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Funciones reales

! ! "#$%&'(#) *+),%#) Función es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto A un único elemento del conjunto B, es decir, ∀ x ∈ A∃!y ∈ B | y = f ( x ). Anotamos f :A → B x 7→ f ( x ) = y

Al elemento y se le llama imagen de x según f . El conjunto A se denomina dominio de f , anotamos dom f . El conjunto B se denomina codominio de f , anotamos cod f . El conjunto f ( A) se denomina recorrido o rango de f , anotamos rec f . Nota: Una función real es una función que está definida en R × R o en un subconjunto de éste, es decir, f : A ⊂ R → R. Tipos de funciones a) La función f : A → B se dice inyectiva ⇐⇒ ∀ x1 , x2 ∈ A | x1 6= x2 ⇒ f ( x1 ) 6= f ( x2 ). Significa que elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas. b) La función f : A → B se dice epiyectiva⇐⇒ ∀y ∈ B∃ x ∈ A | y = f ( x ). Significa que el codominio de f es igual al recorrido de f . c) La función f : A → B se dce biyectiva si es inyectiva y epiyectiva simultáneamente. d) La función inversa de f , anotamos f −1 , existe sólo si f es una función biyectiva.

!-! ./&0%,%,#) '0#'1&)(#) 1. Indique cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) funciones reales. 1

1. F UNCIONES REALES

a)

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

2. Dadas las siguientes relaciones en R, identifique las que representan funciones reales. A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9

= {( x, y) | y = x } = {( x, y) | y = 5x − 2} = {( x, y) | y < ( x/4) − 8} = {( x, y) | y = −(3/4) x − 5}

= {( x, y) | y2 = x } = {( x, y) | y < x } = {( x, y) | y ≥ 2x + 3} = {( x, y) | y = ( x + 4)/5} = {( x, y) | y = −3} 2

A10 = {( x, y) | y = ( x − 1) } 2

√ A11 = {( x, y) | y = x + 3} A12 = {( x, y) | x = 4} √ A13 = {( x, y) | y = 9 − x } A14 = {( x, y) | y2 = 9x2 }

A15 = {( x, y) | y = x2 + 2}

A16 = {( x, y) | x2 + y2 = 16} A17 = {( x, y) | y = | x | − 2} A18 = {( x, y) | y = 6/x }

A19 = {( x, y) | y = x2 − 5x + 6} A20 = {( x, y) | x = y2 − 5y + 6}

Ejercicios propuestos 3. Considere las funciones reales definidas por f ( x ) = x2 − 1 g( x ) = 2 − 3x p h( x ) = − 16 − x2 p ( x ) = | x − 4| ( ( x + 2)2 si x < 0 r(x) = ( x − 2)2 si x ≥ 0 Determine:

√ h) f ( x + 1)

a) f (−2) b) g(2/3) √ c) h( 12) √ d) p( 16)

i) f (h(4)) j) p(−2) − 3p(2) √ k) f ( g(h( 7)))

e) f (−4) − g(2)

l) h( f ( g(1)))

f ) 4h(0) + f (3)

m) r (4)

g) g(1 − x )

n) r (1) − r (−1)

4. Dadas las funciones reales: f 1 ( x ) = x2

f 6 ( x ) = 1/x2

f 2 ( x ) = x3 √ f3 (x) = x √ f4 (x) = 3 x f 5 ( x ) = 1/x

f 7 ( x ) = x2 − 2 f 8 ( x ) = 3x − 1 f9 (x) = |x|

f 10 ( x ) = ( x − 2)2

a) Construya una tabla de valores y grafique cada una de ellas. b) Por inspección visual del gráfico, obtenga el dominio y rango. c) En cada caso, determine la función inversa, si existe. 5. Obtenga dominio, recorrido y gráfico de las funciones identificadas en 2. 6. Determine el dominio y recorrido de las siguientes funciones: √ a) y = 2x + 1 i) y = x2 + 2x − 3 3 q b) y = x− 2 x +1 j) y = x −2 3x +1 c) y = 2x−10 1 k) y = √6x d) y = x2 −x− 5x +6 √ e) y = x − 1 l) f (t) = √t5−1 √ f) y = 9 − x √ √ m) y = 3 x + 1 g) y = 2x + 1 √ n) y = log( x + 5) h) y = 4 − x2 7. Determine para cuál(es) valor(es) de x las siguientes funciones reales no están definidas o están indeterminadas. 3

1. F UNCIONES REALES a) f ( x ) =

3x −2 x +1

d) f ( x ) =

b) f ( x ) =

x +3 x 2 −9

e) f ( x ) =

c) f ( x ) =

4x2 −25 2x +5

f ) f (x) =

( x −1)3 x 3 −1

x 2 −4 x2 +6x +8 √ 3+ x x −9

8. Considere las siguientes funciones definidas en intervalos: ( (√ − x si x ≤ 0 x+2 si x ≥ −2 f (x) = √ g( x ) = x si x > 0 −( x + 2) si x < −2 a) Determine el dominio y recorrido de f y g. b) ¿Existe algún valor de x para que las funciónes f y g se indefinan o indeterminen? c) Grafique la función f .

Soluciones 1. 1b, 1e, 1f , 1g y 1h son funciones. 1a, 1c y 1d son relaciones. 2. Son funciones reales: A1 , A2 , A4 , A8 , A9 , A10 , A11 , A13 , A15 , A17 , A18 , A19 . 3.

f ) −8

a) 3

k) 120

g) 3x − 1

b) 0 c) −2

h) x

i) −1

d) 0

j) 0

e) 19

l) −4 m) 4 n) 0

4.

4

f1 (x) = x2

f2 (x) = x3

Dominio: R S Recorrido: R + {0} Función inversa: No tiene

Dominio: R Recorrido: R √ Función inversa: y = 3 x

Ejercicios propuestos

f3 (x) =

√

x

f4 (x) =

√ 3

x

Dominio: R + {0} S Recorrido: R + {0} Función inversa: y = x2 f5 (x) = 1/x

Dominio: R Recorrido: R Función inversa: y = x3 f6 (x) = 1/x2

Dominio: R − {0} Recorrido: R − {0} Función inversa: y = 1/x f7 (x) = x2 − 2

Dominio: R − {0} Recorrido: R + Función inversa: No tiene f8 (x) = 3x − 1

Dominio: R Recorrido: {y | y > −2} Función inversa: No tiene

Dominio: R Recorrido: R Función inversa: y =

S

x +1 3

5

1. F UNCIONES REALES

f9 (x) = |x|

f10 (x) = (x − 2)2

Dominio: R S Recorrido: R + {0} Función inversa: No tiene

Dominio: R S Recorrido: R + {0} Función inversa: No tiene

5.

6

A1 : y = x

A2 : y = 5x − 2

Dominio: R Recorrido: R A4 : y = −(3/4) x − 5

Dominio:R Recorrido: R A8 : ( x + 4)/5

Dominio: R Recorrido: R

Dominio: R Recorrido: R

Ejercicios propuestos

A 9 : y = −3

A10 : y = ( x − 1)2

Dominio: R Recorrido: {−3} A11 : y = x1/2 + 3

Dominio: R S Recorrido: R + {0} A13 : y = (9 − x )1/2

Dominio: R + {0} Recorrido: {y ∈ R | y ≥ 3} A15 : y = x2 + 2

Dominio: { x ∈ R | x ≤ 9} Recorrido: { x ∈ R | x ≥ 0} A17 : y = | x | − 2

Dominio: R Recorrido: {y ∈ R | y ≥ 2}

Dominio: R Recorrido: {y ∈ R | y ≥ −2}

S

7

1. F UNCIONES REALES

A18 : y = 6/x

A19 : y = x2 − 5x + 6

Dominio: R − {0} Recorrido: R − {0}

Dominio: R Recorrido: {y ∈ R | y ≥ − 14 }

6. Se especifica primero el dominio y luego el recorrido. a) R; R

h) [−2, 2]; [0, 2]

b) R − {2}; R − {0}

i) ] − ∞, −3] [1, ∞[; R0+

c) R − {5}; R − {3/2}

S

j) ] − ∞, −1] ]2, ∞[; R0+ − {1}

d) R − {2, 3}; S ] − ∞; −5, 8284] [−0, 1715, ∞[ k) R + ; R + e) [1, ∞[; R0+

l) ]1, ∞[; R +

f ) ] − ∞, 9]; R0+

g) [−1/2, ∞[;

S

m) R; R

R0+

n) ] − 5, ∞[; R

7. Valores de indefinición e indeterminación

a b c d e f

Indefinida: 0a , con a 6= 0 x = −1 x=3

x = −4 x=9

Indeterminada:

0 0

x = −3 x = − 52 x=1 x = −2

8. a) Función f g

Dominio R R

Recorrido R R

b) No existen dichos valores, pues ambas funciones tienen dominio real. 8

Ejercicios suplementarios

c)

f

g

!"! #$%&'('()* *+,-%.%/01&()* 1. Dadas las funciones reales definidas por f ( x ) = x2 − 1

g( x ) = 2 − 3x

h( x ) = −

Obtenga el o los valores de x si a) f ( x ) = 99 √ b) h( x ) = − 15

p

16 − x2

c) g( x ) = 2x d) f ( x ) = g( x ) − 3

2. Dadas las funciones reales definidas por     3x + 9 si x < −2  −7 2 f ( x ) = x − 1 si − 2 ≤ x ≤ 2 g( x ) = 2 − x2    √ 3 9 − 3x si x > 2 x

si x < −3 si − 3 ≤ x ≤ 1 si x > 1

a) Calcule

1) f (0) 2) f (−4)

4) f ( g(−2)) 5) g( f (−2))

3) g(1)

6)

g(−5)+3 f (5) 3g(8)+ f (−10/3)

b) Grafique ambas funciones e indique dominio y rango. 3. Determine el dominio de las siguientes funciones reales a) y = 2x − 1

d) y =

+x

e) y =

b) y =

√

x 2

c) y = 5

f) y =

3 x −2 1 − 3x3 x2 x +5 3x +2

4. Dadas las siguientes funciones definidas por intervalos  (  − x si x < 0 2 x si x ≤ 0 g( x ) = x f (x) = x si 0 ≤ x ≤ 3  si x > 0  3 3 si x > 3  2  2 x − 4 x − 4 si x 6= −2 si x 6= −2 h( x ) = q( x ) = x+2 x+2   −4 si x = −2 0 si x = −2

Grafíquelas e indique dominio y recorrido de cada una de ellas. 9

1. F UNCIONES REALES

Soluciones

1.

a) x = −10 y x = 20

c) x = 2/5

b) x = −1 y x = 1

2.

a) 1) −1

2) −3

d) x = 0 y x = −3

3) 1

4) 3

5)

√ 3

3

6) −5

b)

3.

f (x)

g( x )

Dominio: R Recorrido: ] − ∞, 3]

Dominio: R Recorrido: [−7, ∞]

a) R b) ]0, ∞[ c) R d) R − {2} e) R − {0} f ) R − {−2/3}

10

Ejercicios suplementarios 4. f (x)

g( x )

Dominio: R Recorrido: [0, ∞[ h( x )

Dominio: R Recorrido: [0, ∞[ q( x )

Dominio: R Recorrido: R

Dominio: R Recorrido: R − {4}

11

2

Función Polinómica

Una función real de la forma p( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an x n se denomina polinomio en x de grado n. Características: Los elementos { ai }in=0 ∈ R, con an 6= 0, se denominan coeficientes del polinomio. n indica el grado del polinimio y n ∈ N0 . dom p( x ) = R. rec p( x ) = R.

!"! #$%&'('()* +&)+,%*-)* 1. Considere los polinomios

p( x ) = 3x4 + 4x3 − 2x2 + q( x ) = 2x3 − 4x + 3/5

√

5x − 1/2

a) Determine el grado de p( x ) y q( x ) b) En p( x ), determine el valor de cada uno de los coeficientes. c) ¿Cuál es el coeficiente de x2 en el polinomio q( x )? d) En el polinomio p( x ), ¿cuál es el exponente de la variable en el término −1/2? e) Término constante de q( x )

2. Explique por qué las siguientes funciones NO son polinómicas en x: a) f ( x ) = 5x2 − 7x −3

d) y = (2 − x )−1

b) y = 1/x + x3 √ c) g( x ) = 2 + x

e) y = 4 + x + 3y2

f ) y = x3 + 2x2 − x2/3

3. Dados los siguientes polinomios p1 ( x ) = −10 − 3x + x2

p2 ( x ) = x3 − x2 − 5x − 4

p3 ( x ) = −2x4 − x3 − x2 − x − 5 p4 ( x ) = −6 Determine: a) grado y recorrido b) p1 (−4) + p3 (0) c) 2p4 (−1) − ( p4 (2))2 12

Ejercicios propuestos 4. Complete las siguientes proposiciones. a) Un polinomio de grado cero se representa gráficamente mediante . b) Una recta cualquiera, no perpendicular al eje x, es un polino. mio de grado c) Una función cuadrática es un polinomio de grado y su representación gráfica es d) El polinomio p( x ) = 2x3 − 26 es de grado . y en el punto

. y corta al eje

e) El dominio de cualquier función polinómica es f ) El rango de los polinomios de grado impar es go de los de grado par es .

. y el ran-

5. Escriba el conjunto de los ceros o raíces de los polinomios: a) p( x ) = x2 + 2x − 24

b) q( x ) = x ( x − 2)( x + 2)( x + 5) c) r ( x ) = ( x2 − 9)( x2 + 6x − 7)

Soluciones 1.

a) Grado de p( x ) = 4; Grado de q( x ) = 3. b) a4 = 3; a3 = 4; a2 = −2; a0 = −1/2; c) 0

d) 0 e) 3/5 2. En todos los casos, salvo en e), aparecen exponentes de x no naturales o cero. En e) el polinomio es en dos variables. 3.

a) Polinomio p1 ( x ) p2 ( x ) p3 ( x ) p4 ( x )

Grado 2 3 4 0

b) 13

Recorrido Subconjunto propio de R R Subconjunto propio de R {−6}

c) −48 4.

a) Una recta paralela al eje x. b) Uno o cero o sin grado. c) Dos; una parábola. d) Tres; (0, −26 ).

5.

e) R. f ) R si el grado es impar y un subconjunto propio de R para grado par.

a) c p : −6, 4

b) cq : 0, −2, 2, −5 c) cr : −7, −3, 1, 3

13

3

Polinomio de grado 1

El polinomio de grado 1 corresponde al modelo lineal; éste tiene la forma p( x ) = a0 + a1 x, con a1 6= 0. En general, se anota Y = mx + n. Geometricamente representa una línea recta en el plano que tiene pendiente m y corta al eje y en el punto (0, n).

!"! #$%&'('()* +% ,%)-%.&/0 0102/.('0 34*('0 1. Asocie a cada ecuación su gráfica correspondiente.

a) y = 2x b) y = − x c) y = 0, 5x − 2 d) y = −0, 3x + 3

2. Indica en la figura las rectas:

a) x − 3y + 1 = 0 b) x + 1 = 0 c) y + 1 = 0 d) 4x + 3y + 6 = 0 14

Ejercicios de geometría analítica básica

3. Escriba la ecuación de la recta que: a) Pasa por el origen y es paralela a la recta y = −2x + 1.

b) Pasa por (−1, 4) y es perpendicular a la recta 5x + 4y = 0. x y c) Pasa por el origen y es perpendicular a la recta − = 1. 3 5 4. Determine los valores de las constantes k y k′ tales que las rectas kx + 6y − 1 = 0; x + 2y + k′ = 0: a) Sean paralelas. b) Coincidentes. c) Se corten en el punto (8; −2, 5). 5. Calcule la distancia: a) Entre los puntos (3, 10) y (−1, 5). b) Del punto (5, −7) a la recta y − 2 = 87 ( x + 6).

c) Entre las rectas x + 3y − 14 = 0; y = − 13 x + 2.

