde los límites de integración se corresponden así: en la superficie libre del líquido es ‘y’ = 0 y la presión a este nivel es la presión atmosférica Po A la profundidad ‘y’ la presión es P. Así obtenemos: P - Po = ρgy
(13)
Esta diferencia Ph = ρgy recibe el nombre de presión hidrostática porque se debe únicamente al líquido. Al considerar la presión atmosférica obtenemos la presión absoluta, que toma como nivel de referencia el vacío absoluto, luego: P = Po + ρgy
Fig.8. Manómetro de mercurio de rama abierta. Es aquel que utiliza un líquido contenido en un tubo en U, una de cuyas ramas se conecta al recipiente que contiene el gas cuya presión se desea determinar, y la otra rama esta abierta y en conexión con la atmósfera. El gas queda confinado dentro del recipiente por el líquido en el tubo en U. Esta clase de manómetro se denomina también manómetro de rama abierta. En este caso la deformación producida es el desnivel del líquido en ambas ramas del tubo.
(14)
En conclusión podemos afirmar que si la densidad del fluido es constante (fluido incompresible) la presión aumenta linealmente con la profundidad Los puntos con igual profundidad tales como A, B, y C de la Fig.7 soportan la misma presión sin importar la forma de los vasos comunicantes
El valor de Pg (presión del gas) se obtiene observando que al nivel del punto A las presiones en el líquido en reposo deben ser iguales en ambas ramas del tubo: Pg = Po + ρ.g.h Y la presión manométrica del gas está dada por: Pg - Po = ρgh
Fig.7. A igual profundidad igual presión.
EJEMPLO 5. Si un manómetro de mercurio
EJEMPLO 4. ¿A qué profundidad en agua de
conectado al depósito de gas como se muestra en la Fig.8, indica un desnivel de 20 cm; ¿cuál es la presión manométrica del gas?
3
mar ( ρ = 1035 kg/m ), la presión hidrostática es igual a 1,013x10 5 Pa? La presión hidrostática está dada por: Ph = donde la profundidad es:
y=
Ph
ρg
=
1.013x10 5 1035(9.8)
ρ.g.y, de
Solución: La presión manométrica está dada por pm = ρgh = 13600(9,8)(0,20) = 27 kPa EJEMPLO 6. El cilindro y el tubo mostrados en
= 9.987 m ≈ 10 m
la Fig.8 contienen aceite de densidad relativa 0,8. En A se lee una presi ón manométrica de 40 kPa. El pistón pesa la mitad del peso W y su diámetro es 1 m. Calcular el peso W.
PRESION MANOMETRICA Se denomina así a la presión en exceso o en defecto con relación a la presión atmosférica: Pm = P - Po
(15)
Para medir la presión se utiliza un manómetro cuyo funcionamiento se fundamenta en el hecho de que la deformación producida sobre un material sólido, líquido o gaseoso es proporcional a la tensión o presión que ejerce el gas. El manómetro más sencillo se denomina manómetro
Fig.9. Presión en el seno de un líquido.
diferencial. 5
Solución Al nivel de la cara inferior del pistón; las
po =
presiones en el aceite son iguales en ambas columnas líquidas, de lo contrario el aceite estaría en movimiento en uno u otro sentido. Esto es: Por el lado izquierdo la presión manométrica hacia abajo es igual a la presión manométrica en A mas la presión de la columna líquida de 2 m de altura: Por el lado derecho la presión manométrica hacia abajo es igual a la presión ejercida por el peso W y el pistón sobre la superficie líquida de área S (superficie del pistón en contacto con el aceite).
