Mecánica Cuántica Problemas. Grupos B Año 2015
Tema 1. Postulados de la Mecánica Cuántica
Considérese un sistema físico cuyo hamiltoniano sólo tiene espectro puntual. El sistema se halla en un estado puro |ψ . Sea E i el autovalor del hamiltoniano más próximo al valor medio del hamiltoniano, H ψ . Demostrar que 1.
|H − E | ≤ ∆ ψ
2.
i
ψH
.
Dados dos operadores acotados A y B en un espacio de Hilbert, probar que i A† B
− B †A ≤ A† A + B† B .
Considérese un sistema cuántico cuyo espacio de Hilbert tiene dimensión 3. Se consideran los operadores A, B y C , que en cierta base ortonormal se representan: 3.
0 A = 1
1 0 0 0 0 0 1
,
1 B = 0
0 1 0 0
,
0 0 1
−
1 C = 1
1 1 1 1 1 1 1
.
Determínese cuáles de los conjuntos {A}, {A, B }, {A, C } son CCOC. Determínese, si lo hay, algún estado libre de dispersión para A y C simultáneamente. ¿Hay en este sistema algún par de variables canónicamente conjugadas? es el operador de momento angular de En un sistema con espín 21 se define el operador A = n · S , donde S = σ/2) y n = (sen θ cos ϕ, sen θ sen ϕ, cos θ). Escribir las matrices densidad correspondientes a los espín (S autovectores de A . Construir la matriz semisuma de las matrices anteriores y comprobar que corresponde a una matriz densidad de un estado mezcla. 4.
5.
Un sistema con espín 1 se halla en el estado puro
|ψ = √ 13 | + 1 + √ 13 |0 + √ 13 | −1 , donde |m es un autoestado de S z con autovalor m . Se realiza una medida filtrante de S z que selecciona los valores no nulos. ¿Cuál es el estado final del sistema? Compárese con la matriz densidad correspondiente al estado iϕ
e |φ = √ 12 | +1 + √ | − 1 . 2
Calcular en ambos casos la probabilidad de que al medir S x se obtenga el valor 0. (Úsese que S x (| +1−|−1 = 0). 6.
Se define la entropía de un estado cuyo operador densidad es ρ como: s(ρ)
≡ −Tr(ρ ln ρ) .
Demostrar que satisface s(ρ) ≥ 0 y que es cero si y sólo si ρ representa a un estado puro. Si la dimensión del espacio de Hilbert es finita, encontrar la matriz densidad que maximiza la entropía.
7.
Dado el operador ρ sobre el espacio de Hilbert
3
, representado en una base ortonormal por la matriz
7.
Dado el operador ρ sobre el espacio de Hilbert
1/4 0 z3
3
, representado en una base ortonormal por la matriz
0 z2 z1 /4 0 0 1/4
,
¿qué condiciones han de sastisfacer los números complejos z 1 , z 2 y z 3 para que ρ defina una matriz densidad normalizada? Hallar una base ortonormal de estados {|Ψk } y unos pesos { pk } tales que ρ = k pk |Ψk Ψk |. ¿Qué han de cumplir z 1 , z 2 y z 3 para que ρ represente un estado puro?
8.
√
el operador de espín de una partícula de espín Sea n = (1, 1, 0)/ 2, S 2 ρ = 3
1 z 1
z2
z3
1 2
y ρ la matriz
.
Determinar los números complejos zi para que ρ represente la matriz densidad normalizada de un estado puro tal que n · S = 0. Hallar las condiciones que deben cumplir los zi para que ρ represente una matriz densidad de un estado mezcla tal que n · S = 0. Un dispositivo experimental consta de una secuencia de imanes del tipo Stern-Gerlach orientados, respectivamente, en las direcciones nA = (0, 0, 1), nB = (sen α, 0, cos α) y nC = (sen β cos γ, sen β sen γ, cos β ). Cuando pasa un haz de electrones por uno de los Stern-Gerlach se separa en dos haces, uno correspondiente al autovalor positivo y otro al negativo del operador S i = S · ni . Considérese que se selecciona el haz correspondiente al autovalor positivo de S A. Se asume que si hay dos haces procedentes del segundo Stern-Gerlach se combinan en uno solo antes de entrar en el último. Se pide calcular la probabilidad de que al medir S C se obtenga un valor positivo en cada uno de los casos siguientes. 9.