6. Dadas las rectas 4x − ky = 0 y x + 3y − 2 = 0, determine el valor de k: a) Para que sean perpendiculares. b) Para que sean paralelas. Encuentre el punto de intersección en el primer caso, y la distancia entre las rectas, en el segundo. 7. Sea L : y = 0, 5x + 2: a) Halle la recta L′ perpendicular a L que pasa por el origen. b) Determine el punto P en que se cortan L y L′ . c) Calcule la distancia de P al origen. d) ¿Es P el punto de L que más cerca está del origen? 15

3. P OLINOMIO DE GRADO 1

Soluciones 1.

a) L1

b) L3

c) L2

d) L4

2.

a) L2

b) L3

c) L1

d) L1

3.

a) y = −2x

c) 3x + 5y = 0

c) k = 2 , k′ = −3

5.

a) k = 3, k′ = −1/3 b) k = 3 √ a) 41

6.

a) k = 4/3. El punto de intersección es (0, 2; 0, 6)

7.

b) k = −12. La distancia entre ellas es 0,632.   4 8 a) y = −2x. c) 1,789 b) − , 5 5

b) 4x − 5y + 24 = 0 4.

b) 14,017

c) 2,53

d) Sí.

!"! #$%&'('()* *+,-%.%/01&()* 1. Dado el gráfico

Determine: a) Distancia AB. b) Pendiente de AB. c) Ecuación de la recta AB. d) Ecuación de la recta paralela a AB que pasa por el origen. e) Punto medio de AB. 16

Ejercicios suplementarios f ) Ecuación de la recta perpendicular a AB que intercepta al eje x en el valor 15. g) ¿El punto (-15,-24) pertenece a AB? 2. Dados los puntos R(−2, 5) y S(3, −7), determine: a) Distancia entre R y S. b) Pendiente de RS. c) Punto medio de RS. d) Ecuación general de la recta RS. e) Ecuación principal de la recta RS. f ) Ecuación general de la recta perpendicular a RS que pasa por el punto medio de RS. g) Puntos de intersección de RS con los ejes coordenados. h) Valor de k para que (8, k ) pertenezca a RS. 3. Determine la pendiente de las siguientes rectas. y−6 x−3 = 5 2 3 b) x = y − 2 5 x+4 c) =7 y−2 a)

4. Problemas. a) ¿Cuál es la intersección del gráfico de la recta 2x − 6y = −4 con el eje de las abcisas? b) ¿Cuál es la pendiente de la recta 6y + 2x = 3 ? c) ¿En cuál cuadrante se intersectan las rectas x = 5y; y = 2? d) Si a 6= 0, ¿en qué punto la función y = ax + b intersecta al eje de las ordenadas? e) Determine la intersección con el eje de las abcisas de la recta que pasa por los puntos (−1, 1) y (3, 9). f ) Si (m, 4) es un punto de la recta 3x − 2y = 7 , ¿cuál es el valor de m? g) Si la gráfica de la ecuación x + y − 8 + 4k = 0 pasa por el origen, ¿cuál es el valor de k? h) En la ecuación x (k − 3) = 2, ¿para qué valor de k se tiene que x = 1? i) Obtener el valor de k en la recta 3kx + 5y + k − 2 = 0 para que ella pase por el punto (−1, 4). j) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −1) y es perpendicular a la recta 2x − 3y + 7 = 0

k) Determine un punto de la recta que pasa por (6, 12) y (0, −6) que tenga ambas componentes iguales.

l) Dados los puntos A(3, 0) ; B(7, 0) y C (5, 4) calcule el área del triángulo ABC. 17

3. P OLINOMIO DE GRADO 1 m) ¿Cuál es el valor de k si las rectas 2x + ky = 3y y 3x + 6y = 4 son paralelas? n) Encontrar un punto en y = 4x − 1 tal que la ordenada sea el doble de la abcisa.   k son colineales, calñ) Si los puntos P(2, −3) ; Q(4, 3) y R 5, 2 cule el valor de k. o) En el sistema Px − 5y = 4 3x + 5y = 14

¿Cuál es el valor de P para que el valor de x sea 3 veces el valor de y? p) Dadas las rectas: L1 : L2 :

2x + y + 1 = 0 6x = By + 6

determine el valor de B para que L1 y L2 sean paralelas. q) En el sistema: 3x + 2y = 7 kx − y = 3 Encuentre un valor de k para que no tenga solución. r) Si (n, 8) representa el conjunto solución del sistema x − y = −5 3x + y = 1 entonces n =?.

Soluciones 1.

2.

a) b) c) d)

13 12/5 5y − 12x − 60 = 0 5y − 12x = 0

a) 13 b) −12/5

c) (1/2, −1)

d) 5y + 12x − 1 = 0 3.

a) 2/5 b) 3/5 c) 1/7

18

e) (−5/2, 6) f ) 12y + 5x − 75 = 0 g) Sí. e) y = − 12 5 x+

1 5

f ) 24y − 10x + 29 = 0

g) (0, 1/5) y (1/12, 0) h) −19

Aplicaciones del modelo lineal 4.

a) (2, 0) b) −1/3

c) Primer drante

d) (0, b) e) (−3/2, 0) f) m = 5

cua-

g) h) i) j) k) l) m)

k=2 k=5 k=9 y = − 32 x + 2 (3, 3) 8u2 k=7

n) (1/2, 1/2) ñ) k = 12 o) P = 3 p) B = −3

q) k = −3/2 r) n = 3

! ! "#$%&'&%()*+ ,*$ -(,*$( $%)*'$ Ejemplo 1. Existe una función que relaciona el volumen de sangre de un indi1 viduo con su peso, la cual esta dada por f ( x ) = x, donde x es el 14 peso del individuo, medido en kilos, y f ( x ) es la cantidad de sangre en el cuerpo, medido en litros. a) Grafique la función. b) ¿Cuántos litros de sangre tienen los siguientes pacientes, si sus pesos respectivos son: 58, 46 y 62. c) Determine el peso de los siguientes pacientes si se sabe que poseen: I)

3 litros de sangre. II ) 2.500 cc III ) 36 dl IV ) 4.500 ml Solución: a) La gráfica de esta función corresponde a una recta, cuya pendiente es 1/14, (es decir, por cada 14 kilos hay un litro de sangre) y pasa por el origen.

b) Evaluando en la función el respectivo peso, se tiene: 29 1 · 58 = = 4,14 litros. 14 7 1 23 f (46) = · 46 = = 3,29 litros. 14 7 31 1 · 62 = = 4,43 litros. f (62) = 14 7 f (58) =

19

3. P OLINOMIO DE GRADO 1 c) Para establecer el peso del paciente conocido su volumen de sangre, medido en litros, se debe determinar f −1 ( x ) y luego evaluar en la función encontrada los valores respectivos.

y =

1 x 14

x = 14y Luego la función inversa es: f −1 ( x ) = 14x f −1 (3) = 14 · 3 kilos. II ) Antes de evaluar se debe transformar 2.500cc a litros. 2.500cc equivalen a 2,5 litros. Ahora evaluamos en la función: f −1 (2, 5) = 14 · 2, 5 = 35 kilos. III ) Recuerde transformar 36 dl a litros. 36 dl equivalen a 3,6 litros. Evaluando: f −1 (3, 6) = 14 · 3, 6 = 50, 4 kilos. IV ) Al transformar 4.500 ml a litros, se obtiene 4,5 litros. Reemplazando: f −1 (4, 5) = 14 · 4, 5 = 63 kilos. I)

!"! #$%&'('()* +&)+,%*-)* 1. Se sabe que los grillos chirrían con mayor frecuencia a mayores temperaturas y con menor frecuencia a menores temperaturas. Por consiguiente, el número de chirridos es una función de la temperatura. Los siguientes datos se reunieron y fueron registrados en una tabla. Temperatura ◦ C Número de chirrillos por minuto

6 11

8 29

10 47

12 65

14 83

Si al ubicar los datos en una gráfica, sigue un modelo lineal, determine: a) Ecuación de la recta que describe el fenómeno. b) ¿Cuál será el número aproximado de chirridos por minuto cuando la temperatura es de 18◦ C? c) ¿Cuál es el aumento de chirridos por minuto emitidos por un grillo entre los 13◦ C y los 25◦ C de temperatura? d) Si el número de chirridos que emite un grillo es de 155 por minuto, ¿cuál será la temperatura? 2. Si la relación entre concentración de plomo y hemoglobina viene dada por: f ( x ) = 15 − 0, 1x, donde x es la concentración de plomo y f ( x ) es la hemoglobina probable. ¿Cuál es la concentración de hemoglobina si la concentración de plomo es de 20mg/100ml? 3. La fórmula C = 5/9( F − 32), donde F ≥ −459, 67, expresa la temperatura en grados celsius (◦ C) como función de la temperatura Fahrenheit F. 20

Ejercicios propuestos a) Encuentre una fórmula para la función inversa e interprétela. b) Si la temperatura del cuerpo oscila entre 37.2◦ C y 37.8◦ C. ¿Cuál es su valor en grados Farenheit? c) ¿Para qué valor ambas temperaturas son iguales? 4. Un niño que presenta un cuadro de intoxicación, es internado de urgencia en la unidad de tratamiento intensivo, para ser sometido a un lavado gástrico. El volumen de lavado gástrico debe ser de 15 ml por kilo de peso del paciente. Si el niño pesa 25 kilos. ¿Cuál debe ser el volumen de lavado gástrico?, ¿y para un paciente que pesa r kilos? 5. Existe una función que relaciona la cantidad de grasa como máximo que debe consumir diariamente una persona conociendo su peso en p , donde p es el peso del individuo medido kilos, ésta es: G ( p) = 1, 5 en kilos, y G ( p) es la cantidad diaria de grasa, medida en gramos. Determine: a) ¿Cuál es la cantidad diaria de grasa que debe consumir como máximo una persona cuyo peso es 45 kilos? b) Si una persona puede consumir como máximo 50 gramos de grasa diarios, ¿cuál es su peso? 6. Se llevó a cabo un experimento para estudiar el efecto de cierto medicamento para disminuir la frecuencia cardiaca en adultos y se obtuvieron los siguientes resultados: Dosis administrada en mg Disminución en la frecuencia cardiaca (latidos/m)

0,5 9,05

0,75 10,075

1 11,1

1,25 12,125

Suponiendo que los datos siguen un modelo lineal, determine: a) La función que representa el problema. b) Interprete la pendiente de la recta. c) Si se administran 2 mg, ¿cuál es la disminución en la frecuencia cardiaca? d) ¿Para qué dosis la frecuencia cardiaca disminuye en 10 latidos/m? 7. Se ha comprobado en un tipo particular de pacientes que la relación entre el riesgo coronario R, y el nivel de colesterol C, cuando éste último está por encima de 210 es lineal. Sabiendo que el riesgo coronario a un nivel de colesterol de 210 es 0,81 y a un nivel de 231 es 0,85: a) Encuentre la ecuación que relaciona R en función de C. b) Interprete la pendiente de la función lineal encontrada en 7a). c) ¿Qué riesgo coronario corresponde a un nivel de colesterol de 260? 21

3. P OLINOMIO DE GRADO 1 d) ¿Para qué nivel de colesterol el riesgo es de 1? 8. Una ley de Gay-Lussac establece que al calentar un gas, a volumen constante y lejos de su punto de licuación la relación
su pre" T entre + 1 , donde sión P y su temperatura T en ◦ C es lineal: P = P0 273 P0 es la presión del gas a 0◦ C. a) Dibuje la gráfica de P en función de T, considerando P0 = 100. b) Interprete la pendiente y el coeficiente de posición. c) ¿Qué ocurre con la presión de un gas a la temperatura de −273◦ C que se conoce como cero absoluto de temperatura?

Soluciones 1.

a) N (t) = 9t − 43. b) 199 veces por minuto. c) Aumentan en 108 chirridos por minuto. d) 26◦ C.

2. 13mg/100ml. 3.

a) F = (9/5)C + 32 y expresa la temperatura en grados Fahrenheit como función de la temperatura en grados Celsius. b) 98,96 F y 100,04 F. c) Para −40, las temperaturas son iguales.

4. El volumen de lavado gástrico es de 375 ml, para el niño y para un paciente de r kilos es de 15r ml. 5.

a) 30 gramos de grasa. b) 75 kilos.

6.

a) f ( x ) = 7 + 4,1x, donde x es la dosis administrada y f ( x ) la disminución de la frecuencia cardiaca. b) Por cada mg de medicamento la frecuencia cardiaca disminuye en 4,1 latidos/min. c) La frecuencia cardiaca disminuye en 15,2 latidos/min. d) 0,7317 mg.

7.

a) R = 0, 0019C + 0, 41 b) Por cada unidad de colesterol, el riesgo cardiaco aumenta en 0,001524. c) El riesgo es de 0,847. d) Para un nivel de colesterol de 310,5263, hay un riesgo coronario de 1, es decir, un 100 % de problemas coronarios.

22

Problemas suplementarios 8.

a)

b) La pendiente es igual a 100/273, es decir, por cada 273◦ la presión aumenta en 100. El coeficiente de posición es 100, es decir, cuando la temperatura es de cero grado la presión del gas es de 100. c) La presión es cero.

!"! #$%&'()*+ +,-'()(./*$0%+ 1. En pacientes con enfisema pulmonar, se estudia el número de años que el paciente ha fumado y la evaluación médica con respecto al daño sufrido por los pulmones (Medido en una escala de 1 a 100 ptos). Los pacientes son clasificados según la edad de éstos en: menores de 40 años y 40 o más años. Algunos antecedentes relativos al estudio, indican que el daño sufrido por los pulmones es de 25 ptos, para los pacientes que llevan fumando 20 años, en cualquiera de los grupos etareos. Además se sabe que para un paciente con 40 o más años, que lleva 28 años fumando, el daño pulmonar tiene un puntaje de 30. Para un paciente menor a 40 años, que lleva 28 años fumando, el daño pulmonar es de 28 ptos. Según lo anterior determine: a) Gráfica de análisis, correspondiente a la situación descrita y la expresión matemática adecuada al caso. Responda 1b) y 1c) considerando el grupo de pacientes con 40 o más años. b) Si al aumentar el número de años que ha fumado un paciente. Aumenta o disminuye el daño en los pulmones?, A qué razón? c) ¿Cuál es el daño pulmonar para un paciente que lleva fumando 42 años? d) Lo mismo que en 1b), pero considerando a los paciente con menos de 40 años. Nota: Los datos usados no son completamente reales. 2. Se investiga la capacidad vital en niños de distintas edades, clasificando entre niños nacidos en parto normal y parto con problemas. En general la capacidad vital de un niño de 4 años que nació en parto normal es de 0,79 y es de 0,78 para un niño que nació en un 23

3. P OLINOMIO DE GRADO 1 parto con problemas. Independiente del tipo de parto, se sabe que existe aproximadamente un aumento de 0,1 en la capacidad vital, al aumentar en un año la edad del niño. Según lo anterior determine: a) Gráfica de análisis, correspondiente a la situación descrita y la expresión matemática adecuada al caso. b) ¿A qué razón aumenta la capacidad vital por año de edad, en el grupo de niños que nacieron en un parto normal? Lo mismo para el caso de partos con problemas. c) ¿En qué edad tienen la misma capacidad vital los dos grupos de niños? d) ¿Cuál es el capacidad vital de un niño de 5 años que nació en parto normal? Conteste la pregunta considerando que el niño nació en un parto con problemas. Nota: Los datos usados no son completamente reales. 3. Una investigadora hace un experimento para probar su hipótesis acerca de la niacina y el retinol, que son dos nutrientes. Desea alimentar uno de sus grupos de ratas de laboratorio con una dieta que contenga exactamente 32 unidades de niacina y 22.000 de retinol, por día. Tiene dos a limentos comerciales en pastillas. El alimento A contiene 0,12 unidades de niacina y 100 de retinol por gramo. El alimento B contiene 0,20 unidades de niacina y 50 de retinol por gramo. ¿Cuántos gramos de cada alimento debe dar a este grupo de ratas cada día? (Solución: 200 g de A y 40 g de B) 4. En la medida en que el aire (sin humedad) sube, se expande y enfría. Si la temperatura a nivel de la tierra es de 20◦ C y a 1 km de altura es 10◦ C a) Escriba la relación entre la altura y temperatura, si se supone que entre ellas existe una relación lineal. b) Haga el gráfico. c) Determine la temperatura a 3 km de altura. 5. A dos pacientes, uno de sexo femenino y el otro de sexo masculino, se les administra simultáneamente 500 mg y 250 mg, respectivamente de claritromicina. Si el medicamento es absorbido por la mujer a razón de 30 mg/hr y por el hombre a 80 mg/hr, ¿En qué instante la concentración del fármaco es la misma en ambos pacientes?