Si la experiencia se realiza al nivel del mar se encuentra que h = 760 mm = 0.76 m como se indica en la Fig.10. Si la densidad del mercurio es 13600 kg/m3 y g = 9.8 m/s2 se tiene: po = 13600x9,8x0,76 = 1,013x10 5 Pa≈ 101 kPa El resultado anterior define también la unidad de presión denominada atmósfera. Esto es
presión por el lado izquierdo = presión por el lado derecho
PA
+ ρgh =
ρ.g.h
atmósfera: 1 atm = 760 mm Hg = 1,013x10 5 Pa
EJEMPLO 7. Un tubo de 1 cm2 de sección
W + 0.5W
transversal, está unido por su extremo inferior a una vasija de 2 cm de altura y 25cm 2 de sección transversal y por su extremo superior a una vasija de 2 cm de altura y 100 cm 2 de sección transversal, (ver Fig.11)
S
donde la densidad del aceite es: ρ = 800 kg/m3; g = 9,8m/s2; h = 2 m. S es el área de la cara inferior del pistón (S = πd2/4) y PA = 40 kPa = 40000 Pa. Despejando W se tiene: W = S(PA + ρgh)/1.5 Puesto que el diámetro es d = 1 m se obtiene S = 0.785 m2 y por tanto: W = (0.785)[40000 + 800(9,8)(2)] /1.5 = 29,13 kN
6. PRESION ATMOSFERICA Debido al peso del aire, los cuerpos que se encuentran inmersos dentro de la atmósfera terrestre experimentan la presión atmosférica cuyo valor fue determinado por Torricelli en un experimento en el cual se logra equilibrar la presión atmosférica con la presión de una columna de mercurio.
Fig.11. La fuerza depende del área. Si el líquido que contiene es Hg Calcular: a) La presión manométrica en A. b) La presión absoluta en E. c) La diferencia de presión entre C y E. d) La fuerza que se ejerce sobre el fondo de la vasija inferior e) El peso total del fluido.
Solución: a) La presión manométrica en A es Pm,A = ρghA = 13600(9.8 )(0,02)= 2665,6Pa b) Presión absoluta en el punto E PE = ρghE + po ; po = 1,013x105 Pa PE =13600(9,8)(0,10)+1,013x10 5 =1,146x105 Pa
Fig.10. Barómetro de Torricelli.
c) Diferencia de presiones entre los puntos C y E
En la Fig.10, el contenido de mercurio del tubo vertical no se vierte totalmente porque se lo impide la presión atmosférica que está obrando en la superficie libre del mercurio en el recipiente. Por consiguiente:
PE - PC = ρ.ghCE =13600(9,8)(0,03) =3998 Pa
6
d) La presión manométrica en el fondo y el área del fondo son respectivamente:
∆P = -ρog( y2 - y1)
Pm =ρ.gh = 13600(9,8)(0,12) = 15994 Pa S = 0,0025 m2
la distancia entre pisos es y2 - y1 = 3 m. Luego:
∆P = - 1,3(9,8)(3) = - 38,22 Pa
Luego, la fuerza sobre el fondo es:
Aproximadamente la presión se reduce en 40Pa por cada piso.
F = Pm S = 15994(0,0025) = 39,98 N e) Volumen del Hg depositado
Para grandes alturas podemos encontrar una relación entre presión y densidad considerando al aire como gas ideal cuya ecuación de estado es:
V = 25×2 cm3 + 1×8 cm3 + 100×2 cm3 V = 258 ×10-6 m3 WHg= ρgV = 13600×9.8× 258×10-6 = 34,4 N
pV = nRT
7. VARIACION DE LA PRESION ATMOSFERICA CON LA ALTURA
donde el número n de moles se obtiene dividiendo la cantidad m de gas entre su masa molar M (n = m/M ). Pero el aire es una mezcla de gases por lo cual su masa molar es un valor promedio:
En la atmósfera terrestre la densidad del aire varía desde 1,293 kg/m3 (aproximadamente 1,3 kg/m 3) al nivel del mar hasta anularse totalmente alrededor de los 2000 km de altura; esto significa que la presión atmosférica también ha de reducirse con la altura. Para describir matemáticamente ésta variación podemos hacer uso de la Ec. 11 del siguiente modo dp=- ρ.gdy (16)
Maire = 0,029 kg/mol Si admitimos que a una altura "y" un cierto volumen V de aire tiene una masa m, su densidad será ρ = m/V. A partir de estas consideraciones la ecuación de estado también se puede escribir de la siguiente manera:
donde "y" es ahora la altura medida sobre el nivel del mar y el signo menos indica que un incremento de altura dará lugar a una reducción de la presión. No debe olvidarse que en este caso la densidad es también una función de la altura. Sin embargo si las variaciones de altura son solo de algunos metros podemos suponer que la densidad se mantiene constante y por tanto la Ec.16 puede ser usado para encontrar la variación de la presión en la siguiente forma:
∆ p = - ρg ∆y
(18)
ρ=
pM
RT
(19)
reemplazando en la Ec. 16 y transponiendo la variable p al primer miembro tenemos:
dp p
=−
Mg RT
dy
(20)
Si T es constante; y observando que al nivel del mar (y = 0) la presión es la presión atmosférica normal po; los límites de integración para la presión y la altura son respectivamente: [po, p] y [0, y]
(17)
EJEMPLO 8. ¿Cuál es la variación de la presión atmosférica que afecta a una persona que sube de un piso a otro en un edificio; si la distancia entre pisos es de 3 m y esta localizado cerca al nivel del mar?