Si al medir S B se selecciona el haz correspondiente al autovalor positivo. Si se mide S B , pero se dejan pasar ambos haces. Si no se hace ninguna medida de S B . En un oscilador armónico de pulsación ω se considera un estado mezcla que en el instante t = 0 tiene la forma: 10.
ρ(0) =
1 1 0 0 + ψ ψ , 2 2
| | | | √ |0 + √ |1 y H |n = ω (n + )|n. Comprobar explícitamente que
i 1 donde | ψ = 12 Trρ(0) = 1 y que 2 2 ρ(0) ≥ 0 . Encontrar, para un tiempo arbitrario t , el operador estado ρ(t). Calcular la derivada temporal de ρ(t) y compararla con el conmutador de ρ(t) con el hamiltoniano H .
Supóngase un sistema cuántico, cuyo espacio de Hilbert asociado es bidimensional. Sea una base ortonormal {|1, |2} en este espacio. Si en el instante t = 0 el sistema se halla en el estado |1, determínense las amplitudes de probabilidad de hallar el sistema en los estados |1 y |2 al cabo de un tiempo t , supuesto como hamiltoniano de evolución en la base mencionada: E 0 + z∗ 11.
H =
z
E 0
−
.
Mecánica Cuántica Problemas. Grupos B Año 2015
Hoja 2: temas 3 y 4 en un tiempo t i << 0 un oscilador armónico unidimensional en el estado fundamental |0. Sea la perturbación H 1 (t) = −eE X e−t /τ aplicada desde ti hasta tf , con τ << −ti , tf . Hallar, usando la Teoría de Perturbaciones Dependiente del tiempo a primer orden, la probabilidad de que el oscilador se encuentre en el estado |n para t ≥ tf , en el límite −ti , tf → ∞. Recordemos que: 2.1 Considérese
2
2
X =
1/2
(a + a† )
2mω
donde a y a † son los operadores destrucción y creación. 2.2 Utilizando
la Teoría de Perturbaciones Dependiente del tiempo a primer orden, calcular la probabilidad de ionización de un átomo de hidrógeno en su estado fundamental u 100 si se le somete a un campo eléctrico E (t) = E 0 senωt. Recordemos que e−r/a . πa30 0
u100 (r) =
Sugerencia, despreciar la interacción de Coulomb del estado final y suponer que el estado del electrón es una onda plana con momento k, normalizada a un volumen finito L 3 . 2.3 Sea
una partícula de spin 1/2 en un estado de spin alineado con el eje z (|+ = (1, 0)), que se encuentra situada en un campo magnético estático B 0 también en la dirección z. Se le aplica desde un instante t = 0 hasta t = T un campo magnético B1 que rota en el plano xy con velocidad angular ω. Hallar, usando la Teoría de Perturbaciones Dependiente del tiempo a primer orden, la probabilidad de que, al finalizar la perturbación, el spin haya cambiado de sentido (al estado |− = (0, 1)). 2.4 Hallar,
a primer orden de perturbaciones, la probabilidad de transición desde el estado fundamental |ψ1 al primer excitado |ψ2 de una partícula en pozo cuadrado unidimensional que sufre una perturbación a partir de t ≥ 0, como la que se describe a continuación:
∞, H (x,t < 0) = 0,∞,
donde V 0 << E 1 . 2.5 Calcular,
x≤0 0 < x < a x≥a
,
∞, V , H (x, t ≥ 0) = 0,∞,
0
x≤0 0 < x < a/2 a/2 ≤ x < a x≥a
usando la aproximación de Born, la sección eficaz diferencial para el potencial de Yukawa v(r) = V 0 exp(−r/r0 )r0 /r