Soluciones 1. Sean Y el daño pulmonar (en puntos de 1 a 100), x el número de años fumando a) Para pacientes con menos de 40 años: Y = 83 x + 176/8.

Para pacientes con cuarenta o más años: Y = 58 x + 100/8

b) Aumenta, a razón de 0,625 puntos por año fumando. 24

Problemas suplementarios

c) Si lleva fumando 42 años, el daño pulmonar será de 38, 75 puntos. d) Aumenta, a razón de 0,375 puntos por año fumando. 2. Sean Y la capacidad vital, x la edad en años. a) Para niños nacidos en parto normal, Y = 0, 1x + 0, 39.

Figura 3.1: Capacidad vital Para niños nacidos en parto con problemas, Y = 0, 1x + 0, 38 (Véase figura 3.1) b) Independiente del tipo de parto la capacidad vital aumenta en 0, 1 por cada año de vida. c) A ninguna edad (rectas paralelas). d) Para parto normal: 0, 89 Para parto con problemas: 0, 88 3. 200grs. de A y 40 grs. de B. 4. Sean A la altura y T la temperatura. a) T = −10A + 20 25

3. P OLINOMIO DE GRADO 1

Figura 3.2: Temperatura en función de la altura

b) (Véase figura 3.2) c) −10 5. A las 5 horas las concentraciones serán iguales.

26

4

Polinomio de grado 2

!"! #$%&'(% &$)*+,-'&) 1. Para las siguientes funciones cuadráticas f 1 ( x ) = 2 − x2

f 9 ( x ) = − x2 − x − 1

f 10 ( x ) = 2x2 − 6x + 3

f 2 ( x ) = −3x2

f 3 ( x ) = 2x2 − 3x

f 11 ( x ) = −2x2 − 2x + 6

f 4 ( x ) = − x2 + x

f 12 ( x ) = x2 + 2x − 24

f 5 ( x ) = − x2 + 2x + 12

f 13 ( x ) = x2 − 6x + 9

f 6 ( x ) = x2 − 7x + 10

f 14 ( x ) = − x2 + 2x − 1

f 7 ( x ) = x2 + x − 6

f 15 ( x ) = x2 − 5x + 7

f 8 ( x ) = − x2 + 5x − 6

f 16 ( x ) = x2 − 5x + 2

Determine: a) Hacia dónde dirige sus ramas. b) Si tiene máximo o mínimo. c) Intersección con el eje y. d) Ceros (si son reales). e) Coordenadas del vértice. f ) Dominio y rango. g) Gráfico. h) Intervalo de números reales cuyas imágenes son positivas. i) Intervalo de números reales cuyasimágenes son negativas.

27

28

Máx.

Mín.

Máx.

Máx.

Mín.

Mín.

Máx.

Máx.

f2 (x)

f3 (x)

f4 (x)

f5 (x)

f6 (x)

f7 (x)

f8 (x)

f9 (x)

f1 (x)

Máx. Mín. Máx.

Función

Soluciones

(0, −1)

(0, −6)

(0, −6)

(0, 10)

(0, 12)

(0, 0)

(0, 0)

(0, 0)

(0, 2)

Int. eje y

x1 x2 x1 x2 x1 x2

√ = √2; =− 2 = 0; =0 = 0; = 3/2 x1 = 0; x2 = 1 x1 = −2, 605; x2 = 4, 605 x1 = 2; x2 = 5 x1 = 2; x2 = −3 x1 = 2; x2 = 3 No corta.

Ceros






5 1 2, 4



− 21 , − 43







− 21 , − 25 4

9 2, −4

"7





1 1 2, 4

(1, 13)



R

R

R

R

R

R

R




−9 4, 8

"3

R

R

Dom

(0, 0)

(0, 2)

Vértice









i

−∞, − 43

i

−∞, 14

− 94 , ∞

 − 25 4 , ∞ ∪] − ∞, −3[



] − ∞, 13]

] − ∞, 41 ]

] − 9/8, ∞]

] − ∞, 0]

] − ∞, 2]

Rec

∅

√ √ 2, 2[

∅

]2, 3[

]2, ∞[

] − ∞, 2[∪]5, ∞[

] − 2, 605; 4, 605[

]0, 1[

] − ∞, 0[∪]3/2, ∞[

]−

Imágenes positivas.

R

] − ∞, 2[∪]3, ∞[

] − 3, 2[

]2, 5[

] − ∞; −2, 605[∪]4, 605; ∞[

] − ∞, 0[∪]1, ∞[

]0, 3/2[

] − ∞, 0[∪]0, ∞[

√ √ ] − ∞, − 2[∪] 2, ∞[

Imágenes negativas

4. P OLINOMIO DE GRADO 2

Máx.

Mín.

Mín.

Máx.

Mín.

Mín.

f 11 ( x )

f 12 ( x )

f 13 ( x )

f 14 ( x )

f 15 ( x )

f 16 ( x )

f 10 ( x )

Máx. Mín. Mín.

Función

(0, 2)

(0, 7)

(0, −1)

(0, 9)

(0, −24)

(0, 6)

(0, 3)

Int. eje y

=

=

=

5+ 17 2 ; x2 √ 5− 17 2

x1 √

=

=

4; x2 = −6 x1 = 3; x2 = 3 x1 = 1; x2 = 1 No corta.

√ −1+ 13 ; 2 x2 √ −1− 13 2 x1 =

x1

3+ 3 2 ; √ x2 = 3−2 3

x1 √

Ceros

− 21 , 13 2






 

5 17 2, − 4

R

R




3 2, 4

"5

R

R

R

R

R

Dom

(1, 0)

(3, 0)

(−1, −25)



"3

3 2, −2

Vértice

i



−∞, 13 2

− 32 , ∞

h



− 17 4 ,∞

4, ∞

3 h

] − ∞, 0]

[0, ∞[

] − 25, ∞]

i



Rec

] − ∞; 0, 44[∪]4, 56; ∞[

R

∅

R − {3}

] − ∞, −6[∪]4, ∞[

] − 2, 3; 1, 3[

] − ∞; 0, 63[∪]2, 37; ∞[

Imágenes positivas.

]0, 44; 4, 56[

∅

R − {1}

∅

] − 6, 4[

] − ∞; −2, 3[∪]1, 3; ∞[

]0, 3; 2, 37[

Imágenes negativas

Función cuadrática

29

4. P OLINOMIO DE GRADO 2 Gráficos

30

f1

f2

f3

f4

f5

f6

Función cuadrática

f7

f8

f9

f 10

f 11

f 12

31

4. P OLINOMIO DE GRADO 2

32

f 13

f 14

f 15

f 16

Aplicaciones

!"! #$%&'('&)*+, Ejemplo Suponga que el peso en gramos de un tumor cerebral, en el tiempo t, está dado por y = −0, 2t2 + 6t donde t está medido en semanas. Según el enunciado conteste las siguientes preguntas. 1. Grafique la curva que representa el crecimiento del tumor. 2. ¿Cuánto pesa el tumor a la quinta semana? 3. ¿Cuál es la variación del peso del tumor entre la cuarta y quinta semana? 4. ¿En qué semana alcanza su máximo peso? 5. ¿Cuántos gramos, como máximo, puede llegar a pesar el tumor? 6. Si cuando el tumor alcanza su máximo peso, el paciente es internado de urgencia en la UTI, y es sometido a un tratamiento para disminuir el peso del tumor. ¿Cuánto tiempo demora en desaparecer el tumor después de aplicado el tratamiento? Solución La curva a graficar corresponde a una parábola, luego debemos conocer: Concavidad. En este caso a < 0, lo cual nos indica que la parábola es cóncava hacia abajo, y posee un punto máximo. Intersección con los ejes coordenados. Intersección eje x. Para determinar la intersección con el eje x, debemos resolver la siguiente ecuación:

−0, 2t2 + 6t t(−0, 2t + 6) t=0 t=0

= = ∨ ∨

0 0 0, 2t + 6 = 0 t = 30

Es decir, en t = 0 semanas el tumor pesó 0 gramos y también a las 30 semanas. Intersección eje y. Para hallar la intersección con el eje y, debemos evaluar la función en t = 0: f (0) = −0, 2 · (0)2 + 6 · 0 = 0. Es decir, en la semana 0 el peso en gramos del tumor es de 0 grs. Coordenadas del vértice. V (h, k) donde h=−

6 b = = 15 2a 2 · 0, 2

k = f (h) = f (15) = 45.

Luego las coordenadas del vértice son: V(15,45). 33

4. P OLINOMIO DE GRADO 2 Recorrido 1. Como a < 0 entonces el recorrido serán todos los valores de y, que sean menores o igual a 45. Lo que significa que en cualquier instante, el peso del tumor es menor o igual a 45 gramos. Ahora podemos bosquejar la gráfica

Observación: El Recorrido tiene sentido según el contexto en [0, 45]. 2. f (5) = −0, 2(5)2 + 6 · 5 = 25 gramos.

Esto significa que a la quinta semana el tumor alcanza un peso de 25 gramos.

3. Debemos calcular f (5) − f (4) f (5) = −0, 2 · (5)2 + 6 · 5 = 25 gramos

f (4) = −0, 2 · (4)2 + 6 · 4 = 20, 8 gramos f (5) − f (4) = 25 gramos − 20, 8 gramos = 4, 2gramos. Podemos concluir que el tumor aumentó 4,2 gramos entre la cuarta y quinta semana. 4. La abscisa del vértice indica, cuando alcanza su máximo peso. Luego en la semana número 15, el tumor alcanza su máximo peso. 5. La ordenada del vértice nos indica, el peso máximo del tumor. Por lo tanto, lo máximo que puede llegar a pesar el tumor es 45 gramos. 6. 15 semanas.

Ejercicios 1. Al nacer un bebé perderá peso normalmente durante unos pocos días, después comenzará a ganarlos. Un modelo para el peso medio de los bebés durante las 2 primeras semanas de vida es: P(t) = 0, 015t2 − 0, 18t + 3, 3, con P(t) medido en kilos y t medido en días. a) Determine la porción del gráfico que representa el problema. b) ¿Cuánto pesa el bebé al nacer? c) ¿Cuándo el bebé alcanza su mínimo peso? d) ¿Cuántos kilos pierde? e) ¿Cuál es ese mínimo peso? 34

Aplicaciones f ) Indique el intervalo de tiempo en el cual el bebé comienza a aumentar de peso. g) ¿Cuánto pesa el bebé a las 2 semanas? h) ¿Cuántos kilos aumenta desde que nace hasta las 2 semanas? 2. En una reacción química la cantidad Q (en gramos) de una sustancia producida en t horas viene dada por Q(t) = 16t − t2 , 0 < t ≤ 16. a) Grafique la porción de la función acorde con el problema. b) ¿Cuántos gramos de sustancias se han producido, a la media hora? c) ¿En qué instante la cantidad de sustancia producida es máxima? d) ¿Cuál es el valor de esa cantidad máxima de sustancia producida? e) ¿Cuál es la cantidad promedio de sustancia producida entre la media y 2 horas? 3. La siguiente función y = 0, 1875x2 − 18x + 670 representa el número de accidentes automovilísticos que se producen durante el día, donde x es la velocidad a la cual viaje el automóvil, 48 ≤ x ≤ 100. Determine: a) Porción del gráfico que representa al problema. b) El número de accidentes que se producen si el automóvil viaja a una velocidad de 100 km/horas. c) Si en un día se producen 500 accidentes, ¿a qué velocidad viajaban los automóviles? d) ¿A qué velocidad debe viajar para que el número de accidentes sea mínimo? e) ¿Cuál sería el número de accidentes mínimo? 4. La gran arteria del cuerpo humano “la aorta” es un tubo aproximadamente tan grande como la base de un pulgar humano medio. El corazón bombea la sangre a través de ella de manera tan potente que las partículas de sangre próximas al centro se mueven a velocidades de unos 50 cm/seg. Por otra parte, la sangre es un líquido viscoso, y cerca de la pared de la arteria la sangre tiende a pegarse a la pared, y su velocidad ahí es prácticamente cero. La relación precisa entre la velocidad s y la distancia r al centro viene dada por la fórmula  P  2 R − r2 s (r ) = 4ηL donde P es la diferencia de presión entre los extremos de la arteria, η es la viscosidad de la sangre y L la longitud de la arteria. Es costumbre medir R, r y L en centímetros (cm), P en dinas/cm2 , de modo que s se mide en cm/seg. Un valor típico para R en el cuerpo P humano es R = 0,2 cm, y un valor realista para la constante 4ηL es 500. Sustituyendo estos valores, se obtiene el siguiente modelo: s(r ) = 20 − 500r2 , en base a éste, determine: 35

4. P OLINOMIO DE GRADO 2 a) Porción del gráfico acorde al enunciado. b) ¿Cuál es la velocidad de la sangre a 0.1 cm del centro de la arteria? c) ¿Para qué valor de r, la velocidad de la sangre es cero? d) ¿Cuál es la velocidad de la sangre en el centro de la arteria? e) ¿Para qué valor de r, la velocidad de la sangre es máxima? f ) ¿Cuál es esa velocidad? 5. Un águila asciende desde su nido que se encuentra a una altura de 525 metros a 10 metros por segundo. Una bala es lanzada de modo que su altura en función del tiempo es h(t) = 10 + 200t − 5t2 a) Realice un gráfico que represente el problema. b) ¿En qué intervalo de tiempo la altura de la bala es mayor que la altura del águila? c) ¿Se encuentran la bala y el águila? En caso afirmativo, indique cuando. d) ¿Cuál fue la máxima altura que alcanzó la bala? e) ¿Desde qué altura fue lanzada la bala? f ) ¿Cuánto se demora en caer al suelo la bala? g) ¿Cuánto tiempo se demora el águila en alcanzar la máxima altura de la bala?