p
dp
y
Mg
∫ p ∫ RT dy =-
p o
0
El resultado es:
Según la Ec.17 las presiones en el piso 1 y en el piso 2 son respectivamente:
p = p 0 e
P1 = po - ρog y1 P2 = po - ρog y2
−
Mgy RT
(21)
De la Ec. 19 se deduce que la densidad y la presión son directamente proporcionales, Luego, si ρo y po, son respectivamente la densidad del aire y la presión atmosférica al nivel del mar, se tiene:
La variación de presión es: ∆P = P2 - P1 7
ρo = po
M RT
ó
M RT
=
ρo p o
Luego la expresión exponencial de la presión atmosférica toma la siguiente forma usual:
p = p 0 e
−
ρgy p 0
(22) Fig.12. Superficie inclinada en un fluido.
Cuando la temperatura T varia con la altura necesitamos saber la relación entre T e y. Para el caso mas sencillo supondremos que entre ambas variables existe la siguiente relación lineal T = To – by
donde p = ρg y es la presión hidrostática; dS es un elemento de superficie similar a una franja de longitud b; su valor es preferible expresarlo en función de la variable de integración ( y); para esto proyectamos el área dS sobre la superficie vertical dS.sen α = b.d y (25)
donde To es la temperatura al nivel del mar, b es una constante de conversión Reemplazando el valor de T en la Ec.20 e integrando se tiene: P
dp
Po
p
∫
=
Mg Rb
∫
y
0
De donde:
− b dy To − by
dS = csec α .b.d y .
Reemplazando dS en la Ec.24 y ejecutando la integración entre límites y1 y y 2
Los límites son po la presión al nivel del mar ( y = 0) y p a la altura “ y”. El resultado de la integración es:
p Mg To − by = Ln Ln p Rb T o o de donde se despeja la presión:
P = Po [1 − ( by / To )]Mg / Rb
(23)
8. FUERZA SOBRE UNA SUPERFICIE SUMERGIDA
Fig.13. dSy es proyección del área dS.
Consideremos una superficie plana inclinada un ángulo α respecto a la horizontal, sumergida de tal manera que su borde superior se halla a una profundidad y1 y su borde inferior a una profundidad y2 como se muestra en la Fig.12. Si la longitud de dicha superficie es H y su ancho es b, su área es Hb. Desde que la presión varía linealmente con la profundidad, la presión media sobre dicha superficie es Pm = ½ ρ.g( y1 + y2). Por tanto el valor de la fuerza es: F = Pm.S . Esto es:
F=
F = ρ.g.b.csec α.
p dS
y 1
ydy (26)
observemos en la Fig.12 que: sen α = (y2 - y1)/H o csec α = H/( y2 - y1) Reemplazando en la Ec. 26, y luego de factorizar la diferencia de cuadrados se tiene:
Este resultado también se puede obtener por integración, a partir de la Ec. 6.