Soluciones 1.

a)

b) 3,3 kilos. c) Al sexto día. d) 0,54 kilos. e) 2,76 kilos. f ) (6, 14]. g) 3,72 kilos. h) 0,42 kilos. 36

Aplicaciones 2.

a)

b) 7, 75 grs. c) A las 8 horas. d) 64 grs. e) 20, 25 grs/hora. 3.

a)

b) 745 accidentes. c) 85, 38 km/hora. d) 48 km/hora. e) 238 accidentes. 4.

a)

b) 15 cm/seg. c) 0,2 cm. 37

4. P OLINOMIO DE GRADO 2 d) 20 cm/seg. e) 0 cm. f ) 20 cm/seg. 5.

a)

b) La bala adelanta al águila en el intervalo (2, 94; 35, 06). c) 2, 94 seg. d) 2010 metros. e) 10 metros. f ) 40 seg. g) 148, 5 seg.

38

5

Ejercicios de potencias y logaritmos 1. Exprese en la forma más simple, usando las propiedades de potencias: e) 2560,16 · 2560,09

a) 0, 12530 · 830

b) 2431/20 · 2430,15

f)

2n +4 −2n +1 2n +3

c)

5m +2 +5m +5 5m +4

g)

d)

p −4 − q −4 p −2 + q −2

a −2 − b −2 a −1 − b −1

h)

x −2 − y −2 x −4 − y −4

2. Resolver: a) 9x+2 = 240 + 9x b) 3x+1 = 4x+1 c) 3x+2 + 9x+1 = 810 2x+y = 64 d) 64x−y = 0, 212

f ) 2x+1 + 4x = 80 g) e2x − 3e x + 2 = 0

zx = y2x z = 2 · 4x h) 2 x + y + z = 16 si x 6= 0

e) 4x − 4x−1 = 24 3. Expresar en notación científica: a) 85643

d) 0, 000072

b) 845300

e) 3008, 003

c) 32, 00012

f ) 0, 00413

g) El diámetro de la órbita de la Tierra es 299.000.000 km. h) El diámetro de una molécula grande es 0, 00000017 cm. i) El número de Avogadro (número de moléculas en 22, 4 litros de gas en condiciones normales) es 602.000.000.000.000.000.000.000 j) La carga del electrón es 0, 00000000000000000016 coulombs. 4. Expresar en notación ordinaria: a) 6, 67 · 105 + 3, 21 · 102 + 5, 013 · 104 b)

−110,7·1012 4,1·1010

c) 9, 6 · 10−4 − 1, 25 · 10−2

d) 2, 5 · 10−2 · 3, 2 · 103

5. Escribir en notación logarítmica: a) 35 = 243

d) 170 = 1

b) 0, 24 = 0, 0016

e) (1/4)2 = 0, 0625

c) 10−5 = 0, 00001

f ) e0,69315 = 2

39

5. E JERCICIOS DE POTENCIAS Y LOGARITMOS 6. Escribir en notación exponencial: d) log0,5 4 = −2

a) log3 27 = 3

e) ln 3 = 1, 09861

b) log 10 = 1 c) ln 10 = 2, 3026

f ) log 28 = 1, 4472

7. Calcular el valor de: f ) log25 5 √ g) log4 2

a) log5 25 b) log√3 9 √ c) log3 3 3

h) log0,75

4 3

√ i) log2√3 12 √ j) log 1 3

d) log0,125 8 e) log√2 8

27

8. Encontrar el valor de x si: a) logx 2 = 18 √ b) logx 3 =

f ) logx 25 = 2 1 2

c) log 0, 1 = x d) log2

( x2

e) log5

1 125

− 1) = log2 8 =x

g) log2 x = 6 h) ln e = x i) log( x2 + 64) = 2 j) log x2 = −4

9. Desarrolle: a) log abc

2

d) log nm 2 r3

√ x2 y

b) ln z5 √ 4 v c) log

q +r 5

f)

√

pq r3 log xlog x

e) log

10. Expresar empleando un solo logaritmo: a) 2 log a + log b b) 5 log m − 31 log m c)

1 2

log x − 23 log y + log z

d) log 1a − 2 log b + log a2 − log 1b e)

log a log b

11. Resolver las siguientes ecuaciones: a) 2 log x = log 121

g) log x +

b) loga x = − loga b

h) 3x = 6

c) a + ln x = ln( a + x ) 1 + 10x d) =a 1 − 10x e) e2+ln x = x + 2 f) 40

xlog x

=

1000x2

15 log x

=8

i) 22x+3 − 6x−1 = 0 j) ln(2x − 1) = 7 k)

logx 100 − logy 10 = 0 log x + log y = 1

l) log x − 5 log 3 = −2

m) log x + log( x + 4) = a

p) log2 √

x

r

x =0 2x − 3 √ = ( x)x

log(7 − x3 ) =3 n) log(1 − x )

q) x

o) xlog x = 100x

t) e x = 4e8x

x ñ) log x− 1 = a

r) 7x+3 = 5 s) e3( x−2) =

1 2

Soluciones 1.

2.

a) 1

e) 4

b) 3

f)

c)

126 25

g)

d)

q2 − p2

( pq)2

h)

a)

1 2

f) 3

b) −1

g) x1 = 0; x2 = ln 2

d) x = 2; y = 4

h)

c) 2 e)

3.

5 2

a) 8, 5643 · 104

x1 = 4 55 x2 = 9

g) 2, 99 · 108

d) 7, 2 · 10−5

i) 6, 02 · 1023

e) 3, 008003 · 103

y1 = 3 11 y2 = − 3

z1 = 9 121 z2 = 9

f ) 4, 13 · 10−3

b) 8, 543 · 105

c) 3, 600012 · 10

4.

7 4 a+b ab 1 x 2 + y2

h) 1, 7 · 10−7

j) 1, 6 · 10−19

a) 717, 45 b) −2700

c) −0, 0115

d) 80 5.

6.

7.

a) log3 243 = 5

d) log17 1 = 0

b) log0,2 0, 0016 = 4

e) log1/4 0, 0625 = 2

c) log 0, 00001 = 5

f ) ln 2 = 0, 69315

a) 33 = 27

d) 0, 5−2 = 4

b) 101 = 10

e) e1,09861 = 3

c) e2,3026 = 10

f ) 101,4472 = 28

a) 2

f)

b) 4

g)

c)

3 2

d) −1 e) 6

1 2 1 4

h) −1 i) 1

j) − 61 41

5. E JERCICIOS DE POTENCIAS Y LOGARITMOS 8.

9.

10.

11.

a) 256

f) 5

b) 3

g) 64

c) −1

h) 1

e) −3

j) ±0, 01

d) ±3

i) ±6

a) log a + 2 log b − log c b) 2 ln x + 21 ln y − 5 ln z − 1 4 ln v c) log(q + r ) − log 5

d) log m − 2 log n − 3 log 3

a) log a2 b m5 b) log √ 3 n √ x x c) log p 3 y2

d) log ba

a) 11

k) x =

b) 1/b a c) a e −1 a−1 d) log a+1 2 e) 2 e −1 f ) x1 = 1000; x2 = 0, 1

l) 2, 43

g) x1 = 1000; x2 = 100000 h) 1, 6309 i) 9, 5475 e7 + 1 j) 2

42

e)

1 2

log p + 12 log q − 3 log r

f ) log2 x

e) logb a

√ 3

m) −2 +

100; y =

√

√ 3

10

4 + 10a

n) −1 10a ñ) 10a − 1 o) x1 = 100; x2 = 0, 1 p) x = −3

q) x1 = 0; x2 = 1; x3 = 4 r) −2, 1729 s) 1, 7689

t) −0, 1980

6

Modelo exponencial y logarítmico

!"! #$%&'$ &()$*&*+,-' Gráficas del modelo exponencial En su expresión básica posee la siguiente estructura y = b x con b > 0, b 6= 1. A continuación se muestran las posibles gráficas de la función exponencial. Se distinguen dos casos 1. b > 1 Ejemplo y = 2x , b = 2Dominio El recorrido de esta función es R, puesto que no hay restricciones para los posibles valores que puede tomar x. Recorrido Para determinar el recorrido, se debe despejar x, en la función, luego resulta y = 2x log(y) = log(2x ) log(y) = x log(2) log(y) x= log(2) Como y corresponde al argumento de un logaritmo, éste debe ser positivo, es decir, y > 0, para que exista tal número. Luego, el recorrido de la función es R + . Intersección eje y Basta evaluar la función en x = 0 f (0) = 20 = 1. Luego la función corta al eje y en el punto (0, 1). Intersección eje x ¿Para qué valor de x, su imagen es cero? f ( x ) = 0 =⇒ 0 = 2x , no existe tal valor para x, pues rec f = {y | y > 0}. Luego, se puede concluir que la curva no corta al eje y. Asíntota horizontal Es la recta y = 0. Calcularemos algunas imágenes para la gráfica de la función x −5 −0, 7 −0, 3 0 1, 5 2 2, 5 3

y = 2x 0, 03 0, 61 0, 81 1 2, 82 4 5, 65 8 43

6. M ODELO EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICO 2. 0 < b < 1

Ejemplo y =

 x 1 1 ,b= . 2 2

El análisis es análogo al anterior Dominio R. Recorrido y log(y) log(y) x

 x 1 = 2   x  1 = log 2   1 = x log 2 log(y)   ∈ R ⇐⇒ y > 0 = log 21

Entonces rec f = R + . Intersección eje y Basta evaluar en la función x = 0  0 1 = 1. f (0) = 2 Luego, la función corta al eje y en el punto (0, 1). Intersección eje x ¿Para qué valor de x su imagen es cero? f ( x ) = 0 =⇒

 x 1 = 0, 2

no existe tal valor para x en R. Luego, se puede concluir que la curva no corta al eje x. Asíntota horizontal Es la recta y = 0. Evaluaremos algunos valores en la función, para su gráfica x −5 −0, 7 −0, 3 0 1, 5 2 2, 5 3

44

y = 2x 32 1, 62 1, 23 1 0, 35 0, 25 0, 17 0, 125

Modelo exponencial En resumen, la función y = b x b>1

0
En general, de acuerdo con los gráficos podemos concluir, lo siguiente 1. Dominio de la función: R. 2. Recorrido de la función: R + . 3. La curva corta al eje y en: (0, 1). 4. La curva es creciente cuando b > 1. 5. La curva es decreciente cuando 0 < b < 1. 6. Posee asíntota horizontal, que corresponde al eje x.

Ejemplos de gráficas del modelo exponencial De acuerdo al modelo básico de la función exponencial, grafique: 1. y = e x

a) La base es mayor que 1, luego la curva es creciente. b) Dom: R. c) Rec: R + . d) Intersección P(0, 1)

eje

x:

e) Asíntota: es la recta y = 0 2. y = −e x

Es la curva simétrica de y = e x , con respecto al eje x (y = − f ( x )). Luego a) Dom: R. b) Rec: R − . c) Intersección P(0, −1).

eje

y:

d) Asíntota: Es la recta y = 0. 45

6. M ODELO EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICO

3. y = e− x

Es la curva simétrica de y = e x con respecto al eje y (y = f (− x )). Luego a) Dom: R. b) Rec: R + . c) Intersección P(0, 1)

eje

y:

d) Asíntota: Es la recta y = 0. 4. y = −e− x

Es la curva simétrica de y = e x con respecto al origen (y = − f (− x )). Luego a) Dom: R. b) Rec: R − . c) Intersección P(0, −1)

eje

x:

d) Asíntota: Es la recta y = 0. 5. 3e x

La curva básica y = e x es amplificada por 3. Luego a) Dom: R. b) Rec: R + c) Intersección P(0, 3)

eje

y:

d) Asíntota: Es la recta x = 0. 6. y = 1 + 2e x

La curva básica y = e x es amplificada y trasladada. Luego a) Dom: R. b) Rec: {y | y > 1} c) Intersección P(0, 3).

eje

y

d) Asíntota: Es la recta y = 1.

46

Modelo exponencial

La curva básica y = e x , es amplificada, invertida y trasladada. Luego

7. y = 1 − 2e x

a) Dom: R. b) Rec: {y | y < 1}. c) Intersección P(0, −1)

eje

y:

d) Intersección eje x 0 = 1 − 2e x ⇔ 1 x = e ⇔ x = 2   1 2

⇒ x = −0, 69. Q(−0, 69, 0).

ln

8. y = 1 + 2e− x

e) Asíntota: Es la recta y = 1. La curva básica y = e x es amplificada, invertida y trasladada. Luego a) Dom: R. b) Rec: {y | y > 1}. c) Intersección P(0, 3)

eje

y:

d) Asíntota: Es la recta y = 1. 9. y =

1 3

 x 1 2

+2

La curva básica y = (1/2) x , comprimida y trasladada. Luego a) Dom: R. b) Rec: R + c) Intersección P(0, 7/3)

eje

y:

d) Asíntota: Es la recta y = 2.

Aplicación del modelo exponencial En un estudio de ayuno, el peso de un voluntario bajó de 90 Kg a 60 Kg en 60 días. Si el peso es eliminado de forma exponencial. a) Encuentre la función que represente al problema. b) Grafique la función. 47

6. M ODELO EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICO c) ¿Cuál era el peso del voluntario al mes después de haber iniciado el tratamiento? d) Por cuanto tiempo es conveniente realizar el estudio de ayuno, sin perjudicar la salud del voluntario, si lo mínimo que puede llegar a pesar es 50 kg. Solución a) Si el peso se elimina de forma exponencial, sigue el modelo de decaimiento N (t) = N0 e−kt . t está medido en días. N0 , el peso inicial del voluntario, medido en kilos. N (t), el peso del voluntario, después de t días de iniciado el experimento. k es la constante de eliminación. Según los datos mencionados en el problema se tiene: t = 60 días. N (60) = 60 kg. N0 = 90 kg. k=? Evaluando en la función, se obtiene N (60) = 90e−60k 60 = 90e−60k k=

ln 23 = 0, 006757 −60

Luego, la función es N (t) = 90e−0,006757t

b) El gráfico muestra la función N (t) = 90e−0,006757t

c) Como el tiempo esta medido en días, se debe efectuar la respectiva transformación. N (30) = 90e−0,006757t = 73, 486 kilos Por lo tanto, después de un mes de tratamiento el peso del voluntario era de 73, 486 kilos. 48

Modelo logarítmico d) Reemplazando en la función 50 = 90e−0,006757t t=

ln 95 = 86, 98 días −0, 006757

Luego, el tratamiento se debe realizar a lo más por 3 meses aproximadamente, para no causar daño a la salud del voluntario.

!"! #$%&'$ '$()*+,-./$ Gráficas del modelo logarítmico La función logarítmica corresponde a la función inversa de la exponencial y su expresión básica posee la siguiente estructura y = logb x

con b > 0, b 6= 1

Al realizar la gráfica de esta función se distinguen dos casos 1. b > 1

Ejemplo y = log x, b = 10 (logaritmo decimal) Dominio R + . Recorrido R. Intersección eje y No corta al eje y Intersección eje x ¿Para qué valor de x su imagen es cero? f ( x ) = 0 ⇒ 0 = log x ⇔ 100 = x ⇔ x = 1 Asíntota vertical Es la recta x = 0. Calcularemos algunas imágenes, para la gráfica de la función, para b=10

x 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3

y = log x −0, 3 0 0, 17 0, 3 0, 39 0, 47

49

6. M ODELO EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICO 2. 0 < b < 1 Ejemplo y = log 1 x, b = 10

1 10 .

El análisis es análogo al anterior. Dominio R + . Recorrido R. Intersección eje y No lo corta. Intersección eje x ¿Para qué valor de x, su imagen es cero? f ( x ) = 0 ⇒ log 1 x = 0 ⇔ x = 1 10

Luego, la función corta al eje x en el punto P(1,0). Asíntota vertical Es la recta x = 0. Calcularemos algunas imágenes, para la gráfica de la función

x

y = log 1 x

0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3

0, 3 0 −0, 17 −0, 3 −0, 39 −0, 47

10

En resumen, la función y = logb x b>1

0
En general, de acuerdo con los gráficos podemos concluir lo siguiente 1. Dominio de la función: R + . 2. Recorrido de la función: R. 3. La curva corta al eje x en: P(1, 0). 50

Modelo logarítmico 4. La curva es creciente, cuando: b > 1. 5. La curva es decreciente, cuando: 0 < b < 1. 6. La curva se acerca infinitamente al eje y sin llegar a cortarlo, es decir la gráfica posee asíntota vertical, y que en este caso, la asíntota corresponde al eje y, sucede debido a que x no puede tomar el valor 0 (Dom: R + ).

Ejemplos de gráficas del modelo logarítmico La curva básica y = log x comprimida horizontalmente en un factor de 3. Luego 1. y = log(3x )

a) Es creciente, por ser b = 10. b) Dom: { x ∈ R | 3x > 0} = { x | x > 0}. c) Rec: R. d) Asíntota vertical: Es la recta x = 0.

2. y = − log(3x )

e) Intersección eje x 0 = log(3x ) ⇔ 100 = 3x ⇔ 3x = 1 ⇔ x = 1/3. La curva corta al eje x en el punto (1/3, 0). La curva y = log 3x, invertida con respecto al eje x. Luego a) Dom: { x ∈ R | 3x > 0} = { x | x > 0}. b) Rec: R. c) Asíntota vertical: x = 0. d) Intersección P(1/3, 0).

eje

x:

51

6. M ODELO EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICO

3. y = log 1 ( x − 2) 2

La curva y = log 1 ( x − 2), 2 trasladada la derecha. Luego a) Es decreciente, por ser b = 1/2. b) Dom: { x ∈ R | x − 2 > 0} = { x | x > 2}. c) Asíntota vertical: Es la recta x = 2. d) Intersección eje x 0 = log 1 ( x − 2) ⇔ 2

4. y = log( x ) +

1 2

(1/2)0 = x − 2 ⇔ x = 3. La curva corta al eje x en el punto (1/3, 0). La curva básica y = log x, trasladada hacia arriba. Luego a) Dom: { x ∈ R | x > 0}. b) Asíntota vertical: Es la recta x = 0. c) Intersección eje x 0 = log( x ) + 12

⇔ = x ⇔ x = 0, 32. La curva corta al eje x en el punto P(0, 32; 0). La curva y = log 1 x, trasla2 dada hacia arriba y hacia la izquierda. Luego 1 10− 2

5. y = log 1 ( x + 2) + 1 2

a) Dom: { x ∈ R | x + 2 > 0} = { x | x > −2}. b) Asíntota vertical: Es la recta x = −2. c) Intersección eje x 0 = log 1 ( x + 2) + 1 ⇔   −1 2 1 = x+2 ⇔ x = 2 0. La curva pasa por el origen P(0, 0).

52

Modelo logarítmico

6. y = − log(2x − 1)

La curva básica y = log x invertida en x y trasladada a la izquierda. Luego a) Dom: { x ∈ R | x > 1/2}. b) Asíntota vertical: Es la recta x = 1/2.

7. y = ln(1 − 2x )

c) Intersección eje x 0 = − log(2x − 1) ⇔ 100 = 2x − 1 ⇔ x = 1. La curva corta al eje x en el punto (1, 0). La curva básica y = ln x invertida en y y trasladada a la derecha. Luego a) Dom: { x ∈ R | 3x > 0} = { x | x > 0}. b) Asíntota vertical: Es la recta x = 1/2.

8. y = ln(3 − 4x )

c) Intersección eje x 0 = ln(1 − 2x ) ⇔ e0 = 1 − 2x ⇔ 1 = 1 − 2x ⇔ x = 0. La curva pasa por el origen P(0, 0). La curva básica y = ln x, trasladada a la derecha. Luego a) Dom: { x ∈ R | x < 43 }. b) Asíntota vertical: Es la recta x = 34 . c) Intersección eje x 0 = − ln(3 − 4x ) ⇔ 1 = 3 − 4x ⇔ x = 21 . La curva corta al eje x en el punto P(1/2, 0). d) Intersección P(0; −1, 09).

eje

y:

53

6. M ODELO EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICO

9. y =

3 4

ln(2 − x ) + 3

La curva básica y = ln x, alargada horizontalmente en 3/4, invertida en y, trasladada a la derecha y hacia arriba. Luego a) Dom: { x ∈ R | x < 2}. b) Asíntota vertical: Es la recta x = 2. c) Intersección eje x 0 = 34 ln(2 − x ) + 3 ⇔ e −4 = 2 − x ⇔ x = 1, 98. La curva corta al eje x en el punto P(1, 98; 0). d) Intersección P(0; 3, 51).

eje

y:

Aplicación del modelo logarítmico Para determinar el pH en soluciones de tampones* se utiliza la ecuación de Henderson-Hasselbach pH = pka + log

[sal] [ácido]

donde pka = − log(ka) y ka es la constante de ionización del ácido. De acuerdo a dicha ecuación, calcule el pH de un tampón formado por 0, 03 moles de ácido propiónico y 0, 02 moles de propinato de sodio, sabiendo que la constante de ionización del ácido es 1, 34 · 10−5 . Solución Se tiene que ka = 1, 34 · 10−5 .

[Ácido] = 0, 03 moles. [Sal] = 0, 02 moles. pka =? pH =? Se debe determinar pka. Se sabe que ka = 1, 34 · 10−5 ⇒ − log(ka) = − log(1, 34 · 10−5 ) = 4, 87. Reemplazando en la ecuación, se tiene   0, 02 = 4, 69. pH = 4, 87 + log 0, 03 Por lo tanto, el pH es 4, 69. * Los tampones son soluciones formadas por ácidos o bases débiles, y su sal. Para mayor información consulta a un profesor de química.

54

Ejercicios

!"! #$%&'('()* 1. Haga el esquema de cada una de las siguientes funciones. a) y = f ( x ) = 2x b) u = g(z) = (1/4)z c) v = h(w) = 3−w d) s = f (t) = (1/5)˘t e) z = f (t) = 5 · 34t

f ) t = h(u) = 4(1/3)−2u g) w = f ( R) = 10R h) y = f ( x ) = e2x i) y = f (m) = e−3m j) [H+ ] = f (pH) = 10−pH 2. Dada la función exponencial y = cabx , a ∈ R + , x ∈ R, c ∈ R, haga el esquema que resulta al reemplazar en ella las siguientes combinaciones de valores de los parámetros a y b: a) a > 1, b ∈ R + , a ∈ R.

b) 0 < a < 1, b ∈ R + , a ∈ Q. c) a > 1, b ∈ R − , a ∈ R.

d) 0 < a < 1, b ∈ R − , a ∈ Q.

e) ¿Cuántos tipos de curvas se obtienen?

f ) ¿Cuáles son las características de dichas curvas? (dominio, rango, etc) 3. Haga un esquema de las siguientes funciones a) y = f ( x ) = log2 x. b) u = f (t) = log1/3 t. c) u = g(w) = log w. d) p = h(r ) = ln r. e) pH = f ([H+ ]) = − log[H+ ].

f ) pOH = f ([OH− ]) = − log[OH− ]. 4. Para la función logarítmica y = loga x, a ∈ R + , haga el esquema que resulta de reemplazar en ella para el parámetro a, los valores a) a > 1, a ∈ R

b) 0 < a < 1, a ∈ Q.

c) ¿Cuántos tipos de curvas se obtienen?

d) ¿Cuáles son las características de dicha curva?

55

6. M ODELO EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICO

Soluciones 1.

56

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Ejercicios

i)

j)

2. Modelo exponencial y = cabx a > 1, b ∈ R +

0 < a < 1, b ∈ R +

a > 1, b ∈ R −

0 < a < 1, b ∈ R −

Se obtienen básicamente dos curvas, cuyas características son similares a los problema anteriores. Ver cuadro resumen respectivo.

57

6. M ODELO EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICO 3. a)

b)

c)

d)

e)

f)

a>1

0
4.

58

Ejercicios propuestos

!"! #$%&'('()* +&)+,%*-)* 1. Grafique las siguientes curvas, y en cada caso indique Dominio. Recorrido. Intersección ejes coordenados.

a) b) c) d)

Ecuación de asíntotas.  t f (t) = 41 + 2.  r f (r ) = − 14 − 2.  −s f (s) = 21 14 + 4.  − x f ( x ) = −2 14 + 2.

e) h(u) = 32x − 1.

f ) g(t) = −2 · 33t − 1.

g) q(s) = 3−s + 1.

h) h(r ) = −3r − 1.

i) p(t) = −3−t − 1.

j) g(u) = 12 3−2x − 1.

k) y = 2 + log1/2 (1 − 2x ). l) y = log1/2 (3x + 2).

m) y = −1 + log1/2 (4 − 3x ). n) y = 10 log1/2 (2x − 1).

ñ) y = 1 − log(2 − 3x ).

o) y = −2 log(5 − x ) − 2.

p) y = 2 + log(1 − 2x ).

q) y = −2 log( x − 2) − 4. r) y = −1 + log(4 − 3x ).

s) y = −2 log(10 + x ).

Soluciones a)

Dom: R. Rec: {y | y > 2}. Intersección eje x: No lo corta. Intersección eje y: (3, 0). Asíntotas: y = 2. 59

6. M ODELO EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICO

b)

c)

Dom: R. Rec: {y | y < −2}. Intersección eje x: no lo corta. Intersección eje y: (0, −3). Asíntotas: y = −2.

Dom: R. Rec: {y | y > 4}. Intersección eje x: no lo corta. Intersección eje y: (0, 9/2). Asíntotas: y = 4. d)

Dom: R. Rec: {y | y < 2}. Intersección eje x: (0, 0). Intersección eje y: (0, 0). Asíntotas: y = 2. e)

Dom: R. Rec: {y | y > −1}. Intersección eje x: (0, 0). Intersección eje y: (0, 0). Asíntotas: y = −1.

60

Ejercicios propuestos

f)

g)

Dom: R. Rec: {y | y < −1}. Intersección eje x: No lo corta. Intersección eje y: (0, −3). Asíntotas: y = −1.

Dom: R. Rec: {y | y > 1}. Intersección eje x: No lo corta. Intersección eje y: (0, 2). Asíntotas: y = 1. h)

i)

Dom: R. Rec: {y | y < −1}. Intersección eje x: No lo corta. Intersección eje y: (0, −2). Asíntotas: y = −1.

Dom: R. Rec: {y | y < −1}. Intersección eje x: No lo corta. Intersección eje y: (0, −2). Asíntotas: y = −1.

61

6. M ODELO EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICO

j)

k)

Dom: R. Rec: {y | y > −1}. Intersección eje (−0, 31; 0). Intersección eje (0, −1/2). Asíntotas: y = −1.

x: y:

Dom: { x | x < 1/2}. Rec: R. Intersección eje x: (−1, 5; 0). Intersección eje y: (0, 2). Asíntotas: x = 1/2. l)

m)

Dom: { x | x > −2/3}. Rec: R. Intersección eje x: (−1/3; 0). Intersección eje y: (0, −1). Asíntotas: x = −2/3.

Dom: { x | x < 4/3}. Rec: R. Intersección eje x: (1, 16; 0). Intersección eje y: (0, −3). Asíntotas: x = 4/3.

62

Ejercicios propuestos

n)

Dom: { x | x > 1/2}. Rec: R. Intersección eje x: (1, 0). Intersección eje y: no lo corta. Asíntotas: x = 1/2. ñ)

Dom: { x | x < 2/3}. Rec: R. Intersección eje x: (−8/3; 0). Intersección eje y: (0; 0, 69). Asíntotas: x = 2/3. o)

Dom: { x | x < 5}. Rec: R. Intersección eje x: (4, 9; 0). Intersección eje y: (0; −3, 39). Asíntotas: x = 5. p)

Dom: { x | x < 1/2}. Rec: R. Intersección eje x: (4, 9; 0). Intersección eje y: (0; 2). Asíntotas: x = 1/2.

63

6. M ODELO EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICO

q)

Dom: { x | x > 2}. Rec: R. Intersección eje x: (2, 01; 0). Intersección eje y: no lo corta. Asíntotas: x = 2. r)

Dom: { x | x < 4/3}. Rec: R. Intersección eje x: (−2, 0). Intersección eje y: (0; −0, 39). Asíntotas: x = 4/3. s)

Dom: { x | x > −10}. Rec: R. Intersección eje x: (−9, 0). Intersección eje y: (0, −2). Asíntotas: x = −10.

!"! #$%&'('&)*+, -+% .)-+%) +/$)*+*'&(% 1. Asumiendo que el crecimiento de una población de bacterias es proporcional al número N (t) de bacterias presente en cada instante t, es posible obtener un modelo exponencial de la forma N (t) = N0 ekt , donde N0 es la cantidad inicial de bacterias y k una constante positiva. a) Haga un esquema del tamaño poblacional en función del tiempo de acuerdo al modelo indicado. Interprete y discuta el esquema del punto anterior. ¿Está de acuerdo con que sería un buen modelo de una situación real? b) Si el número inicial de bacterias se duplica en 8 horas, ¿qué número de ellas cabría esperar al cabo de 24 horas? c) Si al cabo de 3 horas hay 20.749 bacterias, ¿cuál fue el número inicial de la colonia en estudio? 64

Aplicaciones del modelo exponencial 2. El número de bacterias N (t) de un cultivo en un tiempo t viene dado por N (t) = N0 e5t donde N0 corresponde a la cantidad inicial de bacterias y t al tiempo en segundos. a) ¿Cuántas bacterias habría en el instante t = 0? b) ¿Al cabo de cuánto tiempo el número de bacterias se ha duplicado? c) ¿Después de cuánto tiempo, la cantidad de bacterias será el triple de la cantidad inicial? 3. Asumiendo que la velocidad de desintegración de un elemento radioactivo es proporcional a la cantidad Q(t) de sustancia existente en el instante t, es posible obtener un modelo exponencial de la forma: Q(t) = Q0 e−kt , donde Q0 es la cantidad inicial de sustancia radioactiva y k una constante positiva. a) Haga un esquema de la relación indicada Q(t) = f (t). Interprete y discuta el esquema del punto anterior. ¿Es un buen modelo de una situación real? b) Se llama vida media de una sustancia radioactiva, al tiempo necesario para que la cantidad inicial de sustancia se reduzca a la mitad. Encuentre la expresión matemática de la vida media de una sustancia radioactiva. c) ¿Es constante la vida media de una sustancia radioactiva? ¿De qué depende? d) Aparte de ser el tiempo necesario para que la cantidad inicial de sustancia radioactiva se reduzca a la mitad, ¿qué otro significado se le puede atribuir a la vida media de una sustancia radioactiva? 4. El radio se descompone según el modelo Q(t) = Q0 e−0,038t , donde Q0 corresponde a la cantidad inicial de radio y Q(t) es la cantidad no desintegrada en un tiempo t (en siglos). a) Encuentre en cuánto tiempo se habrá descompuesto la mitad de la cantidad original de radio (a este tiempo se le llama vida media del radio). b) Haga el gráfico de la función si Q0 = 10 grs. 5. Dado que la vida media de una sustancia radioactiva es 10 minutos y usted dispone de una muestra de 5 gramos a) Determine el valor de la constante específica de desintegración k (recuerde que el modelo es Q(t) = Q0 e−kt ). b) ¿Qué parte de la muestra permanecerá sin descomponerse después de 15 minutos? 6. Suponga que un material radioactivo es pesado en los tiempos t1 = 2 horas y t2 = 5 horas y sus respectivos pesos son 25 y 10 gramos. a) Determine el valor de la constante de desintegración k. b) Calcule la vida media de la sustancia. c) ¿Cuánto material habrá en el instante t = 0? 65