∫
∫
y 2
F = ½ ρ.g.b.csec α.( y 22 - y12)
F = ½ ρg( y1 + y2)Hb
F=
∫ (ρg y)(csc α bdy)
F = ½ ρ.g.( y 2 + y 1).Hb
(27)
EJEMPLO 9. Consideremos dentro de la
(24)
atmósfera terrestre a presión normal una cavidad 8
9. UBICACIÓN DE LA FUERZA RESULTANTE SOBRE UNA SUPERFICIE SUMERGIDA
hemisférica de radio R = 3 m como se observa en la Fig.14 Calcular la fuerza vertical sobre la superficie curva de la cavidad debido a la presión atmosférica, suponiendo que esta vacío el interior.
En ciertos casos interesa saber a que altura o en que posición actúa la fuerza total sobre una superficie sumergida La solución de este problema no es sino la determinación del centro de las fuerzas paralelas dF que están actuando perpendicularmente a la superficie. Esto es: si suponemos que el centro de rotación o centro de momentos se encuentra en el borde superior de la pared y sea yo la profundidad a la que actúa la fuerza F. Respecto a dicho centro, el momento de la fuerza resultante F es igual a la suma (o integral) de los momentos de las fuerzas elementales dF. Esto es:
Fig. 14. Fuerza vertical sobre un hemisferio.
Solución. Si la presión atmosférica es constante; en la Fig.14 la fuerza oblicua dF sobre la pequeña porción de superficie esférica dS es dF = p.dS Sin embargo la fuerza vertical es sólo la componente dFy y está obrando perpendicularmente sobre la superficie dSx. Entonces dFy = pdSx; de allí que la fuerza vertical total es: Fy =
∫ pdS
x
=p
∫ dS
x
∫ y dF ; ó y
yo F =
o
=
1 F
∫ ydF
(28)
donde podemos reemplazar el diferencial de fuerza: dF = p dS = ρ.g. y.b.dy
= p Sx
Donde Sx es la proyección de la superficie hemisférica sobre un plano horizontal que resulta ser el área del círculo de radio R, Sx = πR 2. Por consiguiente el resultado es: Fy = p(πR 2) = 1,013x105(3,14)(3)2 = 2,86x106 N
EJEMPLO 10. En la Fig.15 la presión en la cámara A es 2p y en la cámara B es 5p; si el orificio de 2 cm de radio está obturado por una válvula esférica de 3 cm de radio. ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre la válvula (suponga que la válvula tiene un peso despreciable)
B A
Fig.16.La fuerza resultante sobre el muro actúa a una profundidad yo . integrando entre límites desde y = 0 hasta y = H
5 p
yo
2 p
H
1
= ρgb ∫ y F
2
dy =
0
ρgbH 3 3F
reemplazando el valor de F dado por la Ec. 27 resulta:
Fig.15. Dibujo para ejemplo 10.
yo =
En este caso la fuerza obra en dirección vertical y el área a través del cual actúa dicha fuerza es el área del orificio por tanto, la fuerza neta sobre la válvula es:
2 3
H
(29)
Luego la posición de la línea de acción de la fuerza hidrostática sobre la pared vertical se encuentra a 2/3 de la profundidad desde el nivel libre del líquido o a un tercio de la profundidad medido desde el fondo del recipiente.
F = (5p - 2p) πr 2= 3π pr 2 ; r = 2 cm
9
EJEMPLO 11. El muro de un dique tiene una
Desde que el torque debido al peso del muro es mayor que el debido a la fuerza del agua, no es posible una volcadura.
profundidad de 10 m y una longitud de 60 m. ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre la pared del dique si se llena con agua dulce hasta el borde superior? ¿Si la pared es de concreto armado (densidad 5000 kg/m3 ) y tiene un ancho de 3 m, podrá resistir una posible volcadura?