6. M ODELO EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICO d) Grafique la curva de desintegración de la sustancia. e) Obtenga el tiempo de desintegración para el cual el material que permanece corresponde a un cuarto del material inicial. 7. Para probar el funcionamiento de la glándula tiroidea, se introduce yodo radioactivo I131 en el cuerpo, y su acumulación y desintegración en la glándula se monitorea. La vida media del I131 es t1/2 = 8 días. a) ¿Qué fracción de una dosis de I131 se desintegra cada día? b) Si la máxima cantidad permitida de I131 en el organismo es de 5 unidades, ¿cuánto tiempo después de suministrar una dosis de 4 unidades se pueden administrar otras 4 unidades sin peligro para el paciente? c) Si la máxima cantidad de I131 son 5 unidades, ¿cuál es la dosis máxima que se puede administrar cada 24 horas, si la dosis inicial fue de 5 unidades? 8. Según la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad a que se enfría un cuerpo al aire libre, es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire. Este enunciado conduce a un modelo exponencial de la forma T (t) = H + ( T0 − H )e−kt , donde T (t) es la temperatura del cuerpo en el instante t, H la temperatura del medio ambiente o habitación en la cual se encuentra el cuerpo; T0 es la temperatura inicial del cuerpo y k una constante positiva. a) Haga un esquema de la temperatura del cuerpo en función del tiempo. Analice e interprete físicamente el esquema. ¿Está de acuerdo con lo que sucede en la realidad? b) Si la temperatura del aire es de 25◦ C y el cuerpo se enfría de 120◦ C a 50◦ C en 20 minutos, ¿cuándo la temperatura del cuerpo será de 30◦ C? 9. Si un paciente no sigue un tratamiento adecuado, cuando una colonia de staphylococcus fecalis llega a 106 unidades, hay un 95 % de probabilidad de presentar una infección renal. Se sabe que la colonia se duplica cada 24 horas, determine a) La función que represente la situación práctica. b) Gráfica de la función. c) ¿Cuántas bacterias habrá después de 2 horas de haber sido detectada la infección? d) ¿En cuanto aumentó el número de bacterias entre las 2 y 3 horas, de detectada la infección? e) ¿En qué instante el número de bacterias llega a 1, 2 · 107 ?

f ) Si el número de bacterias llega a 10 10 la vida del paciente está en peligro. ¿Cuánto tiempo tiene el paciente como máximo, para someterse a un tratamiento, antes de que sea demasiado tarde? 66

Aplicaciones del modelo exponencial 10. Durante unas excavaciones un grupo de arqueólogos, encontró un hueso de dinosaurio que contenía sólo el 17 % del carbono 14 del tejido viviente. ¿Hace cuantos años murió estimativamente el dinosaurio, Si la vida media del carbono 14(C14), es aproximadamente de 5.600 años?

Soluciones 1.

a)

Es un buen modelo para la fase inicial del crecimiento de la colonia, pero no considera las muertes producidas, las limitaciones del espacio disponible, ni la disminución del alimento, lo cual sin duda impone límites al tamaño que la colonia puede alcanzar. b) 8 veces el número inicial. c) Aproximadamente 16.000. 2.

a) No. b) 0, 1386 seg. c) 0, 219 seg.

3.

a)

Describe adecuadamente el fenómeno de la desintegración radiactiva. b) Vida media = t1/2 = lnk 2 = 0, 693/k. c) No es una constante universal, depende de la constante de desintegración k de la respectiva sustancia. d) La vida media es independiente de la cantidad inicial de la sustancia radiactiva, es decir, transcurre una vida media al pasar de Q0 a Q0 /2, de Q0 /2 a Q0 /4, de Q0 /4 a Q0 /8 y así sucesivamente. 67

6. M ODELO EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICO 4.

a) 18, 24 siglos. b) Q(t) = 10e−0,038t

5.

a) k = 0, 0693. b) 1, 768 gramos.

6.

a) k = 0, 3054. b) 2, 2696 horas. c) 46, 04 gramos. d) Q(t) = 46, 04e−0,3054t

e) 4, 539 horas.

7.

a) Aproximadamente el 8,3 % de la dosis. b) Deben transcurrir 16 días, esto es, dos vidas medias. c) La dosis máxima a administrar cada 24 horas, es de 0, 415 unidades.

68

Aplicaciones del modelo logarítmico 8.

a)

Aun cuando el modelo pronostica que el cuerpo no alcanzará la temperatura H del medio ambiente (lo hará asintóticamente), aquel resulta ser una aproximación adecuada para describir el fenómeno de enfriamiento indicado. b) En aproximadamente 44 minutos. 9.

a) N (t) = N0 · e0,02888t

b) El siguiente gráfico representa la función N (t) = N0 · e0,02888t

c) Después de 2 horas el número de bacterias es aproximadamente 1.059.4601 bacterias. d) Entre las 2 y 3 horas, el aumento de bacterias fue de 31.043 unidades. e) Después de aproximadamente 86 horas, la colonia de bacterias llegará a 1, 2 · 107 .

f ) El paciente cuenta con aproximadamente 319 horas, lo que equivale a 13 días, para someterse a un tratamiento antes que las consecuencias de la infección sea perjudicial para su salud. 10. Aproximadamente 14.406 años.

! ! "#$%&'&%()*+ ,*$ -(,*$( $(.'/01-%&( 1. Existen datos empíricos sustanciales para demostrar que si x e y miden los tamaños de dos órganos de un animal en particular, entonces x e y están relacionados por una ecuación alométrica de la forma: ln y − k ln x = ln c, donde k y c son constantes positivas que dependen únicamente del tipo de partes u órganos que son medidos y son constantes entre los animales que pertenecen a la especie. Resuelva esta ecuación para x, y, k y c. 69

6. M ODELO EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICO 2. Un modelo frecuentemente usado en estudios de epidemias es: ln(1 − y) − ln y = c − rt, donde y es la parte de la población que padece una enfermedad específica al tiempo t. Resuelva la ecuación para y en términos de las constantes C y r. 3. El modelo empírico de Ehrenberg ln(w) = ln(2, 4) + 1, 8h relaciona la estatura h, en metros, con el peso promedio w, en kilogramos, para niños de 5 a 13 años de edad. a) Exprese W como función de h, que no contenga logaritmo. b) Estime el peso promedio de un niño de 8 años de 1,5 m de altura. 4. El oído humano percibe un rango enorme de intensidades sonoras I (medidas en watts/m2 ), entre un umbral I0 = 10?12 y sonidos del orden de billones de veces más intensos. Las autoridades públicas en todo el mundo utilizan la denominada escala dB, o decibelios, para cuantificar las medidas de sonido. La escala de decibelios mide la intensidad de sonido en todo el rango de las diferentes frecuencias audibles (diferentes tonos), y posteriormente utiliza un sistema de ponderación teniendo en cuenta el hecho de que el oído humano tiene una sensibilidad diferente a cada frecuencia de sonido. Generalmente oímos mejor a frecuencias medias (rango vocal) que a bajas o altas frecuencias. Así el nivel de intensidad viene dado por dB = 10 log( I/I0 ) decibelios, donde I0 corresponde a la intensidad de un sonido justo debajo del sonido más ínfimo que una persona pueda oír (como el sonido de un alfiler que cae al pasto) y viene dado por I0 = 10−12 . a) Si la intensidad del sonido emitido por un jet durante su despegue fue de 100 watts/m2 , calcule el nivel de intensidad en decibelios. b) Calcule la intensidad de una conversación común que tiene un nivel de intensidad de 65 dB. c) Expresa la intensidad I de un sonido en función de su nivel en decibelios dB. d) Si el sonido viajando dentro del metro es de 100dB, calcule la intensidad del sonido. e) Complete la siguiente tabla en la que se listan los niveles de intensidad en decibeles de algunos sonidos comunes. Fuente de sonido Perforación del tímpano Despegue de un jet Umbral de dolor Concierto de rock Tráfico callejero intenso Murmullo Umbral auditivo

Intensidad I (watts/m2 ) 104 102 100 10−5 10−12

dB

120 20

f ) En una tienda se vende un equipo musical que tiene “2.600 watts/m2 ”. ¿A qué nivel de sonido en decibeles corresponde? 70

Aplicaciones del modelo logarítmico g) Si otro equipo musical tuviese 5.200 watts/m2 de salida, ¿correspondería al doble del nivel de intensidad de sonido del equipo del ejercicio anterior? h) ¿Cuál es el nivel de intensidad de un sonido, en decibelios, cuya intensidad es de 3000I0 ? i) ¿Cuál es el aumento en intensidad entre un sonido de tic-tac de un reloj de 20 dB y el sonido de una conversación normal a 70 dB? j) ¿Cuál es la intensidad de la bocina de un automóvil si el nivel de intensidad es de 100 dB y I0 = 1? 5. Dada la fórmula pH = − log[H+ ], calcule el pH de una solución si [H+ ] es a) 3, 8 · 10−6

b) 7, 2 · 10−3

c) 6, 4 · 10−4

d) 9, 1 · 10−5

Encuentre la concentración de protones de e) La sangre arterial si el pH es 7, 4. f ) La sangre venosa si el pH es 7, 37. g) La saliva si el pH es 6, 3. h) El jugo gástrico si el pH es 1, 5. i) La orina si el pH es 4, 4 j) ¿Cuántas veces es la concentración de protones en la sangre arterial con respecto a la concentración de protones en la orina? k) ¿Cuál solución tiene una concentración más alta de protones, una con pH = 7, 2 o una con pH = 6, 5? [sal]

6. Dada la fórmula pH = pK + log [ácido] , determine el pH si a) pK = 7, 4; [sal] = 0, 45; [ácido] = 0, 036 b) pK = 4, 21; [sal] = 0, 72; [ácido] = 0, 017 7. Dos pacientes A y B, padecen trastornos con producción excesiva de ácido en el cuerpo. El laboratorio notifica la acidez de la sangre del individuo A en términos de [H+] y la acidez de la sangre del individuo B en términos de pH. El sujeto A tiene una [H+ ] arterial de 6, 510˘8 y el sujeto B un pH arterial de 7, 3. a) Determine el pH del sujeto A. b) ¿Qué paciente tiene más alta de [H+ ] en la sangre? 8. La ecuación de Nernst se emplea para calcular el potencial de equilibrio de un ion a una determinada diferencia de concentración a través de una membrana, asumiendo que la membrana es permeable a dicho ion. Por definición, el potencial de equilibrio se calcula para un ion a la vez, así   Ci 2, 3 RT log , E=− zF Ce donde 71

6. M ODELO EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICO E es el potencial de equilibrio. 2, 3 RT es una constante (60mV a 37◦ C) F z es la carga sobre el ion (+1 para Na+ ; +2 para Ca2+ ; −1 para Cl− ). Ci es la concentración intracelular (mM/L). Ce es la concentración extracelular (mM/L). Determine la concentración extracelular si E = 129 mV, 60 mV, z = 2, Ci = 10−7 mM/L.

2, 3 RT = F

9. Los terremotos son medidos en la escala de Richter, expresados en términos de una magnitud variable R. La intensidad I de las vibraciones que produce un terremoto es una función exponencial con base b = 10 de la escala de Richter de magnitud R. a) Demuestre que la magnitud R satisface la ecuación R = log( I/I0 ), donde I0 es la intensidad de las vibraciones normales de la tierra que corresponden a R0 = 0 b) Considerando la escala Richter, ¿cuánto más grande es la intensidad de un terremoto grado 7,8 a uno de grado 4,2?

Soluciones 1. x = 2. y = 3.

r k

y ln(y/c) y y; y = cx k ; k = ; c = k. c ln x x 1

ec−rt

+1

.

a) w = 2, 4 e1,8h kilogramos. b) 35, 711 kilogramos.

4.

a) 140 dB. b) 3, 16 · 10−6 watts/m2 . dB

c) I = I0 · 10 10 10 watts/m2 .

d) 10−2 watts/m2 . e)

Fuente de sonido Perforación del tímpano Despegue de un jet Umbral de dolor Concierto de rock Tráfico callejero intenso Murmullo Umbral auditivo

Intensidad I (watts/m2 ) 104 102 100 100 10−5 10−10 10−12

dB 160 140 120 120 70 20 0

f ) 154, 14 dB. g) No, ya que no es una escala lineal. El nivel de intensidad correspondiente sería 157, 16 dB. 72

Aplicaciones del modelo logarítmico h) 34, 77 dB. i) La intensidad aumenta en 9, 99 · 10−6 watts/m2 .

j) 1010 watts/m2 . 5.

a) 5, 42. b) 2, 14. c) 3, 19. d) 4, 04. e) 3, 98 · 10−8 .

f ) 4, 27 · 10−8 .

g) 5, 01 · 10−7 .

h) 3, 16 · 10−2 . i) 3, 98 · 10−5 .

j) La concentración de protones en la orina es 1000 veces mayor que la concentración de protones en la sangre. k) La concentración de pH = 6, 5 es más alta. 6.

a) 8, 49. b) 5, 83.

7.

a) pH = 7, 18 b) El individuo A tiene un pH sanguíneo menor, que refleja una condición más alta [H+ ] y ácida.

8. Ce = 1, 99 · 10−3 mM/L. 9.

b) La intensidad es 3980, 07 veces mayor.