10. FUERZA ASCENSIONAL EN UN FLUIDO: Principio de Arquímedes Cuando se sumergen cuerpos livianos dentro de un fluido se observa que tienden a flotar demostrándonos que existe una fuerza ascendente. Esta fuerza ascensional obra en realidad sobre cualquier objeto sumergido sea pesado o liviano y se debe a la presión hidrostática que ejerce el fluido, como se demuestra a continuación: Consideremos dentro de un fluido, colocada horizontalmente una caja rectangular cuya superficie superior e inferior tiene la misma área S. Sin tener en cuenta el peso de la caja vamos a calcular la resultante de las fuerzas sobre sus 6 caras debido a la presión del fluido. Las fuerzas laterales se compensan o equilibran dos a dos y por tanto no hay resultante en la dirección horizontal.
Fig.17 . ¿Volcara el agua al muro?
Solución los datos son: Para el muro: longitud b = 60 m ancho a= 3m profundidad H = 10 m densidad ρc = 5000 kg/m3 Para el agua: densidad.
ρ = 1000 kg/m3
Puesto que el agua llena hasta el borde, para hallar la fuerza aplicamos: F = p mS, con pm = ½ ρgH ; S = Hb F = (½ ρ g H)(Hb) = ½ (1000)(9,8)(10)(10)(60) F = 2., N La altura a la que actúa esta fuerza es: Fig.18. Fuerza sobre una caja vacía. ho = (1/3)H = 10/3 m En la dirección vertical la fuerza ascendente en la cara inferior es mayor que la fuerza sobre la cara superior ya que la presión aumenta con la profundidad.
Para averiguar si puede resistir una posible volcadura hallamos los torques debido a la fuerza F y la fuerza peso W respecto de un eje que pasa por el punto A. (Fig.17)
De acuerdo con la Fig.18 tenemos:
El torque que ejerce la fuerza F es:
τ = ho F = (10/3)(2,94x107) =
F2 = p2.S = F1 = p1.S =
9,8x107 N.m
El torque debido al peso del muro con respecto al punto A es:
ρ.g.y2.S ρ.g.y1.S
La resultante es: E = F2 - F1 = ρgS (y2 - y1)
τ ' = (a/2)W = (a/2)mg = (a/2)( ρcVg) τ ' = (3/2)(5000)(60x10x3)(9.8) τ ' = 1.32x108 N.m
E = ρgV
(30)
pero el producto S.(y2 - y1) es el volumen V de la caja, que es igual al volumen del líquido desalojado por la caja. Por consiguiente podemos concluir que la fuerza E que está dirigida hacia
10
arriba es una fuerza ascensional debida a la presión del líquido y su valor es igual al peso del fluido desalojado como se puede ver examinando la Ec.30. Arquímedes fue el primer científico que llegó a esta conclusión basándose únicamente en sus observaciones experimentales.
pérdida de peso en agua pérdida de peso en aceite
=
γH O γ aceite 2
donde γaceite es el peso específico del aceite. O de otro modo:
Principio de Arquímedes
γH O W − W" γ aceite W − W'
"Todo cuerpo sumergido total o parcialmente experimenta una fuerza ascensional denominada empuje cuyo valor es igual al peso del fluido desalojado". Ver Ec.30.
=
2
despejando se tiene:
EJEMPLO 12.Utilizando un dinamómetro se ha
γ aceite =
encontrado que el peso de un cuerpo suspendido en el aire es W. Cuando el cuerpo queda su sp endido dentro del ag ua el dinamómetro registra un peso aparente igual a W' y cuando el cuerpo se encuentra dentro del aceite su peso aparente es W". Con estos datos calcúlese la densidad del cuerpo y la densidad del aceite.
W − W" W − W'
γH O 2
EJEMPLO 13. Un cuerpo que tiene un volumen de 1,2 dm3 y densidad 0,69 g/cm3 requiere de un peso mínimo de 403,2 g colocado encima para mantenerlo sumergido en un fluido (I) y del mismo modo para mantenerlo sumergido en un fluido (II) necesita 198g. Determinar la densidad relativa del primer fluido respecto al segundo.