73

7

Modelo potencial e hiperbólico

!"! #$%&'(')& Modelo básico: y = x k , donde k ∈ Q − {0, 1}. Al analizar 1 < k, 0 < k < 1, k < 0 se distinguen 9 casos, con respecto al modelo básico, que se describen a continuación. y = xk k = par/impar k = impar/impar k = impar/par √ 2/1 2 3/1 3 y=x =x y = x3/2 = x3 y=x =x

k>1

Dom: R. Rec: R + ∪ {√ 0} 3 2/3 y=x = x2

Dom: R. Rec: R √ y = x1/3 = 3 x

Dom: R + ∪ {0}. Rec: R + ∪ {√ 0} 1/2 y=x = x

Dom: R. Rec: R + ∪ {0} y = x −2/1 = x −2

Dom: R. Rec: R y = x −3/1 = x −3

Dom: R + ∪ {0}. Rec: R + ∪ {0} y = x −1/2

Dom: R − {0}. Rec: R +

Dom: R − {0}. Rec: R − {0}

Dom: R + . Rec: R +

0
k<0

Nota El caso par/par no es trascendente, ya que al simplificar obtenemos uno de los casos anteriores. Ahora ilustraremos situaciones generales, con respecto a los casos anteriores. 74

Definición 1. k > 1 k = Par/Impar

1. y = x2 2. y = x4 3. y = x6

k = Impar/Impar

1. y = x3 2. y = x5 3. y = x7

k = Impar/Par

1. y = x3/2 2. y = x5/2 3. y = x7/2

75

7. M ODELO POTENCIAL E HIPERBÓLICO 2. 0 < k < 1 k = Par/Impar

1. y = x2/3 2. y = x2/5 3. y = x2/7

k = Impar/Impar

1. y = x1/3 2. y = x1/5 3. y = x1/7

k = Impar/Par

1. y = x1/2 2. y = x1/4 3. y = x1/6

76

Definición 3. k < 0 k = Par/Impar

1. y = x −2 2. y = x −4 3. y = x −6

k = Impar/Impar

1. y = x −3 2. y = x −5 3. y = x −7

k = Impar/Par

1. y = x −3/2 2. y = x −5/2 3. y = x −7/2

77

7. M ODELO POTENCIAL E HIPERBÓLICO

Ejemplos de gráficas De acuerdo al modelo básico de la función potencial, grafique 1. y = x2 + 1 Es la curva y = x2 , trasladada una unidad hacia arriba. Luego a) Dom: R. b) Rec: {y | y ≥ 1}. c) Intersección eje y: P(0, 1) d) Intersección eje x: no lo corta

2. y = 2 + ( x + 1)2 Es la curva y = x2 , trasladada una unidad la izquierda y dos unidades hacia arriba. Luego a) Dom: R. b) Rec: {y | y ≥ 2}. c) Intersección eje y: P(0, 3) d) Intersección eje x: no lo corta

3. y = 1 + x −2

Es la curva y = x −2 , trasladada una unidad hacia arriba. Luego a) Dom: R − {0}. b) Rec: {y | y > 1}. c) Intersección eje y: no lo corta d) Intersección eje x: no lo corta e) Asíntota vertical: es la recta x=0 f) Asíntota horizontal: es la recta y=1

78

Definición

4. y = 2 + ( x − 1)3

Es la curva y = x3 , trasladada una unidad hacia la derecha y dos unidades hacia arriba. Luego a) Dom: R. b) Rec: R. c) Intersección eje y: P(0, 1) d) Intersección eje x: 0 = 2 + ( x + 1)3

5. y = (2 − x )1/3 + 1

−2 = ( x − 1)3 √ 3 −2 = x − 1 x ≈ −0, 26 Es la curva simétrica de y = x1/3 , con respecto al eje y, trasladada dos unidades hacia la derecha y una unidad hacia arriba. a) Dom: R. b) Rec: R. c) Intersección eje y: y = (2 − 0)1/3 + 1 = 2, 26, P(0, 2, 26) d) Intersección eje x: 0 = (2 − x )1/3 + 1 −1 = (2 − x ) x=3 Q(3, 0)

6. y = 5 − (1 − 3x )1/2 La curva básica y = x1/2 , comprimida horizontalmente en 3,invertida en ambos ejes, trasladada a la derecha y hacia arriba. Luego a) Dom: { x | x ≤ 1/3}. b) Rec: R. c) Intersección eje y: P(0, 4) d) Intersección eje x: Q(−8, 0)

79

7. M ODELO POTENCIAL E HIPERBÓLICO

7. y = (2 − x )−1/2 + 3

La curva básica y = x −1/2 ,invertida en y, trasladada hacia la derecha y hacia arriba. Luego a) Dom: { x | x < 2}. b) Rec: {y | y > 3}. c) Intersección eje y: y = (2 − 0)−1/2 + 3 ≈ 3, 71, P(0; 3, 71) d) Intersección eje x: No lo corta. e) Asíntota vertical: Es la recta x = 2.

8. y = 2 + ( x − 1)3

f) Asíntota horizontal: Es la recta y = 3. Es la curva y = x2/3 , alargada verticalmente en un factor de 2 y trasladada tres unidades hacia la derecha y dos unidades hacia abajo. Luego a) Dom: R. b) Rec: {y | y ≥ −2}. c) Intersección eje y: y = 2(3 − 0)2/3 − 2 ≈ 2, 16, P(0; 2, 16) d) Intersección eje x: 0 = 2 + (3 − x )2/3 q 1 = 3 (3 − 2)2 1 = (3 − x )2 x1 = 2 y x2 = 4 Q(2, 0) y R(4, 0)

!"! #$%&'('&)*+, 1. Durante un programa nacional para inmunizar a la población contra el sarampión, los funcionarios del ministerio de salud, encontraron que los costos de inoculación del x % de la población era 150x aproximadamente de f ( x ) = millones de dólares. 200 − x a) Grafique la función y especifique qué porción del gráfico es importante para la situación práctica en consideración.

b) ¿Cuál es el costo para inocular al 75 % de la población? c) Si sólo se cuenta con 10 millones de dólares, ¿qué porcentaje de la población se lograría inmunizar? d) ¿Cuánto dinero se requiere para inmunizar al 100 % de la población? 80

Aplicaciones Solución a) El siguiente gráfico, corresponde a la función

En la práctica la porción del gráfico a considerar es

De acuerdo al problema, x representa al porcentaje de la población, luego el porcentaje máximo a considerar es 100 %. Por lo tanto el dominio de la función se restringe a: x ∈ [0, 100].

b) Basta evaluar x = 75 en la función, es decir x = 75 ⇒ f ( x ) =

150 · 75 = 90 200 − 75

Por lo tanto se necesitan 90 millones de dólares, para inocular al 75 % de la población. c) Se desea conocer que porcentaje de la población se puede inocular si se cuenta con 10 millones de dólares, es decir f ( x ) = 10 ⇒

150x = 10 ⇒ x = 12, 5 200 − x 81

7. M ODELO POTENCIAL E HIPERBÓLICO Luego con 10 millones de dólares, se puede inocular al 12,5 % de la población. d) Basta evaluar x = 100 en la función, es decir x = 100 ⇒ f ( x ) =

150 · 100 = 150 200 − 100

Por lo tanto se necesitan 150 millones de dólares, para inmunizar a toda la población. 2. La cantidad de calcio que permanece en la sangre, después de t días de inyectar calcio al torrente sanguíneo, está dada por C (t) = t−3/2 , para t ≥ 0, 5, donde C está medido en gramos. Determine a) Gráfico de la función.

b) ¿Cuántos gramos de calcio permanecen en la sangre después de 18 horas? c) ¿En qué instante, la concentración de calcio en la sangre alcanzará 0, 2 gramos? Solución a) La gráfica de C (t) = t−3/2 se muestra a continuación

b) Como el tiempo está medido en días, se tiene que transformar las 18 horas a su equivalente en días, y luego reemplazar éste valor en la función. Horas Días 24 1 18 x Resolviendo la proporción, resulta x = 18/24 = 3/4 = 0, 75 días. Evaluando t = 0, 75 en la función, se obtiene C (0, 75) = 0, 75−3/2 = 1, 539 Así, la cantidad de calcio que permanece en la sangre después de 0, 75 días es de aproximadamente 1, 54 gramos. 82

Ejercicios c) Se pide C (t) = 0, 2 0, 2 =−3/2 ⇔ 0, 2 = 1/t3/2 ⇔ t3/2 = 5 ⇔ t =

√ 3

25 = 2, 92

Por lo tanto después de aproximadamente 3 días la cantidad de calcio que permanece en la sangre es de 0, 2 gramos.

!"! #$%&'('()* 1. Haga un esquema en R × R de las siguientes funciones a) y = f ( x ) = x2 . b) u = g(z) = 2z2 . c) A = f ( a) = a2 , a lado de un cuadrado. d) A = f (r ) = πr2 , r radio de una circunferencia. e) s = f (t) = at2 /2, a cte (aceleración), t tiempo. f ) y = f ( x ) = x3 . g) w = f (z) = 3z3 . h) V = f ( a) = a3 , a arista de un cubo. i) V = f (r ) = 34 πr3 , r radio de una esfera. 2. Dada una función potencial y = f ( x ) = ax b , x ∈ R, y ∈ R, realice el esquema que resulta al reemplazar en ella los siguientes valores para los parámetros a y b. a) a = 1, b = 4 b) a = π, b = 2 c) a = 3, b = 3 d) a = 4π/3, b = 3 e) a = 1, b = 6 f ) a = 1, b = 7 g) ¿Qué relación ha encontrado usted entre la expresión y = f ( x ) = ax b , x ∈ R, y ∈ R y todas aquellas presentadas en esta pregunta? 3. De la misma forma como abordó el ejercicio anterior, asuma para a y b los siguientes valores a) a = 1, b = −1

b) a = 4, b = 0

c) a = 3, b = −2

d) a = 2, b = −3

e) ¿En qué se parecen y/o en qué se diferencian éstas curvas, respecto de las obtenidas en el problema anterior?

4. Haga el esquema sólo para el primer cuadrante de la función potencial y = f ( x ) = ax b , x ∈ R, y ∈ R en los siguientes casos. a) a ∈ R, b ∈ Z + 83

7. M ODELO POTENCIAL E HIPERBÓLICO b) a ∈ R, b ∈ Z − c) a ∈ R, b = 0

5. Para cada una de las siguientes funciones hiperbólicas, haga el esquema respectivo a) u = f (z) = 3/z 5w + 2 b) v = f (w) = w R c) u = f ( R) = 4R + 3 d) s = f (t) = 1/(2t + 5) 3s − 4 e) u = h(s) = s x f ) z = g( x ) = 2x − 3 g) y = f ( p) = 1/(3p − 1)

84

1.

Soluciones

Letra a) b) c) d) e) f) g) h) i)

Dominio R R R R R R R R R

Recorrido R + ∪ {0} R + ∪ {0} R + ∪ {0} R + ∪ {0} R + ∪ {0} R R R R

Crecimiento (0, ∞) (0, ∞) (0, ∞) (0, ∞) (0, ∞) R − {0} R − {0} R − {0} R − {0}

Decrecimiento (−∞, 0) (−∞, 0) (−∞, 0) (−∞, 0) (−∞, 0) No No No No Intersección ejes (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0)

Simetrías Eje y Eje y Eje y Eje y Eje y Origen Origen Origen Origen

Asíntotas No tiene No tiene No tiene No tiene No tiene No tiene No tiene No tiene No tiene

Ejercicios

85

86

e) d)

f)

b) a)

c)

7. M ODELO POTENCIAL E HIPERBÓLICO

g)

h)

i)

Ejercicios

87

2. 88

e) d)

f)

b) a)

c)

7. M ODELO POTENCIAL E HIPERBÓLICO

3.

No

No

R − {0}

{4}

R − {0}

R

a)

b)

Crecimiento

Recorrido

Dominio

Letra

No

R − {0}

Decrecimiento

(0, 4)

No

Intersección ejes

No

Origen

Simetrías

No tiene

x = 0; y = 0

Asíntotas Gráfico

Ejercicios

89

90

R − {0}

R − {0}

d)

No

(−∞, 0)

R − {0}

(0, ∞)

No

No

Origen

Eje y

x = 0; y = 0

x = 0; y = 0

e) Todas las curvas corresponden al modelo potencial. Si el exponente es par (positivo o negativo) las curvas son simétricas con respecto al eje y, si es impar (positivo o negativo), las curvas son simétricas con respecto al origen. Si el exponente es un número entero negativo, entonces la curva presenta asíntotas verticales y horizontales (los ejes coordenados). Si el exponente es cero, la curva es una línea paralela al eje x.

R+

R − {0}

c)

7. M ODELO POTENCIAL E HIPERBÓLICO

5.

4.

a)

b)

a ∈ R+ , b ∈ Z+

c)

a ∈ R+ , b ∈ Z−

d)

a ∈ R+ , b = 0

Ejercicios

91

e)

f)

g)

7. M ODELO POTENCIAL E HIPERBÓLICO

92

Aplicaciones del modelo potencial e hiperbólico

!"! #$%&'('&)*+, -+% .)-+%) $)/+*'&(% + 0&$+123%&') 1. El número de individuos P(t) de una población animal, viene dado en función del tiempo t por P(t) = 10000 − A/(1 + 0, 5t), t ≥ 0, donde A es una constante. Sabiendo que inicialmente hay 1.000 individuos en la población, determine a) El valor de la constante A. b) Gráfico de la función que representa el problema. c) El número de animales dentro de 10 años. d) De acuerdo al gráfico, ¿cuál es la cantidad máxima de animales en la población? 2. En el marco de un proyecto cuyo objetivo fue proteger una variedad de garza en curso de extinción, se comenzó liberando cierta cantidad de ejemplares en un área protegida. Según los expertos, el número N de garzas que se encontrarán en el área, en función del tiempo t transcurrido desde que se liberaron las garzas, viene dado por la función N (t) = 800 − 750/(1 + t), t ≥ 0, con t medido en años. Determine a) ¿Cuántos ejemplares fueron liberados al inicio del proyecto? b) Porción del gráfico que representa el problema. c) Número de garzas después de 9 años. d) ¿Al cabo de cuanto tiempo el número de garzas será de 500 ejemplares? e) De acuerdo al gráfico, a medida que transcurre el tiempo, ¿el crecimiento de la población de garzas tiene un límite? Y si lo tiene ¿cuál es? 3. El flujo de sangre a través de un vaso sanguíneo o de una serie de vasos sanguíneos es determinado por los siguientes factores: diferencia de presión entre los extremos del vaso y resistencia del vaso al flujo de sangre. La diferencia de presión es la fuerza para el flujo de sangre y la resistencia es un impedimento al flujo. La ecuación para el flujo sanguíneo se expresa de la siguiente manera Q = ∆P/R, donde Q flujo (ml/min). ∆P diferencia de presión (mmHg). R resistencia (mmHg/(ml/min)). Suponga que se mide el flujo sanguíneo renal en un paciente colocando un medidor de flujo sobre la arteria renal izquierda. Simultáneamente, se introducen sondas en arteria renal izquierda y vena renal derecha para medir la presión. Las sondas miden una presión arterial renal de 100 mmHg y presión venosa renal de 10 mmHg. Determine a) Gráfica de la función acorde al problema. b) Si la resistencia vascular del riñón izquierdo es de 0,18 mmHg/(ml/min), ¿cuál es el flujo sanguíneo renal? 93

7. M ODELO POTENCIAL E HIPERBÓLICO c) Si el flujo sanguíneo renal cuantificado es de 300 ml/min, ¿cuál es la resistencia vascular del riñón izquierdo del paciente? d) Al observar el gráfico, ¿qué ocurre con el flujo sanguíneo renal si la resistencia se hace cada vez mayor?. Y ¿qué ocurre con el flujo sanguíneo renal si la resistencia es casi nula? 4. Cuando se introduce una solución de aceitilcolina en el músculo del corazón de una rana, disminuye la fuerza con la que el músculo se contrae. Los datos de los experimentos de A. J. Clark se pueden 100x aproximadamente por el siguiente modelo R( x ) = , donde x b+x es la concentración de aceitilcolina, (en las unidades apropiadas), b es una constante positiva que depende de la rana en particular y R( x ), es la respuesta del músculo a la aceitilcolina, expresada como un porcentaje del efecto máximo posible de la droga. a) Suponga que b = 20. Encuentre la respuesta del músculo cuando x = 60. b) Determine el valor de b si R(50) = 60, es decir, si una concentración de x = 50 unidades produce un 60 % de respuesta. 5. La frecuencia cardiaca se relaciona con la longitud del ciclo de la siguiente manera Frecuencia cardiaca = 1/longitud del ciclo, donde la frecuencia cardiaca está medida en latidos/min y la longitud del ciclo es el tiempo entre una onda y otra en minutos. Determine a) Gráfica de la función, que representa el problema. b) Si la longitud del ciclo es de 0.8 seg, ¿cuál es la frecuencia cardiaca? c) Si la frecuencia cardiaca es de 90 latidos/min, ¿cuál es la longitud del ciclo? d) Al observar el gráfico, ¿qué ocurre con la frecuencia cardiaca cuando la longitud del ciclo aumenta considerablemente?, y ¿qué ocurre con la frecuencia cardiaca cuando la longitud del ciclo es cada vez más pequeña? 6. La velocidad del flujo sanguíneo es la tasa de desplazamiento de sangre por unidad de tiempo. Los vasos sanguíneos del sistema cardiovascular varían en términos de diámetro y área de sección transversal. Estas diferencias de diámetro y área, por su parte, tienen efectos profundos sobre la velocidad de flujo. La relación entre velocidad, flujo y área de sección transversal (que depende del radio o diámetro del vaso) es la siguiente v = Q/A, donde v velocidad del flujo sanguíneo (cm/seg). Q flujo (ml/seg). A área de sección transversal (cm2 ) (A = πr2 , donde r es el radio de un solo vaso sanguíneo o el radio total de un grupo de vasos sanguíneos). Si el flujo cardiaco de un paciente es de 5,5 l/min, determine a) Gráfico de la función acorde al problema. 94

Aplicaciones del modelo potencial e hiperbólico b) Área de sección transversal para la aorta del paciente cuyo diámetro es de 20mm. c) ¿Cuál es la velocidad de flujo sanguíneo en la aorta? d) Si la velocidad de flujo es de 2,2 cm/seg. ¿cuál es el área de sección transversal que permite tal velocidad? e) De acuerdo al gráfico, ¿qué ocurre con la velocidad de flujo sanguíneo cuando el área de sección transversal aumenta considerablemente?, y ¿qué ocurre con la velocidad de flujo sanguíneo cuando el área de sección transversal disminuye considerablemente?