Fig. 19. Pesos aparentes en agua y aceite del bloque. Fig.20. La masa m flota sumergida.
pero el empuje E es igual a la pérdida de peso E = W - W' = donde
γH OV
Solución La densidad relativa del líquido (I)
(31)
2
respecto al (II) está dada por:
γ H O es el peso específico del agua .De ésta
δ=
2
última relación despejamos el volumen del cuerpo V (volumen de líquido desalojado), y luego en la fórmula del peso especifico.
γ=
W W − W'
densidad del liquido I densidad del liquido II
=
ρ1 ρ2
En las Fig. 20.a y 20.b se muestra los dos líquidos diferentes (I) y (II) en los cuales el cuerpo de peso mg y volumen V se encuentra íntegramente sumergido y en reposo.
γH O 2
Para determinar el peso específico del aceite observemos en la Ec. 31 que cuando el volumen es constante como en el caso presente, la pérdida de peso de un objeto es directamente proporcional al peso específico (o la densidad) del líquido:
Por consiguiente en cualquiera de los dos casos el empuje (E) equilibra al peso del cuerpo (mg) y al peso que tiene encima (W 1 ó W2). Esto es: líquido (I): E1 = mg + W 1 líquido (II): E 2 = mg + W 2
11
(32) (33)
En donde: W 1 = m1g, W2 = m2g, E1 = E2 = ρ2gV. Entonces:
ρ1gV ρ2gV
= mg + m1g = mg + m2g
4. ¿Cómo definirías el peso aparente?
ρ1gV,
a) El peso que tiene el cuerpo por su
(34) (35)
b) c) d)
Si dividimos miembro a miembro las ecuaciones (34) y (35) obtenemos:
ρ1 = ρ2
mg + m1 g mg + m 2 g
=
5. De un cuerpo sumergido podemos decir que:
m + m1 m + m2
a) b) c) d)
Si el volumen del cuerpo es 1,2 dm3 = 1200 cm3 su masa será m = ρ.V = (0,69 g/cm3)(1200cm3) = 828 g. Las otras masas son: m1 = 403,2 g y m 2 = 198 g. La densidad buscada es:
δ=
828 + 403,2 828 + 189
a) El empuje se duplica b) El equilibrio se mantiene c) La masa de agua desalojada es igual a SOBRE EL ARQUIMEDES
d)
Todo su volumen. Ningún volumen. La mitad de su volumen. Depende sólo del peso del cuerpo. Depende del peso del cuerpo y de la densidad del líquido.
a) El líquido es cuatro veces menos b) c) d)
2. ¿Cuál es el peso del líquido desalojado por un cuerpo que flota? a) b) c) d)
denso que el cuerpo Tienen igual densidad El cuerpo tienen una densidad cuatro veces menor que la del líquido El cuerpo tiene una densidad 8 veces menor.
8. Una lancha de 300 kg de masa flota en el agua. Al subir a ella una persona de 70 kg de masa se hunde un poco más. ¿Cuántos litros desaloja?
Un peso igual a su volumen. Igual al peso del cuerpo en el vacío. Menor que el peso del cuerpo. Un peso igual al peso aparente.
a) b) c) d)
3. Cuando se alcanza el equilibrio, la masa de agua desalojada en gramos es igual a: a) b) c) d)
la mitad de la masa del cuerpo. El peso aparente es cero
7. Un cuerpo de masa 20 kg flota sumergiendo 1/4 de su volumen ¿cuál es la relación entre las densidades del cuerpo y del líquido en el que flota?
1. ¿Qué volumen tiene sumergido un cuerpo que flota? a) b) c) d) e)
Siempre está en equilibrio Tiene menos volumen pero igual masa A mayor profundidad mayor empuje. su masa no varía.
6. Si un cuerpo que flota lo hundimos hasta tener sumergido un volumen doble del que tenía, podemos decir que:
= 1,2
11. CUESTIONARIO PRINCIPIO DE
aspecto El peso del líquido desalojado El peso del cuerpo menos el empuje Masa del cuerpo por la densidad del líquido.
La masa del cuerpo El volumen del cuerpo en cm 3 Al peso del cuerpo Al peso aparente.
12
Depende del volumen de la persona (300-70) litros 70 litros 370 litros.