Soluciones 1.

a) A = 9000 b)

c) 8500 animales. d) 10000 animales.

2.

a) 50 ejemplares de garzas. 95

7. M ODELO POTENCIAL E HIPERBÓLICO b)

c) 725 ejemplares de garzas. d) Un año y medio. e) Sí tiene límite y éste es de 800 ejemplares de garzas. 3.

a)

b) 500 ml/min. c) 0, 3 mmHg/(ml/min). d) Si la resistencia aumenta, el flujo renal es casi nulo, y si la resistencia es cercana a cero y flujo renal aumenta considerablemente. 4.

a) La respuesta del músculo es de 75 % cuando la concentración de acetilcolina es de 60. b) El valor de b es aproximadamente 33, 3 unidades.

96

Aplicaciones del modelo potencial e hiperbólico 5.

a)

b) 1, 25 latidos/min. c) 1/90 seg. d) Al aumentar a valores extremos la longitud del ciclo (más de 1 segundo), la frecuencia cardiaca disminuye a valores cercanos a cero y si la longitud del ciclo es muy pequeña (0, 001 segundos) la frecuencia cardiaca aumenta considerablemente. 6.

a)

b) 100π. c) 17, 50 cm/seg. d) 2500 cm2 . e) Al aumentar el área de sección transversal, para un flujo de 5, 5 l/seg, la velocidad disminuye a valores cercanos a cero y cuando el área de sección transversal es muy pequeña (0, 1 cm2 ) la velocidad aumenta considerablemente. 97

8

Modelo de crecimiento logístico

El modelo exponencial N (t) = N0 ekt para crecimiento de poblaciones no siempre representa situaciones que ocurren en la realidad, ya que proyecta un crecimiento cada vez más rápido e indefinido en el futuro. En la mayoría de los casos (incluyendo el de la población mundial) la cantidad de espacio y recursos limitados forzarán eventualmente a disminuir la razón de crecimiento. Esto sugiere otro modelo para el crecimiento de la población llamado modelo logístico. La expresión que representa este modelo es: N (t) =

m 1+



m p0

 − 1 e−mkt

con p0 la población inicial y m la población máxima.

!"! #$%&'('()* 1. El número de individuos en una población de cierta especie en un ambiente limitado, se puede modelar por P(t) =

100,000 , 100 + 900e−t

donde t se mide en años.

a) Determine el número inicial y el número máximo de individuos en esta población. b) Dibuje la porción del gráfico de acuerdo al contexto. c) Estime en cuánto tiempo la población tendrá 900 individuos. 2. La población mundial (en miles de millones) t años después de 1960 viene dada por el modelo N (t) =

40 , 1 + Ce−kt

donde C y k son constantes positivas. Considerando que la población mundial fue aproximadamente de 3 mil millones en 1960 y de 10 mil millones en 1985. a) Hallar C y k. b) Dibuje la porción del gráfico de acuerdo al contexto. c) ¿Al cabo de cuánto tiempo la población llegará a ser de 20 mil millones de habitantes? d) ¿Cuál es la población máxima ? 3. Suponga que la población de conejos, en cierta isla, se comporta de acuerdo al modelo R(t) =

300 0, 05 +



300 n0

 − 0, 05 e−0,55t

donde n0 es la población inicial de conejos y t es el tiempo medido en años desde el instante en que se obtuvo esa población inicial. Considerando que la población inicial es de 50 conejos, determine: 98

Ejercicios a) Gráfico de que muestre la situación descrita. b) ¿Cuál es la población 12 años después? c) ¿En qué instante el crecimiento de la población de conejos comienza hacer más lento? d) Después de un largo período de tiempo, ¿cuál será el tamaño de la población de conejos? 4. La población de una especie de ave está limitada por el hábitat necesario para la anidación. El comportamiento de esta población se puede modelar por s(t) =

5600 , 0, 5 + e−0,44t

con t medido en años. a) Determine la población inicial. b) Dibuje la porción del gráfico de acuerdo al contexto. c) Después de un largo período de tiempo, ¿cuál será el tamaño de la población de aves? d) ¿En qué instante el tamaño de la población será la mitad de la población esperada a lo largo del tiempo? 5. Un ecologista mide el número de salmones en un criadero. El número de peces fue de 100 inicialmente y de 200 después de dos meses. Si la capacidad total es de 1.800 peces, determine a) Formule la ecuación del modelo logístico. b) Representación gráfica de la situación descrita. c) ¿Cuál será la población después de 4 meses? d) ¿En qué instante la población será de 1000 peces? e) Después de un largo tiempo, ¿cuál es la capacidad máxima de peces en el criadero? f ) ¿En qué instante la población de peces comienza a crecer más lento? 6. En cierta comunidad se propaga un tipo de epidemia. El número de personas infectadas, t semanas después de su brote se puede modelar por B , f (t) = 1 + Ce−kt donde B es el número de residentes en la comunidad que son propensos a contraer la enfermedad. Supongamos que en dicha comunidad B es 100.000 personas. Si 1/5 de los residentes propensos estaba infectado al principio y 1/2 de ellos se había infectado al final de la cuarta semana a) Calcule el valor de C y k. b) Formule la ecuación del modelo que representa el problema. c) Grafique la función. 99

8. M ODELO DE CRECIMIENTO LOGÍSTICO d) ¿Qué porcentaje de residentes propensos a la enfermedad se habrá infectado después de la octava semana? e) Después de un largo tiempo, ¿cuántas personas serán contagiadas? f ) ¿En que instante contraerán la gripe la mitad de la población?

Soluciones 1.

a) Número inicial= 100 individuos. Número máximo= 1000 individuos. b)

c) En 4,39 años. 2.

a) C=37/3 K= 0,0565. b)

c) A los 44,4655 años la población tendrá 20 mil millones de habitantes. d) 40 mil millones de habitantes. 3.

100

a)

Ejercicios b) Después de 12 años hay 5164,0276 conejos. c) A los 8,6893. d) 6000 conejos. 4.

a) 3,733 aves. b)

c) 11200 aves. d) A los 1, 575 años. 5.

a) f (t) =

1,800 1 + 17e−0,3768t

b)

c) 377,752 salmones. d) A los 8,1113 meses. e) 1.800 salmones. f ) 7,5191 meses. 6.

a) C=4 y k=0,3465. 100,000 b) f (t) = 1 + 4e−0,3465t c)

101

8. M ODELO DE CRECIMIENTO LOGÍSTICO d) 80 % de las personas. e) 100.000 personas. f ) A las 4 semanas.

102

9

Modelo trigonométrico

!"! #$%&'('()* 1. Dadas las siguientes funciones a) f ( x ) = 5 sen(2x ) b) g(t) = −5 sen(t/2) c) h(s) = 1 + 2 sen s

d) s(v) = −2 cos(πv/2) e) p(t) = 3 sen(t/6)

f ) n( x ) = 3 + 2 sen(2x ) g) m(s) = sen(s − π/3)   h) k (t) = 3 sen 16 (t − π ) + 2   i) r ( x ) = −1 + 12 sen 3π − 12 x j) t( x ) = 1 − 21 sen(2x )


k) m(s) = 1 − cos π3 − s   l) k (r ) = −2 cos 16 (r − π ) + 2   m) r ( x ) = −1 + 21 cos 23 π − 12 x

Determine

Amplitud. Período. Puntos máximos y mínimos dentro del período. Gráfico. 2. Dadas las siguientes gráficas, postule su función a)

b)

103

9. M ODELO TRIGONOMÉTRICO

c)

d)

e)

f)

Soluciones 1.

104

Ampl.

Per.

Máx y Mín.

a)

5

π

"π
,5 . Máx: " 3π 4
Mín: 4 , −5

b)

5

4π

Máx: (3π, 5). Mín: (π, −5)

Gráfico

Ejercicios

c)

2

2π

"π
Máx: ,3 . " 3π 2
Mín: 2 , −1

d)

2

4

Máx: (2, 2). Mín: (0, −2) , (4, 2)

e)

3

12π

Máx: (3π, 3). Mín: (9π, −3)

f)

2

π

"π
,5 . Máx: " 3π
4 Mín: 4 , 1

105

9. M ODELO TRIGONOMÉTRICO

g)

1

2π

Máx:  Mín:

106

" 5π 6


, 5 .

11π 2 , −1

h)

3

12π

Máx: (4π, 5). Mín: (10π, −1)

i)

1 2

4π

  Máx: 9π, − 12 . "
Mín: 7π, − 23

j)

1 2

π

Máx: 

" 3π
4 ,1 .  π 1 Mín: 4 , 2

Aplicaciones del modelo

k)

1

2π

" 8π
Máx: ,2 . " 2π 6
Mín: 6 , 0

l)

2

12π

Máx: (7π, 4). Mín: (π, 0)

m)

1 2

4π

Máx:     3π, − 12 , 7π, − 21 . "
Mín: 5π, − 32

2.

a) t( x ) = 1 + sen(3x ) b) s( x ) = 2 + cos(3x ) c) r ( x ) = 1 + sen(−2x + π ) d) h( x ) = 1 − 3 sen( x )

e) g( x ) = 3 − 2 sen(5x ) "
f ) f ( x ) = −1 − 2cos 2x

!"! #$%&'('&)*+, -+% .)-+%) Ejemplo La marea de Horcón subió a media noche. El nivel del agua durante la marea alta fue de 9,9 pies, más tarde, en la marea baja, fue de 0, 1 pies. Supóngase que la siguiente marea alta fuera exactamente 12 horas 107

9. M ODELO TRIGONOMÉTRICO después y que la altura del agua estuviera dada por una curva de seno o coseno. Hallar una expresión para averiguar el nivel del agua en Horcón en función del tiempo. Solución La expresión pedida corresponde a una función trigonométrica, de la forma f ( x ) = A sen( Bt) + C

o

g( x ) = A cos( Bt) + C

donde | A| es la amplitud, B indica el número de veces que cabe B en 2π y C indica corrimiento vertical. Primero determinaremos la amplitud y el período y luego realizaremos un esquema del enunciado para poder establecer la función pedida. valor máximo − valor mínimo 2 9, 9 − 0, 1 = 2 = 4, 9 2π Periodo = P = B

Amplitud =

De acuerdo al problema, el período es de 12 horas, luego P=

2π 2π π ⇒B= = B 12 6

luego la función es f ( x ) = 5 + 4, 9 cos

π  x 6

!"! #$%&'('()* +&)+,%*-)* 1. Para una persona en reposo la velocidad (V), del aire que fluye durante un ciclo respiratorio está dado por: V (t) = 0, 85 sen(πt/3); donde t se mide en segundos y V (t) en L/seg. a) Grafique la función e indique la porción del gráfico acorde con el enunciado. b) ¿Cuál es la velocidad para el tiempo cero? c) ¿Para qué valor de t la velocidad es de 0, 425 L/seg? d) ¿En qué instante la velocidad es máxima? 108

Ejercicios propuestos e) ¿Cuál es el valor de esa velocidad máxima? f ) ¿Cuál es la duración del ciclo respiratorio? 2. Un espirograma es un instrumento que registra en un gráfico el volumen de aire (V) en los pulmones de una persona en función del tiempo. El trazado "típico de este
gráfico esta dado según la función π 1 V (t) = 3 + 20 sen 160πt − 2 , en que el tiempo está medido en minutos y el volumen en litros. a) Dibuje la porción del gráfico que tiene relación con el problema. b) ¿Cuál es el volumen para el tiempo cero? c) ¿Cuál es el volumen para el tiempo igual a 3/320 minutos? d) ¿Para qué valor de t el volumen es de 3, 025 litros? e) ¿En qué instante el volumen es máximo? f ) ¿Cuál es el valor de ese volumen máximo? g) ¿En qué instante el volumen es mínimo? h) ¿Cuál es ese volumen mínimo? 3. El ciclo respiratorio de cierto animal, se puede modelar por la siguiente fórmula v(t) = 1, 2 − 0, 2 cos



πt 3



,

con v en litros y t en segundos. a) Dibuje la porción del gráfico acorde con el problema. b) ¿Cada cuánto tiempo inspira aire? c) ¿Cuál es el volumen máximo de aire en sus pulmones? d) ¿Cuál es el volumen mínimo de aire en sus pulmones? e) ¿En qué fase de la respiración se encuentra cuando t = 12? 4. Un paciente en reposo inspira y expira 0,5 litros de aire cada 4 segundos. Al final de una espiración, le quedan todavía 2,25 litros de aire de reserva en los pulmones, t segundos después de una expiración, es   πt . V (t) = 2, 5 − 0, 25 cos 2 a) Dibuje la porción del gráfico que tiene relación con el enunciado. b) ¿Cuál es el volumen para el tiempo cero? c) ¿En qué instante el volumen es máximo? d) ¿Cuál es el valor de ese volumen máximo? e) ¿En qué instante el volumen es mínimo? f ) ¿Cuál es ese volumen mínimo? 109

9. M ODELO TRIGONOMÉTRICO

Soluciones 1.

a)

Gráfico de v(t) = 0, 85 sen(πt/3)

Porción del gráfico acorde al enunciado. b) 0 l/seg c) t1 = 0, 5 seg; t2 = 2, 5 seg. d) t = 1, 5 seg. e) 0, 85 l/seg. f ) 3 seg. 2.

a)

b) 59/20 = 2, 95 litros. c) 3 litros. d) t1 = 1/240 min; t2 = 1/120 min. e) t = 1/160 min. f ) 3, 05 litros. g) t1 = 0 min; t2 = 1/80 min. 110

Ejercicios propuestos h) f rac5920 = 2, 95 litros. 3.

a)

b) Inspira aire cada 6 segundos. c) 1, 4 litros. d) 1 litro. e) Cuando t = 12, está al final de una expiración e iniciando una inspiración. 4.

a)

b) 2, 25 litros. c) Cuando t = 2 seg. d) 2, 75 litros. e) Cuando t = 0 seg y t = 4 seg. El volumen mínimo es 2, 25 litros.

111